havo/vwo d samenvatting hoofdstuk 7
DESCRIPTION
havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 7. Getallenrijen. Een recursieve formule van een rij geeft aan hoe elke term uit één of meer voorafgaande termen volgt. Bij een recursieve formule vermeld je de startwaarde . vb. u n = u n – 1 + 160. 7.1. Het rijen-invoerscherm van de GR. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 7](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061422/5681572c550346895dc4c671/html5/thumbnails/1.jpg)
havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 7
![Page 2: havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 7](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061422/5681572c550346895dc4c671/html5/thumbnails/2.jpg)
Getallenrijen
Een recursieve formule van een rij geeft aan hoe elke termuit één of meer voorafgaande termen volgt.
Bij een recursieve formule vermeld je de startwaarde.
vb. un = un – 1 + 160
7.1
![Page 3: havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 7](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061422/5681572c550346895dc4c671/html5/thumbnails/3.jpg)
Het rijen-invoerscherm van de GRRij van FibonacciElke term is de som van de twee voorafgaande termen.u3 = u2 + u1
un = un – 1 + un - 2
7.1
![Page 4: havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 7](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061422/5681572c550346895dc4c671/html5/thumbnails/4.jpg)
opgave 10
un = un – 1 + 5n met u0 = 100
vn = vn – 1 + n2 met v0 = 10
a) TI
Voer in nMin = 0
u(n) = 0,5u(n – 1) + n2
u(nMin) = 100
u0 = 100 , u1 = 51 , u2 = 29,5 ,
u3 = 23,75 , u4 = 27,875 , …
De kleinste term is u1.
b) u7 ≈ 76,73
c) u16 ≈ 454 en u17 ≈ 516.
Vanaf de 18e term is un > 500.
Casio
Voer in an – 1 = 0,5an – 1 + (n + 1)2
start: 0
a0: 100
a0 = 100 , a1 = 51 , a2 = 29,5 ,
a3 = 23,75 , a4 = 27,875
De kleinste term is u3
7.1
![Page 5: havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 7](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061422/5681572c550346895dc4c671/html5/thumbnails/5.jpg)
Rekenkundige rijenEen rekenkundige rij is een rij waarvan het verschil van twee
opeenvolgende termen steeds hetzelfde getal is.
Van een rekenkundige rij met beginterm u0 en verschil v is
• de directe formule un = u0 + vn
• de recursieve formule un = un – 1 + v met beginterm u0.
De somrij van een rekenkundige rij
Bij de rij un hoort de somrij Sn = u0 + u1 + u2 + u3 + … + un.
Voor de rekenkundige rij un geldt
som rekenkundige rij = ½ · aantal termen · (eerste term + laatste term)
00
1( 1)( )
2
n
k nk
u n u u
7.2
![Page 6: havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 7](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061422/5681572c550346895dc4c671/html5/thumbnails/6.jpg)
Meetkundige rijen
Een meetkundige rij is een rij waarbij het quotiënt van tweeopeenvolgende termen steeds hetzelfde getal is.
Van een meetkundige rij met beginterm u0 en factor r is
• de directe formule un = u0 · rn
• de recursieve formule un = r · un – 1 met beginterm u0.
De somrij van een meetkundige rij
Sn =
Voor een meetkundige rij un geldt
som meetkundige rij =
10
0
(1 )
1
nn
kk
u ru
r
0 1
1nu u
r
eerste term(1 – factoraantal termen) 1 - factor
7.2
![Page 7: havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 7](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061422/5681572c550346895dc4c671/html5/thumbnails/7.jpg)
De formule un = a · un – 1 + b
Bij een lineaire differentievergelijking van de eerste orde hoort eenrecursieve formule van de vorm un = aun – 1 + b.
Je kunt de termen van de bijbehorende rij un doorrekenen
• met ANS op het basisscherm• door de formule in te voeren op het rijen-invoerscherm en de termen in een tabel zetten• door de bijbehorende tijdgrafiek te plotten en deze met de trace-cursor te doorlopen.
Je kunt de puntenrij in een Oxy-assenstelsel tekenen.De punten (un – 1, un) liggen op de lijn y = ax + b.
De webgrafiek bestaat uit aaneengesloten verticale en horizontalelijnstukken afwisselend op de lijnen y = ax + b en y = x.
7.3
![Page 8: havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 7](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061422/5681572c550346895dc4c671/html5/thumbnails/8.jpg)
Convergeren en divergeren
De lijnen y = ax + b en y = x hebben een snijpunt bij
Deze x-coördinaat heet het dekpunt van de rij un = aun – 1 + b
constante rij:heeft het dekpunt als startwaarde
rij convergeert: bij een grenswaarde is er een stabiel evenwicht
rij divergeert:als er geen grenswaarde is dan is er een instabiel evenwicht.
1
bx
a
7.3
![Page 9: havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 7](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061422/5681572c550346895dc4c671/html5/thumbnails/9.jpg)
De directe formule van de rij un = aun – 1 + b
7.3
![Page 10: havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 7](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061422/5681572c550346895dc4c671/html5/thumbnails/10.jpg)
Prooi-roofdiermodellenBij een prooi-roofdier cyclus hoort een tijdgrafiek en een prooi-roofdierdiagram.Bij een prooi-roofdiermodel hoort een stelsel van twee differentie-vergelijkingen.In het model hieronder is Pt het aantal prooidieren op tijdstip t
en Rt het aantal roofdieren op tijdstip t.
Pt = 1,18Pt – 1 – 0,003Rt – 1Pt – 1
Rt = 0,94Rt – 1 + 0,0006Pt – 1Rt – 1
met P0 = 120 en R0 = 65.
Je kunt het model met de GR doorrekenen en tijdgrafieken plotten.
7.4
![Page 11: havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 7](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061422/5681572c550346895dc4c671/html5/thumbnails/11.jpg)
opgave 62
a) (0,25 – 0,0015R)P = 0
0,25 – 0,0015R = 0
0,0015R = 0,25
R ≈ 167
(-0,03 + 0,00004P)R = 0
-0,03 + 0,00004P = 0
0,00004P = 0,03
P = 750
b) De populaties veranderen dan niet meer,
dus steeds is Pt = 750 en Rt = 167.7.4
![Page 12: havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 7](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061422/5681572c550346895dc4c671/html5/thumbnails/12.jpg)
Een model van een griepepidemieHet verloop van een griepepidemie kan beschreven worden methet model hieronder.
Hierin is Gt het aantal mensen dat op tijdstip t nog niet de griep
heeft gehad, het aantal mensen dat ziek is op tijdstip t en lt het aantal
mensen dat op tijdstip t immuun is.
7.4