h.anton a.lineal- introduccion al algebral lineal
TRANSCRIPT
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8/10/2019 H.anton a.lineal- Introduccion al Algebral Lineal
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I N T R O D U C C I ~ N
AL ALGEBRA
LINEAL
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2/709
VE RS IN AUTORIZADA EN ESPAOL DE LA
OBRA
PUBLICADA E N INGLS CON EL TTULO:
ELEMENTARY
LINEARALGEBRA
O
JOHN ILEY
&
SONS,
NC.
COLABORADORN
LA T R A D U C C I ~ N :
HUGO
V I L L A G ~ M E Z
ELZQUEZ
LAPRESENTACI~N DISPOSICI~N
EN
CONJUNTO
DE
INTRODUCCINAL ALGEBRA LINEAL
SON PROPIEDAD DEL EDITOR.
NINGUNAARTE
DE ESTA OBRA
PUEDE SER REPRODUCIDAo TRANSMITIDA, MEDIANTE NINGUN
SISTEMA O MTODO, ELECTR6NICOOMECNlCO (INCLUYENDO
EL FOTOCOPIADO, LA GRABACIN O CUALQUIERSISTEMA DE
R E C U P E R A C I ~ N ALMACENAMIENTO
D E IN F OR M AC I~ N ) , IN
CONSENTIMIENTOPOR ESCRITO DEL EDITOR.
DERECHOSESERVADOS:
O 2001, EDITORIAL LIMUSA, S.A.DE
C.V.
GRUPO NORIEGA EDITORES
BALDERAS5, M x l c o , D.F.
C.P. 06040
'-S$. ( 5 )521 -21 -05
O1 (800) 7-06-91-00
(5) 51 2-29-0 3
+
www.noriega.com.mx
CANIEM N M . 121
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QUINTA
E I M P R E S I ~ N
DE LA
SEGUNDA
EDICIN
.T t4 ;S1
y ; ?
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HECHO
N
M x l c o
ISBN
968-1 8-5192-7
-
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y Lauren
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I PROLOG0
As
comoen aedicin anterior. enestanuevaedicinse proporciona un tra-
tamiento bsico del lgebra lineal, idneo para estudiantes que estn cu rsando el
primer o segundo
aos
de facultad. Mi objetivo es presentar los fundam ento s del
lgebra lineal de la forma ms clara posible.
por lo
que el aspecto pedaggico es
esencial.
No
se requiere haber estudiado clculo, aunque se presentan ejerci-
cios
y
ejemplos para estudiantes que tienen los conocimientos necesarios; estos
ejercicios
y
ejemplos estn claramente indicados
y
se pueden om itir sin pr-
did a de continuidad.
LOS
CAMBIOS EN ESTA EDICIN
Aunque esta edic in tiene mucho en co mn con la edicin anterior, se trata de una
revisin sustancial. g e intentado ma ntener la claridad
y
el estilo de la edicin
previa,
y
a la vez reflejar las necesidades cam biantes de una nueva generacin de
estudiantes. Con esta intencin hepuesto en prctica varias recomendaciones
hechas por el Linear Algebra Curriculum
Study
Group. Tam bin he hecho algu-
nos cam bios de organizacin q ue deben facilitar a los instructores cubrir
los
fun-
dam ento s de odos los tem as esenciales, inclusive con severas restricciones de
tiempo. Posteriorme nte, en este prlogo se presen ta una descripcin de
los
cam-
bios captulo a captulo, aunque a continuacin se presenta unresumende los
cam bios ms importantes:
Ma yor nfasis en las relaciones que hay entr e
los
conceptos: Uno de los
objetivos importantes de un curso de lgeb ra lineal
es
establecer la tram a
7
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intrincada de las relaciones que hay entre sistemas de ecuaciones, matrices,
determinantes, veclores. transformaciones lineales
y
eigenva lores. En esta
edicin. la trama de relaciones se desarrolla a travs del siguiente
crescendo de teoremas que vinculan cada nueva idea con ideas precedentes:
1.5.3,
1.6.4.
2.3.6,
4.3.4,
63.9. 6.2.7,
6.4.5
y 7.1.5.
Estos teoremas no slo
hacen ms coherente el panorama algebraico, sino tambin sirven como
fuente constante de repaso.
Transicin m b uavehacia aabstraccin:La transicin de
R"
a es-
pacios vecloriales generales es traumtica para casi todos los estudiantes.
de modo que he intentado suavizarla analizando R n en detalle, recalcando
los conceptos geomtricos subyacentes antes de proceder con el estudio de
espacios vectoriales generales.
Exposicin tem prana de transform acion es lineales
y
eigenvalores:
A fin
de asegu rar que el m aterial sobre transformaciones lineales
y
eigenvalores
no se pierda al
final
del curso,
algunos
de los conceptos bsicos que se re-
lacionan con tales temas se desarrollan ms pronto en el texto y luego se
repasan cuand o el tcma se desarrolla con mayor profundidad en la parte
final del texto. Por ejemplo, las ecuaciones caractersticas se analizan
brevemente en la seccin sobre determinantes. Las transformacioncs linea-
les de H a R'" se abordan inmediatamente despus que se introduce K .
y
se analizan ms tarde enel contexto de las transformac iones linealcs
gencrales. Estos repasos ayudan a asegurar que los estudiantes se ramiliari-
cencon
los
fundanlen tos de todos os temas ms impo rtantes, inclusive
cuando el tiempo apremia.
M ayo r nfasis en la concep tualizacin: Para mantener el inters actual
cn la conceptualizacin y en las aplicaciones crecientes del lgebra lineal a
las grficas, he puesto mayor nfasis en los aspectos geomtricos de las
rotaciones. proyecciones y reflexiones en y en R 3 .
Nuevo material sobre mnimos cuad rados y descomposicin
QR:
Seha
aadido nuevo m aterial sobre mnimos cuadrados
y
descomposicin QH, n
respuesta al inters creciente en estos temas.
Msdem ostraciones: Se han aadidovarias demostraciones que antes
haban sido om itidas. Todas las demostraciones en lexto han sido
escritas en un estilo adecuado para principiantes. y se ha puesto especial
cuidado a fin de asegurar que el carcter accesible y amable del texto no
haya sido afectado de m anera adversa por
las
demostraciones adicionales.
Quienes deseenun curso matemticamente ms forrnal encontrarn que
esta nueva edicin
es
ms idnea para tal efecto. y quienes deseen un curso
ms conceptual tendrhn mayor eleccin en las dem ostraciones.
DETALLES
DE
LOS CAMBIOS DE
ESTA
EDICIN
La amplia aceptacin de la edicin anterior ha sido muy gratificante.
y
apre-
cio las sugerencias constructivas recibidas de parte de los usuarios y revisores. Se
han
revisado algunas secciones del testo para presentarlas con
ms
claridad,
y
se han
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erectuando cambios sustanciales ente1 contenido
y
su OrgallhCin, e n rcspuesta a
las sugerencias tan to de
los
usua rios como d e los revisores. as como de las cCO-
mendaciones he chas por el Linear Algebra
('urriculum S t u d y
( ; r o u p .
Hay muchas forma s en las que es posible ordenar el material en un curso de
algebra lineal:el ordenam iento que he elegido para 10s captulos refleja m i in-
clinacin por el axioma de que
es
necesario proceder de 10 conocido 21 10 des-
conocido y de lo concreto a lo abstracto.
A
continuacin se presenta un resumen captulo a captulo de
10s
cambios
ms im portantes en esta nueva edicin.
Captulo 1. Se presenta una nueva seccin sobre matrices de forma espc-
cial: diagonal, triangular y simtrica. Al modificar ligeramente el material.
no se increment
el
nmero de secciones de este captulo.
Captulo
2.
A
este captulo determinante se ha aadido nuevomaterial
introductorio sobreeigenvalores,eigenvectores y ccuaciones caractersti-
cas. Este material se repasa
y
posteriormente se analiza con ms detalle en
el captulo 7. Se ha aadido la demostracin de la igualdad det(AR) =
det(A)det(B).
Captulo
3. Se
presenta nueva informacin sobre ecuaciones vectorialcs
de rectas y planos,
y
la interpretacin geomktrica de
los
determinantes 2 x
2 ~ 3 x 3 .
Captulo 4. Este es unnuevo captulo dedicado exclusivam ente a
R".
Se
desarrollan conceptos fndamentales y se presenta una introduccin
a
las
transformaciones lineales de Rn
a
R"'. recalcando el aspecto geomtrico dc
las proyecciones,otaciones y reflexiones.
A
diferencia de la edicin
anterior, este material se presenta ahora
antes
del desarrollo de los espacios
vectoriales generales. El material de este captulo s e analiza ms tarde, en
el conte sto de espacios \,ectoriales generales.
Captulo
S.
Este captulo corresponde al captulo
4
d e
l a
edicin anterior.
Se han a adido muchas de las demostraciones que se haban om itido.
Tam-
bin se presenta nuevo material sobre el wronskiano, para quienes han cs-
tudiado Clculo,
y
se incluye nuevo material sobre los cuatro espacios fun-
damentales de unamatriz.
Captulo
6. Este
captulo corresponde al captulo 5 de la edicin anterior.
Se presenta nuevo material sobre complementos ortogonalcs. descomposi-
cin QR y mnimos cuadrados.
Captulo
7. Este captulo corresponde
a l
captulo
6
de
la
edicin anterior.
Se ha repasado el material desarrollado antes sobre eigenvalores y elgen-
vectores. Se incluye nuevo material sobre las multiplicidades geomtrica
y
algebraica. as como una ex plicacin me jorada sobre los requisitos para la
diagonalizacin.
Captulo
8.
Este captu lo correspondeal captulo 7 d e
l a
edicin an-
terior. El material se ha vuelto a escribir sustancialmente. a fin de reflejar
el hecho de que las transformaciones lineales de
R n
a
Hm
se introduje-
ron en el captu lo 4.
Captulo
9.
Este captulo corresponde
al
captulo 8
y
a las secciones 9. I y
9.2 de la edicin anterior. Se ha vuelto
a
escribir
la
seccin obre la
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10 Prlogo
geometra de los operadores lineales so bre R 2 para poder fundamentar los
conceptos desarrollados en l a seccin 4.2.
Captulo
10.
Este captulo c orresponde al captulo
7
de la edicin anterior.
Los
cambios son m enores.
ACERCA
DE LOS
EJERCICIOS
En todos los ejercicios de cad a seccin se em pieza con problem as de rutina, se
avanza hacia problemas
ms
sustanciales y se concluye con problem as ericos.
AI
final de casi todos los captulos se presenta un conjunto de ejercicios com pleme n-
tarios que pueden presentar ms dificultad y forzar al estudiante a extraer ideas de
todo un captulo, en vez de hacerlo solame nte de una eccin especfica.
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GUA
PARA
EL INSTRUCTOR
PARA UN CURSO NORMAL
He revisado una gran cantid ad de posibilidades para cu rsos de lgebra lineal. La
variacin entre las instituciones es amplia, aunque los cursos tienden a caer en dos
categoras: una que consta de entre 20 y 30 lecciones (excluyendo los exmenes y
los repasos)
y
otra que consta de entre
35
y 40 lecciones (excluyendo los exmenes
y los repasos). Con base en m i anlis is de estas posibilidades. he proporcionado
dos patrones para elaborar un curso propio.
Los
patrones se deben ajustar a fin de
reflejar los intereses y requisitos propios, aunque deben ser tiles como punto
de partida. En el patrn largo se supone que se cubren todas las secciones del
captulo, y en el patrn corto se supone que el instructor selecciona material para
ajustarse al tiempo disponible.
Dos cambios en la organizacin del texto facilitan la construccin de cursos
ms cortos: la breve introduccin a los eigenvalores y eigenvectores que se pre-
senta en las secciones 2.3 y 4.3 y la colocacinprevia de las transformacion es
lineales de R" a
Rm
en el captulo 4 . Estos cambios aseguran que el estudiante se
familiarice unpococon estos conceptos fundam entales, inclusive si
el
tiempo
disponible para abordar los captulos
7
y S es limitado. Observ tambin que los
estudiantes que ya conocen el material pueden o mitir el captulo 3 sin prdida de
continuidad.
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12 Gua para
el
instructor
Captulo
1
Captulo
2
Captulo
4
Captulo S
Captulo 6
Captulo 7
Captulo 8
Total
Patrn largo Patrn
corto
7
lecciones
4
lecciones
3
lecciones
X lecciones
6
lecciones
4 lecciones
6 lecciones
38
lecciones
6 lecciones
3
lecciones
3
lecciones
7 lecciones
3 lecciones
3
lecciones
2
lecciones
27 lecciones
VARIANTES DEL CURSO NORMAL
Son posibles muc has variantes del cu rso normal. Por ejemplo. es posible crcar un
patrn largo opcional siguiendo la asignacin de tiempo del patrn corto y
dedicando las 11 lecciones restantes a algun os dc
los
temas de los cdphlO S
9
y 1 0 .
CURSO ORIENTADO A APLICACIONES
El
captulo 9 contiene aplicaciones selectas de lgebra lineal que son esencial-
mente de naturaleza matem tica. Los instructores interesados en una variedad ms
am plia de aplicaciones pueden cons iderar la otra versin de este texto, Elementary
Linear Algebra, Aplications Version. de Howard Anton y Ch ris Rorres. En esc
texto se proporciona n num erosas aplicaciones a los negocios. biologa, ingeniera.
economa. ciencias sociales y ciencias fsicas.
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I
t AGRADECIMIENTOS
1
la til orientacin proporcionad a por las siguientes personas:
Y COLABORADORES DE EDICIONES ANTERIORES EN INGLS
University
of
Michigan-Flint
.
S.
Ballantine,
Oregon State University
University
of
Idaho
A.
Brown, University
of
Maine
Western Michigan University
as Cairns, University of Tulsa
University of Akron
University of British Columbia
Iowa State University
University of Michigan
Dalhousie University
University
of
Florida
University of Massachusetts
S. Engelsohn, Kingshorough C omm . College
University ofH ous ton
San Jose State University
University of South A labama
E. Flesner, Gettysburg College
Vanderbilt University
Rose-Hulman Institute
William W. Hager, University
of
Florida
Collin
J.
Hightower,
University
of
Colorado
Joseph F. Johnson, Rutgers University
Robert L. Kelley, University of Miami
Arlene Kleinstein
Myren Krom, Calforn ia State University
Lawrence D. Kugler, University
of
Michigan
Charles Livingston, Indiana University
Nicholas Macri, Temple University
Roger H. M arty, Cleveland State University
Patricia T. McAuley, SUNY-Binghamton
Robert M. McConnel,
University
of
Tennessee
Douglas McLeod, Drexel University
Michael R. Meck, Southern Connecticut State Univ.
Craig Miller, University of Pennsylvania
Donald P. M inassian, Butler University
Hal G. Moore, Brigham Young University
Thomas E. Moore, Bridgewater State College
Robert W . Negus, Rio Hondo Junior College
Bart S. Ng, Purdue University
13
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I- I Agradec.citrrientos
James Osterburg,
University of Cincinnati
William.rench,
Trinity University
MichaelA.Penna, Indiana-Purdue University Joseph L. Ullman, University of M ichigan
Gerald J.Porter, University of Pennsylvania W. VanceUnderhill, East Texas State University
F. P. J . Rimrott, University qf Toronto James R. Wall, Auburn University
C. Rayosentrater, Westmont College Arthur G. Wasserrnan, University of Michigan
KennethSchilling, University of Michigan-Flint Evelyn J. Weinstock, Glassboro State Co llege
William Scott, University of Utah Rugange, Stanford University
Donald R. Sherbert, University of Illinois Frankorzitto, University of Waterloo
Bruce Solomon,
Indiana University
Daniel Zwick,
University of V ermont
Mary T. Treanor, Valparaiso University
REVISORESY COLABORADORESDE
L A
SPTIMA EDICIN EN INGLS,
SEGUNDA
EN
ESPAOL
Mark B. Beintema,
Southern Illinois University
Paul Wayne Britt, Louisiana State University
David C. Buchthal, University of Akron
Keith Chavey, University of Wisconsin-River Falls
Stephen L. Davis, Davidson College
Blake DeSesa, Drexel University
Dan Flath,
Uniwrsity of South Alabama
Peter Fowler,
California State University
Marc F rantz, Indiatza-Purdue University
Sue Friedman, Bernard M. Baruch Co llege, CUNY
William Golightly,
College
qf
Charleston
Hugh Haynsworth, College q f Charleston
Tom
Hem, Bow ling Green State University
J . Hershenov, Queens College. CUNY
Steve Hum phries, Brigham Young Universitt3
Steven Kahan, Queens College, CUNY
Andrew
S.
Kim,
Westfield State College
John C. Lawlor, University
of
Vermont
M. Malek, California State University at Huyward
J. J. Malone,
Worcester Polytechnic Institute
William McWorter, Ohio State University
Valerie A. M iller, Georgia State University
Hal G. Moore, Brigham Young University
S. Obaid, San Jose State University
Ira J. Papick, University of Missouri-Columbia
Donald Passman, University
of
Wisconsin
Robby Robson, Oregon State University
David Ryeburn,
Simon
Fraser University
Ramesh Sharma, University of New Haven
David A . Sibley, Pennsylvania State University
Donald Story, Universio,of A k r o n
Michael Tarabek, Southern Illinois University
SOLUCIONES
A
LOS PROBLEMAS, LECTURA DE PRUEBASE INDICE
Michael Dagg,
Numerical Solutions, Inc.
Susan
L.
Friedman,
Bernard M. Baruch C olleg e, CUN Y
M ar ee n Kelley, Northern
Essex
Comm unih. College
Randy Schwartz, Schoolcraft College
Daniel T raster
(Stud ent), Yale Universio.
COMPLEMENTOS
Benny Evans, Oklahoma State University
Charles A. Grobe, Jr.,
Bowdoin
College
-
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Agradecimientos / 15
Elizabeth M. Grobe
IntelliPro, Inc.
Jerry Johnson, Oklahoma State University
Randy Schw artz, Schoolcraft College
COLABORADORES
Un agradecimiento especial a
los
siguientes profesores, quienes leyeron
profundamente el material del texto e hicieron contribuciones significativas a la
calidad del nivel matemtico
y
de exposicin:
Stephen Davis, Davidson C ollege
Blaise DeSesa, Drexel University
Dan Flath,
University
of
South A labama
Marc Frantz, Indiana-Purdue University
William McW orter, Ohio State University
Donald Passman, University of Wisconsin
David Ryeburn, Simon Fraser University
Lois Craig Stagg, University of Wisconsin-Milwaukee
Tambin deseo expresar mi agradecimiento a:
Barbara Holland, mi editora, quien me ayud a moldear al concepto de esta
nueva edicin y cuyo entusiasmo incluso convirti en divertido el arduo tra-
bajo (alguna vez).
Ann Berlin, Lucille Buonocore
y
Nancy Prinz del Departamenro de Produc-
cin de Wiley, por preocuparse tanto por la calidad de este trabajo
y
propor-
cionarme un apoyo extraordinario.
Lilian Brady, cuyoojo para los detalles y sentido esttico infalible mejor
grandemente la exactitud del texto
y
la belleza de la tipografa.
Joan Carafiello
y
Sharon Prendergagst por su soberbio trabajo en la coordina-
cin de la mirada de detalles que mgicamente produjeron las respuestas y
los complementos a tiempo.
El grupo en Hudson River Studio
por
tratar con tanto tacto a un autor rigu-
roso.
Mildred Jaggard, mi asistente, quien co ordin todos os detalles del exto
desde la lectura de pruebas hasta el ndice con pericia consumada, y quien pa-
cientemente toler mi idiosincrasia.
HOWARDNTON
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1
LO 2
LO 3
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES 21
l . l . Introduccin a los sistemas de ecuaciones lineales 2 1
1.2.Eliminacingaussiana 29
1.3. Matrices y operaciones con m atrices 47
1.4. Inversas: Reglas de la aritmtica de ma trices 61
1.5. M atrices elementales
y
un mtodo para determ inarn"
75
1.6. Otro s resultados sobre sistemas de ecuaciones e inve rtibilidad 85
1.7. Ma trices diagonales, triangulares
y
simtricas 94
DETERMINANTES 107
2.1.
La
funcindeterminante 107
2.2. Evaluacin de determinan tes por reduccin de renglones 115
2.3. Propieda des de la func in determinan te 121
2.4. Desarrollo
por
cofactores; Regla de Cram er 13 1
VECTORES EN LOS ESPACIOS BlDlMENSlONALY
TRIDIMENSIONAL.
149
3. l . Introduccin a los vectores (geom trica) 147
3.2. Norma de un vector; Aritm tica vectorial 159
3.3 .
Producto punto: Proyecciones165
17
-
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3.4 . Producto cruz 175
3 .5 .
Rectas
y
planos en el espacio tridimensiona l 189
CAPITULO 4 ESPACIOSECTORIALES EUCLIDIANOS 203
4. l . Espacio euclidiano n dimensional 203
4.2. T ransformaciones lineales de R" a R m 218
5.3 . Propiedades de las transformaciones lineales de
R"
a
R m
239
CAPTULO
5
ESPACIOS VECTORIALESGENERALES 257
5.
1.
Espaciosvectoriales eales257
5.2. Subespacios65
5.3 .
Independenciaineal 77
5.4. Base y dimensin 287
5.5 . Espacio rengln. espacio columna y espacio nulo 306
5 .6 .
Rango y nulidad322
CAPTULO 6 ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR 339
6.1. Productos interiores 339
6.2 . ngulo
y
ortogonalidad en espacios con producto interior 353
6 .3 . Bases ortonormales: Proceso de Gram-Schm idt; Descomposicin QR
6.4 . Mejoraproximacin: Mnim os cuadrad os 384
6.5 . Matricesortogonales:Cambio de base395
3
67
CAPTULO 7 EIGENVALORES,IGENVECTORES1 5
7. l . Eigenvalores
y
eigenvectores 4 15
7.2. Diagon alizacin 426
7.3 . Diagonalizacin ortogonal 37
CAPTULO 8 TRANSFORMACIONES LINEALES 447
8 .
I ,
Transformaciones lineales generales 447
8.2 . Ncleo y recorrido461
8. 3, Transformaciones lineales inversas 468
8.4. Matrices de transformaciones ineales generales 478
8.5. Semejanza 595
-
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Contenido / 19
9 TEMASOMPLEMENTARIOS 513
9. l . Aplicacion es a las ecuaciones diferenciales
S
13
9.2. Geom etra de
los
operadores lineales sobre
R 2
521
9.3. Ajuste de datos por m nimos cuadrados 535
9.4. Problem as de aproxim acin: Series de Fourier 543
9.5.Formas cuadrticas 55
1
9.6. Diago nalizacin de forma s cuadrticas; Secciones cnicas 561
9.7 . Superficies cudricas 574
9.8. Com paracin de procedim ientos para resolver sistemas lineales S79
9.9 . Descomposiciones LU 589
VECTORIALESCOMPLEJOS 601
10.1. Nmeros omplejos 601
10.2. Mdulo;Conjugadocomplejo;Divisin 610
10.3. Forma
polar; Teorem a de De Moivre 617
10.4. Espacios vectoriales complejos 628
10.5. E spacios complejosconproducto interior 637
10.6. Matrices unitarias, norm ales y hermitianas 647
A LOS EJERCICIOS 661
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CAPTULO I
~ SISTEMAS DE
ECUACIONES
LINEALES
Y
MATHCES
I
INTRODUCCIQN
A
LOS SISTEMAS
DE
ECUACIONES
LINEALES
El estudio de los sistemas de ecuaciones lineales
y sus
soluciones es
uno
de los
tem as m s importantes del lgebra lineal. En estasecci n se introducir ter-
minologa bsicay se analizar un metodo para resolver esos sistemas.
Una recta en el plano xy puede representarse algeb raicamen te porunaecuacinde
la forma
u I x+ a,y =
b
Una ecuac in de este tipo se denom ina ecuacin lineal en las variables
x
y y . De
manera ms general, una
ecuacidn ineal
en las
n
variables x,, x2,. . . ,
xn
se
define como una ecuacin quese puede expresar en la form a
U , X ,
+
a 2 x 2
+
. . .
+
U , X ,
=
h
donde a l , a 2 , .
.
. , a,, y b son constantes reaies. Las variables en una ecuacin
lineal algunas veces se denom inan incgnitas.
Ejemplo
1
Las ecuaciones siguientes son lineales:
x + 3 y = 7x ,
-
2x,
-
3 x , + x = 7
y = + x + 3 z +
1
x , + x * + . . . + x x , = l
21
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1.I
Introduccin a
los
sistemas de ecuaciones lineales
I 23
Un conjunto finito d e ecuaciones lineales en las variables x, , x,, . . ., x,, se de-
nomina sis tema de ecuaciones l ineales o sistema lineal. Una sucesin de n-
meros S, ,
S,,.
. . , S, se denomina solucin del sis tem a si
x1
= sl, x,
= S,,
. . . ,
S,, =
xn
es una solucin de todas
y
cada una de las ecuaciones del sistema. Por ejemplo,
el sistema
4x, - x * + 3x, = - 1
31, +
x2
+
9x, =
- 4
tiene la solucin x,
=
1, x2
=
2,
x3
= -1, ya que estos valores satisfacen am bas
ecuaciones. Sin embargo, x1 = 1, x, =
8,
x3 = 1 no es una solucin, ya que estos
valores satisfacen slo la prim era de las dos ecuaciones del sistema .
No todos los sistem as de ecua cione s lineales tienen so lucin. Por ejemplo, si
la segunda ecuacin el siguiente sistema
x +
y = 4
2 x + 2 y = 6
se multiplica por
i ,
esulta evidente que no existen soluciones, ya que el sistema
equivalente obtenido
x
+ y
= 4
x + y
=
3
est comp uesto por ecuaciones contradictorias.
Se dice que un sistemade ecuaciones que no tiene soluciones es inconsisten-
t e ;
si existe por l o menos una solucin del sistema, ste se denomina
consistente.
Para ilustrar las posibilidades que pueden ocurrir al resolver siste mas de ecua-
ciones lineales, se considerar un sistema generalde dos ecuacion es lineales en las
incgnitas x y y:
u , x + b , y = c ,
( a , , b ,
n o s o n c e r o a l a v e z )
a 2 x +
b,y
= c2
( a z ,6,
no son cero a la ve z)
Las grfkas de estas ecuaciones sonrectas; por ejemplo I , y I,. Como un punto (x,
y)
pertenece a una recta
s
y slo si los nmeros
x
y
y
satisfacen la ecuacin de la
recta, las soluciones del sistemade ecuaciones correspondena lospuntosde
interseccin de 1 y I,. Existen tres posibilidades (figura 1):
Las rectas
I ,
y
1
pueden ser paralelas, en cuyocasonose cortan
y,
en
consecue ncia, no existe solucin del sistema.
Las rectas I , y I, pueden cortarse slo en un punto, en cuyo caso el sistem a
tiene exactamente unasolucin.
Las rectas
I ,
y 1 pueden coincidir, en cuyocasohayuna infinidad de
puntos de interseccin y, por tanto, existen infinidad de solucionesdel
sistema.
-
8/10/2019 H.anton a.lineal- Introduccion al Algebral Lineal
21/709
24
Sistem as de ecuaciones lineales y matrices
Aun que aqui slo se han considerado dos ecuaciones en dos incgnitas, ms tarde
se demostrar que las mism as tres posibilidades se cu mplen para sistemas lineales
arbitrarios:
Todo sistema de ecua ciones ineales no tienesoluciones, iene exactamente
una solucin o tiene una injinidad de soluciones.
a)
Figura 1 No existe solucin
I M d a d
de soluciones
I
Un sistema arbitrario de m ecuaciones lineales en n incgnitas se puede escribir
como
umlxl
+ am2x2+ . . . + a m n x ,=
b,
donde xl, x2,. . . , x, son las incgnitas y las letras a y
b
con subindices denotan
constantes. Por ejemplo, un sistema general de tres ecuaciones lineales con cuatro
incgn itas se puede escribir como
Los sub indic es dobles en los coeficientes de las inc gnitas constituyen un
mecanismo til que se utiliza para especificar la ubicacin del coeficiente en el
sistema.
El
primer subndice en l coeficiente
ay
indica la ecuacin en que parece
el coeficiente, y el segun do subndice indica a qu incgnita multiplica. A s, aI2
est en la primera ecuacin multiplica a la incgnita x2.
-
8/10/2019 H.anton a.lineal- Introduccion al Algebral Lineal
22/709
l . Introduccin a los sistemas de ecuaciones lineales I 25
Si mentalmente se ubica a
los
signos +, las letras x
y
los Signos =, entonces
un
sistema de m ecuaciones lineales con
n
incgnitas puede abreviarse al escribir
slo
el arreglo rectangular de nmeros:
a12
a22
am2
. . .
. . .
. . .
a
In
a
2"
amn
Este arreglo se denomina mutriz
aumentada
del sistema. (El trmino matriz se usa
en matem ticas para denotar un arreglo rectangular de nmeros. Las matrices
surgen en muchos contextos que sern con sidera dos con m s detalle en secciones
ulteriores.) Por ejemplo. la matriz aumentada el sistema de ecuaciones
x1
+
x2
+
2x3
=
9
2x,+
4x2
- 3x3 = I
3x1 + 6x2 - 5x3 = O
es
O B S E R V A C I ~ N .
AI
elaborar una matrizaum entad a, las incgnitas deben escri-
birse en el mismo orden en cada cuacin.
El
mtodo bsico para resoiver un sistem a de ec uacion es lineales es sustituir
el sistem a d ado por un nuevo sistem a q ue te nga el mismo co njunto solucin, pero
que sea m s fcil de resolver. E ste nuevo sistem a suele obtene rse en una serie de
pasos me diante la aplicacin de los tres tipos de opera cione s siguientes para eli-
minar incgnitas de manera sistemtica.
1. Multiplicar una ecu acin por una co nstante diferente de cero.
2. Intercambiar dos ecuaciones.
3. Sumar un mltiplode una ecuacin a otra ecuacin.
Dado que
los
renglones (lneas horizontales) de una
matriz
aumentada corres-
ponden a las ecuaciones en el sistema asociado, las tres operaciones mencionadas
corre spond en a las siguientes operac iones efectuadas en
los
renglones de la m atriz
aumentada.
1.
M ultiplicar un re ngln por una cons tante diferente de cero.
2.
Intercambiar dos renglones.
3. Sumar un mltiplo de un rengln a otro rengln.
-
8/10/2019 H.anton a.lineal- Introduccion al Algebral Lineal
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26
/
Sistemas de ecua cion es 1ineales.y matrices
OPERACIONES Las tres ope raciones anteriores se denominan operacioneselementales en los ren-
ELEMENTALES glones. En el siguiente ejemplo se ilustra
cmo
se pueden usar estas operaciones
EN LOS para resolver sistemas
de
ecuaciones lineales. Comona siguiente seccin se
RENGLONES obtendr
un
procedimiento sistemtico paradeterm inar soluciones, no es necesario
preocuparse sobre cmo se eligieron los pasos en este ejemplo. El esfuerzo prin-
cipal en este caso debe dedicarse a co mpren der los clculos
y
el anlisis.
Ejemplo 3 En la columna izquierda quese mues tra a continuacin se resuelve un
sistema de ecuaciones lineales operand o sobre las ecuaciones del sistema,
y
en la
column a de la d erecha el mismo sistema se resuelve operando sobre los renglones
de la matriz aumentada.
x + y + 2 z = 9
2X + 4y - 32 = 1
3~
+
6-v
-
5~
= O
Sumar - 2 veces la primeraecuacin a la
segunda pa ra obtener
x +
y + 2 z = 9
2 y - 7 ~ ~
1 7
3~ + 61' - 2 = O
Sumar
-3
veces la primera cuacin la
tercera p ara obtener
x +
y + z = 9
2 ~ - Z = 1 7
3 ~ -I z =
- 2 7
Multiplicar
la
segunda ecuacin por
1/2
para
obtener
x + y'+
2 z =
9
v -
S z =
7
3~ - 1
I Z =
- 2 7
Sumar -3 veces
la
segundaecuacina la
tercera para obtener
x + , y +
2 2 =
9
y - $ z = "
1 7
-
1" 3
2' - 2
Multiplicar a erceraecuacinpor
-2
para
obtener
x + y +
2z
=
9
v ?
2 Z
7 2
z =
3
[:
4 - 3 '1
2
3 6 - 5 O
Sumar -2 veces l rimerengln al se-
gundo para obtener
Sumar -3 veces el primer rengln al tercero
para obtener
2
o
2
- 7
"1
a
1
- 1 1
- 2 7
Multiplicar el segundo englnpor
1/2
para
obtener
Sumar - 3 veces el segundo rengln al tercero
para obtener
Sumar el tercer rengln por 2 para obtener
1 2 9
[; -;
-;1
-
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-
8/10/2019 H.anton a.lineal- Introduccion al Algebral Lineal
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28 Sistemas de ecuaciones lineales
.y
marices
b) Demostrar que
x = t , y =
if- tambin
es
la solucin general de la ecuacin del
inciso a).
7.
La curva
y = ax2 + bx +
c de la figura
2
pasa por los puntos (x1,
,) ,
(x2,
y , ) y ( x 3 ,yJ.
Demostrar que los coeficientes
a, b y
c son una solucin del sistema de ecuaciones
lineales cuya matriz aumentada es
8. Para qu valorirs) de la constante k el siguiente sistema de ecuaciones lineales no
tiene soluciones? exactamente una solucin'? infinidad de soluciones?
x - y = 3
2~
-
2y
=
k
9. Considerar el sistema de ecuaciones
ax
+ b-v = k
cx
+ dy = I
ex +
fy = n:
Analizar las posiciones relativas de las rec tas
ax + by = k , cx
+
4v
=
1
y
ex + f i =
m
cuando el sistema
a ) no tiene soluciones.
b) tiene exactamente una solucin.
c) tiene infinidad de soluciones.
10.
Demostrar que si el sistema de ecu aciones del ejercicio
9
es consistente, entonces del
sistemaesposibleeliminar
por l o
menosunaecdacinsinmodificarelconjunto
solucin.
11.
Sean
k =
I
= m = O
en el ejercicio
9;
demostrar que el sistema debe ser co nsistente.
iQuC se puede decir del punto de nterseccin de as res rectas si
el
sistema iene
exactamente una solucin?
12.
Considerar
el
sistema de ecuaciones
x + v + 2 z = a
x
+
z = b
2 x + y + 3 z = c
Demostrar que para que este sistema
ea
consistente,
a, b y
c deben satisfacerc
= a +
b
13.
Demo strar lo siguiente: Si las ecuaciones lineales
x,
+
kx, = c y
x,
+
Ix, = d
tienen el
mismo conjunto solucin, entonces las ecuaciones son idnticas.
-
8/10/2019 H.anton a.lineal- Introduccion al Algebral Lineal
26/709
1.2
Eliminacin gaussiana
/
29
1.2 ELIMINACINGAUSSIANA
En esta seccin se dar
un
procedim iento sistemtico para resolver sistemas de
ecuaciones lineales; el mtodo se basa en la idea de red ucir la matriz a umen tada
a una form a sujicientemente simple para que el sistema de ecuaciones se pueda
resolver po r inspeccin.
FORMA En el jemplo 3 de la seccin recedente, l sistem a lineal se resolvi al reducir la
ESCALONADA
matrizumentada
REDUCIDA
a partir de lo cual la solucin del sistema era evidente. Este es un ejemplo de una
matriz que est en
for ma escalonada reducida.
Para que una matriz sea de esta
form a. debe tener las siguientes propiedades.
1. Si
un
rengln no consta completamente de ceros, entonces el primer nme ro
diferente de cero en el renglnes un
1.
(Que se denomina1principal.)
2. Si ha y renglones que constan completamente de ceros, se agrupan en la
parte inferior de la ma triz.
3.
En
dos renglones consecutivos cualesquiera que
no
consten completamente
de ceros, el
I
principal del rengln inferior aparece
ms
a la derecha qu e el
1
principal en el rengln superior.
4. Cada columna que contenga un I principal tiene ceros en todas las dems
posiciones.
Se dice que una matriz con as propiedades
1, 2 y
3 (pero no necesariamentecon la
propiedad
4)
est en
for m a escalonada.
Ejemplo
1
Las siguientes matrices estn en forma escalonadareducida.
[ I O O 4 1
[ I
O O]
[:
A
-:
y
I]
o
1
o
7 ,
0 1 0 ,
o
o 1 - 1
0 0 0 0 0
[:
:]
O o l o o o o o
Las siguientes matrices estn en forma escalonada
-
8/10/2019 H.anton a.lineal- Introduccion al Algebral Lineal
27/709
30 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
El lector debe verificar que cada una de las m atrices anteriores satisface todos los
requisitos necesarios.
O R S E R V A C I ~ N .
Segnelejemplo precedente, unamatrizen ormaescalonada
tiene ceros abajo de cada
1
principal, mientras que una matriz en forma escalo-
nada reduc ida tiene ceros tanto arriba como abajo de cada 1 principal.
Si, por m d o de una serie de operaciones elementales enos renglones,
se
llega a
la forma escalonada reducida a partir de la matriz aumentada de un sistema de
ecua-
ciones lineales, entonces el conjunto solucin del sistema
er
evidente por inspeccin
o
al cabo de unos cuantos pasos simples. Este
echo
se ilustra conel siguiente ejemplo.
Ejemplo 2
Suponer que la m atriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales
se ha reducido por operaciones en
los
renglones a la form a escalonada reducida
dada. R esolver
el
sistema.
1 0 0
b) [O 1 0 2
O 0 1 3 2
1 6 o o
4 - 2
c )
O 0 0 1 5 2
o 0 0 0 0 0
Solucin a).
El
sistema de ecuaciones correspondiente es
X I
= 5
x3 = 4
x2
-
- 2
Por inspeccin se obtiene que
x1
=
5 ,
x2 = -2, x3 =
4
So/ucin
6).
El sistem a de ecuaciones corre spond iente es
X I + 4x,
=
- 1
x3 +
3X, =
2
.x2
+
2x,
=
6
Ya que xl,
x2
y x j corresponden a unos principales en la matriz aumentada, se
denominan
v a r i a b l e s p r i n c i p a l e s .
Las variables no principales (en este caso
x4)
se denominan
v a r i a b l e s l ib r e s . A l
expresar las variables principales en tr-
mino s de las variables libres se obtiene
XI = - 1 - 4x,
X)
=
2
-
3s,
x2
=
6
-
2 ~ ,
-
8/10/2019 H.anton a.lineal- Introduccion al Algebral Lineal
28/709
2 2 1 5 2 6
1.2
Eliminacin gaussiana
/ 31
A partir de esta forma de las ecuaciones se observa que a la variable libre
x4
se le
puede asignar algn valor, por ejemplo t , que luego determ ina el valor de las va-
riables principales xl, x2y
x3.
Por tanto, existe una infinidad de soluciones y la so-
lucin generalest definida por
las
frmulas
Solucin
c).
El sistema de ecuaciones corresp ondiente es
x,
+
6 x , + 4 x , = - 2
x3 + 3x5=
1
x,
+ SX,
=
2
Aqu las variables principales son x,,x3 y
x4,
y las variables libres son x2,y x5. Al
expre sar las variables principales en trm inos de as variables libres se obtiene
X, =
- 2
-
6x2
- 4x5
x3
=
1 - 3x5
x , = 2
-
5x5
Puesto que
x5
puede asumir un valor cualesquiera
t y
x2
puede asignarse un valor
S,
entonces existe una infinidad de soluciones. La solucin general est definida
por las frmulas
Solucin
d.
La ltima ecu acin en el sistema de ecuaciones cor res pon lent e es
ox,
+
ox,
+
ox, =
1
Como
no es posible que esta ecuacin se cumpla, entonces el sistema no tiene
solucin.
A
Se ha
visto cun
fciles esolver
un
sistemadeecuaciones ineales
una
vezque
su
matrizaumentada
se
escribe en
forma
escalonada educida. A continuacin
se
propor-
cionar
un
procedimiento paso a paso que puede
sarse
para expresar cualquier
matriz
en
forma
escalonada reducida.A me dda que
se
escriba
cada
paso del pr oo xh ien to,
se
ilustm
la idea
al
expresar la siguiente matrizn
forma
escalonada reducida.
0 0 - 2
o
2
4
-10
6 12
2 4 - 5
6 - 5 - 1
Paso 1. Localizar a columna de la izquierda que no conste completam ente
de ceros.
-
8/10/2019 H.anton a.lineal- Introduccion al Algebral Lineal
29/709
317 I/ Sistem as de ecuaciones lineales-vmatrices
0 0 - 2
o 7
2 4
-
10
6 12 If]
2
4
-5
6
- 5
- 1
Columna de la orilla izquierda diferente de cero
Paso
2.
Interca mbia r el rengln superior con otro rengln, en caso de ser ne-
cesario, para que en la parte superior de la columna determinada en
el paso 1 haya un elem ento diferente de cero.
2
4 -10
o
0 - 2
o 7 1 2
renglonesrimero
y
segundo
Paso
3.
Si el elemento que est ahora en la parte superior de la columna de-
termin ada en el paso
l
es
a ,
multiplicar el primer rengln por
l la
a
fin de introducir un 1 principal.
1 2 - 5 3
6
o 0 - 2
o 7
matrizrecedente
se
2
4
- 5 6
- 5
- 1
El
primer rengln de la
multiplic por 1/2.
Paso4. Sumar m dtip los adecuados del rengln superior a
los
renglones inferio-
res para queodos los elementos abajo de principal se vuelvan ceros.
1 2 - 5
3
o 0 - 2 o
7 precedenteeum
-2
veces
0 o
5
o -
El primer rengln de
la
matriz
Paso 5. A
continu acin, cubrir el reng ln superior de a ma triz
y
comenzar
de nuevo con el paso 1 aplicad o a la subm atriz restante. C ontinua r de
esta manera hasta que toda la ma triz est en forma escalonada.
1 2 - 5
3
o
0 - 2 0 7
O O
5
O
-1729
Columna de
l a
orilla izquierda
diferente de
cero
en l a submatriz
-
8/10/2019 H.anton a.lineal- Introduccion al Algebral Lineal
30/709
l . Eliminacin gauss iana / 33
1 2 - 5 3
0 0 1 0 "
O
O
5 O - 1 7 -29
1 2 - 5 3 6
o
o
1
o -;
0 0 0 0 ~ 1
1 2 - 5 3 6
o o 1 o -; ?I
0 0 0 0 ~ 1
A
El primer rengln de la
submatriz se m ultiplic
por
-
1/2 para introducir
un
1
principal.
submatriz se sum
-
veces '
al segundo rengln de la
submatriz para introducir un
cero abajo del 1 principal.
El
rengln superior de
la
submatriz se cubri, y se
volvi nuevamente al paso l .
Columna
de la orilla izquierda diferente
de cero en a nueva submatriz
1 2 - 5
3 El
primer
( y
nico)engln
o
o
1
0 0 0 0 1 2 introducirn 1 principal.
en la nueva submatrlz se
Ahora toda la matriz est en forma escalonada. Para determinar la forma escalo-
nada reducida es ecesario efectuar el siguiente paso adicional.
Paso 6. Empezando conel ltimo rengln diferente de cero y trabajando
hacia arriba, s umar mltiplo s adecuad os de cada rengln a los ren-
glones de arriba con objeto de introducir ceros arriba de os unos
principales.
1 2 - 5 3
6
0 0 1 0 0
precedente se sum 712 veces
0 0 0 0 1
1 2 - 5
3 o
0 0 1 0 0 sum -6 veces
al
0 0 0 0 1
1 2 0 3 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 1
El segundo rengln se
sum
5
veces al primer
rengln.
La ltima matriz st en forma escalonada reducida
El procedim iento anterior para expresar una m atriz en forma e scalonadae-
ducida se denomina eliminacin de Gauss-Jordan (vase la pg ina
34).
Si slo se
efectan los cincoprimeros pasos,el procedim iento se denom ina eliminacin
gaussiana
y
produce una formaescalonada.
*
-
8/10/2019 H.anton a.lineal- Introduccion al Algebral Lineal
31/709
34
1
istemas de ecua cione s lineales
y
matrices
O B S E R V A C I ~ N .
Sepuede demostrarque todamatrizieneuna form a esca-
lonada reducida nica ; es decir, se obtiene la misma fo rma escalonada reducida
de una matriz dada sin importar cmose hagan variar las operaciones en os
renglones. (U na dem ostracin de este hecho puede consultarse en el artculo "The
Reduc ed Row Echelon Form of a Matrix
is
Unique:
A
Simple Pro oy,
de Thomas
Yuster, Mathematics Ma gazine, Vol.
57,
No. 2,
1984,
pgs. 93
-94.)
En contraste,
una for m a escalonada de una matriz dada no es nica: diferentes secuencias de
operacion es en os renglones pueden producir formas escalonadas iferentes.
Ejemplo 3 Resolver por eliminacin de Gauss-Jordan
X ] + 3x, - 2x, + 2x,
= o
5x,
+
lox,
+
15x,
=
5
2x, + 6x2- 5x3 - 2x4 + 4x5 - 3x6 = -
2x, + 6x2 + 8x, + 4x,
+
18x, = 6
*Kar lFr iedr ich
Gauss
(1777-1855)
fue
u n
matemtico ientf ico lemn.Algunas eces
nombradoprncipe e
los
matemticos",Gauss es consideradounto con Isaac Newton y
Arquimedes como uno de los tres ms grandes matemticos que han existido. En toda la historia de
las matemticas quiz nunca ha habido un nio tan precoz como Gauss: segn cuenta
I
mismo, ya
dominaba las bases de las matemticas an antes de poder hablar. U n dia, cuando an
n o
tenia tres
aos de edad, su genio se manifest a sus padres de manera bastante elocuente.
Su
padre estaba
preparando la nmina semanal de los obreros a
su
cargo mientras el nio lo observaba en silencio
desde
u n
rincn de la habitacin.
AI
final de
los
clculos largos y tediosos, Gauss dijo a
su
padre
que haba
u n
error en el resultado y le dijo la respuesta, a la que haba llegado mentalmente. Para
sorpresa de sus padres, jal comprobar los clculos se dieron cuenta de que Gauss tena razn
En su disertacin doctoral, Gauss proporcion a primera demostracin completa del eorema
fundamental del lgebra, que establece que oda ecuacin polinmica iene cuando mucho.t antas
soluciones como su grado. A los 19 aos de edad resolvi un problema que desconcer t a Euclides:
inscribir
u n
polgono regular de 17 lados en una circunferencia usando slo regla
y
transportador; y
en 1801,a os24aos de edad,publicsuprimeraobramaestra,
Disqursrfrones Anfhrnetrc ae,
consrderada por muchos como uno de los logros ms brillantes en matemticas. En este documento,
Gausssistematiz el estudiode a eora de nmeros(propiedades de
los
enteros) y formul los
conceptos bsicos que constituyen os cimientos de ese tema.
Entre la multitud de
logros
alcanzados, Gauss descubri
la
curva "acampanada" o gaussiana que
es fundamental en probabilidad, proporcion a primera nterpretacin geomtrica de los nmeros
complejos y estableci el papel fundamental de stos en las matemticas, desarroll mtodos para
caracterizar superficies intrnsecamente or medio de las curvas contenidas n aqullas, desarroll la
teora del mapeo conforme (que preserva ngulos) y descubri la geometra n o euclidiana 30 aos
antes de que estas ideas fueran publ icadas por otros. En fisica realiz contribuciones esenciales a la
teora de las lentes y a la accin capilar, y junto con Wilhelm Weber realiz trabajo fundamentaln
electromagnetismo, Gauss invent el heliotropo, el magnetmetro bifilar
y
el electrotelegrafo.
Gausseraprofundamente eligiosoy ecomportabacomoaristcrata.Dominaba cilmente
otros diomas, eiabastanteydisfrutaba amineralogiay abotnicacomopasatiempos. N o le
agradaba dar clases y sola ser fro y poco alentador con otros matemticos, quiz porque ya haba
anticipado el trabajo e stos. Se hafirmado ue si Gauss ubiera ublicadoodos sus
descubrimientos, el estado actual de
las
matemticas habra avanzado 50 aos. Sin duda alguna es el
matemtico ms grande de la epoca moderna.
Wilhe lm Jordun (1842-1899) fue un matemtico alemn que se especializ en geodesia. Su
contribucina a esolucin de sistemas inealesapareci en su ibroconocido, H a n d b u c h der
I'errnessungskunde,
en 1888.
-
8/10/2019 H.anton a.lineal- Introduccion al Algebral Lineal
32/709
1.2
Eliminacin gaussiana
/ 35
La m atriz aumen tada del sistema es
AI
sumar
-2
veces el primer rengln a os renglones segundo
y
cuarto se obtiene
1 3 - 2
o
2
o o
o o - 1 - 2 o - 3 - 1
(I
O
5 1 0
0 1 5 5
L
O O 4 8 O 1 8 6
Al
multiplicar el segundo rengln por
-1 y
luego sumar
-5
veces el nuevo segundo
rengln
al
tercer rengln
y -4
veces el nuevo segundo rengln al
cuarto
rengln se
obtiene
O 0
O 0 0 6 2
Al
sumar
-3
veces
el
tercer rengln al segundo rengln
y
luego sumar
2
veces el
segundo rengln de la m atriz resultante
al
primer rengln
se
obtiene la forma
escalonada reducida
I
3 0 4 2 0 0
0 0 1 2 0 0 0
0 0 0 0 0 1 g
0 0 0 0 0 0 0
El sistema de ecuaciones corre spond ente es
x, + 3x, 4 4x,
+
2x, = o
x3
+
2x4
= o
X6
= Q
-
8/10/2019 H.anton a.lineal- Introduccion al Algebral Lineal
33/709
(Se
ha eliminado la ltima ecuacin.
Oxl
+ Ox,
+
Oxj +
Ox4 -t Ox, + Ox6 = O,
ya
que la s demris ccuaciones harn
que se
cumpla de manera automtica.) AI despejar
la,;
variables principalcs. se obtiene
Si
a
las variables libres x
x4. x5 se
asignan los valores arbitrarios
r . S
y
t.
respectivame nte. entonces la solucion genera l
est
dada por las frmulas
X , = -
3r
-- 4s - 2t , X?
=
Y , .x3 = - ~ , .x4 =
S, =
t.
X
=
f
A
RETRO- Ejemplo
4
Algunas Yeces es preferible resolver un sistema de ecuaciones lineales
S U S T I T U C I ~ N
por medio de la eliminacin gaussiana
a
fin
de expresar la matriz aumentada
en
forma escalonada sin continuar hasta obtener la forma escalonada reducida.
Cuando
se
hace lo anterior.
el
sistema de ecuaciones correspondiente
se
puede
resolver mediante una tcnica denominada
retrosustitucidn.
Para ilustrar
este
mtodo se usarh el sistema de ecuacione s del ejemplo 3.
Con base en
los
clculos
en
el
ejemplo
3.
una forma escalonada dc la matriz
aumentada
es
I
3 - 2
o 2 0 0
0 0 1 2 O 3 1
0 0 0 0 0 l g
o 0 0 0 0 0 0
Para resolver
el
sistema de ccuaciones correspondiente
se
procede como sigue:
Paso
1.
Despejar las variables principales en las ecuacione s.
I
.Yl = -3x, +
2x,
- 2x,
xi =
1
-
2.r,
-
3x,
x, = f
-
8/10/2019 H.anton a.lineal- Introduccion al Algebral Lineal
34/709
1.2
Eliminacin gaussiana
/
37
Paso 2. Empezandocon la ltimaecuacin
y
trabajandohacia atrs, sustituir
consecutivamente cada ecuacin enas ecuaciones anteriores.
Al sustituir x6 = 3 en la segu nda ecuacin se o btiene
x, = -3x, + 2x,
-
2x,
x j =
-
2x,
.X6
=
$
La sustitucin de x3
=
-2x, en la prim era ecuacin da
x,
=
-
3x,
-
4x,
- 2x5
x,
=
-2x,
x6 = $
Paso
3. Asignar valores arbitrarios a las variables libres, si hay algu na.
Si
a
xz.
x4
y
x5
se asignan valores cualesquiera r , S y t , respectivamente,
entonces
l a
solucin gene ral est definida por las frmula s
Lo anterior co ncuerda con la solucin obtenida enel ejemplo
3.
A
O B S E R V A C I ~ N .
Los
valores que se asignan a las variables libres se llaman
parmetros. Aunque para designar a
los
parmetros en generalse usarn las letras
r , s.
t ,
. .
,
, s posible usar cualquier letra que no cause problema con los nombres
de las variables.
Ejemplo 5 Resolver
x + y + 2 2 = 9
2x
+
4y - 32 =
1
3x +
6 , ~ 5~ =
O
por medio de la elim inaci n ga ussian a la retrosustitucin.
Solucin. Este es el sistem a del ejemplo
3
en la seccin 1 . 1 . En ese ejemplo se
convirti la matriz aumentada
-
8/10/2019 H.anton a.lineal- Introduccion al Algebral Lineal
35/709
38 ,/ Sistemas de ecuaciones lineales
y
matrices
a la forma escalonada
1 2 9
[;
- f
-y]
El sistema corresponhente asta matriz es
x + y + 2 2 =
9
- 2, = -17
z = 3
2
Al desp ejar las variables principales se obtiene
La sustitucin de la ecua cin nferior en las ecuaciones anteriores da
x = 3 - y
y = 2
z = 3
y
la sustitucin de la segunda ecuacin en la ecuacinuperior se obtiene
x =
1
y = 2
z = 3
Estoconcuerda conel resultado que se encontrmediante la eliminacin de
Gauss-Jordan enel ejemplo
3
de la seccin
l .
. A
SISTEMAS Se dice que un sistema de ecuac iones lineales es homogneo si todos los trmino
LINEALES constantes
son
cero; es decir, el siste ma esde la orma
HOMOGNEOS
a I l x ,+
a i 2 x 2
+ . . .
+ a , , x , = O
u2,x ,
+ a 2 2 x 2+ . . .
+ u2,x, =
O
amlxl
+
am2x2
+ . . .
+
amnx,= O
Todo sistem a de cuaciones lineales homogneo es consistente, ya que
U M
soluci n de todos estos sistem as
es
x1
= O, xz = O,
.
. . , xn = O .
Es ta solucin se
denomina
solucin trivial;
en caso de que haya otras soluciones, se denominan
soluciones
no
triviales.
-
8/10/2019 H.anton a.lineal- Introduccion al Algebral Lineal
36/709
1.2
Eliminacin gaussiana
i
39
Debido a que un sistema lineal homogneo siempre tiene la solucin trivial,
entonces parasus soluciones slo hay dos posibilidades:
El sistem a slo tiene la solucin trivial.
El sistema tiene infinidad de soluciones adems de la solucin trivial
En el caso especial de un sistem a lineal hom ogneo de dos ecua ciones con dos
incgnitas, por ejemplo
a , x + h , y = O
( a , , b , nosonceroalavez)
a 2 x + h2y
=
O
( a z , no son cero a la vez)
las g rfk as de las ecuaciones son rectas que pasan por el origen, y la solucin
trivial correspon de al punto de interseccin en el orige n (figura 1).
S Y
Av
Figura 1 I S I ~a solucin trivial I
I Infinidad de soluciones I
Existe
un
caso en el
cual
se asegura que
un
sistema homogneo tiene soluciones
no triviales, a saber, siempre que el sistema tenga
ms
indg ni tas que ecuaciones. Para
ver por qu, considerar el iguente ejemplo decuatroecuaciones con cinco incgnitas.
Ejemplo
6
Resolver el siguiente s istem a de ecuacio nes lineales hom ogneo por
eliminacin de Gauss-Jordan.
2x1
+
2x2
-
x3 + x 5 = o
-x1 - x2 +
2x,
- 3x, + x5 =
o
x, + x2 - 2x,
-x,=o
x3 + xq + x5 =
o
Solucin. L a matriz aumen tada del sistema es
2 2 - 1 o 1 o
- 1 - 1 2 - 3 1 o
1 1 - 2 0 - 1 o
0 0 1 1 1 0
-
8/10/2019 H.anton a.lineal- Introduccion al Algebral Lineal
37/709
40 /' Sistemas
de
ecuac iones lineales y matrices
Al reducir esta matriz a la forma escalonadaeducida, se obtiene
[
1 1 0 0 1 0
0 0 1 0 1 0
o 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
El sistema de ecuaciones correspondiente s
XI
+ X ? + 5 = 0
x j +
X5
= o
.x4 = o
Al despejar las variables principales se obtiene
x ,
= - x 2
-- X.j
x2 = - x 5
-Y4
= o
Par tanto, la solucin general s
.x1 = - S -
,
.x2 = S, X j = - , XJ = 0, xj =
1
Observa r que a solucin trivial se obtiene cuando S
=
t = O. A
El ejemplo
6
ilustra dos cuestiones importantes respecto a la solucin de
sistemas homogneos e ecuacion es lineales. Primera, inguna de las tres
operaciones eleme ntales en los renglones mod ifica la column a final de ceros
en la matriz aumentada, de modo que el sistema de ecuaciones correspondiente a
la
forma
escalonada reducidade la matriz aum entada tambin de be ser un sistem a
hom ogneo , vase el sistema
(2)
. Segunda, dependiendode si la forma escalonada
reducida de la matriz aum entada contiene algn rengln de ceros, el nm ero de
ecuacion es en el sistema reducido es menor o igual qu e el nm ero de ecuaciones
del sistema original, comparar los sistemas
(1)
y (2). Por tanto, si elsistema
homogneo dado contiene
m
ecuacion es con
n
incgnitas donde
m < n,
y s i en
la
forma escalonada reducida de la matriz aumentada hay
r
renglones diferentes de
cero, entonces
se
tendr
r
< n . Se oncluye que el sistem ade ecuaciones
correspondiente a la forma escalonad a reducida de la matriz aum entada es de
la
forma
-
8/10/2019 H.anton a.lineal- Introduccion al Algebral Lineal
38/709
1.2 Eliminacin gaussiana 1 41
donde xk , ,xk2 ,
. . . , xkr
son las variables principales y
Z
(
)
denota Sumas
(posible me nte todas diferentes) que incluyen a las
n
-
Y
variables libres, comparar
el sistema (3) con el sistema
(2) . AI
despejar las variables principales se obtiene
x k , = -X( 1
X k 2 = - G (
1
Xk,
= - C ( )
As como e n el ejemplo 6, es posible asignar valores cualesquiera a las variables
libres del miembro derecho
y
obten er as una infinidad de soluc iones del sistema.
En resum en, se tiene el siguiente teorema im portante.
Teorema
1.2.1. Un sistema de ecuacionesineales omogneo con ms
incgnitas que ecuaciones tiene infinidad de soluciones.
O B S E R V A C I ~ N .
Se debe notar que el teorema 1.2.1 es vlido slo para sistemas
homogneos. Un sistema no homogneoconms incgnitas que ecuaciones no
necesariamente es consistente (ejercicio 34); sin embargo, si el sistema es con-
sistente, entonces tiene infinidad de soluciones. Este hecho se demostrar des-
pus.
En las aplicaciones no es raro encontrargrandes istemas lineales que cs
nece sario resolver por com putad ora. Zas i todos los algoritm os de cmputo para
resolver los sistemas se basan e n la eliminacin g aussiana o en la eliminacin de
Gauss-Jordan, aunque los procedimientos bsicos son modificados a menudo para
poder abordar cuestiones como
reducir los errores por redondeo,
disminuir el
uso
del espacio de memoria de la computadora,
y resolver el sistem a a la velocidad m xim a.
Alg unas de estas cuestiones se consid erar n n el captulo
9.
En clculos
manuales, las fracciones son un inconveniente que a menudo es imposible evitar.
Sin em bargo, en algunos casos s se puede hacer al variar de manera conveniente
las operacioneselementalesen los renglones. Por tanto, una vez que el ector
domine
los
mtodosde eliminacingaussiana y eliminacin deGauss-Jordan
puede modificar los pasos en problemas especficos a fin de evitar las fracciones
(vas e el ejercicio
18).
D E
LA SECCIN 1.2
1. D e
las
siguientes matrices 3 x 3, cules estn en forma escalonada reducida?
-
8/10/2019 H.anton a.lineal- Introduccion al Algebral Lineal
39/709
42
/
Sistemas de ecuaciones lineales
y
matrices
a ) O l O
: ]
b) 1
"1
c) [: y ] d) [ A 0 f ]
O 0 0 O 0 0 O 0 0
f ) l O O
"
"1
g)[:
:]
h j
[:
'1
i )
[:
:]
0 0 0 O 0 00 0 O 0 0
2. De las s iguientes matnces
3 x 3 ,
cules estn en forma escalonada?
[
:] b ) [ iO 0 0
1
c) [i 2 0 d )
a ) O l O
1 3 4
0 0 1
-0 o
o
3.
En cada inciso, determinar
si
la matriz est en forma escalonada, en forma escalonada
reducida, en ambas formas en ninguna.
1 2 0 3 0
a ) O O O O IO o O] b ) [ i
p
c j [ 'o 1 2 4'1
0 0 0 0 0
1 3 0 2 0
d l [ ' 1 3 27 1
e )
[ '
o *
O] f )
[i
i]
0 0 0 1
0 0 0 0 0
4.
En cada inciso, suponer que la m atriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales
hasido educidamedianteoperacionesen los renglonesa a ormaescalonada
re-
ducida dada. Resolver
el
sistema.
1
o 0 - 3 I
o 0 - 7 8
,)[O
1 O 3 2
o
o 1 1 - 5
1 - 6
O
O
3 - 2
O 0 1 0 4 ;] d)
[i -: x
81
O 0 0 1 5
~ 0 0 0 0 0 0
5. En cada inciso, suponer
que
la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales
ha sido reducida mediante operaciones en los renglones a la forma escalonada dada.
Resolver
el
sistema.
0 1 2 q- 3 4
0 0 1 s
2
-
8/10/2019 H.anton a.lineal- Introduccion al Algebral Lineal
40/709
1.2 Eliminacin gaussiana / 43
6 . Resolver cada
uno
de los siguientes sistemas aplicando eliminacin deauss-Jordan.
a)
x,
+
x2
+
2x3
= 8 b)
2x,
+
2x,
+
2x3
= O
-x1
-
2x2
+
3x3
=
1
-2x,
+
5x,
+
2x3
= 1
3x,
-
7x,
+
4x3
=
10 8x,
+
X
+
4x3
=
-
1
c)
x -+ 2 z -
w = - 1
d) -2b + 3 ~ =
1
2 x + y - 2 2 - 2 w= - 2
3 ~ + 6 b - 3 ~ = - 2
- x + 2 y - 4 2 += 1
6a
+
66
+
3c
=
5
3x
- 3w =
- 3
7. Resolver cada
uno
de los sistemas del jercicio
6
aplicando eliminacin gaussiana.
8.
Resolver cada
uno
de los siguientes sistemas aplicando eliminacin de Gauss-Jordan
a)
2x,
-
3x2
=
-2
b)
3x,
+
2 ~ ,
-
x3
= -
15
2x,
+
x
=
1 5x,
+
3x2+ 2x3
= o
3x,
+2x2
= 1
3x,
+
x
+
3x3
=
11
-6x,
-
4x,
+
2x3
=
30
C )
4x,
-
SX,
=
12
d)
1oy-4z+
w =
1
3x1
-
6 ~ ,
9
x + 4 y - z +
w =
2
-2x,
+4x,=
- 6x +y ++ 2 w = 5
- 2 ~ - 8 y + 2 ~ - 2 ~ =4
X - 6y+32
=
1
9.
Resolver cada
uno
de los sistemas del ejercicio
S
aplicando eliminacin gaussiana.
10.
Resolver cada uno d e los siguientes sistemas aplicando eliminacin de Gauss-Jordan.
a )
5x,
-
2x2
+
6x,
= O b)
xI
-
2x,
+
x
-
4x,
= 1 c)
w + 2 x - = 4
-2x,
+
x
+
3x3
=
1
XI
+
3x2
+
7x3
+
2x,
=
2 x -
y = 3
x1
- I~x,1IX,
16x4
= 5
~ + 3 ~ - 2 ~ = 7
2 u + 4 v + w + 7 x7
11. Resolver cada uno de los sistemas del ejercicio 10 aplicando eliminacin gaussiana
12. Sin usar lpiz
y
papel, determinar cules de los siguientes sistemas homogneos tienen
soluciones
no
triviales.
a)
2x1
-
3x, + 4x,
-
x
= O
b)
x,
+
3x2
- x3
=
0
2x,
+
8x2
+
x3
-
X
= O
4x3= o
7x,
+
x
-
8x3
+ 9x4 =
o x
- SX, = o
C )
a ,
x,
+
alzx2
+
uI3x3
=
O
d )
3x1
-
2x2
= 0
aZlXl
+
a2zx2
+
a23x3
= 0
6x,
-
4x2
= O
13.
Resolver os siguientes sistemas de ecuaciones ineales homogneos aplicando cual-
quier mtodo.
a)
2x,
+ X +
3x3=
O
b) 3x1+ x2
+
x3
+
x
=
O
c)
2x
+
2y
+
4z
=
o
x,
+
2x,
= O 5x, - x2+ x3
-
=
o
W
-
y - 3 . ? =0
x +
x
= o
2 w + 3 x +
y +
z = O
- 2w+ ~ + 3 ~ - 2 ~ = 0
14.
Resolver
los
siguientes sistemas de ecuaciones ineales homogneos aplicando cual-
quier mtodo.
-
8/10/2019 H.anton a.lineal- Introduccion al Algebral Lineal
41/709
44
1
Sistemas de ecuaciones linealesy matrices
a) 2.r
-- y
- 3z = 0
b) u t 3 w -2 x =o c ) x , + 3 x , + x , = o
x +
, y + 4 z = o
2 ~ + 3 ~ + 2 ~ -= O
-
2x2- 2x, - x = o
--x
+
2y-
32 = o 2 u +
u - 4 w + 3 x = o
x,
t 4x, +
2x,
= o
-414
-
3U
+
5W
-.
4x
=
0
2x,
.-
4x,
+
x, +
x
=
o
x,
- 2x, - xj
+ x4
= o
15.
KesoIver 10s siguientes sistemas aplicando cualquier mtodo.
a) 21,
- I,
+ 31,
+
41, = 9
b) z,
+ z,
+
z, = o
4 - 21, + 71, = I 1
- z ,
z,
+
22, - 32, + z, =
o
31, - 1 , + l3+
51,
= 8
z, +- z2
- 2 ,
-z,=o
21, + I2t 41, + 41, = 10
22, + 2z2- z,
+ z , = o
16. Resolver
los
siguientes sistemas, donde a,
b
y c son constantes.
a)
2x
+
.V
= a
b)
x,
+
.x2
+
x
= u
3x +- 6~ = h
2.r ,
+ 2x,
= h
3 Y2 + 3x, =
c
17.
Paraqu valores de a el iguiente istemano iene olucin?exactamente
una
solucin'? ,intinidad e soluciones?
.Y
i-
21' ~ 3z = 4
31
J
4-
5z
= 2
4x
+ v + (U -- 1 4 ) ~ 0 + 2
18.
Expresar
en
forma escalonada reducida sin introducir ninguna fraccin
1Y.
Encontrar dos formas escalonadas diferentes de
20. Reso lve r e1 s iguiente s is tema de ecuaciones no l ineales para los ngulos descono-
c i d o s a , y p , d o n d e O ( a ( 2 n , O I P I 2 n , y O s y < : .
2 s e n a -o s p + 3 t a n y = 3
4sencu+2cosp-2tany=2
6 s e n a - 3 c o s p + t a n y = 9
21. Resolvcr el siguiente sistema de ecuacioneso lineales para Y, y y
z .
X' + +
z2=
6
x"y '+22=2
2x2
f V 2
-
2 2
=
3
-
8/10/2019 H.anton a.lineal- Introduccion al Algebral Lineal
42/709
1 .2
Eliminacin gaussiana
\
45
Dem ostrar que el siguiente sistema no l ineal t iene 18 soluciones si O 5 a
5
2 z,
5
/ 3 5 2 z , y O I . y < 2 z .
s e n a + 2 c o s p + 3 t a n y = O
2 s e n a + 5 c o s p + 3 t a n y = O
- s e n a - 5 c o s p + 5 t a n y = O
$ara que valor(es)de
y
el iguiente istemadeecuaciones iene olucionesno
triviales?
(a
- 3lX
+
v = o
x + (a- 3)?, = o
Considera r el sistema de ecuaciones
a x
+
by
= O
cx
+
dy =
o
ex + fy =
O
Analizar las posiciones relativas de las rectas
a x +
by
= O,
cx
+ dy = O
y ex +fi
O
cuando
a) el sistema t iene
s3 0
la solucin trivial, b) el sis tema tiene soluciones no tnviales .
En a figura 2 se mue stra a grfica de una ecuacincbica y = + b? +
cx
+
d .
Encontrar
los
coeficientes
a, b ,
c
y
d.
ty
20
-
' I Figura
2
Recordar que en geometra plana tres puntos no colineales determinan una circunfe-
rencia de mane ra nica. En geometra anal t ica se demuestra que la ecuacin de una
circunferencia en el plano
y
es de la orma
ux2
+
uy2
+
bx
+
cy
+
d
=
O
Encontrar la ecuacin de la circunferencia que se muestra en laigura
3
CY
-
8/10/2019 H.anton a.lineal- Introduccion al Algebral Lineal
43/709
46 / Sistemas de ecuaciones linealesy matrices
27. Describir las posibles formas escalonadas rqiucidas de
28. Dem ostrar que si
ad
- bc f O , entonces la forma escalonada reducida de
29. Usar el ejercicio
28
para demostrar que si
ad
- bc =
O,
entonces el sistema
ux + b ~ , k
CY + d v = I
tiene exactamente una solucin
30. tlrsolvzrelsistema
para x,,
x 2
y x j SI
a) k =
1
b) d = 2
31.
Considerar el sistema de ecuaciones
ux +
bj. =
o
CY
+ 41) = o
a) Demostrar
que
si
x = xo, y = y,
es cualquier soluci n del sistema
y k
es cualquier
b) Demostrar que si
x = xo,y
=
y,
y x = x],
y = y ,
son dos soluciones cu alesquiera,
constante, entoncesx =
kr,,
y =
4,
ambin es una solucin.
entonces x
=
x + x, , y = y o + y ,ambin es una solucin.
32. Considerar el sistema de ecuaciones
( 1 ) u . ~
b,,
=
k
(11)
ax + by = O
CY
+
dl) = I cx + 4v = o
a) Demostrar que si x = x , ,
y
= y , y x = x*,
y = y,
son soluciones de I, entonces x = x1
b ) Demostrar que si x = x ] ,
y
=
y ,
es una solucin de I
y
x = x,,
y =y,
es una solucin
-
x2,y
= y I
-y,
es una solucin de
I I .
de I I , entonces x =
x,
+ x,, y = y , + y os una solucin de .
33. a ) En el sistema de ecuaciones numerado con ( 3 ) , explicar por qu sera ncorrecto
denotar a las variables principales por xl, x2, , . . , r en vez de por xk,, xk2, . . ,
xk,
como
se
hizo.
-
8/10/2019 H.anton a.lineal- Introduccion al Algebral Lineal
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l .
Matrices y operaciones con matrices
/ 4
7
b) El sistema de ecuaciones numerado on
(2)
es
un
caso especfico de
(3).
Qu valor
tiene
y
en este caso? Cules
son
xk,,xk2,
. .
,x en este caso? Escribir las
sumas
denotadas por
I: )
en
( 3 ) .
k,
Encontrar
un
sistema l ineal inconsistente queenga
ms
incgnitas que ecuaciones
MATRICES
Y
OPERACIONES C ON MATRICES
Los arreglos ectangulares de nmeros eales surgen en m uchos ontextos
distintos a las matrices aum entadas de sistemas de ecuaciones lineales.
En
esta
seccinestosarreglos se considerarn como objetos en s y se desarrollarn
' algunas de s us propiedades par a aplicarlas ms tarde.
Definicin. Una matriz es un arreglo rectangular de nmeros. Los nmeros en
el arreglo se denominanefementosde la matriz.
Ejemplo 1 Alguno s ejemplos de m atrices son
El tamaiio
de
una matriz se describe en trminos del nmero de renglones
(lneas horizontales) y de colum nas (lneas verticales) que contiene. Por ejemplo,
la primera matriz del ejemplo
1
tiene tres renglones y dos columnas,de modo que
su tamao es
3
por 2 (que se escribe
3
X 2). En la descripcin del tamao, el
primernmero iempredenota el nmerode englonesy el segundo , el de
colum nas. Las dem s ma trices del ejemplo
1
son de tamao
1 X
4, 3
x
3, 2 X 1
y
1 X 1, respectivamente. Una matriz conuna sola columna se denomina
matriz
co-
lumna
(o
vector columna) ,
y
una matriz con un solo rengln se denomina matriz
rengln
(o
vector rengln) .
As,
en el ejemplo
1,
la matriz
2 X 1
es u na matriz
columna, la matriz 1 X 4 es una m atriz rengln
y
la matriz
1
X 1 es tanto una
matriz rengln como una matriz colum na. (El trmino vector tiene otro signi-
ficado que ser analizado en captulos ulteriores.
O B S E R V A C I ~ N . Se acostum bra omitir los corchetes en una matriz 1 X 1. As, se
podra escribir 4 en vez de 4 . Aunque lo anterior imposibilita saber si 4 denota el
nmero "cuatro1'o la matriz
1 X
1 cuyo elem ento es 'Icuatro", excepc ionalme nte
causa prob lemas, ya que casi siempre es posible inferir el significado a partir del
contexto en que aparecel smbolo.
-
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48
.Sistemas de
ecuacion es lineales
y
matrices
Paradenotarmatrices se usarn maysculas y paradenotar cantidades,
min scu las; as. se podra escribir
Al estudiar matrices, es comn denominar
escdares
a las cantidades numricas.A
menos que se establezca otra cosa. los escalares sern
nitmeros eales;
los
escalares complejos sern considerados en l captulo 10.
El elem ento que aparece en el rengln
i
y la columna
j
de una matriz .4 se
denota por
a,,.
As, una matriz general 3 X
4
se puede escribir como
y una matriz general
m
x n, como
Cuando
se
desea que la notacin sea cond ensada, la m atriz prece dente se puede
expresar como
[ U , , I , , , X , I
0 [ % , I
la primera notacin se usa cuando en el anlisis es importante conocerel tamao
y
la segund a cuando no es necesario recalcar el tamao . Por lo general, la letra que
denota una matriz corresponde a la letra que denota sus elem entos; as, para una
matriz B en general se
usar b,,
para den otar el elem ento en el rengln i y la
columnaj, y para una matriz
C
se usar cy.
El elemen to en el rengln
i
y la columna j de una matriz
A
se denota por el
smbolo ( A ) q .As. para la matriz (1) anterior, se tiene
( A ) , ,
=
a,,
y para la matriz
se tiene (A)11 =
2, (A)12
=
-3,
(A)2l =
7 ,
y (A)22 O .
Las matrices renglny column a revisten especial importancia y se denotan con
min scu las negritas en vez de maysculas. En estas m atrices es innecesario usar
subindices dobles para os elementos. Entonces, una matriz rengln general
a
1
X
n y una matriz columna general b
m
X 1 se escribirn com o
-
8/10/2019 H.anton a.lineal- Introduccion al Algebral Lineal
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1.3
Matrices
y
operaciones con matrices
/ 49
Figura 1
Una m atriz A con n renglones y n columnas se denomina m a t r i z c u a d r a d a
d e o r d e n
n, -y se h c e que
los
elementos
a l l , a 2 2 ,
. . ,
a n n
estn en la
d i a g o n a l
p r i n c i p a l de A (vanse los elemen tos en ipo negro en la figura 1).
Hasta el momento, las matrices se han usado para abreviar el trabajo al resolver
sistemas de ecuacion es lineales. Para otras aplicaciones, sin em bargo, es deseable
desarrollar u na "aritmtica de matrices" en la que sea posible sum ar, restar y mul-
tiplicar matrices de manera til. El resto de esta seccin se dedicar al desarrollo
de esa aritmtica.
Definicin. Dos matrices son i g u a l e s si tienen elmismo tamao y sus ele-
men tos correspond ientes son guales.
E n no tacin matricial, si
A
= [a,]y
[ B
= b ] son del mismo tamao, entoncesA
=
B si y slo si (A), = (B), o, equivalentemente,
a,
= bo para todo
i
y j .
Ejemplo 2 Con siderar las matrices
Si x = 5,entonces A =
B ,
pero para los dems valores de x las matrices A
y B
no son iguales. ya que no todos
sus
elemento s correspondientes son iguales.
No
hay ningn valor de
x
para el que A
=
C, ya que los tamaos de A y
C
son
diferentes. A
correspon dientes de A , y la d i f e r e n c i a A - B es la ma triz obtenida al restar los
elemen tos de B de los elementos correspondientesde A . No es posible sum ar o
restar matrices de tam aos diferentes.
-
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7
' P "*I
6
.,*< r: , 'i
-
, ~ . .
50 Sistem as de ecuaciones ineales v matrices
En notacin matricial, si A
=
[ a u ] B = [ b J son del mismo tamao , en tonces
Ejemplo
3
Cons iderar las matrices
2 1 0
-4 3 5
- 1
O 2
'1
B = [
2 2 O
-:]
C = [ '
'1
4 - 2 7
o
3
2 - 4 5
2 2
Entonces
11
- 5
Las expresiones
A
+
c',
B
+
C,
A
-
C
y
B
-
C
no estn definidas.
A
Definicin. Si A es cualquier matriz y c es cualquier escalar, entonces el
producto cA es
la
matriz obtenidaal multiplicar cada elem ento de por
c.
En notacin matricial, si
A
= [ a 1 entonces
r/
c A ) i j= c (A ) , , = cui,
Ejemplo
4 Para las matrices
A = [ 1
3
I ] B = [
- 1
3
- 571 c =[: r
3 4 o 2
se tiene
Es comn denotar (- l)B por -B.
A
Si
A , ,
A , ,
.
.
.
, A,, son matrices delmismo tamao y
cl, c,, . . .
,
c,,
son
escalares. entonces una expresin dea
forma
se denomina
combinacin lineal
de
A , ,
A,, . . .
, A,,
con
coeficientes cl,
c2, . . ,
e,,.
Por
ejemplo, si A ,
B
y C son las matric es del ejemplo 4, entonces
-
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2 2 4 5 2 6
1.3
Matrices y operaciones con matrices ' 51
=
[:
;l.+
[:
1:
-:I+[;
-:
:I
= [ 7
'1
4 3 11
es la com binacin lineal de
A , B
y C con co eficientes escalares 2 , - 1
y i.
Hasta elmomento se ha definido la multiplicacin de una m atn z por un
escalar, pero no la m ultiplicacin de dos matrices. Como la suma de m atrices se
ejecuta sumando los elementos correspon dientes y la resta de matrices se ejecuta
restando los elementos correspondientes, parecera natural definir el producto de
matrices como la multiplicacin de los elem entos correspondientes. Sin em bargo,
resulta que la definicin no es demucha utilidad en a mayor parte de os
problem as. La exp eriencia ha llevado a
los
matem ticos a la siguiente definicin,
menos natu ral pero m s til, de producto de matrices.
Definicin. Si A es una matriz m x
r
y B es una matriz
r x
n , entonces el
producto A B es la matriz m x n cuyos elementos se determinan como sigue.
Para encontrar el elemen to en el rengln i y en la colum naj de A B , considerar
slo el rengln
i
de la matriz
A
y la columnaj de lamatriz
B .
Multiplicar entre
s los elementos correspond ientes del rengln y de la columna mencionados y
luego sumarlos productos resultantes.
i
6
, ,
. ',
j
Ejemplo 5 Cons iderar las matrices I ' '
4 1 4 3 -
O
- 1
3 1
2 7 5 2 -
O
Como
A
es una matriz
2
x 3 y
B
es una matriz 3 x 4, el producto
A B
es una
matriz 2 X
4.
Para determinar, por ejemplo, el elemento en el rengln
2
y en la
columna
3
de
A B ,
slo
se consideran el rengln
2
de
A
y la columna
3
de
B .
Luego,comose ilustra a continuacin , los elementos correspond ientes (en tipo
negro) se m ultiplican entre
s
y se su man los productos obtenidos.
-
8/10/2019 H.anton a.lineal- Introduccion al Algebral Lineal
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El elemento en el rengln
y
eyi In columna
4
de AB (en negro) se calcula como sigue.
l ( 1 . 3 ) + ( 2 . 1 ) + (4 .2 )
=
131
Los clculos para los dem s productos son
( 1
4 )
+
( 2 . 0 )
+
( 4 . 2 )
= 12
( 1 . 1 ) - ( 2 . 1 ) + ( 4 . 7 ) = 2 7
( 1 . 4 ) + ( 2 . 3 ) + ( 4 . 5 ) = 30 12
27
30
( 2 . 4 ) + ( 6 . 0 )
+-
( 0 . 2 )
= 8
8 -4 26 12
( 2 .
1)
-
6 . 1 )
+
( 0 . 7 )
=
- 4
( 2 . 3 )
+
(6.1) + ( 0 . 2 ) = 12
A
1 3 1
Paraformar elproductoAB, la definicin de multiplicacin de ma trices
requiere que el nmero de columnas del primer factor A sea el mismoque el
nmero de renglones del segundo factor
B .
Sino e cum ple esta condicin.
entonces el producto est indefinido. Una m anera conveniente para determinar si
el producto de dos matrices est definido es escribir el tamao del primer factor
y,
a la derecha, escribir el tamao delsegundo factor. Si, comose observaen la
figura 2, los nm eros interiores son iguales, entonce s el producto est definido.
Los nm cros exteriores proporcionan entonces el tamao del producto.
A H A B
-
m x r r x n
m x n
b A h S
Medios
Figura
2
Extremos
Ejemplo 6
Suponer que
A ,
B
y C
son matrices con los siguientes tamaos:
A R
C
3 x 4
4 x 7
7 x 3
Entonces
A B
est definido y se trata de una ma triz 3 x 7 ;
CA
est definido y se
trata d e una matriz 7 X 4; y
BC
est definido y se trata d e una m atriz
4
x
3 .
Los
productos AC,
C B y BA
estn indefinidos.
Si
A
=
[u,]
es una matriz generalm x r y B = [b,] es una matriz general Y X
n, entonces como se ilustra con tipo negro de