•• Capítulo 13 I Gravitação

U=_GMm er

K=GMm2r . (13-21,13-38)

A energia mecânica E = K + U é, portanto,

E=_GMm.2r

(13-40)

No caso de uma órbita elíptica de semi-eixo maior a,

E=_GMm.2a

(13-42)

Teoria da Gravitação de Einstein Einstein mostrou quegravitação e aceleração são equivalentes. Este princípio de equi-valência é a base de uma teoria da gravitação (a teoria da relati-vidade geral) que explica os efeitos gravitacionais em termos deuma curvatura do espaço.

PERGUNTAS '.1 Na Fig.13-22, uma partícula cen-tral está cercada por dois anéis cir-culares de partículas, de raios r e R,com R > r. Todas as partículas têma mesma massa m. Quais são o mó-dulo e a orientação da força gravita-cional resultante a que está subme-tida a partícula central?

2 Na Fig. 13-23, duas partículas,de massas m e 2m, estão fixas sobreum eixo. (a) Em que lugar do eixouma terceira partícula, de massa3m, pode ser colocada (excluindoo infinito) para que a força gravi-tacional resultante exercida so-bre ela pelas duas primeiras partículas seja nula: à esquerda dasduas primeiras partículas, à direita, entre elas, porém mais pertoda partícula de massa maior, ou entre elas, porém mais perto dapartícula de massa menor? (b) A resposta muda se a terceira par-tícula possui uma massa de 16m? (c) Existe algum ponto fora doeixo (excluindo o infinito) no qual a força resultante exercida so-bre a terceira partícula é nula?

3 A Fig. 13-24 mostra três situações que envolvem uma partí-cula pontual P de massa m e uma casca esférica com uma massaM uniformemente distribuída. Os raios das cascas são dados.Ordene as situações de acordo com o módulo da força gravita-cional exercida pela casca sobre a partícula P, em ordem decres-cente.

FIG.13-22 Pergunta 1.

• •m 2m

FIG.13·23 Pergunta 2.

---------8R/2

(a) (b) (c)

FIG.13-24 Pergunta 3.

4 A Fig. 13-25 mostra três arran-jos de quatro partículas iguais, comtrês delas sobre uma circunferên-cia com 0,20 m de raio e a quartano centro do círculo. (a) Ordene osarranjos de acordo com o móduloda força gravitacional resultantea que a partícula central está submetida, em ordem decrescente.(b) Ordene os arranjos de acordo com a energia potencial gra-

cc(a) (b) (c)

FIG.13-25 Pergunta 4.

vitacional do sistema de quatro 2M.--- ...•..---.4Mpartículas, começando pela menosnegativa.

S Na Fig. 13-26, uma partículade massa M está no centro de um 3M

arranjo quadrado de outras partí- 5Mculas, separadas por uma distância Mdou dl2 ao longo do perímetro do 4M.--- __~-- .•2M

quadrado. Quais são o módulo e aorientação da força gravitacionalresultante a que está sujeita a partícula central?

6 A Fig. 13-27 mostra a aceleração gravitacional ag de quatroplanetas em função da distância r do centro do planeta, come-çando na superfície do planeta (ou seja, na distância RI. R2> R3 ouR4). Os gráficos 1 e 2 coincidem para r ~ Rz; os gráficos 3 e 4 coin-cidem para r ~ R4. Ordene os quatro planetas de acordo (a) com amassa e (b) com a massa específica, em ordem decrescente.

7M

7M

M

5M

•M

FIG. 13·26 Pergunta 5.

L-----~~-~-~----------------rRI R;. 14

R3

FIG.13-27 Pergunta 6.

7 A Fig. 13-28 mostra três partícu-las inicialmente mantidas fixas, comB e C iguais e posicionadas simetri-camente em relação ao eixo y, a umadistância d de A. (a) Qual é a orien-tação .sIa força gravitacional resul-tante F res que age sobre A? (b) Se apartícula C é deslocada radialmentepar,: longe da origem, a orientaçãode F res varia? Caso a resposta sejaafirmativa, como varia e qual é o li-mite da variação?

8 Na Fig. 13-29, três partículassão mantidas fixas. A massa de Bé maior que a massa de C. Umaquarta partícula (partícula D) po-de ser colocada em algum lugar detal forma que a força gravitacional

y

flCe /

B,\ ed \ /d

-----~/------xAI

FIG.13-28 Pergunta 7.

y

______~A~----~~C~-xd--1

d

~BI

FIG.13-29 Pergunta 8.

resultante exercida sobre a partícula A pelas partículas B, C e Dseja nula? Caso a resposta seja afirmativa, em que quadrante eladeve ser colocada e nas proximidades de que eixo?

9 Ordene os quatro sistemas de partículas de mesma massa doTeste 2 de acordo com o valor absoluto da energia potencial gra-vitacional do sistema, em ordem decrescente.

10 Na Fig. 13-30, uma partícula de massa m (não mostrada)pode ser desloca da desde uma distância infinita até uma de trêsposições possíveis, a, b e c. Duas outras partículas, de massas me 2m, são mantidas fixas. Ordene as três posições possíveis deacordo com trabalho realizado pela força gravitacional resultantesobre a partícula móvel durante o deslocamento, em ordem de-crescente.

I---d '1' d I, d I d-----l

O Oa 2m b m c

FIG.13-30 Pergunta 10.

11 A Fig. 13-31 mostra três planetas esféricos uniformes quetêm a mesma massa e o mesmo volume. Os períodos de rotaçãoT dos planetas são dados e dois pontos da superfície são identifí-

Problemas _

cados por letras em cada planeta, um no equador e outro no pólonorte. Ordene os pontos de acordo com o valor local da acelera-ção de queda livre g, em ordem decrescente.

16 h 24h 48 h

a e

FIG.13-31 Pergunta 11.

12 A Fig. 13-32 mostra seis tra-jetórias possíveis para um fogueteem órbita em tomo de um astro sedeslocar do ponto a para o pontob. Ordene as trajetórias de acordo(a) com a variação da energia po-tencial gravitacional do sistemafoguete-astro e (b) com o trabalhototal realizado sobre o foguete pelaforça gravitacional do astro, em ordem decrescente.

123

5

6

FIG. 13-32 Pergunta 12.

PROBLEMAS

- - - - - O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema

~ Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física, de Jearl Walker, Rio de Janeiro: LTC, 2008.

seção 13-2 A Leida Gravitação de Newton-1 Qual deve ser a distância entre uma partícula de 5,2 kg euma partícula de 2,4 kg para que a atração gravitacional entreelas tenha um módulo de 2,3 x 10-12 N?

-2 Tanto o Sol quanto a Terra exercem uma força gravitacionalsobre a Lua. Qual é a razão FSo/FTerra entre as duas forças? (Adistância média entre o Sol e a Lua é igual à distância média en-tre o Sol e a Terra.)

-3 Uma massa M é dividida em duas partes, me M - m, quesão em seguida separadas por uma certa distância. Qual é a razãomiM que maximiza o módulo da força gravitacional entre as par-tes?-4 Influência da Lua. Algumas pessoas acreditam que suas ati-vidades são controladas pela Lua. Se a Lua estava do outro ladoda Terra, ao longo de uma reta que passava por você e pelo centroda Terra, e passa para uma posição diametralmente oposta, verti-calmente acima da sua cabeça, qual é a variação percentual (a)da atração gravitacional que a Lua exerce sobre você e (b) o seupeso? Suponha que a distância Terra-Lua (de centro a centro) é3,82 x 108 m e que o raio da Terra é 6,37 x 106 m. ~

seção 13-3 Gravitação e o Princípioda Superposição-5 Uma dimensão. Na Fig.13-33, duas par-tículas pontuais são mantidas fixas sobre umeixo x, separadas por uma distância d. A par-tícula A tem massa mA e a partícula B temmassa 3,00mA- Uma terceira partícula C, demassa 75,OmA, deve ser colocada sobre oeixo x, nas proximidades das partículas A eB. Em termos da distância d, qual deve ser a coordenada x da par-

FIG.13-33Problema 5.

x

tícula C para que a força gravitacio-nal resultante a que está submetidaa partícula A seja zero?

-6 Na Fig. 13-34, três esferas de5,00 kg estão localizadas a distânciasdi = 0,300 m e d2 = 0,400 m. Quaissão (a) o módulo e (b) a orientação(em relação ao semi-eixo x positivo)da força gravitacional resultante a

FIG.13-34 Problema 6.que está sujeita a esfera B?-7 A que distância da Terra deve estar uma sonda espacial aolongo da reta que liga nosso planeta ao Sol para que a atraçãogravitacional do Sol seja igual à atração da Terra?

-8 Na Fig.13-35, um quadrado com 20,0 ml m2

em de lado é formado por quatro esferas 0------1

de massas ml = 5,00 g, m2 = 3,00 g, m-; =1,00 g e m4 = 5,00 g. Em termos dos veto-res unitários, qual é a força gravitacionalresultante exercida pelas esferas sobreuma esfera central de massa rnç = 2,50 g?

-9 Miniburacos negros. Talvez existam msminiburacos negros no universo, produ-zidos logo após o big bang. Se um dessesobjetos, com uma massa de 1 x 1011 kg (eum raio de apenas 1 x 10-16 m) se aproximasse da Terra, a quedistância da sua cabeça a força gravitacional do miniburaco seriaigual à da Terra?--10 Na Fig.13-36a, a partícula A é mantida fixa em x = -0,20m sobre o eixo x e a partícula B, com uma massa de 1,0 kg, é man-

y

A

1di

~~B~ C~~x

yI-x

FIG.13-35Problema 8.

_ Capítulo 13 I Gravitação

tida fixa na origem. Uma partícula C (não mostrada) pode serdeslocada ao longo do eixo x, entre a partícula B e x = 00. A Fig.13-36b mostra a componente x, Fres;o da força gravitacional resul-tante exerci da pelas partículas A e C sobre a partícula B em fun-ção da posição x da partícula C. O gráfico, na verdade, se estendeindefinidamente para a direita, tendendo assintoticamente para-4,17 x 10-10 N quando x ~ 00. Qual é a massa (a) da partícula Ae (b) da partícula C?

y

--~--~--------xA B

(a)

x(m)

(b)

FIG.13-36 Problema 10.

•• 11 Como mostra a Fig. 13-37,duas esferas de massa m e uma ter-ceira esfera de massa M formam umtriângulo eqüilátero, e uma quartaesfera de massa m4 ocupa o centrodo triângulo. A força gravitacionalresultante sobre essa esfera centralé nula. (a) Qual é o valor de M emtermos de m? (b) Se dobramos o va-lor de m4, qual é o novo módulo daforça gravitacional resultante a queestá submetida a esfera central?

M

FIG.13-37 Problema 11.

"12 Três partículas pontuais sãomantidas fixas em um plano xy.Duas delas, a partícula A de massa6,00 g e a partícula B de massa 12,0g, são mostradas na Fig. 13-38, sepa-radas por uma distância dAB = 0,500m; fJ = 30°.A partícula C, cuja massaé 8,00 g, não é mostrada. A força FIG.13-38 Problema 12.gravitacional resultante que as par-tículas B e C exercem sobre a partícula A tem um módulo de 2,77x 10-14 N e faz um ângulo de -163,8° com o semi-eixo x positivo.Qual é (a) a coordenada x e (b) a coordenada y da partícula C?

"13 A Fig. 13-39 mostra umacavidade esférica no interior deuma esfera de chumbo de raioR = 4,00 em; a superfície da cavi-dade passa pelo centro da esfera e"toca" o lado direito da esfera. Amassa da esfera, antes de a cavi-dade ser aberta, era M = 2,95 kg.Com que força gravitacional a esfera de chumbo com a cavidadeatrai uma pequena esfera de massa m = 0,431 kg que se encontraa uma distância d = 9,00 cm do centro da esfera de chumbo, sobrea reta que liga os centros das esferas e da cavidade?

•• 14 Duas dimensões. Na Fig. 13-40, três partículas pontuaissão mantidas fixas em um plano xy. A partícula A tem massa mA,a partícula B tem massa 2,00mA e a partícula C tem massa 3,00mA-Uma quarta partícula, de massa 4,00mA, pode ser colocada nasproximidades das outras três partículas. Em termos da distância

y

B

dAB

(J-------L--~----x

A

FIG.13-39 Problema 13.

d, em que valor da coordenada (a) xe (b) y a partícula D deve ser colo-cada para que a força gravitacionalresultante exercida pelas partículasB, C e D sobre a partícula A sejanula?

y

B

d

__~~1~,5~d~~ xC A

"·15 Três dimensões. Três partí-culas pontuais são mantidas fixasem um sistema de coordenadas xyz. FIG.13-40 Problema 14.A partícula A, na origem, tem massa mA- A partícula B, nas co-ordenadas (2,00d; 1,00d; 2,00d), tem massa 2,00mA, e a partículaC, nas coordenadas (-1 ,00d; 2,00d; - 3,00d) tem massa 3,00mA-Uma quarta partícula D, de massa 4,00niA, pode ser colocada nasproximidades das outras partículas. Em termos da distância d, emque coordenada (a) x, (b) y e (c) z a partícula D deve ser colocadapara que a força gravitacional resultante exercida pelas partículasB, C e D sobre a partícula A seja nula?

"·16 Na Fig. 13-41, uma partí- I~r -I,,rdmcula de massa m1 = 0,67 kg está m.O----'a uma distância d = 23 em de mj --~I-r-~d=r-~uma das extremidades de uma I-d-!----L -Ibarra uniforme de comprimento FIG.13-41 Problema 16.L = 3,0 m e massa M = 5,0 kg. _Qual é o módulo da força gravitacional F que a barra exerce so-bre a partícula?

seção 13-4 A Gravitação nas Proximidades da Superfícieda Terra·17 A que altitude acima da superfície da Terra a aceleraçãogravitacional é 4,9 m/s2?

.18 Edifício de uma milha. Em 1956, Frank Lloyd Wrightpropôs a construção de um edifício com uma milha de alturaem Chicago. Suponha que o edifício tivesse sido construído.Desprezando a rotação da Terra, determine a variação do seupeso se você subisse de elevador do andar térreo, onde você pesa600 N, até o alto do edifício.

.19 (a) Quanto pesaria um objeto na superfície da Lua, se pesa100 N na superfície da Terra? (b) A quantos raios terrestres estemesmo objeto deve estar do centro da Terra para ter o mesmopeso que na superfície da Lua?

·20 Atração da montanha. Uma grande montanha pratica-mente não afeta a direção "vertical" indicada por uma linha deprumo. Suponha que a montanha possa ser modelada por umaesfera de raio R = 2,00 km e massa específica (massa por unidadede volume) 2,6 x 103 kg/m". Suponha também que uma linha deprumo de 0,50 m de comprimento seja pendurada a uma distân-cia 3R do centro da esfera e que a esfera atraia horizontalmente opeso da linha de prumo. Qual é o deslocamento do peso da linhade prumo em direção à esfera? ~

"21 Um certo planeta é modulado por um núcleo de raio R emassa M cercado por uma casca de raio interno R, raio externo2R e massa 4M. Se M = 4,1 X 1024 kg e R = 6,0 X 106 m, qual é aaceleração gravitacional de uma partícula nos pontos a uma dis-tância (a) R e (b) 3R do centro do planeta?

"22 O raio Rb e a massa M; de um buraco negro estão relacio-nadas através da equação Rb = 2GMb/C2, onde c é a velocidadeda luz. Suponha que a aceleração gravitacional ag de um objeto auma distância rf = 1,00lRb do centro do buraco negro seja dadapela Eq. 13-11 (o que é verdade para buracos negros grandes).(a) Determine o valor de ag a uma distância rf em termos de M.

(b) o valor de ag à distância rf aumenta ou diminui quando M;aumenta? (c) Quanto vale ag a distância rf para um buraco ne-gro muito grande cuja massa é 1,55 x 1012 vezes a massa solar de1,99 x 1030 kg? (d) Se a astronauta do Exemplo 13-3 está à distân-cia rf com os pés voltados para o buraco negro, qual é a diferençaentre a aceleração gravitacional da sua cabeça e dos seus pés? (e)A astronauta sente algum desconforto?

••23 Acredita-se que algumas estrelas de nêutrons (estrelas ex-tremamente densas) estão girando a cerca de 1 rev/s. Se uma des-sas estrelas tem um raio de 20 km, qual deve ser, no mínimo, a suamassa para que uma partícula na superfície da estrela permaneçano lugar apesar da rotação?

seção 13-5 A Gravitação no Interior da Terra-24 A Fig. 13-42 mostra duas cas-cas esféricas concêntricas unifor- ~mes de massas Mj e M2· Determine c b aO módulo da força gravitacional aque está sujeita uma partícula de MImassa m situada a uma distância(a) a, (b) b e (c) c do centro comumdas cascas.

"25 A Fig. 13-43 mostra, forade escala, um corte transversal da FIGo 13-42 Problema 24.Terra. O interior da Terra pode serdividido em três regiões: a crosta, o manto e o núcleo. A figuramostra as dimensões dessas três regiões e as respectivas massas.A Terra tem uma massa total de 5,98 x 1024 kg e um raio de 6370km. Despreze a rotação da Terra e suponha que ela é esférica. (a)Calcule ag na superfície. (b) Suponha que seja feita uma perfura-ção até a interface da crosta com o manto, a uma profundidade de25,0 km; qual será o valor de ag no fundo do poço? (c) Suponhaque a Terra fosse uma esfera uniforme com a mesma massa totale o mesmo volume. Qual seria o valor de ag a uma profundidadede 25,0 km? (Medidas precisas de ag ajudam a revelar a estruturainterna da Terra, embora os resultados possam ser mascaradospor variações locais da distribuição de massa.)

6345 km

Núcleo, 1,93 x 1024 kg

~Crosta, 3,94 x 1022 kg

FIGo 13-43 Problema 25.

•• 26 Suponha que um planeta é uma esfera uniforme de raio Rque (de alguma forma) possui um túnel radial estreito que passapelo seu centro (Fig. 13-8). Suponha também que seja possívelposicionar uma maçã em qualquer lugar do túnel ou do lado defora da esfera. Seja FR o módulo da força gravitacional experi-mentada pela maçã quando está na superfície do planeta. A quedistância da superfície está o ponto no qual o módulo da forçagravitacional sobre a maçã é tFR se a maçã é deslocada (a) paralonge do planeta e (b) para dentro do túnel?

Problemas _

•• 27 Uma esfera maciça uniforme tem uma massa de 1,0 x 104kg e um raio de 1,0 m. Qual é o módulo da força gravitacionalexercida pela esfera sobre uma partícula de massa m localizadaa uma distância de (a) 1,5 m e (b) 0,50 m do centro da esfera?Escreva uma expressão geral para o módulo da força gravitacio-nal sobre a partícula a uma distância r ~ 1,0 m do centro da esfera.

--28 Considere um pulsar, uma estrela de densidade extrema-mente elevada, com uma massa M igual à do Sol (1,98 x 1030 kg),um raio R de apenas 12 krn e um período de rotação T de 0,041 S.

Qual é a diferença percentual entre a aceleração de queda livre ge a aceleração gravitacional ag no equador dessa estrela esférica?

seção 13-6 Energia Potencial Gravitacional-29 Os diâmetros médios de Marte e da Terra são 6,9 x 103 kme 1,3 x 104km, respectivamente. A massa de Marte é 0,11 vez amassa da Terra. (a) Qual é a razão entre a massa específica média(massa por unidade de volume) de Marte e a da Terra? (b) Qual éo valor da aceleração gravitacional em Marte? (c) Qual é a velo-cidade de escape em Marte?

-30 (a) Qual é a energia potencial gravitacional do sistema deduas partículas do Problema I? Se você triplica a distância entreas partículas, qual é o trabalho realizado (b) pela força gravitacio-nal entre as partículas e (c) por você?

-31 Que múltiplo da energia necessária para se escapar daTerra corresponde à energia necessária para escapar (a) da Luae (b) de Júpiter?

-32 A Fig. 13-44 mostra a ener-gia potencial U(r) de um projétilem função da distância da super-fície de um planeta de raio R; Seo projétil é lançado verticalmentepara cima com uma energia mecâ-nica de -2,0 x 109 J, quais são (a)sua energia cinética a uma distân-cia r = 1,25Rs e (b) seu ponto deretorno (veja a Seção 8-6) em ter-mos deRs?

-33 A Fig.13-44 mostra a função energia potencial U(r) de umprojétil em função da distância da superfície de um planeta deraio R; Qual é a menor energia cinética necessária para que umprojétil lançado da superfície "escape" do planeta?

-34 No Problema 3, para que razão mIM a energia potencialgravitacional do sistema é a menor possível?

"35 As três esferas da Fig. 13-45, de massas mA = 80 g, mB =10 g e me = 20 g, têm seus centros sobre uma mesma reta, comL = 12 em e d = 4,0 em, Você desloca a esfera B ao longo da retaaté que sua distância centro a centro da esfera C seja d = 4,0 cm.Qual é o trabalho realizado sobre a esfera B (a) por você e (b)pela força gravitacional das esferas A e C?

: -2 f-+J-l-'--'-I--1-H......",'-loC- -3 f-++-l-l-H/r-H-+-l'-l~

-4

-5 L..L-'-L.-'-'---'-

FIGo 13-44 Problemas 32e33.

~-dl-L-i_-d~eBA

cFIGo 13-45 Problema 35.

"36 Um projétil é lançado verticalmente para cima a partir dasuperfície da Terra. Despreze a rotação da Terra. Em múltiplos

_ Capítulo 13 I Gravitação

do raio da Terra RT, que distância o projétil atinge se (a) sua ve-locidade inicial é 0,500 da velocidade de escape da Terra e (b) suaenergia cinética inicial é 0,500 da energia cinética necessária paraescapar da Terra? (c) Qual é a menor energia mecânica inicial ne-cessária para que o projétil escape da Terra?

"37 (a) Qual é a velocidade de escape de um asteróide esfé-rico cujo raio é 500 km e cuja aceleração gravitacional na super-fície é 3,0 rn/s2? (b) Que distância da superfície uma partículaatingirá se deixar a superfície do asteróide com uma velocidadevertical de 1000 rn/s? (c) Com que velocidade um objeto se cho-caria com o asteróide se fosse liberado sem velocidade inicial1000 km acima da superfície?

"38 Zero, um planeta hipotético, tem uma massa de 5,0 x 1023

kg, um raio de 3,0 x 106 m e nenhuma atmosfera. Uma sonda es-pacial de 10 kg deve ser lançada verticalmente a partir da super-fície. (a) Se a sonda é lançada com uma energia inicial de 5,0 x 107

J, qual é sua energia cinética quando está a 4,0 x 106 m do centrode Zero? (b) Com que energia cinética a sonda deve ser lançadada superfície de Zero para atingir uma distância máxima de 8,0 x106 m do centro de Zero?

"39 Duas estrelas de nêutrons estão separadas por uma dis-tância de 1,0 x 1010 m. Ambas têm uma massa de 1,0 x 1030 kg eum raio de 1,0 x 105 m. Elas se encontram inicialmente em re-pouso relativo. Com que velocidades estarão se movendo, em re-lação a este referencial de repouso, (a) quando a distância entreelas for metade do valor inicial e (b) quando estiverem na imi-nência de colidir?

••40 No espaço sideral, a esfera A, com 20 kg de massa, está naorigem de um eixo x, e a esfera B, com 10 kg de massa, está sobreo mesmo eixo em x = 0,80 m. A esfera B é liberada a partir dorepouso, enquanto a esfera A é mantida fixa na origem. (a) Qualé a energia potencial gravitacional do sistema das duas esferas nomomento em que B é liberada? (b) Qual é a energia cinética de Bapós ter se deslocado 0,20 m em direção a A?

"41 A Fig. 13-46 mostra quatro partículas,todas de massa 20,0 g, que formam um qua-drado de lado d = 0,600 m. Se d é reduzidopara 0,200 m, qual é a variação da energiapotencial gravitacional do sistema das quatropartículas?

"42 A Fig. 13-47a mostra uma partícula Aque pode ser deslocada ao longo de um eixoy desde uma distância infinita até a origem. A origem está loca-lizada no ponto médio entre as partículas B e C, que têm massasiguais, e o eixo y é perpendicular à reta que liga essas duas par-tículas. A distância D é 0,3057 m. A Fig. 13-47 b mostra a energiapotencial U do sistema de três partículas em função da posição

FIG.13-46Problema 41.

y(crn)o I

I

I

;::;--1o1:,~ -2::::,

-3I-D--+-D-I

(a) (b)

FIG. 13-47 Problema 42.

da partícula A no eixo y. A curva na verdade se estende indefini-damente para a direita e tende assintoticamente para um valor de-2,7 x 10-11 J quando y --7 00. Qual é a massa (a) das partículas Be C e (b) da partícula A?

seção 13-7 Planetas e Satélites: As leis de Kepler-43 Fobos, um satélite de Marte, se move em uma órbita apro-ximadamente circular com 9,4 x 106 m de raio, com um período de7 h 39 minoCalcule a massa de Marte a partir dessas informações.-44 A primeira colisão conhecida entre fragmentos espaciais eum satélite artificial em operação ocorreu em 1996: a uma alti-tude de 700 km, um satélite-espião francês com um ano de usofoi atingido por um pedaço de um foguete Ariane que estava emórbita há 10 anos. Um estabilizado r do satélite foi danificado eele começou a girar sem controle. Imediatamente antes da coli-são e em quilômetros por hora, qual era a velocidade do pedaçode foguete em relação ao satélite se ambos estavam em órbitascirculares e a colisão foi (a) frontal e (b) ao longo de trajetóriasmutuamente perpendiculares?-45 O Sol, que está a 2,2 x 1020 m do centro da Via Láctea, com-pleta uma revolução em torno desse centro a cada 2,5 x 108 anos.Supondo que todas as estrelas da galáxia possuem uma massaigual à massa do Sol, 2,0 x 1030 kg, que as estrelas estão distribuí-das uniformemente em uma esfera em torno do centro da galáxiae que o Sol se encontra na borda dessa esfera, estime o númerode estrelas da galáxia.

-46 A distância média de Marte ao Sol é 1,52 vez a distância daTerra ao Sol. Use a lei dos períodos de Kepler para calcular o nú-mero de anos necessários para Marte completar uma revoluçãoem torno do Sol; compare a resposta com o valor que aparece noApêndice C.

-47 Um satélite é colocado em uma órbita elíptica, cujo pontomais distante está a 360 km da superfície da Terra e cujo pontomais próximo está a 180 km da superfície. Calcule (a) o semi-eixomaior e (b) a excentricidade da órbita.

-48 Um satélite é colocado em órbita em torno da Terra comum raio igual à metade do raio da órbita da Lua. Qual é o perí-odo de revolução do satélite em meses lunares? (Um mês lunar éo período de revolução da Lua.)-49 (a) Que velocidade linear um satélite da Terra deve terpara estar em órbita circular 160 km acima da superfície daTerra? (b) Qual é o período de revolução?

-50 O centro do Sol está em um dos focos da órbita da Terra. Aque distância desse foco se encontra o outro foco (a) em metrose (b) em termos do raio solar, 6,96 x 108 m? A excentricidade daórbita da Terra é 0,0167 e o semi-eixo maior é 1,50 x 1011 m.

-51 Um cometa que foi visto em abril de 574 por astrônomoschineses, em um dia conhecido como Woo Woo, foi avistado no-vamente em maio de 1994. Suponha que o intervalo de tempo en-tre as observações seja o período do cometa do dia Woo Woo etome a sua excentricidade como sendo 0,11. Quais são (a) o semi-eixo maior da órbita do cometa e (b) a sua maior distância ao Solem termos do raio médio da órbita de Plutão.Rs?-52 Um satélite em órbita equatorial circular permanece acimado mesmo ponto do equador da Terra ao longo de toda a órbita.Qual é a altitude da órbita (que recebe o nome de órbita geoesta-cionária)? ~

"53 Em 1610 Galileu usou seu telescópio para descobrir qua-tro satélites de Júpiter, cujos raios orbitais médios a e os períodosT aparecem na tabela a seguir.