Hohere Mathematik 1

Bernd ThallerInstitut f. Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen

http://mug.didaktik-graz.at/HM1/

pdf-Download:http://www.uni-graz.at/imawww/thaller/lehre/hm/hm1/hm1.pdf

18. Januar 2012

Inhaltsverzeichnis

1 Voraussetzungen 61.1 Elementare Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Gleichungen und Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Potenzen und Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.1 Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.2 Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5.1 Sinus und Cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5.2 Tangens, Cotangens, usw. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Funktionsbegriff 142.1 Funktion, Abbildung, Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Reelle Funktionen in einer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Funktionsdefinition durch eine grafische Darstellung . . . . . . . . 172.4 Definition einer Funktion durch eine mathematische Gleichung . . 18

2.4.1 Explizite Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.2 Beispiel: Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4.3 Implizite Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5 Definition durch eine Wertetabelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.6 Funktionen als Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.7 Elementare Manipulationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.7.1 Verschiebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.7.2 Spiegelungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.7.3 Skalierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.8 Neue Funktionen machen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.8.1 Summe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.8.2 Linearkombination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.8.3 Produkt und Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.9 Die Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.9.1 Hintereinanderausfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.9.2 Injektivitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.9.3 Der Graph der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . 26

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2.10 Qualitative Eigenschaften von reellen Funktionen . . . . . . . . . 262.11 Beispiele von Funktionen und ihre Visualisierung . . . . . . . . . 28

3 Vektoren 293.1 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Visualisierung von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3 Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4 Grundrechenarten mit Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4.1 Addition und Multiplikation mit einem Skalar . . . . . . . 323.4.2 Linearkombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5 Die Lange eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.5.1 Die euklidische Lange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.5.2 Einheitsvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.5.3 Dreiecksungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.5.4 Abstand zwischen Punkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.6 Das innere Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.6.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.6.2 Invarianz unter Rotationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.6.3 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.6.4 Orthogonalitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.6.5 Zerlegung in Vektorkomponenten . . . . . . . . . . . . . . 36

3.7 Bewegung im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.7.1 Geradlinig gleichformige Bewegung . . . . . . . . . . . . . 363.7.2 Bewegung entlang beliebiger Kurven . . . . . . . . . . . . 373.7.3 Arbeit in einem konstanten Kraftfeld . . . . . . . . . . . . 38

3.8 Das außere Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.8.1 Rechte-Hand-Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 Stetigkeit 404.1 Grenzwert einer Funktion in einem Punkt . . . . . . . . . . . . . 404.2 Nicht existierende Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.3 Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.4 Einseitige Limiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.5 Stetigkeit am abgeschlossenen Intervall . . . . . . . . . . . . . . . 454.6 Satze uber Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.7 Uneigentliche Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5 Differentiation 485.1 Tangentenproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.2 Die Ableitung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.3 Differenzierbarkeit und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.4 Bedeutung der Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.4.1 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

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5.4.2 Hohere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.5 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.5.1 Konstantenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.5.2 Potenzenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.5.3 Summenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.5.4 Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.5.5 Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.6 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.7 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.7.1 Sinus und Cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.7.2 Tangens und Cotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.7.3 Ableitung von Sinus und Cosinus . . . . . . . . . . . . . . 565.7.4 Ableitung von Tangens und Cotangens . . . . . . . . . . . 57

6 Anwendungen der Differentialrechnung 596.1 Globale Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.1.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.2 Lokale Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.2.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.2.2 Lokale Extrema sind kritische Punkte . . . . . . . . . . . . 626.2.3 Methode zum Auffinden globaler Extrema . . . . . . . . . 63

6.3 Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.3.1 Satz von Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.3.2 Mittelwertsatz der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . 64

6.4 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.5 Der Erste-Ableitungs-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.6 Konvex und konkav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.7 Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.8 Der Zweite-Ableitungs-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.9 Senkrechte Asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.10 Limes im Unendlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.10.1 Limes einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.11 Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.12 Newtons Methode zum Auffinden von Nullstellen . . . . . . . . . 746.13 Der Heronsche Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.14 Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7 Integralrechnung 777.1 Das unbestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.2 Das bestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.3 Das bestimmte Integral als Riemann-Summe . . . . . . . . . . . . 797.4 Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . 817.5 Mittelwertsatz der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

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7.6 Integral als Funktion der oberen Grenze . . . . . . . . . . . . . . 837.7 Rechenregeln fur Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7.7.1 Elementare Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.8 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

8 Logarithmus- und Exponentialfunktion 868.1 Definition des naturlichen Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . 868.2 Formeln fur den naturlichen Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . 878.3 Eigenschaften des naturlichen Logarithmus . . . . . . . . . . . . . 88

8.3.1 Asymptotisches Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888.3.2 Funktionsgraph des Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . 898.3.3 Logarithmisches Wachstum . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

8.4 Logarithmische Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908.4.1 Anwendungen bei der Integration . . . . . . . . . . . . . . 91

8.5 Die Euler’sche Zahl e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928.6 Satz von der Ableitung der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . 938.7 Die (naturliche) Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . 94

8.7.1 Definition der Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . 948.7.2 Einige Eigenschaften der Exponentialfunktion . . . . . . . 958.7.3 Ableitung der Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . 958.7.4 Stammfunktion der Exponentialfunktion . . . . . . . . . . 96

8.8 Logarithmus und Exponentialfunktion mit beliebiger Basis . . . . 968.9 Hyperbolische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.10 Arcusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998.11 Areafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008.12 Flache unter einer Kreislinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018.13 Flache unter einer Hyperbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

9 Integrationsmethoden 1079.1 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079.2 Substitutionsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1089.3 Partialbruchmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1109.4 Geloste Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

9.4.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129.4.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129.4.3 Beispiel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1139.4.4 Beispiel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1149.4.5 Beispiel 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1159.4.6 Beispiel 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1159.4.7 Beispiel 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1169.4.8 Beispiel 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1169.4.9 Beispiel 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1189.4.10 Beispiel 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

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9.4.11 Beispiel 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

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Kapitel 1

Voraussetzungen

Dieses online-Skriptum ist unvollstandig und dient lediglich zur Festsetzung desLernstoffes. Es fasst den Stoff zusammen und bringt gelegentliche Erganzun-gen zum Selbststudium. Die Beweise der mathematischen Satze fehlen meistens,manchmal wurden diese in der Vorlesung gebracht.

In der Lehrbuchsammlung finden sich einige Exemplare von:

Calculus with Analytic Geometryvon Larson, Hostetler, EdwardsHoughton-Mifflin Company, Boston, New York (2005)

Ich empfehle auch:Calculus with One and Several Variablesvon Salas, Hille, EtgenWiley & Sons (9th edition 2002)

Wer sich gerne interaktiv und kostenfrei spielt:Visual Calculus

Ganz ohne Voraussetzungen geht nix. An der Uni setzen wir normalerweise vor-aus, dass Sie zuvor eine Schule besucht haben. Daher verlangen wir auch einwenig Vorwissen fur die Hohere Mathematik, zum Beispiel uber die folgendenWissensgebiete:

1.1 Elementare Mengenlehre

Folgende grundlegende mengentheoretische Begriffe verwenden wir auf intuitiverBasis ohne genauere Erlauterung:

Menge

Eine Menge ist eine Zusammenfassung von Objekten zu einer neuen Gesamtheit.Der Mengenbegriff ist nicht ganz unproblematisch (man kann z.B. unter Russel-sche Antinomie nachgoogeln), aber wir betrachten nur solche Mengen, die aus

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solchen Objekten bestehen, fur die eindeutig entscheidbar ist, ob sie zur Mengegehoren oder nicht.

Wenn ein Objekt x zur Menge M gehort, sagen wir, dass x ein Elementder Menge M ist und schreiben x ∈ M (

”x in M“ oder

”x Element von M“).

Ansonsten, wenn x nicht in M enthalten ist, schreibt man x /∈M .Als mathematisches Kuriosum definiert man auch die Menge, die uberhaupt

kein Element enthalt: Ø = {} heißt”leere Menge“. Diese Begriffsbildung dient der

Vereinheitlichung der Sprechweise. Dadurch ist es zum Beispiel moglich, einheit-lich von der

”Losungsmenge“ einer Gleichung zu sprechen. Wenn die Gleichung

gar keine Losung hat, ist die Losungsmenge eben leer.Die Angabe einer Menge erfolgt, indem man ihre Elemente in geschwungenen

Klammern beschreibt, {...}. Das kann durch Aufzahlung erfolgen,

A = {1, 2, 3, 4, 5} = {5, 3, 1, 4, 2} = {1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5},

wobei die Reihenfolge der Aufzahlung und eventuelle Mehrfachnennungen keineRolle spielen.

Man kann auch eine Eigenschaft angeben, durch die bestimmte Elemente einervorgegebenen Grundmenge charakterisiert werden: Zum Beispiel ist

A = {x ∈ Z | x > 0 und x < 6}

eine andere Schreibweise fur die obige Menge (hier ist Z die Menge aller ganzenZahlen).

Teilmenge

Eine Menge A ist Teilmenge von B, wenn alle Elemente von A auch Elementevon B sind. Wir schreiben A ⊂ B. Zwei Mengen sind gleich, wenn A ⊂ B undB ⊂ A gilt, wenn sie also die gleichen Elemente haben.

Vereinigung

Als Vereinigung zweier Mengen A ∪B bezeichnet man die Menge

A ∪B = {x | x ∈ A oder x ∈ B}

Die Vereinigung von A und B besteht aus den Elementen von A und den Ele-menten von B.

Durchschnitt

A ∩B = {x | x ∈ A und x ∈ B}

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Ubung 1.1.1 (a) Geben Sie eine verbale Beschreibung der Durchschnitts zweierMengen A ∩B. Der Durchschnitt zweier Mengen besteht aus ...

(b) Verallgemeinern Sie die Begriffe Durchschnitt und Vereinigung auf mehrals zwei Mengen.

Wenn A und B keine gemeinsamen Elemente haben, nennt man sie disjunkt.Als Formel: A und B sind disjunkt, wenn A ∩B = Ø.

Differenzmenge, Komplement

A \B = {x | x ∈ A und x /∈ B}Wenn B eine Teilmenge von A ist, nennen wir die Differenzmenge auch das Kom-plement von B in A.

Falls die obigen Begriffe fur Sie neu sind, konsultieren Sie bitte die folgendenWeb-Seiten:

Mengen (Mathe-Online) Wiki-Books

1.2 Reelle Zahlen

Wir erwarten, dass Sie die elementaren Rechenoperationen mit reellen Zahlenbeherrschen, auch das Konzept des Buchstabenrechnens mit einer Variablen x.Der Buchstabe R bezeichnet die Menge der reellen Zahlen.Fur weitergehende Informationen zum Thema Zahlen, siehe Mathe-Online

Wir verwenden die folgenden Bezeichnungen:

N = {0, 1, 2, 3, . . .} = Menge der naturlichen Zahlen

Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .} = Menge der ganzen Zahlen

Q = {pq| p, q ∈ Z, q 6= 0} = Menge der rationalen Zahlen

Wenn wir bei den naturlichen Zahlen 0 ausschliessen wollen, schreiben wir z.B.

N \ {0}.

Fur Intervalle schreiben wir

(a, b) = {x ∈ R | a < x < b} offenes Intervall

[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} abgeschlossenes Intervall

[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}etc.

Achtung: Fur offene Intervalle gibt es die an sich bessere Bezeichnung ]a, b[.Unsere Notation fur ein offenes Intervall ist haufiger zu finden, hat aber den

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Nachteil, dass man das Intervall (a, b) ⊂ R mit dem geordneten Paar (a, b) ver-wechseln konnte.

Beachten Sie, dass +∞ und −∞ keine reellen Zahlen sind. Dennoch schreibtman gelegentlich

R = (−∞,∞)

R+ = (0,∞) = {x ∈ R | x > 0}

R+0 = [0,∞) = {x ∈ R | x ≥ 0}

Analog sind andere halbseitig unendliche Intervalle wie [a,∞), (−∞, b), etc.,definiert.

1.3 Gleichungen und Ungleichungen

Weiters ware es sehr hilfreich, wenn Sie anhand eines Schulbuchs den Umgangmit Gleichungen und Ungleichungen wiederholen wurden.

1.4 Potenzen und Logarithmen

1.4.1 Potenzen

Hier nun schnell die Rechenregeln fur Potenzen zur Erinnerung: Fur reelle Zahlenx 6= 0 und naturliche (=positive ganze) Zahlen b gilt:

xb = x.x . . . x︸ ︷︷ ︸b mal

, x−b =1

xb.

(Die Zahl b heißt Exponent, x heißt Basis). Zusatzlich definiert man x0 = 1 furx 6= 0 und 0b = 0 fur b > 0. Es gilt:

xa xb = xa+b , (xa)b = xab , xb yb = (xy)b ,

somit auchxa

xb= xa−b ,

xa

ya=

(x

y

)a.

Fur positive x ist y = x1/b jene Zahl, fur die yb = x ist. (x1/b wird auch b-teWurzel von x genannt). Somit ist (fur beliebige ganze Zahlen a, b, mit b 6= 0)die Definition von xa/b fur x > 0 kein Problem. Beliebige reelle Exponenten cdefiniert man durch einen “Grenzubergang”, dh. indem man c durch rationaleZahlen a/b approximiert. Die obigen Rechenregeln gelten dann fur positive x,y und beliebige reelle Zahlen a und b als Exponenten. Der Ausdruck 00 bleibtundefiniert, ebenso (vorlaufig) Wurzeln aus negativen Zahlen.

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1.4.2 Logarithmen

Der Logarithmus einer Zahl x zur Basis a (wobei a > 0 ist) ist derjenige Exponenty, mit dem man a potenzieren muß, um x zu erhalten.

Wir schreiben dafury = loga x.

Nach der Definition gilt dann also

x = ay.

Mit Hilfe des Logarithmus kann man offenbar die Gleichung x = ay nach yauflosen. Man erhalt y = loga x, falls x > 0 ist. Keine reelle Losung gibt es, fallsx ≤ 0 ist. Haufige Spezialfalle: ld = log2, ln = loge, log = log10.

Rechenregeln fur den Logarithmus: Diese lassen sich aus den Rechenregeln furPotenzen ableiten.

loga 1 = 0 , loga a = 1 ,

loga(kx) = loga k + loga x , fur k, x > 0,

loga xb = b loga x , fur x > 0 und b reell.

Daraus ergeben sich weitere Formeln, z.B.

logax

k= loga x− loga k , loga x

1/b =1

bloga x ,

x = aloga x (die identische Funktion fur x > 0).

Logarithmen zu verschiedenen Basen konnen einfach umgerechnet werden. Bildenwir in der obigen Gleichung auf beiden Seiten den Logarithmus zur Basis b, dannerhalten wir

logb x = (logb a)(loga x) .

Die Logarithmen zu verschiedenen Basen unterscheiden sich also nur um einemultiplikative Konstante.

1.5 Trigonometrie

1.5.1 Sinus und Cosinus

In einem rechtwinkeligen Dreieck verknupfen Sinus und Kosinus die Winkel mitden Seitenlangen.

Wir erinnern an die aus der Schule bekannten Definitionen:

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In einem rechtwinkligen Dreieck gilt:

Sinus eines Winkels =Lange der Gegenkathete

Lange der Hypotenuse,

Cosinus eines Winkels =Lange der Ankathete

Lange der Hypotenuse.

Abbildung 1.1: Die Definition von sinα und cosα im Dreieck

In einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Winkel, den eine Kathete mit der Hy-potenuse einschließt, zwischen 0 und π/2. Zur Verallgemeinerung der Definitiondes Sinus auf beliebige Winkel betrachten wir den Einheitskreis mit Mittelpunktim Koordinatenursprung eines rechtwinkligen Koordinatensystems.

Bogenmaß: Winkel werden durch die Bogenlange am Einheitskreis (= Kreis mitRadius 1) gemessen. (Der Begriff Bogenlange kann hier anschaulich verstandenwerden - man kann die Bogenlange einer Kurve messen, indem man eine Schnurentlang der Kurve auslegt. Dem Winkel von 360◦ entspricht der Umfang desgesamten Einheitskreises, also 2π. Weiters ist 180◦ gleich π im “Bogenmaß” undder rechte Winkel 90◦ entspricht π/2. Wir lassen auch großere Winkel als 2π zu,ebenso negative Winkel. So bedeutet z.B. eine Drehung um 4π eine zweimaligevolle Drehung um die eigene Achse, eine Drehung um −π/2 ist eine Drehung um90◦ in die Gegenrichtung. Von oben betrachtet ist der positive Drehsinn der gegenden Uhrzeiger. Negative Winkel entsprechen einer Drehung im Uhrzeigersinn. DieFlache des Einheitskreis-Sektors, der durch den Winkel α definiert wird, ist geradeα/2.

Definition 1.5.1 Ein beliebiger Punkt auf dem Kreis mit Radius 1 hat Koordina-ten (a, b), die die Bedingung a2 + b2 = 1 erfullen. Wir betrachten nun den Winkelx (=Bogenlange), den der zu diesem Punkt gezogene Radius mit der positivenx-Achse einschließt. Wir definieren:

sinx = b , cosx = a .

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Beispiel 1.5.1 Spezielle Werte von Sinus und Cosinus findet man durch geome-trische Betrachtungen am Dreieck, bzw. am Einheitskreis:

sinπ

2= − sin

3π

2= 1 , sin π = sin 2π = 0 .

(Analog fur den Cosinus).

Beispiel 1.5.2 x = π4. Der Winkel im Dreieck der Abbildung 1.2 ist also 45◦ und

man sieht, dass dann sinx = cosx sein muss. Aus dem Lehrsatz von Pythagorasfinden wir (sinx)2 + (cosx)2 = 1 und daraus

sinπ

4=

1√2.

Wir notieren noch die folgenden Summenformeln

sin(a+ b) = sin a cos b+ cos a sin b . (1.1)

cos(a+ b) = cos a cos b− sin a sin b . (1.2)

In diversen Formelsammlungen finden sich noch viel mehr Beziehungen fur Sinusund Cosinus. Damit konnen trigonometrische Ausdrucke auf viele Arten umge-wandelt werden, bis man sie nicht mehr erkennt.

1.5.2 Tangens, Cotangens, usw.

Tangens:

tanx =b

a=

sin(α)

cos(α)

Einige spezielle Werte

tanπ

4= 1

tanπ

2=∞

tanπ = 0 = tan 0

Cotangens:

cotx =a

b=

cosx

sinx=

1

tanx

Vor allem in der englischsprachigen Literatur sind noch folgende Begriffe ge-brauchlich:Secans:

secx =1

a=

1

cosxCosecans:

cscx =1

b=

1

sinxAlle diese Ausdrucke haben eine anschauliche Interpretation am Einheitskreis

(siehe Abb. 1.2) bzw. im rechtwinkligen Dreieck.

12

Abbildung 1.2: Trigonometrie am Einheitskreis. Geometrisch kann x als Winkel(=Bogenlange), aber auch als Flache interpretiert werden. Der Flacheninhalt desKreissektors mit Winkel x ist gleich x/2.

13

Kapitel 2

Funktionsbegriff

2.1 Funktion, Abbildung, Relation

Hier kommt eine der wichtigsten Begriffsbildungen der Mathematik, die auch inden Anwendungen der Mathematik von essentieller Bedeutung ist. Eine Funktionbeschreibt, wie eine variable Große x (die unabhangige Variable) eine andereGroße y (die abhangige Variable) beeinflusst. Ein Beispiel soll verdeutlichen, waswir damit meinen, wenn wir sagen, eine Große hangt von einer anderen Großeab.

Man kann zum Beispiel die Lufttemperatur an einer bestimmten Stelle imLaufe eines Tages aufzeichnen. Zu jedem Zeitpunkt gibt es einen (und zwar genaueinen) Temperaturwert. Zu einer bestimmten Temperatur kann es aber mehrereZeitpunkte geben, zu denen gerade diese Temperatur herrschte. Die Beziehungzwischen unabhangiger Variable (Zeit) und abhangiger Variabler (Temperatur)ist also nicht ganz symmetrisch: Die Temperatur hangt von der Zeit ab — nichtdie Zeit von der Temperatur.

Wir versuchen nun, diese Art des Zusammenhangs zweier Großen durch eineetwas formalere Definition auszudrucken.

Definition 2.1.1 Eine Funktion (=Abbildung) f ist eine Vorschrift, die jedemElement x aus einer Menge X ein eindeutiges Element y = f(x) aus einer MengeY zuordnet.

• X heißt Definitionsbereich von f und wird manchmal auch als D(f) be-zeichnet.

• Y heißt Wertemenge oder Wertevorrat.

• Man nennt y das Bild von x und x ein Urbild von y.

Die Abbildung 2.1 zeigt bereits einen recht allgemeinen Fall: Wir sehen:

14

Abbildung 2.1: Beispiel fur eine Abbildung (Funktion) zwischen endlichen Men-gen, wobei die Zuordnungsvorschrift durch Pfeile dargestellt wird

(a) Jedes x im Definitionsbereich muss durch f abgebildet werden, aber nichtjedes Element y des Wertevorrats Y muss das Bild von einem x sein.

(b) Ein y kann als Bild mehrerer Elemente aus X vorkommen.

Wir unterscheiden daher folgende Spezialfalle:

(a) Wenn eine Funktion die Eigenschaft hat, dass jedes y ∈ Y Bild von (min-destens) einem x ∈ X ist, nennt man die Funktion surjektiv.

(b) Wenn eine Funktion die Eigenschaft hat, dass es zu jedem Bild y ∈ f(X)genau ein x ∈ X gibt, das auf dieses y abgebildet wird, nennt man dieFunktion injektiv.

(c) Eine Funktion, die sowohl surjektiv als auch injektiv ist, nennt man bijektiv.

Man kann diese drei Spezialfalle ganz pragnant auch so charakterisieren:

Wenn die Gleichung y = f(x) fur jedes gegebene y ∈ Y

mindestenshochstens

genau

eine

Losung x ∈ X hat, dann ist die Funktion f

surjektivinjektivbijektiv

.

Die Abbildungen 2.2 zeigen, welche Situationen mit der Definition des Funk-tionsbegriffes ausgeschlossen sind (wenn nicht alle x ∈ X abgebildet werden,oder wenn die Zuordnung nicht eindeutig ist).

Beachten Sie die folgenden Punkte:

• Zur vollstandigen Angabe einer Funktion benotigen wir nicht nur die Abbil-dungsvorschrift, sondern insbesondere auch den Definitionsbereich X. Um

15

Abbildung 2.2: Gegenbeispiele: Diese Beziehungen zwischen den Mengen X undY sind keine Funktionen.

alle bestimmenden Teile einer Funktion f sichtbar zu machen, schreibenwir oft:

f :

{X → Y

x 7→ y = f(x)

Die abgekurzte Schreibweise y = f(x) verwendet man, wenn kein Missver-standnis auftreten kann.

• Falls A ⊂ X, heißt die Menge

f(A) = {f(x) | x ∈ A}

das Bild von A unter f . Fur das Bild von X gilt

f(X) ⊂ Y

(die Teilmengenbeziehung erlaubt auch die Gleichheit der Mengen, oft istaber f(X) echte Teilmenge von Y ).

• Aus jeder Funktion f : X → Y kann man durch Einschrankung des Werte-vorrats eine surjektive Funktion machen: f : X → f(X) ist surjektiv. Ausjeder injektiven Funktion f wird auf diesselbe Weise eine bijektive Funktion.

16

2.2 Reelle Funktionen in einer Variablen

In dieser Vorlesung beschaftigen wir uns hauptsachlich mit reellwertigen Funk-tionen einer reellen Variablen. Dabei sind X ⊂ R und Y ⊂ R.

Reellwertige Funktionen konnen auf verschiedene Weisen gegeben sein:

• durch eine grafische Darstellung (z.B. eine Messkurve) — siehe Kapitel 2.3

• durch eine mathematische Gleichung (in impliziter oder expliziter Form) —siehe Kapitel 2.4.

• durch eine Tabelle von x- und entsprechenden y-Werten (z.B. Messdaten)— siehe Kapitel 2.5.

2.3 Funktionsdefinition durch eine grafische Dar-

stellung

Abbildung 2.3: Der Borsenkurs eines Unternehmens als Funktion der Zeit wirdtypischerweise grafisch angegeben.

Der Graph einer Funktion f : X → Y ist die Menge aller jener geordnetenPaare (x, y) fur die x ∈ X und y = f(x) ist. Symbolisch:

graph(f) ={

(x, y) ∈ X × Y∣∣ x ∈ X und y = f(x)

}oder kurz

graph(f) ={

(x, f(x))∣∣ x ∈ X }

17

Wenn X und Y reelle Zahlenmengen sind, kann das Paar (x, f(x)) als Koordi-naten eines Punktes der xy-Ebene aufgefasst werden. Der Graph kann dann invielen Fallen als Kurve in der xy-Ebene visualisiert werden.

Messkurven (zB. Temperatur an einem bestimmten Ort als Funktion der Zeitwahrend eines Tages) stellen meist einen Funktionsgraphen dar. Ein Beispiel einerauf diese Art grafisch definierten Funktion ist der Borsenkurs als Funktion derZeit in Abbildung 2.3. Funktionsgraphen dienen aber auch zur Visualisierung vonFunktionen, die durch eine mathematische Gleichung definiert wurden.

2.4 Definition einer Funktion durch eine mathe-

matische Gleichung

2.4.1 Explizite Definition

Ein Beispiel fur eine explizite Definition ware

f(x) =1

1− x2

Hier darf der Definitionsbereich die Punkte x = 1 und x = −1 nicht enthalten.Wir setzen also

X = R \ {−1, 1}, Y = R

Der Name der Variablen ist nur ein Platzhalter. Man sollte einen Formelaus-druck fur eine Funktion der Struktur nach erkennen lernen:

# 7→ 1

1− (#)2

Den Ausdruck fur f(x) nennt man oft den Funktionsterm. Bitte, unterscheidenSie begrifflich die Funktion f vom Ausdruck f(x) (dem Bildwert auf den die Großex abgebildet wird).

Den Definitionsbereich erkennt man sehr oft aus der gegebenen Formel furden Funktionsterm. Einschrankungen des Definitionsbereichs kommen vor allemzustande,

• weil man nicht durch 0 dividieren darf,

• weil man nicht die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen darf (zumindestdann nicht, wenn man an reellwertigen Funktionen interessiert ist).

Frage: Was sind (unter der Annahme Y = R) naturliche Definitionsbereiche vonf(x) = 1/(x2 − 2x+ 1) und von g(x) =

√3− x?

18

2.4.2 Beispiel: Polynome

Als weiteres Beispiel fur explizit definierte Funktionen betrachten wir Polynome.Eine Funktion vom Typ

f(x) = an xn + an−1 x

n−1 + . . .+ a1 x+ a0

heißt Polynom vom Grad n (vorausgesetzt n ist eine positive ganze Zahl undan 6= 0). Der Definitionsbereich besteht aus allen reellen Zahlen, X = R.

Die folgenden Beispiele sind Spezialfalle:

f(x) = a konstante Funktion,

f(x) = k x+ d affine Funktion,

f(x) = ax2 + bx+ c quadratische Funktion.

Die affine Funktion wird oft falschlich als lineare Funktion bezeichnet. Als lineareFunktion im eigentlichen Sinn bezeichnet man strenggenommen nur die folgende:

f(x) = k x lineare Funktion.

Die lineare Funktion druckt die direkte Proportionalitat zweier Großen aus:Wenn y = kx, dann bewirken gleiche Anderungen von x gleiche Anderungen vony.

Der Graph der affinen Funktion ist eine Gerade. Daher bezeichnet man dieaffine Funktion auch als Geradenfunktion.

In den obigen Funktionstermen kommen außer der unabhangigen Variablen xnoch andere Großen (ai, k, d) vor. Diese nennt man Parameter. Der Parameterk in der affinen und linearen Funktion heißt Steigung (dieser Begriff und seineBedeutung sollte aus der Schule bekannt sein).

2.4.3 Implizite Definition

Hier ein Beispiel fur eine implizit definierte Funktion: Auf dem DefinitionsbereichX = [−1, 1] und mit dem Wertevorrat Y = [0,∞) wird eine eindeutige Funktiondurch die Gleichung

x2 + y2 = 1

implizit definiert. Durch Auflosen nach y erhalt man die Gleichung

y =√

1− x2

die dieselbe Funktion in expliziter Form definiert. Das Wurzelsymbol bezeichnetubrigens immer die positive Quadratwurzel einer nichtnegativen reellen Zahl.

Durch den angegebenen Wertevorrat haben wir die negative Wurzel ausge-schlossen. Mit dem Wertevorrat Y = (−∞, 0] hatten wir hingegen die Funktion

y = −√

1− x2

19

auf dem Definitionsbereich X erhalten.

Bemerkung (kann beim ersten Lesen ubersprungen werden):Wenn eine Funktion f : X ⊂ R→ R implizit definiert ist, hat man immer die

folgende Situation. Gegeben ist zunachst eine Gleichung von der Form

g(x, y) = 0 (im Beispiel: g(x, y) = x2 + y2 − 1).

Dabei ist g eine Funktion von zwei Variablen, d.h., der Definitionsbereich bestehtaus einer Menge von Wertepaaren (x, y). In Koordinatenschreibweise konnen dieseWertepaare als Punkte in der Ebene interpretiert werden. Wenn die Nullstellenvon g eine Kurve in der Ebene bilden, kann man diese Kurve sofern sie nichtgerade senkrecht verlauft, als Graph (siehe unten) einer Funktion auffassen

Ubung 2.4.1 Wiederholen Sie anhand eines Schulbuchs die folgenden Funktio-nen:

f(x) = x, f(x) = x2, f(x) = x3,

f(x) =√x, f(x) = |x|, f(x) =

1

xf(x) = sin x, f(x) = cos x.

Sie sollten die Graphen dieser Funktionen auf Anhieb erkennen und zeichnenkonnen.

2.5 Definition durch eine Wertetabelle

Eine Wertetabelle ist eine tabellarische Erfassung von x-Werten und dazugehori-gen y-Werten (zB. eine Excel Tabelle).

x y0.1 3.4510.2 3.5240.3 3.6010.4 3.688

......

Damit die Tabelle eine Funktion definiert, darf offenbar kein x-Wert doppelt(mit verschiedenen y-Werten) vorkommen.

Der Definitionsbereich der durch die Tabelle definierten Funktion ist

X = {0.1, 0.2, 0.3, 0.4, . . .}

20

(also die Menge der in der ersten Spalte vorkommenden x-Werte). Da alle Bild-elemente y reelle Zahlen sind, spricht nichts dagegen, als Wertevorrat die reellenZahlen anzunehmen:

Y = R.

Sollten die in der Tabelle erfassten Wertepaare nur einige Meßwerte von an-sonsten kontinuierlich variablen Großen sein, so erweitert man eventuell die ta-bellarische Definition durch Interpolation. Damit werden unter gewissen (demvorliegenden Problem angepassten) Zusatzannahmen (x, y)-Wertepaare zwischenden gegebenen Werten definiert.

2.6 Funktionen als Relationen

Fur mathematisch Anspruchsvolle: Eine Funktion ist ein Spezialfall einerRelation:

Definition 2.6.1 Eine Relation R zwischen zwei Mengen X und Y ist eine Men-ge von geordneten Paaren der Form (x, y), mit x ∈ X, y ∈ Y .

Das kartesische Produkt zweier Mengen ist die Menge aller geordneten Paare:

X × Y = {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y }

Man konnte also auch sagen: Eine Relation R ist eine Teilmenge des kartesischenProduktes der Mengen X und Y ,

R ⊂ X × Y.

Wenn (x, y) ∈ R, sagt man auch, x steht in Relation R zu y

Beispiel 2.6.1 Sei X die Menge aller Frauen und Y die Menge aller Manner ineiner Stadt, und R die Relation: x ist oder war bereits einmal mit y verheiratet.

Hier ist nun eine Definition des Wortes Funktion, die das Wort “Vorschrift” ver-meidet:

Definition 2.6.2 (Alternative Definition des Funktionsbegriffs) Eine Funk-tion ist eine Relation, die die folgenden Bedingungen erfullt:

• fur alle x ∈ X gibt es ein y ∈ Y sodass das geordnete Paar (x, y) zurRelation gehort

21

• fur zwei beliebige Paare (x1, y1) und (x2, y2) in der Relation folgt aus x1 = x2

immer, dass y1 = y2 ist.

Ubung 2.6.1 Begrunde, warum die Relation im obigen Beispiel keine Funktiondarstellt.

Die xy-Ebene ist das kartesische Produkt R×R zweier Zahlengeraden. Eine dieserZahlengeraden zeichnet man horizontal als x-Achse und die andere vertikal alsy-Achse. Die beiden Zahlengeraden schneiden sich meist im Punkt (x, y) = (0, 0).Der Graph als Teilmenge der xy-Ebene ist eine Darstellung der Relation, die dieFunktion definiert.

Aus der Definition des Begriffs Funktion folgt:

• Der Definitionsbereich X besteht aus denjenigen Punkten x der horizonta-len x-Achse, fur die gilt, dass die vertikale Gerade durch x den Graphenschneidet.

• Jede senkrechte Gerade kann den Graphen hochstens einmal schneiden.

• Der Bildbereich f(X) besteht aus denjenigen Punkten y der vertikalen y-Achse, fur die gilt, dass die horizontale Gerade durch y den Graphen min-destens einmal schneidet.

2.7 Elementare Manipulationen

Wir betrachten eine Funktion f : R → R und ihren Graphen. Dann definierenwir eine neue Funktion g durch

g(x) = f(x− c)

Den Graphen von g erhalt man, indem man den Graphen von f um c nach rechtsverschiebt (warum?). Hier folgt eine Liste von solchen einfachen Transformatio-nen:

2.7.1 Verschiebungen

g(x) = f(x+ c), c > 0 Horizontale Verschiebung von graph(f) um c nach links

g(x) = f(x− c), c > 0 Horizontale Verschiebung von graph(f) um c nach rechts

g(x) = f(x)− c, c > 0 Vertikale Verschiebung von graph(f) um c nach unten

g(x) = f(x) + c, c > 0 Vertikale Verschiebung von graph(f) um c nach oben

22

2.7.2 Spiegelungen

g(x) = f(−x) Reflexion von graph(f) an der y-Achse

g(x) = −f(x) Reflexion von graph(f) an der x-Achse

g(x) = −f(−x) Reflexion am Koordinatenursprung

2.7.3 Skalierungen

g(x) = c f(x), c > 1 Vertikale Dehnung von graph(f)

g(x) = f(c x), c < 1 Horizontale Dehnung von graph(f)

g(x) = c f(x), c < 1 Vertikale Stauchung von graph(f)

g(x) = f(c x), c > 1 Horizontale Stauchung von graph(f)

Bitte lernen Sie das nicht alles auswendig! Wenn man versteht, was da passiert,kann man es sich jederzeit uberlegen.

Wenn sie den Graphen von f(x) = sin(x) zeichnen konnen, konnen Sie mitdiesen Uberlegungen auch jederzeit den Graphen von

g(x) = K + A sin(2π

λ(x− d)

)skizzieren (wobei K,A, λ( 6= 0) und d geeignete reelle Zahlen sind). Diese Funktionkommt vor allem bei technischen Anwendungen (zB. bei der Beschreibung vonSchwingungsvorgangen) sehr oft vor.

Ubung 2.7.1 Sie haben den Graphen von f gegeben. Zeichnen Sie die Graphenvon g und h mit g(x) = f(3x) und h(x) = f(3x − 1). Um wieviel sind dieGraphen von g und h gegeneinander verschoben? (Achtung: Nicht immer ist dierasche Antwort auch die richtige!)

2.8 Neue Funktionen machen

Aus gegebenen Funktionen kann man auf viele Arten neue Funktionen konstruie-ren, sobald der Wertevorrat Y eine Struktur hat, die Rechenoperationen erlaubt.

2.8.1 Summe

Die Summe zweier reellwertiger Funktionen f und g ist eine neue Funktion h.Diese Funktion ist durch

h(x) = f(x) + g(x)

fur alle jene x definiert, die sowohl im Definitionsbereich von f , als auch im Defi-nitionsbereich von g liegen. Der Definitionsbereich von h ist also der Durchschnitt

23

der Definitionsbereiche von f und g. Bezeichnen wir den Definitionsbereich einerFunktion f mit D(f), so gilt also

D(h) = D(f) ∩ D(g)

Achtung: Durch das”+“ in f + g wird eine Verknupfung in einer Menge von

Funktionen bezeichnet. Zwei Funktionen werden addiert und das ergibt eine neueFunktion h = f + g. Die Addition von Funktionen ist uber die Addition derBildwerte definiert, h(x) = f(x) + g(x). Und hier Bezeichnet das

”+“ die ganz

normale Addition der reellen Zahlen f(x) und g(x). Das mag im Moment nachSpitzfindigkeit aussehen. Es ist aber fur das Mathematikstudium notig, sich anbegriffliche Klarheit zu gewohnen.

2.8.2 Linearkombination

Allgemeiner als die Summe ist die Linearkombination von f und g: Seien αund β zwei beliebige reelle Zahlen (“Skalare”). Setze

h(x) = α f(x) + β g(x), x ∈ D(f) ∩ D(g)

Dann ist die Funktion h eine Linearkombination der Funktionen f und g. EineKurzschreibweise der obigen Zeile ist h = α f + β g.

2.8.3 Produkt und Quotient

Analog definieren wir Produkt und Quotient zweier reellwertiger Funktionen: DasProdukt zweier Funktionen f und g ist die Funktion h, die durch

h(x) = f(x) g(x), x ∈ D(f) ∩ D(g)

gegeben ist.Der Quotient zweier Funktionen f und g ist die Funktion h, die durch

h(x) =f(x)

g(x)

auf folgendem Definitionsbereich gegeben ist:

D(h) = {x ∈ D(f) ∩ D(g) | g(x) 6= 0} ⊂ D(f) ∩ D(g)

Den Quotienten zweier Polynome nennt man eine rationale Funktion.

24

2.9 Die Umkehrfunktion

2.9.1 Hintereinanderausfuhrung

Die Zusammensetzung oder Hintereinanderausfuhrung zweier Funktionenf und g ist die Funktion h,

h(x) = f(g(x)

)Der Definitionsbereich besteht aus jenen x in D(g) fur die g(x) im Definitionsbe-reich von f liegt:

D(h) = {x ∈ D(g) | g(x) ∈ D(f)}

Bezeichnung: Die Hintereinanderausfuhrung von f und g bezeichnet man oftmit f ◦ g.

Beachte: Bei der Funktion f ◦g wird zuerst die Abbildung g auf x angewendet,dann die Abbildung f auf g(x). Die Reihenfolge der Abbildungen ist gegen dieLeserichtung.

2.9.2 Injektivitat

Wenn man zu einer gegebenen Funktion f : X → Y eine Funktion

g : D(g)→ X

finden kann, sodaß fur alle x ∈ X gilt

g ◦ f(x) = x,

dann nennt man g die Umkehrfunktion von f . Die Funktion g ist auf der Bild-menge von f (also auf der Teilmenge f(X) des Wertebereichs Y ) definiert undbildet auf den Definitionsbereich X von f ab.

D(g) = f(X) = {y ∈ Y | y = f(x) fur ein x ∈ X} ⊂ Y.

Damit so eine Funktion g (die jedem y ∈ f(X) ein eindeutiges x ∈ X zuord-net) existiert, muss die Gleichung y = f(x) fur jedes y ∈ f(X) eine eindeutigeLosung x besitzen. Eine Funktion f mit dieser Eigenschaft haben wir injektivgenannt.

Ubung 2.9.1 Uberlegen Sie, warum die folgende Definition mit der in Abschnitt 2.1gegebenen Definition von Injektivitat ubereinstimmt:

Eine Funktion f heißt injektiv, wenn aus f(x1) = f(x2) stets x1 = x2 folgt.

Die Injektivitat einer Funktion erkennt man auch an ihrem Graphen. DieFunktion ist injektiv, wenn in der xy-Ebene jede horizontale Gerade den Funkti-onsgraphen hochstens einmal schneidet.

25

Wenn die Funktion f : X → Y sogar bijektiv (also injektiv und surjektiv) ist,dann ist die Umkehrfunktion auf ganz Y definiert: D(g) = f(X) = Y .

Bezeichnung: Wenn g die Umkehrfunktion von f ist, schreibt man auch g ◦ f =id. Hier ist id die Identitat, dh., diejenige Funktion, die jedes x auf sich selbstabbildet. Die Umkehrfunktion von f bezeichnet man oft mit f−1. Es gilt also

f−1 ◦ f = id (auf X).

Analog dazu:f ◦ f−1 = id (auf f(X) ⊂ Y ).

Achtung: Verwechseln Sie nicht die Umkehrfunktion f−1 mit der Quotienten-funktion 1/f(x).

Beispiel: Die Funktion f(x) = x2 mit Definitionsbereich [0,∞) hat als Um-kehrfunktion die Wurzel g(x) =

√x und nicht etwa die Funktion h(x) = 1/x2.

Verwechseln Sie nicht die Funktion 1, die jedes x auf die Zahl 1 abbildet, mitder Identitat id, die jedes x auf x abbildet. Die Identitat ist eine lineare Funktion.

2.9.3 Der Graph der Umkehrfunktion

Wenn y = f(x) fur ein x ∈ D(f), dann gilt mit der Umkehrfunktion x = g(y). DerGraph von f ist die Menge aller geordneten Paare (x, y), der Graph von g ist dieMenge der geordneten Paare (y, x). In der xy-Ebene erhalt man den Punkt (y, x)aus dem Punkt (x, y) durch Spiegelung an der um 45 Grad geneigten Geraden.Daher erhalt man auch den Graphen der Umkehrfunktion aus dem Graphen dergegebenen Funktion durch Spiegelung an dieser Geraden.

2.10 Qualitative Eigenschaften von reellen Funk-

tionen

Wir wollen nun einige Begriffe einfuhren, die das Sprechen uber reellwertige Funk-tionen einer Variablen erleichtern sollen: (Die folgenden Aussagen gelten immerfur alle x im Definitionsbereich von f)

• Eine Funktion f ist gerade, wenn f(x) = f(−x).

Beispiel: f(x) = x2, f(x) = cos x

• Eine Funktion f ist ungerade, wenn f(x) = −f(−x).

Beispiel: f(x) = x, f(x) = x3, f(x) = sin x.

26

• Eine Funktion ist nach oben beschrankt, wenn es eine Zahl a gibt, sodassf(x) ≤ a

(analog: nach unten beschrankt, falls f(x) ≥ a).

Beispiel: f(x) = x2 nach unten beschrankt, f(x) = −x2 nach oben.

• Eine Funktion ist beschrankt, wenn es ein a > 0 gibt mit −a ≤ f(x) ≤a. Eine beschrankte Funktion ist sowohl nach oben als auch nach untenbeschrankt.

Beispiel: f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = 1/(1 + x2).

• Eine Funktion ist monoton wachsend, wenn aus x1 < x2 folgt, dassf(x1) ≤ f(x2) ist.

(analog: monoton fallend, falls f(x1) ≥ f(x2)).

Beispiel: Die konstante Funktion f(x) = k ist sowohl monoton wachsendals auch monoton fallend.

Die Heaviside’sche Stufenfunktion

f(x) =

{0, x < 0

1, x ≥ 0

ist monoton wachsend

• Eine Funktion ist streng monoton wachsend, wenn aus x1 < x2 folgt,dass f(x1) < f(x2) ist. (Analog: streng monoton fallend)

Beispiel: f(x) = kx ist streng monoton wachsend, wenn k > 0.

f(x) =√x ist streng monoton wachsend auf [0,∞)

f(x) = x2 ist streng monoton wachsend, wenn man den Definitionsbereichauf X = [0,∞) einschrankt.

f(x) = 1/x auf (0,∞) ist streng monoton fallend. Ebenso auf dem Defini-tionsbereich (−∞, 0). (Aber nicht auf (−∞, 0) ∪ (0,∞) = R \ {0}!)Beachte: Wenn eine Funktion auf ihrem ganzen Definitionsbereich strengmonoton wachsend oder fallend ist, dann besitzt sie eine Umkehrfunktion.

• Eine Funktion ist konvex, wenn sie nach oben gekrummt ist. Genauer, furbeliebige Punkte x1 und x2 des Definitionsbereiches, liegt das Geradenstuckzwischen (x1, f(x1)) und (x2, f(x2)) immer oberhalb des Funktionsgraphen.(Analog: Eine nach unten gekrummte Kurve nennt man konkav).

Beispiel: f(x) = x2 ist konvex. f(x) = cosx ist konkav auf dem Definiti-onsbereich [−π/2, π/2].

27

• Eine Funktion ist periodisch, wenn es eine Zahl p > 0 gibt, sodass f(x +p) = f(x) fur alle x ∈ R gilt. Die kleinste solche Zahl heißt Periode von f .

Beispiel: sinx und cosx sind periodisch mit Periode 2π.

2.11 Beispiele von Funktionen und ihre Visua-

lisierung

Abbildung 2.4: Darstellung von Funktionen: Das erste Bild zeigt eine Funktionvon R nach R3, dargestellt als eine Raumkurve. Das mittlere Bild zeigt eineFunktion von R2 nach R, dargestellt als Flache. Die letzte Darstellung visualisierteine Funktion von R2 nach R2 durch ein Vektorfeld.

In den Anwendungen beschreiben Funktionen Abhangigkeiten zwischen Beob-achtungsgroßen. In den folgenden Beispielen kommen als Definitionsbereich oderWertevorrat auch die Ebene R2 oder der Raum R3 vor:

1. Bei einem senkrecht fallenden Stein hangt die Fallgeschwindigkeit v von derFallzeit t ab. (Eine Funktion t→ v(t) von R nach R).

2. Bei einem beliebig geworfenen Stein hangt der Ort x von der Zeit t ab.(Eine Funktion t→ x(t) von R nach R3).

3. Bei einer stationaren Stromung hangt die Stromungsgeschwindigkeit v derLuft von der betrachteten Position x ab. (Eine Funktion x→ v(x) von R3

nach R3).

4. Der Druck p einer bestimmten Gasmenge in einem Kolbenraum hangt vomVolumen V und der Temperatur T ab. (Eine Funktion (V, T ) → p(V, T )von R2 nach R).

28

Kapitel 3

Vektoren

Unter den Funktionen, die fur Anwender der Mathematik interessant sind, sindinsbesondere solche, deren Definitionsbereich und Wertebereich nicht aus Zahlenbesteht, sondern aus Vektoren. In diesem Kapitel beschreiben wir die Definitionvon Vektoren und die wichtigsten Rechenoperationen, die mit ihnen moglich sind.

3.1 Vektoren

Oft ist es praktisch, mehrere Großen zu einem neuen Ganzen (einem Vektor)zusammenzufassen. Beispiele dafur sind:

• Die drei Ortskoordinaten eines Teilchens werden zu einem Ortsvektor zu-sammengefasst.

• Die Komponenten der Geschwindigkeit in die drei Raumrichtungen ergebenden Geschwindigkeitsvektor.

• Die elektrischen Spannungen an 25 verschiedenen Meßpunkten konnen zueinem 25-dimensionalen Vektor zusammengefaßt werden.

• Die monatlichen Lohnkosten von 123 Angestellten einer Firma konnen zueinem 123-dimensionalen Vektor zusammengefaßt werden.

• Die Stoffmengen von n chemischen Stoffen in einer Materieportion konnenzu einem n-dimensionalen Vektor zusammengefaßt werden.

Definition 3.1.1 Ein n-dimensionaler Vektor ist eine Zusammenfassung von nZahlen v1, v2, ... , vn zu einem neuen Ganzen,

v =

v1

v2...vn

, vi ∈ R.

29

Die Menge aller n-dimensionalen (reellen) Vektoren bezeichnet man als den n-dimensionalen reellen Vektorraum Rn. Die Zahlen vi heißen die Koordinaten desVektors v.

Anders als bei einer Menge von Zahlen, kommt es bei einem Vektor auf dieReihenfolge der Zahlen an. (Ein Vektor in Rn ist ein sogenanntes n-Tupel). Nor-malerweise notieren wir einen Vektor als Spaltenvektor, wie in der Definition,daneben verwendet man aber auch Zeilenvektoren:

(v1, v2, . . . , vn).

Innerhalb einer einzigen Formel darf man die Schreibweisen aber nicht durchein-anderbringen.

Gewohnliche reelle Zahlen werden zur Unterscheidung von Vektoren oft als Ska-lare bezeichnet. Man kann Skalare aber auch als “eindimensionale” Vektorenauffassen.

Beispiele fur Vektoren:

u =

11−1

∈ R3, v =

(π−2.45

)∈ R2. (3.1)

Es gibt keine Grenze fur die Dimension n eines Vektors. Fur manche Fra-gestellungen mussen sogar tausende Zahlen zu einem Vektor zusammengefasstwerden.

3.2 Visualisierung von Vektoren

Die Punkte des dreidimensionalen Anschauungsraumes konnen durch dreidimen-sionale Vektoren beschrieben werden. Dazu wahlt man im Anschauungsraumeinen Koordinatenursprung und drei Koordinatenachsen, die mit einer Langen-einteilung versehen sind. Wir bezeichnen sie als x-Achse, y-Achse, z-Achse.

Einen dreidimensionalen Vektor kann man nun als Beschreibung auffassen,wie man vom Koordinatenursprung zu einem bestimmten Punkt des Raumesgelangt. Der Vektor v = (v1, v2, v3) beschreibe folgende Anweisung: Starte amKoordinatenursprung und gehe eine Strecke der Lange v1 parallel zur x-Achse,dann v2 in Richtung der y-Achse, schließlich v3 in z-Richtung. Jeder Punkt imRaum wird auf diese Weise eindeutig durch einen Vektor reprasentiert, die dreiZahlen vi nennt man die Koordinaten des Punktes. Die Menge R3 ist die ma-thematische Beschreibung des Anschauungsraumes (bezuglich eines gewahltenKoordinatensystems).

Sehr oft visualisiert man Vektoren nicht als Punkte, sondern als Pfeile. VomKoordinatenursprung aus zeichnet man eine gerichtete Strecke (einen Pfeil) zum

30

Punkt mit den Koordinaten (v1, v2, v3). Die obige Wegbeschreibung kann danneinfacher zusammengefasst werden: Gehe in Richtung des Pfeils eine Strecke, diedurch die Lange des Pfeils gegeben ist. Die Menge aller Pfeile, die vom Koordi-natenursprung ausgehen, stellen auch eine Visualisierung des dreidimensionalenreellen Vektorraums dar.

Welche Art der Visualisierung vorgezogen wird (Punkte oder Pfeile), hangtvon der Anwendung ab. Geschwindigkeitsvektoren wird man in der Regel nicht alsPunkte in einem Geschwindigkeitsraum darstellen, sondern als Pfeile, die Rich-tung und Betrag der Geschwindigkeit beschreiben.

Vektoren, die in Bezug auf den Anschauungsraum definiert sind, kann man al-so als Objekte auffassen, die eine Richtung und eine Große (Lange) haben. Damitkann man zum Beispiel eine Kraft beschreiben, die an einem bestimmten Punkteines festen Korpers angreift, und mit einer bestimmten Starke in eine bestimmteRichtung zieht. Bei Vektoren aber, die zum Beispiel chemische Konzentrationenbeschreiben, ist die Visualisierung als eine Große, die Richtung und Lange hat,eher nicht angebracht.

Fur manche geometrische Anwendungen im R2 oder R3 denkt man sich diePfeile vom Koordinatenursprung losgelost und frei verschieblich. Eine Richtungs-anweisung kann man schließlich von jedem Punkt aus befolgen. Man unterscheidetdann nicht zwischen Pfeilen, die zwar von verschiedenen Punkten ausgehen, aberparallel zueinander sind und die gleiche Lange haben (Definition von Vektorenals Aquivalenzklasse gerichteter Strecken). Wir werden diese Vorstellung als frei-verschiebliche Pfeile nicht weiter vertiefen, da in den meisten Anwendungen dasBild eines angehefteten Pfeils zutreffender ist. Vektoren, die an verschiedenenPunkten angeheftet sind, haben normalerweise nichts miteinander zu tun.

3.3 Vektorfelder

Definition 3.3.1 Ein Vektorfeld ist eine Funktion v, die jedem Punkt x desRaumes einen Vektor v(x) zuordnet:

v :

{R3 → R3

x 7→ v(x)

Naturlich kann man diese Definition auf beliebige Dimensionen erweitern.Abbildung 2.4 zeigt ein Vektorfeld in zwei Dimensionen. Wenn das Vektorfeldzwei- oder dreidimensional ist, kann man sich den Vektor v(x) als einen amPunkt x des Raumes angehefteten Pfeil vorstellen.

Ein Paradebeispiel fur ein Vektorfeld ist das Geschwindigkeitsfeld einer Stro-mung.

Ein anderes Beispiel ist das Kraftfeld, das die Erde durch die Gravitation imWeltraum erzeugt. Wenn der Koordinatenursprung der Erdmittelpunkt ist, dann

31

beschreibt die FormelF(x) = γMm

x

|x|3

die Kraft, die auf einen Korper der Masse m am Ort x wirkt (fur Orte x außer-halb der Erdoberflache). Dabei ist M ist die Masse der Erde, γ die universelleGravitationskonstante.

In dieser Formel werden gewisse Rechenoperationen mit dem Vektor x aus-gefuhrt, um die Kraft am Ort x zu bestimmen. Einige der mit Vektoren moglichenRechenoperationen definieren wir im nachsten Kapitel.

3.4 Grundrechenarten mit Vektoren

3.4.1 Addition und Multiplikation mit einem Skalar

Vektoren gleicher Dimension werden koordinatenweise addiert.

v + w =

v1

v2...vn

+

w1

w2...wn

=

v1 + w1

v2 + w2...

vn + wn

.

Die Addition von Vektoren kann grafisch veranschaulicht werden (in zwei unddrei Dimensionen). Seien v und w am Koordinatenursprung befestigte Pfeile.Man verschiebe den Pfeil w aus dem Koordinatenursprung zur Spitze des Vektorsw. Der Summenvektor v + w ist der Pfeil vom Koordinatenursprung zur Spitzedieses verschobenen Pfeils.

Ein Vektor v wird mit einer Zahl c (einem Skalar) multipliziert, indem manjede Koordinate mit dieser Zahl multipliziert.

cv = c

v1

v2...vn

=

c v1

c v2...c vn

. (3.2)

Die Addition von Vektoren und die Multiplikation mit einem Skalar werden auchals “lineare Operationen” bezeichnet.

Multipliziert man einen Vektor mit −1, erhalt man den negativen Vektor −v,visualisiert durch einen Pfeil der gleichen Lange, der genau in die Gegenrichtungzeigt. Addiert man v und −v erhalt man den Vektor

v − v =

v1 − v1

v2 − v2...

vn − vn

=

00...0

= o,

32

den man als Nullvektor o bezeichnet.

3.4.2 Linearkombinationen

Seien vi, i = 1, . . . n Vektoren gleicher Dimension. Einen Vektor der Form

u = a1 v1 + a2 v2 + . . .+ an vn =n∑i=1

ai vi

bezeichnet man als Linearkombination der Vektoren vi (mit den Koeffizientenai). Dabei sind die Koeffizienten ai irgendwelche Zahlen und n ist eine naturlicheZahl ≥ 1,

Jeder n-dimensionale Vektor v laßt sich als Linearkombination der Koordinaten-Einheitsvektoren

e1 =

10...0

, e2 =

01...0

, · · · en =

00...1

schreiben. Es ist ja offenbar

v1e1 + v2e2 + . . .+ vnen =

v1

v2...vn

.

Die einzelnen Summanden vi ei heißen auch Komponenten des Vektors v.Die Einheitsvektoren sind linear unabhangig in dem folgenden Sinn:

Definition 3.4.1 Die Vektoren v1, . . . ,vn heißen linear unabhangig, wenn dieeinzige Linearkombination, die den Nullvektor ergibt, diejenige ist, bei der alleKoeffizienten 0 sind:

a1 v1 + a2 v2 + . . .+ an vn = o genau dann, wenn a1 = a2 = . . . = an = 0

3.5 Die Lange eines Vektors

3.5.1 Die euklidische Lange

In einem kartesischen Koordinatensystem in zwei Dimensionen zeigen die Ein-heitsvektoren

e1 =

(10

), e2 =

(01

)33

in die Richtung der Koordinatenachsen, sind also aufeinander senkrecht. Aus denKoordinaten eines beliebigen Vektors

v =

(v1

v2

)= v1e1 + v2e2

konnen wir daher die Lange dieses Vektors berechnen. Der Pfeil v bildet ja geradedie Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten die Langen |v1|und |v2| haben. Wir erhalten:

Lange von v = |v| =√v2

1 + v22

Es ist ganz leicht, das auf beliebige Dimensionen zu verallgemeinern:

Definition 3.5.1 Die (euklidische) Lange eines Vektors v ∈ Rn mit Koordinatenvi, i = 1, . . . n ist

|v| =√v2

1 + . . .+ v2n =

√√√√ n∑i=1

v2i

Die Lange eines Vektors nennt man auch den Betrag oder die Norm desVektors. Auch die Bezeichnung ‖v‖ ist fur die Norm eines Vektors gebrauchlich.

3.5.2 Einheitsvektoren

Ein Vektor der Lange 1 heißt Einheitsvektor. Falls v 6= o, so heißt

ev =( 1

|v|

)v =

v

|v|der Einheitsvektor in Richtung von v.

3.5.3 Dreiecksungleichung

Fur je zwei Vektoren gilt die Dreiecksungleichung :

|u + v| ≤ |u|+ |v|

Die Gleichheit gilt dann, wenn es eine Zahl c > 0 gibt, sodaß u = cv.

3.5.4 Abstand zwischen Punkten

Seien u und v zwei Vektoren im Rn. Der euklidische Abstand zwischen den durchdiese Vektoren beschriebenen Punkten ist der Betrag des Differenzvektors v− u

d(u,v) = |v − u| =√

(v1 − u1)2 + . . .+ (vn − un)2.

Die Dreiecksungleichung kann fur die Abstande dreier Punkte umgeschriebenwerden:

d(u,v) ≤ d(u,w) + d(w,v)

34

3.6 Das innere Produkt

3.6.1 Definitionen

Eine sehr wichtige Operation, die aus zwei Vektoren eine Zahl macht, ist dasinnere Produkt, auch Skalarprodukt genannt (bitte nicht verwechseln mit demProdukt eines Skalars und eines Vektors).

Definition 3.6.1 Das (euklidische) Skalarprodukt zweier Vektoren v und w imRn ist die reelle Zahl

v ·w = v1w1 + . . .+ vnwn =n∑i=1

viwi

Beispiel 3.6.1 Die inneren Produkte der Koordinaten-Einheitsvektoren sind

ei · ej = δij =

{1, fur i = j,

0, fur i 6= j.

Es gibt noch eine zweite, aquivalente Definition: Wenn die beiden Vektoren vund w nicht parallel sind, definieren sie eine zweidimensionale Ebene durch denKoordinatenursprung (auch im n-dimensionalen Raum). In dieser Ebene konnendie Vektoren als Pfeile eingezeichnet werden und man kann den Winkel θ bestim-men, den die Vektoren miteinander einschließen. Wenn die Vektoren in dieselbeRichtung zeigen ist der Winkel θ = 0, Wenn sie genau entgegengesetzt sind, istder Winkel θ = π.

Definition 3.6.2 Das (euklidische) Skalarprodukt zweier Vektoren v und w imRn ist die reelle Zahl

v ·w = |v| |w| cos θ.

Dabei ist 0 ≤ θ ≤ π der Winkel zwischen den beiden Vektoren.Mit Hilfe des Kosinussatzes kann man zeigen, dass die beiden Definitionen

ubereinstimmen.

3.6.2 Invarianz unter Rotationen

Die wichtigste Eigenschaft des inneren Produktes ist die Unabhangigkeit von derAusrichtung des Koordinatensystems. Wenn man das Koordinatensystem starrum den Koordinatenursprung herum dreht, dann andern sich naturlich die Ko-ordinaten der beiden Vektoren, aber nicht deren Lange und nicht der Winkel densie einschließen. Der Wert des inneren Produktes bleibt daher unverandert! DieseTatsache sieht man sofort ein, wenn man die Schreibweise |v| |w| cos θ betrachtet.

Das Skalarprodukt bleibt bei Rotationen der Koordinatenachsen unverandert.

35

3.6.3 Rechenregeln

Die wichtigsten Eigenschaften des inneren Produkts sind

u · v = v · uu · (v + w) = u · v + u ·wc (u · v) = (cu) · v = u · (cv)

o · v = 0

v · v = |v|2

3.6.4 Orthogonalitat

Zwei Vektoren heißen orthogonal, falls u · v = 0.In der Darstellung v · u = |v||u| cos θ sieht man: Das Skalarprodukt ist 0,

falls einer der beiden Vektoren o ist, oder falls cos θ = 0. Bei Einschrankung auf0 ≤ θ ≤ π ist das nur bei θ = π/2 der Fall, also beim rechten Winkel.

3.6.5 Zerlegung in Vektorkomponenten

Seien u und v Vektoren 6= o. Wir wollen u als Summe zweier Vektoren schreiben,von denen einer die Richtung von v hat, der andere orthogonal dazu ist:

u = u|| + u⊥

u|| =(|u| cos θ

) v

|v|=(u · v|v|

) v

|v|u⊥ = u− u||

Es hat der Vektor u|| offenbar dieselbe Richtung wie v, da er ein Vielfachesdes Einheitsvektors in Richtung von v ist. Ausserdem ist

u⊥ · v = u · v − u|| · v

= u · v − u · v|v|

v · v|v|

= u · v − u · v|v||v|2

|v|= 0

also sind u⊥ und v orthogonal.

3.7 Bewegung im Raum

3.7.1 Geradlinig gleichformige Bewegung

Wie beschreibt man die Bewegung entlang einer geraden Linie? Die Gerade solldurch den Punkt x0 des Raumes gehen und die Richtung der Geraden sei durchden Vektor v definiert.

36

Seien also x0 und v gegeben. Betrachte die Funktion

x :

{R→ Rn

t→ x(t) = x0 + tv

Die Bildmenge dieser Abbildung ist

{x0 + tv | t ∈ R}

also die Gerade durch den Punkt x0 (der das Bild von t = 0 ist: x0 = x(0)). DieRichtung der Geraden wird offenbar durch v dargestellt. Die Lange der Strecke,die in einer Zeiteinheit zuruckgelegt wird, ist

|x(t+ 1)− x(t)| = |v|.

Die pro Zeiteinheit zuruckgelegte Strecke ist naturlich die Geschwindigkeit derBewegung. Man bezeichnet den Vektor

v =x(t)− x(s)

t− s

als Geschwindigkeitsvektor einer gleichformigen Bewegung. Man prufe nach, dassv fur alle reellen Zahlen t und s mit t 6= s durch diese Formel gegeben ist.

3.7.2 Bewegung entlang beliebiger Kurven

Ganz allgemein konnen (Stucke von) Bahnkurven im Rn durch Funktionen

x :

{R→ Rn

t→ x(t)

beschrieben werden. Zum Beispiel beschreibt

x(t) =

(cos tsin t

), t ∈ R

eine Kreisbewegung in der Ebene mit konstantem Betrag der Geschwindigkeit,und

x(t) =

cos tsin tt

, t ∈ R

beschreibt die Bewegung entlang einer Schraubenlinie im dreidimensionalen Raum.

37

3.7.3 Arbeit in einem konstanten Kraftfeld

Es sei ein konstantes Kraftfeld gegeben:

f : R3 → R3, wobei f(x) = F

An jedem Punkt x des Raumes wird also der Kraftvektor F definiert.

Definition 3.7.1 Man nennt

F · (x2 − x1)

die Arbeit, die an einem Korper durch die konstante Kraft F verrichtet wird,wenn dieser entlang einer geraden Linie von x1 nach x2 bewegt wird.

3.8 Das außere Produkt

Alle Definitionen und Aussagen in diesem Kapitel gelten nur fur dreidimensionaleVektoren!

Definition 3.8.1 Seien

u =

u1

u2

u3

, v =

v1

v2

v3

zwei Vektoren in R3. Dann ist das außere Produkt dieser Vektoren definiert alsder Vektor

u× v =

u2v3 − u3v2

u3v1 − u1v3

u1v2 − u2v1

Achtung: Das außere Produkt ist nicht kommutativ! Hier sind die wichtigsten

algebraischen Eigenschaften des außeren Produkts. Fur alle Vektoren u, v, undw in R3 und alle Skalare c ∈ R gilt:

1. u× v = −v × u

2. u× (v + w) = u× v + u×w

3. c(u× v) = (cu)× v = u× (cv)

4. u · (v ×w) = w · (u× v) = v · (w × u)

Aus 1. folgt mit u = v sofort, dass

u× u = o

38

Aus 3. folgt mit c = 0 sofort, dass

u× o = o× u = o

u× v ist sowohl auf u als auch auf v orthogonal.

Es gilt die Formel|u× v| = |u| |v| sin θ

(beachten Sie, dass sin θ ≥ 0 fur 0 ≤ θ ≤ π. Daraus erhalten wir die geometrischeInterpretation des außeren Produkts:

|u × v| ist die Flache des von den Vektoren u und v aufgespannten Parallelo-gramms.

3.8.1 Rechte-Hand-Regel

Wir nehmen an, dass alle Vektoren als Koordinatenvektoren bezuglich eineskartesischen Koordinatensystems gegeben sind. Zusatzlich nehmen wir an, dassdie Einheitsvektoren, die die Koordinatenachsen beschreiben, nach der Rechten-Hand-Regel orientiert sind.

Dann sind beim außeren Produkt

u× v = w

die Vektoren u, v und w ebenfalls wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger derrechten Hand angeordnet.

39

Kapitel 4

Stetigkeit

4.1 Grenzwert einer Funktion in einem Punkt

In der Analysis betrachtet man Veranderungen des Funktionswertes f(x) beiVeranderungen der unabhangigen Variablen x. Der fundamentale Begriff dabeiist der Grenzwert einer Funktion in einem Punkt x = c. In vielen Fallen beob-achtet man, dass sich der Funktionswert f(x) einem bestimmten Wert L (demGrenzwert oder Limes) immer mehr annahert, wenn sich x dem Wert c annahert.Die folgende Definition prazisiert diese Beobachtung.

Definition 4.1.1 Sei a < c < b, und L ∈ R. Sei f eine Funktion mit

(a, c) ∪ (c, b) ⊂ D(f).

Die AussageL = lim

x→cf(x)

(”L ist der Limes von f(x) fur x gegen c“) bedeutet folgendes:

Fur alle ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass gilt:aus 0 < |x− c| < δ folgt |f(x)− L| < ε.

Man kann die in dieser Definition vorkommende Aussage in formal-logischerSchreibweise auf folgende Art ausdrucken:

∀ (ε > 0) ∃ (δ > 0) ∀ (x ∈ D(f)) : 0 < |x− c| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε

Zu einem gegebenen ε > 0 ein δ > 0 zu finden (und damit die Existenz so einerZahl δ nachzuweisen) ist in der Regel fur große ε leichter als fur sehr kleine. DiePhrase

”Fur alle ε > 0“ meint hier also eigentlich folgendes:

”Egal, wie klein man

die Zahl ε wahlt, ...“.Mit anderen Worten, um den Abstand zwischen f(x) und L beliebig klein

(”kleiner als ein beliebiges ε“) zu machen, muss man nur den Abstand zwischen

40

x und c klein genug machen (also kleiner als ein zum vorgegebenen ε gefundenesδ). Ein Blick auf die Abbildung 4.1 zeigt, dass man in der Regel δ umso kleinerwahlen muss, je kleiner das gegebene ε ist.

Die Stelle x = c kann, muß aber nicht dem Definitionsbereich angehoren.In der Definition wird jedenfalls die Abbildung f nicht auf c angewendet. Sieverwendet nur die Werte f(x) fur x in einer Umgebung von c. Im folgendenBeispiel soll der Grund dafur klar werden:

cx

L

y

f

ε

δ

Abbildung 4.1: Der Limes der Funktion f fur x→ c ist L. Zu jedem beliebig vor-gegebenen ε muss es ein δ geben, sodass das δ-Intervall um c durch die Funktionf zur Ganze in das ε-Intervall um L hinein abgebildet wird.

Beispiel 4.1.1 Die Funktion

f(x) =x2 − 1

x− 1

ist uberall außer an der Stelle x = 1 definiert. Es gilt

limx→1

f(x) = 2.

Begrundung:Fur x 6= 1 gilt die Rechnung

f(x) =x2 − 1

x− 1=

(x+ 1)(x− 1)

x− 1= x+ 1

41

Wenn also 0 < |x−1| < δ, so gilt |f(x)−2| = |x+1−2| = |x−1| < δ. Zu einembeliebigen vorgegebenen ε > 0, wahle daher δ = ε. Aus 0 < |x− 1| < δ folgt dann|f(x)− 2| < ε, was zu beweisen war.

Ubung 4.1.1 Geben Sie einen exakten Beweis (ε-δ-Argument) fur folgende Aus-sagen:

(a) limx→c

x = c, (b) limx→c

x2 = c2.

Wir notieren noch einen mathematischen Satz uber Grenzwerte:

Theorem 4.1.1 Wenn f und g im Punkt x = c einen Grenzwert haben,

limx→c

f(x) = L, limx→c

g(x) = M,

so existieren auch folgende Grenzwerte:

limx→c

(f(x) + g(x)

)= lim

x→cf(x) + lim

x→cg(x) = L+M

limx→c

(f(x) g(x)

)= lim

x→cf(x) lim

x→cg(x) = LM

limx→c

f(x)

g(x)=

limx→c

f(x)

limx→c

g(x)=

L

Mfalls M 6= 0.

4.2 Nicht existierende Grenzwerte

Beispiel 4.2.1 Die Funktion

f(x) =|x|x

ist an der Stelle x = 0 nicht definiert. Der Grenzwert x→ 0 existiert nicht, da dasVerhalten der Funktion bei Annaherung von links oder von rechts unterschiedlichist.

Ubung 4.2.1 Versuchen Sie, die Aussage:”

Die Funktion f hat keinen Grenzwertfur x gegen c“ zu formalisieren. Dazu genugt es, die logische Verneinung derAussage in Definition 4.1.1 zu finden.

Beispiel 4.2.2 Die Funktion

f(x) =1

x2

ist an der Stelle x = 0 nicht definiert. Der Grenzwert x → 0 existiert nicht, dadie Funktion bei kleiner werdenden |x| uber alle Grenzen wachst.

42

cx

L

y

f

ε

δ

Abbildung 4.2: Der Limes der Funktion f fur x→ c existiert nicht. Egal, wie manL wahlt: Zu dem eingezeichneten ε kann man kein δ finden, sodass das δ-Intervallum c durch die Funktion f zur Ganze in das ε-Intervall um L hinein abgebildetwird. Egal, wie klein man δ wahlt. Das Bild des δ-Intervalls besteht aus zweiTeilen, deren Abstand großer ist, als die Lange des gewahlten ε-Intervalls.

Ubung 4.2.2 Zeigen Sie formal, dass die Funktion aus dem obigen Beispiel kei-nen Grenzwert fur x gegen 0 hat. Nehmen Sie dazu an, L sei irgendeine reelleZahl. Wahlen Sie zum Beispiel ε = 1 und begrunden Sie folgende Aussage: Furalle δ > 0 gibt es x mit 0 < |x| < δ und |f(x) − L| ≥ ε. (Es gibt also kein δ,sodass aus 0 < |x| < δ folgt |f(x)− L| < ε).

Beispiel 4.2.3 Die Funktion

f(x) = sin1

x

ist an der Stelle x = 0 nicht definiert. Der Grenzwert x → 0 existiert nicht, dadie Funktion bei Annaherung an x = 0 immer schneller zwischen +1 und −1 hinund her oszilliert. Siehe Abbildung 4.3.

43

x

y

1

0

-1

0 1 2 3-1-2-3

Abbildung 4.3: Die Funktion f(x) = sin(1/x) hat keinen Limes fur x→ 0. Jedesnoch so kleine δ-Intervall um 0 wird auf das Intervall [−1, 1] abgebildet. Manbraucht also nur ε kleiner als 1 zu wahlen, um zu zeigen, dass es keinen Limes Lgeben kann.

4.3 Stetige Funktionen

Definition 4.3.1 Eine Funktion f ist stetig an der Stelle c ∈ D(f), falls

limx→c

f(x) = f(c)

Beispiel 4.3.1 Alle Polynome sind stetig.

Eine Funktion ist also an einem Punkt stetig,

• wenn dieser Punkt zum Definitionsbereich gehort,

• wenn die Funktion dort einen Grenzwert hat

• und wenn dieser Grenzwert gleich dem Funktionswert an dieser Stelle ist.

Definition 4.3.2 Eine Funktion ist stetig auf einem offenen Intervall (a, b), fallssie an jedem Punkt in diesem Intervall stetig ist. Eine Funktion, die auf R =(−∞,∞) stetig ist, heißt uberall stetig.

Falls f an einem Punkt c nicht stetig ist, so sagt man, die Funktion f hateine Unstetigkeit bei c.

Die Unstetigkeit ist behebbar, wenn durch Definition oder Umdefinition desWertes f(c) erreicht werden kann, dass f an der Stelle c stetig ist.

Beispiel 4.3.2 Die ggZ-Funktion

bxc := großte ganze Zahl n sodass n ≤ x

hat nicht behebbare Unstetigkeiten bei jeder ganzen Zahl z. Sie ist stetig auf jedemoffenen Intervall (z, z + 1).

44

4.4 Einseitige Limiten

Betrachtet man beim Limes x→ c nur solche x die großer als c sind, spricht manvom Limes von rechts und schreibt

limx→c+

f(x) = L

Die formale Definition lautet:Fur alle ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass gilt:aus 0 < x− c < δ folgt |f(x)− L| < ε.Oder:

∀ (ε > 0) ∃ (δ > 0) : 0 < x− c < δ ⇒ |f(x)− L| < ε

Analog definiert man den Limes von links, bei dem x kleiner als c ist.

Ubung 4.4.1 Formulieren Sie selbst eine Definition fur den”

Limes von links“:

limx→c−

f(x) = L

In dieser Definition durfen nur solche x vorkommen, die kleiner als c sind (alsoauf der x-Achse links von c liegen.

Beispiel 4.4.1 Bei der ggZ-Funktion bxc existieren bei jeder ganzen Zahl dieeinseitigen Limiten von rechts und von links. Sie sind aber verschieden.

Es gilt: Der Limes von f fur x→ c existiert genau dann, wenn beide einseitigeLimiten existieren und gleich sind.

4.5 Stetigkeit am abgeschlossenen Intervall

Definition 4.5.1 Eine Funktion f ist auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b]stetig, falls sie auf dem offenen Intervall (a, b) stetig ist und an den Stellen aund b die entsprechenden einseitigen Limiten existieren und gleich f(a) bzw. f(b)sind. Dh.:

limx→a+

f(x) = f(a), limx→b−

f(x) = f(b).

Die Funktion ist also stetig von rechts an der Stelle a und stetig von links an derStelle b.

Beispiel 4.5.1 Die Wurzelfunktion f(x) =√x ist an der Stelle x = 0 stetig von

rechts, also auf jedem abgeschlossenen Intervall [0, b] stetig (wobei b > 0). DieFunktion f(x) =

√1− x2 ist auf dem abgeschlossenen Intervall [−1, 1] stetig.

Beispiel 4.5.2 Die ggZ-Funktion f(x) = bxc ist bei jeder ganzen Zahl stetig vonrechts aber unstetig von links.

45

4.6 Satze uber Stetigkeit

Theorem 4.6.1 (Stetigkeit kombinierter Funktionen). Seien f und g Funk-tionen, die an der Stelle c stetig sind. Dann sind die folgenden Funktionen auchan der Stelle c stetig:

af + bg Linearkombination mit a, b ∈ Rf g Produkt

f

gQuotient, falls g(c) 6= 0

Theorem 4.6.2 (Stetigkeit der Hintereinanderausfuhrung). Sei f stetigbei c und g stetig bei f(c), dann ist auch g ◦ f stetig bei c.

Ubung 4.6.1 Beweisen Sie die Aussage von Theorem 4.6.2 mit einem ε-δ-Argument.

Theorem 4.6.3 (Zwischenwertsatz). Sei f stetig auf einem abgeschlossenenIntervall [a, b]. Sei f(a) ≤ k ≤ f(b). Dann gibt es mindestens eine Zahl c ∈ [a, b]sodass f(c) = k.

Wir kommen spater noch einmal auf diesen Satz zuruck (siehe Theorem 6.11.1).Der Beweis ist nicht ganz einfach. Wenn man bei Stetigkeit aber an die

”Blei-

stiftstetigkeit“ denkt, ist die Aussage unmittelbar einleuchtend (der Graph einer

”Bleistift-stetigen Funktion“ lasst sich in einem Zug, ohne den Bleistift abzuset-

zen, zeichnen).

4.7 Uneigentliche Grenzwerte

Wenn der Funktionswert |f(x)| unbeschrankt wachst, sobald sich x einem Wertc nahert, spricht man von einem uneigentlichen Grenzwert.

Definition 4.7.1 Sei (a, b) ein offenes Interval, das den Punkt x = c enthalt.Die Funktion f sei auf diesem Intervall, mit Ausnahme des Punktes c, definiert.Die Aussage

limx→c

f(x) =∞

bedeutet folgendes:Fur alle M > 0 existiert ein δ > 0, sodass gilt:Aus 0 < |x− c| < δ folgt f(x) > M .

Formal ausgedruckt:

∀ (M > 0) ∃ (δ > 0) : 0 < |x− c| < δ ⇒ f(x) > M

46

Eine analoge Definition gilt fur den uneigentlichen Limes −∞, und in sinn-gemaßer Abwandlung definiert man die einseitigen Limiten ±∞:

Definition 4.7.2 Sei fur ein a ∈ R das Intervall (a,∞) im Definitionsbereichder Funktion f enthalten. Die Aussage

limx→∞

f(x) = L

bedeutet folgendes:Fur alle ε > 0 existiert ein M ∈ R, sodass gilt:Aus x > M folgt |f(x)− L| < ε.

Formal ausgedruckt:

∀ (ε > 0) ∃ (M ∈ R) : x > M ⇒ |f(x)− L| < ε

Ubung 4.7.1 Formulieren Sie selbst eine Definition fur die Aussagen

(a) limx→c

f(x) = −∞ (b) limx→c+

f(x) =∞, (c) limx→−∞

f(x) = L

Achtung: Die Symbole ±∞ werden nicht als reelle Zahlen betrachtet. Mankann aber fur das Rechnen mit uneigentlichen Limiten gewisse Regeln aufstellen.

47

Kapitel 5

Differentiation

5.1 Tangentenproblem

Gegeben sei eine Funktion f : R → R. Wir suchen eine Tangente an den Funk-tionsgraphen in einem bestimmten Punkt (x, y) = (c, f(c)). Dh., wir suchen eineGerade durch diesen Punkt, die in einem noch zu definierenden Sinn dort dieselbeSteigung hat, wie der Funktionsgraph.

Betrachte zunachst die Gerade, die durch die zwei Punkte (c, f(c)) und (c +∆x, f(c + ∆x) des Funktionsgraphen definiert wird (Sekante). Dabei ist ∆xeinfach eine reelle Zahl. Die einzige Bedingung ist, dass ∆x so klein ist, dass dasIntervall zwischen c und c+ ∆x im Definitionsbereich der Funktion liegt.

Die Formel fur die Gerade durch zwei gegebene Punkte (x1, y1) und (x2, y2)ist y = kx+ d mit

k =y2 − y1

x2 − x1

, d = y1 − k x1.

Diese Werte erhalt man durch Auflosung des Gleichungssystems

y1 = kx1 + d, y2 = kx2 + d

nach k und d.Setzen wir die beiden Punkte des Funktionsgraphen ein, erhalten wir

k =f(c+ ∆x)− f(c)

∆x

Das ist der sog. Differenzenquotient, das Verhaltnis der Anderung der Funk-tionswerte zur Anderung der Argumentwerte. Der Differenzenquotient ist eineFunktion des betrachteten Wertes c und der Lange ∆x. Fur ∆x = 0 ist derDifferenzenquotient nicht definiert.

Definition 5.1.1 Sei eine Funktion auf einem offenen Intervall definiert, dasden Punkt c enthalt. Falls der Limes

f ′(c) = lim∆x→0

f(c+ ∆x)− f(c)

∆x

48

existiert, dann nennt man die Gerade durch den Punkt (c, f(c)) mit Steigungf ′(c) die Tangente an den Graphen von f im Punkt (c, f(c)).

Die Zahl f ′(c), also die Steigung der Tangente, nennt man auch die Steigungder Funktion f im Punkt c.

Ubung 5.1.1 Ermittle die Gleichung der Tangente an den Funktionsgraphen imPunkt (c, f(c)).

Falls eine Funktion am Punkt c stetig ist, der obige Limes aber ∞ oder −∞ist, dann bezeichnet man die vertikale Linie x = c (Parallel zur y-Achse) alsvertikale Tangente an den Graphen von f im Punkt (c, f(c)).

Vertikale Tangenten konnen auch am Rand eines Definitionsbereiches [a, b]auftreten, man betrachtet dann die entsprechenden einseitigen Limiten des Dif-ferenzenquotienten. Ein Beispiel ist die Funktion f(x) =

√x auf [0,∞). Diese

Funktion hat eine vertikale Tangente bei 0, dh.

lim∆x→0+

√∆x−

√0

∆x= lim

∆x→0+

1√∆x

=∞.

5.2 Die Ableitung einer Funktion

Definition 5.2.1 Zu einer gegebenen Funktion f definiert man die Funktion f ′

(Ableitung von f) durch

f ′(x) = lim∆x→0

f(x+ ∆x)− f(x)

∆x

Der Definitionsbereich von f ′ ist die Menge aller jener Punkte x des Definitions-bereichs von f , fur die der obige Limes existiert.

Die Funktion f ′ beschreibt an jeder Stelle die dortige Steigung der Funktionf .

Man nennt eine Funktion f an der Stelle x differenzierbar, wenn f ′(x)existiert. Die Funktion ist differenzierbar im offenen Intervall (a, b), falls dieAbleitung an jedem Punkt des Intervalls existiert. Die Berechnung der Ableitungnennt man auch Differentiation.

Notation: Bezeichnungen fur die Ableitung von f an einer Stelle x;

f ′(x),df(x)

dx,

d

dxf(x),

df

dx(x)

Bezeichnungen fur die Ableitungsfunktion sind

f ′,df

dx, fx, Dxf

49

In Anlehnung an y = f(x) schreibt man fur die Ableitung oft

y′,dy

dx

dy/dx spricht man “die Ableitung von y nach x”. Die Notation ist sehr verbreitet,aber die Abhangigkeit von der Stelle x, an der die Ableitung berechnet wird, istnicht in der ublichen Funktionsschreibweise dargestellt:

dy

dx= lim

∆x→0

∆y

∆x= f ′(x)

Wenn man daher explizit die Ableitung an der Stelle x = c meint, schreibt mandann oft sowas wie

dy

dx

∣∣∣∣c

.

Definition 5.2.2 Eine Funktion f ist differenzierbar im abgeschlossenenIntevall [a, b], wenn sie im offenen Intervall (a, b) differenzierbar ist, und an denRandpunkten die sogenannten einseitigen Ableitungen existieren:

lim∆x→0+

f(a+ ∆x)− f(a)

∆x, lim

∆x→0−

f(b+ ∆x)− f(b)

∆x,

(also die rechtsseitige Ableitung an der Stelle a und die linksseitige Ableitung ander Stelle b).

5.3 Differenzierbarkeit und Stetigkeit

Fur die Ableitung von f an der Stelle c gilt auch die Darstellung

f ′(c) = limx→c

f(x)− f(c)

x− c

Theorem 5.3.1 Falls f an der Stelle c differenzierbar ist, dann ist f an derStelle c stetig.

Beweis:

limx→c

(f(x)− f(c)

)= lim

x→c

((x− c)f(x)− f(c)

x− c

)= lim

x→c(x− c) lim

x→c

(f(x)− f(c)

x− c

)= (c− c) f ′(c) = 0

50

Daraus folgtlimx→c

f(x) = f(c)

was zu beweisen war.�

Die umgekehrte Aussage ist nicht richtig. Es ist moglich, dass eine Funktion stetigan einer Stelle c ist, aber dort nicht differenzierbar ist. Ein Beispiel ist f(x) = |x|.Diese Funktion ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar, wohl aber stetig. In diesemFall ist die rechtsseitige Ableitung an der Stelle c = 0 ungleich der linksseitigenAbleitung:

limx→c+

f(x)− f(c)

x− c6= lim

x→c−

f(x)− f(c)

x− c

5.4 Bedeutung der Ableitung

Der fur die Anwendungen wichtigste Aspekt der Ableitung ist die Beschreibungder Anderungsgeschwindigkeit einer Funktion. Fur kleine ∆x beschreibt derBruch

f(x+ ∆x)− f(x)

∆x

die Anderung der Große f(x) im Verhaltnis zur Anderung der Große x. DerZahlenwert der Ableitung ist dann gross, wenn sich die Funktion bei Anderungenvon x rasch andert.

5.4.1 Kinematik

Bei der Beschreibung der Bewegung eines Korpers entlang einer geraden Linieerfolgt durch Angabe der Position s(t) als Funktion der Zeit t.

Falls sich wahrend der Zeitspanne ∆t die Position um ∆s = s(t+ ∆t)− s(t)andert, dann nennt man den Differenzenquotienten

s(t+ ∆t)− s(t)∆t

die Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitintervall von t bis t+ ∆t. Beachte,dass die Durchschnittsgeschwindigkeit sowohl von der Zeit t als auch vom Zeit-schritt ∆t abhangt. Man kann die Durchschnittsgeschwindigkeit auch als Funkti-on von Anfangs- und Endzeitpunkt des betrachteten Zeitintervalls schreiben. Mitt1 = t+ ∆t:

s(t1)− s(t)t1 − t

Die Momentangeschwindigkeit oder einfach Geschwindigkeit des Korperszur Zeit t erhalt man im Limes ∆t→ 0 bzw t1 → t. Die Geschwindigkeit ist also

51

die Ableitung der Positionsfunktion s(t).

v(t) = s′(t) = lim∆t→0

s(t+ ∆t)− s(t)∆t

Die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeitsfunktion:

a(t) = v′(t) = lim∆t→0

v(t+ ∆t)− v(t)

∆t

5.4.2 Hohere Ableitungen

Die Beschleunigung ist ein Beispiel einer hoheren Ableitung der Ortsfunktion:

a(t) = v′(t) = s′′(t)

Analog ist die Ableitung der Beschleunigung die dritte Ableitung der Ortsfunk-tion. Ableitungen konnen mit beliebiger Ordnung n ∈ N definiert werden.

Notation: Ableitungen hoherer Ordnung bezeichnet man wie folgt:

f ′′(x) =d

dxf ′(x),

d2

dx2f(x),

d2y

dx2, D2

x

(f(x)

), fxx(x)

f ′′′(x) =d

dxf ′′(x),

d3

dx3f(x),

d3y

dx3, D3

x

(f(x)

), fxxx(x)

f (4)(x) =d

dxf ′′′(x),

d4

dx4f(x),

d4y

dx4, D4

x

(f(x)

)5.5 Ableitungsregeln

5.5.1 Konstantenregel

Theorem 5.5.1 Die Ableitung einer konstanten Funktion ist 0. Wenn k einebeliebige reelle Zahl ist, ist

d

dxk = 0

5.5.2 Potenzenregel

Theorem 5.5.2 Sei a eine reelle Zahl ungleich 0. Die Funktion f(x) = xa hatdie Ableitung

f ′(x) = a xa−1

52

Achtung: Der Definitionsbereich von xa und der Bereich der Differenzierbarkeithangt von a ab! Wenn fur gegebenes a die Funktion xa−1 auf einem offenenIntervall definiert ist, das 0 enthalt, dann ist f an der Stelle x = 0 differenzierbar.Die Funktionen x1/n, n ∈ N, sind bei x = 0 nicht differenzierbar.

Zum Beweis fur a = n, eine positive ganze Zahl, benotigt man den Bino-mischen Lehrsatz. Er ist fur sich alleine betrachtet wichtig, daher skizzieren wirdiesen Satz hier. Wir benotigen das Pascalsche Dreieck, in dem jede Zahl dieSumme der beiden daruber stehenden ist:

n = 0n = 1n = 2n = 3n = 4

k = 0

→ 1→ 1 1→ 1 2 1→ 1 3 3 1→ 1 4 6 4 1↗ ↗ ↗ ↗ ↗

1 2 3 4

Pascalsches Dreieck

Das Pascalsche Dreieck ist hier nur bis zur vierten Zeile gezeichnet, die Zeilenzahln ist aber unbeschrankt, es gilt k ≤ n. Die Zahl in der n-ten Zeile und k-ten Spaltebezeichnet man auch mit (

nk

)(sprich: n uber k)

Es gilt (nk

)=

n!

k! (n− k)!

Der binomische Lehrsatz lautet nun:

(a+ b)n =n∑k=0

(nk

)ak bn−k

Im Beweis der Potenzregel wird der binomischen Lehrsatz bei der Analyse desfolgenden Ausdrucks benotigt:

lim∆x→0

(x+ ∆x)n − xn

∆x

5.5.3 Summenregel

d

dx

(f(x) + g(x)

)= f ′(x) + g′(x)

oder allgemeiner:

d

dx

(a f(x) + b g(x)

)= a

d

dxf(x) + b

d

dxg(x)

Diese Eigenschaft meint man, wenn man sagt, die Ableitung ist eine lineareOperation.

53

5.5.4 Produktregel

d

dx

(f(x) g(x)

)= f(x) g′(x) + f ′(x) g(x)

Beweis: Der Beweis verwendet nur die grundlegenden Eigenschaften des Limesvon Summen bzw. Produkten, siehe Theorem 4.1.1.

d

dx

(f(x) g(x)

)= lim

∆x→0

f(x+ ∆x) g(x+ ∆x)− f(x) g(x)

∆x

= lim∆x→0

f(x+ ∆x) g(x+ ∆x)

erganzt︷ ︸︸ ︷−f(x) g(x+ ∆x) + f(x) g(x+ ∆x)− f(x) g(x)

∆x

= lim∆x→0

f(x+ ∆x)− f(x)

∆xg(x+ ∆x) + lim

∆x→0f(x)

g(x+ ∆x)− g(x)

∆x

= lim∆x→0

f(x+ ∆x)− f(x)

∆xlim

∆x→0g(x+ ∆x) + f(x) lim

∆x→0

g(x+ ∆x)− g(x)

∆x= f ′(x) g(x) + f(x) g′(x)

�

5.5.5 Quotientenregel

Uberall, wo g(x) 6= 0, gilt

d

dx

(f(x)

g(x)

)=g(x) f ′(x)− f(x) g′(x)(

g(x))2

5.6 Kettenregel

Die Kettenregel beschreibt die Ableitung einer Hintereinanderausfuhrung vonFunktionen:

Theorem 5.6.1 Falls g(y) eine differenzierbare Funktion von y ist, und f(x)eine differenzierbare Funktion von x, dann ist auch

h(x) = g(f(x)

)= g ◦ f(x)

eine differenzierbare Funktion von x und

h′(x) =d

dxg(f(x)

)= g′(f(x)) f ′(x) =

dg

dy

∣∣∣∣y=f(x)

df

dx

∣∣∣∣x

54

Schreiben wir z = g(y) und y = f(x), so lautet die Kettenregel

dz

dx=dz

dy

dy

dx

Das ist die Hauptmotivation fur die Schreibweise dy/dx, etc. Die Kettenregelerlaubt es, mit Differentialquotienten ahnlich wie mit Bruchzahlen umzugehen.Man kann die Kettenregel als “Herauskurzen” von dy aus dem obigen Ausdruckinterpretieren.

5.7 Trigonometrische Funktionen

5.7.1 Sinus und Cosinus

Die trigonometrische Funktionen Sinus und Cosinus braucht man zur Mo-dellierung von Schwingungsvorgangen.

Aus der Definition von Sinus und Cosinus (Abschnitt 1.5.1) erkennt manfolgende Eigenschaften:

• Im Definitionsbereich sind alle reellen Zahlen x. Die Bildmenge ist das In-tervall [−1, 1] (= die Menge aller Zahlen y mit −1 ≤ y ≤ 1).

• Periodizitat: sin(x+ 2π) = sin x, cos(x+ 2π) = cos x.

• Nullstellen der Sinusfunktion: . . ., −π, 0, π, 2π, . . . (allgemein kπ mit be-liebiger ganzer Zahl k). Die Nullstellen des Cosinus liegen dazwischen, bei−π/2, π/2, 3π/2, 5π/2, etc.

• Symmetrie: Sinus ist eine ungerade, Cosinus ist eine gerade Funktion

• sin2 x + cos2 x = 1. Im Dreieck mit Hypotenuse 1 ist das der Satz vonPythagoras

• cosx = sin(x+ π

2

). Der Cosinus ist ein verschobener Sinus.

• Verhalten fur kleine Argumente: Da sich fur sehr kleine Winkel x die Bo-genlange am Einheitskreis (= x) vom Sinus kaum mehr unterscheidet, gilt

limx→0

sinx

x= 1 . (5.1)

Fur den Cosinus gilt folgende Formel:

limx→0

cosx− 1

x= 0 . (5.2)

55

(Kurzbegrundung: Da die Kurve cosx− 1 oben rund ist, geht sie fur x→ 0schneller gegen 0 als die lineare Funktion x. Der Quotient strebt also gegen0).

Abbildung 5.1: Die Funktionen sin x und cosx.

5.7.2 Tangens und Cotangens

Tangens und Cotangens sind ungerade Funktionen mit der Periode π.Aus den Funktionsgraphen sieht man, dass man den Cotangens aus dem Tan-

gens durch Spiegelung an der Geraden x = π/4 erhalt: In Formeln, cot(x) =tan(π/2− x) = 1/ tan(x).

5.7.3 Ableitung von Sinus und Cosinus

Die Regel fur die Ableitung von Sinus und Cosinus kann aus der Definition desDifferentialquotienten d sin(x)/dx mit Hilfe der Summensatze gewonnen werden:

d

dxsinx = cosx ,

d

dxcosx = − sinx , (5.3)

Beweis: Wir verwenden die Formel (siehe Gleichung (1.1))

sin(a+ b) = sin a cos b+ cos a sin b . (5.4)

Wir werden die analoge Formel fur den Cosinus hier nicht brauchen. Da der Cosi-nus ein um π/2 verschobener Sinus ist, gilt dasselbe fur die Ableitungsfunktionen.

56

Abbildung 5.2: Die Funktionen tan x und cot x

Wir fuhren die Rechnung also nur fur Sinus aus:

d

dxsinx = lim

∆x→0

sin(x+ ∆x)− sinx

∆x

= lim∆x→0

sinx cos ∆x+ cosx sin ∆x− sinx

∆x

= sinx lim∆x→0

cos ∆x− 1

∆x+ cosx lim

∆x→0

sin ∆x

∆x= (sinx) 0 + (cosx) 1 = cosx

Dabei haben wir das Verhalten fur kleine x benutzt, siehe die Gleichungen (5.1)und (5.2). Die Ableitung des Cosinus ergibt sich durch eine analoge Rechnung,oder einfach durch Verschiebung des Resultats fur die Ableitung des Sinus umπ/2 nach links: cos(x+ π/2) = − sinx. Fertig.

5.7.4 Ableitung von Tangens und Cotangens

Aus den Definitionen von Tangens und Cotangens konnen wir mit Hilfe der Quo-tientenregel deren Ableitungen berechnen:

d tanx

dx=

1

cos2 x= 1 + tan2 x (5.5)

57

d cotx

dx= − 1

sin2 x= −(1 + cot2 x) (5.6)

58

Kapitel 6

Anwendungen derDifferentialrechnung

6.1 Globale Extrema

6.1.1 Definitionen

Extremwerte haben mit dem bedeutenden Problem der Optimierung zu tun.

Typische Fragestellung: Unter allen Konservendosen, die einen gegebenen In-halt fassen mussen, fuhrt welcher Radius zur geringsten Oberflache? Die Frageist von okonomischer Bedeutung, da die kleinste Oberflache den geringsten Ma-terialverbrauch bei der Herstellung der Dose bedeutet.

Eine Konservendose ist typischerweise ein Zylinder. Sein Volumen ist V =r2π h. Bei gegebenen Volumen ist die Hohe der Konservendose eine Funktion desRadius ist: h(r) = V

r2π. Daher lasst sich auch die Oberflache F (bei gegebenen

Volumen) als Funktion des Radius auffassen:

F (r) = 2r2π + 2rπh(r) = 2r2π +2V

rWir suchen nun denjenigen Radius, bei dem diese Oberflache den kleinstmogli-

chen Wert (”Minimum“) hat. Wenn wir r in cm messen und das Volumen als 1 Li-

ter (1000 cm3) annehmen, dann sieht die Funktion F (r) wie in der Abbildung 6.1aus. Daraus kann man den ungefahren Wert fur r ermitteln.

Genauere Antworten liefert die Differentialrechnung. Wir definieren zunachsteinige Begriffe:

Definition 6.1.1 (Globale Extrema) Sei die Funktion f auf einem IntervallI ⊂ R definiert und sei c ∈ I.

1) Der Wert f(c) ist das Minimum (auch globales Minimum, oder ab-solutes Minimum) von f auf dem Intervall I, falls gilt:

f(c) ≤ f(x) fur alle x ∈ I.

59

0 5 10 15Radius

500

1000

1500

2000

Oberfläche

Abbildung 6.1: Oberflache einer Konservendose als Funktion des Radius (beivorgegebenem Volumen)

2) Der Wert f(c) ist das Maximum (auch: globales Maximum oder ab-solutes Maximum) von f auf dem Intervall I, falls gilt:

f(c) ≥ f(x) fur alle x ∈ I.

Minimum und Maximum heißen auch Extremwerte oder Extrema.

Gegenbeispiel: Die Funktion f(x) = x mit Definitionsbereich (0, 1) (offenesIntervall) hat weder ein Maximum noch ein Minimum. Die Bildmenge ist ja wiederein offenes Intervall und es gibt keinen großten oder kleinsten Wert in einemoffenen Intervall.

(Obwohl es offensichtlich ist, geben wir einen Beweis, dass f kein Minimumhat, um uns im formalen Argumentieren zu uben: Nehmen wir an, es gabe eineZahl c in (0, 1), sodaß f(c) der kleinstmogliche Wert von f in (0, 1) ist. Da c imoffenen Intervall (0, 1) liegt, ist c > 0. Ebenso ist d = c/2 > 0, also in (0, 1). Alsoist f(d) = d < c = f(c). Somit ist bei c nicht das Minimum. Die Annahme fuhrtalso zu einem Widerspruch, kann also niemals richtig sein.)

Theorem 6.1.1 (Extremwertsatz) Falls f stetig auf einem abgeschlossenenIntervall [a, b] ist, dann hat f dort sowohl ein Minimum als auch ein Maximum.

Dieser Satz wurde von Karl Weierstraß (1815-1897) bewiesen. Er besagt, dasses fur eine stetige Funktion f in einem abgeschlossenen Intervall [a, b] zwei Stellenc und d gibt, sodass f(c) ≤ f(x) ≤ f(d) fur alle x ∈ [a, b] gilt. Leider gibt derSatz keine Auskunft daruber, wie man diese Extremstellen findet. Im Rahmendieses Kurses verzichten wir auf den Beweis dieses Satzes, wir werden die Aussage

60

des Satzes aber verwenden, um andere Resultate zu begrunden (zB. den Satz vonRolle 6.3.1).

Ein Beispiel ist die Funktion f(x) = x auf dem Intervall [0, 1], deren Extremaam Rand des Definitionsintervalls liegen.

Das Theorem 6.1.1 steht in Beziehung zu folgender Aussage:

Theorem 6.1.2 Das Bild eines abgeschlossenen Intervalls unter einer stetigenAbbildung f ist ein abgeschlossenes Intervall. Also: Sei f : [a, b] → R mit a ≤ beine stetige Abbildung. Dann ist

f([a, b]) = [fmin, fmax].

Dabei ist fmin das Minimum und fmax ist das Maximum von f .

Fur offene Intervalle gilt das nicht: Zum Beispiel ist das Bild des offenenIntervalls (−1, 1) unter der stetigen Abbildung f(x) = x2 das Intervall [0, 1), wasweder offen noch abgeschlossen ist.

Man vergleiche hierzu auch den Zwischenwertsatz (Theorem 6.11.2 weiter un-ten).

(Eine Bemerkung fur Mathe-Freaks: Das Urbild eines offenen Intervalls un-ter einer stetigen Abbildung ist immer eine offen Menge, also eine abzahlbareVereinigung disjunkter offener Intervalle.)

6.2 Lokale Extrema

6.2.1 Definitionen

Eine Funktion hat ein lokales Maximum bei einer Stelle c, wenn f(c) ≥ f(x) furalle x “genugend nahe bei c” gilt. Genauer gesagt:

Definition 6.2.1 (Lokale Extrema) Sei f auf einem Intervall I definiert, dasden Punkt c enthalt.

1) f(c) nennt man ein relatives Minimum von f (auch: lokales Mini-mum), falls es Zahlen a < c < b gibt, sodass f(c) das Minimum von f auf demIntervall (a, b) ∩ I ist.

2) f(c) nennt man ein relatives Maximum von f (auch: lokales Maxi-mum), falls es Zahlen a < c < b gibt, sodass f(c) das Maximum von f auf demIntervall (a, b) ∩ I ist.

Diese Definition schließt den Fall ein, dass die lokale Extremstelle c am Randdes Definitionsintervalls I liegt. Fur c im Inneren von I kann auch das Intervall(a, b) so gewahlt werden, dass es zur Ganze in I liegt (siehe Abbildung 6.2.

Ein globales Extremum ist immer auch ein lokales Extremum.

61

[ )

lokales

Maximum lokales

Maximum

lokales

Minimum

globales

Minimum

Abbildung 6.2: Eine Funktion mit einem globalen Minimum und lokalen Extrema,aber keinem globalen Maximum (da das Definitionsintervall auf der rechten Seiteoffen ist)

Definition 6.2.2 Sei f an der Stelle c definiert. c heißt kritischer Punkt vonf , falls gilt: f ′(c) = 0 oder f ist bei c nicht differenzierbar.

Wenn f auf einem abgeschlossenen Intervall definiert ist, sind auch die Rand-punkte kritische Punkte (die Funktion ist an einem Randpunkt nicht differen-zierbar, da dort nur einseitige Ableitungen existieren).

Jeder Punkt im Definitionsbereich einer konstanten Funktion ist ein kritischerPunkt.

6.2.2 Lokale Extrema sind kritische Punkte

Lokale Extrema kommen nur an den kritischen Punkten einer Funktion vor:

Theorem 6.2.1 Sei f auf einem Intervall I definiert und sei c ∈ I. Falls f ander Stelle c ein relatives Extremum (Maximum oder Minimum) hat, dann ist cein kritischer Punkt von f .

Beweis: Sei f(c) ein relatives Maximum von f (der Beweis fur ein relativesMinimum ist analog dazu). Wenn c ein Randpunkt des Intervalls I ist, ist c einkritischer Punkt und es ist nichts mehr zu beweisen. Nehmen wir also ab jetzt an,c sei kein Randpunkt. Da c im Inneren von I ist, gibt es ein Intervall (a, b) ⊂ I,mit c ∈ (a, b), sodass f(x) ≤ f(c) fur alle x ∈ (a, b) ist.

Entweder ist f an der Stelle c differenzierbar, oder nicht. Wenn nicht, dann istc kritischer Punkt und es ist nichts mehr zu beweisen. Wenn doch, dann ist f ′(c)entweder positiv, oder negativ, oder 0. Wenn f ′(c) = 0, ist c kritischer Punkt undes ist nichts mehr zu beweisen.

62

Nehmen wir also an, es sei f ′(c) positiv. Die Ableitung f ′(c) wird durch denDifferenzenquotienten approximiert. Wenn x genugend nahe bei c ist, muss daherauch der Differenzenquotient positiv sein. Es muss also gelten:

f(x)− f(c)

x− c> 0

fur x in einem genugend kleinen Intervall um c. Fur x > c in diesem Intervall istalso f(x) > f(c) und somit kann f(c) gar kein relatives Maximum gewesen sein.Falls also f(c) ein relatives Maximum ist, kann der Fall f ′(c) > 0 nicht auftreten.Analog zeigt man, dass der Fall f ′(c) < 0 nicht auftreten kann.

Falls also f(c) ein relatives Maximum ist, sind die einzigen verbleibendenMoglichkeiten, dass entweder f an der Stelle c nicht differenzierbar ist, oder dassf ′(c) = 0 gilt.

Mit dem analogen Beweis fur das relative Minimum ist der Beweis fur Theo-rem 6.2.1 komplett. �

6.2.3 Methode zum Auffinden globaler Extrema

Um globale Extrema von f auf einem abgeschlossenen Intervall [a, b] zu findengeht man also wie folgt vor:

1. Finde alle kritischen Punkte von f in [a, b]

2. Bestimme die Funktionswerte an diesen kritischen Punkten

3. Der kleinste unter all diesen Funktionswerten ist dann das (globale) Mini-mum, der großte ist das (globale) Maximum von f auf [a, b].

Zum ersten Schritt: Falls die Funktion in (a, b) uberall differenzierbar ist,findet man die kritischen Punkte von f im offenen Intervall (a, b) als die Losungenx der Gleichung

f ′(x) = 0.

Die Randpunkte a und b des Intervalls sind ebenfalls kritische Punkte, da dieFunktion dort nicht differenzierbar ist.

6.3 Mittelwertsatz

6.3.1 Satz von Rolle

Eine stetige, differenzierbare Funktion, die an beiden Enden eines Intervalls den-selben Wert hat, muss im Inneren des Intervalls mindestens einmal eine waag-rechte Tangente haben.

63

Theorem 6.3.1 (Satz von Rolle) Sei f stetig auf [a, b] und differenzierbar auf(a, b). Falls f(a) = f(b), dann gibt es mindestens eine Stelle c in (a, b) sodassf ′(c) = 0.

Beweis: Sei also f(a) = f(b) = d ∈ R. Nun gibt es zwei Moglichkeiten:Entweder ist f(x) = d fur alle x ∈ (a, b), also f konstant und somit f ′(c) = 0

fur alle c ∈ (a, b) und wir haben nichts mehr zu beweisen.Oder es ist f(x) 6= d fur ein x ∈ (a.b). Da f stetig auf dem abgeschlossen

Intervall [a, b] ist, hat f dort sowohl ein Maximum, als auch ein Minimum (sieheden Extremwertsatz Theorem 6.1.1).

Wenn f(x) 6= d ist, hat f zwangslaufig ein Extremum (Maximum oder Mi-nimum) welches nicht am Rand des Intervalls ist. Also existiert ein c ∈ (a, b),sodass f(c) ein Extremum von f ist. Dort ist ein kritischer Punkt, und da f ander Stelle c differenzierbar ist, muss f ′(c) = 0 gelten. Damit ist der Satz von Rollebewiesen.�

6.3.2 Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Bei einer auf einem offenen Intervall differenzierbaren (und an den Randpunktenstetigen) Funktion gibt es einen Punkt c, wo die Steigung der Funktion gleich derdurchschnittlichen Steigung im Intervall ist.

Theorem 6.3.2 (Mittelwertsatz) Sei f stetig auf [a, b] und differenzierbar auf(a, b). Dann existiert eine Zahl c in (a, b), sodass

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a

Beweis: Die Gleichung fur die Gerade zwischen den Punkten (a, f(a)) und (b, f(b))lautet

y(x) =f(b)− f(a)

b− a(x− a) + f(a)

(Man nennt so eine Gerade oft eine Sekante des Funktionsgraphen.)Betrachte nun die Funktion

g(x) = f(x)− y(x)

Dann giltg(a) = g(b) = 0,

wie man durch direktes Nachrechnen bestatigt. Mit f ist auch g differenzierbarund wir konnen den Satz von Rolle (Theorem 6.3.1)auf g anwenden. Es gibt somitein c ∈ (a, b), wo g′(c) = 0 ist. Das heißt:

0 = f ′(c)− y′(c) = f ′(c)− f(b)− f(a)

b− a.

64

Daraus folgt sofort die Behauptung des Mittelwertsatzes.�

Der Mittelwertsatz folgt also aus dem Satz von Rolle. Umgekehrt folgt der Satzvon Rolle sofort als Spezialfall des Mittelwertsatzes fur f(a) = f(b).

Im taglichen Leben ist der Mittelwertsatz nahezu selbstverstandlich: Wenn manim Auto die Strecke von Graz nach Gleisdorf mit einer Durchschnittsgeschwin-digkeit von 90 km/h zuruckgelegt hat, dann gab es wahrend der Fahrt einenZeitpunkt, zu dem die Momentangeschwindigkeit auch genau 90 km/h war.

6.4 Monotonie

Wir erinnern an die Definition der (strengen) Monotonie (Abschnitt 2.10):

Eine Funktion ist streng monoton wachsend, wenn die folgende Aussage fur allex1 und x2 im Definitionsbereich gilt:

aus x1 < x2 folgt f(x1) < f(x2).

Die Funktion heißt streng monoton fallend, wenn gilt:aus x1 < x2 folgt f(x1) > f(x2).

Statt wachsend (bzw. fallend) sagt man auch oft steigend (bzw. abnehmend).

Einen einfachen Test fur Monotonie liefert das folgende Theorem:

Theorem 6.4.1 (Monotoniekriterium) Sei f stetig auf dem abgeschlossenenIntervall [a, b] und differenzierbar auf dem offenen Intervall (a, b).

1. Falls f ′(x) > 0 fur alle x ∈ (a, b), so folgt: f ist streng monoton wachsendauf [a, b].

2. Falls f ′(x) < 0 fur alle x ∈ (a, b), so folgt: f ist streng monoton fallend auf[a, b].

3. Falls f ′(x) = 0 fur alle x ∈ (a, b), so folgt: f ist konstant auf [a, b].

Beweis: Wir zeigen nur die erste Aussage. Nehmen wir also an, dass f ′(x) > 0fur alle x ∈ (a, b). Wir mussen zeigen: Aus x1 < x2 folgt, dass f(x1) < f(x2) ist.

Sei also x1 < x2 fur zwei ansonsten beliebige Punkte in [a, b]. Wir konnen nunden Mittelwertsatz (Theorem 6.3.2) fur f auf dem Intervall [x1, x2] anwenden. Esexistiert also ein c ∈ (x1, x2) mit

f ′(c) =f(x2)− f(x1)

x2 − x1

und wegen der Voraussetzung gilt f ′(c) > 0. Da auch x2 − x1 > 0 ist, muss

f(x2)− f(x1) = f ′(c) (x2 − x1) > 0

65

sein, also f(x1) < f(x2). f ist also streng monoton wachsend auf [a, b].�

Anmerkung 6.4.1 Die Aussage gilt auch fur Funktionen, die auf ganz R oderhalbseitig unendlichen Intervallen differenzierbar sind. (Der Beweis lasst sich ein-fach auf diese Falle anpassen).

Beispiel 6.4.1 Betrachte die Funktion f(x) = x3 mit Definitionsbereich (−∞,∞).Nach dem Monotoniekriterium ist f streng monoton wachsend sowohl auf (−∞, 0]als auch auf [0,∞). Daraus folgt, dass f uberall streng monoton wachsend ist.

Beispiel 6.4.2 Die Funktion f(x) = 1/x hat uberall, wo sie definiert ist, einenegative Ableitung:

f ′(x) = −1/x2 < 0 fur alle x 6= 0

Allerdings ist sie nicht streng monoton fallend auf irgendeinem Intervall, das denNullpunkt x = 0 enthalt. (Die Voraussetzung des Monotoniekriteriums ist dortnicht erfullt!)

Die Funktion ist aber streng monoton fallend auf allen Intervallen der Form(a, b) oder (−b,−a) (mit beliebigem 0 < a < b)

Anmerkung 6.4.2 Umgekehrt gilt (unter den Voraussetzungen des Monotonie-kriteriums folgendes: Wenn f auf [a, b] monoton wachsend ist, so gilt f ′(x) ≥ 0fur alle x ∈ (a, b). Wegen der Monotonie ist ja der Differenzialquotient

f(x+ ∆x)− f(x)

∆x≥ 0

und daher ist auch sein Limes ≥ 0.Aus der strengen Monotonie kann man so aber nicht die strikte Positivitat

der Ableitung an allen Stellen folgern, denn selbst wenn der Differenzialquotientimmer > 0 ist, konnte sein Limes = 0 sein.

6.5 Der Erste-Ableitungs-Test

Theorem 6.5.1 (Test mit der ersten Ableitung) Sei f stetig auf einem of-fenen Intervall I. Sei c ∈ I ein kritischer Punkt von f . Sei f differenzierbar aufI \ {c}. Dann gilt:

1. Wenn die Ableitung f ′ bei c das Vorzeichen von ‘−’ auf ‘+’ wechselt (d.h.f ′(x) < 0 fur x < c und f ′(x) > 0 fur x > c), dann ist f(c) ein relativesMinimum.

66

2. Wenn die Ableitung f ′ bei c das Vorzeichen von ‘+’ auf ‘−’ wechselt, dannist f(c) ein relatives Maximum.

3. Wenn f ′ das Vorzeichen beibehalt, dann ist f(c) kein relatives Extremum.

Beweis Wir zeigen nur die erste Aussage. Wir nehmen also an, es gibt ein a ∈ Iund ein b ∈ I, mit a < c < b, sodass

f ′(x) < 0 fur x ∈ (a, c),

f ′(x) > 0 fur x ∈ (c, b).

An der Stelle c selbst muss die Ableitung nicht existieren. Wegen des Monotonie-kriteriums ist f streng monoton fallend auf [a, c] und streng monoton wachsendauf [c, b], also gilt f(c) < f(x) fur alle x 6= c in [a, b]. Also ist f(c) das Minimumvon f auf (a, b). Daher ist f(c) ein relatives Minimum von f .�

Beispiel 6.5.1 Die Funktion f(x) = |x| ist differenzierbar auf (−∞, 0) und auf(0,∞). Sie ist bei x = 0 nicht differenzierbar, wohl aber stetig. Im Intervall(−∞, 0) ist f(x) = −x und die Ableitung daher uberall −1, und auf (0,∞) istf(x) = x mit Ableitung +1. Die Ableitung wechselt bei x = c (an diesem Punktist die Ableitung nicht definiert) ihr Vorzeichen

Dieser”erste Ableitungs-Test“ auf Maximum oder Minimum einer kritischen

Stelle ist nutzlich, denn es wird nicht angenommen, dass f an dieser Stelle diffe-renzierbar (oder gar zweimal differenzierbar) ist. Sollte f zweimal differenzierbarsein, kann man den weiter unten besprochenen

”zweiten Ableitungs-Test“ anwen-

den.

6.6 Konvex und konkav

Wir erinnern an die Definitionen fur konvex und konkav in Abschnitt 2.10. Grobgesprochen ist eine konvexe Funktion nach oben gekrummt, eine konkave Funk-tion nach unten gekrummt. Genauer: f heißt konvex, das die Gerade zwischenden Punkten (a, f(a)) und (b, f(b)) im Bereich (a, b) oberhalb des Funktionsgra-phen liegt. Man uberlege sich, was diese anschauliche Vorstellung mit folgender,formaler Definition zu tun hat:

Definition 6.6.1 f heißt (streng) konvex genau dann, wenn fur alle λ ∈ (0, 1)gilt:

f(a+ λ(b− a)

)< f(a) + λ

(f(b)− f(a)

)Ersetzt man in dieser Definition < durch >, erhalt man die Definition fur

”konkav“.

67

Theorem 6.6.1 Falls f auf einem offenen Intervall I differenzierbar ist, gilt aufdiesem Intervall:

1. f ist konvex genau dann, wenn f ′ streng monoton wachsend ist.

2. f ist konkav genau dann, wenn f ′ streng monoton fallend ist.

Aus dieser Feststellung und dem Monotoniekriterium folgt sofort die folgendeAussage:

Theorem 6.6.2 Sei f eine Funktion fur die f ′′ auf einem offenen Intervall Iexistiert.

1. Falls f ′′(x) > 0 fur alle x ∈ I, dann gilt: f ist konvex

2. Falls f ′′(x) < 0 fur alle x ∈ I, dann gilt: f ist konkav

3. Falls f ′′(x) = 0 fur alle x ∈ I, dann gilt: f ist affin (Geradenfunktion).

6.7 Wendepunkte

Ein Wendepunkte ist ein Punkt (c, f(c) des Graphen von f , an dem die Tangenteexistiert und f von konvex auf konkav oder umgekehrt wechselt, also

1. f ′(c) existiert

2. f ′ wechselt an der Stelle c von streng monoton wachsend auf streng monotonfallend (oder umgekehrt).

Theorem 6.7.1 Falls (c, f(c)) ein Wendepunkt des Graphen von f ist, dann gilt:Entweder ist f ′′(c) = 0 oder f ′′ existiert nicht bei x = c.

Achtung: Gegenrichtung stimmt nicht: Aus f ′′(c) = 0 folgt noch nicht dieExistenz eines Wendepunktes bei c. (Beispiel: f(x) = x4.) Die Punkte c mitf ′′(c) = 0 sind also nur mogliche Kandidaten fur Wendepunkte (genau so wie einPunkt c mit f ′(c) = 0 nur ein Kandidat fur eine Extremstelle ist).

Beispiel 6.7.1 Sei eine Funktion f auf R wie folgt definiert

f(x) =

{x2/2 fur x ≥ 0,

−x2/2 fur x < 0.

Zeigen Sie als Ubung, dass f uberall (auch an der Stelle x = 0) differenzierbarist und

f ′(x) = |x|.Die zweite Ableitung existiert also nicht an der Stelle x = 0. Uberlegen Sie wei-ters, dass f im Bereich (−a, 0) konkav ist und im Bereich (0, a) konvex (fur jedesa > 0)! Daher ist (0, 0) ein Wendepunkt des Graphen von f .

68

6.8 Der Zweite-Ableitungs-Test

Theorem 6.8.1 (Test mit der zweiten Ableitung) Sei f zweimal differen-zierbar (d.h., f ′′ existiert) auf einem offenen Intervall, das den Punkt c enthalt.Sei f ′(c) = 0. Dann gilt:

1. Falls f ′′(c) > 0, dann ist f(c) ein relatives Minimum

2. Falls f ′′(c) < 0, dann ist f(c) ein relatives Maximum

Beweis: An einem Punkt c im Inneren des offenen Intervalls I gelte f ′(c) = 0und f ′′(c) > 0. Es ist

f ′′(c) = limx→c

f ′(x)− f ′(c)x− c

> 0,

daher muss auch der approximierende Differenzenquotient fur x nahe genug beic großer als 0 sein. Dh., es existiert ein offenes Intervall um c, sodass

f ′(x)− f ′(c)x− c

=f ′(x)

x− c> 0

fur alle x 6= c in diesem Intervall. Fur x < c ist also f ′(x) < 0 und fur x > c istf ′(x) > 0 in diesem Intervall. Daher wechselt f ′ bei x = c das Vorzeichen. Nachdem ersten Ableitungstest (Theorem 6.5.1) ist somit f(c) ein relatives Minimum.

Der Beweis fur f ′′(c) < 0 ist analog (Ubung).�

Falls f ′′(c) = 0, dann funktioniert der zweite Ableitungstest nicht (ebensowenig,wenn f ′′ an der Stelle c gar nicht existiert). Man verwendet statt dessen den erstenAbleitungstest (Theorem 6.5.1) oder man argumentiert die Extremaleigenschaftdirekt (das heißt, man zeigt zum Beispiel fur ein Minimum, dass f(x) > f(c) furx 6= c).

Ein Beispiel, wo das passiert, ist f(x) = x4 an der kritischen Stelle x = 0.Dort befindet sich ein Minimum, denn die erste Ableitung f ′(x) = 4x3 andert beix = 0 das Vorzeichen von Minus auf Plus (Erster-Ableitungs-Test). Man siehtaber auch direkt, dass x4 > 0 fur x 6= 0 und x4 = 0 fur x = 0, dass also (0, f(0)ein Minimum ist.

6.9 Senkrechte Asymptoten

Sei a < c < b und sei die Funktion f auf (a, b)\{c} definiert. Nehmen wir an, dassf an der Stelle c einen (moglicherweise einseitigen) uneigentlichen Grenzwert hat(siehe Abschnitt 4.7). Es gelte also zum Beispiel

limx→c

f(x) =∞ oder −∞

69

oderlimx→c+

f(x) =∞ oder −∞

(oder eine entsprechende Aussage fur den linksseitigen Limes x → c−. In alldiesen Fallen sagt man, der Graph von f hat an der Stelle x = c eine senkrechteAsymptote, namlich die vertikale Gerade x = c.

Typischerweise tritt so etwas bei rationalen Funktionen auf, wenn das Nen-nerpolynom bei x = c eine Nullstelle hat, das Polynom im Zahler aber nicht.

Ein Beispiel fur eine Funktion mit vertikalen Asymptoten bei x = ±1 istf(x) = x/(|x| − 1). Fur diese Funktion sind die rechts- und linksseitigen Limitenaber unterschiedlich, siehe Abbildung 6.3. Zum Beispiel ist

limx→1+

x

|x| − 1=∞, lim

x→1−

x

|x| − 1= −∞

-4 -2 2 4

-6

-4

-2

2

4

6

Abbildung 6.3: Eine Funktion mit vertikalen Asymptoten.

Die Funktionen Tangens und Cotangens haben an allen Stellen x = kπ/2 (mitk ∈ Z) vertikale Asymptoten, siehe Abbildung 5.2.

6.10 Limes im Unendlichen

Bei klassischen Kurvendiskussionen untersucht man typischerweise das Verhaltenvon Funktionen an ihren kritischen Punkten. Dazu gehort auch die Untersuchung

70

des asymptotischen Verhaltens von Funktionen, die auf unendlichen Intervallendefiniert sind.

Wir erinnern an die Definition 4.7.2 des Limes im Unendlichen, die wir hiergleich ein klein wenig verallgemeinern: Wir betrachten eine Funktion f , die aufeinem Definitionsbereich D(f) definiert ist, der beliebig große Zahlen enthalt. Dasheißt fur alle Zahlen M > 0 gibt es ein x ∈ D(f) mit x > M . Die Verallgemeine-rung gegenuber Definition 4.7.2 besteht darin, dass der Definitionberecih von fkein unendliches Intervall enthalten muss.

Definition 6.10.1 Eine Zahl L heißt Limes von f fur x→∞,

L = limx→∞

f(x)

falls es fur jedes ε > 0 eine Zahl M > a gibt, sodass gilt:Fur alle x ∈ D(f) folgt aus x > M die Aussage |f(x)− L| < ε.

Formal ausgedruckt:

∀ (ε > 0) ∃ (M ∈ R) ∀ (x ∈ D(f)) : x > M ⇒ |f(x)− L| < ε

Falls f einen Limes L fur x→∞ hat, dann nennt man die horizontale Geradey = L die Asymptote von f fur x → ∞. Man sagt dann auch, der Graph von fhat eine waagrechte Asymptote.

Eine analoge Definition gilt fur die Aussage

L = limx→−∞

f(x).

Ein Beispiel ist die Funktion f(x) = x/(|x|+ 1), fur die gilt

limx→±∞

x

|x|+ 1= ±1,

die also fur x→∞ die Asymptote y = 1 und fur x→ −∞ die Asymptote y = −1hat. (Siehe Abbildung 6.4)

Allgemeiner nennt man die Gerade

g(x) = kx+ d

eine Asymptote von f fur x→∞, wenn es fur alle ε > 0 ein M > a gibt, sodassgilt:

Aus x > M folgt |f(x)− g(x)| < ε.Die Formulierung einer ahnlichen Definitionen fur x→ −∞ sei dem Leser als

Ubung uberlassen.

71

-10 -5 5 10

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Abbildung 6.4: Eine Funktion mit horizontalen Asymptoten.

6.10.1 Limes einer Folge

Fur die nachsten Abschnitte benotigen wir diesen Begriff, der etwas genauer nochim zweiten Semester behandelt wird.

Eine Folge ist eine Abbildung, die auf den naturlichen Zahlen als Definiti-onsbereich gegeben ist:

f : N→ R

Fur die Funktionswerte schreiben wir f(n) = xn und geben die Folge manchmalauch als (unendliche) Liste von Zahlen an:

(xn)n∈N = (x0, x1, x2, x3, . . .)

Den Limes einer Folge fur n → ∞ definiert man analog wie den Limes einerFunktion fur x → ∞. Tatsachlich ist die folgende Definition ein Spezialfall derDefinition 6.10.1:

Definition 6.10.2 Eine Zahl L heißt Limes der Folge (xn) fur n→∞,

L = limn→∞

xn

falls es fur jedes ε > 0 eine Zahl m ∈ N gibt, sodass gilt:Aus n > m folgt |xn − L| < ε.

6.11 Zwischenwertsatz

Theorem 6.11.1 Sei f stetig auf [a, b] und es gelte f(a) ≤ 0 und f(b) ≥ 0.Dann gibt es ein c in [a, b] mit f(c) = 0.

72

Beweisskizze: Man kann den Punkt c durch fortgesetzte Halbierung desIntervalls [a, b] finden. Wir definieren dazu eine Folge von Intervallen

[an+1, bn+1] =

{[an+bn

2, bn], falls f

(an+bn

2

)< 0,[

an,an+bn

2

], falls f

(an+bn

2

)≥ 0.

(6.1)

Sollte der Funktionswert von f an einem der Halbierungspunkte (an+bn)/2 gleich0 sein, so ist c = (an+bn)/2 gefunden. Falls nicht, muss man die unendliche Folgeineinandergeschachtelter Intervalle [an, bn] betrachten. Jedes Intervall in dieserFolge ist nur halb so lang wie das vorherige. Die Intervalle schrumpfen daherauf einen Punkt c zusammen. Genauer: Der Durchschnitt aller dieser Intervalleist die einpunktige Menge {c}. Das es immer so ein c ∈ R gibt, ist das sog.Intervallschachtelungsprinzip, eine grundlegende Eigenschaft der reellen Zahlen.Das Intervallschachtelungsprinzip folgt aus der sog. “Vollstandigkeit” der reellenZahlen (eine Eigenschaft, uber die die rationalen Zahlen nicht verfugen).

Es gilt f(c) = 0. Denn es ist

limn→∞

an = c = limn→∞

bn (6.2)

und da f stetig ist, gilt

limn→∞

f(an) = f(c) = limn→∞

f(bn) (6.3)

Da f(an) < 0 gilt f(c) ≤ 0 und aus f(bn) ≥ 0 folgt f(c) ≥ 0, insgesamt bleibtalso nur f(c) = 0 ubrig, w.z.b.w.

Aus dem obigen Satz folgt sofort die allgemeinere Feststellung, dass eine aufeinem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion auch jeden Wert zwischen denRandwerten annehmen muss. Stellt man sich eine stetige Funktion als eine vor,deren Graphen man zeichnen kann, ohne den Bleistift abzusetzten (

”Bleistift-

Stetigkeit“), dann ist diese Feststellung auch anschaulich einleuchtend, da derGraph einer stetigen Funktion die Randpunkte (a, f(a)) und (b, f(b)) durch einenicht-abreissende Kurve verbindet. (Allerdings enthalt die Menge der stetigenFunktionen z.B. auch die Cantor-Funktion, deren Stetigkeit weniger anschaulichist).

Theorem 6.11.2 (Zwischenwertsatz) Sei f stetig auf [a, b] und es gelte f(a) <f(b). Dann gibt es zu jedem d ∈ [f(a), f(b)] ein c ∈ [a, b] mit f(c) = d.

Zum Beweis setze man g(x) = f(x)−d und wende den obigen Satz 6.11.1 aufg an. Wenn g(c) = 0 ist, so ist f(c) = d.

Ubung: Wie hangt das Theorem 6.1.2 mit dem obigen Satz zusammen?

73

6.12 Newtons Methode zum Auffinden von Null-

stellen

Fur eine beliebige Funktion f lasst sich eine Losung von f(x) = 0 meist nicht ex-plizit angeben. Bei differenzierbaren Funktionen kann man immerhin das Newton-Verfahren verwenden, durch das man eine Nullstelle approximativ finden kann.

Sei f stetig auf [a, b], differenzierbar auf (a, b). Weiters mogen f(a) und f(b)verschiedene Vorzeichen haben. Aus dem Zwischenwertsatz 6.11.1 folgt dann, dasses eine Nullstelle in (a, b) gibt.

Zum Auffinden einer solchen Nullstelle gehen wir schrittweise (iterativ) vor:

1. Schritt: Anfangsschatzung. Als Startpunkt des Verfahrens wahlen wir einenPunkt x0 im Intervall [a, b]. Wir wollen annehmen, dass f(x0) und f ′(x0) beideungleich Null sind.

2. Schritt: Berechne die Tangente in (x0, f(x0)) und bestimme deren Schnitt-punkt mit der x-Achse.

Die Gleichung der Tangente ist

y = f(x0) + f ′(x0) (x− x0)

Den Schnittpunkt, bezeichnet mit x1, erhalten wir, wenn wir y gleich 0 setzen:

0 = f(x0) + f ′(x0) (x1 − x0)

oder

x1 = x0 −f(x0)

f ′(x0)

n. Schritt: Ausgehend von der n-ten Approximation xn berechnen wir eine wei-tere Approximation mit derselben Methode wie im zweiten Schritt:

xn+1 = xn −f(xn)

f ′(xn)

Wir mussen in jedem Schritt annehmen, dass f ′ ungleich Null ist. Das Verfahrenkann abgebrochen werden, wenn |xn+1−xn| kleiner als die angepeilte Genauigkeitwird.

Theorem 6.12.1 Falls f auf (a, b) zweimal differenzierbar ist und eine Nullstellebei x∞ ∈ (a, b) hat, dann konvergiert das Newton-Verfahren, limxn = x∞, falls

∣∣f(x) f ′′(x)

f ′(x)2

∣∣ < 1 x ∈ (a, b)

gilt.

74

Bemerkung: Das Newton-Verfahren besteht offenbar in der Iteration der Funk-tion

g(x) = x− f(x)

f ′(x)

Es istxn+1 = g(xn), n = 0, 1, 2, 3, . . .

Die Iteration mundet in einen Fixpunkt von g, also in einen Punkt x mit g(x) = x,falls die Steigung von g Betrag kleiner als 1 hat. Die Steigung von g ist aber gerade

g′(x) =f(x) f ′′(x)

f ′(x)2

Das erklart das Zustandekommen der Bedingung im obigen Satz.

Ein Gegenbeispiel ist die Funktion

f(x) = x1/3

fur die g′(x) = −2 gilt.

6.13 Der Heronsche Algorithmus

Wir wollen die Quadratwurzel einer positiven reellen Zahl b berechnen. Dazusuchen wir eine Nullstelle der Funktion

f(x) = x2 − b

Zur Anwendung des Newton Verfahrens berechnen wir

g(x) = x− f(x)

f ′(x)=x

2+

b

2x

Iteration der Funktion g, ausgehend von einem Schatzwert x0 = a, konvergiertzur gesuchten Losung. Diese Anwendung der Newton-Methode nennt man denHeronschen Algorithmus:

x0 = a, xn+1 =xn2

+b

2xn, n = 0, 1, 2, 3, . . .

Diese Formel ist allerdings wesentlich alter als das Newton Verfahren undberuht auf der folgenden geometrischen Idee: (Heron von Alexandria, 1.Jh.n.Chr.)

Wir wollen ein Quadrat mit vorgegebener Flache b konstruieren. Der ersteSchatzwert fur die Seitenlange sei x0. Damit konnen wir zumindest ein Rechteckkonstruieren, das die Flache b hat: Nehmen wir einfach die Grundlinie mit Langex0 und die Hohe mit b/x0. Eine genauere Approximation an das Quadrat erhalten

75

wir aber, wenn wir als Lange der Grundlinie nicht x0, sondern den Mittelwertzwischen x0 und b/x0 wahlen (und die Hohe entsprechend anpassen). Also ist dieerste Verbesserung unseres Schatzwertes:

x1 =x0 + b/x0

2=x0

2+

b

2x0

Wiederholung dieses Verfahrens ergibt wieder den Heronschen Algorithmus.

6.14 Fixpunktsatz

Der Konvergenz des Newton-Verfahrens und anderer Iterationsverfahren liegt derfolgende (Banachsche) Fixpunktsatz zugrunde.

Theorem 6.14.1 Sei g ∈ I = [a, b] stetig und sei g(I) ⊂ I. Falls es eine Zahlk < 1 gibt, sodass fur alle x, y ∈ I gilt

|g(x)− g(y)| ≤ k |x− y| ,

dann hat g in I einen Fixpunkt, d.h., es existiert c ∈ I mit g(c) = c.Der Fixpunkt c ist eindeutig und kann durch Iteration xn = g(xn−1) von einem

beliebigen Startwert x1 ∈ I aus gefunden werden:

c = limn→∞

xn

.Weiters gilt die Fehlerabschatzung:

|xn+1 − c| ≤k

1− k|xn+1 − xn|

76

Kapitel 7

Integralrechnung

7.1 Das unbestimmte Integral

Definition 7.1.1 Eine Funktion f sei auf einem beliebigen Intervall I definiert.Eine auf I differenzierbare Funktion F heißt Stammfunktion oder unbestimm-tes Integral von f , wenn

dF (x)

dx= f(x) fur alle x ∈ I.

Die Stammfunktion ist durch eine gegebene Funktion f nicht eindeutig be-stimmt. Wenn namlich F (x) eine Stammfunktion ist, dann ist G(x) = F (x) + ceine andere (wobei c eine beliebige Zahl ist). Funktionen, die sich nur um additi-tive Konstanten unterscheiden, haben namlich die gleiche Ableitung:

dF (x)

dx=d(F (x) + c)

dx.

Umgekehrt: Seien zwei Stammfunktionen einer Funktion gegeben, nennen wir sieF1(x) und F2(x). Wenn wir die Differenz F2(x) − F1(x) differenzieren, erhaltenwir f(x) − f(x) = 0. Die Ableitung von F2 − F1 ist also null, diese Funktionandert sich nicht mit x, ist also eine Konstante: F2(x) − F1(x) = c. (Vgl. dasMonotoniekriterium Theorem 6.4.1, Punkt 3). Damit haben wir das folgendeTheorem gezeigt:

Theorem 7.1.1 (Mehrdeutigkeit der Stammfunktion) Zwei Stammfunktio-nen F1 und F2 einer gegebenen Funktion f unterscheiden sich hochstens um eineKonstante. Zu je zwei Stammfunktionen gibt es also ein c ∈ R sodaß

F1(x)− F2(x) = c.

Eine oft benutzte Schreibweise fur eine Stammfunktion von f lautet∫f(x) dx (7.1)

77

Mit diesem Ausdruck meint man per Konvention eine beliebige Stammfunktionvon f . Wenn also F eine bestimmte Stammfunktion von f ist, schreibt man∫

f(x) dx = F (x) + c

um an die beliebige Konstante c ∈ R zu erinnern.

Schreibweisen fur ein unbestimmtes Integral (=beliebige Stammfunk-tion): ∫

f(x) dx =

∫dF (x)

dxdx =

∫dF (x) = F (x) + c .

Beispiel 7.1.1 ∫x2 dx =

x3

3+ c

7.2 Das bestimmte Integral

Wenn F1(x) und F2(x) zwei Stammfunktionen derselben Funktion f sind, danngilt fur zwei beliebige reelle Zahlen a und b,

F1(b)− F1(a) = F2(b)− F2(a) .

Es unterscheiden sich F1 und F2 namlich hochstens um eine Konstante, die beider Differenzbildung herausfallt.

Definition 7.2.1 Sei F eine (beliebige) Stammfunktion einer gegebenen Funkti-on f . Dann nennt man die Zahl

F (x)|ba = F (b)− F (a)

das bestimmte Integral von f(x) zwischen den Grenzen a und b.

Der Wert F (x)|ba hangt nicht von der konkreten Stammfunktion ab, die manzu seiner Berechnung heranzieht.

Beispiel 7.2.1

f(x) = x3 , F (x) =1

4x4 + c ,

Das bestimmte Integral von f zwischen den Grenzen 1 und 2 ist

F (x)|21 =1

424 − 1

414 =

15

4

78

c c c c c

a bx x x x x1

1 2

2 3

3

n-2 n-1

n-1 n

y=f(x)y

x

Abbildung 7.1: Zur Definition des bestimmten Integrals mittels Riemann-Summen.

7.3 Das bestimmte Integral als Riemann-Summe

Das bestimmte Integral kann auch als Flache zwischen dem Funktionsgraphenund der x-Achse definiert werden. Wir wollen diese andere Definition jetzt be-sprechen und anschließend zeigen, daß sie mit der usprunglichen Definition alsStammfunktions-Differenz ubereinstimmt (siehe Abschnitt 7.4).

Wie in der Abbildung 7.1 unterteilt man das Intervall a ≤ x ≤ b in n Teilin-tervalle, indem man willkurliche Unterteilungspunkte x1, x2, . . . , xn−1 wahlt:

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < b = xn .

Eine solche Zerlegung in Teilintervalle heißt Partition ∆ des Intervalls [a, b]. DieGroße

‖∆‖ = max0<k≤n

|xk − xk−1|

heißt Norm der Partition ∆.In jedem der neuen Intervalle wahlt man wiederum beliebige Zwischenpunkte

c1, c2, . . . , cn. Dann bildet man die Summe

f(c1)(x1 − a) + f(c2)(x2 − x1) + . . .+ f(cn)(b− xn−1) .

Mit x0 = a, xn = b und xk − xk−1 = ∆xk kann man die Summe einfach als

n∑k=1

f(ck) ∆xk (7.2)

79

schreiben. Dieser Ausdruck heißt Riemann Summe von f fur die Partition ∆.In der Abbildung 7.1 entspricht diesem Ausdruck die Summe der Flachen derRechtecke. Die endliche Summe ist aber nur eine Naherung an die Flache unterder Kurve.

Um die Flache unter der Kurve genau zu bestimmen, betrachten wir eineganze Folge von Partitionen (∆n), bei der wir die Anzahl n der Unterteilungengegen unendlich gehen lassen, wobei wir gleichzeitig ‖∆n‖ gegen 0 gehen lassen.Wir schreiben fur diese Sorte Limes einfach:

lim‖∆‖→0

Definition 7.3.1 Falls die Riemann Summe (7.2) im Limes ‖∆‖ → 0 gegeneinen Grenzwert konvergiert, der nicht von der gewahlten Folge der Partitionen(und Unterteilungspunkte ck) abhangt, dann nennen wir diesen Grenzwert dasbestimmte Integral der Funktion f zwischen a und b. Man schreibt∫ b

a

f(x) dx = lim‖∆‖→0

n∑k=1

f(ck) ∆xk .

Die Menge der Funktionen genau zu bestimmen, fur die dieses Riemann-Integralexistiert (also der obige Grenzwert unabhangig von der gewahlten Folge von Par-titionen ist), ist ein schwieriges mathematisches Problem, dessen Untersuchungwir hoheren Semestern uberlassen.

Man kann jedenfalls beweisen, daß dieser Limes fur stetige Funktionen immerin dem beschriebenen Sinn (unabhangig von der Partitionsfolge und den gewahl-ten Unterteilungspunkten) existiert. Stetige Funktionen, deren Definitionsbereichdas Intervall [a, b] enthalt, sind also immer

”Riemann-integrierbar“.

Wenn die Funktion f positiv ist, dann ist das so definierte “Riemann-Integral”diejenige Flache zwischen dem Funktionsgraphen von f und der x-Achse, diedurch die vertikalen Geraden x = a und x = b begrenzt wird. Ist die Funktionmanchmal negativ, erhalten wir einfach die Summe der Flachenstucke oberhalbminus der Summe der Flachenstucke unterhalb der x-Achse. Die Flachen unter-halb der x-Achse werden negativ gezahlt.

Definition 7.3.2 (Bestimmtes Integral — geometrische Definition) Dasbestimmte Integral einer Funktion f zwischen a und b ist die orientierte Flachezwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse zwischen x = a und x = b. Woder Funktionsgraph unterhalb der x-Achse liegt, ist die orientierte Flache negativ.

Bezeichnungen: Die Funktion f(x) unter dem Integralzeichen wird Integrandgenannt, a ist die untere Grenze, b die obere Grenze. Die Variable x ist die

80

Integrationsvariable. Wie bei Variablennamen ublich, ist x dabei eine willkurlicheBezeichnung. Die Integrationsvariable kann auch anders genannt werden:∫ b

a

f(x) dx =

∫ b

a

f(u) du =

∫ b

a

f(z) dz, etc. (7.3)

7.4 Fundamentalsatz der Differential- und Inte-

gralrechnung

Die beiden Definitionen des bestimmten Integrals — einmal als Differenz vonWerten der Stammfunktion (Definition 7.2.1) und einmal als Limes von Riemann-Summen (Definition 7.3.1, entspricht der orientierten Flache unter dem Funkti-onsgraphen) — stimmen uberein. Dies ist der Inhalt des sog. Fundamentalsatzes:

Theorem 7.4.1 (Fundamentalsatz) Sei f stetig auf [a, b] und sei F eine Stamm-funktion von f auf [a, b]. Dann gilt∫ b

a

f(x) dx = F (b)− F (a)

Beweis: Sei ∆ eine beliebige Partition des Intervalls [a, b],

a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b

Wir schreiben

F (b)−F (a) = F (b)−F (xn−1)+F (xn−1)−F (xn−2)+ . . .−F (x1)+F (x1)−F (a),

oder abgekurzt

F (b)− F (a) =n∑i=1

(F (xi)− F (xi−1)

).

Wir wenden nun den Mittelwertsatz 6.3.2 der Differentialrechnung an. Die Funk-tion F ist differenzierbar, F ′ = f , daher ist F auch stetig (siehe 5.3.1). DieVoraussetzungen des Mittelwertsatzes sind also in jedem Teilintervall [xi−1, xi]erfullt. Es existiert daher ein ci ∈ (xi−1, xi), sodass

F ′(ci) = f(ci) =F (xi)− F (xi−1)

xi − xi−1

Schreiben wir nun∆xi = xi − xi−1,

so wird die obige Gleichung zu

F (xi)− F (xi−1) = f(ci) ∆xi

81

und wir erhalten

F (b)− F (a) =n∑i=1

(F (xi)− F (xi−1)

)=

n∑i=1

f(ci) ∆xi

Wir finden also in jeder Partition Zahlen ci, sodaß F (b) − F (a) als Riemann-Summe von f fur diese Partition geschrieben werden kann. Nehmen wir denLimes ‖∆‖ → 0, erhalten wir

F (b)− F (a) =

∫ b

a

f(x) dx

gemaß der Definition des Integrals als Riemann-Summe (Abschnitt 7.3, Definiti-on 7.3.1). Damit ist die Aussage bewiesen.

7.5 Mittelwertsatz der Integralrechnung

Theorem 7.5.1 Mittelwertsatz fur Integrale. Sei f stetig auf [a, b]. Dannexistiert eine Zahl c ∈ (a, b), sodass∫ b

a

f(x) dx = f(c) (b− a) (7.4)

Beweis: Wir wenden den Mittelwertsatz der Differentialrechnung (Satz 6.3.2)an. Die Stammfunktion F von f ist differenzierbar auf (a, b) und stetig auf [a, b].Daher gibt es ein c ∈ (a, b) sodass

F ′(c) = f(c) =F (b)− F (a)

b− a

und daher F (b)−F (a) = f(c) (b−a). Aus dem Fundamentalsatz 7.4.1 folgt sofortdie Behauptung.

Definition 7.5.1 : Die Zahl

f(c) =1

b− a

∫ b

a

f(x) dx (7.5)

heißt Mittelwert von f auf dem Intervall [a, b].

Konsistenzcheck 1: Wir wahlen eine Partition ∆ des Intervalls [a, b]. DieTeilintervalle mogen alle die gleiche Lange haben,

∆x =b− an

82

Wahlen wir nun in jedem Teilintervall ein ci ∈ (xi−1, xi) und betrachten dasarithmetische Mittel der Funktionswerte f(ci):

1

n

n∑i=1

f(ci) =1

b− a

n∑i=1

f(ci) ∆x

Im Limes ‖∆‖ → 0 (gleichbedeutend mit ∆x → 0) konvergiert dieser Ausdruckgegen (7.5).

Konsistenzcheck 2: Sei m das Minimum und M das Maximum von f imIntervall [a, b]:

m = mina≤x≤b

f(x) , M = maxa≤x≤b

f(x) .

Dann ist naturlich m ≤ f(x) ≤M fur alle x im betrachteten Intervall. Daher giltauch fur die Summe die Abschatzung

m(b− a) ≤n∑k=1

f(ck) ∆xk ≤M(b− a) .

Diese Abschatzung hangt nicht von der Feinheit der Zerlegung in Teilintervalleab (und auch nicht von der Wahl der Unterteilungspunkte ck) und gilt daher auchim Grenzwert:

m(b− a) ≤∫ b

a

f(x) dx ≤M(b− a) .

Da f als stetig vorausgesetzt war, wird aber auch jeder Wert zwischen m und Mvon der Funktion angenommen – eine stetige Funktion darf keine Sprunge ma-chen (Zwischenwertsatz 6.11.2). Somit gibt es einen (nicht unbedingt eindeutigen)Punkt c im Interval von a bis b, fur den gilt:∫ b

a

f(x) dx = f(c)(b− a) .

7.6 Integral als Funktion der oberen Grenze

Theorem 7.6.1 Sei F eine beliebige Stammfunktion von f auf einem Intervall[a, b], d.h.,

d

dxF (x) = f(x), x ∈ [a, b].

Dann gilt

F (x) = F (a) +

∫ x

a

f(u) du fur alle x ∈ [a, b]. (7.6)

Beweis Folgt sofort aus dem Fundamentalsatz (Theorem 7.4.1), wenn man diesenauf das Intervall [a, x] anwendet und die Integrationsvariable umbenennt (man

83

schreibt hier z.B. u statt x, um die Integrationsvariable von der oberen Grenzezu unterscheiden).

Es ist aber lehrreich, die Beziehung (7.6) auch noch direkt durch Differenzierennach der oberen Grenze nachzurechnen.

Mit Hilfe des Riemann-Integrals definieren wir die Funktion

G(x) =

∫ x

a

f(u) du . (7.7)

Zur Erinnerung: Das bestimmte Integral von a bis x ist gerade die orientierteFlache zwischen dem Funktionsgraphen von f und der x-Achse, die von denvertikalen Geraden bei a und x begrenzt wird. Siehe Abschnitt 7.3.

Wir wollen nun versuchen, G zu differenzieren:

G(x+ ∆x)−G(x)

∆x=

1

∆x

(∫ x+∆x

a

f(u) du−∫ x

a

f(u) du

)

=1

∆x

∫ x+∆x

x

f(u) du = f(c)

wobei c ein geeigneter Punkt zwischen x und x+ ∆x ist (dabei haben wir Formel(7.4) aus dem Mittelwertsatz fur Integrale angewendet, mit a = x und b =x+ ∆x). Daher muß fur x im Intervall von a bis b folgendes gelten:

G′(x) = lim∆x→0

G(x+ ∆x)−G(x)

∆x= lim

∆x→0f(c) = f(x) .

Das Riemann-Integral (7.7) als Funktion der oberen Grenze ist also tatsachlicheine Stammfunktion von f .

Sei F eine beliebige Stammfunktion von f , so ist

F (x) =

∫ x

a

f(u) du+ c

mit einer beliebigen Konstanten c. Offenbar ist F (a) = c, da das Riemann-Integralvon a bis a Null ergibt. Das ist genau die Aussage des Satzes.

7.7 Rechenregeln fur Integrale

7.7.1 Elementare Regeln

Fur alle Zahlen a, b und c im Definitionsbereich der Funktion f gilt∫ b

a

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx+

∫ b

c

f(x) dx .

84

Das Integrationsintervall kann also in geeignete Teilintervalle zerlegt werden.Aus F (a)− F (b) = −(F (b)− F (a)) ergibt sich sofort∫ a

b

f(x) dx = −∫ b

a

f(x) dx .

Das bestimmte Integral uber eine positive Funktion ergibt also einen negativenWert, wenn die untere Grenze großer als die obere Grenze ist.

Einzelne Punkte, also auch die Randpunkte, sind fur den Wert des Integralsnicht relevant: ∫ a

a

f(x) dx = 0 .

Der Bereich zwischen dem Punkt (a, f(a)) des Funktionsgraphen und der x-Achseist ja auch nur eine vertikale Linie, die keine Flache hat.

Eine multiplikative Konstante k kann vor das Integral gezogen werden:∫k f(x) dx = k

∫f(x) dx .

Fur zwei Funktionen f und g gilt, daß das Integral uber die Summe gleich derSumme der Integrale ist:∫ (

f(x) + g(x))dx =

∫f(x) dx+

∫g(x) dx .

Da Integrieren die Umkehrung des Differenzieren darstellt, ist es fur mancheFunktionen ganz einfach, sie zu integrieren

Beispiel 7.7.1 (Potenzen)∫xndx =

1

n+ 1xn+1 , wenn n 6= −1. (7.8)

7.8 Beispiele

1. ∫f ′(x)

f(x)2dx = ? Losung: − 1

f(x)+ c .

2. ∫g′(x) f(g(x)) dx = ? Losung: F (g(x)) + c .

3. ∫3x√x2 + 1

dx = ? Losung: 3√x2 + 1 + c .

4. ∫−2x

(x2 + 1)2dx = ? Losung:

1

x2 + 1+ c .

85

Kapitel 8

Logarithmus- undExponentialfunktion

8.1 Definition des naturlichen Logarithmus

Wir erinnern an die Potenzregel der Integralrechnung:∫xn dx =

xn+1

n+ 1+ c

die fur n 6= −1 gilt. Die Stammfunktion von x−1 ist ein Sonderfall.

Definition 8.1.1 Der naturliche Logarithmus ist die Funktion

lnx :=

∫ x

1

1

tdt fur x > 0

Der Definitionsbereich des naturlichen Logarithmus ist das Intervall (0,∞).

Die Abbildung 8.1 erlautert diese Definition des naturlichen Logarithmus. DenFunktionsgraphen von lnx zeigen wir spater (siehe Abbildung 8.3).

Aus der Definition sieht man sofort, dass

lnx > 0 fur x > 1

lnx < 0 fur x < 1

lnx = 0 fur x = 1

Da der Integrand positiv ist, wird das Vorzeichen von ln x namlich nur durch dieReihenfolge der Integrationsgrenzen bestimmt.

Der naturliche Logarithmus ist stetig, da er differenzierbar ist. Die Ableitungist (nach Definition)

f ′(x) =d

dx

∫ x

1

1

tdt =

1

x

86

0 1 2

0.5

1

1.5

1t

x

ln x

f(t) =

Abbildung 8.1: Der naturliche Logarithmus von x ist definiert als Flache unterder Kurve f(t) = 1/t zwischen t = 1 und t = x. Er ist also eine Stammfunktionder Funktion 1/x.

Die Ableitung ist strikt positiv im ganzen Definitionsbereich, daher ist der naturli-che Logarithmus eine streng monoton wachsende Funktion.

Wegen

f ′′(x) =d2

dx2lnx = − 1

x2< 0

ist der naturliche Logarithmus eine konkave (nach unten gekrummte) Funktion.

8.2 Formeln fur den naturlichen Logarithmus

Seien a und b positive Zahlen und q eine reelle Zahl. Es gelten die folgendenFormeln:

ln 1 = 0

ln ab = ln a+ ln b

ln aq = q ln a

lna

b= ln a− ln b

Die erste Formel folgt unmittelbar aus der Definition:

ln 1 =

∫ 1

1

1

tdt = 0

(obere Grenze = untere Grenze).

Wir beweisen nun die zweite Formel: Nach Definition ist fur positive x

d

dxlnx =

d

dx

∫ x

1

1

tdt =

1

x

87

Also berechnen wir einmal mit Hilfe der Summenregel

d

dx

(ln a+ lnx

)= 0 +

1

x=

1

x

und einmal mit Hilfe der Kettenregel

d

dxln ax =

1

axa =

1

x

Sowohl ln ax als auch ln a+ lnx sind also Stammfunktionen von 1/x. Sie konnensich also hochstens um eine Konstante unterscheiden. Also gibt es eine reelle ZahlC, sodass

ln ax = ln a+ lnx+ C fur alle x > 0.

Setze x = 1 und wir erhalten ln a = ln a + 0 + C und daraus C = 0. Die zweiteFormel ergibt sich, wenn wir x = b setzen.

Der Beweis der dritten Formel ist analog: Wir vergleichen

d

dxlnxq =

1

xqq xq−1 =

q

x

mitd

dx

(q lnx

)= q

d

dxlnx =

q

x

und erhaltenlnxq = q lnx+ C.

Wenn wir hier wieder x = 1 setzen, folgt aus

ln 1q = ln 1 = 0 = q ln 1 + C

dass C = 0 sein muss.

Der Beweis der letzten Formel ergibt sich nun aus den schon bewiesenen Formeln,denn

lna

b= ln ab−1 = ln a+ ln b−1 = ln a+ (−1) ln b = ln a− ln b.

8.3 Eigenschaften des naturlichen Logarithmus

8.3.1 Asymptotisches Verhalten

Wenn wir x gegen unendlich gehen lassen, geht auch lnx gegen unendlich,

limx→∞

lnx =∞.

88

Der Logarithmus ist ja die Flache unter dem Funktionsgraphen von f(t) = 1/tzwischen t = 1 und t = x. Diese Flache geht fur x→∞ gegen unendlich.

Eine Erklarung dafur liefert die Abbildung 8.2. Eine untere Schranke an dieGesamtflache unter dem Funktionsgraphen von 1/t ist namlich die Summe der inder Grafik angedeuteten Rechteckflachen, die alle die Große 1/2 haben. Es gibtderen unendlich viele, also ist die Flache unter der Kurve f(t) = 1/t im Bereich(1,∞) unendlich groß.

0 1 2 4 8

00.125

0.25

0.5

1

1.5

Abbildung 8.2: Die Flache unter der Kurve f(x) = 1/x von 1 bis unendlich istunendlich groß. Es lassen sich namlich unendlich viele Rechtecke der Große 1/2einschreiben.

Analog gilt fur den rechtsseitigen Limes bei Null:

limx→0+

lnx = −∞.

8.3.2 Funktionsgraph des Logarithmus

Wir fassen die wichtigsten Eigenschaften des naturlichen Logarithmus zusammen:

Der Definitionsbereich sind die positiven reellen Zahlen:

D(ln) = (0,∞).

Der Logarithmus ist eine differenzierbare, streng monoton wachsende Funktion.Die Ableitung ist

d

dxlnx =

1

x> 0 auf (0,∞).

Die Bildmenge ist die ganze Menge der reellen Zahlen R = (−∞,∞). Der Loga-rithmus steigt von −∞ (fur x→ 0) auf +∞ (fur x→∞) an.

Die Funktion lnx ist ausserdem injektiv (da sie stetig und streng monoton wach-send ist).

Da die zweite Ableitung uberall im Definitionsbereich negativ ist, ist der Funkti-onsgraph nach unten gekrummt.

Die Abbildung 8.3 zeigt nun endlich den Funktionsgraphen von f(x) = ln x (bzw.einen Teil davon).

89

0 2 4 6 8 10

-3

-2

-1

0

1

2

3

f(x) = ln x

x

Abbildung 8.3: Der naturliche Logarithmus f(x) = ln x.

8.3.3 Logarithmisches Wachstum

Der Funktionsgraph zeigt auch das extrem langsame “logarithmische Wachstums-gesetz”: Multiplikation vom Argument x mit einem Faktor a bewirkt immer nurdie Addition der Zahl ln a zum Funktionswert lnx:

ln ax = lnx+ ln a

Mit ln 10 ≈ 2.30259 erhalten wir beispielsweise folgende Tabelle:

x = 1 lnx = 0

x = 10 lnx ≈ 2.30259

x = 100 lnx = ln 10 · 10 = ln 10 + ln 10 ≈ 4.60517

x = 1000 ln x = ln 100 · 10 = ln 100 + ln 10 ≈ 6.90776

x = 10000 lnx = ln 1000 · 10 = ln 1000 + ln 10 ≈ 9.21034

Dieses Wachstum ist langsamer als das einer jeden positiven Potenz von x:

limx→∞

lnx

xq= 0 fur q > 0

Abbildung 8.4 zeigt, dass x1/100 fur sehr große x schneller anwachst als lnx,obwohl es fur kleine x noch nicht danach aussieht.

8.4 Logarithmische Ableitung

Wegen der Kettenregel ist

d

dxln g(x) =

1

g(x)

dg(x)

dx=g′(x)

g(x)(fur g(x) > 0)

90

0 2 4 6 8 10

0

1

2

x0,01

ln(x)

0 1 ×10281 2 ×10281 3 ×10281

630

640

650

x0,01

ln(x)

Abbildung 8.4: Der Logarithmus wachst fur große x langsamer als jede positivePotenz von x.

Dieser Ausdruck heißt auch die logarithmische Ableitung von g.Wenn wir die Einschrankung an das Vorzeichen von g fallen lassen, erhalten

wir die Formeld

dxln∣∣g(x)

∣∣ =g′(x)

g(x)(fur g(x) 6= 0)

Beweis: Falls g(x) positiv ist, ist |g(x)| = g(x) und das Resultat ist daher wieoben. Falls g(x) negativ ist, gilt |g(x)| = −g(x) und nach der Kettenregel ist

d

dxln(−g(x)

)=−g′(x)

−g(x)=g′(x)

g(x)(fur g(x) < 0)

Beispiel 8.4.1d

dxln |x| = 1

xfur x 6= 0.

Beispiel 8.4.2 Berechned

dxln∣∣cos(x)

∣∣.Diese Funktion ist auf R mit Ausnahme der Nullstellen von cos definiert. DieAbleitung ist dort

1

cosx(− sinx) = − tanx

8.4.1 Anwendungen bei der Integration

Ausd

dxln |x| = 1

xfur x 6= 0.

folgt sofort ∫1

xdx = ln |x|+ C.

91

(Achtung: Der Integrationsbereich darf bei einer bestimmten Integration denPunkt 0 nicht enthalten, vgl. Abschnitt 9.4.11).

Analog gilt ∫g′(x)

g(x)dx = ln

∣∣g(x)∣∣+ C

Die Integrationskonstante konnen wir auch als C = ln k mit k > 0 schreiben, unddann erhalten wir ∫

g′(x)

g(x)dx = ln

∣∣g(x)∣∣+ ln k = ln

∣∣k g(x)∣∣

Beispiel 8.4.3∫tanx dx =

∫sinx

cosxdx = −

∫(cosx)′

cosxdx = − ln | cosx|+ C

Beim bestimmten Integral muss man aber darauf achten, dass der Integrationsbe-reich keine Nullstelle der Cosinusfunktion enthalt.

8.5 Die Euler’sche Zahl e

Der naturliche Logarithmus lnx ist stetig und streng monoton wachsend, daherist er als Abbildung bijektiv. Der Definitionsbereich ist (0,∞) und die Bildmengeist R = (−∞,∞). Es muss also insbesondere einen Wert x geben, wo ln x = 1gilt. Diese Zahl wird mit dem Buchstaben e bezeichnet (“Eulersche Zahl”).

Definition 8.5.1 Der Buchstabe e bezeichnet die eindeutige positive reelle Zahl,fur die gilt

ln e =

∫ e

1

1

tdt = 1.

Man kann zeigen, dass die Zahl e irrational ist und folgende approximativeDarstellung hat:

e = 2.71828 . . .

Damit kann man auch die Werte der Logarithmusfunktion lnx fur andereWerte von x ausrechnen, zum Beispiel, wenn x = eq (mit q ∈ R) ist, erhalten wir

ln eq = q ln e = q

Theorem 8.5.1 Die Zahl e hat die Darstellung

e = limt→∞

(1 +

1

t

)t.

92

Beweis: Um diese Behauptung nachzuprufen, wenden wir den Logarithmus ln

auf beiden Seiten der Gleichung an:

1 = ln e = ln(

limt→∞

(1 +

1

t

)t)Wegen der Stetigkeit konnen wir ln und lim vertauschen:

1 = limt→∞

ln(

1 +1

t

)t= lim

t→∞t ln(

1 +1

t

)= lim

h→0+

1

hln(1 + h)

= limh→0+

1

h

(ln(1 + h)− ln 1

)=

d

dxlnx∣∣∣x=1

=1

x

∣∣∣x=1

= 1

Da die Logarithmusfunktion injektiv ist, folgt aus ln x = ln y, dass x = y gilt.Daher schließen wir aus

ln e = ln(

limt→∞

(1 +

1

t

)t)die Formel

e = limt→∞

(1 +

1

t

)t.

8.6 Satz von der Ableitung der Umkehrfunktion

Zur Erinnerung: (Siehe Abschnitt 2.9) Wenn f injektiv ist, hat die Gleichungy = f(x) zu gegebenem y hochstens eine Losung x, (genau eine Losung, falls yauch in der Bildmenge von f liegt). f besitzt dann eine Umkehrfunktion g = f−1,die folgende Eigenschaften hat:

g(f(x)

)= x fur alle x aus dem Definitionsbereich D(f)

f(g(y)

)= y fur alle y aus der Bildmenge f

(D(f)

).

Der Definitionsbereich von g ist die Bildmenge von f .

Theorem 8.6.1 (Ableitung der Umkehrfunktion) Sei f eine differenzier-bare Funktion, die eine Umkehrfunktion g besitzt. g ist an jedem Punkt y ∈ D(g)differenzierbar, an dem f ′

(g(y)

)6= 0 ist. Dort gilt die Formel

g′(y) =1

f ′(g(y)

)93

Beweis: Nach der Definition der Umkehrfunktion haben wir fur alle x ∈ D(f)

g(f(x)

)= x.

Differenziere diese Gleichung nach x (unter Verwendung der Kettenregel).

d

dxg(f(x)

)=dg

dy

∣∣∣∣y=f(x)

df(x)

dx

= g′(f(x)

)f ′(x) =

d

dxx = 1

Setzen wir hier f(x) = y und x = g(y) ein, erhalten wir

g′(y) f ′(g(y)

)= 1

und daraus sofort die Behauptung.

Konsistenzcheck: Mit den Bezeichnungen

f(x) = y, x = g(y), f ′(y) =dy

dx, g′(y) =

dx

dy

wird der Satz von der Ableitung der Umkehrfunktion zu

dx

dy=

1dydx

8.7 Die (naturliche) Exponentialfunktion

8.7.1 Definition der Exponentialfunktion

Da der naturliche Logarithmus eine injektive Abbildung von (0,∞) auf ganz Rist, besitzt sie eine Umkehrabbildung, die auf ganz R definiert ist.

Definition 8.7.1 Die Umkehrfunktion des naturlichen Logarithmus heißt Expo-nentialfunktion (genauer: Exponentialfunktion zur Basis e oder naturliche Expo-nentialfunktion).

Wir verwenden folgende Bezeichnung:

f(x) = ln x f−1(x) = ex = exp(x) = exp x

das heißt,y = ex ist gleichbedeutend mit x = ln y

Aus der Definition der Umkehrabbildung folgt sofort:

ln(ex) = x fur alle x ∈ Relnx = x fur alle x > 0

Die Bildmenge von ln ist ganz R, der Definitionsbereich von ln (also der Bildbe-reich der Exponentialfunktion) ist nur (0,∞).

94

8.7.2 Einige Eigenschaften der Exponentialfunktion

Den Graphen der Exponentialfunktion in der xy-Ebene erhalt man durch Spie-gelung des Graphen von ln an der Geraden y = x. Daraus sieht man sofort, dassauch die Exponentialfunktion streng monoton wachsend ist. Sie ist stetig, sogardifferenzierbar, und konvex.

Es giltlimx→∞

ex =∞, limx→−∞

ex = 0

wie man am Graphen erkennt. Weiters ist

ea eb = ea+b e−a =1

ea

Beweis ist die folgende Rechnung:

ln ea eb = ln ea + ln eb = a+ b = ln ea+b

bzw.

ln e−a = −a, ln1

ea= ln 1− ln ea = − ln ea = −a

Daher gilt naturlich auchea

eb= ea e−b = ea−b

Der Graph der Exponentialfunktion hat also folgende bemerkenswerte Symme-trieeigenschaft:

Eine horizontale Verschiebung des Graphen von ex um b ist aquivalent zueiner vertikalen Skalierung mit dem Faktor eb. Denn

ex+b = eb ex

8.7.3 Ableitung der Exponentialfunktion

Die Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen von ex am Punkt x ist gleichdem Funktionswert ex an dieser Stelle:

d

dxex = ex fur alle x ∈ R. (8.1)

Diese Aussage folgt sofort ausx = ln ex

durch Differenzieren mit der Kettenregel:

1 =d

dxln ex =

1

exd

dxex

Danach multipliziert man beide Seiten mit ex und erhalt das Resultat.Aus der Gleichung (8.1) erhalt man wieder mit der Kettenregel die allgemeine

Formel:d

dxeg(x) = eg(x) g′(x)

95

8.7.4 Stammfunktion der Exponentialfunktion∫ex dx = ex + C∫

g′(x) eg(x) dx = eg(x) + C

8.8 Logarithmus und Exponentialfunktion mit

beliebiger Basis

Sei a 6= 1, a > 0. Dann ista = eln a.

Fur beliebige x ∈ R definiere

ax = (eln a)x = ex ln a.

Die Abbildung x → ax heißt Exponentialfunktion mit Basis a. (Fur a = 1ist 1x = 1 fur alle x, d.h., wir erhalten eine konstante Funktion).

Es gilt wiedera0 = 1

ax ay = ax+y

ax/ay = ax−y

(ax)y = axy

Es ist alsoax = (ex)ln a

Entsprechend definieren wir den Logarithmus zur Basis a als Umkehrfunktion zuax. Als Bezeichnungen sind

loga x und a log x

gebrauchlich. Wir haben also

aloga x = x fur x > 0,

loga ax = x fur alle x ∈ R.

Die Zahl loga x ist also diejenige Hochzahl, mit der man die Basis a potenzierenmuss, damit man x erhalt.

Aus a = eln a erhalten wir auch

x = aloga x = eln a loga x

96

und daraus durch Anwenden von ln auf beiden Seiten der Gleichung:

lnx = ln a loga x

oder

loga x =lnx

ln a

Die Logarithmusfunktion zu beliebiger Basis ist also nicht wirklich etwas Neues.Man erhalt sie aus dem naturlichen Logarithmus durch Multiplikation mit einerKonstanten.

8.9 Hyperbolische Funktionen

Hyperbelfunktionen sind durch die folgenden Kombinationen der Exponential-funktion definiert,

coshx =ex + e−x

2(8.2)

und

sinhx =ex − e−x

2(8.3)

Beachte:ex = coshx+ sinhx. (8.4)

Das ist die Zerlegung der Exponentialfunktion in zwei Summanden, von deneneiner eine gerade Funktion ist, der andere eine ungerade Funktion. Es besteht diefolgende Beziehung (nachrechnen!)

cosh2 x− sinh2 x = 1 . (8.5)

Das ist ahnlich wie bei den trigonometrischen Funktionen, aber mit einem Minus!Analog zu Tangens und Cotangens werden der Hyperbeltangens und der Hy-

perbelcotangens definiert,

tanhx =sinhx

coshx(8.6)

und

cothx =coshx

sinhx=

1

tanhx. (8.7)

Die Ableitungen dieser Funktionen konnen aus den Ableitungen der Exponenti-alfunktion bestimmt werden,

d coshx

dx=

ex − e−x

2= sinhx (8.8)

und analogd sinhx

dx=

ex + e−x

2= coshx (8.9)

97

Die Hyperbelfunktionen sinhx und coshx erfullen somit die Differentialgleichung

y′′ = y .

-3 -2 -1 1 2 3

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

e - x

e x

cosh x

sinh x

Abbildung 8.5: Die Hyperbelfunktionen sinh x und cosh x

Durch eine Anwendung der Quotientenregel und der Gleichung (8.5) findetman die Ableitungen der hyperbolischen Tangens- und Cotangensfunktionen

d tanhx

dx=

1

cosh2 x= 1− tanh2 x (8.10)

d cothx

dx= − 1

sinh2 x= 1− coth2 x (8.11)

Analogien mit den trigonometrischen Funktionen bestehen auch bei der geo-metrischen Interpretation, die die Namensgebung der Hyperbelfunktionen erklart,siehe Abbildung 8.7. Die Analogien werden noch deutlicher, wenn man die Funk-tionen in der komplexen Ebene betrachtet (siehe letztes Kapitel dieser Vorlesung).

98

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

coth x

tanh x

Abbildung 8.6: Die Hyperbelfunktionen tanhx und cothx

8.10 Arcusfunktionen

Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen werden Arcusfunk-tionen (Arcus = Bogen) genannt, z.B., y = arcsinx. Bevor man die Umkehrfunk-tion bilden kann, muß man den Definitionsbereich der trigonometrischen Funk-tionen auf geeignete Weise einschranken! Die Ableitungen der Arcusfunktionenberechnet man am besten mit den Regeln fur Umkehrfunktionen.

Beispiel 8.10.1 Die Sinusfunktion ist auf dem Intervall −π/2 ≤ x ≤ π/2 strengmonoton wachsend. Daher existiert eine eindeutige Umkehrfunktion, wenn manden Definitionsbereich von sin auf dieses Intervall einschrankt. Die Umkehrfunk-tion arcsinx ist auf dem Definitionsbereich −1 ≤ x ≤ 1 definiert (= Mengeder Bildpunkte der Sinusfunktion). Die Werte von arcsin liegen alle im Intervall−π/2 ≤ x ≤ π/2. Die Ableitung berechnet man wie folgt:

y = sinx , x = arcsin y

dx

dy=

1dydx

=1

cosx=

1√1− sin2 x

=1√

1− y2.

Fur die Umkehrfunktion vertauschen wir wieder die Benennung der unabhangigenund der abhangigen Variablen und erhalten so:

dy

dx=

d

dxarcsinx =

1√1− x2

, −1 < x < 1 . (8.12)

(Am Rande des Definitionsbereiches, bei x = ±1, ist arcsin nicht differenzierbar,die Tangente an den Funktionsgraphen ist dort senkrecht.)

99

8.11 Areafunktionen

Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen nennt man Areafunktionen (auf-grund der geometrischen Interpretation des Argumentes als Flache = “area”).Zum Beispiel,

y = sinhx x = arsinh y . (8.13)

Der Graph von arsinh x ist die Kurve, die entsteht, wenn man den Graphen vony = sinhx an der Geraden y = x spiegelt.

Achtung: Bevor man die Umkehrfunktion von coshx bilden kann, muß manden Definitionsbereich einschranken, z.B auf den Bereich mit x ≥ 0. Man erhaltdann die Funktion arcoshx, den “positiven Ast” der um die Gerade x = y ge-spiegelten cosh-Kurve. (Den negativen Ast wurde man erhalten, wenn man vordem Bilden der Umkehrfunktion auf den Bereich x ≤ 0 einschrankt).

Da in der Bildmenge von cosh, coth und tanh nicht alle Werte vorkommen(siehe die Abbildungen 8.5 und 8.6), haben die resultierenden Umkehrfunktioneneinen eingeschrankten Definitionsbereich. Ihre Ableitungen ergeben sich aus denRegeln fur die Umkehrfunktionen,

d arsinhx

dx=

1√1 + x2

, fur alle x, (8.14)

d arcoshx

dx=

1√x2 − 1

, fur x ≥ 1, (8.15)

d artanhx

dx=

1

1− x2mit |x| < 1, (8.16)

d arcothx

dx=

1

1− x2mit |x| > 1. (8.17)

Da man die Hyperbelfunktionen durch Exponentialfunktionen darstellen kann,kann man deren Umkehrfunktionen auch durch den naturlichen Logarithmus dar-stellen.

y = arcoshx

kann man umwandeln in

x = cosh y =ey + e−y

2

ey + e−y − 2x = 0∣∣ .ey

e2y − 2x ey + 1 = 0 , also ey1,2 = x±√x2 − 1

Durch Logarithmieren erhalten wir daraus

y1,2 = ln(x±√x2 − 1) , fur x ≥ 1 . (8.18)

Fur die Losung mit dem Minuszeichen gilt 0 < x −√x2 − 1 < 1, daher ist

der Logarithmus davon negativ (“negativer Ast des arcosh”). Hingegen ist der

100

Ausdruck x +√x2 − 1 fur x > 1 immer großer als 1, der Logarithmus davon ist

also positiv. Das entspricht unserer Definition des arcosh als positiver Ast (sieheoben). Daher lautet unser Resultat:

arcoshx = ln(x+√x2 − 1) , fur x ≥ 1. (8.19)

Fur y = arsinhx fuhrt die analoge Rechnung zu

ey1,2 = x±√x2 + 1 . (8.20)

Wegen√x2 + 1 >

√x2 = x gilt x−

√x2 + 1 < 0. Die zweite Losung in (8.20) ist

also negativ, da aber ey positiv sein muss, ist sie nicht moglich. Daher gilt

arsinhx = ln(x+√x2 + 1) , fur alle x. (8.21)

Analog erhalt man

artanhx = ln

√1 + x

1− x, fur |x| < 1, (8.22)

arcothx = ln

√x+ 1

x− 1, fur |x| > 1. (8.23)

8.12 Flache unter einer Kreislinie

Als eine Anwendung der Formel

d

dxarcsinx =

1√1− x2

berechnen wir hier die Flache unter der Kreiskurve.Die Kreiskurve ist durch die Gleichung

x2 + y2 = 1, y > 0

gegeben. Auflosen nach y liefert

y =√

1− x2.

Die (Halb-)Kreiskurve ist also der Funktionsgraph einer auf dem Intervall [−1, 1]definierten Funktion, siehe Abbildung 8.8. Die Flache des gefarbten Bereiches ist∫ a

0

√1− x2 dx

und lasst sich als Summe der Flache des blauen Kreissektors und der Flache desrosa Dreiecks auffassen.

Flache des Dreiecks =Grundlinie× Hohe

2=

1

2a√

1− a2

101

Die Flache des Kreissektors mit Offnungswinkel φ ist gerade φ/2 (wenn φ im Bo-genmaß angegeben wird). Aus der Grafik 8.8 sieht man, dass der Offnungswinkeldie Beziehung sinφ = a erfullt, also erhalten wir:

Flache des Kreissektors =Offnungswinkel

2=

1

2arcsin a

Somit erhalten wir fur die gesamte Flache unter der Kurve zwischen 0 und a dieFormel ∫ a

0

√1− x2 dx =

1

2

(a√

1− a2 + arcsin a)

Tatsachlich ist

F (x) =1

2

(x√

1− x2 + arcsinx)

(8.24)

eine Stammfunktion von√

1− x2, wie man durch Differenzieren nachprufen kann:

F ′(x) =√

1− x2.

Als Probe berechnen wir auch noch die Flache der Halbkreisscheibe. Mit

F (±1) =arcsin(±1)

2= ±π

4

findet man sofort ∫ 1

−1

√1− x2 dx = F (1)− F (−1) =

π

2

8.13 Flache unter einer Hyperbel

Die Gleichungy2 − x2 = 1

stellt eine Hyperbel dar. Den einen Ast mit y > 0 konnen wir als Funktionsgraphauffassen:

y =√

1 + x2

Diese Kurve ist in der Abbildung 8.9 skizziert. Wir suchen nun die Flache unterdieser Kurve, also die Flache des farbigen Bereichs in der Abbildung 8.10.

In Analogie zur Formel (8.24) kann man raten, dass eine Stammfunktion vonf(x) =

√1 + x2 durch folgenden Ausdruck gegeben ist:

F (x) =1

2

(x√

1 + x2 + arsinhx)

Tatsachlich findet man, indem man diesen Ausdruck differenziert (unter Verwen-dung der Formel (8.14))

F ′(x) =√

1 + x2

102

(Zur Ubung bitte nachrechnen!) Das Flachenstuck unter der Hyperbel zwischenx = 0 und x = a ist daher∫ a

0

√1 + x2 dx = F (a)− F (0) =

1

2a√

1 + a2 +1

2arsinh a

Den ersten Ausdruck erkennt man leicht als Flache des rosa Dreiecks in der Abbil-dung 8.10. Somit ist die Flache des blauen “Hyperbelsektors” in dieser Abbildungzwangslaufig durch 1

2arsinh a gegeben.

Diese Rechnung rechtfertigt nun die Behauptung aus

103

1 2

-2

-1

1

2

sinh

a

cosh a

a/2

x - y = 12 2

x

y

x=y

Abbildung 8.7: Geometrische Interpretation von sinh a und cosh a. Diese Inter-pretation ist ganz analog zu der von sin und cos, die Kreiskurve x2 + y2 = 1wird hier durch die Hyperbel x2 − y2 = 1 ersetzt. Das Argument a bedeutet hierkeinen Winkel, sondern den Flacheninhalt eines “Hyperbelsektors”. Der Inhaltder grauen Flache ist a/2.

104

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

a

Abbildung 8.8: Zur Berechnung der Flache unter der Kreiskurve.

-2 -1 0 1 2

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Abbildung 8.9: Die Kurve y =√

1 + x2 ist eine Hyperbel. Die strichlierten Linienstellen die Asymptoten dar.

105

a

a-2 -1 0 1 2

0.5

1.0

1.5

2.0

Abbildung 8.10: Zur Berechnung der Flache unter der Hyperbelkurve.

106

Kapitel 9

Integrationsmethoden

9.1 Partielle Integration

Die Regel fur die partielle Integration ist oft von Nutzen, wenn man das Integraleines Produktes zweier Funktionen sucht und die Stammfunktion eines Faktorsbekannt ist. Wir beginnen mit der Formel fur die Ableitung eines Produktes.Seien also u und v zwei differenzierbare Funktionen, dann gilt:

(uv)′ = u′v + uv′ , bzw. uv′ = (uv)′ − vu′ .

Wenn wir das von a bis b integrieren, erhalten wir die Beziehung∫ b

a

u(x) v′(x) dx =

∫ b

a

(u(x) v(x)

)′dx−

∫ b

a

v(x)u′(x) dx

und schließlich die folgende Regel

Theorem 9.1.1 (Regel fur die partielle Integration)∫ b

a

u(x) v′(x) dx = u(x) v(x)|ba −∫ b

a

v(x)u′(x) dx . (9.1)

Fur das unbestimmte Integral schreiben wir:∫u(x) v′(x) dx = u(x) v(x)−

∫v(x)u′(x) dx+ c .

Diese Regel liefert also nicht sofort eine Formel fur die Stammfunktion desProduktes, sondern verlagert das Problem auf die Berechnung eines anderen In-tegrals. Das kann aber oft hilfreich sein.

107

Beispiel 9.1.1 Man wendet die partielle Integration an, wenn sich ein Faktordurch differenzieren vereinfacht, und die Stammfunktion des anderen Faktorsnicht zu kompliziert ist. Als Beispiel betrachten wir:∫

x ex dx =

∫u(x) v′(x) dx

= u(x) v(x)−∫u′(x) v(x) dx

= x ex −∫ex dx = x ex − ex + C

Es ist lehrreich, die andere Methode auszuprobieren, bei der man sich den Inte-granden als x ex = u′v denkt:∫

x ex dx =

∫u′(x) v(x) dx

=x2

2ex −

∫x2

2ex dx = ....

Diese Variante fuhrt nicht zum Ziel, da die partielle Integration den Integrandennicht vereinfacht, sondern komplizierter macht.

Beispiel 9.1.2 Wir berechnen∫x2 dx = x3/3 mittels partieller Integration. Da-

zu schreiben wir ∫x2dx =

∫x.x dx =

∫u v′ dx .

Nun ist u′ = 1 und v =∫xdx = x2/2. Setzen wir das in (9.1) ein, finden wir∫

x2dx = uv −∫vdu = x

x2

2− 1

2

∫x2dx .

Wir haben also fur das gesuchte Integral eine Gleichung erhalten. Auflosen dieserGleichung nach

∫x2 dx liefert sofort

3

2

∫x2dx =

x3

2oder

∫x2dx =

x3

3.

Will man nun ein bestimmtes Integral ausrechnen, muß man noch Integrations-grenzen hinzufugen. Fur das unbestimmte Integral addieren wir eine Integrations-konstante.

9.2 Substitutionsmethode

Die Substitutionsmethode fuhrt dann zum Ziel, wenn eine Variablentransforma-tion gefunden wird, die den Integranden vereinfacht. Dem liegt die Kettenregelfur die Ableitung der Zusammensetzung zweier Funktionen zugrunde.

108

Wenn F ′ = f ist, so ist F ◦ g eine Stammfunktion von (f ◦ g).g′. Mit derKettenregel gilt namlich

d

dxF(g(x)

)= f

(g(x)

)g′(x).

Theorem 9.2.1 (Substitutionsregel) Sei g eine differenzierbare Funktion, de-ren Wertebereich ein Intervall I ist. Sei f stetig auf I und sei F eine Stamm-funktion von f auf I. Dann gilt∫

f(g(x)

)g′(x) dx = F

(g(x)

)+ C

Oft schreibt man

g(x) = u, g′(x) =du

dxoder du = g′(x) dx

und hat dann ∫f(g(x)

)g′(x) dx =

∫f(u)

du

dxdx =

∫f(u) du

F(g(x)

)+ C = F (u) + C

Beispiel 9.2.1 Das Integral ∫(x2 + 1)2 x dx

ist (bis auf einen Faktor 2) von der Form∫f(g(x)

)g′(x) dx

mit g(x) = x2 + 1 und f(x) = x2. Setzen wir u = x2 + 1 und du = 2x dx erhaltenwir

1

2

∫(x2 + 1)2 2x dx =

1

2

∫u2 du =

1

2

u3

3+ C =

1

6(x2 + 1)3 + C.

Beispiel 9.2.2 Betrachten wir als Beispiel das Integral

I =

∫ √2x+ 1 dx

Wir definieren eine neue Variable u durch

u = 2x+ 1,du

dx= 2 oder dx =

1

2du

109

Wir konnen nun das obige Integal umformen, indem wir 2x− 1 durch u substitu-ieren. Dabei mussen wir berucksichtigen, dass sich auch das Differential dx auchandert. Wir erhalten

I =

∫1

2

√u du =

1

2

2

3u3/2 =

1

3u3/2 .

Schließlich ersetzen wir wieder u durch 2x + 1 und fugen die unbestimmte Inte-grationskonstante hinzu. So erhalten wir das Endresultat

I =1

3(2x+ 1)3/2 + C .

Beispiel 9.2.3 Betrachten wir das Integral:∫t sin t2 dt .

Wir sehen, dass t im wesentlichen die “innere Ableitung” vom Argument derSinusfunktion im Integranden ist. Korrigieren wir den Faktor 1/2,

1

2

∫2t sin t2 dt =

1

2

∫u′(t) sinu(t) dt =

1

2

∫(f ◦ u)(t)u′(t) dt.

Dabei ist u(t) = t2 und f(x) = sinx. Daher gilt (f ◦ u)(t) = f(u(t)

)= sin t2 und

u′(t) = 2t. Eine Stammfunktion von f ist F (t) = − cos t. Wir erhalten daher∫(f ◦ u)(t)u′(t) dt = (F ◦ u)(t) + C = − cos t2 + C ,

und ∫t sin t2 dt = −1

2cos t2 + C .

(Da C eine beliebige Konstante ist, ist es egal, ob wir in der letzten Formel Coder C/2 schreiben).

Im allgemeinen ist es nicht immer klar, welche Variablentransformation zumZiel fuhrt. Man braucht dazu Erfahrung - und ein wenig Fingerspitzengefuhl!

9.3 Partialbruchmethode

Bei rationalen Funktionen f(x) = p(x)/q(x) (p, q Polynome) verwendet man oftdie Partialbruchmethode. Diese Methode fuhrt zum Ziel, wenn es gelingt, denNenner als Produkt von in x linearen Faktoren zu schreiben, von denen keinezwei gleich sind.

110

Wir werden dies an einem Beispiel mit zwei Linearfaktoren erlautern:∫1

(x− a)(x− b)dx , (wobei a 6= b).

Wir wollen den Integranden in eine Summe von Bruchen zerlegen, bei denenjeweils nur ein Faktor im Nenner steht. Daher machen wir den Ansatz

1

(x− a)(x− b)=

A

x− a+

B

x− b

und bestimmen dann von dieser Gleichung die Koeffizienten A und B. Bringenwir die rechte Seite auf einen gemeinsamen Nenner,

A

x− a+

B

x− b=A(x− b) +B(x− a)

(x− a)(x− b),

dann finden wir die Bedingung

1 = Ax− Ab+Bx−Ba oder 1 = (A+B)x− Ab−Ba .

Da die letzte Gleichung fur alle x gelten muss, konnen wir sie in zwei separateGleichungen zerlegen (“Koeffizientenvergleich”)

A+B = 0 ⇒ A = −B , (Koeffizient von x1)

−Ab−Ba = 1 ⇒ B =1

b− a

A =1

a− b. (Koeffizient von x0)

Daher konnen wir das Integral folgendermaßen umschreiben:∫1

(x− a)(x− b)dx =

1

a− b

(∫1

x− adx−

∫1

x− bdx

)=

1

a− b(ln |x− a| − ln |x− b|)

= ln

(|x− a||x− b|

) 1a−b

.

Selbstverstandlich konnen Integrale der Form∫1

(x− a)(x− b)(x− c)dx

mit ahnlichen Methoden untersucht werden.

111

9.4 Geloste Ubungsaufgaben

In diesem Abschnitt werden einige Beispiele genau durchgerechnet. Es soll dabeideutlich werden, dass (im Unterschied zur Differentiation) die Integration keinschematisches Rechenverfahren ist. Oft sind mehrere Losungsmethoden moglich,welche die beste ist, ist manchmal nicht von vornherein offensichtlich. Integrierenerfordert Erfahrung und manchmal einiges Herumprobieren.

9.4.1 Beispiel 1 ∫(1− x)

√x dx = ?

Losung:Die einfachste Methode besteht darin, den Integranden durch Ausmultiplizierenzu vereinfachen.∫

(1− x)√x dx =

∫(x1/2 − x3/2) dx = 2

3x3/2 − 2

5x5/2 + c .

Als Fingerubung wollen wir das Integral auch noch mit der Methode der partiellenIntegration rechnen. Wir setzen u = 1 − x und v′ =

√x. Dann wird namlich

u′ = −1 und der Ausdruck vereinfacht sich durch partielle Integration. Nach derFormel (9.1) erhalten wir∫

(1− x)√x dx = (1− x) 2

3x3/2 −

∫(−1) 2

3x3/2 dx

= (1− x) 23x3/2 + 2

325x5/2 + c .

Ausmultiplizieren und Zusammenfassen dieses Resultates liefert selbstverstand-lich wieder das zuerst erhaltene Ergebnis.

9.4.2 Beispiel 2 ∫x√

1− x2 dx = ?

Losung:Der wichtigste Losungsschritt besteht darin, zu erkennen, dass der erste Faktor imIntegranden mit der inneren Ableitung des Wurzelausdrucks zu tun hat. Schreibenwir das Integral um, damit das deutlicher wird:

− 1

2

∫(−2x)

√1− x2 dx .

112

Wir haben es also mit einem Ausdruck der Form∫g′(x)

√g(x) dx zu tun. Das

Integral davon ist ∫g′(x)

√g(x) dx = 2

3g(x)3/2 + c .

Der Leser moge sich durch Differenzieren von der Richtigkeit dieser Behauptunguberzeugen. (Siehe auch die Beispiele am Ende von Kapitel 7).In unserem Fall ist g(x) = 1− x2, das Resultat lautet daher

−12

23

(1− x2)3/2 + c = −13

(1− x2)3/2 + c .

Andere Methode: Die Substitutionsmethode fuhrt auch zum Ziel. Schreiben wir1− x2 = u, und berechnen wir das Differential du,

du =du

dxdx = −2x dx ,

konnen wir das Integral in folgenden einfacheren Ausdruck umwandeln:

− 1

2

∫ √u du = −1

3u3/2 + c .

Rucksubstitution von x liefert wieder das obige Resultat.

9.4.3 Beispiel 3 ∫1

3x− 2dx = ?

Losung:Betrachten wir das einfachere Problem∫

1

udu = ln |u|+ c .

Wenn im Nenner statt dessen eine Geradenfunktion steht, mussen wir dieses Re-sultat nur durch die innere Ableitung des Arguments des Logarithmus korrigieren.∫

1

kx+ ddx =

1

kln |kx+ d|+ c .

Spezialisieren dieses allgemeinen Resultats liefert die Losung dieses Beispiels.

113

9.4.4 Beispiel 4 ∫1

x2 + 6x+ 8dx = ?

Losung:Integrale mit Polynomen im Nenner lost man mit der Partialbruchmethode. Daserste Problem besteht darin, den Nenner in die Form

x2 + 6x+ 8 = (x− a)(x− b)(

= x2 − (a+ b)x+ ab)

zu bringen. Man kann daraus leicht a und b ausrechnen. a und b mussen offenbargerade die Nullstellen des gegebenen Polynoms sein. Daher erhalt man a und bals Losungen der quadratischen Gleichung x2 + 6x+ 8 = 0. Es ergibt sich

a = −3 +√

9− 8 = −2 , b = −3−√

9− 8 = −4 ,

Nun konnen wir, wie im Kapitel uber die Partialbruchentwicklung beschrieben,vorgehen. Wir schreiben

1

x2 + 6x+ 8=

1

(x+ 2)(x+ 4)

=A

x+ 2+

B

x+ 4

=A(x+ 4) +B(x+ 2)

(x+ 2)(x+ 4)

=(A+B)x+ (4A+ 2B)

(x+ 2)(x+ 4).

Es muss also gelten:1 = (A+B)x+ (4A+ 2B)

(die auf der rechten Seite dieser Gleichung beschriebene Geradenfunktion kx+ dmuss uberall gleich der Konstanten 1 sein. Dh. die Gerade hat Steigung k = 0und d = 1). Daher erhalten wir

A+B = 0 ⇒ A = −B ,

4A+ 2B = 1 ⇒ 2A = 1 , A =1

2, B = −1

2.

Unser Integral kann nun berechnet werden:∫1

x2 + 6x+ 8dx =

1

2

∫1

x+ 2dx− 1

2

∫1

x+ 4dx

=1

2(ln |x+ 2| − ln |x+ 4|)

=1

2ln

∣∣∣∣x+ 2

x+ 4

∣∣∣∣ .114

Schließlich erhalten wir, nach Hinzufugen einer Konstanten c, die die Mehrdeu-tigkeit der Stammfunktion andeutet:∫

1

x2 + 6x+ 8dx =

1

2ln

∣∣∣∣x+ 2

x+ 4

∣∣∣∣+ c .

9.4.5 Beispiel 5 ∫x√

1 + x dx = ?

Losung:Ausmultiplizieren fuhrt hier nicht zum Ziel. Verwenden wir aber die Substitution1 + x = u, also du = dx und x = u− 1, so erhalten wir das Integral∫

(u− 1)√u du =

∫(u3/2 − u1/2) du = 2

5u5/2 − 2

3u3/2 + c .

Wiederersetzen von u durch (1 + x) liefert dann die Losung.

Andere Losung:Versucht man die Losung durch partielle Integration, so wird man den Faktoru = x im Integranden los (u′ = 1), muss aber dann die Stammfunktion vonv′ =

√1 + x finden. Diese ist einfach durch (2/3)(1 + x)3/2 gegeben, wie man

durch Differenzieren nachpruft. Man erhalt so∫x√

1 + x dx = x 23

(1 + x)3/2 − 23

∫(1 + x)3/2 dx

= x 23

(1 + x)3/2 − 23

25

(1 + x)5/2 + c

= (1 + x) 23

(1 + x)3/2 − 23

(1 + x)3/2 − 23

25

(1 + x)5/2 + c .

Im letzten Schritt mussten wir einen Term addieren und subtrahieren. Nun kannman die Ausdrucke zusammenfassen und erhalt wieder das alte Resultat. DieserRechengang ist aber in diesem Fall deutlich komplizierter und fehleranfalliger alsdie Substitutionsmethode.

9.4.6 Beispiel 6 ∫x2 ex dx = ?

Losung:Das Integral ist ein Produkt, das sich nicht weiter vereinfachen lasst. Wir versu-chen es daher mit einer partiellen Integration. Naturlich wahlen wir x2ex = uv′.

115

Wir erhalten ∫x2 ex dx = x2 ex − 2

∫x ex dx

= x2 ex − 2(x ex −

∫ex dx

)= x2 ex − 2

(x ex − ex

)+ c

= ex (x2 − 2x+ 2) + c ,

wobei wir insgesamt zweimal das Verfahren der partiellen Integration angewendethaben. Allgemein gilt: Fur ein Integral der Form∫

xn ex dx

muss man n mal partiell integrieren, um den Faktor xn im Integranden loszu-werden. Man erhalt dann ex multipliziert mit einem Polynom n-ten Grades inx.

9.4.7 Beispiel 7 ∫x e−x

2

dx = ?

Losung:Hier fuhrt partielle Integration nicht zum Ziel, da man zwar dadurch den Faktorx loswerden konnte, dann aber vor dem Problem steht, die Stammfunktion vone−x

2zu finden. Statt dessen bemerken wir wieder, dass (−2x) die Ableitung des

Argumentes der Exponentialfunktion ist. (Vergleiche das Beispiel 2).

− 12

∫(−2x) e−x

2

dx = − 12e−x

2

+ c .

Eine gleichwertige Losungsmethode ist in unserem Fall die Substitution −x2 = u,−2xdx = du.

Ganz allgemein lost man so auch das Integral∫g′(x) eg(x) dx = eg(x) + c .

9.4.8 Beispiel 8 ∫sinx sin 3x dx = ?

Losung:

116

Das Produkt im Integranden lasst sich offenbar nicht leicht vereinfachen. Versu-chen wir eine partielle Integration.∫

sin 3x sinx dx = − sin 3x cosx+ 3

∫cos 3x cosx dx .

Es sieht so aus, als waren wir vom Regen in die Traufe gekommen, denn dasIntegral uber das Produkt der Cosinus-Funktionen scheint nicht einfacher zu sein.Wenn wir aber noch einmal partiell integrieren, erhalten wir∫

sin 3x sinx dx = − sin 3x cosx+ 3 cos 3x sinx+ 9

∫sin 3x sinx dx .

Wir haben also unser Ausgangsintegral wieder erhalten, aber diesmal mit demFaktor 9 multipliziert. Das Resultat ist also eine Gleichung, die wir nach demgesuchten Integral auflosen konnen.∫

sin 3x sinx dx =1

8

(sin 3x cosx− 3 cos 3x sinx

)+ c .

Achtung: Unsere Methode fuhrt beim Integral∫sinx sinx dx =

∫(sinx)2dx

nicht zum Ziel, da sich das gesuchte Integral nach zweimaliger partieller Integra-tion aus der Gleichung herauskurzt. Zum Gluck kann man aber in diesem Fallden Integranden leicht vereinfachen. Es ist

(sinx)2 = 12(1− cos 2x) .

Eine Stammfunktion fur diesen Ausdruck lasst sich sofort angeben.

Andere Methode:In einer Formelsammlung konnte man die Formel sin(3x) = 3 sin x − 4 sin3 xfinden. Setzt man das in das Integral ein, erhalten wir fur den Integranden denAusdruck

sinx sin 3x = 3 sin2 x− 4 sin4 x.

Im ersten Summanden ersetzen wir sin2 x = 12(1− cos 2x), im zweiten Ausdruck

verwenden wir die trigonometrische Formel

sin4 x =3− 4 cos 2x+ cos 4x

8.

Somit wird unser Integrand zu

sinx sin 3x = 32

(1− cos 2x)− 12

(3− 4 cos 2x+ cos 4x) = 12

(cos 2x− cos 4x) .

117

Die Losung kann man jetzt leicht finden, da∫cos(nx) dx = 1

nsin(nx) + c .

Allerdings erhalt man jetzt die Losung in einer anderen Form als zuerst:∫sinx sin 3x dx = 1

4sin 2x− 1

8sin 4x+ c .

Die Gleichheit der beiden Ausdrucke fur die Losung lasst sich nur nach einigentrigonometrischen Umformungen zeigen. Der kurzeste Ausdruck fur die Losungist ubrigens

cosx sin3 x+ c .

Da es zwischen trigonometrischen Funktionen so viele Beziehungen gibt, kannman trigonometrische Ausdrucke immer in sehr viele verschiedene Formen brin-gen.

9.4.9 Beispiel 9 ∫sinx

cosx(1− cos2 x)dx = ?

Losung:Durch trigonometrische Umformungen lasst sich der Integrand vereinfachen, z.B.in die Form

1

sinx cosx=

2

sin 2x

bringen. Gunstiger ist noch eine andere Form:

1

cotx sin2 x=

1

tanx cos2 x

Da z.B. 1/cos2 die Ableitung von tan ist, haben wir hier ein Integral von derallgemeinen Gestalt: ∫

1

g(x)g′(x) dx = ln |g(x)|+ c .

Die Losung lautet also:

ln | tanx|+ c = − ln | cotx|+ c .

Wenn einem dieser Trick aber nicht einfallt, steckt man erst einmal fest. Wirbeschreiben daher noch eine andere, weniger trickreiche Methode, die oft beiIntegralen mit trigonometrischen Funktionen angewendet werden kann.

118

Andere Methode:Die Beziehung sin x dx = −d(cosx) legt uns die Substitution u = cos x nahe.Man erhalt dann namlich∫

sinx

cosx(1− cos2 x)dx = −

∫1

u (1− u2)du . (9.2)

Dieses Integral eignet sich fur eine Partialbruchzerlegung. Es ist

u (1− u2) = u (1 + u) (1− u) ,

und daher lautet unser Ansatz

1

u (1− u2)=A

u+

B

1 + u+

C

1− u.

Auf gemeinsamen Nenner bringen liefert die Beziehung

1 = A (1− u2) +Bu(1− u) + Cu(1 + u) , also

1 = u2(−A−B + C) + u(B + C) + A .

Koeffizientenvergleich: Die linke Seite (= 1) ist ein Polynom in u, bei dem dieKoeffizienten von u2 und u Null sind. Zwei Polynome sind gleich, wenn alle ihreKoeffizienten gleich sind. (Anders gesagt: Damit das Polynom auf der rechten Sei-te nicht von u abhangt, mussen die entsprechenden Koeffizienten verschwinden).Wir erhalten also das Gleichungssystem

−A−B + C = 0 , B + C = 0 , A = 1 ,

woraus man leicht erhalt:

A = 1 , B = −12, C = 1

2.

Unser Integral wird also zu∫1

u (1− u2)du =

∫1

udu− 1

2

∫1

1 + udu+

1

2

∫1

1− udu

= ln |u|+ 1

2ln |1 + u|+ 1

2ln |1− u|+ c

= ln |u| − ln√

(1 + u)(1− u) + c

= ln |u| − ln√

1− u2 + c .

Rucksubstitution von u = cosx liefert schließlich die Losung unseres Problems:∫sinx

cosx(1− cos2 x)dx = − ln | cosx|+ ln | sinx|+ c = ln | tanx|+ c .

119

Hinweis: Das Integral ∫1

u (1 + u2)du

kann mit der Partialbruchmethode ebenfalls gelost werden. Die Zerlegung desNenners in Linearfaktoren erfordert aber in diesem Fall die komplexe Zahl i =√−1:

1 + u2 = (u+ i)(u− i) .

9.4.10 Beispiel 10 ∫3x− 6

x2 − 4x+ 7dx = ?

Losung:Hier muss man wieder erkennen, dass der Zahler die Ableitung des Nenners dar-stellt. Das Integral schreibt man besser als

3

2

∫2x− 4

x2 − 4x+ 7dx .

Somit haben wir ein Integral vom Typ∫g′(x)

g(x)dx = ln |g(x)|+ c ,

und die Losung unseres Problems lautet

3

2ln(|x2 − 4x+ 7|) + c .

9.4.11 Beispiel 11 ∫ 5

−3

1

xdx = ?

Losung:Hier haben wir das bestimmte Integral zu berechnen. Eine Stammfunktion desIntegranden ist jedenfalls ∫

1

xdx = ln |x|+ c .

Wir mussen aber beachten, dass der Integrand im Integrationsbereich−3 ≤ x ≤ 5eine “Singularitat” hat. Die Funktion 1/x ist namlich bei x = 0 nicht definiert.Wir durfen also als Resultat den Ausdruck

ln 5− ln | − 3| = ln5

3

120

(= Differenz der Stammfunktionen am End- und Anfangspunkt) nicht akzeptie-ren, jedenfalls nicht ohne weiter Uberprufung.

Spaltet man das Integral auf (gemaß der Rechenregel fur Integrale)∫ 5

−3

1

xdx =

∫ 0

−3

1

xdx+

∫ 5

0

1

xdx

so erhalten wir aus der formalen Rechnung den Ausdruck

(ln 0− ln 3) + (ln 5− ln 0) =∞−∞

Der Ausdruck∞−∞ ist aber vollig unbestimmt. Wir konnen also in diesem Fallkeine Losung angeben. Die Aufgabe war schlecht gestellt, da der Integrand nichtuber das angegebene Intervall integrierbar ist. Insbesondere gilt z.B.∫ 5

0

1

xdx = ln 5 +∞ =∞ .

Die Flache unter einem Ast der Hyperbel ist unendlich groß.Hingegen ist die Flache unter der Kurve 1/

√x, die fur x→ 0 ebenfalls gegen

∞ strebt, endlich: ∫ 5

0

1√xdx = 2

√x∣∣50

= 2√

5− 2√

0 = 2√

5 .

121