h aromdimenzi os bose{einstein-korrel aci ok m er ese a...

$: H aromdimenzi os Bose{Einstein-korrel aci ok m er ese a ...atomfizika.elte.hu/magreszfiz/kurgyis_hbt.pdf · H aromdimenzi os Bose{Einstein-korrel aci ok m er ese a PHENIX k s erletn$
Haromdimenzios Bose–Einstein-korrelaciok meresea PHENIX kıserletnel

Kurgyis Balint

Eotvos Lorand Tudomanyegyetem, Budapest

Kıserleti mag- es reszecskefizika szeminariumELTE, 2018.12.17.

BevezetesHBT meres Levy tıpusu forrassal

A korrelacios fuggvenyek merese kıserletilegEredmenyek

A korai Univerzum es a kvark-gluon plazmaA PHENIX kıserletMit vizsgalunk?

Osrobbanas a laborban - nehezion-utkozesek

Az Univerzum tortenete

GalaxisokAtomokAtommagokElemi reszecskek

Hogyan vizsgalhatjuk?

Reprodukaljuk a laborban!

”Mini-osrobbanasok”

→ Nehezion-utkozesek

Keletkezo reszecskek detektalasa

→ A kvark-gluon plazmat vizsgaljuk

Kurgyis Balint Haromdimenzios Bose–Einstein-korrelaciok 2 / 27




Nehezion-utkozesek





A RHIC es az LHC

Relativisztikus sebesseg

Nehez atommagok nyalabja

Utkozesi pontokban kıserletek





A Relativisztikus Nehezion-utkozteto PHENIX kıserlete

Relativisztikus Nehezion-utkozteto (RHIC)

Detektorrendszer:

Ket kar: East, WestRepulesi ido detektor (ToF)Elektromagneses kalorimeter (PbSc, PbGl)Drift-kamra (DC)Cherenkov detektor (RICH)Ket muonkar: South, North

Reszecskeazonosıtas:

Toltott pionok: p = 0.2− 2 GeV/c

West Beam View

PHENIX Detector 2010

East

MPC RxNP

HBD

PbSc PbSc

PbSc PbSc

PbSc PbGl

PbSc PbGl

TOF-E

PC1 PC1

PC3

PC2

CentralMagnet TEC

PC3

BB

RICH RICH

DC DC

Aerogel

TOF-W 7.9 m =

26 ft





A PHENIX kıserlet altal rogzıtett adatok

Adatrogzıtes: PHENIX (2000-2016)





A HBT-effektus es a Bose–Einstein-korrelaciok

R. Hanbury Brown, R. Q. Twiss - radio csillagaszatR. Hanbury Brown et al., Nature 170, 1061 (1952)

R. Hanbury Brown and R. Q. Twiss, Nature 178, 1046 (1956)

Detektortavolsag fuggvenyekent intenzitaskorrelaciok→ A forras meretenek meghatarozasa (Szıriusz)

Goldhaber es tarsai - nagyenergias fizikaG. Goldhaber et al., Phys. Rev. 120, 300 (1960)

Bose–Einstein-korrelaciok - impulzus korrelaciok→ A reszecskebocsajto forras vizsgalata

C (q) ∼= 1 + |∫S(r)e iqrdr |2, ahol q = k2 − k1

Impulzus korrelaciok merese → femtoszkopikus ter-ido geometria




A Levy tıpusu forrasQCD kritikus pont kereseseMag-gloria modellPar-koordinatarendszer

Levy-eloszlas, a korrelacios fuggveny alakjaNem-gaussos viselkedesPHENIX, S. S. Adler et al., Phys. Rev. Lett. 98, 132301 (2007)PHENIX, S. Afanasiev et al., Phys. Rev. Lett. 100, 232301 (2008)

Adatok legjobb leırasa: Levy-eloszlasPHENIX, A. Adare et al., Phys. Rev. C97, 064911 (2018)

Lehetseges ok: anomalis diffuzioM. Csanad et al., Braz. J. Phys. 37, 1002 (2007)

Tagulo kozeg → novekvo atlagos szabaduthossz

Levy-eloszlas (altalanosıtott cent. hat. tetel)

L(r ;α,R) =1

(2π)3

∫d3qe−iqre−

12|qR|α

Levy-skalaparameter: R

Levy-exponens: α

Gauss: α = 2Cauchy: α = 1

Lévy-HBT correlations 4 / 15





A Levy-exponens es a kritikus pont kapcsolata

Kritikus viselkedest kritikus exponensseljellemezhetunk

Kritikus terbeli korrelaciok: ∼ r−(d−2+η)

Levy-forras: ∼ r−(d−2+α) → η ⇐⇒ α ?Csorgo et al., AIP Conf. Proc. 828 525532 (2006)

QCD univ. osztaly ⇐⇒ 3D IsingHalasz et al., Phys. Rev. D58 096007 (1998)Stephanov et al., Phys. Rev. Let. 81 4816 (1998)

Kritikus pont: η ≤ 0.50S. El-Showk et al., J.Statist.Phys. 157 (2014) 869H. Rieger, Phys.Rev., B52 (1995) 6659

Motivacio a pontos Levy HBT meresre!

Vegesmeret es nem-egyensulyi hatasok

Mit jelent a hatvanyfuggveny szerinti lecsenges?

Hőmérséklet

Bariokémiai potenciál

Hadronikus anyag

Kvark-gluon

plazma

normál maganyag

Szín-

szupravezető

állapotok

LHCRHIC-

Beam Energy Scan

SPS-NA61

STAR fxt.,

FAIR-CBM





A mag-gloria modell

Ket komponensu forras:Csorgo, T. and Lorstad, B. and Zimanyi, J., Z. Phys. C71 , 491 (1996), hep-ph/9411307

Mag: termalizalodott, tagulo forrasGloria: hosszu elettartamu rezonanciak (τ � 10 fm/c)→ kıserletilegfelbonthatatlan

Valodi q→ 0 hatarertek: C (q = 0) = 2; Kıserletileg: C (q→ 0) = 1 + λ

Korrelacio erossege: λ =(

Nmag

Nmag+Ngloria

)2

Korrelacios fuggveny.: C (0)(q;R, α, λ) = 1 + λ exp(−|∑

qR2q|α/2)





Kozegbeli tomegmodosulasη′ pionokra bomlikkiralis UA(1) szimmetria reszleges helyreallasaJ. I. Kapusta, D. Kharzeev, and L. D. McLerran, Phys. Rev. D53, 5028 (1996)

Kozegbeli tomeg lecsokken → keletkezesi hataskeresztmetszet no→ No a gloria jaruleka→ λ erteke lecsokken alacsony mT-n

S. E. Vance, T. Csorgo, and D. Kharzeev, Phys. Rev. Lett. 81, 2205 (1998)

]2 [GeV/cTm0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

max

λ / λ

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4 = 200 GeVNNsPHENIX 0-30% Au+Au

(syst)),-0.14+0.230.02(stat)±H=(0.59

/NDF=83/60, CL=2.7%2χ, 2(syst)) GeV/c-0.09+0.080.01(stat)±=(0.30σ

=55 MeV-1'η*=958 MeV, B'ηm=168 MeV-1'η*=530 MeV, B'ηm=55 MeV-1'η*=530 MeV, B'ηm=55 MeV-1'η*=250 MeV, B'ηm

)]2σ)/(22π-m2

T1 - H exp[-(m

PRL105,182301(2010),PRC83,054903(2011),resonance model:Kaneta and Xu

2(0.55-0.9) GeV/c⟩λ⟨ = maxλ

-π-π+π+π





Az out-side-long koordinatarendszer

Par-koordinatarendszer (m1 = m2, k1, k2)

Atlagos impulzus: K, Relatıv impulzus: q

Bertsch-Pratt koordinatak: q = (qout, qside, qlong)Out: atlagos transzverz impulzus iranyaLong: nyalab iranyaSide: meroleges az elozoekre

LCMS (longitudinalis iranyban egyuttmozgo) rendszer:Pratt, Csorgo, Zimanyi, Phys.Rev. C42 (1990) 2646

qLCMSout =

qxKx + qyKy

KT, KT =

√K 2x + K 2

y ,

qLCMSside =

qxKy − qyKx

KT, mT =

√m2 + K 2

T,

qLCMSlong =

√4 (k1zE2 − k2zE1)2

(E1 + E2)2 − (k1z + k2z)2, qLCMS

0 =KT

mTqLCMS

out .

HBT-sugarak: csak a diagonalis elemeket tartjuk meg

Rout(=√Ro + β2

t τ2), Rside, Rlong




VagasokPareloszlas hisztogramok elkeszıteseModellparameterek illeszteseSzisztematikus hibak

Az adatanalızis lepesei

Esemenyek es reszecskek kivalasztasa

Azonosıtott bozonokMegfelelo statisztika

Aktualis (A(q)) es hatter (B(q)) pareloszlas merese

HatterkeveresMegfelelo felbontas es eleg hosszu hatter

Korrelacios fuggvenyek illesztese

Coulomb-korrekcioTobbdimenzios parameterterben valo minimalizalas

Szisztematikus bizonytalansagok vizsgalata

Parameterek szisztematikus hibaja

Eredmenyek fizikai interpretacioja





Esemenyszelekcio, egy- es ketreszecske vagasok

Korabbi 1D analızishez hasonlo vagasokA. Adare et al. (PHENIX), Phys. Rev. C 97, 064911 arXiv:1709.05649

Esemenyszelekcio (200 GeV Au+Au)

Centralitas: 0− 30%z-vertex: ±30 cm

Egyreszecske (azonosıtott, toltott pionok)

PID: 2σID matching: 2σ

Parvagas:

Egyedi alaku vagasok ∆ϕ−∆z eloszlasokban (EMC,DCH,TOFE,TOFW)





Korrelacios fuggvenyek merese

Elmeleti definıcio: C2 = N2(k1,k2)N1(k1)N1(k2)

N1,N2 az egy- es ketreszecske eloszlasok

31 atlagos mT tartomany: C2(k1, k2)→ C2(q)

Kıserletileg: C2 = A(q)/B(q) (normalva)

A(q) az azonos esemenybeli reszecskeparok eloszlasa→ kvantumstat. effektusok + egyeb effektusok

B(q) egy hattereloszlas → esemenykeveres→ egyeb effektusok

Esemenykeveres:

Esemenyosztalyok (centralitas, z-vertex)Eltarolt esemenyek (max multiplicitas)Veletlenszeru esemenyek, reszecskek





Binezes megvalasztasa

Felbontas → minel kisebb ∆q

Hatter → minel nagyobb qmax

→ Nagyon sok bin → nagymeretu hisztogramok

Nem egyenlo bin szelesseg:

∆qi =

2 MeV, i = 1, 2, · · · 50,

∆qi−1 ·(qi−1+∆qi−1

qi−1

)1.2, i = 51, 52, · · · 100.

mT fuggo bin szelesseg:

qmax =√mT · 325.106 MeV,

Hidrodinamikai skalazas: R ∝ 1/√mT

qmax = 300 MeV az utolso mT binben





Coulomb-korrekcio

Toltott reszecskek → Coulomb-korrekcio K

CCoulomb2 (q, λ, α,R) = C 0

2 (q, λ, α,R) · K (q, λ, α,R)

Ugyanaz a Coulomb-korr, mint 1D-ben

Nagyon reszletes numerikus tablazatKulonbozo q es parameter ertekekre kiszamıtvaGombszimmetrikus forras

Preliminary eredmenyek nem gombszimmetrikus forrast mutatnak

! 3D (nem gombszimmetrikus) Coulomb-korrekcio fejlesztese





Korrelacios fuggvenyek illesztese

Az illesztett fuggveny:

C2(q;R, α, λ) = K (q,R, α, λ)C(0)2 (q;R, α, λ),

C(0)2 (q;R, α, λ) = N(1 + ε

3∑i

qi )(

1 + λe−|∑

i,j(qiR2ijqj)|α/2

)N egy normalasi faktorlinearis hatter: (1 + ε

∑3i qi )

Rij matrix diagonalis a parkoordinatarendszerben:∑i,j

(qiR2ijqj)→ (R2

outq2out + R2

sideq2side + R2

longq2long).

minimalizacio: ROOT kornyezet MINUIT 2C2(q) ketto Poisson hibaval terhelt hisztogram hanyadosa:[E802 Collaboration], L. Ahle et al., Phys. Rev. C66, 054906 (2002)

χ2λ =

∑−2 ·

(A · ln C2(A + B)

A(1 + C2)+ B · ln (A + B)

B(C2 + 1)

)Kurgyis Balint Haromdimenzios Bose–Einstein-korrelaciok 18 / 27




Pelda illesztes

out side long





Szisztematikus bizonytalansagok vizsgalata

Fizikai parameter: P ∈ {Rout, Rside, Rlong,λ,α}Alapbeallıtas, i-edik mT bin: P0(i)Hibaforrasok halmaza: n ∈ N , n = 1, 2, · · · , 7Adott forras kulonbozo beallıtasai: k

k ∈ K↑n ha P0(i) < Pkn (i),

k ∈ K↓n ha P0(i) > Pkn (i),

n-edik forras, k-dik beallıtasa, i-dik mT bin: Pkn (i)

δP↑(i) =

√√√√∑n∈N

1

|K↑n|

∑k∈K↑n

(Pkn (i)− P0(i))

2,

δP↓(i) =

√√√√∑n∈N

1

|K↓n|

∑k∈K↓n

(Pkn (i)− P0(i))

2,





Szisztematikus hibaforrasok


n Forras

1 PID vagas

2 ID matching vagas

3 Parvagasok

4 Coulomb-korrekcio

5 Hisztogramok relatıv impulzus (q) binezese

6 Also illesztesi hatarok (qmin)

7 Felso illesztesi hatarok (qmax)




A forras mereteA korrelacio erossegeA Levy-stabilitas indexeKonkluzio

A forras merete

Levy-skala parameter (Rout,Rside,Rlong) jellemzi a forras meretetOsszehasonlıtas 1D-s eredmenyekkel

A. Adare et al. (PHENIX), Phys. Rev. C 97, 064911 arXiv:1709.05649

Nem gombszimmetrikus forrasHidrodinamikai skalazas: R ∝ 1/

√mT

arXiv:1809.09392

]2 [GeV/cTm0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

R [f

m]

2

4

6

8

10

12

PHENIXout

) 3D-π-π (outR) 3D+π+π (outR

) 1D Phys. Rev. C 97, 064911-π-πR () 1D Phys. Rev. C 97, 064911+π+πR (

]2 [GeV/cTm0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

[fm

]R

2

4

6

8

10

12

side0-30 % Centrality

) 3D-π-π (sideR) 3D+π+π (sideR


]2 [GeV/cTm0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

[fm

]R

2

4

6

8

10

12

long = 200 GeVNNsAu+Au

) 3D-π-π (longR) 3D+π+π (longR


PH ENIXpreliminary





Hidrodinamikai skalazas (Work in progress)

Hidrodinamikai skalazas: alt. Gaussos homogenitasi hosszokra

1/R2 ∝ mT

Skalazas 3D-ben a Levy-skalaparameterekre





A korrelacio erossege

]2 [GeV/cTm0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

λ

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

3D-π-π 3D+π+π

1D Phys. Rev. C 97, 064911-π-π 1D Phys. Rev. C 97, 064911+π+π

PHENIX 0-30% Centrality = 200 GeVNNsAu+Au

PH ENIXpreliminary

Korrelacio erossege (λ)

Elsodleges pionok aranya:√λ =

Nmag

Nmag+Ngloria

Egyezes az 1D eredmenyekkel

Csokkenes alacsony mT-nel→ Kozegbeli tomegmodosulas?

arXiv:1809.09392





A Levy-exponens

]2 [GeV/cTm0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

α

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

3D-π-π 3D+π+π



PH ENIXpreliminary

Levy-exponens vs. mT

Nem Gauss (α = 2)

Nem Cauchy (α = 1)

Messze kritikus pontban vartertektol (α ≤ 0.5)

Egyezes az 1D eredmenyekkel

arXiv:1809.09392





Nyitott kerdesek

Centralitas es utkozesi energia szerinti fugges?

Tapasztalunk-e nem monoton viselkedest?D. Kincses for the PHENIX Collaboration, Universe 2018, 4(1), 11

S. Lokos for the PHENIX Collaboration, Universe 2018, 4(2), 31

Mi a megjeleno Levy-eloszlas oka?

Kulonbozo hadronokra meres (kaonok)Kisebb teljes hataskeresztmetszet → erosebb farok ?

A korrelacio erossegere a mag-gloria effektuson kıvuli egyeb hatasok?

Haromreszecske korrelaciok megmutathatjak a koherencia szerepet


Osszefoglalo

Az adatok leırasa 3D-s Levy-tıpusu forrast feltetelezve

Az eredmenyek konzisztensek az 1D-s eredmenyekkel

A forras nem gombszimmetrikus

α Levy-exponens: nem Gauss, anomalis diffuzio?

Skala parameter: hidrodinamikai skalazas: R ∝ 1/√mT

Kurgyis Balint (PHENIX Egyuttmukodes), arXiv:1809.09392

]2 [GeV/cTm0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

λ

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

3D-π-π 3D+π+π



PH ENIXpreliminary

]2 [GeV/cTm0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

R [f

m]

2

4

6

8

10

12

PHENIXout

) 3D-π-π (outR) 3D+π+π (outR


]2 [GeV/cTm0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

[fm]

R

2

4

6

8

10

12

side0-30 % Centrality

) 3D-π-π (sideR) 3D+π+π (sideR


]2 [GeV/cTm0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

[fm]

R

2

4

6

8

10

12

long = 200 GeVNNsAu+Au

) 3D-π-π (longR) 3D+π+π (longR


PH ENIXpreliminary

]2 [GeV/cTm0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

α

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

3D-π-π 3D+π+π



PH ENIXpreliminary

Tovabbi tervek:

Nem gombszimmetrikus 3D Coulomb-korrekcio

Az eredmenyek veglegesıtese

Koszonom a figyelmet!

Fuggelek Fuggelek

Miert haromdimenzios Levy HBT analızis?

qinv

R

λ1D

α1D

Adare et al., Phys.Rev.C97, 064911

q = (qout, qside, qlong)

Rout, Rside, Rlong

λ3D

α3D

-


A HBT effektus szabad esetben

C2(p1,p2) =N2(p1,p2)

N1(p1)N1(p2). (1)

S(x,p) forrasfuggveny

ψp(x), ψp1,p2(x1, x2) egy es ketreszecske hullamfuggveny

N1(p) =

∫dxS(x,p)|ψp(x)|2, (2)

N2(p1,p2) =

∫dx1dx2S(x1,p1)S(x2,p2)|ψp1,p2(x1, x2)|2. (3)

sıkhullam: |ψp(x)|2 = 1

Szimmetrizalt hullamfuggveny bozonok eseten:

ψp1,p2(x1, x2) =1√2

(e i(p1x1+p2x2) + e i(p1x2+p2x1)

)=

1√2e i2KR

(e ikr + e−ikr

).

(4)q = (p2 − p1), r = x2 − x1K = p1 + p2/2, R = (x1 + x2)/2

|ψp1,p2(x1, x2)|2 = cos2(2qr) = 1 + cos(qr). (5)

A HBT effektus szabad esetben

C2(p1,p2) =S(0,p1)S(0,p1) + 1

2

[S∗(q,p1)S(q,p2) + S(q,p1)S∗(q,p2)

]S(0,p1)S(0,p1)

.

(6)

f (x) fuggveny Fourier-transzformaltja: f (q)

g fuggveny komplex konjugaltja: g∗

Kozelıtes: p1 ≈ p2

C2(q,K) = 1 +|S(q,K)|2

|S(0,K)|2. (7)

Par-forrasfuggveny:

D(r,K) =

∫dRS(R + r/2,K)S(R− r/2,K). (8)

C2(q,K) = 1 +D(q,K)

D(0,K)(9)

A Coulomb-kolcsonhato hullamfuggvenySchrodinger-egyenlet:

− ~2

2m14r1ψ(r1, r2)− ~2

2m24r2ψ(r1, r2)+VC(r2−r1)ψ(r1, r2) = Eψ(r1, r2).

(10)Vegtelenben a kolcsonhatasmentes esetet kapjuk vissza:

E =k1

2~2

2m1+

k22~2

2m2. (11)

Tomegkozepponti es relatıv koordinatak:

R =m1r1 + m2r2m1 + m2

, (12)

r = r1 − r2. (13)

Szorzatalaku hullamfuggveny:

ψ(R, r) = ψR(R)ψr (r) (14)

ψR(R) = e−i2KR, ahol K = (k1 + k2)/2 (15)

A Coulomb-kolcsonhato hullamfuggvenyAzonos toltesu pionok: m1 = m2 = m es R = (r1 + r2)/2

VC(r2 − r1) =~cαr, ahol α =

e2

4πε1

1

~c≈ 1

137. (16)

Relatıv koordinatakra vonatkozo Schrodinger-egyenlet:

4rψr (r)−2ηk

rψr (r) = k2ψr (r), ahol η =

mc2α

2~ck, (17)

Aminek megoldasa:

ψr (r) = Ne ikrF (−iη, 1, i(kr − kr)), (18)

N = e−πη

2 Γ(1 + iη). (19)

Itt Γ(z) a gamma-fuggveny, amelynek definıcioja:

Γ(z) =

∫ ∞0

tz−1e−tdt, (20)

F (a, b, z) pedig az elfajult hipergeometrikus fuggveny:

zF ′′ + (b − z)F ′ − aF = 0. (21)

F (a, b, z) =∞∑n=0

zn

n!

Γ(a + n)

Γ(a)

Γ(b)

Γ(b + n). (22)

Fuggelek Fuggelek

A Levy-alfa stabil eloszlasok

ρ(r) =1

2π

∫ ∞−∞

dqϕ(q)e−irq, (23)

ϕ(q;α, β, c , µ) = exp (iqµ− |cq|α(1− iβsgn(q)Ψ)) , (24)

Ψ =

{tg(πα2

), α 6= 1

− 2π ln(|q|), α = 1.

(25)

α stabilitasi index (exponens)c skalaparameter (α = 2 esetben szoras)β asszimmetriat meghatarozo parameterµ pozıciot (α > 1: varhato ertek) meghatarozo parametersgn az elojelfuggvenySpec eset: β = 0 es µ = 0, c → 2−1/αR:

L(r,R, α) =1

(2π)3

∫d3re−iqre−

12 |qR|

α

. (26)


Fuggelek Fuggelek

Esemenyszelekcio, egy- es ketreszecske vagasok

Korabbi 1D analızishez hasonlo vagasokA. Adare et al. (PHENIX), Phys. Rev. C 97, 064911 arXiv:1709.05649

Esemenyszelekcio:

Centralitas: 0− 30%z-vertex: ±30 cm

Egyreszecske:

PID: 2σID matching: 2σ

Parvagas:

Egyedi alaku vagasok ∆ϕ−∆z eloszlasokban (EMC,DCH,TOFE,TOFW)


Fuggelek Fuggelek

Parvagasok

EMCE, EMCW, DCH:

∆ϕ > ∆ϕ0 −∆ϕ0

∆z0∆z es ∆ϕ > ∆ϕ1

TOFE:

∆ϕ > ∆ϕ0 −∆ϕ0

∆z0∆z

TOFW:∆ϕ > ∆ϕ0 es ∆z > ∆z0

cutDCH EMC TOFE TOFW

z0 ϕ0 ϕ1 z0 ϕ0 ϕ1 z0 ϕ0 z0 ϕ0

0 11 0.15 0.025 18 0.14 0.020 13 0.13 15 0.085

tablazat: Parvagasok parameterezese.


Parvagasok - DCH, EMCE, ECMW

Parvagasok - TOFE, TOFW

Fuggelek Fuggelek



Rogzıtett α melletti illesztesek (Work in progress)

h aromdimenzi os bose{einstein-korrel aci ok m er ese a...

Documents