guide 3 couches

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3 Guide donde dielectrique a` 3 couches

La theorie du guide donde dielectrique plan explique les principes de base du confinementelectromagnetique qui est rencontre dans les structures de lasers a` semi-conducteurs (voirla figure 3a). Dans les guides dondes metalliques creux, les ondes se propagent dans lesguides. Les ondes sont donc confinees totalement a` linterieur de la structure metallique. A`loppose, dans un guide dielectrique plan, les ondes se propagent suivant la structure, sansy etre confinees totalement.

6x

- y

z

Figure 3a Structure typique dun laser a` semi-conducteurs et guide dielec-trique plan.

Le guide dielectrique plan est une structure compose de 3 couches planes. Il posse`de donc unevariation abrupte dindice de refraction selon x. Par souci de simplicite, la reference x = 0est consideree au centre de la couche centrale, dont lepaisseur est d (voir la figure 3b).

-z

0

6x

d/2

+d/2

n2

n1

n2

Figure 3b Variation dindice de refraction pour les 3 couches du guide.

3.1 Propagation dondes

Les solutions recherchees se propagent selon z, donc les champs (en representation de pha-seurs) varient comme ej(tkzz), ou` est la frequence angulaire et kz est la constante depropagation selon z.

c Pierre Tremblay 2002

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Des equations de Maxwell, E = jH (1)

etH = +jE, (2)

il resulteEzy

+ jkzEy = jHx, (3)

jkzEx Ezx

= jHy, (4)Eyx

Exy

= jHz, (5)Hzy

+ jkzHy = +jEx, (6)

jkzHx Hzx

= +jEy, (7)

etHyx

Hxy

= +jEz. (8)

Des expressions peuvent donc etre obtenues pour

Ex =1

k2 k2z

(+jkz

Ezx

+ jHzy

), (9)

Ey =+1

k2 k2z

(jkz Ez

y+ j

Hzx

), (10)

Hx =+1

k2 k2z

(+j

Ezy

+ jkzHzx

), (11)

et

Hy =1

k2 k2z

(+j

Ezx

+ jkzHzy

), (12)

ou` k = est la constante de propagation libre dans le milieu. De plus, des equations

dHelmholtz,2E+ k2E = 0 (13)

et2H+ k2H = 0, (14)

il sensuit que2E

x2+2E

y2= (k2 k2z)E (15)

et2H

x2+2H

y2= (k2 k2z)H. (16)


3.2 Ondes TE et TM

Deux types de solution sont possibles pour cet ensemble dequations dans le guide dielectriqueplan : des ondes avec un champ electrique transverse (ondes TE) et des ondes avec un champmagnetique transverse (ondes TM). Puisquaucune variation dindice ne survient en y, alorstoutes les derivees partielles par rapport a` y seront nulles. Les equations (3) a` (8) deviennentalors separables en 2 groupes de 3 equations.

Le champ electrique des ondes TE ne posse`de quune composante non-nulle, il sagit de Ey.Le champ magnetique aura alors 2 composantes non-nulles, soit Hx et Hz. Les equations (3),(5) et (7) secrivent alors :

+jkzEy = jHx, (17)Eyx

= jHz, (18)et

jkzHx Hzx

= +jEy. (19)

Ce qui implique que lequation (15) devient :

2Eyx2

+ (k2 k2z)Ey = 0. (20)

Le champ magnetique des ondes TM ne posse`de quune composante non-nulle, il sagit deHy.Le champ electrique aura alors 2 composantes non-nulles, soit Ex et Ez. Les equations (4),(6) et (8) secrivent alors :

jkzEx Ezx

= jHy, (21)

+jkzHy = +jEx, (22)

etHyx

= +jEz. (23)

Ce qui implique que lequation (16) devient :

2Hyx2

+ (k2 k2z)Hy = 0. (24)

3.3 Solutions de lequation donde

Pour la suite (3.3 a` 3.10), seules les ondes TE seront considerees. Une approche identiqueme`nerait aux solutions pour des ondes TM. Ces derniers resultats seront fournis a` la 3.11.Les solutions de leq. (20) auront 2 formes possibles. La premie`re forme est constituee desondes oscillatoires :

Ey = ejkxx, si k2 > k2z , (25)


ou` la constante de propagation est

kx =k2 k2z . (26)

La seconde forme correspond a` des ondes sattenuant :

Ey = exx, si k2 < k2z , (27)

ou` la constante dattenuation est

x =k2z k2. (28)

3.4 Solutions dondes guidees

Les modes dinteret varient de facon oscillatoire [eq. (25)] dans la region centrale et satte-nuent a` lexterieur de cette region [eq. (27)]. Le champ de ces modes secrit donc :

Ey =

Ae+xx, < x < d/2,Be+jkxx + Cejkxx, d/2 < x < +d/2,Dexx, +d/2 < x < +,

(29)

ou`

x =k2z k22, (30)

et

kx =k21 k2z . (31)

Dans ces dernie`res relations, k1 et k2 sont respectivement les constantes de propagation libredans les milieux dindice n1 et n2.

Il est possible didentifier 2 types de modes : les modes pairs (dont le champ electriqueest symetrique autour de x = 0) et les modes impairs (dont le champ electrique est anti-symetrique autour de x = 0). Les modes pairs sexprimeront comme :

Ey =

Ae+x(x+d/2), < x < d/2,B cos(kxx), d/2 < x < +d/2,Aex(xd/2), +d/2 < x < +,

(32)

alors que les modes impairs secrivent :

Ey =

Ae+x(x+d/2), < x < d/2,B sin(kxx), d/2 < x < +d/2,Aex(xd/2), +d/2 < x < +.

(33)


3.5 Conditions de continuite aux interfaces

La composante tangentielle du champ electrique (soit la composante Ey) doit etre continueen x = d/2 :

Ey,1(d/2) = Ey,2(d/2), (34)donc

A = B cos(kxd/2), (35)

pour les modes pairs et

A = B sin(kxd/2), (36)

pour les modes impairs. La composante tangentielle (soit la composante Hz) du champmagnetique doit aussi etre continue :

Hz,1(d/2) = Hz,2(d/2), (37)

Cette composante est proportionnelle a` la derivee de Ey [eq. (18)], donc :

1

1

Ey,1x

x=d/2

=1

2

Ey,2x

x=d/2

. (38)

Puisque 1 = 2, alors il est necessaire dimposer aussi la continuite de la derivee de lacomposante Ey du champ electrique en x = d/2. Cette condition resulte en

Ax = Bkx sin(kxd/2), (39)


Ax = Bkx cos(kxd/2), (40)pour les modes impairs. Regroupant les 2 conditions pour chaque parite, il sensuit que :

x = kx tan(kxd/2), (41)

pour les modes pairs [a` partir des eqs (35) et (39)] et

x = kx cot(kxd/2), (42)

pour les modes impairs [a` partir des eqs (36) et (40)].

3.6 Calculs des constantes de propagation et dattenuation

Les valeurs permises de x et de kx doivent etre solutions de lune ou de lautre des 2 equationstranscendantes [eqs (41) et (42)]. Ces dernie`res peuvent etre reecrites sous la forme suivante :

xd

2=kxd

2tan

(kxd

2

), (43)



xd2

=kxd

2cot

(kxd

2

), (44)

pour les modes impairs. La solution de ces equations se fait necessairement a` laide de tech-niques numeriques. Une methode efficace repose sur le lien intrinse`que entre les definitionsdes 2 constantes recherchees. En effet, de leurs definitions [eqs. (31) et (30)], il est observeque (

xd

2

)2+

(kxd

2

)2=

(k2z k22)d24

+(k21 k2z)d2

4,

=(k21 k22)d2

4,

=2(11 22)d2

4=200(n

21 n22)d24

,

= (n21 n22)(k0d

2

)2,

= R2, (45)

ou` k0 = 00 est la constante de propagation dans le vide. Cette dernie`re relation decrit

un cercle de rayon R dans le plan xkx. Les solutions des equations transcendantes serontdonc les intersections entre ce cercle et les tangentes et cotangentes des expressions (43) et(44) pour chaque parite, respectivement. La figure 3c presente ces equations, le cercle et lesintersections obtenus pour un cas particulier.

3.7 Longueur donde de coupure

Comme le demontre la figure 3c, selon la valeur de R, i.e. selon la valeur du saut dindiceet le rapport de lepaisseur de la couche centrale sur la longueur donde dans le vide, unnombre limite de modes peuvent exister. Le nombre de modes augmente lorsque lepaisseurde la couche centrale augmente. Le me`me mode est tout juste permis lorsque lintersectionse produit sur labscisse, i.e. a` kxd/2 = mpi/2. Il existera donc seulement pour des structuresayant une epaisseur :

mpi

2n21 n22

pid

0. (46)

Doncd

0 m

2n21 n22

. (47)

Pour une epaisseur donnee, une longueur donde maximale ( cutoff ) existe pour chaquemode different de TE0. Le mode TE0 est appele le mode fondamental, il est toujours possiblepuisqueaucune longueur donde de coupure ny est associee. Il sera le seul mode possible,i.e. operation unimodale, lorsque

d

0 1

2n21 n22

. (48)


0 1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

3

4

5

6

7

8

kx d / 2

x

d / 2

TE0 TE1 TE2 TE3 TE4

Figure 3c Illustration de la resolution des equations transcendantes pourdeterminer les modes possibles lorsque R = 5. Les traits pleins represententles modes pairs (tangentes) et les traits tiretes-pointilles, les modes impairs(cotangentes). Le cercle de rayon R est en trait tirete. Dans ce cas 4 modes sontpossibles (illustres par des cercles) : les modes pairs TE0 et TE2, et les modesimpairs TE1 et TE3.


Cette dernie`re condition sera souvent recherchee afin dassurer lexistence dun seul modeguide.

3.8 Constante de propagation longitudinale

Lorsque les valeurs de kx et de x sont determinees, la constante de propagation selon z peutetre determinee a` laide de leq. (31) ou de leq. (30) :

kz =k21 k2x =

k22 +

2x. (49)

La valeur obtenue pour kz est necessairement comprise entre k2 et k1, tel quillustre a` lafigure 3d.

-x

d/2 0 +d/2

6k2

k22

k21

k2z ?

6k2x

?

6

2x

Figure 3d Relations entre les constantes de propagation libres et guidees.Les constantes kx et x sobtiennent des ecarts des valeurs quadratiques.

La constante de propagation longitudinale kz peut aussi etre decrite a` laide de lindice derefraction effectif du mode :

kz = neffk0. (50)

3.9 Profils dirradiance des modes

La figure 3e illustre les profils dirradiance des modes guides identifies a` la figure 3c. Pluslindice du mode est eleve, plus le nombre de lobes du profil est eleve. En fait, pour chaquemode, le nombre de lobes correspond a` son indice plus un. De plus, il est interessant de noterque plus lindice du mode est faible, plus lirradiance du mode est concentree dans la couchecentrale. De meme, la constante de propagation longitudinale est de plus en plus pre`s dek1, soit la constante de propagation libre dans le milieu central. Cette couche est appelee lecur du guide.

3.10 Facteur de confinement

Un role particulie`rement important des structures guidantes, telles que le guide dielectriquea` 3 couches, est de confiner au maximum lirradiance de londe dans la couche centrale. Afin


2 1 0 1 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x / d

|E y|2

mode TE0

2 1 0 1 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x / d

|E y|2

mode TE1

2 1 0 1 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x / d

|E y|2

mode TE2

2 1 0 1 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x / d

|E y|2

mode TE3

Figure 3e Profils dirradiance des 4 modes TE se propageant selon la situa-tion fournie a` la figure 3c. Tous les profils sont normalises pour avoir une am-plitude maximale unitaire. Les traits tiretes identifient les limites de la couchecentrale

de quantifier la capacite du guide a` atteindre cet objectif, le facteur de confinement optiqueest defini :

=

1

2

cur

Re{EH} z dx1

2

total

Re{EH} z dx. (51)

Ce facteur represente la fraction de lirradiance totale, se propageant vers +z, qui se situedans la partie centrale du guide.

Le champ electrique nayant quune seule composante, soit Ey, alors

=

d/2d/2

Re{EyHx} dx

Re{EyHx} dx. (52)

Remplacant Hx par son expression la liant a` Ey [eq. (17)], le facteur de confinement devient :

=

kz1

|x|


Il suffit ensuite dutiliser lexpression du champ electrique fournie a` leq. (32), avec la condi-tion donnee a` leq. (35), et deffectuer les integrations necessaires. Il en resulte, pour lesmodes pairs :

=

1 +cos2

(kxd

2

)xd

2

[1 +

sin(kxd)

kxd

]

1

. (54)

Pour les modes impairs, le champ electrique est donne par leq. (33), avec la condition donneea` leq. (36). Le resultat de lintegration est :

=

1 +sin2

(kxd

2

)xd

2

[1 sin(kxd)

kxd

]

1

. (55)

Le facteur de confinement est necessairement inferieur a` 1, puisquau maximum toute lener-gie serait confinee dans le cur du guide. Pour les modes guides identifies a` la figure 3c,les facteurs de confinement sont respectivement de 98.8%, de 94.9%, de 86.0% et de 50.9%pour les 4 modes guides dont les profils sont montres a` la figure 3e.

3.11 Modes TM

La meme demarche que celle suivie pour lobtention des solutions en modes TE est applicableaux modes TM. Il en resulte des expressions similaires :

Hy =

Ae+x(x+d/2), < x < d/2,B cos(kxx), d/2 < x < +d/2,Aex(xd/2), +d/2 < x < +,

(56)

ou`A = B cos(kxd/2), (57)


Hy =

Ae+x(x+d/2), < x < d/2,B sin(kxx), d/2 < x < +d/2,Aex(xd/2), +d/2 < x < +,

(58)

ou`A = B sin(kxd/2), (59)

pour les modes impairs.

Les equations permettant dobtenir les parame`tres des modes guides sont :

xd

2=21

kxd

2tan

(kxd

2

), (60)



xd2

=21

kxd

2cot

(kxd

2

), (61)


Le facteur de confinement est :

=

1 +cos2

(kxd

2

)21

xd

2

[1 +

sin(kxd)

kxd

]

1

, (62)


=

1 +sin2

(kxd

2

)21

xd

2

[1 sin(kxd)

kxd

]

1

, (63)


La difference principale etant le rapport des permittivites, les resultats obtenus pour lesmodes TM seront tre`s pre`s de ceux trouves pour les modes TE lorsque le saut dindice esttre`s faible, ce qui est habituellement le cas.