Guías Modulares de Estudio

Cálculo diferencial Parte A

Semana 1:

Función

Función

• Objetivo:

Resolver problemas sobre relaciones y funciones teóricos o prácticos en distintos ámbitos, mediante el uso de la relación funcional entre dos variables; aplicar recursos adicionales para el trazo de gráficas de funciones; identificar diversas clases de funciones y sus propiedades, en un ambiente escolar que favorezca la reflexión sobre la utilidad de estos conocimientos y el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración en el entorno donde se desenvuelve.

Función

Variable y constante

Una variable es un símbolo que representa un elemento cualquiera de un conjunto específico de números. Dicho conjunto se llama dominio de la variable.

Una constante es un símbolo al que sólo se puede asignar un valor. Algunos autores consideran que una constante es una variable cuyo dominio tiene un elemento único.

Usualmente la variable se representa con la letra inicial de su nombre y, de manera general, se utilizan las últimas letras del alfabeto.

Algunas constantes tienen una letra específica que las representa, como es el caso de π con la cual se expresa la relación entre la longitud de una circunferencia y la longitud del diámetro correspondiente; o bien, la letra g con la cual se simboliza la constante gravitacional; también de manera general se utiliza la letra k o las primeras letras del alfabeto.

Función

Concepto de función

Una función expresa una relación de dependencia entre variables, así:

1. En un lugar determinado, el espacio recorrido por un cuerpo en su caída libre depende del tiempo. Es, por tanto, una función de una sola variable.

2. El área de un rectángulo depende de su base y de su altura, es decir, dicha área es función de dos variables.

3. El interés que produce un capital depende de la tasa, el monto del capital y el tiempo; en consecuencia, se trata de una función de tres variables.

La expresión C = 2πr se utiliza para calcular la longitud C de una circunferencia de radio r . Los valores que se obtienen para C dependen de los valores que toma r ya que 2π es un producto constante; por ello se dice que la longitud de una circunferencia es una función de su radio. La variable a la que se asigna valores, en este caso r, se llama variable independiente. La variable cuyo valor se determina por el que toma aquella, en este caso C, se llama variable dependiente o función.

Función Una relación es una regla de correspondencia que se establece entre los elementos

de un primer conjunto que se llama dominio con los elementos de un segundo conjunto que se llama contradominio, de tal manera que a cada elemento del dominio le corresponde uno o más elementos en el contradominio.

Una función es una relación en la que a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo un elemento del contradominio.

En consecuencia toda función es una relación, pero algunas relaciones no son funciones.

FunciónNotación de función Si en una función al dominio se le llama conjunto A y al contradominio se le llama conjunto

B, entonces la función se simboliza:

o bien:

que en ambos casos se lee: “función de A en B”.

Un elemento cualquiera del dominio se representa con la letra x (variable independiente). Un elemento cualquiera del contradominio se representa con la letra y (variable dependiente o función). El elemento y de B correspondiente a un elemento x de A recibe el nombre de imagen de éste.

El elemento y de B que es imagen de un elemento x de A se simboliza de esta manera: y = f(x) que se lee “y es imagen de x según la función f”, o simplemente “y igual a f de x”. Dado que y = f(x), el par ordenado (x, y) se puede expresar de la siguiente forma: (x, f(x)) .

FunciónEjemplo: En la relación entre un número y su respectivo cuadrado, la regla de correspondencia se puede

expresar así:

o bien,

Si el dominio de esta función es , de manera que las imágenes de los elementos de se obtienen o se expresan como sigue:

Estos valores determinan los pares ordenados (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4), por lo que la función también puede expresarse como un conjunto de pares ordenados:

f = {(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)}

Función

Función real Una función real de variable real, o sencillamente función real, es aquella que tiene

como dominio al mayor subconjunto de números reales y su contradominio es el conjunto de los números reales. En lo sucesivo cuando se hable de función debe entenderse que se trata de una función real.

Criterio de la vertical Cuando se define una función como un conjunto de pares ordenados, se establece

que no existen dos pares diferentes con el mismo primer componente. Esto significa que, en la representación geométrica de una función, su gráfica se compone de puntos a cada uno de los cuales corresponde diferente abscisa; al trazar rectas paralelas al eje de las y por cualquier valor del dominio, cada una de ellas corta la gráfica de la función en uno y sólo un punto.

Si se da la representación geométrica de una gráfica y se desea saber si corresponde o no a una función, por su dominio se trazan rectas paralelas al eje de las y. Si una de ellas corta la gráfica en más de un punto, entonces no corresponde a una función ya que existe por lo menos un elemento que tiene más de una imagen.

Función

Es una función No es una función

Función

Dominio y dominio de imágenes de una función

Como ya se ha dicho, una función se define por tres elementos: el dominio, el contradominio y la regla de correspondencia.

El dominio de la función es el conjunto de todos los valores que puede tomar la x.

Al conjunto de todos los valores que puede tomar y bajo la función se llama dominio de imágenes, también se conoce como conjunto imagen o rango.

En una función f : A B, el dominio es A; el contradominio es B y el rango es C, el cual es el conjunto de imágenes que se obtiene a partir de A bajo la regla de correspondencia de la función. El conjunto C es un subconjunto del conjunto B, es decir C ⊆ B donde llega a ocurrir que C = B, según C sea un subconjunto propio o impropio de B.

Función

Ejemplos:

1. Encontrar el dominio y el rango de la función:

f = {(1, 4), (3, 6), (5, 8), (7, 10)}

Solución:

El dominio de la función es el conjunto formado por los primeros componentes de los pares ordenados, es decir:

A = {1, 3, 5, 7}

El rango de la función es el conjunto formado por los segundos componentes de los pares ordenados, es decir:

C = {4, 6, 8, 10}

Como el contradominio B = , entonces ℝ C ⊆ B .

FunciónEjemplos:

2. Encontrar el dominio y rango de la función f (x) = - 2x + 1

Solución:

En este caso se observa que la x se puede sustituir por cualquier número real para realizar las operaciones que se indica en la regla de correspondencia y obtener su respectiva imagen. Por tanto, el dominio de la función es A = . ℝ

Como f (x) = y la regla de correspondencia de la función se expresa de la siguiente manera

y = - 2x + 1

Despejando x se expresa.

y + 2x = 1

x = (1 – y) / 2

Donde y puede tomar cualquier valor real y en consecuencia el rango de la función es C = , que, en este caso, es igual al contradominio ℝ B.

FunciónRecursos adicionales para el trazo de gráficas Cuando se traza una gráfica por puntos se debe localizar un número suficiente de ellos

para que el diseño de la gráfica sea muy claro.

Entre otros recursos adicionales, para el trazo de una gráfica se puede utilizar:

a) Las intersecciones con los ejes

b) Las simetrías.

Intersecciones con los ejes En el plano coordenado rectangular, el eje x tiene por ecuación y = 0 mientras que el eje y

tiene por ecuación x = 0. Aplicando el teorema fundamental de la geometría analítica a una ecuación, las intersecciones de ésta con los ejes coordenados se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones que se forma con la ecuación dada y la ecuación de cada eje.

En la práctica esto equivale a sustituir x = 0 en la ecuación dada y despejar y para obtener las intersecciones con el eje y; a sustituir y = 0 en la ecuación dada y despejar x para obtener las intersecciones con el eje x.

FunciónEjemplos:

1. Encontrar las intersecciones de 2x + 3y – 6 = 0 con los ejes coordenados.

Solución:

La ecuación es de la forma Ax + By + C = 0. Por geometría analítica se sabe que dicha forma corresponde a una línea recta.

La gráfica interseca al eje x cuando y = 0, es decir, si

2x + 3y – 6 = 0

Entonces:

2x + 3(0) – 6 = 0

donde:

2x – 6 = 0

Despejando x se obtiene:

2x = 6

x = 6 / 2

x = 3

Por tanto, la gráfica pasa por el punto (3, 0).

Función

La gráfica interseca al eje y cuando x = 0, es decir, si:

2x + 3y – 6 = 0

Entonces:

2(0) + 3y – 6 = 0

De donde:

3y – 6 = 0

Despejando y:

3y = 6

y = 6 / 3

y = 2

Por tanto, la gráfica pasa por el punto de coordenadas (0, 2). Entonces la línea recta cuya ecuación es 2x + 3y – 6 = 0 queda determinada por los puntos (3, 0) y (0, 2).

FunciónSimetría

Simetría respecto al eje x La gráfica de una ecuación es simétrica respecto al eje x, si y sólo si para cada punto

(x, y) de la gráfica existe el punto (x, -y) que también pertenece a ella. Para saber si la gráfica de una ecuación es simétrica respecto al eje x, se sustituye

en la ecuación a y por –y. Si la ecuación se conserva sin cambio entonces su gráfica es simétrica respecto al eje x.

Ejemplo:

Función

Simetría respecto al eje y La gráfica de una ecuación es simétrica respecto al eje y, si y solo si para cada punto

(x, y) de la gráfica, existe el punto (-x, y) que también pertenece a ella. Para saber si la gráfica de una ecuación es simétrica respecto al eje y, se sustituye

en la ecuación x por –x. Si la ecuación se conserva sin cambio entonces su gráfica es simétrica respecto al eje y.

Ejemplo:

Función

Simetría respecto al origen La gráfica de una ecuación es simétrica respecto al origen, si y solo si para cada

punto (x, y) de la gráfica, existe el punto (-x, -y) que también pertenece a ella. Para saber si la gráfica de una ecuación es simétrica respecto al eje y, se sustituye

en la ecuación x por –x y a y por -y. Si la ecuación se conserva sin cambio entonces su gráfica es simétrica respecto al eje origen.

Ejemplo:

Semana 2:

Función

Función

• Objetivo:

Resolver problemas sobre relaciones y funciones teóricos o prácticos en distintos ámbitos, mediante el uso de la relación funcional entre dos variables; aplicar recursos adicionales para el trazo de gráficas de funciones; identificar diversas clases de funciones y sus propiedades, en un ambiente escolar que favorezca la reflexión sobre la utilidad de estos conocimientos y el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración en el entorno donde se desenvuelve.

Función

Función explícita y función implícita Una función implícita de dos variables, x y y, se expresa por una ecuación no

resuelta para ninguna de esas variables.

Ejemplo:

x3 – y = 3

3x – y – 5 = 0

xy – 1 = 0 Una función implícita en dos variables, x y y, generalmente se denota por f (x, y) = 0. Una función implícita se vuelve explícita cuando se despeja una de las variables.

Ejemplo:

Función implícita Función explícita

x3 – y = 3 y = x3

3x – y – 5 = 0 y = 3x – 5

xy – 1 = 0 y = 1 / x

Función

Clases de funciones Las funciones racionales se obtienen con el cociente de dos funciones

polinomiales.

La función es irracional cuando algún exponente del polinomio no es entero.

Las funciones polinómicas, anteriormente citadas, racionales e irracionales se llaman

funciones algebraicas. Las funciones que no son algebraicas, como las exponenciales, logarítmicas y

trigonométricas  se llaman funciones trascendentes.

Función

Función exponencial

Una de las mas conocidas, por su aplicación en diferente áreas del conocimiento, es la función exponencial.

Función

Gráfica del logaritmo natural Gráfico del logaritmo de base 10

La función logarítmica

donde a es la base del logaritmo. El logaritmo es el exponente al que hay que elevar la base para obtener el número dado.

Función

Composición de funciones

FunciónFunción inversa

Semana 3:

Límites

Límites

Objetivo:

Resolver problemas de límites en las ciencias naturales, económico administrativas y sociales, a partir de la aplicación de la teoría de límites y el empleo de sus teoremas y el análisis de su comportamiento gráfico, con una actitud analítica y participativa.

Límites En muchas ocasiones algunas frases conducen de manera intuitiva a la definición de

limite, tales como: “Se aproxima a un número específico”, “x se aproxima hacia a”, “f(x) se hace arbitrariamente grande”. Desde Leibnitz, Newton en el siglo XVII a través de los Bernoulli, Euler y Gauss en el siglo VIII y hasta principios del siglo. Sin embargo, a medida que el tiempo transcurría la definición intuitiva de límite necesitaba de librarse de su origen “los objetos móviles” y simples gráficas. Fue Weierstrass, alrededor de 1841 a 1856 quien desarrollo un método para definir los límites si hacer alusión a lo anterior. Desde entonces este método ha sido usado tanto por matemáticos puros y aplicados Weierstrass.

De manera informal el límite se define de la forma siguiente:  

Sea f(x) una función y a un número fijo. Supongamos que el codominio de f contiene intervalos abiertos (c,a) y (a,b), para

algún número c<a y algún número b>a, como en la siguiente figura:

Límites

Si al aproximarse x hacia a, tanto por su izquierda como por su derecha (esto también es equivalente a decir que existe tanto el limite de la función tanto por la izquierda como por la derecha), f(x) tiende a un número específico S, entonces S se llama el límite de f(x) cuando x tiende hacia a.

Lo cual se representa de la siguiente forma:

Una reformulación aun todavía informal es la siguiente: Sean los números c y b, c<a<b, tales que f(x) está definida para todos los x en el

intervalo (c,a) y todos los x en el otro intervalo (a,b). Si x es suficientemente próximo a a pero no exactamente a.

LímitesDefinición precisa de Weierstrass

1. Existe un número c tal que f(x) está definida para todo x>c

2. Para toda solución E existe un número D tal que para todo x>D tal que para todo x>D se cumple f(x)>E

Ejemplo del uso de una definición precisa sobre el limite: Usando una definición precisa probar que

Solución:

Sea E cualquier número. Debemos probar que existe un D tal que siempre x>D, se verifique 2x>E. Que es el equivalente a decir que para todo número E, debemos probar que siempre se cumple que f(x) >E , dado que x>D.

Por ejemplo, si E=100, basta con D=50. Como podemos darnos cuenta si x>50 entonces 2x>100. El número dependerá de E

Ahora bien la desigualdad 2x>E equivale a

Límites

En otras palabras, si

Entonces 2x>E.

Luego             sirve.

Esto es, para x>D   (con ), 2x>E.

Concluimos inmediatamente que

Semana 4:

Límites

Límites

Objetivo:

Resolver problemas de límites en las ciencias naturales, económico administrativas y sociales, a partir de la aplicación de la teoría de límites y el empleo de sus teoremas y el análisis de su comportamiento gráfico, con una actitud analítica y participativa.

Límites

Ejercicios resueltos

1. Resolver el límite

Solución:

LímitesEjercicios resueltos

2. Resolver el límite

Solución: La solución no es tan inmediata como en el caso anterior, es necesario realizar

algunas operaciones antes de aplicar el limite, ya que este limite nos conduce a la indeterminación del tipo cero sobre cero.

Por lo que la factorización:

LímitesEjercicios resueltos

3. Resolver el siguiente limite:

Solución: Como el limite queda indeterminado debido a la división:

entonces es necesario dividir entre la variable a la mayor potencia tanto en el numerador como en el denominador en este caso entre x7:

Límites

Ejercicios resueltos

4. Resuelve el siguiente límite

Solución:

Multiplicando por:

Tenemos

Bibliografía

• Ortiz Campos, José Francisco : Cálculo diferencial, Publicaciones Cultural 2007