guia3(4c potencial electrico)

Liceo Nº1“Javiera Carrera” Departamento de Física L. Lastra, M. Ramos. 4ºM P.C.

Guía Nº3. Potencial Eléctrico

Un concepto muy importante en las aplicaciones prácticas de la electricidad es el de corriente eléctrica. Una corriente eléctrica es en esen-cia un movimiento organizado de grandes cantidades de cargas mi-croscópica, ya sean electrones o iones. Esto es lo que ocurre cuando usted conecta un dispositivo eléctrico a la red domiciliaria: se genera una corriente eléctrica a través de los circuitos de este que hace este funcione. Clásicamente, para que esto ocurra se necesita que una fuerza sea ejercida sobre los portadores de carga, por ejemplo dentro de un conductor. El problema de describir y comprender está situación parece en un principio difícil al involucrar millones de partículas.

Un problema similar al anterior ya había aparecido cuando estudió la mecánica. Por ejemplo, el choque entre dos cuerpos, o el movimiento de un carrito en una montaña rusa, parecían situaciones difíciles de abordar mediante el uso de los principios fundamentales (leyes de Newton). Pero en mecánica existen magnitudes físicas, asociadas a principios “globales”, que permiten conocer ciertos parámetros del mo-vimiento de un sistema de partículas, sin tener que conocer el detalle del movimiento de cada una de ellas. Magnitudes de este tipo son la energía mecánica del sistema o su momentum, y los principios asociados con ellas, la ley de la conservación de la energía mecánica y el momen-tum, resultaron útiles al momento de describir las situaciones como las planteadas.

En esta guía es el concepto de energía el que nos interesa. La energía en el contexto de los fenómenos eléctricos es un tema común: muchos dispositivos de uso cotidiano funcionan a base de energía eléctrica, en los noticieros o periódicos se habla acerca de la generación de energía eléctrica, a menudo se dice que una nueva central eléctrica en construcción generara tantos MW (megawatt)1, etc.

El potencial eléctrico es un concepto relacionado con el concepto de energía eléctrica, que será útil para comprender el movimiento de carga en términos simples, así como las ideas básicas acerca de circuitos eléctricos.

1. Trabajo y Energía (Repaso)

Será útil repasar primero los conceptos de trabajo y energía potencial gravitacional. Primero, por que la energía potencial en general se define en términos del trabajo hecho por una fuerza conservativa, sea esta gra-vitacional o eléctrica. Y segundo, por que el potencial eléctrico se define en términos de la energía potencial eléctrica, y debido a las similitudes entre fuerzas eléctricas y gravitacionales, es conveniente desarrollar este concepto recordando lo que ya conoce acerca de la energía potencial gravitacional.

1 El watt es una unidad de potencia “mecánica”, como recordará de 3º medio. El concepto de potencia puede generalizarse para incluir la energía eléctrica. Por ejemplo, una ampolleta rotulada como de 100 W, consume 100 J de “energía eléctrica” por segundo.

Potencial Eléctrico 2

Concepto General de Trabajo

Supongamos que una fuerza constante F actúa sobre una partícula que se desplaza, a lo largo de una camino recto, desde un punto inicial i a uno final f. Consideramos que el punto de aplicación de la fuerza se mueve con el cuerpo. El vector desplazamiento, que denotaremos por Δ r , es un vector que va de la posición i hasta la f. Todo esto se muestra en la figura 1.1.

Se define el trabajo hecho por la fuerza como:

W = F · r ·cos(θ) .

En la ecuación anterior F representa la magnitud de la fuerza, r y θ la magnitud del desplazamiento y ángulo entre desplazamiento y fuerza respectivamente. El trabajo es una magnitud escalar (representada por un número real) cuya unidad es el N·m (Newton·metro), que por defi-nición corresponde a un Joule o Julio (J). En símbolos

1 N·m= 1 J

Un caso especial es cuando la fuerza y el desplazamiento de la partí-cula están en la misma dirección (θ= y cos(θ)=1) , cuando esto ocurre

W = F ·Δ r . (1)

Cuando la fuerza y el desplazamiento van en direcciones contrarias (θ=180º y cos(θ)=−1) el trabajo es

W =−F ·Δ r . (2)

Por último si la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares, es decir θ=90º , entonces cos(90º)=0 y el trabajo hecho por la fuerza es cero.

Si la fuerza varía, a medida que la partícula se mueve a través de una trayectoria o la trayectoria no es rectilínea, el trabajo tiene una defini-ción mas compleja. En este caso la idea básica de la definición es apro-ximar el trabajo hecho de tal manera que podamos usar la definición para el caso “fácil”. Veamos como se hace esto.

Imaginemos que en cada punto de una trayectoria curva, llamada α en la figura 1.2, actúa una fuerza sobre una partícula que se desplaza a través de ella, que puede variar tanto en dirección como en magnitud.

Figura 1.1

f

i

r

F

θ


En la figura 1.2 se ilustra esta idea con vectores fuerza F1 ,...F5 dibuja-dos en distintos puntos de la trayectoria.

Para definir el trabajo en este caso, podríamos considerar cierto nú-mero de puntos sobre la curva α y “aproximarla” por desplazamientos rectos entre los puntos. Por ejemplo, suponga que tomamos seis puntos sobre la curva, relativamente equiespaciados. Nombramos al punto ini-cial como 1, al final como punto 6, y ahora el camino es aproximado por 5 desplazamientos en el sentido que se aprecia en la figura 1.3. Es decir la curva queda “aproximada” por un “polígono”. A través de cada uno de los desplazamientos rectos podemos considerar que la fuerza es aproximadamente constaste e igual al valor que tiene al inicio del desplazamiento correspondiente.

Las aproximaciones hechas pueden parecer bastante burdas, pero si aumentásemos el número de divisiones, los caminos o desplazamientos rectos en que se divide la curva serían relativamente “cortos”, en conjunto se parecerían mejor a la curva y la aproximación hecha para la fuerza en los tramos sería también razonablemente buena.

Un vector tal como Δ r21 representa un desplazamiento entre el pun-to 1 y 2 y θ1 es el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento en este tramo. De cualquier manera que se defina el trabajo para el caso de una fuerza no constante y/o trayectoria curva, este debe coincidir con la de-

Figura 1.2

f

i

α

F1 F2

F3

F4

F5

Figura 1.3

f=6

i=1

Δ r21

F1

F2

F3

F4

F5

θ1

θ2

Δ r32

θ3

Δ r43Δ r54

Δ r56

θ4θ5

2

3

4

5


finición que dimos para el caso de una fuerza constante y trayectoria recta. Por lo tanto el trabajo hecho por la fuerza a través de la trayecto-ria (curva) que va de 1 a 2, que llamamos W 1 , debe ser aproximada-mente igual a F1Δ r 21cos(θ1) , que es el trabajo que se haría a través de la trayectoria aproximada y recta que va de 1 a 2, puesto en símbolos

W 1≈F1Δ r21cos(θ1) .

Lo mismo es cierto para los otros tramos. El trabajo total W hecho por la fuerza sobre una partícula que se mueve de i a f es

W =W 1+W 2+W 3+W 4+W 5 .

De acuerdo a la discusión anterior, este se aproxima como

W≈F1Δ r 21cos(θ1)+F2 Δ r32 cos(θ2)+F 3Δ r 43 cos(θ3)+

F4 Δ r54 cos(θ4)+F 5 Δ r 56 cos(θ5) .

Si tomamos muchas mas divisiones, digamos unas N =100 , la aproxi-mación será mucho mejor. En realidad la única forma en que se puede definir el trabajo en este caso es mediante este proceso de división del camino en un número N cada vez mayor de partes, y estudiando a que valor “tiende” la suma de “aproximaciones” obtenida cuando N se hace muy grande. Este proceso de aproximación define un número llamado límite y se dice que el trabajo es el “límite” de estas aproximaciones cuando N se hace muy grande

W = limN →∞

( F1Δ r 21cos(θ1)+⋯+F N Δ r N , N+1cos(θN)) .

No debe asustarse por la ecuación anterior. Jamas calcularemos tales límites. Solo debe quedarse con la idea de que, en este caso, se define el trabajo usando un método cuya esencia es aproximar la trayectoria por segmentos rectos en un número cada vez mayor.

El concepto de trabajo está muy relacionado con el de energía. Re-cuerde que el año pasado definimos, informalmente, la energía de un cuerpo como una medida de su capacidad para realizar trabajo. En particular exploramos el concepto de energía cinética como aquella que posee este en virtud de su movimiento. Esta depende tanto de la masa como de la rapidez2, de tal manera que, por ejemplo, un auto a gran ve-locidad tiene mayor energía cinética que una mariposa. Piense en el tra-bajo que estos harían si chocasen con un objeto, ¿quién hará mas traba-jo?, ¿quién posee mas energía cinética?

Matemáticamente, si el sistema bajo estudio consiste de una sola partícula de masa m, o un cuerpo que se comporte como partícula, y ra-pidez3 v, definimos la energía cinética de la partícula como

2 También del sistema de referencia elegido.3 Siempre que hablemos de rapidez o velocidad nos referiremos a las cantidades instantáneas, a menos que se

indique lo contrario. En este caso la rapidez (escalar) siempre es el módulo o magnitud de la velocidad (vector). Esto no es cierto para las cantidades promedio.


K =12

mv² .

Si el sistema consiste de muchas partículas 1, 2,..., N, la energía cinética del sistema se define como la suma de las energías cinéticas de cada una de sus partículas.

Energía Potencial Gravitacional

Vamos ahora al concepto de energía potencial gravitacional. Consi-deremos primero un objeto de masa m cerca de la superficie terrestre. Supongamos que la masa se mueve en una trayectoria recta desde los puntos i a f como se muestra en la figura 1.4. Como el punto f está a

una altura mayor que el i, a medida que el objeto se desplaza no solo puede actuar la gravedad, si no que eventualmente una fuerza externa podría ser la responsable de que la masa gane altura (imagínese levan-tando un libro). Existen muchas maneras en que una fuerza externa puede ser ejercida para llevar el objeto a través de esta trayectoria, por lo tanto el trabajo que hace la fuerza externa depende de los detalles del movimiento. Como la fuerza de gravedad en este caso es siempre de magnitud mg, apuntando hacia abajo, y el desplazamiento es en di-rección contraria a la fuerza de gravedad, el trabajo que esta hace, de acuerdo a la ecuación 2, es independiente de los detalles del movimien-to y con un valor de

Wi → fg =−F ·Δ r =−mg (y f−yi) .

Si la masa baja en vez se subir, el punto final estaría a una altura me-nor que el inicial. En este caso la magnitud del desplazamiento sería Δ r = yi−y f . Como fuerza y desplazamiento tienen la misma dirección,

Figura 1.4

f

mg

yi

y f

ix

y


usando la ecuación 1, determinamos que el trabajo hecho por la grave-dad es

Wi → fg = F ·Δ r =mg (yi−y f )=−mg (y f−yi) ,

es decir obtenemos el mismo resultado que antes, salvo que ahora el trabajo es positivo. En cualquier caso siempre es cierta la expresión

Wi→ fg =−mg (y f −y i) . (3)

Ahora si elegimos el camino mostrado en la figura 1.5, el trabajo he-cho por la gravedad de nuevo es el mismo, pues el punto f se encuentra a la misma altura del suelo que el punto f de la figura 1.4. Para mostrar esto último supongamos que el camino se aproxima por un camino he-cho de desplazamientos verticales y horizontales. El trabajo hecho por la gravedad a lo largo del camino será aproximadamente el trabajo he-cho por la gravedad a lo largo del camino segmentado. Note que la fuerza de gravedad apunta hacia abajo, por lo tanto no hace trabajo cuando la masa se mueve a través de los segmentos horizontales. Las partes verticales del camino aproximado son las únicas que contribuyen al trabajo y han sido numerados del 1 al 10. Por lo tanto si llamamos W 1 al trabajo hecho durante el desplazamiento a lo largo del segmento 1, W 2 al hecho durante el segmento 2, etc, obtenemos

Wi→ fg

≈W 1+W 2+W 3+W 4+W 5+W 6+W 7+W 8+W 9+W 10 . (4)

Si los segmentos verticales tienen longitud l1 ,⋯ , l10 , el trabajo que hace la gravedad cuando la masa parte de i a través del segmento 1 es

Figura 1.5

f

1 mgyi

y f

i

2

3

4 5

6 7

8

9

10

x

y


W 1=−mgl 1 , para el segmento 2 es W 2 =−mgl2 , etc. Note que para el segmento 3 el trabajo es W 3=−mgl3 y para el segmento 6 W 6=mgl6 , como los segmentos 3 y 6 tienen la misma longitud W 3=−W 6 , lo mismo ocurre con los segmentos 4 y 5, por lo que estas contribuciones se cancelan en la suma. Fijándonos en la figura determinamos los sig-nos del trabajo en los segmentos verticales, hacemos las cancelaciones adecuadas y obtenemos para el trabajo

W≈W 1+W 2+W 7+W 8+W 9+W 10

=−mgl1−mgl2−mgl7−mgl8−mgl9−mgl10

=−mgl(l1+l2+l7+l8+l 9+l10)

=−mg (y2−y1).

Si dividimos el camino en segmentos cada vez mas pequeños, el re-sultado no es solo aproximado si no exacto (se requiere un “proceso al límite” como el descrito anteriormente). Concluimos que para cualquier trayectoria que unos dos puntos a alturas yi e y f el trabajo hecho por la gravedad sobre la masa está dado por la ecuación 3, justamente lo que queríamos mostrar.

Una fuerza para la cual el trabajo que hace sobre un cuerpo, cuando este se mueve de un punto i a f, es independiente de la trayectoria se llama una fuerza conservativa. Cada vez que una fuerza es conservativa se puede definir el concepto de energía potencial de un sistema.

Por razones matemáticas solo puede definirse en un principio la dife-rencia de energía potencial gravitacional entre los puntos i y f, Δ U =U f −U i , como

Δ U =−W i → fg =mg (y f−y i) . (5)

Es decir la diferencia de energía potencial que experimenta la masa cuando va de los puntos i a f se define como el negativo del trabajo que hace la gravedad cuando esta se mueve a través de cualquier trayectoria que une estos puntos. Esta cantidad está bien definida, pues este traba-jo es independiente de la trayectoria a través de la cual se mueve la masa.

Casi siempre en física clásica se desea trabajar con funciones de la posición o el tiempo. Veremos que será útil definir una función energía potencial de la masa, que nos entregue información mas detallada del sistema que el simple valor de una diferencia en particular. El procedi-miento anterior solo define la diferencia entre dos valores de esta fun-ción, que llamaremos U. Consideraremos que U (y) representa el valor de la energía potencial de una masa a una altura y. Obtener una fun-ción U, quiere decir en encontrar U (y) para una posición y arbitraria. Para esto elegimos primero un valor arbitrario para U i= U (yi) , que es la energía potencial de la masa en una posición arbitrariamente elegida yi , siendo esta última, también arbitrariamente elegida, como la posi-

ción del suelo, yi=0 en el sistema de coordenadas mostrado en la figu-ra 1.4. Segundo, consideramos un valor cualquiera de y f , que llamare-


mos en forma mas general y, al que le corresponde el valor de la energía potencial U (y) . De acuerdo a lo anterior, la ecuación 5 queda

U (y)=U i+mgy . (6)

Si bien las elecciones anteriores son arbitrarias, lo que es físicamente medible es el trabajo que hacen las fuerzas conservativas, y esto mate-máticamente siempre se asocia a una diferencia de energía potencial. Si se elige cualquier valor para U i se obtiene siempre el mismo valor que antes para la diferencias. Por ejemplo la energía potencial de la masa una altura y1 sería U (y1)=U i+mgy1 y a una altura y2 sería U (y2)=U i+mgy2 . Si calculamos la diferencia de energía potencial obtenemos Δ U =U (y2)−U (y1)= mg (y2−y1) . O sea recuperamos la ecuación 5, independiente del valor de U i .

Recuerde que cuando uso el concepto de energía potencial para re-solver problemas en mecánica, siempre hacia uso de la ecuación de conservación de la energía Δ E =ΔU+Δ K =0 , es decir siempre uso en el fondo la diferencia de energía potencial. Según vimos U i no afecta el resultado al momento de calcular las diferencias mediante la ecuación 6, por lo que podemos considerar que esta 0. O sea si la masa está en el suelo consideramos que la energía potencial es 0. Esta elección no alte-ra la física y simplifica las ecuaciones. Por lo tanto la energía potencial de una masa m a una altura y es:

U (y)=mgy . (7)

En resumen, la energía potencial de una masa m, puesta en un punto P del espacio, es igual al negativo del trabajo que hace la fuerza con-servativa cuando el objeto se mueve de un punto inicial de referencia, el cual puede considerarse como un punto de energía potencial 0, hasta el punto P. La diferencia de energía es independiente de la elección de este “punto cero”.

Conservación de la Energía

Es importante recordar el principio de conservación de la energía mecá-nica. La energía mecánica se un sistema o una partícula, E, se define como

E =U+K , (8)

donde K y U representan las energías cinética y potencial del sistema o partícula.

En el caso de una partícula de masa m, en el campo gravitacional de la tierra, U representa la energía gravitacional de esta4. Como dijimos la fuerza de gravedad es conservativa y en este caso se define la diferencia de energía potencial de la partícula cuando se mueve entre dos puntos i y f como Δ U =U f −U i=−W i→ f

g . Si solamente las fuerza de gravedad

4 En realidad es correcto decir que se trata de la energía potencial del sistema masa-tierra


hace trabajo sobre la partícula, entonces de acuerdo con el teorema del trabajo-energía5, (vea el texto de 3º medio) Δ K = K f−K i =W i→ f

g . Re-sultando que

Δ E=E f−Ei

=(U f+K f )−(U i+K i)

=(U f−U i)+(K f−K i)

=ΔU+Δ K=−W i → f

g +W i→ fg

=0.

La energía mecánica de la partícula se conserva6. Cada vez que la partí-cula pierde una cierta cantidad de energía cinética, gana una cantidad equivalente de energía potencial y viceversa.

Como veremos, al igual que las fuerzas gravitacionales, las fuerzas eléctricas también son conservativas. Cada vez que esto sucede y siempre que un sistema de partículas en movimiento en un campo eléctrico o gravitacional pueda considerarse como una partícula, tal como la tierra moviéndose alrededor del sol, o una carga dentro de un condensador, la energía mecánica del sistema se conserva.

No todas las fuerza son conservativas, y no siempre se conserva la energía mecánica. Por ejemplo cuando un automóvil se desliza fre-nando en una calle la energía cinética se pierde. En este caso la fuerza de roce actúa sobre los neumáticos del automóvil y es la que permite que el auto frene quitándole energía cinética, esta energía no se transforma en enérgica potencial gravitacional, si no que se transfiere a la calzada y los neumáticos aumentando su temperatura. El trabajo he-cho por la fuerza de roce en este caso es complejo y depende en general de los detalles del proceso de frenado.

2. Energía Potencial Eléctrica

Ahora estudiaremos sistemas de cargas desde el punto de vista de la energía. La situación que nos preocupa es electrostática, es decir, existe un sistema de cargas fuente que genera un campo en el espacio y que se mantienen inmóviles en un sistema de referencia inercial. Por lo tanto, en una situación electrostática el campo eléctrico es constante (no cambia en el tiempo). Puesta en este campo tenemos una carga q en movimiento y cuyo comportamiento nos interesa estudiar. Las fuerzas eléctricas solo hacen trabajo sobre la carga q, pues es la única que se mueve.

Las fuerzas eléctricas son conservativas, por lo tanto puede definirse el concepto de energía potencial tal como en el caso gravitacional en términos del trabajo hecho por ellas. Antes de enunciar una definición general, veamos algunos casos donde pueda calcularse el trabajo en forma relativamente sencilla.

5 Puede no ser cierto para un sistema de partículas. Piense en un gas que se comprime, sobre el gas se hace un trabajo, W ≠0 , pero el sistema no se mueve como un “todo”, por lo tanto Δ K =0 . En decir Δ K≠W .

6 Se conserva la energía del sistema masa-tierra. Cuando una masa cae, esta también atrae a la tierra y esta aumenta su energía cinética, aunque este efecto es totalmente despreciable.


Energía de una Carga en un Condensador

Comenzaremos analizando un caso análogo al de la masa moviéndo-se cerca de la superficie terrestre: un condensador de placas paralelas, y el campo uniforme y constante que existe en la región entre placas. Te-nemos una situación en que las placas poseen cargas inmóviles y uni-formemente distribuidas, es decir ellas son las cargas fuentes del campo, de acuerdo con el esquema general discutido al inicio de esta sección.

Supongamos que una carga q es puesta en este campo, como se muestra en la figura 2.1. La fuerza sobre una carga moviéndose en este campo eléctrico uniforme será siempre la misma. De acuerdo con el sistema de coordenadas mostrado en la figura, la fuerza estará dirigida en la dirección y positiva o negativa dependiendo del signo de la carga. Calculemos el trabajo que hace la fuerza eléctrica sobre la carga cuando va de i a f a través de los caminos mostrados en la figura (es costumbre hablar del trabajo hecho por el campo eléctrico para referirse al trabajo hechas por la fuerza eléctrica, así que usaremos está expresión a menu-do).

Por analogía a lo discutido para el caso de la gravedad el trabajo he-cho por la fuerza eléctrica a medida que la carga se mueve de i a f no depende del camino. Ya sea que la carga se mueva por el camino curvo o el camino hecho por un segmento vertical y horizontal, el trabajo he-cho por el campo eléctrico, E , es el mismo. El razonamiento que nos permitiría concluir esto es análogo al de la página 6 y 7 de esta guía, por lo tanto en este caso las fuerzas eléctricas son conservativas.

Asumamos para simplificar que q es positiva y calculemos. Es más fácil evaluar el trabajo a través del camino “horizontal-vertical”. Cuando la carga se mueve por el tramo horizontal del camino el trabajo hecho por el campo eléctrico es cero, pues la fuerza sobre la carga, que apunta hacia abajo, es perpendicular al desplazamiento. Cuando la carga se mueve a través del camino vertical, la magnitud de la fuerza sobre ella es qE y está dirigida hacia abajo, mientras que la magnitud del desplazamiento es y f−yi y se dirige hacia arriba. Fuerza y despla-zamiento tienen direcciones contrarias y, de acuerdo con la ecuación 2, el trabajo hecho por el campo eléctrico es igual a:

Figura 2.1

i

f

x

y

yi

x

y f

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

qE


W i→ fe =−qE (y f−yi) . (9)

La diferencia de energía potencial eléctrica de la carga cuando se mueve entre estos dos puntos se define, tal como en el caso de la gravedad, como el negativo del trabajo hecho por la fuerza conservativa, es decir

ΔU =U f−U i =−W i→ fe =qE(y f −y i) . (10)

En el contexto de la electricidad, usaremos U para la energía potencial eléctrica de una carga o sistema de cargas. Igual que el caso de la grave-dad solo es posible definir, en términos del trabajo, una diferencia de energía potencial. Si queremos hablar de la energía potencial de la carga en una posición y determinada, debemos elegir un punto cualquiera en el espacio y asignarle un valor arbitrario a la energía po-

tencial de la carga puesta allí. Es conveniente en este caso elegir U i =0 cuando yi =0 , es decir en la placa negativa del condensador tomamos el cero de energía potencial, tal como se muestra en la figura 2.2. Como queremos definir la energía potencial de la carga en un punto y cualquiera, cambiamos en la ecuación 10 y f por y , y U f por U (y) . De la ecuación 10

U (y)=U i+qE (y−y i)

=0+qE (y+0)

=qEy .(11)

De acuerdo con la ecuación anterior, la energía potencial de una carga positiva es cero cuando se encuentra sobre la placa negativa y au-menta a medida que aumenta “su altura”, es decir cuando se acerca a la positiva. El comportamiento es análogo al de las masas. Si soltásemos la carga q (positiva) desde el reposo esta se moverá en la dirección del campo. Usando la analogía gravitacional, diríamos que “cae” a la placa negativa, perdiendo energía potencial. La ecuación 11 es cierta también cuando es q negativa. La energía potencial es negativa cuando q es ne-gativa, salvo si se encuentra sobre la placa negativa, donde es cero. Una

Figura 2.2

x

y

U i = 0 x

y

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

E

q


carga negativa tiene más energía potencial, cercana a cero, cuando se encuentra más cerca de la placa negativa y disminuye si se aleja de esta tomando valores cada vez mas negativos. Una carga negativa ini-cialmente en reposo se moverá en dirección contraria al campo eléctri-co, es decir perderá energía potencial acercándose a la placa positiva.

Como la fuerza eléctrica es conservativa, la energía mecánica de una carga se conserva. Si una carga pierde energía potencial debe ganar energía cinética y viceversa.

Ejemplo 2.1. Movimiento de Cargas Usando la Conservación de E

Entre las placas de un condensador el campo eléctrico es uniforme y de magnitud E = 4×105 N/C . Un protón es lanzado con una velocidad horizontal inicial de v= 8×105 m/s y parte de la placa negativa

(ver figura). La separación entre las placas es d =1 cm . ¿Alcanzará el electrón a la placa positiva?, si no es así, ¿cuál debe ser la míni-ma velocidad horizontal que debe darse al protón para que alcance la placa positiva?

Solución: De acuerdo a la ecuación 11, la energía potencial del protón que se encuen-tra a una distancia x de la placa es U ( x)= eEx . Note que la energía potencial es cada vez mayor a medida que se aleja, es de-cir el protón pierde energía cinética y gana potencial. Dicho de otra forma el electrón es frenado por el campo eléctrico.

La energía mecánica de la carga se con-serva. El inicio del movimiento es en la placa negativa y tomamos el final del movimiento en la posición x donde el protón quedará en reposo. Con la notación obvia

U f +K f = U i+Ki ,

y de acuerdo con lo explicado K f =0 y U i= 0 . La ecuación anterior queda

U f +K f =U i+Ki

U f +0=0+Ki

eEx=½ mp v2 ,

donde mp =1,67×10−27 kg es la masa del protón. Si resolvemos para x obtenemos

x =mp v2

2 eE.

Como e = 1,6×10−19 C , calculamos que

x = 8,35×10−3 m≈8,4mm ,

y por lo tanto protón no llega a la placa posi-tiva. Debe aumentarse la velocidad inicial.

La mínima velocidad horizontal que debe darse al protón es tal que este llega justo a la placa positiva con velocidad cero, o equiva-lentemente, con energía cinética cero. Luego para resolver el problema debemos escoger como punto final del movimiento la placa positiva y exigir que K f =0 , y la energía po-tencial del protón en este punto será U f = eEd . El punto inicial es el mismo que antes, por lo que U i= 0 y Ki = ½ mp v2 , solo que ahora v es una cantidad desconocida. Usando la conservación de la energía

U f +K f =U i+Ki

U f +0=0+Ki

eEd=½ mp v2 .

Resolviendo para v, obtenemos

v=√ 2 eEdmp

= 8,8×105 m/s .

- - - - - - - - - -

x

+ + +

+ +

+ +

+ +

+ +

U i= 0

O

inicio final

U f = eEx

E


Energía Potencial de Dos Cargas

Consideremos ahora una carga fuente puntual Q en reposo, que por simplicidad consideraremos positiva, y una carga q positiva que se en-cuentra en el campo de esta. Esta situación se muestra en la figura 2.3. Nos preguntamos ¿cuál es el trabajo que hacen las fuerzas eléctricas cuando la carga q se mueve desde un punto i hasta el punto f?.

En este caso no podemos calcular el trabajo tan fácilmente pues la fuerza varía a medida que la carga q va desde i hasta f. Justamente la fuerza entre cargas está dada por la ley de Coulomb, que predice una variación con la distancia como 1/r 2 . Puede demostrarse que el trabajo hecho por la fuerza eléctrica es independiente del camino entre i y f, pero es algo difícil de hacer.

Un caso particular es cuando la carga q se mueve en dirección radial, es decir cuando los puntos i y f se encuentra sobre una recta que pasa por la posición ocupada por la carga Q, como se muestra en la figura 2.4. Puede mostrase con algo de matemática que el trabajo hecho por la fuerza eléctrica sobre q es

W i→ fe =ke qQ( 1

r i

−1r f

) . (12)

Note que si la carga se acerca, es decir si r f es menor que r i entonces 1/ r i−1 /r f es negativo. Como el producto Qqke es positivos (ambas cargas son positivas) entonces el trabajo es negativo,

Figura 2.3

q

Q

q

if

Figura 2.4

q

Q

q

i

f

Fr i

r f


como debe ser, pues la fuerza es repulsiva y el desplazamiento es en di-rección contraria a esta. En general esta expresión es valida para cargas de cualquier signo.

Ahora si la carga se mueve a través de un camino curvo como el mostrado en la figura, pero con los mismos puntos inicial y final, pode-mos mostrar que el trabajo hecho por la fuerza eléctrica sobre la carga q es el mismo que por el camino radial anterior. Para esto aproximemos

el camino curvo por un camino hecho de segmentos curvos circulares y radiales, como el mostrado en la figura 2.5. La fuerza eléctrica solo tiene componente radial, por lo tanto el trabajo solo es distinto de cero cuando la carga se mueve a través de los segmentos radiales. En los segmentos circulares del camino la fuerza eléctrica siempre es perpendicular al desplazamiento a lo largo del camino, el campo gene-rado por Q no hace trabajo cuando la carga q se mueve a través de ellos. Si gira los segmentos radiales alrededor de la carga Q (en circulo, respetando las lineas punteadas de la figura) y los pega obtiene un ca-mino recto de i a f, tal como en el caso anterior. Por lo tanto el trabajo a lo largo del camino curvo será igual al trabajo hecho sobre la carga cuando se mueve por el camino recto, nuevamente el trabajo estará dado por la ecuación 12.

En general cuando la carga q se mueve entre una posición i cualquie-ra, alegada r i de la carga Q, hasta una posición f arbitraria, alejada r f , como se muestra en la figura 2.6, el trabajo hecho por las fuerzas eléctricas sobre q está nuevamente dado por la ecuación 12.

Figura 2.5

Q

q

i

f

Figura 2.6

q

Q

q

if

r i

r f


En resumen, el trabajo solo depende de las distancia final e inicial en-tre q y Q, y no del camino que va de i a f. Esto permite, igual que en el caso anterior, definir la diferencia de energía potencial entre dos pun-tos. Definimos la diferencia de energía potencial eléctrica de la carga q, en-tre los dos puntos i y f como

U f −U i =−W i→ fe =−k e qQ( 1

r i

−1r f

) . (13)

También podemos asignar una energía potencial a la carga q, a partir de la ecuación 13, en forma análoga a lo que hicimos en los casos ante-riores. Esta ecuación muestra que la energía potencial de la carga q, será solo función de la distancia entre la carga Q y la q, que llamaremos r. Para encontrar esta función llevamos a cabo el procedimiento usual, primero elegimos un punto en el que consideraremos que la energía potencial es cero. Es habitual asignar el cero “en infinito”, es decir con-sideramos que la energía potencial de la carga q a una distancia muy grande de Q es cero. Dicho de otra forma consideramos que la carga se mueve desde “infinito” como punto inicial a una distancia r i muy grande, hasta un punto final a una distancia cualquiera r=r f de Q. Por lo tanto ponemos en la ecuación 13 U i =0 , y U f =U (r) que es la energía potencial de q cuando está ubicada a una distancia r de Q. Debe-mos notar que cuando r i es muy grande 1/r i es esencialmente cero. La energía potencial de la carga q queda

U (r )=U i−k e qQ ( 1r i

−1r )

=0−k e qQ(0−1r )

=k eqQr

.

. (14)

Note que, de acuerdo con la ecuación 13, U (r ) es el negativo del trabajo que hace el campo cuando la carga q se mueve desde muy lejos (“infinito”) hasta una distancia r de Q.

Podemos decir, de acuerdo a la ecuación 14, que la carga q tiene cero energía potencial cuando se encuentra “infinitamente alejada” de Q, y va aumentando a medida que las cargas se acercan, pues ambas son positivas. En la practica “infinitamente alejadas” significa “muy aleja-das”. Note que las fuerzas son repulsivas, por lo que el campo eléctrico hace un trabajo negativo. Si la cargas parten del reposo, entonces un agente externo tuvo que hacer un trabajo positivo para acercarlas.

La ecuación 14 es totalmente general, es decir es cierta para cualquier combinación de cargas de cualquier signo, aunque fue explicada en el caso de dos cargas positivas. Para dos cargas negativas la conclusión anterior también es válida: la energía potencial de la carga q seria posi-tiva y disminuye a medida que esta se ubica en regiones cada vez mas alejadas de Q.


Si las cargas son distintas, la energía potencial de la carga q es cero en infinito y se va haciendo cada vez menor, mas negativa, a medida que la distancia a la carga Q disminuye. La fuerza entre cargas distintas es de atracción, por lo que el campo eléctrico hace un trabajo positivo a medi-da que las cargas se acercan. Un agente externo debe hacer trabajo po-sitivo para separar las cargas desde el reposo.

Definición General

Debe remarcase que en los ejemplos anteriores, la energía potencial se refiere al sistema de dos cargas, o de la carga y el condensador, aun-que hemos hablado como si la energía perteneciese solo a la carga q. Es evidente que si no existen las cargas fuentes, no podríamos hablar del trabajo hecho por el campo, energía, etc. Una carga aislada no posee energía potencial, al menos clásicamente. Imagine una carga alejada de toda influencia, ¿tendría capacidad de realizar trabajo si esta se encuen-tra en reposo?, por lo tanto ¿tendría energía potencial?

Dijimos al comienzo de esta sección que las cargas fuentes se man-tienen fijas en la situación que estamos estudiando, las fuerzas eléctri-cas solo hacen trabajo sobre la carga q. Si hacemos una definición gene-ral del concepto de diferencia de energía potencial entre dos puntos, debemos justamente asociar este trabajo con esta diferencia. Esta es la razón de por que habitualmente nos referimos a la energía potencial de una carga determinada y no del sistema.

Para hacer una definición general necesitamos, tal como en los ejemplos mostrados anteriormente, que el campo eléctrico generado por cualquier distribución de cargas fuentes sea conservativo. Esto es cierto, aunque es mas difícil de mostrar que en los casos simples discu-tidos antes, así que asumiremos sin mas que cualquier campo electrostático es conservativo.

Según lo anterior estamos en condiciones de definir la diferencia de energía potencial de una carga q, entre una posición i y una f, como el negativo del trabajo que hacen las fuerzas eléctricas cuando la carga q se mueve a través de cualquier camino de i a f. Matemáticamente

ΔU =U f−U i =−W i→ fe . (15)

Igual que antes podemos definir la energía potencial de la carga q, y esta cantidad en general dependerá de la posición de la carga. Dicho de otro modo la energía potencial es una función de la posición.

Se define la energía potencial de la carga q en el punto P, U P , como el trabajo que hace el campo sobre q cuando esta se mueve desde “infi-nito”, el punto inicial y donde elegimos U i = 0 , hasta el punto final P. Usando la ecuación 5 esto se escribe

U P=−W ∞→Pe . (16)

El cero de energía potencial ha sido escogido en forma arbitraria en “in-finito”, pero esto dependerá de la situación de interés. Por ejemplo, en el caso del condensador este fue elegido en la placa negativa.


3. Potencial Eléctrico

¿Donde reside la energía potencial de una carga puesta en un campo eléctrico?. Si tenemos una masa unida a un resorte, podemos ver que la energía está almacenada en el resorte, ya sea que este se halle estirado o comprimido, pero nuestro escenario ahora es el espacio vacío. Tene-mos el mismo tipo de dificultades que surgieron al intentar explicar la acción a distancia. La solución a este problema es similar: así como el campo es una propiedad del espacio, la energía potencial se encuentra almacenada en el campo. Para entender esto se introduce el concepto de potencial eléctrico.

Se define el potencial eléctrico V en un punto P del espacio, como la energía potencial que tendría una carga de prueba q, puesta en ese punto divida por la carga de prueba, es decir

V =U P

q(17)

El valor del potencial eléctrico es independiente de la carga q, que solo ha sido usada para definirlo. Es decir el potencial eléctrico es una pro-piedad del espacio que rodea a las cargas que generan el campo (fuen-tes) y solo depende de estas.

Es inmediato de la ecuación 17 que la relación entre potencial eléctri-co de la carga q y el potencial es

U P=qV . (18)

Si conocemos el potencial en un punto P, es simple determinar la energía potencial que tendrá una carga q cualquiera cuando es puesta en este punto.

La diferencia de potencial entre dos puntos i y f del espacio es simple-mente ΔV =V f−V i . La relación entre diferencia de potencial y dife-rencia energía potencial de una carga que se mueve entre i y f es, de acuerdo a la ecuación 18

ΔU =qΔV . (19)

La unidad de potencial eléctrico tiene dimensiones de energía divida por carga. En el SI esto corresponde a Joule sobre Coulomb, unidad que es llamada volt7 (V), equivalencia que podemos escribir

1 volt =1 V≡1 J /C . (20)

Usaremos la letra V para denotar al potencial eléctrico, en itálica, y la le-tra V, no itálica, para la unidad volt. A menudo la diferencia de poten-cial o el potencial es llamado voltaje. Otro nombre común para esta magnitud es tensión eléctrica.

7 El nombre castellano es voltio.


Podemos también pensar el potencial eléctrico de la siguiente mane-ra: la energía potencial de la carga en P es el negativo del trabajo que hace el campo eléctrico cuando esta se mueve desde el punto de energía potencial de referencia cero, usualmente infinito, hasta P, por lo tanto el potencial es el negativo de este trabajo por unidad de carga.

Como el potencial eléctrico fue definido en términos de la energía potencial eléctrica, este tampoco es una cantidad “absoluta”: solo las diferencias de potencial son medibles y físicamente significativas. Al de-finir el potencial a partir de la energía potencial, asumimos el mismo punto de referencia o punto de potencial cero.

Potencial en el Condensador de Placas Paralelas

De acuerdo con la situación mostrada en la figura 2.2, la energía po-tencial de una carga q en una posición y, medida desde la placa negati-va, está dada por la ecuación U (y)=qEy . Según la definición, el poten-cial eléctrico en todos los puntos situados en la posición y será:

V (y)=Uq

=Ey . (21)

De acuerdo a lo anterior el potencial solo depende de y, de tal manera que todos los puntos situados en y=0 , es decir sobre la placa negativa están al mismo potencial. A este número le llamaremos el potencial de la placa negativa V−=0 . Análogamente todos los puntos sobre la placa positiva tienen el mismo potencial, que llamaremos V+ . Si llamamos d a la separación entre las placas, la ecuación 21 implica que V+=Ed . La diferencia de potencial entre la placa negativa y la positiva es:

ΔV C =V +−V−=Ed−0=Ed . (22)

Esta cantidad es llamada el voltaje del condensador o voltaje a través de las placas y es una cantidad positiva. La ecuación 22 además enseña la relación entre la magnitud del campo eléctrico dentro del condensador y el voltaje de este. Escrita de otra forma

E =ΔV C

d. (23)

La ecuación 23 nos indica que el campo eléctrico puede medirse en volt/m. Recuerde de la guía 2 que el campo tiene como unidades del S.I. al N/C, por lo tanto

1 V/m= 1 N/C .

De acuerdo con la ecuación 21, el potencial eléctrico varía linealmen-te desde la placa negativa, donde es cero, y va creciendo hasta llegar a la placa positiva donde es Ed , situación que se muestra en la figura 3.1. El campo eléctrico se dirige desde la placa positiva a la negativa, por lo


que podemos decir que el campo se dirige desde una zona de potencial “alto” (la placa positiva) a una zona de potencial “bajo” (la placa nega-tiva). Este resultado es bastante mas general y se cumple para cualquier campo electrostático.

El movimiento de cargas en reposo puestas en el condensador de placas paralelas dependerá del signo de la carga. Ya analizamos esto desde el punto de vista del campo eléctrico. En términos del potencial eléctrico, una carga positiva se moverá a zonas de bajo potencial eléctri-co (en la dirección del campo). En cambio una carga negativa se mueve hacia a zonas de alto potencial (en dirección contraria al campo).

Conservación la Energía Mecánica

La conservación de la energía mecánica de una carga moviéndose a través de un campo eléctrico generado por una distribución estática de carga es un hecho general, no importa que tan complejo sea el campo eléctrico.

La energía potencial de una partícula se relaciona con el potencial por la ecuación U = qV . Luego cuando una carga se mueve a través de una región donde el potencial cambia, también cambia su energía po-tencial. Como la energía mecánica se conserva, la energía potencial se transforma en cinética, de tal manera que la carga puede aumentar o disminuir su velocidad. Diremos que una carga se mueve a través de una diferencia de potencial ΔV = V f−V i , cuando parte de un punto i y llega hasta el punto f. En los ejemplos 3.1 y 3.2 se muestra como puede

Figura 3.1

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

V

y- -

- -

- -

- -

- -

- -

- -

- -

- -

- -

- -

E

V−= 0

V+= 0

y =0 y =d


usarse el concepto de potencial y la conservación de la energía para analizar el movimiento de carga.

El Electrón Volt

De acuerdo a nuestra definición general si una carga q se mueve a través de una diferencia de potencial, su energía potencial cambia se-gún la ecuación 19, por ΔU = qΔV . Note que la combinación qΔV tiene unidades de energía. Esto permite definir una unidad de energía que esta bien adapta para el uso a nivel microscópico: el electrón-volt.

Supongamos que un electrón se mueve de un punto inicial i de ma-yor potencial a un punto f de menor potencial, es decir a través de una diferencia de potencial ΔV =<0 . La diferencia de energía potencial co-rrespondiente es ΔU = qΔV , como q=−e el electrón ganará energía potencial a medida que se mueve a través de esta diferencia de poten-cial. Si ΔV =−1 V ΔU sera positiva, y diremos que la cantidad de energía potencial ganada por el electrón es, por definición 1 electrón-volt, unidad que simboliza por eV. La equivalencia entre eV y J es

ΔU =qΔV =(−e)(−1 V)=1eV =1,6×10−19 C⋅1 J/C =1,6−19 J .

Ejemplo 3.1. Movimiento a Través de una Diferencia de Potencial

Para generar rayos x es necesario acelerar electrones a través de un campo eléctrico, o equivalentemente a través de una diferencia de potencial. Típicamente esta diferencia es de unos 50 kV.¿Cual será la energía cinética, en keV (kiloelectrón-volt), que ganará un electrón acelerado, desde el reposo, a través de esa diferencia de potencial?. Convierta su respuesta a Joule.

Solución: Que el electrón se mueva a través de una diferencia de potencial de 50 kV sig-nifica que el electrón se mueve desde un punto i a un punto f y que ΔV =V f −V i = 50 kV . No importa cual sea la trayectoria del electrón, entre los puntos i y f, disminuirá su energía potencial pues ΔU =−e ΔV , y ganará energía cinética de tal manera que su energía mecánica se conserva. Representamos la situación en la figura si-guiente

Como U =qV , la ecuación de conservación energía mecánica toma la forma

K f +U f= Ki+UiK f −eV f= Ki−eV i .

Como Ki =0 (el electrón parte desde el re-poso) y q =−e , la ecuación anterior queda:

K f −e V f =−eV i ,

por lo tanto

K f = eV f −eV i

= eΔV= e⋅50 kV= 50 keV.

Para convertir a Joule debemos usar la equivalencia 1eV =1,6×10−19 J . Usando el factor de conversión adecuado, obtenemos

50 keV = 50×103 eV ·1,6×10−19

1eV= 8×10−15 J .

e-

inicio finalK i = 0 K f =¿?

e-

V i V f

Δ V = 50 kV


Ejemplo 3.2.

Las placas de un condensador tienen un área de A= 25cm2 y la separación entre las placas es de d =1cm . El condensador es cargado con 4 nC (esto quiere decir que una placa se carga con +4 nC y la otra con −4 nC ).

a) ¿Cuál es el voltaje entre las placas?b) Si un electrón es puesto en reposo a mi-

tad de camino entre la placa positiva y la pla-ca negativa. ¿Hacia que placa se dirigirá y con que rapidez alcanzara la placa?

Solución: De acuerdo con la guía 2, la mag-

nitud del campo entre las placas es

E =Q

ϵ0 A

=4×10−9C

(8,85×10−12C/Nm2)(2,5×10−5 m2)

=1,81×107 N/C .

De acuerdo con la ecuación 22

ΔV C = Ed=(1,81×107 N/C)(10−2 m)

=1,81×105 V .

Para resolver la parte b, consideremos la fi-gura a final de este ejemplo.

Como el electrón parte del reposo y el campo es uniforme en dirección hacia la iz-quierda, la fuerza será constante y será ejerci-da hacia la derecha, según F =−e E , por lo tanto el electrón se moverá hacia la placa po-sitiva. O alternativamente podríamos decir que se mueve de una zona de potencial bajo a una zona de potencial alto. Considerando el movimiento desde el punto de vista de conservación de la energía mecánica el electrón se moverá perdiendo energía poten-cial, pues si parte del punto medio y llega al aplaca positiva ΔV>0 y ΔU =−e ΔV<0 , ganando energía cinética en el proceso. El electrón es acelerado a través de ΔV

En análisis anterior puede parecer demás. Es obvio que por atracción de cargas opuestas el electrón, negativo, se moverá ha-cia la placa positiva. ¿que hubiese pasado si

en vez de dibujar el condensador solo se hu-biese indicado la dirección en que crece el potencial?. No debe confiar que en las prue-bas siempre se dibujen las cargas fuentes del campo8

Para encontrar la rapidez del electrón, cuando llega a la placa positiva hacemos uso de la conservación de la energía. El punto inicial del movimiento es el punto medio en-tre las placas, el final en la placa positiva. Como el electrón parte del reposo Ki =0 , y en la placa positiva la energía cinética es K f =½ me v² , siendo v la rapidez que quere-

mos calcular y m e= 1,67×10−27 kg es la masa del electrón.

La energía potencial del electrón está dada por U = qV =−eV , por lo tanto la ecuación de conservación de la energía queda

U f +K f =U i+Ki

−eV f +K f =−eV i+Ki

−eV f+1/2m e V 2=−eV i+0.

Despejando para la rapidez, y recordando que e = 1,6×10−19 C obtenemos

v=√ e ΔV C

m= 4,2×106 m/s .

8 Nota de Lorena Lastra ;-)

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

x

+ + +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+

O

inicio

final

E

Dirección de aumento del potencial eléctrico

U i=−eEd2

U f =−eE d


Potencial de una Carga Puntual

La energía potencial de una carga q, puesta en un punto P, a una distancia r de una carga Q está dada por la ecuación 14. Por lo tanto el potencial eléctrico en P generado por la carga Q es:

V (r )=U (r )

q=k e

Qr

. (24)

La ecuación anterior ilustra una de las características del potencial eléctrico: solo depende de la carga fuente Q, no de la carga de prueba q. El potencial eléctrico se extiende en todo el espacio que rodea a la carga y decrece con la distancia como 1/r. Note que en la expresión usada para la energía potencial se ha asumido un una carga de prueba q tendrá 0 energía potencial en el infinito, consecuentemente V =0 en “infinito”. Para una carga positiva el potencial es siempre positivo y de-crece con la distancia hasta hacerse cero en infinito. Para una carga ne-gativa el potencial es negativo en cualquier punto del espacio y aumen-ta a medida que la distancia crece hasta hacerse cero en “infinito”. En el gráfico 3.3 se muestra como varia V con la r, para una carga positiva.

En términos imprecisos, si el potencial mide la influencia que tiene una carga o sistema de cargas, es natural elegir el cero de potencial en infinito, pues la “influencia” de la carga decrece con la distancia. Esto se ve claramente en la figura 3.3, el potencial disminuye acercándose a cero con el aumento de la distancia a la carga fuente. Cuando r tiende a cero 1/r crece y potencial se hace muy grande, la gráfica se acerca al eje V, la “influencia” de la carga es grande.

Figura 3.2: Relación de proporcionalidad inversa entre V y r para una carga puntual positiva.

V

V 0= k e Q / r 0

V 0 /2

V 0 /3V 0 /4

rr0 2 r0 3 r0 4 r0


Cuando se habla de la diferencia de potencial entre un punto ubicado a una distancia r i y uno a una distancia r f se habla de simplemente de V f−V i . De la ecuación 24

ΔV =V f −V i =ke Q( 1r f

−1r i

) . (25)

Ejemplo 3.3.

Si una pequeña esfera de poliestireno, di-gamos de 0,5 cm de diámetro es cargada por frotamiento, esta adquiere una carga del orden de +10−9 C (nanocoulomb).

a) ¿Cual será el potencial eléctrico a una distancia de unos 20 cm de la esfera?

b) ¿Cuál será la diferencia de potencial en-tre un punto (inicial) ubicado a 20 cm y uno ubicado a 40 cm (final).

Solución: Como las dimensiones de la esfe-ra (diámetro) son pequeñas comparadas con la distancia donde se observa el potencial, puede ser considerada como una carga pun-tual. El potencial eléctrico a una distancia de 20 cm se calcula usando la ecuación 24

V (20 cm)=(9×109 Nm²/C2)(10−9 C)

(0,2m)= 45 V .

Para calcular lo pedido en la parte b) pode-mos calcular el potencial a 40 cm de la carga y calcular la diferencia de potencial

V (40cm)=(9×109 Nm²/C2)(10−9 C)

(0,4m)= 22,5 V .

También podríamos haber razonado de la si-guiente forma: en el caso de la carga puntual positiva el potencial es inversamente pro-porcional a la distancia, si esta se duplica, el potencial se divide en dos, por lo tanto

V (40cm)=V (20 cm)

2=22,5 V .

La diferencia de potencial es

ΔV =V (40cm)−V (20cm)=−22,5 V .

También puede usarse la ecuación 25 para calcular la diferencia de potencial

ΔV =9×109 ·10−9( 140 cm

−1

20cm )=−22,5 V .

Potencial de un Sistema de Cargas Puntuales

Para encontrar el potencial eléctrico en un punto P del espacio que rodea a varias cargas puntuales, debemos considerar la definición gene-ral dada por la ecuación 17. Para simplificar, supongamos que tenemos tres cargas, como las mostradas en la figura 3.3.

Figura 3.3

La carga es traída de “infinito”

r1

r2

r3

q

P

q1

q2

q3


Según la definición general de potencial eléctrico, considerando el cero de energía potencial en “infinito”, el potencial P es la energía po-tencial que tendría una carga de prueba q puesta el punto divida por la carga de prueba: V P =U P /q . Pero U P es igual al negativo del trabajo que hacen las fuerzas eléctricas sobre la carga q cuando es traída de “in-finito” hasta P, o sea U P =−W ∞→P

e . El trabajo total hecho sobre q es igual a la suma del trabajo hecho por la carga 1, W 1

e , el hecho por la carga 2, W 2

e y el trabajo hecho por la carga 3, W 3e , cuando la carga es

traída desde “infinito” a P. O sea

V P =U P

q=−W ∞→P

e

q=−

W 1e+W 2

e+W 3

e

q=−

W 1e

q−

W 2e

q−

W 3e

q. (26)

Pero −W 1e es igual a la energía potencial eléctrica que tendría la carga

q si solamente la carga q1 estuviese presente. Llamaremos U1 a esta energía. De acuerdo a la ecuación 14

−W 1e =U1=k e

q q1

r1

. (27)

Por razones análogas

−W 2e =U 2=k e

q q2

r2

−W 3e =U 3=k e

q q3

r3

,(28)

Reemplazando las ecuaciones 27 y 28 en la 26 obtenemos

V P =k e

q1

r1

+k e

q2

r2

+k e

q3

r 3

. (29)

De acuerdo a la ecuación anterior, podemos pensar que cada carga contribuye al potencial eléctrico en P en forma independiente de las de-más, pues cada uno de los términos de la suma es el potencial eléctrico que se generaría si solo la carga correspondiente estuviese presente.

La generalización a un sistema de N cargas es obvia: la suma solo tie-ne mas términos

V P =k e

q1

r1

+⋯+k e

qN

r N

. (30)

En la ecuación 30 r1 ,...,r N representan las distancias entre las N cargas y el punto P.


Ejemplo 3.4. Un Problema Típico

Una carga −q y otra de 2 q , se encuen-tran separadas por una distancia a. Las cargas se encuentran dispuestas sobre una recta que coincide con el eje x, tal como se muestra en la figura. ¿En qué punto de la li-nea que une las cargas el potencial es cero?

Solución: Llamemos x a la posición de un punto cualquiera entre cargas. Como el pun-to se encuentra a la izquierda de la carga 2 q , la distancia entre la carga y el punto es simplemente x. La distancia entre el punto y la carga −q es a−x . Luego el potencial en el punto es

V (x )= k e2 qx

−k eq

a−x.

Igualando el potencial a cero, obtenemos una ecuación para la posición x en la recta, y en-tre las cargas, donde el potencial es cero

0=k e2qx

−k eq

a−x.

Simplificada la ecuación queda

x = 2(a−x ) ,

que al ser resuelta nos da

x =2a3

.

Ejemplo 3.5.

Calcule el potencial en el punto P, genera-do por las cargas que se muestran en la figu-ra.

Solución: El potencial eléctrico es la suma de los potenciales que resultarían de cada una de las cargas individuales, según la ecua-ción 30. Para usar esta ecuación se necesita conocer las distancias entre cada carga y el punto P. Dos de ellas están indicadas en la fi-gura y la distancia entre la carga de 5,0 nC y el punto P, puede calcularse usando el teore-ma de Pitágoras. El cálculo resulta

V P = k e

3,0×10−9C0,07 m

+k e

1,0×10−9 C0,04 m

+k e5,0×10−9 C

√(0,04 m)2+(0,07 m)

2

= 1,2×103 V .

4. Superficies Equipotenciales

Consideremos una carga positiva Q. El potencial eléctrico en un pun-to del espacio solo depende de r, de acuerdo con la ecuación 24, por lo tanto el potencial eléctrico en puntos que están a una misma distancia de la carga fuente es el mismo. Podemos dibujar la situación marcando todos los puntos que están al mismo potencial, es decir a una misma distancia r de la carga obteniendo en este caso un círculo, lo mismo po-demos hacer para varias distancias obteniendo un conjunto de círculos, como se muestra en la figura 4.1. Luego todos los puntos de estos círcu-los están al mismo potencial. En realidad la figura es una representa-

O

a

x

2q -q

P

4 cm

1,0 nC

5,0 nC

3,0 nC

7 cm


ción bidimensional de una situación tridimensional, puntos que están a un mismo potencial se encuentran sobre superficies esféricas. Estas su-perficies son llamadas superficies equipotenciales, o simplemente equipo-tenciales. Una carga puesta en cualquier punto de una misma equipo-tenciales tienen la misma energía potencial, pues U=qV .

Las equipotenciales sirven para representarnos el potencial eléctrico de una distribución de cargas, tal como las líneas de campo sirven para representarnos el campo eléctrico. En la figura 4.2 se muestra el diagra-ma de equipotenciales y lineas de campo para el caso de dos cargas distintas. En este caso las superficies equipotenciales tienen formas mas complejas que las de la carga puntual. Para hacerse una idea de las equipotenciales en este caso, debe rotar mentalmente la figura tomando como eje la linea recta vertical que en ella se muestra.

Figura 4.1

+

Figura 4.2

+ -


El campo eléctrico debe ser siempre perpendicular a las equipoten-ciales, pues cuando una carga de prueba se mueve a través de ella, por cualquier camino, su energía potencial no cambia. Recuerda que la dife-rencia de energía potencial se define en términos del trabajo hecho por el campo, si no hay cambio en la energía potencial, significa que el campo no trabaja sobre la carga. Lo anterior es posible solamente si la fuerza ejercida por el campo es siempre perpendicular al desplazamien-to, o dicho de otra forma si el campo es siempre perpendicular a la di-rección determinada por la equipotencial.

Tal como se enunció en la sección 3, el campo se dirige de zonas de mayor a menor potencial, luego el potencial correspondiente a las distintas superficies equipotenciales debe ir disminuyendo en la di-rección del campo.

En el caso de un condensador de placas paralelas, las equipotenciales en la región central deben ser líneas rectas siempre perpendiculares al campo y paralelas. Recuerde lo discutido en la sección 3: todos los pun-tos a una misma distancia de la placa negativa se encuentran al mismo potencial. En la figura 4.3 se muestra un diagrama de lineas de campo y equipotenciales para la región considerada, ¿dónde se encuentra la pla-ca negativa?

3

5. Preguntas

1. La energía potencial de dos cargas es negativa. ¿Se requiere hacer trabajo sobre las cargas para separarlas?, ¿que ocurre si la energía es positiva?

2. Si en un punto del espacio el potencial es cero, ¿será cierto que el campo allí es cero?. Indicación: Considere por ejemplo dos cargas puntuales.

3. Una carga q positiva se mueve solo la bajo la acción de fuerzas eléctricas. Si se mueve de tal manera que ΔV <0 ,

a) ¿qué ocurra con la energía poten-cial de la carga?.

b) ¿Y la energía cinética?

4. Un electrón se mueve a través de un punto i a un punto f, solo bajo la influen-cia de la carga negativa que se muestra en la figura

a) ¿la energía potencial aumenta o disminuye?

b) ¿que ocurre con la energía cinética?

5. En un texto de física dice “la energía po-tencial puede pensarse como una canti-dad que mide el grado de interacción de dos cargas”, ¿Tiene sentido esto?, ¿es ra-zonable considerar que dos cargas aleja-das tienen una energía potencial 0?

f

-i

Figura 4.3


6. De acuerdo con la guía 2, si aumenta-mos la carga en las placas de un conden-sador, aumentará la magnitud del campo eléctrico entre ellas. ¿El voltaje entre las placas aumentará o disminuirá?.

7. Supongamos que un condensador de placas paralelas ha sido cargado hasta alcanzar una diferencia de potencial ΔV , usando una batería. Luego se retira la ba-tería de manera que el condensador retie-ne la carga.

a) Si la distancia entre las placas se duplica, ¿que ocurre con la magni-tud del campo eléctrico entre las placas, aumenta, disminuye o que-da igual?. Si cambia, calcula por cuanto cambia (debe responder algo como: aumenta al doble, el tri-ple, disminuye a la cuarta parte, etc)

b) Responda lo mismo que en la parte a) pero cambiando campo por ΔV C .

8. En la siguientes figura se muestra el

campo en el interior de un condensador. Ordene de mayor a menor los potenciales en los puntos a, b, c, d, e y f.

9. En la figura se muestran dos protones son lanzado con la misma rapidez desde el punto 1 dentro de un condensador. Los puntos 2 y 3 están a la misma distancia de la placa negativa. Llamemos ΔU 1→2 al cambio de energía potencial del protón cuando se mueve por el camino que va de 1 a 2 y ΔU 1→3 cuando se mueve de 1 a 3.

a) ¿ ΔU 1→2 es mas grande, mas pe-queño o igual a ΔU 1→ 3 ?

b) ¿la rapidez del protón en 2, v2 , es mas grande, mayor o igual a v3 ?

10. Dos estudiantes han dibujado algunas equipotenciales para la región central de un condensador y sus respectivos valores. La distancia entre dos equipotenciales ad-yacentes es a o a/2. ¿Qué conjunto de equipotenciales es físicamente posible?

11. Se han dibujado, correcta o incorrecta-mente, equipotenciales para una carga puntual positiva. El cero de potencial se ha tomado en “infinito”. La distancia en-tre dos equipotenciales sucesivas es a y la distancia entre la carga y la equipotencial mas cercana es a o 2a. ¿Alguna(s) de las siguientes figuras representa(n) lo que fí-sicamente puede ocurrir?

1

2 3

+ + + + + + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

ab

c

d

e

f

10 V 30 V 50 V

40 V

10 V 30 V 60 V

20 V

a) b)

300 V

200V

300 V

200V

400 V

200V

300 V

150 V

a) b)

c) d)

100V 150V

100V100V


6. Ejercicios

Unidad de masa atómica (u):1u =1,67×10−27 kgPermisividad del vacío:ϵ0 =8,85×10−12 C/Nm²Magnitud de la carga del electrón: e = 1,6×10−19 CMasa del electrón:9,11×10−31 kgMasa del protón (aprox.): 1 u

Energía Potencial Eléctrica 1. Una partícula alfa ( q=2 e ) tiene una

energía cinética de 10 MeV (10 electrón-⁶volt) y se mueve frontalmente, desde muy lejos, hacia el núcleo de un átomo de oro (número atómico 82). ¿A que distancia del núcleo se detendrá la partícula alfa?

2. Dos cargas puntales se encuentran sepa-radas por 2,0 cm y tiene una energía po-tencial de −180μ J . La carga total del sistema es de 30 nC, ¿cuáles son las cargas?

Potencial Eléctrico 3. Un electrón se mueve con una rapidez

de 2,8×106 m/s , después de haberse mo-vido 4 cm en linea recta bajo la influencia de un campo eléctrico su velocidad es 4,5×106 m /s .

a) ¿Cual es la diferencia de potencial entre el punto final e inicial del movimiento?

b) ¿Que trabajo hace el campo eléctri-co que acelera el electrón?

c) Si el electrón se está moviendo a través de un campo uniforme den-tro de un condensador, ¿cuál es la magnitud del campo y cual su di-rección?. Dibuje la situación.

4. ¿Cuál es la rapidez que adquirirá un electrón cuando es acelerado desde el re-poso a través de una diferencia de poten-cial de 100 V?

5. ¿Cual es la rapidez que adquirirá un protón cuando es acelerado desde el repo-so a través de una diferencia de potencial de -1000 V?

6. ¿Cuál es la diferencia de potencial nece-saria para acelerar un He+ (carga e y masa atómica 4 u), desde el reposo hasta una rapidez de 2,0×106 m/s ?

7. Energía de un rayo. Un rayo transfiere 20 C de carga negativa a través de una di-ferencia de potencial de 1,2×108 V ,

a) ¿Que energía cinética ganaría toda esa carga si se moviera través de esta diferencia de potencial?

b) Si pudiera usar esa energía para le-vantar un automóvil de unos 2000 kg, ¿que tan alto llegaría?

Potencial eléctrico en un condensador 8. Entre las placas de un condensador de

placas paralelas existe una diferencia de potencial de 250 V, Las placas están sepa-radas por 2 mm, ¿cuál será la magnitud de la fuerza que actúa sobre una carga de 2μ C moviéndose a través de estas?

9. Un condensador posee placas paralelas cuadradas de 2,0cm de lado y se encuen-tran espaciadas por 2,0 mm. Si el campo eléctrico dentro del condensador es de 1,0×105 V/m

a) ¿Cuál es la diferencia de potencial a través del condensador?

b) ¿Cuánta carga hay en las placa po-sitiva?

10. Dos discos metálicos paralelos de 2 cm de diámetro y espaciados 2 mm forman un condensador de placas paralelas. El campo entre las placas es de 5,0×105 V/m

a) ¿Cuál el voltaje a través de las pla-cas del condensador?

b) ¿Cual es la magnitud de la carga en las placas?

c) Si un electrón es lanzado de la pla-ca negativa desde el reposo, ¿con qué rapidez golpeará la placa posi-tiva?

Potencial eléctrico de una carga puntual 11. Calcule el potencial eléctrico a una

distancia de 1 m de una carga puntual de 1 nC


12. El potencial eléctrico a una distancia de 12 cm de una carga Q es de 400 V. ¿Cual es el potencial eléctrico a una distancia de 20 cm?

13. Si el potencial a una distancia de 50 cm de un carga positiva es de 200 V, ¿cual es potencial a una distancia de 45 cm?

14. En el modelo de átomo de Bohr, la orbi-ta mas cercana que en la que puede mo-verse un electrón alrededor de un protón (átomo de Hidrógeno) tiene un radio a0=0,053nm (Radio de Bohr).

a) ¿Cuál es potencial eléctrico genera-do por el protón a esa distancia de él? (Recuerda que el núcleo del hi-drógeno consiste solo de un pro-tón)

b) ¿Cuál es la energía del electrón en esa orbita?

Potencial eléctrico de un sistema de cargas 15. Se tiene dos cargas de 5nc y -9nC sepa-

radas por una distancia de 1 m. ¿Cuál es el potencial eléctrico en el punto medio de

la linea que une ambas cargas?

16. ¿Cuál es el potencial eléctrico en el pun-to P de la figura?

17. ¿Cuál es el potencial eléctrico en el cen-tro del triangulo equilátero?

7. Respuestas

Preguntas 1. La energía potencial de dos cargas esta

dada por U = ke q1 q2/ r , donde r es la distancia que las separa. Si U es negativa las cargas deben ser de signos opuestos, es decir se atraen, para separarlas una fuerza externa debe realizar trabajo contra las fuerzas eléctricas.Si la energía potencial de las cargas fuese positiva, de acuerdo con la ecuación para U las cargas deben tener signos distintos. La fuerza entre ellas sería repulsiva y no se necesitaría una fuerza adicional a la eléctrica para separarlas.

2. No necesariamente. Considere dos cargas puntuales de signos contrario, q y −q separadas por una distancia d. En el punto medio de la línea que une las cargas el potencial es

V=k e q /(d /2)−k e q /(d /2)= 0 ,

pero el campo en este punto está la

misma dirección, por lo tanto no es nulo

3. Como ΔU = qΔV , ΔV<0 y q es positi-va, concluimos que la energía potencial disminuye.Como solo actúan fuerzas eléctricas la energía mecánica se conserva, o sea ΔE =ΔU+Δ K =0 . Ecuación que escrita de otra forma queda: ΔU =−ΔK . De acuerdo con esto si U aumenta, K debe disminuir.

4. El electrón se mueve por el camino mostrado a una zonas de mayor potencial, o sea ΔV>0 . Como U =qΔV y q =−e , entonces ΔU<0 .Como se conserva E = K+U , si U dismi-nuye K debe aumentar.

5. Suponga que tenemos dos cargas positi-vas, si están relativamente cercanas la fuerza que se ejerce entre ellas será grande y su energía potencial será grande. Si las cargas se encuentran mas alejadas,

P4 cm

-1,0 nC 3,0 nC

-2,0 nC

3 cm

3 cm-1,0 nC -1,0 nC

2,0 nC


la fuerzas eléctricas serán más débiles y su energía potencial será baja en compara-ción al caso anterior. Desde este punto de vista la expresión tiene sentido. Si las cargas están “infinitamente alejadas” (muy lejos), la fuerza entre ellas es básica-mente cero y podríamos decir que no hay “interacción” entre las cargas. Luego es razonable asignar a este estado del siste-ma una energía potencial cero.

6. De acuerdo con la guía 2, la magnitud del campo en un condensador de placas paralelas es E = Q /(ϵ0 A) , donde Q es la carga en las placas (esto quiere decir que la placa positiva tiene carga Q y la negati-va −Q ). Por otro lado ΔV C = Ed , luego si la carga aumenta, también el campo y por lo tanto el voltaje entre las placas.

7. Si las placas retienen la carga, el campo no cambia, de acuerdo E = Q /(ϵ0 A) , lo que responde.Para responder b) hay que notar que ΔV C = Ed , si E está fijo ΔV C es directa-mente proporcional a d. Si d se duplica, ΔV C se duplica.

8. El campo de dirige de una zona de ma-yor a menor potencial y las equipotencia-les corresponden a lineas verticales. Por lo tanto en el punto c, al estar mas a la iz-quierda, el potencial es menor, los puntos e y b están al mismo potencial y es mayor que en el punto c, etc. El resultado es

V f =V d>V a>V b =V e>V c .

9. El potencial en los puntos 2 un 3 es el mismo V 2 =V 3 . La carga del protón es e, por lo que en general ΔU = e ΔV . En particular para el movimiento entre los puntos del problema

ΔU 1→2 = e(V 2−V 1)= e (V 3−V 1)=ΔU 1→3 .

Para responder la parte b) usamos que la energía se conserva, es decir a través de cualquier camino en que se mueva el pro-tón

Δ E=ΔU+Δ K = 0 .()

El cambio de energía cinética que experi-

menta el protón a través del camino que va de 1 a 2 lo llamaremos Δ K 1→2 , es decir Δ K 1→2 = K2−K 1 , de forma análoga se de-fine Δ K 1→3 = K3−K 1 . Note que la energía cinética al inicio del movimiento, K1 es la misma para ambos protones (parten con igual rapidez). Como el cambio de energía potencial es el mismo por ambos caminos, de la ecuación , se deduce que

Δ K 1→2 =Δ K1 →3 .

Por lo anterior se concluye que K2 = K 3 . Como se trata de dos protones (la misma masa), la rapidez con que llegan a 1 y 3 es la misma.

10. De acuerdo a la ecuación 21, la diferen-cia de potencial entre dos puntos cualquiera i y f ,dentro del condensador es

ΔV = EΔ y (),

donde Δ y = y f−yi con y f y yi son las posiciones horizontales de los puntos con respecto a la placa negativa (ver figura 3.1) Recuerde que en este caso el potencial de-pende solo de la posición horizontal y. Por lo tanto las equipotenciales son efecti-vamente lineas verticales. De acuerdo a la ecuación

ΔVΔ y

= E .

Como E es contante, para cualquier par de equipotenciales el cociente de la ecuación anterior debe ser siempre el mismo. Veri-fique que esto se cumple solo para a).

11. El potencial eléctrico para una carga puntual, considerando el cero el “infinito” está dado por la ecuación 24. Si la carga es positiva, el potencial disminuye en forma inversamente proporcional con la distan-cia. Verifique que la figuras a), c) no cumplen con esto, mientras que la d) si lo hace.Por último la figura b) también cumple la condición. Tenemos una equipotencial a una distancia 2a de la carga y a 300 V, la equipotencial mas externa dibujada se en-


cuentra a una distancia (radio) de 4a, es decir se duplicó la distancia, y los puntos sobre ella están a un potencial de 150 V, o sea dividió en 2. Necesitamos saber por último si el potencial en la equipotencial central es consistente con los anteriores. De acuerdo con lo anterior una equipo-tencial ubicada a una distancia a, debería estar al doble del potencial que la equipo-tencial que se encuentra a 2a, es decir de-bería estar a 600 V. La equipotencial “cen-tral” está a una distancia 3a de la carga, por lo que debería estar a un potencial de (600/3) V=200 V, justamente lo que indica la figura.Otra forma de ver los anterior es darse cuenta que la relación de proporcionali-dad inversa se expresa matemáticamente como Vr = constante=600 a . Relación que se cumple para todas las equipotenciales de la figura b).

Ejercicios 1. Hay que usar la conservación de la

energía. Aproximadamente a 120 fm del núcleo. 1 fm=10−15 m es el orden del ta-maño de un núcleo atómico.

2. Plantee un sistema de ecuaciones (no li-neal) y resuelva. Las cargas son de -30 nC y 10nC. También es solución -10 nC y 30 nC.

3. a) La Energía del electrón se conserva, por lo tanto Δ E=Δ K+ΔU =0 . Puesto de otra forma ΔU =−Δ K , pero ΔU =−e ΔV , combinando estas ecuacio-nes obtenemos ΔV =Δ K /e . Si calcula-mos esto nos da 71 V.b) El trabajo hecho por el campo es W =−ΔU =−(−e)(ΔV )= eΔV . Calcu-lando obtenemos

e ·71 V =71 eV = 1,1×10−17 J .

c) Si electrón se mueve en linea recta en-tonces podemos tomar el eje y de coorde-nadas en esa dirección. Si el campo es uniforme, de acuerdo a lo discutido en la guía 2, la trayectoria recta es posible cuando el electrón se mueve en dirección contraria al campo (ver figura 5.1 de la guía 2). Esto lo representamos en la si-

guiente figura

De acuerdo con lo discutido en la solución a la pregunta 10 E =ΔV /Δ y . Como Δ y = 0,04m , obtenemos para la magni-tud del campo 1,8×103 V/m . El campo apunta en la dirección y negativa.

4. Se resuelve en forma análoga al ejemplo 3.1. La solución es 5,9×106 m/s .

5. Se resuelve igual que el problema ante-rior. La solución es 4,4×105 m/s .

6. Se resuelve en forma análoga al proble-ma 3 a), teniendo cuidado con los signos. La solución es ΔV =−8,4×104 V .

7. La parte a) se resuelve en forma similar al ejemplo 3.1. Los electrones se moverán a través de una diferencia de potencial po-sitiva. Si toda la energía potencial eléctrica se transforma en cinética, ganarían 2,6×109 J . Realmente no ganarán toda esta energía, parte de la energía es “usa-da” para ionizar y/o excitar a moléculas de aire produciendo la emisión de luz que se observa.Si usásemos toda esa energía para levan-tar a un automóvil una altura h, dándole energía potencial mgh , encontraríamos que h= 130 km , lo que responde b)

8. De acuerdo a ΔV C = Ed , se calcula que E = 1,25×105 V/m . La magnitud de la fuerza será F = qE= 0,25 N .

9. En a) se aplica nuevamente ΔV C = Ed , resultando 200 V. En b) se calcula el área A de las placas y se usa que E = Q /(ϵ0 A) . Resolviendo para Q obtenemos que es 3,5×10−10C .

10. En a) se procede en forma análoga al problema anterior, parte a). Solución 1000 V.En b) se procede en forma análoga al pro-

O yy fyi

ΔV =71 V

E


blema anterior, parte b). Solución 1,39×10−9C .En c) se procede de igual forma que en el ejemplo 3.2. Solución 7,0×106 m/s .

11. Se calcula usando la ecuación 24. Solu-ción 9 V.

12. Si se usa la ecuación 24, V (r)= ke Q / r , podemos encontrar Q, ya que sabemos que cuando r =12 cm V (12cm)= 400 V . Una vez que conocemos Q podemos usar de la ecuación 24 nuevamente para calcu-lar el potencial a 20 cm. Otra forma de proceder es notando que Vr = k e Q es un producto constante (esto es simplemente la proporcionalidad inversa). Luego

V (20cm)· 20cm =V (12) ·12cm ,

de donde es sencillo determinar que V (20 cm)= 240 V .

13. Razonando en forma análoga al proble-ma 12 obtenemos V (45cm)= 222 V .

14. En a) solo hay que usar la ecuación 24. Solución 27 V.b) es sencillo, pues la energía potencial es

U =−e V =−27eV =−4,3×10−18 J

15. Solo hay que calcular usando la ecua-ción 30, para el caso de dos cargas. La so-lución es -8 V.

16. Se procede de la misma forma que en el ejemplo 3.5. Solución -23 V

17. El centro del triángulo está en la inter-sección sus alturas. Muestre usando trigo-nometría que la distancia entre cualquier vértice y el centro es 1,732 cm. Luego se usar la ecuación 30 y se obtiene 0 V. ¿Se podría haber encontrado el resultado sin calcular?

guia3(4c potencial electrico)

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