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GUIA DE TRABAJO Nº 1 NÚMEROS - TEORÍA

2017 Nombre alumno:……………………………….. Fecha:…………………………

Contenidos

Números naturales, enteros, racionales, representación en la recta numérica, propiedades.

Densidad de Q. Decimales periódicos y semiperiódicos. Situaciones problemáticas.

Aproximación por redondeo y truncamiento.

NÚMEROS NATURALES (N)

Los elementos del conjunto N= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} se denominan “números

naturales”

NÚMEROS ENTEROS (Z)

Los elementos del conjunto Z= {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, …} se denominan “números

enteros”.

OPERATORIA EN Z

ADICIÓN

Al sumar números de igual signo, se suman los valores absolutos de ellos

conservando elsigno común.

Al sumar dos números de distinto signo, al de mayor valor absoluto se le resta el

demenor valor absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayor en valor

absoluto.

OBSERVACIÓN: El valor absoluto de un número es el valor numérico cuando se omite

elsigno. El valor absoluto de +5 ó de -5 es 5.

MULTIPLICACIÓN

Si se multiplican dos números de igual signo el resultado es siempre positivo.

Si se multiplican dos números de distinto signo el resultado es siempre negativo.

OBSERVACIÓN: La división cumple con las reglas de signos de la multiplicación.

Ejemplo ilustrativos

1. A una piscina ingresaron a las 10 AM, 368 personas, al mediodía ingresó el doble de

ellas, y a las 4 PM se retiraron 504 personas. ¿Cuántas personas quedaron en la

piscina?

A) 1.104

B) 800

C) 736

D) 700

E) 600

2

2. Un señor regala a su esposa y a sus tres hijos 11.500 U.F. El mayor recibe

2.300 U.F., el segundo recibe 500 U.F. menos que el mayor, el tercero tanto como

sus hermanos juntos y la esposa recibe el resto. ¿Cuántas U.F. recibe la esposa?

A) 8.200

B) 5.600

C) 4.100

D) 3.300

E) 1.300

3. El cuociente entre -145 y -5 es

A)-29

B)-27

C) 27

D) 28

E) 29

4. José dice a Carlos: “Mi edad equivale a la suma de los dígitos del número de mi

casa, que es 1.973, más el doble de 18, disminuido en uno”. Entonces, la edad de

José es

A) 20 años

B) 35 años

C) 40 años

D) 50 años

E) 55 años

5. -2 + (-107) =

A) -109

B) -105

C) 105

D) 109

E) 214

6. Si al número entero (-4) le restamos el número entero (-12), resulta

A) -16

B) -8

C) 8

D) 16

E) 48

3

7. Dados los números a = -3 + 3, b = 1 – 3 y c = -4 : -2. Entonces, ¿cuál(es) de las

siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) a y b son números enteros. II) a no es número natural.

III) (c – b) es un número natural.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

DEFINICIONES: Sea n un número entero, entonces:

El sucesor de n es (n + 1).

El antecesor de n es (n – 1).

El entero 2n es siempre par.

El entero (2n – 1) es siempre impar.

El entero (2n + 1) es siempre impar.

Son pares consecutivos 2n y 2n + 2.

Son impares consecutivos 2n + 1 y 2n + 3.

El cuadrado perfecto de n es n2. OBSERVACIÓN:

Son cuadrados perfectos los enteros: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144,

169,196, 225, 256, …

8. En el conjunto Z, si al antecesor de 0 se le resta el sucesor de -5, se obtiene

A) 5

B) 4

C) 3

D) -3

E) -5

9. Si a y b son números enteros tales que (a + b) es impar, entonces ¿cuál de las

siguientes expresiones representa siempre un número impar?

A) 3a · b

B) a + b + 1

C) a – b + 3

D) b – a + 5

E) a · b + 7

4

PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES

Al operar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden:

Resolver los paréntesis.

Realizar las potencias.

Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha.

Realizar adiciones y/o sustracciones.

10. -8 + 4 3 + 12 : -6 =

A) 2

B) 0

C) -12

D) -14

E) -18

11. 42 – 25: 2 · 5 =

A) -38

B) -1

C) 1

D) 25

E) 38

12. Si x = 2 – 2(3 – 5), y = -6[-5 –(-3)] y z = -3{5 – 2[2 – (-6)]}, entonces los

valores de y, z y x, respectivamente, son

A) 6 -12 72

B) 12 33 6

C) 12 -72 0

D) 48 -72 2

E) 12 33 0

MÚLTIPLO Y DIVISOR

En la expresión a = b ·c en que a, b y c son números enteros, a es múltiplo de b y

dec o bien b y c son divisores o factores de a.

ALGUNAS REGLAS DE DIVISIBILIDAD

Un número entero es divisible:

5

13. Si D(n) representa el conjunto formado por todos los números enteros no

negativos divisores de n, entonces D(36) corresponde al conjunto

A) {0, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

B) {1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36}

C) {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 36}

D) {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 36}

E) {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

NÚMEROS RACIONALES

Los números racionales son todos aquellos números de la forma a

bcon a y b números

enteros y b distinto de cero. El conjunto de los números racionales se representa por la

letraQ.

IGUALDAD ENTRE NÚMEROS RACIONALES

OBSERVACIÓN: Dada la fracción a/b, con a y b números enteros positivos, si a es menor queb la

fracción es propia y si a es mayor que b la fracción es impropia.

14. Si a y b son números enteros, ¿Para qué valor de b la expresión 𝑎

𝑏−5 no representa

un número racional?

A) b = 0

B) b 5

C) b = 6

D) b = 5

E) b = 4

15. 8

7+

4

9 =

A) 12

16

B) 32

63

C) 34

63

D) 12

63

6

E) 100

63

16. Si T = -21

2 y 𝑆 = −4

3

4 , entonces S - T =

A) −71

4

B) −21

4

C) −11

4

D) 21

4

E) 71

4

17. 1

2 −

1

3 ∶

1

4 ∙

4

3 −

1

2

A) -1

B) - 4

5

C) −1

36

D) 4

5

E) 1

RELACIÓN DE ORDEN EN Q OBSERVACIONES

Para comparar números racionales, también se pueden utilizar los siguientes

procedimientos:

igualar numeradores.

igualar denominadores.

convertir a número decimal.

Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales.

18. El orden creciente de los números 𝑎 = 7

8, 𝑏 =

11

12 ,𝑐 =

9

10 es:

A) a, b , c

B) b, a , c

C) c, a , b

D) a, c , b

E) b, c , a

7

19. Si x es un múmero natural mayor que 1, ¿cuál es la relación correcta entre las

fracciones 𝑎 =5

𝑥 , 𝑏 =

5

𝑥−1y𝑐 =

5

𝑥+1?

A) a < b < c

B) c < b < a

C) c < a < b

D) a < c < b

E) b < a < c

NÚMEROS DECIMALES

Al efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción, se obtiene su

desarrollo decimal, el cuál puede ser finito, infinito periódico o infinito semiperiódico.

TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓN

DECIMAL FINITO: Se escribe en el numerador todos los dígitos que forman el número

decimal y en el denominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras

decimalestenga dicho número. DECIMAL INFINITO PERIÓDICO: Se escribe en el numerador la diferencia entre el

número decimal completo (sin considerar la coma) y el número formado por

todas las cifras que anteceden al período y en el denominador tantos nueves

como cifras tenga el período.

DECIMAL INFINITO SEMIPERIÓDICO: Se escribe en el numerador la diferencia entre el

número completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras

que anteceden al período y en el denominador se escriben tantos nueve como

cifrastenga el período, seguido de tantos ceros como cifras tenga el ante período.

20. El desarrollo decimal de la fracción 75

90 es

A) 0,803 B) 0,833

C) 0,83

D) 0,83 E) 0, 83

21. Las fracciones equivalentes a los números 1, 4 y 0,25 son respectivamente

A) 14

9 𝑦

25

90

B) 13

9 𝑦

23

90

C) 14

9 𝑦

23

90

D) 13

10 𝑦

23

90

E) 14

10 𝑦

25

100

8

22. Al ordenar en forma creciente los números 𝑥 = 0,035 , 𝑦 = 0,035 ,𝑧 = 0, 035 y 𝑤 = 0,035se obtiene

A) x , w, y, z

B) x , y, z, w

C) w, z, x, y

D) w, z, y, x

E) w, x, y,z

OPERATORIA CON NÚMEROS DECIMALES

Adición o sustracción de números decimales: Para sumar o restar números decimales se

ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas,la parte

decimal bajo la decimal y a continuación se realiza la operatoria respectiva. Multiplicación de números decimales: Para multiplicar dos o más números decimales, se

multiplican como si fueran números enteros, ubicando la coma en el resultado final,de

derecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimales tengan los números en

conjunto. División de números decimales: Para dividir números decimales, se puede transformar el

dividendo y el divisor en números enteros amplificando por una potenciaen base 10.

23. 0,06 · 0,5 · 0,1 =

A) 0,0030

B) 0,0003

C) 0,00003

D) 0,0000003

E) 0,00012

24. De un saco que contiene 12,3 kilogramos de arroz se consumen 7.540 gramos.

¿Cuántos kilogramos quedan en el saco?

A) 5,86 kilogramos

B) 5,76 kilogramos

C) 4,86 kilogramos

D) 4,76 kilogramos

E) 4,49 kilogramos

25. Si al triple de 3,6 se le resta el cuádruplo de 5,4 resulta

A) -18,0

B) -10,8

C) 5,4

D) 10,8

E) 32,4

9

26. 2,4 ∶4 − 1,6

1,2·4 − 2,4

A) 10

3

B) 25

48

C) 5

12

D) −5

12

E) −12

5

27. La expresión 0, 6 − 0,45 =

A) 0, 15

B) 0,15

C) 0,16

D) 0,21

E) 0, 21

APROXIMACIONES

Frecuentemente conviene redondear o truncar un número, dejando una aproximación

con menos cifras significativas, de las que tiene originalmente.

REDONDEO

Para redondear un número decimal finito o infinito se agrega 1 al último dígito que se

conserva (redondeo por exceso), si el primero de los dígitos eliminados es mayor o igual

a 5; si la primera cifra a eliminar es menor que 5, el último dígito que se conserva se mantiene (redondeo por defecto). Por lo tanto, como ejemplos, BAJO ESTA REGLA, al

redondear a la centésima los números 8,346 y 1,3125 se obtiene 8,35 y 1,31,

respectivamente.

TRUNCAMIENTO

Para truncar un número decimal, se consideran como ceros las cifras ubicadas a la

derecha de la última cifra a considerar.

De esta manera, como ejemplo, si se trunca a las centésimas el número 5,7398 resulta

5,73.

ESTIMACIONES

Realizar un cálculo estimativo, consiste en efectuarlo con cantidades aproximadas por

redondeo a las dadas, reemplazando dígitos distintos de ceros por ceros, dejando la

cantidad de cifras significativas que se indique (lo que habitualmente es una cifra).

10

28. Al redondear a la centésima el número 2,7453, resulta

A) 3

B) 2,8

C) 2,75

D) 2,7

E) 2,745

29. Al truncar a la centésima el número 3,6765 , resulta

A) 3,6

B) 3,67

C) 3,68

D) 3,676

E) 3,677

30. Respecto del número 62

7, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) Redondeado a la unidad es 8.

II) Truncado a la décima es 8,8.

III) Redondeado a la centésima es 8,86.

A) solo II

B)solo III

C) solo I y II

D) solo II y III

E) I, II y III

Potencias

Contenidos

Potencias de base racional y exponente entero. Problemas en contextos diversos que involucran

potencias de base racional y exponente entero.

Definición: ....

n veces

na a a a a

; ,a Q n Z ; donde 0 1 ; 0a a .

(la multiplicación del factor “ a ” n veces por sí mismo)

Ejemplo: a) 34 4 4 4 64

b)

42 2 2 2 2 16

3 3 3 3 3 81

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PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS

Sean a, b Q – {0} y m, n Z . Entonces: PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE

m n m na a a Ejemplo:37· 32=37+2=39

CUOCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE

:m n m na a a Ejemplo:

4 3 4 31 1 1 1

:3 3 3 3

PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE

mm ma b a b Ejemplo:

8 8 8 83 2 3 2 1

4 3 4 3 2

CUOCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE

mm

m

a a

bb

Ejemplo:

8 8 8 83 2 3 2 3 3 9

: :4 3 4 3 4 2 8

POTENCIA DE UNA POTENCIA

n

m m na a Ejemplo: 2

5 5·23 3 2

5 5·23 3

POTENCIA DE EXPONENTE NEGATIVO

1m

ma

a

y

m ma b

b a

con a , b 0 Ejemplo: 2

2

1 13

93

Respuestas:1e2d3e4e5a6c7e8c9e10a11a12b13e14d15e16b17a18d19c20d21b22d23a24d2

5b26d27d28c29b30d

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