guia de modelos discretos de probabilidad arvelo

1 Modelos discretos de probabilidad [email protected]

ANGEL FRANCISCO ARVELO LUJAN

Angel Francisco Arvelo Luján es un Profesor Universitario Venezolano en el área

de Probabilidad y Estadística, con más de 40 años de experiencia en las más

reconocidas universidades del área metropolitana de Caracas.

Universidad Católica “Andrés Bello”: Profesor Titular Jubilado 1970 a 2003

Universidad Central de Venezuela: Profesor por Concurso de Oposición desde

1993 al presente

Universidad Simón Bolívar: Profesor desde 2005 al presente

Universidad Metropolitana: Profesor desde 1973 a 1987

Universidad Nacional Abierta: Revisor de contenidos, desde 1979 hasta 2004

Sus datos personales son :

Lugar y Fecha de Nacimiento: Caracas, 16-02-1947

Correo electrónico: [email protected]

Teléfono: 58 416 6357636

Estudios realizados:

Ingeniero Industrial. UCAB Caracas 1968

Máster en Estadística Matemática CIENES, Universidad de Chile 1972

Cursos de Especialización en Estadística No Paramétrica Universidad de Michigan

1982

Doctorado en Gestión Tecnológica: Universidad Politécnica de Madrid 2006 al

Presente

El Profesor Arvelo fue Director de la Escuela de Ingeniería Industrial de la

Universidad Católica “Andrés Bello” (1974-1979) , Coordinador de los Laboratorios

de esa misma Universidad especializados en ensayos de Calidad, Auditor de

Calidad, y autor del libro “Capacidad de Procesos Industriales” UCAB 1998.

En numerosas oportunidades, el Profesor Arvelo ha dictado cursos empresariales

en el área de “Estadística General” y “Control Estadístico de Procesos”.

Otras publicaciones del Prof. Arvelo pueden ser bajadas de su página web:

www.arvelo.com.ve , en la sección PDFS.

http://www.arvelo.com.ve/


MODELOS DISCRETOS DE PROBABILIDAD

Un modelo es una abstracción de la realidad, en donde partiendo de ciertos

supuestos se obtienen unas conclusiones acerca del comportamiento del fenómeno

analizado.

En el caso concreto de los modelos discretos de probabilidad, estos representan

funciones de masa que proporcionan la probabilidad de que una variable aleatoria

tome un determinado valor, siempre que se den los supuestos que exige el modelo.

De allí, que lo más importante antes de aplicar las propiedades del modelo, es

reconocerlo y verificar que se cumplen los supuestos exigidos.

Esta guía pretende ser un resumen de las principales propiedades y aplicaciones de

los más importantes modelos discretos, y por ello se omiten muchas

demostraciones que justifican sus propiedades. Estas demostraciones pueden ser

obtenidas en los siguientes textos:

Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas . Paul Meyer

Estadistica Matemática con aplicaciones. Menderhall, Wakerly & Scheaffer

Antes de entrar a analizar los diferentes modelos, recordemos algunos conceptos:

Una variable aleatoria “X” se dice discreta, cuando puede tomar un conjunto

finito o infinito numerable de valores dentro de un conjunto.

Este conjunto de valores posibles se designa como (X) y los valores

posibles como x1, x2 , ……, xn ; es decir (X)= x1, x2

, ……, xn

En el caso discreto, la función de masas f(x), también llamada función de

probabilidad, mide la probabilidad de cada uno de esos valores posibles, es

decir: f(xi) = P(X = xi), y por lo tanto debe cumplirse i n

ii 1

f(x ) =1

La función de distribución F(x) mide la probabilidad de que la variable

aleatoria X tome un valor igual o menor que el “x” dado, y en el caso discreto

se obtiene acumulando la probabilidad de todos los valores posibles que

sean iguales o menores que ese “x” dado, es decir: F(x) = i

ix x

f(x ) .

El valor esperado de una variable discreta se halla multiplicando cada valor

posible por su respectiva probabilidad y luego sumando los resultados, es

decir: E(X) = i n

i i

i 1

x f(x )

La varianza se halla mediante la expresión: Var(X) = E(X2) – E(X) 2 , y se

necesita hallar previamente el segundo momento E(X2) =i

i n2

i

i 1

x f(x )


Ejemplo 1: Se lanzan dos dados legales, y se define la variable aleatoria “X” como

la suma obtenida. Esta variable es discreta, pues apenas puede tomar once valores

siendo: (X)= 2, 3 ,4 ….. 12 .

Su función de masas representa la probabilidad de que X tome cada uno de esos

valores, y así por ejemplo f(2) = P(X=2) = 1/36.

Para hallar la función de masa, podríamos ir analizando cada valor y calculando su

probabilidad, para luego elaborar una tabla como la siguiente:

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

f(x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

En algunas oportunidades no es necesario escribir la tabla completa para

definir a la función de masas, porque es posible mediante algún razonamiento

general, obtener una expresión matemática que resuma a toda la tabla. Ese va

a ser el caso de los modelos.

Por ejemplo, en este caso de la suma de los dados tendríamos: f(x)=6 x 7

36, en

donde al sustituir los valores posibles de X = 2,3,4 ,,,, 12 , la función nos devuelve

su probabilidad

La gráfica de f(x) al igual que en cualquier otra variable discreta, resulta como un

conjunto de puntos aislados, que se suele representar como un diagrama de barras,

mientras que la de su función de distribución F(x) resulta escalonada.

Nótese que no tiene sentido unir los puntos de la función de masa y obtener una

curva, pues los puntos comprendidos entre dos cualesquiera de ellos tienen todos

probabilidad cero, y es por eso que los puntos posibles quedan aislados dentro de

la gráfica.

El valor esperado: E(X) = 2 (1/36) + 3 (2/36) +…..+12 (1/36) = 7

E(X2)= 22 (1/36) + 32 (2/36) +…..+ 122 (1/36) = 329 / 6


Var(X) = 329/6 – 72 = 35 / 6

Este ejemplo es un caso particular de un modelo triangular isósceles discreto,

debido a que todos los puntos de la función de masa caen sobre los lados de un

triangulo isósceles.

1º) Modelo Uniforme Discreto: La palabra “uniforme” en probabilidad debe

ser interpretada como equiprobable; de allí que éste modelo considera una variable

aleatoria que puede tomar “n” valores distintos x1, x2 , ……, xn ,todos ellos igualmente

probables, y por tanto su función de masa es de la forma:

f(x) = 1 2 n

1 para x = x ,x x

n

0 en otro caso

Su valor esperado es E(X) =

i n

i

i !

X

n= μ= Media de la población

y su varianza es Var(x)=

i n2

i

i !

(X )

n=

i n2

i

i !

X

n - μ2 = 2= Varianza de la población

El modelo uniforme se utiliza principalmente ante la ausencia de información acerca

de cómo se va a realizar una selección aleatoria; por ejemplo, frente a la extracción

de una pelotica de bingo entre las 75 posibles, tendríamos que suponer que

cualquiera de ellas es igualmente probable, y por lo tanto la probabilidad de extraer

un número particular es 1/75.

El caso más frecuente en el modelo uniforme es aquel donde los “n” números

posibles coinciden con los “n” primeros números naturales 1,2, 3 , ….,n.

Sólo en este caso: E(X) = n 1

2 , y Var(X) =

2n 1

12

Se deja al lector la demostración de esta propiedad, para lo cual deberá tener en

cuenta las conocidas fórmulas de inducción completa, según las cuales:

i n

i 1

n(n 1)i

2 ; y además

i n2

i 1

n(n 1)(2n 1)i

6

Este caso se presenta cuando hay seleccionar una muestra aleatoria dentro de una

población, y se quiere que todos sus elementos tengan idéntica probabilidad de

caer en la muestra (muestreo aleatorio simple), lo que exige que previamente los “n”


elementos de la población se numeren, y luego se haga un sorteo mediante la

generación de números aleatorios entre 1 y n según una distribución uniforme.

Otra propiedad importante de la distribución uniforme, establece que la probabilidad

de un evento se puede calcular dividiendo el número total de valores posibles

pertenecientes al evento entre el total de números posibles.

Ejemplo 2: Se selecciona al azar un número del 1 al 100. ¡Cual es la probabilidad de que sea múltiplo de 8. Solución: Al no tener más información debemos suponer que la selección del número obedece a una distribución uniforme discreta entre 1 y 100. En ese intervalo existen 12 múltiplos de 8, y por tanto la probabilidad pedida es 8/100

2º) Modelo Binomial. Se define como “Experimento de Bernoulli” a todo aquel

que cumpla con los siguientes tres requisitos:

Cada vez que se repita el experimento, sólo hay dos resultados posibles excluyentes entre sí, denominados éxito y fracaso.

El resultado obtenido en cada repetición es independiente de las restantes

La probabilidad tanto del éxito como del fracaso es constante en cada repetición del experimento

Algunos ejemplos de experimentos de Bernoulli son los sucesivos lanzamientos de un dado en donde el éxito es sacar un 6, o las sucesivas extracciones con devolución de una ficha de una caja que contiene blancas y negras, y donde el éxito es sacar negra. Nótese que si la extracción es sin devolución, ya no es un experimento de Bernoulli, porque la probabilidad de sacar negra no es la misma en cada extracción, y además no existe independencia entre las sucesivas extracciones. El modelo binomial considera “n” repeticiones de un experimento de Bernoulli, y donde la variable aleatoria “X” se define como el número de éxitos obtenidos en

esas “n” repeticiones. (X)= 0, 1, 2, , ……, n X = Número de éxitos obtenidos en “n” repeticiones de un experimento de Bernoulli.

p = Probabilidad constante del éxito en cada repetición q = 1-p = Probabilidad constante del fracaso en cada repetición

La función de masa del modelo es: f(x) = P(X=x) = x n xnp (1 p)

x; x =0, 1, 2, , ……, n

Esta fórmula viene del siguiente razonamiento: Para obtener x éxitos es necesarios

que los (n-x) intentos restantes sean fracasos. Como se ha supuesto independencia

entre las repeticiones, hay que multiplicar hay que multiplicar la probabilidad de x

éxitos que es px por la de (n-x) fracasos que es (1-p)n-x, y además hay que

considerar que esos x éxitos pueden estar colocados en cualquiera de los n

puestos, y de allí el combinatorio.


Es fácil comprobar mediante el binomio de Newton que: x n

x n x

x 0

np (1 p)

x = 1, para

cualquier p 0,1 , y para cualquier n .

“n” y “p” representan los parámetros del modelo, deben permanecer constantes

dentro de un mismo modelo, pero pueden cambiar de un modelo a otro.

Así por ejemplo, si se efectúan 20 lanzamientos de una moneda y el éxito es sacar

cara, entonces n=20 y p=1/2; pero si se lanza 10 veces un dado, y el éxito es

obtener un 6, entonces n=10, p=1/6.

En el apéndice se incluye una tabla de valores de f(x) y de F(x) para ciertos valores

de “n” y de “p”.

Para el modelo binomial se verifica: E(X)= n p, mientras que Var(X)= n p (1-p)

Un caso particular del modelo binomial es el caso n=1, en donde la variable “X” sólo

puede tomar los valores 0 y 1 con probabilidad (1-p) y p respectivamente. Este caso

particular se denomina “Distribución de Bernoulli”.

Ejemplo 3: Un examen de selección múltiple consta de diez preguntas con cuatro opciones de respuesta cada una, siendo una sola la correcta. Un estudiante responde cada pregunta seleccionando al azar y de manera independiente una de las cuatro opciones. Calcule la probabilidad de responder: a) 3 preguntas correctas. b) por lo menos 5 preguntas correctas Solución: El éxito es responder correctamente una pregunta, mientras que la variable aleatoria “X” es el número de preguntas correctamente contestadas. Esta variable “X” cumple con los supuestos del modelo binomial, con n=10, y

p=1/4, lo que se abrevia escribiendo X b (10; 1/4). La probabilidad de acertar 3 preguntas correctas equivale calcular f(3) es decir

P(X=3)= f(3)= 3 10 310 1 1( ) (1 )

3 4 4= 0,2503 ( Léase tabla del anexo)

La probabilidad de acertar 5 por lo menos es P(X ≥ 5) = 1- F (4) = 1- 0,9219= 0,0781 ( Léase tabla del anexo)

3º) Modelo Geométrico. Este modelo también considera “Experimentos de

Bernoulli”, pero cambia la definición de la variable aleatoria “X” . X = Número de intentos necesarios para obtener el primer éxito. El modelo geométrico deriva su nombre de las conocidas series geométricas en donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada la razón. El modelo supone que el experimento se repite indefinidamente hasta que se obtiene el primer éxito. Las repeticiones son independientes, y en cada una la probabilidad del éxito es una constante p. Su función de masa es : f(x) =P(X=x)= p (1-p)x-1 , donde x = 1,2,3,4,,,, , y su

función de distribución es F(x) = P(X x) = 1 – (1-p)x


Observe que:

Los valores posibles de X son todos los números naturales, desde 1 en adelante, pues no existe un límite para el número de repeticiones.

En la función de masa no aparece ningún combinatorio, debido a que el primer éxito va fijo en la posición x que es la última. No puede cambiar de lugar, pues la variable ya no tomaría el valor x.

Los sucesivos valores de f(x) forman una serie geométrica de razón (1-p)

Se diferencia de la Binomial en la forma de definir a la variable aleatoria. En la Binomial el número de intentos es fijo y lo aleatorio es el número de éxitos; mientras que en la Geométrica lo aleatorio es el número de intentos mientras que el número de éxitos es uno, el primero.

En el modelo Geométrico se tiene: E(X) = 1

p, mientras que: Var(X)=

2

1 p

p

Ejemplo 4: Se comienza a lanzar un dado hasta que salga el 6 por primera vez. Calcule la probabilidad de que sea necesario lanzarlo: a) exactamente 4 veces, b) por lo menos 6 veces, c) a lo más tres veces d) Un número impar de veces. Solución: X = Número de lanzamientos del dado hasta obtener el 6 por primera vez.

El éxito es obtener un 6 en un tiro cualquiera, la distribución de “X” es geométrica con p =1 / 6, y por tanto su función de masa: f(x) = (5/6)x-1 1/6. a) P(X=4) = f(4) = (5/6)3 1/6 = 125 / 1296

b) P(X ≥ 6) = x 1

x 6

1 5

6 6= 1 – F(5) = 1- ( 1-

55

6) =

55

6=

3125

7776

c) P(X 3) = x 1x 3

x 1

1 5

6 6= F (3) = 1 -

35

6= 1 -

125

216=

91

216

d) P( número impar de veces) = n 1

P(X 2n 1)= 2n 2

n 1

1 5( )

6 6

Esta suma representa una serie geométrica cuyo primer término es 1/6, y de razón (5/ 6)2. Teniendo en cuenta que el límite de convergencia de una serie geométrica

es: a

1 r si r < 1 , donde a es el primer término y “r” la razón, se llega a:

P( número impar de veces) = 2

1

65

1 ( )6

= 6

11

4º) Distribución Binomial Negativa. Este modelo generaliza a la

Geométrica; considera también “Experimentos de Bernoulli”, pero cambia la definición de la variable aleatoria “X” , pues ahora el experimento se repite de manera independiente hasta obtener el k-ésimo éxito. X = Número de intentos necesarios para obtener el ko éxito.

Su función de masa es: f(x)= k x kx 1p (1 p)

k 1 ; x = k , k+1 , k+2 , …..

La presencia del combinatorio se debe a que los primeros (k-1) éxitos pueden ir en cualquiera de los (x-1) primeros puestos, y el único fijo es el ko éxito que debe estar en la posición x


En la binomial negativa se tiene: E(X) = k

p, mientras que: Var(X)=

2

k(1 p)

p

Nótese que el caso k = 1 da la Geométrica, lo que significa que ésta es un caso particular de la Binomial Negativa. Ejemplo 5: Se lanza un dado hasta sacar por tercera vez el seis. ¿Cuál es la probabilidad de que se requieran diez intentos? Solución: Para que el tercer seis salga en el décimo tiro, deben haber dos seises en cualquiera de los nueve primeros tiros acompañados de siete fracasos, y un seis en el decimo tiro

En consecuencia: P(X=10) = 3 7

9 1 5

2 6 6= 36

3 71 5

6 6=

7

8

5

6=0,0465, lo que

equivale a evaluar f (10) en una binomial negativa con k=3 y p=1/6

5º) Modelo Hipergeométrico: Este modelo ya no considera experimentos de

Bernoulli, debido a que se aplica en situaciones donde la selección de los elementos se hace sin reemplazo, y por lo tanto ya no se cumple el supuesto de independencia entre las diferentes repeticiones, ni tampoco el de probabilidad constante en cada repetición. La situación descrita en este modelo es la siguiente: supóngase que tiene una población representada por una caja, en donde existen “N” elementos, y que además existe un cierto atributo, que divide a esa población en dos grupos, los que lo poseen que son en total “A”, y los que no lo poseen, que son los restantes (N-A) elementos.

Al hacer la selección de “n” al azar de los “N” que existen en la población, se define la siguiente variable aleatoria: X = Número de elementos con el atributo en la muestra seleccionada

El modelo hipergeométrico proporciona la función de masa para la variable X

f(x) = P(X = x) =

A N A

x n x

N

n

; x = 0,1,2.,,,,,n si : n A

n N A

El razonamiento para llegar a esta expresión es muy simple: la muestra queda conformada por “x” elementos con el atributo, sólo si seleccionan “x” cualesquiera


dentro de los “A” que lo poseen, acompañados por (n-x) cualesquiera seleccionados entre los (N-A) que no lo poseen. El total de casos posibles son las combinaciones de los “N” de la población, seleccionados tomando “n” de ellos. Para la Hipergeométrica, se tiene

E(X) = A

nN

En la muestra se espera encontrar la misma proporción de

elementos con el atributo que existe en la población, es decir que si en la población existe por ejemplo 30% de elementos con el atributo, lo esperado es encontrar ese mismo 30% en la muestra.

Además: Var(X) = n

A(N A)(N n) n

N (N 1)

Es importante destacar, que si la muestra se selecciona con reemplazamiento, entonces la variable “X” seguiría el modelo binomial con p = A/N, y su función de

masa sería: f(x) = P(X = x) = x n x

n A A1

x N N

Debido a lo complicado que resulta el cálculo de los números combinatorios presentes en la fórmula hipergeométrica cuando N es grande, es común aproximarla por la fórmula binomial, suponiendo que la extracción es con devolución. Esta aproximación solo se puede hacer cuando se cumplen ciertos

requisitos, tales como n / N 0,10; A/N ≥ 0,10 y N ≥ 50. Ejemplo 6: En una caja hay 6 piezas defectuosas y 14 buenas. Si se toma una muestra al azar de 4 piezas sin reemplazo, calcule la probabilidad de encontrar:: a) 3 defectuosas, b) alguna defectuosa. Solución: Este es un modelo hipergeométrico donde N = 6+14 = 20 piezas en total. El atributo es ser defectuosa porque las preguntas se refieren a la variable “X” = número de defectuosas en la muestra. A = 6, n= 4. Por tanto:

a))P(X=3) =

6 14

3 1

20

4

=(20)(14)

4845= 0,0578

b) P(X ≥ 1) = 1 – f(0) = 1 -

6 14

0 4

20

4

= 1-1001

4845= 0,7934

6º) Modelo de Poisson: El físico y matemático francés Simeón Denis Poisson

(1781-1840) observó que el número de veces en una unidad de tiempo que ocurría un cierto evento (en su caso, la emisión de partículas radioactivas), se concentraba siempre alrededor de un promedio, y que era muy poco probable encontrar observaciones alejadas de ese promedio, tanto por la izquierda como por la derecha, encontrando un comportamiento tal como el que se ilustra en la figura.


La probabilidad de observar un determinado valor de X es creciente hasta alcanzar un máximo, y de allí en adelante es decreciente.

Con el transcurrir del tiempo se encontró que muchos fenómenos de la vida real tienen este comportamiento descrito por Poisson, como por ejemplo, el número de niños que nacen diariamente en una ciudad, o el número de accidentes que ocurren cada semana en una autopista, etc. La función de probabilidad para el modelo de Poisson es:

f(x) =xe

x!; x = 0,1,2,3,4,…… > 0

siendo “ ” es un parámetro positivo, que representa ese promedio alrededor del cual es más probable encontrar un valor de “X”.

Para cualquier valor de > 0, se verifica x

x 0

e

x != 1

La variable aleatoria “X” queda definida como número de veces que ocurre un evento en una unidad de referencia. Esa unidad de referencia usualmente es el tiempo, pero no necesariamente tiene que serlo, y es posible que “X” sea número de errores en una página de un libro, o número de defectos en un metro cuadrado de tela. Cambios en la unidad de referencia ocasionan cambios en el valor del parámetro

“ ”, los cuales se hacen de la misma forma como se realiza un simple cambio de unidades. Así por ejemplo, si “X” representa el número de clientes que llegan por hora a un

Banco, y se tiene la = 90 llegadas por hora; al cambiar la unidad de referencia al

minuto, cambia a 90/60 = 1,5 llegadas por minuto.

Para el modelo de Poisson se verifica E(X) = , y Var(X) = .

El valor de , no tiene necesariamente que ser entero, y es un error redondearlo.

Resulta fácil demostrar que cuando no es un número entero ( ), entonces el valor más probable, moda o valor donde f(x) alcanza su valor máximo

corresponde, es x = (parte entera de ) y la distribución es unimodal, pero

cuando es un número natural , entonces la distribución es bimodal, y el

máximo de f(x) se alcanza tanto en x= , como en x= -1 En el anexo se encuentra una tabla que proporciona el valor de f(x) y el de F(x)

para algunos valores de . Ejemplo 7: El número de llamadas que recibe una central telefónica sigue un modelo de Poisson con un promedio de 0,5 llamadas por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que en un lapso de 5 minutos se reciban: a) exactamente 2 llamadas?, b) A lo sumo 3 llamadas? , c) alguna llamada?


Solución: Para un lapso de 5 minutos, el promedio es de

= 0,5 x 5 = 2,5 llamadas / 5 minutos X = Numero de llamadas recibidas en 5 minutos

P(X =2) = f(2) = 2,5 2e 2,5

2!= 0,2565( Véase tabla del Anexo No 2)

P(X 3) = F(3) = 2,5 xx 3

x 0

e (2,5)

x ! = 0,7576

P( X ≥ 1) = 1 – P(X=0) = 1 - 2,5 0e (2,5)

0 ! = 1- 0,0821 = 0,9179

PROBLEMAS DIVERSOS

Hasta el momento, los diferentes modelos han sido tratados en forma aislada, como si cada situación se ajustara exclusivamente a un solo modelo. Lamentablemente para los estudiantes, esto no es así, y se presentan situaciones en donde concurren simultáneamente varios modelos, y es necesario identificar cada modelo involucrado. Otra complejidad que se suele presentar en algunos casos es que no se conoce el valor de alguno de los parámetros del modelo, y se hace necesario encontrarlo primero por alguna condición dada. A continuación algunos ejercicios en donde se presentan las situaciones antes descritas Ejemplo 8: Un examen de selección múltiple está formado por 12 preguntas con cuatro opciones de respuesta cada una, siendo solo una la correcta para cada pregunta. Para aprobar el examen es necesario responder correctamente por lo menos 6 de las 12 preguntas. Un grupo de 5 estudiantes va a presentar dicho examen con la intención de responderlo al azar, seleccionando de manera independiente una de las opciones para cada pregunta. ¿Cuál es la probabilidad de que alguno de ellos apruebe el examen? Solución: Aquí hay dos variables binomiales involucradas, que son: X= Número de preguntas acertadas por un estudiante. Y = Número de estudiantes que aprueba el examen.

X b (12, ¼) , mientras que Y b (5,p) con p desconocido. p= P( X ≥ 6) = 1 . F(5) = 1 – 0,9456 = 0,0544 ( Ver tabla del Anexo No 1) Una vez conocida la probabilidad de éxito para la variable Y, tenemos que la probabilidad de que alguno apruebe es P( Y ≥1) = 1 – (1-0,0544)5 = 0,2440 Ejemplo 9: Una bolsa de caramelos contiene siempre 3 de menta y 7 de chocolate. Un oficinista comienza a comprar cada día una bolsa de estos caramelos, selecciona al azar tres de la bolsa y los restantes los reparte entre sus compañeros de oficina. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en dos días de una semana con cinco días hábiles, seleccione exclusivamente caramelos de chocolate?


b) ¿Cuál es la probabilidad de que tarde más de 10 días en seleccionar exclusivamente caramelos de menta? Solución: a) El número de caramelos de chocolate que selecciona cada día, obedece a un modelo hipergeométrico.

P(seleccionar los 3 de chocolate) =

3 7

0 3

10

3

= 35 7

120 24

El número “X” de días de la semana en que selecciona exclusivamente caramelos de chocolate, sigue una binomial con n=5 , p= 7/24.

Por lo tanto, P(X = 2) = 2 3

5 7 71

2 24 24= 0,3023

b) El número “Y” de días transcurridos hasta seleccionar los tres de menta es una

geométrica con p= P(seleccionar los 3 de menta) =

3 7

3 0

10

3

= 1

120

P(Y>10) = 1 – F(10) = 10

11

120= 0,9197

Ejemplo 10: El número de clientes que llega a una oficina sigue una Distribución de Poisson con media 3 clientes por hora. La oficina abre sus puertas a las 8:00 am. ¿Cuál es la probabilidad de que el tercer cliente llegue entre las 9:00 y las 9:30 am? Solución: Hay dos variables aleatorias involucradas

X = Número de clientes que llegan entre 8:00 y 9:00 am x=3

Y = Número de clientes que llegan entre 9:00 y 9:30 am Y= 1,5 Sea A el evento “el tercer cliente llega entre 9:00 y 9:30 am”,

A = ( X=0 , Y 3) (X=1 Y 2) ( X =2 Y 1)

P(A) = 3 0 1,5 yy 2

y 0

e (3) e (1,5)(1 )

0! y!+

3 1 1,5 yy 1

y 0

e (3) e (1,5)(1 )

1! y!+

3 2 1,5 0e (3) e (1,5)(1 )

2! 0!= 0,2496

Ejemplo 11 : El número de clientes que llega diariamente a una tienda sigue un modelo de Poisson con un promedio de 20 clientes por día. Por experiencia previa, se sabe que 1 de cada 4 de los clientes que acuden a la tienda solicitan un determinado artículo. Es política de la tienda no vender más de un artículo por cliente a fin de evitar acaparamiento, y además por razones de espacio, la tienda no puede tener en existencia más de 8 unidades de ese artículo, de forma que durante la noche se reponen las unidades vendidas durante ese día, y el día siguiente comienza con 8 unidades en existencia, a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día se agote la existencia? b) ¿Cual es el número esperado de artículos vendidos en un día?


c) ¿Cuántas unidades debería tener la tienda al comenzar el día, para que la probabilidad de cubrir la demanda ese día, sea de 0,95 por lo menos? Solución: a) Hay 3 variables aleatorias involucradas en este problema, que son X = Numero de clientes que llegan a la tienda.

Y = Número de clientes que solicitan el artículo.

Z = Número de unidades vendidas en un día

La variable X, se sabe que es una Poisson con parámetro x= 20 clientes /día

La variable Y es otra Poisson con parámetro y= (1/4) 20= 5 clientes /día La primera pregunta del ejercicio, se refiere a la probabilidad de agotarse la

existencia, lo cual ocurre cuando Y 8. Por tanto

P( agotarse la existencia) = P(Y 8) = 1 – F(7) = 1- 0,8666 = 0,1334 b) El caso de la variable Z, requiere un comentario especial pues obedece a lo que se suele llamar en Estadística, una Distribución Truncada. Se dice que una distribución está truncada cuando se comporta según un determinado modelo, pero al alcanzar un cierto valor se trunca, y deja de comportarse según ese modelo. En efecto, el número de artículos vendidos es igual al número de clientes que soliciten el artículo, siempre y cuando éste número sea de 7 ó menos, pues si son 8 ó más los clientes que solicitan el artículo, se agota la existencia, y sólo es posible vender 8, es decir se trunca en Z = 8.

De allí que P (Z= z) = P (Y =z) = 5 ze 5

z! ; para z= 0, 1, 2,….7

Pero: P (Z = 8) = P (Y ≥ 8) = 5 y

y 8

e 5

y!= 1 – F (7) = 0,1334

La función de masa de la variable Z es entonces:

Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 fz (z) 0,0067 0,0337 0,0842 0,1404 0,1755 0,1755 0,1462 0,1044 0,1334

E( Z) = z 8

zz 0

z f (z) = 0 (0.0067) + 1 (0,0337) + ……+ 8 (0,1334) = 4,88 unidades/día

c) Supongamos que “k” es el número de unidades en existencia al principio del

día. La demanda del día queda satisfecha cuándo Y k.

Se quiere que P(Y k) = 5 yy k

y 0

e 5

y!≥ 0,95 FY(k) ≥ 0,95

En esta expresión resulta imposible el despeje de “k”, y el único camino es el tanteo. Para realizar este tanteo, debemos construir la función de distribución de Y, y el primer valor en rebasar una probabilidad acumulada de 0,95, es el valor de k buscado. Según la tabla del anexo, tenemos que algunos valores de Fy(y) son:

y 7 8 9 10

Fy(y) 0,8666 0,9319 0,9682 0,9863

En la tabla se observa que el primer valor en rebasar una probabilidad acumulada de 0,95 es y = 9, En consecuencia, es necesario tener en existencia 9 unidades al principio del día para poder cubrir la demanda del día con una probabilidad no menor a 0,95.


PROBLEMAS PROPUESTOS

1º) En un mazo hay 20 cartas, de las cuales 4 son ases. A Ud., le van a dar 5 cartas, y si recibe por lo menos dos ases, Ud. gana un premio. ¿Que preferiría Ud., que le den las cartas con devolución o sin devolución ? . Solución: Es preferible con devolución, pues la probabilidad de ganar el premio es de 0,2627; mientras que sin devolución es 0,2487 .

2º) El número de clientes que llegan diariamente a un comercio, sigue una Distribución de Poisson; y se sabe que la probabilidad de que en un día, llegue por lo menos un cliente, es de 0,75 . a) ¿Cual es el número esperado de llegadas en un día? . b) ¿Cual es la probabilidad de que en un día lleguen más de 4 clientes ? . Solución: a) 1.3863 b) 0.0137

3º) Un examen consta de dos partes: Una teórica y otra práctica. La parte teórica está formada por cuatro preguntas de selección múltiple con cinco alternativas cada una, mientras que la parte práctica por dos preguntas con tres alternativas de respuesta cada una. Para aprobar el examen, hay que responder correctamente cuatro preguntas en total, por lo menos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante que responda al azar, apruebe el examen? b) Si un estudiante que respondió al azar aprobó el examen. ¿Cuál es la probabilidad de que haya respondido en total, exactamente 5 preguntas correctas? Solución: a) 37/1125 b) 4/37

4º) Una Compañía de Aviación sabe por experiencia pasada que el 4% de las personas que tienen reservados pasajes para el vuelo Caracas - Maracaibo, no se presentan; de forma, que la Compañía decide reservar 75 puestos, en lugar de los 73 que tiene el avión. ¿Cuál es la probabilidad de que todos los pasajeros que se presenten ,consigan puestos disponibles?. Solución: 0.8069

5º) Considere una variable aleatoria que sigue una Distribución Binomial con media 2,5 , y varianza 1,875 . Calcule la probabilidad de que la variable X, tome un valor mayor o igual a 4 . Solución : 0,2241


6º) El proceso de admisión a un determinado plantel consta de dos pruebas, una teórica y otra práctica. El examen teórico tiene cinco preguntas con tres posibles respuestas cada una, de las cuales solo una es la correcta. Para aprobar este examen, es necesario responder acertadamente por lo menos cuatro preguntas. Solamente en caso de haber aprobado el examen teórico, el aspirante pasa al examen práctico, el cual tiene tres preguntas con dos posibles respuestas cada una, siendo solo una de ellas , la correcta en cada caso. Para aprobar este examen práctico, es necesario responder acertadamente dos preguntas por lo menos. Los aspirantes que aprueben ambos exámenes son admitidos al plantel. Si un aspirante va dispuesto a responder al azar todas las preguntas de ambos exámenes, ¿ cuál es la probabilidad de que sea admitido al plantel ? Solución: 0,0226

7º) El número de llamadas que se hacen a una determinada central telefónica, sigue una Distribución de Poisson con media 5 por minuto. Si la central solo tiene capacidad para atender 7 llamadas por minuto, como máximo, ¿cuál es la probabilidad de que en un minuto se pierdan tres o más llamadas? Solución: 0,0318

8º) El costo de efectuar un experimento por primera vez es de Bs. 1000. Si el experimento falla, las próximas repeticiones vuelven a tener cada una un costo de Bs. 1000, pero además se incurre en un costo adicional de Bs. 300 debido a ciertos materiales que deben comprarse para que se intente un nuevo ensayo. La probabilidad de éxito en cualquiera de los ensayos es de 0,20, y el resultado de cada ensayo es independiente de los demás. Si los experimentos continúan repitiéndose hasta obtener el primer resultado exitoso, determine el costo esperado de la operación completa. Solución: Bs. 6200

9º) Los cajeros de un Banco cometen errores al sacar sus balances, los cuales se distribuyen según una Distribución de Poisson con media 0,75 errores por hoja. ¿Cuál es la probabilidad de que en 4 hojas, haya 2 ó más hojas sin errores? Solución: 0,6449

10º) La serie mundial de Béisbol comprende de 7 juegos como máximo; el primer equipo en ganar 4 juegos, gana la serie. Los expertos consideran que uno de los equipos tiene probabilidad 2/3 de ganar cada juego; mientras que el otro equipo probabilidad 1/3. Suponiendo que el resultado de cada juego es independiente de los otros, ¿cuál es la probabilidad de que la serie termine en el sexto juego?. Solución 0,2743


11º) Un productor de tornillos vende su producto en cajas, y sabe que el número de tornillos defectuosos en una caja sigue una Poisson con media 5. El costo de producción de una caja es de $50. Analice cuál de las siguientes dos políticas le conviene más al fabricante: Política I: Vender la caja en $ 80 sin garantía. Política II: Vender la caja en $ 100 ofreciendo como garantía, que si en una caja se encuentran 10 ó más tornillos defectuosos se le dará una nueva caja gratis al cliente. Solución: Le conviene ofrecer la garantía porque su ganancia se eleva a 48,41 $ / caja

12º) El número de espectadores que acuden a un teatro, sigue una Distribución de Poisson con media 10 por función. ¿Cuántos asientos debe disponer el teatro, para que la probabilidad de que todos consigan asiento sea de 0,95 por lo menos? Solución: 15 asientos.

13º) Una lotería efectúa un sorteo diario en donde se seleccionan con reemplazo, tres números premiados entre un total de cien. Un apostador decide comprar cada día dos números, hasta ganar uno de los premios por lo menos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que deba jugar seis días? b) ¿Cuál es la probabilidad de que tarde más de seis días en ganar algún premio?. Solución: a) 0,0434 b) 0,6951

14º) El número de clientes que llegan a una oficina, sigue una distribución de Poisson con media 24 clientes por hora. a) Si se sabe que en un período de 10 minutos llegaron 6 clientes por lo menos. ¿Cuál es la probabilidad de que hayan llegado exactamente 8, en ese lapso? . b) ¿Cual es la probabilidad de que los primeros 14 clientes, lleguen en menos de 47,5 minutos? Solución: a) 0,1385 b) 0,9016 15º) Sea "X" una variable aleatoria que sigue una Distribución de Poisson, y tal

que: E( X2 ) = 12 . Calcule : a) P ( X = 1) b) P ( X 4 ) Solución: a) 0,1954 b) 0,5665 16º) El número de clientes que llegan diariamente a un comercio solicitando un cierto artículo perecedero sigue una Distribución de Poisson. La vida del producto es de un día, de forma que los artículos no vendidos durante el día de suministro se pierden. Se sabe que el 10% de los días, no llega ningún cliente. Si el comerciante hace un pedido diario de 4 unidades, y gana Bs. 3 por cada unidad vendida, y pierde Bs. 1 por cada unidad no vendida. Calcule la ganancia diaria esperada de este comerciante. Solución: Bs. 4,77


17º) Se selecciona un número al azar entre 1 y 1000 ambos inclusive. ¿Cuál es la probabilidad de que resulte ser un cuadrado perfecto? Solución: 0,031 18º) El número de llamadas por minuto que recibe una central telefónica sigue una Distribución de Poisson; y se sabe que la probabilidad de que en un minuto se

reciban tres llamadas es igual a 2

3 la probabilidad de que en ese mismo minuto se

reciban dos llamadas. a) ¿Cuál es el número más probable de llamadas por minuto ? . b) ¿Cuál es la probabilidad de que durante un lapso de diez minutos, exista al menos una llamada en cada uno de los minutos? c) ¿Cual debe ser la capacidad de atención de dicha central telefónica, para que tenga una probabilidad de 0,95 por lo menos, de poder atender todas las llamadas que se hagan en un minuto? Solución a) Es bimodal.. Las modas son 1 y 2 b) 0,2336 c) 5 19º) La probabilidad de que un cliente pague en un determinado negocio con tarjeta de crédito es 0,60. El número de clientes que acuden diariamente a ese negocio, sigue una Distribución de Poisson con media 10 clientes por día. a) Si en un determinado día se sabe que acudieron 12 clientes. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 5 de ellos hayan pagado con tarjeta de crédito? b) ¿Cual es la probabilidad de que en un día cualquiera, 10 ó más clientes paguen con tarjeta de crédito ? . Solución a) 0,9427 b) 0,0839 20º) Una cierta empresa opera alquilando automóviles con chófer a los pasajeros que llegan a un aeropuerto. El costo de mantener un vehículo se estima en Bs. 100.000 diarios, que incluye el sueldo del chófer, seguros, mantenimiento, etc., y en él se incurre aunque no se alquile el vehículo. Se considera razonable suponer que en número diario de pasajeros que solicita el servicio, sigue una Distribución de Poisson, y se estima que el 90% de los días llegará por lo menos un cliente solicitando el servicio. Si la empresa dispone de una flota de 4 vehículos, con sus respectivos choferes. Calcule la tarifa diaria que debe cobrar la empresa por el servicio, si aspira obtener un beneficio promedio de Bs. 200.000 diarios en total. Solución: Bs. 275.811,35 21º) Un industrial recibe una cierta materia prima en cajas que contienen 25 unidades, y considera que si en la caja existen 7 unidades defectuosas, la probabilidad de rechazarla debería ser de 0,95 por lo menos. Suponga que para verificar la calidad de la caja, se toma una muestra al azar, y si sale alguna defectuosa en la muestra, se rechaza la caja. ¿De qué tamaño debería ser esta muestra? Solución: 8


22º) Considere una variable aleatoria discreta "X" , con función de probabilidad:

f(x) = c e

x!

- x

x = 1,2,3,4 ...... ; donde " " es un parámetro.

a) Determine el valor de "c" . b) Halle el valor esperado y la varianza de la variable "X" .

Solución: a) C= 1

1 e b) E(X) =

1 e

23°) Un juego de azar consiste en lanzar un dado hasta que aparezca el seis por tercera vez. Por el primer seis, el apostador recibe un premio de Bs. 4, por el segundo seis un premio de Bs. 6 y por el tercero un premio de Bs. 8; y por cada falla, es decir, por cada tiro diferente de seis, el apostador debe pagar Bs. 1. Al obtener el tercer seis termina el juego. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el juego termine en el quinto lanzamiento del dado? b) ¿ Cual es la probabilidad de que sea necesario lanzar más de ocho veces el dado, para que termine el juego?. c) ¿ Cual es la ganancia esperada del apostador ?. Solución: a) 25/1296 b) 0,8652 c) Bs 3 24º) Otra versión del modelo geométrico consiste en repetir indefinidamente un experimento de Bernoulli hasta que ocurra el primer éxito, pero definir a la variable aleatoria “X” como el número de fracasos que anteceden al primer éxito. Para esta otra versión del modelo geométrico, obtenga su función de masa, su valor esperado y su varianza. Solución: E(X) = (1-p) / p, Var (X) = (1-p) / p2. 250) Un cazador usa un arma que sólo carga seis balas, y dispara sobre un blanco hasta acertar dos veces o hasta que se le acaben las balas. Cada disparo se considera independiente de los demás, con probabilidad 2/5 de acertar. Encuentre el número esperado de balas que consume. Solución: 4,30 26º) El número de buques que llegan diariamente al puerto de una refinería, sigue una Distribución de Poisson con media 2 buques por día. Las actuales instalaciones del puerto, solo permiten atender hasta un máximo de 3 buques por día; de forma que si en un determinado día llegan más de tres buques, los restantes deben enviarse a otro puerto. a) ¿ Cual es el número esperado de buques devueltos diariamente ? . b) Un periodista va a esperar hasta que ocurra el tercer día con buques devueltos, para denunciar por prensa la insuficiencia del puerto. ¿Cuál es la probabilidad de que deba esperar más de una semana para hacer la denuncia? Solución: a) 0,2180 b) 0,9348


27º) En una caja hay 3 bolas blancas y 5 negras. Un jugador selecciona al azar 3 bolas sin reemplazo, y gana si saca 2 blancas por lo menos. Una vez terminado el juego, devuelve las bolas seleccionadas a la caja, y juega de nuevo. a) ¿Cual es la probabilidad de que en 5 juegos, gane más de una vez ? b) ¿Cual es la probabilidad de que necesite más de 5 juegos para ganar dos veces? Interprete el resultado Solución: a) 0,4422 b) 0,5578. Son eventos complementarios

28º) El popular juego de Kino se juega todos los días domingo de cada semana, y consiste en colocar 25 peloticas numeradas del 1 al 25 dentro de un bombo, para luego seleccionar aleatoriamente y sin reemplazo 15 de ellas. Cada cartón se supone que es independiente de los demás cartones, y contiene 15 números al azar de los 25 colocados en el bombo. Si un cartón contiene 12,13 14 ó 15 de los números extraídos en el sorteo, se hace acreedor a un premio, que es cada vez mayor, cuanto mayor sea el número de aciertos. a) Calcule la probabilidad de que un cartón gane cada uno de estos premios b) ¿Cuántos cartones debe comprar una persona para un mismo sorteo, si desea tener una probabilidad de por lo menos 1 / 3, de sacarse algún premio. c) Una persona tiene la costumbre de comprar cada semana 5 cartones para el sorteo del próximo domingo. ¿Cuál es el número esperado de semanas que debe jugar para ganar por segunda vez algún premio? Solución: a) P(15) = 1/ 3.628.800 , P(14)= 1/ 24192 , P(13) = 1 / 768 , P(12)=13 / 864

b) 25 cartones como mínimo . c) 25,20 semanas

29º) Cada caja de una marca de jabón detergente trae dentro un cupón con la foto de conocidos artistas. La colección consta de 6 fotos, y quien la complete ganará un premio. Suponiendo que las 6 fotos tienen idéntica probabilidad de encontrarse en cada una de las cajas, y que el contenido de cada caja es independiente de las restantes, encuentre el número esperado de cajas que es necesario comprar para ganar el premio. Solución: 14,7 30º) Dos jugadores A y B juegan lanzando dos monedas al aire; si salen dos sellos A paga a B Bs 2, pero si sale alguna cara B paga a A Bs 1. Si juegan 10 veces, ¿Cuál es la probabilidad de que A salga ganando dinero? Solución: 0,7759


ANEXO 1: TABLA DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL

TABLA DISTRIBUCION BINOMIAL

n = 8

p = 0,05

0,10

0,25

0,50

VALOR DE X Puntual Acumulada Puntual Acumulada Puntual Acumulada Puntual Acumulada

0 0,6634 0,6634 0,4305 0,4305 0,1001 0,1001 0,0039 0,0039

1 0,2793 0,9428 0,3826 0,8131 0,2670 0,3671 0,0313 0,0352

2 0,0515 0,9942 0,1488 0,9619 0,3115 0,6785 0,1094 0,1445

3 0,0054 0,9996 0,0331 0,9950 0,2076 0,8862 0,2188 0,3633

4 0,0004 1,0000 0,0046 0,9996 0,0865 0,9727 0,2734 0,6367

5 0,0000 1,0000 0,0004 1,0000 0,0231 0,9958 0,2188 0,8555

6 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0038 0,9996 0,1094 0,9648

7 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0004 1,0000 0,0313 0,9961

8 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0039 1,0000

n = 10

p = 0,05

0,10

0,25

0,50


0 0,5987 0,5987 0,3487 0,3487 0,0563 0,0563 0,0010 0,0010

1 0,3151 0,9139 0,3874 0,7361 0,1877 0,2440 0,0098 0,0107

2 0,0746 0,9885 0,1937 0,9298 0,2816 0,5256 0,0439 0,0547

3 0,0105 0,9990 0,0574 0,9872 0,2503 0,7759 0,1172 0,1719

4 0,0010 0,9999 0,0112 0,9984 0,1460 0,9219 0,2051 0,3770

5 0,0001 1,0000 0,0015 0,9999 0,0584 0,9803 0,2461 0,6230

6 0,0000 1,0000 0,0001 1,0000 0,0162 0,9965 0,2051 0,8281

7 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0031 0,9996 0,1172 0,9453

8 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0004 1,0000 0,0439 0,9893

9 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0098 0,9990

10 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0010 1,0000


n =

12

p = 0,05

0,10

0,25

0,50


0 0,5404 0,5404 0,2824 0,2824 0,0317 0,0317 0,0002 0,0002

1 0,3413 0,8816 0,3766 0,6590 0,1267 0,1584 0,0029 0,0032

2 0,0988 0,9804 0,2301 0,8891 0,2323 0,3907 0,0161 0,0193

3 0,0173 0,9978 0,0852 0,9744 0,2581 0,6488 0,0537 0,0730

4 0,0021 0,9998 0,0213 0,9957 0,1936 0,8424 0,1208 0,1938

5 0,0002 1,0000 0,0038 0,9995 0,1032 0,9456 0,1934 0,3872

6 0,0000 1,0000 0,0005 0,9999 0,0401 0,9857 0,2256 0,6128

7 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0115 0,9972 0,1934 0,8062

8 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0024 0,9996 0,1208 0,9270

9 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0004 1,0000 0,0537 0,9807

10 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0161 0,9968

11 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0029 0,9998

12 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0002 1,0000


ANEXO No 2 : TABLA DE LA DISTRIBUCION DE POISSON

TABLA DISTRIBUCION POISSON

λ = 0,5

1,00

2,50

5,00


0 0,6065 0,6065 0,3679 0,3679 0,0821 0,0821 0,0067 0,0067

1 0,3033 0,9098 0,3679 0,7358 0,2052 0,2873 0,0337 0,0404

2 0,0758 0,9856 0,1839 0,9197 0,2565 0,5438 0,0842 0,1247

3 0,0126 0,9982 0,0613 0,9810 0,2138 0,7576 0,1404 0,2650

4 0,0016 0,9998 0,0153 0,9963 0,1336 0,8912 0,1755 0,4405

5 0,0002 1,0000 0,0031 0,9994 0,0668 0,9580 0,1755 0,6160

6 0,0000 1,0000 0,0005 0,9999 0,0278 0,9858 0,1462 0,7622

7 0,0000 1,0000 0,0001 1,0000 0,0099 0,9958 0,1044 0,8666

8 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0031 0,9989 0,0653 0,9319

9 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0009 0,9997 0,0363 0,9682

10 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0002 0,9999 0,0181 0,9863

11 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0082 0,9945

12 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0034 0,9980

λ = 7,50

10,00

12.50

15,00


0 0,0006 0,0006 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,0041 0,0047 0,0005 0,0005 0,0000 0,0001 0,0000 0,0000

2 0,0156 0,0203 0,0023 0,0028 0,0003 0,0003 0,0000 0,0000

3 0,0389 0,0591 0,0076 0,0103 0,0012 0,0016 0,0002 0,0002

4 0,0729 0,1321 0,0189 0,0293 0,0038 0,0053 0,0006 0,0009

5 0,1094 0,2414 0,0378 0,0671 0,0095 0,0148 0,0019 0,0028

6 0,1367 0,3782 0,0631 0,1301 0,0197 0,0346 0,0048 0,0076

7 0,1465 0,5246 0,0901 0,2202 0,0353 0,0698 0,0104 0,0180

8 0,1373 0,6620 0,1126 0,3328 0,0551 0,1249 0,0194 0,0374


9 0,1144 0,7764 0,1251 0,4579 0,0765 0,2014 0,0324 0,0699

10 0,0858 0,8622 0,1251 0,5830 0,0956 0,2971 0,0486 0,1185

11 0,0585 0,9208 0,1137 0,6968 0,1087 0,4058 0,0663 0,1848

12 0,0366 0,9573 0,0948 0,7916 0,1132 0,5190 0,0829 0,2676

13 0,0211 0,9784 0,0729 0,8645 0,1089 0,6278 0,0956 0,3632

14 0,0113 0,9897 0,0521 0,9165 0,0972 0,7250 0,1024 0,4657

15 0,0057 0,9954 0,0347 0,9513 0,0810 0,8060 0,1024 0,5681

16 0,0026 0,9980 0,0217 0,9730 0,0633 0,8693 0,0960 0,6641

15 0,0057 0,9954 0,0347 0,9513 0,0810 0,8060 0,1024 0,5681

18 0,0005 0,9997 0,0071 0,9928 0,0323 0,9481 0,0706 0,8195

19 0,0002 0,9999 0,0037 0,9965 0,0213 0,9694 0,0557 0,8752

20 0,0001 1,0000 0,0019 0,9984 0,0133 0,9827 0,0418 0,9170

21 0,0000 1,0000 0,0009 0,9993 0,0079 0,9906 0,0299 0,9469

22 0,0000 1,0000 0,0004 0,9997 0,0045 0,9951 0,0204 0,9673

23 0,0000 1,0000 0,0002 0,9999 0,0024 0,9975 0,0133 0,9805

24 0,0000 1,0000 0,0001 1,0000 0,0013 0,9988 0,0083 0,9888

25 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0006 0,9994 0,0050 0,9938

guia de modelos discretos de probabilidad arvelo

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