capacidad de procesos. iso 9000 arvelo

1 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing

o Angel Francisco Arvelo



EVALUACION DE LA CAPACIDAD DE CALIDAD

DE UN PROCESO INDUSTRIAL

METODOS ESTADISTICOS SUGERIDOS POR LA NORMA ISO 9000

ANGEL FRANCISCO ARVELO L.

Ingeniero Industrial

Master en Estadística Matemática

CARACAS, MARZO de 1997



ANGEL FRANCISCO ARVELO LUJAN

Angel Francisco Arvelo Luján es un Profesor Universitario Venezolano en el área de Probabilidad y Estadística, con más de 40 años de experiencia en las más reconocidas universidades del área metropolitana de Caracas. Universidad Católica “Andrés Bello” : Profesor Titular Jubilado 1970 a 2003 Universidad Central de Venezuela: Profesor por Concurso de Oposición desde 1993 al presente Universidad Simón Bolívar: Profesor desde 2005 al presente Universidad Metropolitana: Profesor desde 1973 a 1987 Universidad Nacional Abierta: Revisor de contenidos, desde 1979 hasta 2004 Sus datos personales son :

Lugar y Fecha de Nacimiento: Caracas, 16-02-1947 Correo electrónico: [email protected] Teléfono: 58 416 6357636 Estudios realizados: Ingeniero Industrial. UCAB Caracas 1968 Máster en Estadística Matemática CIENES , Universidad de Chile 1972 Cursos de Especialización en Estadística No Paramétrica Universidad de Michigan 1982 Doctorado en Gestión Tecnológica: Universidad Politécnica de Madrid 2006 al Presente El Profesor Arvelo fue Director de la Escuela de Ingeniería Industrial de la Universidad Católica “Andrés Bello” (1974-1979) , Coordinador de los Laboratorios de esa misma Universidad especializados en ensayos de Calidad, Auditor de Calidad, y autor del libro “Capacidad de Procesos Industriales” UCAB 1998. En numerosas oportunidades, el Profesor Arvelo ha dictado cursos empresariales en el área de “Estadística General” y “Control Estadístico de Procesos”. Una mayor información pueden ser obtenidos en la siguiente página web: www.arvelo.com.ve

http://www.arvelo.com.ve/



PROLOGO

La actual crisis económica por la que atraviesa nuestro país , con la consecuente

pérdida en la capacidad de compra de los consumidores, ha traído como

consecuencia que muchas empresas industriales vean en la exportación una

salida para su desarrollo.

Sin embargo, a la hora de tratar de penetrar los mercados internacionales,

nuestras empresas se han encontrado con la dificultad de que allí, las normas de

calidad son mucho más exigentes, y de obligatorio cumplimiento.

Así por ejemplo, el cumplimiento de las cláusulas establecidas en la Norma ISO-

9000 y sus anexos, ya es un requisito mundialmente exigido para cualquier

empresa industrial o de servicios, que pretenda competir en los mercados de los

países desarrollados.

Con el objeto de garantizarle a los consumidores y usuarios, que las empresas

productoras y de servicios tienen un sistema de aseguramiento de la calidad, y

que dicho sistema es permanente en el tiempo, ha aparecido la figura de las

llamadas "Auditorías de Calidad" , en donde un agente externo a la empresa

certifica ante terceros , la existencia de este sistema de aseguramiento de la

calidad, y que la empresa responderá ante el consumidor frente a cualquier

problema derivado de la producción de alguna pieza defectuosa , o de alguna falla

en la prestación del servicio.

Aunque las cláusulas previstas en la norma ISO - 9000 , son de un carácter

bastante general, y están enfocadas exclusivamente hacia el sistema y no hacia

el producto, algunas de ellas hacen mención a la necesidad de que la empresa

cuente con la existencia de métodos estadísticos para el control de calidad, y

sugiere la implantación de técnicas de muestreo para detectar a tiempo la

aparición de cualquier tipo de fallas .

La aplicación de métodos de muestreo en la industria venezolana, ya era

conocida aún antes de la aparición de la Norma ISO-9000, y así desde hace ya

muchos años , COVENIN adoptó los planes de muestreo por atributos , conocidos

como "Tablas Militares 105-D" , como normas venezolanas.

Sin embargo, además de los planes de muestreo, otra evaluación muy importante

en las auditorías de calidad, son los llamados estudios de capacidad o de

habilidad de procesos, los cuales requieren de una metodología estadística.



Así por ejemplo, la Norma Venezolana Covenin 9004-90, en donde se dan los

lineamientos para la "Gestión de Calidad", establece textualmente en su Título Nº

10 "Calidad en Producción" , Sección 10.2 " Capacidad del Proceso", lo siguiente:

« A los procesos de producción se les debe verificar su capacidad para producir de acuerdo

con las especificaciones establecidas para el producto. Deben ser identificadas las

operaciones asociadas con las características del producto o proceso, que puedan tener

efectos significativos sobre la calidad del producto. Se debe establecer un control

apropiado para asegurar la permanencia de estas características dentro de las

especificaciones y que se hayan realizado los cambios y modificaciones apropiadas.

La verificación de los procesos de producción debe incluir la revisión de los

procedimientos relativos a material, equipo , sistemas de computación , procedimientos y

el personal involucrado .»

El concepto de capacidad de procesos se refiere fundamentalmente a la

disposición que tiene el proceso para cumplir con las especificaciones que le son

impuestas por las normas, y así por ejemplo , si el proceso presenta un alto grado

de variabilidad y las especificaciones son muy estrechas, entonces generará un

alto porcentaje de piezas defectuosas , es decir fuera de especificación .

Si por el contrario, el proceso es muy preciso, y fabrica piezas con poco margen

de variabilidad, entonces con calibraciones adecuadas, se podrá lograr que la

totalidad de las piezas caigan dentro de las especificaciones exigidas, y el

proceso se denominará capaz. Un proceso "capaz" es entonces, aquel que

puede cumplir a cabalidad con los requisitos de calidad impuestos por las

especificaciones.

El concepto de capacidad de procesos no es nuevo en los textos de "Control

Estadístico de Calidad " , pero si es una novedad dentro del medio industrial

venezolano. De hecho , antes de la aparición de la Norma ISO-9000 , solo era

puesto en práctica por un limitado número de industrias , tales como las petroleras

, la industria automotriz , y algunas transnacionales.

El objetivo del presente trabajo, es presentar de una manera clara y precisa, la

metodología estadística necesaria para estimar la capacidad de cualquier proceso

industrial que deba someterse a ciertas especificaciones externas, y puede ser de

utilidad tanto para la empresa a fin de autoevaluarse, como para el auditor externo

.

La metodología que aquí se presenta no es propia, de hecho aparece dispersa en

buena parte de los textos de "Control Estadístico de Calidad". Considero que mi



principal contribución es organizarla, y presentarla de una manera didáctica, a fin

de que pueda ser fácilmente utilizada por las personas relacionadas con el tema.

Dado que la metodología aquí descrita requiere conocimientos básicos de

Estadística, Probabilidades e Inferencia Estadística, es conveniente que las

personas responsables de aplicarla , repasen los conceptos fundamentales de

tales asignaturas, puesto que algunos de ellos como el cálculo de ciertos

estadísticos muestrales de deformación y de curtosís, o el manejo de tablas

normales , y pruebas de hipótesis, se suponen ya conocidos.

He tratado de desarrollar la metodología conciliando dos aspectos: el práctico y el

académico.

El aspecto práctico es sumamente importante puesto que este trabajo está

dirigido a personas del medio industrial, a quienes les interesa principalmente el

aspecto metodológico, con el fin de evaluar su proceso.

El aspecto académico es también para mí sumamente importante, ya que dada mi

condición de Profesor Universitario , actividad a la que he dedicado gran parte de

mi vida profesional por más de 26 años , no me sentiría satisfecho si me limitara a

dar un "recetario" de fórmulas y procedimientos, sin justificación teórica alguna.

Para conciliar estos dos aspectos decidí dividir el trabajo en cinco capítulos; los

cuatro primeros se refieren exclusivamente a aspectos de carácter práctico que

constituyen la esencia de la metodología, y en el quinto capítulo se da el

fundamento teórico de la misma.

En lo personal, considero que el Capitulo V es junto con la síntesis de la

metodología , el gran aporte de este trabajo , ya que en los textos de Control de

Calidad no aparece la justificación de muchos procedimientos , como la deducción

de los coeficientes para construir los gráficos de control , o los coeficientes para

estimar la desviación típica del proceso a partir del rango medio, etc., y cuyas

demostraciones han sido desarrolladas por mí , con la ayuda de técnicas de

Estadística Matemática .

Sinceramente espero que el presente trabajo sea una contribución para el

desarrollo del sector industrial venezolano, de utilidad para las personas

relacionadas con el Control Estadístico de Calidad, y para aquellos estudiantes y

profesionales interesados en conocer el porque de las cosas.

EL AUTOR



CAPITULO I : DISTRIBUCION NORMAL Y CAPACIDAD DE PROCESOS INDUSTRIALES .

La curva normal es la más importante de las distribuciones estadísticas, y representa un modelo teórico de comportamiento para una variable aleatoria continua “X”, cuya función de densidad de probabilidad viene dada por la ecuación:

f x e( )1

2

--( )x

2

22 ; - < x <

- < μ < > 0

En la expresión anterior , "µ" y " " representan los parámetros de la distribución , que reciben el nombre de media y desviación típica respectivamente ,y definen en realidad una familia, pues al tomar diferentes valores obtendremos una nueva curva . Los parámetros de la curva tienen una influencia determinante en su geometría, y así , el parámetro "µ" representa el eje de simetría o valor central de la

distribución, mientras que el parámetro " " , por ser una medida de la variabilidad en los valores de "X" con respecto a la media "µ" , incide en su

ancho ; de manera que a un menor valor de " " ,la curva se hace más estrecha al estar los valores de la variable más concentrados alrededor del valor de "µ" , y

a un mayor valor de " " obtendremos una curva más ancha, con una mayor dispersión de los valores de la variable con relación a la media. Uno de los principales objetivos del Control Estadístico de Calidad es conocer los parámetros con que el proceso está produciendo las piezas , pues mediante su conocimiento se podrá determinar si se está en capacidad de cumplir con las especificaciones que le son exigidas al producto, y obviamente en la medida en que la desviación típica del proceso se reduzca, se obtendrá un proceso más estable y un producto más homogéneo. VARIABILIDAD DE LOS PROCESOS INDUSTRIALES La Teoría de Control Estadístico de Calidad establece que en todo proceso industrial existen dos tipos de causas de variabilidad, que se conocen como comunes y asignables. Las causas comunes constituyen la suma de los efectos de un conjunto total de causas aleatorias no controlables, que producen una variación en la calidad del producto manufacturado, y que son semejantes al conjunto de fuerzas que dan lugar a que una moneda caiga de uno u otro lado cuando es lanzada al aire. Con respecto a estas causas comunes, es poco lo que se puede hacer para reducirlas, debido a que son inherentes al proceso, a la precisión de las



máquinas, etc. La desviación típica " " de la curva, es justamente el reflejo de la variabilidad debida a estas causas aleatorias. Las causas asignables por el contrario, son debidas a la presencia de algunos factores que perturban el proceso, y que por sí solos son capaces de explicar en gran medida la variabilidad en la calidad del producto. Entre estas causas podrían ser citadas como ejemplo, diferencias entre las máquinas, diferencias entre los operarios, diferencias entre los materiales, etc. El Control Estadístico de Procesos supone que si se estudia un grupo de datos y se encuentra que se ajustan a una Distribución Normal, entonces no existen causas asignables, y se dice que el proceso está bajo control estadístico debido a que es posible pronosticar con un alto grado de certeza su variabilidad . Por el contrario, cuando los datos obtenidos del proceso no se ajustan a la Normal, se dice que están actuando una o más causas asignables, y que el proceso está fuera de control. De lo anterior se deduce entonces que el punto de partida o axioma de la Teoría de Control Estadístico de Procesos es que cuando no actúan causas asignables, el proceso se comporta según una Distribución Normal, y que la variabilidad observada es simplemente aleatoria. PROPIEDADES DESCRIPTIVAS DE LA DISTRIBUCION NORMAL Cuando se tiene un conjunto de datos provenientes de un proceso industrial, es importante reconocer si su comportamiento es o no normal, a fin de poder identificar causas comunes y causas asignables. A continuación se enuncian una serie de propiedades que tiene la curva normal, y se señalan algunos procedimientos prácticos que permiten verificar si desde un punto de vista descriptivo es razonable suponer la normalidad del proceso. En el capítulo siguiente se trataran en detalle las pruebas de ajuste, que son las que en definitiva permitirán aceptar o rechazar la hipótesis de normalidad. 1º) La curva normal tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de su media. Para verificar la forma acampanada de los datos basta con construir el histograma de frecuencias para los datos agrupados, y comprobar que la clase modal se ubica en el zona central de la gráfica y que a medida que nos alejamos de ella, en cualquiera de las dos direcciones la frecuencia disminuye. Para verificar la simetría respecto de la media, es necesario calcular las diferentes medidas de deformación las cuales deben dar cero. Las principales medidas de deformación son: Coeficiente momento de sesgo. Coeficiente percentílico de sesgo. Coeficiente cuartílico de sesgo.



2º) En la Distribución Normal, la media, la mediana y la moda coinciden.

Para verificar esta propiedad, basta con calcularle a la muestra agrupada, estos tres estadísticos muestrales, y comprobar que el resultado de estos cálculos dan cifras muy cercanas.

3º) En el intervalo ( µ ± ) deben caer el 68,27% de los datos muestrales , en el

intervalo ( µ ± 2 ) deben caer el 95,45% de los datos muestrales , y en el

intervalo ( µ ± 3 ) deben caer el 99,73% de los datos muestrales .

El valor estimado del parámetro "µ" es la media de la muestra , y el de " " la desviación típica muestral , y para verificar que la muestra satisface estos porcentajes, es necesario calcular el puesto percentil correspondiente a cada extremo del intervalo ,a fin de hallar el porcentaje de observaciones que se encuentran por debajo de cada extremo, y finalmente restar dichos porcentajes. 4º) La Distribución Normal es una curva mesocúrtica, para la cual el coeficiente momento de curtosis vale 3 , y el coeficiente percentílico de curtosis vale 0,263.*1 En el capitulo V , sobre Fundamentos Teóricos de la metodología ,se encuentra la demostración de estas propiedades. Ejemplo Práctico: Supongamos que al tomar una muestra de 250 botellas de refresco y analizar sus contenidos, se agruparon las observaciones en intervalos de 5 cc de amplitud , dando lugar a la siguiente distribución de frecuencias:

11 Para una mayor explicación sobre estos conceptos estadísticos básicos, y su metodología de cálculo, el

lector puede consultar algunos textos de “Estadística” tales como : “Estadística” de Murray R. Spiegel, o

Estadística para las Ciencias Administrativas de Lincoln L. Chao , ambos de la Editorial Mac. Graw Hill .



Contenido ( cc ) Frecuencia 190 - 195 9 195 - 200 29 200 - 205 47 205 - 210 72 210 - 215 51 215 - 220 30 220 - 225 12 Para hacer un tratamiento descriptivo de estos datos procedemos como sigue: 1º) En primer lugar se dibuja un Histograma de frecuencias:

2º) A continuación , se estiman los parámetros de la distribución:

ˆ = Media Muestral = X =

Li*

i=1

i=k

f

f

i

i

i

i k

1

2 =Varianza Muestral = S2

=

i k* 2

i i

i 1

i k

i

i 1

(L X) f

f 1

=

i k* 2 2

i i

i 1

i k

i

i 1

(L ) f X

f

n

1



En donde: Li* = Marca de Clase del intervalo "i"

fi = Frecuencia del intervalo "i" .

k= Número de intervalos .

n=

i k

i

i 1

f = Número total de datos

Es conveniente organizar los cálculos en la siguiente tabla:

Intervalo Li* fi Li* fi (Li*)2.fi

190 - 195 192.50 9 1732.50 333506.25 195 - 200 197.50 29 5727.50 1131181.25 200 - 205 202.50 47 9517.50 1927293.75 205 - 210 207.50 72 14940.00 3100050.00 210 - 215 212.50 51 10837.50 2302968.75 215 - 220 217.50 30 6525.00 1419187.50 220 - 225 222.50 12 2670.00 594075.00 Totales 250 51950.00 10808262.5

Sustituyendo obtenemos: ˆ = X = 51950 00

250

. , = 207,80

2 = S2

=2(10.808.262,50) (250)(207,80)

249= 52,21 = S = 7,23

Aclaratoria: Uno de los problemas importantes que se estudia en “Inferencia Estadística” es el de estimación, que trata sobre la metodología a seguir para inferir el valor desconocido de un parámetro poblacional a partir del estadístico muestral. Usualmente los parámetros poblaciones se designan con letras griegas, mientras que sus correspondientes estimadores con letras latinas.

Así por ejemplo “μ” representa a la media poblacional, mientras que X a la media muestral que es su estimador. Cuando esta nomenclatura se aplica sobre la varianza, se obtiene que la varianza poblacional

designada por 2 ,viene dada por :

2

2

1

( )x

N

i

i

i N

; mientras que la muestral :

S

x X

n

i

i

i n

2

2

1

( )

. Sin embargo, en Inferencia Estadística se demuestra que un mejor

estimador2 de

2 es: Sc

i

i

i n

x X

n

2

2

1

1

( )

, y recibe el nombre de “cuasi varianza muestral” .

2 Es un estimador “Insesgado”. Véanse textos de “Inferencia Estadística” .



Como la diferencia en la estimación, entre uno y otro es realmente muy pequeña especialmente

para muestras grandes y además Sc2

es mejor estimador por ser insesgado2, muchos autores

definen de una vez a Sc2

como “varianza muestral” y omiten definir al otro. Tal es el caso del

control estadístico de calidad en donde ha hecho ya costumbre definir a la varianza muestral

como

i n2

i2 i 1

(x X)

Sn 1

3º) Como siguiente paso se verifica que la mediana y la moda coinciden con la media. La mediana se calcula mediante como un caso particular de percentiles.

La fórmula general para calcular un percentil es : P L

n pF

fcp i

i

i1

1100

Pp= Percentil "p" Li-1 = Límite inferior del intervalo donde se encuentra Pp

Fi-1 = Frecuencia acumulada hasta el intervalo anterior .

fi = Frecuencia del intervalo donde se encuentra Pp.

c = Amplitud de los intervalos de clase .

n= Tamaño de muestra = fii

i k

1

Para identificar el intervalo donde cae la mediana, construimos la tabla acumulada de frecuencias: Contenido ( cc ) fi Fi 190 - 195 9 9 195 - 200 29 38 200 - 205 47 85 205 - 210 72 157 210 - 215 51 208 215 - 220 30 238 220 - 225 12 250 Aquí vemos que la mediana cae en el cuarto intervalo , pues en el intervalo donde la frecuencia acumulada sobrepasa el valor 125 , que representa la mitad de los datos. Haciendo p=50 , se halla la mediana, y resulta ser:

Mediana = P50 = 205

250 50

10085

725 = 207,78

El cálculo de la moda se hace por la expresión siguiente: Moda = L ci1

1 2



Li = Límite inferior de la clase modal .

1= Diferencia de frecuencias a la izquierda de la clase modal .

2= Diferencia de frecuencias a la derecha de la clase modal . c = Amplitud de los intervalos de clase . Para este caso, la clase modal es la cuarta, y se tiene:

Moda 20525

25 215 = 207,72

Los tres estadísticos muestrales calculados moda, mediana y media resultaron ser entonces 207,72 , 207,78 y 207,80 respectivamente , lo que refleja un comportamiento muy cercano al modelo normal . 4º) Para verificar que se cumplen los porcentajes teóricos dados por la curva

normal , se procede a definir los intervalos ( µ ± ) , ( µ ± 2 ) y ( µ ± 3 ) , en base a las estimaciones obtenidas .

Intervalo ( µ ± ) = 207,80 ± 7,23 = [200,57 ; 215,03]

Intervalo ( µ ± 2 ) = 207,80 ± 2 (7,23 ) = [193,34 ; 222,26]

Intervalo ( µ ± 3 ) = 207,80 ± 3 (7,23) = [186,11 ; 229,49] Para calcular el porcentaje de observaciones muestrales que caen en cada uno de estos intervalos, se aplica la fórmula del Puesto Percentil "p" , que da el porcentaje de observaciones menores o iguales que un límite Pp.

pn

FP L

cfi

p ii

1001

1

p = Porcentaje de observaciones menores iguales o menores que Pp. Li-1= Límite inferior del intervalo donde se encuentra Pp. Fi-1 = Frecuencia acumulada hasta el intervalo anterior.

fi = Frecuencia del intervalo donde se encuentra Pp.

c = Amplitud de los intervalos de clase . n= Tamaño de muestra. De la tabla de frecuencias acumuladas, ya encontrada anteriormente, se tiene:

Para Pp= 215,03 : p1

100

250208

215 03 215

530

, = 83,27 %

Para Pp= 200,57 : p2 = 100

25038

200 57 200

547

, = 17,34 %

En consecuencia, el porcentaje de observaciones que corresponde al intervalo [200,57 ; 215,03] es: 87,27% - 17,34 % = 65,93 % . Para el segundo intervalo:

Para Pp= 222,26 : p1 = 100

250238

222 26 220

512

, = 97,37 %



Para Pp= 193,34 : p2 = 100

2500

193 34 190

59

, = 2,40 %

Porcentaje en el segundo intervalo = 97,37 - 2,40 = 94,97% Para el tercer intervalo el 100% de las observaciones muestrales caen en él. Los resultados obtenidos están bastante próximos a los teóricos, lo que se interpreta como un nuevo síntoma de normalidad para la población de donde proviene esta muestra . 5º) Para verificar ahora la simetría de los datos, se precisa encontrar las diferentes medidas de deformación. La primera de ellas es el coeficiente momento de sesgo "a3", que se calcula por

la expresión: am

S3

3

3 .

m3 = Tercer momento muestral respecto de la media =

(L X) f

f

i*

i 1

i k3

i

i

i 1

i k

El cálculo de “m3” se hace elaborando la siguiente tabla , teniendo en cuenta que

X = 207,80 .

Contenido Li* fi Li*- X (Li*- X )3.fi

190 - 195 192.50 9 -15.3 -32234.193 195 - 200 197.50 29 -10.3 -31689.083 200 - 205 202.50 47 -5.3 -6997.219 205 - 210 207.50 72 -0.3 -1.944 210 - 215 212.50 51 4.7 5294.973 215 - 220 217.50 30 9.7 27380.190 220 - 225 222.50 12 14.7 38118.276

Total 250 -129

Por tanto: m3 = 129

250= -0.52 , y a3 =

0 52

23 3

.

(7. ) = - 0.001

Una segunda medida de deformación es el coeficiente percentílico de sesgo, que se determina por la expresión:

Coeficiente de sesgo percentilico = P P P

P P

90 50 10

90 10

2

P90 = Percentil 90 P50= Percentil 50 = Mediana P10 = Percentil 10



Para el caso en cuestión, la Mediana ya se calculó y resulto ser 207,78 ; falta calcular el Percentil 10 y el 90 , por la fórmula general para el cálculo de percentiles, obteniéndose:

P10 = 19525 9

295 = 197,76

P90 = 215225 208

305 = 217,83

Coeficiente de sesgo percentílico = 217 83 2 207 78 197 76

217 83 197 76

, , ,

, , = 0,0015

Una tercera medida de deformación es el coeficiente cuartílico de sesgo, que se determina por la expresión:

Coeficiente de sesgo cuartílico = Q Q Q

Q Q

3 2 1

3 1

2

Q3 = P75 = Tercer Cuartil = Percentil 75 = 210187 50 157

515

.= 212.99

Q2 = P50 = Segundo Cuartil = Percentil 50 = Mediana = 207.78

Q1 = P25 = Primer Cuartil = Percentil 25 = 20062 5 38

475

. = 202.61

Coeficiente de sesgo cuartílico = 212 99 2 207 78 202 61

212 99 202 61

. . .

. .= 0.004

Las tres medidas de deformación dan un resultado casi nulo, lo que se interpreta como una simetría casi perfecta de los datos, lo que revela otra coincidencia con la Distribución Normal. 6º) Un último paso para verificar la normalidad de los datos, desde un punto de vista descriptivo es calcular las medidas de apuntamiento, como lo son el coeficiente momento de curtosis , y el el coeficiente percentílico de curtosis, las cuales tienen para la Distribución Normal , un valor teórico de 3 y de 0,263 respectivamente. ( Véase la demostración en el Capítulo de Fundamentos Teóricos) .

El coeficiente momento de curtosis “a4” se calcula por la expresión: a4 = m

S

4

4

Donde: m4 = Cuarto momento muestral respecto de la media =

(L X) f

f

i* 4

i

i 1

i k

i

i 1

i k

El cálculo de m4 se hace a través de la siguiente tabla , teniendo en cuenta que X

= 207,80 .



Contenido Li* fi Li*- X (Li*- X )4 fi

190 - 195 192.50 9 -15.3 493183.153

195 - 200 197.50 29 -10.3 326397.555

200 - 205 202.50 47 -5.3 37085.2607

205 - 210 207.50 72 -0.3 0.5832

210 - 215 212.50 51 4.7 24886.3731

215 - 220 217.50 30 9.7 265587.843

220 - 225 222.50 12 14.7 560338.657

250 1707479.43

En consecuencia : m4 = 1707 479 43

250

. . ,= 6.829,92

y el coeficiente momento de curtosis: a4 = 6 829 92

23 4

. ,

(7. ) = 2.50

La expresión para calcular el coeficiente percentílico de curtosis " " es:

Coeficiente Percentílico de Curtosis = =

1

23 1

90 10

( )Q Q

P P

Anteriormente ya habían sido calculados los cuartiles, y los percentiles 10 y 90 ,

obteniendo : Q3 = 212.99 ; Q1 = 202.61 ; P10= 197.76 ; P90 = 217.83

Reemplazando: =

1

2212 99 202 61

217 83 197 76

( . . )

. .= 0.2586

De los resultados obtenidos concluimos que la curva obtenida es ligeramente

menos puntiaguda que la normal ( Curva Planticúrtica) , puesto que ambos

coeficientes resultaron ligeramente menores a los teóricos dados por la curva

normal .

Es muy frecuente que en el análisis descriptivo de los datos, se encuentren

situaciones como ésta , en donde los resultados muestrales se alejan ligeramente



de los teóricos dados por la Curva Normal , y de allí la importancia de las Pruebas

de Ajuste a la Normalidad , que se analizan en el capítulo siguiente, a fin de

evaluar si tales diferencias son o no significativas.

CONCEPTO DE CAPACIDAD DE UN PROCESO INDUSTRIAL

El hecho de que un proceso industrial se encuentre bajo control estadístico no

significa que va a producir artículos de calidad, lo que significa es simplemente

que sobre su variabilidad están actuando solamente causas comunes , y es

perfectamente posible que a pesar de hallarse bajo control, este margen de

variabilidad sea tan amplio que le impida cumplir con las especificaciones exigidas

por el consumidor .

Para poder controlar la calidad deben existir unas especificaciones, que son los

límites entre los cuales debe caer una determinada característica cuantitativa para

que se considere que el producto satisface los requisitos de calidad; así por

ejemplo, cuando se exige que un eje debe tener un diámetro de (100.00 ± 0.25)

mm , esto significa que su diámetro debe caer en el intervalo (99.75 ; 100.25) mm

para que cumpla con este requisito de calidad. Estos límites del intervalo definen

lo que se denominan las especificaciones, y sus extremos, reciben el nombre de

"límite inferior de especificación" y "límite superior de especificación" , que

en lo sucesivo se designaran por "Li " y "LS " respectivamente .

La diferencia entre esos límites se define como la tolerancia: T = LS -Li

Resulta obvio que cuanto mayor sea la tolerancia de un producto, más fácil le

resultará al proceso cumplir con las exigencias de calidad, puesto que el producto

permite una mayor variabilidad; pero por el contrario, cuanto más pequeña sea la

tolerancia, es más difícil cumplir puesto que el margen de variabilidad es más

estrecho, y por tanto más exigente.

Hemos visto, que cuando un proceso está bajo control estadístico, los productos

que fabrica se comportan según un modelo normal, y que entre los límites "µ-3 "

y "µ+3 " , debe caer entonces el 99.73% de la producción. De allí entonces, que

resulte conveniente que un proceso trate de ubicarse entre estos límites, a fin de

garantizar que la casi totalidad de la producción va a cumplir con la

especificación.

Por otra parte, hay que tener en cuenta que los parámetros "µ" y " " del proceso

constituyen una característica propia del mismo . Su media "µ" generalmente

puede ser fijada a voluntad, según ciertos ajustes y calibraciones que se le hagan



a las máquinas, pero su desviación típica " " es mucho más difícil de modificar,

puesto que depende de las causas comunes que lo afectan, tales como precisión

de las máquinas, destreza de los operarios, etc.

Cuando la media "µ" del proceso coincide con el punto medio de las

especificaciones, se dice que el proceso está centrado.

Centrar un proceso no es garantía de que la producción va a cumplir con las

especificaciones, pues si los límites de especificación resultan más estrechos que

los límites de variación ±3 , entonces un cierto porcentaje de la producción va a

resultar defectuosa, tal como se muestra en la figura:

Cuando un proceso está centrado, el porcentaje de piezas defectuosas se reparte

por igual a ambos lados de la curva .

Cuando la media de un proceso no coincide con la media de la especificación, se

dice que está descentrado o que la media está corrida, y en ese caso el

porcentaje de piezas por encima del límite superior (defectuosas por exceso) es

diferente de las que resultan por debajo del límite inferior (defectuosas por

defecto) .



Por lo general, en el Control de Calidad, se trata de mantener al proceso

centrado, porque bajo esta situación, el porcentaje de piezas fuera de

especificación es lo mínimo posible (demostración en el capítulo de

"Fundamentos Teóricos" ).

Hay situaciones especiales en que deliberadamente se provoca un corrimiento de

la media y el proceso se descentra, debido a que por un extremo es posible

corregir las piezas defectuosas, y por el otro extremo las piezas resultan

inservibles. Cuando se presentan situaciones de esta naturaleza, la

determinación del punto en que hay que colocar la media del proceso, depende

del costo de la corrección, del costo de perder la pieza inservible, y de la utilidad

que se obtenga por una pieza dentro de la especificación. ( Ver Cap.V)

Se dice que un proceso es capaz, cuando los límites de la especificación

resultan más amplios que sus límites ± 3 , pues en este caso, de estar centrado

el proceso, podremos garantizar que prácticamente el 100% de las piezas

producidas cumple con la especificación exigida.

PROCESO CAPAZ CENTRADO

La capacidad del proceso es entonces la disposición que tiene para adaptarse a

las especificaciones, y es por consiguiente una cualidad que debe exigírsele a

todo proceso industrial, si se quiere garantizar la fabricación de piezas que

cumplan los requisitos de calidad establecidos en las normas.

Para medir la capacidad del proceso es necesario comparar la amplitud de su

intervalo natural de variación, que como se sabe es desde µ-3 hasta µ+3 , lo



que da una amplitud de 6 , con la amplitud del intervalo de especificación LS-Li

que es "T" tolerancia de la especificación, y de allí que la medida utilizada para

expresar la capacidad es el denominado "Coeficiente de Capacidad" , CP

definido por: CL L T

ps i

6 6

Cuando CP 1, el proceso es capaz siempre que esté centrado, mientras que

cuando CP < 1, el proceso es incapaz aunque esté centrado, pues los límites de la

especificación resultan demasiados estrechos en comparación con los límites de

variabilidad natural del proceso, por efecto de las causas comunes.

El hecho de que un proceso sea capaz no significa sin embargo, que no deba ser

controlado, pues si aparecen circunstancias externas que provoquen un

corrimiento de la media y lo descentran, van a aparecer entonces un cierto

porcentaje de defectuosas, en caso de que la distancia de la nueva media a uno

de los límites de especificación sea inferior a 3 , tal como se muestra en la figura:

Para detectar a tiempo estos corrimientos en la media, es por lo que los "Gráficos

de Control" constituyen una herramienta muy útil en el Control de Procesos .

En conclusión, los estudios de capacidad denominados también de habilidad,

tienen como objetivo el determinar si el proceso puede someterse a las

especificaciones que le son impuestas, o si por el contrario, dichas

especificaciones resultan demasiado estrictas para el proceso, y por consiguiente

deben ser ampliadas o debe recurrirse a otro proceso que sea más preciso.

USO DE LAS TABLAS NORMALES



En numerosas oportunidades interesa determinar la probabilidad de que una

pieza al azar cumpla con determinadas dimensiones, o el valor en que debe

fijarse la media de un proceso, para tener una determinada probabilidad de que

una pieza cumpla con una especificación. Para hacer tales cálculos, es

indispensable el uso de las tablas normales.

La tabla normal permite calcular la probabilidad de que una observación sea igual

o menor que una determinada abscisa "x" (Función de distribución), para unos

parámetros "µ" y " " dados. Dicha probabilidad viene dada por el área bajo la

curva, a la izquierda de la abscisa "x" , tal como se muestra en la figura:

Para entrar en la tabla normal, es necesario en primer lugar, tipificar previamente

la abscisa "x" , mediante la transformación: Z = X -

La abscisa tipificada "z" representa la distancia entre la abscisa "x" y la media "µ"

, expresada en función de la desviación típica " " . Así por ejemplo, una abscisa

tipificada z=2, representa que la abscisa "x" se halla a dos desviaciones típicas de

la media "µ".

El signo de "Z" , indica la posición de la abscisa 'x" con respecto a la media "µ" , y

así cuando "Z" es negativo la abscisa "x" es menor que la media "µ" ; mientras

que cuando "Z" es positiva , la abscisa "x" es mayor que la media "µ".

Las tablas que se encuentran en el anexo ,y distinguidas como 3.a y 3.b, han

sido extraídas del texto "Introductory Mathematical Statistics . Principles and

Methods " , de Erwin Kreyszig , de la Editorial John Wiley and Sons , Inc , y

utilizan la siguiente nomenclatura:

(z) = Area que en la Normal tipificada hay desde "z" a la izquierda .

(-z) = Area que en la Normal tipificada hay desde "-z" a la izquierda .

D(z) = Area que en la Normal tipificada hay entre "-z" y "+z" .



z = Abscisa que en la normal tipificada deja a la derecha un área .

La tabla 3.a se utiliza cuando se tiene una abscisa tipificada "z" , y se quiere

calcular el área a la izquierda . Si "z" es positivo se lee en la columna (z), si "z"

es negativo en la columna (-z) ,y en caso de que se trate de un intervalo central

simétrico, el área entre "-z y + z" se lee en la columna D(z) .

Si se quiere el área a la derecha de una abscisa tipificada "z" , será necesario

restar de 1, el área a la izquierda leída en la tabla 3.a .

La tabla 3.b se utiliza en el caso inverso, cuando se quiere determinar la abscisa

tipificada que deja a la izquierda un determinado porcentaje de área, en cuyo caso

se lee en la columna z ( ), y si lo que se tiene es un área central comprendida en

un intervalo simétrico, el extremo positivo de dicho intervalo se lee en la columna

z(D) .

Ejemplo 1 : Supongamos que un proceso fabrica piezas cuya longitud sigue una Distribución Normal con media 72.50 mm y desviación típica de 0.20 mm. Calcular las siguientes probabilidades: a) Que una pieza mida menos de 72.80 mm . b) Que una pieza mida menos de 72.10 mm . c) Que una pieza mida más de 72.60 mm d) Que una pieza caiga en el intervalo (72.15 ; 72.75) mm . e) Que una pieza caiga en el intervalo (72.50 ± 0.35) mm . Solución :

Designando como “X” la longitud de una pieza, se tiene : X N ( 72.50 ; 0.202)

P ( X 72.80 ) = P ( Z < 72 80 72 50

0 20

. .

.) = P ( Z < 1.50) = (1.50) = 0.9322

P ( X 72.10 ) = P ( Z < 7210 72 50

0 20

. .

.) = P ( Z < -2) = (-2) = 0.0228

P ( X > 72.60 ) = P ( Z > 72 60 72 50

0 20

. .

.) = P ( Z > 0.50) =1- (0.50) =

1 - 0.6915 = 0.3085

P( 72.15 < X < 72.75) = P(7215 72 50

0 20

. .

. < Z <

7275 72 50

0 20

. .

.) =

P ( -1.75 < Z < 1.25) = ( 1.25) - (-1.75) = 0.8944 - 0.0401 = 0.8543

P ( 72.15 < X < 72.85) = P (7215 72 50

0 20

. .

.< Z <

72 85 72 50

0 20

. .

.) =

P ( -1.75 < Z < 1.75 ) = D ( 1.75 ) = 0.9199 ( Por ser un intervalo simétrico)



Nótese que en todos estos casos, las lecturas fueron hechas en la tabla 3.a ,

puesto que se daban abscisa para encontrar una probabilidad , la cual se mide

por el área bajo la curva .

Ejemplo 2 : Suponiendo que la duración de unas baterías sigue una Distribución Normal con media 100 horas , y desviación típica de 12 horas . a) Dar un plazo de garantía sobre la duración mínima de una batería, de forma que dicha garantía se cumpla con probabilidad 0.99 . b) Dar un intervalo simétrico donde caiga la caiga la duración de una batería , con probabilidad 0.90 . Solución :

En este ejemplo, tenemos que: X = Duración de una batería N(100 ; 122) . a) La garantía se cumple cuando la duración de la batería es igual o mayor que el plazo de garantía, de forma que si designamos por "t" al plazo de garantía, lo

que se quiere es : P ( X t ) = 0.99 , o gráficamente :

P ( X t ) = 0.99

P ( Z t 100

12) = 0.99

En la tabla 3.b , se encuentra que para 99% de área a la derecha , es decir 1% de área a la izquierda , la abscisa tipificada correspondiente leyendo en la tabla

z( ) es : -2.326 t 100

12= -2.326 t = 100 - 2.326 ( 12 ) = 72.09

y por consiguiente, el plazo de garantía para 99% de probabilidad de cumplimiento, debe ser de 72.09 horas . b) Encontrar un intervalo simétrico donde caiga la duración de una batería con probabilidad 0.90, significa determinar un intervalo donde si elige una batería al azar , la probabilidad de que su duración caiga en dicho intervalo debe ser de 0.90 , y la probabilidad complementaria de no caer 0.10 , debe repartirse por igual para cada cola , es decir 0.05 por la izquierda y 0.05 por la derecha. Por simetría, tenemos entonces que dicho intervalo debe estar centrado en la

media 100 , y la incógnita es su amplitud " " , tal como se muestra en la figura:

Para determinar " ", se procede como sigue:

P( 100 - X 100 + ) = 0.90

P ( - 12

Z 12

) = 0.90



En la tabla 3.b, se encuentra que para 90% de área central , la abscisa

correspondiente es 1.645 ( Columna z(D) ) , y por consiguiente: 1.64512

y de allí se deduce que : = 1.645 12 = 19.74

El intervalo central simétrico de 90% de probabilidad, para la duración de una batería, es entonces: 100.00 ± 19.74 = [ 80.26 ; 100.74 ] horas .

EJERCICIOS PROPUESTOS

1º) Un estudio demostró que los tiempos de vida de cierta marca de baterías

para automóviles, se distribuyen normalmente con media 548 días , y desviación

típica de 185 días . Si el fabricante debe garantizar sus baterías por 180 días , ¿

qué porcentaje de las baterías deberá ser cambiado ? .

Solución: 2.33 % 2º) Se ha comprobado que el peso de los estudiantes universitarios, sigue una Distribución Normal con media 68,5 Kgs., y desviación típica de 10 Kgs . ¿Cual es la probabilidad de encontrar un estudiante, cuyo peso esté: a) entre 48 y 71 Kgs . b) superior a 91 Kgs . Solución : a) 0.5785 b) 0.0122 3º) El espesor de las láminas metálicas producidas por una cierta máquina sigue una Distribución Normal, con media 10 mm., y desviación típica de 0,02mm . Establezca una especificación para el espesor de estas láminas, de forma que: a) El 95 % de las láminas cumplan con la especificación. b) El 99% de las láminas cumplan con la especificación. Solución: a) (10.0000 ± 0.0392) mm b) (10.00000 ± 0.05152) mm 4º) Las especificaciones para una cierta pieza mecánica son (20.00 ± 0.50) cms., y la máquina que se dispone para producirlas tiene una desviación típica de 0.30 cms. Las piezas que resulten por encima del límite superior pueden ser reprocesadas y corregidas, pero las que resulten por debajo del límite inferior son consideradas como desperdicio. a) ¿Cual debe ser la media del proceso, si se quiere a lo más un 1% de desperdicios ? . b) Para esa media del proceso. ¿Cuál será el porcentaje de piezas reprocesadas? . Solución: a) µ = 20.1978 b) 15.62 5º) Si se quiere que un proceso produzca dentro de las especificaciones (10.00 ± 0.15 ) cms, con a lo más 2% de piezas defectuosas . ¿En qué valor debe



mantenerse controlada a la desviación típica, cuando el proceso está centrado ? .

Solución: 0.0645 6º) Hay que producir unas piezas cuyo diámetro debe caer dentro de la especificación (190 ± 15) mms ; pero sin embargo , la máquina que se dispone para fabricarlas, las saca según un diámetro aleatorio que sigue una Distribución Normal con media 200 mm, y desviación típica de 10 mms . ¿Cual es la probabilidad de producir una pieza defectuosa ? . Solución : 0.3147 . 7º) Una máquina cortadora puede ser calibrada para cortar alambres que tengan una media determinada . Suponiendo que la longitud de los alambres obtenidos sigue una Distribución Normal con media el valor calibrado, y desviación típica de 0,2 cms. ; determine el valor en que debe calibrarse la media , si se quiere que solamente el 5% de los alambres, tengan una longitud mayor de 10,40 cms . Solución : µ = 10.071 cms .



CAPITULO II : PRUEBAS DE AJUSTE A LA NORMAL

Hemos visto en el capítulo anterior como la Distribución Normal es el punto de

partida para evaluar la capacidad del proceso , pues la Teoría de Control

Estadístico supone como axioma que bajo condiciones estables, es decir cuando

solo actúan causas comunes o aleatorias , el comportamiento del proceso debe

ajustarse a ella .

El análisis descriptivo analizado también en el capítulo anterior , sirve de gran

orientación para validar la hipótesis de normalidad del proceso, pues cuando se

cumplen todas las exigencias allí señaladas , tales como histograma

acampanado, simetría , igualdad entre la moda la mediana y la media , coeficiente

momento de curtosis igual a 3 , etc., tendremos una evidencia muy significativa

acerca de la validez de la hipótesis normal.

No podemos sin embargo olvidar, que el comportamiento de las muestras es

aleatorio, y no necesariamente son un reflejo exacto de la población de donde

provienen, y que por lo tanto, es perfectamente posible, que siendo el proceso

normal, la muestra presente ligeras desviaciones con relación al modelo teórico.

De lo anteriormente expuesto , se deduce entonces que una pregunta muy lógica

que cualquier investigador puede hacerse con relación a su proceso es: ¿ hasta

qué punto pueden tolerarse diferencias entre la muestra y el modelo normal

teórico , y seguir aceptando la hipótesis de normalidad ? . La respuesta a esta

pregunta la dan precisamente las llamadas " Pruebas de Ajuste " .

En este capítulo analizaremos tres pruebas de ajuste , las cuales son unas

pruebas muy rigurosas, y que proporcionan una respuesta definitiva a la pregunta

anterior.

Otro método de ajuste que analizaremos en este capítulo es el uso del papel

probabilístico , que es de una sencillez extraordinaria , pero con la desventaja de

los métodos descriptivos, que no permite establecer hasta qué punto son

tolerables las diferencias entre los resultados muestrales y el modelo normal

teórico.

Al final del capítulo se incluyen también otras pruebas estadísticas, cuyo objetivo

no es probar el ajuste, pero que son de gran utilidad en el control de procesos

pues sirven para controlar alguno de sus parámetros, y en consecuencia sirven

para detectar a tiempo algún desajuste, como por ejemplo un corrimiento de su

media , o un incremento en su desviación típica.



PRUEBA CHI-CUADRADO DE BONDAD DEL AJUSTE

Esta es una prueba de carácter completamente general, que se utiliza no

solamente para verificar el ajuste a la normalidad , sino también para el ajuste a

cualquier otra Distribución teórica de probabilidad .

Aplicada al caso que nos ocupa que es el de normalidad, dicha prueba sirve para

contrastar la Hipótesis Nula H0 : El proceso se ajusta a una normal , contra la

Hipótesis Alternativa H1: El proceso no se ajusta a una normal.

Es decir, si designamos por "X" a la variable en estudio, la prueba chi-cuadrado

de bondad, es una prueba de hipótesis en donde:

H0: "X" se ajusta a una normal

H1: "X" no se ajusta a una normal

Para decidir si aceptamos o rechazamos la Hipótesis nula H0, dispondremos

como información una muestra de valores de la variable "X" , la cual deberá estar

presentada como una tabla agrupada de frecuencias, en donde los diferentes

valores observados de la variable "X" , aparecen clasificados en intervalos, con

sus respectivas frecuencias .

Dicha tabla debe ser construida tomando muestras al azar del proceso, y aunque

no existe una regla fija acerca de cuantas observaciones tomar, es recomendable

que tenga por lo menos 100 observaciones, clasificadas en por lo menos 6

intervalos.

Una vez construida esta tabla, los pasos a seguir son:

Paso 1 : Estimar los parámetros "µ" y " 2 " , de la distribución mediante la media

"X" , y la varianza muestral "S2 ", que como bien sabemos se calculan por:

= Media Muestral = X =

X

n

i

i

i n

1

2 =Varianza Muestral = S2

=

i k* 2

i i

i 1

i k

i

i 1

(L X) f

f 1

=

i k* 2 2

i i

i 1

i k

i

i 1

(L ) f X

f

n

1



En donde: Li* = Marca de Clase del intervalo "i"

fi = Frecuencia del intervalo "i" .

k = Número de intervalos.

n=

i k

i

i 1

f = Número total de datos

Paso 2 : Con los parámetros estimados , calcular las probabilidades de cada uno

de los intervalos, mediante la tabla normal .

pi = P ( Li-1 X < Li) = P (L i 1

Z < L i

) = (L i

) - (L i 1

)

En este paso , es importante tener en cuenta el detalle de que los intervalos

extremos deben ser definidos como "< L1" el primero , y como " LK“ el último,

puesto que de lo contrario la suma de las probabilidades de los “k” intervalos no

será igual a "1" , debido a que como es sabido el dominio teórico de la curva

normal es desde “- ” hasta “+ “.

Paso 3 : Calcular las frecuencias esperadas de cada intervalo , multiplicando el

tamaño total de muestra por su probabilidad teórica .

ei = n . pi ; siendo n = fii

i k

1

Estas frecuencias esperadas representan el número de observaciones que

deberían caer en cada uno de los intervalos, en caso de ser cierta la hipótesis de

normalidad , y por lo tanto deberían ser muy parecidas a las observadas en la

realidad , para poder aceptar la hipótesis de normalidad del proceso.

Paso 4 : Comparar las frecuencias observadas con las esperadas , mediante el

cálculo del estadístico chi - cuadrado, definido por: 2 ( f - e )i i

2

i=1

i=k

ei

El valor de " 2 " , mide la diferencia entre las frecuencias observadas y las

esperadas; cuanto más grande sea su valor , mayor es la diferencia entre la

realidad observada y el modelo teórico normal , mientras que cuanto más

pequeño sea su valor, mejor es el ajuste del modelo teórico normal a la realidad

observada en la muestra.

En este paso, hay que cuidar el detalle de que todas las frecuencias esperadas

deben ser iguales o mayores que "5" .En caso de que este requisito no se cumpla,



es necesario fundir ese intervalo con cualquiera de sus vecinos, hasta alcanzar

una frecuencia esperada de 5 ó más.

La justificación de este requisito es porque la prueba "chi-cuadrado", está basada

en la aproximación normal a la binomial , y para que esta aproximación sea

satisfactoria se exige : npi 5 .

Paso 5: Una vez calculado el valor de " 2 ", el último paso es ir a las tablas de la

distribución chi-cuadrado, con un nivel de nivel de significación " " previamente

seleccionado ( usualmente 5%) , con (k -3) grados de libertad *3 , y leer la abscisa

" 2 " que deja a la derecha un área " " .

Si: 2 2 Aceptar H0 , es decir es aceptable el ajuste a la Normal .

Si: 2 > 2 Rechazar H0 , es decir, no es aceptable el ajuste a la Normal .

La zona de rechazo es exclusivamente del lado derecho, pues solamente valores

grandes de " 2 " reflejan diferencias significativas entre la muestra y la

distribución normal teórica .

Ejemplo: Retomemos la muestra del capitulo anterior relativa al contenido de

refresco en unas botellas

Contenido ( cc ) Frecuencia

190 - 195 9

195 - 200 29

200 - 205 47

205 - 210 72

3 En general , el número de grados de libertad es: k-1-r ; siendo “r” el número de parámetros estimados ,

que en el caso de la Distribución Normal es r=2.



210 - 215 51

215 - 220 30

220 - 225 12

Con el análisis descriptivo hecho anteriormente , la muestra presentó síntomas

evidentes de normalidad, a excepción de los coeficientes de curtosis que no

arrojaron los valores que corresponden para una normal.

Para salir de dudas , y verificar si estas diferencias son o no significativas ,

apliquemos la prueba chi-cuadrado de bondad del ajuste, mediante la prueba de

hipótesis :

Ho: "X" ( Contenido de la botella) se ajusta a una normal

H1: "X" ( Contenido de la botella) no se ajusta a una normal

Paso 1: Estimar los parámetros de la distribución .

Esta estimación ya fue hecha en el capítulo anterior con los siguientes resultados:

= X = 207,80

2 = S

2

= 52,21

= S = 7, 23

Paso 2 : Calcular las probabilidades de cada uno de los intervalos .

Para garantizar que la suma de todas las probabilidades de 1 , el primer intervalo

lo tomamos como " < 195 " , y el último como " 220 " , y con la ayuda de la tablas

normales , tenemos :

P( X < 195) = P ( Z < 195 - 207.80

7 23.) = ( -1.77 ) = 0.0384

P( 195 X < 200) = P (195 - 207.80

7 23. Z <

200 - 207.80

7 23. ) = P (-1.77 Z < -1.08)



= ( -1.08) - ( -1.77 ) = 0.1401 - 0.0384 = 0.1017

P( 200 X < 205) = P (200 - 207.80

7 23. Z <

205 - 207.80

7 23. ) = P (-1.08 Z < -0.39)

= ( -0.39) - ( -1.08 ) = 0.3483 - 0.1401 = 0.2082

P( 205 X < 210) = P (205 - 207.80

7 23. Z <

210 - 207.80

7 23. ) = P (-0.39 Z < 0.30)

= (0.30) - (-0.39) = 0.6179 - 0.3483 = 0.2696

P( 210 X < 215) = P (210 - 207.80

7 23. Z <

215 - 207.80

7 23. ) = P (0.30 Z < 1.00)

= (1.00) - (0.30) = 0.8413 - 0.6179 = 0.2234

P( 215 X < 220) = P (215 - 207.80

7 23. Z <

220 - 207.80

7 23. ) = P (1.00 Z < 1.69)

= (1.69) - (1.00) = 0.9545 - 0.8413 = 0.1132

P( X 220) = P ( Z 220 - 207.80

7 23.) = P(Z 1.69) = 1 - (1.69) =

1 - 0.9545 = 0.0455

Paso 3: Calcular las frecuencias esperadas .

Una vez calculada la probabilidad de cada uno de los intervalos , procedemos a

calcular su frecuencia esperada , multiplicando su probabilidad por el tamaño de

muestra , en este caso 250 : ei = n . pi .



Los cálculos se presentan en la siguiente tabla:

Contenido ( cc ) fi pi e i

< 195 9 0.0384 9.60

195 - 200 29 0.1017 25.43

200 - 205 47 0.2082 52.05

205 - 210 72 0.2696 67.40

210 - 215 51 0.2234 55.85

215 - 220 30 0.1132 28.30

220 12 0.0455 11.38

En este caso ,todas las frecuencias esperadas resultaron ser mayores que 5 , y

por tanto no hay necesidad de fundir intervalos .

Paso 4: Comparar las frecuencias observadas con las esperadas , mediante el

cálculo del estadístico "chi-cuadrado" : 2 ( f - e )i i

2

i=1

i=k

ei

Si la hipótesis H0 fuese cierta, las frecuencias observadas deberían ser muy

parecidas a las esperadas, y esta diferencia es lo que cuantifica el valor de " 2 " .

Para nuestro caso :

2 =

(

.

9 - 9.60)2

9 60 + (

.

29 - 25.43)2

25 43 +

(

.

47 - 52.05)2

52 05 + ......+

(

.

12 - 11.38)2

1138 = 1.90

Paso 5 : Ir a la tabla de la Distribución Chi- Cuadrado, con un nivel de

significación seleccionado , y los grados de libertad calculados.

En nuestro caso, seleccionaremos un nivel de significación del 5% , y para

calcular los grados de libertad tenemos:

k = número de intervalos = 7



grados de libertad = k - 3 = 4

En la tabla encontramos: 0 05 42. ; = 9.49 > 1.90 Aceptar H0

No existe en consecuencia, una evidencia significativa para rechazar la hipótesis

de normalidad, lo que se interpreta como un ajuste satisfactorio a la Distribución

Normal .

Ejercicio Propuesto: El peso en gramos, de una muestra de cajas de fósforos fue

el siguiente:

Peso Frecuencia

2.7- 3.1 19

3.1- 3.5 67

3.5- 3.9 141

3.9- 4.3 157

4.3-,4.7 94

4.7- 5.1 22

Verificar a un nivel de significación del 5%,si los datos se ajustan a una

Distribución Normal.

Solución: 2 = 1.1774 < 0 05 32. ; = 7.81 Se acepta el ajuste a la normal.

PRUEBA DE KOLMOGOROV - SMIRNOV

Esta prueba al igual que la anterior, es una prueba de ajuste, que se utiliza

exclusivamente para distribuciones continuas, y en donde la hipótesis a probar es

que una determinada muestra proviene de una población con una función de

distribución dada.

Esta prueba no requiere que los datos estén agrupados en intervalos, pues es

aplicable aún para muestras con datos puntuales, pero su principal limitación es

que la distribución a la cual se quiere probar el ajuste, debe estar plenamente

definida, es decir que no puede tener parámetros a estimar.



Para el caso de ajuste a la normalidad, esta limitante hace que la prueba solo

pueda aplicarse para parámetros especificados, que en el caso de control de

procesos suelen ser:

µ = Punto medio de la especificación (Proceso centrado)

= Ls - LI

6 (Posición límite de un proceso capaz).

En consecuencia, esta prueba puede rechazar un proceso ajustado a la normal,

en caso de que alguno de los parámetros sea diferente a los especificados; lo que

significa que si el proceso está bajo control estadístico, pero no está centrado, o

tiene una desviación típica diferente de la especificada, la prueba concluirá en un

rechazo del ajuste propuesto.

De allí, que esta prueba resulte particularmente útil, cuando un proceso tiene una

desviación típica conocida, y deba ser sometido a algunas calibraciones, para

colocar su media en un cierto valor especificado, y se quiera verificar que estas

calibraciones fueron correctamente realizadas.

Las hipótesis a contrastar en la prueba de Kolmogorov-Smirnov son:

H0: La función de distribución de "X" es F(x)

H1: La función de distribución de "X" no es F(x)

El procedimiento de la prueba consiste en comparar la Función de Distribución

Teórica F(x) , con la distribución acumulada de frecuencias relativas de la muestra

H(x), ya que si el ajuste es satisfactorio ambas deberían ser muy parecidas ;

puesto que la primera representa la probabilidad teórica de encontrar una

observación igual o menor que un cierto "x" , mientras que la segunda representa

el porcentaje de observaciones muestrales que resultaron ser iguales o menores

que ese mismo x" .

Los pasos a seguir son los siguientes:

Paso 1: Si los datos muestrales están en forma puntual se ordenan de menor a

mayor, y se calcula el porcentaje de observaciones iguales o menores que cada

uno de ellos; y si están en forma agrupada se construye la tabla acumulada de

frecuencias relativas.



Paso 2 : Se calcula la probabilidad teórica de que una observación sea igual o

menor que cada valor muestral para el caso de datos puntuales, o de cada

extremo superior de intervalo para el caso de datos agrupados.

Para el caso de ajuste a la normal , este cálculo se hace con la ayuda de las

tablas normales:

F(x) = P ( X x ) = P ( Z x -

) = (x -

)

Paso 3 : Se calcula la máxima desviación en valor absoluto , entre la distribución

acumulada de frecuencias relativas para la muestra , y la función de distribución

teórica .

Dn = max | F(x) - H(x) | .

Evidentemente, cuanto más pequeño sea el estadístico Dn, mayor será la

coincidencia entre la distribución teórica y los resultados muestrales, mientras que

cuanto mayor sea su valor, mayor será la diferencia entre la muestra y los valores

teóricos, y por tanto inaceptable el ajuste, por lo que la prueba es unilateral por la

derecha .

Paso 4 : El valor crítico del estadístico Dn , se encuentra en la tabla incluida en el

apéndice, la cual suministra el valor Dn , de forma que si:

Dn Dn Aceptar H0.

Dn > Dn Rechazar H0.

El valor crítico " Dn " depende del nivel de significación " " de la prueba , y del

tamaño de muestra "n" .

Ejemplo con datos puntuales: Supongamos que para que un proceso opere

correctamente, debe ajustarse a una Distribución Normal con media 26.000 mm ,

y desviación típica 2.000 mm , y que una muestra aleatoria de 20 observaciones

dio el siguiente resultado:

25.088 26.615 25.468 27.453 23.285

25.996 26.516 28.240 25.980 30.432

26.560 25.844 26.964 23.382 25.282

24.432 23.593 24.644 26.849 26.801



¿ Se puede afirmar, a un nivel de significación del 5% , que esta muestra proviene

de una población normal con los parámetros especificados ? .

Solución: Las hipótesis a contrastar son:

H0: El proceso se ajusta a una Distribución Normal con µ=26 y = 2

H1 : El proceso no se ajusta a una Distribución Normal con µ=26 y = 2

Paso 1: Comenzamos por ordenar los datos de menor a mayor

23.285 23.382 23.593 24.432 24.644

25.088 25.282 25.468 25.844 25.980

25.996 26.516 26.560 26.615 26.801

26.849 26.964 27.453 28.240 30.432

Luego se calcula H (x) , frecuencia relativa acumulada para cada uno de los

veinte valores , es decir , la proporción de observaciones iguales o menores que

él.

Así por ejemplo : H (23.285) = 1

20 = 0,05

H (23.382) = 2

20 = 0,10 , y así sucesivamente.

Paso 2 : Se calcula con la tabla normal, la probabilidad de que una observación

igual o menor que cada uno de estos 20 valores, lo que da la función de

distribución teórica .

F (23.285) = P ( X 23.285 ) = P ( Z 23 285 26 000

2

. .) = (-1.36) =0.0869

F (23.382) = P ( X 23.382 ) = P ( Z 23 382 26 000

2

. .) = (-1.31) =0.0951

y así sucesivamente con los demás valores.



Paso 3 : Se calcula para cada dato, la diferencia en valor absoluto, entre la

función distribución teórica y la frecuencia relativa acumulada muestral.

D = | F(xi) - H(xi) | .

El resultado de los cálculos se muestra en la tabla a continuación:

xi F ( xi) H(xi) D = | F(xi) - H(xi) |

23.285 0.0869 0.05 0.0369

23.382 0.0951 0.10 0.0049

23.593 0.1151 0.15 0.0349

24.432 0.2177 0.20 0.0177

24.644 0.2483 0.25 0.0017

25.088 0.3228 0.30 0.0228

25.282 0.3594 0.35 0.0094

25.468 0.3936 0.40 0.0064

25.844 0.4681 0.45 0.0181

25.980 0.4960 0.50 0.0040

25.996 0.4992 0.55 0.0508

26.516 0.6024 0.60 0.0024

26.560 0.6103 0.65 0.0397

26.615 0.6217 0.70 0.0783

26.801 0.6554 0.75 0.0946

26.849 0.6628 0.80 0.1372

26.964 0.6844 0.85 0.1656 (Máximo)

27.453 0.7673 0.90 0.1327

28.240 0.8686 0.95 0.0814

30.432 0.9868 1.00 0.0132



En la tabla se encuentra que: Dn = max | F(x) - H(x) | = 0.1656

Paso 4: Ir a la tabla correspondiente a los valores críticos para la prueba de

Kolmogorov- Sminov , en donde se lee que para un tamaño de muestra de 20, y

un nivel de significación del 5%, Dn = 0.29 .

Como en nuestro caso: Dn = 0.1656 < Dn = 0.29; la conclusión es aceptar la

hipótesis H0, de que la muestra proviene de una población normal con media

26.000 y desviación típica 2.000.

Ejemplo con datos agrupados : La prueba de Kolmogorov - Smirnov también

puede ser utilizada en forma aproximada, en caso de que la muestra este

agrupada en intervalos tal como se muestra en el siguiente ejemplo:

Supongamos que el peso en gramos de una píldora, debe ajustarse a una

Distribución Normal con media 4 gramos, y desviación típica de 0,5.

Una muestra aleatoria de 500 píldoras arrojó:

Peso 2,7-3,1 3,1-3,5 3,5-3,9 3,9-4,3 4,3-4,7 4,7-5,1

Frecuencia 19 67 141 157 94 22

Probar al 5% de significación, si la muestra proviene de una población normal con

los parámetros especificados.

Solución: Las hipótesis a contrastar son:

H0 : El peso se ajusta a una Distribución Normal con µ=4 y = 0.5

H1: El peso no se ajusta a una Distribución Normal con µ=4 y = 0.5

Los pasos a seguir son los mismos , con la única diferencia de que la función

teórica en lugar de calcularla para cada valor muestral como se hizo

anteriormente, se calcula para los límites superiores de cada intervalo; así por

ejemplo:

F (3,1) = P ( X 3,1 ) = P ( Z 3 1 4

0 5

.

.) = (-1.80) = 0.0359

F (3,5) = P ( X 3,5 ) = P ( Z 3 5 4

0 5

.

.) = (-1.00) = 0.1587



El resultado de los cálculos se muestra en la tabla a continuación:

xi F ( xi) H(xi) D = | F(xi) - H(xi) |

3.1 0.0359 0.0380 0.0021

3.5 0.1587 0.1720 0.0133

3.9 0.4207 0.4540 0.0333

4.3 0.7257 0.7680 0.0423 Máximo

4.7 0.9192 0.9560 0.0368

5.1 0.9861 1.0000 0.0139

En la tabla se ve que: Dn = max | F(x) - H(x) | = 0.0423

El valor crítico para un tamaño de muestra de 500, y un nivel de significación del

5%, es por la fórmula de aproximación: Dn136

500

. = 0.0608

Como Dn = 0.0423 < Dn = 0.0608 ; la conclusión es aceptar la hipótesis H0,

de que la muestra proviene de una población normal con media 4 y desviación

típica 0.5 .

Ejercicios propuestos

1º) Dadas las siguientes diez observaciones de un proceso: 31.0 , 31.4 , 33.3 ,

33.4 , 33.5 , 33.7 , 34.4 , 34.9 , 36.2 y 37.0 . Probar a un nivel de significación del

5% , que el proceso se ajusta a una Distribución Normal con media 32.0 y

varianza 3.24 .

Solución: Dn = 0.56 > Dn = 0.41 Rechazar el ajuste .

2º) La duración en minutos de una muestra de pilas , fue la siguiente:

0-20 20-40 40-60 60-80 80-100 100-120 120-140 140-160 160-180

5 13 13 14 17 12 15 7 4

Probar a un nivel de significación del 5% , que la duración de estas pilas se ajusta

a una Distribución Normal con media 80 minutos y desviación típica de 40 minutos

.

Solución: Dn = 0.0759 < Dn = 0.14 Aceptar el ajuste .



PRUEBA DE GEARY

Las dos pruebas anteriores , la prueba chi-cuadrado de bondad del ajuste , y la de

Kolmogorov-Smirnov son pruebas generales que pueden ser utilizadas para

verificar no solamente el ajuste a la normal , sino también para cualquier otra

distribución teórica , con la única limitación para la segunda ,de que debe ser

continua y de parámetros especificados .

Esta nueva prueba , la de Geary , es exclusiva para probar el ajuste a la

Distribución Normal , y por ser exclusiva para ella , es más potente , es decir, con

menor probabilidad de error tipo II .

La prueba se fundamenta en el uso de dos estimadores diferentes para el

parámetro " " de la Normal .

En efecto, un problema que se analiza con profundidad en los textos de

Estadística Matemática, es el relativo al de la estimación de los parámetros de

una distribución teórica . ( Ver Capítulo V)

Para el caso de la Distribución Normal, en la estimación de "µ" no hay lugar a

dudas, pues la media muestral " X " es el mejor estimador posible por ser

insesgado y de mínima varianza; pero sin embargo, para la estimación de " 2 ", la

situación no es tan clara, pues existen varios estimadores los cuales tienen ciertas

propiedades deseables, pero carecen de otras.

Algunos estimadores para el parámetro " " son:

1º) El obtenido por el método por el método de máxima - verosimilitud, y también

por el método de momentos: 1

(X - X)i2

i=1

i=n

n

2º) La raíz cuadrada del estimador insesgado para " 2" : 2

1

(X - X)i2

i=1

i=n

n

3º) El obtenido a partir de la desviación media de la muestra.



Se define como desviación media de la muestra, a la media aritmética de las

desviaciones absolutas respecto de la media muestral, es decir: D M.

X - X

n

i

i=1

i=n

A partir de la desviación media muestral , es posible obtener un nuevo estimador

para " " dado por : 3 2

X - X

n

i

i=1

i=n

= 2

D.M

La prueba de Geary se fundamenta en que si se toma una muestra aleatoria

proveniente de una población normal, entonces los diferentes estimadores del

parámetro " " deben dar resultados similares, y en consecuencia el cociente entre

cualquiera de ellos debe dar valores cercanos a la unidad.

El estadístico muestral utilizado en esta prueba es: u

n

2

X - X

n

(X - X)

i

i=1

i=n

i2

i=1

i=n

Para muestras grandes, y en caso de que la muestra provenga de una población

con Distribución Normal , la distribución de la variable "U" es también una normal

con media 1 , y desviación típica 0 2661.

n ;y por tanto su valor tipificado "Z" debe

caer entre los límites - z2

y + z2

para poder aceptar la Hipótesis de Normalidad.

Es decir , Z = U 1

0 2661. n N (0,1) , y si para la muestra - z

2

z + z2

Aceptar la Hipótesis de normalidad para la población.

La prueba es evidentemente bilateral, pues valores de "U" alejados de 1 en

cualquiera de los dos sentidos, reflejan diferencia significativa entre las

estimaciones de " ", dadas por el primer y tercer estimador.



Ejemplo: Para ilustrar la metodología de la prueba de Geary , analicemos la

muestra de 20 datos puntuales que ya fue analizada con la prueba de

Kolmogorov-Smirnov :

25.088 26.615 25.468 27.453 23.285

25.996 26.516 28.240 25.980 30.432

26.560 25.844 26.964 23.382 25.282

24.432 23.593 24.644 26.849 26.801

En aquella oportunidad la prueba se hizo para parámetros dados: µ=26 y = 2.

Hagamos ahora la prueba de ajuste aplicando la Prueba de Geary, la cual no

necesita especificar parámetros .

Los pasos a seguir son:

Paso 1 : Calcular la media muestral , que para este caso resulta X = 25.971 .

Paso 2: Calcular la desviación de cada dato respecto de la media muestral.

-0.883 0.644 -0.503 1.482 -2.686

0.025 0.545 2.269 0.009 4.461

0.589 -0.127 0.993 -2.589 -0.689

-1.539 -2.378 -1.327 0.878 0.830

Paso 3: Calcular la desviación típica muestral : S = =

( )X Xi2

1i

i n

n

El resultado del cálculo es : S= 1.673 , que representa una primera estimación del

parámetro " " .

Paso 4 : Calcular la desviación media de la muestra , para lo cual hay que hallar

la media de las desviaciones absolutas del paso 2 . D M.

X - X

n

i

i=1

i=n



El resultado del cálculo es : D.M= 1.272 .

Paso 5 : Hacer la segunda estimación de " " , mediante el uso del estimador :

3

2

X - X

n

i

i=1

i=n

. El resultado de esta nueva estimación es : 3 = 0.1594 .

Paso 6: Calcular el valor del estadístico U , que representa la razón entre las

dos estimaciones . u = 1594

1673

.

. = 0.953

Paso 7: Tipificar el valor obtenido de "U" , a fin de determinar si es significativa la

diferencia entre el valor obtenido en la muestra , y el resultado esperado , que

debió ser igual a 1 .

z = u 1

0 2661. n =

0 953 1

0 2661

.

. 20 = -0.794

Paso 8 : Ir a la tabla normal con el nivel de significación elegido , y leer el valor

crítico para la prueba bilateral.

Para 5% de significación se encuentra z0.025= 1.96 , y como el valor obtenido de

z=-0.794 cae en el intervalo [-1.96 , + 1.96] , la conclusión es aceptar el ajuste a

la normalidad.

PAPEL PROBABILISTICO

Debido a que las pruebas estadísticas de ajuste exigen procedimientos un tanto

complicados de cálculo, su uso en el medio industrial ha sido muy escaso, y en

aquellas empresas que requieren verificar que su proceso se ajusta a una

Distribución Normal , el uso del papel probabilístico es mucho más conocido.



El papel probabilístico es un papel especial, el cual tiene en el eje horizontal una

escala milimétrica lineal , y en el eje vertical una escala igual a la función de

distribución de la normal tipificada, de forma que cuando en el eje vertical se

representa un cierto porcentaje (z), la escala hace que lo que realmente se esté

representando sea la abscisa "z" que en la normal tipificada deja a la izquierda un

área (z) . Esta escala se conoce como escala "gaussiana" o "probabilística".

Recordemos que la tabla normal da para cada abscisa tipificada "z" , un área a la

izquierda (z) , que representa la probabilidad de que el valor tipificado de la

variable aleatoria "X" sea igual o menor que "z" .

En consecuencia , el origen de la escala vertical es 50% , pues (0) = 0,50 .

El papel probabilístico tiene la propiedad de que si sobre él se representa , la

distribución acumulada de frecuencias relativas para la una muestra proveniente

de una población normal, los puntos deben quedar en línea recta.

La justificación de esta propiedad se fundamenta en el hecho de que si el ajuste a

normal es adecuado, entonces la distribución acumulada de frecuencias relativas

para la muestra H(x) debería coincidir con la Función de distribución teórica de la



normal F(x) , y por la tipificación de la normal , se tiene entonces que: H(x) = F(x)

= P ( X x) = P(Z x

) = P ( Z z ) = (z)

Si de esta expresión se despeja "x" se tiene: x = µ + z , que es una función

lineal entre "x" y "z" .

El papel probabilístico está diseñado , para que al representar "x" en el eje

horizontal y H(x) en el margen derecho del eje vertical , la escala transforme

automáticamente a través de la tabla normal inversa a H (x) en "z", y por tanto se

obtenga una recta, en caso de que el ajuste a una Distribución Normal sea

satisfactorio.

La prueba de ajuste realizada con el papel probabilístico no necesita parámetros

especificados, tiene la ventaja de su sencillez, y puede ser utilizada tanto para

datos muestrales en forma puntual o agrupados.

El inconveniente es que no proporciona un criterio que permita establecer hasta

que punto son significativas las diferencias entre los puntos obtenidos y la línea

recta , en caso de que estos no queden perfectamente alineados, y puesto que la

recta hay que trazarla "a ojo" sobre el papel, este método deja un razonable

margen de duda .

Una vez trazada la recta , es posible obtener un estimación gráfica de la media y

de la desviación típica de la distribución.

La media puede ser obtenida entrando en la escala vertical con el 50% y

cortando a la recta, la lectura que se haga en el eje horizontal corresponde a la

media estimada del proceso.

La desviación típica " ", se estima entrando en el eje vertical con

aproximadamente 84%, cortando a la recta, y luego se mide la distancia horizontal

entre este punto de corte y la media .



El procedimiento gráfico de estimación se fundamenta en las propiedades de la

normal, ya conocidas:

a) La media "µ" es eje de simetría, y por tanto el área a su izquierda es de 50%.

b) En el intervalo (µ - , µ + ) cae el 68.27% del área , de donde se deduce por

simetría que el área a la izquierda del valor "µ + " es 84.135% .

Para representar los datos muestrales en el papel probabilístico, hay que seguir el

siguiente procedimiento:

Paso 1: Si los datos están en forma puntual se ordenan de menor a mayor, y si

están agrupados se ordenan los intervalos en forma creciente .

Paso 2: A cada dato se calcula su posición percentil, es decir el porcentaje de

observaciones que son iguales o menores que él, y si están agrupados se calcula

para cada límite superior de clase, la frecuencia relativa acumulada en forma

porcentual .

Para el caso de datos sin agrupar, la posición percentil se calcula mediante la

siguiente expresión3: j

1j

2P .100%n

Donde: j = Posición del dato después de ordenarlos de menor a mayor

Pj = Posición percentil que le corresponde al dato “j”

n = Número total de datos

Paso 3 : Sobre el eje horizontal del papel probabilístico elegimos una escala

adecuada de acuerdo con el orden de magnitud de los datos , de la misma forma



como se utiliza un papel milimetrado corriente, y sobre el margen derecho del eje

vertical se leen los porcentajes acumulados de frecuencia.

Elegida la escala adecuada para el eje horizontal, se procede a ubicar sobre el

papel los puntos (xj; Pj) ó (Li, H(Li) ), según los datos estén puntuales o

agrupados respectivamente.

Paso 4: Una vez ubicados los puntos, procedemos a ajustarles una recta. El

trazado de esta recta es totalmente subjetivo, y debe hacerse sin que exista una

mayor influencia de puntos de uno u otro lado de la recta .

Si los puntos caen razonablemente sobre una recta , concluimos que los datos se

ajustan a una Distribución Normal .

Algunos papeles probabilísticos mas sofisticados, permiten construir a ambos

lados de la recta unas bandas de confianza, entre las cuales deben caer la

totalidad de los puntos para poder aceptar el ajuste a la normalidad.

Ejemplo con datos puntuales: Un embotellador de refrescos está estudiando la

resistencia a la presión interna de botellas no retornables de dos litros. Se toma

una muestra de 16 botellas, y se obtiene la resistencia a la presión medida en

"psi" . Los resultados fueron:

222.16 202.20 219.54 193.73 208.15 195.45 193.71 200.81

211.14 203.62 188.12 224.39 221.31 204.55 202.21 201.63

Usar el papel probabilístico para analizar si es razonable suponer que esta

variable se ajusta a una Distribución Normal .

Solución: Comenzamos por ordenar los datos de menor a mayor

188.12 193.71 193.73 195.45 200.81 201.63 202.20 202.21

203.62 204.55 208.15 211.14 219.54 221.31 222.16 224.39

Una vez ordenados se procede a calcular la posición percentil de cada uno.

Así por ejemplo la posición percentil correspondiente al primer dato es:

1

11

2P .100%16

= 3,1250%

Repitiendo este cálculo para los demás puntos se obtiene:



Xj 188.12 193.71 193.73 195.45 200.81 201.63 202.20 202.21

Pj % 3,125 9,375 15,625 21,875 28,125 34,375 40,625 46,875

Xj 203.62 204.55 208.15 211.14 219.54 221.31 222.16 224.39

Pj% 53,125 59,375 65,625 71,875 78,125 84,3750 90,625 96,875

A continuación se procede a graficar estos puntos sobre el papel probabilistico

De la gráfica se obtiene que la media aproximada del proceso es de 205, y la

desviación típica de 12.50.

En caso de que no se tenga papel probabilístico, también es posible usar papel

milimetrado, solo que los cálculos resultan ligeramente más complicados.

Para usar papel milimetrado, es necesario recordar que el fundamento del papel

probabilístico es la relación lineal entre "x" y "z" , dada por la ecuación

xj = µ + zj , en donde "zj" es la abscisa que en la normal tipificada corresponde a

un área a la izquierda (zj) = Pj

En el papel probabilístico en la escala vertical se lee Pj, y el papel

automáticamente representa "zj" . Si se va a utilizar papel milimetrado, el valor de

"zj" que corresponde a cada Pj hay que hallarlo previamente mediante la tabla

normal inversa, señalada como 3.b en el anexo.



Este procedimiento sin embargo, hoy en día está en desuso pues todos los

paquetes estadísticos proporcionan la gráfica en papel probabilístico.

Ejemplo con datos agrupados: Retomemos los datos relativos al contenido de

refresco de unas botellas , y cuyo análisis descriptivo ya se hizo en el capítulo

anterior , y cuyo ajuste a la normalidad ya fue verificado con la prueba chi -

cuadrado de bondad del ajuste.

Contenido ( cc ) Frecuencia

190 - 195 9

195 - 200 29

200 - 205 47

205 - 210 72

210 - 215 51

215 - 220 30

220 - 225 12

Para representar estos datos sobre el papel probabilistico, se calculan las

frecuencias relativas acumuladas:

Contenido ( cc ) fi H(Li)

190 - 195 9 3,60 %

195 - 200 29 15,20 %

200 - 205 47 34,00 %

205 - 210 72 62,80 %

210 - 215 51 83,20 %

215 - 220 30 95,20 %

220 - 225 12 100.00 %

Sobre el papel se llevan los puntos (Li , H (Li) ) , en donde Li representa el límite

superior del intervalo , y H (Li) su frecuencia relativa acumulada .



La gráfica no deja prácticamente lugar a dudas acerca de la normalidad del

proceso de llenado de las botellas , tal como lo había advertido el análisis

descriptivo, y lo había ratificado la prueba chi- cuadrado de bondad de ajuste.

En general, el uso del papel probabilistico con datos agrupados es mucho más

cómodo, pues resulta más facil la ubicación de los puntos dentro del gráfico.

OTRAS PRUEBAS DE HIPOTESIS IMPORTANTES EN EL CONTROL DE

PROCESOS

Para concluir este capítulo , el autor ha considerado oportuno incluir algunas otras

pruebas de hipótesis relativas a la Distribución Normal , donde a diferencia de las

anteriores lo que se quiere probar no es el ajuste a la Distribución Normal el cual

ya se da por válido, sino el valor de alguno de sus parámetros.

PRUEBA BILATERAL PARA LA MEDIA

Esta prueba se utiliza cuando se quiere probar que la media de un proceso ha

quedado correctamente calibrada en un valor especificado que llamaremos 0.

Ho : = 0

H1 : 0



Generalmente el valor especificado 0 ,es el punto medio de la especificación ,y

en ese caso la prueba pretende probar la hipótesis de que el proceso está

centrado , contra la alternativa de que está descentrado.

Como la varianza poblaciónal " 2 " es desconocida, la prueba debe ser hecha

con la Distribución t-Student, calculando el valor del estadístico "t" dado por:

t = 0X

nS

en donde:

0 = Valor especificado para la media de la Distribución.

X = Media de la muestra .

S = Desviación típica muestral =

i n2

i

i 1

(X X)

n 1

n = Tamaño de la muestra .

El valor crítico de estadístico "t" dependerá del nivel de significación seleccionado,

y se lee en las tablas de la Distribución t- Student, incluidas en el apéndice , con

(n-1) grados de libertad.

Se aceptará H0, en caso de que el valor del estadístico "t" resulte comprendido

entre - t 2

; n-1 y + t

2 ; n-1

; caso contrario se rechazará, es decir:

- t 2

; n-1 t t

2 ; n-1

Aceptar Ho

t < - t 2

; n-1 ó t > + t

2 ; n-1

Rechazar Ho

t 2

; n-1= Abscisa que en una t-Student con (n-1) grados de libertad deja a

la derecha un área 2

.



Ejemplo : El contenido medio de unas bolsitas de azúcar debe ser de 10 gramos.

Una muestra aleatoria de 10 bolsitas arrojó el siguiente contenido:

10.2 , 9.7 ,10.1 , 10.3 , 10.1 , 9.8 , 9.9 , 10.4 , 10.3 y 9.8 .

Asumiendo normalidad para el proceso de llenado, probar a un nivel de

significación del 1%, que el proceso esta correctamente calibrado.

Solución: Las hipótesis a probar son: H = 10 ( Calibracion correcta)

H : 10 ( Calibracion incorrecta)

0

1

:

Para la muestra se tiene: X = 10.06 , S=0.2459 .

El valor del estadístico t = 10.06 10

100.2459

= 0.77

En las tablas de la distribución t-Student , se encuentra que t0.005; 9= 3.25.

Como 0.77 cae en el intervalo [-3.25 , +3.25] , la conclusión es aceptar H0 , y por

tanto no existe una evidencia significativa para pensar que el proceso de llenado

esté incorrectamente calibrado .

Ejemplo propuesto : El punto de fusión de unos ciertos filamentos, debe ser de

exactamente 2.000 º C en promedio . Una muestra de 20 filamentos, dio por

resultado:

Fusión (ºC) Frecuencia

1940 - 1950 2 Asumiendo que el punto de fusión de

1950 - 1960 3 estos filamentos sigue una

1960 - 1970 4 Distribución Normal, ¿se puede concluir

1970 - 1980 5 a un nivel de significación del 5%, que

1980 - 1990 3 cumplen con la especificación ? .

1990 - 2000 2

2000 - 2010 1



Solución: t= -7.36 < -2.09 Rechazar H0. Existe evidencia significativa de que

no cumple con la especificación.

Otro aspecto muy importante con relación a esta prueba, es del tamaño de

muestra requerido.

Toda prueba estadística está sujeta a dos posibles errores conocidos como error

del tipo I y error del tipo II, que en este caso son rechazar una calibración correcta

y no detectar una calibración mal hecha, respectivamente.

En caso de que el proceso se desajuste y la media se corra a un nuevo valor 1

en lugar del especificado 0, la prueba debe tener una probabilidad alta de

detectarlo, y evidentemente cuanto más próximo esté 1 de 0, mayor será el

tamaño de muestra requerido.

El tamaño de muestra necesario, dependerá entonces del corrimiento que se

quiera detectar 1 - 0, y de las probabilidades de Error I ( ) y II ( ) que se fijen.

En el capítulo V sobre "Fundamentos Teóricos" , se obtiene la siguiente fórmula

que permite calcular el tamaño de muestra para la prueba bilateral de media:

n= ( )

( )

/z z

22 2

12

0

La dificultad práctica que presenta la aplicación de esta fórmula, es que en caso

de que no se tenga una varianza 2 conocida, es necesario estimarla

previamente, mediante el valor de S2 en muestras preliminares o pilotos, lo que

generalmente conduce a un proceso de aproximaciones sucesivas .

Ejemplo : Una máquina llenadora debe ser calibrada para que llene con un

contenido medio de exactamente 222 cm3.

Se quiere diseñar una prueba de calidad que detecte con una probabilidad de

0.90, ,una media de llenado de 213 cm3.

Asumiendo normalidad en el llenado, y que la desviación típica ha sido estimada

previamente en 14.2 cm3, ¿de qué tamaño debe ser dicha muestra para un nivel

de significación del 5%? , y ¿entre qué limites debe encontrarse la media de dicha

muestra, para poder aceptar como correcta la calibración ?.



Solución: Por ser una prueba con varianza conocida, ya no es necesario aplicar la

Distribución t-Student .

Las Hipótesis a probar son: H : = 222 Calibracion correcta

H : 222 Calibracion incorrecta

0

1

El tamaño de muestra se calcula por: n= ( )

( )

/z z

22 2

12

0

= 14.2 ; 1 = 213 ; 0 = 222 ; z0.025 = 1.96 ; z 0.10 = 1.282

n = (1.96 + 1.282) (14.2)2 2

( )213 222 2 = 26.16 27 envases

La hipótesis nula H0 es aceptada cuando: - z2

X -

n0

+ z2

es decir, cuando la media muestral X cae en el intervalo 02

z n

Para nuestro caso , el intervalo de aceptación es entonces:

222.00 1.96 14 2

27

. = 222.00 5.36 = [ 216.64 ; 227.36 ]

Lo anterior llevado a la práctica, significa que una vez que el técnico haya hecho

la calibración del proceso de llenado para que llene con una media de 222 cm3 , el

responsable de calidad , deberá verificar la calibración tomando una muestra de

27 envases , y en caso de que la media de esa muestra caiga en el intervalo

[216.64 , 227.36 ], se considerará la calibración como correctamente realizada ;

caso contrario, se rechazará .

Con el tamaño de muestra de 27 y el intervalo de aceptación [216.64, 227.36], la

probabilidad de rechazar una calibración bien hecha es de 0.05 , y la de aceptar

una calibración mal hecha a una media de 213 cm3 , es de 0.10 .



PRUEBA UNILATERAL DERECHA PARA LA VARIANZA DE UNA

DISTRIBUCION NORMAL

En muchos procesos industriales, interesa mantener controlada su desviación

típica, puesto que en caso de que ésta sobrepase el valor límite L Ls I

6, deja

de ser capaz , y el porcentaje de defectuosos puede incrementarse

considerablemente , aunque el proceso esté centrado .

Por esta razón, en el Control Estadístico de Procesos, la prueba más importante

para la varianza es la unilateral derecha, pues lo que se quiere es detectar

cuando la varianza excede un valor especificado.

Las Hipótesis son :

H

H

0

1

:

:

>

2 2

2 2

0

0

Las prueba de varianza se hace mediante el estadístico 2, definido por:

0

22

2

(n-1) S

siendo 0

2 el , el valor especificado para la varianza del proceso, y S2 la varianza

muestral calculada como : S2 =

i n2

i

i 1

(X X)

n 1

La decisión es aceptar Ho si 2 ;n 1

2 , o rechazarla si 2 > n-1;2

n-1;2 =Abscisa que en una Distribución chi- cuadrado con (n-1) grados de

libertad deja a la derecha un área " ".

Ejemplo : En el proceso de llenado de ciertas latas, se exige que la desviación

típica no exceda de 25 gramos, y con el objeto de mantenerlo controlado, se

toman muestras periódicas de 12 latas.

a) Si una de estas muestras arroja una desviación típica de 30 gramos. ¿Debe

detenerse el proceso? .



b) ¿Cual es el máximo valor que puede tomar la desviación típica de la muestra,

para no detener el proceso ? .

Asuma un nivel de significación del 5% .

Solución: Las hipótesis a probar son: H0: 25 No detener el proceso

H : > 25 Detener el proceso

2 2

12 2

Si en una muestra de 12 latas se encuentra S=30 , el valor del estadístico “ 2”

para esta muestra es : 2 = 211 (30)

625 = 15,84

En las tablas de la Distribución Chi- Cuadrado , con 11 grados de libertad se lee 2

0.05;11 = 19.68 , y como 2 < 19.68 Aceptar H0, se concluye que una muestra

de 12 latas , con una desviación típica muestral de 30 gramos , no constituye una

evidencia significativa para detener el proceso .

En cuanto al valor límite que puede tomar la desviación típica muestral sin detener

el proceso , tenemos que no se detiene cuándo: 2 =211 S

625 19.68

S2 1118,18 S 33,44 ..

Este valor representa el valor crítico para la desviación típica muestral, o lo que es

lo mismo, en el momento que una muestra arroje una desviación típica muestral

por encima del valor 33.44, existe una evidencia significativa para detener al

proceso.

Ejercicio Propuesto : Un proceso se supone normal, y su desviación típica no

debe exceder el valor 0.20 . Una muestra de 12 piezas fabricadas por este

proceso arroja los siguientes valores:

5.34 5.65 4.76 5.00 5.55 5.54

5.07 5.35 5.44 5.25 5.35 4.61

¿ Constituye esta muestra una evidencia significativa para detener el proceso? .

Use un nivel de significación del 1% .

Solución: 2 = 28.56 > 24.73 Existe evidencia significativa para detenerlo .



El cálculo del tamaño de muestra necesario una prueba de varianzas es mucho

más complicado que para el caso de la prueba de medias, debido a que requiere

tanteos y aproximaciones sucesivas . En el texto "Estadística para Ingenieros", de

los autores Albert Bowker y Gerald Lieberman, Editorial Prentice Hall

Internacional, pueden encontrarse en el Cap. VI (Pruebas de Hipótesis para un

solo parámetro), unos ábacos que permiten resolver el problema, mediante

procedimientos gráficos.

EJERCICIOS DE RECAPITULACION

1º) Una muestra de 104 tornillos seleccionados al azar de la producción de una

industria , dio el siguiente resultado:

Diámetro (mm) 15-17 17-19 19-21 21-23 23-25 25-27

Frecuencia 8 19 32 23 16 6

Utilice las diferentes pruebas de ajuste , y el papel probabilistico para decidir

acerca de la normalidad del proceso .

2º) El peso medio de las bolsas de cemento debe ser de 40 Kgs. Una muestra

aleatoria de 11 bolsas arroja una media de 39.30 Kgs., con una desviación típica

de 1,5 Kgs . ¿ Puede concluirse de esta muestra, que la empresa no cumple con

lo especificado ? . Asuma normalidad . = 0.05

Solución : t = -1.55 . No existencia evidencia significativa .

3º) Una máquina cortadora debe ser debe ser calibrada para que corte tubos con

una longitud media de 40 cms . En caso de que la calibración esté correcta, se

quiere tener una probabilidad de 0.95 de aceptarla , y en caso de que esté

corrida en 0.05 cms , se quiere tener una probabilidad de 0.90 de rechazarla .

Asumiendo normalidad ,y que la desviación típica en la longitud de los tubos es

de 0.15 cms ¿ qué tamaño de muestra se necesita ? .

Solución: n= 95



4º) En el proceso de producción de una cierta pieza mecánica sigue una Distribución Normal, pero se exige por razones de precisión, que la desviación típica del proceso no exceda de 0,10 centímetros, con apenas una probabilidad del 1%, de detener innecesariamente al proceso . Si una muestra aleatoria de 20 piezas arroja una desviación típica de 0,1061 cms. ¿Qué recomendaría Ud. : continuar o detener el proceso ? .

Solución: 2 = =21.39 < 36.19. Continuar.



CAPITULO III : GRAFICAS DE CONTROL

Cuando la prueba de ajuste a la normal es aceptada, se dice que el Proceso está

bajo control estadístico, es decir, que sobre él solo están actuando causas

comunes o aleatorias, y que la variabilidad encontrada entre las diferentes piezas

es una variabilidad natural, propia del proceso.

La condición de estar bajo control estadístico, no es sin embargo permanente en

el tiempo, y en cualquier momento pueden aparecer causas asignables como por

ejemplo un cambio en la materia prima, un error del operador, un desajuste en la

maquinaria , etc., que ocasionen una perturbación .

Un proceso puede dejar de estar bajo control estadístico por dos razones no

excluyentes, por un corrimiento de la media, por una variación en su desviación, o

por ambas.

Cualquiera de estas dos razones puede ocasionar que buena parte de la

producción caiga fuera de especificación . Las técnicas de Control Estadístico de

Procesos deben detectar a tiempo la presencia de estas causas asignables, a fin

de tomar las medidas correctivas requeridas.

Una manera de detectar la aparición de estas causas asignables es hacer

periódicamente, las pruebas de hipótesis para la media y para la desviación

estudiadas en el capítulo anterior, de forma que el rechazo de cualquiera de las

dos , indicará que el proceso se salió de control.

Sin embargo, este procedimiento no es práctico para el medio industrial, pues

requiere de un personal altamente adiestrado en el manejo de técnicas

estadísticas, y por este motivo es necesario entonces, desarrollar otra

metodología, que permita hacer estas pruebas de hipótesis de una manera más

práctica y permanente.

Por otro lado, cuando la prueba de ajuste es rechazada, existen entonces algunas

observaciones muestrales que fueron tomadas bajo condiciones atípicas de

operación .

Las pruebas de ajuste no proporcionan información acerca de cuáles de las

observaciones muestrales son las atípicas , y por lo tanto no permiten iniciar la

investigación que permita identificar la causa asignable que actuó sobre el

proceso .



Por las razones antes expuestas, se hace necesario entonces desarrollar una

metodología que alcance los siguientes objetivos:

1º) Identificar en la muestra inicial del proceso las observaciones atípicas, a fin de

excluirlas de la muestra una vez encontradas las causas asignables, y no

tomarlas en consideración para estimar los parámetros del proceso .

2º) Detectar a tiempo anormalidades en el proceso , tanto corrimientos de la

media , como incrementos en la desviación por encima de sus límites naturales,

para impedir la producción de piezas fuera de especificación.

Las Gráficas de Control por variables vienen a ser la herramienta que permite

alcanzar estos objetivos.

Es importante aclarar que existen dos tipos de Gráficas de Control: por variables y

por atributos. Las gráficas por atributos se utilizan para controlar el porcentaje de

defectuosas, o el número de defectos, dentro de sus límites naturales, y detectar

a tiempo cualquier incremento significativo de cualquiera de ellos. Estas gráficas

no son de utilidad para los estudios de capacidad del proceso.

Las gráficas de control por variables se aplican exclusivamente cuando la

característica de calidad puede ser expresada mediante una variable cuantitativa

continua.

Un diagrama de control por variables es esencialmente una prueba de la hipótesis

para verificar que el proceso está bajo control estadístico .

GRAFICA DE CONTROL PARA UN PROCESO BAJO CONTROL ESTADISTICO



La gráfica está formada por dos zonas ; la de arriba se refiere a los límites de

control para la media , la cual tiene dos bandas una superior y otra inferior, debido

a que la prueba de hipótesis para la media es bilateral , y por lo tanto se rechaza

cuando la muestra cae por debajo del límite inferior L.C.L (Abreviatura del inglés

Lower Control Limit) , o por arriba del límite superior U.C.L (Upper Control Límit) .

La línea central representa el punto en donde se estima que está ubicada la

media del proceso.

La zona de abajo representa el límite de control para la desviación del proceso,

(generalmente se muestra en forma separada a la primera), y sirve para detectar

el momento en que la variación del proceso se ha modificado de manera

significativa.

Cuando se toma una muestra del proceso, se le calcula su media y su desviación

( generalmente se toma el rango muestral como medida de dispersión), y cuando

ambos valores caen dentro de sus respectivos límites de control , lo que estamos

haciendo es aceptar la hipótesis de que el proceso está bajo control estadístico .

Cuando una muestra arroja un valor de la media muestral que se sale de sus

límites de control , la gráfica nos advierte sobre la presencia de alguna causa

asignable que ha provocado un corrimiento de la media.

Cuando la muestra arroja una desviación fuera de sus límite de control, la gráfica

detecta una causa asignable que ha modificado la desviación del proceso . Una

modificación por encima del límite superior debe ser motivo de preocupación,

pues hace al producto mas heterogéneo y debe ser erradicada ; mientras que

una modificación por debajo del límite inferior (en caso de que exista) es

beneficiosa para el proceso , pues lo hace más homogéneo, y de allí que sea

importante detectar la causa asignable, para convertirla en un factor permanente

dentro del proceso.

Como toda prueba de hipótesis, la gráfica de control está sujeta a dos posibles

errores:

Error tipo I : Rechazar una hipótesis verdadera , que este caso significa concluir

que el proceso está fuera de control cuando en realidad no lo está.

Error tipo II : Aceptar una hipótesis falsa, que en este caso significa concluir que el

proceso esta bajo control cuando en realidad no es así.

Generalmente las gráficas de control se diseñan para una probabilidad de error

tipo I muy baja, de apenas 0.27% , pues son del tipo ± 3 , y por tanto la

probabilidad de que la muestra caiga entre los límites cuando en realidad el

proceso está bajo control es de 99.73% . (En la práctica es frecuente decir que



estas probabilidades son de 99% para la aceptación de un proceso bajo control, y

de 1% para el rechazo de un proceso bajo control) .

La razón por la cual las gráficas se diseñan para una probabilidad tan baja de

error tipo I , es porque se considera que este error es muy grave para la

producción, pues ocasionaría la paralización del proceso sin que exista un motivo

real para ello ; y por este argumento se quiere tener la casi absoluta certeza de

que cuando la muestra se salga de alguno de los límites de control es debido a

que existe una evidencia muy significativa de que una causa asignable lo está

perturbando.

Como la probabilidad de error tipo I es muy baja, la del tipo II puede resultar

relativamente alta , especialmente cuando la muestra es pequeña, y por ello

ocasionalmente puede ser útil representar la curva de operación , para saber la

probabilidad que tiene el diagrama de control de detectar cambios en el proceso.

Para una mayor información acerca del procedimiento para construir esta curva

OC para los diagramas de control por variables , el lector puede consultar el

Cap.21 del texto "Control de Calidad y Estadística Industrial" , del autor Acheson

J. Duncan .

TIPOS DE GRAFICAS DE CONTROL POR VARIABLES

En la prueba de Geary para verificar el ajuste a la normalidad , se vio que la

desviación típica de una normal tiene diversos estimadores.

Otro estimador del parámetro " " de una Distribución Normal, que no fue

mencionado en aquella oportunidad, es el basado en el Rango Muestral .

El Rango de la muestra es una medida de variabilidad , que se define como la

diferencia entre el máximo y el mínimo valor muestral.

R = Máximo { X1 , X2 , X3, ....,Xn} - Mínimo { X1 , X2 , X3, ....,Xn}

En el capítulo de Fundamentos Teóricos, se analiza que el Rango de la muestra

es una variable aleatoria, cuyo valor esperado es proporcional es a la desviación

típica de la población: E ( R) = d2 .

El coeficiente "d2 " representa la constante de proporcionalidad, y se encuentra en

unas tablas , que más adelante consideraremos.



En base a este resultado, si toman "k" muestras de igual tamaño , y R1 , R2 , R3,

....,Rk, son sus respectivos rangos, entonces "el rango medio" " R " , puede

utilizarse como estimador del valor esperado del Rango Muestral, y a partir de él

obtener la estimación de " " , es decir: R = R R R

k

k1 2 =

R

k

i

i

i k

1 = E(R)

E(R) = R = d2 = R

d2

El uso del "Rango Medio" para estimar " " tiene la ventaja de su sencillez de

cálculo , ya que para calcular el rango solo hace falta localizar en la muestra el

mayor y el menor valor.

Si el tamaño de muestra es pequeño , la estimación de la varianza poblacional " 2

" a partir del "Rango Medio" , es casi tan buena como la obtenida a partir del

estimador insesgado convencional : 2 1

1

(Xi X)2

i

i n

n

La tabla siguiente muestra la eficiencia relativa en la estimación de" 2 " por el

método del "Rango Medio", en comparación con la estimación insesgada

convencional , para varios tamaños de muestra :

n 2 3 4 5 6 10

Eficiencia relativa 1.000 0.992 0.975 0.955 0.930 0.850

Para n > 10 , la estimación de " 2" a partir del "Rango Medio" , pierde

rápidamente su eficiencia , pues el "Rango muestral" no es un estimador

suficiente , al no tomar en consideración toda la información muestral

comprendida entre el mínimo y el máximo valor .

De todo lo anteriormente expuesto, podemos concluir entonces que la estimación

del parámetro poblacional " " , indispensable para poder estimar la Capacidad del

Proceso, puede hacerse de varias maneras , siendo las más importantes , la

estimación a partir del "Rango Medio" , y la estimación a partir de la "Varianza

Muestral" .

Estas dos formas de estimación dan lugar a dos tipos de Gráficas de Control por

variables, que se conocen como ( X , R) y ( X , S) según se utilice el rango



muestral "R" o la desviación típica muestral "S" respectivamente, como medida de

la dispersión del proceso.

En la práctica las gráficas ( X , R) son mucho más utilizadas por la sencillez en

el cálculo de "R" en comparación con el de "S" , y porque al tomar tamaños de

muestra pequeños , la eficiencia de ambos estimadores es prácticamente la

misma.

CONSTRUCCION DE LA GRAFICA ( X , R )

La construcción de una gráfica ( X , R ) se inicia con la toma de muchas muestras

pequeñas (20 como mínimo) , de igual tamaño provenientes del proceso .

Cada una de estas muestras se denomina "subgrupo", y suelen ser de 4, 5 ó 6

observaciones cada una.

Lo anterior significa entonces que para iniciar la construcción de la gráfica es

necesario tomar alrededor de unas 80 observaciones como mínimo del proceso,

las cuales son el resultado de 20 subgrupos cada uno de tamaño 4.

Existen varios razones que justifican el uso de subgrupos , en lugar de tomar una

sola muestra aleatoria más grande , digamos de 80, en instantes al azar.

Entre estas razones las más importantes son:

a) El subgrupo es más homogéneo, pues las 4,5 ó 6 observaciones de cada

subgrupo corresponden a un mismo instante.. Por tanto las variaciones en el

proceso a lo largo del tiempo, son detectadas con mayor facilidad mediante la

variación entre las medias de los diferentes subgrupos .

b) Es preferible tomar muestras pequeñas varias veces, que tomar una muestra

grande rara vez, pues cuando la muestra cae "fuera de control", se puede

identificar más fácilmente la causa asignable que actuó.

Con respecto a la elección de los subgrupos, el criterio básico es que se deben

formar de manera que dentro de cada subgrupo deba existir homogeneidad, pero

que a la vez exista mucha probabilidad de variación de un subgrupo a otro.

A continuación se cita un pensamiento de W.A. Shewhart , creador de la "Teoría

de los Gráficos de Control" , y que ilustra el principio anterior:



« El objetivo final es no solamente detectar las dificultades sino también encontrarlas, y tal

descubrimiento naturalmente implica clasificación. El ingeniero que tiene éxito al dividir

sus datos inicialmente en subgrupos racionales, lo estará haciendo mejor inherentemente, a

largo plazo, que quien no realice esto convenientemente.»

En la práctica, el criterio que más comúnmente se utiliza para la formación de

subgrupos, es el del orden de producción, tomando cada subgrupo como

representante de la producción de lapsos de tiempo lo más cercanos posibles

como hora, turno, día , etc. , o como representante de lotes producidos bajo

idénticas condiciones de materia prima, maquinarias, operarios , etc., logrando así

una probabilidad máxima de que las observaciones dentro de un mismo subgrupo

sean muy parecidas, y que diferencias en el comportamiento del proceso , puedan

ser rápidamente detectadas mediante diferencias entre los subgrupos.

Una vez tomadas las muestras de cada subgrupo, el paso siguiente es determinar

los límites de control aplicando el siguiente procedimiento:

1º) Se calcula para subgrupo su media y su rango muestral.

2º) Se calcula la media de las medias denominada "Gran Media" , y la media de

los Rangos denominado "Rango Medio ".

Es decir , que si inicialmente se tomaron "k" subgrupos ( k 20 ) , para cada uno

se calcula el par (X i, R i) , y luego:

Gran Media = X = X1 2 3X X X

k

k ; Rango Medio = R =

R R R

k

k1 2

3º) Se calculan los límites tentativos de control mediante las siguientes

expresiones:

Para la media:

Límite de Control Superior = U C L. . X = X + A2 R

Límite de Control Inferior = L C L. . X = X - A2 R

Línea Central = X



El valor de A2 depende del tamaño "n" del subgrupo, y se lee en la tabla del

Anexo.

Para el Rango:

Límite Superior de Control = U C LR. . = D4 R

Límite Inferior de Control = L C LR. . = D3 R

Línea Central = R

Los valores de D3 y D4 se obtienen también en la tabla del Anexo.

Ejemplo: En una industria Farmacéutica se producen pastillas, y para estudiar el

proceso se toman 20 muestras de 5 pastillas cada una.

El resultado del muestreo se da en la tabla a continuación:

Para construir la Gráfica de Control se procede como sigue:

1º) En primer lugar, a cada una de la muestras se le calcula su media y su rango.



El resultado de dichos cálculos es el siguiente:

Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Media 5.10 4.98 5.02 4.96 4.96 5.04 4.94 4.92 4.92 4.98

Rango 0.3 0.4 0.2 0.4 0.1 0.1 0.8 0.5 0.3 0.5

Nº 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Media 5.10 5.00 4.86 4.88 4.92 4.84 4.98 5.00 5.14 5.00

Rango 0.4 0.2 0.2 0.3 0.1 0.5 0.2 0.3 0.3 0.6

2º) Calcular la media de las medias o "Gran Media " , y el "Rango Medio" .

Gran Media = X = 4.977

Rango Medio = R = 0.3350

3º) Calcular los Límites de Control .

En la tabla de coeficientes para los límites de control, se lee que para n=5 como

tamaño del subgrupo:

A2= 0.577 ; D3= 0 ; D4= 2.114

U C L. . X = X + A2 R = 4.977 + 0.577 ( 0.33350) = 5.17

L C L. . X = X - A2 R = 4.977 - 0.577 ( 0.33350) = 4.78

Línea Central = X = 4.977

U C LR. . = D4 R = 2.114 ( 0.3350 ) = 0.71



L C LR. . = D3 R = 0

Línea Central = R = 0.3350

4º) Dibujar la Gráfica de Control , ubicando sobre ella los límites de control, la

línea central , y los diferentes puntos muestrales.



En el capítulo de "Fundamentos Teóricos" , se encuentra la justificación de este

procedimiento para encontrar los límites de control .

ANALISIS DE LA GRAFICA ( X , R )

Una vez que el diagrama ha sido construido, pueden ocurrir una de las siguientes

dos situaciones:

1º) Que todos los puntos muestrales , tanto del gráfico para la media , como

del gráfico para el rango , caigan dentro de los límites de control .

De producirse esta situación , concluimos que no existen evidencias significativas

para rechazar la hipótesis de que el proceso se encuentra bajo control estadístico,

y podemos iniciar el "Análisis de Capacidad" propiamente dicho .

Para hacer este análisis tendremos que estimar los parámetros del proceso a

partir del gráfico, y compararlos con las especificaciones del producto, con el

objeto de determinar si es capaz de cumplirlas.

El procedimiento a seguir se explica con detalles, en el capítulo siguiente.

Sin embargo, dado que el gráfico de control es en el fondo una prueba de

hipótesis con una probabilidad relativamente alta de error tipo II , el hecho de que

todos los puntos muestrales caigan entre los límites de control , no lo podemos

interpretar como la absoluta certeza de que el proceso se encuentra bajo control

estadístico, y existen ciertos detalles que podrían ser interpretados como signos

de falta de control .

Algunos de estos síntomas son:

a) Tendencias o desplazamiento continuo en una dirección , tanto de la media

como del rango .

Cuando el proceso esta bajo control debe observarse aleatoriedad, en la

ubicación de uno u otro lado de su respectiva línea central.

Si se observa una tendencia tanto creciente como decreciente de la media

muestral , esto podría interpretarse como desgaste de una maquinaría .

Siete o más puntos consecutivos de un mismo lado, 10 de 11 , ó 12 de 14

constituyen una seria sospecha de que el proceso está fuera de control .



Cálculos hechos con la Distribución Binomial permiten demostrar que para un

proceso bajo control, la probabilidad de ocurrencia de cualquiera de estas

situaciones es menos de 1% , y que por lo tanto su aparición puede interpretarse

como que el proceso está fuera de control.

Existen pruebas estadísticas, que permiten verificar la aleatoriedad de los puntos

muestrales .

b) Existencia de patrones cíclicos, que revelen que cada cierto tiempo se produce

un cambio en la ubicación de los puntos con respecto a la línea central.

Tal comportamiento puede ser el reflejo de situaciones cíclicas, tales como fatiga

o rotación de los operarios , cambios de turno , encendido y apagado de

maquinarias , ciclos de mantenimiento, de inspección, de producción , etc.

c) Correlación entre los valores de la media y del rango .

Cuando el proceso está bajo control, el valor de la media y el rango para una

misma muestra son independientes. Por lo tanto , si ambos valores para una

misma muestra se ubican siempre a un mismo lado de su respectiva línea central,

podría inferirse que no existe tal independencia, y que alguna causa asignable

está actuando.

Por esta razón, entre otras, las gráficas de medias y la de rangos no pueden ser

analizadas en forma aislada, sino conjuntamente.

Existen también pruebas estadísticas que permiten probar la hipótesis de

ausencia de correlación entre los valores de la media y el rango .

Algunos autores sugieren el uso de límites de advertencia para la media , los

cuales son construidos para ± 2 , y pueden ser utilizados para tomar medidas

correctivas tempranas , aunque la muestra no se haya salido de los límites de

control .

Los límites de advertencia se calculan con las expresiones:

Límite de Advertencia Superior: X + 2

3 A2 R



Límite de Advertencia Inferior : X - 2

3 A2 R

2º) Que alguno de los puntos muestrales se salga de los límites de control .

De producirse esta situación , el gráfico ha detectado que presumiblemente

alguna causa asignable ha actuado sobre el proceso, y debe iniciarse una

investigación que concluya en su identificación .

Para efectuar esta investigación se requiere de conocimientos técnicos y de la

ingeniería del proceso, y es un asunto que no se resuelve por medio de la teoría

estadística .

Para realizarla es necesario contar con archivos, registros y planillas de

producción muy bien elaboradas , que permitan al investigador llevar a cabo un

seguimiento muy minucioso acerca de las materias primas , maquinarias y

operarios que actuaron sobre cada subgrupo.

De allí la importancia de clasificar las muestras en subgrupos, y también la

enorme insistencia que hacen las Normas ISO-9000 , acerca de la necesidad de

llevar procedimientos escritos para las diferentes etapas del proceso de

producción.

Una vez que la investigación logre identificar la causa por la cual , una

determinada muestra se salió de alguno de los límites de control, esa muestra

puede ser excluida del conjunto de datos , y de nuevo hay que recalcular los

nuevos límites de control con los datos restantes , hasta lograr que el proceso

quede bajo control estadístico .

De no encontrarse la causa , es posible que la muestra haya incurrido en error del

tipo I , pero dada la probabilidad tan baja del mismo , tal situación no debería

ocurrir más de 2 ó 3 veces de cada 1000.

Así por ejemplo, si regresamos al caso anterior , encontramos que la muestra Nº7

se salió de control en el rango.

Suponiendo que se logró identificar la causa asignable que ocasionó tal situación,

podemos eliminar la muestra Nº7 , y recalcular la " Gran Media" , y el "Rango

Medio" para las 19 muestras restantes, encontrando :

Gran Media = X = 4.98

Rango Medio = R = 0.31



y los nuevos límites de control :

U C L. . X = X + A2 R = 4.98 + 0.577 ( 0.31) = 5.16

L C L. . X = X - A2 R = 4.98 - 0.577 ( 0.31) = 4.80

Línea Central = X = 4.98

U C LR. . = D4 R = 2.114 ( 0.31 ) = 0.65

L C LR. . = D3 R = 0

Línea Central = R = 0.31

y las nuevas gráficas resultan ser:

GRAFICA CORREGIDA PARA LA MEDIA

GRAFICA CORREGIDA PARA EL RANGO



Una vez que se ha logrado controlar el proceso , ya estamos en condiciones de

estimar los parámetros del proceso e iniciar la estimación de capacidad.

Ejemplo Propuesto: La longitud total del cuerpo de un encendedor de cigarrillos

para automóvil se controla empleando gráficas ( X , R) .

La siguiente tabla da la longitud para 20 muestras de tamaño 4 cada una ( las

mediciones se codifican a partir de 5.00 mm ; esto es , 15 significa 5.15 mm)

Calcule los límites de control , y analice si el proceso se encuentra bajo control .



Solución : Límites para la media = 10.71 ± 4.89

Límites para el rango : [ 0 ; 14.14] . Proceso bajo control.

CONSTRUCCION DE LA GRAFICA ( X , S )

Hemos visto que cuando el tamaño de muestra es mayor que 10 , la estimación

de “ 2" a partir del rango medio pierde eficiencia, en comparación con la

estimación insesgada 2 1

1

(Xi X)2

i

i n

n .

Por este motivo, cuando el tamaño de los subgrupos es mayor que 10 , es

preferible el uso del diagrama ( X , S ) en lugar del ( X , R ).

Para la construcción de esta gráfica, se utilizara como estimador de “ 2” al

insesgado, designado como “S2” y definido por la expresión siguiente:

S2 =

( )X Xi

i

i n

n

2

1

1 S =

( )X Xi

i

i n

n

2

1

1

Los objetivos de un diagrama ( X , S ) son los mismos que los de un ( X , R), con

la única diferencia que utiliza la desviación típica muestral "S" como medida de la

dispersión del proceso, en lugar de utilizar al rango muestral "R".

Su construcción parte también de "k" muestras cada una de tamaño "n", y para

cada una es necesario calcular su media y su desviación típica muestral.

Posteriormente se calcula "la gran media" , y la media de las desviaciones típicas

muestrales que designaremos por S .

Los límites de control vienen dados por:



Para la media:

Límite de Control Superior = U C L. . X = X + A3 S

Límite de Control Inferior = L C L. . X = X - A3 S

Línea Central = X

El valor de A3 depende del tamaño "n" del subgrupo, y se lee en la tabla del

Anexo .

Para la Desviación Típica:

Límite Superior de Control = U C LS. . = B4 S

Límite Inferior de Control = L C LS. . = B3 S

Línea Central = S

Los valores de B3 y B4se obtienen también en la tabla del Anexo.

En caso de calcular " S2" con denominador "n" en lugar de "n-1" , los coeficientes

A3, B3 y B4 cambian por A1 , B1 y B2 respectivamente .

En el capítulo de "Fundamentos Teóricos" se incluye una explicación detallada

acerca del origen de estos coeficientes .

Existen también gráficos ( X , S) para subgrupos de diferente tamaño, pero en

general su empleo es mucho menos conocido en la industria, que los ( X , R )

por la complejidad de los cálculos que requiere su construcción , y porque solo se

justifica su uso cuando por razones técnicas se considera que el tamaño de los

subgrupos debe ser relativamente grande , situación ésta poco frecuente por el

alto costo que representa.

Ejemplo: Supongamos que la tabla siguiente representa el contenido en gramos

de unas latas de puré de tomate, y que se tomaron 25 muestras cada una de

tamaño 10 .

Cada muestra fue tomada en diferentes días , y se quiere analizar mediante una

gráfica ( X , S ), si el proceso se encuentra bajo control.



Para construir la gráfica, comenzamos por calcularle a cada una de las 25

muestras su media y su desviación típica muestral.

A continuación se da el resultado de estos cálculos:

Muestra Nº X S Muestra Nº X S

1 531.30 4.86 14 531.51 5.21

2 527.79 4.90 15 532.91 4.28

3 528.00 4.69 16 530.79 6.19

4 532.55 4.19 17 527.16 4.61

5 533.17 3.11 18 529.20 4.74

6 532.83 2.76 19 530.03 6.40

7 533.65 3.85 20 531.11 5.15

8 530.83 6.05 21 530.10 4.82

9 530.78 4.29 22 529.99 4.82

10 530.25 3.52 23 529.64 6.20



11 533.33 5.35 24 530.37 3.24

12 530.91 4.32 25 530.24 3.54

13 532.89 5.27

Luego se procede a calcular la "Gran Media" y "La desviación típica promedio"

X = 530 .85 ; S = 4.65 ; y de allí los límites de control:

U C L. . X = 530.85 + 0.975 ( 4.65 ) = 535.38

Para la media: Línea Central = 530.85

L C L. . X = 530.85 - 0.975 ( 4.65 ) = 526.32

U C LS. . = 1.716 ( 4.65 ) = 7.98

Para la Desviación Típica: Línea Central = 4.65

L C LS. . = 0.284 ( 4.65 ) = 1.32

Por último se traza la gráfica , y se procede a ubicar dentro de ella a cada una de

los 25 puntos muestrales

GRAFICA DE CONTROL PARA LA MEDIA MUESTRAL



GRAFICA DE CONTROL PARA LA DESVIACION TIPICA MUESTRAL

Por los resultados obtenidos se infiere que el proceso se encuentra bajo control ,

y podemos iniciar la estimación de capacidad.



CAPITULO IV : ANALISIS DE LA CAPACIDAD DEL PROCESO

En el capítulo anterior se analizó la metodología para encontrar los límites de

control, tanto la media como para la variabilidad del proceso.

Estos límites se suelen llamar "Límites de control del proceso" , y representan la

forma como históricamente ha venido operando , puesto que han sido obtenidos

a partir de observaciones durante un período prolongado de tiempo.

El lapso de tiempo que sirvió para construir la gráfica de control, se suele llamar

"Período base o de referencia ", y la gráfica de control se usa para detectar

cambios en el comportamiento del proceso con relación a ese período.

Ahora bien , el hecho de que un proceso se encuentre bajo control , no significa

en ningún momento que está produciendo piezas acordes con las

especificaciones que le son impuestas ; lo que significa es simplemente que se

está comportando de la forma como tradicionalmente lo ha venido haciendo, y

que sobre él no están actuando causas asignables .

Es necesario entonces distinguir entre "Límites del Proceso" , y "Límites de

especificación", puesto que representan conceptos muy diferentes .

La diferencia principal entre uno y otro concepto radica en que , los límites del

proceso se aplican a muestras provenientes del proceso, y sirven para detectar

cambios significativos en su comportamiento ; mientras que los límites de

especificación se aplican para cada pieza individualmente, y representan las

dimensiones que debe cumplir para satisfacer los requerimientos de calidad.

Generalmente los límites de especificación vienen dadas por condiciones

externas al proceso , tales como exigencias del consumidor , normas nacionales

o internacionales etc., y de allí que no necesariamente exista relación entre ellas

y los límites del proceso.

Obviamente un productor que pretenda cumplir con las condiciones de calidad

impuestas externamente, debe tratar de conciliar las características de

producción del proceso con las especificaciones, y de allí nace la necesidad de

los estudios de capacidad.

En el Capítulo I, se vieron ya algunos conceptos relativos a la capacidad de

procesos, entre los cuales es conveniente recordar:

Proceso Capaz : Aquel donde 6 LS - LI.



Proceso Centrado : Aquel donde = L LS I

2

Proceso corrido o Descentrado : Aquel donde : L LS I

2

En donde:

µ = Media Poblacional del Proceso .

= Desviación Típica Poblacional del Proceso.

LS= Límite superior de la especificación .

LI = Límite inferior de la especificación .

" LS " y " LI " son evidentemente valores conocidos, pues vienen dados por las

especificaciones ; pero los parámetros poblaciones "µ" y " " para el proceso son

desconocidos , pues no es posible examinar a todas las piezas.

Se plantea entonces la pregunta : ¿cómo estimarlos ? .

Una posible respuesta a esta pregunta es utilizar los estimadores estudiados en

el Capítulo II, en donde se vió que los estimadores convencionales para "µ" y " "

son " X " y ''S" respectivamente .

Sin embargo , estimar así los parámetros poblacionales , exige suponer que en

los diferentes instantes en que fueron tomadas las observaciones , las

condiciones de operación del proceso eran las mismas.

Si se toman "k" muestras de tamaño "n" cada una , no es teóricamente correcto

fundirlas todas en una sola muestra de k n observaciones, y estimar " " a

partir de ella, mediante el cálculo de "S" en esa muestra fundida .

Este procedimiento no es correcto, pues mediante una simple descomposición

de la suma de cuadrados de las desviaciones, se puede demostrar fácilmente

que si existen diferencias entre los subgrupos, la estimación de " " se verá

afectada por tales diferencias. Una explicación más detallada de esta situación

puede encontrarse en los textos de Inferencia Estadística , en el Capítulo de

Análisis de la Varianza , Clasificación Simple .

Por las razones antes expuestas, al estimar los parámetros poblacionales es

necesario garantizar que las diferentes muestras fueron tomadas bajo las

mismas condiciones de operación del proceso, y de allí el requisito de que para



iniciar el análisis de capacidad, el diagrama de control debe mostrar la ausencia

de causas asignables.

ESTIMACION DE LOS PARAMETROS DEL PROCESO A PARTIR DEL

GRAFICO DE CONTROL

La capacidad del proceso depende obviamente de las especificaciones, y de los

parámetros poblacionales "µ" y " " .

Las especificaciones afectan a la capacidad del proceso , pues en la medida en

que sean más estrechas más difícil le resultará al proceso cumplirlas , y

viceversa, en la medida en que sean más amplias , mayor será la probabilidad

de cumplirlas.

La media poblacional "µ" afecta la capacidad del proceso (véase Pag. 11) , pues

el porcentaje de piezas que cumplirán con la especificación no es el mismo en

cuando el proceso esté centrado , que en el caso de un proceso con media

desplazada o corrida .

La desviación típica poblacional " " , afecta la capacidad del proceso pues

cuanto menor sea su valor, menor será el margen de variabilidad de las piezas

, y mayor la probabilidad de cumplir con la especificación, en caso de que el

proceso esté centrado.

De lo anterior concluimos entonces que para estimar la capacidad del proceso

hay que comenzar estimando sus parámetros poblacionales "µ" y " " .

En el Cap. III Pag.49 , vimos como en un Gráfico de Control ( X , R) , se puede

utilizar el rango medio " R " como un estimador del parámetro poblacional " "

mediante la expresión: = R

d2

El coeficiente d2, depende del tamaño de muestra y su valor numérico se

encuentra en el Anexo , en la Tabla de "Constantes para las Gráficas de Control"

.

En el caso de un Gráfico de Control ( X , S) , la estimación del parámetro

poblacional " " se hace a partir de la "Desviación típica muestral promedio"

designada como "S" , mediante la expresión: = R

c4 .

El valor numérico del coeficiente c4, para distintos tamaños de muestra se lee

también en la misma Tabla de "Constantes para las Gráficas de Control" .



El origen de estos coeficientes "d2 " y "c4 " , así como la justificación del método

de estimación, se encuentra en el Capítulo V de “Fundamentos Teóricos” .

En lo que respecta a la estimación del parámetro poblacional "µ" , ésta se hace

para los dos tipos de diagramas de control, a través de la "Gran Media" : = X .

Ejemplo : En el capítulo anterior se construyó una Gráfica de Control ( X , R)

para el peso de las pastillas de una Industria Farmacéutica, y se encontró que el

proceso estaba "fuera de control" , pues una de las muestras quedó fuera de los

límites . Una vez hecha la investigación de rigor , y bajo el supuesto de que se

detectó la causa asignable, se procedió a recalcular los nuevos límites de control

. Para el proceso bajo control : X = 4.98 , R = 0.31

En la Tabla de Constantes para las Gráficas de Control , se encuentra que para

un tamaño de subgrupos de n=5 , d2= 2.326 , y por tanto los parámetros

estimados del proceso son : = 4.98 , = 0 31

2 326

.

.= 0.1333

Ejemplo : En el capitulo anterior se construyó una Gráfica de Control ( X , S) para

el contenido de unas latas de puré de tomate.

Para el proceso bajo control : X = 530.85 , S = 4.65

En la Tabla de Constantes para las Gráficas de Control , se encuentra que para

un tamaño de subgrupos de n=10 , c4= 0.9727 , y por tanto los parámetros

estimados del proceso son : = 530.85 , = 4 65

0 9727

.

. = 4.78.

Ejemplos Propuestos :

1º) A partir de muchas muestras de seis soldaduras cada una, se determinó que

el rango medio de las resistencias al esfuerzo cortante de un cierto tipo de

soldadura por puntos, fue de R = 35 kN/m2 .

a) Establezca los límites de control para el rango.

b) Suponiendo que el proceso está bajo control , estime la desviación típica del

proceso .

Solución: a ) [ 7.4 ; 77.7 ] b) =13.81



2º) El diámetro de unos vástagos va a ser controlado mediante el uso de un

diagrama ( X , S).

Se tomaron 25 muestras de tamaño 10 cada una, se computaron los valores de

X y S para cada una de ellas, y se obtuvo : Xi

i

i

1

25

= 615.6 ; Si

i

i

1

25

= 8.60 .

a) Calcule los límites de control .

b) Suponiendo que el proceso se encuentra bajo control , estime sus parámetros

.

Solución : a ) Límites para X : [ 24.29 ; 24.96 ] . Para S : [0.10 ; 0.59]

b) = 24.62 ; = 0.35 .

ANALISIS DE LAS ESPECIFICACIONES

Una vez que el proceso se encuentra bajo control , y que sus parámetros han

sido estimados, por el procedimiento explicado anteriormente , el paso siguiente

es comparar el resultado de esta estimación con las especificaciones .

Antes de hacer este análisis de especificaciones es conveniente revisar algunos

conceptos previos , muchos de los cuales ya han sido mencionados a lo largo de

esta obra , pero que dada su importancia es necesario volver sobre ellos, a fin

de evitar falsas interpretaciones .

Se llama especificación al valor numérico que una cierta característica de

calidad debe cumplir , para que se considere al producto como satisfactorio .

Generalmente las especificaciones son bilaterales, es decir, que establecen dos

límites ; así por ejemplo , cuando decimos que el diámetro de un eje debe

cumplir con la especificación (12.00 ± 0.25 ) mm , esto significa que para que el

eje sea aceptable su diámetro debe caer en el intervalo [11.75 ; 12.25 ] mm.

En algunos otros casos , la especificación puede ser unilateral, como es por

ejemplo, la que se refiere a la resistencia mínima que debe tener un material.

El concepto más importante con relación a una especificación, es que los

valores que ella establece se aplican para cada pieza individualmente, y no al

promedio de una muestra o subgrupo .



Así por ejemplo , si una muestra de 4 ejes arroja un diámetro medio de por

ejemplo 12.10 mm ; esto no significa que ni que la muestra cumple con la

especificación , ni que los 4 ejes la cumplen .

Por el contrario, es posible que ninguna de los 4 ejes cumpla con la

especificación , como sería por ejemplo el caso de una muestra con diámetros

de 11.70 , 11.72 , 12.40 y 12.58 , en donde ninguno cae en el intervalo

requerido por la especificación , y la media muestral sí.

Para los estadísticos muestrales, como la media, el rango, etc., aplican los

límites de control, y jamás los límites de especificación .

La situación anteriormente descrita es una fuente enorme de confusión , cuando

se utilizan gráficas de control en operaciones de producción , pues muchas

veces se cree que los límites de control son los mismos límites de

especificación.

Por esta razón , no es recomendable trazar las especificaciones sobre la gráfica

de control para " X " , pues existe una tendencia natural a comparar el promedio

del subgrupo con los límites de especificación individuales.

Otra mala interpretación opuesta a la anterior, es comparar el valor individual

con los límites de control para la media , y pensar que existen problemas

cuando uno de esos valores individuales cae fuera de los límites para la media .

Otro concepto que suele crear confusión, es el que se refiere a que un proceso

bajo control puede producir piezas que no cumplan con la especificación , pues

si su media no está correctamente centrada , o si su desviación es considerable

, un porcentaje importante de la producción puede salirse de la especificación .

El personal no familiarizado con estos conceptos puede inclusive llegar a sentir

frustraciones al preguntarse : ¿ Para qué usar estas gráficas que me indican que

el proceso está bajo control , y sin embargo obtengo un porcentaje apreciable de

piezas defectuosas ? .

El Dr. W. Edwards Deming , en su libro " Calidad , Productividad y

Competitividad. La salida de la crisis " Cap.11 , da numerosos ejemplos sobre

falacias en la interpretación de las Gráficas de Control , y dice textualmente en la

Pag. 259 : « Los límites de la especificación no son límites de actuación. De hecho,

tienen lugar grandes pérdidas cuando un proceso se está ajustando continuamente en un

sentido y luego en otro, para cumplir las especificaciones . Curiosamente un proceso

puede que esté en control estadístico, y esté produciendo el 10% de artículos defectuosos,

y hasta incluso el 100% » .



De todo lo anteriormente expuesto, debemos estar claros entonces que el

objetivo fundamental del Gráfico de Control es el conocimiento del proceso bajo

condiciones estables de operación , y que el análisis de especificaciones y

posteriormente el estudio de capacidad , constituyen la herramienta para

determinar si el proceso puede o no cumplir las especificaciones .

Para iniciar el análisis de especificaciones , debemos establecer los límites

naturales de variación del proceso, que como sabemos de las propiedades de la

distribución normal son µ ± 3 .

Obsérvese que estos límites corresponden a cada pieza individualmente , y por

tanto son comparables con las especificaciones que también aplican para la

pieza individual .

En nuestro caso , los parámetros "µ" y " " han sido estimados por el

procedimiento señalado en la Página 64 , y tenemos entonces:

L.N.I = Límite natural inferior estimado del proceso = - 3 .

L.N.S = Límite natural superior estimado del proceso = + 3 .

LI = Límite inferior de especificación ( Fijado externamente por las normas)

LS = Límite superior de especificación ( Fijado externamente por las normas)

Hecha la estimación de los límites naturales de variación para el proceso, se

pueden presentar las siguientes situaciones al compararlos con las

especificaciones:

Situación Nº 1 : El intervalo de variación natural del proceso está incluido en el

intervalo definido por las especificaciones , es decir :

[ L.N.I ; L.N.S ] [ LI ; LS]

Esta situación es obviamente la ideal , y es la que identifica a un Proceso

Capaz, pues aquí el proceso puede cómodamente cumplir con las

especificaciones , y no habrá prácticamente piezas defectuosas.

En esta situación no necesariamente el proceso está centrado.



De darse este caso , la única recomendación que se podría hacer es la de tratar

de centrar el proceso, a fin de minimizar el riesgo de que por algún desajuste

tanto en la media como en la desviación, se produzcan defectuosas.

Situación Nº2 : Las especificaciones están incluidas dentro del intervalo de

variación natural del proceso , es decir: [ LI ; LS] [ L.N.I ; L.N.S ]

Este es el caso de un proceso no capaz, en donde las especificaciones resultan

demasiado estrictas para su precisión, y por más esfuerzos de control que se

hagan , el proceso va a producir un porcentaje apreciable de piezas defectuosas

.

De encontrarse este caso , centrarlo no basta y las recomendaciones deben ser

radicales , tales como cambiar las maquinarias por otras más precisas , entrenar

mejor al personal , o negociar un cambio en las especificaciones por otras más

amplias, pues al proceso le resulta imposible cumplir a cabalidad con las

actuales.

Situación Nº3 : Ninguno de los dos intervalos está incluido dentro del otro.



Las piezas conformes son las que se encuentran en la intersección de ambos

intervalos .

Un caso extremo de esta situación es aquella en donde la intersección de los

dos intervalos es vacía , y por tanto el 100% de la producción será defectuosa.

Tal situación es a la que se refería el Dr. Deming, acerca de como un proceso

bajo control estadístico puede incluso llegar a producir el 100% de piezas

defectuosas , e ilustra el concepto del porque tener al proceso bajo control no

puede constituir por sí solo una meta .

Un corrimiento significativo en la media del proceso en una u otra dirección es la

causa de esta situación Nº3 , y el proceso puede ser mejorado de efectuarse los

ajustes necesarios para centrarlo .

Una vez centrado , el proceso pasará a producir con aproximadamente el 100%

de piezas correctas , en caso de que 6 LS - LI ( Situación Nº 1, Proceso

Capaz), o pasará a producir con un porcentaje menor que el actual de piezas

defectuosas (Situación Nº 2, Proceso no Capaz) , en caso de que 6 > LS - LI.

ESTIMACION DEL PORCENTAJE DE DEFECTUOSOS

Una buena manera de complementar el Análisis de Especificaciones , es estimar

para las condiciones actuales de operación del proceso ,el porcentaje de piezas

defectuosas que produce .

Para realizar dicha estimación solo se necesitan los parámetros estimados del

proceso , las especificaciones , y las tablas normales explicadas en el primer

capítulo.

Ejemplo : Se toman muestras de 4 artículos de un cierto proceso de manufactura

a intervalos regulares , y se mide una cierta característica de calidad . Para cada



muestra se calcula se calcula su media X , y su rango R . Después de 25

muestras se tiene : Xi

i

i

1

25

= 15350 Ri

i

i

1

25

= 411,40 .

a) Encuentre los límites de control .

b) Suponiendo que el proceso esta bajo control estadístico , y que las

especificaciones de esta característica de calidad son 610 ± 15 .

Estime el porcentaje de artículos fuera de especificación, para las condiciones

actuales de operación .

c) ¿ Qué porcentaje de artículos se esperaría encontrar fuera de especificación ,

si el proceso estuviese centrado ? .

Solución : a) Para encontrar los límites de control , comenzamos por calcular la

"Gran Media" , y el " Rango Medio " :

X = 15350

25 = 614.00 ; R =

41140

25

. = 16.46

Para un tamaño de subgrupo n=4 , encontramos que las constantes para las

gráficas de control ( X , R ) son : A2= 0.729 , D3=0 , D4= 2.282 , y por tanto los

límites de control son :

U C L. . X = X + A2 R = 614.00 + 0.729 ( 16.46 ) = 626.00

L C L. . X = X - A2 R = 614.00 - 0.729 ( 16.46 ) = 602.00

U C LR. . = D4 R = 2.282 ( 16.46 ) = 37.56

L C LR. . = D3 R = 0

U.C.L R = D4 R = 2.282 ( 16.46 ) = 37.56

L.C.L R = D3 R = 0

b) Una vez encontrados los límites de control , procedemos a estimar los parámetros del proceso, teniendo en cuenta que:

= X = 614.00 ; = R

d2=

16.46

2.059= 7.99



Nótese que estamos en presencia de la Situación Nº2 , pues los límites

naturales de variación del proceso son:

L.N.I = 614 .00 - 3 ( 7.99 ) = 590.03 ; L.N.S = 614.00 + 3 ( 7.99 ) = 637.97

mientras que LI = 595 .00 ; LS = 625.00

El intervalo dado por las especificaciones [ 595.00 ; 625.00 ] está incluido en el

intervalo natural de variación del proceso [ 590.03 ; 637.97 ] , el proceso no es

capaz , y en consecuencia habrá un cierto porcentaje de piezas fuera de

especificación .

Para estimar este porcentaje de piezas defectuosas utilizamos las tablas

normales , los parámetros estimados , y obtenemos:

X = Valor numérico de la característica de calidad N ( 614.00 ; 7.992)

P( X < 595) = P( Z < 595- 614

7.99) = P ( Z < -2.38) = ( -2.38) = 0.0087

P ( 595 X 625 ) = P (595- 614

7.99 Z

625 614

7 99. ) = P ( -2.38 Z 1.38) =

(1.38) - (-2.38) = 0.9162 - 0.0087 = 0.9075

P ( X > 625) = P (Z > 625 614

7 99. ) = P ( Z > 1.38) = 1 - (1.38) = 0.0838

De acuerdo con estas estimaciones de probabilidad, bajo las condiciones

actuales de operación, el 90.75% de la producción cumple con las

especificaciones, y la diferencia 9.25% es defectuosa ( 0.87 % por debajo del

límite inferior de especificación y 8.38% por encima del superior ) .



c) Como este proceso no es capaz, aunque se centre siempre existirá un

porcentaje apreciable de defectuosas , y para estimarlo basta calcular la

probabilidad de encontrarse fuera de especificación con µ = 610 ( punto medio) ,

y con = 7.99.

Esta suposición de que = 7.99 para el proceso centrado, es perfectamente

legítima, pues como sabemos el valor de " " , es el reflejo de la acción de la

causas comunes , y estas seguirán actuando aunque se centre el proceso , a

menos que se tomen medidas radicales tales como cambiar la maquinaria, etc.

P ( 595 X 625 ) = P (595- 610

7.99 Z

625 610

7 99. ) = P ( -1.88 Z 1.88) =

D(1.88) = 0.9399 ( Por ser un intervalo simétrico) = 93.99 % conformes .

El porcentaje estimado de piezas defectuosas , como consecuencia de centrar

el proceso se reduce entonces a 6.01% .

Por no ser el proceso capaz este porcentaje no se puede reducido mas , a

menos que se tomen medidas que logren disminuir su variabilidad .

Estas medidas son básicamente las consagradas en algunas de las

recomendaciones de Demig tales como :

a) Implantar un programa vigoroso de educación y automejora .

b) Evitar la relación con varios proveedores a fin de reducir la variabilidad entre

las materias primas.

c) Evitar diferencias entre las maquinarías , y procedimientos .

Ejercicios Propuestos:

1º) Para elaborar un gráfico de control ( X , R ) se tomaron 30 muestras cada

una de tamaño 4 , de una soldadura por puntos . Se midió la resistencia al

esfuerzo cortante, y para cada una de las 30 muestras se calculó su media y su

rango , encontrándose : Xi

i

i

1

30

= 15450 N , Ri

i

i

1

30

= 1206 N.

Suponiendo que el proceso está bajo control, determine:

a) Los límites para el gráfico ( X , R ).

b) La desviación típica estimada del proceso .



c) Si la especificación establece que la resistencia mínima de la soldadura por

puntos es de 400 N . ¿ Qué porcentaje de las soldaduras cumple con esa

especificación mínima ? .

Solución : a) Para X : [485.69 ; 544.31] , Para R : [ 0 ; 91.74 ] . b) 19.52

c) 100% . El proceso es capaz

2º) Se toman muestras de tamaño 6 de un proceso de manufactura, a intervalos

regulares de tiempo. Se mide una característica de calidad , distribuida

normalmente, y se calcula el valor de x y S para cada muestra.

Después de analizar 50 subgrupos , se tiene que: Xi

i

i

1

50

= 1000 , Si

i

i

1

50

= 75 .

a) Calcule los límites de control para el diagrama ( X , S ).

b) Suponiendo que todos los puntos en ambas gráficas , caen entre los límites

de control , ¿ cuales son los límites naturales de variación del proceso ? .

c) Si las especificaciones son 19.0 ± 4.0 . ¿ Cual es su conclusión acerca de la

capacidad del proceso , para producir artículos conformes a estas

especificaciones ? .

d) Suponiendo que se puede retrabajar un artículo que exceda el límite superior ,

mientras que si se encuentra por debajo del límite inferior hay que rechazarlo,

¿qué porcentaje estimado de artículos de recuperación y de rechazo produce

actualmente el proceso ? .

e) Si el proceso se centrara en µ= 19.0 , ¿ cual sería el efecto en el porcentaje

de artículos para recuperación y rechazo ? .

Solución: a) Para X : [18.07 ; 21.93] , Para S : [0.045 ; 2.955] . b) [ 15.27 ;

24.73] c) No es capaz . d) Recuperación: 2.87 % . Rechazo: 0% . e) 0.57%

cada una .

ESTIMACION DE LA CAPACIDAD DEL PROCESO

El concepto de "Proceso Capaz" ya ha sido explicado ampliamente en las

secciones precedentes , y también en el Capítulo I ; el problema que se

analizara ahora , es el de cómo medir dicha capacidad .



La medición de la capacidad es importante pues en definitiva ésta será la

herramienta que permitirá evaluar el proceso en una auditoría de calidad , y

servirá también para comparar el proceso evaluado con otros procesos

similares, a fin de decidir cuál de ellos presenta una mejor disposición para el

cumplimiento de las especificaciones , y en consecuencia una mejor calidad.

La capacidad del proceso se suele evaluar mediante un coeficiente llamado

"Razón o Coeficiente de capacidad del proceso " , el cual cuando toma un valor

igual o mayor que 1 , indica que el proceso es capaz.

Para estimar este coeficiente hay que distinguir dos casos:

Caso Nº 1 : Proceso Centrado .

Este caso ya fue definido en la Página Nº 14 , y viene dado por:

CP= L Ls i

6=

Tolerancia

6

Para este caso , de proceso centrado , este coeficiente se suele llamar

"Coeficiente de capacidad básica o potencial del proceso " , pues la

condición de proceso centrado representa su estado óptimo de operación , en lo

que a porcentaje de piezas conformes se refiere .

En efecto , en el Capítulo de Fundamentos Teóricos se demostrará el siguiente

teorema:

" Dada una Distribución Normal con desviación típica " " , y un intervalo fijo [a,b] , el

área bajo la curva en el intervalo será máxima cuando la media de la distribución

coincida con el punto medio del intervalo " .

Gráficamente, la situación es la siguiente:



Este teorema aplicado al caso en que el intervalo fijo [ a , b ] es el intervalo dado

por las especificaciones [ LI , LS ] , trae como consecuencia que para un proceso

centrado el porcentaje de piezas conformes es máximo .

Cuando el proceso es capaz, este porcentaje máximo de piezas conformes es

aproximadamente el 100% , pero cuando no es capaz no alcanza el 100% ,y

lamentablemente el proceso no puede ser mejorado , a menos que se logre una

ampliación en las especificaciones , o una reducción en " ", con las

consecuentes inversiones de capital que esta reducción acarrea .

Por las consideraciones anteriores , "CP " "Coeficiente de capacidad básica del

proceso " representa también la capacidad potencial o máxima del proceso , y si

CP< 1 , no es posible garantizar que la totalidad de las piezas producidas

satisfacen la especificación .

El coeficiente "CP " tiene también otra interpretación muy importante, pues su

inverso 1

100%Cp

representa el porcentaje de la banda de tolerancia que

abarca los límites naturales de variación del proceso, cuando éste está centrado.

Así por ejemplo CP= 1. 40 , se interpreta en primer lugar como una medida de

que el proceso es capaz en caso de que esté centrado , y en segundo lugar,

calculando su inverso expresado en porcentaje 1

140100%

.= 71,43 % , puede

ser interpretado como que los límites naturales de variación del proceso

[ µ - 3 ; µ+ 3 ] representan el 71.43 % de los límites de especificación .

Evidentemente cuando CP< 1 , su inverso expresado en porcentaje es mayor

que el 100% , y esto se interpreta como que los límites naturales de variación del

proceso son más amplios que los límites de especificación , y en consecuencia

el proceso no puede cumplirlas a cabalidad .

La estimación de "CP " se hace a partir de la estimación de " " de la gráfica

bajo control; y obtenemos que para un gráfico ( X , R ) : CL L

Rdp

s i

62

En caso de haber utilizado un gráfico ( X , S ): CL L

Scp

s i

64



A partir del valor estimado de "CP " , y con la ayuda de las tablas normales, se

puede estimar el número esperado de piezas defectuosas que producirá el

proceso , según la siguiente tabla:

NUMERO ESPERADO DE PIEZAS DEFECTUOSAS POR CADA MILLON DE PIEZAS PRODUCIDAS

Valor de Cp ESPECIFICACIONES UNILATERALES ESPECIFICACIONES BILATERALES

0,50 66.800,00 133.600,00

0,75 12.200,00 24.400,00

1,00 1.350,00 2.700,00

1,10 483,00 966,00

1,20 159,00 318,00

1,30 48,00 96,00

1,40 13,00 26,00

1,50 3,40 6,80

1,60 0,80 1,60

1,70 0,17 0,34

1,80 0,03 0,06

2,00 0,0009 0,0018

Caso Nº 2 : Proceso no centrado .

Cuando el proceso no está centrado, el porcentaje de piezas conformes no es

máximo , pero esto no implica que el proceso no sea capaz , pues puede

suceder que las especificaciones le resulten tan amplias que a pesar del

corrimiento de la media , la casi totalidad de las piezas caigan dentro de la

especificación .

Tal situación se muestra en la siguiente figura :



Cuando el coeficiente de capacidad se calcula para un proceso no centrado se

designa por "CPK " , y recibe el nombre de "Coeficiente de Capacidad Real" ,

pues refleja las condiciones reales de operación ; mientras que el anterior "CP "

es para la condición ideal de proceso centrado.

Para estimar "CPK" , es necesario identificar primero si la media del proceso

está corrida hacia la izquierda o hacia la derecha , y para ello es hay que

calcular las diferencias "µ - LI" , y "LS - µ" .

La menor de tales diferencias indica respectivamente la dirección del corrimiento

de la media del proceso , pues evidentemente cuando se produce un corrimiento

hacia la derecha entonces la media del proceso está más cerca del límite

superior de especificación que del límite inferior ; y viceversa .

Si la menor de las diferencias es "µ - LI", la media está corrida hacia la izquierda,

y de resultar "LS - µ" la menor , entonces el corrimiento es a la derecha .

Para que el proceso sea capaz en este caso no centrado, la distancia de la

media del proceso a su límite más cercano de especificación debe ser mayor

que 3 , pues de no ser así , habrá un cierto porcentaje de piezas fuera de

especificación.

El coeficiente de capacidad real del proceso , se define por la siguiente

expresión:

CPK = mínimo entre L Ls i

3 3 ;

-

también se puede escribir en función de los valores tipificados correspondientes

a los límites de especificación , y queda :

CPK = 1

3 del menor valor entre { z1 , z2 ]



Siendo : z1 = -Li

; z2 = Ls

La interpretación que tiene este coeficiente es similar al del caso centrado , ya

que cuando CPK < 1 , esto significa que la media del proceso se encuentra a

menos de tres desviaciones típicas del límite de especificación más cercano, y

por tanto el proceso no es capaz .

Entre los coeficientes CP y CPK , existe una relación matemática dada por:

CPK= CP ( 1 - k ) ( Véase Cap. V: Justificación Teórica )

Siendo "k" un parámetro que se define como "índice de localización " , cuyo

valor depende del corrimiento que haya sufrido la media del proceso .

El cálculo de "k" se hace a través de las expresión : k = 2

T

= Corrimiento de la media = - 0

0 = Punto central de la especificación

= Media verdadera del proceso .

T = Tolerancia = LS - LI

El índice de localización "k" es una medida relativa del corrimiento, debido a que

compara el corrimiento " " , con el radio de especificación "1

2T " .

Valores de "k" cercanos a cero indican que el proceso presenta un corrimiento

relativo leve , y para ellos CPK CP , mientras que a medida que el corrimiento

se acentúa , se obtendrá un valor de CPK significativamente menor que el de CP.

Valores de "k" cercanos a "1' indican un fuerte corrimiento, y que la media está

muy cercana a uno de los extremos de especificación.



Como CPK Cp , un valor de CPK< 1 , con uno de CP 1 , indica que el proceso

no es capaz bajo las condiciones actuales de operación porque la media esta

muy corrida , pero que de tomarse las medidas correctivas necesarias para

centrarlo, el proceso llegará a ser capaz.

Esta es la gran diferencia entre estos dos coeficientes, "CP" representa el valor

máximo de la capacidad del proceso y no puede ser mejorado a menos que se

apliquen medidas radicales o se cambien las especificaciones; mientras que

"CPK" es una medida de la capacidad actual , susceptible de mejoras con

simples ajustes a las maquinarias que centren el proceso.

Es importante destacar que el índice CPK puede incluso llegar a ser cero o

negativo.

En efecto , si la media del proceso coincide con uno de los límites de

especificación, entonces CPK = 0 , y en este caso el porcentaje de defectuoso es

de aproximadamente 50% , la como se puede apreciar el la gráfica siguiente:

Dado que : CPK = mínimo entre L Ls i

3 3 ;

-; Si = LS CPK = 0

Cuando CPK resulta negativo , la interpretación es que la media del proceso se

ha corrido tanto , que se ha llegado a colocar fuera de los límites de

especificación, y en este caso, más del 50% de la piezas resultan defectuosa, tal

como puede verse en la gráfica a continuación :



Dado que : CPK = mínimo entre L Ls i

3 3 ;

-; Si > LS CPK < 0

Como los parámetros del proceso son desconocidos , el verdadero valor de CPK

es desconocido , y puede ser estimado a partir de la estimación de los

parámetros del proceso .

Para un proceso bajo control con un gráfico ( X , R ) tenemos:

CPK = Mínimo valor entre L

Rd

L

Rd

IS2 2

X

;

X -

3

3

mientras que para un proceso bajo control con un gráfico ( X , S ) :

CPK = Mínimo valor entre X

;

X -

3

S4 4

L

Sc

L

Sc

I

3

Algunos textos y programas de computación hacen la distinción entre un CPK

para el límite inferior , y otro CPK para el límite superior , los definen como CPKI y

CPKS respectivamente, y luego definen el “Coeficiente de Capacidad Real “ CPK

para el proceso como el menor valor entre los dos, lo cual es obviamente

equivalente a lo anterior.

En el caso de especificaciones unilaterales , no es aplicable el concepto de

Proceso Centrado , y resulta obvio que a medida que la media del proceso se

aleje en sentido contrario del límite único de especificación, el proceso es más

capaz, pues el porcentaje de defectuosas disminuye, tal como se muestra en la

figura siguiente para la situación de una sola especificación inferior:



La capacidad potencial "CP " no existe en estos casos , debido a que no hay un

valor máximo para la capacidad del proceso . Cuanto más se aleje la media del

proceso del límite único de especificación , mayor será su capacidad .

Para calcular la Capacidad real "CPK", solo interesa la distancia de la media al

único límite de especificación existente, la cual debe ser mayor que " 3 ", para

que el proceso sea considerado capaz .

CPK = Ls

3( Solo la especificación superior)

CPK = LI

3( Solo la especificación inferior )

La estimación de la capacidad del proceso se hace al igual que antes , a partir

de los parámetros estimados del proceso bajo control .

Con relación al valor mínimo que pueden tomar estos coeficientes para los fines

de aprobación de una auditoría de calidad , es conveniente aclarar que la Norma

ISO - 9000 es muy general y no los establece ; solamente consagra la

conveniencia de que el proceso de producción sea capaz . ( Véase en la

"Introducción" , el texto exacto de la norma. ) .Sin embargo , algunos autores ,

tales como Douglas C. Montgomery en su texto "Control Estadístico de Calidad "

del Grupo Editorial Iberoamericana, Pag. 242, recomienda algunos valores

mínimos para el coeficiente "CPK " , en función del tipo de proceso , y de la

incidencia que tenga la característica de calidad en la seguridad del usuario o en

la calidad del producto terminado.

Los valores mínimos para "CPK " , recomendados por el Dr. Douglas Montgomery

son

ESPECIFICACIONES

BILATERALES

ESPECIFICACIONES

UNILATERALES

Procesos existentes 1.33 1.25

Procesos nuevos 1.50 1.45

Parámetro de seguridad, de

resistencia, o crítico del proceso

existente.

1.50

1.45

Parámetro de seguridad, de

resistencia, o crítico del proceso

nuevo

1.67

1.60



Se entiende por característica de seguridad aquella cuya falta de cumplimiento

pueda ocasionar daños físicos al usuario tales como por ejemplo , la resistencia

de un material .

Se entiende por parámetro crítico aquel cuya falta de cumplimiento ocasiona que

el producto terminado sea declarado como inservible .

El valor CP= 1.33 corresponde a un proceso centrado con límites de

especificación de ± 4 , mientras que el de CP= 1.67 para ± 5 .

Ejemplo : Un dado de extrusión se emplea para producir barras de aluminio . El

diámetro de las barras es una característica de calidad crítica , que debe

encontrarse dentro de las especificaciones ( 0.5035 ± 0.0010 ) pulgadas.

Se toman 20 muestras de 5 barras cada una , y se les calcula su media y su

rango muestral .

Los valores dados en la tabla siguiente son los tres últimos dígitos de las

mediciones ; esto es, 34.2 se lee como 0.50342

Muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X 34.2 31.6 31.8 33.4 35.0 32.1 32.6 33.8 34.8 38.6

R 3 4 4 5 4 2 7 9 10 4

Muestra 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

X 35.4 34.0 36.0 37.2 35.2 33.4 35.0 34.4 33.9 34.0

R 8 6 4 7 3 10 4 7 8 4

a) Establezca los diagramas ( X , R ) , revisando los límites de control tentativos

si es necesario , suponiendo que pueden encontrarse causas asignables .

b) Calcule los coeficientes CP y CPK, e interprete el resultado.

c) Estime el porcentaje de defectuosos que está produciendo el proceso.

Solución : a) X = 34.32 , R = 5.65

Los límites de control tentativos son: U C LX. . = 34.32 + 0.577 ( 5.65 ) = 37.58

Línea Central: X = 34.32



L C LX. . = 34.32 - 0.577 ( 5.65 ) = 31.06

U.C.LR = 2.114 (5,65 ) = 11.94

Línea Central R = 5,65

L.C.L R = 0

La muestra Nº 10 está fuera de control para X .

Suponiendo que fueron encontradas las causas asignables , la muestra Nº 10

puede ser eliminada , y resulta: X = 34.09 ; R = 5.74

Eliminada la muestra Nº 10 , los límites de control revisados pasan a ser:

U C LX. . = 34.09 + 0.577 ( 5.74 ) = 37.40

Línea Central: X = 34.09

L C LX. . = 34.09 - 0.577 ( 5.65 ) = 30.83

U.C.LR = 2,114 ( 5,74 ) = 12.13

Línea Central R = 5.74

L.C.L R = 0

El proceso queda bajo control

b) Los parámetros estimados del proceso son : X = 34.09 ; = 5 74

2 326

.

.=

2.47

CP = = 45 0 25 0

6 2 47

. .

( . )= 1.35 El proceso es potencialmente capaz .

Sin embargo, como = 34.09 , y el punto central de la especificación es 35.0, el

proceso está corrido hacia la izquierda.

Los coeficientes de capacidad real estimados son:



CpkI = X LI

3 =

34 09 25

3

.

(2.47) = 1.23 ; Cpks =

LS X

3 =

45 34 09

3

.

(2.47)= 1.47

CPK = Menor valor entre { 1.23 ; 1.47 } = 1.23 A pesar de estar la media

corrida hacia la izquierda , la especificaciones le resultan tan cómodas , que el

proceso sigue siendo capaz.

Otra manera de estimar a CPK, es mediante el índice de localización:

Para nuestro caso , se tiene:

T = LS - LI = 45.0 -25.0 = 20.0

= X 0 = 34.09 - 35.0 = 0.91

K = 2

T=

2

20 0

(0.91)

.= 0.091

El índice de localización resulta ser 0.091 ó 9.1 % , lo que se interpreta como

una relación entre el corrimiento de la media con el radio de la especificación .

No existen normas acerca de los valores permisibles para este índice de

localización, entre otras razones porque su incidencia en la capacidad real del

proceso depende de su capacidad potencial "Cp" , de manera que un valor de

k=0.091 , puede interpretarse como descentralización no influyente cuando CP es mucho mayor que 1 como este caso, pero muy influyente en la Capacidad

real si CP 1.

Una vez calculado "k" , se tiene : CPK= CP( 1- k) = 1.35 ( 1 - 0.091) = 1.23

lo que coincide con la estimación realizada por el otro método .

c) En cuanto a la estimación del porcentaje de piezas defectuosas que

actualmente está produciendo el proceso , tenemos que el porcentaje de piezas

conformes es:

P ( 25 X 45 ) = P (25 34 09

2 47

.

. Z

45 34 09

2 47

.

.) = P ( -3.68 Z 4.42)

= ( 4.42 ) - ( -3.68) = 0.99988

P ( defectuosas) = 1 - 0.99988 = 0.00012 = 0.012 % .



El porcentaje estimado de piezas defectuosas da evidentemente insignificante ,

pues el proceso resultó capaz ; pero podría reducirse aún más si se centrara .

EJERCICIOS PROPUESTOS :

1º) Veinticinco muestras de tamaño 5 cada una , se extraen de un proceso a

intervalos regulares, y se obtienen los siguientes datos:

Xi

i

i

1

25

= 367.00 ; Ri

i

i

1

25

= 8.60

a) Calcule los límites de control para el diagrama ( X , R ) .

b) Suponiendo que el proceso está bajo control , y que los límites de

especificación son 14.50 ± 0.50 , ¿ qué conclusiones se pueden extraer acerca

de la capacidad del proceso, para operar dentro de estas especificaciones ? .

c) Estime el porcentaje de artículos defectuosos que se producirán bajo las

condiciones actuales de operación.

d) Estime los coeficientes CP , CPK, y el "índice de localización" . Interprete los

resultados .

Solución : a) [14.48 ; 14.88] y [ 0 ; 0.73] . c) 1.54 % . d) CP = 1.13 ; CPK= 0.72 ;

k= 0.36 .

2º) Se toman 18 muestras de tamaño 10 cada una ,con el propósito de construir

un gráfico ( X , S), para controlar el contenido de una cierta sustancia dentro de

unas piezas.

Los resultados obtenidos dan: Xi

i

i

1

18

= 595.8 ; Si

i

i

1

18

= 8.24 .

a) Encuentre los límites de control para el gráfico ( X , S ) .

b) Si las especificaciones establecen que el contenido mínimo de esta sustancia

debe ser de 33 gramos , estime el porcentaje de piezas que no la cumplen.

c) Calcule el coeficiente Cpk, e interprete el resultado.

Solución : a) [ 32.65 ; 33.55 ] y [ 0.13 ; 0.79] b) 41.68% . c) CPK= 0.07



OTROS METODOS PARA ESTIMAR LA CAPACIDAD DEL PROCESO

A pesar de que la metodología anteriormente descrita para estimar la capacidad

del proceso es la que más se utiliza, y es prácticamente la única que aparece

dispersa en algunos textos de " Control Estadístico de Calidad " , algunos

autores consideran que la misma presenta un punto débil, cual es el supuesto de

normalidad para las piezas individuales que fabrica el proceso.

En efecto , la distribución estadística de la característica de calidad en estudio

para las piezas individuales , se suele llamar en el léxico del "Control Estadístico

de Procesos" , la "Distribución subyacente " , y en el caso de la teoría de los

gráficos de control , el supuesto de normalidad para esta distribución subyacente

es el fundamento para determinar todos los coeficientes A2, A3, B3, B4 , d2 , c4 ,

etc. , indispensables para su construcción .

Por otro lado , dado que el gráfico de control se aplica para promedios , X , R ,

S , etc., la normalidad de estos promedios no garantiza la normalidad de las

observaciones individuales, pues en la teoría estadística se estudia un teorema

conocido como " Teorema Central del límite " , el cual garantiza la normalidad de

los promedios , sea cual fuere la distribución de las observaciones individuales .

De lo anterior se deduce entonces que la normalidad de la distribución

subyacente no queda plenamente demostrada a partir de las gráficas de control,

y que es necesario demostrarla de una manera más rigurosa mediante la

aplicación de las pruebas de ajuste estudiadas en el Cap. II .

Una de las consecuencias de la no normalidad sobre la distribución subyacente,

es que ya no es válido el porcentaje de 99.73 % de observaciones individuales

para el intervalo [µ- 3 ; µ + 3 ] .

Según la "Desigualdad de Chebyshev" , para una distribución subyacente

cualquiera , este porcentaje es de 88.89 % por lo menos:

P ( | X - µ | 3 ) 1 - 2

29=

8

9 = 88.89 %

En el Cap. V ( Fundamentos Teóricos ) , se dan algunos de los resultados

obtenidos por ciertos investigadores, acerca del efecto de la no normalidad

sobre los gráficos de control .



ESTIMACION DE LA CAPACIDAD A PARTIR DEL HISTOGRAMA

Con el fin de garantizar que la distribución subyacente sigue realmente una

Distribución Normal , este método toma un conjunto de observaciones

individuales provenientes del proceso ( 100 por lo menos), las agrupa en

intervalos de clase para construir el histograma , posteriormente les hace una

prueba de normalidad por alguno de los métodos ya explicados en el Cap.II, y en

caso de que sea aceptada , a partir de allí estima su capacidad.

Aparentemente el método tiene la ventaja de garantizar la normalidad , y

además de hacer una mejor estimación de los parámetros del proceso , pues

indudablemente una estimación de " " basada en "S" para 100 observaciones

individuales , es mucho más confiable que otra estimación basada en “R” ó en

“S” , para varios subgrupos de un tamaño relativamente pequeño .

Sin embargo ,el problema que se presenta ahora es el de ¿ cómo garantizar que

estas 100 ó más observaciones individuales , han sido tomadas bajo unas

condiciones estables de operación del proceso ? ; pues si durante el desarrollo

del muestreo aparecen causas asignables , la estimación de " " que se haga a

partir de ellas no será realista , la hipótesis de normalidad resultará rechazada ,

la capacidad del proceso resultará subevaluada , y con el agravante de que

aquellas observaciones correspondientes a la acción de las causas asignables

no podrán ser identificadas.

Lamentablemente, sin la ayuda de las gráficas de control, no podemos tener una

probabilidad relativamente alta de poder afirmar que el proceso está operando

bajo condiciones estables, y de allí que la estimación de su capacidad no pueda

aislarse de la construcción de tales gráficas.

La forma como opera el método es la siguiente :

1º) Se procede a tomar una muestra de 100 observaciones individuales como

mínimo del proceso .

La muestra se toma en subgrupos de 4 ó 5 observaciones cada una, a intervalos

de tiempo suficientemente distantes , al igual que como se explicó para la

construcción de una gráfica ( X , R) , lo que exigirá tomar 20 ó 25 subgrupos .

2º) Se procede al igual que antes a construir el gráfico, y a eliminar aquellas

muestras fuera de control, una vez detectada la causa asignable.

3º) Con el proceso bajo control , se toman todas aquellas observaciones

individuales correspondientes a las muestras que no fueron eliminadas sin



hacer distinción de subgrupos, y se clasifican en una tabla agrupada de

frecuencias , siguiendo los procedimientos de Estadística Descriptiva .

Esto garantiza que las observaciones individuales provienen de un proceso

estable, sin la acción aparente de causas asignables .

4º) A la tabla agrupada de frecuencias se le dibuja un histograma , y se le

aplican pruebas de normalidad , o papel probabilístico.

5º) De resultar afirmativa la prueba de ajuste, se estiman los parámetros del

proceso , a partir de la tabla agrupada de frecuencias.

6º) Con los parámetros estimados , se estima el porcentaje de piezas fuera de

especificación, y los coeficientes de capacidad CP y CPK .

Ejemplo: Tomemos los datos correspondientes a las 20 muestras de 5 pastillas

del capítulo anterior

Estos datos ya fueron analizados, y los parámetros del proceso estimados,

resultando ser µ = 4.98 , = 0.1333 .

Apliquemos ahora este nuevo método , a fín de obtener una estimación de los

parámetros del proceso a partir del histograma .

Como la muestra Nº 7 fue eliminada, los datos quedaron reducidos a 19

muestras de tamaño 5 cada una, es decir 95 observaciones.

Estas 95 observaciones se clasifican en una tabla de frecuencias:

Peso 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3

frecuencia 1 1 2 13 20 30 18 7 3



Los parámetros estimados resultan ser = X = 4.98 ; = S = 0.1458

A continuación procedemos a verificar la normalidad de las observaciones

individuales, mediante la aplicación de la prueba chi - cuadrado de bondad del

ajuste, para lo cual es necesario clasificarlas en intervalos.

Teniendo en cuenta que se trata de una variable continua los límites reales de

cada observación son de ± 0,05.

Posteriormente con las tablas normales se calculan las frecuencias esperadas, y

se procede tal como se explicó en el Cap. II , teniendo en cuenta que la hipótesis

a probar es :

H0: El peso de una pastilla se ajusta a una Distribución Normal .

H1: El peso de una pastilla no se ajusta a una Distribución Normal .

Los resultados obtenidos se dan en la tabla a continuación:

Peso de la Pastilla fi pi ei

< 4.75 4 0.0582 5.53 4.75 - 4.85 13 0.1302 12.37 4.85 - 4.95 20 0.2330 22.13 4.95 - 5.05 30 0.2657 25.24 5.05 - 5.15 18 0.1926 18.29 5.15 - 5.25 7 0.0888 8.44

5.25 5.15 3 10 0.0315 =0.1203 2.99 11.43



Siguiendo las reglas de la prueba chi- cuadrado (Capitulo II), como el último

intervalo resultó con una frecuencia esperada menor que 5 , se fundió con el

anterior .

2 ( f - e )i i

2

i=1

i=k

ei

Para este caso k = 6 , pues al final resultaron 6 intervalos después de hecha la

fusión de los dos últimos intervalos.

Hechos los cálculos, se obtiene : 2 = 1.74 ; mientras que el valor crítico dado

por la tabla chi cuadrado con 6-1-2= 3 grados de libertad, a un nivel de

significación del 5% , es : 20.05;3 = 7.81 , lo que evidentemente conlleva a la

aceptación de la hipótesis de que el peso de cada pastilla individualmente sigue

una Distribución Normal .

También hubiera podido verificarse la normalidad con el papel probabilístico, el

cual hubiera quedado de la siguiente forma:

Una vez verificada la normalidad de los pesos individuales, y con los parámetros

estimados : = 4.98 ; = 0.1458 , que resultó ligeramente mayor que 0.1333,

estimación a partir de R del gráfico de control , se hace el análisis de

especificaciones y de capacidad , a igual que como se explicó en las secciones

respectivas .



Es de hacer notar que este método de estimación de la capacidad del proceso a

partir de su histograma , está muy poco difundido en la Bibliografía de Control

Estadístico de Calidad ; solo aparece tratado de una forma muy breve en los

siguientes textos:

1º) Control Estadístico de Calidad . Douglas C. Montgomery

Grupo Editorial Ibero Americana. México

2º) Control de Calidad . Bertrand L. Hansen

Editorial Hispano Europea . Barcelona . España

Este último texto lo denomina "Método de la Amplitud Unica" , ya que para

estimar el porcentaje poblacional de piezas dentro de los límites muestrales,

utiliza el rango o amplitud de la muestra unificada .

En opinión muy personal del autor, las razones que han prevalecido para la

escasa difusión de este método, a pesar de ser muy completo, son las

siguientes:

1º) En primer lugar una razón teórica, pues el uso de los estimadores

convencionales de "µ" y de " " supone que las observaciones muestrales son

aleatorias e independientes, y como en éste método las observaciones son

tomadas en subgrupos, es discutible la legitimidad de estos supuestos.

Sin embargo, el supuesto de independencia entre las observaciones tiene cierto

asidero, pues el método exige que el histograma sea construído para el proceso

bajo control , y con esta exigencia se garantiza que no existan diferencias

significativas entre los distintos subgrupos .

2º) En segundo lugar, una razón práctica, pues éste método es mucho más

laborioso , requiere un mayor conocimiento de los métodos estadísticos , y al

final arroja la misma estimación del parámetro "µ" .

En cuanto a la estimación de " " , este método dará siempre una estimación

ligeramente mayor , pues la suma total de cuadrados para las observaciones se

verá ligeramente afectadas por las diferencias poco significativas entre los

subgrupos.

La ventaja de este método con relación al convencional es la de garantizar con

bastante certeza la normalidad del proceso. El método convencional no la

garantiza, sino que la supone.



Posiblemente el lector se preguntará; « ¿qué hacer en caso en caso de que la

normalidad resulte rechazada ? » .

La respuesta a esta pregunta la dan los métodos no paramétricos , o libres de

distribución , que permiten analizar las especificaciones sin la necesidad del

supuesto de normalidad , pero con la desventaja de requerir tamaños de

muestra mayores .

Una información más detallada sobre estos métodos puede encontrarse en el ya

citado texto del Dr. Douglas Montgomery , Pag. 262 , así como también en el

texto "Estadística para Ingenieros " de los autores Albert Bowker y Gerald

Lieberman , de la Editorial Prentice Hall .

También existe un método conocido como " Lot Plot " , el cual puede ser

aplicado aún cuando la distribución no sea normal . Una explicación detallada

de este método puede encontrarse en el texto " Control de Calidad y Estadística

Industrial" del autor Acheson J. Duncan , en el Cap. 23 de "Procesos y

procedimientos especiales " , y que se utiliza principalmente como plan de

muestreo por variables .

INFERENCIAS RELATIVAS A LA CAPACIDAD DEL PROCESO

Hemos visto que la capacidad del proceso se mide a través de tres indicadores:

El porcentaje de piezas defectuosas que produce , el cual debe ser

prácticamente cero para un proceso capaz , y los dos coeficientes de capacidad,

el potencial "CP " y el real "CPK" , los cuales deben ser ambos mayores que 1

para un proceso capaz .

A lo largo de este capítulo, hemos visto como estimar estos indicadores de la

capacidad del proceso .

Sin embargo, no podemos olvidar que estos procedimientos conducen a

estimaciones puntuales de tales indicadores porque se apoyan en la estimación

puntual de los parámetros del proceso .

Al ser toda estimación puntual un valor particular de un estadístico muestral,

esta estimación estará sujeta a la aleatoriedad de la muestra , y por lo tanto no

se puede afirmar que el valor estimado del parámetro sea exactamente igual al

verdadero valor poblacional.

Hasta el momento , los textos de "Control Estadístico de Calidad" y

presumiblemente las auditorías de calidad , han tratado el problema basados



exclusivamente en la estimación puntual , olvidando por completo que la

estimación obtenida es en realidad un valor particular de una variable aleatoria ,

y que si se hiciera otra evaluación de la capacidad a partir de otra muestra , muy

seguramente el resultado sería otro.

Desde un punto de vista estrictamente teórico , lo más correcto sería que la

estimación de estos indicadores de capacidad se hiciera por intervalos , y que la

decisión relativa a la aprobación de una auditoría de calidad se hiciera mediante

una prueba de hipótesis .

Es decir , que si las normas exigieran por ejemplo , que para un determinado

proceso el valor mínimo del coeficiente de capacidad real debe ser de 1.33 ,

entonces la decisión de aprobación o improbación de la capacidad del proceso a

los fines de dar cumplimiento a lo exigido por la Norma ISO - 9000 , se hiciera

mediante la Prueba de Hipótesis:

H0 : CPK 1.33 El proceso cumple con la norma.

H1 : CPK < 1.33 El proceso no cumple con la norma.

Hasta la fecha , no ha sido desarrollada una metodología para probar este tipo

de hipótesis , y según algunas investigaciones realizadas por el autor , el

problema se encuentra en fase de investigación .

El problema sería fácil de resolver en caso de que la hipótesis se refiera al

coeficiente de Capacidad Real "CP" , y la decisión se tomara en base a una sola

muestra , como por ejemplo la unificada, considerada en el método anterior de

estimación a partir del histograma .

La prueba de hipótesis: H0 : CP CP0

H1 : CP < CP0

se reduce a una prueba unilateral para la varianza , de las ya estudiadas en la

que sería de la forma:

HL L

C

HL L

C

S I

p

S I

p

00

2

10

2

6

6

:

:

-

-

2

2

En cuanto a la estimación por intervalos para los coeficientes de capacidad , y

para el porcentaje de defectuosos que fabrica el proceso , se presenta el mismo



problema , pues hasta la fecha no se ha encontrado la distribución estadística de

sus correspondientes estimadores .

Una estimación por intervalos para "CP" en base a una sola muestra , podría ser

obtenida a partir del intervalo de confianza para 2, que como se sabe de la

Inferencia Estadística es : (n -1)S

; (n -1)S

2

n-1

2

n-1/ ; / ;22

1 22

; lo que daría el siguiente

intervalo del (1- ). 100% de confianza para CP :

1 22

22

1 6 1 6

/ ; / ; n-1 n-1 ;

n

L -L

S n

L -L

S

S I S I

En donde: 1 22

/ ; n-1= Abscisa que en una Distribución chi- cuadrado con (n-1)

grados de libertad deja a la derecha un área "1 - 2

".

/ ;22

n-1 = Abscisa que en una Distribución chi- cuadrado con (n-1)

grados de libertad deja a la derecha un área "2

".

El problema está en que la estimación de la capacidad del proceso no es

recomendable hacerla en base a una sola muestra por las razones de

estabilidad que ya conocemos ,y por ese motivo las fórmulas anteriores no son

aplicables cuando la estimación de " " se hace a partir del rango medio R , o a

partir de S , según el gráfico de control utilizado, pues se modifican las

condiciones teóricas bajo las cuales se obtiene el intervalo de confianza anterior.



Por este motivo se hace necesario encontrar la distribución del estimador de CP

y de CPK , bajo estas nuevas condiciones de estimación, en base a “k”

subgrupos de tamaño “n” cada uno.

En el apéndice se encuentran unos artículos de aparición relativamente recíente

en revistas especializadas, en donde se aborda el problema.

Uno de los artículos titulados " How Reliable is your Capability Index ?" de A.F

Bissel, enfrenta el problema de la estimación por intervalos para los coeficientes

de capacidad , mediante la introducción de dos índices básicos que define como:

I= L LS I

; IK=LS

ó IK = LI

;y posteriormente analiza el número efectivo

de grados de libertad con que se realiza la estimación, el cual designa por “f”.

analiza el número efectivo de grados de libertad con que se realiza la estimación

, el cual designa por "f" .

Finalmente , el autor A.F Bissel obtiene unas expresiones aproximadas para el

intervalo de confianza correspondiente a IK, a partir del cual se puede obtener el

de CPK.

También se incluye en el apéndice , otro artículo titulado " Bootstrap Confidence

Interval Estimates of CPK . An Introduction ".

Este artículo propone una metodología para estimar por intervalos al coeficiente

CPK, por un método denominado "Bootstrap " , que consiste en tomar una

muestra aleatoria de tamaño "n" del proceso , y posteriormente tomar otra

muestra con reemplazamiento , también de tamaño "n" , pero proveniente de la

muestra original, la cual denomina " muestra bootstrap" .

Como existen nn muestras bootstrap posibles , cada una de ellas conduce a un

valor estimado de CPK ( no necesariamente todos únicos) .

La distribución de estos valores de CPK, dependerá evidentemente de la muestra

original tomada del proceso, y a partir de allí obtiene un intervalo de confianza

para CPK , el cual resulta centrado en su valor puntual estimado, y con una

amplitud función de la desviación típica de estos diferentes valores de CPK.

También se incluye en el apéndice un programa para obtener el referido

intervalo de confianza para CPK , por este método "Bootstrap" .

La estimación por intervalos tanto para " CP " como para " CPK " , es sin embargo

demasiado reciente y aún no ha sido incorporada en los textos de "Control

Estadístico de Calidad". No es de extrañar que un futuro próximo, en las



auditorías de calidad se exijan , así como también las pruebas de hipótesis para

la verificación de que el proceso cumple con los requisitos cuantitativos mínimos

de capacidad , que aún la norma ISO - 9000 no establece .

RELACION ENTRE LOS LIMITES NATURALES DEL PROCESO Y LOS

LIMITES NATURALES DE SUS COMPONENTES

Es muy frecuente que la capacidad de un proceso resulte erróneamente

evaluada porque su límites naturales de variación han sido mal establecidos.

En la Pag. 67 vimos que para hacer la evaluación de la capacidad del proceso

es necesario comparar sus límites naturales de variación con las

especificaciones , y que estos límites naturales se hallan:

L.N.I = µ - 3 L.N.S = µ + 3

En algunas oportunidades los límites naturales de variación para una variable no

se determinan por la observación directa de ella, si no indirectamente a través

de otras , y es muy frecuente que en esa determinación se cometan errores ,

que luego afecten la evaluación de la capacidad del proceso

Ejemplos de tales situaciones son las siguientes:

1º) Imaginemos que tenemos un envase cilíndrico , y que se han determinado

los límites naturales de variación para su diámetro y para su altura.

Supongamos que los del diámetro son (10.00 ± 0.25 ) cms , y que los de la

altura son ( 18.00 ± 0.30 ) cms . ¿ Cuales son los límites naturales de variación

para el volumen del envase ? .

Una persona poco experimentada en el manejo de técnicas estadísticas haría el

siguiente razonamiento :

La situación más desfavorable para el volumen es cuando tanto el diámetro

como la altura están en el límite natural inferior , es decir 9.75 cms y 17.70 cms

respectivamente , y teniendo en cuenta que V= r2h , el mínimo volumen para el

envase es 1.312,52 cm3, y luego haría un razonamiento similar para el máximo ,

con un diámetro de 10.25 cms y una altura de 18.30 cms , obteniendo un límite

natural superior para el volumen de 1.510,04 cm3.

Tal razonamiento aparentemente lógico, es incorrecto desde el punto de vista

estadístico, por la siguiente razón :



Los límites naturales de variación para cada variable, se dan para un 99% de

probabilidad de cobertura , de manera que obtener un envase que tenga ambas

dimensiones diámetro y altura por debajo o por encima de su respectivo límite

natural de variación , tiene una probabilidad muy inferior al 1% ; suponiendo

independencia entre ambas variables esta probabilidad sería : 2x0.005 x 0.005 =

5 x 10-5.

El intervalo calculado [ 1.312 , 52 ; 1.510, 04 ] , es en consecuencia mucho más

amplio que el intervalo natural de variación para el volumen .

2º) Otra situación similar a la anterior se presenta cuando en un proceso hay que

mezclar diversos ingredientes . Supongamos que en una determinada etapa del

proceso hay que mezclar dos envases de un ingrediente "A" con un envase de

otro ingrediente "B" , y que estudios estadísticos han comprobado que los límites

naturales de variación para el ingrediente "A" son entre 420 y 438 gramos ,

mientras que los del ingrediente "B" entre 510 y 516 gramos .

Un razonamiento similar al utilizado anteriormente nos llevaría a la falsa

conclusión de que los límites naturales de variación para el producto resultante

son entre 2 x 420 + 510 = 1350 gramos y 2 x 438 + 516 = 1392 gramos .

Este intervalo [ 1350 ; 1392] resulta mucho más amplio que el de 99% de

probabilidad de cobertura , ya que es muy poco probable que al azar

seleccionemos dos envases "A" con un contenido inferior a 420 , acompañados

de otro envase con contenido inferior a 510 gramos . Esta probabilidad

sería(0.005)3, para cada lado , y en total 2x(0.005)3, lo que evidentemente da

una probabilidad de cobertura superior al 99% para el intervalo encontrado.

El lector seguramente se preguntará que si el razonamiento anterior no es el

correcto , ¿ que debe hacerse entonces para encontrar los límites naturales de

variación del proceso ? .

Lamentablemente el problema no es fácil de resolver en el caso general .

Solamente cuando las variables involucradas siguen cada una de ellas

Distribuciones Normales independientes, y la relación entre la variable del

proceso es una función lineal de ellas , existe un procedimiento sencillo para

resolver el problema .

En el primer ejemplo , donde la función no es lineal : V = r2h , la situación es

compleja desde el punto de vista estadístico , pues hay que encontrar la

Distribución del Volumen, a partir de la Distribución del diámetro y de la altura ,

aplicando técnicas de Transformación de Variables Aleatorias , Funciones de

Variables Aleatorias , y métodos aproximados basados en desarrollos en series



de Taylor . Una explicación muy detallada sobre estas técnicas puede

encontrarse en los siguientes textos :

1º) Estadística Matemática con Aplicaciones . Menderhall , Wackerly y Scheaffer

. Grupo Editorial Iberoamericana . Cap. 6

2º) Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas . Meyer . Addison - Wesley

Iberoamericana . Cap. 5 y 6 .

En el segundo ejemplo , la relación es lineal , pues si designamos por "Y" al

peso de la mezcla , se tiene : Y = XA1 + XA2 + XB, siendo XA y XB el peso de un

envase "A" y de uno "B" respectivamente .

Nótese que no es correcto escribir Y = 2 XA + XB , pues al ser aleatorio el peso

de cada caja , no necesariamente el peso total de las dos cajas es de una

multiplicado por 2 .

En la Teoría Estadística se estudia un teorema cuya demostración se da en el

Cap. V , y el cual establece lo siguiente :

Si X1 , X1 .... Xn son variables aleatorias independientes , y normalmente

distribuidas , entonces una función lineal de ellas :

Y = a0 + a1 X1 + a2 X2+ .... + an Xn

también seguirá una Distribución normal , y sus parámetros son :

Y = a0 + a1 1 + a2 2+ .... + an n

Y2 = a1

2 12 + a2

2 22 + .... + an n

2 2

Aplicando este teorema para el ejemplo 2 , podemos hallar los límites naturales

de variación para el peso de la mezcla , procediendo como sigue:

Si los límites naturales para el peso de las cajas tipo "A" son 420 y 438 ,

suponiendo normalidad tenemos : A= 429 , y 6 A = 438- 420 = 18 A = 3 y

por consiguiente XA N ( 429 ; 32 ) .

De manera análoga, si para el ingrediente "B" sus límites naturales de variación

son 510 y 516 , entonces se obtiene : B= 513 , B= 1 , y XB N(513;12) .



Al ser Y = XA1 + XA2 + XB, mediante la aplicación del teorema se concluye

entonces que Y N ( 1371 ; 19 ), y en consecuencia los limites naturales de

variación para el peso de la mezcla sería :

Límite Natural Inferior = Y - 3 Y= 1371 - 3 19 = 1357.92

Límite Natural Superior = Y+ 3 Y= 1371 + 3 19 = 1384.08

El intervalo obtenido es evidentemente más estrecho que el obtenido por el

razonamiento incorrecto explicado anteriormente .

Ejemplo propuesto : Para hacer un montaje , es necesario ensamblar tres

componentes de la forma como se indica en la figura :

Las dimensiones de cada componente son variables aleatorias independientes,

que siguen cada una distribución normal , y sus límites naturales de variación

son de (1.00 ± 0.04 ) pulgadas para X1 , (3.00 ± 0.05 ) pulgadas para X2 y (2.00

± 0.02 ) pulgadas para X3.

Analice si el proceso es capaz de cumplir con las especificaciones ( 6.00 ± 0.06 )

para el ensamble . Calcule el porcentaje de piezas fuera de especificación y su

coeficiente de capacidad CP.

Solución : No es capaz . 0.74 % . CP = 0.8944 .

ANALISIS DE CAPACIDAD MEDIANTE DISEÑO DE EXPERIMENTOS

Cuando un proceso resulta no capaz para cumplir unas especificaciones , la

pregunta que inmediatamente debe hacerse el ingeniero o investigador es

«¿qué puedo hacer para convertir este proceso en capaz ? » .

La gran mayoría de las veces no es posible conseguir una ampliación de las

especificaciones , que sería el camino más cómodo y económico para convertir

al proceso en capaz , pues las mismas son generalmente exigencias de normas

internacionales .



Otra posibilidad para convertir el proceso en capaz es la aplicación de las

diversas recomendaciones del Dr. Deming , tendientes a reducir la variabilidad

del proceso , ya mencionadas anteriormente.

La alternativa de sustituir las maquinarias y equipos por otros más precisos es

tan costosa , que muchas veces no es considerada .

El "Diseño de Experimentos" es una principales herramientas estadísticas que

permite reducir la variabilidad de un proceso, mediante la identificación de los

factores y variables que más lo afectan .

En efecto, en un proceso industrial intervienen una serie de variables , algunas

de ellas controlables , tales como temperatura , presión , tiempo , velocidad de

giro de ciertas maquinarias , etc., que afectan en mayor o en menor grado las

características del producto obtenido .

Un experimento controlado consiste en tomar una serie de observaciones de las

características de calidad del producto, modificando simultáneamente varias de

las variables de entrada al proceso .

Así por ejemplo, para distintos niveles de presión , temperatura , etc. , se

observa el valor de una cierta característica de calidad , y se analiza su

variabilidad .

Mediante el uso de estas técnicas se logra identificar las llamadas variables

activas , que son aquellas que realmente tienen una incidencia significativa en el

comportamiento del proceso , y en las características de calidad del producto

terminado.

La identificación de estas variables activas es de gran utilidad para aumentar la

capacidad del proceso , pues mediante un control más estricto de ellas, se

puede lograr un comportamiento más estable del proceso , y en consecuencia

un producto mucho más homogéneo.

Estas técnicas de "Diseño de Experimentos" son de reciente aplicación en el

medio industrial , pero eran ya conocidas aún antes de la segunda guerra

mundial , con aplicaciones muy concretas en la agricultura , pues allí intervienen

gran cantidad de variables como condiciones climatológicas , características del

suelo , tipos de fertilizantes , etc. , y mediante su aplicación se logró identificar la

combinación óptima de estos factores , y obtener un óptimo aprovechamiento

del suelo .

Las técnicas de Diseño de Experimentos son el complemento indispensable

para los " Diagramas Causa - Efecto" , pues no todas las causas que se señalan



en ellos son significativamente influyentes en el proceso , y mediante la

utilización del " Diseño de Experimentos " , algunas de las causas consideradas

inicialmente como importantes en la calidad del producto , pueden ser

desechadas, e incorporadas otras .

En el apéndice se incluye un artículo titulado « Designing Process Capability

Studies» de George C. Runner, en donde se hace referencia a los beneficios de

los experimentos diseñados en el Control Estadístico de Procesos.

Una mayor información sobre estos métodos , puede encontrarse en el texto

"Diseño y Análisis de Experimentos" del mismo autor ya mencionado Douglas

C. Montgomery , del Grupo Editorial Iberoamericana .

EJERCICICIOS DE RECAPITULACION

1º) Los datos siguientes representan la resistencia a la presión interna de unas

botellas para bebidas gaseosas expresada en p.s.i, y están organizados en 20

muestras de 5 boteas cada una .

Muestra Nº Muestra Nº

1 265 205 263 307 220 11 268 260 234 299 215

2 197 286 274 243 231 12 267 281 265 214 318

3 346 317 242 258 276 13 300 208 187 264 271

4 280 242 260 321 228 14 250 299 258 267 293

5 265 254 281 294 223 15 260 308 235 283 277

6 200 235 246 328 296 16 276 264 269 235 290

7 221 176 248 263 231 17 334 280 265 272 283

8 265 262 271 245 301 18 280 274 253 287 258

9 261 248 260 274 337 19 250 278 254 274 275

10 278 250 265 270 298 20 257 210 280 269 251

a) Construya un gráfico de control ( X , R) . Analice si el proceso está bajo

control , y determine los límites de control .



b) Si las especificaciones exigen que las botellas para bebidas gaseosas deben

tener una resistencia interna mínima de 200 p.s.i . Analice si este proceso es

capaz de cumplir con esta especificación .

c) Estime el coeficiente de capacidad real , y el porcentaje de botellas que no

cumplen con la especificación .

d) Unifique las muestras , construya el histograma , verifique la normalidad del

proceso , y recalcule el coeficiente CPK, y el porcentaje de piezas fuera de

especificación .

Solución : a) Proceso bajo control . Para X : ( 210.46 ; 308.66 ) . Para R : ( 0 ;

163. 49 ) . b) No es capaz . c) CPK = 0.64 . 2.68 % .

2º) Las especificaciones para una pieza son 600 ± 20 . La producción de esta

pieza ha estado bajo control durante un largo tiempo , mediante el uso de un

gráfico ( X , R ) .

Los límites de este diagrama para subgrupos de tamaño 9 son:

Diagrama para X Diagrama para R

Límite Superior 616 32.36

Linea Central 610 17.82

Límite Inferior 604 3.28

a) ¿ Cuáles son sus conclusiones acerca de la capacidad del proceso ? .

b) Estime los coeficientes CP, CPK y el porcentaje de piezas fuera de

especificación.

Solución : a) No es capaz por no estar centrado . b) CP= 1.11 es

potencialmente capaz . CPK = 0.56 . 4.75 % fuera de especificación .

3º) Un proceso distribuido normalmente emplea el 66.67 % de la banda de

especificación, está centrado en la dimensión nominal, y se localiza a la mitad

entre los límites de especificación superior e inferior.



a) ¿ Cual es su coeficiente de capacidad actual CP ? .

b) ¿ Qué porcentaje de defectuosas produce actualmente ? .

c) Suponga que la media se corre a una distancia de exactamente 2

desviaciones típicas por debajo del límite superior de especificación. ¿ Cual es

ahora su nuevo coeficiente de capacidad real ? .

d) Después del corrimiento , ¿cuál es el nuevo porcentaje de piezas

defectuosas? .

Solución : a) CP = 1.50 . b) 3.40 por millón de piezas producidas . c) CPK = 0.67

d) 2.28 % .

4º) Se utiliza un diagrama ( X , R ) con subgrupos de tamaño 8 , para controlar

la resistencia a la tensión ( expresada en libras) de un hilo.

Se seleccionaron 30 muestras, se calculó para cada una su media y su rango , y

se obtuvo: Xi

i

i

1

30

= 607,80 , Ri

i

i

1

30

= 144 .

Suponiendo que el proceso queda bajo control , y que existe una especificación

inferior que establece que la resistencia de este hilo debe ser de 16 lb. como

mínimo, calcule el coeficiente de capacidad , y el porcentaje de piezas fuera de

especificación .

Solución : CPK = 0.84 no es capaz . 0.59 %

5º) Se utiliza un diagrama ( X , S ) , con subgrupos de tamaño 4 para controlar

una cierta característica de calidad .

Los límites de este diagrama son:

Diagrama para X Diagrama para S

Límite Superior 201.63 2.266

Línea Central 200.00 1.000

Límite Inferior 198.37 0

Suponiendo que el diagrama indica control, y que las especificaciones son

200.00 ± 2.50 .

a) ¿ Cuáles son sus conclusiones acerca de la capacidad del proceso ? .



b) Estime el coeficientes CP , y el porcentaje de piezas fuera de especificación .

Solución: CP = 0.77 no es capaz . 2.14 % .

6º) Un eje consiste en seis secciones diferentes colocadas una al lado de la otra.

Se sabe que las longitudes de estas secciones componentes son variables

aleatorias independientes, distribuidas normalmente con las siguientes medias y

varianzas : (8.10 ; 0.05) , ( 7.25 ; 0.04 ) , ( 9.75 ; 0.06) (3.45 ; 0.04) , (17.15 ;

0.10) y (6.20 ; 0.07) .

Si las especificaciones establecen que el eje ensamblado tenga una longitud de

(52.0 ± 1.5) pulgadas. Calcule el coeficiente de capacidad real del proceso de

ensamblaje, y el porcentaje de ejes fuera de especificación.

Solución : CPK = 0.78 no es capaz . 1.37%

7º) Dos resistencias son conectadas en serie, para armar un circuito cuya

resistencia total debe ser de (16.00 ± 0.25) ohmios.

Suponiendo que la resistencia de cada una, es una variable aleatoria

normalmente distribuida, ¿cuáles deben ser los límites naturales máximos de

variación de estas resistencias? , para que la conexión sea capaz de cumplir con

la especificación.

Solución : 8.0000 ± 0.1768



CAPITULO V : FUNDAMENTOS TEORICOS

Los diferentes métodos y procedimientos , destinados a estimar la capacidad de

un proceso industrial, y que han sido analizados en los capítulos anteriores,

tienen su fundamento en la “Teoría Estadística”, especialmente en la

“Estadística Matemática” .

Tal como se explicó en la introducción , el autor no ha querido condicionar la

explicación de estos métodos al desarrollo paralelo de su fundamentación ,

debido a que tal enfoque desvirtuaría el propósito de esta obra , la cual pretende

servir de referencia a aquellas personas , ingenieros , técnicos , empresarios

,científicos , auditores de calidad , etc., que para los fines de dar cumplimiento a

lo establecido en las Normas ISO-9000 , tengan que evaluar la capacidad de un

proceso industrial determinado .

El objetivo de este capítulo es imprimirle a la obra un carácter más académico ,

que muestre el fundamento teórico de los métodos , procedimientos y fórmulas

que han sido presentadas a lo largo de los cuatro capítulos anteriores , a fin de

que se entienda que detrás de toda esta metodología existe todo un basamento

teórico , y que los coeficientes , tablas y fórmulas utilizadas no tienen jamás un

carácter empírico ; sino que por el contrario , obedecen a un riguroso proceso

matemático de demostración .

La lectura de este capítulo no es necesaria para aquellas personas a quienes

solo interesa el aspecto metodológico, y para ellos es suficiente con los cuatro

capítulos anteriores .

Para una mejor comprensión, es conveniente que el lector repase algunos

conceptos previos de "Teoría de Probabilidades" e "Inferencia Estadística " ,

tales como :

Valor esperado y Varianza de Variables aleatorias.

Función generadora de momentos .

Funciones de variables aleatorias .

Métodos para la obtención de estimadores .

Estimadores insesgados .

La justificación de las diferentes propiedades y metodologías ha sido

desarrollada en el mismo orden en que han sido tratadas.



PROPIEDADES DE LA CURVA NORMAL

La función de densidad correspondiente a la curva normal es :

f x e( )1

2

--( )x

2

22 ; - < x <

A partir de allí se demuestra :

1º) Los parámetros "µ" y " 2" representan la media y la varianza de la

distribución .

En primer lugar "µ" y " 2" son parámetros porque para cualquier valor que ellos

tomen, el área bajo la curva es siempre igual a 1 , pues :

1

2 e dx

-(x- )

2

2

2

= 1

En efecto, si en esta integral hacemos el cambio de variable : z =x

se obtiene : 1

2 e dz

-2

2z

= 2 1

20 e dz

-2

2z

Haciendo la sustitución: t = 1

2 z2 dt = z dz dz =

1

2t dt , resulta:

2

2e

t

t 1

20dt =

1e

t

t 1

0 dt =

( )1

2 =1

lo que demuestra que efectivamente la ecuación de la curva normal corresponde

a una función densidad continua de probabilidad , y en donde "µ" y " 2 " son

parámetros .

Para demostrar que estos parámetros son realmente la media y la varianza de la

distribución, es necesario hallar primero su función generadora de momentos

MX( t) :



MX(t) = E(etX) = etx 1

2 e

-(x- )

2

2

2

dx

Para calcular esta integral es necesario sumar los exponentes que corresponden

a la base común “e”, luego completar cuadrados , , y se llega al siguiente

resultado: MX(t) = et t

1

22 2

Una vez obtenida la función generadora de momentos, por derivación sucesiva

y evaluando en t=0 , es posible obtener los diferentes momentos de la

distribución , y así :

dM t

dt

X( )= ( )2

1

22 2

t et t

E(X) = dM t

dt

X

t

( )

0

=

Derivando por segunda vez, y evaluando en t=0 : E(X2) = d M t

dt

X

t

2

2

0

( )= 2 + 2

En consecuencia: Var (X) = E (X2) - [ E (X) ]2 = 2, lo que completa la

demostración .

2º) La simetría respecto de la media es fácilmente demostrable, pues basta con

verificar que la ecuación de la curva , que como ya sabemos es:

f x e( )1

2

--( )x

2

22 ; no se altera cuando se sustituye ( x - µ) , por su

simétrico respecto de la media que es [- (x-µ)] .

Como consecuencia de la simetría, el coeficiente momento de sesgo se anula.

El coeficiente momento de sesgo poblacional para una variable aleatoria viene

dado por: = E X E X

Var X

( ( ))

( ( ))

3

3

2

.

El numerador de esta expresión puede ser desarrollado:

E( X - E(X) )3= E (X3- 3 X2 E(X) + 3X (E(X))2 - (E(X))3) =



E (X3) - 3 E (X2) E(X) + 3 E(X) (E(X))2 - (E(X))3 =

E (X3) - 3 E (X2) E(X) + 2 (E(X))3

Para la Normal, los dos primeros momentos respecto al origen ya son conocidos

pues: E ( X ) = µ ; E (X2) = 2 + 2, y el tercero puede ser obtenido a partir de

la tercera derivada de función generadora de momentos, en t=0:

E (X3) = d M (t)

dt

3X

3

t 0

= 3+ 3 µ 2 .

Reemplazando resulta :

E( X - E(X) )3= 3+ 3 µ 2 - 3 ( 2 + 2) + 2 3 = 0 = 0 .

3º) En cuanto a la propiedad de que la mediana de la Distribución Normal

también esta representada por el parámetro "µ" , la misma se desprende de la

simetría , y de que el área total bajo la curva es igual a 1 .

En efecto, por simetría : P ( X µ) = P (X > µ) , y como además :

P ( X µ) + P (X > µ) = 1 P ( X µ) = P (X > µ) = 1

2 " " es la mediana .

4º) También el parámetro "µ" es la moda de la distribución , pues al ser f(x) una

función del tipo exponencial , el máximo se alcanzará cuando el exponente sea

máximo ; y evidentemente [-( x - µ)2] es máximo , cuando x= µ.

5º) La demostración de que el coeficiente momento de curtosis vale "3" para

cualquier Distribución Normal , es quizás la más interesante , y parte de la

definición del coeficiente momento de curtosis para la población dado por:

= E X E X

Var X

( ( ))

( ( ))

4

2

E( X - E(X) )4= E (X4- 4 X3 E(X) + 6 X2 (E(X))2 - 4 X (E(X))3+ (E(X))4) =

E (X4 ) - 4 E(X3) E(X) + 6 E(X2) (E(X))2 - 4 E(X) (E(X))3+ (E(X))4=

E (X4 ) - 4 E(X3) E(X) + 6 E(X2)(E(X))2 - 3 (E(X))4

Los tres primeros momentos ya se conocen, y el cuarto se obtiene derivando por

cuarta vez la función generadora de momentos, y evaluando en t=0 :



E(X4) = d M (t)

dt

4X

4

t 0

= 4 + 6 2 2+ 3 4

E( X - E(X) )4 = 4 + 6 2 2 + 3 4 -4( 3 + 3 2 ) + 6 ( 2 + 2) 2 - 3 4 =

3 4

y como Var (X) = 2 = 3

2 2

4

( ) = 3

Con relación al valor 0,263 para el coeficiente percentílico de curtosis , el mismo

sale de las tablas normales , pues como es sabido este coeficiente se calcula

mediante la expresión :

Coeficiente percentílico de curtosis = =

1

23 1

90 10

( )Q Q

P P

Según las tablas : Q3= µ + 0.674 ( 75% de área a la izquierda )

Q1 = µ - 0.674 ( 25% de área a la izquierda

P90= µ + 1.282 ( 90% de área a la izquierda )

P10= µ - 1.282 ( 10% de área a la izquierda )

Sustituyendo en la expresión, resulta el valor 0,263 antes señalado , para

cualquier curva normal , independientemente de sus parámetros .

ESTIMACION DE LOS PARAMETROS DE UNA DISTRIBUCION NORMAL

A lo largo de toda la obra se ha planteado el problema de la estimación de los

parámetros de una Distribución Normal .

Esta estimación resulta indispensable para estimar la capacidad del proceso , y

hemos visto que para el caso del parámetro " " no hay lugar a dudas de que la

media de la muestra " X " , resulta el mejor estimador ; mientras que para el

parámetro " 2" no existe un estimador óptimo .

La justificación teórica de esta situación es la siguiente:



Para estimar los parámetros de una distribución cualquiera, existen dos métodos

importantes : el de máxima verosimilitud y el de momentos .

La aplicación de cualquiera de estos dos métodos a la Distribución Normal, en

base a una muestra aleatoria X1, X2 , ...., Xn proveniente de la variable "X",

conduce a los mismos estimadores , cuales son:

= Media Muestral = X =

Xi

i

i n

n1 ; 2 =Varianza Muestral = S2=

(X Xi

i

i n

n

)2

1

En efecto, al aplicar el método de máxima - verosimilitud a la Distribución

Normal , y en base a una muestra aleatoria X1, X2 , ...., Xn, encontramos que la

función de verosimilitud viene dada por la función de densidad conjunta de la

muestra :

L(X1, X2 , ...., Xn) = 1

2

1

2

12

2

2

22 2e e

x xn( ) ( )

= 1

2

2

1

22n n

x

e

i

i

i n

( )

( )

Los estimadores son aquellos valores de los parámetros que le dan a la muestra

máxima verosimilitud, y para obtenerlos hay que maximizar a la función de

verosimilitud L(X1, X2 , ...., Xn), para lo que resulta más cómodo maximizar su

logaritmo, puesto que los productos se transforman en sumas lo que facilita la

derivación ,y por ser el logaritmo una función creciente , en donde éste alcance

su máximo , la función también .

Tomando logaritmos : ln L = - n ln - n

2 ln(2 ) -

( )xi

i

i n2

122

; y luego derivando

parcialmente para hallar los valores que maximizan resulta:

ln( )

ln( )

Lx

L nx

i

i

i n

i

i

i n

= 2 = 0

= - + 2 = 0

12

2

13

2

2

; simplificando:

( )

( )

x

-n

x

i

i

i n

i

i

i n

1

2

12

= 0

+ = 0



y al resolver el sistema, se obtienen los estimadores:

( )

x

n

x

nS

i

i

i n

i

i

i n

1

2

1

= X

=

X

= 2 2

Al analizar el Hessiano con las segundas derivadas , se comprueba que se trata

de un máximo .

El método de momentos también conduce a los mismos estimadores , tal como

se demuestra a continuación :

Según este método , los momentos muestrales se utilizan para estimar a sus

correspondientes poblacionales , y partir de esa estimación se obtiene la de los

parámetros .

Para la Normal , los momentos poblacionales son :

E X

E X

( )

( )2 2 2

mientras que los momentos muestrales son:

m

m

x

n

i

i

i n

1

2

2

1

X

Para hallar los estimadores por este método de momentos , es necesario

resolver el siguiente sistema para y 2 :

X

22

2

1

x

n

i

i

i n

cuya solución es:

( )

X

X =

X

= 2 2

x

n

x

nS

i

i

i n

i

i

i n2

1 2

2

1



Esto demuestra que los dos métodos proporcionan los mismos estimadores,

pero sin embargo, el de 2 no es óptimo por la razón siguiente:

Un buen estimador puntual debe reunir cuatro requisitos:

a) Ser insesgado.

b) Ser consistente.

c) Ser suficiente.

d) Tener mínima varianza.

Cuando se examina a los estimadores anteriores a la luz de estas propiedades,

se encuentra que " X " las cumple todas, y por tanto es el mejor estimador

posible para " " .

Con S2 no ocurre lo mismo , pues no es ni insesgado ni de mínima varianza , y

por lo tanto no es un estimador óptimo para 2.

Para suplir esta deficiencia , se han propuesto otros estimadores , entre los

cuales el más importante es : 2 = Cuasivarianza Muestral = Sc2 =

( )x

n

i

i

i n

X 2

1

1

Este estimador tampoco es de mínima varianza , pero es insesgado , y por ello

algunos autores lo prefieren frente al de máxima verosimilitud.

En la bibliografía estadística es frecuente que se designe por S2 indistintamente

a uno u otro estimador , y se les llame a ambos "Varianza Muestral" , lo que

obviamente ocasiona una gran confusión a los lectores no enterados de la

problemática .

Otro estimador para " " es : = 2

x

n

i

i

i n

X1

Este estimador es insesgado , tal como se demuestra a continuación :

Sea: X N( ; 2) , y sea: Y = | X - | .

Como Y = | X - | , se tiene : Y =

( )

( )

X ; X

X ; X

si

si



Una de las propiedades del valor esperado establece que si Y = (X) , y "X" es

una variable aleatoria continua con función densidad f(x) , entonces el valor

esperado de la variable “Y” viene dado por : ( )f( )dxx x .

Aplicando esta propiedad al caso en que la variable “X” es una normal, se

obtiene:

E(Y) = ( )

( )

x e dx

x1

2

2

22 + ( )

( )

x e dx

x1

2

2

22 =

Por simetría: E(Y) = 21

2

2

22 ( )

( )

x e dx

x

Con el cambio de variable: z =x

se obtiene : E(Y) = 2 z e dz

z

02

1

2

2

E(Y) = -2

2

2

2

0

e

z

= 2

Basándonos en este resultado , tenemos entonces que para el caso de una

muestra aleatoria X1, X2 , ...., Xn , obtendremos entonces "n" desviaciones

absolutas Y1, Y2 , ...., Yn, cada una con valor esperado igual al obtenido

anteriormente .

Por tanto, si se define el estimador de " " como: = 2

X

n

i

i

i n

1=

2

Y

n

i

i

i n

1

se concluye que : E( )=2

E Y

n

i

i

i n

( )1

= 2

2 = ; lo que demuestra que

el estimador es insesgado .

Es importante recordar que sobre estimador se apoya la Prueba de Geary,

analizada en el segundo capítulo

Otros estimadores para " " son los basados en la gráfica de control (Pag. 64),

que son los que realmente se utilizan para estimar la capacidad del proceso:



= R

d2 Gráfico ( X , R) ; =

R

c4 Gráfico ( X , S)

La justificación teórica de estos estimadores será analizada más adelante.

FUNDAMENTO DE LAS TABLAS NORMALES

Es sabido de la Teoría de Probabilidad , que para encontrar la probabilidad de

que una variable aleatoria continua "X" , tome un valor dentro de un intervalo

[a,b] , es necesario integrar su función de densidad f(x) entre esos límites, lo que

da como resultado el área bajo la curva en el intervalo.

Cuando este concepto lo aplicamos a la curva normal , encontramos lo

siguiente:

Esta integral no ha podido ser resuelta por los métodos ordinarios de

integración, y se ha tenido que recurrir a métodos numéricos.

Si se resolviera la integral para valores particulares de los parámetros "µ" y " " ,

nos encontraríamos con el problema de que las tablas serían incompletas , pues

su uso estaría limitado a aquellas aplicaciones en donde los parámetros tomen

valores contenidos en la tabla .

La tipificación de la normal aparece entonces como una respuesta a la

necesidad de elaborar unas tablas generales , que puedan ser utilizadas para

cualquier valor de los parámetros .

La tipificación de la Normal puede ser demostrada por dos procedimientos

diferentes:

1º) Haciendo en la integral el cambio de variable: z =x

Por efecto de esta sustitución, la integral queda transformada en :

P (a X b) = e dz-

21

2

2

a

b z



En la nueva integral, los parámetros no aparecen dentro de la función a integrar,

y además se observa que esta función corresponde a la función de densidad de

una curva normal con = 0 y =1, que se define como la Normal Tipificada o

Estándar .

De lo anterior se deduce entonces que el área bajo la curva en una normal

cualquiera para un intervalo [ a , b ] , es igual al área bajo la normal tipificada

entre los límites a -

y b -

.

Las tablas dan el resultado de la integración numérica correspondiente a la

función de densidad de la normal tipificada desde "- " hasta un límite

cualquiera "z' , es decir su función de distribución: (z) = e dy-

21

2

2

zy

. y

éste es el fundamento del procedimiento explicado en el uso de las tablas

normales.

Con relación al uso de la tablas, es fácil ver por simetría las siguientes

relaciones entre las lecturas :

(-z) = 1 - (z)

D(z) = (z) - (-z) = (z) - ( 1 - (z) ) = 2 (z) -1

Los porcentajes de 68.27% , 95.42 % y 99.73 % dados en la Pag. 3 , y sobre los

cuales se apoya toda la Teoría de Gráficos de Control , salen de las tablas

Normales , pues para una Normal cualquiera al tipificarla se tiene :

P ( µ - X µ + ) = P ( -1 Z 1 ) = D ( 1 ) = 0.6827 .

P ( µ - 2 X µ + 2 ) = P ( -2 Z 2 ) = D ( 2 ) = 0.9545.

P ( µ - 3 X µ + 3 ) = P ( -3 Z 3 ) = D ( 3 ) = 0.9973 .

2º) Otra manera de demostrar la tipificación de la normal es a partir de su

función generatriz de momentos .

En efecto si X N(µ ; 2), y se define la variable Z = X -

La función generatriz de momentos de la variable "Z" será :

MZ(t) = E(et Z) = E( etX

)= E( etX

et

)=et

E( etX

)



Teniendo en cuenta que la función generatriz de momentos para la Distribución

Normal , es: MX(t) = E(etX) = et t

1

22 2

, se deduce entonces que:

E( etX

) = Mx (t

( ) ) = e

t t1

22

2

2

= e

tt

1

22

; y por lo tanto :

MZ(t) =et

e

tt

1

22

= et

1

22

; que corresponde a la función generatriz de

momentos de una Distribución Normal con =0 y =1 , lo que demuestra que la

transformación Z = X -

convierte a una Distribución Normal cualquiera en la

Normal Tipificada , y de allí la razón de las tablas normales .

PROCESOS CENTRADOS

En el Capítulo I se estableció la conveniencia de que un proceso esté centrado ,

y posteriormente, al considerar la Capacidad del Proceso , se enunció el

siguiente Teorema:

" Dada una Distribución Normal con desviación típica " " , y un intervalo fijo [a,b], el

área bajo la curva en el intervalo será máxima cuando la media de la distribución

coincida con el punto medio del intervalo " .

Sobre este Teorema se fundamenta el hecho de que la capacidad máxima del

proceso se obtiene cuando está centrado. Su demostración es la siguiente:

Supongamos que tenemos un intervalo fijo [a ,b] , y que la media de la

Distribución está ubicada en un punto cualesquiera " " ; el área bajo en el

intervalo [a, b] será entonces una función de " " .

Designando por ( ) a la referida función, se tiene que :

( ) = 1

2a

b e dx

-(x- )

2

2

2

= e dz-

21

2

2

a

b z

= (b -

) - (a -

)



Se busca aquel valor de " " que maximiza el área bajo la curva en el intervalo

[a, b] , para lo cual hay que derivar ( ) : ´( ) =1

( )b

+ 1

( )a

= 0

Como (z) representa la Función de Distribución de la Normal Tipificada, su

derivada ´(z) será su función de densidad , que como se sabe es :

´(z)= f(z) = 1

2 e

-z

2

2

La primera derivada de la función ( ) igualada a

cero proporciona entonces la siguiente ecuación:

´( ) = 1

1

2 e

-(b- )

2

2

2

+ 1

1

2 e

-(a- )

2

2

2

= 0 e-(b- )

2

2

2

= e-(a- )

2

2

2

.

lo que conduce a : b- = - ( a- ) , pues por hipótesis a b.

b- = - ( a- ) = a b

2 La primera derivada ´( ) se anula en el punto

central del intervalo [a ,b] .

Al hacer un análisis con la segunda derivada ´´( ) , se encuentra que para

= a b

2 se cumple: ´´( ) < 0 ,lo comprueba que en él se alcanza un máximo.

Cuando el teorema anterior se aplica al caso particular, en el que el intervalo fi jo

[a, b] está representado por los límites de la especificación [L I , LS] , se concluye

entonces que un proceso centrado tiene máxima probabilidad de producir una

pieza dentro de los límites de especificación, y por lo tanto tiene máxima

capacidad .

También se mencionó que en algunas oportunidades conviene descentrar el

proceso. Esta situación se da cuando el costo de una pieza defectuosa es

diferente por un lado que por el otro .

Para encontrar el punto donde debe ubicarse la media del proceso , en

situaciones como esta se procede como sigue :

Supongamos que la pieza debe encontrarse entre los límites de especificación

[LI , LS] , y que cuando cumple con la especificación el beneficio para la empresa

es de Bs. K, dado por la diferencia entre el precio de venta de una pieza buena y

el costo de producirla.



Supongamos también que una pieza defectuosa puede ser corregida y llevada a

los límites de especificación, pero que debido al costo de la corrección el

beneficio disminuye .

Sea K1< K , el beneficio obtenido por una pieza que se encuentre por debajo del

límite inferior , y sea K2< K el beneficio obtenido por una pieza por encima del

límite superior . Estos valores se obtienen restando del precio de venta de una

pieza buena el costo de producirla y el costo de corregirla.

En caso de que la pieza no se pueda corregir por alguno de los dos extremos,

entonces K1 ó K2 serán negativos, y representan la pérdida por producir una

pieza defectuosa , que es su costo de producción .

Designando por "Y" al beneficio por producir una pieza, tenemos que su valor

esperado será :

E ( Y ) = K1 P ( X < LI ) + K P ( LI X LS) + K2 P ( X >LS) = ( )

Este valor esperado es una función ( ) de la media del proceso, y lo que se

busca es aquel valor de “ “ que maximiza la ganancia esperada .

Tipificando a la variable "X" se obtiene:

( ) = K1 P ( Z < LI

) + K P (LI

X LS

) + K2 P ( X >LS

)

( ) = K1 (LI

) + K [ (LS

) - (LI

)]+ K2 [1- (LS

)] =

( ) = (K1 -K) (LI

) + ( K- K2 ) (LS

) + K2

Al derivar para hallar el valor de “ ” que maximiza, resulta :

´( ) = (K1 -K) (-1

) ´(LI

) + ( K- K2 ) (-1

) ´(LS

) = 0

Teniendo en cuenta que ´(z) representa la función de densidad de la Normal

Tipificada, y simplificando , resulta :

(K1 -K) e-(L - )

2

I2

2

+ ( K- K2 ) e-(L - )

2

S2

2

= 0 ( K- K2 ) e-(L - )

2

S2

2

= (K -K1) e-(L - )

2

I2

2

+



ln( K- K2 )( -(L - )

2

S2

2) = ln(K -K1) ( -

(L - )

2

I2

2)

Al despejar de esta expresión, se obtiene : = L LI S

2 +

2

L LS I ln

K K

K K

1

2

Esta fórmula es muy importante, pues permite determinar el punto donde debe

ubicarse la media del proceso para obtener el máximo beneficio esperado , y en

ella puede verse que cuando K1 = K2 , es decir cuando el beneficio o la pérdida

es el mismo a ambos lados de la distribución , el proceso debe estar centrado.

De esta fórmula también se deduce que cuando K1 < K2 , es decir cuando el

beneficio es mayor del lado derecho que del izquierdo , que es la situación más

frecuente pues las defectuosas por la izquierda por lo general son incorregibles,

entonces la media del proceso debe estar corrida hacia la derecha .

TAMAÑO DE MUESTRA REQUERIDO PARA UNA PRUEBA BILATERAL DE

MEDIA

La justificación de la fórmula dada en el Capítulo II , es la siguiente :

En una prueba de hipótesis del tipo : Ho

H

:

:

0

1 0

con varianza 2 conocida , la zona de aceptación es : z n z/ /20

2X

es decir : 0 2zn

/ X 0 2zn

/

Si el proceso se desajusta y pasa a producir con una media 1, se quiere que la

probabilidad de no detectar tal desajuste y seguir aceptando que = 0, sea

apenas " " ,es decir: P( 0 2zn

/ X 0 2zn

/ = 1) = .

Supongamos que 1 > 0, es decir que la media se corrió hacia la derecha.



Despreciando el área a la izquierda del límite

0 2zn

/ ; se tiene que el área bajo la zona de

aceptación de H0 es

Teniendo en cuenta para tipificar , que la varianza de la media muestral " X " es

2

n , se obtiene :

0 2 1zn

n

/

= - z .

Al despejar “n” , se llega a la fórmula: n = ( )

( )

/z z

22 2

12

0

A una fórmula idéntica se llega, si se supone que la media se corrió hacia la

izquierda.

DISTRIBUCION DEL RANGO MUESTRAL

La obtención de los diferentes coeficientes utilizados en la construcción de un

gráfico de control ( X , R ) , así como la posterior estimación de los parámetros del

proceso , está fundamentada en la distribución de la variable aleatoria "Rango

Muestral " .

Por este motivo , no es posible explicar la teoría que sustenta la construcción de

tales gráficas , sin antes analizar este problema .

Como es sabido , el Rango de una muestra aleatoria X1, X2 , ...., Xn, es un

estadístico definido como :

R = Máximo { X1, X2 , ...., Xn } - Mínimo { X1, X2 , ...., Xn } .

Para hallar la distribución de "R" , comencemos por encontrar la distribución de



U = Máximo { X1, X2 , ...., Xn } y la de V = Mínimo { X1, X2 , ...., Xn } , para un

caso general , en donde la variable observada "X" , tiene una función de

densidad continua cualesquiera f(x) .

Estamos en presencia de un caso de una función de variables aleatorias, y

aplicando el método de la "Función de Distribución" , para la variable "U" :

G(u) = P (U u) = P(X1 u X2 u ...... Xn u ) = [P(X u)]n

P(X u) = f xu

( )dx G(u) = ( ( )dx)f xu n

Al derivar para obtener la función de densidad de “U” resulta:

g(u) = n f f xu n (u) ( ( )dx) 1

Al proceder de manera análoga con “V” se obtiene:

H(v) = P (V v) = 1 - P (V > v) = 1- P(X1 > v X2 > v ...... Xn > v )

= 1 - [P( X > v)] n .

P( X > v) = f xv

( )dx H(v) = 1 - ( ( )dx)f xv

n h(v) = n f v f xv

n ( ) ( ( )dx) 1

Como las variables "U" y "V" no son independientes, no es posible multiplicarlas

para hallar su función de densidad conjunta, y de allí obtener la función de

densidad de R = U - V .

El razonamiento para encontrar (u,v) , función de densidad conjunta entre U y

V , es el siguiente:

Para que "U" caiga en el intervalo (u , u +du) , y simultáneamente "V" en el

intervalo (v , v + dv) , es necesario que una cualquiera de las "n" observaciones

caiga en (u , u +du) , otra cualquiera en (v , v + dv), y las ( n- 2) restantes en el

intervalo ( v + dv, u) .

Tomando en cuenta que tenemos "n" observaciones de "X" , y que la menor

puede ser cualquiera de ellas , la mayor cualquier otra , y las intermedias las

(n - 2) restantes, el número de permutaciones entre las observaciones es según

la fórmula multinomial: n!

1 1 2 ! ! ) !(n-= n (n-1)



La probabilidad de que los eventos anteriores ocurran es :

(u,v) du dv = n (n-1) [ f(u) du ] [ f(v) dv] ( ( )f x dxv

u n

)2

.

y en consecuencia : (u,v) = n (n-1) f(u) f(v) ( ( )f x dxv

u n

)2

.; v u

(u,v) = n (n-1) f(u) f(v) ( F(u) - F(v)) n-2.; v u

Una vez encontrada la función de densidad conjunta entre U y V , ya es posible

hallar la función de densidad del Rango R = U - V , aplicando nuevamente el

método de la función de distribución , según el cual :

Q ( r ) = P ( R r ) = P ( U - V r ) = P ( U V + r )

Esta probabilidad se calcula por integración de la función conjunta:

Q ( r ) = nv

v r(n )1 f(u) f(v) ( F(u) - F(v)) n-2 du dv

Q( r ) = n (n -1) f v( )dv fv

v r(u) ( F(u) - F(v)) n-2 du

La segunda integral puede ser resuelta mediante la sustitución : y = F(u) , pues

dy = f(u) du , y cambiando los límites de integración resulta :

Q( r ) = n (n -1) f v( )dv ( ))( )

( )y F(v dyn

F v

F v r 2

Q( r ) = n f v F(v r F(v dvn( )( ) )) 1

Por último, al derivar la función de distribución Q(r) , se obtiene la función de

densidad " q(r) " para el rango muestral , y resulta :

q( r ) = n ( n -1 ) f v F(v r F(v f v rn( )( ) )) ( )dv2 ; r 0

Cuando la expresión anterior se aplica al caso de la Distribución Normal, el

problema adquiere una dimensión muy compleja desde el punto de vista



matemático, pues su función de densidad f(x), no es posible integrar, y por lo

tanto no es posible obtener expresiones analíticas exactas para las funciones

F(v+r) ni F(v) .

Para resolver tal situación, existen algunas expresiones, obtenidas por

desarrollos en serie u otros métodos numéricos, que permiten con bastante

exactitud aproximar a f(x) ó a F(x) .

Una de tales fórmulas, es por ejemplo la siguiente:

(z) 1 - 1

2

83 351 562

703165

e

z z

z

( )

; 0 < z < 5.5

Esta fórmula permite generar la tabla de la Función de Distribución para la

Normal Tipificada , con valores de "z" comprendidos entre 0 < z < 5.5 , con un

error relativo inferior al 0,042% .

Teniendo en cuenta que F(x) = ( x

) , y mediante el uso de fórmulas

polinómicas aproximadas para desarrollar en serie una función exponencial , es

posible resolver la integral para " q(r) " , y luego obtener el valor esperado del

rango muestral mediante la resolución de la integral.

E(R) = r0

q(r) dr =d2

El valor esperado del Rango Muestral resulta proporcional a " " ; ésta

constante de proporcionalidad , es la que se designa por el coeficiente "d2" en

las respectivas tablas , y su valor obviamente depende de "n" .

Cuando se construye la gráfica ( X , R) , el Rango Medio " R " de los diferentes

subgrupos es un estimador de E(R) , pues la media muestral de cualquier

variable es siempre un estimador insesgado de su valor esperado , y de allí la

justificación del procedimiento descrito, según el cual :

E(R) = R = d2 = R

d2

A partir de " q(r) " se obtiene tambíen la "Desviación Típica del Rango Muestral",

que se necesitará luego para determinar los límites de control correspondientes

a "R", que también resulta proporcional a " " , siendo "d3" la constante de

proporcionalidad .



E(R2) = r q2

0(r)dr ; Var ( R ) = E(R2) - [ E(R) ]2 ; y se llega a R= Var R( ) =d3

El valor numérico del coeficiente "d3" depende de "n" , y se encuentra en las

tablas de "Constantes para las Gráficas de Control".

Lamentablemente no existe una fórmula general que permita generar el valor de

los coeficientes d2 y d3 en función del tamaño de muestra "n" , y es necesario

calcularlos evaluando la integral por métodos numéricos , para cada valor de "n"

.

Para el caso particular n=2 , es posible calcular el valor de los coeficientes “ d2 “

y “d3”,sin necesidad de métodos numéricos , mediante el siguiente

razonamiento:

En este caso, el rango muestral , puede definirse como: R = | X2 - X1|

siendo X1 y X2 dos observaciones independientes provenientes de un proceso

normal , con media µ y varianza 2 .

Por ser la variable Y = X2 - X1 una combinación lineal entre dos normales

independientes obtenemos que: Y ( 0 ; 2 2) (Veáse Pag. 118) , y además

R = | Y | .

Al ser la variable "Y" una normal de media "0" y varianza 2 2, podemos aplicar la

propiedad ya demostrada, y obtenemos:

E(R) = 2

2 = 2

Se definió "d2" como la constante de proporcionalidad entre E(R) y " " , por tanto

, para el caso n=2 se tiene: d2 = 2

= 1.128 ; tal como aparece en las tablas .

Para hallar la varianza del Rango Muestral , se tiene:

Var ( R ) = E(R2) - [ E(R) ]2 ;

E(R2) = E(X2- X1)2= E(Y2) = Var (Y) ; por tener "Y" valor esperado igual a cero.

Pero Var (Y) = 2 2 E(R2) = 2 2 y por tanto :

Var ( R ) =2 2 - 4 2 = (2

4 2 )



"d3" se definió como la constante de proporcionalidad entre R = Var R( ) , y .

Por tanto para el caso n=2 : d3= 24

= 0.853

LIMITES DE CONTROL PARA LA GRAFICA ( X , R)

Cuando se elabora una gráfica ( X , R) y resulta estar bajo control , lo que se

está haciendo en realidad , es una prueba de hipótesis bilateral para la media

del tipo: Ho

H

:

:

0

1 0

en donde 0 es la “Gran Media” , representada por la media

histórica del proceso; de forma que cuando la muestra cae entre los límites de

control para la media , lo que se está aceptando es que el proceso está

operando sin cambios significativos con relación a la forma como lo venía

haciendo en el pasado.

Si la varianza " 2 " del proceso fuera conocida , esta hipótesis resultaría

aceptada cuando : 0 2zn

/ X 0 2zn

/

Los dos extremos de este intervalo definen los límites de control para la media

de la muestra , con las siguientes modificaciones :

a) 0 está representado por la “Gran Media “ X ”

b) Z /2 = 3, lo que trae como consecuencia que el nivel de significación de la

prueba sea de apenas 0.27% , o lo que es lo mismo , en caso de que no exista

un corrimiento real de la media con relación a su promedio histórico , la muestra

tiene una probabilidad de 99.73 % , de caer entre los límites de control .

c) Como el valor de " " es desconocido, se sustituye por su correspondiente

valor estimado a partir del gráfico de control, que tal como hemos visto es

= R

d2 .

Por las aproximaciones anteriores, se obtiene que los límites del intervalo de

aceptación para la Hipótesis son:

U C L. . X 0 2zn

/ = X + 3 R

d n2 = X + A2 R



L C L. . X = 0 2zn

/ = X - 3 R

d n2= X - A2 R

En consecuencia, tenemos que la justificación del coeficiente A2 es:

A2 = 3

2d n

Con relación a los límites de control para el rango, lo que se hace es definir el

intervalo R ± 3 R, que en realidad no tiene una probabilidad de 99.73% para el

"Rango Muestral" , pues éste no sigue una Distribución Normal .

Teniendo en cuenta que : R = d3 , y que el valor estimado de " " es = R

d2,

se obtiene que : R = d3 R

d2 .

Los límites de control para el "Rango Muestral" serán entonces :

U C LR. . = R+ 3 R = R dR

d + 3 3

2 = (1+ )

3 3

2

d

d R = D4 R

L.C.LR = R - 3 R = R dR

d - 3 3

2 = (1- )

3 3

2

d

d R = D3 R

La relación entre los coeficientes es en consecuencia :

D4= 1 +3 3

2

d

d ; D3 = 1-

3 3

2

d

d 0

JUSTIFICACION DE LA GRAFICA ( X ,S)

Para justificar la metodología de construcción de una gráfica ( X ,S), es necesario

hallar primero la Distribución estadística de la variable aleatoria "S" , al igual que

como se hizo antes con la variable aleatoria "R" .

Para hallar esta Distribución , partimos de una ya conocida que es la de "S2 "*4.



En efecto , en la Inferencia Estadística se demuestra mediante la aplicación de

"Formas Cuadráticas" , que la variable (n )S1 2

2 se distribuye como una Chi -

Cuadrado con (n-1) grados de libertad .

Designando por "U" a la referida variable tenemos entonces :

U =(n )S1 2

2 2 (n-1)

La función de densidad de "U" es conocida , y su expresión es :

f(u) = 1

1

22

1

2

1

21

2

( )n

u en

n u

; u>0

y puesto que la variable "S" , esta relacionada con "U" a través de :

S = U

n 1

se cae en un problema de " Funciones de variables aleatorias" , en donde se

quiere hallar la función de densidad de "S" a partir de la de "U" .

Para resolverlo , se aplica el método de la Función de Distribución , y se obtiene:

G(s) = P ( S s) = P ( U

n 1 s ) = P ( U

ns

12

2 )

G(s) = 1

1

22

1

2

1

21

20

12

2

( )n

u e dun

n uns

Esta integral corresponde a la "Función de Distribución" de la variable "U" , en el

valor n

s1

22 , es decir : G (s) = F (

ns

12

2 ) .

Por derivación de G(s) , se obtiene la función de densidad correspondiente a "S"

, y resulta :

g ( s) = G´ (s) = F´ (n

s1

22 )

2 12

(n ) s =

2 12

(n ) s f(

ns

12

2 )



g ( s) = 1

1

22

1 2 11

2

22

1

21

1

22

2

2

( )

)(n )

n

ns e s

n

n ns

(

Al simplificar, se obtiene el resultado buscado, función de densidad de la

variable aleatoria "S" :

g(s)=1

1

22

13

2

2

1

2

1

2 22

2

( )

)n

ne s

n

n ns

n

(

; s 0

El valor esperado de "S" es en consecuencia: E(S) = s g(s) ds0

E(S) = sn

ne s ds

n

n ns

n

o

( 1

1

22

13

2

2

1

2

1

2 22

2

( )

)

Esta integral puede ser resuelta mediante la sustitución: y = n

s1

2 22

Hecha la sustitución, y las simplificaciones algebraicas de rigor , se llega a:

E(S) = 1

1

2

21

0( )n

y dy

n-y

2

n -1 e

La integral obtenida es justamente ( )n

2 , y por lo tanto :

E(S) = 1

1

2

2( )

( )n

n

2

n -1 = c4

en donde el coeficiente c4 , viene dado por la expresión : c4 = ( )

( )

n

n2

1

2

2

n -1



Las tablas lo que hacen es computar el valor de c4 , para diversos valores del

tamaño de muestra "n" , y así por ejemplo :

Para n=2 c4 = ( )

( )

2

1

2

2 c4 = 1

2 =2

= 0.7979

Para n=5 c4 = c4 =( )

( )

5

22

2

4

3

2

1

2 3

4 2

2 = = 0.9400

Una mayor explicación sobre las propiedades de la Función Gamma, puede

encontrarse en los textos de "Cálculo Avanzado" , como por ejemplo el de

Murray R. Spiegel , de la colección Schaum de la Editorial Mac.Graw Hill .

Una vez encontrado E(S) , es necesario ahora hallar Var ( S) , a fin de poder

calcular los límites de control para "S" .

Como Var (S) = E (S2) - [ E(S)]2 , se plantea el problema de calcular E (S2) , el

cual pudiera ser resuelto , resolviendo la siguiente integral : E (S2) = s g s2

0( )ds

Este camino es sin embargo muy complicado, y resulta mucho más sencillo para

encontrar E (S2), aprovechar la demostración que se hace en “Inferencia

Estadística” , para comprobar que S2 , es un estimador insesgado para 2, y

según la cual : E (S2) = 2 .

En conclusión : Var ( S ) = 2 - c42 2 = (1 - c4

2 ) 2 s c1 42

Al tener E(S) y s ,ya se está en condiciones de justificar los límites de control

para la gráfica ( X ,S).

Como ya se explicó antes, la gráfica es realidad una Prueba de Hipótesis

bilateral para la media, del tipo: Ho

H

:

:

0

1 0; en donde si

la varianza " 2" del proceso fuera conocida , H0 resultaría aceptada cuando :

0 2zn

/ X 0 2zn

/

Se hacen las mismas consideraciones anteriores, y se tiene:



a) 0 está representado por la “Gran Media “ X

b) Z /2 = 3.

c) Como el valor de " " es desconocido, hay que estimarlo, y en dicha

estimación es en donde se diferencia ésta gráfica con la ( X ,R).

Se demostró que : E(S) = c4 , y se sabe que la media de las desviaciones

típicas muestrales S , es un estimador insesgado de E(S) . Por lo tanto :

E S( ) = S = c4 = S

c4

Sustituyendo el valor estimado , en los límites de aceptación para H0, se

obtienen los límites de control , y resulta:

U C L. . X 0 2zn

/ = X + 34

S

c n = X + A3 S

L C L. . X = 0 2zn

/ = X - 34

S

c n = X - A3 S

En consecuencia , tenemos que la justificación del coeficiente A3 es :

Ac n

34

3

Con relación a los límites de control para la desviación típica muestral , la

justificación es prácticamente la misma que para el Rango Muestral, y están

basados en el intervalo S ± 3 s , que a pesar de no tener una probabilidad de

99.73% por no ser la variable "S" una Distribución Normal , tiene según la

Desigualdad de Chebyshev una probabilidad de por lo menos 88.89% de

contener al valor de "S" de una muestra aleatoria , proveniente de un proceso

bajo control.

Teniendo en cuenta que : s c1 42 , y que el valor estimado de “ ” es:

= S

c4, se obtiene que : s c

S

c1 4

2

4

Los límites de control para el "Rango Muestral" serán entonces :



U C L S S cS

cs s. . 3 3 1 4

2

4 = + = B4 S

L C L S S cS

cs s. . 3 3 1 4

2

4 = - = B3 S

La relación entre los coeficientes es en consecuencia :

Bc

c4

42

41

3 1 ; B

c

c3

42

41

3 10

EFECTOS DE LA NO NORMALIDAD

Una gran limitación de las gráficas de control es el supuesto de normalidad para

la Distribución subyacente.

Esta limitación ha quedado manifiesta en este capítulo, donde todas las

demostraciones anteriores, parten del supuesto de que f(x), función de densidad

para la característica de calidad de las piezas individuales, es la correspondiente

a una Distribución Normal .

Evidentemente si este axioma no se cumple, toda la teoría anterior pierde su

fundamento.

Algunos autores han investigado el efecto de la no normalidad sobre la teoría de

los gráficos de control, especialmente en los ( X ,R).

A continuación se transcribe textualmente lo que el Dr. Douglas C. Montgomery

dice sobre el particular , en su texto : "Control Estadístico de la Calidad" :

«Varios autores han estudiado el efecto de las desviaciones respecto de la normalidad, en

los diagramas de control. Burr ( 1967) hace notar que las constantes de los límites de

control según la teoría normal común, son muy sólidas respecto a la suposición de

normalidad, y pueden utilizarse a no ser que la población sea extremadamente anormal.

Schilling y Nelson ( 1976) también estudiaron el efecto de lo no normalidad sobre los

límites de control del diagrama de x . Investigaron la Distribución uniforme, la de

triángulo recto, la gamma ( con = 1 , r = 1/2 , 1, 2, 3 y 4), y dos bimodales, formadas

por la combinación de dos distribuciones normales. Su estudio indica que en la mayoría

de los casos, es suficiente con utilizar muestras de tamaño 4 ó 5 para asegurar una solidez

razonable con respecto a la suposición normal. Los peores casos se observaron para

valores pequeños de "r" en la distribución gamma [ r = 1/2 y r =1(la distribución



exponencial)] . Por ejemplo, tales investigadores informan que el riesgo " " real es de

0.014 ó menos, si n 4 para la distribución gamma con r = 1/2 , en contraste con un

valor teórico de 0.0027 para la distribución normal.

Mientras que el uso de límites de control de tres sigma en el diagrama de X producirá un

riesgo " " de 0.0027 si la distribución subyacente es normal, no se puede decir lo mismo

para el diagrama de R. La distribución muestral de R es asimétrica, incluso en un

muestreo a partir de la distribución normal, y la larga extremidad (o cola) se encuentra en

el lado alto o positivo. Por lo tanto, los límites simétricos de tres sigmas son solamente

una aproximación, y el riesgo " " en tal diagrama de R no es igual a 0,0027. ( en realidad

, para n = 4 , es de = 0.000461). Además, el diagrama de R es más sensible a

desviaciones respecto a la normalidad que el diagrama de X . »

Una alternativa frente a la no normalidad son los métodos no paramétricos , o

libres de distribución , pero tienen el inconveniente de requerir mayores tamaños

de muestra .

En los artículos incluidos en el apéndice se hace referencia a estos métodos .

RELACION MATEMATICA ENTRE LOS COEFICIENTES DE CAPACIDAD

En el capítulo IV se estableció que entre los coeficientes CP y CPK , existe una

relación matemática dada por: CPK= CP ( 1 - k )

Su demostración es la siguiente:

"k" es el "índice de localización " , definido por : KT

2

donde: = Corrimiento de la media = - 0

0 = Punto central de la especificación = L LI S

2.

= Media real del proceso.

T = Tolerancia en las especificaciones = LS - LI .



Por definición : CL L

ps I

6

T

6 T = 6 CP k

C Cp p

2

6 3 (1*)

Además: CPK = mínimo entre L Ls i

3 3 ;

-

Si el proceso está corrido hacia la derecha: CL

pks

3 LS - =3 CPK

Pero tal como puede apreciarse en la gráfica:

LS - = T

2

T

2= 3 CPK

TCpk

23

Sustituyendo en 1* resulta: k

TC

C

C C

C

C C

C

pk

p

p pk

p

p pk

p

23

3

3 3

3

Al despejar CPK resulta: k CP = CP - CPK CPK= CP ( 1 - k )

Si el proceso está corrido hacia la izquierda: CL

pkI

3

y procediendo de manera análoga, se llega a idéntico resultado ; lo que

completa la demostración de que para ambos casos se verifica: CPK= CP ( 1 - k )

FUNCION LINEAL DE VARIABLES NORMALES

En el capítulo IV , se enunció el siguiente Teorema :

Si X1 , X1 .... Xn son variables aleatorias independientes , y normalmente

distribuidas , entonces una función lineal de ellas :

Y = a0 + a1 X1 + a2 X2+ .... + an Xn



también seguirá una Distribución normal , y sus parámetros son :

Y = a0 + a1 1 + a2 2+ .... + an n

Y2 = a1

2 12 + a2

2 22 + .... + an n

2 2

Su demostración es la siguiente:

Sea MY(t) = E (e tY) ; la función generadora de momentos correspondiente a la

variable "Y" . Desarrollando se obtiene :

MY(t)=E et a a X a X a Xn n( )( )0 1 1 2 2 E e ta a tX a tX a tXn n( )( )0 1 1 2 2 E e e eta ta X ta Xn n( )0 1 1

Al ser variables aleatorias independientes, el valor esperado del producto es

igual al producto de los valores esperados, y por lo tanto:

MY(t) E e E e E eta ta X ta Xn n( ) ( ) ( )0 1 1 = e E e E eta ta X ta Xn n0 1 1( ) ( )

Cada uno de los valores esperados resultantes, corresponde a una función

generadora de momentos, pero evaluada en ait, es decir : E etaXi i( )= M a tX i i( )

Se sabe que para una Normal, su función generatriz de momentos es:

M t E e eXtX t t

i

ii i

( ) ( )

1

22

M a t E e eXta X a t a t

i i

i ii i i i

( ) ( )

1

22 2 2

y por lo tanto , la función generadora de momentos para "Y" va a resultar:

M t e e eYa t a t a t a t a tn n n n

( ) 01 1 1

212 2 2 2 2

1

2

1

2 = ea a t a ti i

i

i n

ii

i n

i( ) ( )01

2

1

2 21

2

La función generadora de momentos obtenida para la variable "Y" , corresponde

justamente a la de una Distribución Normal , con parámetros:

Y

Y

a a

a

i i

i

i n

i ii

i n

0

1

2 2 2

1

;

tal como se quería demostrar.



CAPITULO VI : CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

1º) Para realizar un estudio de capacidad es requisito indispensable elaborar

como paso previo un gráfico de control, con el objeto de verificar la estabilidad

del proceso.

En general , es preferible utilizar un gráfico ( X , R) , a menos que por razones

técnicas sea necesario mantener un control más estricto sobre la variabilidad del

proceso, en cuyo caso debe utilizarse uno ( X , S) .

La formación de subgrupos debe hacerse de manera que cada uno de ellos sea

lo más homogéneo posible, y que exista una gran probabilidad de variación de

un subgrupo a otro , para lo cual es recomendable tomar las muestras de cada

subgrupo a partir de la producción de un período breve de tiempo , o de un

mismo lote.

2º) Existen dos metodologías importantes para evaluar la capacidad de un

proceso de producción , que son:

a) A partir del gráfico de control.

b) A partir del histograma.

Ambas metodologías tienen ciertas limitaciones en su fundamentación teórica, y

por ser complementarias, lo recomendable es utilizar ambas, a fin de obtener

una mejor estimación de la capacidad del proceso.

Una evaluación hecha por una sola de las metodologías, tiene el inconveniente

de estar basada en unos supuestos, de los cuales no se tiene una razonable

certeza, de que el proceso o la muestra los cumple.

3º) No existen en las Normas ISO-9000 señalamientos acerca de la metodología

a seguir para evaluar la capacidad del proceso , ni tampoco acerca de los

valores mínimos exigidos para los indicadores de su capacidad .

Lo recomendable es que el organismo competente señale pautas sobre el

particular, ya que actualmente la certificación de la capacidad del proceso , a los

fines de dar cumplimiento a lo previsto en la Norma ISO-9000 , queda a criterio

del auditor .

4º) Los indicadores de capacidad deberían ser estimados por intervalos, y la

certificación de capacidad mediante pruebas de hipótesis..



Esta recomendación permitiría que el auditor tome una decisión más racional

con relación a la certificación de capacidad..

Como este problema se encuentra en fase de desarrollo, una recomendación

para la Universidades e Institutos de Investigación, es que inicien un análisis

más a fondo del problema, a fin de desarrollar una nueva metodología que

permita establecer de una manera más precisa que la actual, los requisitos que

debe reunir un proceso de producción, para que le sea concedida la certificación

de capacidad.

5º) La condición óptima de operación de un proceso es cuando está centrado ,

pues en éste punto su capacidad de calidad es máxima .

En conclusión, los responsables de la calidad del proceso deben canalizar su

esfuerzos para tratar de lograr un proceso centrado; con la única excepción de la

situación en que el costo de corregir una pieza defectuosa es diferente para

cada extremo, en cuyo caso, la media de operación del proceso debe

determinarse por la fórmula dada en el capítulo IV.

6º) Es recomendable la realización de experimentos con el proceso, a fin de

poder detectar los factores que lo afectan de manera significativa, y reducir así

su variabilidad.

La cláusula de la Norma ISO-900O (ver Introducción) así lo sugiere , y por lo

tanto un estudio de capacidad solamente , no es suficiente para dar

cumplimiento a lo establecido en ella .

7º) La revisión de las especificaciones del proceso es también otra

recomendación muy importante , pues el estudio de capacidad supone que son

conocidas .

Un error en la fijación de las especificaciones ocasiona consecuencias

gravísimas en la evaluación de la capacidad del proceso, y por ello es muy

importante que estén perfectamente definidas.

8º) Otra recomendación importante para las empresas de producción, es la que

se refiere a la formación de su personal en Métodos Estadísticos.

A lo largo de toda la obra hemos visto como la evaluación de capacidad exige el

manejo de numerosas destrezas en técnicas estadísticas, para cuya realización

se requiere un entrenamiento adecuado del personal.

Esta recomendación es extensible también a las Facultades de Ingeniería,, ya

que en los planes de estudio de las diversas especialidades de Ingeniería , es



frecuente encontrar que la enseñanza de la Estadística no existe , o está

minimizada.

Si se toma en consideración que el Ingeniero es por lo general, el profesional

llamado a gerenciar los procesos de producción, resulta obvio que para poder

establecer metas de calidad en la producción industrial, debe fortalecerse su

formación en esta disciplina.

COMENTARIO FINAL

Un estudio de capacidad no puede ser visto como un hecho aislado con el

propósito de aprobar una auditoría , y lograr una certificación de calidad ; debe

formar parte de un programa continuo de mejoramiento de la calidad, en donde

el liderazgo gerencial es de vital importancia .

Las técnicas de control y mejoramiento de procesos no son métodos que se

aplican una vez, sólo cuando el proceso está en problemas, sino que deben

tener un carácter permanente, para lo cual se requiere el apoyo decidido de la

gerencia .

La participación y el compromiso de la gerencia constituyen el paso más

importante en todo el proceso de mejoramiento. La gerencia desempeña un

papel modelo, y el resto de la organización la considerará como guía y ejemplo.

El trabajo en equipo es también muy importante, pues la identificación de los

factores que afectan el comportamiento del proceso requiere del concurso de

todo el personal involucrado.

Una de las tareas clave en la aplicación de los diagramas de control estadístico,

es la determinación de las variables apropiadas sobre las cuales se debe aplicar

el control, así como también los puntos del proceso de producción , en los que

debe establecerse el control; y para ello se requiere de un adecuado trabajo en

equipo .

Un programa de Control Estadístico de Procesos debe reunir los siguientes

requisitos para que pueda tener éxito:

1. Liderazgo gerencial.

2. Trabajo en equipo.

3. Educación del personal a todos los niveles.



4. Enfasis en el mejoramiento continuo..

Todos los miembros de la gerencia y del equipo, deben recibir capacitación

relativa a las herramientas apropiadas para el mejoramiento del proceso.

Un diagrama de flujo del proceso para mejorar su entendimiento acerca de la

forma como opera, es un buen método para analizarlo, y para establecer los

puntos donde podrían aplicarse con provecho los controles.

También es importante desarrollar criterios de medición relativos a las variables

claves, para lo cual se debe contar con equipos de laboratorio adecuadamente

calibrados.

En este sentido es muy importante también contar con normas y procedimientos

escritos acerca de la forma como deben hacerse estos ensayos y mediciones,

ya que si no existe uniformidad, ésta variabilidad se reflejará injustamente

como una variabilidad del proceso, y en consecuencia en una inadecuada

evaluación de su capacidad..

Por último, es importante recordar que el contenido de esta obra sólo considera

los aspectos relativos al estudio de capacidad, pero que esto es sólo uno de los

muchos aspectos que evalúa la Norma ISO-9000, y que por lo tanto su

cumplimiento no garantiza la obtención de la correspondiente certificación de

calidad.

La evaluación del sistema de calidad hecho por la norma ISO-9000 es

muchísimo más amplia, y obedece a un concepto más global como es el de

CALIDAD TOTAL.



Tabla N° 1: Area bajo la Distribución Normal Estándar entre 0 y z.

z ,00 ,01 ,02 ,03 ,04 ,05 ,06 ,07 ,08 ,09

0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359

0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753

0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141

0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517

0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879

0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224

0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549

0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852

0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133

0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389

1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621

1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830

1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015

1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177

1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319

1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441

1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545

1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633

1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706

1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767



2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817

2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857

2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890

2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916

2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936

2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952

2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964

2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974

2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981

2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986

3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990



Tabla 2: Diferentes áreas bajo la curva normal estándar

z (z) (-z) D(z) z (z) (-z) D(z)

0,01 0,5040 0,4960 0,0080 0,51 0,6950 0,3050 0,3899

0,02 0,5080 0,4920 0,0160 0,52 0,6985 0,3015 0,3969

0,03 0,5120 0,4880 0,0239 0,53 0,7019 0,2981 0,4039

0,04 0,5160 0,4840 0,0319 0,54 0,7054 0,2946 0,4108

0,05 0,5199 0,4801 0,0399 0,55 0,7088 0,2912 0,4177

0,06 0,5239 0,4761 0,0478 0,56 0,7123 0,2877 0,4245

0,07 0,5279 0,4721 0,0558 0,57 0,7157 0,2843 0,4313

0,08 0,5319 0,4681 0,0638 0,58 0,7190 0,2810 0,4381

0,09 0,5359 0,4641 0,0717 0,59 0,7224 0,2776 0,4448

0,10 0,5398 0,4602 0,0797 0,60 0,7257 0,2743 0,4515

0,11 0,5438 0,4562 0,0876 0,61 0,7291 0,2709 0,4581

0,12 0,5478 0,4522 0,0955 0,62 0,7324 0,2676 0,4647

0,13 0,5517 0,4483 0,1034 0,63 0,7357 0,2643 0,4713

0,14 0,5557 0,4443 0,1113 0,64 0,7389 0,2611 0,4778

0,15 0,5596 0,4404 0,1192 0,65 0,7422 0,2578 0,4843

0,16 0,5636 0,4364 0,1271 0,66 0,7454 0,2546 0,4907

0,17 0,5675 0,4325 0,1350 0,67 0,7486 0,2514 0,4971

0,18 0,5714 0,4286 0,1428 0,68 0,7517 0,2483 0,5035

0,19 0,5753 0,4247 0,1507 0,69 0,7549 0,2451 0,5098

0,20 0,5793 0,4207 0,1585 0,70 0,7580 0,2420 0,5161

0,21 0,5832 0,4168 0,1663 0,71 0,7611 0,2389 0,5223



0,22 0,5871 0,4129 0,1741 0,72 0,7642 0,2358 0,5285

0,23 0,5910 0,4090 0,1819 0,73 0,7673 0,2327 0,5346

0,24 0,5948 0,4052 0,1897 0,74 0,7704 0,2296 0,5407

0,25 0,5987 0,4013 0,1974 0,75 0,7734 0,2266 0,5467

0,26 0,6026 0,3974 0,2051 0,76 0,7764 0,2236 0,5527

0,27 0,6064 0,3936 0,2128 0,77 0,7794 0,2206 0,5587

0,28 0,6103 0,3897 0,2205 0,78 0,7823 0,2177 0,5646

0,29 0,6141 0,3859 0,2282 0,79 0,7852 0,2148 0,5705

0,30 0,6179 0,3821 0,2358 0,80 0,7881 0,2119 0,5763

0,31 0,6217 0,3783 0,2434 0,81 0,7910 0,2090 0,5821

0,32 0,6255 0,3745 0,2510 0,82 0,7939 0,2061 0,5878

0,33 0,6293 0,3707 0,2586 0,83 0,7967 0,2033 0,5935

0,34 0,6331 0,3669 0,2661 0,84 0,7995 0,2005 0,5991

0,35 0,6368 0,3632 0,2737 0,85 0,8023 0,1977 0,6047

0,36 0,6406 0,3594 0,2812 0,86 0,8051 0,1949 0,6102

0,37 0,6443 0,3557 0,2886 0,87 0,8078 0,1922 0,6157

0,38 0,6480 0,3520 0,2961 0,88 0,8106 0,1894 0,6211

0,39 0,6517 0,3483 0,3035 0,89 0,8133 0,1867 0,6265

0,40 0,6554 0,3446 0,3108 0,90 0,8159 0,1841 0,6319

0,41 0,6591 0,3409 0,3182 0,91 0,8186 0,1814 0,6372

0,42 0,6628 0,3372 0,3255 0,92 0,8212 0,1788 0,6424

0,43 0,6664 0,3336 0,3328 0,93 0,8238 0,1762 0,6476

0,44 0,6700 0,3300 0,3401 0,94 0,8264 0,1736 0,6528

0,45 0,6736 0,3264 0,3473 0,95 0,8289 0,1711 0,6579

0,46 0,6772 0,3228 0,3545 0,96 0,8315 0,1685 0,6629

0,47 0,6808 0,3192 0,3616 0,97 0,8340 0,1660 0,6680

0,48 0,6844 0,3156 0,3688 0,98 0,8365 0,1635 0,6729

0,49 0,6879 0,3121 0,3759 0,99 0,8389 0,1611 0,6778



0,50 0,6915 0,3085 0,3829 1,00 0,8413 0,1587 0,6827

z (z) (-z) D(z) z (z) (-z) D(z)

1,01 0,8438 0,1562 0,6875 1,51 0,9345 0,0655 0,8690

1,02 0,8461 0,1539 0,6923 1,52 0,9357 0,0643 0,8715

1,03 0,8485 0,1515 0,6970 1,53 0,9370 0,0630 0,8740

1,04 0,8508 0,1492 0,7017 1,54 0,9382 0,0618 0,8764

1,05 0,8531 0,1469 0,7063 1,55 0,9394 0,0606 0,8789

1,06 0,8554 0,1446 0,7109 1,56 0,9406 0,0594 0,8812

1,07 0,8577 0,1423 0,7154 1,57 0,9418 0,0582 0,8836

1,08 0,8599 0,1401 0,7199 1,58 0,9429 0,0571 0,8859

1,09 0,8621 0,1379 0,7243 1,59 0,9441 0,0559 0,8882

1,10 0,8643 0,1357 0,7287 1,60 0,9452 0,0548 0,8904

1,11 0,8665 0,1335 0,7330 1,61 0,9463 0,0537 0,8926

1,12 0,8686 0,1314 0,7373 1,62 0,9474 0,0526 0,8948

1,13 0,8708 0,1292 0,7415 1,63 0,9484 0,0516 0,8969

1,14 0,8729 0,1271 0,7457 1,64 0,9495 0,0505 0,8990

1,15 0,8749 0,1251 0,7499 1,65 0,9505 0,0495 0,9011

1,16 0,8770 0,1230 0,7540 1,66 0,9515 0,0485 0,9031

1,17 0,8790 0,1210 0,7580 1,67 0,9525 0,0475 0,9051

1,18 0,8810 0,1190 0,7620 1,68 0,9535 0,0465 0,9070

1,19 0,8830 0,1170 0,7660 1,69 0,9545 0,0455 0,9090

1,20 0,8849 0,1151 0,7699 1,70 0,9554 0,0446 0,9109

1,21 0,8869 0,1131 0,7737 1,71 0,9564 0,0436 0,9127

1,22 0,8888 0,1112 0,7775 1,72 0,9573 0,0427 0,9146

1,23 0,8907 0,1093 0,7813 1,73 0,9582 0,0418 0,9164

1,24 0,8925 0,1075 0,7850 1,74 0,9591 0,0409 0,9181



1,25 0,8944 0,1056 0,7887 1,75 0,9599 0,0401 0,9199

1,26 0,8962 0,1038 0,7923 1,76 0,9608 0,0392 0,9216

1,27 0,8980 0,1020 0,7959 1,77 0,9616 0,0384 0,9233

1,28 0,8997 0,1003 0,7995 1,78 0,9625 0,0375 0,9249

1,29 0,9015 0,0985 0,8029 1,79 0,9633 0,0367 0,9265

1,30 0,9032 0,0968 0,8064 1,80 0,9641 0,0359 0,9281

1,31 0,9049 0,0951 0,8098 1,81 0,9649 0,0351 0,9297

1,32 0,9066 0,0934 0,8132 1,82 0,9656 0,0344 0,9312

1,33 0,9082 0,0918 0,8165 1,83 0,9664 0,0336 0,9328

1,34 0,9099 0,0901 0,8198 1,84 0,9671 0,0329 0,9342

1,35 0,9115 0,0885 0,8230 1,85 0,9678 0,0322 0,9357

1,36 0,9131 0,0869 0,8262 1,86 0,9686 0,0314 0,9371

1,37 0,9147 0,0853 0,8293 1,87 0,9693 0,0307 0,9385

1,38 0,9162 0,0838 0,8324 1,88 0,9699 0,0301 0,9399

1,39 0,9177 0,0823 0,8355 1,89 0,9706 0,0294 0,9412

1,40 0,9192 0,0808 0,8385 1,90 0,9713 0,0287 0,9426

1,41 0,9207 0,0793 0,8415 1,91 0,9719 0,0281 0,9439

1,42 0,9222 0,0778 0,8444 1,92 0,9726 0,0274 0,9451

1,43 0,9236 0,0764 0,8473 1,93 0,9732 0,0268 0,9464

1,44 0,9251 0,0749 0,8501 1,94 0,9738 0,0262 0,9476

1,45 0,9265 0,0735 0,8529 1,95 0,9744 0,0256 0,9488

1,46 0,9279 0,0721 0,8557 1,96 0,9750 0,0250 0,9500

1,47 0,9292 0,0708 0,8584 1,97 0,9756 0,0244 0,9512

1,48 0,9306 0,0694 0,8611 1,98 0,9761 0,0239 0,9523

1,49 0,9319 0,0681 0,8638 1,99 0,9767 0,0233 0,9534

1,50 0,9332 0,0668 0,8664 2,00 0,9772 0,0228 0,9545



z (z) (-z) D(z) z (z) (-z) D(z)

2,01 0,9778 0,0222 0,9556 2,51 0,9940 0,0060 0,9879

2,02 0,9783 0,0217 0,9566 2,52 0,9941 0,0059 0,9883

2,03 0,9788 0,0212 0,9576 2,53 0,9943 0,0057 0,9886

2,04 0,9793 0,0207 0,9586 2,54 0,9945 0,0055 0,9889

2,05 0,9798 0,0202 0,9596 2,55 0,9946 0,0054 0,9892

2,06 0,9803 0,0197 0,9606 2,56 0,9948 0,0052 0,9895

2,07 0,9808 0,0192 0,9615 2,57 0,9949 0,0051 0,9898

2,08 0,9812 0,0188 0,9625 2,58 0,9951 0,0049 0,9901

2,09 0,9817 0,0183 0,9634 2,59 0,9952 0,0048 0,9904

2,10 0,9821 0,0179 0,9643 2,60 0,9953 0,0047 0,9907

2,11 0,9826 0,0174 0,9651 2,61 0,9955 0,0045 0,9909

2,12 0,9830 0,0170 0,9660 2,62 0,9956 0,0044 0,9912

2,13 0,9834 0,0166 0,9668 2,63 0,9957 0,0043 0,9915

2,14 0,9838 0,0162 0,9676 2,64 0,9959 0,0041 0,9917

2,15 0,9842 0,0158 0,9684 2,65 0,9960 0,0040 0,9920

2,16 0,9846 0,0154 0,9692 2,66 0,9961 0,0039 0,9922

2,17 0,9850 0,0150 0,9700 2,67 0,9962 0,0038 0,9924

2,18 0,9854 0,0146 0,9707 2,68 0,9963 0,0037 0,9926

2,19 0,9857 0,0143 0,9715 2,69 0,9964 0,0036 0,9929

2,20 0,9861 0,0139 0,9722 2,70 0,9965 0,0035 0,9931

2,21 0,9864 0,0136 0,9729 2,71 0,9966 0,0034 0,9933

2,22 0,9868 0,0132 0,9736 2,72 0,9967 0,0033 0,9935

2,23 0,9871 0,0129 0,9743 2,73 0,9968 0,0032 0,9937

2,24 0,9875 0,0125 0,9749 2,74 0,9969 0,0031 0,9939

2,25 0,9878 0,0122 0,9756 2,75 0,9970 0,0030 0,9940

2,26 0,9881 0,0119 0,9762 2,76 0,9971 0,0029 0,9942

2,27 0,9884 0,0116 0,9768 2,77 0,9972 0,0028 0,9944



2,28 0,9887 0,0113 0,9774 2,78 0,9973 0,0027 0,9946

2,29 0,9890 0,0110 0,9780 2,79 0,9974 0,0026 0,9947

2,30 0,9893 0,0107 0,9786 2,80 0,9974 0,0026 0,9949

2,31 0,9896 0,0104 0,9791 2,81 0,9975 0,0025 0,9950

2,32 0,9898 0,0102 0,9797 2,82 0,9976 0,0024 0,9952

2,33 0,9901 0,0099 0,9802 2,83 0,9977 0,0023 0,9953

2,34 0,9904 0,0096 0,9807 2,84 0,9977 0,0023 0,9955

2,35 0,9906 0,0094 0,9812 2,85 0,9978 0,0022 0,9956

2,36 0,9909 0,0091 0,9817 2,86 0,9979 0,0021 0,9958

2,37 0,9911 0,0089 0,9822 2,87 0,9979 0,0021 0,9959

2,38 0,9913 0,0087 0,9827 2,88 0,9980 0,0020 0,9960

2,39 0,9916 0,0084 0,9832 2,89 0,9981 0,0019 0,9961

2,40 0,9918 0,0082 0,9836 2,90 0,9981 0,0019 0,9963

2,41 0,9920 0,0080 0,9840 2,91 0,9982 0,0018 0,9964

2,42 0,9922 0,0078 0,9845 2,92 0,9982 0,0018 0,9965

2,43 0,9925 0,0075 0,9849 2,93 0,9983 0,0017 0,9966

2,44 0,9927 0,0073 0,9853 2,94 0,9984 0,0016 0,9967

2,45 0,9929 0,0071 0,9857 2,95 0,9984 0,0016 0,9968

2,46 0,9931 0,0069 0,9861 2,96 0,9985 0,0015 0,9969

2,47 0,9932 0,0068 0,9865 2,97 0,9985 0,0015 0,9970

2,48 0,9934 0,0066 0,9869 2,98 0,9986 0,0014 0,9971

2,49 0,9936 0,0064 0,9872 2,99 0,9986 0,0014 0,9972

2,50 0,9938 0,0062 0,9876 3,00 0,9987 0,0013 0,9973



z (z) (-z) D(z) z (z) (-z) D(z)

3,01 0,9987 0,0013 0,9974 3,51 0,9998 0,0002 0,9996

3,02 0,9987 0,0013 0,9975 3,52 0,9998 0,0002 0,9996

3,03 0,9988 0,0012 0,9976 3,53 0,9998 0,0002 0,9996

3,04 0,9988 0,0012 0,9976 3,54 0,9998 0,0002 0,9996

3,05 0,9989 0,0011 0,9977 3,55 0,9998 0,0002 0,9996

3,06 0,9989 0,0011 0,9978 3,56 0,9998 0,0002 0,9996

3,07 0,9989 0,0011 0,9979 3,57 0,9998 0,0002 0,9996

3,08 0,9990 0,0010 0,9979 3,58 0,9998 0,0002 0,9997

3,09 0,9990 0,0010 0,9980 3,59 0,9998 0,0002 0,9997

3,10 0,9990 0,0010 0,9981 3,60 0,9998 0,0002 0,9997

3,11 0,9991 0,0009 0,9981 3,61 0,9998 0,0002 0,9997

3,12 0,9991 0,0009 0,9982 3,62 0,9999 0,0001 0,9997

3,13 0,9991 0,0009 0,9983 3,63 0,9999 0,0001 0,9997

3,14 0,9992 0,0008 0,9983 3,64 0,9999 0,0001 0,9997

3,15 0,9992 0,0008 0,9984 3,65 0,9999 0,0001 0,9997

3,16 0,9992 0,0008 0,9984 3,66 0,9999 0,0001 0,9997

3,17 0,9992 0,0008 0,9985 3,67 0,9999 0,0001 0,9998

3,18 0,9993 0,0007 0,9985 3,68 0,9999 0,0001 0,9998

3,19 0,9993 0,0007 0,9986 3,69 0,9999 0,0001 0,9998

3,20 0,9993 0,0007 0,9986 3,70 0,9999 0,0001 0,9998

3,21 0,9993 0,0007 0,9987 3,71 0,9999 0,0001 0,9998

3,22 0,9994 0,0006 0,9987 3,72 0,9999 0,0001 0,9998

3,23 0,9994 0,0006 0,9988 3,73 0,9999 0,0001 0,9998

3,24 0,9994 0,0006 0,9988 3,74 0,9999 0,0001 0,9998

3,25 0,9994 0,0006 0,9988 3,75 0,9999 0,0001 0,9998

3,26 0,9994 0,0006 0,9989 3,76 0,9999 0,0001 0,9998

3,27 0,9995 0,0005 0,9989 3,77 0,9999 0,0001 0,9998



3,28 0,9995 0,0005 0,9990 3,78 0,9999 0,0001 0,9998

3,29 0,9995 0,0005 0,9990 3,79 0,9999 0,0001 0,9998

3,30 0,9995 0,0005 0,9990 3,80 0,9999 0,0001 0,9999

3,31 0,9995 0,0005 0,9991 3,81 0,9999 0,0001 0,9999

3,32 0,9995 0,0005 0,9991 3,82 0,9999 0,0001 0,9999

3,33 0,9996 0,0004 0,9991 3,83 0,9999 0,0001 0,9999

3,34 0,9996 0,0004 0,9992 3,84 0,9999 0,0001 0,9999

3,35 0,9996 0,0004 0,9992 3,85 0,9999 0,0001 0,9999

3,36 0,9996 0,0004 0,9992 3,86 0,9999 0,0001 0,9999

3,37 0,9996 0,0004 0,9992 3,87 0,9999 0,0001 0,9999

3,38 0,9996 0,0004 0,9993 3,88 0,9999 0,0001 0,9999

3,39 0,9997 0,0003 0,9993 3,89 0,9999 0,0001 0,9999

3,40 0,9997 0,0003 0,9993 3,90 1,0000 0,0000 0,9999

3,41 0,9997 0,0003 0,9994 3,91 1,0000 0,0000 0,9999

3,42 0,9997 0,0003 0,9994 3,92 1,0000 0,0000 0,9999

3,43 0,9997 0,0003 0,9994 3,93 1,0000 0,0000 0,9999

3,44 0,9997 0,0003 0,9994 3,94 1,0000 0,0000 0,9999

3,45 0,9997 0,0003 0,9994 3,95 1,0000 0,0000 0,9999

3,46 0,9997 0,0003 0,9995 3,96 1,0000 0,0000 0,9999

3,47 0,9997 0,0003 0,9995 3,97 1,0000 0,0000 0,9999

3,48 0,9997 0,0003 0,9995 3,98 1,0000 0,0000 0,9999

3,49 0,9998 0,0002 0,9995 3,99 1,0000 0,0000 0,9999

3,50 0,9998 0,0002 0,9995 4,00 1,0000 0,0000 0,9999



Tabla 2.3: Valores de “z” en función del área

Area A la izquierda Central Area A la izquierda Central

0,001 -3,090 0,001 0,510 0,025 0,690

0,005 -2,576 0,006 0,520 0,050 0,706

0,010 -2,326 0,013 0,530 0,075 0,722

0,020 -2,054 0,025 0,540 0,100 0,739

0,025 -1,960 0,031 0,550 0,126 0,755

0,030 -1,881 0,038 0,560 0,151 0,772

0,040 -1,751 0,050 0,570 0,176 0,789

0,050 -1,645 0,063 0,580 0,202 0,806

0,060 -1,555 0,075 0,590 0,228 0,824

0,070 -1,476 0,088 0,600 0,253 0,842

0,080 -1,405 0,100 0,610 0,279 0,860

0,090 -1,341 0,113 0,620 0,305 0,878

0,100 -1,282 0,126 0,630 0,332 0,896

0,110 -1,227 0,138 0,640 0,358 0,915

0,120 -1,175 0,151 0,650 0,385 0,935

0,130 -1,126 0,164 0,660 0,412 0,954

0,140 -1,080 0,176 0,670 0,440 0,974

0,150 -1,036 0,189 0,680 0,468 0,994

0,160 -0,994 0,202 0,690 0,496 1,015

0,170 -0,954 0,215 0,700 0,524 1,036

0,180 -0,915 0,228 0,710 0,553 1,058

0,190 -0,878 0,240 0,720 0,583 1,080

0,200 -0,842 0,253 0,730 0,613 1,103

0,210 -0,806 0,266 0,740 0,643 1,126



0,220 -0,772 0,279 0,750 0,674 1,150

0,230 -0,739 0,292 0,760 0,706 1,175

0,240 -0,706 0,305 0,770 0,739 1,200

0,250 -0,674 0,319 0,780 0,772 1,227

0,260 -0,643 0,332 0,790 0,806 1,254

0,270 -0,613 0,345 0,800 0,842 1,282

0,280 -0,583 0,358 0,810 0,878 1,311

0,290 -0,553 0,372 0,820 0,915 1,341

0,300 -0,524 0,385 0,830 0,954 1,372

0,310 -0,496 0,399 0,840 0,994 1,405

0,320 -0,468 0,412 0,850 1,036 1,440

0,330 -0,440 0,426 0,860 1,080 1,476

0,340 -0,412 0,440 0,870 1,126 1,514

0,350 -0,385 0,454 0,880 1,175 1,555

0,360 -0,358 0,468 0,890 1,227 1,598

0,370 -0,332 0,482 0,900 1,282 1,645

0,380 -0,305 0,496 0,910 1,341 1,695

0,390 -0,279 0,510 0,920 1,405 1,751

0,400 -0,253 0,524 0,930 1,476 1,812

0,410 -0,228 0,539 0,940 1,555 1,881

0,420 -0,202 0,553 0,950 1,645 1,960

0,430 -0,176 0,568 0,960 1,751 2,054

0,440 -0,151 0,583 0,970 1,881 2,170

0,450 -0,126 0,598 0,975 1,960 2,241

0,460 -0,100 0,613 0,980 2,054 2,326

0,470 -0,075 0,628 0,990 2,326 2,576

0,480 -0,050 0,643 0,995 2,576 2,807

0,490 -0,025 0,659 0,999 3,090 3,290

0,500 0,000 0,674 1,000



Anexo No 2 : Coeficientes para la construcción de gráficas de control



Anexo No 3 : Percentiles de la Distribución Chi Cuadrado

grados libertad

v X0,005 X0,010 X0,025 X0,050 X0,100 X0,900 X0,950 X0,975 X0,990 X0,995

1 0,00 0,00 0,00 0,00 0,02 2,71 3,84 5,02 6,63 7,88 2 0,01 0,02 0,05 0,10 0,21 4,61 5,99 7,38 9,21 10,60 3 0,07 0,11 0,22 0,35 0,58 6,25 7,81 9,35 11,34 12,84 4 0,21 0,30 0,48 0,71 1,06 7,78 9,49 11,14 13,28 14,86 5 0,41 0,55 0,83 1,15 1,61 9,24 11,07 12,83 15,09 16,75 6 0,68 0,87 1,24 1,64 2,20 10,64 12,59 14,45 16,81 18,55 7 0,99 1,24 1,69 2,17 2,83 12,02 14,07 16,01 18,48 20,28 8 1,34 1,65 2,18 2,73 3,49 13,36 15,51 17,53 20,09 21,95 9 1,73 2,09 2,70 3,33 4,17 14,68 16,92 19,02 21,67 23,59 10 2,16 2,56 3,25 3,94 4,87 15,99 18,31 20,48 23,21 25,19 11 2,60 3,05 3,82 4,57 5,58 17,28 19,68 21,92 24,72 26,76 12 3,07 3,57 4,40 5,23 6,30 18,55 21,03 23,34 26,22 28,30 13 3,57 4,11 5,01 5,89 7,04 19,81 22,36 24,74 27,69 29,82 14 4,07 4,66 5,63 6,57 7,79 21,06 23,68 26,12 29,14 31,32 15 4,60 5,23 6,26 7,26 8,55 22,31 25,00 27,49 30,58 32,80 16 5,14 5,81 6,91 7,96 9,31 23,54 26,30 28,85 32,00 34,27 17 5,70 6,41 7,56 8,67 10,09 24,77 27,59 30,19 33,41 35,72 18 6,26 7,01 8,23 9,39 10,86 25,99 28,87 31,53 34,81 37,16 19 6,84 7,63 8,91 10,12 11,65 27,20 30,14 32,85 36,19 38,58 20 7,43 8,26 9,59 10,85 12,44 28,41 31,41 34,17 37,57 40,00 21 8,03 8,90 10,28 11,59 13,24 29,62 32,67 35,48 38,93 41,40 22 8,64 9,54 10,98 12,34 14,04 30,81 33,92 36,78 40,29 42,80 23 9,26 10,20 11,69 13,09 14,85 32,01 35,17 38,08 41,64 44,18 24 9,89 10,86 12,40 13,85 15,66 33,20 36,42 39,36 42,98 45,56 25 10,52 11,52 13,12 14,61 16,47 34,38 37,65 40,65 44,31 46,93 26 11,16 12,20 13,84 15,38 17,29 35,56 38,89 41,92 45,64 48,29 27 11,81 12,88 14,57 16,15 18,11 36,74 40,11 43,19 46,96 49,64 28 12,46 13,56 15,31 16,93 18,94 37,92 41,34 44,46 48,28 50,99 29 13,12 14,26 16,05 17,71 19,77 39,09 42,56 45,72 49,59 52,34 30 13,79 14,95 16,79 18,49 20,60 40,26 43,77 46,98 50,89 53,67 31 14,46 15,66 17,54 19,28 21,43 41,42 44,99 48,23 52,19 55,00 32 15,13 16,36 18,29 20,07 22,27 42,58 46,19 49,48 53,49 56,33 33 15,82 17,07 19,05 20,87 23,11 43,75 47,40 50,73 54,78 57,65 34 16,50 17,79 19,81 21,66 23,95 44,90 48,60 51,97 56,06 58,96 35 17,19 18,51 20,57 22,47 24,80 46,06 49,80 53,20 57,34 60,27 36 17,89 19,23 21,34 23,27 25,64 47,21 51,00 54,44 58,62 61,58 37 18,59 19,96 22,11 24,07 26,49 48,36 52,19 55,67 59,89 62,88 38 19,29 20,69 22,88 24,88 27,34 49,51 53,38 56,90 61,16 64,18 39 20,00 21,43 23,65 25,70 28,20 50,66 54,57 58,12 62,43 65,48 40 20,71 22,16 24,43 26,51 29,05 51,81 55,76 59,34 63,69 66,77 41 21,42 22,91 25,21 27,33 29,91 52,95 56,94 60,56 64,95 68,05 42 22,14 23,65 26,00 28,14 30,77 54,09 58,12 61,78 66,21 69,34 43 22,86 24,40 26,79 28,96 31,63 55,23 59,30 62,99 67,46 70,62 44 23,58 25,15 27,57 29,79 32,49 56,37 60,48 64,20 68,71 71,89 45 24,31 25,90 28,37 30,61 33,35 57,51 61,66 65,41 69,96 73,17 46 25,04 26,66 29,16 31,44 34,22 58,64 62,83 66,62 71,20 74,44 47 25,77 27,42 29,96 32,27 35,08 59,77 64,00 67,82 72,44 75,70



48 26,51 28,18 30,75 33,10 35,95 60,91 65,17 69,02 73,68 76,97 49 27,25 28,94 31,55 33,93 36,82 62,04 66,34 70,22 74,92 78,23 50 27,99 29,71 32,36 34,76 37,69 63,17 67,50 71,42 76,15 79,49 51 28,73 30,48 33,16 35,60 38,56 64,30 68,67 72,62 77,39 80,75 52 29,48 31,25 33,97 36,44 39,43 65,42 69,83 73,81 78,62 82,00 53 30,23 32,02 34,78 37,28 40,31 66,55 70,99 75,00 79,84 83,25 54 30,98 32,79 35,59 38,12 41,18 67,67 72,15 76,19 81,07 84,50 55 31,73 33,57 36,40 38,96 42,06 68,80 73,31 77,38 82,29 85,75 56 32,49 34,35 37,21 39,80 42,94 69,92 74,47 78,57 83,51 86,99 57 33,25 35,13 38,03 40,65 43,82 71,04 75,62 79,75 84,73 88,24 58 34,01 35,91 38,84 41,49 44,70 72,16 76,78 80,94 85,95 89,48 59 34,77 36,70 39,66 42,34 45,58 73,28 77,93 82,12 87,17 90,72 60 35,53 37,48 40,48 43,19 46,46 74,40 79,08 83,30 88,38 91,95 61 36,30 38,27 41,30 44,04 47,34 75,51 80,23 84,48 89,59 93,19 62 37,07 39,06 42,13 44,89 48,23 76,63 81,38 85,65 90,80 94,42 63 37,84 39,86 42,95 45,74 49,11 77,75 82,53 86,83 92,01 95,65 64 38,61 40,65 43,78 46,59 50,00 78,86 83,68 88,00 93,22 96,88 65 39,38 41,44 44,60 47,45 50,88 79,97 84,82 89,18 94,42 98,11 66 40,16 42,24 45,43 48,31 51,77 81,09 85,96 90,35 95,63 99,33 67 40,94 43,04 46,26 49,16 52,66 82,20 87,11 91,52 96,83 100,55 68 41,71 43,84 47,09 50,02 53,55 83,31 88,25 92,69 98,03 101,78 69 42,49 44,64 47,92 50,88 54,44 84,42 89,39 93,86 99,23 103,00 70 43,28 45,44 48,76 51,74 55,33 85,53 90,53 95,02 100,43 104,21 71 44,06 46,25 49,59 52,60 56,22 86,64 91,67 96,19 101,62 105,43 72 44,84 47,05 50,43 53,46 57,11 87,74 92,81 97,35 102,82 106,65 73 45,63 47,86 51,26 54,33 58,01 88,85 93,95 98,52 104,01 107,86 74 46,42 48,67 52,10 55,19 58,90 89,96 95,08 99,68 105,20 109,07 75 47,21 49,48 52,94 56,05 59,79 91,06 96,22 100,84 106,39 110,29 76 48,00 50,29 53,78 56,92 60,69 92,17 97,35 102,00 107,58 111,50 77 48,79 51,10 54,62 57,79 61,59 93,27 98,48 103,16 108,77 112,70 78 49,58 51,91 55,47 58,65 62,48 94,37 99,62 104,32 109,96 113,91 79 50,38 52,72 56,31 59,52 63,38 95,48 100,75 105,47 111,14 115,12 80 51,17 53,54 57,15 60,39 64,28 96,58 101,88 106,63 112,33 116,32 81 51,97 54,36 58,00 61,26 65,18 97,68 103,01 107,78 113,51 117,52 82 52,77 55,17 58,84 62,13 66,08 98,78 104,14 108,94 114,69 118,73 83 53,57 55,99 59,69 63,00 66,98 99,88 105,27 110,09 115,88 119,93 84 54,37 56,81 60,54 63,88 67,88 100,98 106,39 111,24 117,06 121,13 85 55,17 57,63 61,39 64,75 68,78 102,08 107,52 112,39 118,24 122,32 86 55,97 58,46 62,24 65,62 69,68 103,18 108,65 113,54 119,41 123,52 87 56,78 59,28 63,09 66,50 70,58 104,28 109,77 114,69 120,59 124,72 88 57,58 60,10 63,94 67,37 71,48 105,37 110,90 115,84 121,77 125,91 89 58,39 60,93 64,79 68,25 72,39 106,47 112,02 116,99 122,94 127,11 90 59,20 61,75 65,65 69,13 73,29 107,57 113,15 118,14 124,12 128,30 91 60,00 62,58 66,50 70,00 74,20 108,66 114,27 119,28 125,29 129,49 92 60,81 63,41 67,36 70,88 75,10 109,76 115,39 120,43 126,46 130,68 93 61,63 64,24 68,21 71,76 76,01 110,85 116,51 121,57 127,63 131,87 94 62,44 65,07 69,07 72,64 76,91 111,94 117,63 122,72 128,80 133,06 95 63,25 65,90 69,92 73,52 77,82 113,04 118,75 123,86 129,97 134,25 96 64,06 66,73 70,78 74,40 78,73 114,13 119,87 125,00 131,14 135,43 97 64,88 67,56 71,64 75,28 79,63 115,22 120,99 126,14 132,31 136,62 98 65,69 68,40 72,50 76,16 80,54 116,32 122,11 127,28 133,48 137,80



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