Para facilitar la obtencin del lmite de una funcin sin tener que recurrir cada vez a ladefinicin Epsiln-Delta se establecen los siguientes teoremas.Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.Nota: los teoremas se presentan sin demostracin, pero quien quiera verla puede hacer clic en el vnculocorrespondiente.

Teorema de irnitel:Si k es una constante y a un nmero cualquiera, entonceslim k = k

Teorema de lmite2:Para cualquier nmero dado a,lim x = a

> a

Teorema de lmite3:Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonceslim(mx +b) = a + bx-92

Teorema de lmite4:Si lim f (x) = L y hm g(x) = M, entonces

(1) lim [f(x) g(x)], L r .x>a

(ll) li m>a [

f (x) g(x)] =- Lx

X)1 L(JI) 1 im =

x->a g(x)

(IV) lim [cf(x)] = kL, k es una constante

e 0 4-

-a ,5

Teorema (le Irnite5:Si li

-->amf(x) = L y n es un entero p ositiv.o, entonces

im [f(x)rl-->a

= [hm f (x)];sa x

Teorema de lmite6:Si f es un polinomio y a es un nmero real, entonceslim f(x) = f (a)

x-->

Teorema de lmite7:Si q es una funcin racional y a pertenece al dominio de q, entoncesli rn q(x) = q (a ))1--)a

Teorema de lrnite8:Si limf(x) = L y n es un entero positivo, entonces

x--->a

lim Vf(x) = f(x) j=x->a

411. osG

3x2 - 8x -1617. lim'44 2X2 - 9x + 4

41 54.1irri;e-13 5x - 1 16. lim

4x2 -92 2x + 3

x + 2

x

10.1im + 1 -11 x-90

1 1.1im 2x3 X3 + 85x2 - 2x -3 12. lim

"43 4x3 -13x2 + 4x 3 '1-43 x4 - 16

15.1imx--91

2c38. hm 8X --*-2 x + 2

Procedimiento para calcular lmites -Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores, el, lmite se calcula

directamente. Con respecto a las propiedades, como la propiedad 6 se aplica a cualquierpolinomio y las propiedades 1, 2, 3, y 4 implican funciones polinmicas es indistinto que nosrefiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6 cuandocalculamos el lmite de una funcin polinmica. Lo mismo, la propiedad 7 se aplica a unafuncn racional y la propiedad 4 (111) tambin.

Cuando al sustituir la a por x en la funcin nos da la forma indeterminada 0/0 es posiblecalcular el lmite pero, previamente, hay que transformar la fdtrnula de la funcin de tal modoque, una vez hecha la simplificacin pertinente, se pueda evitar la divisin por cero: plograr esto disponemos de procedimientos algebraicos eficaces como la factorizacin, laconjugada, etc.

Ejercicios resueltosEvalu los, siguientes lmites indicando la propiedad o propiedades que se aplican en

,cada paso:- - -

1.1im 77x-43

2. lil-r+15(3x - 7). _ .

3. lim-42 (x2

+ 2x -1)

e 'o .Cr - 6 o 0 4 -r2-170'

SolucionesSolucin

De acuerdo con el Te...oren-1.a fe 1lin], 77 = 77

Solucin:1(x) = 3x -7: tiene la forma mx + b; por lo que aplicamos el Teorema de lmite3

lim (3x - 7) = 3(5) 7 = 15 - 7;x-45

lim.C.3.7,7 7) = 8.

Solucin:J(x) = x2 + 2x -1: funcin polinomial'

(2) = 2 2 + 2(2) -1 = 7;

por lo tanto, segn el Teorema de limite6:

lim(x $ 4-.27: 1) 7.

Solucin:

lim 8x + 1 x +3

lizas x + 3[8x+1] 151, (8x +1) /8(1) + 1

lim(x + 3) AI 1+3

(x2 - 2x + 4)= lim (x2 - 2x +4) = (-2) 2 - 2(-2) + 4 = 4 + 4 + 4;

x-->

f(x) = 4x -5x-1' 3 e

dornf , y f es una funcin racional

4(3) - 5 7 15(3) -1 14 2-

por lo tanto, aplicando el Teorema de 1itnite7, se concluye que

11211 y =1.3 X - 2

Solucin:Aplicando consecutivamente las propiedades TL8, TL7 y T13, se obtiene:ene:

Solucin:No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendra la forma indeterminada0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresin, se obtiene fcilmente ellmite aplicando el TL1:

hm.x .--->-3/ 24x2 9 . m

= h(2x - (2x + 3)

= h m (2x 3) -= 2[-x-}--312 2

3 = -3 - 3;2x + 3 (2x 3)

Solucin:No es posible aplicar directamente el TL7 12u,es se obtendra la forma indetrninda

`0/0; as obstante; Niego che factorizar 5/`'-simplificar la expresin se obtiene fcilmente ellmite aplicando el TL7 o el TL4(III):

3x2 -8x -16hm = limx-44 2x.2 - 9x + 4 '44

6 16

x2 - + 4

(3x +4) = litn 3x + 4 3(4) +4

12+4(2x -1) A-"I 2x -1 = 2(4) -1 8 -1

Solucin:Si pretendiramos aplicar el lmite directamente a partir del TL7, nos dara la formaindeterminada 0/0;por lo que, se debe factoriazar y luego simplificar la expresin antes de poder hacer usodel TL6:

3 8, t:x += iimx 2

;1- 3 +hm 12.

--2

9. Solucin:

3rx---F1-14(x+1)3 + 3 2F7-1+1

4(x+1) 2 + 1571-

1

'5V(x+1) 2 +.3jx+1+1y_

I 11 in...

-.57.7 + -

12. Solucin:3

+ ,J5lim x limx--) .-2 x4 - 16 x-4-2

2 - 2x + 4)

(x - 2)(212 + 4) = x11-1122 (x 2)(x2 + 4x2 - 2x + 4

v-40

0*,

011)

0O

0

40e0e011

e

-c1-

N1N111

1

5

1

o 4 40. -(2x + x + = lim 2x2 + x + 1(4x2 - x+1) x-3 4x2 x +1'

No se puede aplicar el lmite directamente, dara la forma indeterminada 0/0; noobstante, luego de multiplicar tanto el numerador como el denominadorpor laconjugada de la expresin en el numerador y luego reduciendo y simplificando, sepuede aplicar el TL para hallar el lmite:

+ -lux} 1

.im

- -4- 2 -= limx--)o lim+ 2 + x-5 x +2 + 2 -15 . 1 11zi--3om - 1Al-4mo Ix"7-"4. 2' 4. ,fi .1-672* 4, ig

1 i m;4-

Solucin:Luego de la transformacin de la expresin se aplican los TL7 y TL8:

Vx +1-1 = limhm x->0 x->a

hm 3 2,\117-71 1 1

x-30 x (0+1)2 /0+1 +1

1 ir.0-72

4") V.01,''DZtSSolucin:

El lmite no se puede aplicar directamente, resultara la forma indeterminada 0/0; noobstante, una vez factorizando y simplificando, la expresin queda expedita para hallarel lmite mediante los IL7 y TU: , o

la 2x -5x2 - 2x- 3 lim

x-43 4 x3 * 13x2 + 4x - 3 .13

lim 2X3 5x2 - 2x -3 2(3)2 +3+1.x->3 -13x2 + 4x- 3 4(3) 2 - 3+

limX +8 (-2) 2 2(-2) + 4 4 + 4 + 4 12=

x-->-2 x4 -16 (-2 2)((-2)2 + 4) -4(8) 32

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