1

IF { UFRJ { 2004/1F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta)

GUIA DE ESTUDO 7

M¶odulo 7: Corpos R¶³gidos

1. INTRODUC» ~AO

Neste m¶odulo, encerramos a F¶³sica 1 discutindo um exemplo particular deum sistema de part¶³culas, o chamado corpo r¶³gido. Vamos estudar a dinamicado movimento de um corpo r¶³gido no caso simples do movimento plano docorpo r¶³gido, e faremos a discuss~ao da situa»c~ao em que h¶a rolamento semdeslizamento.

Leituras indispens¶aveis:Os t¶opicos citados acima correspondem ao cap¶³tulo 12 do livro texto, H.M.Nussensveig, Curso de F¶³sica B¶asica, Vol. 1 { Mecanica, 3a edi»c~ao, EditoraEdgard Blucher Ltda.

2. ATIVIDADES EM SALA DE AULA

Atividade 1

Revis~ao de rota»c~oes em torno de um eixo ¯xo (se»c~ao 12.1 do livro texto).

Atividade 2

Exemplos de c¶alculos de momentos de in¶ercia para corpos r¶³gidos (se»c~ao12.2 do livro texto).

Atividade 3

Discuss~ao do problema 21 da lista de exerc¶³cios 15, Corpos R¶³gidos.

Atividades extras 1

1. Leia as se»c~oes 12.1 e 12.2 do livro texto.

2. Releia o cap¶³tulo 11 do livro texto.

3. Resolva os exerc¶³cios 1, 3, 4, 5, 6, 20 e 22 da lista 15.

4. Fa»ca o exerc¶³cio 9 e um dos exerc¶³cios entre o 11 e o 14da lista 15.

F¶³s1 { 04/1 { G.7 | p. 2

Atividade 4

Discuss~ao do movimento plano de um corpo r¶³gido, com a decomposi»c~aodo movimento como uma transla»c~ao mais uma rota»c~ao em torno docentro de massa (se»c~ao 12.3).

Atividade 5

Exemplos e exerc¶³cios sobre os conceitos discutidos: o io-io, o rolamentonum plano inclinado e a tacada numa bola de bilhar (se»c~ao 12.4).

Atividades extras 2

1. Leia as se»c~oes 12.3 e 12.4 do texto.

2. Refa»ca, com o livro fechado, os exemplos da se»c~ao 12.4.

3. Resolva os exerc¶³cios de 19, 20, 23, 25, 26, 28, 29 e 30da lista 15.

Atividade 6

Discuss~ao sobre est¶atica (equil¶³brio) de corpos r¶³gidos (se»c~ao 12.8 dolivro texto) e resolu»c~ao do problema 44 da lista 15.

Atividades extras 3

1. Releia os cap¶³tulos 11 e 12.

2. Refa»ca os problemas que o professor resolveu em sala.

3. Fa»ca os problemas 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37 e 38 dalista 15.

Atividade 7

Resolu»c~ao de problemas.

Atividades extras 4

1. Leia novamente o cap¶³tulo 12.

2. Resolva os exerc¶³cios 41, 42, 44 e 45 da lista 15.

3. ATIVIDADES FINAIS DO M¶ODULO 7

1. Releia os cap¶³tulos 11 e 12 do livro texto.

2. Termine tudo que voce ainda n~ao terminou das aulas anteriores.

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 3

IF { UFRJ { 2004/1F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta)

Lista de exerc¶³cios 15

Corpos R¶³gidos

1. Considere um sistema formado por dois corpos de mesma massa mligados por uma barra r¶³gida de comprimento 2` e massa desprez¶³vel,articulada em seu centro com o eixo de rota»c~ao do sistema, que giracom velocidade angular ~! (ver ¯gura).

(a) Mostre que para µ 6= ¼2 , ~L n~ao ¶e paralelo a ~!.

(b) Calcule Lz.

(c) Mostre que para µ = ¼2, ~L = I~!.

(d) Mostre que d~Ldt

= ~! £ ~L.

z

θl

ωr

l

Exercício 1 Exercício 2

θd

ωr

a

d

2. A ¯gura acima (2) mostra um corpo r¶³gido formado por duas massasiguais unidas por um bast~ao sem massa girando com velocidade angular~! em torno de um eixo preso rigidamente ao bast~ao e suportado pordois mancais sem atrito. Calcule a for»ca exercida pelo eixo sobre cadamancal e indique sua dire»c~ao.

3. Uma barra r¶³gida, uniforme, de massa m e comprimento `, tem presaa cada uma de suas pontas duas pequenas esferas, tamb¶em de massa

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 4

m, formando um haltere. As esferas s~ao t~ao pequenas que podem serconsideradas como massas pontuais.

(a) Qual ¶e o momento de in¶ercia deste objeto em torno de um eixoperpendicular µa barra passando pelo seu centro?

(b) Qual o momento de in¶ercia do sistema em torno de um eixo per-pendicular µa barra que passa atrav¶es de uma das massas puntiformes?

4. Calcule o momento de in¶ercia de um cilindro homogeneo de massa M ,raio R e altura H em torno dos eixos principais de in¶ercia que passampelo centro de massa (eixos x, y e z da ¯gura). (Sugest~ao: decomponhao cilindro em pequenos discos de altura dz e some os momentos dein¶ercia de cada disco.)

x

y

z

5. Demonstre que a soma dos momentos de in¶ercia de uma lamina plana,relativos a dois eixos perpendiculares quaisquer situados no plano dalamina, ¶e igual ao momento de in¶ercia da lamina em rela»c~ao a umeixo perpendicular ao seu plano e que passa pelo ponto de interse»c~aodos outros dois eixos (teorema dos eixos perpendiculares). Utilize esteresultado para calcular:

(a) o momento de in¶ercia de um disco circular em rela»c~ao a um dosdiametros;

(b) o momento de in¶ercia de uma placa retangular de lados a e b emrela»c~ao ao eixo perpendicular que passa pelo seu centro.

6. Calcule o momento de in¶ercia de um disco ¯no uniforme de raio R emassaM em torno de um eixo pertencendo ao plano do disco e tangentea ele.

R

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 5

7. Calcule o momento de in¶ercia de uma placa quadrada uniforme demassa M e lado a em torno de um eixo paralelo a um dos lados daplaca e passando por ele.

8. Determine o momento de in¶ercia de um disco uniforme, de raio R emassa M com um buraco circular excentrico de raio r, em rela»c~ao aoeixo perpendicular que passa pelo centro do disco. A distancia entre oscentros do disco e do buraco ¶e a, onde a < R ¡ r.

R

ra

Exercício 8

L

A

Fr

Exercício 9

9. Uma barra homogenea e estreita, de massa M e comprimento L, re-pousa sobre uma superf¶³cie horizontal sem atrito. Subitamente a barra¶e golpeada perpendicularmente em sua extremidade A, recebendo umimpulso horizontal que a p~oe em movimento. Que distancia D ter¶a sidopercorrida pelo centro de massa, no instante em que a barra tiver dadomeia volta?

10. Uma barra homogenea, de comprimento 2 h, sofre a a»c~ao de uma for»caimpulsiva (por exemplo, uma pancada), a uma distancia d do seu centrode massa (ver ¯gura). Qual o ponto da barra que ¯ca inicialmente emrepouso? (Observa»c~ao: pense se isto tem algo a ver com o local ondeseguramos uma raquete de tenis.)

h2•CM

d

Exercício 10

a2dCM

Exercício 11

11. Um haltere, formado por duas massas m unidas por um bast~ao semmassa de comprimento 2a, repousa sobre uma mesa horizontal sematrito. Um corpo de massa M = 2m move-se com velocidade ~v± e

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 6

atinge o bast~ao a uma distancia d do centro de massa do haltere, comomostrado na ¯gura. Ap¶os a colis~ao, a massa M passa a mover-se comvelocidade 1

3~v±.

(a) Quais as grandezas que se conservam durante este processo? Justi-¯que.

(b) Qual a velocidade do centro de massa do haltere ap¶os a colis~ao?

(c) Qual a velocidade angular de rota»c~ao do haltere em torno de seucentro de massa?

(d) Existe algum d para o qual a energia cin¶etica se conserva no proces-so? Qual ¶e ele?

12. Uma haste de comprimento ` est¶a sobre uma mesa horizontal, sematrito. Sua massa ¶e M e ela pode mover-se livremente. Um pequenodisco de massam, que move-se como indicado na ¯gura, com velocidadede m¶odulo v±, colide elasticamente com a haste.

(a) Que grandezas s~ao conservadas?

(b) Qual deve ser a massa m do disco para que ele permane»ca emrepouso ap¶os o choque?

ldCM

0vrm

M

Exercício 12

l2

0vr

M31

MExercício 13

13. Um proj¶etil de massa 13 M e velocidade ~v± penetra e se aloja na ex-

tremidade de uma barra de massa M e comprimento 2`, que estavaoriginalmente em repouso sobre uma mesa sem atrito. Num instanteinicial t = 0 o proj¶etil estava a uma distancia D da barra. Sabendoque ~v± tem dire»c~ao horizontal e perpendicular µa face lateral da barra,como mostra a ¯gura, determine:

(a) a velocidade do centro de massa do conjunto barra-proj¶etil antes edepois do choque;

(b) as componentes do vetor posi»c~ao do centro de massa (indique osistema de coordenadas) como fun»c~ao do tempo t ap¶os o choque;

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 7

(c) a velocidade angular do conjunto barra-proj¶etil em torno do centrode massa ap¶os o choque.

14. Uma barra de comprimento d e massa M , na posi»c~ao vertical, podegirar livremente em torno de um pino colocado em A. Um proj¶etil demassa m e velocidade ~v atinge a barra a uma distancia a de A, comomostra a ¯gura, ¯cando alojada nela. Despreze o atrito entre o pino ea barra.

(a) Calcule a velocidade angular de rota»c~ao da barra imediatamenteap¶os a colis~ao.

(b) Que rela»c~ao deve existir entre a e d para que no instante da colis~aon~ao haja uma for»ca extra (al¶em da que j¶a existia inicialmente) no pinoda barra?

(c) Quanta energia ¶e transformada em calor no processo?

dvr

m

M

a

A

Exercício 14 Exercício 15

15. Uma barra homogenea e estreita de comprimento h ¶e mantida verti-calmente com uma de suas extremidades apoiada ao ch~ao. Deixa-secair a barra de modo que a extremidade apoiada no ch~ao n~ao deslize.Determine a velocidade da outra extremidade quando toca o ch~ao.

16. Uma barra homogenea de massa m e comprimento h ¶e solta do repousoquando forma um angulo µ± com a vertical, como mostra a ¯gura.Despreze o atrito entre o pino e a barra.

(a) Qual a velocidade angular da barra quando esta estiver na vertical?

(b) Supondo que nesta posi»c~ao o pino que sustenta a barra se solta,descreva o movimento da barra a partir deste instante.

17. Considere uma barra homogenea de massa M e comprimento h, quetem uma de suas extremidades presa a um pino ¯xo e sem atrito. A

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 8

barra ¶e abandonada na posi»c~ao horizontal com velocidade inicial nula,como mostra a ¯gura. Calcule, em termos de M , h, e da acelera»c~ao dagravidade g,

(a) a for»ca exercida pelo pino na barra no exato momento em que abarra ¶e abandonada;

(b) a velocidade angular instantanea da barra quando esta atinge aposi»c~ao vertical;

(c) a for»ca exercida pelo pino na barra no momento em que esta atingea posi»c~ao vertical.

0θh

Exercício 16

A B

A

B

h

gr

Exercício 17 m

MR

r

Exercício 18

18. Um disco cil¶³ndrico de raio R, massa M e momento de in¶ercia 12MR2

est¶a apoiado em mancais sem atrito por um eixo de raio r e in¶erciarotacional desprez¶³vel, conforme mostra a ¯gura. Uma massam ¶e atadaa uma corda enrolada em torno do eixo e atua para produzir umaacelera»c~ao angular no sistema. Calcule

(a) a acelera»c~ao angular do sistema;

(a) a acelera»c~ao linear da massa m; e

(a) a tens~ao na corda, em termos de m, M , r, g e R.

19. Um caminh~ao de massa M, com tra»c~ao nas rodas traseiras, est¶a ace-lerado para a frente com uma acelera»c~ao a, em uma rodovia retil¶³nea.Cada uma de suas quatro rodas possui massa m e raio R, e suponhaque cada uma delas ¶e um cilindro homogeneo.

(a) Qual a for»ca de atrito nas rodas dianteiras?

(b) Qual a for»ca de atrito nas rodas traseiras?

20. Uma carro»ca ¶e constitu¶³da de uma plataforma de massa M , montadaatrav¶es de rolamentos sem atrito sobre duas rodas de raio R, cada uma

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 9

com massa m. Considere cada roda como sendo aproximadamente umanel de raio R. Que for»ca F o cavalo precisa exercer na carro»ca paraque ela adquira uma acelera»c~ao de m¶odulo a em um terreno plano?

Fr

Exercício 20

Fr

Exercício 21

21. Um cilindro de massa M est¶a rolando sem deslizar em uma superf¶³ciehorizontal, sendo puxado por uma for»ca F , como est¶a mostrado na¯gura. Determine:

(a) os torques em rela»c~ao ao centro de massa das for»cas peso, F e atrito;

(b) a acelera»c~ao adquirida pelo cilindro.

22. O cilindro de a»co de um rolo compressor tem 1 m de raio e massa20 toneladas. Ele ¶e empurrado pela m¶aquina atrav¶es de uma for»cahorizontal aplicada no seu eixo, como mostra a ¯gura. O coe¯ciente deatrito est¶atico entre o asfalto e o cilindro ¶e 0,4. Fa»ca um diagrama dasfor»cas que atuam sobe o cilindro e calcule a m¶axima acelera»c~ao a queele pode ser submetido sem que derrape. (IC = 1

2MR2.)

23. O sistema da ¯gura a seguir representa dois cilindros que se movemmediante a a»c~ao de uma for»ca F . Cada cilindro possui massa M e raioR. Entre o ch~ao e os cilindros existe atrito, de maneira que os cilindrosrolam sem deslizar. Em termos dos dados do problema, calcule:

(a) a acelera»c~ao do sistema;

(b) a for»ca de atrito em cada roda (explicitando o sentido).

Fr

Exercício 23

x

y

zFr

Exercício 24

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 10

24. Um disco uniforme de raio R e massa M est¶a inicialmente em repousosobre uma superf¶³cie horizontal sem atrito. A partir do instante t± = 0,puxa-se o ¯o com uma for»ca ~F = F ³, horizontal e constante, comomostra a ¯gura. Pede-se calcular, para um instante t > t±:

(a) a velocidade do centro de massa do disco;

(b) a velocidade angular do disco em torno de seu centro de massa.

25. Considere um disco de massa M e raio R, tendo um ¯o de massa des-prez¶³vel enrolado nele. A outra extremidade do ¯o est¶a presa numaparede. Escreva as equa»c~oes do movimento do disco, calcule a acelera-»c~ao angular e a acelera»c~ao do centro de massa do disco e determine atens~ao no ¯o.

Exercício 25 Exercício 26m

R,M

26. Uma massa m est¶a suspensa por um ¯o de massa desprez¶³vel enroladoem uma polia homogenea de massa M e raio R (ver ¯gura) que podegirar em torno de um eixo perpendicular a ela passando pelo seu centro.

(a) Calcule a acelera»c~ao da massa m.

(b) Calcule a acelera»c~ao angular da polia.

(c) Calcule a tens~ao na corda quando a massa est¶a descendo.

Suponha que a distribui»c~ao de massa na polia seja equivalente µa de umdisco.

27. Considere dois discos de mesma espessura colocados como na ¯gura.

'mm

1R

2R

Exercício 27

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 11

(a) Sendo M a massa total dos discos e R1 e R2 seus raios, determineo momento de in¶ercia do disco.

(b) Conhecendo-se m e m0, determine a acelera»c~ao angular do discocomposto e a velocidade angular do disco composto, supondo-se queele partiu do repouso.

(c) Calcule no caso do item anterior a tens~ao nas cordas.

28. Quando um corpo r¶³gido rola sobre uma superf¶³cie, sem deslizar, pode-mos considerar que o corpo gira, em cada instante, em torno de umponto que est¶a momentaneamente em contato com a superf¶³cie. Esteponto ¶e o que chamamos de centro instantaneo de rota»c~ao. Seja oseguinte problema, que posde ser resolvido facilmente com este con-ceito: as ¯guras a seguir representam v¶arias maneiras de puxar umcarretel pela linha enrolada sobre o cilindro interno. Considere que oatrito seja su¯ciente para que o carretel role sem deslizar. Fa»ca vocemesmo esta experiencia. Qual o sentido da for»ca de atrito em cada umdos casos?

29. Um io-io de massa M , raio maior R e momento de in¶ercia I est¶a sobreuma mesa horizontal e pode rolar sem deslizar. Uma for»ca ~F ¶e apli-cada no raio interior r atrav¶es do ¯o, que forma um angulo ® com ahorizontal.

R

r α

Fr

29Exercício

RH

30Exercício

(a) Para quais valores de ® o io-io ir¶a rolar para frente? E para tr¶as?

(b) Calcule a acelera»c~ao do io-io e a for»ca de atrito entre o io-io e amesa supondo que ele n~ao se eleve da mesa.

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 12

(c) Qu~ao forte precisa ser ~F para um angulo ® de forma que o io-io selevante da mesa?

30. Um estudante de F¶³sica Experimental deseja medir a velocidade docentro de massa de uma esfera de massa M e raio R, que desce umacanaleta inclinada (cuja se»c~ao transversal est¶a mostrada na ¯gura). Dea previs~ao te¶orica da velocidade com que a esfera chega ao ¯nal doplano inclinado de altura H.

31. Um cilindro de raioR e massaM rola sem deslizar, partindo do repouso,do topo de um plano inclinado de altura 2h at¶e a altura h. A partir daaltura h o cilindro desliza, pois n~ao existe atrito (ver ¯gura).

h2h

A

B

C

31Exercício

Calcule:

(a) a velocidade do centro de massa do cilindro no ponto B;

(b) a velocidade angular do cilindro em rela»c~ao ao centro de massa noponto B;

(c) a velocidade do centro de massa no ponto C;

(d) a velocidade angular em torno do centro de massa no ponto C.

32. Considere um cilindro homogeneo de massa total M = 100 kg e raioR = 0; 5 m, contendo um dispositivo interno que lhe proporciona umtorque bin¶ario constante ¿ em rela»c~ao ao eixo do cilindro. Este sobeum plano inclinado de inclina»c~ao µ = 30± rolando sem deslizar comacelera»c~ao igual a 1 m/s2. Sabendo que I± = 1

2MR2 e g = 10 m/s2,

determine:

(a) o valor de ¿ ;

(b) o m¶odulo e a dire»c~ao da for»ca de atrito;

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 13

(c) o valor m¶³nimo do coe¯ciente cde atrito est¶atico entre a superf¶³ciedo plano e do cilindro para que este possa subir o plano semdeslizar.

32Exercício

1m

2m

I

33Exercício

33. Considere na ¯gura que n~ao existe atrito entre o bloco e a superf¶³cie.A corda que liga os blocos de massas m1 e m2 passa por uma poliacujo momento de in¶ercia ¶e I, raio R e massa M . Calcule as tens~oes nacorda, a acelera»c~ao dos blocos, e a acelera»c~ao angular da polia.

34. Nas duas ¯guras a seguir temos um cilindro de massa M e raio Rque pode rolar sem deslizar. Na primeira ¯gura, um ¯o ¶e enrolado nocilindro, passa por uma polia sem massa e tem a extremidade presaa um corpo de massa m. Na segunda ¯gura, o ¯o ¶e colocado de talmaneira que ¯que preso ao eixo central do cilindro.

(a) Fa»ca o diagrama das for»cas para os dois casos.

(b) Calcule e compare as acelera»c~oes da massa m para os dois casos.

fig. 1 fig. 2

34Exercício

Rr

35Exercício

35. Um cilindro de massa 2m e raio 2b est¶a ligado por uma corda de massadesprez¶³vel a um bloco de massa 4m, como mostrado na ¯gura. Ocilindro tem uma ranhura muito estreita, de tal forma que a corda ¯caenrolada a uma distancia b de seu eixo. O cilindro rola sem deslizarsobre o plano horizontal; a corda passa por uma polia de massa des-prez¶³vel e o atrito entre a polia e o seu eixo ¶e desprez¶³vel. Sabendo-se

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 14

que o raio de gira»c~ao do cilindro em quest~ao em rela»c~ao ao seu eixo desimetria ¶e k, calcule:

(a) as acelera»c~oes do cilindro e do bloco, mostrando em um diagramaas for»cas que atuam no cilindro e no bloco;

(b) a acelera»c~ao angular do cilindro;

(c) a for»ca de atrito;

(d) a tens~ao que atua no bloco.

36. Considere um plano inclinado (de um angulo µ) com uma polia (disco)de massa MP e raio RP . Uma esfera de raio RE e massa ME tem oseu centro ligado por um ¯o, que passa pela polia e que tem em suaoutra extremidade uma massa M , como na ¯gura. Considerando quea esfera rola sem deslizar e que a polia ¶e um disco delgado, calcule aacelera»c~ao da massa M e a tens~ao na parte vertical do ¯o.

θ

36Exercício

37. (Mecanica do Bilhar, Sommerfeld, Mechanics) Uma bola de bilhar deraio a est¶a sobre uma mesa plana. O taco atinge a bola a uma alturah da superf¶³cie, exercendo sobre ela uma for»ca ~F horizontal. Conside-remos que esta for»ca ¶e t~ao intensa que podemos desprezar a for»ca deatrito entre as superf¶³cies do bloco e da bola durante a aplica»c~ao de ~F .

Fr

ha

37Exercício

(a) Mostre que a velocidade angular de rota»c~ao da bola em tornode seu centro de massa e a velocidade do centro de massa est~ao

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 15

relacionadas, imediatamente ap¶os a tacada, por

!± =5

2

(h ¡ a)

a2V±

(b) Por que voce n~ao obteve V± = !± a ? O que acontece se h = a?E se h < a? Qual deve ser o valor de h para que haja rolamentosem deslizamento?

(c) Considere a situa»c~ao em que a bola ¶e atingida no seu centro.Mostre que neste caso a velocidade do centro de massa da bolano instante t ¶e dada por V = V± ¡ 2

5a !, onde V± ¶e a velocidade

inicial do centro de massa da bola e ! ¶e a velocidade angularno instante t. Por que a velocidade do centro de massa da bolan~ao ¶e constante? Ap¶os um certo instante, a bola passar¶a a rolarsem deslizar. Qual o valor de V em termos de V± a partir deste in-stante? A partir da¶³, a velocidade do centro de massa ¶e constante?Calcule a energia dissipada desde o in¶³cio at¶e este instante.

38. Um truque interessante que pode ser feito com uma bola de gude, colo-cada sobre uma mesa horizontal, ¶e pression¶a-la com o dedo de maneiraa projet¶a-la ao longo da mesa com velocidade angular inicial ~!± nadire»c~ao de um eixo horizontal perpendicular µa velocidade inicial de seucentro de massa ~v±. O coe¯ciente de atrito est¶atico entre a bola degude e a mesa ¶e constante. A bola possui raio R.

(a) Que rela»c~ao precisamos ter entre v±, !± e R para que a bola deslizeat¶e parar completamente?

(b) Que rela»c~ao devemos ter entre v±, !± e R para que a bola deslizeat¶e parar e depois volte at¶e sua posi»c~ao inicial com uma velocidade¯nal constante de 3

7v±?

οvr

οωr

38Exercício

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 16

39. Um palha»co est¶a andando num monociclo cuja roda pode ser conside-rada como um anel homogeneo de raio TR e massa m. A massa doconjunto palha»co-monociclo ¶e M . Qual o torque que deve ser aplicadoao pedal para dar ao conjunto uma acelera»c~ao para a frente de m¶oduloa? Suponha que a roda rola sem deslizar.

40. Um disco plano uniforme de massa M e raio R est¶a girando em tornode um eixo ¯xo perpendicular a ele e passando pelo seu centro de massacom velocidade angular ! constante. Ache o momento angular do discoem rela»c~ao ao seu centro de massa.

41. ¶E poss¶³vel distingÄuir um ovo cru de um ovo cozido fazendo-os girarsobre uma mesa? Como?

42. O que aconteceria ao per¶³odo de rota»c~ao da Terra se as camadas polaresse derretessem? Explique por que.

43. Dois discos pesados s~ao ligados por um pequeno eixo de raio bem menorque o dos discos, formando um haltere. O conjunto ¶e colocado sobreum plano inclinado estreito de forma tal que s¶o o eixo do haltere ¯caapoiado, e rola para baixo sem deslizar. Pr¶oximo ao solo, os discostocam a superf¶³cie e passam a se deslocar com velocidade muito maior.Explique por que.

44. Calcule a tra»c~ao na corda e a rea»c~ao na r¶otula do sistema da ¯gura,sendo de 400 N o peso da barra e de 800 N o da carga. Suponha que acorda tem massa desprez¶³vel.

45o

((

43Exercício

AB

οο45

d44Exercício

45. Uma barra de massaM est¶a apoiada num buraco, como mostra a ¯gura.A largura do buraco ¶e d = 1

3 L, onde L ¶e o comprimento da barra. Oangulo que a barra faz com a horizontal ¶e de 45±. A for»ca de atrito noponto de contato A ¶e a m¶axima poss¶³vel, por¶em pode ser desprezada

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 17

no ponto B. Qual ¶e o valor do coe¯ciente de atrito em A? Determine adire»c~ao, o m¶odulo e o sentido da for»ca de atrito em B.

46. A barra uniforme ANB da ¯gura tem 4,0 m de comprimento e pesa1000 N. H¶a um ponto ¯xo C, que dista 3,0 m de A, em torno do qualela pode girar. A barra est¶a inicialmente em repouso apoiada sobreo ponto A. Um homem de massa 75 kg est¶a andando sobre a barra,partindo de A. Calcule a maior distancia que o homem pode se afastarde A sem que a barra se desequilibre.

AB

C

45Exercício

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 { resp. | p. 18

IF { UFRJ { 2004/1F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta)

Lista de exerc¶³cios 15 { Respostas

1. (b) Lz = 2md2 sen2 µ !.

2. A for»ca do eixo sobre cada mancal tem m¶odulo

F =1

2dm!2 a2 sen(2µ)

¶e perpendicular (em cada instante) ao eixo, na dire»c~ao da reta que unecada part¶³cula ao centro do c¶³rculo descrito por ela, e apontando parafora do eixo.

3. (a) 712m d2 , (b) 4

3 m d2.

4. Iz = 12MR2 , Ix = Iy = 1

4MR2.

5. (a) 14 MR2 , (b) 1

12 M (a2 + b2).

6. 54MR2.

7. 13 M a2.

8. 12 M

hR2 + r2 ¡ 2 a2 r2

R2¡r2i

9. D = 16 ¼ L.

10. O ponto que ¯ca a uma distancia d + h2=(3d) do local da pancada.

11. (a) d~Pdt

=P ~F ext = 0 =) momento linear total do sistema haltere +

massa ¶e conservado.d~L±dt =

P~¿ext± = 0 =) momento angular do sistema (em rela»c~ao a

qualquer ponto O da mesa) ¶e constante.

(b) 23 ~v±. (c) 2d

3a2 v± , (d) Sim, se d = a.

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 { resp. | p. 19

12. (a) O momento linear total do sistema (poisP ~F ext = 0), o momento

angular total (poisP~¿ext = 0) e a energia cin¶etica (o enunciado in-

forma que a colis~ao ¶e el¶astica).

(b) M h2= (12d2 + h2).

13. (a) ComoP ~FEXT = 0, ~P = MT

~VCM = constante; portanto antes,

durante e depois da colis~ao, ~VCM = 14~v±.

(b) Fa»camos ³ o unit¶ario da dire»c~ao de ~v±, isto ¶e, ~v± = v± ³, ^ o unit¶arioda dire»c~ao da barra (perpendicular a ³) e k o unit¶ario da dire»c~ao perpen-dicular ao plano do papel e saindo dele, como na ¯gura; e escolhamoscomo origem do sistema de coordenadas o ponto O onde ocorre o toqueentre a massa m e a barra (a extremidade da barra antes da colis~ao):

ιj

k •O⊗O⊗

CMVr ω

⊗

R(t) = 14 [(¡D + v± t) + 3` ^].

(c) ! = 3v±=(7`), no sentido anti-hor¶ario.

14. (a) ! = 3Mv amd2+3ma2

; (b) d = 32a ;

(c) ¢T = Tf ¡ Ti = ¡ 12 mv2 M d2

M d2+3ma2

15.p

3 g h .

16. (a)q

3 gh (1¡ cos µ ) .

(b) O centro de massa descrever¶a um movimento uniformemente aceler-

ado com acelera»c~ao inicial horizontal de m¶odulo 12

q3g h (1 ¡ cos µ±) ;

a barra girar¶a em torno do centro de massa com velocidade angularq3 gh (1¡ cos µ±) em torno de um eixo perpendicular µa barra.

17. (a) 14 M g, vertical e para cima. (b)

q3 g=h . (c) 5

2 M g, vertical epara cima.

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 { resp. | p. 20

18. (a) gr

1

1+ M R2

2mr2

; (b) g

1+M R2

2mr2

; (c) mg

1+ 2m r2

M R2

.

19. (b) 12 (M +m) a , para frente.

20. (M + 4m)a.

21. (a) ~¿ 0peso = 0 , ~¿ 0F = 0 , ~¿ 0fa = 13 F Rk, onde k ¶e o unit¶ario da

dire»c~ao do eixo do cilindro, para dentro.

(b) 23M

~F .

22. Amax = 8 m/s.

23. (a) 2F3M . (b) Cilindro da frente: 2

3~F (mesmo sentido de ~F ); cilindro de

tr¶as: ¡ 13~F .

24. (a) ¡ Fmt ³ ; (b) 2F

M Rt k.

25. (a) Acm = g¡ TM ; ® = 2 T

M R, onde T ¶e a tens~ao no ¯o.

(b) 23gR; (c) 2

3 g ; (d) 13 M g .

αα

CMAr

26. (a) 2mgM+2m ; (b) 2mg

R(M+m) ; (c) MmgM+2m.

27. (a) M2

R41+R4

2R2

1+R22;

(b) ® = g mR1¡m0R2I+mR2

1+m0 R2

2;

(c) mR1¡m0 R2

I+mR21+m0R2

2g t;

(d) T = mg I+m0R2 (R1+R2)I+mR2

1+m0R2

2.

αα

Tm 'm

'T

29. (a) Para frente, se cos® > r=R; para tr¶as, se cos® < r=R.

(b) a = FM

cos®¡r=R1+ I

MR2, fa =

cos®+M RrI

1+M R2

I

, para tr¶as.

(c) F ¸ Mgsen®

.

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 { resp. | p. 21

30. Primeiro modelo: desprezando a energia cin¶etica de rota»c~ao da bola,v =

p2gH.

Segundo modelo: h¶a rolamento sem deslizamento na canaleta, com um¶unico ponto de contato (a bola vem girando e rolando sem tocar nas

laterais da canaleta e encostando apenas no fundo dela): v =q

10gH=7.

Terceiro modelo: h¶a rolamento sem deslizamento, com o contato en-tre a canaleta e a bola dando-se nos dois pontos da ¯gura; k ¶e adistancia do centro da esfera ao eixo que passa pelos dois pontos:

v =q

2gH= (1 + 2R2=(5k2)).

kR

31. (a) 2q

13 g h ; (b) 2

R

q13 g h ; (c)

q103 g h ; (d) 2

R

q13 g h .

32. (a) 325 N.m; (b) 600 N; (c) 0,69.

33 (a) Em m1:m1 m2 g

m1+m2+ IR2

; em m2: m2 gm1+

IR2

m1+m2+ IR2

.

(b) m2 gm1+m2+ I

R2; (c) m2 g

R(m1+m2+IR2 )

.

34. (a) Caso 1: Caso 2:Tr

afr

Nr

Pr

Tr

afr

Nr

Pr

(b) a1 = mgm+3

8M, a2 = mg

m+32M

(a1 > a2).

35. (a) abloco = 18 gb2

22b2+k2Tr

afr

Nr P

r

'Pr

'Tr

(b) 6 gb22b2+k2 ; (c) 4m g 2b2¡k2

22b2+k2, para a frente; (d) 4mg 4 b2+k2

22 b2+k2.

36. (a) M¡Me senµM+1

2Mp+

75Meg ; (b)

12 Mp+(7

5 +senµ)Me

M+12Mp+

75Me

M g .

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 { resp. | p. 22

37. (b) Por que se h ¶e qualquer, a bola pode rolar e deslizar.

Se h = a, !± = 0 e a bola come»ca a deslizar sem rolar.οv

οω

Se h < a, a bola rola em sentido anti-hor¶ario.

Para que haja rolamento sem deslizamento, h = 75 a.

οv

οω

(c) Vcm n~ao ¶e constante porque a resultante das for»cas externas nabola n~ao ¶e nula (h¶a atrito cin¶etico). Quando passarmos µa situa»c~ao derolamento sem deslizamento, V = 5

7V± , e a partir da¶³a velocidade do

centro de massa ¯ca constante por queP ~F ext = 0. A energia dissipada

¶e 17 M V 2

± , e corresponde ao trabalho da for»ca de atrito no deslizamento.

38. (a) v± = 25!±R ; (b) v± = 1

4!±R.

39. (M +m) aR.

40. 12MR2 ~! (~! = ! k, onde k ¶e o unit¶ario da dire»c~ao do eixo).

41. Sim. O ovo cru n~ao ¶e um corpo r¶³gido...

42. O per¶³odo aumentaria, pois a velocidade angular diminuiria (devido aoaumento do momento de in¶ercia).

43. Discuta com o seu professor.

44. Tra»c~ao na corda: 1000p

2 N

Rea»c~ao na r¶otula: ¡ ~R, onde R ' 1020 N,

® = arctg 0; 2 ' 11±.

Rr

α

Tr

ο45

45. ¹C = 4p

23 ¡ 1 ' 0; 9 ; fa = (1 ¡ 3

p2

8 )M g ' 0; 47M g, tangente µaparede do buraco e para cima.