guia de ejercicio resueltos

8/14/2019 Guia de Ejercicio Resueltos

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Ayudante Ignacio Trujillo Silva Matemtica 1 D-2

Gua de ejercicios resueltos 2 Prueba

Matemtica 1

Programa Acadmico de BachilleratoUniversidad de Chile


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Supremos e nfimos

a) Sea :f definida por

1

1)(

2

n

nnf

n

. En caso que exista, conjeture el valor

del ))(Im( fSup e ))(Im( fInf , y demuestre que tu conjetura es correcta.

Solucin:

Lo primero que debemos analizar son los elementos del conjunto )Im( f , con 5elementos es suficiente (para tener una idea del comportamiento de la funcin).

3

1)4(

5

1)3(

5

3)2(

0)1(

f

f

f

f

Luego, nuestro supremo tentativo es5

3)2( f . Para demostrar que es el supremo

debemos probar que es cota superior de )Im( f .

Es decir, que

6

5

1

12

n

nn

.

Analizaremos dos casos diferentes (si n es par y si n es impar), pero complementarios.

Si in 2 (n es par). i

520126

6

5

14

21

2

2

ii

i

i

112200 2 ii (1)

Preposicin 1: Si s es cota superior deA y adems s pertenece aA, implica que s esMximo y Supremo de A.

Preposicin 2: Si s es cota inferior deA y adems s pertenece aA, implica que s esnfimo y Mnimo de A.


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Partiremos con la ecuacin (1) 112200 2 ii la que es fcilmente demostrable alaplicar induccin1.

Para i = 1.

70112200

Sea cierto, para i = k, que 112200 2 kk .

Por demostrar, que para i = k+1 se cumple que 11121200 2 kk

112121220011121200

2

2

kxk

kk

)828()11220(00__0

2

kkkhipotesispor

6

5

14

21

520126

112200

2

2

2

i

i

ii

ii

Hemos demostrado que

6

5es cota superior de la )Im( f cuando n es par.

Si in 2 -1 (n es impar). i

6

521

1412

6

5

44

226

5

44

22

6

5

1)12(

121

2

2

2

iii

i

ii

i

ii

i

i

i

6

5

2

1

i, esto se cumple para todo nmero natural.

Hemos demostrado que6

5es cota superior cuando n es impar.

1 Esta demostracin no es necesaria cuando se analizan polinomios de primer grado, basta condescomponer la desigualdad y ver algo claramente cierto.


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Por tanto, hemos demostrado que6

5es cota superior y porPreposicin 1,

))(Im())(Im(6

5fMaxfSup , n .

Ahora debemos encontrar el ))(Im( fInf .

Nuestro nfimo tentativo es 0)1( f . Para demostrar que es el nfimo debemos probarque es cota inferior de )Im( f , pues ya sabemos que pertenece al conjunto (ver

Preposicin 2).

Es decir, que

1

10

2

n

nn

.

Siempre 012

n , luego nn

102

n .

Por tanto, hemos demostrado que 0 es cota inferior y porPreposicin 2,))(Im())(Im(0 fMinfInf , n .

b) Sea :f definida por

23

21)(

n

nnf

n

. En caso que exista, conjeture el

valor del ))(Im( fSup , y demuestre que tu conjetura es correcta.3

Solucin:

Primero notemos que si 3n se tiene que 2312 nn , por lo tanto

1

23

12

23

21)(

n

n

n

nnf

n

, .3n

Ahora bien, 1)1( f y ,4

5)2( f por lo tanto

nnf )(4

5, esto implica que

4

5es cota superior de )Im( f y como )Im(

4

5f se

tiene que el 45))(Im( fSup .4

2 Esta desigualdad siempre se cumple, ya que el menor valor que toman los nmeros naturales es el uno.(en ese caso 00 )3

Sexto Control de Matemtica I, ejercicio 1 (otoo 2007). Programa Acadmico de Bachillerato,Universidad de Chile.4 Preposicin 1.


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b) Sea :f definida por23

12)(

n

nnf . En caso que exista, conjeture el valor

del ))(Im( fInf y ))(Im( fSup , y demuestre que tu conjetura es correcta.

Solucin:

Encontraremos el ))(Im( fInf :

Lo primero que debemos analizar son los elementos del conjunto )Im( f , (para teneruna idea del comportamiento de la funcin).

213

112)1(

23

12)(

14

9)4(

11

7)3(

8

5)2(

5

3)1(

n

nnf

n

nnfffff

Notemos que si 1n se tiene que )1()( nfnf , por lo tanto )()1( nff , .1n

Ahora bien, .5

3)1( f Entonces necesitamos demostrar que .

23

12

5

3

n

n(3)

Partamos con que 10 n .1n 5

23

12

5

3

125233 51069

659100

10

n

n

nnnn

nn

n

Por tanto, ,)(5

3 nnf esto implica que

5

3es cota inferior de la )Im( f y como

)Im(5

3f se tiene que el 5

3))(Im( fInf .6

Ahora, encontraremos el ))(Im( fSup 7:

5 Desigualdad trivial, proveniente de la mxima simplificacin de la ecuacin 3.6 Preposicin 1.7 Se desea probar que cierto nmero es un supremo o nfimo, se debe escoger entre dos tipos dedemostraciones la que ocupa laPreposicin 1, y la que recurre al psilon. Cada ejercicio tiene solo una

manera de resolverse, por ello se debe tener extremo cuidado al elegir el tipo de demostracin. El secretoest en analizar si el supremo o nfimo es un elemento con n finito (f(n) con n finito, se ocupa preposicin1, 2), o si se trabaja con n infinito (ocupar demostracin por psilon, como se ve en el siguiente ejemplo).

El ejercicio que se expone a continuacin no utiliza lapreposicin 1 , sino que recurrea la demostracin por . Esta demostracin se ocupa cuando se escoge un n losuficientemente grande que nos asegura la convergencia a nuestro supremo o nfimo.


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Para cada 0 existe ))(Im()(/)Im()( fSupnffnf

Notemos que3

2es cota superior y adems un posible supremo8, entonces demostremos

que3

2es supremo.

3

2

23

12

n

n

3

2

9

1

23

13

233

4212

233

212

3

2

23

12

n

n

nnn

nn

n

n

Entonces existe por Propiedad Arquimediana, ,3

2

9

1

N con .0 N

3

2

23

12

233

212

2334212

23

13

3

2

9

1

N

N

NN

NNN

N

N

8 Por qu es un posible supremo? Como la funcin es creciente )1()( nfnf al hacer crecer n, losvalores que dirigen la ecuacin son el 2n en el numerador y el 3n en el denominador, cuando los n son

grandes se simplifican y se intuye el posible supremo, en este caso32 .

Definicin de Supremo: Para cada 0 existe Aa / )(ASufaDefinicin de nfimo: Para cada 0 existe )(/ AInfaAa

Propiedad Arquimediana, siempre es posible encontrar un RN , con. RN


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3

2))(Im(

))(Im()(/)Im()(

fSup

fSupNffNf

b) Sea :f definida por1000

)(

n

nnf . En caso que exista, conjeture el valor

del ))(Im( fSup , y demuestre que tu conjetura es correcta.

100011

)1(1000

)(1003

3)3(

1002

2)2(

1001

1)1(

n

nnf

n

nnffff

Notemos que si 1n se tiene que )1()( nfnf .

Nuestro supremo tentativo es el 1, ya que la funcin es creciente para todo n y losvalores que dirigen la ecuacin son el n en el numerador y el n en el denominador,cuando los n son grandes se simplifican y se intuye el posible supremo, en este caso1.

ApliquemosDefinicin de Supremo:

Para cada 0 existe ))(Im()(/)Im()( fSupnffnf

Para nuestro caso particular, para cada 0 existe

11000

/)Im()(n

nfnf

10001000

10001000

10001000

10001

11000

n

n

nnn

nn

n

n

Entonces existe por Propiedad Arquimediana, ,10001000

N con .0 N

11000

10001

10001000

10001000

10001000

N

N

NN

NNN

N

N

1))(Im(

))(Im()(/)Im()(

fSup

fSupNffNf


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METODOLOGA (Supremos e nfimos):

Caso1: Demostrar diciendo que si s es cota superior deA y adems s pertenece aA,implica que s es Mximo y Supremo de A (Preposicin 2 en el caso del nfimo)

1. Analizar elemento de la )Im( f , para los primeros nmeros naturales.2. Encontrar un posible Supremo, con n finito. (Encontrar un posible nfimo, con

un n finito)3. Demostrar que es cota superior. (Demostrar que es cota inferior)4. AplicarPreposicin 1. (AplicarPreposicin 2)

Caso 2: Demostrar usando definicin por psilon del supremo para cada 0 existeAa / )(ASufa . (para cada 0 existe )(/ AInfaAa )

1. Analizar la convergencia de la funcin cuando la n crece.2. Encontrar un posible Supremo, con n infinito. (Encontrar un posible nfimo, con

un n infinito)3. Despejar la n de la definicin de supremo.4. Probar que existe un N tal que se cumpla la definicin de supremo,

aplicando lapropiedad arquimediana.5. Reemplazar la n despejado por N de la propiedad arquimediana.6. Devolverse y formar nuevamente la definicin de Supremo.7. Concluir que el Supremo tentativo, es el Supremo.

Partiremos por dar una serie de ejemplos tipos (de supremos e nfimos).


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Funciones

1) Se tiene un rectngulo inscrito en un triangulo equiltera de lado a. Calcule loslados del rectngulo x e y cuando el rea del rectngulo es mxima.

Solucin:

u

Xsen

v

Ysen

2)30(

)60(

)60()30(2 senvYsenuX

Luego,2

3)60(

2

1)30( sensen

2

3vY

uX

Xu (1)

Yv3

2 (2)

(1) + (2) aXYvu 3

2 9

YaX

aXY

3

23

2

La funcin que rea del rectngulo es XYArea

9 En la figura 1 se observa que u + v = a

X

Y

a

60

30 30

60

u

v

X/2


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2

3

2

3

2

YaYYf

YYaYfArea

El vrtice de la ecuacin cuadrtica es )2

,2

(

a

bf

a

bVertice .

4

3

3

222

max

aa

a

bY

Por tanto, los lados que forman el rea mxima son2

3

2 maxmaxa

Ya

X .

2)Los punteros del reloj a las 00:6 marcan un ngulo extendido. Entre las 00:6 y las

00:7 a qu hora forman un ngulo recto? A qu hora forman un ngulo de 60 ?

Para obtener el a(m) basta realizar una proporcin directa)(

360min60

mam

, obteniendo

mma 6)( .

Las 6:00Entre las 6:00 y 7:00

a(m)

b(m)

f(x)

2

2

4

3

3

23

2

max

max

max

maxmax

aX

aaX

aaX

YaX


11/28


Para obtener el b(m) basta realizar una proporcin directa)(

360min12*60

mbm

,

obteniendo

mmb2

1)( .

Luego, la funcin que buscamos es la que describe el ngulo entre el minutero y elhorario.

18062

1)(

18062

1180)()()(

mmmf

mmmambmf

El valor absoluto, es para resolver el inconveniente cuando el minutero adelanta alhorario y la funcin se vuelve negativa.

0,180))(Im(

60,0))((

xf

xfDom

a qu hora forman un ngulo recto?

m

m

mm

mm

11

1802

1190

62

118090

18062

190

m

m

mm

mm

11540

2

11270

18062

190

18062

190

)(mf no es inyectiva, pues tengo dos valores de m para el mismo valor def(x).

A qu hora forman un ngulo de 60 ?


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m

m

mm

mm

11

2402

11120

62

118060

18062

160

m

m

mm

mm

11

4802

11240

18062

160

18062

160

Tener en cuenta que para tener la hora exacta se debe anteponer las seis.

2) Determine el dominio e imagen de las siguientes funciones, luego establezca si

son inyectivas, epiyectivas y obtenga su inversa si es que existe.

Inyectividad: Si es inyectiva se cumple que .)()( babfaf

Todos los co-dominios en esta seccin se consideran igual a los reales.

a)1

)(2

x

xxf

)( fDom el denominador no se indefine nunca.

Para encontrar el conjunto imagen debemos realizar los siguientes procedimientos:

b

bx

bxbx

bx

xxf

2

411

0

1)(

2

21

2

2

Luego, para que x no pertenezca a los imaginarios

2

1

2

14

1

41

041

2

2

2

b

b

b

b

Pero como b0 por el valor absoluto, la intercepcin de los intervalos obtenidos es:

2

1,0)Im( f


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Inyectividad: No inyectiva, basta con darnos un contra ejemplo )1()1( ff con11 .

Epiyectividad: No epiyectiva, pues la imagen solo puede tomar

2

1

,0 .

Inversa: No podemos encontrar la inversa, ya que la funcin no es biyectiva.

b)5

)(2

x

xxf

5)( fDom el denominador se indefine cuando 5x .


2

20

50

5)(

2

21

2

2

bbbx

bbxx

bx

xxf

Luego, para que x no pertenezca a los imaginarios

0200202

bb

bb

Tenemos dos casos 0200 bb o que 0200 bb .

Caso 1: 0200 bb

20200 bbb ,201S

Caso 2: 0200 bb

20200

bbb 0,2

S

,200,)Im( 21 SSSf fInyectividad: No inyectiva, basta con darnos un contra

ejemplo 40)20020()20020( ff .

Adems podemos ver que,

055

55

)(55

)(

2222

2222

22

baabba

bababa

bfb

b

a

aaf


14/28


05

0)(5)(

0)(5)( 22

baabba

bababaab

babaab

Solucin 1: ba

Solucin 2:

5

5

55

5

b

ba

bba

baab

Epiyectividad: No epiyectiva, pues la imagen solo puede tomar ,200, .

Inversa: No se puede encontrar la inversa, debido a que la funcin no es biyectiva.

c) cxxxf 2)(

)( fDom el denominador no se indefine nunca (es uno).


2

4)41(1

2

)(411

0)(x

x

bf(x)

2/1

2/1

2

2

cbx

bcx

bcx

bcx

Luego, para que a no pertenezca a los imaginarios

4

1

441

04)41(

cb

cb

cb

,

4

1)Im( cf

Inyectividad: No inyectiva, basta con darnos un contra ejemplo cff 2)2()1(Adems podemos ver que,


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01

0

0

)()(22

22

baba

bababa

baba

bfcbbcaaaf

Solucin 1: ba Solucin 2: 1 ba

cno __ para que la funcin sea inyectiva (el c no afecta la inyectividad).

Epiyectividad: Luego, para que la )Im( f tome todos los reales (o sea que elIm(f(x))Codom(f) ), bc que b toma todos los reales, pero

es imposible considerar el c en la definicin de la funcin, cno __ para quela funcin sea epiyectiva


d) 1)( 2 xxxf

)( fDom el denominador no se indefine nunca (es uno).


2

)1(4

0)1(x

1x

bf(x)

2

2/1

2

2

bx

bx

bx

Luego, para quex no pertenezca a los imaginarios

41

4

4

044

2

2

2

b

b

b

,

41)Im(

2f

Inyectividad: No inyectiva, basta con darnos un contra ejemplo2)1()1( ff

Adems podemos ver que,


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0

0

0

)(11)(22

22

baba

bababa

baba

bfbbaaaf

Solucin 1: ba Solucin 2: ba

__ no para que la funcin sea inyectiva.

Epiyectividad: Luego, para que la )Im( f tome todos los reales (o sea que el

Im(f(x)))Codom(f(x) ), b4

2que b toma todos los reales,

pero es imposible considerar el 4

2en la funcin definida, __ no para que

la funcin sea epiyectiva


e) 84)( xxf

)( fDom el denominador no se indefine nunca.

Para encontrar el conjunto imagen debemos realizar el siguiente procedimiento:

4

8

84)(

bx

bxxf

Luego,x existe para todo b perteneciente a los reales.

)Im( f

Inyectividad: Es inyectiva, demostrmoslo.

ba

ba

bfaf

8484

)()(

que es inyectiva.

Epiyectividad: Es epiyectiva, pues la imagen es igual a reales.

Inversa: bxxf 84)( 4

8

bx

4

8)(

1

xxf es la inversa buscada.


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METODOLOGIA: (inyectividad, epiyectividad, funcin inversa)

1. Definimos el dominio analizando el denominador de la funcin, si se indefine enuno o ms puntos estos no pueden pertenecer al dominio.

2. La definicin de imagen bafconabf )(___/)Im( , por esta razn sedebe despejar a y analizar en el caso de un polinomio que a no pertenezca a losimaginarios, en el caso que se tiene un denominador variable (con un b) se debebuscar el b tal que el denominador se indefine.

3. Se deja fuera de la imagen a los b que indefinen la funcin y a los )(af talesque a pertenece a los imaginarios.

4. Se debe ocupar ,)()( babfaf para demostrar inyectividad. En algunoscasos se puede intuir que no es inyectiva, en estos procesos es conveniente

buscar un contra ejemplo.5. Para ver epiyectividad se debe usar que toda funcin epiyectiva tiene

)()Im( fCodomf , el codominio comnmente lo definen los reales peroperfectamente puede estar acotado.

6. Por ultimo, si hemos probado biyectividad (toda funcin invertible esbiyectiva), entonces podemos despejarx (de ))( bxf y remplazarlo por

)(1 bf . Finalmente obtenemos nuestra funcin inversa.


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Grficos

1) Grafique las siguientes funciones e interprete a travs del grafico la inyectividady epiyectividad.

a) 5:f con562)(

x

xxf

La asntota vertical se obtiene al ver donde se indefine la funcin, en este caso.505 xx

La asntota horizontal se obtiene al despejarx.

2

65

65)2(

5625

62)(

b

bx

bbx

bbxx

bx

xxf

Podemos observar quex se indefine cuando .202 bb Como b pertenece a laimagen se forma una asntota horizontal en 2.

Con uno o ms puntos se puede saber en que cuadrante se muevan las curvas.

Se puede ver que no es epiyectiva, ya que la imagen no toma el valor 2.Es inyectiva, pues en ningn punto dos elementos del dominio tienen la misma imagen.

.

5

Asntota vertical

2

Asntota horizontal

x

f(x)


19/28


20/28


Polinomios


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Trigonometra

1) Hern de Alejandra en el siglo I de nuestra era, asegura que el rea de un

triangulo es ,cpbpapp donde p es el sumipermetro del triangulode lados a, b y c. Demuestre que Hern estaba en lo correcto.

2222

22

)()(

4

1

)()()(4

14

1

2222

2222

abccbaA

abcabccbaA

cbabcaacbcbaA

cbabcaacbcbaA

c

cba

b

cba

a

cbacba

A

cpbpappA

Formulas Trigonomtricas:

1)()(cos 22 xsenx )()(cos)cos()cos( ysenxsenyxyx

2

)2cos(1)(cos2

xx

)()cos()cos()()( ysenxyxsenyxsen

2

)2cos(1)(2

xxsen

)cos()(2)2( yxsenxsen

Teorema del coseno: Teorema del seno:

(C)2abcosbac

(B)2accoscab

(A)2bccoscba

222

222

222

)()()( Csen

c

Bsen

b

Asen

a

A

c b

B a C


22/28


Ocupando Teorema del coseno )cos(2222 abbac

cpbpappA

h

a

A

consenab

A

abA

ababA

abababA

aabbccabbaA

a

2

0__),(2

)(cos12

)cos(12)cos(12(4

1

2)cos(2)cos(12(4

1

22(4

1

2

222222

2) Demuestre que xxsen )( para todo .x

Si )()(12

xsenxxsenx para

,2x

Para2

0

x el arco siempre va a ser mayor que la coordenaday (que es igual a

sen(x)).

Luego, )(xsenx para ,0x

Para 02

x

, )()( xsenxxsenx

Si )(22

xsenxx para 0,x

x

-1 1

1

-1

Sen(x)

x = el arco

(a, b) = (cos(x), sen(x))


23/28


Por tanto, )(xsenx para x

3) Demuestre que si yx entonces )()( ysenxsen (Ayuda:

2cos

22)()(

yxyxsenysenxsen ) Puede obtener un resultado similar

para la funcin real )cos()( xxf ?

Si yx por demostrar que )()( ysenxsen .

Sabemos por enunciado que:

2cos

22)()(

2cos

22)()(

yxyxsenysenxsen

yxyxsenysenxsen

Ya que 12

cos

yx para todo yx,

22)()(

yxsenysenxsen

Ocupando ejercicio anterior, )(xsenx para x

yxysenxsen

yxysenxsen

)()(

22)()(

Luego, como sabemos que yx

)()(

)()(

ysenxsen

yxysenxsen

Puede obtener un resultado similar para la funcin real )cos()( xxf ?

Si se pude primero debemos deducir la ayuda que se dio para la parte 1.

)()(cos)cos()cos( sensen (1) )()(cos)cos()cos( sensen (2)

Si sumamos (1) - (2)


24/28


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4) Encuentre todos los x tal que .0)cos()( xxsen

Esta igualad tambin se puede escribir como .1)( xtag

En la primera vuelta siguiendo una direccin anti-horario,x toma y valor 4

3o

4

5.

En la segunda vuelta siguiendo una direccin anti-horario, x toma el valor 4

11o

4

13.

En la tercera vuelta siguiendo una direccin anti-horario, x toma el valor 4

19o

4

21.

En la n-esima vuelta siguiendo una direccin anti-horario, x toma el valor 4

58 n o

4

38 n.

Ahora, si giramos con la direccin de las manillas del reloj.

En la primera vuelta, x toma y valor 4

3 o

4

5 .

En la segunda vuelta siguiendo una direccin anti-horario, x toma el valor 4

11 o

4

13 .

En la tercera vuelta siguiendo una direccin anti-horario, x toma el valor 4

19 o

4

21 .

En la n-esima vuelta siguiendo una direccin anti-horario, x toma el valor 4

58

no

4

38

n

.

-1 1

1

-1

(a, b) = (cos(x), sen(x))

43

,43

cos sen

4

5,

4

5cos sen

x


26/28


Resumiendo x puede tomar los valor 4

58 no

4

38 ncon n un numero entero.

5) Six es tal que 0)cos( x , muestre que )()( xtgxtg .

Usando las formulas para calcular la suma de ngulos.

)()(cos)cos()cos( sensen )cos()()cos()( sensensen

Ahora con . x

)cos()cos(

)()(cos)cos()cos(

xx

senxsenxx

(3)

(4)

Finalmente la razn entre (3) y (4) es:)cos(

)(

)cos(

)(

x

xsen

x

xsen

)()( xtgxtg

5) Cual es el rea del hexgono regular inscrito en la circunferencia de radio R?,puede usted generalizar este resultado?

rea de un triangulo = Base * Altura

R R

6

2

6

6

senR

6cos

R

)()( )cos()()()cos()( xsenxsenxsensenxxsen


27/28


basealtura

senRRArea

66cos

rea Hexgono = rea triangulo * 6

2

2

2

233_

2

33_

33_

666

cos_

RHexgonoArea

RHexgonoArea

senRHexgonoArea

senRRHexgonoArea

Generalizacin:

nsen

nRPoligonoArea

nn

senRn

RPoligonoAreatriangulosn

trianguloBasetrianguloaltura

2

2_

cos_

2

_

__

Obsrvese que ocurre cuando n tiende al infinito, analcelo tanto en la grafica como enla ecuacin generalizada.

6) Grafique las siguientes funciones:

a) :f definida por

4

2)(

xsenxf

)( baxsenA

x


28/28


b)

7)

guia de ejercicio resueltos

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