INACAP AREA DE ADMINISTRACION Y NEGOCIOS

MATEMATICAS I

ALGEBRA EN LOS REALES

OPERATORIA EN CONJUNTOS NUMERICOS

GUIA DE APOYO 1

PROYECTO HOMOGENEIZACION CIENCIAS BASICAS AREA DE MATEMATICAS

2001

OPERACIONES EN CONJUNTOS NUMERICOS La guía de ejercicios de apoyo que dispones tiene por propósito desarrollar las destrezas y habilidades necesarias que fomenten tu creatividad, toma de decisiones e integración con otras disciplinas. Se orienta a los siguientes objetivos a lograr; ♦ Utilizar propiedades de los conjuntos numéricos, en la resolución de operatoria numérica. ♦ Utilizar propiedades de razones y proporciones en la resolución de problemas aplicados al ámbito

laboral. ♦ Aplicar propiedades y conceptos de porcentajes en la resolución de problemas con enunciado, en un

lenguaje de especialidad.

Los temas a tratar son; • Operatoria en conjuntos numéricos. • Razones y proporciones. • Porcentajes.

SINTESIS TEORICA DE LA SUBUNIDAD, OPERATORIA EN CONJUNTOS NUMERICOS

CLASIFICACION DE LOS CONJUNTOS NUMERICOS 1) Números Dígitos: son los números básicos a partir de los cuales se forma el resto de los

números.

D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 2) Números Naturales: son los números positivos que empiezan con la unidad y que se forman a

partir de los números dígitos.

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} 3) Números Cardinales: corresponden a los números naturales con el cero.

N* = No = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} 4) Números Enteros: formado por los naturales y sus opuestos incluyendo el cero.

Z = {... , –4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} 5) Números Primos: corresponde a los números que son divisibles sólo por 1 y por si mismos.

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...} 6) Números Racionales: está formado por todos los números que pueden expresarse como el

cuociente entre dos números enteros.

7) Números Irracionales: todos aquellos números que no pueden expresarse como cuociente entre

dos números enteros.

8) Números Reales: grupo que representa la unión del conjunto de los números racionales con el

de los irracionales

}0,,,/{ ≠∈∀== bZbabaxxQ

,...}3,2,,{ πeI =

IQR ∪=

PROPIEDADES DE LAS FRACCIONES:

1. Simplificar una fracción ba

equivale a nbna

::

. Sólo se pueden efectuar en presencia de

multiplicación

2. Amplificar una fracción ba

equivale a nbna

⋅⋅

3. Máximo común divisor (MCD) entre dos o más números es el mayor número que divide exactamente a todos ellos.

Ej.: el MCD entre 48-96-64 es 16.

4. Mínimo común múltiplo (mcm) entre dos o más números es el menor número que es divisible por cada uno de ellos.

Ej.: el mcm entre 48-96-64 es 192.

5. Fracción propia es la fracción menor que la unidad. Ej.: 253

6. Fracción impropia es la fracción igual o mayor que 1. Ej.: 325

7. Las fracciones impropias se transforman en números mixtos. Ej.318

325 =

8. Igualdad de fracciones: bcaddc

ba =⇔=

9. Comparación entre dos fracciones bcaddc

ba ≤⇒≤

10. Intercalar un racional entre dos racionales dados: - ordenar de menor a mayor los racionales - sumar los numeradores y denominadores respectivamente - la fracción así obtenida se ubica entre las fracciones dadas

Ej.: ubicar una fracción entre 45

52 ∧

45

4552

52 ⟨

++⟨ entonces se determina que

45

97

52 ⟨⟨

11. Multiplicación de fracciones: bdac

dc

ba =⋅

Ej.: 2140

7358

75

38 =

⋅⋅=⋅

12. División de fracciones: bcad

dcba

dc

ba ==:

Ej.: 458

5942

4592

45:

92 =

⋅⋅==

13. Problemas con enunciado y de aplicación:

Es conveniente considerar las siguientes recomendaciones generales para formular un problema en términos de una expresión algebraica o ecuación:

- lea reflexivamente el problema, identificando los datos dados y la cantidad desconocida que se debe encontrar.

- exprese la cantidad desconocida por x u otra letra. - bosqueje la situación planteada a través de un dibujo considerando los datos e incógnita. - reconozca las relaciones que existen entre los datos conocidos y la cantidad incógnita. - formule una expresión algebraica o ecuación que refleje el enunciado del problema. - resuelva la ecuación planteada. - analice la solución al problema respecto de sus condiciones iniciales y concluya.

PROPIEDADES DE LOS DECIMALES: 1. Decimales finitos; su denominador es una potencia de 10. 2. Decimales infinitos; pueden ser periódicos o semiperiódicos. 3. Lecto-escritura de un decimal:

Ej.: 2 4 , 0 5 6 1 3 7 = 24 enteros 56.137 millonésimas 7 millonésimas

3 cien milésimas 1 diez milésimas

6 milésimas 5 centésimas

0 décimas

4. Conversión de un decimal finitoa fracción: “como se lee, se escribe” en función de las potencias de

10.

Ej.: 54

1088,0 ==

125257

10002056

1000562056,2 == o

5. Conversión de un decimal periódico (dp) a fracción:

períodoeltengacifrascomotantosdadadecimalcifra

dp9

=

Ej.: 116

995454,0 == (el período es 54)

6. Conversión de un decimal semiperiódico (dsp) a fracción:

oanteperíoddelcifrassegúntantosdeseguidoperíodocifrassegúntantosperíodoantedecimalcifra

dsp0,9

−=

Ej.: 19825

990125

99013138813,0 ==−= (el período es 8 y el anteperíodo es 13)

7. Potencias de 10 relacionadas con decimales y fracciones:

1.000.000,0000.000.1

110

01.000,0000.100

110

1.000,0000.10110

001,01000

110

01,0100

110

1,010110

110101010010

000.110000.1010000.10010

000.000.110

6

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

==

==

==

==

==

==

=

==

==

=

=

−

−

−

−

−

−

8. Multplicación por una potencia de 10: ( )→ la coma se corre hacia la derecha, tantos lugares como

ceros tenga la potencia de 10 o lo indique el exponente de ésta. Note que la cifra crece. Ej.: 49,01000049,0 =⋅ 5600106,5 3 =⋅

9. División por una potencia de 10: ( )← la coma se corre hacia la izquierda, tantos lugares como ceros tenga la potencia de 10 o lo indique el exponente de ésta. Note que la cifra disminuye.

Ej.: 000049,0100:0049,0 = 0056,010:6,5 3 =

EJERCICIOS PROPUESTOS, CONJUNTOS NUMÉRICOS 1) Complete cada línea usando ⊂ , ⊄ , ∈ , ∉ según corresponda en cada caso:

a) N o ___ Q i) Q ___ Q* p) Z ___ R

b) Q* ___ R j) 49 ___ Z q) - 2 ___ Q*

c) 61 ___ N k) 0 ___ 0N r) π= ..14,3 ___ Q

d) 3 ___ R l) 0 ___ R* s) - 144 ___ R

e) 0 ___ N m) ( )33 −+ __Q* t) 16 ___ Z

f) 33 ⋅ __Q* n) 55 ⋅ ___Q u) 0,1666…___Q

g) ..71,2=e ___ Q* ñ) 1,08 ___ R v) 3− ___ R

h) 50 ___ N o) –2,6 ___ Q w) 012 ⋅ ___ N

2) Represente en la recta numérica los siguientes elementos de Q;

1, 215 ; - 4

17 ; 725 ; - 9

32; 616 ; 3

17; 5

27 ;

817

3) Reducir a decimal las siguientes fracciones sin usar calculadora y hasta 3 decimales:

a) 3628 = b) 108

54 = c) 32472 = d) 96

72 =

e) 16272 = f) 128

48 = g) 615165 = h) 954

462 =

4) Simplifique las fracciones hasta encontrar una fracción irreductible:

a) 618

189⋅

⋅= b)

106318205

⋅⋅⋅⋅

=

c) 30249181215

⋅⋅⋅⋅

= d) 151002536⋅⋅

=

5) Convertir a decimal las siguientes fracciones:

a) 54 = b) 3

10 = c) 418 = d) 9

30 =

e) 6120 = f) 15

200 = g) 496 = h) 15

1 =

6) Convertir en fracciones los siguientes decimales, reduciendo a su más simple expresión:

a) 0,04= b) 0,13636...= c) 0,25= d) 0,1855...= e) 0,02727...= f) 2,444…= g) 4,066...= h) 1,333...=

7) Hallar el máximo común divisor entre:

a) 24-36-18 b) 144-520 c) 345-850 d) 33-77

8) Hallar el mínimo común múltiplo entre: a) 24-36-18 b) 12-18-30 c) 48-54 d) 20-24

9) De las fracciones siguientes indicar cuáles son mayores, iguales o menores que la unidad :

a) 1017

b) 75

c) 1615

d) 2021

e) 103103

f) 3672

10) Indicar la fracción que hay que agregar a cada una de las fracciones siguientes para que sean

iguales a la unidad

a) 118

b) 2514

c) 1918

d) 53

e) 165

f) 21

g) 31

h) 51

i) 75

11) Indique cuál fracción es mayor entre las fracciones siguientes:

a) 65

y6

11 b)

76

y 118

c) 129

y 43

d) 95

y 105

12) Convertir en fracciones los siguientes números mixtos:

a) 354

= b) -232

= c) 2+85

= d) 5-43

=

e) –5-54

= f) 2-97

= g) 6+ 104

= h) –8+72

13) Diez obreros pueden hacer 14112

m de una obra en una hora. ¿Cuántos metros hace cada obrero en

ese tiempo?

14) ¿Cuál es la velocidad de un automóvil que en 5372

h recorre 202376

km. ?

15) Si en 20 minutos estudio los 32 de una página de un libro, ¿En cuánto tiempo podré estudiar 10

páginas?. 16) La distancia entre dos ciudades es de 140 km. ¿Cuántas horas debe andar un hombre que recorre

los 3/14 de dicha distancia en una hora, para ir de una ciudad a otra?.

17) Los 83 de un terreno se venden; 2/5 del resto se siembran de maíz y el resto de trigo. ¿Qué parte de

la parcela se siembra de trigo? 18) En una fábrica de automóviles se trabaja desde las 8 AM. hasta las 20 PM. El proceso para

maximizar la producción es el siguiente:

1/3 del tiempo se destina para construir motores. ¼ de la jornada, para carrocerías. ½ del tiempo que se ocupa para la fabricación de motores, se ocupa para construir accesorios. 1/3 del tiempo destinado a carrocerías, en afinar detalles. ½ del tiempo utilizado para los accesorios, se destina para almorzar. El resto de la jornada se dedica a actividad recreativa. ¿Cuántas horas se dedican a cada actividad?

19) ¿Cuántos octavos hay en :

a) 2 b) 4 c) 6 d) 16 e) 1 20) ¿Cuántos octavos hay en:

a) 181

= b) 1085

= c) 483

=

21) ¿Cuántos décimos hay en:

a) 7= b) 9= c) 10= d)1= e) 2103

=

22) ¿Cuántos dieciseisavos de pulgada hay en 5 pulgadas? 23) Transformar las fracciones que se indican a continuación en otras fracciones que tengan los

denominadores indicados:

a) ½ a cuartos b) ½ a décimos c) 3/8 a 32 avos d) 3/5 a décimos e) 1/3 a doceavos f) 5/6 a 30 avos

24) De un trozo de latón de 16 ½” de largo se cortan tres trozos: el primero de 11/8” ; el segundo de 3 ½”

y el tercero de 3 3/32 ”.¿Cuál es la longitud final de la barra suponiendo que cada corte absorbe 1/16”? 25) Efectuar los siguientes productos:

a) 4312 ⋅ = b)

732 −⋅− =

c) 4

155

12 ⋅ = d) 433

655 ⋅ =

26) Efectuar las siguientes divisiones:

a) 2518

: 3= b) 6: 89

= c) –2:56

=

d) 58

: -6= e) 95

:103

= f) 354

: 245

=

g) 431

: 194

= h) 651

:541

=

27) Una barra de 61 ½” se ha dividido en 14 partes iguales. ¿Cuál es la longitud de cada parte? 28) ¿Cuántos bornes de 17/8 ” pueden cortarse en un trozo de barra de latón que tiene 27 ½” de largo y

se da 1/8” de desperdicio por cada corte?

29) ¿De qué largo deberá ser un trozo de varilla para brocas para poder sacar de él 15 brocas de 1613 ”?

30) Para medir un espacio se utilizan cuatro calibres distintos cuyos gruesos respectivos son: 5/16”,

7/64”, 3/8” y 1/32”.¿Qué anchura tiene el espacio? 31) ¿Cuántas golillas de 3/32” de grueso pueden hacerse con un trozo de barra de 25 ½” de largo,

suponiendo que cada corte desperdicia 1/16”? 32) Calcular las longitudes “A” y “B” en la figura: 33) Encontrar la diferencia entre los diámetros mayor y

menor del corte de la pieza cónica de la figura: 34) El peso de una lámina de acero es de ¾ kg por

dm2 ¿cuál es el peso de una lámina cuya área es de 90 m2? 35) ¿Cuál es la longitud total, en pulgadas, de 12 trozos de acero, si cada trozo tiene 2 1/8” de longitud. 36) Encuentre la longitud de un trozo de material necesario para construir 6 llaves cónicas, cada una de 5

¼” de longitud. Suponga que al desbastar se desperdicia 1/8” en cada llave.

32191

B871

A1654

83132

11

1653

812

37) Calcular el espesor de una tubería si el diámetro interior es 1 5/8” y el diámetro exterior 2 ¼” 38) El diámetro mayor de un perno cónico es de 1 9/16” . El diámetro menor es 5/8” menos que el diámetro

mayor ¿cuál es el diámetro menor? 39) El diámetro exterior de un tubo de acero es 4 ¼” . Si el espesor de la pared es 5/32” ¿cuál es el

diámetro interior? 40) Un bloque de acero se reduce de 1,250” de espesor a 1,156” de espesor. ¿Qué espesor se redujo? 41) De una barra torneada de 25,75” de longitud se deben cortar 3 piezas. La primera debe tener 4,688”

de longitud; la segunda, 2,75” y la tercera, 9,938”. Si se desperdician 0,375” en el corte de cada pieza, ¿de qué longitud quedará la barra?

42) Un eje de 2” de diámetro se tornea con una profundidad de 0,028”. ¿Cuál es el diámetro del eje

después que se ha torneado? 43) El diámetro interior de un tubo es de 2,844”. Si el espesor de su pared es de 0,156” ¿cuál es el

diámetro exterior? 44) Se requiere hacer 24 pernos de 1,125” de longitud. ¿Qué longitud debe tener la barra si en el

maquinado de cada perno se pierde 0,093”? 45) ¿Cuántos pernos completos de 0,375” de longitud se pueden cortar de una pieza de 20”, suponiendo

que al cortar cada perno se pierde 0,095”? 46) Un recipiente contiene 124,74 Kg. De peso neto de pernos. Si cada perno pesa 0,0315 Kg. ¿Cuántos

pernos hay en el recipiente? 47) Itemes de verdadero (V) y falso (F) (a) ___ 7/8 es menor que 1/4 (b) ___ 0,5 es equivalente con 4/8 (c) ___ 0,0012 corresponde a 12 centésimas (d) ___ para dividir por una potencia de 10, la coma se corre hacia la izquierda. (e) ___ 000045,0000.1045,0 =⋅

(f) ___ 16 milésimas se escribe como la fracción 000.116

Soluciones: 1) a) ⊂ b) ⊄ c) ⊂ d) ⊂ e) ∈ f) ∈ g) ∉ h) ∈ i) ∉ j) ∈ k) ∉ l) ∈ m) ∉ n) ∉ ñ) ∈ o) ∉ p) ∈ q) ∈ r) ∈ s) ∈ t) ∉ u) ∉ v) ∈ w) ∉

3) a) 97 b) 2

1 c) 92 d) 4

3 e) 94

f) 83 g) 41

11 h) 15977

4) a) 23 b) 10 c) 2

1 d) 53

5) a) 0,8 b) __

3,3 c) 4,5 d) __

3,3 e) 20

f) _

3,13 g) 24 h) _

60,0

6) a) 251 b) 22

3 c) 41 d) 900

167 e) 1103

f) 922 g) 1561 h) 3

4

7) a) 6 b) 8 c) 5 d) 11 8) a) 72 b) 180 c) 432 d) 120 9) a) mayor b) menor c) menor d) mayor e) igual

10) a) 113 b) 25

11 c) 191 d) 5

2 e) 1611

f) 21 g) 3

2 h) 54 i) 7

2 j) 103

11) a) 611 b) 7

6 c) iguales d) 95

12) a) 519 b) 3

8− c) 821 d) 4

17 e) 529−

f) 911 g) 10

64 h) 754−

13) 1 metro y 5523 de metro. 14) 40 km/h 15) 5 horas

16) 4 horas y 40 minutos 17) 83

18) 4 horas para construir motores 3 horas para carrocerías 2 horas para accesorios 1 hora para afinar detalles 1 hora para almorzar

19) a) 816 b) 8

32 c) 864 d) 8

128 e) 88

20) a) 89 b) 8

85 c) 835

21) a) 1070 b) 10

90 c) 10100 d) 10

10 e) 1023

22) 1680

23) a) 42 b) 10

5 c) 3212 d) 10

6 e) 124 f) 30

25

24) 32198

25) a) 9 b) 76 c) 9 d) 8

721

26) a) 256 b) 3

15 c) 321− d) 15

4−

e) 27231 f) 65

111 g) 3 h) 105191

27) 28114

28) 13 bornes

29) 161545 ”

30) 6453 ”

31) 163 golillas

32) A= 32236 B= 32

153

33) 6.750 kg. 34) 1631 ” 35) 25 ½”

36) 32 ¼” 37) 165 ” 38) 16

15 ”

39) 16153 ” 40) 94 milésimas (0,094)

41) 7,249” 42) 1,944” 43) 3,156”

44) 29,232” 45) 42 pernos 46) 3.960 pernos

FRACCIONES COMPUESTAS Efectuar las siguientes operaciones, recordando la prioridad de las operaciones y buscando obtener

la expresión más simple:

a)

1815

1012

212

43

⋅

÷= b)

5,1211

2,1:524

+=

c) )

532,0(

54

311

322

+÷

+= d)

25,0211

)5,034(

512

+

÷÷=

e)

211

43

32

83125,0

++

÷= f) 1-

211

11

1

−−

=

g)

3211

2311

61

..33,0

655,2

++

−

−

= h)

−+⋅

−−

+1

51

107

211

4321

=

i)

++÷

++

311

11

211

11 = j)1 +

121

2211

81 −

+=

k)

3023

301

52

31 ++

= l)

18110

955

326

213

1412

714

−+

+−=

m)

57

141

1011

212

94

23

411

87

⋅+−

⋅−+= n)

613

1

511

764

532

−

+

=

ñ)

121

81

61

403

252

101

−

⋅

++

= o)

÷⋅

−+

+

1247

2123

65212

2311

3211

=

p) 5 +

412

21

1

2

−+

= q)

35/13/16

5−+

=

Soluciones:

a) 103 b) 9

11 c) 4 d) 3518 e) 35

4

f) 2 g) 56 h) 4

1

i) 2120 j) 2

11 k) 1 l) 718

m) 3635 n) 3

8 ñ) 5051 o) 3

5

p) 695

q) 272225

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1) ¿Cuál es la diferencia entre los diámetros mayor y menor del tapón que se muestra en la figura? Solución: d mayor=1,625 cm d menor= 0,975 cm d mayor – d menor= 1,625 0,975 0,65 cm

2) Encuentre la dimensión “x” de la figura. Solución:

x= 1,875’ – 0,906’= 0,969’

3) Un bloque de acero se reduce de 1,250 pulg. de espesor a 1,156 pulg. de espesor. ¿Qué espesor de acero

se redujo? Solución: 1,250 1,156 0,094 pulg.

4) El diámetro interior de un tubo es de 2,844 pulg. Si el espesor de su pared es de 0,156 pulg. ¿Cuál es su diámetro exterior? Solución: lg156,3156,02844,2 pud e =⋅+= mide el diámetro exterior.

5) Encuentre la dimensión x del centro de torno que se muestra en la figura Solución:

6) ¿Cuántos bornes de 1 7/8 pueden cortarse en un trozo de barra de latón que tiene 271/8 pulg. de largo. Concédase 1/16 de desperdicio por cada corte. Solución:

14161

871:

8127 =

+ por lo tanto se pueden fabricar 14 bornes.

1.625 0,975

0,906 1,875

X

3,375

4,093

X

7) En un plano inclinado de 3,4 m de longitud se sube un barril de aceite con 140 N de fuerza de

tracción a un nivel de 1,2 m. Determine cuanto pesa el barril de aceite a través de la fórmula LhF

F 21 = y

su masa. Solución:

xFNF

mhmL

==

==

2

1 1402,14,3

|

Nm

mNF 6,3962,1

4,31402 =⋅= por lo tanto la masa es

Kg

sm

smKg

m 6,3910

6,396

2

2==

8) Encuentre “x” en la figura siguiente:

9) Encuentre la dimensión

M, que se muestra en

la siguiente figura;

10) La siguiente figura muestra la profundidad de rosca de un tornillo. Encuentre la doble profundidad

(dos veces) de rosca del tornillo.

0 2500 275

0 275 0 375

X

4,625

1,125 1,125 M 0,

625

N

1,37

5

0,0649

11)Se quiere subir por una rampa de carga de 1,4 m. de longitud un rodillo de 212 Kg de peso a una

altura de 0,8 m. ¿Qué fuerza se requiere?

Solución: L

FHF =

m

msmkg

F4,1

8,010.212 ⋅⋅=

42,1211=F

RAZONES Y PROPORCIONES SINTESIS TEORICA • RAZONES : es la comparación de dos números mediante el cuociente o división. Está compuesta de

dos elementos que son el antecedente y el consecuente. Antecedente → a Consecuente → b

- se lee “a es a b”. - en la razón geométrica existen infinitos pares de números que cumplen con la razón dada. • PROPORCIONES: es la igualdad de dos razones equivalentes. Está compuesta de dos términos

medios y dos términos extremos. - Toda proporción puede escribirse de dos maneras

dc

ba = o bien dcba :: =

- En toda proporción se cumple que el producto de medios es igual al producto de extremos. Propiedades de las proporciones:

1. Alternar extremos: ac

bd =

2. Alternar medios db

ca =

3. Permutar ba

dc =

4. Invertir cd

ab =

5. Componer c

dca

ba +=+

ddc

bba +=+

6. Descomponer c

dca

ba −=−

ddc

bba −=−

Tipos de proporciones: • Proporción directa: dos cantidades a y b son directamente proporcionales si al aumentar

o disminuir una de ellas, la otra aumenta o disminuye el mismo número de veces.

1. Se le simboliza como kba = (k =cte. proporcionalidad) 2. Los cuocientes que forman una proporción directa tienen siempre un valor constante. 3. Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen.

• Proporción inversa: dos cantidades a y b son inversamente

proporcionales cuando haciéndose mayor o menor la primera cantidad, la segunda se hace menor o mayor el mismo número de veces.

1. Se le simboliza como b

ka 1= (k = cte. proporcionalidad)

2. El producto de dos cantidades inversamente proporcionales es siempre constante. 3. Su gráfica es una asíntota al eje X. • Proporción compuesta: ser presenta como una combinación de proporciones directas e

inversas. Pueden darse tres casos: - combinación de dos proporciones directas; se realiza un producto cruzado de los

términos.

Ej.: Cuatro operarios producen en 10 días 320 piezas de un cierto producto. ¿Cuántas piezas de este mismo producto serán producidas por 10 operarios en 16 días? Solución: n° de operarios n° de piezas n° de días 4 320 10 10 x 16

1280104

1632010 =⋅

⋅⋅=x piezas producidas.

- combinación de dos proporciones inversas; producto hacia los lados de sus términos

Ej.: 9 obreros trabajando 8 horas diarias, pintan un edificio en 12 días. ¿Cuántos días demoran 18 obreros en pintar el mismo edificio, trabajando 6 horas diarias?. Solución: n° de obreros n° de días n° de horas diarias 9 12 8 18 x 6

8618

8129 =⋅

⋅⋅=x días

- combinación de proporción directa e inversa:

Ej.: 20 máquinas aran un terreno de 60 hectáreas en 18 días. ¿Cuántas máquinas aran un terreno de 36 hectáreas en 12 días? Solución: n° de días n° de máquinas n° de hect. 18 20 60 12 x 36

1860121

362018 =⋅

⋅⋅=x máquinas

• Clasificación de proporciones:

continua → tiene repetido los medios o los extremos discontinua → tiene todos sus términos diferentes.

• Media proporcional geométrica: se repite el término desconocido en los medios o extremos

dx

xa = o

xc

bx =

• Tercera proporcional geométrica: se repite un término conocido según se establezca la proporción y pueden darse 2 valores de ella.

ac

xa = o

db

bx =

• Cuarta proporcional geométrica: no se repite ningún término y depende de la proporción que se establezca entre las cantidades, pudiendo tener hasta tres valores.

dc

bx =

• PORCENTAJES Es una razón de consecuente 100.

Para calcular problemas relacionados con %, se procede a plantear el problema como una

proporción. Precio de compra es el valor que paga el comerciante al comprar mercadería.

Precio de venta es el valor que el comerciante fija a la mercadería para el público.

Ganancia es la diferencia entre el precio de compra y el precio de venta.

Pérdida es la diferencia entre el precio de venta y el precio de compra.

PROPORCIONES EJERCICIOS RESUELTOS 1) Un segmento de 30 cm se divide en dos partes cuyas longitudes están en la razón

2:3. Hallar las longitudes de ambas partes. Solución

: Sea x = primera longitud, entonces 30−x = segunda longitud; de aquí

32

x30x =−

y 3x = 60 − 2x

5x = 60 y x = 12 Por lo tanto: primera longitud (x) = 12 Segunda longitud (30 − x) = 18 2) Dos números están en la razón 7:4 y la diferencia entre ellos es 36. Hallar los

números. Solución : Sean a y b los números, por lo tanto :

47

ba = , pero como se tiene a − b = 36, hay que descomponer

entonces 7

47a

ba −=− y 73

a36 = con lo que se tiene 3a = 252

a = 84 y como b = a − 36 b = 48

PROPORCIONES EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Verificar si es proporción:

a) 25 b) 7:21= 1:3 c) 4:3= 16:15 d)

8,15,1 =

2420

e) 28:8= 7:2 f) 0,8:0,9=3,2:3,6 g)32 :1

51 =

92 :

52 h)

43 :6= 1:8

2) Escriba la proporción que corresponda en cada caso y que sea equivalente a 5 :

2 = 10 : 4 a) alterne extremos b) componga con respecto al consecuente c) descomponga con respecto al antecedente d) permute

3) La razón entre dos números es 8:3 y su diferencia es 55.calcular los números. 4) Dos números están en la razón 5:2. Si sumados dan 42. Calcular los números. 5) Se desea cortar un tubo de acero de 12 m de la longitud en razón de 2:3. Calcule la

longitud de cada parte. 6) Los accidentes de trabajo en la cabeza y en las manos están en la razón de 2:5,

entre 120 obreros de una constructora. Calcule la cantidad de obreros en cada sección.

7) Dos personas se reparten $18.000 tal que sus partes están en la razón de

8:4.¿Cuánto recibe cada uno? 8) Cuánto cuestan 27 reglas a $2.400 la docena? 9) Un vehículo recorre m metros a una velocidad v, ¿cuántos metros recorrerá otro

vehículo a una velocidad W? 10) 3,1 h equivalen a ¿cuántas horas y minutos? Soluciones: 1) a) no b) si c) no d) si e) si f) si g) si h) si 2) a) 4:2=10:5 b) 7:2=14:4 c) 3:5=6:10 d) 10:4=5:2 3) 88 y 33 4) 30 y 12 5) 7,2m y 4,8m 6) 34 y 85 obreros 7) $12.000 y $6.000 8) $5.400 9) mW/v 10) 3 h 6 min.

PROPORCIONES EJERCICIOS DE APLICACIÓN. 1) Una vertiente llena una garrafa de 18 litros en 16 minutos. ¿Qué capacidad daremos

a un estanque para almacenar el agua de toda una noche (12hr) 2) La diferencia entre dos números es 48 y están en la razón 9:5.¿cuál es el menor

número? 3) Un grifo que entrega 0,6lt de agua por seg., llena un estanque en 21 h. ¿Cuánto

tiempo tardará en llenarlo otro grifo que da 0,9lt por seg.? 4) Para hacer un alumbrado en un condominio industrial se necesitan 388 postes a

1,50m de distancia. ¿Cuántos postes se ocupan si se ponen a 2m uno del otro? 5) ¿Cuánto recorre un automóvil en 20 minutos a 64 km./h?

6) Hallar el término desconocido en:

a) 5,3

x = 36 b) 24: 0,4= x: 0,04 c)

43 :6=1:x

d) 0,3:1,5=6:x e)x2,0 =

9,03,0 f)

4,2x =

8,13

g) 8 : 351 = 7

21 : x h)

25 :x= 0,7:1,4 i) 1

41 :x=

32 :2

31

j)

6532

=

212

x k) 5: 21 = x: 0,04 l) x :

45 = 0,5:

32

m) 0,03 :x= 61 :

92 n) x:0,8=

54 : 1,6 ñ)

42+x = 0,02

7) Hallar la media proporcional geométrica entre;

a) 41 y

91 b) 49 y 0,25 c)2 y 8

d) 241 y 3

161 e) 0,4 y 0,08 f) 12,6 y

25

g) 241 y 3

61 h) 0,0064 y 225 i) 16 y 25

j) 2 y 4,5 k) 9 y 36 l) 0,5 y 100 8) Hallar la cuarta proporcional entre las siguientes cantidades, tomándolas en el

mismo orden:

a) 65 ,

41 ,

32 b) 2, 3 y 6 c)a 2 , ab, 2

d) 12,5; 10; 2,5 e) 12; 6,4; 3,75 f) 6; 12,5; 2,88

g) 0,5; 0,1; 0,15 h) 37 ,

51 ,

61 i)

31 ,

21 ,

65

9) Hallar la tercera proporcional de los pares siguientes:

a) 2 y 3 b) -2 y 8 c) 8 y 0,4 d) 65 y

32

e) 4 y 8 f) 2,5 y 5 g) 94 y 0,6 h) 0,4 y 0,2

i) 1,8 y 97 j) 0,2 y

101 k) 5 y

51 l) 3,2 y 1,4

10) ¿Cuál es el número cuyos 52 equivalen a 50?

Soluciones: 1) 810 litros 2) 60 3)14 horas 4) 291 postes 5) 21,3 km. 6) a) 7 b) 2,4 c) 8 d) 30 e) 0,6 f) 4 g) 3 h) 5 i) 35/8 j) 2 k) 0,4 l) 15/16 m) 1/125 n) 0,4 ñ) −1,92 7) a) 1/6 b) 3,5 c) 4 d) 2 5/8 e) 0,18 f) 5,61 g) 8/57 h) 1,2 i) 20 j) 3 k) 18 l) 50 8) a) 1/5 b) 9 c) 2b/a d) 2 e) 2 f) 6 g) 0,03 h) 1/70 i) 5/4 9) a) 4,5 b) −32 c) 0,02 d) 8/15 e) 16 f) 10 g) 0,81 h) 0,1 i) 245/729 j) 1/20 k) 1/125 l) 49/80 10) 125

PORCENTAJES EJERCICIOS RESUELTOS I.- Hallar el tanto por ciento de un número:

Ejemplo: Hallar el 18% de 96. Solución: Sabemos que el 100% de 96 es 96 y al 18% de 96 le designaremos

por "x" formando la siguiente proporción:

x96 =

%18%100 ⇒ x=

1001896 ⋅ = 17,28

luego, el 18% de 96 es 17,28.

II.- Hallar un número conociendo un tanto por ciento de él:

Ejemplo: ¿De qué número es 36 el 18%? Solución: Si 36 es el 18% del número buscado, el 100% será un número

desconocido "x", con lo que formamos la siguiente proporción;

x

36 = %100%18 ⇒ x=

1810036 ⋅ = 200

luego, el número buscado es 200. III.- Qué tanto por ciento es un número de otro dado. Ejemplo: ¿Qué % es 9 de 36?

Solución: Tenemos que 36 es el 100%, luego 9 será el x% de 36, formándose la siguiente proporción;

936 =

%%100

x ⇒ x=

36%1009 ⋅ = 25%

luego, 9 es el 25% de 36.

IV.- Encontrar un número sabiendo que porcentaje mayor o menor que él es otro

numero dado: Ejemplo: ¿De que número, 214 es un 7% mayor?

Solución: 214 es mayor en un 7% que un número "x". Si x es el 100% se tendrá que 214 será el 100% + 7%, formando la proporción siguiente:

x

214 = %100%107 ⇒ x=

107100214 ⋅ = 200

luego, 214 es el 7% mayor que 200.

Ejemplo: ¿De que número, 276 es el 8% menos?

Solución: 276 es el 8% menos de un número x. Si x es el 100%, se tendrá

que 276 es el 100% menos el 8%, es decir, es el 92% de x, con lo que se puede formar la siguiente proporción:

x

276 = %100%92 ⇒ x=

92100276 ⋅ = 300

luego, 276 es el 8% menor que 300.

1) Calcular el balance de 2O en la siguiente composición explosiva: Nitrato de amonio = 94% Petróleo = 6% Solución: -El B.O. del nitrato de amonio es 22234 22 OOHNNNONH ++⇔ El peso molecular (PM) del nitrato de amonio es 80, así 2 moléculas pesan 160 gr. y 2 de O pesan 32gr.

B.O. = %20160

10032 =⋅

- La reacción para el petróleo es OHCOOCH 2222 2232 +⇔+ el PM del petróleo es 14, así 2 moléculas pesan 28gr y 6 átomos de O pesan 96 gr.

B.O.= %85,3422810096 −=⋅

Luego el B.O. de la reacción Anfo de composición 94% de nitrato de amonio y 6% de petróleo es Nitrato de amonio 8,1820,094 =⋅ Petróleo 52,2042,36 −=−⋅ Por tanto resulta de esta diferencia -1,72 osea ligeramente negativo, lo que representa una leve disminución en la efectividad de la explosión y una pequeña generación de gases CO (monóxido de carbono).

2) Se disuelven 8 gr NaCl

= molgrPM 5,58 en 120 cc OH 2 obteniéndose 124 cc de

solución. Calcular : a) % pp b) % v

p .

NOTA: - % p/p = porcentaje peso-peso; gr de soluto en 100 gr de solución. -% p/v = porcentaje peso-volúmen; gr de soluto en 100cc de solución. Solución:

solucióngrsolutogr

solucióndegrsolutodegrx

pp

1288

100% =⇒

p

px %25,6=

solucióndecc

solutogrsolucióngr

solutodegrxv

p124

8100

% =⇒

solucióndeccx %45,6= Los resultados anteriores significan que en 100 gr de solución hay 6,25 gr y 6,45 cc de soluto.

3) En el período de un año, en una empresa se han producido 10 lesiones incapacitantes y se trabajaron 200.000 H.H. Determinar:

a. Tasa de frecuencia b. Tasa de gravedad (considere que los 10 accidentes significaron 45 días

perdidos) c. Tasa de accidentabilidad d. Tasa de riesgo Solución:

a) Tasa de frecuencia = n° de lesiones incapacitantes ocurridas por cada millón de H.H. de exposición.

)(exp..

..106

estrabajadorosiciónHHHHtesincapactanlesionesdenTF ⋅°

=

50..000.200

1010 6

=⋅=HH

TF

b) Tasa de gravedad = es la cantidad de días perdidos por lesiones incapacitantes

por cada millón de H.H.

).(...10)( 6

trabajadasHHHHDCDPperdidosdíastotalTG ⋅+

=

Total días perdidos considera: DEP= días efectivamente perdidos por lesiones incapacitantes = 45 días

DC= días cargo (invalideces permanentes) = 150 días (pérdida falange dedo índice) =150 días

975000.200

10195 6

=⋅= díasTG

a) Tasa de accidentabilidad= n° de lesiones incapacitantes ocurridas por cada 100

trabajadores

100⋅°

°=

promedioestrabajadordenaccidentesdenTA

b) Tasa de riesgo = es el n° de días efectivamente perdidos por accidentes

incapacitantes y por enfermedades profesionales por cada 100 trabajadores

períododelestrabajadorpromedioperdidosnteefectivamedíasden

TR100⋅°

=

PORCENTAJES EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Calcular los siguientes porcentajes:

a) 8% de 250 b) 15% de 462 c) 25% de 9,6

d) 2,3% de 48,72 e) 3331 % de 1236 f) 0,75% de 24

g) 341 % de 112,3 h) 2% de 7 i) 18% de 76

j) 21 % de 18 k) 35% de 180 l) 42% de 1250

2) El metal blanco se compone de 3,7% de cobre, 88,8% de estaño y 7,5% de

antimonio. ¿Cuántos kilos de cada metal hay en 465 kg.? SOLUCIONES : 1.− a) 20 b)69,3 c)2,4 d) 1,1 e)412 f) 0,2 g) 3,65 h) 0,14 i) 13,68 j) 0,09 k) 63 l) 525 2.− 17,205 kg. de cobre; 412,92 kg. de estaño; 34,875 kg. de antimonio. 3. De qué número es :

a) 3 el 75%? b) 22,4 el 75%? c)32 el 25%?

d) 35 el 5%? e) 60 el 90%? f) 76 el 10% g) 20 el 80%? h) 12 el 2%? i) 15 el 60%?

4) El rendimiento de un motor es del 90%, esto es, la cantidad de energía entregada es

el 90% de la que recibe. Suponiendo que el motor produzca 8 Hp. ¿Cuál es la cantidad de energía que recibe?

SOLUCIONES :

3.− a) 4 b) 151329 c) 3

22 d) 700 e) 3266

f) 760 g) 25 h) 600 i) 25 4.− 9

88 H.P. 5. ¿Qué tanto por ciento de:

a) 8 es 7? b) 7,2 es 18,5? c) es 3,25 de 5,5? d) 860 es 129? e) 30 es 6? f) es 0,64 de 512? g) 1600 es 320 ? h) 86 es 172? i) es 75 de 1250?

1) Un motor que recibe 8 Hp entrega 6,8 Hp. ¿Qué tanto por ciento de la energía

recibida es la energía entregada?

SOLUCIONES : 5.− a) 87,5% b) 256,9% c) 59,1% d) 15% e) 20% f) 1/8 % g) 20% h) 200% i) 6% 6.− 85% 7. ¿De que número es,

a) 30 un 16 32 % es mayor? b) 48 un 20% menor?

c) 208 un 4% mayor? d) 276 el 8% menor? 8) ¿Cuál tiene que ser la longitud de un modelo para fundir una pieza de 18,5 cm de

largo si la merma por contracción del metal es de 1 cm por metro? SOLUCIONES : 7− a) 7

180 b) 60 c) 200 d) 300 8- 18,7 cm

PORCENTAJES EJERCICIOS DE APLICACIÓN. 4) En una fábrica eléctrica se compra a un proveedor 20.000 unidades de diodos

mensuales. ¿Cuántas piezas nos venderá el proveedor si bajo en un 30% la provisión de diodos?

Rp. : x = 140.000 unidades proveerá

5) Calcular el descuento que se hace a un pagaré de n $500,00 seis meses antes de

su vencimiento con una tasa de descuento simple del 40%.

000.100$. nRp 6) La empresa Leche Sur tiene el 34% del mercado de la región metropolitana. Si la

totalidad del mercado es de 400.000 personas. ¿Cuántas personas faltarían para cubrir la totalidad del mercado?

Rp. : habitantesx 136=