guia adicional de fisica

Curso de Nivelación

Curso Introductorio: Física Prof. Iván Martínez

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La física es una ciencia que estudia las propiedades de la materia y de la energía, considerando tan solo los atributos capaces de ser medidos. Es una ciencia empírica. Todo lo que sabemos del mundo físico y de los principios que rigen su comportamiento ha sido aprendido a través de la observación de los fenómenos de la naturaleza, convalidado con el método científico.

La prueba definitiva de cualquier teoría física es su concordancia con las observaciones y mediciones de los fenómenos físicos (método experimental).

MEDICIONES

Para la física y la química, en su calidad de ciencias experimentales, la medida constituye una operación fundamental. Sus descripciones del mundo físico se refieren a magnitudes o propiedades medibles. Las unidades, como cantidades de referencia a efectos de comparación, forman parte de los resultados de las medidas. Cada dato experimental se acompaña de su error o, al menos, se escriben sus cifras de tal modo que reflejen la precisión de la correspondiente medida.

MAGNITUDES Y MEDIDA

El gran físico inglés Lord Kelvin consideraba que solamente puede aceptarse como satisfactorio nuestro conocimiento de algo, si somos capaces de expresarlo mediante números. Aun cuando la afirmación de Kelvin tomada al pie de la letra supone la descalificación de valiosas formas de conocimiento, destaca la importancia del conocimiento cuantitativo. La operación que permite expresar una propiedad o atributo físico en forma numérica es precisamente la medida.

MAGNITUDES, CANTIDAD Y UNIDAD

La noción de magnitud está inevitablemente relacionada con la de medida. Se denominan magnitudes a ciertas propiedades o aspectos observables de un sistema físico que pueden ser expresados en forma


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numérica. En otros términos, las magnitudes son propiedades o atributos medibles.

La longitud, la masa, el volumen, la fuerza, la velocidad, la cantidad de sustancia son ejemplos de magnitudes físicas. La belleza, sin embargo, no es una magnitud, entre otras razones porque no es posible elaborar una escala y mucho menos un aparato que permita determinar cuántas veces una persona o un objeto es más bello que otro. La sinceridad o la amabilidad tampoco lo son. Se trata de aspectos cualitativos porque indican cualidad y no cantidad.

Una cantidad de referencia se denomina unidad y el sistema físico que encarna la cantidad considerada como una unidad se denomina patrón.

LA MEDIDA COMO COMPARACION

La medida de una magnitud física supone, en último extremo, la comparación del objeto que encarna dicha propiedad con otro de la misma naturaleza que se toma como referencia y que constituye el patrón.

La medida de longitudes se efectuaba en la antigüedad empleando una vara como patrón, es decir, determinando cuántas veces la longitud del objeto a medir contenía a la de patrón. La vara, como predecesora del metro de sastre, ha pasado a la historia como una unidad de medida equivalente a 835,9 mm. Este tipo de comparación inmediata de objetos corresponde a las llamadas medidas directas.

Con frecuencia, la comparación se efectúa entre atributos que, aun cuando están relacionados con lo que se desea medir, son de diferente naturaleza. Tal es el caso de las medidas térmicas, en las que comparando longitudes sobre la escala graduada de un termómetro se determinan temperaturas. Esta otra clase de medidas se denominan indirectas.

TIPOS DE MAGNITUDES

Entre las distintas propiedades medibles puede establecerse una clasificación básica. Un grupo importante de ellas quedan perfectamente determinadas cuando se expresa su cantidad mediante un número seguido de la unidad correspondiente. Este tipo de magnitudes reciben el nombre de magnitudes escalares. La longitud, el volumen, la masa, la temperatura, son

sólo algunos ejemplos. Sin embargo, existen otras que precisan para su total definición que se especifique, además de los elementos anteriores, una dirección o una recta de acción y un sentido: son las llamadas magnitudes vectoriales. La fuerza es un ejemplo claro de magnitud vectorial, pues sus

efectos al actuar sobre un cuerpo dependerán no sólo de su cantidad, sino también de la línea a lo largo de la cual se ejerza su acción.


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Al igual que los números reales son utilizados para representar cantidades escalares, las cantidades vectoriales requieren el empleo de otros elementos matemáticos diferentes de los números, con mayor capacidad de descripción. Estos elementos matemáticos que pueden representar intensidad, dirección y sentido se denominan vectores. Las magnitudes que se manejan en la vida diaria son, por lo general, escalares.

SISTEMAS DE UNIDADES

En las ciencias físicas tanto las leyes como las definiciones relacionan matemáticamente entre sí grupos, por lo general amplios, de magnitudes. Por ello es posible seleccionar un conjunto reducido pero completo de ellas de tal modo que cualquier otra magnitud pueda ser expresada en función de dicho conjunto. Esas pocas magnitudes relacionadas se denominan magnitudes fundamentales, mientras que el resto que pueden expresarse en función de las fundamentales reciben el nombre de magnitudes derivadas.

Cuando se ha elegido ese conjunto reducido y completo de magnitudes fundamentales y se han definido correctamente sus unidades correspondientes, se dispone entonces de un sistema de unidades. La definición de unidades dentro de un sistema se atiene a diferentes criterios. Así la unidad ha de ser constante como corresponde a su función de cantidad de referencia equivalente para las diferentes mediciones, pero también ha de ser reproducible con relativa facilidad en un laboratorio.

Así, por ejemplo, la definición de amperio como unidad de intensidad de corriente ha evolucionado sobre la base de este criterio. Debido a que las fuerzas se saben medir con bastante precisión y facilidad, en la actualidad se define el amperio a partir de un fenómeno electromagnético en el que aparecen fuerzas entre conductores cuya magnitud depende de la intensidad de corriente.

EL SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS (SI)

Las condiciones de definición de un sistema de unidades permitiría el establecimiento de una considerable variedad de ellos. Así, es posible elegir conjuntos de magnitudes fundamentales diferentes o incluso, aun aceptando el mismo conjunto, elegir y definir unidades distintas de un sistema a otro. Desde un punto de vista formal, cada científico o cada país podría operar con su propio sistema de unidades, sin embargo, y aunque en el pasado tal situación se ha dado con cierta frecuencia (recuérdense los países anglosajones con sus millas, pies, libras, grados Fahrenheit, etc.), existe una tendencia generalizada a adoptar un mismo sistema de unidades con el fin de facilitar la cooperación y comunicación en el terreno científico y técnico.


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Otros sistemas son el cegesimal - centímetro, gramo, segundo -, el terrestre o técnico -metro-kilogramo, fuerza-segundo-, el Giorgi o MKS - metro, kilogramo, segundo- y el sistema métrico decimal, muy extendido en ciencia, industria y comercio, y que constituyó la base de elaboración del Sistema Internacional.

El SI es el sistema práctico de unidades de medidas adoptado por la XI Conferencia General de Pesas y Medidas celebrada en octubre de 1960 en París. Trabaja sobre siete magnitudes fundamentales (longitud, masa, tiempo, intensidad de corriente eléctrica, temperatura absoluta, intensidad luminosa y cantidad de sustancia) de las que se determinan sus correspondientes unidades fundamentales (metro, kilogramo, segundo, ampere, Kelvin, candela y mol). De estas siete unidades se definen las derivadas (coulomb, joule, newton, pascal, volt, ohm, etc.), además de otras suplementarias de estas últimas.

Las unidades base del Sistema Internacional de Unidades son:

MAGNITUD BASE NOMBRE SIMBOLO

longitud masa

tiempo corriente eléctrica

temperatura termodinámica cantidad de sustancia intensidad luminosa

metro kilogramo segundo Ampere Kelvin mol

candela

m kg s A K

mol cd

UNIDADES DERIVADAS

Ciertas unidades derivadas han recibido unos nombres y símbolos especiales. Estas unidades pueden así mismo ser utilizadas en combinación con otras unidades base o derivadas para expresar unidades de otras cantidades. Estos nombres y símbolos especiales son una forma de expresar unidades de uso frecuente.

coulomb (C): Cantidad de electricidad transportada en un segundo por una corriente de un amperio.

joule (J): Trabajo producido por una fuerza de un newton cuando su punto de aplicación se desplaza la distancia de un metro en la dirección de la fuerza.

newton (N): Es la fuerza que, aplicada a un cuerpo que tiene una masa de 1 kilogramo, le comunica una aceleración de 1 metro por segundo, cada segundo.

pascal (Pa): Unidad de presión. Es la presión uniforme que, actuando sobre una superficie plana de 1 metro cuadrado, ejerce perpendicularmente a esta superficie una fuerza total de 1 newton.


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volt (V): Unidad de tensión eléctrica, potencial eléctrico, fuerza electromotriz. Es la diferencia de potencial eléctrico que existe entre dos puntos de un hilo conductor que transporta una corriente de intensidad constante de 1 ampere cuando la potencia disipada entre esos puntos es igual a 1 watt.

watt (W): Potencia que da lugar a una producción de energía igual a 1 joule por segundo.

ohm (Ω): Unidad de resistencia eléctrica. Es la resistencia eléctrica que existe entre dos puntos de un conductor cuando una diferencia de potencial constante de 1 volt aplicada entre estos dos puntos produce, en dicho conductor, una corriente de intensidad 1 ampere, cuando no haya fuerza electromotriz en el conductor.

weber (Wb): Unidad de flujo magnético, flujo de inducción magnética. Es el flujo magnético que, al atravesar un circuito de una sola espira produce en la misma una fuerza electromotriz de 1 volt si se anula dicho flujo en 1 segundo por decrecimiento uniforme.

MAGNITUD DERIVADA NOMBRE SIMBOLO

EXPRESADAS EN

TERMINOS DE OTRAS UNIDADES

DEL SI

EXPRESADAS EN

TERMINOS DE LAS

UNIDADES BASE DEL SI

ángulo plano radián rad m.m-1

=1

ángulo sólido estereorradián sr m ².m-2

=1

frecuencia hertz Hz s-1

fuerza newton N m.kg.s-2

presión, esfuerzo pascal Pa N/m ² m-1.kg.s

-2

energía, trabajo, calor joule J N.m m ².kg.s-2

potencia, flujo de energía watt W J/s m ².kg.s-³

temperatura Celsius Celsius °C K

Longitud

1 año luz = 9,460 73x1015

m

1 milla (mi) = 1 760 yd = 5 280 ft = 63 360 in = 1 609,344 m

1 ángstrom (Å) = 1x10-10

m

1 pie (ft) = 12 in = 0,304 8 m

1 pulgada (in) = 0,025 4 m

1 micrón (μ) = 1x10-6

m

1 pársec (pe) = 3,085 678x1016

m

1 yarda (yd) = 3 ft = 36 in = 0,914 4 m

1 milla, náutica = 1,852 km = 1 852 m

Masa

1 grano = 6,479 891x10-5

kg

1 slug (slug) = 14,593 9 kg

1 libra (lb) = 16 oz = 0,453 592 4 kg

1 onza (oz) = 2,834 952x10-2

kg

1 ton, métrica (t) = 1 000 kg

Tiempo

1 año = 365 d = 8 760 h = 525 600 min = 31 536 000 s

1 año [sideral] = 3,155 815x107 s

1 año [tropical] = 3,155 693x107 s

1 día (d) = 24 h = 1 440 min = 86 400 s


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1 día [sideral] = 8 616,409 s

1 hora (h) = 60 min = 3 600 s

1 minuto (min) = 60 s

1 minuto [sideral] = 59,836 17 s

ESTATICA

Es la parte de la mecánica que estudia las leyes del equilibrio.

Vectores: Son modelos matemáticos.

Sea el vector V, representa una cantidad física y, se compone de:

1. Módulo: (magnitud) valor numérico y absoluto del mismo, expresa la

cantidad que representa el mismo y se le asigna una unidad.

2. Dirección: recta de acción, que según el sistema de referencia posee una inclinación α.

3. Sentido: según el sistema de referencia, tendrá signo positivo o negativo.

4. Origen: punto de aplicación. Muchos de lo vectores en la física son

“deslizables” lo que significa que pueden carecer de punto de aplicación, moviéndose por su recta de acción o dirección.

Fuerza: es el ente físico capaz de modificar el estado de movimiento de un cuerpo, también deformándolo (aunque en este curso estudiaremos sólo cuerpos rígidos, indeformables). Es una magnitud vectorial (que se representa con un vector) y su unidad en el Sistema Internacional es el Newton (N= kilogramo.metro / seg2). Llamaremos Resultante de un sistema a la suma vectorial de un sistema de vectores de algún tipo (eventualmente a las fuerzas aplicadas a un cuerpo). Una resultante importante de analizar es el Peso de los cuerpos.

Primera Condición de Equilibrio o de Equilibrio Traslacional.

La suma algebraica de las fuerzas aplicadas a un cuerpo en una dirección cualquiera es igual a cero.


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VECTORES

Si dos personas hacen fuerzas en la misma dirección y sentido, sus fuerzas se suman. Los vectores que representan sus fuerzas también se suman y el resultado de esa suma se denomina Resultante, Res.

En este caso, la resultante tiene la misma dirección y sentido que las fuerzas originales y su módulo es igual a la suma de ellos.

Res = F1 + F2

ΣF = F1 + F2

Por ejemplo, si el grande empuja con una fuerza de 15 kgf y el chico con una fuerza de 8 kgf, la cosa funciona como si hubiese una sola persona empujando con una fuerza de 23 kgf . (23 = 15 + 8)

Si dos personas hacen fuerzas en la misma dirección pero con sentidos opuestos la resultante tendrá la misma dirección de ambas, el sentido de la más grande (módulo mayor) y su módulo será igual a la resta entre los módulos

ΣF = Res = F1 – F2

La operación sigue llamándose suma. Y la resultante se sigue llamando sumatoria.

Por ejemplo, si el grande empuja con una fuerza de 15 kgf y el chico resiste con una fuerza de 8 kgf, la cosa funciona como si hubiese una sola persona empujando con una fuerza de 7 kgf . (7 = 15 – 8).

Si dos personas tiran de una caja con sogas con fuerzas de distinta intensidad, y también, con distintas direcciones, la caja reacciona como si una sola soga estuviera tirando de ella, es la fuerza resultante, que tendrá una dirección intermedia y un módulo que se puede obtener gráfica o analíticamente.

Hay que destacar que la suma de vectores, salvo en los casos unidireccionales citados más arriba, no ocurre como si de números se tratara. Por ejemplo en nuestro caso la fuerza de F1 = 15 kgf , el otro una de F2 = 8 kgf , y la resultante, o sea, la suma de ambas puede valer, digamos, 19 kgf , dependiendo del ángulo que forman F1 con F2.


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VECTORES - MULTIPLICACION POR UN NUMERO

Los vectores pueden multiplicarse por un número (real) cualquiera. Por ejemplo, si tenemos un vector V y lo multiplicamos por 3, el resultado es un nuevo vector que tiene la misma dirección y el mismo sentido que V, y un módulo 3 veces mayor.

De modo que multiplicar por un número es una operación que sólo afecta al módulo de los vectores.

En muchos libros de texto a esta operación se la llama producto por un escalar (pero no lo confundas con producto escalar, que es otra cosa).

La operación la escribiríamos así (usando símbolos correctos para los vectores, es decir, con flechita arriba):

V . 3 = 3 V = U

El número por el que se multiplica no necesariamente debe ser entero. Por ejemplo:

V . 3,54 = 3,54 V

El número por el que se multiplica un vector puede ser negativo. En ese caso además de alterar el módulo, invierte el sentido.

El signo menos del escalar cambia el sentido original del vector de partida de la operación. Simbólicamente:

V . (-3) = -3 V = W

Esta operación permite expresar cualquier vector en función de otro.

SUMA DE VECTORES, MÉTODO GRÁFICO

Para sumar gráficamente dos vectores hay dos métodos. El primero se llama método del paralelogramo.

Consiste en colocar los dos vectores que se desean sumar en un mismo origen, luego construir un paralelogramo (un cuadrilátero que posee sus lados no consecutivos paralelos) tomando como lados los dos vectores.


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El vector suma es aquel que tiene origen en el mismo origen de los vectores que se suman y extremo en el vértice opuesto del paralelogramo. Coincide así, con una de las diagonales del paralelogramo.

A + B = S

La otra diagonal se corresponde con la resta de los vectores. La resta no es conmutativa, con los vectores tampoco:

B – A = R1

A – B = R2

El segundo método de sumar vectores se llama método de la poligonal y consiste en dibujar un vector a continuación de otro:

Lo que tiene de bueno el método de la poligonal es que se puede iterar repetidas veces sin mucha dificultad para sumar un número grande de vectores. (Un poco más laborioso es el del paralelogramo.

El vector suma, también suele llamarse resultante.

DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES

Para poder operar analíticamente con vectores es apropiado previamente hacer una descomposición, en componentes paralelas a los ejes de un sistema de referencia.

Supongamos que tenemos el vector A, que podría representar cualquier magnitud vectorial: una fuerza, una velocidad, una aceleración... Para descomponerlo necesitamos primero un sistema de referencia, x-y.

Por el extremo de A trazo rectas paralelas a los ejes.


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Cuando esas rectas cortan los ejes queda definido un punto (llamado coordenada) que es el extremo de los vectores componentes de A.

Entonces quedan definidas las componentes de A, también llamadas proyecciones de A sobre los ejes del SR.

En el

ejemplo, el módulo

de Ax vale 7 y el

módulo de Ay

vale 2.

La componente de A sobre el eje x suele recibir el nombre Ax. Y la componente sobre el eje y, Ay. Se calculan usando los conceptos de la trigonometría.

Entre el vector original y sus componentes hay establecidas ciertas relaciones matemáticas, por ejemplo la relación pitagórica:

Ax² + Ay² = A²

En el

ejemplo, el módulo

de A resulta

valer 7,28

PREGUNTAS CONCEPTUALES

1) Si se tira de los extremos de una cuerda en equilibrio con dos fuerzas iguales y de dirección opuesta, ¿por qué la tensión total en la cuerda es cero?

2) Un caballo está enganchado a un carro. Como el carro tira del caballo hacia atrás con la misma fuerza que éste tira del carro, ¿por qué no permanece el carro en equilibrio, independientemente de lo que tire el caballo?

3) ¿Cómo se puede empujar hacia abajo el pedal de una bicicleta y lograr que la bicicleta se mueva hacia adelante?

EJERCICIOS

1) Calcular para la fuerza de la figura y tomando 1 cm = 5 N:

a) Hallar gráficamente las componentes horizontal y vertical.

b) Verificar analíticamente.

Respuesta: a) 25,7 N y 30,6 N

2) Un bloque se arrastra hacia arriba por un plano inclinado 20° sobre la horizontal con una fuerza F que forma un ángulo de 30° con el plano. Determinar:

a) El valor de F para que su componente Fx paralela al plano sea de 16 N.

b) El valor de la componente Fy perpendicular al plano.


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Respuesta: a) 18,5 N b) 9,2 N

3) Utilizando el método de descomposición vectorial, hallar la resultante y el ángulo que forma el siguiente sistema de fuerzas:

F1= 200 N en el eje x dirigida hacia la derecha

F2 = 300 N, 60° por encima del eje x, hacia la derecha

F3 = 100 N, 45° sobre el eje x, hacia la derecha

F4 = 200 N en la dirección negativa del eje y

Respuesta: 308 N y 25°

4) Dos fuerzas F1 y F2 actúan sobre un punto, F1es de 8 N y su dirección forma un ángulo de 60° por encima del eje x en el primer cuadrante, F2 es de 5 N y su dirección forma un ángulo de 53° por debajo del eje x en el cuarto cuadrante, determinar:

a) Las componentes de la resultante.

b) La magnitud de la resultante.

c) La magnitud de la diferencia F1 - F2.

Respuesta: a) 7,01 N y 2,93 N, b) 7,6 N, c) 11 N

5) Dos hombres y un muchacho quieren empujar un bloque en la dirección x de la figura, los hombres empujan con las fuerzas F1 y F2.

a) ¿qué fuerza mínima deberá emplear el muchacho para lograr el cometido?

b) ¿qué dirección tendrá dicha fuerza?

Respuesta: a) 46,6 N, b) perpendicular a x

6) Dos pesos de 10 N están suspendidos en los extremos de una cuerda que pasa por una polea ligera sin rozamiento. La polea está sujeta a una cadena que cuelga del techo. Determinar:

a) La tensión de la cuerda.

b) La tensión de la cadena.

Respuesta: a) 10 N, b) 20 N

7) ¿Puede estar un cuerpo en equilibrio cuando sobre él actúa una fuerza?. Dibuja un ejemplo.

8) Un globo se mantiene en el aire sin ascender ni descender. ¿Está en equilibrio?, ¿qué fuerzas actúan sobre él?.

9) Según el caso de la figura determinar el peso del cuerpo suspendido si la tensión de la cuerda diagonal es de 20 N.


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Respuesta: 14,1 N

10) El bloque A de la figura pesa 100 N, el coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie es de 0,30. El bloque B pesa 20 N y el sistema está en equilibrio. Determinar:

a) El valor de la fuerza de rozamiento ejercida sobre el bloque A.

b) El peso máximo que puede tener el bloque B para que el sistema permanezca en equilibrio.

Respuesta: a) 20 N, b) 30 N

11) Un bloque es arrastrado hacia la derecha a velocidad constante por una fuerza de 10 N que actúa formando un ángulo de 30° sobre la horizontal. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y le superficie es de 0,50. ¿Cuál es el peso del bloque?.

Respuesta: 22,3 N

12) Hay que bajar una caja fuerte de 2000 N a velocidad constante por una de 4 m de longitud, desde un camión de 2 m de altura. El coeficiente de rozamiento entre la caja fuerte y la rampa es de 0,30. Determinar:

a) ¿Hay que empujar o frenar la caja?

b) ¿Qué fuerza paralela a la rampa es necesaria?

Respuesta: a) Frenar, b) 480 N

13) Se levanta un cuerpo de 200 kgf mediante un plano inclinado de 2,8 m de largo y 1,5 m de altura. El extremo de la cuerda que sube el cuerpo, se adapta a un torno, cuya manivela es de 0,8 m y el radio del torno es de 0,2 m. ¿Cuál es la potencia aplicada al torno, para mantener el sistema en equilibrio?


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Respuesta: 26,75 kgf

CINEMATICA

GLOSARIO

Cinemática. Disciplina científica que se dedica a estudiar el movimiento en sí mismo, prescindiendo de la naturaleza del móvil.

Posición, x: Lugar que un móvil ocupa en el espacio. Nótese que los móviles típicos de la cinemática son móviles puntuales, no tienen volumen, ocupan nada, son un punto. Las posiciones se indican en cualquier unidad de longitud.

Desplazamiento, (X2 – X1) , ΔX12: Diferencia entre dos posiciones (la

posición posterior menos la posición anterior). Habitualmente se dice "final menos inicial"; no está mal del todo pero induce a error, porque la gente tiende a pensar que se trata del inicio y del final del movimiento, y generalmente no es así. Lo importante es restar la posición que el móvil ocupa después, menos la que ocupa antes.

Instante de tiempo, t: Momento único e irrepetible en el transcurso del tiempo. El instante no dura nada: ni un segundo, ni un microsegundo, ni un nanosegundo.

Intervalo de tiempo, (t2 – t1) , Δt12: También llamado lapso, tardanza, duración, etc. Se trata del tiempo que transcurre entre dos instantes. Se obtiene restando el instante posterior menos el instante anterior. Hay gente que dice "tiempo final menos tiempo inicial". No está del todo mal pero induce a error, porque da a pensar que se trata del final del movimiento y del principio del movimiento, y generalmente no lo son.

Velocidad media, Vm: Es el cociente entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo correspondiente. Se mide en cualquier unidad de longitud dividida cualquier unidad de tiempo, por ejemplo m/s. Se trata de un concepto bastante parecido al concepto natural e intuitivo que tenemos de velocidad, cuando hablamos de velocidad con un amigo. Pero no es exactamente lo mismo. Sólo es lo mismo si nos estamos refiriendo a un MRU (VER DEFINICION DE RAPIDEZ).

Velocidad, o velocidad real, o velocidad instantánea, V : Es el cociente entre un desplazamiento y el intervalo de tiempo correspondiente siempre y cuando el intervalo considerado sea muy, muy pequeñito. Pero la idea es bien simple: es la velocidad común y silvestre que todos conocemos. La que indica el velocímetro de los automóviles, por ejemplo. Ojo: ¡solamente coincide con la velocidad media en el MRU! (VER DEFINICION DE RAPIDEZ).

Aceleración media, am: Es el cociente entre un incremento o un

decremento de velocidad y el intervalo de tiempo en el que esa variación transcurre. Se mide en cualquier unidad de velocidad dividida cualquier unidad de tiempo. Por ejemplo m/s².


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Trayectoria: Sucesión de posiciones por las que va pasando un móvil.

Ecuación horaria, x = f (t): Cualquier función matemática entre el conjunto de las posiciones, x, y el conjunto de los instantes de tiempo, t. Tal relación bien puede estar representando un movimiento. Los movimientos típicos tienen ecuaciones horarias típicas. Debido a la versatilidad y a la precisión de la matemática, y por su capacidad de almacenaje, la ecuación horaria es la herramienta más importante para hacer cinemática.

Esquema: Herramienta cinemática utilísima, que consiste en dibujar la

trayectoria y consignar sobre ella la información cinemática de la que se disponga, en la proximidad (lo más junto posible) de la posición correspondiente. Es la más sencilla de las herramientas cinemáticas. Tiene la capacidad de organizar espacial y temporalmente toda la información de la que se dispone, incluso de los datos que se buscan. Tiene la virtud de ordenar y nombrar todo lo que interviene en un problema, ya sea dato o incógnita. Lo que está en el esquema no se pierde. Un esquema bien hecho y completo es garantía casi absoluta de que el ejercicio estará bien resuelto.

Movimiento rectilíneo uniforme, MRU

Se trata del tipo de movimiento más sencillo que se pueda imaginar. Su nombre lo caracteriza: la palabra rectilíneo indica que la trayectoria coincide con una recta; y la palabra uniforme que la velocidad, V, del móvil es constante.

Según el esquema

Un móvil animado con un MRU avanza distancias iguales en tiempos iguales.

Un gráfico posición en función del tiempo, de un MRU es el siguiente:

Cualquier recta oblicua bien puede representar un MRU. Si la función es creciente y decimos que se trata de un movimiento de avance. Si la recta se inclina hacia abajo, representa un movimiento de retroceso.

Si la recta fuese horizontal representaría un móvil que no cambia la posición, está detenido o en reposo. También lo incluimos dentro de los MRU. La orientación prohibida es la vertical: indicaría que el móvil se encuentra en infinitas posiciones en un mismo instante... imposible.

http://neuro.qi.fcen.uba.ar/ricuti/No_me_salen/CINEMATICA/AC_ec_hor.html


http://neuro.qi.fcen.uba.ar/ricuti/No_me_salen/CINEMATICA/AC_esquema.html


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La recta no necesariamente debe pasar por la posición X = 0 en el instante t = 0. Inventemos un ejemplo, cuyos datos voy a volcar es esta Tabla de Valores:

x (m) t (s)

0 9

-12 15

18 0

12 3

24 -3

Si representamos los puntos en un gráfico aparece el que tenemos ahí abajo.

Lo más importante del MRU, es que si tomamos cualquier desplazamiento y lo dividimos por el intervalo de tiempo correspondiente a ese desplazamiento, siempre nos va a dar el mismo número; ese

cociente es constante (independiente de los pares que elijas para considerar el desplazamiento y el intervalo)... ese cociente es la velocidad media, Vm, (que en el MRU -y sólo en el MRU- concuerda con la RAPIDEZ).

De la tabla de valores elijamos al azar un dos pares cualesquiera y armemos el cociente. Por ejemplo el segundo y el tercer renglón de la tabla.


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Lo importante es que respetes la correspondencia entre cada posición y su instante. En el MRU -y sólo en él- no hace falta recordar que se trata de la velocidad media y lo vamos a llamar directamente velocidad, V.

La herramienta cinemática que describe con mayor precisión y generosidad los movimientos es la ecuación horaria. En los MRU tiene siempre esta pinta:

x = xo + v ( t – to )

x y t son las variables. Si no aparecen, no hay ecuación horaria. El resto: xo , V y to , son constantes, o sea números. ¡Pero no son variables, son constantes!.

En nuestro ejemplo de más arriba la velocidad era V = – 2 m/s, y podríamos tomar como xo y to los que figuran en el cuarto renglón de la tabla ya que el único requisito que deben tener xo y to son: corresponderse entre sí y ser pertener al movimiento. Nuestra ecuación quedaría así:

x = 12 m – 2 m/s ( t – 3 s )

eso es una ecuación horaria, no cabe duda, porque contiene x y contiene t. Además te puedo asegurar que xo = 12 m, V = – 2 m/s y to = 3 s.

También podríamos haberla armado eligiendo el quinto renglón de la tabla:

x = 24 m – 2 m/s ( t + 3 s )

x (m) t (s)

0 9

-12 15

18 0

12 3

24 -3

8 5

Si a cualquiera de las dos ecuaciones (que en realidad son la misma) le hacemos la misma pregunta, nos darán la misma respuesta. Por ejemplo; dónde se hallaría el móvil en el instante t6 = 5 s... En cualquiera de las dos, donde dice t escribimos 5 s, luego hacemos la cuentita, y del otro lado del igual aparece x6 = 8 m.


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Una ecuación horaria es una expresión capaz de decirte en qué posición se encuentra un móvil en cualquier instante de tiempo. Es un almacén de información cinemática, guarda infinitos pares de información posición-tiempo. Si de un

movimiento cualquiera, conocés la ecuación horaria, ya está, ese movimiento no tiene más secretos para vos.

IMPORTANTE

La velocidad propiamente dicha, llamada velocidad real, (a veces también

velocidad lineal o velocidad tangencial) no es un concepto sencillo de definir matemáticamente. Hay que hacer uso de herramientas matemáticas sofisticadas como el límite, o la derivada. Por suerte en el MRU no hace falta, porque coincide plenamente con el concepto de velocidad media, que

matemáticamente es una pavada. ¿Por qué el modelo de ecuación horaria del MRU tiene la forma que tiene?

Sencillamente, si la gráfica de un MRU es una recta oblicua, entonces la función matemática que describe ese movimiento no puede ser otra que la función de una recta... y eso es justamente lo que es.

La inclinación de la recta (a los físicos les gusta llamarla pendiente) nos

informa sobre la rapidez del movimiento: cuanto más inclinada más rápido es el movimiento; cuanto menos inclinada más lento es.

Movimiento rectilíneo uniformemente variado, MRUV

Se trata de un tipo de movimiento muy característico, que además de sencillo, aparece bastante seguido en la naturaleza. Su nombre lo caracteriza: la palabra rectilíneo indica que la trayectoria coincide con una recta; y la palabra variado alude a la velocidad, que ya no es constante... pero que varía uniformemente .

La velocidad -ahora variable- ya no se puede igualar a la velocidad media. En

el esquema observamos: en tiempos iguales, aumentos iguales de velocidad. Los desplazamientos ya no son iguales, dado que a mayor velocidad, tendremos mayores desplazamientos.

La flecha de abajo del ciclista representa la velocidad. Un gráfico velocidad-tiempo típico de un MRUV podría ser el siguiente:


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Una recta oblicua bien puede representar un MRUV. Si la inclinación es como ésta la llamamos ascendente o creciente y decimos que se trata de un movimiento de aumento de velocidad; y a la inversa: descendente o decreciente, que se corresponde con disminuciones de la velocidad. Pero la inclinación nada nos informa sobre si el móvil avanza o retrocede.

Para saber si el móvil avanza o retrocede hay que prestar atención al signo de la velocidad (o sea, gráficamente: si está arriba o abajo del eje de los tiempos).

Si la recta fuese horizontal representaría un móvil que no cambia la velocidad, y en ese caso se trataría de un MRU. Aunque parezca ridículo también lo incluimos dentro de los MRUV. La orientación prohibida es la vertical: indicaría que el móvil

posee infinitas velocidades en un mismo instante.

La recta no necesariamente pasa por la posición v = 0 en el instante t = 0. Como ves, la velocidad se comporta en el MRUV como la posición en el MRU. Seguro que hay una ecuación horaria (la llamamos segunda ecuación horaria) que describe cómo varía la velocidad a través del tiempo:

V = Vo + a ( t – to )

vv y t son las variables. Si no aparecen, fuiste; no hay ecuación horaria. El resto: vo , a y to , son constantes, o sea números. vo y to son una velocidad cualquiera que el móvil tenga y el instante en que la haya tenido (o sea, se corresponden entre sí). Y a es la magnitud que describe el cambio de velocidad y se llama aceleración. Justamente, la característica fundamental del MRUV es a = cte.

Gracias a eso, podemos calcularla como una aceleración media, am.

Lógicamente, el plato fuerte del MRUV es su primera ecuación horaria, que

describe cuál es la posición del móvil en cualquier instante de tiempo. Es ésta:

x = xo + vo ( t – to ) + ½ a . ( t – to )²

x y t son las variables. El resto: xo , Vo , a y to , son constantes, o sea números (con unidades). Con suerte te dan el valor de esas constantes. Si no te los dan, tal vez los puedas encontrar. ¡Pero no son variables, son constantes!.

Veamos un ejemplo. Supongamos un MURV en el que

xo = 10 m , vo = 2 m/s , a = – 2 m/s² y to = 4 s

Sus ecuaciones horarias serían las siguientes:




20

x = 10 m + 2 m/s . ( t – 4 s ) – 1 m/s² . ( t – 4 s )²

v = 2 m/s – 2 m/s² . ( t – 4 s )

t (s) x (m) v (m/s)

-2 –38 14

0 –14 10

2 2 6

4 10 2

6 10 –2

8 2 –6

También voy volcando los valores encontrados a sendos gráficos posición-tiempo y velocidad-tiempo

Si la aceleración es positiva la velocidad (no la rapidez) aumentará siempre y en forma constante. La gráfica de posición será una parábola de concavidad positiva.

Rapidez es el módulo de la velocidad (la cantidad sola, sin el signo

Si la aceleración es negativa (como en nuestro ejemplo) la velocidad (no la rapidez) disminuirá siempre y en forma constante. La gráfica de posición será una parábola de concavidad negativa.

LOS GRAFICOS

Son una herramienta cinemática utilísima; nunca dejes de hacerlos con cada ejercicio que resuelvas. Son herramientas tan claras y didácticas que hoy todo el mundo explica sus cosas con gráficos.

En cinemática SE DEBEN HACER SIEMPRE DE ESTA FORMA!!!!: de a tres, posición en función del tiempo, velocidad en función del tiempo y aceleración en función del tiempo. En el orden en que los escribí, encolumnados, y con la misma escala de tiempo. Te lo muestro con este ejemplo

Le voy a ir dando valores a t y obteniendo las posiciones y velocidades correspondientes a esos instantes. Y los voy volcando en la tabla. Por ejemplo donde dice t escribo -2 s, y hago la cuentita. La de posición me da – 38 m, (tuve que escribir -2 s dos veces) y la de velocidad 14 m/s. Y así.


21

1ro.- posición – tiempo

2do.- velocidad – tiempo

3ro.- aceleración - tiempo

Este orden no es arbitrario, tiene su lógica (fundamentado en el hecho que cada función es la derivada de la anterior).

El hecho de que estén encolumnados y con la misma escala de tiempo te ofrece información simultánea en un solo golpe de vista, y te permite pensar cosas interesantes. Por ejemplo la curva de posición, la de arriba: el único momento en que la curva no tiene inclinación es en el instante inicial; justo ahí el segundo gráfico te dice que la velocidad es cero.

A veces sombreamos algunas áreas. Los gráficos suelen albergar mucha más información que la que muestran en primera instancia.


22

Nuevamente de a tres, en el mismo orden, encolumnados, y con la misma escala de tiempo.

Siempre empezá con el de aceleración, que es el más fácil, luego el de velocidad y por último el de posición. Vas a ver cómo, hacerlos en ese orden te ayuda a no cometer errores. Siempre el de abajo (que es el más fácil) ayuda a predecir el de arriba (que es más difícil).

Los problemas de tiro oblicuo se representan con 6 gráficos: la terna de los horizontales y la terna de los verticales.

Con la práctica vas a ver que los gráficos tienen una potencialidad insospechada. Hay mucha más información que la que te dan aparentemente. .

Curiosidades geométricas en cinemática

Es común en cinemática estudiar el movimiento de dos cuerpos que se mueven independientemente para encontrar el punto en que sus trayectorias coinciden.

En algunas ocasiones se llega a resultados “curiosos” que el profesor puede utilizar para despertar el interés de sus alumnos.

Los dos problemas siguientes requieren para su solución de un conocimiento elemental de la cinemática en una dimensión y su resultado no deja de llamar la atención.

Problema 1

En el momento en que se encienda la luz verde de un semáforo de transito arranca desde el reposo un automóvil con una aceleración constante “aA

0-2”. En el mismo instante, un camión que se mueve con una velocidad constante “Vc

0” alcanza y rebasa el automóvil. Un cierto tiempo después el automóvil alcanza al camión. ¿A qué velocidad irá el automóvil en ese instante?


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GRÁFICA DE TRAYECTORIA

Cuando el automóvil alcanza al camión su velocidad es del doble de la del camión

“¿Qué Curioso no?”

Se puede visualizar en la gráfica de V vs t que para que las dos áreas sean iguales la velocidad media del automóvil debe ser igual a la velocidad media del camión.

Problema 2:

En el momento en que se encienda la luz verde de un semáforo de transito arranca desde el reposo un automóvil con una aceleración constante “aA

0-

F”. En el mismo instante, un camión que se mueve con una velocidad constante “Vc

0” se encuentra a una distancia “X” atrás del automóvil; el

camión alcanza al automóvil en un punto “P”, para un instante después de ser dejado atrás por el automóvil. ¿A qué distancia del punto de partida del automóvil, es éste último alcanzado por el camión?


24

GRÁFICA DE TRAYECTORIA

Cuando el camión alcanza al automóvil, éste ha recorrido una distancia igual a la distancia a la que se encontraba el camión por detrás del auto

“¿Qué Curioso no?

Es fácil visualizar en la gráfica V vs t que el desplazamiento del camión es el doble del auto


25

CAIDA DE CUERPOS

Una de las consecuencias más resistidas sobre los movimientos libres es la cuestión del signo de g. Es comprensible, porque todo el mundo piensa que si un cuerpo sube libremente debe tener una aceleración distinta de cuando baja libremente. Sin embargo el signo de g depende exclusivamente del SR, y para nada de lo que haga el móvil.

El signo de g depende exclusivamente del sistema de referencia (SR) y NO de si el

móvil sube o baja.

Si elegimos un SR positivo hacia arriba... g = – 10 m/s²

Si elegimos un SR positivo hacia abajo... g = + 10 m/s²

El motivo es bien sencillo: la aceleración de los cuerpos libres, g, siempre apunta hacia abajo... haga lo que haga el cuerpo. Luego en un SR que apunte hacia arriba g debe ser negativo, y en un SR que apunte hacia abajo g debe ser positivo.

Pensá en un cuerpo que arrojás hacia arriba con toda tu fuerza y el cuerpo regresa a tu mano despues de un rato. Una experiencia sencilla. Te consta que al salir de tu mano lo hace muuuy rápido, despues se va deteniendo, llega un momento en que se detiene por completo (justo ahí deja de subir y empieza a bajar) y luego emprende el camino de regreso... primero lentamente después cada vez más rápido. Hasta aquí vamos bien? Bueno, para más datos: llega a tu mano con la misma rapidez que la que partió.

Bueno, ahora vamos a asignarle velocidades (estimadas, inventadas) para 7 momentos diferentes (los puntos rojos): apenas sale, ya alcanzó 1 m de altura, ya está a 2 m de altura, alcanzó la altura máxima, vuelve a pasar por los 2 m , ahora esta de vuelta a 1 m y por último llega de nuevo a tu mano.


26

Si las velocidades las asigno con un SR que apunta hacia arriba, podrían ser (no te olvides que son velocidades estimadas)... 10, 6, 2, 0, -2, -6, -10... (en las unidades correspondientes).

A igual altura igual rapidez (módulo de la velocidad). Y lo más importante: Con un SR que apunta hacia arriba las velocidades de bajada (en naranja) son negativas (movimiento de retroceso).

Y acá viene la conclusión: la VELOCIDAD (no la rapidez) siempre disminuye (-10 es más chico que -6). Luego la aceleración debe ser negativa durante TODO el viaje, tanto a la subida como a la bajada.

Ahora volvemos a inventar velocidades pero evaluadas desde un SR que apunta hacia abajo. Acá la aceleración de la gravedad debe ser positiva, de modo que debemos encontrar que la velocidad siempre aumenta. Veamos.

Las velocidades iniciales, de subida, deben ser negativas (flechas celestes) ya que representan un retroceso para ese SR. Y las velocidades de bajada (naranjas) deben ser positivas (avance según nuestro SR).

Podrían ser: -10, -6, -2, 0, 2, 6, 10 (con las unidades correspondientes).

Y ahora, fijate: la VELOCIDAD (no la rapidez) SIEMPRE aumenta, tanto durante la subida como durante la bajada... luego la aceleracion debe ser siempre positiva. No importa si el cuerpo sube o baja... la velocidad aumenta en todo

momento.

Por último, cómo tendríamos que graficar EL MISMO MOVIMIENTO de nuestro ejemplo (un tiro vertical) con dos SR diferentes: apuntando hacia arriba (izquierda) y apuntando hacia abajo (derecha).


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IMPORTANTE

La aceleración de caída de los cuerpos sobre la superficie terrestre depende la de altura a la que estén cayendo. Es mayor cuanto más cerca de la superficie (del nivel del mar) se encuentra. De todos modos varía muy poco. El valor, que adoptaremos para la ejecución de los problemas, más aproximado para el nivel del mar sobre las latitudes centrales es 9,81 m/s².

Ejemplo: Tiro oblicuo

Un jugador de fútbol efectúa un saque de arco. La pelota pica en la cancha 60 m más adelante y 4 segundos después de haber partido. Hallar la velocidad de la pelota en el punto más alto y con qué velocidad llega a tierra.

¿Cuántas ecuaciones horarias describen este problema? Tres, como todo TO. Para hallarlas basta con reemplazar las constantes (to , xo , yo , Vx , Voy , y g) de las ecuaciones generales de los tiros oblicuos:

x = xo + Vx ( t – to )

y = yo + Voy ( t – to ) + ½ g ( t – to )²

vy = Voy+ g ( t – to )

En el esquema, en el globito que habla del punto 0, están todas las constantes que necesitamos para armar las ecuaciones que describen el movimiento del cuerpo.

x = Vx. t

y = Voy. t – 5 m/s² . t²

Vy = Voy – 10 m/s² . t

http://neuro.qi.fcen.uba.ar/ricuti/No_me_salen/CINEMATICA/AC_mod_ec_hor.html


28

x1 = Vx . t1 [1]

y1 = Voy . t1 – 5 m/s² . t1² [2]

0 m/s = Voy – 10 m/s² . t1 [3]

60 m = Vx . 4 s [4]

0 m = Voy. 4 s – 5 m/s² . 16 s ² [5]

V2y = Voy – 10 m/s² . 4 s [6]

Estas son las ecuaciones especializadas

para los instantes que a

vos te interesan.

Quedó un sistema de tantas ecuaciones como incógnitas (6x6), en las que las incógnitas, si sabemos interpretarlas, son las que nos pide el enunciado del problema.

De la ecuación [4]

Vx = 60 m / 4 s = 15 m/s

lo mismo hacés con la [5], que también tiene una sola

incógnita

Voy = 80 m / 4 s = 20 m/s

sabiendo cuánto vale Voy vamos a la [3] y despejamos t1

t1 = 20 m/s / 10 m/s² = 2 s

Con todos estos datos recién hallados nos vamos a las

ecuaciones [1] y [2]

x1 = 15 m/s . 2 s = 30 m

Por último:

y1 = 20 m/s. 2 s – 5 m/s² . 4 s² = 20 m

lo único que falta es interpretar que en el punto más alto la

velocidad del cuerpo no es otra que su velocidad en x, ya que ahí,

justo ahí, su velocidad vertical es cero

v1 = vx = 15 m/s

Por último, de [6]

V2y = 20 m/s – 10 m/s² . 4 s = -20 m/s


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Para hallar V2 hay que componer V2y con Vx. Aplicando el

teorema de Pitágoras... y buscando el arco cuya tangente vale V2y /

Vx...

v2 = 25 m/s ; α2 = 59º

RESUMIENDO LOS MOVIMIENTOS. PARTICULARIZACIONES

1) M.R.U.V. Acelerado: a > 0

xf = xo + vo.t + ½.a.t² (Ecuación de posición)

Vf = Vo + a.t (Ecuación de velocidad)

Vf ² = Vo ² + 2.a.Δx

2) M.R.U.V. Retardado: a < 0

xf = xo + Vo.t - ½.a.t² (Ecuación de posición)

Vf = Vo - a.t (Ecuación de

velocidad)

Vf ² = Vo ² - 2.a.Δx

3) Caída libre:

Un objeto pesado que cae libremente (sin influencia de la fricción del aire) cerca de la superficie de la Tierra experimenta una aceleración constante. En este caso, la aceleración es aproximadamente de 9,8 m/s ². Al final del primer segundo, el cuerpo habría caído 4,9 m y tendría una velocidad de 9,8 m/s. Al final del siguiente segundo, el mismo cuerpo habría caído 19,6 m y tendría una velocidad de 19,6 m/s.

En la caída libre el movimiento acelerado donde la aceleración es la de la gravedad y carece de velocidad inicial.

a = g

Vo = 0

Vf = ½.g.t ² (Ecuación de posición)

Vf = g.t (Ecuación de velocidad)

Vf ² = 2.g.Δy

4) Tiro vertical:

Movimiento acelerado donde la aceleración es la de la gravedad y la dirección del movimiento, puede ser ascendente o descendente.

a = g

Vo ≠ 0

Vf = yo + Vo.t - ½.g.t ² (Ecuación de posición)

Vf = Vo - g.t (Ecuación de velocidad)

Vf ² = Vo ² - 2.a.Δy


30

5) Tiro parabólico:

Otro tipo de movimiento sencillo que se observa frecuentemente es el de una pelota que se lanza al aire formando un ángulo con la horizontal. Debido a la gravedad, la pelota experimenta una aceleración constante dirigida hacia abajo que primero reduce la velocidad vertical hacia arriba que tenía al principio y después aumenta su velocidad hacia abajo mientras cae hacia el suelo. Entretanto, la componente horizontal de la velocidad inicial permanece constante (si se prescinde de la resistencia del aire), lo que hace que la pelota se desplace a velocidad constante en dirección horizontal hasta que alcanza el suelo. Las componentes vertical y horizontal del movimiento son independientes, y se pueden analizar por separado. La trayectoria de la pelota resulta ser una parábola.

Es un movimiento cuya velocidad inicial tiene componentes en los ejes x e y, en el eje y se comporta como tiro vertical, mientras que en el eje x como M.R.U.

En eje x:

Vx = constante

a = 0

En eje y:

a = g

Vo ≠ 0

MODELOS DE ECUACIONES HORARIAS (DE TODOS LOS TIPOS DE MOVIMIENTOS QUE APARECEN EN EL CURSO)

Modelo de ecuación horaria del MRU

x = xo + V ( t – to )

Modelos de ecuaciones horarias del MRUV

x = xo + Vo ( t – to ) + ½ a ( t – to )2

V = Vo + a ( t – to )

Modelos de ecuaciones horarias de los movimientos libres verticales (MLV)

y = yo + Vo ( t – to ) + ½ g ( t – to )2

V = Vo + g ( t – to )

Modelos de ecuaciones horarias del TIRO OBLICUO (TO)

x = xo + Vx ( t – to )


31

y = yo + Voy ( t – to ) + ½ g ( t – to )²

Vy = Voy+ g ( t – to )

Si mirás todas las variables de cada ecuación, vas a ver que se trata de una sola ecuación, la del MRUV. La del MRU es la misma pero con la aceleración igual a cero.


1)¿Cuál de los dos movimientos representados tiene mayor velocidad?, ¿por qué?

Respuesta:

El movimiento 1 es el más rápido (teniendo en cuenta que se comparan en la misma gráfica).

Porque V = x/t

Para el caso 1: V 1 = x1/t1

Para el caso 2: V 2 = x2/t2

Para compara hacemos t = t1 = t2.

Entonces para un mismo lapso de tiempo notamos que x1 > x2.

2) ¿Es cierto que si en un movimiento rectilíneo uniforme la velocidad es el doble que en otro, la gráfica x = f(t), trazada en un mismo par de ejes, tiene el doble de pendiente que en el primer caso?, ¿por qué?

Respuesta:

Si, ya que: V = x / t

Si V1 = x1 / t1.

Si V2 = x2 / t2.

Por ejemplo para V1 sea el doble que V 2 significa que:

V1 = 2.V2

Para compara hacemos t1 = t2.

Reemplazamos:

V1 = x1 / t1 (pendiente del movimiento 1).

V2 = x2 / t1 (pendiente del movimiento 2).

Aplicamos la igualdad:

V1 = 2. V 2

x1 / t1 = 2.x2 / t1

x1 = 2.x2

Nos dice que recorre el doble de espacio en el mismo lapso de tiempo.


32

3) En un gráfico x vs t: ¿Qué relación existe entre su pendiente y la tangente trigonométrica?

Respuesta

La pendiente es la razón entre el desplazamiento en el eje "x" y el período de tiempo en el eje "t" entre dos punto de la gráfica de velocidad.

Esta gráfica tiene una inclinación determinada por un ángulo (α), la tangente de α es la velocidad.

tg α = Δx / Δt = V.

PREGUNTAS CAPCIOSAS

Un cuerpo apoyado sobre una mesa... ¿está sometido a la aceleración de la gravedad?

¿Se podrá demostrar que las dos ecuaciones que escribí en este apunte son la misma? Entonces... será que cada movimiento tiene una y solo una ecuación horaria que lo describe... pero esa ecuación horaria se puede escribir de infinitas formas diferentes?

¿Qué movimientos de la naturaleza conocés, que sean MRU? ¿Puede un cuerpo arrancar desde el reposo e ir cada vez más rápido con una aceleración

negativa? (Ojo, que la respuesta es SI).

EJERCICIOS

1) ¿A cuántos m/s equivale la velocidad de un móvil que se desplaza a 72 km/h?

Datos:

V = 72 km/h

2) Un móvil viaja en línea recta con una velocidad media de 1.200 cm/s durante 9 s, y luego con velocidad media de 480 cm/s durante 7 s, siendo ambas velocidades del mismo sentido:

a) ¿cuál es el desplazamiento total en el viaje de 16 s?.

b) ¿cuál es la velocidad media del viaje completo?.

Datos:

v1 = 1.200 cm/s

t1 = 9 s

v2 = 480 cm/s

t2 = 7 s

a) El desplazamiento es:

x = V . t

Para cada lapso de tiempo:

x1 = (1200 cm/s).9 s x1 = 10800 cm

x2 = (480 cm/s).7 s x2 = 3360 cm

El desplazamiento total es:

Xt = X1 + x2

Xt = 10800 cm + 3360 cm

Xt = 14160 cm = 141,6 m


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b) Como el tiempo total es:

tt = t1 + t2 = 9 s + 7 s = 16 s

Con el desplazamiento total recién calculado aplicamos:

ΔV = xt / tt = 141,6 m/16 s Δ v = 8,85 m/s

3) Resolver el problema anterior, suponiendo que las velocidades son de distinto sentido.

a) Si son de distinto sentido:

Xt = X1 - x2

Xt = 10800 cm - 3360 cm Xt = 7440 cm = 74,4 m

b)

Δv = xt/tt Δv = 74,4 m/16 s Δ v = 4,65 m/s

4) En el gráfico, se representa un movimiento rectilíneo uniforme, averigüe gráfica y analíticamente la distancia recorrida en los primeros 4 s.

Datos:

v = 4 m/s

t = 4 s

v = x / t x = v . t x = 4 m/s . 4 s

x = 16 m

5) Un móvil recorre una recta con velocidad constante. En los instantes t1 = 0 s y t2 = 4 s, sus posiciones son x1 = 9,5 cm y x2 = 25,5 cm. Determinar:

a) Velocidad del móvil.

b) Su posición en t3 = 1 s.

c) Las ecuaciones de movimiento.

d) Su abscisa en el instante t4 = 2,5 s.

e) Los gráficos x = f(t) y v = f(t) del móvil.

Datos:

t1 = 0 s

x1 = 9,5 cm

t2 = 4 s

x2 = 25,5 cm

a) Como:

Δv = Δx / Δt Δv = (x2 - x1) / (t2 - t1)

Δv = (25,5 cm - 9,5 cm) / (4 s - 0 s) Δv = 16 cm / 4 s

Δv = 4 cm/s

b) Para t3 = 1 s:

Δv = Δx / Δt Δx = Δv.Δt

Δx = (4 cm/s).1 s Δx = 4 cm

Sumado a la posición inicial:

x3 = x1 + Δx x3 = 9,5 cm + 4 cm x3 = 13,5 cm


34

c) x = 4 (cm/s).t + 9,5 cm

d) Con la ecuación anterior para t4 = 2,5 s:

x4 = (4 cm/s).t4 + 9,5 cm x4 = (4 cm/s).2,5 s + 9,5 cm x4 = 19,5 cm

6) Una partícula se mueve en la dirección del eje x y en sentido de los x > 0. Sabiendo que la velocidad es 2 m/s, y su posición es x0 = -4 m, trazar las gráficas x = f(t) y V = f(t).

Datos:

v = 2 m/s

x0 = -4 m

7) Un auto parte del reposo, a los 5 s posee una velocidad de 90 km/h, si su aceleración es constante, calcular:

a) ¿Cuánto vale la aceleración?

b) ¿Qué espacio recorrió en esos 5 s?

c) ¿Qué velocidad tendrá los 11 s?

Datos:

v0 = 0 km/h = 0 m/s

vf = 90 km/h = (90 km/h).(1000 m / 1 km).(1 h / 3600 s) = 25 m/s

t = 5 s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + a.t

(2) x = v0.t + a.t² / 2

a) De la ecuación (1):

vf = a.t t =vf/a

a = (25 m/s)/(5 s) a = 5 m/s ²

b) De la ecuación (2):

x = v0.t + a.t ²/2 = a.t ²/2 = (5 m/s ²).(5 s)² / 2 x = 62,5 m

c) para t = 11 s aplicamos la ecuación (1):

vf = (5 m/ ²).(11 s) vf = 55 m/s

8) Un motociclista parte del reposo y tarda 10 s en recorrer 20 m. ¿Qué tiempo necesitará para alcanzar 40 km/h?.

Datos:

V0 = 0 m/s

t = 10 s

x = 20 m

Vf2 = 40 km/h = (40 km/h).(1000 m/1 km).(1 h/3600 s) = 11,11 m/s


35

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + a.t

(2) x = v0.t + a.t ²/2

De la ecuación (1):

vf = a.t t =Vf/a (3)

Reemplazando (3) en (2):

x = (vf / t).t² / 2= vf.t / 2 = 2.x / t = 2.(20 m)/(10 s) vf = 4 m/s

Con éste dato aplicamos nuevamente la ecuación (1):

a = (4 m/s) / (10 s) a = 0,4 m/s ²

Finalmente con la aceleración y la velocidad final dada:

Vf2 = v0 + a.t = a.t t = Vf2/a = (11,11 m/s)/(0,4 m/s ²) t = 27,77 s

9) Un móvil se desplaza con MUV partiendo del reposo con una aceleración de 51840 km/h ², calcular:

a) ¿Qué velocidad tendrá los 10 s?

b) ¿Qué distancia habrá recorrido a los 32 s de la partida?.

c) Representar gráficamente la velocidad en función del tiempo.

Datos:

V0 = 0 km/h = 0 m/s

a = 51840 km/h ² = (51840 km/h ²).(1000 m/1 km).(1 h/3600 s).(1 h/3600 s) = 4 m/s ²

t1 = 10 s

t2 = 32 s

Ecuaciones:

(1) Vf = V0 + a.t

(2) x = V0.t + a.t² / 2


Vf = (4 m/s ²).(10 s) Vf = 40 m/s


x = (4 m/s ²).(32 s)² / 2 x = 2048 m

c)

10) Un automóvil parte del reposo con una aceleración constante de 30 m/s ², transcurridos 2 minutos deja de acelerar y sigue con velocidad constante, determinar:

a) ¿Cuántos km recorrió en los 2 primeros minutos?.

b) ¿Qué distancia habrá recorrido a las 2 horas de la partida?.

Datos:

v0 = 0 m/s

a = 30 m/s ²

t1 = 2 min = 120 s

t2 = 2 h = 7200 s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + a.t

(2) x = v0.t + a.t ²/2

a)


x1 = (30 m/s ²).(120 s) ²/2 = 216000 m Þ x1 = 216 km

b)

De la ecuación (1) hallamos la velocidad a los 2 min:

vf = (30 m/s ²).(120 s) vf = 3600 m/s

A partir de ahora la velocidad es constante, por lo tanto:

v = 3600 m/s


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pero vf = v0 para la segunda parte y para un tiempo de:

t = t2 - t1 t = 7200 s - 120 s t = 7080 s

Primero calculamos la distancia recorrida con una velocidad constante:

x2 = v.t x2 = (3600 m/s).(7080 s) = 25488000 m x2 = 25488 km

Ahora calculamos la distancia recorrida durante los 7200 s sumando ambas distancias:

x = x1 + x2 = 216000 m + 25488000 m = 25704000 m Þ x = 25704 km

11) Un móvil que se desplaza con velocidad constante, aplica los frenos durante 25 s, y recorre una distancia de 400 m hasta detenerse. Determinar:

a) ¿Qué velocidad tenía el móvil antes de aplicar los frenos?.

b) ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?.

Datos:

t = 25 s

x = 400 m

vf = 0 m/s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + a.t

(2) x = v0.t + a.t ²/2


vf = v0 + a.t 0 = v0 + a.t a = -v0/t (3)


x = v0.t + a.t ²/2 = v0.t + (-v0/t).t ²/2 = v0.t - v0.t/2 = v0.t/2 v0 = 2.x/t

vf = 2.(400 m)/(25 s) vf = 32 m/s

b) Con éste dato aplicamos nuevamente la ecuación (1):

a = (-32 m/s)/(25 s) a = -1,28 m/s ²

12) Un auto marcha a una velocidad de 90 km/h. El conductor aplica los frenos en el instante en que ve el pozo y reduce la velocidad hasta 1/5 de la inicial en los 4 s que tarda en llegar al pozo. Determinar a qué distancia del obstáculo el conductor aplico los frenos, suponiendo que la aceleración fue constante.

Datos:

v0 = 90 km/h = (90 km/h).(1000 m/1 km).(1 h/3600 s) = 25 m/s

vf = 0,2.25 m/s = 5 m/s

t = 4 s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + a.t

(2) x = v0.t + a.t ²/2


vf = v0 + a.t a = (vf - v0)/t

a = (25 m/s - 5 m/s)/(4 s) a = 5 m/s ²

Con la aceleración y la ecuación (2):

x = (25 m/s).(4 s) + (5 m/s ²).(4 s) ²/2 x = 60 m

13) Un automóvil parte del reposo con una aceleración constante de 3 m/s ², determinar:

a) ¿Qué velocidad tendrá a los 8 s de haber iniciado el movimiento?.

b) ¿Qué distancia habrá recorrido en ese lapso?.

Datos: a = 3 m/s ²


37

t = 8 s

v0 = 0 m/s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + a.t

(2) x = v0.t + a.t ²/2


vf = (3 m/s ²).(8 s) vf = 24 m/s


x = (3 m/s ²).(8 s) ²/2 x = 96 m

14) Grafique, en el movimiento de frenado de un auto, V = f(t). Suponga a = -1 m/s ² y V0 = 10 m/s. Del gráfico calcule el tiempo que demora en detenerse.

Datos:

a = -1 m/s ²

v0 = 10 m/s

Como la aceleración es la pendiente de la recta:

t = 10 s

15) Un móvil se desplaza sobre el eje "x" con movimiento uniformemente variado. La posición en el instante t0 = 0 s es x0 = 10 m; su velocidad inicial es v0 = 8 m/s y su aceleración a = -4 m/s ². Escribir las ecuaciones horarias del movimiento; graficar la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo; y calcular (a) la posición, (b) velocidad y (c) aceleración para tf = 2 s.

Datos:

t0 = 0 s

x0 = 10 m

v0 = 8 m/s

a = -4 m/s ²

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + a.t

(2) x = v0.t + a.t² / 2

Las ecuaciones horarias son:

vf = 8 m/s + (-4 m/s ²).t

x = 10 m + (8 m/s).t+ (-4 m/s ²).t² / 2

a) x = 18 m

b) vf = 0 m/s

c) 0 m/s ²


38

Empleando las ecuaciones horarias para t = 2 s:

16) Analizar los movimientos rectilíneos a y b representados en las siguientes gráficas:

Si la posición en t = 0 es 5 m para el movimiento a y 50 km para el b, expresar analíticamente las ecuaciones del movimiento a partir de los datos incluidos en las gráficas.

Datos:

x0a = 5 m

x0b = 50 km

Es un movimiento uniformemente desacelerado.

La aceleración se obtiene de la pendiente de cada recta.

Las ecuaciones para (a) son:

vf = 20 m/s + (-2,67 m/s ²).t

x = 5 m + (20 m/s).t + (-2,67 m/s ²).t ²/2

Las ecuaciones para (b) son:

vf = 200 km/h + (-20 km/h ²).t

x = 50 km + (200 km/h).t + (-20 km/h ²).t ²/2


39

17) Grafique x = f(t) para un móvil que parte de x = 6 m con v0 = 2 m/s y a = -0,2 m/s ².

Datos:

x = 6 m

v0 = 2 m/s

a = -0,2 m/s ²

Las ecuaciones horarias son:

vf = 2 m/s + (-0,2 m/s ²).t

x = 6 m + (2 m/s).t + (-0,2 m/s ²).t ²/2 x = 6 m + (2 m/s).t - (0,1 m/s ²).t ²

t (s) x (m) 0 6 1 7,9 2 9,6

3 11,1 4 12,4

18) Determinar gráficamente la aceleración en los siguientes gráficos:

En los tres primeros gráficos es nula. El gráfico inferior derecho no es función.

19) De estos dos gráficos, ¿cuál representa el movimiento más veloz? y ¿por qué?

Para analizar o comparar gráficos siempre se debe tener en cuenta lo que se representa en cada eje, así como la escala y las unidades en cada eje.


40

Son gráficos de posición en función del tiempo y se representan rectas, por lo tanto se trata de dos movimientos con velocidad constante, en éste caso la pendiente de la recta es la velocidad, para el caso:

Δv = Δx / Δt

Δv1 = Δx1 / Δt1 Δv1 = 10 m / 4 s Δv1 = 2,5 m/s

Δv2 = Δx2 / Δt2 Δv2 = 10 m / 2 s Δv2 = 5 m/s

El gráfico (2) representa un movimiento más veloz.

20) ¿Cuál de los dos movimientos representado, el (1) o el (2), tiene mayor velocidad?, ¿por qué?

Para analizar o comparar gráficos siempre se debe tener en cuenta lo que se representa en cada eje, así como la escala y las unidades en cada eje.

Como no tiene los ejes graduados no se puede emitir un resultado.

21) Hallar las pendientes de las tres rectas, expresándolas en las unidades correspondientes, luego analice si es correcto graficar a la izquierda del eje vertical.

Δv1 = Δx1 / Δt1 Δv1 = (x1f - x10) / (t1f - t10) Δv1 = (40 km - 0 km) / (1 h - 0 h) Δv1 = 40 km/h

Δv2 = Δx2/Δt2 Δv2 = (x2f - x20) / (t2f - t20) Δv2 = (10 km - 2 km) / ( 4 s - 0 s) Δv2 = 2 km/s

Δv3 = Δx3 / Δt3 Δv3 = (x3f - x30) / (t3f - t30) Δv3 = (0 m - 12 m) / ( 8 s - 0 s) Δv3 = -1,5 m/s

No se puede graficar a la izquierda del eje vertical, no existe el tiempo negativo.

Responder el siguiente cuestionario:

Pregunta n° 1) ¿Qué tipo de movimiento es la caída de los cuerpos?.

Pregunta n° 2) Cuando un cuerpo cae libremente, ¿cómo varia su velocidad?.

Pregunta n° 3) Cuando un cuerpo cae libremente, ¿cómo varia su aceleración?.

Pregunta n° 4) ¿Cómo se produce la caída de los cuerpos en el vacio?.


41

MOVIMIENTO EN EL PLANO

1) Un piloto, volando horizontalmente a 500 m de altura y 1080 km/h, lanza una bomba. Calcular:

a) ¿Cuánto tarda en oír la explosión?.

b) ¿A qué distancia se encontraba el objetivo?.

Se recuerda que en tiro parabólico y tiro oblicuo el movimiento en el eje "x" es rectilíneo uniforme, mientras en el eje "y" es uniformemente variado (asociar con tiro vertical y caída libre).

Donde no se indica se emplea g = 10 m/s ².

Datos:

vx = 1080 km/h = 300 m/s g = 10 m/s ².

v0y = 0 m/s

h = 500 m

Ecuaciones:

(1) v fy = v0y + g.t

(2) h = v0y.t + g.t ²/2

(3) vx = Δx/Δt

El gráfico es:

El tiempo que tarda en caer la bomba lo calculamos de la ecuación (2):

t = 10 s

La distancia recorrida por la bomba a lo largo del eje "x" será:

vx = x/t x = vx.t x = (300 m/s).(10 s) x = 3000 m

Es la respuesta al punto (b).

En el mismo instante que la bomba toca el suelo el avión pasa sobre ella, es decir 500 m sobre la explosión.

Si la velocidad del sonido es 330 m/s:

vx = x/t t = x/vx t = (500 m)/(330 m/s) t = 1,52 s

La respuesta al punto (a) es:

t = 10s + 1,52 s t = 11,52 s

2) Un avión que vuela a 2000 m de altura con una velocidad de 800 km/h suelta una bomba cuando se encuentra a 5000 m del objetivo. Determinar:

a) ¿A qué distancia del objetivo cae la bomba?.

b) ¿Cuánto tarda la bomba en llegar al suelo?.

c) ¿Dónde esta el avión al explotar la bomba?.



Datos:

vx = 800 km/h = 222,22 m/s

v0y = 0 m/s

h = 2000 m

d = 5000 m

Ecuaciones:


42

(1) v fy = v0y + g.t

(2) h = v0y.t + g.t ²/2

(3) vx = Δx/Δt

El gráfico es:

a) Primero calculamos el tiempo que demora en caer, de la ecuación (2):

h = g.t ²/2 t = √2.h/g

t = 20 s

Luego con la ecuación (3) obtenemos el punto de impacto:

vx = x/t x = vx.t x = (222,22 m/s).(20 s) x = 444,44 m

Por lo tanto el proyectil cae a:

d = 5000 m - 444,44 m d = 555,55 m

b) Es el tiempo hallado anteriormente:

t = 20 s

c) Sobre la bomba, ambos mantienen la misma velocidad en el eje "x".

3) Un proyectil es disparado desde un acantilado de 20 m de altura en dirección paralela al río, éste hace impacto en el agua a 2000 m del lugar del disparo. Determinar:

a) ¿Qué velocidad inicial tenía el proyectil?.

b) ¿Cuánto tardó en tocar el agua?.



Datos:

v0y = 0 m/s

h = 20 m

d = 2000 m

Ecuaciones:

(1) v fy = v0y + g.t

(2) h = v0y.t + g.t ²/2

(3) vx = Δx/Δt

El gráfico es:


43

a) De la ecuación (3) despejamos el tiempo:

t = x/vx (4)

y reemplazamos la (4) en la (2):

vx = 1000 m/s


t = x/vx t = (2000 m)/(1000 m/s) t = 2 s

4) Una pelota esta rodando con velocidad constante sobre una mesa de 2 m de altura, a los 0,5 s de haberse caído de la mesa esta a 0,2 m de ella. Calcular:

a) ¿Qué velocidad traía?.

b) ¿A qué distancia de la mesa estará al llegar al suelo?.

c) ¿Cuál era su distancia al suelo a los 0,5 s?.


Datos:

v0y = 0 m/s

h = 2 m

t = 0,5 s

d = 0,2 m

Ecuaciones:

(1) v fy = v0y + g.t

(2) h = v0y.t + g.t ²/2

(3) vx = Δx/Δt

El gráfico es:


vx = (0,2 m)/(0,5 s) vx = 0,4 m/s

b) De la ecuación (2) hallamos el tiempo que tarda en caer:

h = g.t ²/2 t = √2.h/g

Reemplazamos en la ecuación (3):

x = 0,253 m


44

c) Aplicando la ecuación (2) obtenemos la distancia recorrida:

h = g.t ²/2 h = (10 m/s ²).(0,5 s) ²/2

h = 1,25 m

Por lo tanto estará a 0,75 m del suelo.

5) Se dispara un perdigón con un rifle de aire comprimido, desde lo alto de una colina. El proyectil parte con una velocidad de 50 m/s, en una dirección que forma un ángulo de 37° con la horizontal, despreciando el rozamiento, determinar:

a) La posición del perdigón a los 2 s, 5 s y 8 s después de haber partido, respectivamente y representar en un diagrama X-Y.

b) Las componentes de los vectores velocidad en los instantes anteriores, representar dichos vectores, en el diagrama anterior, en las cuatro posiciones conocidas.

c) Instante, posición y velocidad en el momento en que se encuentra al mismo nivel que el de partida.

d) Sin hacer cuentas, justifique entre que instantes de los especificados cree Ud. que el proyectil alcanzará la máxima altura, ¿qué velocidad tendrá allí?, calcúlelo ahora y verifique su hipótesis.

e) Con toda la información anterior, dibujar la trayectoria del proyectil y escribir la ecuación de la misma.

Respuesta: a) (80 m;40,4 m), (200 m;27,5 m) y (320 m;-73,6 m) b) (40 m/s;10,4 m/s), (40 m/s;-19 m/s) y (40 m/s;-48,4 m/s) c) 6,12 s; (244,8 m;0 m) y (40 m/s;-60 m/s)

d) 3,06 s y 0 m/s e) 0,75.x - 0,003.x²/m

6) Desarrollar el problema anterior para un ángulo de partida de 53°.

Respuesta: a) (60 m;60,4 m), (150 m;77,5 m) y (240 m;6,4 m) b) (30 m/s;20,4 m/s), (30 m/s;-9 m/s) y (30 m/s;-38,4 m/s) c) 8,16 s; (244,8 m;0 m) y (40 m/s;-60 m/s) d) 4,08 s y 0 m/s

e) 1,33.x - 0,005.x²/m

7) Un gato maulla con ganas, instalado sobre un muro de 2 m de altura, Pedro está en su jardín, frente a él y a 18 m del muro, y pretende ahuyentarlo arrojándole un zapato. El proyectil parte con una velocidad de 15 m/s, formando un ángulo de 53° con la horizontal, desde una altura de 1,25 m, determinar:

a) ¿A qué distancia por encima de donde estaba el gato pasó el zapato?

b) ¿A qué distancia al otro lado del muro llegó el zapato?

Respuesta: a) 3,65 m b) 4,95 m

8) Un jugador de fútbol efectúa un saque de arco, la pelota pica en la cancha 60 m más adelante y 4 s después de haber partido. Hallar la velocidad de la pelota en el punto más alto y con que velocidad llega a tierra.

Respuesta: a) 15 m/s b) (15 m/s;-19,6 ms)

Respuesta: a) 2,57 s b) -37° 32´ 17" c) 15,13 m/s d) 13,65 m

10) Susana arroja horizontalmente su llavero desde la ventana de su departamento, y Gerardo lo recibe a 1,2 m de altura sobre el piso, 0,8 s después. Sabiendo que Gerardo se encuentra a 4,8 m del frente de la casa de Susana, hallar:

a) ¿A qué altura del piso partió el llavero?

b) ¿Con qué velocidad llegó a las manos de Gerardo?

Respuesta: a) 4,34 m b) (6; -7,84) m/s


45

11) Un esquiador que se desliza por una rampa inclinada 30° llega al borde con cierta velocidad. Luego de un segundo de vuelo libre, retoma la pista, más abajo, 4,33 m delante del borde de la rampa. Determinar:

a) ¿Qué velocidad tenía en el borde de la rampa?

b) ¿Con qué velocidad llegó a la pista?.

c) ¿Qué desnivel había entre el borde de la rampa y la pista?.

Respuesta: a) 5 m/s b) 7,4 m c) (4,33; -12,3) m/s

12) Un ejecutivo aburrido se entretiene arrojando horizontalmente bollos de papel, desde una altura de 1,2 m, hacia el cesto que tiene 2 m frente a él al otro lado del escritorio, para esto debe superar la esquina del escritorio que se encuentre a 75 cm sobre el piso y a 1 m delante de él, teniendo en cuenta que el cesto tiene 40 cm de alto por 40 cm de diámetro, determinar entre qué valores debe encontrarse la velocidad de partida de un bollo para que ingrese en el cesto.

Respuesta: (5,5 ± 0,5) m/s

13) Un malabarista muestra su destreza, manteniendo continuamente en el aire cuatro platos, los recibe con su mano izquierda, a 80 cm del piso, y los lanza con su mano derecha, desde la misma altura y a 1,2 m de donde los recibió. Los platos alcanzan una altura máxima de 4 m sobre el nivel del piso, hallar:

a) ¿Con qué velocidad los arroja?.

b) ¿Con qué velocidad pasan por el punto más alto?.

c) Si tarda 0,2 s en pasarlos de una mano a otra, estimar cada cuánto tiempo recibe un plato.

Respuesta: a) (0,74; 7,92) m/s b) (0,74; 0) m/s c) 0,46

TIRO VERTICAL

1) Se lanza un cuerpo verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 7 m/s.

a) ¿Cuál será su velocidad luego de haber descendido 3 s?.

b) ¿Qué distancia habrá descendido en esos 3 s?.

c) ¿Cuál será su velocidad después de haber descendido 14 m?.

d) Si el cuerpo se lanzó desde una altura de 200 m, ¿en cuánto tiempo alcanzará el suelo?.

e) ¿Con qué velocidad lo hará?.

Datos:

v0 = 7 m/s

t = 3 s

y = 200 m

h = 14 m

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + g.t

(2) y = v0.t + g.t ²/2

(3) vf ² - v0 ² = 2.g.h


vf = (7 m/s) + (10 m/s ²).(3 s) vf = 37 m/s


Δh = (7 m/s).(3 s) + (10 m/s ²).(3 s) ²/2 Δ h = 66 m

c) De la ecuación (3):

vf = 18,14 m/s

d) De la ecuación (2):

0 = v0.t + g.t ²/2 - y

Aplicamos la ecuación cuadrática que dará dos resultados:


46

t1 = 5,66 s

t2 = -7,06 s (NO ES SOLUCION)

e) De la ecuación (3):

vf = 63,63 m/s

2) Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 100 m/s, luego de 4 s de efectuado el lanzamiento su velocidad es de 60 m/s.

a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada?.

b) ¿En qué tiempo recorre el móvil esa distancia?.

c) ¿Cuánto tarda en volver al punto de partida desde que se lo lanzo?.

d) ¿Cuánto tarda en alcanzar alturas de 300 m y 600 m?.

Datos:

v0 = 100 m/s

vf = 60 m/s

t = 4 s

y1 = 300 m

y2 = 600 m

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + g.t

(2) y = v0.t + g.t ²/2

(3) vf ² - v0 ² = 2.g.h

a) Para la altura máxima v f = 0, de la ecuación (3):

-v0 ² = 2.g.h h máx = -vf ²/(2.g)Þ h máx = -(100 m/s) ²/[2.(-10 m/s ²)]

h máx = 500 m

b) De la ecuación (1) y para v f = 0:

t = v0/g

t = (-100 m/s)/(-10 m/s ²)

t = 10 s

c) Recordemos que en tiro vertical, cuando un objeto es lanzado hacia arriba y luego cae, cuando vuelve a pasar por el punto de

partida posee la misma velocidad que en el momento del lanzamiento pero con sentido contrario (vf = -v0).

Podemos asegurar que el resultado pedido es el doble del tiempo que requirió para alcanzar la altura máxima.

t = 20 s

e) No puede alcanzar una altura de 600 m porque la máxima es de 500 m. Para h = 300 m empleamos la ecuación (2):

0 = v0.t + g.t ²/2 - y

Aplicamos la ecuación cuadrática que dará dos resultados:

t1 = 3,68 s

t2 = 16,32 s (NO ES SOLUCION)

3) Un auto choca a 60 km/h contra una pared sólida, ¿desde qué altura habría que dejarlo caer para producir el mismo efecto?.

Usar g = 10 m/s ².

Datos:

vf = 60 km/h vf = 16,67 m/s

v0 = 0 m/s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + g.t

(2) y = v0.t + g.t ²/2

(3) vf ² - v0 ² = 2.g.h


vf ²/2.g = h h = (16,67 m/s) ²/[2.(-10 m/s ²)] h = 13,9 m


47

4) Se lanza una pelota de tenis hacia abajo desde una torre con una velocidad de 5 m/s.

a) ¿Qué velocidad tendrá la pelota al cabo de 7 s?.

b) ¿Qué espacio habrá recorrido en ese tiempo?.

Datos:

v0 = 5 m/s

t = 7 s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + g.t

(2) y = v0.t + g.t ²/2

(3) vf ² - v0 ² = 2.g.h


vf = 5 m/s + (10 m/s ²).(7 s) vf = 75 m/s


y = (5 m/s).(7 s) + (1/2).(10 m/s ²).(7 s) ² y = 280 m

5) Desde el balcón de un edificio se deja caer una manzana y llega a la planta baja en 5 s.

a) ¿Desde qué piso se dejo caer, si cada piso mide 2,88 m?.

b) ¿Con qué velocidad llega a la planta baja?.

Respuesta: a) 43 b) 50 m/s

6) Se deja caer una piedra en un pozo y al cabo de 10 s se oye el choque contra el fondo, si la velocidad del sonido es de 330 m/s, ¿cuál es la profundidad del pozo?.

(1) vf = g.t

(2) Δh = g.t ²/2

El tiempo es el tiempo total, es decir el que tarda la piedra en caer mas el que tarda el sonido en llegar hasta el punto de partida de la piedra:

t = tp + ts = 10 s Þ ts = 10 s - tp (3)

La distancia que recorre el sonido es igual a la distancia que recorre la piedra:

ΔhT = Δhs = Δhp (4)

Para el sonido:

vs = Δhs/ts

Δhs = vs.ts (5)

Para la piedra

Δhp = g.tp ²/2 (6)

Igualando (5) y (6):

vs.ts = g.tp ²/2 (7)


Reemplazando por los datos:

Resolvemos la ecuación cuadrática:


48

tp2 lo descartamos porque el tiempo negativo no existe. En la ecuación (6) reemplazamos con tp1 y resolvemos:

Δhp = 383,3 m

Respuesta: 383,3 m

7) A un cuerpo que cae libremente se le mide la velocidad al pasar por los puntos A y B, siendo estas de 29,42 m/s y 49,02 m/s respectivamente. Determinar:

a) ¿Cuánto demoró en recorrer la distancia entre A y B ?.

b) ¿Cuál es la distancia entre A y B ?.

Respuesta: a) 2 s b) 78,44 m/s ²

8) ¿Desde qué altura debe caer el agua de una presa para golpear la rueda de una turbina con velocidad de 30 m/s?.

Respuesta: 45 m

9) Un cuerpo cae libremente desde un avión que viaja a 1,96 km de altura, cuánto demora en llegar al suelo?

Respuesta: 19,8 s

10) A un cuerpo que cae libremente se le mide la velocidad al pasar por los puntos A y B, siendo estas de 25 m/s y 40 m/s respectivamente. Determinar:

a) ¿Cuánto demoró en recorrer la distancia entre A y B ?.

b) ¿Cuál es la distancia entre A y B ?.

c) ¿Cuál será su velocidad 6 s después de pasar por B ?.

Respuesta: a) 1,5 s b) 48,75 m c) 100 m/s

11) Si se deja caer una piedra desde la terraza de un edificio y se observa que tarda 6 s en llegar al suelo. Calcular:

a) A qué altura estaría esa terraza.

b) Con qué velocidad llegaría la piedra al piso.

Respuesta: a) 180 m b) 60 m/s

12) ¿De qué altura cae un cuerpo que tarda 4 s en llegar al suelo?.

Respuesta: 80 m


49

ALCANCE Y ENCUENTRO

1) En una esquina, una persona ve como un muchacho pasa en su auto a una velocidad de 20 m/s. Diez segundos después, una patrulla de la policía pasa por la misma esquina persiguiéndolo a 30 m/s. Considerando que ambos mantienen su velocidad constante, resolver gráfica y analíticamente:

a) ¿A qué distancia de la esquina, la policía alcanzará al muchacho?

b) ¿En qué instante se produce el encuentro?

Respuesta: a) 600 m b) 30 s

2) En un instante pasa por A un cuerpo con movimiento rectilíneo uniforme de 20 m/s. Cinco segundos después, pasa en su persecución, por el mismo punto A,otro cuerpo animado de movimiento rectilíneo uniforme, de velocidad 30 m/s. ¿Cuándo y dónde lo alcanzará?, resolver gráfica y analíticamente.

Respuesta: a) 200 m b) 15 s

3) Un móvil sale de una localidad A hacia B con una velocidad de 80 km/h, en el mismo instante sale de la localidad B hacia A otro a 60 km/h, A y B se encuentran a 600 km. Calcular:

a) ¿A qué distancia de A se encontraran?.

b) ¿En qué instante se encontraran?.

Respuesta: a) 342,8 m b) 4,285 h

4) Un móvil sale de una localidad A hacia B con una velocidad de 80 km/h, 90 minutos después sale desde el mismo lugar y en su persecución otro móvil a 27,78 m/s. Calcular:

a) ¿A qué distancia de A lo alcanzará?.

b) ¿En qué instante lo alcanzará?.

Respuesta: a) 600 km b) 7,5 h

5) Dos móviles pasan simultáneamente, con M.R.U., por dos posiciones A y B distantes entre si 3 km, con velocidades va = 54 km/h y vb = 36 km/h, paralelas al segmento AB y del mismo sentido. Hallar analíticamente y gráficamente:

a) La posición del encuentro.

b) El instante del encuentro.

Respuesta: a) 9 km b) 10 min

6) Dos móviles pasan simultáneamente, con M.R.U., por dos posiciones A y B distantes entre si 6 km, con velocidades va = 36 km/h y vb = 72 km/h, paralelas al segmento AB y del sentido opuesto. Hallar analíticamente y gráficamente:

a) La posición del encuentro.


Respuesta: a) 2 km b) 200 s

7) Dos puntos A y B están separados por una distancia de 180 m. En un mismo momento pasan dos móviles, uno desde A hacia B y el otro desde B hacia A, con velocidades de 10 m/s y 20 m/s respectivamente. Hallar analíticamente y gráficamente:

a) ¿A qué distancia de A se encontraran?.



50

Respuesta: a) 6 s b) 60 m

8) En una obra en construcción se tira verticalmente hacia arriba desde los 15 m de altura un martillo con velocidad inicial de 40 m/s, en el mismo momento, a 8 m de altura, sube un montacarga con velocidad constante de 2 m/s, si el martillo no pudo ser atajado, ¿cuánto tiempo después y a que altura chocará con el montacarga?.

Respuesta: a) 7,93 s b) 23,86 m

9) Se largan dos ciclistas, uno con velocidad constante de 40 km/h, el otro partiendo del reposo con una aceleración de 1000 km/h ², calcular:

a) ¿Cuándo el primer ciclista será alcanzado por el segundo?.

b) ¿A qué distancia de la salida?.

c) ¿Qué velocidad tendrá el segundo ciclista en el momento del encuentro?.

Respuesta: a) 4 min 48 s b) 3,2 km c) 80 km/h

10) Un automovilista pasa por un puesto caminero a 120 km/h superando la velocidad permitida, a los 4 s un policía sale a perseguirlo acelerando constantemente, si lo alcanza a los 6000 m, calcular:

a) ¿Cuánto dura la persecución?.

b) ¿Qué aceleración llevaba el policía?.

c) ¿Qué velocidad tenía el policía en el momento del encuentro?.

Respuesta: a) 4 min 48 s b) 3,2 km c) 80 km/h

11) Un motociclista detenido en una esquina arranca con aceleración de 0,003 m/s². En el mismo momento un automóvil lo pasa y sigue con una velocidad constante de 70 km/h, calcular:

a) ¿Cuánto tarda el motociclista en alcanzar al automóvil?

b) ¿A qué distancia de la esquina ocurre esto?

Respuesta: a) 3 h 36 min b) 251,94 km

12) El maquinista de un tren que avanza con una velocidad v1 advierte delante de él, a una distancia d, la cola de un tren de carga que se mueve en su mismo sentido, con un velocidad v2 constante, menor que la suya. Frena entonces, con aceleración constante, determinar el mínimo valor del módulo de dicha aceleración, para evitar el choque.

Respuesta: (v1 - v2) ²/(2.d)

13) Un jugador de fútbol ejecuta un tiro libre, lanzando la pelota con un ángulo de 30° con respecto a la horizontal y con una velocidad de 20 m/s. Un segundo jugador corre para alcanzar la pelota con una velocidad constante, partiendo al mismo tiempo que ella desde 20 m más delante de la posición de disparo. Despreciando el tiempo que necesita para arrancar, calcular con qué velocidad debe correr para alcanzar la pelota cuando ésta llegue al suelo.

Respuesta: 7,52 m/s

14) En el instante en que un semáforo da luz verde, un automóvil, que había estado detenido en el cruce, arranca recto con una aceleración constante de 2 m/s. Al mismo tiempo una camioneta, con velocidad constante de 10 m/s, le da alcance y lo pasa. Determinar:

a) ¿A qué distancia de su punto de partida el automóvil alcanzará a la camioneta?

b) ¿A qué velocidad lo hará?

Respuesta: a) 100 m b) 20 m/s


51

DINAMICA

Estudia el movimiento de los objetos y de su respuesta a las fuerzas. Las descripciones del movimiento comienzan con una definición cuidadosa de magnitudes como el desplazamiento, el tiempo, la velocidad, la aceleración, la masa y la fuerza.

Isaac Newton demostró que la velocidad de los objetos que caen aumenta continuamente durante su caída. Esta aceleración es la misma para objetos pesados o ligeros, siempre que no se tenga en cuenta la resistencia del aire (rozamiento). Newton mejoró este análisis al definir la fuerza y la masa, y relacionarlas con la aceleración.

Para los objetos que se desplazan a velocidades próximas a la velocidad de la luz, las leyes de Newton han sido sustituidas por la teoría de la relatividad de Albert Einstein. Para las partículas atómicas y subatómicas, las leyes de Newton han sido sustituidas por la teoría cuántica. Pero para los fenómenos de la vida diaria, las tres leyes del movimiento de Newton siguen siendo la piedra angular de la dinámica (el estudio de las causas del cambio en el movimiento).

Las leyes del movimiento de Newton

Primera ley de Newton

“Principio de Inercia”: Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea obligado a cambiar su estado por fuerzas impresas sobre él.

El que la fuerza ejercida sobre un objeto sea cero no significa necesariamente que su velocidad sea cero. Si no está sometido a ninguna fuerza, un objeto en movimiento seguirá desplazándose a velocidad constante.

En consecuencia, un cuerpo con movimiento rectilíneo uniforme implica que no existe ninguna fuerza externa neta o, dicho de otra forma, un objeto en movimiento no se detiene de forma natural si no se aplica una fuerza sobre él. En el caso de los cuerpos en reposo, se entiende que su velocidad es cero, por lo que si esta cambia es porque sobre ese cuerpo se ha ejercido una fuerza neta.

Para que haya equilibrio, las componentes horizontales de las fuerzas que actúan sobre un objeto deben cancelarse mutuamente, y lo mismo debe ocurrir con las componentes verticales. Recordar: Para calcular la fuerza total, hay que sumar las fuerzas como vectores.

Primera Condición de Equilibrio en el plano: “La sumatoria de todas las fuerzas aplicadas sobre un cuerpo, debe ser nula”.

Σ Fx = 0

Σ Fy = 0


52

Luego enunciaremos la Segunda Condición de Equilibrio, referida a los momentos o giros que pueden producir un sistema de fuerzas, sobre un cuerpo.

Segunda ley de Newton

“Principio de Masa”: el cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz aplicada y ocurre según su recta de acción.

Si sobre un cuerpo de masa m actúa una fuerza F, esta se acelera con una aceleración a. las tres magnitudes anteriores se relacionan a través de la ecuación:

F = m . a

Una fuerza neta ejercida sobre un objeto lo acelerará, es decir, cambiará su velocidad. La aceleración será proporcional a la magnitud de la fuerza total y tendrá la misma dirección y sentido que ésta. La constante de proporcionalidad es la masa m del objeto. La masa es la medida de la inercia de un cuerpo y es una constante universal.

Unidades: En el Sistema Internacional de unidades (SI), la aceleración a se mide en m/s² (metro por segundo cuadrado), la masa m se mide en kg (kilogramo), y la fuerza F en N (newton).

Un newton se define como la fuerza necesaria para suministrar a una masa de 1 kg una aceleración de 1 metro por segundo cada segundo.

Un objeto con más masa requerirá una fuerza mayor para una aceleración dada que uno con menos masa. La masa, mide la inercia de un objeto (Inercia: su resistencia a cambiar la velocidad),

En particular para la fuerza peso:

P = m.g

Diferencias entre PESO y MASA

Masa Peso

Magnitud Escalar Magnitud Vectorial

Propiedad de un Cuerpo Fuerza: Interacción entre dos cuerpos

Invariable con respecto a su posición Varía con respecto a la posición relativa con otro cuerpo y el

lugar de la Tierra en que se encuentra (o del Universo)


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Tercera ley de Newton

“Principio de Acción y Reacción”: si sobre un cuerpo se aplica una fuerza F, llamada acción, este devolverá una fuerza - F, igual y contraria, llamada reacción.

Es importante destacar que acción y reacción, llamadas Par de Fuerzas, son fuerzas aplicadas sobre distintos cuerpos.

Cuando a un cuerpo se le aplica una fuerza (acción o reacción), este devuelve una fuerza de igual magnitud, igual dirección y de sentido contrario (reacción o acción).

Por ejemplo, en una pista de patinaje sobre hielo, si un adulto empuja suavemente a un niño, no sólo existe la fuerza que el adulto ejerce sobre el niño, sino que el niño ejerce una fuerza igual pero de sentido opuesto sobre el adulto. Sin embargo, como la masa del adulto es mayor, su aceleración será menor.

Las tres leyes de Newton nos permiten estudiar el movimiento de los cuerpos a partir de las fuerzas que actúan sobre ellos. Es necesario que conozcamos cuáles son esas fuerzas y su descomposición según los ejes en la dirección del movimiento y perpendicular a él.

Las principales fuerzas que nos vamos a encontrar al estudiar el movimiento de un cuerpo son: el peso, la Normal y la fuerza de rozamiento (en este curso no lo tendremos en cuenta). Veamos cada una de ellas por separado.

El Peso (m . g)

El peso es la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce la Tierra sobre los cuerpos que hay sobre ella. En la mayoría de los casos se puede suponer que tiene un valor constante e igual al producto de la masa, m, del cuerpo por la aceleración de la gravedad, g, cuyo valor esta

considerado como 9.8 m/s2 (promedio de los puntos de la Tierra)y está dirigida siempre hacia el suelo.

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Fisica/02/leyes.html

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Fisica/02/fuerzas.html#peso

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Fisica/02/fuerzas.html#normal

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Fisica/02/froz.html


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En la figura de la derecha aparecen algunos ejemplos que muestran hacia donde está dirigido el peso en diferentes situaciones: un cuerpo apoyado sobre el suelo y un cuerpo que se mueve por un plano inclinado. El peso

siempre tiene sentido hacia el suelo hacia el suelo.

La Normal (N)

Cuando un cuerpo está apoyado sobre una superficie ejerce una fuerza sobre ella cuya dirección es perpendicular a la de la superficie. De acuerdo con la Tercera ley de Newton, la superficie debe ejercer sobre el cuerpo una fuerza de la misma magnitud y dirección, pero de sentido contrario. Esta fuerza es la que denominamos

Normal y la representamos con N.

En la figura de la izquierda se muestra hacia donde está dirigida la fuerza normal en los dos ejemplos que aparecían en la figura anterior para el peso. Como ya hemos dicho, siempre es perpendicular a la superficie de contacto y está dirigida hacia arriba, es decir, hacia fuera de la superficie de contacto.

Sobre un plano inclinado, la descomposición vectorial del P del cuerpo, genera Px y Py, según las direcciones tangencial y normal del plano.

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Fisica/02/leyes.html#ley3


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Fuerza normal al plano e igual pero de sentido contrario a la componente normal al plano, de la fuerza peso.

N = m . g . cos α .

Centro de gravedad

En cuanto al tamaño o peso del objeto en movimiento, no se presentan problemas matemáticos si el objeto es muy pequeño en relación con las distancias consideradas. Si el objeto es grande, se emplea un punto llamado centro de masas, cuyo movimiento puede considerarse característico de todo el objeto. Si el objeto gira, muchas veces conviene describir su rotación en torno a un eje que pasa por el centro de masas.

El centro de gravedad o baricentro o centro de masas, es un punto donde puede suponerse encontrada todo el área, peso o masa de un cuerpo y tener ante un sistema externo de fuerzas un comportamiento equivalente al cuerpo real.

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

A la hora de resolver un problema de Dinámica, lo primero que hemos de hacer es ver cuales son las fuerzas que actúan sobre cada uno de los cuerpos que aparezcan en el problema. Una vez hecho esto, representar el Diagrama de cuerpo libre para cada uno de los cuerpos que haya no es más que representar para cada cuerpo por separado las fuerzas que actúan sobre él. Veamos un ejemplo de como hacer esto.

Consideremos el sistema que mostramos en el dibujo, formado por dos cuerpos A y B apoyados sobre el suelo. Supongamos que sobre A ejercemos una fuerza F tal como aparece en el dibujo. Suponiendo que no existe rozamiento, vamos a tratar de calcular la aceleración con la que se mueve cada uno de los dos cuerpos.

En primer lugar, tal como hemos dicho antes, hay que ver cuales son las fuerzas que actúan sobre cada cuerpo. Estas fuerzas serán:

Los pesos de cada uno de los cuerpos, cuyo valor es el producto de la masa del cuerpo por la aceleración de la gravedad y que están dirigidos hacia abajo.

Las normales sobre cada uno de los cuerpos que están dirigidas hacia arriba,

Sobre el cuerpo B la fuerza que A realice sobre él, FAB y sobre el cuerpo

A, debido a la Tercera ley de Newton, la fuerza que B realizará sobre A como

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Fisica/02/fuerzas.html#peso

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Fisica/02/fuerzas.html#normal



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reacción, FBA. Los sentidos de estas fuerzas son los que se muestran en el dibujo y sobre el cuerpo A, la fuerza F que le estamos aplicando nosotros.

Una vez hecho esto, representar los Diagramas de cuerpo libre es bastante sencillo. Sólo hay que ir dibujando para cada cuerpo por separado, las fuerzas que actúan sobre él, tal como se muestra en las dos figuras siguientes:

El siguiente paso para resolver el problema consiste en hacer uso de la Segunda ley de Newton para relacionar las fuerzas que actúan sobre cada cuerpo con las aceleraciones de cada uno de ellos. Como las fuerzas son vectores, habrá que aplicar la Segunda ley de Newton para cada una de las componentes de la fuerza (generalmente las componentes x e y). Para ello elegiremos un sistema de referencia. Esto no es más que decidir que dirección será el eje x y cúal el eje y y cuales serán los sentidos positivo y negativo. Una vez decididos cuales serán los ejes de coordenadas, sólo tenemos que escribir la ecuación F = m.a para cada eje.

Comencemos con el cuerpo A. En primer lugar, vamos a elegir los ejes de coordenadas. En este caso es fácil hacer la elección, el eje x será paralelo al suelo y el eje y perpendicular a éste, tal como se muestra en el dibujo. Tomaremos como positivas la parte derecha del eje x y la parte superior del eje y

Vamos a aplicar ahora la Segunda ley de Newton en cada uno de los ejes.

En el eje y, las fuerzas que hay son la Normal y el Peso con sentido contrario. De acuerdo con el convenio que hemos decidido antes, la Normal será positiva y el Peso negativo. Tenemos así:

NA - mA·g = mA·aAy

Ahora bien, los dos cuerpos se van a mover por el suelo, por lo que no habrá movimiento en la dirección y. La aceleración en esa dirección debe ser, por tanto, cero. Nos queda entonces:

NA - mA·g = 0

De aquí podemos obtener el valor de la normal para el cuerpo A:



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NA = mA·g

Veamos que sucede en la dirección del eje x. Las fuerzas que hay son la fuerza F que aplicamos nosotros y la fuerza que el cuerpo B ejerce sobre A, FBA. La primera tendría sentido positivo y la segunda negativo, de acuerdo con los ejes que hemos elegido anteriormente. De esta manera, al aplicar la Segunda ley de Newton obtenemos:

F - FBA = mA·aA

Con esta ecuación no podemos calcular nada más por ahora, ya que desconocemos cuanto vale FBA. Vamos a ver entonces qué ecuaciones obtenemos para el cuerpo B.

Para el cuerpo B tomaremos el mismo sistema de ejes que para A y el mismo criterio de signos. En el eje y procedemos exactamente igual que para el cuerpo A ya que tenemos la normal y el peso solamente. Igual que entonces, la aceleración en el eje y será cero puesto que el cuerpo ni se levanta ni se hunde en el suelo. Nos quedará entonces que:

NB = mB·g

o sea, que la normal que actúa sobre B es igual al peso de B.

En la dirección x, la única fuerza que actúa sobre el cuerpo B es la que ejerce A sobre él, FAB. Por tanto, la Segunda ley de Newton nos dice que:

FAB = mB·aB

En esta ecuación desconocemos tanto la fuerza como la aceleración del cuerpo B. Ahora bien, por la Tercera ley de Newton, las fuerzas FAB y FBA, tienen el mismo valor (aunque sentido contrario, tal como las hemos representado en los dibujos). Además, como los dos cuerpos se mueven conjuntamente, las aceleraciones tienen que ser las mismas ya que si no lo fueran, los cuerpos se separarían al moverse uno más rápido que el otro. Por tanto:

aA = aB = a

FBA = FAB

De esta forma, las ecuaciones para el eje x en los dos cuerpos quedan de la siguiente manera:

F - FBA = mA·a

FBA = mB·a



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Con lo cual tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (a y FBA). Si sustituimos en la primera ecuación el valor de FBA que nos da la segunda ecuación y despejamos la aceleración obtenemos:

a = F / (mA + mB)

Hemos obtenido así la aceleración con la que se mueven los dos cuerpos.

PASOS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE DINÁMICA

1.- Dibujar las fuerzas que actúan sobre cada uno de los cuerpos.

2.- Representar el Diagrama de cuerpo libre para cada cuerpo que aparezca

en el problema (si hay más de uno).

4.- Elegir los ejes de coordenadas para el cálculo, procurando que uno de los

ejes tenga la dirección del movimiento, el otro perpendicular.

5.- Elegir un criterio de signos.

6.- Escribir la Segunda ley de Newton para cada uno de los ejes

7.- Resolver el sistema de ecuaciones que nos aparece


1) Si se tira de los extremos de una cuerda en equilibrio con dos fuerzas iguales y de dirección opuesta, ¿por qué la tensión total en la cuerda es cero?

2) Un caballo está enganchado a un carro. Como el carro tira del caballo hacia atrás con la misma fuerza que éste tira del carro, ¿por qué no permanece el carro en equilibrio, independientemente de lo que tire el caballo?

3) ¿Cómo se puede empujar hacia abajo el pedal de una bicicleta y lograr que la bicicleta se mueva hacia adelante?

4) Defina el Newton.

5) ¿Cuál es la unidad de masa en el SIMELA?

6) Enuncia el principio de acción y reacción.

7) ¿Cómo enuncia el principio de masa?.

8) El peso ¿es una constante o una variable del cuerpo?.

Vamos a ver ahora una serie de ejemplos de problemas de Dinámica donde aplicamos los conceptos que hemos visto hasta ahora. En general, los problemas de Dinámica consisten en determinar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo y la aceleración con la que se mueve dicho cuerpo. Para esto hay que hacer uso de la Segunda ley de Newton, que nos relaciona las fuerzas con la aceleración.



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EJERCICIOS

1) Calcular la masa de un cuerpo que al recibir una fuerza de 20 N adquiere una aceleración de 5 m/s ².

Respuesta: 4 kg

2) ¿Qué masa tiene una persona de 65 kgf de peso en:

a) Un lugar donde la aceleración de la gravedad es de 9,8 m/s ².

b) Otro lugar donde la aceleración de la gravedad es de 9,7 m/s ².

Respuesta: 66,33 kg y 67,01 kg

3) Si la gravedad de la Luna es de 1,62 m/s ², calcular el peso de una persona en ella, que en la Tierra es de 80 kgf.

Respuesta: 13,22 kgf

4) ¿Qué aceleración tiene un cuerpo que pesa 40 kgf, cuando actúa sobre él una fuerza de 50 N?.

Respuesta: 1,25 m/s ²

5) Calcular la masa de un cuerpo que aumenta su velocidad en 1,8 km/h en cada segundo cuando se le aplica una fuerza de 60 kgf.

Respuesta: 120 kg

6) Si al tirar de una masa m1, ésta experimenta una aceleración a, ¿cuál debe ser la masa m2 que se agrega, como indica la figura, para que tirando con la misma fuerza, la aceleración que logre el sistema sea a/2?.

Respuesta: a.m1/(2.g +a)

7) Las masas A, B, C, deslizan sobre una superficie horizontal debido a la fuerza aplicada F = 10 N. Calcular la fuerza que A ejerce sobre B y la fuerza que B ejerce sobre C.


60

Datos: m A =10 kg

m B = 7 kg

m C = 5 kg

Respuesta: 4,54 N y 3,18 N

8) Un cuerpo de masa m, se suelta en el punto más alto de una superficie semiesférica de 3 m de radio, y resbala sin rozamiento. Determinar el punto en cual deja de tener contacto con la superficie.

Respuesta: 3 m

9) Un alpinista baja deslizándose por una cuerda de manera que su aceleración de descenso es de 1/8 de g, calcular la tensión de la cuerda.

Respuesta: 7/8 de su peso

10) Un paracaidista de 80 kgf de peso, salta a 5000 m de altura. Abre su paracaídas a 4820 m y en 10 s reduce su velocidad a la mitad. Calcular la tensión en cada uno de los 12 cordones que tiene el paracaídas.

Respuesta: 240 N

11) ¿Cuál será el peso de un cuerpo en un lugar donde la aceleración de la gravedad es de 9,7969 m/s ², si en un lugar donde la gravedad es normal pesa 30 N?.

Respuesta: 29,97 N

2) Determinar el peso de un cuerpo en un lugar donde g = 980,66 cm/s ², si por una fuerza constante de 16 N, posee una aceleración de 8m/s ².

Respuesta: 19,61 m/s²

3) A un cuerpo que pesa 50 N, se le aplica una fuerza constante de 10 N, determinar:

a) ¿Cuál es su masa?.

b) ¿Qué aceleración le imprime la fuerza?.

Respuesta: a) 5 kg, b) 2 m/s²

4) Un cuerpo de masa m = 10 kg esta apoyado sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Una persona tira una soga inextensible fija al bloque, en dirección horizontal, con una fuerza de 20 N.

a) Analizar cuales son los pares de acción y reacción en las intersecciones de la mano con la soga, la soga con el bloque, el bloque con la tierra y con el plano sobre el que esta apoyado.


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b) Calcular la aceleración del bloque, suponiendo despreciable la masa de la soga.

Respuesta: b) 2 m/s²

5) En el sistema de la figura, la fuerza aplicada a la cuerda AB es de 40 N, el cuerpo pesa 50 N. Despreciando el rozamiento, determinar:

a) El módulo de la fuerza de vínculo (reacción del plano).

b) El módulo de la aceleración del cuerpo puntual.

Respuesta: a) 25,93 N, b) 6,39 m/s²

6) Un cuerpo de masa m = 60 kg esta apoyado sobre un plano de inclinación 37°, como muestra la figura. La intensidad de la fuerza F que ejerce la soga AB es de 500 N. Despreciando el rozamiento, calcular el módulo de la aceleración del bloque.

Respuesta: 0,637 m/s²

7) Dos bloques están en contacto como muestra la figura, sobre una mesa. Se aplica una fuerza horizontal constante de 3 N. Si m1 = 2 kg y m2 = 1 kg, despreciando el rozamiento calcular:

a) La aceleración que adquiere el sistema.

b) La fuerza de interacción entre ambos cuerpos.

Respuesta: a) 1 m/s², b) 2 N y -1 N

8) Determinar la fuerza F necesaria para mover el sistema de la figura, considerando nulos los rozamientos, si la aceleración adquirida por el sistema es de 5 m/s ².

Datos:

a = 5 m/s ²


62

m1 = 5 kg

m2 = 12 kg

m3 = 15 kg

Para calcular la fuerza necesaria para mover una masa simplemente se plantea la situación de equilibrio:

∑F = 0

Si hay movimiento:

∑F = m.a F1 + F2 + F3 = R m1.a + m2.a + m3.a = R (m1 + m2 + m3).a = R = (5 kg + 12 kg + 15 kg).5 m/s ² R = 160 N

9) Calcular la fuerza máxima en la dirección de la base del plano que hay que ejercer, para que el cuerpo no se mueva, así como la fuerza mínima.

m = 5 kg

α = 30°

Respuesta: 52,85 N y 11,72 N

10) Un cuerpo de masa 3 kg está sometido a la acción de dos fuerzas de 6 N y 4 N dispuestas perpendicularmente, como indica la figura, determinar la aceleración y su dirección

Datos:

m = 3 kg

F1 = 4 N

F2 = 6 N

El esquema es el siguiente:

Primero calculamos la fuerza resultante por Pitágoras:


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R² = F1² + F2² = (4 N)² + (6 N)² R = 7,21 N

Ahora calculamos la aceleración:

R = m.a a = R / m = 7,21 N / 3 kg a = 2,4 m/s ²

Calculamos la dirección con respecto a F2:

tg α = F1 / F2 α = arctg (F1 / F2) = arctg (4 N / 6 N) = arctg (0,67) α = 33° 41´ 24"

11) Un cuerpo posee una velocidad de 20 cm/s y actúa sobre él una fuerza de 120 N que después de 5 s le hace adquirir una velocidad de 8 cm/s. ¿Cuál es la masa del cuerpo?.

Datos:

F = 120 N

v1 = 20 cm/s = 20 cm/s.(1 m/100 cm) = 0,2 m/s

v2 = 8 cm/s = 8 cm/s.(1 m/100 cm) = 0,08 m/s

t = 5 s

De acuerdo a los datos la fuerza le produce a la masa una desaceleración.

Primero, empleando ecuaciones de cinemática, calculamos la aceleración (negativa) producida por la fuerza.

v2 - v1 = a.t a = (v2 - v1) / t = (0,08 m/s - 0,2 m/s) / 5 s a = -0,024 m/s ²

Luego:

F = m.a m = F / a = -120 N / (-0,024 m/s ²) m = 5000 kg

12) Impulsado por una carga explosiva, un proyectil de 250 N atraviesa la cámara de fuego de un arma de 2 m de longitud con una velocidad de 50 m/s, ¿Cuál es la fuerza desarrollada por la carga explosiva?.

Datos:

P = 250 N

d = 2 m

v2 = 50 m/s

Calculamos la masa del proyectil:

P = m.g m = P / a = 250 N / (10 m/s ²) m = 25 kg

Mediante cinemática calculamos la aceleración:


64

v2 ² - v1 ² = 2.a.d

Como la velocidad inicial es nula:

v2 ² = 2.a.d a = v2 ²/(2.d) = (50 m/s) ²/(2.2 m) a = 625 m/s ²

Luego la fuerza:

F = m.a = 25 kg.625 m/s ² F = 15625 N

12) Una fuerza de 10 kgf actúa sobre una masa que se desplaza con una velocidad de 20 cm/s y al cabo de 5 s le hace adquirir una velocidad de 8 cm/s, ¿cuál es la masa del cuerpo?.

Datos:

F = 10 kgf = 10 kgf.(9,80665 m/s ²) / 1 kgf = 98,0665 N

v1 = 20 cm/s = 20 cm/s.(1 m / 100 cm) = 0,2 m/s

v2 = 8 cm/s = 8 cm/s.(1 m / 100 cm) = 0,08 m/s

t = 5 s

De acuerdo a los datos la fuerza le produce a la masa una desaceleración.

F = -98,0665 N


v2 - v1 = a.t a = (v2 - v1) / t = (0,08 m/s - 0,2 m/s) / 5 s a = -0,024 m/s ²

Luego:

F = m.a m = F/a = -98,0665 N / (-0,024 m/s ²) m = 4086,1 kg

13) Si la tensión en el cable de un ascensor es de 2800 N, el peso del ascensor es de 300 kgf y transporta a una persona de 80 kgf de peso. Calcular:

a) ¿Qué aceleración tiene?.

b) ¿El ascensor sube o baja?.

Datos:

T = 2800 N

PA = 300 kgf = 300 kgf.(9,80665 m/s ²)/ 1 kgf = 2942 N

PP = 80 kgf = 80 kgf.(9,80665 m/s ²)/ 1 kgf = 784,5 N


65

a) La condición de equilibrio es: ∑F = 0

Pero como hay movimiento: ∑F = m.a

La masa es: m = (PA + PP) / g = (2942 N + 784,5 N) / 10 m/s²

m = 372,65 kg

Las fuerzas sobre el eje (tomando el eje positivo hacia arriba) son:

T - PA - PP = m.a a = (T - PA - PP) / m= (2800 N - 2942 N - 784,5 N) / 372,65 kg a = -2,49 m/s ²

b) Como la aceleración del sistema es negativa el ascensor desciende

14) Calcular para el sistema de la figura su aceleración y la tensión en la cuerda si m1 = 12 kg, m2 = 8 kg y α = 30°.

Datos:

m1 = 12 kg

m2 = 8 kg

α = 30°

Los gráficos correspondientes a las masas puntuales son:

Nos interesa particularmente el movimiento a lo largo del eje "x", la condición de equilibrio es:

∑ Fx = 0

Pero como hay movimiento:

∑ Fx = m.a

La ecuación en el eje "x" es:

P2x - T = m2.a T = P2.sen 30° - m2.a (para la masa 2)

T = m1.a (para la masa 1)

Igualando:

m1.a = P2.sen 30° - m2.a m1.a + m2.a = P2.sen 30° (m1 + m2).a = P2.sen 30° a = P2.sen 30°/(m1 + m2) = 8 kg.(10 m/s ²).0,5/(12 kg + 8 kg) = 40 N/20 kg a = 2 m/s ²


66

Luego:

T = m1.a T = 12 kg.2 m/s ² T = 24 N

15) Con los datos del problema anterior calcular α para que el sistema tenga una aceleración de 3 m/s ².

Datos:

m1 = 12 kg

m2 = 8 kg

a = 3 m/s ²

Los gráficos son los mismos del ejercicio n° 3.

Para el caso:

∑ Fx = m.a

P2x - T = m2.a T = P2.sen α - m2.a (para la masa 2)

T = m1.a (para la masa 1)

Igualando:

m1.a = P2.sen α - m2.a m1.a + m2.a = P2.sen α (m1 + m2).a/P2 = sen α

sen α = (12 kg + 8 kg).(3 m/s ²)/(8 kg.10 m/s ²) = 0,75

α = arcsen 0,75 α = 48° 35´ 25"

16) Sea un paralelepípedo rectángulo de hierro (δ = 7,8 g/cm ³) cuya base es de 32 cm ² y su altura es de 20 cm, determinar:

a) La masa.

b) La aceleración que le provocará una fuerza constante de 100 N.

c) La distancia recorrida durante 30 s.

Datos:

b = 32 cm ²

h = 20 cm

δ = 7,8 g/cm ³

F = 100 N

t = 30 s

a) La masa la hallamos mediante la fórmula de densidad.

δ = m/V m = δ.V = (7,8 g/cm ³).(32 cm ².20 cm) = 4992 g m = 5 kg

b)

F = m.a a = F / m = 100 N / 5 kg a = 20 m/s ²

c) Suponiendo que parte del reposo.

e = v1.t + ½.a.t² = ½.a.t² = ½.(20 m/s ²).(30 s) ² e = 9000 m

17) Sobre un cuerpo actúa una fuerza constante de 50 N mediante la cual adquiere una aceleración de 1,5 m/s ², determinar:

a) La masa del cuerpo.

b) Su velocidad a los 10 s.


67

c) La distancia recorrida en ese tiempo.

Datos:

a = 1,5 m/s ²

F = 50 N

t = 10 s

a) F = m.a m = F / a = 50 N/1,5 m/s ² m = 33,33 kg

b) Como parte del reposo:

v = a.t = (1,5 m/s ²).10 s v = 15 m/s

c)

e = ½.a.t² = ½.(1,5 m/s ²).(10 s)² e = 75 m

18) ¿Cuál será la intensidad de una fuerza constante al actuar sobre un cuerpo que pesa 50 N si después de 10 s ha recorrido 300 m?.

Datos:

P = 50 N

t = 10 s

e = 300 m

Primero calculamos la aceleración:

e = ½.a.t ² a = 2.e/t ² a = 2.300 m/(10 s)² = 6 m/s ²

Ahora calculamos la masa del cuerpo:

P = m.g m = P / g = 50 N / (10 m/s ²) m = 5 kg

Con estos datos calculamos la fuerza:

F = m.a = 5 kg.6 m/s ² F = 30 N

19) ¿Cuál será la fuerza aplicada a un cuerpo que pesa 12800 N si lo hace detener en 35 s?, la velocidad en el instante de aplicar la fuerza era de 80 km/h.

Datos:

P = 12800 N

t = 35 s

v1 = 80 km/h = (80 km/h).(1000 m/1 km).(1 h/3600 s) = 22,22 m/s

v2 = 0 m/s


v2 - v1 = a.t a = - v1 / t = (- 22,22 m/s) / 35 s = -0,635 m/s ²

La masa resulta:

P = m.g m = P / a = 12800 N / (10 m/s ²) m = 1280 kg

Luego:

F = m.a = 1280 kg.(-0,635 m/s ²)

F = -812,7 N

La fuerza es contraria al movimiento.

20) Calcular la masa de un cuerpo que al recibir una fuerza de 20 kgf adquiere una aceleración de 5 m/s

2. Expresar el resultado en los tres sistemas.


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21) ¿Qué masa tiene una persona de 65 kgf de peso en:

a.- Un lugar donde la aceleración de la gravedad es de 9,8 m/s2.

b.- ¿Es más gordo o más flaco en otro lugar donde la aceleración de la gravedad es de 9,7 m/s

2?

22) Si la gravedad de la Luna es de 1,62 m/s2, calcular el peso de una persona en ella,

que en la Tierra es de 80 kgf.

23) ¿Qué aceleración tiene un cuerpo que pesa 40 kg, cuando actúa sobre él una fuerza de 50 N?

24) Un vehículo tiene una masa de 100 kg y actúa sobre él una fuerza de 50 kg. ¿Qué aceleración adquiere?

25) Un cuerpo que marcha a una velocidad de 144 Km/h es frenado por una fuerza constante en 10 segundos. Calcular en los tres sistemas el valor de la fuerza de los frenos, sabiendo que su masa es de 1960 kg.

26) ¿Cuánto pesa, en SI, un objeto de 25,5 grs. de masa?

27) Calcule la masa de un objeto al que una fuerza constante de 300 N le produce una aceleración de 50 . 10

-3 m / seg

2.

28) Un cuerpo de masa 1600 g se desplaza a 20 m/s, en ese instante recibe una fuerza, en igual dirección y sentido que su desplazamiento de 96 N. Averiguar: a) Aceleración que adquiere el cuerpo. b) Velocidad que alcanza a los 10 segundos. c) Espacio recorrido en ese tiempo.

29) A un cuerpo de 98 kg, le aplico una fuerza de 196 N. ¿Qué aceleración le produce, y cuál será su velocidad al cabo de 1 minuto?

30) Sobre un ciclomotor de 100 kg. de masa actúa una fuerza constante de 40 kg; ¿Cuál será su velocidad al cabo de 10 segundos y el espacio recorrido en ese tiempo?

31) Un automóvil de 1000 kg de masa marcha a 100 km/h, frena uniformemente y se detiene después de 5 segundos. Calcular:

a.- la fuerza de frenado.

b.- ¿Quién ejerce esa fuerza?

32) Calcular la masa de un cuerpo que aumenta su velocidad en 1,8 km/h en cada segundo cuando se le aplica una fuerza de 60 kg.

33) Un patín que pesa 0,5 kg, adquiere una aceleración de 40 cm/s2 .¿Cuál es el valor

de la fuerza en SI que intervino?


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WEBGRAFÍA

La siguiente es una lista de las páginas web visitadas en esta recopilación. Pueden no parecerte muchas, en realidad no lo son. Sucede que, cada una, es tan rica en si misma que no presenta desperdicio, incluso para los posteriores cursos de Física.

El Centro de Estudiantes Tecnológicos es el poseedor de la copia digital del presente documento. Por favor diríjanse a ellos para realizar cualquier corrección que les parezca oportuna. Los primeros beneficiados serán los alumnos.

http://www.resueltoscbc.com.ar/teoricos/fisica/pdf/T1-1.pdf

http://neuro.qi.fcen.uba.ar/ricuti/index.html

http://www.elprisma.com/apuntes/curso.asp?id=5968

http://www.mitecnologico.com/Main/IntroduccionALaEstaticaDeLaParticula

http://www.fisicanet.com.ar/

http://www.resueltoscbc.com.ar/teoricos/fisica/pdf/T1-1.pdf

http://neuro.qi.fcen.uba.ar/ricuti/index.html


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No quiero terminar esta recopilación de saberes de Física sin agradecer

a quienes hicieron posible esta obra:

Al Centro de Estudiantes Tecnológicos (CET), por haber sentido la

necesidad de la creación de este material y confiado en mí a la hora de

su ejecución.

A “mi Docente” en esta Casa, siempre atento a correcciones en mi

plano pedagógico…

A “mis Jefes” quienes, muchos de ellos sin saberlo, me incentivan

en “la otra forma de enseñar”…

A “mis Compañeros Profesores”, por su paciencia y dedicación, a

la hora de las consultas…

A “Nuestros Ingresantes”, a quienes va dirigido, esperando les sea

de suma utilidad. No olvido nunca que serán los encargados de corregir

los errores, que involuntariamente se han deslizado sobre sus páginas…

A “mis alumnos”, desde los más chiquitos hasta los adultos, y sin

los cuales, esto no tendría sentido…

A todos Uds que creyeron en mi….

GRACIAS!!!!!!!!!!!!!!!

Prof. IVÁN MARTÍNEZ

guia adicional de fisica

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