guia 2do. año secundaria matematicas
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Gua didctica
para el docente
Nu
eva
ed
icin
Desarrollar
competenciaspara la
sociedad delconocimiento
MAT
EMTICAS
SECUNDARIA
SEGUNDOGRADO
EJEMPLAR DEOBSEQUIO
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EDITEC S. A. de C. V.
Produccin
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Gua didctica para el docente
Fractal 2. Matemticas
serie Construir,
2do. grado de secundaria
Primera edicin, 2007
Segunda edicin, 2008D. R. SM de Ediciones, S.A. de C.V., 2008
Magdalena 211, Colonia del Valle,
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Fractal 2. Matemticas
Primera edicin, 2007
Tercera edicin, 2011
D. R. SM de Ediciones, S.A. de C.V., 2011
Magdalena 211, Colonia del Valle,
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Impreso en Mxico/Printed in Mexico
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ndice
Presentacin ..................................................................... 4I. Panorama de la educacin bsica secundaria en Mxico .... 5
II. Caractersticas de los jvenes que asisten a la educacinsecundaria ................................................................... 8
III. Caractersticas de los jvenes que asisten a la secundariaen Mxico ................................................................. 9
Bloque 1 ......................................................................... 11
Bloque 2 ...................................................................... 77
Bloque 3 ..................................................................... 125Bloque 4 .................................................................... 165
Bloque 5 ................................................................... 207
Anexos ...................................................................... 237
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Esta gua tiene el propsito de apoyarlo en su labor dentro del aula deuna manera prctica y sencilla. En ella encontrar el panorama sobrela educacin bsica secundaria y la Reforma de Educacin Secun-
daria 2006, as como la descripcin de las caractersticas de los jvenes queasisten a la educacin secundaria.
Adems, en cada pgina aparecen el solucionario de las actividadesy ejercicios del libro de texto, sugerencias didcticas adicionales para apoyarel trabajo en el aula, criterios para valorar el desempeo de los estudiantes yalgunas recomendaciones para trabajar con otros recursos, como pueden serlas Tecnologas de la Informacin y la Comunicacin ().
Presentacin
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Adems, la asistencia a la secundaria representa, para todos los alumnos,la adquisicin de los conocimientos, el desarrollo de habilidades, as como laconstruccin de valores y actitudes, es decir, la formacin en las competenciaspropuestas por el currculo comn, a partir del contexto nacional pluriculturaly de la especificidad de cada contexto regional, estatal y comunitario.2
Debido a lo anterior, la secundaria debe ser el espacio propicio para el de-sarrollo de capacidades como la reflexin, el anlisis crtico, la produccin, el
intercambio de conocimientos, el cuidado de la salud y el ambiente para quelos alumnos aprendan a aprender durante toda su vida y sean partcipes acti-vos, conscientes y responsables de una sociedad en continua transformacin.Para hacer que la educacin bsica secundaria sea la plataforma comn paratodos los mexicanos3es necesario tomar en cuenta: 1) el perfil de egreso, 2)las competencias para la vida, 3) los elementos centrales del currculo y 4)las caractersticas del plan y programas de estudio.
2Ibidem, p. 83Loc. cit.
I. Panorama de la educacin bsica secundaria en Mxico
Entre los compromisos que el Estado mexicano asumi, est el poderbrindar una educacin bsica secundaria democrtica, nacional, inter-cultural, laica y obligatoria que favorezca el desarrollo del individuo y desu comunidad, as como el sentido de pertenencia a una nacin multi-cultural y plurilinge, y la conciencia de solidaridad internacional de los
educandos.1
Por lo anterior, la educacin secundaria responde a las caractersticas y alos cambios continuos de la sociedad; es decir, reconoce la multiculturalidady la diversidad e impulsa la educacin intercultural, flexible, incluyente, glo-bal y que promueve la formacin en valores. Atenta a esta tnica, la secunda-ria brindar a los estudiantes bases slidas para participar de manera activa,consciente y responsable en su entorno inmediato.
1Secretara de Educacin Pblica. Las finalidades de la educacin bsica. En Plan de Estudios
2006. Mxico, , 2006, p. 7
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Existen otros elementos que sustentan la definicin del currculo para la educacin secundaria como:
nfasis en el desarrollo decompetencias y definicinde aprendizajes esperados.
Profundizacin en elestudio de contenidosfundamentales.
El currculo como dispositivode cambio en la organizacinde la vida escolar.
Articulacin con los niveles
anteriores de educacin bsica.
Interculturalidad.Incorporacin de temas quese abordan en ms de unaasignatura; los campos son:educacin ambiental, formacinen valores y educacin sexualy equidad y gnero.
Caractersticas de los jvenesen edad de asistira la educacin secundaria.
Reconocimiento de la
realidad de los estudiantes.
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Dosificacin
Debido a que el tiempo que dedica a cada apartado de Conocimientos y habilidades o leccin depende, engran parte, de su forma de trabajo y de las caractersticas de sus grupos, esta tabla es una propuesta que
usted podr modificar de acuerdo con el ritmo que marque el grupo, las fechas de entrega de calificaciones
o las eventualidades que surjan (suspensiones, juntas, etc.). En aquellas semanas en que el tiempo lo permita,
S E M A N A S
1 2 3 4
BLOQ
UES
1
1.1.Multiplicacin ydivisin de nmeroscon signo(lecciones 1 a 4)
1.2.Adicin y sustraccin deexpresiones algebraicas(lecciones 5 a 7)
1.3.Expresiones algebraicas
equivalentes(leccin 8)
1.3.Expresionesalgebraicasequivalentes(leccin 9 )
1.4.Estimar y medirngulos(lecciones 10 a 12)
1.5.Posicionesrelativas de rectas.ngulos entre dosrectas que se cortan(lecciones 13 a 16)
2
2.1.Jerarqua deoperaciones y usode parntesis
(lecciones 32 a 34)
2.2.Multiplicacin deexpresiones algebraicas(lecciones 35 a 37)
2.3.Caractersticas ydesarrollos planos decubos, prismasy pirmides(lecciones 38 a 41)
2.4.Frmulas delvolumen de cubos,prismas y pirmidesrectos(lecciones 42 y 43)
3
3.1.Sucesiones de
nmeros con signo(lecciones 53 a 55)
3.2.Ecuaciones del tipo
axbxcdxexf(lecciones 56 a 58)
3.3.Funciones de la
forma yaxbasociadas a diversosfenmenos
(lecciones 59 a 61)
3.4.Frmula para
la suma de ngulosinteriores decualquier polgono
(lecciones 62 y 63)
4
4.1.Potencias.Notacin cientfica(lecciones 70 a 72)
4.2.Criterios de congruenciade tringulos(lecciones 73 a 76)
4.3.Alturas,medianas,mediatrices ybisectrices deun tringulo(lecciones 77 y 78)
4.3.Alturas,medianas,mediatrices ybisectricesde un tringulo(lecciones 79 y 80)
5
5.1.Sistemas deecuaciones concoeficientes enteros
(leccin 88)
5.3.Representacin grficade un sistema de ecuaciones(lecciones 89 y 90)
5.1.Sistemas deecuaciones concoeficientes enteros(sustitucin)(lecciones 95 a 97)
5.2.Transformacionesen el plano(lecciones 91 a 94)
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Gua de usoDosificacin
podr trabajar las actividades de Las matemticas en as como Y para terminar o adelantar el trabajo de otrosapartados si no es suficiente el tiempo asignado en la tabla. Los colores sealan al eje que corresponde a cada
apartado: en azulel eje Sentido numrico y pensamiento algebraico; en amarilloForma espacio y medida; y enverdeManejo de la informacin. Cabe sealar que la redaccin de los apartados ha sido simplificada.
S E M A N A S
5 6 7 8 9
1.6.ngulosentre paralelas.ngulos interioresde tringulos ycuadrilteros(lecciones 17 a 20)
1.7.Relacinproporcional: factorinverso y factor deproporcionalidadfraccionario(lecciones 21 a 24)
1.8.Proporcionalidadmltiple
(lecciones 25 y 26)
1.9. Problemasde conteo(lecciones 27 y 28)
1.10.Polgonosde frecuencia(lecciones 29 a 31)
Repasemoslo aprendido
(pginas 78 y 79)
Evaluacin
del bloque 1
2.5.Clculo delvolumen de cubos,prismas y pirmides.Conversionesde medidas devolumen-capacidad(lecciones 44 y 45)
2.6.Comparacinde razones(lecciones 46 a 48)
2.7.Medidas detendencia central(lecciones 49 a 52)
Repasemoslo aprendido
(pginas 126 y 127)
Evaluacindel bloque 2
3.5.Recubrimientosdel plano(lecciones 64 y 65)
3.6.Grficas derelaciones lineales dediversos fenmenos(leccin 66)
3.7.Anlisis dela grfica dey
mx
bcuandompermanececonstante y bvara(lecciones 67 y 68)
3.8.Anlisis dela grfica dey
mx
bcuandobpermanececonstante y mvara(leccin 69)
Repasemoslo aprendido
(pginas 166 y 167)
Evaluacindel bloque 3
4.4.Probabilidadde ocurrenciade eventosindependientes(lecciones 81 a 83)
4.5.Grficas de lnea
(lecciones 84 y 85)
4.6.Grficasformadas porsegmentos de recta(lecciones 86 y 87)
Repasemoslo aprendido
(pginas 208 y 209)
Evaluacindel bloque 4
5.4.Probabilidadde ocurrencia deeventos mutuamenteexcluyentes(lecciones 98 y 99)
Repasemoslo aprendido
(pginas 238 y 239)
Evaluacindel bloque 5
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ndice
Leccin 96. Otras tcnicas para resolversistemas de ecuaciones II
230 5.1. Representar con literales los valores desconocidos de unproblema y usarlas para plantear y resolver un sistema deecuaciones con coeficientes enteros.
Leccin 97. Problemas diversos 232
Leccin 98. Independientes o noindependientes
234 5.4. Distinguir en diversas situaciones de azar eventos queson mutuamente excluyentes. Determinar la forma en quese puede calcular la probabilidad de ocurrencia.
4.4. Distinguir en diversas situaciones de azar eventos queson independientes. Determinar la forma en que se puedecalcular la probabilidad de ocurrencia de dos o ms eventosindependientes.
Leccin 99. Problemas con urnas 236
Repasemos lo aprendido 238
Las matemticas en una tira de papel 240
Y para terminar 242
Anexos 243
Bibliografa 254
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Sugerencias didcticasComo introduccin a este primer bloque, el profesor puede pedir a losestudiantes que busquen un evento de su vida cotidiana en el que sean
necesarios los nmeros negativos (ya que ser el tema de leccin 1),es decir, que describan una situacin no cuantificable con los nmerosnaturales.
Tambin es importante que les hable de los contenidos del bloque,que en gran medida se enfocarn a la construccin de un lenguajealgebraico; puede recomendarles que repasen operaciones aritmticasde todo tipo (con parntesis, quebrados, etc.) ya que esto les ser muytil durante todo el bloque.
Valoracin del desempeo Que el estudiante tenga los conocimientos previos para abordar los
temas del bloque.
Otros recursosComo apoyo didctico para abordar los temas le recomendamos lasiguiente bibliografa: F.J. Briales y M. Jimnez. (1988):Matemtica viva. B.R.E.D.A.
(Alhambra). J. de Lange, y otros (1989):Las matemticas en la enseanza
secundaria. ICE de Salamanca.
15
El pueblo babilnico fue el que comenz a utilizar el sis-
tema sexagesimal (de base 60); dividieron la esfera ce-
leste en 360 grados y cada grado en 60 minutos. As, la
medicin del tiempo qued estrechamente ligada con la
medicin de los ngulos. El da fue dividido en 12 horasdobles: 12 horas de da-luz y 12 horas de noche. Cada
hora a su vez se fraccion en 60 minutos.
Aunque este sistema es un poco ms difcil que el deci-
mal, es el que usamos actualmente para medir el tiempo
y los ngulos.
En este bloqueaprenders a:Resolver problemas
que implican efectuar sumas,
restas, multiplicaciones
y/o divisiones de nmeros
con signo. Justificar la suma de los ngulos
internos de cualquier tringulo
o cuadriltero.
Resolver problemas de conteo
mediante clculos numricos.
Resolver problemas
de valor faltante considerando
ms de dos conjuntos
de cantidades.
Interpretar y construir polgonos
de frecuencia.
BLOQUE 1
Torred
elRelojdelPalaciodeWestminster(Big
Ben),enLondres,Inglaterra.
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Sugerencias didcticasComo se trata de los primeros acercamientos que el alumno tiene con
los nmeros negativos, sugerimos utilizar al mximo la recta numrica
haciendo nfasis en que siempre que se sume un nmero negativo, elavance en dicha recta ser hacia la izquierda; esto ayudar al alumno a
visualizar las operaciones con este tipo de nmeros.
Para que se familiarice con el uso de las rectas numricas, podr
elaborar en su cuaderno una serie y representar en ellas las operaciones
del ejercicio 3.
Es muy importante que quede claro el significado de multiplicar
un nmero negativo por un positivo: sugerimos hacer nfasis en la
informacin del rectngulo 2, recalcando la siguiente igualdad:5a= 5(a)
En el ejercicio 5 es importante aclarar que el cero es el nico nmero
que no tiene signo, y que al multiplicar cualquier nmero por (1)
deber cambiar su signo.
Finalmente, en el ejercicio 6 se uti lizarn tres factores en la
multiplicacin; para ello ser necesario hacer mencin de lapropiedadasociativade la multiplicacin.
10
1
Leccin 1
10
16 14 1210 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
24 21 18 15 12 369 0 3 6 9 12
16 12 30
12 8 15
8 4 0
4 0 15 0 4 30
4 8
8
12
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18
3
3 x 6 = 18
( 4) + ( 4) + ( 4) + ( 4) + ( 4) = 20
( 4) x 5 20 4
16
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11
2
3
4
5
6
7
11
1.1.
Resolverproblemasqueimpliqu
enmultiplicacionesydivisionesdenmeroscon
signo.
18 y 17
40 40
45 45
6 6
0 0
7 . 5 7 . 5
negativo
cero
negativo
(2) ( 12 ); (6) ( 4); (3) (8)(5) (175); (25) (35); (7) (125)
( 19) ( 2 )13 y 13
Valoracin del desempeo Familiarizarse con los nmeros negativos.
Aprender a multiplicar nmeros de distinto signo.
Comprender la importancia de la conmutatividad y asociatividad dela multiplicacin de nmeros enteros.
Otros recursosPara apoyar el estudio de las operaciones con nmeros enteros le
recomendamos visitar el siguiente sitio:
http://www.mamutmatematicas.com/lecciones/sumar_restar_enteros.
php
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19
13
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
(3,9)
1234 2 3 4
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
y
x
1.1.
Resolverproblemasqueimpliqu
enmultiplicacionesydivisionesden
merosconsigno.
15 8 ab
15 7 ab
3
9
5 a 1
5 a 1
positivo
negativo
+
+
Valoracin del desempeo Aprender que el producto de dos nmeros con signos iguales es
positivo, y que el producto de dos nmeros con signos diferentes es
negativo. Con base en una regla de correspondencia, ser capaz de sustituir
y operar con nmeros de cualquier signo sin que la notacin lo
confunda.
Manejar sin dificultad la nueva notacin abreviada para el producto.
Otros recursosPara tener ms herramientas didcticas sobre el manejo de
multiplicaciones con nmeros de distinto signo, puede consultar lasiguiente pgina:
http://www.mamutmatematicas.com/lecciones/sumar_restar_enteros.
php
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Leccin 3
1
2
3
4
280 120
4800 2500
1 4
6 24
120 120
0 8
(5) (5) (4) (2) (3) (1) = 600
(5) (5) (4) (2) (3) (1) = 600
el nmero de factores negativos
es par
el nmero de factores negativos
es impar
algn factor es cero
Sugerencias didcticasA partir del ejercicio 3 sugerimos la elaboracin de la siguiente tabla:
Nmero de factores con signo negativo Signo del resultadoPar Positivo
Impar Negativo
En esta parte se pretende que el alumno aprenda a traducir el lenguaje
coloquial de suma y producto a un lenguaje algebraico, para esto es
conveniente que elabore una tabla de ecuaciones como se muestra a
continuacin:
El producto dedos nmeros
La suma de dosnmeros
El producto de dos nmeros msotro nmero
x y x +y xy +z
Esta tabla permitir al alumno obser var la traduccin del lenguaje, de
este modo comenzar a abstraer y ver la utilidad de una ecuacin en la
solucin de un problema.
20
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15
5
6
7
ColumnaA
(x)
ColumnaB
(y)
3 15
2
1
0
1
2 2 10
1.1.
Resolverproblemasqueimpliqu
enmultiplicacionesydivisionesden
merosconsigno.
120
10
5
0
5
multiplicar x por (5)
5x
(3) (10) (1); (15) (2) (1); (3) (5) (2)
9 y 9
4, 5, 6
50
150
100
120
Valoracin del desempeo Manejar con absoluta fluidez la multiplicacin de nmeros enteros
(positivos o negativos).
Primeros planteamientos de expresiones con lenguaje algebraico. Poder inferir mentalmente los resultados de operaciones con
nmeros enteros.
Aprender a identificar nmeros consecutivos y nmeros simtricos.
Otros recursosPara apoyar el estudio de las operaciones con un lenguaje algebraico le
recomendamos visitar el siguiente sitio:
http://www.vadenumeros.es/tercero/problemas-primer-grado.htm
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Leccin 4
1
2
Multiplicacin en la que falta un factor Divisin que cor responde
a) (7)( )14 (14)(7)
b)
c)
d)
e) 1 ( )13 (13)1
f)
g)
h)
3
4
su nmero simtrico
2 2
23 23
13 13
13 a
2 2
(7) (2) = 14 14 (7) = 2
(23) (15) = 345 345 (15) = 23
(23) (15) = 345 345 15 = 23
13 13 (1) (13) = 13 (13) (1) = 13
( 1 ) (13) = 13 (13) ( 1 ) = 13
(5) (9) = 59 5a (5) = a
positivo
negativoel mismo nmero
Sugerencias didcticasNuevamente conviene que el alumno elabore una tabla como la
empleada en el ejercicio 7 de la leccin 2, que corresponda con el
cocientede enteros con diferentes signos. Podr comparar ambas tablaspara que observe que se trata de las mismas reglas, incluyendo aquella
en la que al dividir cualquier nmero por (-1), el resultado ser uno
negativo.
+
+ +
+
Es muy importante que en el ejercicio 7 se haga nfasis en el orden
de las operaciones, recalcando que cuando se altera dicho orden los
resultados cambiarn. Por ejemplo, en el inciso e):
2 6 4 30 = 12/4 30 = 3 30 = 27 correcto
2 6 4 30 = 12 4 30 = 12 26 = 14 incorrecto
Finalmente, en el ejercicio 9 es conveniente estimular al alumno para
que plantee ecuaciones (aunque an no sepa resolverlas), manejando
los nmeros desconocidos como incgnitas xy y, de manera quecomience a familiarizarse con el lenguaje algebraico. Como ejemplo
utilizaremos el inciso a):
x+y= 1 (x) (y) = 156
22
cero
-
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17
5
6
7
8
9
10
1.1.
Resolverproblemasqueimpliquenmultiplicacionesydivisionesden
merosconsigno.
13; 12
12; 3
12; 2
(5) + (5) + (5); 25 + (40); (3) + (12)
20 (10); 10 (20); 50 60
(2) (10); (2) (2) (5); (1) (20)
24 (3); (8) (1); (16) (2)
30
_
30 = 1 4
9_3
= 3 5
4_8
= 1_2
27
Valoracin del desempeo Aprender que el cociente de dos nmeros con signos iguales es
positivo y que el cociente de dos nmeros con signos diferentes es
negativo. Poder resolver de manera correcta, clara y sin confusin divisiones
de nmeros combinadas con otras operaciones como suma,
producto o sustraccin.
Planteamiento de expresiones en lenguaje algebraico.
Otros recursosPara conocer ms sobre el tema, lo invitamos a visitar la siguiente
direccin electrnica:http://www.sectormatematica.cl/basica/santillana/division_enteros.
pdf
23
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18
Leccin 5
1
2
D L
1
8
15
22
29
7
14
21
28
6
13
20
27
2
9
16
23
30
3
10
17
24
31
4
11
18
25
5
12
19
26
M M J V S
x = 4 5
11 12
Resolver la ecuacin 4x + 16 = 32
Sugerencias didcticasEl ejercicio 1 es de suma importancia, ya que estimula al alumno
mediante el juego a plantear expresiones algebraicas simples. Invitamos
al profesor a que utilice este tipo de ejercicios para promover en losalumnos la abstraccin matemtica.
Los alumnos podrn notar que trabajar con expresiones algebraicas
es ms fcil de lo que se imaginan.
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-
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25
19
3
4
5
1.2.
Resolverproblemasqueimpliq
uenadicinysustraccindeexpresio
nesalgebraicas.
Es verdad pues si ese problema lo planteamos con la siguiente ecuacin
x + 2x + 3x = 6x el resultado da un mltiplo de 6 siempre.
x + 1
x + 7
x + 8
=4x + 16 = 32 =4x = 16 =x = 4x + 1 x + 7 x + 8
x 8 x 7
x 1
x 1 x 7 x 8
4x 16 = 32 =4x = 48 =x = 12
12
Valoracin del desempeo Manejar de manera fluida el planteamiento de expresiones
algebraicas.
Distinguir los elementos de una expresin algebraica y comenzara operar con ellas, as como lo hizo con los nmeros enteros en las
lecciones anteriores.
Otros recursosComo apoyo en el planteamiento de expresiones algebraicas, le
recomendamos que visite el siguiente sitio:
http://www.sapiensman.com/matematicas/matematicas24.htm
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-
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Leccin 6
1
2
3
m + 2n + p
8u
3t + 4u
2m + 4p + 2n
2m + 2p 2n + 2p
84 98
53
Sugerencias didcticasSugerimos que el alumno elabore en su cuaderno el cuadrado no
mgico con las mismas expresiones algebraicas, pero que stas cambien
de casilla; y que realice las sumas de cada fila, columna o diagonal paraque practique la simplificacin de trminos.
Tambin es conveniente sustituir en el ejercicio 5 otros valores para
a, by c, ya que este ejemplo le permitir ejercitarse en las sustituciones.
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4
5
6
7
1.2.
Resolverproblemasqueimpliq
uenadicinysustraccindeexpresio
nesalgebraicas.
3z + 2
3a
3
1 0 4
6 1 4
2 2 3
2z + 1
Valoracin del desempeo Aprender a simplificar (sumar y restar) expresiones algebraicas.
Aprender a darle valor a cada incgnita a travs de la sustitucin.
Otros recursosPuede consultar la siguiente pgina electrnica para obtener ms
informacin sobre los cuadrados mgicos:
http://www.geocities.com/problemasyexperimentos/cap22em.html
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6
7
8
9
n1 n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10 n11n
20
n1 n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10 n11n
75
n1 n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10 n11n
635
n1 n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10 n11n
1775
1.2.
Resolverproblemasqueimpliq
uenadicinysustraccindeexpresio
nesalgebraicas.
10n + 45
29
84
626
1766
S
Usando la frmula del ejercicio 6 intentaremos encontrar el valor de n;
10n + 45 = 145845 =10n = 145845 45 = 145800 por lo tanto n debe valer 14580
No
Nuevamente haciendo uso de la frmula vemos que no existe n que
satisfaga la ecuacin 10n = 24305
Valoracin del desempeo Observar la importancia del planteamiento de una ecuacin para
resolver un problema.
Comprender el papel que juega una incgnita dentro de unaecuacin.
Realizar primeros despejes sencillos.
Otros recursosEn la siguiente pgina electrnica encontrar ms ejemplos sobre
igualdades y despejes:
http://matematicas-nestor.blogspot.com/2008/01/igualdades-y-
despejes.html
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Leccin 8
1
2
3
multiplicar un nmero por dos
sumarle a un nmero dos
multiplicar un nmero por s mismo
d
a
e
b
f
c
Sugerencias didcticasDebemos prestar especial atencin para que en esta leccin ya no quede
ninguna duda sobre la manera de sumar y restar expresiones algebraicas,
para ello los ejercicios 1, 2 y 6 son muy formativos.
El ejercicio 5 requiere de un grado ms alto de abstraccin, de manera
que ayudar a su solucin dibujar en el pizarrn un rectngulo dividido
en cuatro y hacerle las anotaciones que se muestran en la figura:
a/2
b/2
Como podemos observar, las expresiones buscadas en este ejercicio
involucran fracciones, de modo que es importante recalcar que no
existe diferencia entre las operaciones de fracciones algebraicas y las de
fracciones numricas.
Por ejemplo, expresiones como la siguiente:
(a) (b) [ (a/2) (b/2) ] = (a) (b) (a) (b) /4 =3
_
4(ab)
suelen confundir al alumno que tiene deficiencias en el manejo de
quebrados. Quiz aqu sea conveniente hacer un recordatorio sobre el
tema, o bien encargar una tarea con la que recuerde cmo se realizan
las operaciones bsicas de fracciones, de lo contrario esto detendr el
avance en los objetivos de esta leccin.
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4
5
6
1.3.
Reconoceryobtenerexpresion
esalgebraicasequivalentesapartird
elempleodemodelosgeomtricos.
c
a
e
b
f
d
ab (a_2
b_
2)
(b a_2)+a
_
2
3(a_2
b_
2)
3_
4ab
3
_
4ab
3
_
4ab
a + b
2x + 4
3x + 15
6b
Valoracin del desempeo Aprender a distinguir las expresiones algebraicas.
Aprender a simplificar expresiones algebraicas con una o mas
literales. Manejar expresiones algebraicas que involucren fracciones.
Otros recursosUsted encontrar ms ejercicios de fracciones algebraicas en el siguiente
sitio:
http://www.sapiensman.com/matematicas/matematicas24.htm
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Leccin 9
1
2
3
n 2
n2
(n + n) y (2n)
(n + n) y (2n+ n)
3n
2+ n
n n2
2x + 4
2x+4
2x+
4
3x 3x
6
6
Sugerencias didcticasEl objetivo de esta leccin es que el alumno sepa distinguir con claridad
expresiones algebraicas que slo parezcan representar lo mismo, tales
como:n 2 2 n
Una manera de que el profesor se cerciore de que el alumno
comprende el tema, es realizar un dictado de expresiones algebraicas
que pudieran confundirlo. Aunque implique tiempo, ser mejor que el
objetivo est cumplido, de lo contrario, el alumno ir acumulando una
serie de errores algebraicos que ms adelante le impedirn resolver una
ecuacin.
Los ejercicios 4 y 5 invitan a continuar con la prctica de los
despejes, de modo que es importante sugerir al alumno que se esfuerce
por hacerlos en lugar de intentar obtener las respuestas mentalmente.
El ejercicio 6 es muy til para aumentar el nivel de abstraccin de
los estudiantes, y adems permite hacer uso de multiplicaciones que
involucran dos expresiones algebraicas. Sugerimos que se le muestre
de manera introductoria cmo efectuar dichas operaciones (leyes de
los exponentes para la multiplicacin), aun cuando dicho tema ser
retomado con mayor profundidad.
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4
5
6
7
yy
c c
1.3.
Reconoceryobtenerexpresion
esalgebraicasequivalentesapartird
elempleodemodelosgeomtricos.
2cy + ( b ) (a c)
5r 4
p + 2
kp
2p
x2 +5
+2 x3
2ay + (b 2y) (a c)
ab (b 2y) ( c )
Valoracin del desempeo Planteamiento de igualdades de las que resultarn ecuaciones de
primer grado con una incgnita.
Solucin de las ecuaciones mediante despejes. Multiplicacin de expresiones algebraicas con ms de un trmino.
Otros recursosPara apoyar el estudio del planteamiento y solucin de ecuaciones con
una sola incgnita, le recomendamos visitar el siguiente sitio:
http://www.sapiensman.com/matematicas/matematicas24.htm
3 (p + 2) = 2p + 5
3p + 6 = 2p + 5
p = 1
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Leccin 10
1
2
3
4
30 160 240 300
90 180 270 360
60 210 150 330
Sugerencias didcticasSugerimos que se estimule al alumno en la deduccin mentalmente del
valor de los ngulos que forman las manecillas de los relojes, partiendo
de que el ngulo completo de cualquier circunferencia mide 360 grados.Por lo tanto, si se quiere obtener el valor de cada hora en ngulos, se
har una divisin de 360 24, recalcando que los ngulos positivos
se miden en sentido contrario a las manecillas del reloj. Si el alumno
es capaz de hacer tales deducciones, entonces estar preparado para el
ejercicio 6.
A partir del ejercicio 5, es importante que el alumno note que una
propiedad fundamental de los ngulos es que no importa el tamao
de las rectas que los comprenden; en otras palabras, los ngulos de
cualquier figura son un invariantede su tamao. Esto se utilizar en el
tema de proporcionalidad.
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5
6
ngulo A ngulo B ngulo C ngulo D ngulo E
Estimacin
Medida
A B C
D
E
1.4.
Resolverproblemasqueimpliq
uenreconocer,estimarymedirngu
los.
ninguno ninguno
150 150 150 150
nada
no
35 80 100 210 350
30 85 115 225 343
Valoracin del desempeo Aprender el concepto de vrtice, lado de un ngulo y cmo se miden
stos.
Que sea capaz de comprender que la medida de los ngulos es
independiente a la medida de sus lados.
Aprender el uso del transportador y la medicin de ngulos
dividiendo el permetro de una circunferencia en partes iguales,
partiendo de que el ngulo completo mide 360 grados.
Otros recursosPuede encontrar una explicacin ms profunda sobre la medicin
angular en la siguiente pgina electrnica:
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-
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36
Sugerencias didcticasEn esta leccin debemos tener especial cuidado en observar que el
estudiante haya entendido que con las escuadras no se puede trazar
cualquier ngulo; para esto sugerimos pedirle que en su cuaderno
intente dibujar determinados ngulos empleando dichos instrumentos,
por ejemplo, uno de 10 grados.
En el caso del ejercicio 6, es conveniente que trasporte diversos
ngulos en su cuaderno aplicando el procedimiento mostrado.
Tambin sugerimos hacer nfasis en la importancia y la uti lidad
que tiene este mtodo, ya que a partir de un ngulo dado, puede
ser transportado haciendo uso del comps, forma muy distinta de
la empleada con las escuadras. Tal comparacin elevar el nivel de
abstraccin geomtrico del alumno.
Al profesor le resultar muy interesante narrar a los alumnos que
este mtodo proviene de la Escuela Euclidiana de la cultura griega, de
modo que es un pilar histrico en el desarrollo de la geometra y que
hasta la fecha no hay otro procedimiento manual que nos proporcione
los mismos resultados.
30
Leccin 11
1
2
3
4
ngulo A ngulo B ngulo C nguloD
Estimacin
Medida
BA
D
C
60
90
30
90
45
45
60 130 200 260
60 120 240 255
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37
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5
6
7
A
C C
B A B
A B A B
1.4.
Resolverproblemasqueimpliquenreconocer,estimarymedirngu
los.
Respuesta libre
Valoracin del desempeo Aprender a trazar ngulos haciendo uso de las escuadras.
Aprender a trasportar ngulos haciendo uso nicamente del comps.
Otros recursosSi desea profundizar en el trazo de ngulos con regla y comps, le
recomendamos visitar el siguiente sitio:
http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/MundoMatematicas/
reglaycompas/index.html
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Leccin 12
1
2
Medida en grados 55.5 178.35 245.05
Medida en grados y minutos 35 12 35 6
3
90
45 90 4522.5
15 45 6 24
35.2 35.1
55 30 178 21 245 3
Sugerencias didcticasEl ejercicio 1 es muy interesante, ya que permite a los alumnos visualizar
de manera didctica la trasformacin que van sufriendo los ngulos a
partir de los dobleces de una figura de papel. Esto los llevar a plantearse
las siguientes preguntas:
Siempre que se doble un cuadrado a la mitad, los ngulos del
tringulo que se forman miden lo mismo? Si no, existe alguna manera
de doblarlo para que as suceda?
Como en esta leccin se trabajar con los ngulos de algunos
polgonos, sugerimos al inicio pedir a los estudiantes que en su
cuaderno construyan algunos partiendo de una circunferencia, y midan
sus ngulos internos de forma deductiva, sin el uso el transportador.
Esto los llevar a construir las propiedades de los ngulos interiores de
figuras geomtricas esenciales como el tringulo, cuya suma de ngulos
debe ser 180, o las del cuadrado, en el que los ngulos suman 360
grados.
Finalmente es conveniente proponerles ms ejemplos de cmo
convertir grados a minutos y viceversa, para que este proceso de
transformacin quede claro, ya que en su vida cotidiana ser muy til.
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45
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4
5
1.4.
Resolverproblemasqueimpliquenreconocer,estimarymedirngu
los.
7 30
45
90
4522.5
30 22 30
360
360
120 120
60 60
Valoracin del desempeo A partir de un ngulo dado, dividido en ciertas partes, poder deducir
sin el uso del transportador la medida de los ngulos resultantes.
Repasar las propiedades de los ngulos interiores de ciertas figuras
geomtricas.
Aprender la conversin de grados a minutos y viceversa.
Otros recursosPuede encontrar una explicacin ms profunda sobre la medicin
angular en la siguiente pgina electrnica:
http://personal.iddeo.es/romeroa/gravedad/angulo.htm
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Leccin 13
1
2
Paralelas Perpendiculares Oblicuas
Oriente1
Oriente 3
Norte
2
Norte
4
Norte
6
Oriente 5
Oriente 5
Norte 2
Norte 4
Norte 4
Oriente 3
Oriente 5
Oriente 1
Norte 6 y Oriente 5
tienen la misma direccin y no se cortan
estn cortadas por un ngulo de 90
se cortan por ngulos diferentes a 90
Sugerencias didcticasComo en esta leccin se muestra la definicin de rectas paralelas,
perpendiculares y oblicuas, sugerimos hacer nfasis en que estas
definiciones no se basan en la posicin de las rectas, es decir, no importa
si stas son horizontales, verticales, etc., sino en el ngulo que se forma
cuando stas se cortan. Para ello es necesario hacer hincapi en que
si existe alguna duda en relacin con el tipo de rectas de que se trata
debido a que el corte no es visible, pueden extenderse las rectas en la
misma direccin, de manera que sea visible el ngulo en el punto de
corte.
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-
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3
4
Dos rectas son paralelas
solamente si
Dos rectas son perpendiculares
solamente si
Dos rectas son oblicuas
solamente si
ambas son horizontales
o ambas son verticales.
una est en posicin vertical y la
otra en posicin horizontal.
se cortan formando un ngulo
de 60.
5
6
7
1.5.
Determinarposicionesrelativasdedosrectasenelplano.
150
30
Las rectas perpendiculares son aquellas que se cortan formando cuatro ngulos rectos
Las rectas paralelas son aquellas que no se cortan
Las rectas oblicuas son aquellas que se cortan formando dos ngulos agudos y dos
obtusos
Si las extendemos en la direccin en
la que estn se cortarn ya que una
recta es infinita
Valoracin del desempeo Distinguir los tres tipos de rectas: paralelas, perpendiculares y
oblicuas.
Otros recursosEn la siguiente pgina encontrar diversas ilustraciones sobre los
distintos tipos de rectas:
http://www.escolar.com/avanzado/geometria008.htm
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i did i
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Leccin 14
1
2
3
Q
p
Q
pM N
Q
pM N
Q
M N p
rectas
perpendiculares
rectas
paralelas
Trazar una circunferencia con centro en
el punto Q y que corte a la recta en M y N
Se traza otra circunferencia con
centro en M y radio MQ
Se traza una circunferencia con centro
en N y radio NQ
Sugerencias didcticasEsta leccin es muy formativa, ya que su objetivo es que el alumno
sea capaz de trazar distintos tipos de rectas haciendo nicamente uso
del comps. Es conveniente que se le haga ver la importancia histrica
de este instrumento en la geometra, por lo tanto sugerimos que se
aproveche al mximo este mtodo pidindole que construya tringulos
rectngulos, equilteros, issceles, cuadrados, etc.
60
60 60
equilatero issceles escaleno
En el ejercicio 5 desarrollar su intuicin geomtrica y ser muy
importante que el profesor evale si el alumno fue capaz de resolverlo.
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V l i d l d
-
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4
5
6
Q
pM N
R
Q
pM N
R
1.5.
Determinarposicionesrelativasdedosrectasenelplano.
Llamamos R al punto donde se intersectan
las dos circunferencias anteriores
Se traza la recta QR
Se utiliza el procedimiento anterior, primerotrazando una perpendicular a AB que pasepor C y despues una perpendicular a CA yfinalmente una perpendicular a AB que cortea la recta CD
D
Respuesta libre
Se trazan las intersecciones de una circunferenciacon centro M y la recta a. A partir de dichas
intersecciones (N, Q) se abre el compsy se trazan dos circunferencias arbitrarias,estas nuevas intersecciones y el punto Mson los puntos de la perpendicularde la recta a.
Valoracin del desempeo Aprender a trazar rectas paralelas y perpendiculares a una recta, las
cuales pasan por un punto, haciendo nicamente uso de la regla y el
comps.
Otros recursosPara conocer ms acerca de los trazos con regla y comps le sugerimos
visitar la siguiente pgina electrnica:
http://www.escolar.com/avanzado/geometria008.htm
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S g i did ti
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Leccin 15
1
2
Medidas de ngulos Se puede? Si no se puede, por qu no es posible?
135
135
45
45
105
10575
75
S
No
No
S
Si dos de los ngulos miden 90 los otros
dos tambin deben medir 90La suma de dos ngulos continuos debe
ser 180 y 30 + 120 180
4
60; 120; 60; 120
Sugerencias didcticasEsta leccin es de gran trascendencia, ya que haciendo uso de
deducciones lgicas, el alumno ser capaz de inferir el valor de diversos
ngulos sin necesidad de medirlos con el transportador. Por tal razn,
invitamos al profesor a que formule en clase las siguientes preguntas:
Por qu los ngulos opuestos por el vrtice resultan iguales?
Siempre que dos ngulos sean iguales sern opuestos por el vrtice?
Cul es la propiedad de los ngulos adyacentes?
Adems sugerimos que realice los siguientes dibujos en el pizarrn:
A D
B C0
AOB y CODSon opuestospor el vtice
A D
CB0
AOB CODyNo son opuestos
por el vrtice
A D
B C0'
500
50
AOB y CO'DNo son opuestos
por el vrtice
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Valoracin del desempeo
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39
3
4
Los ngulos opuestos por el vrtice son aquellos
ngulos que miden lo mismo.
Los ngulos opuestos por el vrtice son aquellos
ngulos que tienen el mismo vrtice y un lado
comn.
5
2
4
1
3
6
8
5
7
10
12
9
11
1.5.
Reconocerngulosopuestos
porelvrtice
y
adyacentes.
A
B
C
V
2 y 4 6 y 8 5 y 7 9 y 11
Son iguales
Son los ngulos
Valoracin del desempeo Aprender el concepto de ngulos opuestos por el vrtice y ngulos
adyacentes.
A partir de dichos conceptos, poder calcular el valor de ciertos
ngulos sin su medicin directa.
Otros recursosPara profundizar ms acerca del tema, le sugerimos visitar el siguiente
sitio:
http://www.mat.usach.cl/Memorias/LEMC/Diccionario/Angulos_
Opuestos_por_el_Vertice.html
45
Leccin 16 Sugerencias didcticas
-
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Leccin 16
1
2
3
2
1
2
1
12
1
2
2
1
21
Sugerencias didcticasEn esta leccin sugerimos hacer nfasis en las propiedades de los
ngulos adyacentes, ya que precisamente estas propiedades guiarn
a los alumnos en la resolucin de los ejercicios 4 y 5, sin ayuda del
transportador.
46
4 Valoracin del desempeo
-
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4
5
6
2
4
1
3
65
30
1.5.
Reconocerngulosopuestos
porelvrtice
y
adyacentes.
ngulos 2 y 3
ngulo 2 mide 105
y el ngulo 3
mide 75
ngulos 1 y 4
ngulo 1 mide 75
y el ngulo 4
mide 105
ngulos 3 y 4
ngulo 3 mide 75
y el ngulo 4
mide 105
En todas las parejas un ngulo mide 75 y el otro 105 de modo que ambos suman 180
60, 120, 60, 120
115
65
115
150
30150
Valoracin del desempeo Poner en prctica las propiedades de ngulos opuestos por el vrtice
y ngulos adyacentes para resolver los ejercicios sin hacer uso del
transportador.
Otros recursosEn la siguiente pgina electrnica usted encontrar ms informacin
sobrengulos opuestos por el vrtice y ngulos adyacentes:
http://enciclopedia.us.es/index.php/%C3%81ngulos_opuestos_por_
el_v%C3%A9rtice
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-
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3 Se llama ngulos alternos internosa los que estn ubicados por
-
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49
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3
4
5
6
7
x
z
60
150
95
3xx
1.6.
Establecerrelacionesentrelo
sngulosqueseformanenunsistem
adeparalelascortadasporunatrans
versal.
180
120
iguales
120
El ngulo de 60 es el correspondiente del ngulo y =y = 60 y como el ngulo y
ms x suman 180 entonces el ngulo x mide 120
30150
150 3015030 30
85
9595
85
85
85
95
13545 45135 135
45
3x + x = 180
4x = 180 x =
180
_
4
x = 45
dentro de las rectas y a distinto lado de la secante. De esta manera, son
ngulos alternos internos los pares de ngulos 3-5 y 4-6.
En el caso de rectas paralelas cortadas por una secante, se verifica
que los ngulos correspondientes son de igual medida, al igual que losngulos alternos internos y alternos externos. En resumen, para el caso
de rectas paralelas cortadas por una secante, los ngulos 1-3-5-7 son
iguales entre s, del mismo modo que los ngulos 2-4-6-8.
Valoracin del desempeo Ser capaz de distinguir los ngulos correspondientes en un sistema
de rectas paralelas cortadas por una secante.
Ser capaz de deducir el valor de ngulos mediante las propiedadesdel sistema y con el planteamiento de una ecuacin.
Otros recursosComo apoyo para el tratamiento de este tema lo invitamos a visitar el
siguiente sitio:
http://www.mat.usach.cl/Memorias/LEMC/Diccionario/Angulos_
Formados_por_2_Rectas_y_1_Secante.html
y
49
Leccin 18 Sugerencias didcticas
-
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50
44
1
2
3
diferente
entre las dos rectas
Son aquellas que se encuentran en diferente lado de la transversal y en el interior de
las dos rectas
a
ba
ba
b
alternos externos
No Que deben ser paralelas para que se d la igualdad
gDado que las siguientes tres lecciones estarn encaminadas a conocer
y obtener ms propiedades del valor de los ngulos en un sistema de
rectas paralelas cortadas por una transversal, es muy importante que el
alumno no confunda los diversos tipos de ngulos. Para esto sugerimos
que cada uno elabore el sistema en una cartulina, con colores distintos,
y nombre cada ngulo como se muestra en la siguiente figura:
a b
c d
e f
g h
Lo ms importante de estas lecciones no es aprenderse de memoria
los nombres de los ngulos sino saber usar sus propiedades, ya que stas
le permitirn deducir el valor de los ngulos de figuras geomtricas, y
todo esto sin hacer uso del transportador.
El profesor puede hablar sobre la importancia de los procesos
mentales llamados deduccin e induccin, fundamentales en el
desarrollo de la matemtica. Estos ejemplos con ngulos son muy ricos
para mostrar este tipo de razonamientos.
50
4 Valoracin del desempeo
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45
5
6
a
bc
r2
r1
mr1
r2n
t2t1
r1
r2
c ei
d f
j h
1.6.
Establecerrelacionesentrelo
sngulosqueseformanenunsistem
adeparalelascortadasporunatransversal.
opuestos por elvrticecorrespondientes
iguales
Los ngulos m y n son alternos externos por
tanto miden lo mismo, pero n y L son opuestos
por el vrtice, por lo tanto iguales y como L es
correspondiente a m entonces ocurre que m y n
son iguales a L, por lo tanto son iguales entre s.
L
t1
t2
t2
t1
p Distinguir ngulos alternos externos y alternos internos en un
sistema de rectas paralelas cortadas por una transversal, as como
el uso de sus propiedades para calcular de maneradeductiva(sin el
empleo del transportador) el valor de todos los ngulos a partir deuno dado.
Otros recursosUsted encontrar ms informacin acerca del tema en la siguiente
pgina electrnica:
http://www.pps.k12.or.us/district/depts/edmedia/videoteca/curso2/
htmlb/SEC_55.HTM
51
Leccin 19 Sugerencias didcticas
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1
r1
r2
ed
a cb
cb
a
verdes
azul
caf
caf
180
alternos internos
alternos internos
180
a b c 180
Dado que la malla dibujada en el ejercicio 1 puede confundir al alumno,
es necesario que el profesor revise que las respuestas acerca del tipo
de ngulo correspondan con el sistema de rectas paralelas que se est
tomando como referencia dentro de la malla, pues existen ms de dos.
El ejercicio 3 aborda no slo una propiedad angular caracterstica de
los tringulos, sino que de manera indirecta gua al alumno hacia lo que
es una demostracin matemtica por lo tanto, invitamos al profesor a
hacer hincapi en esto, ya que si el alumno se percata de tal importancia,
no tendr dificultades para resolver el ejercicio 4, adems de que su
intuicin geomtrica tendr un interesante avance.
52
2 Valoracin del desempeo
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3
4
5
x
zy y
xz
a
b c a ab c
1.6.
Justificarlasrelacionesentre
lasmedidasdelosngulosinteriores
detringulos.
No es posible ya que una vez trazados los lados de ngulos 60 y 30 el punto donde
se intersectan dichos lados es un vrtice de 9060
30 60 90
en 2
180
360
Que quede claro por qu la suma de los ngulos de cualquier
tringulo es 180 grados.
Que el alumno sea capaz de visualizar que la demostracin de tal
resultado se dedujo gracias a las propiedades de los ngulos que seestuvieron trabajando en lecciones anteriores.
Otros recursosUsted encontrar ms informacin acerca del tema en la siguiente
pgina electrnica:
http://matematicasies.com/spip.php?article268
53
Leccin 20 Sugerencias didcticasEl l b l b d d d l l
-
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1
r1
r2
t2
t1
e
f
d
a
c
b
iguales
iguales
suman 180
suman 180
360
alternos internos
correspondientes
iguales
El ejercicio 1 engloba los conceptos trabajados desde la leccin 10, por
lo tanto es importante cerciorarse de que el alumno est capacitado
para responder con fluidez a todas las preguntas planteadas. En caso
contario, sugerimos al profesor que aclare las dudas ms frecuentes yenfatice la relacin existente en los ngulos.
54
Valoracin del desempeoQ l l d i li l i d d l d
-
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3
4
1.6.
Justificarlasrelacionesentre
lasmedidasdelosngulosinteriores
deparalelogramos.
180 complementarios
correspondientes
180
Por ser alternos internos
< e + < c = 180 por ser complementarios< e = < d por ser correspondientes entonces < d + < c = 180
Es igual a 360 pues gracias a los clculos anteriores
< a + < b = 180 = < d + < c entonces < a + < b + < d + < c = 360
S S S
Que el alumno sea capaz de visualizar la propiedad angular de
cualquier paralelogramo: la suma de sus ngulos interiores es 360
grados.
Otros recursosComo apoyo en el estudio de este tema le recomendamos visitar el
siguiente sitio:
http://personal5.iddeo.es/ztt/For/F7_Triangulos.htm
55
Leccin 21Sugerencias didcticasComo en esta leccin se trabajar con factores de escala que
-
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56
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1
2
a b
e
d
c
Como en esta leccin se trabajar con factores de escala que
involucrarn operaciones con fracciones, sugerimos hacer un breve
repaso de cmo trabajar con tales nmeros, ya que generalmente al
alumno se le dificultan este tipo de operaciones.Es muy importante que se pueda visualizar el concepto de factor
de escala. El profesor puede hacer nfasis en por qu cuando se aplican
varios factores de escala el resultado final es una multiplicacin. As
tambin consideramos buen momento para que emplee como ejemplo
especial el factor de escala 1, y realice el siguiente cuadro en el pizarrn:
Factor de escala menor a 1 Disminuye el tamao de la figura
Factor de escala 1 La figura no cambia de tamaoFactor de escala mayor a 1 Aumenta el tamao de la figura
El ejercicio 1, adems de desarrollar la intuicin geomtrica del
alumno, lo ayudar a relacionar el factor de escala con el tamao de una
figura geomtrica, lo cual aumentar su grado de abstraccin.
56
3
2_3
Valoracin del desempeo Aprender el concepto de factor de escala y a manejarlo sin importar
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4
5
Dibujo A1
Dibujo A4
Dibujo A5
Lado a 3
Lado b 6
Lado c 9
Lado d 18
Lado e 2
1.7.
Determinarelfactordeprop
orcionalidadinverso;componerydescomponerfactores.
A5 porque el factor de escala
es 2_3
que es menor a 1.
1 2
2 4
3 6
6 12
2_3
4
_
3
6 1_
6
1_
4
1_
55 2
4
12
_3
n_
m
m_
n
Aprender el concepto de factor de escala y a manejarlo sin importar
el tipo de nmero que sea, y tener claro que dependiendo del valor
de ste, la figura aumentar o disminuir de tamao.
Que el producto de los factores de escala dan el factor del resultadofinal.
Otros recursosEn la siguiente pgina electrnica puede obtener ms informacin
acerca de los factores de escala:
http://www.keymath.com/documents/dg4/GP_Spanish/DG4GP_
SPN_11.pdf
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Leccin 22Sugerencias didcticasEn esta leccin se pretende que el alumno, mediante el razonamiento
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1
2
Figura B1
Figura B2
Lado a 4
Ladob 1
Ladoc 8
Ladod 3
Figura C1
Figura C2
Ladoa
2
Ladob 6
Ladoc 8
Ladod 4
Ladoe 10
a
b
c
de
Figura C2
1
2
1_4
3_
4
1_
4
C1 porque el factor de
escala es menor que 1
515
20
10
25
En esta leccin se pretende que el alumno, mediante el razonamiento
aprendido en la anterior, sea capaz de inferir el valor de los lados de
una figura a partir de conocer los lados aumentados o disminuidos por
un cierto factor de escala. Es importante que el profesor estimule elrazonamiento del alumno para que pueda llegar al concepto de factor
recproco.
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3
Valoracin del desempeo Comprender el significado de un factor de escala fraccionario, as
-
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Figura C1
Figura C2
Lado a 2
Ladob 6
Ladoc 8
Ladod 4
Ladoe 10
Figura
1
Figura
2
Figura
3
Figura
1
Figura
2
Figura
3
1.7.
Determinarelfactordeprop
orcionalidadinverso;componerydescomponerfactores.
4
5
6
5 1
15 3
20 4
10 2
25 5
x5 x1_
2
x5_
2
x 1_
4 x 1_
8
x 1_7
x 1_5
x4_7 x8_
5
x7 x5
x8x4
m
_n
1_
2
ac
_
bd
igual
no cambia de tamao
la figura.
p g ,
como aprender a manejar el concepto de factor recproco.
Interpretar los cambios que sufre una figura de acuerdo con factor de
escala a travs de la informacin numrica.
Otros recursosEn la siguiente pgina electrnica puede obtener ms informacin
acerca de los factores de escala:
http://www.keymath.com/documents/dg4/GP_Spanish/DG4GP_
SPN_11.pdf
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Valoracin del desempeo
Comprender el significado de un factor de proporcionalidad y su uso
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3
Maz
(m)
Harina
(h)
Masa
(M)
Tortillas
(t)
5 kg 3 kg
2 kg 5 kg
10 kg 7 kg
4
h m M h t M
m h h M M t
t m m t
5
6
1.7.
Determinarelfactordeprop
orcionalidadinverso;componeryde
scomponerfactores.
x 1.05
x 7_10
x2_
5 x 10
_
7
x20_21
3_
5
5_
3
5_
2
2_
5
7_
10
10
_
7
20
_
21
1.05
10_3
kg
20_
3 kg 4 kg
( 21_20
)x 50 = 52.5 kg(20_
21)x 42 = 40 kg
en el planteamiento de ecuaciones simples.
Sustituir en las frmulas los datos que se tienen para encontrar el
valor de las incgnitas, y resolver diversos tipos de problemas deproporcionalidad.
Otros recursosPuede encontrar ms ejemplos al respecto en la siguiente bibliografa:
Charles Smith.lgebra, Addison-Wesley Iberoamericana. Mxico, 1992.
7.5 kg 5.25 kg
3.5 kg
61
Leccin 24Sugerencias didcticasEn esta leccin, mas all de que el alumno sea capaz de obtener los
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1
2
3
Precio sin IVA IVA(15%) Precio con IVA
Suter $325.00
Pantaln $299.00
Camisa $30.00
Saco $1035.00
Precio sin IVA IVA(15%) Precio con IVA
Suter $325.00
Pantaln $299.00
Camisa $30.00
Saco $1035.00
100
115
$48.75 $373.75
$44.85 $343.85
$200 $230.00
$900 $135.00
x 1.15
x .15
$48.75 $373.75
$44.85 $343.85
$200 $230.00
$900 $135.00
100_15
porcentajes mediante una regla se tres, es conveniente promover un
razonamiento guiado hacia el por qu de dicha frmula, haciendo
referencia al tema de las proporciones visto en las lecciones anteriores.Por ejemplo, mostrarles que obtener 15% de una cantidad no slo es
multiplicarla por .15; lo que est detrs es dividir el total en 100 partes
iguales y posteriormente tomar 15 de estas partes.
De este modo, obtener los factores inversos de proporcionalidad le
ser ms fcil de comprender.
62
4
Valoracin del desempeo Aprender a obtener porcentajes y manejar las operaciones que hay
d d di h l l
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5
6
7
8
1.7.
Determinarelfactordeprop
orcionalidadinverso;componeryde
scomponerfactores.
0.15
1.15
1_
1.15
$207.00
$321.74
0.12, 1.12,100
_
12 ,
100
_
112
$33 750.00
$12 000
0.4
8750
x 0.4
10
_
4
x 0.5
50.9 toneladas
detrs de dicho clculo.
Ser capaz de deducir factores de proporcionalidad.
Otros recursosPuede encontrar ms ejemplos al respecto en la siguiente bibliografa:
Charles Smith. lgebra, Addison-Wesley Iberoamericana. Mxico 1992.
63
Leccin 25Sugerencias didcticasEl objetivo de esta leccin es que el alumno se familiarice con el uso de
la regla de tres que mediante los ejemplos le sea ms fcil isualizar
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2
3
4
24 000 Litros
4 000 .
8 000 .
12 000 .
16 000 .
8 000 .
12 000 .
400 .
50 .
9 000 .
la regla de tres y que, mediante los ejemplos, le sea ms fcil visualizar
este clculo tan importante en la vida cotidiana. Para cumplir este
objetivo sugerimos que los estudiantes desglosen en su cuaderno lamanera en que obtuvieron las respuestas del ejercicio 6, por ejemplo:
8 estudiantes 4000 l. de agua 10 das
De este modo, visualizar de manera mucho ms clara el uso de la
regla de tres.
64
5
1 8 10 16 24 32 mNm. de
t di t
Valoracin del desempeo Ejercitar el uso de la regla de tres siendo capaz de distinguir cuando
un objeto es proporcional a dos magnitudes cuando una de ellas es
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1
estudiante
8
estudiantes
10
estudiantes
16
estudiantes
24
estudiantes
32
estudiantes
m
estudiantes
1 da
8 das
10 das
18 das
20 das
30 das
ndas
6
m+ n+ 50 litros 50mnlitros mn+ 50 litros mnlitros
7
estudiantes
Nm. das
1.8.
Elaboraryutilizarprocedimientospararesolverproblemasdepro
porcionalidadmltiple.
50 . 400 . 500 . 800 . 1 200 . 1 600 . 50 m
400 . 3 200 . 4v000 . 6 400 . 9 600 . 12 800 . 400 m
500 . 5 000 . 8 000 . 12 000 . 16 000 . 500 m
900 . 7 200 . 9 000 . 14 400 . 21 600 . 28 800 . 900 m
1 000 . 8 000 . 10 000 . 16 000 . 24 000 . 32 000 . 1 000 m
1 500 . 1 200 . 15 000 . 24 000 . 360000 .48 000 . 1 500 m
50 n. 400 n. 500 n. 800 n. 1200 n. 1600 n. 50 mn
7 das
50 n
400 n
un objeto es proporcional a dos magnitudes cuando una de ellas es
constante.
Ser capaz de deducir frmulas que lo lleven a encontrar resultadosdeseados.
Otros recursosPuede encontrar ms ejemplos al respecto en la siguiente bibliografa:
Charles Smithlgebra, Addison-Wesley Iberoamericana. Mxico 1992.
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4
Valoracin del desempeo Distinguir y solucionar problemas de proporcionalidad mltiple o
compuesta.
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61
2 cm 5cm cm mcm
3 cm 3mcm2
cm 50 cm2 100 cm2
15 cm 150 cm2
ncm 5n5ncm2cm2
5
6
7
Ladob
Ladoa
1.8.
Elaboraryutilizarprocedim
ientospararesolverproblemasdeproporcionalidadmltiple.
6 cm2 15 cm2 30 cm2
20 cm2 10m cm2
30 cm2 75 cm2 15m cm2
2n cm2 10n cm2 mn cm2
10
10
Aumentar en 3 uno de sus lados mientras el otro permanece constante
Cuatro
Seis veces
Duplicar uno de sus lados y el otro dejarlo constante
p
Encontrar la taza constante de crecimiento en un problema de
proporcionalidad compuesta.
Otros recursosUsted encontrar ms ejercicio sobre proporcionalidad compuesta en la
siguiente pgina:
http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/magnitudes/
magnitudes_proporcionales.htm
67
Leccin 27
Sugerencias didcticasSugerimos que se le permita al alumno el uso de colores u otras tcnicas
didcticas inventadas por ellos, tales como el dibujo de banderillas,
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68
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1
2
3
4
5
10
Multiplicar el nmero de sabores por el nmero de veces que se puede cambiar cada
uno y dividir entre 2
igual
10
15
45
p j
etc., para encontrar el nmero de combinacionesen el problema 1, antes
de llegar a los diagramas de rbol, los cuales desde nuestro punto devista deben ser tomados en cuenta, ya que ilustran muy claramente
las posibilidades que se tienen para determinadas combinaciones.
Esto le permitir obtener una buena introduccin acerca del tema de
probabilidades, el cual est muy ligado al tema de las combinaciones.
Sugerimos que el profesor discuta en clase y con todo el grupo las
preguntas planteadas en el ejercicio 7.
68
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5
Valoracin del desempeo Calcular el nmero de permutaciones posibles en determinado
evento.
d d d f l l ll l
-
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65
6
1.9.
Anticiparresultadosenpro
blemasdeconteo.
1 Mara 1 Mara 1 Mara 1 Mara
23
4
5
P 23
4
5
P23
4
5
P
23
4
5 P
2 Mara 2 Mara 2 Mara 2 Mara
1
3
4
5
P 1
3
4
5
P
1
3
4
5
P
1
3
4
5 P
3 Mara 3 Mara 3 Mara 3 Mara
1
2
4
5
P 1
2
4
5
P
1
2
4
5
P
1
2
4
5 P
4 Mara 4 Mara 4 Mara 4 Mara
1
23
5
P 1
23
5
P
1
23
5
P
1
23
5 P
5 Mara 5 Mara 5 Mara 5 Mara
1
2
3
4
P 1
2
3
4
P
1
2
3
4
P
1
2
3
4 P
Ser capaz de deducir una frmula que los lleve a encontrar los
resultados deseados.
Otros recursosEn el siguiente sitio podr encontrar ms ejercicios sobre permutaciones
y combinaciones:
http://club.telepolis.com/ildearanda/index.html
20
71
Leccin 29
Sugerencias didcticasEstimar, medir y calcular son razonamientos muy importantes en
matemticas, ya que plasmar en una tabla ciertos datos le permite al
t di t bt l i t t j l i f i
-
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72
66
1
Inter valo de estatura (m) Frecuencia
De 1.30 a 1.39
De 1.40 a 1.49
De 1.50 a 1.59
De 1.60 a 1.69
2
3
Intervalo de la medida del pie (cm) Frecuencia
De 20.6 a 22.5
De 22.6 a 24.5
De 24.6 a 26.5
De 26.6 a 28.5
De 28.6 a 30.5
Respuesta libre
Respuestalibre
}
}
1.50
1.59
en el cuarto
1.40 1.30 0.10
s
estudiante obtener relaciones entre stos, y manejar la informacin
mediante su agrupamiento resulta muy prctico. En esta leccin losestudiantes tienen la oportunidad de aplicar este tipo de razonamiento
capturando informacin mediante tablas como las que presentan los
ejercicios 1, 3 y 5.
72
4
5
26.6
Valoracin del desempeo Saber medir, estimar, agrupar y analizar informacin mediante el uso
de tablas de frecuencia.
Aprender el concepto de amplitud de intervalo as como las
-
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73
67
5
Intervalo de estatura (cm) Frecuencia
De 130 a 139 3
De 140 a 149 9
De 150 a 159 8
De 160 a 169 5
De 170 a 179 1
6
1.1
0.
Interpretarycomunicarinformacinmediantetablasdedatos
agrupados.
24.52
A un vendedor de calzado
X Porque la informacin est dada por intervalo
X No se especifica
El quinto
En el segundo
151 cm
Respuesta libre
Aprender el concepto de amplitud de intervalo, as como las
nociones de promedio y frecuencia.
Otros recursosEn la siguiente pgina encontrar de manera ms profunda las
definiciones manejadas durante esta leccin:
http://club.telepolis.com/ildearanda/index.html
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Leccin 13
Sugerencias didcticasEn los ejercicios 1al 4, el profesor puede darse cuenta del aprendizaje
del estudiante en relacin con las operaciones aritmticas (con signos
diferentes). Posteriormente ver su desempeo en el clculo de
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7070
1
2
3
4
5
6
7
8
3x
5x+6
5x+6
3x
determinado evento, aplicando distintas formas de resolverlo; tambinpodr evaluar la identificacin de proporciones que maneja, as como el
uso correcto del lenguaje algebraico (planteamiento de ecuaciones de
primer grado).
En los ltimos ejercicios debe cerciorarse de que el estudiante ha
comprendido las propiedades de un sistema de rectas paralelas, ya que
deber calcular el valor de los ngulos formados con base en stas.
Finalmente analizar una serie de datos de los que tendr que extraer
el punto medio, la frecuencia y elaborar el polgono de frecuencias.
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1
2p+3
4p+3
2p+28p 20
Valoracin del desempeo Evaluar si el estudiante fue capaz de responder los ejercicios
haciendo uso de los temas vistos durante el bloque 1.
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7171
2
3
4
5
a
a+1
bx
a
x+20
(a + 1 ) ( a )
a2+ a
100 == 80
Son aquellas que en su punto de corte forman ngulos rectos ( R.L .)
Respuesta libre
Respuesta libre
Otros recursosUsted puede encontrar una cantidad mayor de ejercicios para evaluarlos contenidos de este primer bloque en la siguiente pgina electrnica:
http://www.fermatsi.org/Lecciones.htm
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Sugerencias didcticasEsta parte es muy entretenida, ya que recoge problemas matemticos
interesantes, y los presenta de manera ldica y al alcance de los
estudiantes. El profesor puede hacer hincapi en lo difcil que fue
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frontera
no es
una frontera
Cuatro
resolver este enigma en matemticas, pero sobre todo cerciorarse de queel alumno comprendi el problema y lo estimul a investigar ms sobre
el mundo de las matemticas.
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Valoracin del desempeo Reconocer y comprender el problema de los cuatro colores.
Otros recursos
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Cuatro Dos
Dos Cuatro
Un sitio de divulgacin que aborda el problema de los cuatro colores esel siguiente:
http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/
nombres/mate1o.htm
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Y para terminar...Sugerencias didcticasSiguiendo con la parte ldica de las matemticas, esta pgina contiene
un par de juegos de adivinanzas con nmeros. Es importante que el
docente promueva en el estudiante la bsqueda de una explicacin al
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(2x + 1 ) 5 5 + y = 10x + yx = decenasy = unidades
razonamiento matemtico qu es lo que los hace funcionar.
Valoracin del desempeo Traduccin del lenguaje natural al algebraico.
Valorar la precisin, simplicidad y utilizacin del lenguaje algebraico
para representar, comunicar o resolver diferentes situaciones de la
vida cotidiana.
Otros recursosUsted puede encontrar una cantidad mayor de adivinanzas matemticasen la siguiente pgina electrnica:
http://www.fermatsi.org/
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