guía 80: Áreas, conteo y probabilidad

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CH-FyA-0496

Guía 80: Áreas, conteo y probabilidad

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Guía

80 Meta 27

GRADO 8

GUÍA DEL ESTUDIANTE

ÁREAS, CONTEO Y

PROBABILIDAD

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Guías de Aprendizaje de Cualificar Matemáticas

Fe y Alegría Colombia

Fe y Alegría Colombia

Víctor Murillo

Director Nacional

Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos

Jaime Benjumea - Marcela Vega

Autores de la guía 80

Francy Paola González Castelblanco

Andrés Forero Cuervo

Coordinación pedagógica


Andrés Forero Cuervo

GRUPO LEMA www.grupolema.org

Revisores

Jaime Benjumea


http://www.grupolema.org/

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Guía

80 GRADO 8

ÁREAS, CONTEO Y PROBABILIDAD

GRADO 8 - META 27 - PENSAMIENTO ALEATORIO

Guía 79

(Duración 13 h)

• Frecuencias simples absolutas,

simples relativas, acumuladas

absolutas y acumuladas relativas.

• Frecuencias en histogramas y otras

representaciones.

• Máxima “frecuencia” en un conjunto

de datos agrupados.

• Aproximación del promedio y la

mediana en datos agrupados.

• Analizar si el promedio o la mediana

son buenas medidas de centro de un

conjunto de datos dados.

Guía 80

(Duración 13 h)

ACTIVIDAD 1

• Conteo con modelos de área.

• Relaciones entre modelos de área,

árboles y tablas.

ACTIVIDAD 2

• Unión de 2 o más eventos

• Eventos mutuamente excluyentes

• Probabilidad de la unión de

eventos (disjuntos o no)

• Complemento de un evento

• Probabilidad del complemento de

un evento.

Guía 81

(Duración 13 h)

• Proporciones en una población.

• Inferir proporciones de una

población con respecto a una

propiedad, a partir de una muestra.

• Profundización en técnicas de

conteo.

• Suma de los primeros n enteros

positivos.

• Introducción a combinaciones

(donde el orden no importa).

META DE APRENDIZAJE N. 27 A partir de información agrupada de tiempos de carreras, ahorros anuales, precios de venta y medidas de

plantas, entre otros datos de mi interés, los reagrupo (frecuencia: simple y acumulada; absoluta y relativa) e

identifico medidas aproximadas de tendencia (promedio y mediana); uso modelos de áreas para contar, los

relaciono con árboles de conteo y los uso para inferir proporciones en poblaciones; hallo la probabilidad de

eventos que surgen a partir de otros (eventos mutuamente excluyentes, ley de la suma), y relaciono las

probabilidades de eventos complementarios (ley del complemento), aplicándolo a situaciones de votación en

elecciones. Así, aprendo a presentar lo que sé de diversas formas y a combinar información para hacer

inferencias.

PREGUNTAS ESENCIALES, GUÍA 80: ● ¿Cómo podemos representar situaciones de conteo con un rectángulo? ¿Qué significaría el largo de cada lado,

y qué significaría el área? ● ¿Cómo podemos combinar eventos para producir otros? ¿Y cómo calculamos la probabilidad de estos eventos,

en términos de probabilidades que ya conocemos?

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EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE, GUÍA 80

● Interpreto un diagrama de área.

● Propongo un diagrama de área para una situación de conteo.

● Relaciono árboles con diagramas de área.

● Identifico si dos eventos son mutuamente excluyentes.

● Utilizo la propiedad de la suma, reconociendo cuándo usarla.

● Identifico si un evento es el complemento de otro evento dado.

Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento de trabajo

GUÍA 80

GRADO 8

ACTIVIDAD

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ACTIVIDAD 1: CONTEMOS CON ÁREAS

Aprendamos a contar objetos usando regiones rectangulares y otras de varias formas

imaginativas, y relacionemos esto con árboles y tablas de conteo.

A) Activando saberes previos: propiedades de áreas

RECUERDA QUE...

● Supongamos que nos ponemos de

acuerdo desde el inicio en el tamaño de

cierto cuadrado, que llamamos cuadrado

unitario. Decimos que tiene longitud = 1

unidad, y área = 1 unidad cuadradas.

● El área de una región es el número de

cuadrados unitarios que se necesitan

para cubrirla sin que nos sobre nada, y

sin sobreponer cuadrados unitarios. Se

mide en unidades cuadradas.

● Propiedades del área:

○ Un rectángulo de n unidades de largo y k unidades

de ancho tiene un área de n × k unidades

cuadradas.

○ Si reorganizamos las partes de una región,

conservándolas todas, entonces el área de la región

no cambia.

○ Si partimos una región en 2 o más partes, el área

de la región es la suma de áreas de las partes.

○ Si la región A cabe dentro de la región B, entonces

el área de A es menor o igual que el área de B.

PRACTICA

i) Halla el área de la región sombreada: ii) Considera esta región:

a) Halla su área en términos de las variables.


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GRADO 8

ACTIVIDAD

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b) ¿Cuánto le faltaría crecer a la región (en área)

para convertirse en un rectángulo? ¿Cuál sería el

área de dicho rectángulo? ¡Dibújalo!

(Verifica las respuestas con tu profesor)

B) Conceptos: contemos objetos con modelos de área

Exploración: Después del colegio

Antes de comenzar discute en clase: ¿Qué disciplina u oficio te gustaría seguir al graduarte de

tu colegio? ¿Qué pasos deberías seguir para decidirlo? ¿Con quién podrías hablar?

Quieres comenzar a explorar qué te gustaría hacer cuando seas grande, siguiendo tus pasiones, tus

capacidades y tu deseo por ayudar a la gente y a la comunidad.

Decides que para seleccionar una opción de formación tienes que tomar 2 decisiones:

a) La disciplina: te interesan 9 disciplinas: 5 son sociales y 4 son científicas-técnicas.

b) El instituto: haces una lista de 14 institutos donde podrías formarte en tu profesión.


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GRADO 8

ACTIVIDAD

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8

Hacemos un MODELO DE ÁREA rectangular para visualizar y

contar de cuántas formas puedes escoger.

Hay 11 × 9 = 99 distintos objetos de nuestro interés. Cada

objeto consta de una opción de disciplina y una opción de

instituto. ¡Muchísimos objetos!

También podemos hacer un árbol para

representar nuestros 99 objetos. Tendríamos

9 ramas, cada una dividida en 11 nuevas.

Estudiemos a fondo las subregiones y lo que

ellas significan.

Como ves en la imagen, hemos creado 4

regiones distintas (a, b, c y d).

Región a: Un cuadrado pequeño de área 1.

Representa un conjunto de una sola opción de formación. ¡Así

se verá nuestra decisión final!

Región b: Representa todas las opciones de restringidas a una

disciplina específica, y la región se compone de 1 × 11 = 11

objetos (uno por instituto). Así se verá cuando hayamos

decidido la disciplina. El área es 11.

Región c: Así se ve si decidimos formarnos en una disciplina

social. Hay 5×11=55 opciones, que es igual al área de la región.

Región d: Esta es una diagonal de área 9 y representa haber

seleccionado 9 opciones finales, una por cada disciplina y para

cada disciplina ya escogimos un único instituto donde podríamos formarnos, sin repetir el mismo instituto.

Ahora seamos más selectivos:


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GRADO 8

ACTIVIDAD

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Supongamos que nos interesan todos los 11 institutos para las

disciplinas sociales, pero para las técnico-científicas solo nos

interesan los primeros 4 institutos.

¿Cómo podemos representar nuestro conjunto más pequeño de

opciones? ¿Qué porcentaje del total es?

La región que obtenemos NO es un rectángulo, pero sí está

compuesta por varios de ellos. Hay 67 opciones en total, lo cual

es un poco más del 67% de la cantidad inicial.

Responde:

a) ¿Cómo representarías las 67 opciones con un árbol? (No

tienes que hacer el árbol en detalle, pero sí un esquema.)

b) Escribe al menos 3 formas de calcular el 67 de la situación anterior.

Mini-explicación: Diagramas de área para contar

DIAGRAMAS

DE ÁREA

PARA

CONTAR

● Cuando tenemos una situación de conteo en que hay que decidir opciones en 2

variables, podemos usar un DIAGRAMA DE ÁREA, que típicamente es un rectángulo,

o una región dentro de un rectángulo.

○ Cada dimensión (largo, ancho) se usa para contar las opciones para cada variable.

○ Un cuadrado unitario representa un único objeto

○ El área de la región es igual a la cantidad de cosas que queremos contar.

Un diagrama de área nos permite contar mayor cantidad de cosas que usando un árbol,

pero como el área es bidimensional, solo podemos contar objetos en donde hay que

decidir 2 aspectos. En cada caso de conteo se puede decidir qué representación utilizar,

incluso una combinación de ellas.


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ACTIVIDAD

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Paso 1: Ejemplo: Estudios del nivel de azúcar

En una población se eligió una muestra de personas para ensayar un

nuevo medicamento, según dos características: género (f, m) y nivel

de azúcar (Regular, Alto).

Observa la muestra representada en el diagrama. Supongamos por

un momento que la muestra tiene 100 personas, y preguntémonos:

a) ¿Cuántas personas serían mujeres (f)?

R: Como vemos, la muestra tiene 60% de personas

del género femenino (franja horizontal de

arriba), así que habría 60.

Este área es el 60% del área total.

b) ¿Cuántas personas

tendrían azúcar alta?

R: La región asociada es una

franja con el 30% del área.

Entonces, 30 personas

tendrían azúcar alta.

c) ¿Cuántas personas serían hombres con un

nivel regular de azúcar?

R: Primer paso: ubicar la región. Esta es un

rectángulo en la esquina abajo a la izquierda.

¿Cuál es el área relativa de

este rectángulo? Este es el

40% del 70% del área total,

o lo que es lo mismo, el 70%

del 40% del área total.

Usando la multiplicación de fracciones o

decimales, el área es igual a:

● Usando fracciones:

A = 40

100⋅70

100=

2800

10000=

28

100 (28%).

d) ¿Cuántas personas serían hombres o personas con un

nivel alto de azúcar?

R: En matemáticas, cuando decimos “esta condición o

esta otra”, admitimos la posibilidad de que ambas

ocurran, a menos que se diga lo

contrario.

Primero identificamos la región

que queremos medir en área, que

tiene forma de “L” invertida.

Hallamos el área porcentual de la

región usando varias estrategias:

• Estrategia #1: usando a) y b): como las regiones no se

intersecan y juntas componen la región de c), sumamos:

30% + 28% = 58%.

• Estrategia #2: Sumamos 30% + 40% (“palos” de

la L) y luego restamos el área común: “hombres

con azúcar alta” (rectángulo donde se pegan

esos palos), que es igual a 0,4 • 0,3 = 0,12 (12%):

30 + 40 − 12 = 58.

• Estrategia #3: Jugar con el complemento, como si


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GRADO 8

ACTIVIDAD

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11

● Usando decimales:

A = 0,4 • 0,7 = 0,28 (28%).

Así, solo 28 personas serían hombres con nivel

regular de azúcar.

fuéramos a completar un rompecabezas:

a la L le falta la región superior izquierda (“mujeres con

nivel regular de azúcar”) para sumar 100% de área.

Decimos que esta región es el COMPLEMENTO de la L.

El área del rectángulo superior izquierdo es

0,6 • 0,7 = 0,42. Entonces la L mide, en área, 1 −

0,42 = 0,58 (58%).

Paso 2: Completa este ejemplo: Una muestra distinta

Hacemos una muestra en otra población que es distinta, en donde el

nivel de azúcar es DEPENDIENTE del género. Observa el diagrama:

a) Supongamos de nuevo que hay 100 personas en la muestra.

Este es el árbol para el ejemplo anterior:

Explica cada número que ves en el árbol.

Transfórmalo en uno que comience por el nivel de

azúcar y no por el género.

Después, haz dos árboles que correspondan a la

nueva muestra: uno que comience por el género y

otro que comience por el nivel de azúcar.

b) Completa la siguiente tabla (recuerda: suponemos que hay 100

personas en la nueva muestra)

Región de la población # de personas

Mujeres 60

Hombres con nivel alto de azúcar ?

Personas con nivel alto de azúcar ?

Personas con nivel regular de azúcar ?

TOTAL 100


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GRADO 8

ACTIVIDAD

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Paso 3: Tu turno: construye el diagrama de área

Este árbol nos muestra la distribución de 200 bicicletas según dos

variables: su color (3 categorías) y su marca (2 categorías: A y B).

a) “Invierte el orden del árbol”. Es decir, haz un árbol que comience con

una ramificación de marca, y después de color.

b) Usando cualquiera de los árboles, haz un diagrama de área que

muestre los porcentajes de cada uno de los 6 tipos de bicicleta.

c) ¿Es correcto afirmar que la distribución porcentual de colores

depende del color que mires? Explica con tus diagramas.

PROYECTO

GRUPAL APLIQUEMOS LO APRENDIDO

Formen grupos de 4 estudiantes. Vamos a trabajar en un proyecto para representar y analizar

información usando diagramas de áreas y árboles:

Instrucciones:

1. Elijan 1 tema de interés para recoger los datos. Deben escoger dos variables; cada variable se

puede dividir en 2 o más categorías (recomendamos máximo 3 para que no sea tan complicado).

2. Recojan datos de alrededor de 50 − 100 objetos, anotando su categoría en cada

variable.

3. Hagan árboles y diagramas de área para visualizar la información. No olviden indicar porcentajes

por categoría, y también por combinación de categorías.

4. Analicen, usando el diagrama de área, si hay dependencia o no entre las variables.


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GRADO 8

ACTIVIDAD

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C) Resuelve y practica

1) Observa este diagrama que nos muestra las

cantidades de juegos en una biblioteca según su

tema y número de jugadores:

a) Si la biblioteca tiene 150 juegos, calcula:

● Cuántos son de dados.

● Cuántos son para 3+ jugadores.

● Cuántos son de cartas y 1-2 jugadores.

b) Haz un árbol que represente,

porcentualmente, la situación. Esto significa que

los números en los nodos deben ser porcentajes.

c) Suponiendo ahora que hay 200 juegos para 3+

jugadores, halla el total de juegos de cartas.

2) De 500 almacenes de cadena en un país, 200

abren hasta las 6pm y no tienen parqueadero.

De los otros 300, el 40% abre hasta las 10 pm y

no tiene parqueadero, y el 60% restante abre

hasta las 10 pm y tiene parqueadero.

a) Elabora un árbol y un diagrama de área para

representar la situación.

3) Sospechas que los gustos de sabores de helado

en un barrio dependen de la edad. Para eso

entrevistas a 60 personas, preguntándoles por su

sabor favorito. Esta tabla muestra los resultados:

Sabor favorito Personas

Chocolate 30 niños y 6 adultos

Limón 4 niños y 2 adultos

Mora 6 niños y 12 adultos

a) Haz un diagrama de árbol y un diagrama de área

para representar la situación.

b) Haz un gráfico circular para las preferencias de

los niños, y otro para las de los adultos.

c) Qué porcentaje de los niños prefieren limón?

d) ¿Crees que el sabor favorito depende de si le

preguntaste a un niño o a un adulto? ¿Es

independiente para algunos sabores? Explica.

4) Este árbol porcentual te muestra la distribución

de Organizaciones No Gubernamentales (ONG) en

un país, según dos tipos de clasificación.


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GRADO 8

ACTIVIDAD

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b) Seleccionas al azar uno de los 500 almacenes

y descubres que no tiene parqueadero. ¿Es más

probable que cierre a las 6 pm o a las 10 pm?

Explica usando tus diagramas.

Analiza libremente esta información, utilizando lo

aprendido anteriormente.

Recuerda utilizar diagramas de área como ayuda, o

incluso reorganizar el árbol.

D) Resumen


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ACTIVIDAD

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E) Valoración

i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno

Tema ⚫⚪⚪ No entiendo

los conceptos

(TODAVÍA)

⚫⚫⚪ Voy bien pero

quiero más

práctica

⚫⚫⚫ Comprendí

muy bien

el tema

Interpreto un

diagrama de área

Propongo un

diagrama de área

para una

situación de

conteo

Relaciono árboles

con diagramas de

área

ii) Preguntas de comprensión

1) Un diagrama de área es útil...

[ ] Solo cuando hay 2 variables.

[ ] Para 2 o más variables.

2) Un diagrama de área es útil...

[ ] Solo para datos relativos.

[ ] Para datos relativos y absolutos.

3) Si en un diagrama de área la primera

variable tiene 2 categorías y la segunda 3

categorías, entonces el rectángulo estará

dividido en...

[ ] 5 rectángulos.

[ ] 6 rectángulos.

4) Si en un diagrama de área como el de la

exploración una categoría horizontal “pesa”

10% y una categoría vertical “pesa” 5%,

entonces la región de intersección “pesa”...

[ ] 0,5 %

[ ] 50%


iii) Resuelvo un problema

Considera este diagrama que muestra la distribución

relativa de fichas en una bolsa según color y forma:

a) Haz un árbol que represente la situación.

b) Completa la tabla, suponiendo que hay 5 000

fichas en total:

Colección Cantidad

Fichas azules ?

? 450

? 3 500

Esferas lila ?

Fichas que NO son un cubo ?


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ACTIVIDAD

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azul

ACTIVIDAD 2: UNIÓN Y COMPLEMENTO DE EVENTOS

Aprendamos a unir dos o más eventos para formar un nuevo evento y calculemos su probabilidad.

Además aprendamos a calcular la probabilidad del complemento de un evento dado.

A) Activando saberes previos

RECUERDA QUE...

● Un EVENTO es un subconjunto del espacio muestral.

○ El espacio muestral es un caso particular de

EVENTO, y su probabilidad es 1.

○ El conjunto vacío (se escribe: { }) es un caso

particular de EVENTO. Decimos que es un evento

nulo, y su probabilidad es 0.

○ Ej: Al lanzar un dado, “sacar 6 o menos” es el

espacio muestral: { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } y “sacar 9” es

un evento nulo, igual a { } (no tiene resultados

posibles, luego es imposible).

● Dados dos conjuntos E y F cualesquiera,

estos pueden ser:

○ DISJUNTOS (o MUTUAMENTE

EXCLUYENTES), si NO tienen ningún

elemento en común, o

○ NO disjuntos, si comparten 1 o más

elementos.

○ Ej: los conjuntos E = {1, 2, 3, 4} y F = {5,

6} son disjuntos, pero {1, 2} y {2, 5} NO lo

son.

PRACTICA

i) Lanzas un dado de cuatro caras (1, 2, 3, 4). Menciona 16

eventos posibles, dando una descripción y escribiendo al

evento como conjunto. Los 16 conjuntos deben ser distintos.

Abajo se incluyen los primeros 4 eventos.

ii) Lanzamos un dado de 6 caras.

Considera los siguientes eventos:

E1: sacar un valor par.


GUÍA 80

GRADO 8

ACTIVIDAD

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Descripción del evento

(puede haber más de una)

Como conjunto

Sacar más de 7 { } ( NULO)

Sacar 1 { 1 }

Sacar 2 { 2 }

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

E2: sacar más de 3.

Decide si estos eventos son mutuamente

excluyentes o no.

iii) Supongamos que lanzamos tres

monedas ordenadas (así que hay 8

resultados posibles: CCC, SSS, CSS,

SCS, SSC, SCC, CSC, CCS.

a) Da un ejemplo de dos eventos que

sean mutuamente excluyentes (es

decir, que si uno sucede, el otro

NO puede suceder).

b) Da un ejemplo de dos eventos que

no sean mutuamente excluyentes.


B) Conceptos

Exploremos: Intenciones de voto

Antes de comenzar discute en clase: ¿Has participado en procesos de elecciones en tu

comunidad? ¿Qué criterios utilizas para elegir a alguien para hacer alguna tarea?

Para las próximas elecciones locales en una comunidad se va a elegir a uno de 6 candidatos.


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ACTIVIDAD

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Cada candidato tiene un plan de gobierno que incluye decidir si apoya o no construir una vía principal (un

tema controversial por los niveles de contaminación), y decidir si su inversión en educación será baja,

media o alta. Esta es la tabla de los 6 candidatos:

Candidato ¿Apoya la vía principal? Inversión en educación

Victor A. Sí, con impuestos Baja

Mónica B. No Media

Jhon Jairo C. Sí, sin impuestos Media

Guillermo D. No Alta

Ana María E. Sí, sin impuestos Alta

Claudia F. No Alta

A partir de varias encuestas se ha hecho un modelo de intención de voto, con las probabilidades de votar

por distintos candidatos (o votar en blanco). Según este modelo:

● La probabilidad de votar por un candidato que construirá la vía es 48%.

● La probabilidad de votar por un candidato que hará una inversión Media en educación es 22%.

● La probabilidad de votar por una mujer es 49%.

● La probabilidad de votar en blanco es 5%.

● La probabilidad de votar por un candidato que construirá la vía y hará una inversión Media en

educación es 15%.

Queremos responder:

i) ¿Cuál es la probabilidad de votar por un hombre?

Razonamiento: Supongamos que hay 100 encuestados.

El evento E1: “Votar por una mujer” tendría 49 resultados posibles. El evento E2: “Votar en blanco” (que

tiene 5 resultados posibles) es EXCLUYENTE al evento E1 (pues si seleccionamos un votante, él no puede

votar por una mujer y también en blanco).

Entonces el evento E(1 o 2): “Votar por una mujer o votar en blanco” (que es la unión de E1 con E2) tendrá

49 + 5 = 54 resultados posibles, dado que las 49 personas son todas distintas de las 5 personas.

El evento E3: “Votar por un hombre” es el COMPLEMENTO del evento E(1 o 2). Esto significa que los

eventos son mutuamente excluyentes y que juntos forman TODO el espacio muestral.

Entonces la suma de las probabilidades de E(1 o 2) (votar por mujer o votar en blanco) y

E3 (votar por hombre) debe ser 100, así que E4 tiene 100 − 54 = 46 resultados posibles.


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ACTIVIDAD

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49%

E1: Votar por mujer

5%

E2: Votar

en blanco

46%

E3: Votar por hombre

ii) Cuál es la probabilidad de votar por un candidato que NO construirá la vía?

Razonamiento: Pensemos en los siguientes 3 eventos:

● Votar por un candidato que construirá la vía;

● Votar por un candidato que NO construirá la vía;

● Votar en blanco.

Lógicamente todo votante debe tomar exactamente una de las tres decisiones anteriores: o vota en

blanco, de lo contrario votará por un candidato, y ese candidato construirá la vía, o no lo hará.

Los 3 eventos anteriores son MUTUAMENTE EXCLUYENTES entre sí, y juntos forman TODAS las

posibilidades. Entonces la suma de sus probabilidades debe ser igual al 100% (pues no hay repeticiones).

Como 100 − 5 − 48 = 47, la probabilidad de votar por un candidato que no construirá la

vía es 47%.

iii) ¿Cuál es la probabilidad de votar por un candidato que construirá la vía o hará una inversión media en

educación (o ambas)?

Razonamiento: a simple vista uno podría pensar que basta con sumar 48 + 22 = 70% y esa es la respuesta.

Sin embargo, al hacer esta suma estamos contando dos veces a las

personas que votan por un candidato que construirá la vía Y hará

una inversión media en educación.

En otras palabras: tanto el 48 como el 22 incluyen un valor común X

que representa votantes por un candidato con ambas propiedades

(construir la vía Y inversión media en educación), luego debemos

restar ese valor. ¡Afortunadamente lo conocemos! X = 15%.

Respuesta: 48 + 22 − 15 = 55%.

Responde:

a) ¿Cuál es la probabilidad de votar por un candidato que NO hará una inversión media en educación?

b) Quieres conocer la probabilidad de votar por un candidato que sea mujer o que no construirá la vía.

¿Qué información te va a servir? ¿Y cuál te va a faltar todavía? Explica.


GUÍA 80

GRADO 8

ACTIVIDAD

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MINI-EXPLICACIÓN: Probabilidad de eventos mutuamente excluyentes y probabilidad del

complemento de un evento

PROBABILIDAD

DE

EVENTOS

MUTUAMENTE

EXCLUYENTES

Y

PROBABILIDAD

DEL

COMPLEMENTO

Eventos mutuamente excluyentes:

En un experimento de azar o una situación estadística, dos eventos E y F son

MUTUAMENTE EXCLUYENTES si son disjuntos como conjuntos. Esto es, NO

pueden ocurrir ambos al tiempo, porque ellos no comparten resultados posibles.

Ser MUTUAMENTE EXCLUYENTE no es una propiedad de un evento, sino es una

relación entre dos eventos.

Si dos eventos E y F son MUTUAMENTE EXCLUYENTES y tienen probabilidades p y

q, entonces la probabilidad del evento “Ocurre E u ocurre F” es igual a p + q.

Así: Si E y F son mutuamente excluyentes, entonces P(“E o F”) = P(E) + P(F).

Complemento de un evento:

Si E es un evento, entonces el COMPLEMENTO de E es el evento “NO ocurre E”. Si

llamamos F a este evento (F = “NO E”) entonces E y F son complementarios y además

P(F) + P(E) = 1 (dado que E y F cubren a todo el espacio muestral, luego deben sumar

100%, es decir, sumar 1). Entonces obtenemos la siguiente regla del complemento:

P(“No E”) = 1 − P(E).

Decimos que dos eventos A y B son COMPLEMENTARIOS si A = NO B (o lo que es lo

mismo, lógicamente: si B = NO A). Dos eventos complementarios deben sumar 1 en

sus probabilidades.

Encontrando probabilidad para la unión de eventos:

En general, dados dos eventos E y F (ya sean mutuamente excluyentes o no), se tiene

la siguiente regla:

P(“E o F”) = P(E) + P(F) − P(“E y F”) (“E y F” es el evento de que ocurren

ambos).

Partiendo el espacio muestral en tres eventos:

Dados dos eventos A y B, podemos construir los siguientes 3 eventos:

E1: “A y NO B” ; E2: “B y NO A” ; E3: “A y B”.


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GRADO 8

ACTIVIDAD

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Se tiene entonces que estos tres eventos son mutuamente excluyentes entre ellos y

además cubren todo el espacio muestral. Así: P(E1) + P(E2) + P(E3) = 1.

Por ejemplo, si A = “voy al parque” y B = “llueve”, entonces hay tres casos disjuntos:

E1: voy al parque y no llueve ; E1: no voy al parque y llueve ; E1: voy al parque y llueve.

La suma de las probabilidades de estos 3 eventos es igual a 1.

Paso 1: Ejemplo: Eventos mutuamente excluyentes al

sacar 2 pelotas

Tenemos una bolsa con muchas pelotas de 3 colores distintos:

Blanco (B), Curuba (C) y Rojo (R).

El experimento de azar consiste en sacar 2 pelotas al tiempo y

mirar qué colores salieron.

Nos dan las

siguientes

probabilidades:

● P1 = P(No sacar ninguna C) = 39,5%.

● P2 = P(Sacar una C y la otra R) = 33%.

● P3 = P(Sacar ambas B) = 3,3%.

● P4 = P(Sacar al menos una B) = 39,5%.

● P5 = P(Sacar una B y la otra R) = 19,7%.

a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar exactamente 1 B?

R: Los eventos “sacar exactamente 1B” y “sacar 2B” son mutuamente excluyentes y juntas conforman el

evento “sacar al menos 1B”.

? Exactamente 1B

3,3%

Exactamente 2B = 39,5%

Al menos 1B

Así, usando la ley de la suma (en forma de resta), P(exactamente 1B) = 39,5 − 3,3 = 36,2%.

b) ¿Cuál es la probabilidad de sacar ambas pelotas distintas?

R: Hay dos formas excluyentes de sacar ambas pelotas distintas: “sacar exactamente 1B”, o “sacar 1C y la

otra R”. Las probabilidades respectivas son 36,2% y 33%.


GUÍA 80

GRADO 8

ACTIVIDAD

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22

36.2% Exactamente 1B

33%

1C y 1R = ?

Dos pelotas distintas

Usando el principio de la suma: P(“sacar ambas pelotas distintas”) = 36,2% + 33% = 69,2%.

c) ¿Cuál es la probabilidad de sacar exactamente 1R?

R: Observa: los eventos “1C y 1R” y “1B y 1R” son mutuamente excluyentes y su unión es igual a “Sacar

exactamente 1R”:

33% 1C y 1R

19,7%

1B y 1R = ?

Exactamente 1R

Por el principio de la suma, P(exactamente 1R) = 33% + 39,5% = 52,7%.

Paso 2: Completa este ejemplo: ¿Qué más podemos saber?

Retomemos el ejemplo anterior. La tabla resume nuestros hallazgos:

Ninguna Exactamente 1 Ambas

B 36,2% 3,3%

C 39,5%

R 52,7%

● P1 = P(No sacar ninguna C) = 39,5%.

● P2 = P(Sacar una C y la otra R) = 33%.

● P3 = P(Sacar ambas B) = 3,3%.

● P4 = P(Sacar al menos una B) = 39,5%.

● P5 = P(Sacar una B y la otra R) = 19,7%.

Nuestro objetivo es completar la tabla de arriba. ¿Será posible? Intentemos.

a) ¿Las filas de la tabla suman 100? ¿Las columnas? ¿Ambas? Identifica cuál o cuáles y justifica. Usa eso

para aumentar la información de la tabla.

b) El evento “Sacar una B y la otra R” es un “subevento” (subconjunto) de “Sacar exactamente 1B”. ¿Qué

evento completa el siguiente diagrama?

19,7% 1B y 1R

?

¿ Evento ? = 36,2%

Exactamente 1B

c) Usa b) para hallar P(Exactamente 1C) y pon esta información en la tabla.

d) ¿Se te ocurre cómo encontrar P(Ambas R)? (Ayuda: ¿qué significaría negar este evento? ¡Ya tienes

todas las piezas para armar el rompecabezas!)


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ACTIVIDAD

2

23

Paso 3: 1-2-4: Tu turno (individual, en parejas y en grupos de 4)

Lancemos dos dados imaginarios de 3 caras

(numeradas del 1 al 3), de forma que tenemos

9 resultados posibles.

El problema es que uno de los dados está cargado,

luego no todas sus caras tienen la misma

probabilidad.

Esta tabla resume probabilidades de varios

eventos. Completa la tabla.

Evento E P(E)

Que la suma sea 2 0,170

Que la suma sea par 0,583

Que la suma sea múltiplo de 3 0,333

Que la suma sea 4 o más 0,583

Que la suma sea impar ?

Que la suma sea 5 ?

Comparte tu respuesta con otro estudiante pareja de estudiantes. Pónganse de acuerdo en las

respuestas y comparen sus métodos de solución.

Reúnanse con otra pareja y compartan sus tablas. Ahora entre todos encuentren la

probabilidad de cada una de las cinco sumas posibles y verifiquen que suman 1.

Finalmente, busquen a su profesor para dialogar y compartir sus deducciones, aclarando los

conceptos.

C) Resuelve y practica

1) Si la probabilidad de que el sábado llueva es

del 45%, ¿cuál es la probabilidad de que no llueva?

Justifica.

2) Juan va a un parque natural para ver osos. La

probabilidad de que vea al menos un oso es 58%.

La probabilidad de que vea al menos un oso rojo es

31%.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no vea osos?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que vea uno o más

osos, y al menos uno sea rojo?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que no vea osos, o

que vea pero que ninguno sea rojo?

Usando la tabla, responde:

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo

pierda un partido dado?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que empate un

partido dado?

4) Supongamos que lanzamos una moneda (C,S) y un

dado de 6 caras al tiempo.

a) ¿Cuál es el tamaño del espacio muestral?

b) Encuentra 3 eventos, todos de la misma

probabilidad, que sean mutuamente

excluyentes entre sí y que cualquier

resultado posible pertenezca a un (único) de

esos eventos.


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ACTIVIDAD

2

24

2) Supongamos que la probabilidad de que un

equipo de fútbol gane un partido es 0,4 y la

probabilidad de que empate es 0,35.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que pierda?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que no gane?

3) Supongamos que la probabilidad de que un

equipo de béisbol gane un partido es 60%.

Además, dado que el equipo no gane, este tendrá

un 80% de probabilidad de empatar y 20% de

perder.

a) Completa la tabla, suponiendo que el equipo

juega 50 partidos:

# de partidos que se espera ganar 31

# de partidos que se espera

empatar ?

# de partidos que se espera

perder ?

TOTAL 50

5) En una bolsa hay 30 fichas. 20 de esas 30 son

verdes, y 14 de esas 30 son cubos.

Si 5 de las fichas no son ni verdes ni cubos, ¿cuántos

cubos verdes hay? Ayuda: puedes completar esta

“tabla lógica”:

FICHAS Verdes No verdes TOTAL

Cubos ? ? ?

No cubos ? ? ?

TOTAL 20 ? ?

PROBLEMAS DE KHAN ACADEMY

Tema: Sumar probabilidades

Mira los videos y responde las preguntas https://es.khanacademy.org/math/statistics-

probability/probability-library/addition-rule-

lib/e/adding-probability?modal=1

https://es.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library/addition-rule-lib/e/adding-probability?modal=1




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D) Resumen


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E) Valoración

i) Califica tu comprensión por tema en tu

cuaderno

Tema ⚫⚪⚪ No entiendo

los

conceptos

(TODAVÍA)

⚫⚫⚪ Voy bien

pero quiero

más práctica

⚫⚫⚫ Comprendí

muy bien

el tema

Identifico si

dos eventos

son

mutuamente

excluyentes

Utilizo la

propiedad de

la suma,

reconociendo

cuándo usarla

Identifico si

un evento es

el

complemento

de otro

evento dado

ii) Preguntas de comprensión

1) Si A y B son dos eventos mutuamente

excluyentes...

[ ] entonces P(A) + P(B) = 1.

[ ] entonces P(A o B) = P(A) + P(B).

2) Si A y B son dos eventos complementarios...

[ ] entonces P(A) = P(B).

[ ] entonces P(A o B) = 1.

3) Para el experimento “lanzar 5 monedas”, el

complemento del evento “ninguna cae cara”

es...

[ ] “todas caen en sello”.

[ ] “al menos una cae en sello”.

4) Se va a seleccionar al azar 1 de 100

personas, de las cuales 60 son peruanas y 35

son niños. Si ninguno de los niños es peruano,

entonces...

[ ] la probabilidad de seleccionar un adulto no

peruano es 0.05.

[ ] la probabilidad de seleccionar un niño

peruano es 0.25. (Verifica las respuestas con tu profesor)

iii) Resuelvo un problema Un vendedor de muebles afirma que cada día tiene 52% de probabilidad de vender al menos 1 mueble,

34% de probabilidad de vender al menos 2 muebles y 14% de probabilidad de vender 3 o más muebles.

a) Luisa y Juan tienen un desacuerdo:

• Luisa dice que el vendedor tiene 48% de probabilidad de no vender nada en un día, porque ese evento

es el complemento de “vender al menos 1 mueble”.

• Juan, por el contrario, afirma que como 52 + 34 + 14 = 100, entonces es imposible que el vendedor no

venda nada en un día dado.

¿A cuál le das la razón? Justifica tu respuesta.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el vendedor venda exactamente 2 muebles en un día dado? Justifica

tu respuesta.

guía 80: Áreas, conteo y probabilidad

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