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1

Bienvenido a la serie de guías resueltas de Exapuni! Esta serie de guías resueltas fue

hecha por estudiantes de la comunidad Exapuni para facilitar el estudio y con la mejor

intención de ayudar. Esperamos que te sean útiles. Podés buscar todo el material,

responder tus dudas y mucho más durante toda tu carrera en www.exapuni.com,

sumate!

Derivadas

Comenzamos con la unidad de derivadas, al principio probablemente te sientas

perdido, a medida que vayas viendo los ejercicios vas a ver que la lógica de resolución

es similar y si te aprendes todas las reglas de derivación no vas a tener ningún

problema. Te recomiendo que antes de ver la resolución intentes resolver los

ejercicios por tu cuenta.

El primer tema que vamos a ver es derivada por definición, no es más que

aplicar una fórmula que nos permite obtener la derivada de una función en un punto. La

formula es la siguiente:

( )

( ) ( )

Donde es la manera de expresar la derivada de la función y es el punto en el que

queremos obtener la derivada. Vamos a aplicar esto al primer ejercicio de la guía.

Guía 5 – Derivadas Matemática CBC

2014

Ejercicio 1. Hallar, utilizando…

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2

Aclaración: Existen otras maneras de determinar la derivada por definición (usando

otras formulas), utilizamos esta porque nos parece que es la más sencilla.

a)

( ) ( )

Aplicamos la derivada por definición (vamos a obtener la derivada en un punto, en este

caso el punto es )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )( )

( )

Por la tanto la derivada en el punto es . Es muy importante tener en cuenta que

la derivada de una función es la pendiente de la recta tangente a la función. En este

caso como estamos buscando la derivada de la función en un punto estamos obteniendo

la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.

Para que se entienda mejor dejamos un

gráfico. La función curvada (verde) sería

nuestra función original y la función lineal

(azul) es la recta tangente a la función en

el punto .


3

La recta tangente tiene la siguiente forma:

( )( ) ( )

Ya obtuvimos ( ) utilizando la derivada por definición, nos falta determinar ( ).

( )

( )

Por lo tanto la recta tangente a la función en el punto es:

( )⏟

( ⏟

) ( )⏟

( )

Ahora graficamos:

b)

( ) ( )

Derivemos por definición:

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )


4

( )

( )

( )( )

( )

Ya tenemos la pendiente de la recta tangente a la función en el punto . Ahora

podemos determinar la recta tangente:

( )( ) ( )

( )

Graficamos:

c)

( )

( )


( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )


5

( )

( )

( )

( )

( )( )

( )

Ahora podemos determinar la recta tangente:

( )( ) ( )

( )

Graficamos:

d)

( )

( )


( )

( ) ( )


6

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Ahora podemos determinar la recta tangente:

( )( ) ( )

( )

Graficamos:

Las derivadas se pueden determinar como hicimos en el ejercicio anterior

utilizando la definición, sin embargo, esa no es la única forma. Podemos usar reglas que

permiten obtener las derivadas de una manera mucho más sencilla. Vamos a ir

explicando las reglas a medida que resolvemos los ejercicios.

a)

Ejercicio 2. Hallar la derivada…


7

( )

En este ejercicio vamos a ver la regla más básica para derivar. Cuando tenemos una

variable elevada a un exponente tenemos que colocar el exponente de la variable

multiplicando a la variable y restarle al exponente. Entonces en este caso la solución

es:

( )

La regla se puede expresar de forma genérica de la siguiente manera:

Siendo ( ) , la derivada es ( ) .

b)

( )

Aplicando la regla que ya conocemos:

( )

c)

( )

Lo que vamos a hacer es expresar la función de otra manera para aplicar la regla de

los incisos anteriores:

( )

Ahora podemos aplicar la regla:

( )

d)

( )

En este caso tenemos tres términos en nuestra función, la derivada se aplica a cada

uno por separado.

( )

Aclaraciones:


8

La derivada de es ya que el exponente de la variable es . Al restarle

nos queda lo que es igual a .

La derivada de una constante es siempre (es otra regla a tener en cuenta).

e)

( )

En este caso tenemos dos términos en nuestra función, la derivada se aplica a cada

uno por separado. Para el término podemos aplicar la regla de los incisos anteriores

y para el tenemos que aplicar otra regla. La derivada del siempre es –

y la derivada del es . No olvides esta regla que se usa mucho. Ahora

podemos resolver:

( )

f)

( )

√

Este inciso es similar al c. Vamos a expresar la función de otra manera:

( )

( )

Recordá que al multiplicar dos variables iguales se suman sus exponentes.

( )

Y ahora aplicamos la regla que ya conocemos:

( )

g)

( )

En este ejercicio necesitamos una regla nueva, la derivada de es

. Vamos a usar

esta regla para resolver:

( )


9

h)

( )

En este caso no podemos usar las reglas que ya conocemos lamentablemente, sino que

se usa una regla conocida como la derivada de un producto. La misma se expresa

genéricamente de la siguiente manera ( ) y como ayuda memoria se

puede usar la frase: “la derivada del primero por el segundo sin derivar más ( ) el

primero sin derivar por la derivada del segundo”. Veamos qué pasa con la derivada:

( )

Recordá que la derivada del es .

i)

( )

En este inciso tenemos que usar la derivada de un producto y también tenemos que

tener en cuenta que la derivada de es . Es un caso muy particular en la que la

derivada de la función es la misma función. Resolvamos:

( )

El segundo termino cambia de signo porque la derivada del es – .

j)

( ) ( )

Usamos la derivada de un producto. El primer término en este caso es ( ) y el

segundo . Tomamos a ( ) como un único termino, también podríamos distribuir

multiplicando pero el resultado será el mismo.

( ) ( )

k)

( ) ( )

Muy similar al ejercicio anterior:

( ) ( ) ( )

l)


10

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

m)

( )

En este ejercicio es necesario aplicar una nueva regla conocida como la regla de un

cociente. Se expresa de la siguiente forma genéricamente:

( ( )

( ))

( ) ( ) ( ) ( )

( )

La frase para recordarla es: “la derivada del primero por el segundo sin derivar menos

el primero sin derivar por la derivada del segundo, todo, sobre el segundo al

cuadrado”.

Apliquemos la nueva regla al ejercicio:

( ) ( ) ( )( )

( )

( )

( )

Ordenamos el resultado para que quede más agradable a la vista pero no es necesario.

n)

( )

Es similar al ejercicio anterior, controlá bien este tipo de ejercicios que es muy fácil

equivocarse al derivar al hacer tantas cuentas. Prestá especial atención a los signos de

los términos.

Derivemos:

( ) ( )( ) ( )( )

( )

o)

( )

( ) ( )

( )


11

p)

( )

( ) ( )

( )

q)

( )

( ) ( ) ( )

( )

r)

( )

( )

( )

( )

( )

a)

La ecuación de la recta tangente en un punto tiene la siguiente forma:

( )( ) ( )

Siendo ( ) la función y el punto en el que se quiere obtener la recta tangente. Es

importante recordar que la derivada de una función nos da como resultado la

pendiente de la recta tangente a la misma (lo vimos en el ejercicio 1). Teniendo en

cuenta esto ya podemos resolver:

( )

Vamos a obtener los valores que necesitamos para determinar la recta tangente:

( )

( )

( )

( )

Ejercicio 3. Hallar la ecuación…


12

( )

( )

( )

( )

Por lo tanto la recta tangente en el punto es:

( )

b)

( )

Calculemos:

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )


( )

c)

( )

Calculemos:

( ) ( )

( )

( )



13

( )

Tener en cuenta que al derivar pusimos como resultado , esto corresponde a

una regla conocida como derivación en cadena y lo vamos a ver en profundidad en el

siguiente ejercicio (un caso similar si querés verlo directamente es el del inciso i del

ejercicio 4)

d)

( )

√

Calculemos:

( )

√

( )

Reescribimos la ecuación para obtener la derivada

( )

( )

( ) ( )

( )


( )

Ejercicio 4. Hallar la derivada…


14

En este ejercicio vamos a utilizar las reglas que venimos usando pero teniendo

en cuenta una regla conocida como la regla de la cadena. La explicación es bastante

técnica, tiene que ver con dependencia entre variables. Pensamos que lo mejor es verlo

en los ejercicios explicando como la aplicamos detalladamente. La regla es intuitiva,

veamos qué pasa con los ejercicios.

a)

( ) ( )

La idea de la regla de la cadena es derivar de afuera hacia adentro e ir multiplicando

los resultados. En una frase suena medio raro. En este ejercicio tenemos un término

elevado a la cuarta. Recordá que cuando una variable se encuentra elevada a un

exponente se multiplica la variable por el exponente y se eleva la variable al exponente

menos uno. Expresado matemáticamente: Si ( ) , la derivada es ( ) .

Lo que vamos a hacer es aplicar esta lógica para resolver, veamos como lo aplicamos:

( ) . Notar que aplicamos una regla que ya conocíamos y consideramos que el

término es la variable. Sin embargo el ejercicio no termina así, luego de la

derivación que acabamos de aplicar tenemos que derivar el término y la

derivada multiplicarla por el resultado de la primera derivación que realizamos.

Veamos el ejercicio entonces:

( ) ( )

( ) ( )

Notar que el es la derivada de y lo colocamos multiplicando.

b)

( ) √

Expresamos la función de otra manera para derivar de forma más simple:

( ) ( )

Y ahora la derivada es similar al inciso anterior:

( )

( )

( )

Notar que el es la derivada de y lo colocamos multiplicando.


15

c)

( ) (

)


( ) ( )

Derivamos:

( ) ( ) ( )

d)

( ) ( )

Recordar que la derivada del ( ) es ( ). Resolvamos:

( ) ( )( )

e)

( ) ( )

( ) ( ) ( ( ))

f)

( ) ( )

Recordar que la derivada de es

.

( )

( )

g)

( ) √ ( )


( ) ( ( ))

( )

( ( ))

( ( ))

h)


16

( ) √( )


( ) ( )

( )

( ) ( )

i)

( )

Recordar que la derivada de es .

( ) ( )

j)

( ) ( ( ))

( ) ( ( )) ( )

k)

( ) ( )

Tener en cuenta que en el exponente tenemos que aplicar la derivada del producto.

( ) ( )( ( ) ( ))

l)

( ) ( )

( )

( ( ) )

m)

( ) (

)

Tener en cuenta que al derivar al argumento del logaritmo se aplica la derivada del

cociente.


17

( )

( ( )

( ) )

( )

(

)

( )

(

)

( )

( )

n)

( ) (

)

Tener en cuenta que hay que aplicar la derivada del producto en principio y después

aplicar la regla de la cadena en cada uno de los términos.

( ) (

)

(

) ( )

( ) ( ( ) ( )

( ) ) (

) ( )

Medio complicado este ejercicio, miralo con cuidado. Cualquier duda podés consultar

en el foro de Exapuni.

o)

( ) ( )

( ) ( ) (

) ( )

p)

( ) ( )

( ) ( ( )) ( ) ( )

q)

( ) (

)


18

Lo expresamos de otra manera

( ) ( )

Tenemos que aplicar la derivada de la regla del producto:

( ) ( )

( )

r)

( )

Lo expresamos de otra manera

( )

Derivamos:

( ) ( )

Ahora tenemos que calcular la recta tangente teniendo en cuenta la regla de la

cadena para derivar.

a)

La ecuación de la recta tangente es ( )( ) ( ).

Determinemos ( ):

( ) √

En los ejercicios anteriores utilizamos la posibilidad de expresar la raíz como potencia

para resolver la derivada. Podemos tener en cuenta una regla para simplificar la

derivada de las raíces. La derivada de √ es √ .

Apliquemos entonces la derivada (no olvidar la regla de la cadena):

( )

√ ( )

Ahora utilizamos ya que tenemos que calcular la recta tangente para el punto



19

( )

√ ( ) ( )

( )

√ ( ) ( )

Ahora calculemos ( ):

( ) √ ( ) )

Ya tenemos todos los valores que necesitamos para escribir completa la ecuación de la

recta tangente:

( )( ) ( )

( )

b)

( ) ( )

Determinamos ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ( ))

Determinamos ( )

( ) ( ( ))

Por lo tanto la recta tangente es:

( )( ) ( )

( )

c)

( ) ( )

Determinamos ( )


20

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ( ) )

( )

( )

Determinamos ( )

( ) (( ) ( ) )


( )( ) ( )

( )

( )

d)

( )

Determinamos ( )

( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )( )( ( ) ) ( )( )

( ( ) )

( ) ( )( ) ( )

( )

( )

Determinamos ( )

( ) ( )

( )



21

( )( ) ( )

( )

a)

Sabemos que la pendiente de la recta tangente a una función se obtiene derivando la

función.

( )

( )

Tenemos que determinar para que valores de la pendiente es .

( )

( )

Aplicamos la formula resolvente y obtenemos que las raíces son

y

.

Cuando la función toma esos valores la pendiente de la recta tangente es .

Nos piden los puntos, nosotros hasta ahora solo tenemos los valores de . Vamos a

obtener los puntos:

( ) ( )

(

) ( (

)

)

(

) ( (

) ) ( )

Debido a que no existe el logaritmo natural de un número negativo en los números

reales tenemos que descartar el valor de

.

(

) ( (

)

) ( )

Ejercicio 6.


22

Por lo tanto (

)

b)

Es similar al inciso anterior. Tenemos que obtener la pendiente de la recta tangente,

para eso derivamos la función:

( )

Sabemos que la pendiente de la recta tangente es en el punto deseado (esto lo

sabemos mirando la ecuación de la recta tangente)

Aplicamos la formula resolvente y obtenemos los valores deseados son

y .

Nos piden un punto, vamos a obtener dos puntos:

(

) (

)

(

)

(

)

Por lo tanto (

)

( ) ( ) ( )

( )

Por lo tanto ( )

Tenemos que verificar ambos puntos con la recta tangente que nos da el enunciado:

Chequeamos en la recta tangente :

No cumple!

Veamos ahora que pasa con :


23

El punto cumple!

c)

Para este ejercicio es muy importante tener en cuenta una propiedad, cuando dos

rectas son paralelas su pendiente es necesariamente la misma. Teniendo en cuenta

esto el ejercicio se resuelve igual que los incisos anteriores.

( )

( ) ( )( ) ( )( )

( )

( )

( )

Sabemos que la pendiente de la recta tangente es

( )

Aplicamos la formula resolvente y obtenemos que las raíces son y .

Tenemos que obtener los puntos:

( ) ( ) ( )

( )

Por lo tanto ( )


24

Vamos a determinar la recta, recordar que la recta tangente es paralela a la recta

por lo tanto tienen la misma pendiente ( ).

( )

La ecuación es

( ) ( ) ( )

Por lo tanto ( )

( )

La ecuación es

La lógica de resolución es similar a la del ejercicio anterior. Primero vamos a

derivar la función ( ).

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ( ) )

( ) ( )

Tenemos la pendiente de la recta tangente:

Para que se cumpla debe ser igual a .

A su vez también sabemos que el punto en el punto tanto la función como la recta

tangente tienen la misma imagen.

Ejercicio 7. Sea ( )…


25

( )

( ) ( ) ( )

( )

Igualamos:

Ahora podemos obtener el valor de :

( ) ( )

Primero derivamos:

( )

( )

Usamos el punto

( )

( ) ( ( ) )

( )

( )

( )

( )

( )

Sabemos que la pendiente es igual a .



26

( )

Si la recta tangente es horizontal la pendiente tiene que ser necesariamente .

Al ser horizontal la recta la variable no aparece. Un ejemplo para que quede más

claro sería . Graficamos (notar que la recta es horizontal):

( )

Derivamos:

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

Usamos el punto

( ) ( )

( ( ) )

( )

( )

( )

Sabemos que la pendiente es igual a .

( )



27

En este ejercicio nos piden que calculemos la derivada primera, la derivada

segunda y la derivada tercera. Hasta ahora venimos calculando únicamente la derivada

primera, sin embargo calcular la derivada segunda no es más que derivar la derivada

primera y lo mismo sucede con la derivada tercera. Vamos a verlo en los ejercicios.

a)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Derivamos ( ) para obtener la derivada segunda ( ( ))

( ) ( )

( ) ( )

Derivamos ( ) para obtener la derivada tercera ( ( ))

( ) ( )

( ) ( )

b)

( )

( )

( )

( )

( )

c)

( )

( ) ( )

Ejercicio 10. Calcular …


28

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

d)

( ) √

( )

√ ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

Las derivadas pueden ser utilizadas para representar situaciones físicas. No

olvidar que la matemática intenta representar a la realidad y expresarla a través de

modelos para comprenderla mejor. En este tipo de ejercicios hay que tener en cuenta

que si tengo la ecuación de desplazamiento de un móvil, la derivada primera nos da

información de la velocidad y la derivada segunda de la aceleración. Teniendo en

cuenta esta introducción podemos resolver.

Ejercicio 11.


29

a)

Derivamos para poder expresar la ecuación en función de la velocidad:

( )

( )

Vemos que sucede en :

( ) ( )

La velocidad es por lo tanto .

b)

( )

Primero obtenemos la velocidad

( )

Queremos el instante ( ) en el que la derivada se anula:

√

| |

Solo tiene sentido .

Ya tenemos el instante en el que queremos determinar la aceleración. Obtenemos la

derivada segunda:

( )

Reemplazamos .


30

( )

La aceleración es entonces .

Tener en cuenta que la unidad de medida para la posición es el ( ) la unidad de

la velocidad es ( ) y la aceleración ( ). No

vamos a entrar en detalle porque es un tema de física, sin embargo si pones esas

unidades para los resultados no vas a tener problema.

a)

Derivamos para poder expresar las ecuaciones en función de la velocidad:

( )

( )

Sabemos que en el instante tienen la misma velocidad, entonces:

( ) ( )

( ) ( )

Igualamos:

Ahora nos queda calcular , sabemos que en el instante los móviles se encuentran

en la misma posición.

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

Igualamos:

Ejercicio 12.


31

b)

La posición y la velocidad en las obtuvimos en el inciso anterior.

Velocidad =

Posición =

Recordar que los dos móviles en el instante tienen la misma velocidad y la misma

posición.

Nos queda determinar la aceleración para cada móvil en el instante , para eso

necesitamos determinar la derivada segunda:

( )

( )

Veamos que pasa en :

( ) ( )

La aceleración del móvil A en es de .

( )

La aceleración del móvil B en es de .

Una de las utilidades de las derivadas es que nos permiten determinar los

puntos críticos de la función, estos puntos críticos pueden ser los máximos o mínimos

que la función puede alcanzar. En este ejercicio la información la obtenemos del

gráfico, en los próximos vamos a tener que obtener la información analíticamente.

Resolvamos:

a)

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento se obtienen mirando el gráfico.

IC: ( )⋃ ( )

ID:( )

Ejercicio 13. Sea …


32

b)

Los máximos y mínimos locales también se obtienen del gráfico. Cuando la

función alcanza un máximo local (o relativo) y cuando la función alcanza un

mínimo local (o relativo). Tener en cuenta que estos son máximos y mínimos relativos

(locales), también existen los máximos y mínimos absolutos pero no podemos saber si

la función los tiene ya que no la conocemos.

Es importante saber que cuando hay un cambio de crecimiento en una función

nos encontramos en presencia de un máximo. Vamos a resolver:

a)

( )

Para determinar los extremos vamos a igualar la derivada primera a .

( )

es un posible extremo, sin embargo para que lo sea es necesario que el

crecimiento de la función cambie. Vamos a graficar:

Efectivamente el crecimiento cambia y en el gráfico se puede apreciar que la función

en tiene un mínimo. Es un mínimo absoluto.

IC: ( )

ID: ( )

Ejercicio 14. Estudiar los intervalos…


33

Nota: Se puede determinar el crecimiento y decrecimiento de una función

analíticamente reemplazando valores cercanos a los ceros obtenidos en la derivada de

la función (nosotros graficamos para acelerar la resolución). Si no recordás como se

hace podés verlo en la guía 2. No olvidés que tenés que usar la derivada primera para

analizar el cambio de crecimiento y no la función directamente.

b)

( )

Derivemos la función y la igualamos a .

( )

es un posible extremo. Graficamos:

Efectivamente el crecimiento cambia y en el gráfico se puede apreciar que la función

en tiene un máximo. Es un máximo absoluto.

Por lo tanto los intervalos son:

IC: ( )

ID: ( )

c)

( )


( )


34

( )

Una raíz es , nos falta obtener las raíces de . Las mismas son

y .

Veamos el gráfico:

Por lo tanto la función alcanza un máximo en y alcanza mínimos en y .

d)

( )


( )

Utilizando la resolvente obtenemos dos valores y . Veamos el gráfico:

Por lo tanto la función alcanza un máximo en y un mínimo en .

e)

( )



35

( )

( )

Utilizando la resolvente obtenemos tres valores , y . Veamos el

gráfico:

Notar que solo hay cambio de crecimiento en los valores y . Esos son los

extremos relativos. En no hay cambio de crecimiento así que no es extremo.

Concluimos entonces que la función alcanza un máximo en y un mínimo en

.

f)

( ) ( )


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ( ) )( )

( ) ( )( )

( )

Por medio de Ruffini obtenemos , y . Veamos el gráfico:


36

Notar que solo hay cambio de crecimiento en los valores y . Esos son los

extremos relativos. En no hay cambio de crecimiento así que no es extremo.

Concluimos entonces que la función alcanza un máximo en y un mínimo en .

a)

( )

Primero determinamos el dominio, debe ser diferente a .

Por lo tanto el dominio es ( ( ))

Ahora veamos qué pasa con la derivada primera.

( ) ( )

( )

Igualamos a .

( )

( )

( )

( )

Ejercicio 15. Estudiar los intervalos…


37

Obtenemos dos valores y . Veamos qué pasa en esos valores por medio de

un gráfico:

En el gráfico se puede ver que en ambos valores hay cambio de crecimiento. Por lo

tanto la función alcanza un mínimo en y un máximo en . Por la forma de la

función no se llega a apreciar bien el cambio de crecimiento, dejamos la función

acotada en el intervalo ( ) para que se vea mejor el cambio de crecimiento:

IC: ( )⋃ ( )

ID: ( )⋃ ( )

Analicemos si hay asíntotas, primero vertical:

Ahora horizontal:


38

( )

⏟

No hay asíntota horizontal.

b)

( )

Primero determinamos el dominio, debe ser diferente a . No existe ningún

valor de que haga que el denominador sea nulo



( ) ( ) ( )

( )

Igualamos a .

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

| |


39

En el gráfico se puede ver que en ambos valores hay cambio de crecimiento. Por lo

tanto la función alcanza un mínimo en y un máximo en .

IC: ( )⋃ ( )

ID: ( )

Analicemos si hay asíntotas, sabemos que no hay asíntota vertical porque no hay

restricciones de dominio. Veamos si hay asíntota horizontal.

( )

Por lo tanto hay una asíntota horizontal en .

c)

( )

( )

Primero determinamos el dominio, ( ) debe ser diferente a .

( )



( ) ( ) ( )

( )

Igualamos a .

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )


40

( )

Obtenemos tres valores , y . Veamos qué pasa en esos valores por

medio de un gráfico:

Hay un cambio de crecimiento en . Por lo tanto en la función alcanza un

mínimo.

En el gráfico no se llega a apreciar lo que pasa en . Vamos a verlo analíticamente:

( )

(

)

No hay cambio de crecimiento, por lo tanto no hay extremo.

A su vez no puede ser un extremo ya que el valor no pertence al dominio. Tene

en cuenta esto porque en este ejercicio si intentas utilizar valores cercanos al para

ver si hay cambio de crecimiento podes llegar a tener signos diferentes y llegar a

pensar que se trata de un extremo. Pero no lo es, e incluso vamos a ver que es una

asíntota vertical.

( )

Por lo tanto es una asíntota vertical. Veamos si hay asíntota horizontal:

( )

( ⏟

⏟

)


41

No hay asíntota horizontal. Nos faltan los intervalos de crecimiento y decrecimiento,

los obtenemos en base al grafico:

IC: ( )⋃ ( )

ID: ( )

d)

( )




( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

Al igualar a cero obtenemos una inconsistencia:

( )

Esto significa que no existen soluciones, por lo tanto la función no tiene extremos.

Veamos el gráfico.


42

IC:

ID: ( )⋃ ( )

Ahora veamos las asíntotas:

Por lo tanto es una asíntota vertical.

(

⏞

)

( ⏟

)

Por lo tanto es una asíntota horizontal.

e)

( ) ( )


Por lo tanto el dominio es ( ( )) {

}



43

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

Igualamos a :

( )( ) ( ) ( )

( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )

Obtenemos dos valores y . Veamos qué pasa en esos valores por medio

de un gráfico:

Se puede ver en el gráfico que en el valor la función alcanza un mínimo local y

en alcanza un máximo local.

IC: (

)⋃(

)

ID: ( )⋃ ( )

Analicemos las asíntotas:

( )

( )

( )

Por lo tanto

es una asíntota vertical.


44

( )

(

⏞

⏞

)

( ⏟

)

Por lo tanto no existe asíntota horizontal.

f)

( )




( ) ( )

( )

Igualamos a .

( )

( )

Obtenemos dos valores y

. Veamos qué pasa en esos valores por medio de

un gráfico:


45

Hay un cambio de crecimiento en

. Por lo tanto en

la función alcanza un

mínimo.

En el gráfico no se llega a apreciar lo que pasa en . Vamos a verlo analíticamente:

( )

( )

No hay cambio de crecimiento, por lo tanto no hay extremo.

IC: (

)

ID: ( )⋃ (

)

Veamos las asíntotas:


( ⏟

)

Por lo tanto no existen asíntotas horizontales.

g)

( )



46

No existe ningún valor de que haga que el denominador se anule, por lo tanto el

dominio es ( ( ))


( ) ( ) ( )( )

( )

Igualamos a .

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

| |

Grafiquemos:

Hay cambio de crecimiento en y . Por lo tanto es un máximo y

es un mínimo.

Analicemos si hay asíntota horizontal. Sabemos que no hay asíntota vertical ya que el

dominio son todos los reales. Veamos si hay asíntota horizontal:


47

( ⏟

)


h)

( ) ( )


No existe ningún valor de que haga que el denominador se anule, por lo tanto el

dominio es ( ( ))


( ) ( ) ( )

Igualamos a .

( ) ( )

( )

Grafiquemos:

En hay cambio de crecimiento por lo tanto la función alcanza un máximo en .

Analicemos si hay asíntota horizontal, sabemos que no hay asíntota vertical por que el

dominio son todos los reales:


48

⏟


i)

( )


| |

Hacemos la derivada primera:

( ) ( ) ( )( )

( )

( )

Obtenemos dos valores y . Veamos qué pasa en esos valores por medio de

un gráfico:


49

Debido a que hay cambio de crecimiento en y estamos en presencia de

extremos. es un mínimo local y es un máximo local.

IC: ( )⋃ ( )

ID: ( )⋃ ( )⋃ ( )

Determinemos las asíntotas:

Por lo tanto hay una asíntota en .

Por lo tanto hay una asíntota en .

j)

( )

Determinemos el dominio:

( )

Por lo tanto el dominio es ( ( )) ⋀

Derivemos:

( ) ( )( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )( )

( )


50

Se puede ver que hay un cambio de crecimiento en

, por lo tanto

es un

mínimo.

IC: (

)⋃ ( )

ID: ( )⋃ (

)

Calculemos asíntotas:

( )( )

( )

( )( )

( )⏟


( )( )

( )


51

( )( )

( ⏟

)


Ahora veamos si hay asíntota horizontal:

( ⏞

⏞

)

( ⏟

)

k)

( )


( )


Derivemos:

( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

( )

Grafiquemos para ver qué pasa en estos puntos:


52

Hay cambio de crecimiento, por lo tanto

es un máximo local y un mínimo

local.

IC: ( )⋃ (

) ⋃ ( )

ID: (

)⋃ ( )

Calculemos asíntotas:

( )⏟


( )⏟

Por lo tanto también es una asíntota vertical.

Ahora determinemos si hay asíntota horizontal:

(

⏞

)

( ⏟

)


l)


53

( )


( )( )


Derivamos:

( ) ( ) ( )

( )

Igualamos a :

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

Debido a que no existe la raíz cuadrada de un número negativo en los reales no hay

extremos. Grafiquemos:

IC:

ID: ( )⋃ ( )⋃ ( )

Veamos si hay asíntotas:


54

( )⏟

( )

Por lo tanto hay una asíntota vertical en .

( )⏟

( )

Por lo tanto también hay una asíntota vertical en .

Veamos si hay asíntotas horizontales:

( ⏟

)


a)

( )

Primero determinemos el dominio, expresemos de otra manera:

( ) √

No existe por lo tanto √ no se anula para ningún valor de . El dominio son todos

los reales.

Ahora determinemos los extremos derivando e igualando a :

( )

(

)

(

)

Ejercicio 16. Hallar el dominio…


55

La primera ecuación no tiene solución, solo resolvemos la segunda:

Por lo tanto hay un posible extremo en .

Veamos si hay cambio de crecimiento:

Probamos en :

( )

(

)

( ) ( )

(

)

( )

Probamos en :

( )

(

)

( ) ( )

(

)

( )

Hay cambio de crecimiento, por lo tanto es un extremo. Debido a que el

crecimiento cambia de decreciente a creciente es un mínimo.

b)

( )

Primero determinemos el dominio, expresemos de otra manera:

( )


56

No existe ningún valor de que anule el denominador, por lo tanto el dominio son todos

los reales.

Derivemos e igualemos a :

( ) ( )

( )

( )

( )

La segunda ecuación no tiene solución, resolvemos:

Veamos que sucede con el crecimiento para estos valores:

( )

( )

Hay cambio de crecimiento, como el crecimiento cambia de decreciente a creciente

es un mínimo.

( )

( )

Hay cambio de crecimiento, como el crecimiento cambia de creciente a decreciente

es un máximo.

c)

( )

El dominio de la función son todos los reales, no hay restricciones.

Derivemos e igualemos a :


57

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

La segunda ecuación no tiene solución. Resolvemos el resto:

Veamos que sucede en :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

(

) (

)

( ) (

)

( )( )

(

)

Hay cambio de signo, por lo tanto es un mínimo. Ahora veamos que pasa en

.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

No hay cambio de signo, por lo tanto no es un extremo.

d)

( ) ( )

Primero determinamos el dominio:

( ( ))

Ahora derivamos e igualamos a cero para determinar los extremos:


58

( ) ( ) ( ) (

)

( ) ( )

( )

Veamos que sucede en

:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Hay cambio de signo, por lo tanto hay un máximo en

.

Veamos que sucede en :

( ) ( )

Hay cambio de signo, por lo tanto hay un mínimo en .

e)

( ) ( )


( ( ))


59

Ahora derivamos e igualamos a cero para determinar los extremos:

( )

( )

No existen soluciones, por lo tanto no hay extremos en la función.

f)

( ) ( )


( ( ))

Derivamos e igualamos a :

( )

( )

Veamos que sucede en este valor:

( )

( )

Hay cambio de signo, por lo tanto hay un máximo en .

g)


60

( )

El dominio de la función son todos los reales, no hay restricciones.


( ) ( )

( )

En la primera ecuación no existe solución, resolvemos la segunda:

| |

Veamos que sucede para estos valores:

( ) ( ) ( )( ( ) )

( )

( ) ( ) ( )( ( ) )

( )

Hay cambio de signo, por lo tanto existe un mínimo en .

( ) ( ) ( )( ( ) )

( )

Hay cambio de signo, por lo tanto existe un máximo en .

h)

( ) ( )



61

( ( ))


( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

Veamos si es un extremo:

(

) (

)

(

)

( ) ( )

Hay cambio de signo, por lo tanto

es un mínimo.

a)

( ) ( )


( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Ejercicio 17. Hallar los intervalos…


62

Además se obtienen los resultados:

Ya tenemos los extremos. (Recordar la guía 4 para obtener los resultados)

Graficamos:

En , y la función alcanza mínimos.

En

y

la función alcanza máximos.

IC: (

)⋃ (

)

ID: (

)⋃ (

)

b)

( ) ( ) ( )


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ( ))

( ) ( )

( ) ( )


63

( )

(

)

Además se obtienen los resultados:

Ya tenemos los extremos. (Recordar la guía 4 para obtener los resultados)

Graficamos:

En

y

la función alcanza mínimos.

En

y

la función alcanza máximos.

ID: (

)⋃ (

)⋃ (

)

IC: (

)⋃ (

)

c)

( ) ( )

( )


( ) ( ) ( )

( )


64

( )

Tener en cuenta que ( ) ( ) , es una identidad trigonométrica.

La igualdad no se cumple, por lo tanto no hay extremos. Graficamos:

d)

( )

( )


( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

También se obtiene el resultado:


65

En

la función alcanza un mínimo.

En

la función alcanza un máximo.

ID: (

)⋃ (

)

IC: (

)⋃ (

)

a)

( ) ( )

Tenemos que derivar e igualar a .

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Nos dicen que el punto crítico es en .

Ejercicio 18. Sea …


66

√

b)

Veamos que pasa con :

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Graficamos:

En la función alcanza un mínimo.

En la función alcanza un máximo.

Veamos que pasa con :


67

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Graficamos:

( )


( ) ( )

( )



68

En el primer caso no existe solución.

Nos dan el valor de .

( )

Tenemos ya la función completa:

( )

Ahora obtenemos los extremos derivando e igualando a .

( ) ( )

( )

En el primer caso no existe solución. Resolvemos el segundo caso:

Graficamos:


69

En la función alcanza un mínimo.

En la función alcanza un máximo.

Comenzamos con un nuevo tipo de ejercicio, se conocen como ejercicios de

optimización. La idea de los ejercicios es obtener los máximos y mínimos ya que los

mismos se corresponden a valores en los determinada situación (planteada por el

enunciado) es optima. Comencemos a resolver:

a)

( )

( )

Para ver cual alcanza la mayor concentración necesitamos determinar los máximos de

las funciones y ver cual es mayor.

( )

( )

En el primer caso no hay solución.

( )

( )

En el primer caso no hay solución.

( )

Ejercicio 20. Las funciones…


70

La primera solución no tiene sentido debido a que la droga no ha sido administrada. Por

lo tanto nos queda la segunda:

Veamos la concentración:

En ( ) la mayor concentración se alcanza en . La concentración es:

( )

En ( ) la mayor concentración se alcanza en . La concentración es:

( )

Por lo tanto alcanza la mayor concentración.

b) La respuesta se obtiene del análisis que ya hicimos. La que tarda menos tiempo en

alcanzar la mayor concentración es . La alcanza en la primera hora.

Tenemos que determinar el perímetro mínimo, es por eso que vamos a armar

una función en base al perímetro. Sabemos que el perímetro es la suma de todos los

lados del rectángulo.

( )

Nos dan el dato del área, sabemos que el área de un rectángulo es igual a la base ( )

por la altura ( ).

⏟

Ejercicio 21. Hallar las…


71

Reemplazamos en la función:

( ) (

)

( )

Derivamos e igualamos a .

( )

Solo tiene sentido ya que la altura no puede ser negativa.

Ya tenemos la altura, ahora nos falta la base:

La altura es de 8 y la base de 8 para que el perímetro sea mínimo.

b)

Tenemos que recordar Pitágoras, el cuadrado de la hipotenusa es igual al cuadrado de

los catetos.

√

La hipotenusa es la diagonal, es la que necesitamos que sea mínima. Escribimos la

función:

( ) √


72

Recordar que tenemos el dato del área:

⏟


( ) √(

)

( ) √

Derivamos e igualamos a .

( )

√

( (

) )

√

( (

) )

(

)

Solo tiene sentido ya que la altura no puede ser negativa.

Ya tenemos la altura, ahora nos falta la base:


73

La altura es de 8 y la base de 8 para que la diagonal sea mínima.

Nos dan el dato y nos piden que el producto sea máximo. Escribimos la

función:

( )

Expresamos el dato del enunciado en función de .

⏟


( )

( ) ( )

( )


( )

Ya tenemos los dos sumandos positivos:

y

La función de la cual hay que obtener el mínimo es la siguiente:

( ) (

)


( )

Ejercicio 22. Descomponer…

Ejercicio 23. Hallar el menor…


74

Veamos para qué números se alcanza el valor mínimo.

Si :

( ) (

)

Si :

( ) (

)

Tenemos dos puntos y hay que obtener la mínima distancia entre ambos:

( ) y ( )

Recordar la formula de distancia entre dos puntos:

√( ) ( )

Siendo ( ) y ( )

( ) √( ) ( )

( ) √ ( )

( ) √

( ) √


( )

√ ( )

Ejercicio 24. Hallar el punto…


75

√ ( )

Por lo tanto:

( )

( ( ) )

( )

Nos dan el dato y nos piden que la suma de los cuadrados sea mínima.

Escribimos la función:

( )

Expresamos en función de :

⏟

Ya podemos armar la función:

( )

( ) ( )

( )

( )


( )

Ya tenemos los números:

Ejercicio 25. Hallar dos números…


76

( )


( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

El primer caso no tiene sentido porque el fármaco no fue inyectado. Graficamos:

Por lo tanto la función alcanza un máximo en

. A partir de ese momento la

concentración disminuye.

Es similar al ejercicio :

Ejercicio 26. La concentración…

Ejercicio 27. Hallar el punto…


77

( √ )

( )

Tenemos ambos puntos, vamos a obtener la mínima distancia:

√( ) ( )

Siendo ( ) y ( )

√( ) ( √ )

( ) √( ) ( √ )

( ) √

( ) √


( )

√ ( )

√ ( )

Ya tenemos el punto:

( √ )

( √ )

( )

Vamos a graficar el ejercicio:

Ejercicio 28. Un terreno…


78

Nos dicen que el alambre a usar es de metros. La cerca tiene que rodear todo el

rectángulo y además dividir los terrenos. Expresamos lo dicho en una ecuación:

Tenemos que obtener el área máxima.

( )

Expresamos la primera ecuación en función de :

⏟

( ) ( )

( )


( )

Ya tenemos la altura , nos falta obtener la base:

( )

⏟

Ejercicio 29. Un constructor…


79

Buscamos que la abertura sea máxima, lo que es lo mismo que buscar que el área sea

máxima:

( )

( ) ( )

( )


( )

Ya tenemos la altura , calculamos la base.

( )

( )


( )

( )

( ( ))

( )

( )

La temperatura máxima se alcanza a las 3 horas.

Ahora veamos la temperatura:

( )

( )

Ejercicio 30. Un constructor…


80

( )

( )

( )

Ejercicios surtidos

Recordar que la recta tangente tiene la siguiente forma:

( )( ) ( )

Tenemos que obtener ( ) y ( ). Donde .

( )

( )

( )

Obtenemos ( ):

( )

Obtenemos ( ). Donde .

( )

Con los datos que obtuvimos ya tenemos la recta tangente:

( ) ( )

Nos dan la pendiente de la recta tangente, tenemos que obtener :

( ) ( )

( )




81

( )

Sabemos que :

( ( ) )

Ya podemos obtener la ecuación de la recta tangente:

( )( ) ( )

( ) ( )

Tenemos que obtener ( ) y ( ):

( ) ( ( ) )

( ) ( )

( )

( )

( )

La recta tangente es por lo tanto es:

( )

( )

Derivamos para obtener la pendiente:

( )

Tenemos la recta tangente:



82

Obtenemos dos posibles resultados y .

Vamos a obtener los valores de para esos valores y ver si verifican en la recta

tangente del enunciado:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

Ahora veamos si verifican:

Probamos con ( ):

( )

Se verifica.

Probamos con ( ):

( )

No verifica.

Usamos la función de la recta tangente:

( )( ) ( )

( ) ( )

Primero obtenemos ( ), donde .

( ) ( )

( )

Ejercicio 4. Hallar…


83

( )

Ahora buscamos ( ):

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( ( ) )

( ( ) )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

Ya podemos obtener la recta tangente:

( )

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