1

DERIVADAS PARCIALES

Definición

Sea función y0 À E © ïïïïïïïïïïî‘ ‘8

ÐB ß B ß ÞÞÞß B Ñqqqqp0ÐB ß B ß ÞÞÞß B Ñ" # 8 " # 8

+ œ Ð+ ß + ß ÞÞÞÞÞß + Ñß + − E ß + − E" # 8`

Diremos que es derivable parcialmente en respecto a la variable 0 + B4

con ,.... donde 4 − Ö" 8× ß B œ ÐB ß B ß ÞÞÞß B Ñ" # 8

ssi existelim

B Ä+

0Ð+ ß + ßÞÞß + ß B ß + ÞÞÞß + Ñ0Ð+ ß+ ßÞÞÞÞÞß+ ÑB +

4 4

" # 4" 4 4"ß 8 " # 8

4 4

y en tal caso , se dice que la derivada parcial de respecto a la variable0

en es , dondeB + Ð+Ñ4`0`B

4

`0`B B +B Ä+

0Ð+ ß + ßÞÞß + ß B ß + ÞÞÞß+ Ñ0Ð+ ß+ ßÞÞÞÞÞß+ Ñ

4 4 44 4

" # 4" 4 4"ß 8 " # 8Ð+Ñ œ lim

Ejemplo

Sea función0 À ïïïïïïïïïïî‘ ‘#

ÐBß CÑqqqqp$B C #C &BC ## $

Determine si existen : `0 `0`B `CÐ"ß "Ñ ß Ð"ß "Ñ

Solución

`0`B B"BÄ"

0ÐBß " Ñ0Ð"ß"ÑÐ"ß "Ñ œ lim

œ œlim limBÄ" BÄ"

$B #&B#Ð)ÑB" B"

$B &B)# #

œ œ Ð $B ) Ñ œ ""lim limBÄ" BÄ"

ÐB"ÑÐ$B) ÑB"

luego : `0`B Ð"ß "Ñ œ ""

2

`0`C C "CÄ"

0Ð"ß C Ñ0Ð"ß"ÑÐ"ß "Ñ œ lim

œ œlim limCÄ" CÄ"

$C#C &C#Ð)ÑC" C"

#C )C'$ $

œ œ Ð #C #C ' Ñ œ #lim limCÄ" CÄ"

ÐC"ÑÐ#C #C' ÑC"

##

luego : `0`C Ð"ß "Ñ œ #

Ejemplo

Sea función0 À ïïïïïïïïïïî‘ ‘#

ÐBß CÑqqqqp$B C # #C & B " C B ## $ #¸ ¸ ¸ ¸

Determine si existen : `0 `0 `0 `0`B `C `B `CÐ "ß #Ñ ß Ð "ß #Ñ ß Ð "ß "Ñ ß Ð$ß "Ñ

Solución

`0`B B"BÄ"

0ÐBß # Ñ0Ð"ß#ÑÐ "ß #Ñ œ lim

œ limBÄ"

"'"! B" B #Ð "&Ñ

B"

¸ ¸ #

por laterales ,se tiene queœ œlimBÄ"

"! B" B "

B"

¸ ¸ #

lim lim limBÄ" BÄ" BÄ"

"! B" B "

B" B" B""!ÐB"ÑB " B "!B""

# # #¸ ¸œ œ

œ œ ÐB ""Ñ œ "#lim limBÄ" BÄ"

ÐB"ÑÐB""ÑB"

lim lim limBÄ" BÄ" BÄ"

"! B" B "

B" B" B""!ÐB"ÑB " B "!B*

# # #¸ ¸œ œ

œ œ ÐB *Ñ œ )lim limBÄ" BÄ"

ÐB"ÑÐB*ÑB"

por lo tanto : no existe `0`B Ð "ß #Ñ

3

`0`C C # C#CÄ# CÄ#

0Ð"ß C Ñ0Ð"ß#Ñ $ C# #C "Ð "&ÑÐ "ß #Ñ œ œlim lim

¸ ¸ $

por laterales ,se tiene queœ œlimCÄ#

$ C# #C "'

C#

¸ ¸ $

lim limCÄ# CÄ#

$ C# #C "'

C# C#$Ð C#Ñ#C "'

$ $¸ ¸œ

œ œlim limCÄ# CÄ#

$Ð C#Ñ#ÐC )Ñ Ð C#ÑÐ$#C %C)ÑC # C#

$ #

œ Ð $ #C %C )Ñ œ #"limCÄ#

#

lim lim limCÄ# CÄ# CÄ#

$ C# #C "'

C# C# C#$ÐC#Ñ#C "' $ÐC#Ñ#ÐC )Ñ

$ $ $¸ ¸œ œ

œ limCÄ#

ÐC#ÑÐ$#C %C)ÑC #

#

œ Ð$ #C %C )Ñ œ #(limCÄ#

#

por lo tanto : no existe `0`C Ð "ß #Ñ

`0`B B" B"BÄ" BÄ"

$B #& B" B #% %B %& B"Ð "ß "Ñ œ œlim lim

# # #¸ ¸ ¸ ¸

œ %ÐB "Ñ limBÄ"

B"

B"

¸ ¸

el cual por laterales ,se tiene que no existe

por lo tanto : no existe `0`B Ð "ß "Ñ

4

`0`C C " C"CÄ" CÄ"

0Ð$ß C Ñ0Ð$ß"Ñ #( C# #C #!C*#Ð &'ÑÐ$ß "Ñ œ œlim lim

¸ ¸ $

œ œlim limCÄ" CÄ"

#(Ð C#Ñ#C #!C %*C" C"

#C (C&$ $

œ œ Ð#C #C &Ñlim limCÄ" CÄ"

ÐC"ÑÐ#C #C&ÑC "

##

œ "

luego : `0`C Ð$ß "Ñ œ "

Ejemplo

Sea función0 À ïïïïïïïïïïî‘ ‘#

ÐBß CÑqqqqp#BC B C # à B Ÿ C

BC $C &B $ à B C

ÚÛÜ

Determine si existen : `0 `0 `0`B `C `BÐ"ß "Ñ ß Ð"ß "Ñ à Ð"ß #Ñ

Solución

`0`B B"BÄ"

0ÐBß"Ñ0Ð"ß"ÑÐ"ß "Ñ œ lim

(por laterales)œ limBÄ"

0ÐBß"ÑB"

lim lim

BÄ" BÄ"

0ÐBß"ÑB" B"

B"

œ œ "

lim limBÄ" BÄ"

0ÐBß"ÑB" B"

'B '

œ œ '

por lo tanto : no existe `0`B Ð"ß "Ñ

5

(por laterales) `0`C C " B"CÄ" CÄ"

0Ð"ßCÑ0Ð"ß"Ñ 0Ð"ßCÑÐ"ß "Ñ œ œlim lim

lim lim

CÄ" CÄ"

0Ð"ßCÑC " C"

#C#

œ œ #

lim limCÄ" CÄ"

0Ð"ßCÑC " C"

$C$

œ œ $

por lo tanto : no existe `0`C Ð"ß "Ñ

`0`B B" B"BÄ" BÄ"

0ÐBß#Ñ0Ð"ß#Ñ $B$Ð"ß #Ñ œ œ œ $lim lim

por lo tanto : `0

`B Ð"ß #Ñ œ $

Ejemplo

Sea función0 À ïïïïïïïïïïî‘ ‘#

)ÐBß CÑqqqqp ÐB C " #C B $ #C &BC B #¸ ¸ # #

Determine si existen : `0 `0 `0 `0`B `C `B `CÐ "ß #Ñ ß Ð "ß #Ñ ß Ð"ß "Ñ ß Ð"ß "Ñ

Solución

`0`B B"BÄ"

0ÐBß # Ñ0Ð"ß#ÑÐ "ß #Ñ œ lim

œ limBÄ"

ÐB" B B B Ð$Ñ

B"

) +1 6 10 ¸ ¸ #

œ limBÄ"

ÐB" B B "!B*

B"

) +1 ¸ ¸ #

œ limBÄ"

ÐB" B ÐB"ÑÐB *Ñ

B"

) +1 ¸ ¸

+œ B " ÐB *Ñ œ )limBÄ"

¸ ¸

luego : `0`B Ð "ß #Ñ œ )

6

`0`C C #CÄ#

0Ð"ß C Ñ0Ð"ß#ÑÐ "ß #Ñ œ lim

œ limCÄ#

Ð C# #C% #C &C"#Ð$Ñ

C #

) ¸ ¸ #

œ limCÄ#

Ð C# #C% #C &C#

C#

)¸ ¸ #

œ limCÄ#

Ð C# #C% ÐC#ÑÐ#C"Ñ

C#

) ¸ ¸

œ #C % Ð#C "Ñ œ $limCÄ#

¸ ¸

luego : `0`C Ð "ß #Ñ œ $

`0`B B"BÄ"

0ÐBß" Ñ0Ð "ß"ÑÐ"ß "Ñ œ lim

œ limBÄ"

B B" &BB '

B"

¸ ¸ #

œ limBÄ"

B B" ÐB"ÑÐB'Ñ

B"

¸ ¸

œ Ð ÑlimBÄ"

B B"

B" B"ÐB"ÑÐB'Ѹ ¸

no existeœ Ð ÐB 'ÑÑlimBÄ"

B B"

B"

¸ ¸

luego : no existe `0`B Ð"ß "Ñ

`0`C C "CÄ"

0Ð"ß C Ñ0Ð"ß"ÑÐ"ß "Ñ œ lim

œ limCÄ"

C #C# #C &C"#Ð'Ñ

C "

¸ ¸ #

œ limCÄ"

C C #C &C(

C"

2 1¸ ¸ #

œ limCÄ"

C C ÐC"ÑÐ#C(Ñ

C"

2 1 ¸ ¸

no existeœ Ð#C (ÑlimCÄ"

C C

C"

2 1 ¸ ¸

luego : no existe `0`C Ð"ß "Ñ

7

Observación

supongamos que : `0`B B+BÄ+

0ÐBß, Ñ0Ð +ß,ÑÐ+ß ,Ñ œ lim

sea se tiene que c.p. cuando 2 œ B + 2 Ä ! B Ä + con lo cual : `0

`B 22Ä!

0Ð+2ß, Ñ0Ð +ß,ÑÐ+ß ,Ñ œ lim

y se tiene que es posible con dicha notación , calcular

analogamente se tiene que : `0`B 22Ä!

0ÐB2ßC Ñ0ÐBßCÑÐBß CÑ œ lim

`0`C C ,CÄ,

0Ð+ß C Ñ0Ð +ß,ÑÐ+ß ,Ñ œ lim

sea se tiene que c.p. cuando 5 œ C , 5 Ä ! C Ä + con lo cual : `0

`C 22Ä!

0Ð+ ß ,5 Ñ0Ð +ß,ÑÐ+ß ,Ñ œ lim

y se tiene que es posible con dicha notación , calcular

`0`C 22Ä!

0ÐB ß C5 Ñ0ÐBßCÑÐBß CÑ œ lim

Ejemplo

0ÐBß CÑ œ #B / %BC B "# BC " ##

Determinar : ; `0 `0`B `CÐBß CÑ ÐBß CÑ

Solución

`0`B 22Ä!

0ÐB2ßC Ñ0ÐBßCÑÐBß CÑ œ lim

œ lim2Ä!

#ÐB2Ñ / %ÐB2ÑCÐB2Ñ "Ð#B / %BCB "Ñ2

# ÐB2ÑC " # # BC " ## #

œ Ð Ñlim2Ä!

#ÐB2Ñ / %ÐB2ÑCÐB2Ñ Ð#B / %BCB Ñ2 !

!# ÐB2ÑC " # # BC " ## #

por L`H se tiene :

8

œ lim2Ä!

%ÐB 2Ñ/ #ÐB 2Ñ C / %C #ÐB 2ÑÐB2ÑC " # # ÐB2ÑC "# #

œ %B/ #B C / %C #BBC " # # BC "# #

con lo cual : `0`BBC " # # BC "ÐBß CÑ œ %B/ #B C / %C #B

# #

analogamente :

`0`C 55Ä!

0ÐB ßC 5Ñ0ÐBßCÑÐBß CÑ œ lim

œ lim5Ä!

#B / %BÐC5ÑB "Ð#B / %BCB "Ñ5

# BÐC5Ñ " # # BC " ## #

œ Ð Ñlim5Ä!

#B / %B5 #B / !5 !

# BÐC5Ñ " # BC "# #

por L`H se tiene : œ %B ÐC 5Ñ/ %B œ %B C/ %Blim

5Ä!

$ BÐC5Ñ " $ BC "# #

con lo cual : `0`C$ BC "ÐBß CÑ œ %B C/ %B

#

Observación

En el ejemplo anterior :

0ÐBß CÑ œ #B / %BC B "# BC " ##

`0`B 22Ä!

0ÐB2ßC Ñ0ÐBßCÑ BC " # # BC "ÐBß CÑ œ œ %B/ #B C / %C #Blim# #

`0`C 55Ä!

0ÐB ßC 5Ñ0ÐBßCÑ $ BC "ÐBß CÑ œ œ %B C/ %B lim#

si en : `0`B 22Ä!

0ÐB2ßC Ñ0ÐBßCÑÐBß CÑ œ lim

consideramos que : se tiene que 1ÐB Ñ œ 0ÐB ß C Ñ 1ÐB 2 Ñ œ 0ÐB 2 ß C Ñ con lo cual

9

` `0`B 2 22Ä! 2Ä!

0ÐB2ßC Ñ0ÐBßCÑ 1ÐB2 Ñ1ÐB ÑÐBß CÑ œ œ œ 1 ÐBÑlim lim

y como considera a como una función que depende1ÐB Ñ œ 0ÐB ß C Ñ 0 sólo de ,derivando respecto a se tiene :B B `1 ÐBÑ œ %B/ #B C / %C #B œ ÐBß CÑBC " # # BC " `0

`B

# #

analogamente :

si en : `0`C 55Ä!

0ÐB ßC5 Ñ0ÐBßCÑÐBß CÑ œ lim

consideramos que : se tiene que 1ÐC Ñ œ 0ÐB ß C Ñ 1ÐC 2 Ñ œ 0ÐB ß C 5Ñ con lo cual ` `0

`C 5 55Ä! 5Ä!

0ÐB ßC5 Ñ0ÐBßCÑ 1ÐC5 Ñ1ÐCÑÐBß CÑ œ œ œ 1 ÐCÑlim lim

y como considera a como una función que depende1ÐC Ñ œ 0ÐB ß C Ñ 0 sólo de ,derivando respecto a se tiene :C C `1 ÐCÑ œ œ %B C/ %B œ ÐBß CÑ$ BC " `0

`C

#

Ejemplo

Sea 0ÐBß Cß DÑ œ Ð#BC "Ñ D $ $ # #BC'D "#

Determinar : `0 `0 `0

`B `C `DÐ"ß "ß "Ñ à Ð"ß "ß "Ñ à Ð"ß "ß "Ñ

Solución

`0 #C `0`B D " `B

$ $ # #ÐBß Cß DÑ œ 'C Ð#BC "Ñ D à Ð"ß "ß "Ñ œ &#

`0 `0`C D " `C

# $ # # #BÐBß Cß DÑ œ ")BC Ð#BC "Ñ D à Ð"ß "ß "Ñ œ "*#

`0 `0`D ÐD "Ñ `D

$ $ #DÐ#BC'ÑÐBß Cß DÑ œ #Ð#BC "Ñ D à Ð"ß "ß "Ñ œ !# #

10

Ejemplo

Sea 2ÐBß CÑ œ $B #C ß ÐBß CÑ Á Ð "ß "Ñ

& ß ÐBß CÑ œ Ð "ß "Ñ

ÚÝÛÝÜ

ÐB"Ñ ÐC"ÑÐB"Ñ ÐC"Ñ

#

# #

Determinar

`2 `2 `2 `2`B `C `B `CÐ "ß "Ñ Ð "ß "Ñ Ð!ß "Ñ Ð!ß "Ñ, , ,

Solución `2

`B B"BÄ "

2ÐBß"Ñ2Ð"ß"ÑÐ "ß "Ñ œ lim

œ œ œ $ œ $lim lim limBÄ " BÄ " BÄ "B" B"

$B#& $B$

por lo tanto : `2`B Ð "ß "Ñ œ $

`2`C C" C"CÄ" CÄ"

2Ð"ßCÑ2Ð"ß"Ñ Ð "ß "Ñ œ œlim lim $#C&

œ œ # œ #lim limCÄ" CÄ"

#C#C"

por lo tanto : `2`C Ð "ß "Ñ œ #

`2`B BBÄ!

2ÐBß"Ñ2Ð!ß"ÑÐ!ß "Ñ œ lim

œ œ œ $ œ $lim lim limBÄ! BÄ! BÄ!B B

$B## $B

por lo tanto : `2`B Ð!ß "Ñ œ $

`2`C C" C"CÄ" CÄ"

2Ð!ßCÑ2Ð!ß"ÑÐ!ß "Ñ œ œlim limC"

C #C# #C#

œ œlim limCÄ" CÄ"

#C 'C $C"ÐC"ÑCÐC#Ñ ÐC"ÑCÐC#Ñ

ÐC"ÑÐ#C %C"Ñ$ # #

œ œlimCÄ"

Ð#C %C"ÑCÐC#Ñ $

&#

por lo tanto : `2 &`C $Ð!ß "Ñ œ

11

Ejemplo

Sea 0ÐBß CÑ œ $CB #C B ß ÐBß CÑ Á Ð"ß "Ñ

% ß ÐBß CÑ œ Ð"ß "Ñ

ÚÝÛÝÜ

ÐB"ÑÐC"ÑÐB"Ñ ÐC"Ñ

# ## #

Determinar

`0 `0 `0 `0`B `C `B `CÐ"ß "Ñ Ð"ß "Ñ Ð"ß "Ñ Ð"ß "Ñ, , ,

Solución

`0`B B" B"BÄ" BÄ"

0ÐBß"Ñ0Ð"ß"ÑÐ"ß "Ñ œ œlim lim $B#B %#

œ œlim limBÄ" BÄ"

B B" B"

ÐB"ÑÐB#Ñ# $B#

œ ÐB #Ñ œ "limBÄ"

por lo tanto : `0`B Ð"ß "Ñ œ "

`0`C C" C"CÄ" CÄ"

0Ð"ßCÑ0Ð"ß "ÑÐ"ß "Ñ œ œlim lim $C #C "%#

œ œ Ð#C &Ñ œ (lim limCÄ" CÄ"

ÐC"ÑÐ#C&ÑC"

por lo tanto : `0`C Ð"ß "Ñ œ (

`0`B B" B"BÄ" BÄ"

0ÐBß"Ñ0Ð"ß"ÑÐ"ß "Ñ œ œlim lim ÐB"ÑÐB #B $B##Ñ$ #

œ œ ##limBÄ"

B #B $B ##$ #

por lo tanto : `0`B Ð"ß "Ñ œ ##

`0`C C" C"CÄ" CÄ"

0Ð"ßCÑ0Ð"ß "ÑÐ"ß "Ñ œ œlim lim $C #C "%#

œ œlim limCÄ" CÄ"C" C"

#C $C" Ð#C"ÑÐC"Ñ#

por lo tanto : œ Ð#C "Ñ œ $ Ð"ß "Ñ œ $limCÄ"

`0`C

12

Ejemplo Sea 1ÐBß CÑ œ #B C #B CB B $C¸ ¸ #

Determinar

`1 `1 `1 `1 `1 `1`B `C `B `C `B `CÐ!ß !Ñ Ð!ß !Ñ ß Ð"ß "Ñ Ð"ß "Ñ ß Ð"ß #Ñ Ð"ß #Ñ, , ,

Solución

`1`B B BBÄ! BÄ!

1ÐBß!Ñ1Ð!ß!Ñ #B #B B!Ð!ß !Ñ œ œlim lim

¸ ¸

œ œ # #B " œ "lim limBÄ! BÄ!

#B #B B

B

¸ ¸ ¸ ¸

por lo tanto : `1`B Ð!ß !Ñ œ "

`1 $C`C C CCÄ! CÄ!

1Ð!ßCÑ1Ð!ß !ÑÐ!ß !Ñ œ œ œ $lim lim

por lo tanto : `1`C Ð!ß !Ñ œ $

`1`B B" B"BÄ" BÄ"

1ÐBß"Ñ1Ð"ß"Ñ #B "#B B B$*Ð"ß "Ñ œ œlim lim

¸ ¸ #

œ œlim limBÄ" BÄ"

#BÐ"#BÑB B$*B" B"

&B B'# #

œ œ Ð&B 'Ñ œ ""lim limBÄ" BÄ"

ÐB"ÑÐ&B'ÑB"

por lo tanto : `1`B Ð"ß "Ñ œ ""

`1`C C" C"CÄ" CÄ"

1Ð"ßCÑ1Ð"ß "Ñ # C# C $CÐ"ß "Ñ œ œlim lim

¸ ¸ 1 9

œ œ œ ' œ 'lim lim limCÄ" CÄ" CÄ"

# ÐC#ÑC $CC" C"

'C' 1 9

por lo tanto : `1`C Ð"ß "Ñ œ '

13

`1`B B"BÄ"

1ÐBß#Ñ1Ð"ß#ÑÐ"ß #Ñ œ lim

œ limBÄ"

#B ##B #B B'Ð*Ñ

B"

¸ ¸ #

œ limBÄ"

%B B" #B B$

B"

¸ ¸ #

por laterales:

lim limBÄ" BÄ"

%B B" #B B$

B" B"%BÐB" Ñ#B B$

# #¸ ¸ œ

œ œlim limBÄ" BÄ"

'B $B$B" B"

ÐB"ÑÐ'B$Ñ

#

œ Ð 'B $Ñ œ *limBÄ"

lim limBÄ" BÄ"

%B B" #B B$

B" B"%BÐB" Ñ#B B$

# #¸ ¸ œ

œ œlim limBÄ" BÄ"

#B &B$B" B"

ÐB"ÑÐ#B$Ñ

#

œ Ð#B $Ñ œ "limBÄ"

por lo tanto : no existe`1`B Ð"ß #Ñ

`1`C C# C#CÄ# CÄ#

1Ð"ßCÑ1Ð"ß#Ñ # C# C"$CÐ*ÑÐ"ß #Ñ œ œlim lim

¸ ¸

por laterales:

lim limCÄ# CÄ#

# C# C"$CÐ*Ñ

C# C##ÐC# ÑC"$CÐ*Ñ

¸ ¸ œ

œ œ # œ #lim limCÄ# CÄ#

#C%C#

lim limCÄ# CÄ#

# C# C"$CÐ*Ñ

C# C##ÐC# ÑC"$CÐ*Ñ

¸ ¸ œ

œ œ ' œ 'lim limCÄ# CÄ#

'C"#C#

por lo tanto : no existe`1`C Ð"ß #Ñ

14

Ejemplo Sea 0ÐBß CÑ œ #B -9=ÐBC #Ñ $C # C=/8ÐBC #Ñ "# # # %

Determinar

`0 `0 `0 `0`B `C `B `CÐ#ß "Ñ Ð#ß "Ñ ß Ð#ß "Ñ Ð#ß "Ñ, ,

Solución

se tiene que : `0`B

# # # # % %œ %B-9=ÐBC #Ñ #B =/8ÐBC #ÑC #C-9=ÐBC #ÑC

`0`C# # % % $œ #B =/8ÐBC #Ñ#BC 'C #=/8ÐBC #Ñ #C-9=ÐBC #Ñ%BC

con lo cual:

`0`B Ð#ß "Ñ œ )-9=Ð# #Ñ )=/8Ð# #Ñ #-9=Ð# #Ñ œ '

`0`C Ð#ß "Ñ œ )=/8Ð# #Ñ% ' #=/8Ð# #Ñ #-9=Ð# #Ñ) œ "!

`0`B Ð#ß "Ñ œ )-9=Ð# #Ñ )=/8Ð# #Ñ #-9=Ð# #Ñ œ "!

`0`C Ð#ß "Ñ œ )=/8Ð!Ñ% ' #=/8Ð!Ñ #-9=Ð!ÑÐ )Ñ œ ##

Ejemplo Sea 2ÐBß CÑ œ B / #C # C/ BC# BC # # BC ## %

Determinar

`2 `2 `2 `2`B `C `B `CÐ#ß "Ñ Ð#ß "Ñ ß Ð#ß "Ñ Ð#ß "Ñ, ,

Solución

Se tiene que : `2`BBC # # # BC # & BC #œ #B/ B C / # C / C

# # %

`2`C$ BC # BC # % BC #œ #B C/ %C #/ )BC / B

# % %

con lo cual:

`2 `2 `2 `2`B `B `C `CÐ#ß "Ñ œ ( à Ð#ß "Ñ œ * à Ð#ß "Ñ œ % Ð#ß "Ñ œ %à

15

Ejemplo

Sea 2ÐBß CÑ œ C 68ÐBC "Ñ #B # BC68ÐBC "Ñ "$ # # %

`2 `2 `2 `2`B `C `B `CÐ#ß "Ñ Ð#ß "Ñ ß Ð"ß !Ñ Ð"ß !Ñ, ,

Solución Se tiene que:

`2`B BC "C ÐC Ñ % #BC

BC "œ %B #C68ÐBC "Ñ $ #

#

&

%

`2`C BC "# # %#BC )B C

BC "œ $C 68ÐBC "Ñ #B68ÐBC "Ñ % # %

# %

con lo cual . ; `2 " % `2

`B $ $ `BÐ#ß "Ñ œ ) #68Ð$Ñ Ð"ß !Ñ œ %

; `2 % $# `2`C $ $ `CÐ#ß "Ñ œ $68Ð$Ñ %68Ð$Ñ Ð"ß !Ñ œ !

Notaciones

Otras notaciones para las derivadas parciales usadas en diferentes textos son las siguientes : `0

`B B " BÐ+Ñ œ 0 Ð+Ñ œ H 0Ð+Ñ œ H 0Ð+Ñ

16

Teorema

Sean función y 0 ß 1 À K © ïïïïïïïî + − K‘ ‘8

ÐB ß B ß ÞÞß B qqqp 0ÐB ß B ß ÞÞß B" # " #8Ñ 8Ñ

tal que ; existen y sea constante `0 `1`B `B3 3

Ð+Ñ Ð+Ñ −- ‘

se cumple que

1.- `Ð01Ñ`B `B `B

`0 `1

3 3 3Ð+Ñ œ Ð+Ñ Ð+Ñ

2.- `Ð 0Ñ`B `B

`0-

3 3Ð+Ñ œ Ð+Ñ-

3.- `Ð0†1Ñ`B `B `B

`0 `1

3 3 3Ð+Ñ œ Ð+Ñ † 1Ð+Ñ 0Ð+Ñ † Ð+Ñ

4.- , si `Ð Ñ

`B Ð1Ð+ÑÑ

Ð+ц1Ð+Ñ0Ð+ц Ð+Ñ01

3

`0 `1`B `B3 3

#Ð+Ñ œ 1Ð+Ñ Á !

Definición

Sea función 0 À K © ïïïïïïïî‘ ‘8

ÐB ß B ß ÞÞß B qqqp 0ÐB ß B ß ÞÞß B" # " #8Ñ 8Ñ

Llamaremos función derivada parcial de respecto a la variable0

a la función que denotaremos por B ß 3 − Ö"ß ÞÞß 8×ß3`0`B

3

donde : existe función `0

`B `B`0ÐBÑ

3 3ÖB − K Î × ïïïïïïïî‘

B qqqqqqqqqp `0ÐBÑ`B3

Ejemplo

Determinar si `0 `0`B `C C "

B / #B" , 0ÐBß CÑ œ $BC/# C "#

#

Solución

`0`B C "

#B/ #B" #B"ÐBß CÑ œ $C/ 'BC/C "#

#

`0`C ÐC "Ñ#B C/ ÐC "Ñ#B C/ #B"ÐBß CÑ œ $B/

# C " # # C "# #

# #

œ $B/#B C /ÐC "Ñ

#B"# $ C "#

# #

El dominio de ellas es : ‘#

17

Ejemplo

Dada la función definida en : ‘# 1ÐBß CÑ œ CB #B %C $BC C "¸ ¸Determinar la funcion : `1`C

Solución Si consideramos que

1ÐBß CÑ œ CBÐ#B %CÑ $BC C " à B Ÿ #C

CBÐ#B %CÑ $BC C " à B   #C

ÚÛÜ

œ #B C %BC $BC C " à B Ÿ #C

#CB %BC $BC C " à B   #C

ÚÛÜ

# #

# #

casoI si B Á #C

`1`C

#

#

œ #B )BC $B " à B Ÿ #C

# B )BC $B " à B   #C

ÚÛÜ

casoII si B œ #C

por lateral`1`C C+CÄ+

1Ð#+ ßCÑ1Ð#+ß+ÑÐ#+ß +Ñ œ lim

limCÄ+

1Ð#+ ßCÑ1Ð#+ß+ÑC+

# #Ð#+ß+Ñ

œ Ð# B )BC $B "Ñ œ )+ '+ "¸

limCÄ+

1ÐB ßCÑ1ÐBß#ÑC#

# #Ð#+ß+Ñ

œ Ð #B )BC $B "Ñ œ )+ '+ "¸

luego ,se debe cumplir que : es decir : )+ '+ " œ )+ '+ " + œ !# #

luego con lo cual :`1`C Ð!ß !Ñ œ "

`1`C

#

#

œ

#B )BC $B " à B #C

" à ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ

# B )BC $B " à B #C

ÚÝÝÝÝÛÝÝÝÝÜ

18

Ejemplo Determinar ,dada

2ÐBß CÑ œ #BC $B % ß ÐBß CÑ Á Ð "ß "Ñ

" ß ÐBß CÑ œ Ð "ß "Ñ

ÚÝÛÝÜ

ÐB"Ñ ÐC"ÑÐB"Ñ ÐC"Ñ

#

# #

.- i , ii.- `2 `2`B `C

Solución

i.- caso I si ÐBß CÑ Á Ð "ß "Ñ

`2`B ÐBß CÑ œ

# ÐB"ÑÐC"ÑÒ ÐB"Ñ ÐC"Ñ ÓÐB"Ñ ÐC"Ñ#ÐB"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó

# # #

# # # #C $

œ # ÐB"ÑÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó

$

# # # #C $

caso II si ÐBß CÑ œ Ð "ß "Ñ

`2`B Ð "ß "Ñ œ &œ œ œlim lim lim

BÄ" BÄ" BÄ"

2ÐBß"Ñ2Ð"ß"Ñ &ÐB"ÑB" B" B"

&B%"

por lo tanto :

`2`B ÐBß CÑ œ

#C $ ß ÐBß CÑ Á Ð "ß "Ñ

& ß ÐBß CÑ œ Ð "ß "Ñ

ÚÝÛÝÜ

# ÐB"ÑÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó

$

# # #

ii.- caso I si ÐBß CÑ Á Ð "ß "Ñ

`2`C ÐBß CÑ œ

ÐB"Ñ ÒÐB"Ñ ÐC"Ñ ÓÐB"Ñ ÐC"Ñ#ÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó

# # # #

# # # #B

œ ÐB"Ñ ÐB"Ñ ÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó

% # #

# # # #B

caso II si ÐBß CÑ œ Ð "ß "Ñ

`2`C Ð "ß "Ñ œ #œ œ œlim lim lim

CÄ" CÄ" CÄ"

2Ð"ßCÑ2Ð"ß"Ñ #ÐC"ÑC" C" C"

#C""

por lo tanto :

`2`C ÐBß CÑ œ

#B ß ÐBß CÑ Á Ð "ß "Ñ

# ß ÐBß CÑ œ Ð "ß "Ñ

ÚÝÛÝÜ

ÐB"Ñ ÐB"Ñ ÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó

% # #

# # #

19

Ejemplo Determinar, dada

0ÐBß CÑ œ CB C $B ß ÐBß CÑ Á Ð"ß "Ñ

" ß ÐBß CÑ œ Ð"ß "Ñ

ÚÝÛÝÜ

ÐB"ÑÐC"ÑÐB"Ñ ÐC"Ñ

# ## #

.- i , ii.- `0 `0`B `C

Solución

i.- caso I si ÐBß CÑ Á Ð"ß "Ñ

`0`B ÐBß CÑ œ

ÐC"Ñ Ò ÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó ÐB"ÑÐC"Ñ#ÐB"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó

# #

# # # C 'B

œ ÐC"Ñ ÐB"Ñ ÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó

$ #

# # # C 'B

caso II si ÐBß CÑ œ Ð"ß "Ñ

`0`B Ð"ß "Ñ œ œlim lim

BÄ" BÄ"

0ÐBß"Ñ0Ð"ß"ÑB" B"

B"$B "#

œ œlim limBÄ" BÄ"

$B B#B" B"

ÐB"ÑÐ$B#Ñ#

œ &

por lo tanto :

`0`B ÐBß CÑ œ

C 'B ß ÐBß CÑ Á Ð"ß "Ñ

& ß ÐBß CÑ œ Ð"ß "Ñ

ÚÝÛÝÜ

ÐC"Ñ ÐB"Ñ ÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó

$ #

# # #

ii.- caso I si ÐBß CÑ Á Ð"ß "Ñ

`0`C ÐBß CÑ œ

ÐB"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ ÓÐB"ÑÐC"Ñ#ÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó

# #

# # # B #C

œ ÐB"Ñ ÐB"ÑÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó

$ #

# # # B #C

caso II si ÐBß CÑ œ Ð"ß "Ñ

`0`C Ð"ß "Ñ œ œlim lim

CÄ" CÄ"

0Ð"ßCÑ0Ð"ß"ÑC" C"

CC $"#

œ œlim limCÄ" CÄ"

C C#C" C"

ÐC"ÑÐC#Ñ#

œ $

por lo tanto :

`0`C ÐBß CÑ œ

B #C ß ÐBß CÑ Á Ð"ß "Ñ

$ ß ÐBß CÑ œ Ð"ß "Ñ

ÚÝÛÝÜ

ÐB"Ñ ÐB"ÑÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó

$ #

# # #

20

Ejemplo Determinar dada 0ÐBß CÑ œ B C # #BC BC $¸ ¸ #

i) , ii) `0 `0`B `C

Solución

i) `0`B

#ÐBß CÑ œ C # #C C¸ ¸

ii) en este caso el valor absoluto molesta por lo tanto,consideremos:

0ÐBß CÑ œ BÐC #Ñ #BC BC $ à C Ÿ #

BÐC #Ñ #BC BC $ à C   #

ÚÛÜ

#

#

en donde :œ #B #BC $ à C Ÿ #

#BC #BC #B $ à C   #

ÚÛÜ

#

#

caso I si C Á #

`0`C ÐBß CÑ œ %BC à C #

#B %BC à C #

ÚÛÜ

caso II si C œ #

por laterales`0`C 22Ä!

0ÐB ß#2Ñ0ÐBß#ÑÐBß #Ñ œ lim

lim2Ä!

0ÐB ß#2Ñ0ÐBß#Ñ2 ÐBß#Ñ

œ Ð %BCÑ œ )B¸

lim2Ä!

0ÐB ß#2Ñ0ÐBß#Ñ2 ÐBß#Ñ

œ Ð#B %BCÑ œ 'B¸

por lo tanto : existe ssi es decir : `0`C ÐBß #Ñ )B œ 'B B œ !

con lo cual :

`0`C ÐBß CÑ œ

%BC à C #! à ÐBß CÑ œ Ð!ß #Ñ

#B %BC à C #

ÚÛÜ

21

Ejemplo

Determinar, dada ; , 1ÐBß CÑ œ ÐB CÑ C B C B C¸ ¸ # `1 `1`B `C

Solución

En estos casos el valor absoluto molesta por lo tanto,consideremos:

1ÐBß CÑ œ ÐB CÑÐC BÑ C B C à C Ÿ B

ÐB CÑÐC BÑ C B C à C   B

ÚÛÜ

#

#

œB C C B C à C Ÿ B

B C C B C à C   B

ÚÛÜ

# # #

# # #

en donde :

caso I si C Á B

`1`B

#

#

ÐBß CÑ œ#B C à C B

#B C à C B

ÚÛÜ

`1`C ÐBß CÑ œ #C #BC " à C B

#C #BC " à C B

ÚÛÜ

caso II si C œ B

por laterales`1`B 22Ä!

1ÐB2 ßB Ñ1ÐBßBÑÐBß BÑ œ lim

lim2Ä!

1ÐB2 ßB Ñ1ÐBßBÑ2

# #ÐBßBÑ

œ Ð #B C Ñ œ #B B¸

lim2Ä!

1ÐB2 ßBÑ1ÐBßBÑ2

# #ÐBßBÑ

œ Ð #B C Ñ œ #B B¸

por lo tanto : existe ssi `1`B

# #ÐBß BÑ #B B œ #B B

ssi es decir : #B œ #B B œ !

22

con lo cual :

`1`B

#

#

ÐBß CÑ œ#B C à C B! à ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ

#B C à C B

ÚÛÜ

caso III si C œ B

por laterales`1`C 22Ä!

1ÐB ßB2 Ñ1ÐBßBÑÐBß BÑ œ lim

lim2Ä!

1ÐB ßB2 Ñ1ÐBßBÑ2 ÐBßBÑ

œ Ð #C #BC "Ѹ

œ #B # B "#

lim2Ä!

1ÐB ßB2Ñ1ÐBßBÑ2 ÐBßBÑ

#

œ Ð#C #BC "Ñ œ #B # B "¸

por lo tanto : existe`1`C ÐBß BÑ

ssi #B # B " œ #B # B "# #

ssi es decir : #B œ #B B œ !

con lo cual :

`1`C ÐBß CÑ œ

#C #BC " à C B" à ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ

#C #BC " à C B

ÚÛÜ

23

Ejemplo

Determinar, dada 2ÐBß CÑ œ à#C $BC " à B C Á !

BC C #B " à B C œ !

ÚÛÜ

#

i) , ii) `2 `2`B `C

Solución

i.- caso I si B C Á ! ÐBß CÑ œ $C`2`B

caso II si B C œ !

`2`B ÐBß BÑ œ lim

5Ä!

2ÐB5ßBÑ2ÐBßBÑ5

œ lim5Ä! 5

#B $ÐB5ÑB"ÐB B#B"Ñ# #

œ œlim5Ä!

$B5$B'B "5 #

#

! B œ ! ” B œ ssi

por lo tanto :

`2`B

" "# #

ÐBß CÑ œ

à

ÚÝÝÝÝÝÛÝÝÝÝÝÜ

$C B C Á !

! à ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ

à ÐBß CÑ œ Ð ß Ñ$#

ii.- caso I si B C Á ! ÐBß CÑ œ %C $B`2`C

caso II si B C œ !

`2`C ÐBß BÑ œ lim

5Ä!

2ÐB ßB5Ñ2ÐBßBÑ5

œ lim5Ä! 5

Ð#ÐB5Ñ $BÐB5Ñ"ÑÐB $B"Ñ# #

œ œ ==3 B $B œ !lim5Ä! 5

'B (B5#5 $B ## # (B '

==3 B œ ! ” B œ "#

por lo tanto :

`2`C ÐBß CÑ œ

%C à! à ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ

à ÐBß CÑ œ Ð ß Ñ

ÚÛÜ

$B B C Á !

( " "# # #

24

Ejemplo

Determinar, dada 0ÐBß CÑ œ 68 ÐB C "Ñ =/8ÐC BÑ C$ # # #

, `0 `0`B `C

Solución

`0`B B C "

'BC 68 ÐB C "Ñ # #œ C -9=ÐC BÑ# # # #

# #

`0`C B C "

'CB 68 ÐB C "Ñ #œ #BC-9=ÐC BÑ "# # # #

# #

Ejemplo

Determinar, dada 1ÐBß CÑ œ CE<->1Ð#B $CÑ >1ÐBC Ñ#

, `1 `1`B `C

Solución

`1 #C`B "Ð#B$CÑ

# # #œ C =/- ÐBC Ñ#

`1 $C`C "Ð#B$CÑ

# #œ E<->1Ð#B $CÑ #BC=/- ÐBC Ñ#

Ejemplo

Determinar, dada0ÐBß CÑ œ C † B C " $B C# #% #È%

, `1 `1`B `C

Solución

`0 C B`B ÐB C "Ñ

œ 'B# $

% % # $È `0 C

`C% #

# ÐB C "Ñœ #C † B C " "È% $

% % # $È

25

Ejemplo

Determinar, dada ; , 1ÐBß CÑ œ B † C B C B C¸ ¸ # `1 `1`B `C

Solución

En estos casos el valor absoluto molesta por lo tanto,consideremos:

1ÐBß CÑ œ BÐC BÑ C BC à C Ÿ B

BÐC BÑ C BC à C   B

ÚÛÜ

#

#

en donde :œB C à C Ÿ B

B C #B C à C   B

ÚÛÜ

# #

# #

caso I si C Á B

`1`B ÐBß CÑ œ

#B à C B

#B #C à C B

ÚÛÜ

`1`C ÐBß CÑ œ

#C à C B

#C #B à C B

ÚÛÜ

caso II si C œ B

por laterales`1`B 22Ä!

1ÐB2 ßB Ñ1ÐBßBÑÐBß BÑ œ lim

lim2Ä!

1ÐB2 ßB Ñ1ÐBßBÑ2 ÐBßBÑ

œ Ð #B #CÑ œ !¸ lim

2Ä!

1ÐB2 ßBÑ1ÐBßBÑ2 ÐBßBÑ

œ Ð #B Ñ œ #B¸

por lo tanto : existe ssi es decir : `1`B ÐBß BÑ ! œ #B B œ !

con lo cual :

`1`B ÐBß CÑ œ

#B à C B! à ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ

#B #C à C B

ÚÛÜ

26

caso III si C œ B

por laterales`1`C 22Ä!

1ÐB ßB2 Ñ1ÐBßBÑÐBß BÑ œ lim

lim2Ä!

1ÐB ßB2 Ñ1ÐBßBÑ2 ÐBßBÑ

œ Ð #CÑ œ #B¸ lim

2Ä!

1ÐB ßB2Ñ1ÐBßBÑ2 ÐBßBÑ

œ Ð #C #BÑ œ !¸

por lo tanto : existe ssi es decir : `1`C ÐBß BÑ #B œ ! B œ !

con lo cual :

`1`C ÐBß CÑ œ

#C à C B! à ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ

#C #B à C B

ÚÛÜ

Ejemplo Determinar, dada ; , 1ÐBß CÑ œ ÐB CÑ C C BC¸ ¸ # `1 `1

`B `C

Solución

i) `1`B ÐBß CÑ œ C C¸ ¸

ii) en este caso el valor absoluto molesta por lo tanto,consideremos:

1ÐBß CÑ œ œ ÐB CÑC C BC à C Ÿ !

ÐB CÑC C BC à C   !

#C à C Ÿ !

#BC à C   !

Ú ÚÛ ÛÜ Ü

#

#

#

en donde :

caso I si C Á !

`1`C ÐBß CÑ œ%C à C !

#B à C !

ÚÛÜ

27

caso II si C œ !

por laterales`1`C 22Ä!

1ÐB ß2Ñ1ÐBß!ÑÐBß !Ñ œ lim

lim2Ä!

1ÐB ß2Ñ1ÐBß!Ñ2 ÐBß!Ñ

œ Ð%CÑ œ !¸

lim2Ä!

1ÐB ß2Ñ1ÐBß!Ñ2 ÐBß!Ñ

œ Ð#B Ñ œ #B¸

por lo tanto : existe ssi es decir : `1`C ÐBß !Ñ ! œ #B B œ !

con lo cual :

`0`C ÐBß CÑ œ%C à C !! à ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ#B à C !

ÚÛÜ

Definición

Sea función 0 À K © ïïïïïïïî‘ ‘8

ÐB ß B ß ÞÞß B qqqp 0ÐB ß B ß ÞÞß B" # " #8Ñ 8Ñ

sea : existe `0`B `B

`0ÐBÑ

3 3ÖB − K Î × ïïïïïïïî‘

B qqqqqqqqqp `0ÐBÑ`B3

la función derivada parcial de respecto a la variable con 0 B ß 3 − Ö"ß ÞÞß 8×3

diremos que es derivable parcialmente respecto a la variable `0`B3

con en B ß 4 − Ö"ß ÞÞß 8× + œ Ð+ ß + ß ÞÞÞ+ Ñ4 " # 8

ssi existelimB Ä+

Ð+ ß + ßÞÞß + ß B ß + ÞÞÞß + Ñ Ð+Ñ

B +4 4

`0 `0`B `B3 3

" # 4" 4 4"ß 8

4 4

y en tal caso , se dice que la derivada parcial de respecto a la variable `0`B3

en es , dondeB + Ð+Ñ œ Ð+Ñ4`

`B `B `B` 0 ( )

`0`B3

4 4 3

#

` 0`B `B B +B Ä+

Ð+ ß + ßÞÞß + ß B ß + ÞÞÞß+ Ñ Ð+Ñ#

4 3 4 44 4

`0 `0`B `B3 3

" # 4" 4 4"ß 8Ð+Ñ œ lim

28

Observación

1.- si 3 œ 4 Ð+Ñ œ Ð+Ñ ` 0 ` 0`B `B `B

# #

3 3#3

2.- si es llamada derivada parcial mixta de segundo 3 Á 4 Ð+Ñ ` 0`B `B

#

4 3

orden respecto a las variables en B ß B +3 4

3.- no necesariamente ` 0 ` 0`B `B `B `B

# #

4 3 3 4Ð+Ñ œ Ð+Ñ

Ejemplo

Determinar, dada 0ÐBß CÑ œ #B / $BC C $# BC " $#

, `0 `0 ` 0`B `C `B`CÐ"ß "Ñ Ð"ß "Ñ ß Ð"ß "Ñ

#

Solución

`0 `0`B `B

BC " # # BC "ÐBß CÑ œ %B/ #B C / $C à Ð"ß "Ñ œ *# #

`0 `0`C `C

$ BC " #ÐBß CÑ œ %B C/ $B $C à Ð"ß "Ñ œ %#

` 0`B`C `B

`Ð Ñ # BC " % # BC "#`0`C # #

ÐBß CÑ œ ÐBß CÑ œ "#B C/ )B C / $

` 0`B`C

#

Ð"ß "Ñ œ (

Ejemplo

Determinar, dada 0ÐBß CÑ œ #B / $C/# C" B#

, `0 `0 ` 0`B `C `C`BÐ#ß "Ñ Ð#ß "Ñ ß Ð#ß "Ñ

#

Solución

`0 `0`B `B

C" B#ÐBß CÑ œ %B/ $C/ à Ð#ß "Ñ œ &

`0 `0`C `C

# C" B#ÐBß CÑ œ #B / $/ à Ð#ß "Ñ œ &

` 0 ` 0`C`B `C `C`B

`Ð Ñ C" B## #`0`BÐBß CÑ œ ÐBß CÑ œ %B/ $/ à Ð#ß "Ñ œ &

29

Ejemplo

Determinar, dada 1ÐBß CÑ œ $BC#BC%B C# #

, `1 `1 ` 1`B `C `BÐ "ß "Ñ Ð "ß "Ñ ß Ð "ß "Ñ

#

#

Solución

`1 #CB #C %B`B ÐB C Ñ ÐB C Ñ

#CÐB C Ñ Ð#BC%Ñ#BÐBß CÑ œ $C œ $C# #

# # # # # #

# $

`1`C ÐB C Ñ#B ÐB C Ñ Ð#BC%Ñ#CÐBß CÑ œ $B

# #

# # #

` 1`B `B

`Ð Ñ#

#

`1`BÐBß CÑ œ ÐBß CÑ

œ Ð%CB %ÑÐB C Ñ Ð#CB #C %BÑ#ÐB C Ñ#BÐB C Ñ

# # # # $ # #

# # %

œ Ð%CB %ÑÐB C ÑÐ#CB #C %BÑ%BÐB C Ñ

# # # $

# # $

con lo cual

, `1 `1 ` 1`B `C `BÐ "ß "Ñ œ # Ð "ß "Ñ œ & ß Ð "ß "Ñ œ #

#

#

30

Interpretación Geométrica de la derivada parcial de una función en dos variables

Sea función y 0 À E © ïïïïïïïî Ð+ß ,Ñ − E‘ ‘#

ÐBß CÑ qqqqp 0ÐBß CÑ

tal que existe y `0`B Ð+ß ,Ñ 0Ð+ß ,Ñ œ -

Sea W œ ÖÐBß Cß DÑ − ÎD œ 0ÐBß CÑב$

como graficamente se tiene : `0`B B+BÄ+

0ÐBß,Ñ0Ð+ß,ÑÐ+ß ,Ñ œ ßlim

Si W œ ÖÐBß ,ß DÑ − ÎD œ 0ÐBß ,Ñ× œ W Cœ,

$‘ 1Cœ,

donde 1Cœ, œ ÖÐBß Cß DÑ − ÎC œ ,ב$

31

luego, como la pendiente de la recta tangente `D`B `B

`0Cœ,Ð+ß ,Ñ œ Ð+ß ,Ñ œ X

a la curva en , donde W X © ©Cœ, Cœ,1 1 1Cœ, Cœ, Cœ, Cœ,y W

con lo cual ya queX À œ œCœ,B+ D-" !

C,

Ð+ß,Ñ `D`B

X À D - œ Ð+ß ,ÑÐB +Ñ • C œ ,Cœ,`D`B

es decir es la recta que pasa por el punto y cuyo vectorX Ð+ß ,ß -ÑCœ,

director es el vector Ð"ß !ß Ð+ß ,ÑÑ `D`B

es decir es la pendiente de la recta `0`B Cœ, Cœ,Ð+ß ,Ñ X © 1

tangente a en el punto W Ð+ß ,ß -ÑCœ,

Analogamente, se tendra que , si existe, es la pendiente de `0`C Ð+ß ,Ñ

la recta tangente a en el punto X © W Ð+ß ,ß -ÑBœ+ Bœ+ Bœ+1

por lo tanto

X À D - œ Ð+ß ,ÑÐC +Ñ • B œ +Bœ+`D`C

À œ œB+ D-! "

C,

Ð+ß,Ñ `D`C

32

Ejemplo

Sea y 0ÐBß CÑ œ $B C #C B $B &BC ") T œ Ð "ß "ß ""Ñ# $

1.- Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva À

en el punto 1Cœ" K<+0Ð0Ñ T

2.- Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva À

en el punto 1Bœ" K<+0Ð0Ñ T

Solución

1.- Se tiene que luego `0 `0`B `B

$ÐBß CÑ œ 'BC #C $ &C Ð "ß "Ñ œ %

con lo cual X À D "" œ Ð "ß "ÑÐB "Ñ • C œ "1 `D`B

À D "" œ %ÐB "Ñ • C œ " es decir X À œ œ œ1

B" D""" ! %

C"-

# ÐBß CÑ œ $B 'C B &B Ð "ß "Ñ œ ).- Se tiene que luego `0 `0`C `C

# #

con lo cual X À D "" œ Ð "ß "ÑÐC "Ñ • B œ "`D`C1

À D "" œ )ÐC "Ñ • B œ " es decir X À œ œ œ

B" D""! " )

C"1 -

33

Ejemplo

Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva obtenida al cortar la superficie por el plano siW C œ " ß

W œ ÖÐBß Cß DÑ − ÎD œ $BC/ &C $B )ב$ BC# #

en el punto T œ Ð #ß "ß "$Ñ

Solución

luego `D `D`B `B

BC# # BC#ÐBß CÑ œ $C/ $BC / $ Ð #ß "Ñ œ '

con lo cual X À œ œ œB# D"$" ! '

C"1 -

Observación

Sea función y 0 À E © ïïïïïïïî Ð+ß ,Ñ − E‘ ‘#

ÐBß CÑ qqqqp 0ÐBß CÑ

tal que ; existen y `0 `0`B `CÐ+ß ,Ñ Ð+ß ,Ñ 0Ð+ß ,Ñ œ -

Sea W œ ÖÐBß Cß DÑ − ÎD œ 0ÐBß CÑב$

se tendra que , el plano formado por las rectas tangentes a las curvas W ß WBœ+ Cœ,

en el punto T œ Ð+ß ,ß -Ñ esta determinado porÀ

: 1

â ââ ââ ââ ââ ââ ââ â

B + C , D -

" ! Ð+ß ,Ñ

! " Ð+ß ,Ñ

œ !

`0`B`0`C

34

Ejemplo

Determinar la ecuación del plano formado por las rectas tangentes a las curvas determinadas por la superficie , dondeW ß W WBœ" Cœ"

W œ ÖÐBß Cß DÑ − ÎD œ $B C #C B $B &BC ")ב$ # $

en el punto T œ Ð "ß "ß ""Ñ

Solución

como ; `0 `0`B `B

$ÐBß CÑ œ 'BC #C $ &C Ð "ß "Ñ œ %

`0 `0`C `C

# #ÐBß CÑ œ $B 'C B &B à Ð "ß "Ñ œ )

se tendra que

: 1

â ââ ââ ââ ââ ââ â

B " C " D """ ! %! " )

œ ! Í %B )C D œ #$

Observación

Sea función y 0 À E © ïïïïïïïî Ð+ß ,Ñ − E‘ ‘#

ÐBß CÑ qqqqp 0ÐBß CÑ

tal que ; existen y `0 `0`B `CÐ+ß ,Ñ Ð+ß ,Ñ 0Ð+ß ,Ñ œ -

Sea W œ ÖÐBß Cß DÑ − ÎD œ 0ÐBß CÑב$

se tendra que , la recta normal o perpendicular a en 1 T œ Ð+ß ,ß -Ñ esta determinado porÀ : R œ œ œB+ D-

Ð+ß,Ñ Ð+ß,Ñ

C," `0 `0

`B `C

-

Ejemplo

En el problema anterior, se tendra que

R œ œ œ : B+ D-% ) "

C,-

: B+ D-% ) "

C,œ œ œ -

35

INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DE LA DERIVADA PARCIAL

Supongamos que es la función producción respecto a lasD œ 0ÐBß CÑ cantidades de insumos ( .Bß CÑ

Se tiene que :

1. Es la función producción marginal de respecto a la variable `D`B 0 B

2. Es la función producción marginal de respecto a la variable `D`C 0 C

Donde , determinan la rapidez de cambio de la producción en `D `D`B `C

relación a e respectivamenteB C

Es decir , si en un cierto instante las cantidades de insumos son entonces se tiene que :ÐBß CÑ œ ÐB ß C Ñ œ T ß! !

, determinan la productividad marginal respecto a e `D `D`B `CÐT Ñ ÐT Ñ B C

en el instante , es decir :T

a) si 0 se tiene que ,al incrementar el insumo en una unidad a `D`B ÐT Ñ B

partir de dejando fijo en la productividad estima unB œ B C C! !

aumento aproximado de unidades `D`B ÐT Ñ

b) si 0 se tiene que ,al incrementar el insumo en una unidad a `D`B ÐT Ñ B

partir de dejando fijo en la productividad estima unaB œ B C C! !

disminución aproximada de unidades ÐT Ñ `D`B

Lo anterior es análogo para funciones de Costo, Ingreso,Utilidad ,...

Observación

Es claro que la interpretación más importante de la derivada parcial es la de rapidéz de cambio, manifestada en el punto anterior para el caso particular de la interpretación económica

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Ejemplos

1. Sea la función producción para las cantidades eD œ &BC #B $C B C# #

de insumos. Determinar en el punto T œ Ð"!!ß *!Ñ

a) La productividad marginal respecto a B Solución con lo cual ( `D `D

`B `Bœ &C %B T Ñ œ &!

es decir À

"Þ B "Si se incrementa en ,la producción aumentara aproximadamente en unidades ,es decir&! DÐ"!"ß *!Ñ ¶ DÐ"!!ß *!Ñ &!

2. Si se disminuye en ,la producción disminuyeB " aproximadamente en unidades ,es decir&! DÐ**ß *!Ñ ¶ DÐ"!!ß *!Ñ &!

b) La productividad marginal respecto a C Solución con lo cual ( `D `D

`C `Bœ &B 'C T Ñ œ %!

es decir À

"Þ B "Si se incrementa en , la producción disminuye aproximadamente en unidades, es decir%! DÐ"!!ß *"Ñ ¶ DÐ"!!ß *!Ñ %!

2. Si se disminuye en , la producción aumentaB " aproximadamente en unidades, es decir%! DÐ"!!ß )*Ñ ¶ DÐ"!!ß *!Ñ %!

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Ejemplo

Si se sabe que los costos de fabricación de una caja de lados rectangulares

es por de : la base US$ 3, la tapa US$ 2 y los laterales es de US$ 1.-7#

Determine .

1.- La rapidez de cambio del costo respecto a la dimensión de la altura de

la caja si sus medidas son : en la base 10 y 6 cm. , altura 9 cm.

2.- La rapidez de cambio del costo respecto a la dimensión del lado

menor de la base de la caja si sus medidas son : en la base 10 y 6 cm. ,

altura 9 cm.

Solución

G œ $BC #BC $BD #CD œ &BC #BD #CD

1.- `G `G`D `Dœ #B #C à Ð"!ß 'ß *Ñ œ $#

luego, se tiene que el costo esta aumentando con una rapidez de US$ 32

Es decir , si la altura se aumenta en y los otros lados se mantienen" -7Þß

constantes ,el costo aumenta en US$ 32 y si la altura se disminuye en "-7Þß

y los otros lados se mantienen constantes , el costo disminuye en US$ 32

2.- `G `G`C `Dœ &B #D à Ð"!ß 'ß *Ñ œ ')

luego, se tiene que el costo esta aumentando con una rapidez de US$ ')

Es decir , si el lado menor de la base se aumenta en y los otros lados" -7Þß

se mantienen constantes ,el costo aumenta en US$ 68 y si el lado menor de

la base se disminuye en y los otros lados se mantienen constantes , el"-7Þß

costo disminuye en US$ ')

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Ejemplo

Una Compañia usa dos tipos de plasticos para producir juguetes.ß El costo de la producción al usar toneladas del plastico uno, toneladas B C del plastico dos esta dado por :

GÐBß C Ñ œ 'B %C Þ )!!!BC

Determine :

i. La rapidez de cambio del costo respecto a las toneladas del plastico

uno , si se están usando 25 toneladas de plastico uno,4 de plastico

dos

ii. La rapidez de cambio del costo respecto a las toneladas del plastico

dos , si se están usando 25 toneladas de plastico uno,4 de plastico

dos

Solución

i.- luego `G )!!! `G )!!! "%`B B C `B && %ÐBß C Ñ œ ' Ð#&ß % Ñ œ ' œ# %

por lo tanto la rapidez de cambio es de : "%&

es decir si aumentamos en dejando fijo a partir de (B " C #&ß %Ñ

se tendra que el costo aumentara aproximadamente en "%&

es decir : GÐ#'ß %Ñ ¸ GÐ#&ß %Ñ Ð#&ß % Ñ œ #%' `G "%`B &

ii.- luego `G )!!! `G`C BC `CÐBß C Ñ œ % Ð#&ß % Ñ œ "'#

por lo tanto la rapidez de cambio es de : "'

es decir si aumentamos en dejando fijo a partir de (B " C #&ß %Ñ

se tendra que el costo disminuira aproximadamente en "'

es decir : GÐ#&ß &Ñ ¸ GÐ#&ß %Ñ Ð#&ß % Ñ œ #%' "'`G`C

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Ejemplo

Encuentre la función que determina el costo de todas las cajas cuyo

volumen sea de respecto a las dimensiones de la base:"'! Ò-7 Ó Bß Cß3

si se sabe que : el costo de la base y la tapa es de $ 90 el ,Ò-7 Ó#

el costo de dos caras paralelas es de $ el y el)! Ò-7 Ó#

costo de las otras dos caras paralelas es de $ el y'! Ò-7 Ó#

Determine :

i. si se sabe queLa rapidez de cambio del costo respecto a Blas dimensiones de la base de la caja son 8 y 4 Ò-7Ó

ii. si se sabe queLa rapidez de cambio del costo respecto a Clas dimensiones de la base de la caja son 8 y 4 Ò-7Ó

Solución

Se tiene que : GÐBß Cß DÑ œ ")!BC "'!BD "#!CD

y como : se tiene que es decir Z œ "'! BCD œ "'! D œ "'!BC

por lo tanto GÐBß CÑ œ ")!BC "'!B "#!C"'! "'!BC BC

œ ")!BC "'!†"'! "'!†"#!C B

œ ")!BC #&'!! "*#!!C B

i.- `G `G`B `BÐBß C Ñ œ Ð)ß % Ñ œ ")!C à ")! † % œ %#!"*#!! "*#!!

B )# #

es decir el costo aumenta con una rapidez de $ 420

ii.- `G `G`C `CÐBß C Ñ œ ÐBß C Ñ œ œ ")!B à ")! † ) "'!#&'!! #&'!!

C %# #

es decir el costo disminuye con una rapidez de $ 420

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Ejemplo Dada la funciòn 0ÐBß CÑ œ &B C $BCBC %

B "# ##

#

Determinar : .- " Ð"ß #Ñ` 0

`C`B

#

2.- Determinar la ecuación del plano formado por las rectas tangentes a las curvas determinadas por laW ß WBœ" Cœ#

superficie W À D œ 0ÐBß CÑen el punto T œ Ð"ß #ß #Ñ

3.- La ecuaciòn de la recta normal a la superficie D œ 0ÐBß CÑen el punto T œ Ð"ß #ß #Ñ

Solución

1.- `0 `0`B ÐB "Ñ `B

C ÐB "Ñ#BÐBC %Ñ # œ "!BC $C à Ð"ß #Ñ œ "!

# # #

# #

` 0 ` 0`C`B ÐB "Ñ `C`B

#CÐB "Ñ%B C# ## #

# #œ "!B 'C à Ð"ß #Ñ œ #

2.- `0 `0`C B " `C

#BCÐB "Ñ # œ &B $BC à Ð"ß #Ñ œ %

#

#

1 : D # œ "!ÐB "Ñ %ÐC #Ñ

3.- R À œ œ œB" D#"! % "

C#-