Grundwissen Mathematik

Release 0.3.5c

Aktualisiert am 23.04.2018

Bernhard Grotz

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Augsburg, den 23. April 2018.

Bernhard Grotz

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Inhaltsverzeichnis

Logik 1Satz und Aussage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Verknpfungen von Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Variablen, Terme und Aussageformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Direkte und indirekte Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Mengenlehre 10Mengen und ihre Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Darstellung von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Teilmenge und Obermenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Die Mchtigkeit von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Abbildungen, Funktionen, Relationen und Operationen . . . . . . . . . . . . . . 16Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Algebraische Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Arithmetik 23Die Einteilung der Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Natrliche Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Ganze Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Rationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Grundrechenarten und Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Ziffern und Zahlen im Dezimalsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Die vier Grundrechenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Klammern und Reihenfolge der Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Rechengesetze fr die Grundrechenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Binomische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Betrge und Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Bruchrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Erweitern und Vereinfachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Rechenregeln fr Bruchterme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Prozentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Potenzen, Wurzeln und Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

i

Rechenregeln fr Potenzen und Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Rechenregeln fr Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Folgen und ihre Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Reihen und ihre Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Zinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Einfache Verzinsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Zinseszinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Exkurs: Teilbarkeit und Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Exkurs: Zahlensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Exkurs: Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Elementare Algebra 71Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Eigenschaften von Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Beispiele fr Gleichungen mit einer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Lineare Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Quadratische Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Betragsungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Bruchungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Grundlegende Lsungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Der Gausssche Lsungsalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Elementare Geometrie 98Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Punkt, Gerade, Strecke und Strahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Parallelitt und Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Planimetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Grundkonstruktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Abbildungen innerhalb einer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Vierecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119Regelmige Vielecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Kreis und Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Strahlenstze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Stereometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Quader, Wrfel und Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134Pyramide und Pyramidenstumpf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Kugel und Kreiszylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Kreiskegel und Kreiskegelstumpf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Analysis 141Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Definitions- und Wertemenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

ii

Darstellungen von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142Surjektivitt, Injektivitt und Bijektivitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144Umkehrbarkeit einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Monotonie und Beschrnktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Grenzwerte einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153Verknpfung und Verkettung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Potenz- und Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Ganz- und gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159Exponential- und Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Differenzen und Differentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Ableitungen von Potenz- und Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 183Ableitungen von ganz- und gebrochenrationalen Funktionen . . . . . . . . 192Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . 194Ableitungen von trigonometrischen Funktionen