Ann. Univ. Ferr~ra - Sez. VII - Sc. Mat. Vol. XXII I , 269-272 (1977)

Grafici minimi completi.

M A R I O M I R A ) I D A (*)

1 . - Vogliamo qui interessarci della divisione di uno spazio euclideo n-dimensionale in due pa t t i in modo e h e l a front iera comune alle due sia min ima nel senso di DE GIOl~GI (cfr. [1], pag. 36 (( f ront iera orienr di misa ra minima. ~)). ]~ noto (eft. [2]) che le divisioni banali , cio~ quelle ia due semispazi, sono le uniche fino alla dimensione 7 dello spazio. ~ altresi noto che i due coni (cfr. [3])

CI= {(x ,y) lxeR4 , y e R 4, Ix[< ]y[}

C 2 : ( ( x , y ) l x e R 4, y e R 4, Ix [> lY]}

realizzano una divisione non banale di R s con front iera minima. ~Tello stesso articolo [3] viene p rova t a la esistenza di ] E C2(R 8) soluzione dell 'equazione delle superficie min ime e tale che

{(x, y) e RSl](x, y) > 0} = r

Era d 'a l t ra pa r te noto che siffatte soluzioni dell 'equazione delle superficie minime no11 esistono in R 7. E inoltre facile da verificarsi che il g raph ] divide R 9 in maniera min ima (eft. [4]).

Diremo gra]ico minimo completo n-dimensionale l ' insieme

{(x,/(x)) lx e ~}

nell ' ipotesi che ~Q sia un aper to di R", che ] e C2(~Q) sia soluziolle dell 'equa- zione delle superfieie minime e che {(x, ](x))[x e ~Q} sia la f ront iera di una divisione min ima di R n+l in due par t i .

Per quanto si 6 avu to modo di osservare pifl sopra nel l ' ipotesi che

(*) Indirizzo dell'aatore: Libera Universits degli Studi di Trento, Facolt'~ di Scienze, Povo (Trento).

270 ~ I O MIRAND&-

] e C2(R ~) si~ soluzione dell 'equuzione delle superficie minime allor~

{(x, l(x))I x e R~}

uu grufico minimo completo. Non sembr~ escluso che

{(x,/(x)) Ix ~ ~}

possu essere gr~fico minimo completo con D sot toinsieme ~perto proprio di R ~.

Scopo della presente nora ~ provure lu esistenzu di gr~fici min imi complet i non banuli 8-dimensionuli utilizzundo il f~t to ehe i eoni C~ e C~ eosti tuiseono un~ divisione di R s con frontieru minima. Preeis~mente pro- veremo il seguente:

TEO]~EM:A. ~ C ~s aperto con .(2 D ~C~ = ~C~ = {(x, y)Ix e R ~, y e R ~, ]xl = lyl} cd i e C'~(Q) soluzione dell'equazione delle super]icie minime, tali che

{(x, y) e Qli(x, y) > o} = 9 (a c~.

I1 teoremu ora enunci~to st~bilisce un~ propr ie t~ di esistenz~ di gTafici minimi complet i pifl debole r ispet to u quella p rova tu in [3] du :BoMBIERI- :DE GIORGI-GIusTI, in quunto loro r iuseivano a prov~re l 'esisteuzu di f in C~(RS). Nonost~nte qlmsto ci p~re utile serivere questu not~ iu quan to i l nostro me todo sembra, pifl d i re t to e quindi applic~bile ~ situazioni pifl gener~li.

2. --DIMOSTRAZI0:NE DEL TEOREMA. Per ~ > 0, y > 0 consideriamo il seguente problema:

div grad ] (x, y) = 0 , (x, y) e B e , V/i - + [grad ]t 2

](x, y) = y , (x, y) E ~B~ n C~

/ (x , y) = - - Z , (x, y) E ~Be n C2.

Abbi~mo iadicato con

Be = {(x, V)lx e ~4, V e n4, ]xl 2 + lYl 2 < e2}.

noto cfr. [5] che per ogni scelt~ di Q > 0, 7~>0 esiste uuicu lu soluzione ]e,r del problemu. Per le evidenti s immetr ie e per l 'unici ts della soluzione deve

G R A F I C I MINL'YII C O M P L E T I 271

avers i

{(x, y)lle,,(x, y) > o} = Be (~ C,, Vy > o .

P e r il p r ine ip io di m a s s i m o app l i ea to alle 1e,~ su Be (~ C~ si ha ehe al ere- seere di y eresee ]e,:,]~o~c, passa t tdo dal va lo re 0 per y - - 0 al va lore @ oo pe r y = -~ c~ e ei6 pe r ogni p m l t o di C~ n Be. Q u e s t ' u l t i m o f a t t o noil bana le e d ipende dal la p rop r i e t~ di mi i f imo de l l ' ins ieme C1 e dal f a t t o ehe se 0 ~ un ins ieme eort f ron t i e ra m i n i m a eoit teidente eon Cx al di fuori di Be deve essere C = C~ (eft. [6]). L ' i n s i e m e C a eui ques ta p r o p r i e t ~ v iene ap-

p l i ea ta g l ' i n s ieme

(x, y) ~ B e l im ]e,r(x, y) : @ c~}O (C1-- B) , , y - + + m

il quate h a f ron t i e r a m i n i m a i1~ R s (cfr. [7]). A v r e m o al lora che Y~ > 1, 3y(o) t a le che /o = ]Q,rto) ha le seguent i p rop r i e t~

i) /e e C2(Be),

ii) d iv g r a d ]e __ (x, y) = 0, Y(x, y) e Be, v/1 § igradlel ~

iii) ]e(x, y) > 0 <=> (x, y) ~ Be (~ C~,

iv) )r 0, ..., 0) = 1.

Da l t e o r e m a di e o m p a t t e z z a p r o r a t e in [7] si ha ehe esiste ~ h ~ -

ta le ehe

{feb(x, y)}~

ha l imi te pe r quasi ogni (x, y ) e R s. P o s t o poi

pe r

/(x, y) = l i m / ~ ( x , y) k

(x, y) e . Q = {(x, y) 31imJQ~(x, y ) ~ R } ,

a v r e m o (cfr. [8]) che (1, O, ..., O) E D e /(1, O, ..., O) = 1, m e n t r e le a l t re

a f fe rmazion i pe r ] sono eonseguenza di q u a n t o p r o r a t e in [7].

Pervenuto in Redazione il 5 luglio 1977.

2 7 2 MARIO M IRANDA

R I A S S U N T 0

Si r i cons ide ra il p r o b l e m a de l la es i s t enza di soluzioni del la equaz ione delle super- ficie m i n i m e su t u t t o lo spazio. Si p r e s e n t a u n m e t o d o che, con u l t e r io r i s t ud i , p o t r e b b e p o r t a r e ad associare ad ogni cono m i n i m o s ingo la re u n a soluzione de l la equaz ione del le superficie m i n i m e su t u t t o lo spazio, i n t e n d e n d o che a coni d ivers i sono assoc ia te soluzioni diverse . ]~ so t t in t e so che p a r l i a m o sempre di soluzioni n o n bana l i , cio~ n o n l inear i .

S U M M A R Y

W e recons ide r t h e p r o b l e m of t h e ex i s tence of n o n t r i v i a l so lu t ions for t h e m i n i m a l sur face equa t i on in t h e whole space. W e p r e s e n t a m e t h o d w h i c h m i g h t lead to t he p roof of t h e ex i s tence of a non t r i v i a l so lu t ion for t he m i n i m a l sur face e q u a t i o n in t h e whole space for e ach s ingu la r m i n i m a l cone.

B I B L I O G R A F I A

[1] E. DE GIORGI - •. COLOMBINI - L. C. ~PICCININI, Frontiere orientate di misura minima e questioni coltegate, P u b b l . Classe di Scienze de l la Scuola N o r m a l e Supe- r iore di Pisa , 1972.

[2] J . SIMONS, Minimal Varieties in Riemannian Mani]olds, A n n . of Ma th . (1968), pp. 62-105.

[3] E. BOMBIERI - E. DE GIORGI - E. GIUSTI, Minimal Cones and the Bernstein Problem, Inv . Math . (1969), pp . 243-268.

[4] M. MIRANDA, Superfieie cartesiane generalizzate ed insiemi di perimetro ]inito sui prodotti eartesiani, A n n . S.N.S. P i sa (1964), pp . 515-542.

[5] ~ . MIRANDA, Dirichlet Problem with L 1 Data /or the Non.Homogeneous Minimal Sur/ace Equation, Ind . Un iv . Ma th . J . (1974), pp . 227-241.

[6] E. BOMBIERI - E. GIUSTI, Harnack's Inequality/or Elliptic Equations on Minimal Sur]aee, Inv . Math . (1972), pp . 24-46.

[7] M. MIRANDA, Super]icie minime illimitate, Ann . S.N.S. P i sa (1977) pp. 313-322. [8] ~ . MIRANDA, Comportamento delle snecessioni convergenti di ]rontiere minimali,

Rend . Sem. Mat . P a d o v a (1967), pp. 238-257.