graficas de funciones trigonnometricas

GRÁFICAS DE FUNCIONES página 109

4.1 REPRESENTACIONES

Los conceptos matemáticos son ideas intangibles que solamente existen en la mente humana,no pueden ser captadas por los sentidos, por lo que deben ser representadas de alguna forma. Enparticular, una función puede ser representada con una simbología algebraica, como por ejemplo

, pero también se puede representar con una gráfica como en la figura 4.1.2 11 30y x x= + +

Ambas representaciones, la algebraica y la gráfica, son la misma cosa, definen la misma ideaaunque visualmente parezcan diferentes. Lo importante es que de cualquiera de las dos maneras

figura 4.1

GRÁFICAS DE FUNCIONESpágina 110

la idea puede ser captada por el sentido de la vista lo que inicialmente era intangible. Por ejem-plo, en , relaciona con . 2 11 30y x x= + + 4x = − 2y =

Desde la simbología algebraica lo que se hace es

2 11 30y x x= + +

( ) ( )24 11 4 30y = − + − +

16 44 30y = − +

2y =

Desde la simbología gráfica basta ubicar en el eje de las x el valor de , trasladarse4x = −verticalmente hasta la gráfica y ver qué valor le corresponde a la variable y. En la figura 4.1 seve que para corresponde .4x = − 2y =

Estudiar las gráficas en matemáticas es aprender a interpretar otro modo de representación delas funciones que, se supone, en la representación algebraica ya se comprenden.

4.2 GRAFICACIÓN POR TABULACIÓN

El método general para graficar cualquier función es el de tabulación. Consiste en dar valoresarbitrarios a la variable x y con ellos calcular los correspon-dientes a la variable y, los cuales se van anotando en una tabla.Después se localiza en el plano cartesiano cada punto tabuladoasí y se unen para obtener la forma de la gráfica buscada.

Por ejemplo, para graficar , dando valores a la2 1y x= −x de - 2, - 1, 0, 1, 2 y 3 se construye la siguiente tabla:

x - 2 - 1 0 1 2 3

y - 5 - 3 - 1 1 3 5

figura 4.2


2 ESBOZAR o BOSQUEJAR significa dibujar sin dar la última mano a la obra, es decir, hacer un dibujo sin marcar odefinir detalles, es hacer un trazo no acabado apenas aproximado con sus características básicas. Al dibujo hechoasí se le llama esbozo o bosquejo.

Y llevando esos puntos al plano cartesiano se obtiene la recta de la figura 4.2.

De igual forma, para graficar , dando valores arbitrarios a la x, por2 10 24y x x= − +

ejemplo de , se obtiene para la y:2x =

( )22 10 2 24y = − +

8y =

Repitiendo el procedimiento para valores de x de2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 y concentrando los valores en unatabla:

x 2 3 4 5 6 7 8

y 8 3 0 - 1 0 3 8

Estos puntos localizados en el plano cartesiano danla figura 4.3 y uniéndolos se llega a la parábola que semuestra en la figura 4.4.

Realmente en este curso no se pretende retomar es-te procedimiento de graficación que suele resultar en-gorroso y hasta muy laborioso, sino hacer un estudiode las características principales de ciertas gráficasanalizando su ecuación para esbozar2, a partir de esosrasgos, precisamente la gráfica de tal ecuación.

figura 4.3

figura 4.4


4.3 LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO DE LA FORMA ( )2y a x b= ± ± +

La ecuación de segundo grado, también llamada ecuación cuadrática, se puede escribir de dos

formas. Una de ellas es , en donde las literales a y b representan a cual-( )2y a x b= ± ± +

quier número. A una ecuación de este tipo siempre le corresponde de gráfica una parábola.

Si el binomio cuadrático está precedido de un signo positivo, la parábola abre hacia arriba; siel binomio cuadrático está precedido de un signo negativo, la parábola abre hacia abajo. La pará-bola más sencilla de graficar es de la cual dependerán las demás, por lo que se le puede2y x=

llamar la parábola elemental.

Para graficar , tabulando para los valores de x de , , y 0 se obtiene la2y x= 3± 2± 1±siguiente tabla:

x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3

y 9 4 1 0 1 4 9

en donde se ve que el punto (0, 0) es el centro de sime-tría, el cual es en realidad el vértice, por lo que bastaaprenderse los pares , , y( )0 0, ( )1 1, ( )2 4,

, que no son otra cosa que los cuadrados del( )3 9,cero al tres y luego sus simétricos. Así que graficandoresulta la figura 4.5 que es la parábola elemental. Abrehacia arriba porque el coeficiente de es positivo.2x

De esta parábola hay que aprenderse primero que apartir del vértice (centro de simetría), están como “enescalerita” los puntos , y el y( )1 1, ( )2 4, ( )3 9,luego sus simétricos respecto del vértice. Téngase mu-cho cuidado que “esa escalerita” se cuenta a partir delvértice, no a partir del origen de coordenadas, aunqueesta vez coincidieron.

figura 4.5


A la parábola elemental se le pueden agregar dos constantes (números) que incidan2y x=

sobre la variable y o sobre la variable x. Si incide sobre la variable y, la parábola se desplazasobre el eje y ; si incide sobre la variable x, la parábola se desplaza sobre el eje x. Si a es laconstante que desplaza a la parábola sobre el eje y y b sobre el eje x, las reglas son las siguien-tes:

a) 2y a x= +

Incide sobre y. La desplaza sobre el eje y exactamente aunidades, es decir con el mismo signo de a.

b) ( )2y x b= +

Incide sobre x. La desplaza sobre el eje x exactamente unidades, es decir con signo contrario de b.b−

Ejemplo 1: Esbozar la gráfica de .2 2y x= +

Solución: La ecuación anterior es lo mismo que, por lo tanto se tiene la regla22y x= +

del inciso (a) anterior. Significa que el nú-mero 2 incide sobre la variable y , y, por lotanto, desplaza a la parábola elemental + 2unidades sobre el eje de las y (hacia arri-ba). Ver figura 4.6.

A partir del vértice que quedó desplazado+ 2 unidades hacia arriba, se localizan lospuntos “como en escalerita” ,( )1 1,

y (basta recordar 1, 4, 9) y( )2 4, ( )3 9,

sus simétricos para el otro lado.

Téngase mucho cuidado que “esa escaleri-ta” se cuenta a partir del vértice, no a partir

figura 4.6


del origen de coordenadas. Uniendo tales puntos seobtiene la gráfica buscada que corresponde a la fi-gura 4.7.

Ejemplo 2: Bosquejar la gráfica de .( )22y x= −

Solución: La ecuación anterior corresponde a la regla del inci-so ( b ) anterior. Significa que el número - 2 incidesobre la x y, por lo tanto, desplaza a la parábolaelemental + 2 unidades sobre el eje de las x (haciala derecha, ya que en x es con signo cambiado).

A partir del vértice que quedó desplazado + 2 uni-dades hacia la derecha, se localizan los puntos “co-mo en escalerita” , y o bien( )1 1, ( )2 4, ( )3 9,

1, 4, 9, y sus simétricos para el otro lado. Ver figura4.8.

Téngase mucho cuidado que “esa escalerita” secuenta a partir del vértice, no a partir del origen de coordenadas.

Uniendo tales puntos se obtiene la gráfica buscada que corresponde a la figura 4.9.

figura 4.7

figura 4.9figura 4.8


Ejemplo 3: Hacer un esbozo de la gráfica de . ( )21 3y x= − + +

Solución: Recordando que en la ecuación 21 ( 3 )y x= − + +

Incide sobre y con Incide sobre x con el mismo signo signo contrario

En este caso se han combinado los desplaza-mientos, tanto sobre el eje de las x como sobre el eje de las y. Conforme a lo visto en losdos ejemplos anteriores, el vértice de la pará-bola elemental, y por lo tanto toda la parábola,está desplazado - 1 sobre el eje de las y y - 3sobre el eje de las x (recordar que en x es consigno cambiado). O sea que el vértice está si-tuado en . A partir de allí hay( )V 3 1,− −

que construir “la escalerita” , y( )1 1, ( )2 4,

o bien 1, 4, 9 y sus simétricos para el( )3 9,

otro lado.

Haciéndolo y uniendo los puntos, la gráficaque se obtiene es la de la figura 4.10.

Ejemplo 4: Esbozar la gráfica de ( )22 1y x= − −

Solución: Recordando que en la ecuación 22 ( 1 )y x= − −

Incide sobre y con Incide sobre x con el mismo signo signo contrario

abre para abajo

figura 4.10


Conforme a lo visto en los ejemplos anterio-res, el vértice de la parábola elemental, y porlo tanto toda la parábola, está desplazado más2 sobre el eje de las y y más 1 sobre el ejede las x (recordar que en x es con signocambiado). O sea que el vértice está situadoen . A partir de allí hay que cons-( )V 1 2,

truir “la escalerita” , y ( )1 1, ( )2 4, ( )3 9,

o bien 1, 4, 9 y sus simétricos para el otrolado, pero ahora invertida ya que la parábolaabre hacia abajo.

Haciéndolo y uniendo los puntos, la gráficaque se obtiene es la de la figura 4.11.

EJERCICIO 13

Esbozar la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas:

1) 2)2y x= − 2 6y x= −

3) 4)2 4y x= − − 2 3y x= +

5) 6)( )27y x= − − ( )28y x= − +

7) 8)( )22 1y x= − − ( )24 1y x= − + −

9) 10)( )25 2y x= + + ( )21 6y x= + +

11) 12)25y x= − − ( )23 3y x= − +

13) 14)( )22 5y x= − + ( )25 4y x= + −

15) 16)( )24 7y x= − − + ( )22 8y x= − − −

figura 4.11


Deducir la ecuación de cada una de las siguientes parábolas:


4.4 LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO DE LA FORMA 2y ax bx c= + +

La ecuación de segundo grado, también llamada ecuación cuadrática, se puede escribir de laforma , en donde las literales a, b y c representan a cualquier número. A una2y ax bx c= + +

ecuación de este tipo siempre le corresponde de gráfica una parábola.

Si el coeficiente del término cuadrático es positivo, o sea , la parábola abre hacia arri-0a >ba; si el coeficiente del término cuadrático es negativo, o sea , la parábola abre hacia aba-0a <jo.

Para esbozar la parábola se requieren solamente tres cosas: Para dónde abre; los puntos sobreel eje de las x por la que pasa; y las coordenadas del vértice.

u Para dónde abre: Si (positivo) la parábola0a >abre hacia arriba. Si (negativo) la parábola0a <abre hacia abajo.

u Los puntos sobre el eje de las x por la que pasala parábola: Como en esos puntos la y vale cero(ver figura 4.5), entonces sustituyendo en la0y =

ecuación se obtiene la ecuación2y ax bx c= + +

de segundo grado , que ordenán-20 ax bx c= + +

dola es lo mismo que . Resol-2 0ax bx c+ + =viendo esta ecuación con la calculadora se obtienenlos valores de x por los que pasa la parábola sobreel eje de las x.

u La abscisa del vértice está en . Susti-2vbxa

= −

tuyendo este valor en la ecuación de la parábola se obtiene la ordena-2y ax bx c= + +

da del vértice y con eso las coordenadas del vértice.

figura 4.5


CASOS ESPECIALES

a) Si al resolver la ecuación no dan2 0ax bx c+ + =soluciones reales, significa que la parábola no corta aleje de las x. En casos así, recordar que en algunas cal-culadoras aparece en la parte superior derecha R ø I ,como se muestra en la figura 4.6. Esto sucede cuandoal resolverla con la ecuación general, se obtiene unvalor negativo para la raíz cuadrada, es decir que

.2 4 0b ac− <

La gráfica, según abra para arriba o para abajo, corresponde a una de las dos mostradas enla figura 4.7.

b) Si al resolver la ecuación dan soluciones repetidas, significa que el2 0ax bx c+ + =vértice de la parábola está sobre el eje de las x. Esto sucede cuando en la fórmula general

. La gráfica, según abra para arriba o para abajo, corresponde a una de2 4 0b ac− =

las dos mostradas en la figura 4.8.

figura 4.6

figura 4.7


Ejemplo 1: Bosquejar la gráfica de la función .2 2 8y x x= − −

Solución: Recordar los tres principales rasgos a tener en cuenta que son:

u Para dónde abre: En este caso, como (positivo), o sea el coeficiente de la 0a > 2xes , la parábola abre hacia arriba.1a =

u Los puntos sobre el eje de las x por la que pasa la parábola: Como en esos puntos

la y vale cero, entonces sustituyendo en la ecuación se0y = 2 2 8y x x= − −

obtiene la ecuación de segundo grado . Resolviendo esta ecuación2 2 8 0x x− − =con la calculadora se obtienen los valores de x por los que pasa la parábola sobre eleje de las x.

1

2

42

xx== −

u La abscisa del vértice está en . Como en este caso, y ,2bxa

= − 1a = 2b = −

sustituyendo se obtiene que

figura 4.8


( )2

2 1vx −= −

1vx =

La ordenada correspondiente (la y ) se obtiene sustituyendo en la ecuación de lavxparábola. Haciéndolo:

( ) ( )21 2 1 8vy = − −

9vy = −

Las coordenadas del vértice son entonces y , es decir .vx vy ( )V 1, - 9

Esta abscisa del vértice, por la simetríade la parábola, también se puede sacarcon el punto medio de donde la pará-bola corta al eje de las x , en este casoentre y :1 4x = 2 2x = −

1 2

2vx x

x+

=

( )4 22vx

+ −=

1vx =

Con estos tres rasgos principales, el esbozode la parábola se muestra en la figura 4.9.

Ejemplo 2: Bosquejar la gráfica de la función24 5 6y x x= − − +


u Para dónde abre: En este caso, como (negativo), o sea el coeficiente de la 0a < 2xes , la parábola abre hacia abajo.4a = −

figura 4.9


u Los puntos sobre el eje de las x por la que pasa la parábola: Como en esos puntosla y vale cero, entonces sustituyendo en la ecuación se0y = 24 5 6y x x= − − +

obtiene la ecuación de segundo grado . Resolviendo esta ecua-24 5 6 0x x− − + =

ción con la calculadora se obtienen los valores de x por los que pasa la parábola sobreel eje de las x:

1

2

20 75

xx .= −=

Ver estos puntos en la figura 4.10.


= − 4a = − 5b = −


( )5

2 4vx −= −

−

0 625vx .= −

La ordenada correspondiente del vértice (la y )se obtiene sustituyendo en la ecuación de lavxparábola. Haciéndolo:

( ) ( )24 0 625 5 0 625 6vy . .= − − − − +

7 56vy .=

que también se pudo obtener sacando el puntomedio de y . Las coordenadas del vértice1x 2x

son entonces . La gráfica( )V 0 625 ; 7 56. .−

pedida es la mostrada en la figura 4.10.

figura 4.10


Ejemplo 3: Esbozar la gráfica de .225 30 9y x x= + +


u Para dónde abre: En este caso, como (positivo), la parábola abre hacia25 0a = >arriba.

u Los puntos sobre el eje de las x por la que pasa la parábola: Como en esos puntosla y vale cero, entonces sustituyendo en la ecuación se0y = 225 30 9y x x= + +

obtiene la ecuación de segundo grado . Resolviendo esta ecua-225 30 9 0x x+ + =ción con la calculadora se obtienen los valores de x por los que pasa la parábola sobreel eje de las x:

1

2

0 60 6

x .x .= −= −

Cuando ambos valores son iguales se diceque la ecuación tiene raíces repetidas; y enestos casos el vértice de la parábola estáexactamente sobre el eje de las x. Ver estospuntos en la figura 4.11. Observar que allí

.0vy =

u La abscisa del vértice ya se dedujo en elinciso anterior por estar exactamente sobre eleje de las x; sin embargo, se puede compro-

bar sabiendo que está en . Como2bxa

= −

en este caso, y , sustituyen-25a = 30b =do se obtiene que

( )30

2 25vx = −

0 6vx .= −

figura 4.11


Ejemplo 4: Esbozar la gráfica de .2 4 6y x x= − +


u Para dónde abre: En este caso, como (positivo), la parábola abre hacia1 0a = >arriba.

u Los puntos sobre el eje de las x por la que pasa la parábola: Como en esos puntosla y vale cero, entonces sustituyendo en la ecuación se0y = 2 4 6y x x= − +

obtiene la ecuación de segundo grado . Resolviendo esta ecuación2 4 6 0x x− + =con la calculadora se obtienen los valores de x por los que pasa la parábola sobre eleje de las x. Como no son valores reales, significa que la parábola no corta al eje delas x.


= − 1a = 4b = −


( )4

2 1vx −= −

2vx =

La ordenada correspondiente del vérti-ce ( la y ) se obtiene sustituyendo vxen la ecuación de la parábola. Hacién-dolo:

2 4 6y x x= − +

( ) ( )22 4 2 6y = − +

2vy =

Entonces las coordenadas del vérticeson . La parábola, como no( )V 2 2,

corta al eje de las x, es la mostrada enla figura 4.12.

figura 4.12


EJERCICIO 14

Esbozar la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas:

1) 2)2 4 3y x x= − + 2 4 1y x x= − +

3) 4)2 4y x x= + 2 6 10y x x= + +

5) 6)2 10 24y x x= + + 2 10 21y x x= + +

7) 8)24 4 3y x x= + − 22 8 7y x x= − +

9) 10)2 6 9y x x= − + 24 32 65y x x= − +

11) 12)2 2 4y x x= − + − 2 2 2y x x= − − −

13) 14)2 6 9y x x= − − − 2 10 21y x x= − + −

15) 16)2 2y x= − + 25 1y x x= − + +

4.5 LA ECUACIÓN POLINOMIAL GENERAL

En los dos temas anteriores se estudiaron las gráficas de las ecuaciones polinomiales de se-gundo grado. De igual forma, se podría hacer para las de tercer grado, las de cuarto, etc. Sin em-bargo, los esbozos de las ecuaciones de tercer grado en adelante se pueden hacer de manera ge-neralizada, pues se cumplen en todas algunos aspectos básicos.

Cuando se tiene una gráfica como la mostrada en la figura 4.13, los puntos que dan la apa-riencia de ser como el más elevado de un cerro se llaman puntos máximos; en cambio, los puntosque dan la apariencia de ser la parte más baja como de un pozo se llaman puntos mínimos.


En la figura 4.13, los puntos A y C son puntosmáximos, mientras que los puntos B y D son puntosmínimos. Es obvio que no pueden existir dos puntosmáximos sin que exista un mínimo entre ellos, o a lainversa, no pueden haber dos puntos mínimos sin quehaya un máximo entre ellos. Siempre irán alternados.

En la figura 4.13 hay dos puntos máximos y dospuntos mínimos. Para hablar en general de esos cua-tro puntos simplemente se dice que hay cuatro máxi-mos y mínimos, que no significa que haya cuatro má-ximos y cuatro mínimos, sino cuatro en total entreunos y otros.

En un polinomio de tercer grado hay dos máximosy mínimos; en un polinomio de cuarto grado existen tres máximos y mínimos; en un polinomiode quinto grado hay cuatro máximos y mínimos, etc. Es decir, la gráfica de un polinomio de gra-do n tiene máximos y mínimos.1n −

El otro aspecto importante a tener en cuenta a la hora de esbozar una gráfica polinomial espara dónde apuntan o abren sus ramas. Si el polinomio es de grado par, por ejemplo de cuarto, ode sexto grado, etc., sus dos ramas abren hacia el mismo lado, es decir ambas hacia la parte posi-tiva (hacia arriba) si el coeficiente del primer término del polinomio es positivo; o ambas hacia laparte negativa (hacia abajo) si el coeficiente del primer término del polinomio es negativo. Si elpolinomio es de grado non, por ejemplo de tercero, o de quinto grado, etc., sus dos ramas abrenhacia lados opuestos, es decir una hacia arriba y la otra hacia abajo, o a la inversa. La rama de laderecha abre hacia la parte positiva si el coeficiente del primer término del polinomio es positi-vo; o bien, la rama de la derecha abre hacia la parte negativa si el coeficiente del primer términodel polinomio es negativo.

En este estudio muy genérico de las gráficas de polinomios no se va a detallar en qué partedel plano cartesiano quedan ubicados los máximos y mínimos.

Ejemplo 1: Esbozar la gráfica de 4 3 2y ax bx cx dx e= + + + + +

Solución: Como es un polinomio de tercer grado, tiene en total dos máximos y mínimos, o sea uno

figura 4.13


de ellos es máximo y el otro mínimo. Además, como el coefi-ciente del primer término es positivo , la rama de la dere-( )a+

cha abre hacia la parte positiva (hacia arriba) y la de la izquierdahacia la parte negativa. Finalmente, como no se está precisandoen qué parte del plano con exactitud queda la gráfica, pueden ono ponerse los ejes. El esbozo que se obtiene es el mostrado en lafigura 4.14.

Ejemplo 2: Esbozar la gráfica de .4 3 2y ax bx cx dx e= − + + + +

Solución: Como es un polinomio de cuarto grado, tiene en total tres máxi-mos y mínimos. Además, como el coeficiente del primer térmi-no es negativo , la rama de la derecha abre hacia la parte( )a−

negativa (hacia abajo). Finalmente, como no se está precisandoen qué parte del plano con exactitud queda la gráfica, pueden ono ponerse los ejes. El esbozo que se obtiene es el mostrado enla figura 4.15.

EJERCICIO 15

Esbozar la gráfica de las siguientes funciones polinomiales:

1) 2)3 27y x bx cx d= − + + + 5 4 3 22y x bx cx dx ex f= − + + + + +

3) 4)4 3 23y x bx cx dx e= + + + + 6 3y x bx cx d= + + +

5) 6)5 4 39y x bx cx d= + + + 7 5 43y x bx cx dx e= + + + +

7) 8)6 5 32y x bx cx dx e= − + + + + 3 27y x bx cx d= + + +

9) 10)4 211y x bx cx d= − + + + 7 6 4 24y x bx cx dx ex f= − + + + + +

11) 12)8 7 2y x bx cx dx e= + + + + 8 7 6 22y x bx cx dx ex f= − + + + + +

figura 4.14

figura 4.15


Deducir la ecuación genérica que le corresponde a cada una de las siguientes gráficas:

13) 14)

15) 16)


4.6 LA FUNCIÓN RACIONAL

En matemáticas la palabra racional se refiere a toda cantidad o expresión que es el cocientede dos números. Analizada más a fondo y en forma más general, racional es todo lo relativo a larazón, solamente que la palabra razón tiene, a su vez, diferentes significados y conforme al quetome, de allí se deriva el sentido que adquiere la palabra racional. Por ejemplo, si en el contextode un discurso se entiende que razón es la facultad de discurrir, de pensar, entonces un acto ra-cional será el que provenga de una acción pensada. En cambio, si se emplea la palabra razónpara denotar el cociente de dos números, entonces un número racional será el que provenga detal división.

Si una división se puede expresar como una fracción, entonces toda fracción es un número

racional por lo dicho en el párrafo anterior. Por ejemplo, es un número racional. En álgebra37

sucede lo mismo, solamente que con expresiones algebraicas polinomiales, es decir, una funciónracional es aquella que al estar expresada como una fracción, su numerador y su denominadorson funciones polinomiales.

Ejemplos de funciones racionales son los siguientes:

v 3 2

42 5 5 13

yx x x

=− − +

v4

4 3

45 7

x xyx x x

− +=

+ − −

En este curso se estudiarán solamente las funciones racionales de la forma , en( )1

Py

x=

donde el denominador representa a cualquier polinomio.( )P x

Obsérvese que las gráficas a) y b) mostradas en las figuras 4.16 y 4.17 todas tienen por lomenos una asíntota. Hay que recordar que asíntota es la recta a la cual una curva se acerca más ymás sin llegar nunca a tocarla.


figura 4.16

figura 4.17


Las principales características de estas gráficas son:

a) Todas tienen una asíntota en el valor, o valores, de x en el que se hace cero el denomina-dor. Debe recordarse que una asíntota es la recta hacia la cual la curva se acerca más ymás sin llegar nunca a tocarla.

b) Las ramas de las gráficas van alternadamente hacia arriba y hacia bajo. Por lo tanto, parasaber cuándo va hacia arriba o cuándo hacia abajo basta con tomar un valor arbitrario pa-ra la x y sustituirlo en la ecuación, siempre y cuando dicho valor no corresponda a unaasíntota. Si da positivo, como eso es la y significa que allí la y es positiva; si da negati-vo, como eso es la y significa que allí la y es negativa. El valor más cómodo es el cero,si es que éste no es asíntota.

c) El eje de las x también es asíntota.

Caso especial: Cuando en el denominador se tiene un polinomio de segundo grado que aligualarlo a cero resultan dos raíces repetidas, allí hay una sola asíntota,pero las dos ramas separadas por dicha asíntota, en vez de ir una hacia arri-ba y la otra hacia abajo, ambas apuntan en el mismo sentido.

Ejemplo 1: Bosquejar la gráfica de .1

4y

x=

+

Solución: Conforme a las características a analizar mencionadas líneas arriba, primero se localizanlas asíntotas. Se dijo que éstas están en los valores de la x en donde se hace cero el deno-minador, o sea que

denominador4 0x + =4x = −

En hay que situar la asíntota. Después, para saber qué ramas van hacia arriba y4x = −

cuáles hacia abajo, se evalúa la función en un valor arbitrario para la x que no sea asínto-ta, por ejemplo :0x =

14

yx

=+


10 4

y =+

14

y =

Es positivo, lo que quiere decir que cuando (en el origen), allí la gráfica está en la0x =parte positiva, como se muestra en la figura 4.18. Significa que de la asíntota hacia la de-recha, la rama de la gráfica está hacia arriba; de la asíntota hacia la izquierda la rama de lagráfica está hacia abajo.

El esbozo de la gráfica queda como se muestra en la figura 4.19.

Ejemplo 2: Esbozar la gráfica de 2

13 10

yx x

=+ −

Solución: Recordando que las asíntotas se ubican en los valores que hacen cero el denominador, és-tas se obtienen resolviendo

denominador2 3 10 0x x+ − =

de donde

figura 4.18 figura 4.19


1

2

25

xx== −

La gráfica va a tener tres ramas porque hay dos asíntotas. Para saber cuáles están para arri-ba y cuáles para abajo, se toma un valor arbitrario para la x que no sea una de las asínto-tas, por ejemplo y se sustituye en la ecuación de la gráfica:0x =

2

13 10

yx x

=+ −

( )2

10 3 0 10

y =+ −

110

y =−

Como da negativo, en esa regiónen donde la gráfica está0x =para la parte negativa de y, o seapara abajo.

Por lo tanto, si se alternan las ra-mas, una hacia arriba y otra haciaabajo, cuidando que cuando 0x =la rama quede hacia abajo, se ob-tiene la gráfica de la figura 4.20.

Ejemplo 3: Esbozar la gráfica de la función

( )( )( )1

5 2 3 4y

x x x=

+ − −

Solución: Recordando que las asíntotas se ubican en los valores que hacen cero el denominador, és-tas se obtienen haciendo igual a cero cada paréntesis, ya que cualquier cantidad multipli-cada por cero da cero, de manera que si cualquier paréntesis es igual a cero, todo el deno-minador será cero. Entonces

figura 4.20


5 0x + =

1 5x = −

2 3 0x − =

232

x =

4 0x − =

3 4x =

Las asíntotas están en , 5x = − 32

x =

y en , como se muestra en la figu-4x =ra 4.21. Lo que falta por definir es cadarama hacia donde apunta, si hacia arribao hacia abajo. Probando con en la0x =ecuación original:

( )( )( )1

5 2 3 4y

x x x=

+ − −

( )( )( )1

0 5 0 3 0 4y =

+ − −

160

y =+

Es decir, en el origen cuando , la y es positiva, o lo que es lo mismo la gráfica allí0x =apunta para arriba. De manera que alternando las ramas hacia arriba y hacia abajo cuidan-do solamente que se cumpla que cuando la rama vaya hacia arriba, se obtiene el0x =esbozo pedido. Ver figura 4.22.

figura 4.21


Ejemplo 4: Esbozar la gráfica de 2

110 25

yx x

=+ +

Solución: Las asíntotas están en los valores de la x que hacen cero el denominador, es decir cuando

2 10 25 0x x+ + =

de donde

1

2

55

xx= −

= −

Se trata del caso especial señalado en lapágina 119 en donde y forman1x 2xuna sola asíntota, como se ve en la figura4.23. Además las dos ramas que están acada lado de dicha asíntota abren hacia elmismo lado.

Para saber si es hacia arriba o hacia abajo,basta tomar un valor arbitrario para la x,por ejemplo y sustituirlo en la0x =ecuación a graficar:

figura 4.22

figura 4.23


2

110 25

yx x

=+ +

( )2

10 10 0 25

y =+ +

125

y =

Es decir, en el origen cuando , la y es positiva, o lo que es lo mismo la gráfica allí0x =apunta para arriba. De manera que el esbozo pedido corresponde a la figura 4.24.

Ejemplo 5: Bosquejar la gráfica de ( )( )2

14 20 25 3

yx x x

=− + +

Solución: El objetivo de este ejemplo es mostrar cómo se pueden combinar el caso especial cuandohay dos valores de x repetidos que hacen cero el denominador, con los otros. Las ramasde la gráfica tendrán que ir alternadas, una hacia arriba y otra hacia abajo, pero las dosramas que estén situadas a cada lado de la asíntota repetida apuntarán para el mismo lado.

figura 4.24


Las asíntotas están ubicadas en los valores de x que hacen cero el denominador. Entoncespara obtenerlos debe hacerse

24 20 25 0x x− + =

de donde

1

2

5252

x

x

=

=

3 0x + =

3 3x = −

Obsérvese que realmente van a haber solamente dos asíntotas, una (repetida) en y52

x =

la otra en . La gráfica, por lo tanto, va a tener tres ramas: las dos ramas a uno y3x = −

otro lado de la asíntota van a apuntar hacia el mismo sentido (ambas hacia arriba o52

x =

ambas hacia abajo), mientras que la rama al otro lado de la asíntota alternará en3x = −sentido con las anteriores.

Igual que en todos los ejemplos anteriores, para saber para dónde apuntan cada rama, bastaprobar con un valor arbitrario de x, siempre y cuando éste no sea asíntota. Entonces pro-bando con en la ecuación a graficar se llega a que0x =

( )( )2

14 20 25 3

yx x x

=− + +

( )( )2

14 0 20 0 25 0 3

y =× − × + +

( )( )1

25 3y =

+ +

Es decir, en el origen cuando , la y es positiva, o lo que es lo mismo la gráfica allí0x =apunta para arriba. De manera que el esbozo pedido corresponde a la figura 4.25.


EJERCICIO 16

Esbozar la gráfica de las siguientes funciones racionales:

1) 2)1

7y

x=

−1

3y

x=

−

3) 4)1

5 4y

x=

−1

7 2y

x=

−

5) 6)2

17 12

yx x

=− + ( )( )

11 3

yx x

=− −

figura 4.25


7) 8)( )( )

12 5

yx x

=− − ( )( )( )

13 5 1

yx x x

=− − +

9) 10)( )( )( )

16 1 4

yx x x

=− + + ( )( )( )

12 5 9

yx x x

=+ + +

11) 12)2

112 36

yx x

=− + 2

19 42 49

yx x

=+ +

13) 14)( )( )2

110 25 4

yx x x

=+ + + ( )( )2

19 66 121 1

yx x x

=+ + −

15) 16)( )( )2

14 44 121 2 11

yx x x

=− + + ( )( )2

125 70 49 9

yx x x

=+ + −

17) 18)( )( )2 2

12 1 6 9

yx x x x

=− + + + ( )( )2 2

14 12 9 8 16

yx x x x

=− + + +

4.7 LA SINUSOIDE

La palabra sinusoide viene del latín: sinus = seno y oide = forma. Es, en otras palabras, lagráfica que corresponde a la ecuación . Como el seno solamente se pueden aplicar ay sen x=ángulos, es evidente que en , la x es un ángulo. Y como los ángulos se miden en gra-y sen x=dos sexagesimales o en radianes, la x podrá estar en cualquiera de ambas unidades.

Es fácil distinguirlo porque los radianes siempre se dan en términos de π. Para recordar laequivalencia entre grados sexagesimales y radianes basta tener presente que en una circunferen-cia caben 360 grados sexagesimales y también 2π radianes, por lo tanto radianes. Ao360 2π=partir de allí, dividiendo ambos lados de la igualdad anterior entre la misma cantidad se puedeobtener cualquier equivalencia deseada. Por ejemplo, ¿a cuántos radianes equivalen 90º? Comoson la cuarta parte de 360º habrá que dividir toda la igualdad entre 4 de la siguiente forma:


o360 2 radianesπ=

o360 2 radianes4 4

π=

o90 radianes2π

=

Para graficar debe tabularse igual como se hace con cualquiera otra ecuación. Ely sen x=alumno deberá llenar la siguiente tabla y luego llevar los puntos al plano cartesiano para descu-brir la gráfica. Utilizar solamente tres decimales:

x 0 15 30 45 60 75 90 105 120

y

x 135 150 165 180 195 210 225 240 255

y

x 270 285 300 315 330 345 360

y

Debe entenderse que realmente se trata de una sola tabla, pero que por motivos de espacio sedividió en tres partes. Pero la tabla entera va desde hasta . Antes de llevar estos0x = 360x =puntos al plano cartesiano conviene observar algunas regularidades que se dan en esta tabla:

a) Cada 90º los valores se repiten simétricamente.

b) A partir de 180º los valores se repiten como del 0 al 180, pero mientras los primeros sonpositivos, los otros son negativos.

c) Los valores de la y van de 1 a - 1, aunque comienza en cero.


d) Si se continúa después del 360 se vuelven a repetir todos los valores.

Llevando estos puntos de la tabla al plano cartesiano y uniéndolos se obtiene la gráfica de lafunción seno, llamada gráfica fundamental, porque a partir de ella se pueden deducir todas lasdemás gráficas de cualquier función seno, como se verá más adelante.

Si los valores en x están en grados sexagesimales la gráfica corresponde a la figura 4.26; siestán en radianes, a la figura 4.27.

A esta forma de la gráfica se le llama “una onda”. Una gráfica puede tener dos ondas o másen el intervalo de 0 a 360, o inclusive menos de una. También se puede hacer que la onda vayamás arriba del 1 y más abajo del , como también que se desplace hacia arriba o hacia abajo.1−La recta que divide la gráfica en la parte convexa con la parte cóncava se llama eje central.

4.7.1 DESPLAZAMIENTO EN Y

Cualquier gráfica de cualquier función se puede desplazar en el eje de las y añadiendo untérmino independiente a la función original, exactamente como se hizo con la gráfica de las pará-bolas. Recordar que término es cualquier cantidad que se suma o que se resta.

Así, por ejemplo, la gráfica fundamental (figuras 4.26 y 4.27) se desplazará 3y sen x=

unidades para la parte positiva si la ecuación se convierte en . Se agregó el térmi-3y sen x= +

no independiente .3+

figura 4.26: Gráfica fundamental figura 4.27: Gráfica fundamental


Ejemplo 1: Esbozar la gráfica de 2y sen x= − +

Solución: Como el término independienteagregado es , la gráfica fun-2−

damental se desplaza unida-2−des, o sea hacia abajo. El eje cen-tral está en .2y = −

La figura 4.28 corresponde a di-cha gráfica.

Ejemplo 2: Hacer un bosquejo de la gráficade 4y sen x= +

Solución: Como el término independienteagregado es , la gráfica fun-4+

damental se desplaza unida-4+

des, o sea hacia arriba. El eje cen-tral está en .4y =

La figura 4.29 corresponde albosquejo de la gráfica pedida.

4.7.2 DESPLAZAMIENTO EN X

Cualquier gráfica de cualquier función se puede desplazar en el eje de las x añadiendo untérmino a la función original que sume directamente a la x, solamente que el desplazamiento sehará en sentido contrario al signo de dicho término, exactamente como se hizo con la gráfica delas parábolas,. Recordar que término es cualquier cantidad que se suma o que se resta.

Así, por ejemplo, la gráfica fundamental (figuras 4.26 y 4.27) se desplazará 90y sen x=

unidades (90 grados) para la parte positiva si la ecuación se convierte en .( )90y sen x= −

figura 4.28

figura 4.29


Ejemplo 3: Hacer el bosquejo de la gráfica de .( )90y sen x= +

Solución: Como el término agregado está sumando directamente a la x, la gráfica fundamen-90+

tal se desplazará sobre el eje de las x, solamente que con signo contrario, es decir hacia laizquierda.

La gráfica se puede representar de cualquiera de las siguientes dos formas: Como en lafigura 4.30 (ó 4.32) en la que la gráfica fundamental se recorrió 90 grados (o radia-/ 2πnes) hacia la izquierda y en ella se representa la posición en la que queda una onda com-pleta; o bien, como en la figura 4.31 (ó 4.33) en la que se representa lo que “se vería” degráfica entre los valores de 0 a 360 grados, o de 0 a 2π, después de haber desplazado lagráfica sobre el eje de las x 90 grados (o radianes) hacia la parte negativa./ 2π

Ejemplo 4: Esbozar la gráfica de .( )y sen x π= −

Solución: Como el término agregado está sumando directamente a la x, la gráfica fundamentalπ−se desplazará sobre el eje de las x, solamente que con signo contrario, es decir hacia laparte positiva o a la derecha. Recordar que π equivale a 180 grados.




Al recorrer la gráfica fundamental hacia la derecha π radianes (ó 180 grados), resultaría loque se muestra en la figura 4.34, pero no debe tener ningún hueco entre el eje de las y y elinicio de la misma gráfica, por lo tanto hay que “rellenar ese hueco.

Rellenar significa completar la gráfica en el espacio faltante, como se ve en la figura 4.35.

Si la gráfica se deja como la figura 4.35 escorrecto, aunque también es válido, comose dijo en el ejemplo anterior, representarnada más lo que “se vería” de gráfica entrelos valores de 0 a 360 grados, o de 0 a 2π,después de haberla desplazado sobre el ejede las x , tal como se muestra en la figura4.36.

figura 4.34

figura 4.35

figura 4.36


4.7.3 DESPLAZAMIENTOS COMBINADOS EN X Y EN Y

La gráfica sinusoidal fundamental se puede desplazar al mismo tiempo sobre ely sen x=eje de las x y sobre el eje de las y, simplemente aplicando simultáneamente las reglas respecti-vas de desplazamiento que se acaban de estudiar en los apartados 4.7.1 y 4.7.2.

Ejemplo 5: Esbozar la gráfica de .( )2 90y sen x= + −

Solución: Recordar que en ( )2 90y sen x= + −

desplaza 2 unidades desplaza 90 gradoshacia arriba hacia la derecha

Con esos desplazamientos la gráfica fundamental quedaría como se ve en la figura 4.37,pero como ya se dijo que no es correcto dejar un espacio vacío entre el eje de las y con elinicio de la misma gráfica, se debe completar ésta en ese intervalo de como se0 90x≤ ≤muestra en la figura 4.38.

figura 4.37


4.7.4 LA AMPLITUD

Todas las gráficas vistas en los ejemplos anteriores han subido a partir del eje central hastauno en el eje de las y y bajado también uno. Esto quiere decir que la parte más alta de la ondaqueda una unidad arriba del eje central y la parte más baja de la onda queda una unidad abajo.Sin embargo, se puede hacer que suba y baje más de uno (o menos) agregando un coeficiente a

. Por ejemplo, en , la gráfica subirá hasta 3 y bajará hasta (ver ejemplo 6).sen x 3y sen x= 3−A este coeficiente se le llama amplitud porque en la gráfica es el responsable de que tan ampliaquede la curva en el sentido vertical.

La amplitud se puede combinar con los desplazamientos en x y en y.

Ejemplo 6: Esbozar la gráfica de .3y sen x=

Solución: El coeficiente 3 que antecede al hace que la onda suba hasta tres unidades sobre elsen xeje de las y respecto del eje central y que baje tres unidades, tal como se muestra en lafigura 4.39.

figura 4.38


Ejemplo 7: Bosquejar la gráfica de .1 2y sen x= − +

Solución: Tomando en cuenta que en 1 2y sen x= − +

desplaza la gráfica la amplitud es 2 1 hacia abajo

La gráfica que se obtiene esla mostrada en la figura4.40. Obsérvese que la am-plitud 2 debe contarse apartir del eje central. Comoéste al desplazarse quedóubicado en , enton-1y = −ces la parte más alta de laonda llega hasta y la1x =más baja hasta .3x = −

figura 4.39

figura 4.40


Ejemplo 8: Esbozar la gráfica de ( )3 3y sen x π= + −

Solución: Tomando en cuenta que en ( )3 3y sen x π= + −

sube la gráfica 3 desplaza a la derechaunidades π unidades (180o)

amplitudigual a 3

La gráfica que se obtiene es la mos-trada en la figura 4.41. Sin embar-go, como ya se dijo en ejemplosanteriores, no debe dejarse un huecoentre el eje de las y con el inicio dela gráfica.

Por lo tanto, si se completa la gráfi-ca en ese espacio vacío, la sinusoidepedida es la que se muestra en lafigura 4.42.

figura 4.41

figura 4.42


4.7.5 LA FRECUENCIA

Todas las sinusoides que se han visto hasta ahora tienen una sola onda en el intervalo de 0grados hasta 360, o de 0 radiantes hasta 2π. Sin embargo, también se puede modificar el númerode ondas en ese intervalo, es decir que haya por ejemplo dos ondas en , o tres, o0 360x≤ ≤cuatro, etc.

Lo anterior se consigue añadiendo un coeficiente directamente a la variable independiente x,por ejemplo, la gráfica de tiene dos ondas entre 0 y 360 grados, o lo que es lo mis-2y sen x=

mo, entre 0 y 2π radianes. Esto se puede combinar con los desplazamientos horizontal y verticaly con la amplitud.

No confundir entre con . En el primer caso el coeficiente 3 lo es de3y sen x= 3y sen x=toda la función seno y da la amplitud, mientras que en el segundo caso el coeficiente 3 lo es de lavariable x y da la frecuencia.

Ejemplo 9: Esbozar la gráfica de .2y sen x=

Solución: Como el coeficiente 2 lo es de la variable x, significa que hay 2 ondas entre 0 y 360 gra-dos, o entre 0 y 2π radianes. Las figuras 4.43 y 4.44 corresponden a la gráfica, solamenteque una está en grados y la otra en radianes.

Cuando la frecuencia no es uno, debe buscarse una proporción para ver cada onda cuántosgrados o radianes abarca. Por ejemplo, si son 5 ondas, hay que dividir 360 entre 5 que da72; significa que cada 72 grados debe completarse una onda.

figura 4.44figura 4.43


Ejemplo 10: Esbozar la gráfica de .( )1 4 3 270y sen x= + +

Solución: Tomando en cuenta que en ( )1 4 3 270y sen x= + +

desplaza en 1 hacia tres ondas entre arriba la gráfica 0 360x≤ ≤

amplitud desplaza 270 grados aigual a 4 la izquierda a la gráfica

Haciéndola por partes, un ordenconveniente podría ser el siguien-te:

a) Primero el desplazamiento so-bre x: Debe recorrerse la grá-fica fundamental hacia la iz-quierda el equivalente a 270grados. Ver figura 4.45. Loanterior sirve para observarque a partir del eje y la gráfi-ca empieza en la parte más baja de laonda. Si a partir del eje y se continúala onda hasta 360 grados, se obtiene lafigura 4.46.

b) En segundo lugar la frecuencia: en estecaso son 3 ondas entre 0 y 360 grados.Al efectuar la proporción se tiene quecomo 360 entre 3 da 120, entonces ca-da 120 grados habrá una onda; además,cada 60 grados habrá media onda. Has-ta aquí la gráfica correspondiente es lamostrada en la figura 4.47. Recordarque no es la gráfica definitiva todavía.

figura 4.45

figura 4.46

figura 4.47


c) Como tercer paso el desplazamien-to en y: Toda la figura 4.47 se subeuna unidad resultando la figura4.48.

d) Finalmente la amplitud: A partir deleje central las ondas deben subir 4y bajar 4, o sea que deben llegarhasta 5 en la parte superior y hasta

por la parte inferior.3−

La gráfica definitiva se muestra enla figura 4.49.

figura 4.48

figura 4.49


EJERCICIO 17

Esbozar la gráfica de las siguientes funciones:

1) 2)( )270y sen x= −2

y sen x π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

3) 4)4 2y sen x= − + 2 4y sen x=

5) 6)4 5y sen x= 3 3 (3 )y sen x π= − + −

7) 8)4 2 2y sen x= − +35 32

y sen x π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

9) 1034 3 22

y sen x π⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

5 3y sen x= − +

11) 12)1 6y sen x= + ( )2 6 4 270y sen x= + +

13) 14)( )2 3 90y sen x= − + − 7 52

y sen x π⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

15) 16)22

y sen x π⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2 2y sen x= − +


4.8 LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

El logaritmo de un número n es el exponente al que debe elevarse la base para obtener dichonúmero n. Por ejemplo, si , el logaritmo de 1000 es 3 porque 3 es el exponente al310 1000=que se elevó la base 10 para obtener 1000. En las páginas 78 y 79 del capítulo 2 se hizo un recor-datorio más amplio de lo que es un logaritmo.

En esta sección de gráficas se va a trabajar con logaritmos naturales, escrito ln. Para graficardebe tabularse igual como se hace con cualquiera otra ecuación. El alumno deberá lle-lny x=

nar la siguiente tabla y luego llevar los puntos al plano cartesiano para descubrir la gráfica. Em-plear tres decimales:

x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 3 5

y

x 10 20 30 40 50 60 70 80 90

y

Debe entenderse que realmente se trata de una sola tabla, pero que por motivos de espacio sedividió en dos partes. Al momento de graficar, los valores de x mayores de 10 ya no se llevan alplano cartesiano por tratarse de cantidades grandes, pero en la tabla sirven para dar idea de haciadónde o cómo continúa la gráfica después de graficar lo que es posible por motivos de espacio.

Antes de llevar estos puntos al plano cartesiano conviene observar algunas regularidades quese dan en esta tabla:

a) El logaritmo de cero no existe.

b) Los valores entre cero y uno son negativos.

c) Los valores de y de 1 en adelante crecen muy lentamente.

d) Las únicas coordenadas con valores enteros son las del punto P(1, 0). A este punto se leva a llamar el punto característico.


e) A una unidad a la izquierda del punto característico está la asíntota.

Llevando estos puntos de la tabla al plano cartesiano y uniéndolos se obtiene la gráfica de lafunción logaritmo natural, llamada gráfica fundamental, porque a partir de ella se pueden dedu-cir todas las demás gráficas de cualquier función logaritmo natural, como se verá más adelante.La figura 4.50 corresponde a dicha gráfica fundamental.

Esta gráfica tiene dos características fundamentalesque deben tenerse presente al momento de esbozar cual-quier otra gráfica logarítmica: Una, que pasa por el pun-to ; y la otra, que una unidad atrás de ese punto( )1, 0

hay una asíntota. En la figura 4.50 coincide con el eje y,pero no siempre es así.

Además esta gráfica, exactamente igual que en todaslas anteriormente vistas, un signo negativo que la ante-ceda la hace girar 180 grados respecto del eje horizon-tal, como se ve en la figura 4.51, quedando el punto P enel mismo sitio original.

figura 4.50

figura 4.51


También en ( )lny a x b= + +

desplaza a la gráfica desplaza a la gráficaverticalmente horizontalmente en

sentido contrario al signo.

Ejemplo 1: Esbozar la gráfica de .2 lny x= +

Solución: La gráfica fundamental está desplazada 2 unidades hacia arriba. Entonces el punto caracte-rístico va a estar ubicado en y la asíntota seguirá siendo el eje y. La figura 4.52( )P 1, 2

corresponde a dicha gráfica.

Ejemplo 2: Bosquejar la gráfica de .( )ln 2y x= −

Solución: La gráfica fundamental está desplazada 2 unidades hacia la derecha sobre el eje x. Por lotanto, el punto característico está en y la asíntota estará en , tal como se( )P 3, 0 2x =

muestra en la figura 4.53:

figura 4.52


Ejemplo 3: Esbozar la gráfica de .( )1 ln 3y x= − + +

Solución: La gráfica fundamental está desplazada 1unidad hacia abajo (- 1 sobre y ) y 3 uni-dades hacia la izquierda sobre el eje x.Por lo tanto, el punto característico estáen y la asíntota estará en( )P - 2, - 1

, tal como se muestra en la figu-3x = −ra 4.54:

Ejemplo 4: Bosquejar la gráfica de la función cuyaecuación es .( )2 ln 1y x= − −

Solución: Como en la ecuación ( )2 ln 1y x= − −

sube 2 unidades a la gira 180º la gráfica desplaza 1 unidad a lagráfica fundamental fundamental respecto derecha a la gráfica

del eje de las x fundamental

figura 4.53

figura 4.54


La gráfica fundamental está desplazadauna unidad a la derecha sobre el eje delas x y dos unidades hacia arriba sobreel eje de las y. Por lo tanto el puntocaracterístico está ubicado en las coor-denadas . La asíntota está en( )P 2, 2

y por el signo negativo que an-1x =tecede al logaritmo, la gráfica gira180º como lo muestra la figura 4.55.

Por lo tanto, la gráfica definitiva de lafunción pedida corresponde a la figura4.56.

figura 4.55

figura 4.56


EJERCICIO 18


1) 2)( )ln 4y x= + 3 lny x= − +

3) 4)( )ln 6y x= − 4 lny x= +

5) 6)( )1 ln 1y x= + + ( )4 ln 2y x= − + −

7) 8)( )2 ln 5y x= − + + ( )5 ln 1y x= + −

9) 10)( )7 ln 1y x= − + 3 lny x= −

11) 12)( )1 ln 6y x= − − ( )8 ln 5y x= − −

13) 14)2 lny x= − − ( )5 ln 1y x= − − +

15) ( )7 ln 3y x= − − −


4.9 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Como se dijo en el apartado anterior, el logaritmo de un número n es el exponente al quedebe elevarse la base para obtener dicho. Los logaritmos naturales tienen como base al númeroque se simboliza con la letra e y que vale . 2.718281828e =

Para obtener esta cantidad con la calculadora debe teclearse (puede estar como 2ª fun-xeción) y después el 1, ya que así la operación que hará la calculadora es e1.

Para graficar debe tabularse igual como se hace con cualquiera otra ecuación. Elxy e=

alumno deberá llenar la siguiente tabla y luego llevar los puntos al plano cartesiano para descu-brir la gráfica. Emplear tres decimales:

x - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2

y

Antes de llevar estos puntos al plano cartesiano conviene observar algunas regularidades quese dan en esta tabla:

a) No existen valores negativos para y. Por lo tanto, el eje de las x es asíntota.

b) Para valores de x menores que cero corresponden valores a la y positivos entre 0 y 1.Simbólicamente se escribe que para corresponden .0x < 0 1y< <

c) Las únicas coordenadas con valores enteros son las del punto P(0, 1). A este punto se leva a llamar el punto característico.

e) A una unidad abajo del punto característico está la asíntota.

Llevando estos puntos de la tabla al plano cartesiano y uniéndolos se obtiene la gráfica de lafunción exponencial, llamada gráfica fundamental de la función exponencial, porque a partir deella se pueden deducir todas las demás gráficas de cualquier función exponencial, como se verámás adelante. La figura 4.57 corresponde a dicha gráfica fundamental.


Como el logaritmo natural, escrito ln, yex

son operaciones inversas, sus gráficaspueden verse como inversas: El punto carac-terístico en ln está en mientras que( )P 1, 0

en ex está ubicado en . La asíntota( )P 0, 1

en ln es vertical una unidad a la izquierdadel punto característico, la asíntota en ex

eshorizontal una unidad abajo del punto carac-terístico.

Los desplazamientos se cumplen igualpara las gráficas de ex. El único detalle atomar en cuenta es que si antecede un signonegativo a ex, la gráfica fundamental gira180º respecto de la asíntota.

La figura 4.58 muestra la rotación seña-lada en el párrafo anterior.

figura 4.57

figura 4.58


Ejemplo 1: Esbozar la gráfica de .3 xy e= +

Solución: La gráfica fundamental se desplaza 3 unidadeshacia arriba, por lo tanto, el punto característi-co queda en y la asíntota en .( )P 4, 0 3y =

La figura 4.59 muestra la gráfica pedida.

Ejemplo 2: Esbozar la gráfica de .( )32 xy e += − −

Solución: Como en la ecuación ( )32 xy e += − −

baja 2 unidades a la gira 180º la gráfica desplaza 3 unidad a lagráfica fundamental fundamental respecto izquierda a la gráfica

del eje de la asíntota fundamental

Entonces la gráfica fundamentalestá desplazada tres unidades a laizquierda sobre el eje de las x y dosunidades hacia abajo sobre el eje delas y. La asíntota está en 2y = −y por el signo negativo que antecedeal logaritmo, la gráfica gira 180ºrespecto de la asíntota como lomuestra la figura 4.60, por lo tantoel punto característico está ubicadoen las coordenadas . ( )P - 3, - 3

La gráfica definitiva de la funciónpedida corresponde a la figura 4.60.

figura 4.59

figura 4.60


EJERCICIO 19


1) 2)4 xy e= + 2 xy e= − +

3) 4)( )5xy e += ( )7xy e −=

5) 6)( )51 xy e += + ( )16 xy e −= +

7) 8)( )23 xy e += − + ( )21 xy e −= − +

9) 10)( )6xy e += − ( )1xy e −= −

11) 12)( )17 xy e += − ( )82 xy e −= −

13) 14)( )16 xy e += − − ( )55 xy e −= − −

15) 16)1 xy e= − + 1 xy e= −

graficas de funciones trigonnometricas

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