Graficacin 3D

Grficacion 3DUnidad 3: Resumen generalRepresentacin de objetos en tres dimisionesSuperficies de polgonosEn la mayora de los casos para representar objetos tridimensionales utiliza un conjunto de polgonos debido a que estos facilitan superficie y despliegue de objetos. Tablas de polgono

Representacin matricial de transformaciones tridimensionalesSemejante a las transformaciones bidimensionales solo que en este caso las matrices son de 4x4 y las coordenadas a utilizar son (X, Y, Z, W).La transformacin de un punto a esta forma de le denomina homogeneizacin, ejemplificaremos el sistema de mano derecha. Esto permite crear un eje hacia un eje positivo desde el origen con una rotacin de 90.

Representacin matricialTodas las matrices de transformacin tienen inversas. La inversa de T se obtiene cambiando de signo dc dx dy y dz..Es osible multiplicar juntas cualquier cantidad de matrices de rotacin, escalacin y translacin. El resultado siempre tendr la misma forma.

Representacin matricialTranslacin----------Escalacin--------RotacinTransformaciones tridimensionalesPara transformaciones tridimensionales primitivas , el problema de debe dividir en varios mas sencillos. Translacin de P1 al OrigenRotacin sobre el eje y para que P1P2 este en el plano(x,y).Rotacin sobre el eje x para que P1P2 este en el eje z.Rotacin sobre el eje z para que P1P2 este en el plano (y,z).Transformaciones tridimensionalesPaso 1: posicin inicial:Translacin de P1 al origen.Obtenemos la matriz translacin y aplicamos T a P1,P2 y P3.para obtener ^

Transformaciones tridimensionalesPaso 2:Rotacin sobre el eje y.Sabemos que el Angulo de rotacin es (90 - 0)=teta - 90Con ayuda de trigonometra podremos obtener una Formula.

Donde D1=Y sustituyendo los valores se obtiene: Entonces el componente Z es la longitud->

Representacin tridimensionalPaso 3:Rotacin sobre el eje xYa obtuvimos la ecuacin de rotacin: -

La longitud entre P1 y P2 se conserva entonces se establece esta formula:

El resultado de la rotacin en el paso 3 es: El resultado obtenido:----

Representacin tridimensionalPaso 4:Rotacin sobre el eje ZLa ecuacin ya obtenida: La rotacin a travs del ngulo positivo , con:

Y el resultado es el movimiento a

Lneas y superficies curvasIntroduccinEl despliegue de lneas y superficies curvas tridimensionales pueden ser generadas con un conjunto de ecuaciones matemticas que indique sus puntos especficos a lo largo de su trayectoria pixel por pixel.Cuando un conjunto de puntos de coordenadas discretos se utiliza para especificar la forma del objeto, se obtiene una descripcin funcional. El mtodo spline utiliza estas funciones para disear formas nuevas de objetos, para digitalizar trazos y describir trayectorias de animacin.Las ecuaciones de curva y superficie se pueden expresar ya sea en forma paramtrica o no paramtrica.

Lneas y superficies curvasTipos:Superficies cuadrticas (cudricas).Representaciones de Splinelneas y superficies curvasSuperficies cuadrticasUna clase de objetos que se utiliza con frecuencia son las superficies cuadrticas, que se describen con ecuaciones de segundo grado y los objetos que pueden representarse son los siguientes:EsferaElipsoideTorosParaboloidesLneas y superficies curvas EsferaEn las coordenadas cartesianas, una superficie esfrica con radio r que se centra en el origen de las coordenadas se define como el conjunto de puntos (x, y, z) que satisfacen la ecuacin.Tambin se puede describir la superficie esfrica en forma paramtrica utilizando los ngulos de latitud y longitud.Las siguientes formulas proporcionan un rango simtrico.Utilizando la colatitud se obtienen los parmetros de coordenadas esfricas (r, teta, )

Lneas y superficies curvas ElipsoideEl elipsoide se puede describir como extensin de la superficie esfrica pero con los tres radios con valores mayores, ejemplo:Representado paramtricamente

Lneas y superficies curvas ToroEl toro es un objeto en forma de dona, se puede generar al girar un circunferencia u otro cnico alrededor de un eje especfico.Su representacin cartesiana se puede expresar en la forma: El toro es similar al elipse excepto que el ngulo se extiendeA lo largo de 360. El conjunto de puntos que satisfacen esta forma son:

Lneas y superficies curvas Representaciones de SplineEn la terminologa del dibujo Spline es una banda flexible que se utiliza para producir una curva suave a travs de un conjunto de puntos designados. Fsicamente se dibuja a molde.Un trazo Spline se puede describir matemticamente con una funcin cbica polinmica cuyas primeras y segundas derivadas son continuas a travs de las distintas secciones de la curva.Las aplicaciones CAD simples incluyen splines para el diseo de carrocera y grandes maquinas.Interpolacin y aproximacin de splines. Creamos una curva de Spline cuando proporcionamos un conjunto de posiciones de coordenadas y despus se ajustan a ecuaciones polinmicas paramtricas.

conclusionesLa conclusin mas concurrente es que las matemticas siguen siendo el lenguaje universal, y con ello podemos indicar alguna figura , una simple con una ecuacin de primer grado y para trayectorias es necesario indicar funciones con ecuaciones de mayor grado e incluir mtodos sofisticados y tediosos.Las transformaciones geomtricas bsicas son la translacin, rotacin y escalacin.Se utiliza matrices de 4x4 donde el coeficiente homogneo se le asigna el valor 1 para transformaciones geomtricas.La multiplicacin de matrices no es conmutativa, obtenemos distintos resultados. Por ejemplo si cambiamos el orden de la secuencia translacin-rotacin.