Gradiente,  divergencia  y  rotacional  

Matemá4cas  para  Ingeniería  I  Lilia  Meza  Montes  

2017  

Definición  

•  A  par4r  de  una  función  escalar  f(x,y,z)  obtenemos  otra  función  vectorial  llamada  gradiente  

kzfj

yfi

xfzyxf ˆˆˆ),,(

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

Función  escalar                                                                        función  vectorial          f(x,y,z)                                                                                                              ∇f                                              

∇  =  Operador  nabla    

Operador  nabla  •  Es  un  operador  vectorial  •  Actúa  sobre  la  función    

kjizyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

Función  escalar                                                                        función  vectorial          f(x,y,z)                                                                                                              ∇f                                              

∇  

Propiedades    

Para  una  función  de  dos  variables  f(x,y)  •   La    dirección  de  máximo  crecimiento  de  f  está  dada  por                          .  El  valor  máximo  de  f  

       es                                          .  •  La    dirección  de  mínimo  incremento  de  f  está  dada  por                          .  El  valor  mínimo  de  f  

       es                                                    .    

),( yxf∇),( yxf∇

),( yxf∇−),( yxf∇−

Bolas  abierta  y  cerrada  

222 ryx ≤+r  

Abierta:  No  incluye  frontera  

Cerrada:  Incluye  frontera  

x  

y  

(xc,yc)  

( ) ( ) 222 ryyxx cc <−+−

Propiedades  geométricas  

•  Sea  f(x,y)  una  función  escalar  de  dos  variables.  En  R3,  z=f(x,y)  define  una  superficie  S.  Construimos  la  función  

 •  Esta  es  la  ecuación  de  la  superficie  S.  Un  vector  unitario  normal  a  S  en  (x,y,z)  es  

 

0),(),,( =−= zyxfzyxF

FFn

∇∇

=ˆNotar:  Este  es  un  vector  en  el  espacio.  El  gradiente  de  f  (x,y)  está  en  el  plano  

El  vector  normal  y  el  plano  

2/2/3 yxz −+=

|ˆ8ˆ4ˆ4|ˆ2ˆ4ˆ4|01222),,(

)4,1,1(

222

kjikzjyixFyxzzyxF

PP ++−=+−−=∇

=−−−=

−=

Ecuación  del  plano  

Plano  tangente  en  (1,-­‐1,4)  

Superficie  S   Superficie  S  

Plano  

Gradiente  de  F  

El  gradiente  de  f(x,y)  es  normal  a  las  curvas  de  nivel  

 Indica  dirección  en  la  cual  la  función  f(x,y)  aumenta  más  rápidamente  

jijzyi

zx

jyx

yiyx

xyxf PP

ˆ21ˆ

21ˆ2ˆ2

|ˆ2212

2ˆ2212

2|),(

0

0

0

0

2222

−=+=

+++

++=∇

22 2212),( yxyxf ++=

(x0,y0)  

DIVERGENCIA  

Definición  A  par4r  de  una  función  vectorial  R(x,y,z)  obtenemos  una  función  escalar  llamada  divergencia      

Función  vectorial                                                                        función  escalar          R(x,y,z)                                                                                                              ∇·∙R                                            

∇·∙  

( )kjikjiR zyx RRRzyx

++•⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

+∂∂

=•∇

zR

yR

xR zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=•∇ R

SIGNIFICADO  FÍSICO  

Densidad  Can4dad  de  (X=masa,carga,probabilidad)    por  unidad  de    •  Volumen  V  (densidad  volumétrica)  ρ=X/V  •  Área    A  (densidad  superficial)  σ=X/A  •  Longitud  l  (densidad  lineal)      λ=  X/l    Puede  ser  constante  o  una  función  escalar  de  la  posición.  También  puede  depender  del  4empo  ρ(x,y,z,t).    

Densidad  de  población  

Densidad  ósea  

Dis4ntos  materiales  

Densidad  de  carga  eléctrica  

De  No  machine-­‐readable  author  provided.  Lalo49~commonswiki  assumed  (based  on  copyright  claims).  -­‐  No  machine-­‐readable  source  provided.  Own  work  assumed  (based  on  copyright  claims).,  CC  BY  2.5,  hkps://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=396425  

Ejemplo:  fluido  compuesto  de  parpculas  

fluido:  se  caracteriza  con  un  campo  vectorial,  densidad  de  flujo  j.  En  cada  punto  j=ρ  v,  ρ  es  la  densidad  del  fluido  

Cuántas  parpculas  (masa,  carga,  etc  …)  pasan  por  unidad  de  4empo  en  el  área  A?  

Parpculas  con  misma  velocidad  v  Volumen  de  la  caja    V  =  v  A  Masa  en  la  caja                M=ρV=ρv  A  Can4dad  de  masa  que  pasa  por  unidad  de  4empo                    J=  ρvA  por  unidad  de  área  j=  ρv  Esto  es  Flujo    

v  =  Velocidad  de  parpculas  

A=  Área   v  

v  

 Volumen  V=dxdydz  Área  A=  dydz=V/dx    Flujo  neto  a  lo  largo  de  la  dirección  x    =  Flujo  que  sale  –  flujo  que  entra  

Area    =  dydz  

Flujo  total  en  volumen  dxdydz  

Suma  de  flujos  a  lo  largo  de  x,  y,  z  =    flujo  neto    

Divergencia  =  Flujo  por  unidad  de  volumen  

Divergencia  da:  número  de  parpculas  por  unidad  de  4empo  que  pasan  por  la  unidad  de  volumen  

 

Divergencia  posi4va:  expansión  

Divergencia  nega4va:  implosión  o  compresión    

Divergencia  nula:  conservación  

Fluido  que  pasa  en  áreas  sombreadas    por  unidad  de  4empo  es  el  mismo    

Fluido  incompresible.  Conservación  de  masa,  carga,  etc  

Ancho  del  tubo=divergencia  del  campo  

Algunos  si4os  con  ejemplos  Cálculo  analí4co  de  divergencias  y  rotacionales  hkp://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=85afa8b72bd564fc6c84dde9f0393305  

hkp://www.ma.utexas.edu/users/kit/UT/M427L%20Advanced%20Calculus%20II/Sec4on_4.4.pdf  

hkp://mathinsight.org/divergence_curl_examples  

hkps://www.khanacademy.org/math/mul4variable-­‐calculus/mul4variable-­‐deriva4ves/divergence-­‐and-­‐curl-­‐ar4cles/a/curl-­‐warmup  

hkp://fcm.ens.uabc.mx/~chelo/analisis%20vectorial/nucleos/capitulo2/leccion2_4/mates/ecdif/l2-­‐4b.htm  

ROTACIONAL  

Definición  

∇×R =

i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

Rx Ry R`z

=

∂∂y

∂∂z

Ry R`z

i−∂∂x

∂∂z

Rx R`z

j+∂∂x

∂∂y

Rx Ry

k

Rotacional    o  curl  de  R   Orden  de  los  

operadores  es  importante  

Sea  la  función  vectorial    con  componentes  Rx,  Ry,  Rz  kjiR ),,(),,(),,(),,( zyxRzyxRzyxRzyx zyx ++=

Función  vectorial                                                                        función  vectorial        R(x,y,z)                                                                                                              ∇xR                                              

∇x  

Significado.  Ejemplo  Fluido  Campo  de  velocidad  v(x,yz,)    define  velocidades  de  par4culas  Parpculas  del  fluido  4enden  a  rotar  alrededor  del  punto  y  a  lo  largo  del  vector  definido  por  el    rotacional  de  la  velocidad  v,  la  magnitud  dice  que  tan  rápido  se  mueven  alrededor  del  eje  Si  curl  F=0  no  hay  vór4ces.  Se  dice  que  es  irrotacional  (ejemplo  paleta)  

Tarea  –  Junto  con  problemas  de  Lagrange  y  gráfica  de  Gradiente.  Para  

el  martes  14    El  campo  vectorial  F(x,y,z)  indicado  es  independiente  de  z  y    la  componente  z  es  nula.  a)  Es  la  div  F  posi4va,  nula  o  cero?  Explique.  b) Determine  si  curl  F=0.  si  no,  hacia  qué  dirección  apunta  curl  F?  

Campo  conserva4vo  •  Si  f  es  una  función  que  4ene  derivadas  parciales  de  segundo  orden  con4nuas  (Clase  C2),  entonces  

 •  F=∇f  define  un  campo  vectorial.  Se  dice  que  el  campo  es  conserva4vo  y  que  f  es  una  función  potencial  (en  Física  F=-­‐∇V)    

∇x∇f=0  

∇�∇xF=0   Divergencia  del  rotacional  es  cero  

Para  recordar  Nombre   Símbolo   Actúa  sobre   Resultado  

Gradiente     Función    escalar  

Función  vectorial  

Divergencia  (div)   Función  vectorial  

Función  escalar  

Rotacional  (curl)   Función  vectorial  

Función  vectorial  

Laplaciano   Función    escalar  

Función  escalar  

∇·∙  

∇  

∇x  

∇2

Relaciones  para  el  operador  nabla  

Laplaciano  ∇2 =∇•∇ =∂2

∂x2+∂2

∂y2+∂2

∂z2

Ecuación  de  Laplace  

B  A  

IDEN

TIDA

DES