gra nim gra w „zapałki”
DESCRIPTION
GRA NIM Gra w „zapałki”. A. Sumionka. Krótkie informacje na temat gry:. Krótkie informacje na temat gry:. Starodawna gra marynarska; Gra dwu i wieloosobowa; Gracze wykonują ruchy naprzemian; Złożona ze stosów, w których znajduje się pewna ilość zapałek (żetonów); - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
GRA NIMGra w „zapałki”
A. Sumionka
Krótkie informacje na temat gry:
• Starodawna gra marynarska;• Gra dwu i wieloosobowa;• Gracze wykonują ruchy naprzemian;• Złożona ze stosów, w których znajduje się
pewna ilość zapałek (żetonów);• Na każdy ruch składa się wybranie stosu i
zabranie z niego zapałek (żetonów);• Wygrywa gracz, który zabierze ostatni żeton.
Krótkie informacje na temat gry:
Każdą konfigurację można opisać za pomocą skończonego ciągu dodatnich liczb całkowitych, gdzie ilość (czyli długość) tego ciągu, to ilość stosów na stole, a każdy wyraz jest liczbą zapałek w danym stosie. Dodatkowo:
• Ciąg jest nierosnący;• Zmiana kolejności wyrazów ciągu
odpowiada przenumerowaniu stosów zapałek;
Ciąg [2,5] oznacza, że mamy do czynienia z dwoma stosami, w których:
w pierwszym są 2 zapałki, w drugim 5.
Ciąg [2,5] możemy zastąpić ciągiem [5,2], a np. ciąg [3,8,17,11,8] – ciągiem [17,11,8,8,3].
Przykład:
Każdy skończony nierosnący ciąg dodatnich liczb całkowitych nazywamyUKŁADEM
1. ANALIZA WSTĘPNA GRY
Układ u należy do wtedy i tylko wtedy, gdy z u zawsze przechodzimy do pewnego układu należącego do .
Układ u należy do wtedy i tylko wtedy, gdy z u można przejść w jednym ruchu do pewnego układu należącego do .
OZNACZENIA:
P
NN
P
Istnieje tylko jeden układ końcowy, a mianowicie [0,0,0], który jest układem P.Rozwiązanie z 1 stosem jest trywialne – zabiera się cały stos.Stąd jakikolwiek układ z dokładnie jednym niepustym stosem, np. [0,0,x], gdzie x>0 jest układem N.Dla gry z dwoma stosami układy P to takie, w których dwa stosy mają równą ilość żetonów: [0,1,1], [0,2,2] itd.
Stosy [1,1,1],[1,1,2],[1,1,3] oraz [1,2,2] są układami N, ponieważ mogą zostać zmienione na [0,1,1] lub [0,2,2].Kolejnym najprostszym układem jest [1,2,3] i musi on być układem P.Możemy tak pójść dalej i przekonać się, że kolejnymi najprostszymi układami P są [1,4,5] oraz [2,4,6].
2. NIM - SUMA
dwóch nieujemnych liczb całkowitych to ich dodawanie bez przenoszenia w
systemie dwójkowym.
x - nieujemna liczba całkowita
Zapisujemy:
Nim-sumę dwóch liczb całkowitych otrzymujemy wykonując sumę modulo 2 na poszczególnych bitach ich reprezentacji binarnych.
Nim-suma
Reprezentacja w systemie dwójkowym:01
11 2...22 xxxxx m
mm
m
2011 )...( xxxxx mm
Nim-suma i wynosi , co zapisujemy jako : ⊕ = ,gdzie dla każdego k, zk = xk + yk (modulo 2), czyli zk = 1 wtedy, gdy xk + yk =1 i zk = 0 w każdym innym przypadku.
DEFINICJA
20 )...( xxm 20 )...( yym
20 )...( xxm 20 )...( yym 20 )...( zzm
20 )...( zzm
Mamy obliczyć: 22 51⊕ ,czyli przechodząc do reprezentacji binarnej:(10110)2 (110011)⊕ 2
Co wyliczamy w następujący sposób:
22 = 101102
51 = 1100112
nim-sum = 1001012 = 37
Przykład:
0 jest elementem neutralnym dodawania:
Każda liczba jest swoją odwrotnością:
WŁASNOŚCI NIM-SUMY
ŁącznośćPrzemienność
zyxzyx )()(
xyyx
PONADTO:xx 0
0 xx
3. TWIERDZENIE C. L. BOUTONA
(1902)
Mamy dany układ początkowy [n1,…,nk]. W grze Nim układ ten jest układem P wtedy i tylko wtedy, gdy nim-suma jego składowych wynosi zero:
0...21 knnn
Czy układ [1,2,3] należy do P? 1 = 012
2 = 102
3 = 112
nim-sum = 002 = 0 czyli twierdzenie potwierdza, że [1,2,3] Є P
Przykład:1.
Czy układ [13,12,8] należy do P?13 = 11012
12 = 11002
8 = 10002
nim-sum = 10012 = 9 Czyli zgodnie z twierdzeniem jest to układ N.
2.
Po zabraniu 9 żetonów ze stosu, w którym było 13 mamy następującą sytuację:
4 = 1002
12 = 11002
8 = 10002
nim-sum = 00002 = 0
4. DOWÓDTWIERDZENIA
BOUTONA
Niech P oznacza zbiór układów Nim z nim-sumą wynoszącą zero i niech N oznacza zbiór dopełniający, czyli zbiór układów o dodatniej nim-sumie.
By sprawdzić to twierdzenie, musimy wykazać:
Wszystkie układy końcowe znajdują się w P.Z każdego układu w N jest możliwość ruchu do układu P.Każdy ruch z układu w P następuje do układu w N.
1.2.3.
Jedynym układem końcowym jest układ, w którym w żadnym stosie nie ma żadnych żetonów, i:
1.
00...00
Załóżmy, żeNiech zbiórZapisując każde mi w postaci binarnej, zauważymy, że mamy nieparzystą liczbę wartości , dla których postać binarna mi ma jedynkę w najbardziej wysuniętej na lewo pozycji w wyrażeniu s.Wybierzmy 1 takie i.Zauważmy, że , ponieważ nie ma żadnej jedynki w tej najbardziej wysuniętej na lewo pozycji, a przez to wynosi mniej niż jakakolwiek liczba, która wyrażona binarnie ma w tym miejscu jedynkę.
2. .),...,,( 21 Nmmmx k ....21 kmmms
ki ,...,1
ii msm smi
Tak więc możemy zrobić ruch, w którym zabierzemy z i-tego stosu żetonów, tak ze m i staje się
Nim-suma tak powstałego układu:
wynosi zero, więc ten nowy układ leży w P.
2.(cd)smm ii .smi
),...,,,,...,( 111 kiii mmsmmm
kikii mmmmmmm ......... 1111
s
0)00()00()...()...()...()...(
11
111
kiki
iii
mmmmmmmmm
Załóżmy, żeMusimy pokazać, ze dowolny ruch z prowadzi do układuZapisujemy w postaci binarnej:
3..),...,( 1 Pyyy k y
.Nz
iy
.2...
...
2...
1
)0()1()(
11
)0(1
)1(1
)(11
n
j
jjkk
nk
nkk
n
j
jjnn
yyyyy
yyyyy
Wiemy z założenia, żeOznacza to ze nim-sumadla każdego j.Załóżmy, że zabieramy żetony ze stosu .Uzyskujemy nowy układgdzie dla i gdzie
3.(cd) .),...,( 1 Pyyy k 0... )(
1)(
1 jj yy
l),,...,( 1 kzzz
ii yz liki ,,...,1 .ll yz
Rozważmy binarne wyrażenie dla i :
Przeglądamy te dwa rzędy zer i jedynek, aż zlokalizujemy pierwszy przykład niezgodności między nimi. W kolumnie, w której to nastąpi nim-suma i wynosi 1.Oznacza to że nim-sima z w tej kolumnie też wynosi 1. Stąd
3.(cd)ly lz
....
...)0()1()(
)0()1()(
lnl
nll
lnl
nll
zzzz
yyyy
ly lz),...,( 1 kzzz
.Nz
5. MISERE NIM
Gramy tak samo, jak w Nim według zwykłych zasad dopóki przynajmniej dwa stosy mają więcej niż jeden żeton. Kiedy przeciwnik wreszcie wykona taki ruch, że dokładnie jeden stos będzie miał więcej niż jeden żeton, zredukujemy ten stos do zera lub jednego żetonu, w zależności od tego, która opcja spowoduje, że pozostanie liczba stosów liczących jeden żeton.
METODA BUTONA BY OPTYMALNIE GRAĆ W MISERE NIM
NIEPARZYSTA
6. GRY NIM W PRZEBRANIU
• W Nimble gra się na planszy składającej się z rzędu kwadratów oznaczonych: 0,1,2,….
• Umieszcza się skończoną liczbę monet w kwadratach z możliwością umieszczania więcej niż jednej monety na jednym kwadracie.
• Na ruch składa się zabranie jednej z monet i przesunięcie jej w lewo na dowolny kwadrat, z możliwością przesuwania jej ponad innymi monetami oraz umieszczenia ich w kwadracie, w którym może znajdować się jedna lub więcej monet.
• Gracze grają na zmianę.• Gra kończy się gdy wszystkie monety znajdują się na
kwadracie oznaczonym 0.• Wygrywa gracz, który wykona ostatni ruch.
NIMBLE
Przykład Nimble:
• Układa się poziomy rząd monet, przy czym część monet leży orłem, a część reszką do góry.
• Na ruch składa się odwrócenie jednej z monet z orła na reszkę oraz dodatkowo, jeśli się chce, obrócenie jeszcze jednej monety (znajdującej się na lewo od wcześniej odwracanej przez nas) na jej drugą stronę.
• Gracz wykonujący ostatni ruch wygrywa.
OBRACANIE ŻÓŁWI [TURNING TURLES]
R O R R O R R R O O R 0 R
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Przykład Obracania żółwi:
Przyjmując, że O na miejscu n reprezentuje n żetonów w grze NIM.
•GRA NORTCOTTA•NIM NA SCHODACH•NIMK
INNE GRY WYKORZYSTUJĄCE NIM
Ile wynosi nim-suma z 27 i 17?Nim suma z 38 i x wynosi 25. Znajdź x.
ĆWICZENIA: