35

Sistema satellitare di navigazione Il sistema di navigazione satellitare DVD adotta una grafica innovativa 3D per mostrare strade e percorsi in maniera più chiara e definita; inoltre è previsto un disco ausiliario che contiene le mappe di ben 10 paesi europei, con più di 500 punti di interesse e tutti i distributori di carburante dislocati sul territorio.

sistema di navigazione GPS (Global Positioning System) istallato sulla vettura.

GPS = metodo di posizionamento basato sulla ricezione di segnali provenienti da satelliti artificiali.

• nasce per esigenze militari dagli Stati Uniti d’America intorno agli anni settanta

• GLONASS (GLObalnaya NAviagatsinnaya Sputnikovaya Sistema) realizzato dalla Unione Sovietica negli stessi anni.

Fini civili del GPS

• navigazione in terra, mare e cielo • rilievi topografici anche di alta precisione • rilievi cinematici (posizione e velocità) di alta precisione • tele-sorveglianza a scopo antifurto • monitoraggio delle deformazioni della crosta terrestre.

Posizionamento assoluto * precisione di qualche decimetro per i ricevitori militari * 10-12 metri per quelli disponibili in commercio per l’utenza

civile. * GPS su autoveicoli: propria posizione su una carta topografica

Posizionamento relativo • Per aumentare il grado di precisione (dell’ordine del

centimetro o addirittura del millimetro) rete di ricevitori interconnessi tra loro di cui uno funge da punto di riferimento. elaborazione dei dati acquisiti, molto più complessa

Funzionamento del GPS per sistemi di navigazione (per terra, mare e cielo)

Componenti del sistema

Segmento spaziale

36

• 24 satelliti artificiali, giacenti a 4 a 4 sullo stesso piano

orbitale • sei piani orbitali passanti per il centro della terra

Inclinazione dei piani orbitali sul piano equatoriale

• orbita quasi circolare, • raggio 26.000 km (altitudine media 22.000 km) • periodo di circa 12 ore • massa di circa 8 tonnellate • non sono geo-stazionari, viaggiano a circa 4 km/s • quattro orologi atomici (due al cesio e due al rubidio) • pannelli solari • retrorazzi per eventuali manovre • visibilità di almeno quattro satelliti

• Sei stazioni di monitoraggio (traiettoria, sincronismo

degli orologi, correttezza del segnale, etc…) • stazione principale a Falcon (Colorado) [elabora ed

eventualmente invia le opportune correzioni direttamente ai satelliti]

• In particolare, gli orologi sono sincronizzati ad ogni giro con il tempo di Colorado Spring

• Il tempo GPS è scandito da USNO (United States Naval Observatory) Master Clock basato su 12 orologi al cesio e 12 orologi all’idrogeno aggiornato ogni 100 s un’accuratezza dell’ordine di 100 ps (picosecondi) nelle 24 ore. .

55°

piano equatoriale

piano orbitale

piano equatoriale

Orbite GPS viste a 035 di latitudine

Orbite GPS viste a 090 di latitudine, ovvero ai

37

segmento utente • apparecchio ricevente delle dimensioni di un cellulare • posizione del ricevente GPS, segnata su una cartina

topografica • coordinate geografiche: latitudine e longitudine nei

sistemi di navigazione per terra e mare, mentre è aggiunta l’altitudine in quelli di navigazione aerea.

principio di funzionamento del sistema GPS Descrizione del modello

riferimento cartesiano ortogonale Oxyz, con origine nel centro della terra

obiettivo: individuare le coordinate R(x,y,z) del ricevitore.

� �

Contributo di un satellite

Contributo di due satelliti

Contributo di tre satelliti

38

Primo modello

la misura simultanea delle distanze 1 2 3, ,d d d del

ricevitore da tre satelliti non allineati fornisce sufficienti informazioni per determinare la posizione del ricevitore stesso.

relazioni analitiche corrispondenti

1

2

3

2 2 21 1 1

2 2 22 2 2

2 2 23 3 3

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

d

d

d

x x y y z z

x x y y z z

x x y y z z

=

=

=

� − + − + −�� − + − + −��

− + − + −��

Si tratta di un sistema non lineare di tre equazioni nelle tre incognite x,y,z.

Inadeguatezza del modello

per ottenere una stima della posizione del punto ( , , )R x y z con una precisione di 10-12 m.

Illustriamone le ragioni.

Misure di distanza indirette distanza ricevitore–satellite fra 22.000 km e 25.000

km In astronomia le distanze sono misurate attraverso

il tempo che la luce impiega a coprirle per calcolare la distanza satellite-ricevitore, supponiamo di utilizzare un segnale, emesso da uno dei satelliti visibili dal ricevitore

39

Scala delle distanze oltre 20.000 km precisione inferiore a 10 m Scala dei tempi

3

5

spaziotempo=

velocità

20 10 7 1

3 10 100 10=

⋅< <

⋅ (in secondi).

precisione

93 10 3 nss−⋅ = (nanosecondi) Alla semplicità del modello si contrappone quindi la difficoltà tecnica di apprezzare una unità di tempo così piccola (il nanosecondo). inconveniente superato grazie agli orologi atomici che possono apprezzare unità di tempo dell’ordine di 1210 s−

Offset dell’orologio del ricevitore trascurando un offset di 1 ms equivarrebbe ad in un errore di circa 300 km nella stima della posizione del ricevitore

Quarta incognita del problema aggiunta di una equazione, ottenuta introducendo la distanza d4 del ricevitore da un quarto satellite

Modello rettificato

1

2

3

4

2 2 21 1 1

2 2 22 2 2

2 2 23 3 3

2 2 24 4 4

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

off

off

off

off

c t d

c t d

c t d

c t d

x x y y z z

x x y y z z

x x y y z z

x x y y z z

+ ∆ =

+ ∆ =

+ ∆ =

+ ∆ =

� − + − + −�� − + − + −��

− + − + −��� − + − + −�

Termini noti (acquisiti dal ricevitore attraverso il

40

segnale emesso dal satellite): xi, yi, zi di posizione del satellite Si i=1,2,3,4

distanza di satellite-ricevitore

Soluzione del modello (non lineare)

• esistenza di soluzioni � sotto opportune condizioni relative

alla geometria del solido (satelliti-ricevitore)

� assumendo stime a priori sui vari errori associati alle misure

Tetraedri adiacenti formati da quattro satelliti e dal ricevitore

buona geometria cattiva geometria

Soluzione terrestre e soluzione spaziale

La soluzione “spaziale” rappresenta un punto inverosimile e quindi viene automaticamente scartata.

Unica soluzione significativa

generalmente espressa in coordinate sferiche

Calcolo esatto o approssimato della soluzione in tempo reale

41

Note supplementari sul sistema GPS

Il modello presuppone che il ricevitore conosca - con alta precisione - la posizione dei satelliti osservati. moto ideale dei satelliti • orbita ellittica • posizione predicibile nel tempo grazie alla leggi

di Keplero moto reale dei satelliti fluttuazioni periodiche e degradazione delle orbite • effetti gravitazionali dovuti alla disomogeneità della terra e

alla presenza della luna e del sole • disturbo atmosferico (ionosferico e troposferico) • effetto multipath (dovuto a fenomeni di riflessione del

segnale in prossimità del ricevitore per la presenza di superfici riflettenti, come ad esempio cartelloni pubblicitari, che causano una sovrastima della distanza satellite-ricevitore)

• rumore elettronico di misura nell’impossibilità di costruire modelli per predire il moto di un satellite per tempi lunghi, si ricorre quindi ad una descrizione locale dell’orbita.

42

Il segnale emesso da ciascun satellite “trasporta” numerose informazioni fra cui • un codice per l’identificazione del satellite • 24 blocchi di parametri per descrivere l’orbita giornaliera • un codice o segnale binario (C/A, Coarse o Clear

Acquisition Code) della durata di 1 ms, composto da 1023 impulsi.

La misura it∆ è concettualmente semplice da effettuare. Il codice binario C/A in arrivo dal satellite viene confrontato con una sua replica generata dal ricevitore. I due segnali vengono correlati e viene misurato il “disallineamento temporale” it∆ (vedi figura)

• modelli per la rimozione parziale del disturbo dovuto

all’atmosfera terrestre. La velocità di propagazione del segnale subisce variazioni dovute allo stato fisico del mezzo attraversato e di conseguenza si induce un errore nella stima della distanza satellite-ricevitore.

43

A chiusura del paragrafo citiamo un metodo proposto da Joseph Hoshen1 che collega il calcolo della localizzazione GPS ad un classico problema di Apollonio.

Problema di Apollonio per la circonferenza Egli considera dapprima la localizzazione GPS in mare; in tal

caso la quota z è nota, così le incognite si riducono da quattro a tre. Con opportune manipolazioni algebriche l’autore riconduce il

problema ad una equazione del secondo ordine nel piano, che viene interpretata come il problema di Apollonio per la circonferenza: determinare una circonferenza 3Γ tangente

esternamente a due circonferenze assegnate 1Γ , 2Γ e passante per

un punto P esterno ad esse (vedi figura).

La costruzione geometrica di Apollonio è andata perduta, ma in letteratura è possibile trovare le soluzioni proposte da alcuni noti matematici, fra cui Isaac Newton2. 1 Joseph Hoshen, oltre ad essere ingegnere informatico e delle telecomunicazioni ha conseguito un dottorato di ricerca in chimica, lavora presso i Lucent Technologies Bell Laboratories - Advanced Engineering Research Division - di Naperville (Illinois). Nell’articolo in oggetto ([ ??]) l’autore cita espressamente di essersi procurato copia della edizione originale del testo di Newton. 2 Philosophiae Naturalis Principia Matematica (1687) – Lemma XVI.

44

Problema di Apollonio per la sfera

Successivamente, Hoshen torna al problema generale di localizzazione GPS in 3D. In modo analogo al caso 2D, il problema è interpretato come il problema di Apollonio per la sfera: determinare una sfera Γ tangente esternamente a tre sfere assegnate e passante per un punto P esterno ad esse. Una costruzione geometrica della soluzione è stata proposta da P.Fermat. Per quasi due millenni autorevoli matematici hanno analizzato il problema di Apollonio, ignari di contribuire a migliorare il livello di comprensione del moderno problema GPS. Fatto non inconsueto nella letteratura matematica! 3.4 Note storiche

3.4.1 Apollonio di Perga Di Apollonio (Perga- Asia minore 260 a.C. – Alessandria 190 a.C.), che fu uno dei più grandi matematici dell’antichità, ci sono giunte scarsissime notizie biografiche. Anche le date di nascita e di morte non sono certe. Sappiamo però che fu docente di matematica a Pergamo dove era sorto un grande istituto culturale a imitazione del museo di Alessandria d’Egitto. L’opera più celebre di Apollonio è un vasto trattato (in otto libri) sulle Sezioni coniche in cui viene proposta una presentazione rigorosamente sistematica, analoga a quella adottata da Euclide per la geometria elementare. E’ in questa opera che Apollonio introduce la terminologia ancora oggi universalmente adottata di parabola, ellisse, iperbole. Purtroppo l’opera non ci è giunta completa: disponiamo solo dei primi quattro libri nel testo greco e dei tre successivi in una traduzione araba, l’ottavo invece è andato perduto (alcune preziose notizie sul suo contenuto sono giunte fino a noi tramandateci da Pappo). Fra Pergamo ed Alessandria vigeva un notevole antagonismo culturale, tanto che l’Egitto introdusse il divieto di esportare papiri. Come risposta a Pergamo fu realizzato un nuovo supporto per la scrittura: la pergamena. Il successo dell’innovazione fu tale che le pergamene divennero in breve il più diffuso materiale per la scrittura e tale rimasero fin alla scoperta della carta.

Due soluzioni non degeneri del problema di Apollonio

In questo caso una delle soluzioni è una retta che può essere riguardata come una circonferenza con centro all’infinito e raggio infinito