g.m. - edile a 2002/03 i conduttori in un campo elettrostatico abbiamo identificato come conduttori...
TRANSCRIPT
G.M. - Edile A 2002/03
I conduttori in un campo elettrostatico
• Abbiamo identificato come conduttori quei materiali dotati di cariche in grado di muoversi all’interno del conduttore
• Quando il conduttore viene immerso in un campo elettrostatico, si ha uno spostamento delle cariche mobili
• È facile intuire – quando si raggiunge una condizione stazionaria– Il campo elettrico all’interno del conduttore è nullo– Se così non fosse, il campo elettrico agirebbe sulle cariche
mobili del conduttore accelerandole, contro l’ipotesi di condizione stazionaria
– Il campo elettrico immediatamente fuori al conduttore è perpendicolare al conduttore stesso (superficie equipotenziale)
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
+
+
+
+
−
−
−
−
appena inserito
una volta raggiunta la condizione
stazionaria
−
+
+
+
+
−
−
−
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
+
+
+
+
−
−
−
− • Un conduttore in condizioni stazionarie è equipotenziale
Vi −Vf =r E ⋅d
r r
i
f
∫r E =0 in ogni puntodel percorso
1 2 3 =0
G.M. - Edile A 2002/03
Localizzazione della carica sui conduttori in equilibrio
• Un conduttore in equilibrio non ha accumuli di carica al suo interno.
• Dimostrazione– Applichiamo il teorema di Gauss ad una
qualunque superficie tutta interna al conduttore
– Sappiamo che nei conduttori in equilibrio il campo interno è nullo
– Il flusso del campo elettrico è nullo
– La carica interna alla superficie è nulla
– Questo vale per qualunque superficie all’interno del conduttore
• Conclusione
• Eventuali accumuli di carica sono localizzati sulla superficie del conduttore
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
+
+
+
+
−
−
−
−
Caso del conduttore inizialmente neutro
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Caso del conduttore inizialmente carico positivamente
La densità di carica dipende dal raggio di curvatura locale, più piccolo è il raggio più grande è la densità effetto puntaSuperficie sferica = distribuzione uniforme
G.M. - Edile A 2002/03
Effetto “punta”
• la densità di carica sulla superficie esterna di un conduttore è inversamente proporzionale al raggio di curvatura della superficie
• Consideriamo due conduttori sferici– Di raggio diverso
– Sufficientemente lontani in maniera che non si influenzano l’un l’altro
– Connessi elettricamente in maniera da risultare allo stesso potenziale
R1
R2σ1
σ2
V1 =1
4πεo
q1
R1
V2 =1
4πεo
q2
R2
V1 =V2 ⇒q1
R1
=q2
R2
q1 =4πR12σ1
q2 =4πR22σ2
q1
R1
=q2
R2
⇒4πR1
2σ1
R1
=4πR2
2σ2
R2
R1σ1 =R2σ2
• Poiché R1 è più piccolo
• σ1 sarà più grande
G.M. - Edile A 2002/03
Campo elettrico sulla superficie di un conduttore
• Sappiamo che il campo elettrico esterno è perpendicolare alla superficie del conduttore stesso
• Applichiamo il teorema di Gauss ad una superficie cilindrica
– di altezza infinitesima,
– con una base tutta all’interno del conduttore
• Solo la base esterna contribuisce al flusso
– Se l’area di base è piccola (infinitesima) possiamo supporre costante il campo elettrico
– e la densità di carica
– Il flusso è EA
– La carica interna è σA
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
+
+
+
+
−
−
−
−
EA =σAεo
⇒ E =σεo
G.M. - Edile A 2002/03
Schermo elettrostatico• Consideriamo un conduttore con una cavità• Le due regioni delimitate dal conduttore
– la cavità– lo spazio all’esterno del conduttore
• sono completamente indipendenti dal punto di vista elettrostatico
– le azioni elettriche non si trasmettono dalla cavità allo spazio esterno del conduttore e viceversa
• Variando la disposizione delle cariche all’esterno del conduttore non è rilevabile alcun effetto all’interno della cavità
• Viceversa variando la disposizione delle cariche all’interno della cavità non è rivelabile alcun effetto all’esterno del conduttore
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
+
+
+
+
−
−
−
−
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
+
+
P1
P2
• La carica complessiva sulla superficie della cavità è nulla (teorema di Gauss)
• Ma non ci possono neppure essere accumuli di carica (circuitazione di E)
• Variando la disposizione delle cariche esterne, le conclusioni precedenti restano immutate
• Anche se si fornisce una carica q al conduttore cavo, questa si distribuisce sulla superficie esterna del conduttore (cariche dello stesso segno tendono ad allontanarsi il più possibile), lasciando invariate le condizioni della cavità
VP1
−VP2
=r E ⋅d
r r
P1
P1
∫
G.M. - Edile A 2002/03
Schermo elettrostatico
• Supponiamo ora di localizzare una carica q puntiforme all’interno della cavità di un conduttore cavo globalmente neutro
• Una carica uguale ma di segno opposto viene richiamata sulla superficie interna della cavità
– Per giustificare questa affermazione basta applicare il teorema di Gauss ad una superficie interna la conduttore che racchiuda la cavità
• Poiché il conduttore inizialmente era neutro, una carica dello stesso segno di quella posta nella cavità si affaccia sulla superficie esterna del conduttore
– Questa carica si distribuisce sulla superficie esterna sulla base delle altre cariche eventualmente presenti attorno al conduttore o, se se queste sono assenti, con una densità inversamente proporzionale al raggio di curvatura della superficie del conduttore
+
+
−
−
−
+
+
−
−
−
−
+
+
+
+
−
• Spostando la carica all’interno della cavità,
– la distribuzione delle cariche sulla superficie interna della cavità varia
– quella sulla superficie esterna del conduttore non cambia,
– nessun effetto legato agli spostamenti di cariche potrà essere notato all’esterno del conduttore cavo (effetto schermo)
G.M. - Edile A 2002/03
Schermo elettrostatico con geometria sferica
• La figura mostra la sezione trasversale di un guscio sferico conduttore di raggio interno r.
Una carica puntiforme di -5.0 C viene posta ad una distanza di R/2 dal centro del guscio.
Se il guscio è elettricamente neutro, quali sono le cariche indotte sulla superficie interna ed esterna?
Queste cariche sono uniformemente distribuite?
Qual è l’andamento del campo elettrico all’interno e all’esterno del guscio sferico?
G.M. - Edile A 2002/03
Disposizione delle cariche su due piastre conduttrici cariche
• Lastre conduttrici cariche a) b)• Lastre conduttrici affacciate
– Avvicinando le due lastre non possiamo semplicemente applicare il principio di sovrapposizione
– Perché avvicinando le due lastre le cariche si spostano fino a raggiungere la configurazione della figura c
• Effetti di bordo– Se le lastre non sono infinite, vicino ai bordi il campo elettrico non sarà costante
come per lastre indefinite.
– Neppure le line di forza saranno delle rette parallele perpendicolare alla lastre
• La dimensione della zona in cui si ha uno scostamento dalla situazione ideale è dell’ordine della distanza tra le piastre
G.M. - Edile A 2002/03
La capacità• Un condensatore è costituito da due
conduttori isolati– I due conduttori vengono chiamati,
qualunque sia la loro forma, “piatti” o “armature” del condensatore
• Un condensatore si dice “carico” se le sue armature possiedono cariche uguale ma di segno opposto
– (+q e -q)
• Per riferirsi alla carica del condensatore si parla genericamente di q (per esempio la carica positiva)
• Le due armature, essendo dei conduttori sono ciascuna equipotenziale.
• Sia V la differenza di potenziale tra le armature
• Si definisce la capacità come• Si misura in coulomb/volt=farad
C =q
ddp=
qΔV
G.M. - Edile A 2002/03
Il circuito elettrico
• Elementi del circuito elettrico
• La batteria è un dispositivo in grado di mantenere costante la differenza di potenziale ai suoi elettrodi (morsetti) grazie a reazioni elettrochimiche interne
• L’interruttore : stabilisce il contatto elettrico tra le varie parti del circuito
• Il condensatore: viene rappresentato come un condensatore a facce piane e parallele
• Quando l’interruttore viene chiuso a causa della differenza di potenziale generata dalla batteria alcune cariche vengono rimossa da una delle armatura del condensatore e spostate sull’altra armatura
• Si verifica quindi uno spostamento di cariche (corrente elettrica)
• Quando la ddp raggiunge il valore V, la corrente si arresta
G.M. - Edile A 2002/03
Calcolo della capacità nel condensatore a facce piane e parallele
• Indichiamo con S la superficie delle armature
• d la distanza tra esse
• q la carica sulle armature
• Supporremo le dimensioni delle armature grandi rispetto a d in modo da trascurare gli effetti di bordo
• La densità di carica sarà
• Il campo elettrico tra le armature
• La differenza di potenziale
• La capacità
σ =qS
E =σεo
=q
Sεo
ΔV =−r E ⋅d
r r =−Ed
1
2
∫C =
qΔV
=qEd
=qSεo
qd=εo
Sd
C =εoSd
G.M. - Edile A 2002/03
Calcolo della capacità in un condensatore cilindrico
• Consideriamo un condensatore cilindrico di lunghezza L costituito da due cilindri coassiali di raggi a e b
• Supponiamo L >> (b-a) per poter trascurare gli effetti di bordo
• Il campo elettrico tra i due cilindri sarà come quello generato da una distribuzione lineare di carica
E =1
2πεo
λr
=1
2πεo
qLr
ΔV =−r E ⋅d
r r =−
12πεo
qL
1rdr
a
b
∫1
2
∫ =−1
2πεo
qL
logba
C =q
ΔV=2πεo
Llogb
a
G.M. - Edile A 2002/03
Capacità di un conduttore sferico isolato
• Consideriamo un conduttore sferico isolato
• Carico con carica q
• in questo caso si suppone che l’altra armatura, con la carica -q, sia all’infinito
• La differenza di potenziale tra l’armatura all’infinto e la superficie del conduttore è
+q
ΔV =−r E ⋅d
r r =−
14πεo
qr2 dr
∞
R
∫∞
R
∫ =1
4πεo
q1r
⎡ ⎣
⎤ ⎦ ∞
R
=1
4πεo
qR
C =q
ΔV=
4πεoR =4πεoR
G.M. - Edile A 2002/03
Condensatori in parallelo
• Due condensatori si diranno in parallelo se tra le loro armature è applicata la stessa differenza di potenziale
• Capacità equivalente– È un condensatore che ha una carica q uguale
alla somma delle cariche e a cui è applicata la stessa differenza di potenziale
q=CequiΔV
q =q1 +q2 +q3 =C1ΔV +C2 ΔV +C3 ΔV
CequiΔV =C1 ΔV +C2 ΔV +C3 ΔV
Cequi=C1 +C2 +C3
G.M. - Edile A 2002/03
Condensatori in serie
• La carica q è la stessa per tutti i condensatori
• ed è la stessa presente sulla capacità equivalente
• In questo caso la differenza di potenziale sarà la somma delle differenze di potenziale ai capi di ciascuno dei condensatori
V =q
Cequi
V =V1 +V2 +V3 =qC1
+q
C2
+qC3
1Cequi
=1C1
+1
C2
+1
C3
G.M. - Edile A 2002/03
Energia immagazzinata in un condensatore
• Sarà data dal lavoro che dobbiamo per portare la carica q da una armatura all’altra.
• Supponiamo di farlo per gradi= sposto una quantità di carica infinitesima alla volta
• All’inizio il condensatore è scarico non si fa lavoro a spostare la carica dq’
• Ma appena comincio a spostare la carica, la differenza di potenziale comincia ad aumentare
• Supponiamo che a un certo punto sia V’
• Se adesso spostiamo dq il lavoro da fare è dL =V’dq’
• Ma V’=q’/C
• Il lavoro complessivo sarà:dL =
q'dq'C
L =q'dq'
C0
q
∫ =1C
12
q'2⎡ ⎣
⎤ ⎦ 0
q
=q2
2C=U