1

ConduttoriConduttori● si può dimostrare che il campo elettrico all'interno di un conduttore in equilibrio equilibrio elettrostaticoelettrostatico è nullo

➠se così non fosse, la presenza di un campo elettrico agirebbe sugli elettroni liberi degli atomi spostandoli, creando quindi una corrente elettrica interna, il che contraddice l'ipotesi di equilibrio elettrico

➯un campo elettrico interno appare solo nel momento in cui il conduttore viene caricato

– una conseguenza è che il potenziale elettrico è costante all'interno di un conduttore in equilibrio

E = − ∇ V

2

ConduttoriConduttori● con il teorema di Gauss si può dimostrare che una carica fornita a un conduttore isolato si sistema totalmente sulla superficie del conduttore, nessuna carica può stazionare entro il corpo conduttore

➯intuitivamente, se mettiamo una carica elettrica in un conduttore, essendo libera di muoversi, essa si dispone in modo tale da stare il più possibile lontano dalle cariche dello stesso segno, e questo corrisponde al trovarsi sulla superficie del conduttore

– consideriamo una superficie gaussiana interna al conduttore, su cui è depositata una carica q

– il campo elettrico E all'interno del conduttore è nullo

3

ConduttoriConduttori– se E è nullo all'interno il flusso attraverso una superficie chiusa è nullo e quindi

➯ciò è valido per ogni superficie interna al conduttore, quindi la carica si distribuisce sulla superficie esterna

E =q

0= 0 ⇒ q = 0

4

Conduttori (cont.)Conduttori (cont.)● si può dimostrare che in una cavità all'interno di un conduttore isolato il campo elettrico è nullo

● considerando il caso precedente si può pensare che l'asportazione di un pezzo interno del conduttore non influenzi la distribuzione delle cariche

– consideriamo una superficie gaussiana che circonda la cavità interna completamente contenuta nel conduttore:

– quindi sulla superficie interna la carica elettrica è nulla

E =q

0= 0 ⇒ q = 0

5

Conduttori (cont.)Conduttori (cont.)– se prendiamo un circuito che attraversi in parte la cavità

– essendo la circuitazione del tutto generica e potendo avere contributo solo dalla cavità (in quanto il campo all'interno del conduttore è nullo) anche qui il campo E è nullo

∮E e⋅d r = 0

6

Conduttori (cont.)Conduttori (cont.)● la carica elettrica si distribuisce sul conduttore in modo da equilibrare le forze repulsive tra ogni singola carica

➫sulla superficie il campo elettrico è orientato sempre perpendicolarmente alla superficie stessa

➥se il campo avesse una componente tangente alla superficie del conduttore le cariche si metterebbero in moto (fino ad annullare questa componente)

7

Conduttori (cont.)Conduttori (cont.)● il campo elettrico E sulla superficie di un conduttore in equilibrio è proporzionale alla densità di carica superficiale ():

– se consideriamo una superficie cilindrica posta a cavallo della superficie del conduttore

– e quindi:

E =0

dE = ∫E⋅nds = E d =dq

0

E = dq

d 1

0=

0

8

Conduttori (cont.)Conduttori (cont.)● si può inoltre dimostrare che il campo elettrico sulla superficie di un isolante con carica distribuita sulla superficie è dato dalla seguente equazione

E =20

9

ConduttoriConduttori➟ proprietproprietà dei conduttori in equilibrio à dei conduttori in equilibrio elettrostaticoelettrostatico:

➛il campo elettrico all'interno di un conduttore è nullo

➛il potenziale elettrico è costante all'interno di un conduttore in equilibrio

➛una carica fornita a un conduttore isolato si sistema totalmente sulla sua superficie

➥nessuna carica può stazionare entro il corpo conduttore

➛in una cavità all'interno di un conduttore isolato il campo elettrico è nullo

➛il campo elettrico è orientato sempre perpendicolarmente alla sua superficie

➛il campo elettrico E sulla superficie di un conduttore in equilibrio è proporzionale alla densità di carica superficiale ():

E=0

10

Conduttori (cont.)Conduttori (cont.)● se un conduttore isolato viene posto in un campo elettrico esterno tutti i punti del conduttore sono allo stesso potenziale, sia che il conduttore abbia o no una carica in eccesso

➠gli elettroni liberi di conduzione si distribuiscono sulla superficie in modo tale che il campo elettrico che producono nei punti interni annulli il campo elettrico esterno

➠la distribuzione degli elettroni fa si che il campo elettrico netto in tutti i punti della superficie sia perpendicolare alla superficie

11

CapacitàCapacità● consideriamo una sfera conduttrice di raggio R e carica Q

● isolata

● carica

● in equilibrio elettrostatico

– in un punto P ad una distanza r dal centro della sfera il potenziale elettrico è

– sulla superficie della sfera il potenziale elettrico è

– per continuità questo è anche il valore del potenziale all'interno del conduttore

V =1

40

Qr

V =1

40

QR

12

CapacitCapacitàà➜il potenziale elettrico della sfera è proporzionale alla carica depositata e dipende dalla geometria (raggio R) del corpo

➯si può dimostrare che questa è una proprietà generale dei conduttori

● si definisce capacità elettricacapacità elettrica C di un conduttore il rapporto (costante) tra la carica Q che un conduttore possiede e il suo potenziale elettrico V:

C =QV

C =QV=

Q1

40

QR

= 40R

➛per la nostra sfera C vale:

13

CapacitCapacitàà● l'unità di misura della capacità è il farad (F)

➯questo rapporto costante è una caratteristica del conduttore

14

Capacità (cont)Capacità (cont)● calcoliamo il lavoro necessario a caricare la sfera

– il processo di carica consiste nel portare sulla sfera n cariche dq fino a raggiungere la carica finale Q

● se il potenziale V della sfera rimanesse costante durante tutto il processo il lavoro sarebbe uguale a:

L = QV

il processo di carica non avviene a potenziale costante (se non è collegato ad un generatore di potenziale)

➛il potenziale dipende dalla carica del conduttore

➛la carica del conduttore dipende dal tempo

15

Capacità (cont)Capacità (cont)– durante il processo di carica il conduttore avrà una carica q e un potenziale V', per cui il lavoro fatto sulla carica dq sarà

– questa variazione di carica comporta una variazione di potenziale, possiamo scrivere:

integrando otteniamo

● la differenza col caso a V costante è che, in quel caso, dobbiamo tener conto del lavoro esterno speso per mantenere il potenziale costante

dL = dqqC

L =12Q2

C=12QV =

12CV 2

dL = dq V '

16

CondensatoriCondensatori● fino ad ora abbiamo considerato conduttori isolati

– la presenza di altri conduttori può cambiare molto le condizioni del sistema

● consideriamo un conduttore sferico A di raggio R e carica Q:

gli avviciniamo un secondo conduttore B scarico

● quello che si osserva è che il potenziale di A diminuisce

17

CondensatoriCondensatori● una spiegazione intuitiva può essere la seguente:

– per induzione su B si ha un accumulo di cariche negative nella parte più vicina ad A ed un accumulo di cariche positive nella parte più distante

● indichiamo con q il modulo di questa carica

– sulla superficie di A più vicina a B il potenziale è dato da 3 componenti:

● VA: potenziale di A isolato

● VB

-: potenziale delle cariche negative di B

● VB

+: potenziale delle cariche positive di B

18

Condensatori (cont.)Condensatori (cont.)– il potenziale totale sulla superficie di A diventa allora

V = V A V B- V B

+

V = kQR− k

qr-

kqr+

r- r+ ⇒ ∣V B-∣ ∣V B

+∣

V V A

nella assunzione che l'effetto delle cariche indotte sul conduttore B sia tale che:

● si possa approssimare come se le cariche fossero concentrate in punti distanti r

+ e r

- dal punto

considerato sulla superficie di A

● che in valore assoluto la carica indotta positiva e quella negativa siano uguali

– risulta allora:

e quindi

19

Condensatori (cont.)Condensatori (cont.)● essendo A isolato per ipotesi la sua carica non cambia, poiché abbiamo definito la capacità come

– ne segue che la capacità cambia, in particolare aumenta

➠in questa trattazione ci sono molte approssimazioni, inoltre non si tiene conto della variazione di densità di carica sul conduttore A, una trattazione più rigorosa permette di trovare i valori corretti, ma la sostanza non cambia

C =QV

20

Condensatori (cont.)Condensatori (cont.)● su questa proprietà si basa l'idea dei condensatoricondensatori: sono oggetti costituiti da due conduttori affacciati (chiamati armature) e, spesso, separati da un dielettrico

– un tale strumento permette di mantenere una carica elettrica Q su di un conduttore e di avere un potenziale più basso di quello che avrebbe su di un conduttore singolo

● questo è importante, per esempio, se si deve mantenere una carica elevata e si vuole ridurre il pericolo di scariche elettriche con l'ambiente

– si può dimostrare che la differenza di potenziale tra le armature V è direttamente proporzionale alla carica Q presente su una delle armature

21

Condensatori (cont.)Condensatori (cont.)● la capacità di un condensatorecapacità di un condensatore viene definita come il rapporto tra la carica elettrica depositata sopra un'armatura e la differenza di potenziale tra le armature

C =Q

V

22

Condensatore SfericoCondensatore Sferico● consideriamo un condensatore sferico

– un sistema costituito da un conduttore sferico contenuto entro un altro conduttore sferico

● concentrico col primo

● isolato da esso

● una carica depositata sul conduttore più interno si distribuisce uniformemente su di essa (supponiamo la carica positiva)

– sulla superficie interna ed esterna del conduttore esterno compaiono, per induzione, una carica negativa e una positiva uguali in valore assoluto a quella depositata

➞Q: la carica presente sull'armatura interna

➞r: il raggio dell'armatura interna

➞R: il raggio dell'armatura esterna

23

Condensatore Sferico (cont.)Condensatore Sferico (cont.)● poiché la carica si distribuisce uniformemente, il potenziale sul conduttore interno è:

● se mettiamo a terra l'armatura esterna la relativa carica positiva si disperde al suolo

● per l'armatura esterna, in modo analogo, si ricava il potenziale dovuto alla carica elettrica presente su di essa:

● la differenza di potenziale risulta allora:

V r = kQr

−V R = −kQR

V r − V R = kQr− k

QR

24

Condensatore Sferico (cont.)Condensatore Sferico (cont.)● la capacità del condensatore, dalla definizione, risulta allora:

● se la differenza d tra i due raggi è piccola rispetto ai raggi si ha:

quindi, ricordando la definizione di k, si ottiene:

– ma 4r2 è l'area S di una superficie sferica di raggio r, quindi:

C =Q

V=

Q

kQr− k

QR

=1k⋅RrR−r

Rr~r2

C = 40r2

d

C = 0Sd

25

CondensatoreCondensatore● questa espressione

è del tutto generale, indipendente dalla forma del condensatore

➥se le dimensioni delle armature sono abbastanza grandi e la separazione tra le armature abbastanza piccola da rendere sensibilmente trascurabile la deformazione del campo elettrico in prossimità dei bordi

C = 0Sd

26

Condensatore pianoCondensatore piano● consideriamo due conduttori piani di uguale forma e dimensione S, posti ad una distanza d l'uno dall'altro

– depositiamo una carica q su un conduttore e colleghiamo a terra la faccia esterna dell'altro conduttore (per scaricare la carica positiva generata nell'induzione)

– il campo elettrico E fra i due conduttori è uniforme

dove

– essendo il campo uniforme la differenza di potenziale risulta essere

E =0

=qS

V = Ed

27

Condensatore pianoCondensatore piano– possiamo allora scrivere la capacità del sistema

come

C =qV

C =SEd

=S0d

= 0Sd

28

Serie di CondensatoriSerie di Condensatori● supponiamo di avere n condensatori messi in cascata, come nello schema seguente

questa configurazione si indica come serieserie di condensatori

– se depositiamo una carica +Q sulla armatura più esterna del primo condensatore, per induzione elettrica sull'altra armatura si avrà una carica -Q e sull'armatura del secondo condensatore, collegata a quella precedente, comparirà una carica +Q

29

Serie di CondensatoriSerie di Condensatori● considerando la catena di condensatori nel suo complesso:

– sulla prima armatura abbiamo una carica +Q– sull'ultima armatura abbiamo una carica -Q– sulle armature interne (connesse tra loro elettricamente) la carica complessiva è nulla

– tra la prima e l'ultima armatura c'è una differenza di potenziale V

● per il sistema possiamo definire una capacità

C =QV

30

Serie di Condensatori (cont.)Serie di Condensatori (cont.)● esaminiamo il contributo dei singoli condensatori:

– tra le armature di ogni singolo condensatore ci sarà una differenza di potenziale V

i

– ogni condensatore avrà una capacità Ci

per ogni condensatore vale la relazione

● la differenza di potenziale complessiva, tra la prima e l'ultima armatura del sistema, è data dalla somma delle singole differenze di potenziale

● che possiamo scrivere come

V i =QC i

V = ∑i=1

n

V i

QC= ∑

i=1

nQC i

31

Serie di Condensatori (cont.)Serie di Condensatori (cont.)da cui si ricava che

☛ un insieme di condensatori collegati in serie è equivalente ad un condensatore la cui capacità risulta il reciproco della somma dei reciproci delle capacità dei singoli condensatori

➠si dice che i condensatori collegati sono in serie tra loro quando la differenza di potenziale applicata alla combinazione di condensatori è la somma delle differenze di potenziale presenti su ogni condensatore

1C= ∑

i=1

n1C i

C = ∑i=1

n1C i

−1

32

● consideriamo ora n condensatori collegati tra loro come in figura

questa configurazione si indica come paralleloparallelo di condensatori

● è evidente che, se applichiamo una differenza di potenziale V ai capi del sistema, tutti i condensatori presentano la stessa differenza di potenziale tra le rispettive armature

– ogni condensatore ha una sua capacità Ci

– sulle armature dei condensatori ci sarà una carica

Parallelo di condensatoriParallelo di condensatori

Qi = C iV

33

Parallelo di condensatoriParallelo di condensatori● la carica totale positiva è data dalla somma delle cariche positive presenti sui singoli condensatori

● possiamo anche scrivere le singole cariche come prodotto della differenza di potenziale per la carica sulle armature del singolo condensatore, quindi

☛ il sistema può essere visto come un unico condensatore di capacità pari alla somma delle capacità dei singoli condensatori:

Q = ∑i=1

n

Qi

Q = ∑i=1

n

V C i = V∑i=1

n

C i = VC

C = ∑i=1

n

C i

34

Parallelo di condensatori (cont.)Parallelo di condensatori (cont.)➛si dice che i condensatori collegati sono in parallelo tra loro quando la differenza di potenziale, applicata al loro insieme, è la stessa differenza di potenziale applicata a ognuno di essi

➣condensatori in serie si utilizzano quando si lavora con elevate differenze di potenziale

➣condensatori in parallelo si utilizzano quando si richiedono capacità più grandi di quelle disponibili con condensatori singoli

35

Condensatori (cont.)Condensatori (cont.)● l'energia può essere immagazzinata come energia potenziale

➛tendendo una molla

➛sollevando un libro

➛tirando la corda di un arco

➛immagazzinando acqua ad una certa quota (con una diga)

– tutte quelle indicate sono forme di energia potenziale meccanica, è possibile immagazzinare energia (potenziale) anche in un campo elettrico

➠ il condensatore elettrico è uno strumento che è in grado di immagazzinare energia

che può essere utilizzata in un secondo tempo

36

Energia nel campo elettricoEnergia nel campo elettrico● la separazione di due cariche di segno opposto richiede del lavoro

● il processo di carica di un condensatore si può pensare come un processo di separazione di carica

➯le cariche positive vengono portate su una armatura, quelle negative sull'altra

– questo richiede del lavoro, che viene effettuato da un generatore (una pila, in questo caso si spende una parte dell'energia chimica)

– per il principio di conservazione dell'energia questo lavoro speso deve essere disponibile sotto qualche altra forma di energia

➠nel processo di carica abbiamo separato cariche e abbiamo generato un campo elettrico

37

Energia nel campo elettricoEnergia nel campo elettrico● è naturale pensare che l'energia spesa sia associata al campo elettrico creato

➠è disponibile in tutto lo spazio dove il campo elettrico non è nullo

– abbiamo già visto che il lavoro necessario per caricare un conduttore è

L =12Q2

C=12QV =

12CV 2

u =UV=

12CV 2

Sd=

120SdV 2

Sd=

120V 2

d2 =120E

2

➯questa è anche l'energia accumulata tra le armature del condensatore

– nel caso del condensatore piano il volume occupato dal campo elettrico è quello all'interno delle armature: v = Sd, la densità di energia legata al campo elettrico è:

38

Energia del campo elettricoEnergia del campo elettrico● quanto ricavato

è di validità del tutto generale, non ristretta al caso specifico che abbiamo utilizzato per ricavarla

● se in un punto dello spazio vuoto esiste un campo elettrico E, l'energia che vi è distribuita per unità di volume è

– se siamo in presenza di un dielettrico la densità di energia diventa

u =120E

2

u =120E

2

u =120rE

2

39

DielettriciDielettrici● tutti i materiali hanno una qualche capacità di conduzione elettrica

● ci sono materiali che hanno un comportamento molto vicino a quello di un isolante ideale

– abbiamo già accennato al fatto che la forza elettrostatica in presenza di un materiale isolante viene ridotta di una quantità

r (>1)

F =1

40r

q 1q 2

r2

40

DielettriciDielettrici● se si riempie lo spazio tra le armature di un condensatore con un dielettrico la capacità aumenta di un fattore numerico

r,

caratteristico del materiale, chiamato costante dielettrica relativacostante dielettrica relativa

C = rC vuoto

● relativa perché ci riferiamo sempre al vuoto

● r > 1 sempre

– una caratteristica dei condensatori con dielettrici è che la differenza di potenziale non può superare un valore V

max (detto rigidità rigidità

elettricaelettrica)

● una differenza di potenziale maggiore di questo valore causa una rottura del dielettrico e si instaura una conduzione (scarica elettrica)

41

Dielettrici (cont.)Dielettrici (cont.)dal punto di vista atomico i dielettrici possono essere divisi in due categorie:

● dielettrici polaridielettrici polari: le molecole di alcune sostanze (come l'acqua) hanno un momento di dipolo elettrico permanente

➠in questi materiali i dipoli tendono ad allinearsi in presenza di un campo elettrico esterno

➠a causa della agitazione termica l'allineamento non è completo, ma aumenta all'aumentare del campo elettrico esterno E

0

➠a parità di campo elettrico l'orientamento dei dipoli risulta inferiore a temperature più elevate

42

Dielettrici (cont.)Dielettrici (cont.)● dielettrici non polaridielettrici non polari: sia che le molecole abbiano o no momento di dipolo elettrico, esse possono acquistarlo per induzione quando vengono immerse in un campo elettrico

➠ il campo elettrico tende a stirare le molecole separando leggermente i centri di carica positiva e negativa, creando in questo modo un dipolo elettrico il cui momento è proporzionale ad E

● il rapporto tra il momento indotto e l'intensità del campo elettrico viene indicato col termine polarizzabilitàpolarizzabilità

non soggetta a campo elettrico

soggetta a campo elettrico E0

pE

43

Dielettrici (cont.)Dielettrici (cont.)➙il momento di dipolo di un elemento di volume è la somma dei momenti dei dipoli contenuti nel volume

➙il processo che porta alla formazione dei dipoli indotti prende il nome di polarizzazionepolarizzazione

● definito il momento di dipolo per unità di volume P, nella maggior parte dei dielettrici risulta che P è proporzionale al campo elettrico esterno E

P = 0r−1E

44

Dielettrici (cont.)Dielettrici (cont.)– le cariche superficiali indotte si dispongono sempre in modo tale che il campo elettrico E' da esse generato si opponga al campo esterno E

0

● l'effetto è quello di diminuire il campo elettrico totale all'interno del dielettrico

➯il campo elettrico del dipolo è orientato in senso inverso rispetto al campo esterno

➯la somma dei due campi, il campo elettrico efficace, è chiaramente inferiore al campo esterno applicato

➠ c'è accordo col fatto che la forza di Coulomb in presenza di dielettrici risulta ridotta

45

DielettriciDielettrici

sostanzasostanzaaria 1.00059acqua 80 -alcool etilico 28 -olio per trasformatori 2.5ambra 2.7bachelite 4.9carta 3.7polietilene 2.3polistirolo 2.6porcellana 6.5teflon 2.1vetro

costante dielettrica costante dielettrica relativarelativa

rigiditrigidità dielettrica à dielettrica (V/ m)(V/ m)3·106

20·106

90·106

24·106

16·106

50·106

25·106

4·106

60·106

4 ÷ 7 20·106

46

Vettore induzione elettricaVettore induzione elettrica● in presenza di dielettrici è utile utilizzare una nuova grandezza, il vettore induzione vettore induzione dielettrica Ddielettrica D, definito come

● nel caso del vuoto il flusso di D attraverso una superficie chiusa risulta

– il flusso del vettore induzione attraverso una superficie chiusa è uguale alla carica q racchiusa all'interno della superficie

● si dimostra che questo è vero anche in presenza di un dielettrico

D = 0EP = 0rE

D = ∮D⋅d S = ∮0E⋅d S = 0q

0= q

D = ∮D⋅d S = ∮E⋅d S = q libera

47

UnitUnità di misuraà di misura➫ la polarizzazione e l'induzione dielettrica hanno la stessa unità di misura (C/m2)

➫ la densità di energia elettrostatica in presenza di dielettrici risulta

dove E è il campo risultante dalla sovrapposizione del campo elettrico esterno e da quello dovuto alla polarizzazione del dielettrico

u =120rE

2

48

EsercizioEsercizioConsideriamo il sistema di condensatori in figura, con

– C1 = 12 F

– C2 = 5.3 F

– C3 = 4.5 F

calcolare la capacità equivalente del sistema

● per risolvere il problema bisogna scomporre in parti il sistema:

– si trova la capacità del parallelo dei condensatori C

1 e C

2 (C

p)

– si calcola la capacità della serie C

3 e C

p

– avremo quindi

– la capacità totale si trova

– che ha il valore di

C p = C 1∥C 2 = C 1C 2 = 17.3F

C T = 1C 3

1

C 1C 2 −1

C T = 3.57F

49

EsercizioEsercizioDue condensatori piani C

1 e C

2

con armature di area S uguale distanti rispettivamente d

1 = 1

cm e d2 = 3 cm sono carichi e

collegati in parallelo. In queste condizioni il campo elettrico del condensatore C

1

vale E1 = 104 V/m e l'energia

elettrostatica di tutto il sistema vale W = 5.91·10-8 J. Calcolare:

a) le densità di carica 1 e

2

presenti sulle armature

b) la carica totale del sistema

Una lastra di dielettrico di spessore d = 1 cm e costante dielettrica relativa k viene inserita in C

1 e un'altra di

materiale conduttore di spessore s = 1 cm viene inserita in C

2 parallelamente

alle armature ed equidistante da esse. In queste condizioni il campo elettrico in C

1 vale

E1* = 4/9·104 V/m, calcolare:

c) le densità di carica 1* e

2* presenti sulle armature

d) la polarizzazione P del dielettrico

50

● la densità di carica sul condensatore C

1

si ricava immediatamente dal campo elettrico E

1

poiché i condensatori sono in parallelo la differenza di potenziale ai capi delle armature è uguale

da cui ricaviamo

e quindi

EsercizioEsercizio● la carica totale non è

ricavabile dalla densità in quanto non conosciamo la dimensione delle armature

Ricordiamo che l'energia elettrostatica di un condensatore è data da

da cui possiamo ricavare

● nel secondo caso la carica elettrica totale rimane costante (essendo il sistema isolato)

E 1 =1

0⇒ 1 = E 10

= 8.85⋅10−8C /m2

V 1 = E 1d1 = V 2 = E 2d2 = 102V

E 2 =V 2

d2

=13⋅104V /m

2 = 0E 2 =13⋅1048.85⋅10−12

= 2.95⋅10−8C /m2

W =12QV

Q =2WV

=2⋅5.91⋅10−8

100

= 1.18⋅10−9C

51

EsercizioEserciziocambiano però le capacità dei conduttori:

il condensatore C2 con

inserito il conduttore è assimilabile alla serie di due condensatori uguali di capacità C

1

il parallelo di C1' e C

2' è

allora

ma non conosciamo k

la differenza di potenziale ai capi dei condensatori C

1'

e C2' è

per poter proseguire dobbiamo determinare la dimensione delle armature

da cui la capacità di C1

da

e quindi

dalla

C 1' = kC 1

C 2'−1 =

1C 1

1C 1

= C 1

2−1

C T' = C 1'C 2' = C 1k12

V '=E1∗ d1=44.4V

Q =12S ⇒ S =Q

12

= 0.01m2

C1 =0Sd1

= 8.85⋅10−12F

Q = C T'V '

C 1k12 =

QV '

⇒ k =QV '

1C1

−0.5 = 2.5

E1∗ =

1∗

k 0

52

EsercizioEsercizioricaviamo

ed infine

● la polarizzazione si ricava da

1∗ = E1

∗ k 0 = 9.83⋅10−8C /m2

1∗ 2

∗ = 12

⇒2∗ = 12−2

∗ = 1.97⋅10−8C /m2

P = k−10E 1∗

P = k−10E 1∗ = 5.9⋅10−8C /m2

53

EsercizioEsercizioUn condensatore piano ha le armature di dimensioni d×d distanti h ed è parzialmente riempito con una lastra di materiale dielettrico di costante dielettrica relativa k che è inserita per un tratto x. Calcolare la forza F necessaria perché la lastra venga inserita nel condensatore a velocità costante v nei seguenti due casi:

a)il generatore è staccato

b)il generatore è collegato

● sperimentalmente notiamo che la lastra viene risucchiata all'interno del condensatore con una forza F. Intuitivamente possiamo dire che le cariche presenti sulle armature attirano le cariche, di segno opposto, che compaiono per induzione sulla superficie del dielettrico.

Per inserire a velocità costante il dielettrico dobbiamo applicare una forza esterna F

ext in modo che

Per determinare la forza studiamo l'energia del sistema

m a = FF ext = 0

54

EsercizioEsercizio● il sistema possiamo pensarlo

come il parallelo di due condensatori

Il condensatore di sinistra (1) ha dimensioni (d-x)×d×h mentre quello di destra (2) x×d×h.

La capacità di un condensatore piano è data da

quindi avremo

● la capacità equivalente del sistema risulta

Questo sistema ha una energia potenziale U legata al campo elettrico. Sappiamo che

● quando il generatore è scollegato l'unico contributo all'energia potenziale del sistema viene dalla sua energia elettrostatica

C = 0kSh

C 1 = 0d−x d

h

C 2 = 0kxdh

C T = C 1C 2 = 0d−x d

h0k

xdh

=0dhd−xkx

F = −∇ U

⇒ F=−∂U∂x

U e =12CV 2

55

EsercizioEsercizionel nostro caso C dipende da x (da quanto spazio viene occupato dal dielettrico), quindi anche V non sarà costante, la carica elettrica Q rimane costante

perciò possiamo scrivere

quindi

dove

quindi

da cui ricaviamo

dal momento che k > 1 e x > 0 (per costruzione) F risulta sempre positiva, e quindi concorde con il verso crescente di x (da destra verso sinistra), quindi la forza dovuta alla carica depositata tende a far entrare il dielettrico

La forza che dobbiamo applicare per far muovere il dielettrico di moto uniforme è quindi

Q = CV

U e =12Q2

CdU e

dx=

12Q2 d

dx1C= −

12Q2

C 2

dCdx

dCdx

=ddx

0dhd−xkx =

0dhk−1

dU e

dx= −

12Q2 h2

02d2 d−xkx 2

0dhk−1

F =12Q 2 h k−1

0d1

[dk−1x ]2

F ext = −12Q2 h k−1

0d1

[dk−1x ]2

56

EsercizioEsercizio● nel caso in cui il

condensatore sia collegato ad un generatore la differenza di potenziale risulta costante mentre la carica varia.

Per un avanzamento dx del dielettrico la capacità aumenta di

a cui corrisponde una variazione di carica

questa variazione di carica è dovuta al lavoro del generatore

La variazione di energia elettrostatica del condensatore è data da

il lavoro fornito dal generatore viene utilizzato per metà per variare l'energia elettrostatica del condensatore, l'altra metà va a finire nel lavoro della forza che agisce sul dielettrico

da cui ricaviamo

anche in questo caso F > 0

in questo caso F è costante

dC =0dhk−1dx

dQ = VdC = V0dhk−1dx

dW gen = VdQ = V 2dC =

V 2 0dhk−1dx

dU e =12V 2dC

dW = F dx = dW gen−dU e = dU e =12V 2 0d

hk−1dx

F =12V 2 0d

hk−1

57

Corrente ElettricaCorrente Elettrica● quando due conduttori a potenziali diversi vengono collegati mediante un terzo conduttore, questo è sede di una corrente corrente elettricaelettrica

➥è percorso da un insieme di cariche che si spostano dal conduttore a potenziale più alto all'altro in modo ordinato

– raggiunto l'equilibrio la corrente cessa

➯i conduttori si possono mantenere a un dato potenziale

➯la differenza di potenziale rimane costante

➯si ottiene una corrente costante

● la corrente elettrica è dovuta al moto ordinato delle cariche elettriche

➠non tutte le cariche in movimento danno luogo a non tutte le cariche in movimento danno luogo a una corrente elettricauna corrente elettrica

58

Corrente ElettricaCorrente Elettrica– gli elettroni all'interno di un filo di rame isolato si muovono in modo casuale con una velocità dell'ordine di 106 m/s

● se consideriamo una sezione del filo gli elettroni di conduzione si muovono in entrambi i sensi

➙non c'è un trasporto netto di carica, non c'è corrente elettrica

– il flusso d'acqua che attraversa un tubo per innaffiare il giardino porta un flusso di cariche positive (i protoni) ma non c'è trasporto netto di carica in quanto trasporta anche cariche negative (elettroni) in egual misura

59

Corrente Elettrica (cont.)Corrente Elettrica (cont.)● si definisce intensità di una corrente intensità di una corrente elettricaelettrica il rapporto tra la carica che attraversa una sezione del conduttore in un intervallo di tempo e tale intervallo:

● in modo più rigoroso questa va formulata in termini differenziali:

● l'unità di misura della corrente elettrica nel Sistema Internazionale è l'ampere (A)

➠questa è una unità fondamentale, da essa si ricava l'unità di misura della carica elettrica dalla relazione:

i =Qt

i =dQdt

1A = 1C /s

60

Corrente Elettrica (cont.)Corrente Elettrica (cont.)● l'ampere è quella corrente costante che, se mantenuta in due conduttori rettilinei di lunghezza infinita, di sezione circolare trascurabile, e posti a 1 m di distanza, produce su ognuno di questi conduttori una forza pari a 2·10-7 N per metro di lunghezza

– 1 A corrisponde al passaggio di 1 C in 1 s attraverso la superficie considerata

➠ poiché la corrente elettrica descrive il moto delle cariche elettriche essa ha un verso:

➥il verso della corrente è quello nel quale si muoverebbero le cariche positive, anche se gli effettivi portatori di carica sono negativi

➯il verso della corrente non è il verso del moto dei portatori di carica

61

GeneratoriGeneratori● dispositivi in grado di mantenere costante una differenza di potenziale

– sono pile, accumulatori o generatori di tensione

➠i dispositivi reali garantiscono la costanza della tensione solo entro certi valori

● pile e accumulatori generano la differenza di potenziale per mezzo di processi chimici

● generatori di tensione in genere utilizzano una fonte elettrica esterna per fornire la tensione desiderata

● la tensione in uscita può dipendere dalle condizioni ambientali (per i dispositivi chimici) e dal carico collegato (per tutti)

– i generatori di tensione vengono schematizzati col seguente simbolo

62

Circuito elettricoCircuito elettrico● collegando le estremità del generatore con un conduttore creiamo un circuito chiuso in cui circola corrente elettrica

➯la presenza di una differenza di potenziale ai capi del conduttore implica la presenza di un campo elettrico lungo il conduttore

➯il moto delle cariche è dovuto alla presenza del campo elettrico nel conduttore

63

Corrente ElettricaCorrente Elettrica● in un conduttore metallico la corrente elettrica è dovuta al moto degli elettroni

➠gli elettroni di un conduttore di rame hanno velocità con direzione casuale dell'ordine di 106 m/s

➠la corrente diretta degli elettroni viaggia a una velocità di derivavelocità di deriva molto più bassa

➠in una tipica applicazione domestica la velocità di deriva è dell'ordine di 10-3 m/s

● la corrente elettrica può essere espressa in termini di velocità di deriva v

d:

i = n Aev d

64

Corrente Elettrica (cont.)Corrente Elettrica (cont.)

– n è il numero di cariche per unità di volume

– A è l'area della sezione del filo

– e è la carica elettrica dell'elettrone

– vd è la velocità di deriva

➭ il moto dei portatori di carica viene impedito dal sistema di molecole:

➠l'elettrone viene accelerato dal campo elettrico presente

➠l'elettrone urta una molecola e cambia direzione

➠perde velocità lungo la direzione del conduttore

i = n Aev d

65

Corrente elettricaCorrente elettrica● in una regione di un conduttore abbiamo

– n+ portatori di carica +e per unità di

volume

– n- portatori di carica -e

● in presenza di un campo elettrico E i portatori si muoveranno sotto l'azione di una forza F = qE originando una corrente elettrica

– il moto delle cariche negative avviene in verso opposto

– indichiamo con vd la

velocità lungo la direzione di E

66

Corrente elettricaCorrente elettrica● la corrente è definita come

i = limt0

qt

=dqdt

d = v dtd cos

● consideriamo una superficie che formi un angolo con il campo elettrico E

– nell'intervallo di tempo t le cariche percorrono una distanza v

dt

● la carica complessiva che attraversa la superficie d in un tempo t è quella contenuta nel volume

67

Corrente elettricaCorrente elettrica● conoscendo la densità di cariche positive otteniamo

la corrente che passa attraverso la superficie d risulta

possiamo quindi definire il vettore densità vettore densità di correntedi corrente

q = n e d = n ev dtd cos

di =qt

= n ev dd cos

j = n ev d

68

Corrente elettricaCorrente elettrica● possiamo riscrivere

l'intensità di corrente attraverso la superficie finita è

se la superficie è ortogonale a j avremo

➫ la densità di corrente è la corrente che attraversa l'unità di superficie perpendicolare alla direzione del moto delle cariche

– se, come nei conduttori, i portatori di carica sono gli elettroni

di = j⋅nd

i = ∫ j⋅nd

i = j

j = −n − ev −

69

Corrente elettricaCorrente elettrica➠ se i portatori di carica sono sia gli elettroni che gli ioni, come nei semiconduttori o nei fluidi

j = −n − ev − n ev

j = E

E = j

=1

sperimentalmente si osserva che

questa è la legge di Ohm della conduttività la legge di Ohm della conduttività elettricaelettrica

● la costante è una grandezza caratteristica del conduttore detta conduttività elettricaconduttività elettrica

➜molto spesso è scritta nella forma

con

70

ResistenzeResistenze● applichiamo una differenza di potenziale V ad un conduttore di lunghezza h:

la corrente che percorre il conduttore è

possiamo quindi scrivere

che possiamo scrivere come

con

V = ∫A

B

E⋅d s = Eh

i = j =E

⇒ E =

i

V = Eh =h

i

V = Ri

R =h

71

ResistenzeResistenze➫ un conduttore a cui sia applicata una differenza di potenziale V viene percorso da una corrente elettrica i tale che il loro rapporto è una costante:

Vi= R

● questa osservazione sperimentale si traduce nella legge di Ohm per i conduttori legge di Ohm per i conduttori metallicimetallici:

– il rapporto tra la differenza di potenziale applicata agli estremi di un conduttore e l'intensità della corrente che la percorre è costante

● tale rapporto costante viene detto resistenza elettrica Rresistenza elettrica R

➥dipende dalle caratteristiche del conduttore

72

ResistenzeResistenze● l'unità di misura della resistenza è l'OhmOhm ()

1 =1V1A

R = h

➠si dice ohm la resistenza elettrica di un conduttore che, sottoposto alla differenza di potenziale di 1 V, sia percorso dalla corrente di 1 A

➠la resistenza elettrica di un conduttore è direttamente proporzionale alla lunghezza di questo, inversamente proporzionale alla sua sezione e dipende dalla natura del materiale

➠ è una costante caratteristica del materiale detta resistivitàresistività o resistenza specifica del resistenza specifica del conduttoreconduttore

73

Resistenze (cont.)Resistenze (cont.)● una caratteristica dei conduttori è che la resistenza varia con la temperatura, per variazioni della temperature contenute vale

una legge analoga vale per la resistività

● è il coefficiente termicocoefficiente termico della resistenza (si misura in °C-1)

➯la resistenza fornisce una stima dell'attrito che gli elettroni incontrano nel moto all'interno del conduttore

Rt = R01t

t = 01t

74

ResistenzaResistenza

MaterialeMaterialeargentorameoroalluminiostagnomercuriocarboniogermanio 0.46silicioacquavetro

resistivitresistività (Ωm)à (Ωm) coefficiente termico (coefficiente termico (°°CC-1-1))1.59 · 10-8 4.1 · 10-3

1.67 · 10-8 6.8 · 10-3

2.35 · 10-8 4.0 · 10-3

2.65 · 10-8 4.3 · 10-3

11.0 · 10-8 4.7 · 10-3

98.4 · 10-8

1.38 · 10-5 -0.5 · 10-3

-48 · 10-3

2.30 · 103 -75 · 10-3

2 · 105

10 10 ÷ 10 14

75

Resistenze in serieResistenze in serie● quando si considera un conduttore con specifico riferimento alla sua resistenza elettrica lo si rappresenta con il simbolo seguente:

● consideriamo un insieme di resistenze collegate in serie, siano R

i i loro rispettivi

valori e Vi le differenze di potenziale alle

quali esse sono sottoposte

76

Resistenze in serieResistenze in serie● la corrente i che attraversa queste resistenze è la stessa

● gli elettroni non possono fermarsi nei conduttori, formerebbero un accumulo di carica e ciò è incompatibile con la natura dei conduttori

– quindi:

– la differenza di potenziale ai capi della serie è la somma delle differenze di potenziale

– indicando con R la resistenza totale del sistema avremo

V i = Rii

V = ∑i=1

n

V i = ∑i=1

n

Rii = i∑i=1

n

Ri

V = Ri = i∑i=1

n

Ri

77

Resistenze in serie (cont.)Resistenze in serie (cont.)– quindi

➠ la resistenza di un sistema di resistenze in serie è pari alla somma dei valori delle singole resistenze

R = ∑i=1

n

Ri

78

Resistenze in paralleloResistenze in parallelo● consideriamo ora il caso di n resistenze R

i poste in parallelo

– ai capi di ogni singola resistenza abbiamo la stessa differenza di potenziale V

– ogni singola resistenza è percorsa da una corrente i

i tale che

– la somma totale delle correnti ii è pari alla

corrente totale i immessa nel circuito

V = iiRi

i = ∑i=1

n

ii

79

Resistenze in paralleloResistenze in parallelo– tale corrente è anche il rapporto tra la differenza di potenziale applicata ai capi del sistema e la resistenza totale:

– quindi

– da cui segue

➜ l'inverso della resistenza di n resistori in parallelo è uguale alla somma dei reciproci delle resistenze dei singoli resistori

VR= ∑

i=1

nVRi

1R= ∑

i=1

n1Ri

i =VR

80

Potenza di una corrente elettricaPotenza di una corrente elettrica● consideriamo una carica dq che si muove attraverso la differenza di potenziale V

– viene compiuto il lavoro

dW = Vdq = V idt

P =dWdt

= V i

P = V i = Ri2

W = ∫0

t

Pdt = ∫0

t

Ri2dt

e spesa la potenza

➠ la potenza di una corrente continua è data dal prodotto della sua intensità per la differenza di potenziale che attraversa

● nel caso di una resistenza avremo

in un intervallo di tempo finito il passaggio di una corrente i comporta il lavoro

81

Effetto JouleEffetto Joule● questo lavoro è necessario per vincere la resistenza opposta dal reticolo cristallino al moto ordinato degli elettroni

➠da un punto di vista termodinamico, esso viene assorbito dal conduttore la cui energia interna aumenta

➟l'energia interna di un corpo è proporzionale alla sua temperatura, quindi aumenta la temperatura del corpo

● l'effetto di riscaldamento di un conduttore percorso da corrente elettrica si chiama effetto Jouleeffetto Joule

– una resistenza R percorsa da una corrente elettrica i dissipa in calore una potenza

P = V i = Ri2

82

EsercizioEsercizioSi consideri una tipica resistenza di filo avvolto a spirale per riscaldamento, costituita da una lega di nichel, cromo e ferro (chiamata comunemente nichelcromo) avente una resistenza di 72 . Quale è la potenza dissipata nei due casi seguenti?

1)Viene applicata una differenza di potenziale V = 120 V su tutta la lunghezza della resistenza

2)Il filo viene tagliato a metà e viene applicata la differenza di potenziale V = 120 V a entrambi i pezzi di resistenza

● La potenza dissipata da una resistenza R a cui sia applicata una differenza di potenziale V è data da

● nel primo caso la potenza dissipata risulta essere:

P = V i = VVR=

V 2

R

P =120V 2

72= 200W

83

EsercizioEsercizio● nel secondo caso, per ogni

metà della resistenza si applica quanto applicato al caso 1), quindi la potenza dissipata da una metà risulta essere

la potenza complessiva dissipata risulta quindi il doppio di questo valore

– questo è giustificato dal fatto che questa situazione è equivalente a quella che si avrebbe raddoppiando la differenza di potenziale

P =120V 2

36= 400W

PT = 800W

84

Generatore realeGeneratore reale● un generatore di tensione reale ha sempre una resistenza interna non nulla

– supponiamo che la resistenza interna del generatore r sia 10 e la resistenza esterna R sia 1 k, in questo vaso la differenza di potenziale ai capi della resistenza è

– se la resistenza esterna vale 20 la differenza di potenziale ai capi della resistenza R vale

➠minore è la resistenza interna r del generatore migliore è il generatore

V R =ℰ

rRR = ℰ⋅0.9901

V R =ℰ

rRR = ℰ⋅0.6667

85

Generatore di correnteGeneratore di corrente● un generatore di corrente ideale è un generatore in grado di fornire una corrente indipendente dal carico collegato al generatore

● un generatore di corrente è schematizzabile come in figura

– in questo caso la corrente erogata dal generatore è

la corrente che circola in R è

mentre quella assorbita dalla resistenza interna è

con

i = ℰrRrR

iR =ℰR

ir =ℰr

iRir = i

86

Generatore di correnteGeneratore di corrente– la frazione di corrente utilizzabile è quindi

iRi=

ℰR

ℰrRrR

=r

rR

87

EsercizioEserciziodimostrare che nel circuito elettrico mostrato si ottiene il massimo trasferimento di potenza su una resistenza esterna R quando R è uguale alla resistenza interna r del generatore

● in questo circuito ℰ sta ad indicare la forza forza elettromotriceelettromotrice del generatore

– un generatore reale presenta sempre una resistenza interna che riduce la differenza di potenziale utilizzabile

● l'intensità della corrente è data da

la potenza dissipata su R è quindi

per determinare quando abbiamo dissipazione massima possiamo derivare P

R

rispetto a R

che è chiaramente nulla per

questo è un massimo in quanto la derivata seconda risulta negativa

i =ℰ

Rr

P R = Ri2 = ℰ2 R

Rr 2

dPR

dR= ℰ2 r−R

Rr 3

r = R

88

EsercizioEsercizio● in condizioni di massimo la

corrente vale

inferiore al massimo valore possibile

La potenza spesa dal generatore è

mentre quella dissipata dalla resistenza risulta

i =ℰ2r

P =ℰ2

2r

P R =ℰ2

4r

89

Leggi di KirchhoffLeggi di Kirchhoff● un circuito elettrico viene spesso definito col termine rete elettricarete elettrica

● gli elementi geometrici della rete sono:

➛nodinodi

➛ramirami

– un nodonodo è un punto nel quale convergono almeno 3 conduttori

– i nodi sono collegati da rami in cui possono esserci elementi attivi (generatori) e passivi (resistenze)

– all'interno di una rete ci possono essere dei percorsi chiusi, detti magliemaglie

● l'analisi delle reti elettriche è possibile utilizzando le due leggi di Kirchhoffleggi di Kirchhoff

90

Leggi di KirchhoffLeggi di Kirchhoff● prima legge di Kirchhoffprima legge di Kirchhoff o legge dei nodi: la somma algebrica delle correnti che confluiscono in un nodo è nulla:

– ci dice che in un punto non possiamo accumulare carica, è una generalizzazione del principio di conservazione della carica

● seconda legge di Kirchhoffseconda legge di Kirchhoff o legge delle maglie: la somma algebrica delle forze elettromotrici presenti nei rami della maglia è uguale alla somma algebrica dei prodotti Rkik:

∑k

ik = 0

∑k

Rkik = ∑k

ℰk

91

Leggi di KirchhoffLeggi di Kirchhoff– nell'uso delle leggi di Kirchhoff bisogna mettere i vari termini con i segni corretti

V A−V B = Ri

V A−V B = −Ri

92

Circuito RCCircuito RC● consideriamo un circuito costituito da un generatore di tensione, da una resistenza R e da un condensatore C in serie

– se il circuito è aperto non c'è passaggio di corrente e il condensatore rimane scarico (se inizialmente era scarico)

– se chiudiamo il circuito il generatore preleva carica da un'armatura e la porta sull'altra

● il processo continua fino a che la differenza di potenziale V ai capi del condensatore è uguale alla forza elettromotrice ℰ

● durante il processo la resistenza R viene percorsa da una corrente i

➛ai capi della resistenza V èV R = Ri

93

Circuito RCCircuito RC● ai capi del condensatore troveremo una differenza di potenziale proporzionale alla carica q presente sulle armature

● in un qualsiasi istante avremo

la carica sulle armature non è costante e anche la corrente elettrica varia nel tempo, quindi possiamo scrivere

ricordando che la corrente è definita come

quindi scriviamo

V C =qC

ℰ = V RV C

ℰ = Ritq tC

it =dq tdt

ℰ = Rdq tdt

q tC

94

Circuito RCCircuito RCche possiamo riscrivere come

che è chiaramente una equazione differenziale di primo grado, separando le variabili possiamo scrivere

integrando ambo i membri otteniamo

l'integrazione porta a

da cui ricaviamo

Rdq tdt

= ℰ−q tC

dq tq t−ℰC

= −dtRC

∫0

qdq t

q t−ℰC= −∫

0

tdtRC

lnq t−ℰC

−ℰC= −

tRC

q t = ℰC 1−e−

t

RC

95

Circuito RCCircuito RC● la tensione ai capi del condensatore risulta quindi

mentre la corrente che circola si ottiene derivando rispetto al tempo la carica

la differenza di potenziale ai capi della resistenza risulta quindi

– verifichiamo che

● la carica finale presente sulle armature del condensatore è

V C t =q tC

= ℰ1−e−

t

RC

it =dq tdt

=ddtℰC 1−e

−t

RC =ℰRe−

t

RC

V R t = Rit = ℰe−

t

RC

V = V RtV C t = ℰ1−e−

t

RC ℰe−

t

RC = ℰ

q 0 = ℰC

96

Circuito RCCircuito RC● il fattore RC ha le dimensioni di un tempo

lo indichiamo con il nome costante di tempocostante di tempo del circuito RC

– questa costante ha la seguente caratteristica:● dopo un tempo la carica presente sulle armature del condensatore è

analogamente per VC

– dopo un tempo pari a 3 la tensione risulta essere

[RC ] = ⋅F =VA⋅CV=

CA= s

= RC

q = ℰC 1−e−RC = q 01−

1e = q 01−0.367879

V C = ℰ1−e−RC = ℰ1−

1e

V C 3 = ℰ1−e−3RC = ℰ1−

1

e3

= ℰ1−0.05

97

Circuito RCCircuito RC● la potenza fornita dal generatore risulta essere

mentre la potenza dissipata sulla resistenza risulta

la potenza associata al condensatore è

dove W è il lavoro corrispondente all'aumento dell'energia elettrostatica

da cui ritroviamo la conservazione dell'energia

Pgen = ℰit =ℰ2

Re−

t

RC

PR = Rit2 =ℰ2

Re−2tRC

PC = V C

dqdt

=dWdt

PC = V Cit = ℰ1−e−

t

RC ℰRe−

t

RC =

ℰRe−

tRC−

ℰRe−2tRC

Pgen = PRPC

98

Circuito RCCircuito RC● nel processo di carica del condensatore nel circuito RC

– il 50% del lavoro del generatore viene impiegato per accumulare energia elettrostatica tra le armature del condensatore

– il 50% del lavoro del generatore viene dissipata sulla resistenza R

indipendentemente dal valore di R e C

W gen = ∫0

∞

Pgen tdt = ∫0

∞ ℰ2

Re−

t

RC dt = Cℰ2

W R = ∫0

∞

PR tdt =12Cℰ2

U e = ∫0

∞

PC tdt =12Cℰ2

99

Circuito RCCircuito RC– una volta caricato il condensatore stacchiamo il generatore

● se il circuito è aperto la carica rimane sulle armature del condensatore

● se chiudiamo il circuito abbiamo una differenza di potenziale V

C ai capi

della resistenza e quindi una corrente i = V

C/R

dove

il segno negativo deriva dal fatto che la carica elettrica sulle armature del condensatore diminuisce

V C =q tC

= V R = Rit

it = −dq C tdt

dq C tdt

= −q C tRC

100

Circuito RCCircuito RCseparando le variabili otteniamo

da cui ricaviamo

e quindi

la differenza di potenziale ai capi delle armature del condensatore risulta

mentre la corrente elettrica risulta

dq C tq C t

= −dtRC

∫q 0

qdq C tq C t

= −∫0

tdtRC

lnqq 0

= −tRC

q t = q 0e−

t

RC

V C t =q tC

=q 0

Ce−

t

RC = V 0e−

t

RC

it = −dq tdt

=q 0

RCe−

t

RC =V 0

Re−

t

RC =V C

R

101

Circuito RCCircuito RC● RC ha le dimensioni di un tempo e anche in questo caso viene indicato come costante di tempo costante di tempo

● la potenza dissipata sulla resistenza R vale

l'energia dissipata durante l'intero processo di scarica è

PR = Rit2 =V 0

2

Re−2t

RC

W R = ∫0

∞

P Rdt = ∫0

∞ V 02

Re−2t

RC dt =q 02

2C

102

Onde quadreOnde quadre● consideriamo il circuito in figura in cui abbiamo un interruttore che alternativamente può collegare un generatore di tensione in serie ad una resistenza e un condensatore oppure escluderlo collegando direttamente un altro ramo di circuito

● ai capi del sistema composto da resistenza più condensatore avremo una differenza di potenziale che varrà ℰ quando è collegato il generatore e varrà 0 quando il generatore viene escluso

103

Onde quadreOnde quadre● nell'intervallo di tempo in cui il generatore è attivo il condensatore è nella fase di carica, nell'intervallo in cui il generatore è escluso il condensatore si trova nella fase di scarica

● se l'intervallo di tempo durante il quale il generatore rimane attivo è troppo breve la carica del condensatore non sarà completa

➠la differenza di potenziale ai suoi capi sarà inferiore a quella del generatore

➠anche il processo di scarica partirà da un potenziale inferiore

104

Onde quadreOnde quadre➠chiaramente anche il processo di scarica non viene completato

● dopo un tempo pari a 5 nel processo di carica la tensione raggiunta ai capi del condensatore risulta essere:

quindi possiamo ritenere, con buona approssimazione, che la carica sia completa

● analogamente si prova che il processo di scarica dopo un tempo pari a 5 può ritenersi concluso

V C 5 = ℰ1−e−5RC = ℰ1−

1

e5 = ℰ⋅0.9933

V C 5 = ℰe−5RC = ℰ

1

e5 = ℰ⋅0.0067

105

FiltriFiltri● circuiti RC opportunamente collegati con segnali dipendenti dal tempo funzionano da filtro

– a seconda di come sono disposti possono fungere da

● passa basso: lascia passare segnali con una frequenza più bassa del reciproco della costante di tempo

● passa alto: lascia passare segnali con una frequenza più alta del reciproco della costante di tempo

106

Correnti alternateCorrenti alternate● fino ad ora abbiamo considerato correnti o differenze di potenziale costanti, esistono anche correnti o differenze di potenziali che variano nel tempo in modo ciclico, queste sono dette alternatealternate

● un generatore di potenziale alternato produce una differenza di potenziale che varia nel tempo secondo una legge sinusoidale

– il potenziale esegue un ciclo nell'intervallo di tempo (chiamato periodo), la funzione che lo descrive è una funzione seno:

dove Vp è il potenziale di picco

V = V psin2 t

107

Correnti alternate (cont.)Correnti alternate (cont.)● è una fase che definisce V all'istante iniziale

● se questo potenziale è applicato ad una resistenza R, la corrente che attraversa questa resistenza è data dalla legge di Ohm:

dove

la frequenza dell'oscillazione è data da:

– in Europa è 50 Hz

I = Ipsin2 t

Ip =V p

R

=1

108

Potenza di Corrente AlternataPotenza di Corrente Alternata● la potenza dissipata da una resistenza R percorsa da una corrente alternata I è data sempre dalla equazione:

che diventa (assumendo la fase nulla):

– la potenza dissipata:

● è sempre positiva o nulla,

● varia col tempo, tra 0 e il valore massimo 2 volte,

● dato che la frequenza non è molto piccola, quello che interessa è la potenza dissipata in media su di un intervallo di tempo.

W = RI t2

W = R [IPsin2t]2= RI p

2sin22t

109

Potenza di Corrente AlternataPotenza di Corrente Alternata● si può dimostrare che la potenza media dissipata da una resistenza R è:

● è utile utilizzare il valore efficace della corrente, definito come:

● possiamo allora scrivere la potenza media come

● la formula per il calcolo della potenza media dissipata assume la stessa forma del caso della corrente continua

● si può anche introdurre il valore efficace per il potenziale:

W = RI 2 =12 RIp

2

I rms =Ip

2

W = RI rms2

V rms =V p

2

110

MagnetismoMagnetismo● abbiamo già accennato al fatto che in natura esistono degli elementi capaci di attirare (o respingere) altri corpi la cui causa viene attribuita ad una forza magnetica

– la proprietà di attirare la limatura di ferro, mostrata da alcuni minerali di ferro, era già nota nel VII secolo A.C.

– questa proprietà non si manifesta su tutto il corpo ma è localizzata in alcuni punti, detti poli

● un magnete permanentemagnete permanente è un corpo in grado di attirare un corpo ferromagnetico (ferro) e di attirare o respingere un altro magnete

111

MagnetismoMagnetismo● se ad un magnete sospeso al centro mediante un filo avviciniamo una altro magnete si osserva che questo esercita sul primo una certa forza

– analogamente al caso elettrostatico possiamo interpretare queste forze in termini di un campo magnetico

– una analisi dettagliata porta a stabilire che la forza è repulsiva tra poli dello stesso segno e attrattiva tra poli di segno opposto

– esistono solo due specie di poli (positivo e negativo

➠questo fenomeno non è dovuto alle cariche elettriche in quanto i magneti sono materiali conduttori e l'effetto è indipendente dal fatto che il secondo magnete venga tenuto in mano o meno

112

MagnetismoMagnetismo– se si avvicina ad un magnete una barretta di ferro sottile questo acquista la proprietà di attirare limatura di ferro, soprattutto in prossimità dell'estremità

➠la bacchetta immersa nel campo magnetico è diventata un magnete e possiede due poli di segno opposto

– un magnete di piccole dimensioni lasciato libero di ruotare si orienta sempre nella stessa direzione (il nord)

● il magnete si comporta come un dipolo

● il polo che si orienta verso il nord si chiama polo nord

113

MagnetismoMagnetismo● lo studio quantitativo fatto da Coulomb sulla forza tra poli magnetici dimostrò che anche in questo caso, per poli puntiformi, vale una relazione del tipo

– la forma della legge è simile a quella della forza gravitazionale e a quella elettrostatica

➜la differenza fondamentale è che mentre le cariche elettriche possono esistere isolate i poli magnetici esistono sempre appaiati a formare un dipolo

– se prendiamo un magnete e lo spezziamo a metà nella parte del taglio compaiono due poli opposti

● continuando a spezzare il magnete continuiamo a creare dipoli magnetici

F = kmq 1

∗ q2∗

r 2

114

MagnetismoMagnetismo● come nel caso del campo elettrico possiamo rappresentare il campo magnetico con linee di forza

– la figura mostra le linee di forza di un campo magnetico generato da una barra magnetica

● il campo più intenso si ha vicino alle estremità

● l'estremità da cui escono le linee di campo è detta polo nord, l'altra polo sud

– nel caso del campo magnetico possiamo vedere le linee di campo

● la limatura di ferro in presenza di un campo magnetico si dispongono in modo ordinato lungo linee regolari

115

MagnetismoMagnetismo● il campo magnetico viene indicato col simbolo B, la sua unità di misura del campo magnetico nel sistema internazionale è il Tesla (T)

1T = 1 NC⋅m /s = 1 N

A⋅m

116

MagnetismoMagnetismo● il campo magnetico non è solo dovuto alla presenza di un magnete

➯Oersted mostrò che un ago magnetico posto nelle vicinanze di un filo percorso da corrente tende ad orientarsi in un modo ben definito

– si interpreta questo fatto affermando che un filo percorso da una corrente elettrica genera un campo magnetico B

➯Ampere mostrò che anche due fili percorsi da corrente sono soggetti ad una interazione magnetica reciproca

➫le azioni magnetiche non sono altro che la manifestazione dell'interazione tra cariche elettriche in movimento

117

MagnetismoMagnetismo● il magnetismo di alcuni materiali si spiega in termini microscopici col fatto che atomi o molecole presentano dei momenti magnetici elementari dovuti al moto degli elettroni

– anche i costituenti elementari della materia e, p e n hanno un momento di dipolo magnetico

● quello di p e n viene attribuito alla struttura a quark

● quello di e è intrinseco (visto che è puntiforme)

● Maxwell riscrisse le leggi dell'elettricità e del magnetismo in modo molto compatto da cui risulta che campi elettrici e magnetici non hanno esistenza indipendente ma vanno unificati in un unico concetto di campo campo elettromagneticoelettromagnetico

118

Forza di LorenzForza di Lorenz● una carica elettrica in moto in un campo magnetico subisce una forza

detta forza di Lorenzforza di Lorenz

– il modulo della forza vale

● la forza è massima, a parità di velocità carica e campo magnetico, per direzioni ortogonali di valoctà e campo magnetico

– la forza è sempre perpendicolare alla velocità

● non c'è accelerazione tangente

F = q v×B

F = q v Bsin

Ek =12 mv B

2−12 mv A

2 = W = ∫A

B

F⋅d s = 0

119

MagnetismoMagnetismo● poiché la forza di Lorentz è ortogonale al campo magnetico in magnetismo si parla di linee di campo e non linee di forze

– in elettrostatica le due coincidono

120

Forza magnetica su un conduttoreForza magnetica su un conduttore● la corrente elettrica è dovuta al moto di cariche

– in un conduttore percorso da corrente immerso in un campo magnetico i portatori di cariche sono soggetti ad una forza di Lorentz

attraverso gli urti col reticolo cristallino questa forza viene trasmessa al filo

– un elemento ds di conduttore è soggetto alla forza F

L moltiplicata per il numero di

portatori contenuti in quell'elemento

da cui ricaviamo

che è la seconda legge elementare di Laplacela seconda legge elementare di Laplace

FL = e vd×B

dF = n dsFL = nds e vd×B = ds j×B

dF = i d s×B

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Forza magnetica su un conduttoreForza magnetica su un conduttore● ovviamente la forza totale si ottiene integrando

F = i∫d s×B

122

Campo magnetico prodotto da una Campo magnetico prodotto da una correntecorrente

● da misure sperimentali sui campi magnetici prodotti da correnti elementari si ottiene la prima legge elementare di Laplaceprima legge elementare di Laplace

dove 0 è la permeabilità magnetica permeabilità magnetica

del vuotodel vuoto

● per un circuito chiuso integrando otteniamo la legge di Ampere-Laplace:

● un filo rettilineo percorso da corrente genera un campo magnetico

dB =0 i4

d s×urr 2

0 = 4⋅10−7~1.26⋅10−6 Hm

B =0i4∮

d s×urr 2

B =0i

2Rut×un

123

Campo magnetico generato da una carica Campo magnetico generato da una carica in motoin moto

● ricordando che la densità di corrente è legata alla densità di portatori di carica e alla loro velocità

possiamo riscrivere la prima legge elementare di Laplace come

dove nd è il numero di cariche che contribuiscono al campo dB, il campo prodotto dalla singola carica risulta allora

j = nq v

dB =0

4q v×ur

r 2 nd

B =0

4q v×ur

r 2

124

Effetto HallEffetto Hall● consideriamo un conduttore sottile di sezione = ab percorso da una corrente i concorde con l'asse x

– se è immerso in un campo magnetico B perpendicolare a j (lungo l'asse y) la forza di Lorentz agisce lungo l'asse z

possiamo definire un campo elettrico (equivalente)

➯possiamo definire in ogni caso un campo elettrico di origine magnetica (un campo elettromotore)

FL = e vd×B

EH =FL

e = vd×B = jne×B

E = v×B

125

Effetto HallEffetto Hall– nel nostro caso E

H è orientato lungo l'asse z

● concorde con l'asse se e > 0

– EH, campo di Hallcampo di Hall, provoca una deflessione nel

moto delle cariche aggiungendo una componente trasversa alla velocità di deriva

● il processo tende ad accumulare cariche di segno opposto sulle due facce ortogonali a E

H

● queste cariche generano un campo Eel opposto a E

H

– in condizioni di equilibrio i due campi si annullano a vicenda

● tra le due facce ortigonali a z abbiamo una differenza di potenziale

EHEel = 0

ℰH = ∫P

Q

EH⋅d z = ±EH b

126

Effetto HallEffetto Hall● il segno è positivo se il portatore di carica è positivo, negativo in caso contrario

– in modulo la tensione di Hall vale

questo fenomeno si chiama effetto Hall effetto Hall trasversaletrasversale

● il segno di ℰH fornisce il segno dei portatori di

carica

● dal modulo di ℰH e B si può ricavare la densità

ne dei portatori di carica

– per la maggior parte dei metalli i portatori di carica risultano negativi e la loro densità è in buon accordo col numero di elettroni di valenza per unità di volume

ℰH = EH b = jBbne = iB

nea

127

Effetto HallEffetto Hall– per alcuni metalli bivalenti (come lo zinco) e semiconduttori il segno di ℰ

H corrisponde a

portatori di carica positivi

● questa anomalia è attribuita a una particolare modalità del moto di deriva degli elettroni: gli elettroni vanno a riempire posizioni vuote nel reticolo, dette lacunelacune, creando a loro volta delle lacune nelle posizioni che lasciano libere

– questo effetto può essere usato per la misura del campo magnetico (sonda di Hall)

● la tensione di Hall può avere valori di 10-6 V, collegando gli estremi P e Q con una resistenza di 10-4 si ottiene una corrente di 10 mA facilmente misurabile