i

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Lý thuyết Bài tập Chương trình MATLAB

HÀ NỘI 2007

TRẦN ÍCH THỊNH – NGÔ NHƯ KHOA

SinhVienKyThuat.Com

TRẦN ÍCH THỊNH NGÔ NHƯ KHOA

HÀ NỘI 2007

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

P p

Lý thuyết Bài tập Chương trình MATLAB

SinhVienKyThuat.Com

GS, TS Trần Ích Thịnh TS. Ngô Như Khoa

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Lý thuyết Bài tập Chương trình MATLAB

HÀ NỘI 2007

SinhVienKyThuat.Com

i

MỞ ĐẦU Giáo trình Phương pháp Phần tử hữu hạn (PP PTHH) được biên soạn

dựa trên nội dung các bài giảng và kinh nghiệm giảng dạy môn học cùng tên trong những năm gần đây cho sinh viên khoa Cơ khí, trường Đại học Bách khoa Hà Nội và học viên cao học ngành Cơ học Kỹ thuật, trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - Đại học Thái Nguyên. Nội dung giáo trình có mục đích trang bị cho sinh viên các ngành kỹ thuật: Công nghệ chế tạo máy, Cơ tin kỹ thuật, Kỹ thuật hàng không, Kỹ thuật tàu thuỷ, Máy thuỷ khí, Ô tô, Động cơ, Tạo hình biến dạng, Công nghệ chất dẻo & composite, Công nghệ & kết cấu hàn v.v.:

- Những kiến thức cơ bản nhất của PP PTHH ứng dụng, - Áp dụng phương pháp để giải quyết một số bài toán kỹ thuật khác

nhau, - Nâng cao kỹ năng lập trình Matlab trên cơ sở thuật toán PTHH. Giáo trình biên soạn gồm 13 chương.

Sau phần giới thiệu phương pháp PTHH, một số loại phần tử thực và phần tử qui chiếu hay gặp (Chương 1), giáo trình đề cập đến một số phép tính ma trận, phương pháp khử Gauss (Chương 2) và thuật toán xây dựng ma trận độ cứng và véctơ lực nút chung cho kết cấu (Chương 3). Phương pháp Phần tử hữu hạn trong bài toán một chiều chịu kéo (nén) được giới thiệu trong Chương 4 và ứng dụng vào tính toán hệ thanh phẳng (Chương 5). Tiếp theo, giáo trình tập trung vào mô tả phần tử hữu hạn tam giác biến dạng hằng số trong bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi (Chương 6) và ứng dụng vào tính toán kết cấu đối xứng trục (Chương 7). Chương 8 giới thiệu phần tử tứ giác kèm theo khái niệm tích phân số. Chương 9 mô tả phần tử Hermite trong bài toán tính dầm và khung. Chương 10 trình bày phần tử hữu hạn trong bài toán dẫn nhiệt một và hai chiều. Chương 11 xây dựng thuật toán PTHH tính tấm-vỏ chịu uốn. Phần áp dụng phần tử hữu hạn trong tính toán vật liệu và kết cấu composite được giới thiệu trong chương 12. Chương 13 mô tả phần tử hữu hạn trong tính toán động lực học một số kết cấu.

SinhVienKyThuat.Com

ii

Cuối mỗi chương (từ chương 4 đến chương 13) đều có chương trình Matlab kèm theo và một lượng bài tập thích đáng để người đọc tự kiểm tra kiến thức của mình.

Giáo trình được biên soạn bởi: - GS. TS Trần Ích Thịnh (chủ biên): Chương 1, 3, 4, 5, 6, 8 và 9. - TS Ngô Như Khoa: Chương 2, 7, 10, 11, 12, 13 và các chương trình

Matlab. Giáo trình được trình bày một cách hệ thống và nhất quán từ đầu đến cuối

nhờ Nguyên lý cực tiểu hoá thế năng toàn phần. Các quan hệ được xây dựng trong "không gian qui chiếu", do đó rất thuận lợi trong tính toán và lập trình.

Có thể dùng giáo trình này làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên Cao học và nghiên cứu sinh các ngành kỹ thuật liên quan. Rất mong nhận được những góp ý xây dựng của bạn đọc. Tập thể tác giả

SinhVienKyThuat.Com

iii

MỤC LỤC Chương 1

GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 1. Giới thiệu chung ................................................................................ 1 2. Xấp xỉ bằng phần tử hữu hạn ............................................................. 1 3. Định nghĩa hình học các phần tử hữu hạn .......................................... 2 3.1. Nút hình học ............................................................................................... 2 3.2. Qui tắc chia miền thành các phần tử............................................................ 2 4. Các dạng phần tử hữu hạn ................................................................. 3 5. Phần tử quy chiếu, phần tử thực ......................................................... 4 6. Một số dạng phần tử quy chiếu .......................................................... 5 7. Lực, chuyển vị, biến dạng và ứng suất ............................................... 6 8. Nguyên lý cực tiểu hoá thế năng toàn phần ........................................ 7 9. Sơ đồ tính toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn ........................... 8

Chương 2

ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSSIAN 1. Đại số ma trận ................................................................................. 11 1.1. Véctơ ....................................................................................................... 11 1.2. Ma trận đơn vị .......................................................................................... 12 1.3. Phép cộng và phép trừ ma trận. ................................................................. 12 1.4. Nhân ma trận với hằng số ......................................................................... 12 1.5. Nhân hai ma trận ...................................................................................... 13 1.6. Chuyển vị ma trận .................................................................................... 13 1.7. Đạo hàm và tích phân ma trận................................................................... 14 1.8. Định thức của ma trận .............................................................................. 14 1.9. Nghịch đảo ma trận .................................................................................. 15 1.10. Ma trận đường chéo .............................................................................. 16 1.11. Ma trận đối xứng .................................................................................. 16 1.12. Ma trận tam giác ................................................................................... 16 2. Phép khử Gauss ............................................................................... 17 2.1. Mô tả........................................................................................................ 17 2.2. Giải thuật khử Gauss tổng quát ................................................................. 18

Chương 3

THUẬT TOÁN XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG VÀ VÉCTƠ LỰC NÚT CHUNG

1. Các ví dụ ......................................................................................... 22 1.1. Ví dụ 1 ..................................................................................................... 22 1.2. Ví dụ 2 ..................................................................................................... 24 2. Thuật toán ghép K và F ................................................................... 28

SinhVienKyThuat.Com

iv

2.1. Nguyên tắc chung ..................................................................................... 28 2.2. Thuật toán ghép nối phần tử: .................................................................... 29

Chương 4

PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN MỘT CHIỀU 1. Mở đầu ............................................................................................ 31 2. Mô hình phần tử hữu hạn ................................................................. 31 3. Các hệ trục toạ độ và hàm dạng ....................................................... 32 4. Thế năng toàn phần ......................................................................... 35 5. Ma trận độ cứng phần tử .................................................................. 36 6. Qui đổi lực về nút ............................................................................ 37 7. Điều kiện biên, hệ phương trình phần tử hữu hạn ............................. 38 8. Ví dụ ............................................................................................... 40 9. Chương trình tính kết cấu một chiều – 1D ....................................... 46 10. Bài tập ............................................................................................. 50

Chương 5

PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN HỆ THANH PHẲNG 1. Mở đầu ............................................................................................ 52 2. Hệ toạ độ địa phương, hệ toạ độ chung ............................................ 52 3. Ma trận độ cứng phần tử .................................................................. 54 4. Ứng suất .......................................................................................... 55 5. Ví dụ ............................................................................................... 55 6. Chương trình tính hệ thanh phẳng .................................................... 57 7. Bài tập ............................................................................................. 67

Chương 6

PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN HAI CHIỀU 1. Mở đầu ............................................................................................ 71 1.1. Trường hợp ứng suất phẳng ...................................................................... 72 1.2. Trường hợp biến dạng phẳng .................................................................... 72 2. Rời rạc hoá kết cấu bằng phần tử tam giác ....................................... 73 3. Biểu diễn đẳng tham số.................................................................... 76 4. Thế năng ......................................................................................... 79 5. Ma trận độ cứng của phần tử tam giác ............................................. 79 6. Qui đổi lực về nút ............................................................................ 80 7. Ví dụ ............................................................................................... 83 8. Chương trình tính tấm chịu trạng thái ứng suất phẳng ...................... 88 9. Bài tập ............................................................................................. 99

SinhVienKyThuat.Com

v

Chương 7 PHẦN TỬ HỮU HẠN

TRONG BÀI TOÁN ĐỐI XỨNG TRỤC CHỊU TẢI TRỌNG ĐỐI XỨNG 1. Mở đầu .......................................................................................... 103 2. Mô tả đối xứng trục ....................................................................... 103 3. Phần tử tam giác ............................................................................ 104 4. Chương trình tính kết cấu đối xứng trục ......................................... 114 5. Bài tập ........................................................................................... 122

Chương 8

PHẦN TỬ TỨ GIÁC 1. Mở đầu .......................................................................................... 126 2. Phần tử tứ giác............................................................................... 126 3. Hàm dạng ...................................................................................... 127 4. Ma trận độ cứng của phần tử.......................................................... 129 5. Qui đổi lực về nút .......................................................................... 131 6. Tích phân số .................................................................................. 132 7. Tính ứng suất................................................................................. 136 8. Ví dụ ............................................................................................. 136 9. Chương trình ................................................................................. 138 10. Bài tập ........................................................................................... 150

Chương 9 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU DẦM VÀ KHUNG 1. Giới thiệu ...................................................................................... 152 2. Thế năng ....................................................................................... 153 3. Hàm dạng Hermite ........................................................................ 153 4. Ma trận độ cứng của phần tử dầm .................................................. 155 5. Quy đổi lực nút .............................................................................. 157 6. Tính mômen uốn và lực cắt............................................................ 158 7. Khung phẳng ................................................................................. 159 8. Ví dụ ............................................................................................. 161 9. Chương trình tính dầm chịu uốn .................................................... 166 10. Bài tập ........................................................................................... 175

Chương 10

PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN DẪN NHIỆT 1. Giới thiệu ...................................................................................... 178 2. Bài toán dẫn nhiệt một chiều.......................................................... 178 2.1. Mô tả bài toán ........................................................................................ 178

SinhVienKyThuat.Com

vi

2.2. Phần tử một chiều ................................................................................... 178 2.3. Ví dụ ...................................................................................................... 180 3. Bài toán dẫn nhiệt hai chiều ........................................................... 182 3.1. Phương trình vi phân quá trình dẫn nhiệt hai chiều .................................. 182 3.2. Điều kiện biên ........................................................................................ 183 3.3. Phần tử tam giác ..................................................................................... 184 3.4. Xây dựng phiếm hàm ............................................................................. 185 3.5. Ví dụ ...................................................................................................... 189 4. Các chương trình tính bài toán dẫn nhiệt ........................................ 192 4.1. Ví dụ 10.1 .............................................................................................. 192 4.2. Ví dụ 10.2 .............................................................................................. 197 5. Bài tập ........................................................................................... 203

Chương 11

PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TẤM - VỎ CHỊU UỐN

1. Giới thiệu ...................................................................................... 206 2. Lý thuyết tấm Kirchhof ................................................................. 206 3. Phần tử tấm Kirchhof chịu uốn ...................................................... 209 4. Phần tử tấm Mindlin chịu uốn ........................................................ 215 5. Phần tử vỏ ..................................................................................... 218 6. Chương trình tính tấm chịu uốn ..................................................... 221 7. Bài tập ........................................................................................... 231

Chương 12

PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN VẬT LIỆU, KẾT CẤU COMPOSITE

1. Giới thiệu ...................................................................................... 234 2. Phân loại vật liệu Composite ......................................................... 234 3. Mô tả PTHH bài toán trong trạng thái ứng suất phẳng ................... 236 3.1. Ma trận D đối với trạng thái ứng suất phẳng ........................................... 236 3.2. Ví dụ ...................................................................................................... 238 4. Bài toán uốn tấm Composite lớp theo lý thuyết Mindlin ................ 241 4.1. Mô hình hóa vật liệu composite nhiều lớp theo lý thuyết Mindlin ........... 241 4.2. Mô hình hóa PTHH bài toán tấm composite lớp chịu uốn ....................... 246 5. Chương trình tính tấm Composite lớp chịu uốn.............................. 250 6. Bài tập ........................................................................................... 267

Chương 13

PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU

1. Giới thiệu ...................................................................................... 268

SinhVienKyThuat.Com

vii

2. Mô tả bài toán................................................................................ 268 3. Vật rắn có khối lượng phân bố ....................................................... 270 4. Ma trận khối lượng của phần tử có khối lượng phân bố.................. 272 4.1. Phần tử một chiều ................................................................................... 272 4.2. Phần tử trong hệ thanh phẳng.................................................................. 272 4.3. Phần tử tam giác ..................................................................................... 273 4.4. Phần tử tam giác đối xứng trục ............................................................... 274 4.5. Phần tử tứ giác ....................................................................................... 275 4.6. Phần tử dầm ........................................................................................... 275 4.7. Phần tử khung ........................................................................................ 276 5. Ví dụ ............................................................................................. 276 6. Chương trình tính tần số dao động tự do của dầm và khung .................. 277 6.1. Chương trình tính tần số dao động tự do của dầm ................................... 277 6.2. Chương trình tính tần số dao động tự do của khung ................................ 282 7. Bài tập ........................................................................................... 287

TÀI LIỆU THAM KHẢO

SinhVienKyThuat.Com

1

Chương 1 GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

1. GIỚI THIỆU CHUNG Sự tiến bộ của khoa học, kỹ thuật đòi hỏi người kỹ sư thực hiện

những đề án ngày càng phức tạp, đắt tiền và đòi hỏi độ chính xác, an toàn cao.

7.1. Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một phương pháp rất tổng quát và hữu hiệu cho lời giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau. Từ việc phân tích trạng thái ứng suất, biến dạng trong các kết cấu cơ khí, các chi tiết trong ô tô, máy bay, tàu thuỷ, khung nhà cao tầng, dầm cầu, v.v, đến những bài toán của lý thuyết trường như: lý thuyết truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thuỷ đàn hồi, khí đàn hồi, điện-từ trường v.v. Với sự trợ giúp của ngành Công nghệ thông tin và hệ thống CAD, nhiều kết cấu phức tạp cũng đã được tính toán và thiết kế chi tiết một cách dễ dàng.

Trên thế giới có nhiều phần mềm PTHH nổi tiếng như: NASTRAN, ANSYS, TITUS, MODULEF, SAP 2000, CASTEM 2000, SAMCEF v.v.

Để có thể khai thác hiệu quả những phần mềm PTHH hiện có hoặc tự xây dựng lấy một chương trình tính toán bằng PTHH, ta cần phải nắm được cơ sở lý thuyết, kỹ thuật mô hình hoá cũng như các bước tính cơ bản của phương pháp.

2. XẤP XỈ BẰNG PHẦN TỬ HỮU HẠN Giả sử V là miền xác định của một đại lượng cần khảo sát nào đó

(chuyển vị, ứng suất, biến dạng, nhiệt độ, v.v.). Ta chia V ra nhiều miền con ve có kích thước và bậc tự do hữu hạn. Đại lượng xấp xỉ của đại lượng trên sẽ được tính trong tập hợp các miền ve.

Phương pháp xấp xỉ nhờ các miền con ve được gọi là phương pháp xấp xỉ bằng các phần tử hữu hạn, nó có một số đặc điểm sau:

SinhVienKyThuat.Com

2

- Xấp xỉ nút trên mỗi miền con ve chỉ liên quan đến những biến nút gắn vào nút của ve và biên của nó,

- Các hàm xấp xỉ trong mỗi miền con ve được xây dựng sao cho chúng liên tục trên ve và phải thoả mãn các điều kiện liên tục giữa các miền con khác nhau.

- Các miền con ve được gọi là các phần tử.

3. ĐỊNH NGHĨA HÌNH HỌC CÁC PHẦN TỬ HỮU HẠN

3.1. Nút hình học Nút hình học là tập hợp n điểm trên miền V để xác định hình học

các PTHH. Chia miền V theo các nút trên, rồi thay miền V bằng một tập hợp các phần tử ve có dạng đơn giản hơn. Mỗi phần tử ve cần chọn sao cho nó được xác định giải tích duy nhất theo các toạ độ nút hình học của phần tử đó, có nghĩa là các toạ độ nằm trong ve hoặc trên biên của nó.

3.2. Qui tắc chia miền thành các phần tử Việc chia miền V thành các phần tử ve phải thoả mãn hai qui tắc

sau: - Hai phần tử khác nhau chỉ có thể có những điểm chung nằm trên

biên của chúng. Điều này loại trừ khả năng giao nhau giữa hai phần tử. Biên giới giữa các phần tử có thể là các điểm, đường hay mặt (Hình 1.1).

- Tập hợp tất cả các phần tử ve phải tạo thành một miền càng gần với miền V cho trước càng tốt. Tránh không được tạo lỗ hổng giữa các phần tử.

biên giới biên giới

v2 v1

biên giới

v2 v1 v1 v2

Hình 1.1. Các dạng biên chung giữa các phần tử

SinhVienKyThuat.Com

3

4. CÁC DẠNG PHẦN TỬ HỮU HẠN Có nhiều dạng phần tử hữu hạn: phần tử một chiều, hai chiều và ba

chiều. Trong mỗi dạng đó, đại lượng khảo sát có thể biến thiên bậc nhất (gọi là phần tử bậc nhất), bậc hai hoặc bậc ba v.v. Dưới đây, chúng ta làm quen với một số dạng phần tử hữu hạn hay gặp.

Phần tử một chiều

Phần tử hai chiều

Phần tử ba chiều

Phần tử tứ diện

Phần tử lăng trụ

Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba

Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba

Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba

SinhVienKyThuat.Com

4

5. PHẦN TỬ QUY CHIẾU, PHẦN TỬ THỰC Với mục đích đơn giản hoá việc xác định giải tích các phần tử có

dạng phức tạp, chúng ta đưa vào khái niệm phần tử qui chiếu, hay phần tử chuẩn hoá, ký hiệu là vr. Phần tử qui chiếu thường là phần tử đơn giản, được xác định trong không gian qui chiếu mà từ đó, ta có thể biến đổi nó thành từng phần tử thực ve nhờ một phép biến đổi hình học re. Ví dụ trong trường hợp phần tử tam giác (Hình 1.2).

Các phép biến đổi hình học phải sinh ra các phần tử thực và phải thoả mãn các qui tắc chia phần tử đã trình bày ở trên. Muốn vậy, mỗi phép biến đổi hình học phải được chọn sao cho có các tính chất sau: a. Phép biến đổi phải có tính hai chiều (song ánh) đối với mọi điểm

trong phần tử qui chiếu hoặc trên biên; mỗi điểm của vr ứng với một và chỉ một điểm của ve và ngược lại.

Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba

vr

v3

v2

v1

1,0 0,0

y

x

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

r3

r2

r1

0,1

Hình 1.2. Phần tử quy chiếu và các phần tử thực tam giác

SinhVienKyThuat.Com

5

b. Mỗi phần biên của phần tử qui chiếu được xác định bởi các nút hình học của biên đó ứng với phần biên của phần tử thực được xác định bởi các nút tương ứng.

Chú ý: - Một phần tử qui chiếu vr được biến đổi thành tất cả các phần tử

thực ve cùng loại nhờ các phép biến đổi khác nhau. Vì vậy, phần tử qui chiếu còn được gọi là phần tử bố-mẹ.

- Có thể coi phép biến đổi hình học nói trên như một phép đổi biến đơn giản.

- (, ) được xem như hệ toạ độ địa phương gắn với mỗi phần tử.

6. MỘT SỐ DẠNG PHẦN TỬ QUI CHIẾU

Phần tử qui chiếu một chiều

Phần tử qui chiếu hai chiều

Phần tử qui chiếu ba chiều Phần tử tứ diện

Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba

vr

1 0,0

1

vr

1 0,0

1

vr

1 0,0

1

1/2,1/2

1/2

1/2

1/3,2/3

2/3,1/3

2/3 1/3

1/3 2/3

0 1 -1 0 1 -1 -1/2 1 -1 1/2 0

Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba

SinhVienKyThuat.Com

6

Phần tử sáu mặt

7. LỰC, CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG VÀ ỨNG SUẤT Có thể chia lực tác dụng ra ba loại và ta biểu diễn chúng dưới dạng véctơ cột:

- Lực thể tích f : f = f[ fx, fy , fz]T

- Lực diện tích T : T = T[ Tx, Ty , Tz]T - Lực tập trung Pi: Pi= Pi [ Px, Py , Pz]T

vr

Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba

0,1,1

vr

1,1,0

0,1,1

1,1,0

vr

0,1,1

1,1,0

Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba

vr

0,1,0 0,0,0

0,0,1

vr

0,1,0

0,0,1

vr

1,0,0

1,0,0

0,1,0

1,0,0

0,0,1

SinhVienKyThuat.Com

7

Chuyển vị của một điểm thuộc vật được ký hiệu bởi: u = [u, v, w] T (1.1)

Các thành phần của tenxơ biến dạng được ký hiệu bởi ma trận cột: = [x , y, z, yz, xz, xy] T (1.2)

Trường hợp biến dạng bé: T

xv

yu

xw

zu

yw

zv

zw

yv

xu

(1.3)

Các thành phần của tenxơ ứng suất được ký hiệu bởi ma trận cột: = [x , y, z, yz, xz, xy] T (1.4)

Với vật liệu đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, ta có quan hệ giữa ứng suất với biến dạng:

= D (1.5) Trong đó:

500000005000000050000000100010001

211

,,

,ED

E là môđun đàn hồi, là hệ số Poisson của vật liệu.

8. NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU HOÁ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN

Thế năng toàn phần của một vật thể đàn hồi là tổng của năng lượng biến dạng U và công của ngoại lực tác dụng W:

= U + W (1.6) Với vật thể đàn hồi tuyến tính thì năng lượng biến dạng trên một

đơn vị thể tích được xác định bởi: T

21

Do đó năng lượng biến dạng toàn phần:

SinhVienKyThuat.Com

8

V

T dvU 21

(1.7)

Công của ngoại lực được xác định bởi:

n

ii

Ti

S

T

V

T PuTdSuFdVuW1

(1.8)

Thế năng toàn phần của vật thể đàn hồi sẽ là:

n

ii

Ti

S

T

V

T

V

T PuTdSudVfudV12

1 (1.9)

Trong đó: u là véctơ chuyển vị và Pi là lực tập trung tại nút i có chuyển vị là ui

Áp dụng nguyên lý cực tiểu thế năng: Đối với một hệ bảo toàn, trong tất cả các di chuyển khả dĩ, di chuyển thực ứng với trạng thái cân bằng sẽ làm cho thế năng đạt cực trị. Khi thế năng đạt giá trị cực tiểu thì vật (hệ) ở trạng thái cân bằng ổn định.

9. SƠ ĐỒ TÍNH TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Một chương trình tính bằng PTHH thường gồm các khối chính sau:

Khối 1: Đọc các dữ liệu đầu vào: Các dữ liệu này bao gồm các thông tin mô tả nút và phần tử (lưới phần tử), các thông số cơ học của vật liệu (môđun đàn hồi, hệ số dẫn nhiệt...), các thông tin về tải trọng tác dụng và thông tin về liên kết của kết cấu (điều kiện biên);

Khối 2: Tính toán ma trận độ cứng phần tử k và véctơ lực nút phần tử f của mỗi phần tử;

Khối 3: Xây dựng ma trận độ cứng tổng thể K và véctơ lực nút F chung cho cả hệ (ghép nối phần tử);

Khối 4: Áp đặt các điều kiện liên kết trên biên kết cấu, bằng cách biến đổi ma trận độ cứng K và vec tơ lực nút tổng thể F;

Khối 5: Giải phương trình PTHH, xác định nghiệm của hệ là véctơ chuyển vị chung Q;

Khối 6: Tính toán các đại lượng khác (ứng suất, biến dạng, gradiên nhiệt độ, v.v.) ;

SinhVienKyThuat.Com

9

Khối 7: Tổ chức lưu trữ kết quả và in kết quả, vẽ các biểu đồ, đồ thị của các đại lượng theo yêu cầu.

Sơ đồ tính toán với các khối trên được biểu diễn như hình sau (Hình 1.3);

Tính toán ma trận độ cứng phần tử k Tính toán véctơ lực nút phần tử f

Giải hệ phương trình KQ = F (Xác định véctơ chuyển vị nút tổng thể Q)

Đọc dữ liệu đầu vào - Các thông số cơ học của vật liệu - Các thông số hình học của kết cấu - Các thông số điều khiển lưới - Tải trọng tác dụng - Thông tin ghép nối các phần tử - Điều kiện biên

Xây dựng ma trận độ cứng K và véctơ lực chung F

Áp đặt điều kiện biên (Biến đổi các ma trận K và vec tơ F)

Tính toán các đại lượng khác (Tính toán ứng suất, biến dạng, kiểm tra bền, v.v)

In kết quả - In các kết quả mong muốn - Vẽ các biểu đồ, đồ thị

Hình 1.3. Sơ đồ khối của chương trình PTHH

SinhVienKyThuat.Com

10 SinhVienKyThuat.Com

11

Chương 2 ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSSIAN

Áp dụng phương pháp PTHH trong các bài toán kỹ thuật thường liên quan đến một loạt các phép toán trên ma trận. Vì vậy, các phép toán cơ bản trên ma trận và phương pháp khử Gaussian (Gauss) để giải hệ phương trình tuyến tính sẽ là 2 nội dung chính được đề cập trong chương này.

1. ĐẠI SỐ MA TRẬN Các công cụ toán học về ma trận được đề cập trong phần này là các

công cụ cơ bản để giải bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính, có dạng như sau:

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

(2.1)

trong đó, x1, x2, …, xn là các nghiệm cần tìm. Hệ phương trình (2.1) có thể được biểu diễn ở dạng thu gọn:

Ax = b (2.2) trong đó, A là ma trận vuông có kích thước (n n), và x và b là các véctơ (n1), được biển diễn như sau:

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

21

22221

11211

nx

xx

x2

1

nb

bb

b2

1

1.1. Véctơ Một ma trận có kích thước (1 n) được gọi là véctơ hàng, ma trận

có kích thước (n 1) được gọi là véctơ cột. Ví dụ một véctơ hàng (1 4):

61222 r

SinhVienKyThuat.Com

12

và véctơ cột (3 1):

342

11c

1.2. Ma trận đơn vị Ma trận đơn vị là ma trận đường chéo với các phần tử trên đường

chéo chính bằng 1, ví dụ:

100010001

I

1.3. Phép cộng và phép trừ ma trận. Cho 2 ma trận A và B, cùng có kích thước là (m n). Tổng của

chúng là 1 ma trận C = A + B và được định nghĩa như sau: cij = aij + bij (2.3)

Ví dụ:

34

7521

5815

23

phép trừ được định nghĩa tương tự.

1.4. Nhân ma trận với hằng số Nhân 1 ma trận A với hằng số c được định nghĩa như sau:

cA=[caij] (2.4) Ví dụ:

100500

20030015

23102

SinhVienKyThuat.Com

13

1.5. Nhân hai ma trận Tích của ma trận A kích thước (m n) với ma trận B kích thước (n

p) là 1 ma trận C kích thước (m p), được định nghĩa như sau: A B = C (2.5)

(m n) (n p) (m p) trong đó, phần tử thứ (ij) của C là (cij) được tính theo biểu thức:

n

kkjikij bac

1 (2.6)

Ví dụ:

36387054

465254

413582

Chú ý: - Điều kiện để tồn tại phép nhân 2 ma trận AB là số cột của ma

trận A phải bằng số hàng của ma trận B. - Trong phần lớn các trường hợp, nếu tồn tại tích 2 ma trận AB

và BA, thì tích 2 ma trận không có tính chất giao hoán, có nghĩa là AB BA.

1.6. Chuyển vị ma trận Chuyển vị của ma trận A = [aij] kích thước (m n) là 1 ma trận, ký

hiệu là AT có kích thước là (n m), được tạo từ ma trận A bằng cách chuyển hàng của ma trận A thành cột của ma trận AT. Khi đó, (AT)T = A. Ví dụ:

465254

A thì:

455624TA

Chuyển vị của một tích các ma trận là tích các chuyển vị của ma trận thành phần theo thứ tự đảo ngược, có nghĩa là:

(ABC)T=CTBT AT. (2.7)

SinhVienKyThuat.Com

14

1.7. Đạo hàm và tích phân ma trận Trong nhiều bài toán kỹ thuật, các phần tử của ma trận không phải

là 1 hằng số, chúng là các hàm số 1 biến hay nhiều biến. Ví dụ:

yxxyx

xyxyxA

462

52 2

Trong các trường hợp đó, các ma trận có thể được đạo hàm hay tích phân. Phép đạo hàm (hay phép tích phân) của 1 ma trận, đơn giản là lấy đạo hàm (hay lấy tích phân) đối với mỗi phần tử của ma trận:

dxxda

xAdxd ij )(

)( (2.8)

dxdyaAdxdy ij (2.9) Chúng ta sẽ sử dụng thường xuyên biểu thức (2.8) để xây dựng hệ

phương trình PTHH trong các chương sau. Xét ma trận vuông A, kích thước (n n) với các hệ số hằng, véctơ cột x = {x1 x2 ... xn}T chứa các biến. Khi đó, đạo hàm của Ax theo 1 biến xp sẽ là:

p

p

aAxdxd

)( (2.10)

trong đó, ap là véctơ cột và chính là cột thứ p của ma trận A.

1.8. Định thức của ma trận Cho ma trận vuông A = [aij], kích thước (n n). Định thức của ma

trận A được định nghĩa như sau:

n

jijij

ji

nnn

Aa

AaAaAaA

1

111

12121111

)det(1

)det(1)det()det()det(

(2.11)

trong đó, Aij là ma trận kích thước (n-1 n-1) thu được bằng cách loại đi hàng i cột j của ma trận A. Ví dụ:

SinhVienKyThuat.Com

15

nnnn

n

n

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

aaa

aaaaaa

A

32

33332

22322

11

21

22221

11211

Công thức (2.11) là công thức tổng quát. Theo công thức này, định thức của ma trận vuông có kích thước (n n) được xác định theo phương pháp truy hồi từ định thức các ma trận có kích thước (n-1 n-1). Trong đó, ma trận chỉ có 1 phần tử (1 1) có:

det(apq) = apq (2.12)

1.9. Nghịch đảo ma trận Cho ma trận vuông A, nếu det(A) 0, thì A có ma trận nghịch đảo

và ký hiệu là A-1. Ma trận nghịch đảo thỏa mãn quan hệ sau: A-1A = AA-1 = I (2.13)

Nếu det(A) = 0, A là ma trận suy biến và không tồn tại ma trận nghịch đảo. Nếu det(A) 0 ta gọi A là ma trận không suy biến. Khi đó, nghịch đảo của A được xác định như sau:

AadjAAdet

1

(2.14)

Trong đó, adjA là ma trận bù của A, có các phần tử )det(1 jiji

ij Aa

và Aji là ma trận thu được từ A bằng cách loại đi hàng thứ j và cột thứ i. Ví dụ:

Nghịch đảo của ma trận A kích thước (2 2) là:

1121

12221

2221

12111

det1

aaaa

Aaaaa

A

SinhVienKyThuat.Com

16

1.10. Ma trận đường chéo Một ma trận vuông có các phần tử bằng không ngoại trừ các phần

tử trên đường chéo chính được gọi là ma trận đường chéo. Ví dụ:

500030002

D

1.11. Ma trận đối xứng Ma trận đối xứng là một ma trận vuông có các phần tử thoả mãn

điều kiện: aij = aji (2.15a)

hay: A = AT (2.15b)

Như vậy, ma trận đối xứng là ma trận có các phần tử đối xứng qua đường chéo chính. Ví dụ, ma trận A sau đây là ma trận đối xứng:

9011043

1132A

1.12. Ma trận tam giác Ma trận được gọi là ma trận tam giác trên hay ma trận tam giác

dưới, tương ứng là các ma trận có tất cả các phần tử nằm dưới hay nằm trên đường chéo chính bằng không.

Ví dụ, các ma trận được minh hoạ dưới đây tương ứng là ma trận tam giác trên A và ma trận tam giác dưới B:

900040

1132A

9011043002

B

SinhVienKyThuat.Com

17

2. PHÉP KHỬ GAUSS Xét hệ phương trình tuyến tính được biểu diễn ở dạng ma trận như

sau: Ax = b

trong đó, A là ma trận vuông kích thước (n n). Nếu detA 0, thì ta có thể thực hiện phép biến đổi phương trình trên bằng cách nhân 2 vế với A-1 và nhận được nghiệm: x = A-1b. Tuy nhiên, trong hầu hết các bài toán kỹ thuật, kích thước của ma trận A là rất lớn và các phần tử của A thường là số thực với miền xác định rất rộng; do đó, việc tính toán ma trận nghịch đảo của A là rất phức tạp và dễ gặp phải sai số do việc làm tròn trong các phép tính. Vì vậy, phương pháp khử Gauss là một công cụ rất hữu ích cho việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính.

2.1. Mô tả Chúng ta sẽ bắt đầu mô tả phương pháp khử Gauss thông qua một ví dụ minh hoạ sau đây; sau đó tìm hiểu giải thuật khử Gauss tổng quát. Xét hệ phương trình:

152 321 xxx (1)

2352 321 xxx (2)

415 321 xxx (3)

Bước 1: bằng các phép biến đổi tương đương để khử x1 trong các phương trình (2) và (3), ta được hệ:

152 321 xxx (1)

470 321 xxx (21)

5200 321 xxx (31)

Bước 2: khử x2 trong phương trình (31), ta được hệ: 152 321 xxx (1)

470 321 xxx (21)

92700 321 xxx (32) Ở đây, ta nhận được hệ phương trình mà ma trận các hệ số lập

thành ma trận tam giác trên. Từ phương trình cuối cùng (32), ta tìm được nghiệm x3, lần lượt thế các nghiệm tìm được vào phương trình

SinhVienKyThuat.Com

18

trên nó, (21) và (1). Sẽ nhận được các ẩn số cần tìm như sau:

38;

35;

31

123 xxx . Phương pháp tìm nghiệm khi ma trận các

hệ số là ma trận tam giác trên này được gọi là phương pháp thế ngược. Các thao tác trên có thể được biểu diễn dưới dạng ngắn gọn như sau:

9270047101521

5201047101521

415112352

1521

bằng phương pháp thế ngược, cuối cùng ta nhận được các nghiệm:

38;

35;

31

123 xxx

2.2. Giải thuật khử Gauss tổng quát Giải thuật khử Gauss tổng quát sẽ được biểu diễn thông qua các

bước thực hiện đối với một hệ phương trình tuyến tính tổng quát như sau:

n

i

n

i

nnnjnnn

inijiii

nj

nj

nj

b

b

bbb

x

x

xxx

aaaaa

aaaaa

aaaaaaaaaaaaaaa

3

2

1

3

2

1

321

321

33333231

22232221

11131211

(2.16)

Để thực hiện phương pháp khử Gauss, ta xét các thủ tục tác động đến các ma trận hệ số A và ma trận các số hạng tự do b như sau:

SinhVienKyThuat.Com

19

nnnjnnn

inijiii

nj

nj

nj

aaaaa

aaaaa

aaaaaaaaaaaaaaa

321

321

33333231

22232221

11131211

n

i

b

b

bbb

3

2

1

(2.17)

Bước 1. Sử dụng phương trình thứ nhất (hàng 1) để loại x1 ra khỏi các phương trình còn lại. Bước này sẽ tác động đến các phần tử nằm trong vùng đã đánh dấu và làm cho các phần tử từ hàng 2 đến hàng thứ n của cột 1 bằng không nhờ phép biến đổi (2.18) sau:

njibaabb

aaaaa

iii

ji

ijij

,...,2,;111

11

111

11

(2.18)

Bước 2. Sử dụng phương trình thứ hai (hàng 2) để loại x2 ra khỏi các phương trình còn lại. Bước này sẽ tác động đến các phần tử nằm trong vùng đã đánh dấu dưới đây và làm cho các phần tử từ hàng 3 đến hàng thứ n của cột 2 bằng không.

1113

12

1113

12

13

13

133

132

12

12

123

122

11131211

0

0

00

nnnjnn

inijii

nj

nj

nj

aaaa

aaaa

aaaaaaaaaaaaa

1

1

13

12

1

n

i

b

b

bbb

(2.19)

Các bước như trên sẽ được lặp lại đến khi trong vùng đánh dấu chỉ còn 1 phần tử. Một cách tổng quát, tại bước thứ k ta có:

SinhVienKyThuat.Com

20

1,

1,

11,

1,

1,

11,

1,1

1,1

11,1

23

23

233

12

12

123

122

11131211

000

000

000

000

knn

kjn

kkn

kni

kji

kki

knk

kjk

kkk

nj

nj

nj

aaa

aaa

aaa

aaaaaaaaaaaa

1

1

11

33

12

1

kn

ki

kk

b

b

b

bbb

(2.20)

Ở bước này, các phần tử trong miền đánh dấu được tác động nhờ phép biến đổi

nkjiba

abb

nkjiaa

aaa

kkk

kk

kikk

ik

i

kkjk

kk

kikk

ijk

ij

,...,1,;

,...,1,;

11

11

11

11

(2.21)

Cuối cùng, sau n-1 bước như trên, chúng ta nhận được hệ (2.16) dưới dạng:

)1(

)3(4

)2(3

)1(2

1

4

3

2

1

)1(

)3(4

)3(44

)2(3

)2(34

)2(33

)1(2

)1(24

)1(23

)1(22

114131211

0n

nnn

nn

n

n

n

n

b

bbbb

x

xxxx

a

aaaaaaaaaaaaaa

(2.22)

Từ hệ (2.22) này, bằng phương pháp thế ngược từ dưới lên ta nhận được các nghiệm của hệ phương trình (2.16) như sau (ở đây, để tiện theo dõi, chúng ta bỏ qua ký hiệu chỉ số trên trong các hệ số của ma trận A và b):

1211 ,,n,ni;a

xabx,;

abx

ii

n

ijjiji

inn

nn

(2.23)

SinhVienKyThuat.Com

21 SinhVienKyThuat.Com

22

Chương 3 THUẬT TOÁN XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG CHUNG

VÀ VÉCTƠ LỰC NÚT CHUNG

Việc ghép các ma trận độ cứng k và các véctơ lực f của các phần tử

để tạo ra ma trận độ cứng K và véctơ lực nút F chung cho cả hệ, từ đó thiết lập hệ phương trình PTHH là một vấn đề quan trọng.

Ta sẽ cộng các số hạng của ma trận độ cứng của mỗi phần tử vào các vị trí tương ứng của ma trận độ cứng chung và cộng các số hạng của véctơ lực vào véctơ lực chung.

Cách dễ nhất để ghép các phần tử là gán số cho mỗi dòng và cột của ma trận độ cứng phần tử đúng với bậc tự do của phần tử ấy, sau đó chúng ta sẽ làm việc qua các số hạng của ma trận phần tử; tức là cộng các số hạng này vào ma trận chung mà mỗi dòng, mỗi cột cũng được gán đúng những số trên. Dưới đây ta sẽ xét hai ví dụ.

1. CÁC VÍ DỤ

1.1. Ví dụ 1 Một kết cấu được chia ra 8 phần tử tam giác như Hình 3.1. Mỗi

phần tử có 3 nút; mỗi nút có 1 bậc tự do (ví dụ nhiệt độ).

Mô tả quá trình ghép nối ma trận độ cứng chung K với giả sử chỉ xét 3 phần tử đầu tiên: 1, 2 và 3 với các ma trận độ cứng đã biết như sau:

1 2 3

5 4 6

7 8 9

1 2

3 4

5 6

7 8

e

1 2

3

Hình 3.1

SinhVienKyThuat.Com

23

521263137

1k ;

432371218

2k ;

501064149

3k

Lời giải 1. Xây dựng bảng ghép nối phần tử (đường đến các nút ngược chiều kim đồng hồ)

Bậc tự do Phần tử

1 2 3

1 1 2 4 2 4 2 5 3 2 3 5

2. Xét từng phần tử Với phần tử 1, các dòng và cột được nhận dạng như sau:

421

521263137421

1

k

Ma trận này được cộng vào ma trận độ cứng chung và ta sẽ được:

54321

000000502100000020630103754321

K

Ma trận độ cứng của phần tử 2 được gán số bởi:

524

432371218524

2

k

Các số hạng của ma trận k2 được cộng thêm vào ma trận chung, cho ta

SinhVienKyThuat.Com

24

54321

4203028501210000031207630103754321

K

Với phần tử 3:

532

501064149532

3

k

Các số hạng của ma trận k3 được cộng tiếp vào ma trận chung ở trên, cho ta

54321

54200130213031

00064013349133

0103754321

K

Việc cộng các véctơ lực phần tử vào véctơ lực chung được tiến hành hoàn toàn tương tự.

1.2. Ví dụ 2 Giả sử có hai phần tử 1 và 4 trong bài toán hai chiều; mỗi phần tử

có 3 nút, mỗi nút có 2 bậc tự do (Hình 3.2). Hãy mô tả quá trình ghép nối ma trận độ cứng chung K và véctơ lực nút chung, theo các ma trận độ cứng phần tử và véctơ lực nút phần tử k1, k4, f1 và f4 cho trước như sau:

SinhVienKyThuat.Com

25

242857221643168431694536309771992932647322

1k ;

571463

1f

287475572728734225768787302657421915386123

4k ;

542679

4f

Các nút của phần tử 1 là: (1, 2, 5). Bậc tự do tương ứng của phần tử là:

TTkkjjii qqqqqqqqqqqq 10943212122121212

Các hàng và cột của ma trận độ cứng phần tử 1 được gán các số ứng với bậc tự do tương ứng của nó và các số hạng của ma trận được cộng vào các vị trí tương ứng của ma trận độ cứng chung.

1094321

242857221643168431694536309771992932647322

1094321

1

k

i

1 2

3

1 4

5 6

2 1

Hình 3.2

2

SinhVienKyThuat.Com

26

121110987654321

0000000000000000000000000024200008572002160000431600000000000000000000000000000000000000000000000000840000316940053000063097007100009929300026000047322

121110987654321

K

Tiến hành tương tự đối với ma trận độ cứng của phần tử 4. Các nút của phần tử 4 là: (5, 2, 6). Bậc tự do tương ứng của phần tử là:

TTkkjjii qqqqqqqqqqqq 1211431092122121212

121143

109

287475572728734225768787302657421915386123

121143109

4

k

Các số hạng của ma trận được cộng vào các vị trí tương ứng của ma trận độ cứng chung, ta nhận được kết quả như sau:

SinhVienKyThuat.Com

27

121110987654321

287550000470072773000028005743300001277253339000012916

000000000000000000000000000000000000000000000000421412000056139478790000166097

00710000992930026000047322

121110987654321

K

Véctơ lực nút của các phần tử 1 và 4 cũng được cộng vào véctơ lực nút chung theo cách tương tự:

1094321

571463

1

f

121110987654321

005700001463

F ;

121143

109

542679

4

f

121110987654321

54

121600003

1063

F

SinhVienKyThuat.Com

28

2. THUẬT TOÁN GHÉP K VÀ F

2.1. Nguyên tắc chung Qua hai ví dụ trên ta thấy ma trận độ cứng chung K chính là tổng

của các ma trận mở rộng [ke] của các phần tử. Véctơ lực chung F cũng chính là tổng của các véctơ lực mở rộng {fe} của các phần tử:

e

e

e

e fFkK ; (3.1)

Để chuẩn hoá các bước ghép nối, ta xây dựng bảng định vị index cho mỗi phần tử. Bảng index sẽ cho biết vị trí của mỗi số hạng của qn trong Qn. Kích thước của bảng index là (noe edof ), với edof là ký hiệu cho số bậc tự do của phần tử và noe là ký hiệu cho tổng số phần tử. Mỗi nút có một bậc tự do Trở lại ví dụ 3.1, bảng index chính là bảng ghép nối phần tử ở trên.

Khi ấy: TQQQQQQ 54321

- Với phần tử 1 (e =1) 421:),1(

421

indexQQQq T

- Với phần tử 2 (e =2) 524:),2(

524

indexQQQq T

- Với phần tử 3 (e =3) 532:),3(

532

indexQQQq T

Chú ý: ký hiệu (:) trong index(e,:) chỉ các phần tử thuộc hàng e của index. Mỗi nút có hai bậc tự do Trở lại ví dụ 3.2 đã xét ở trên, bảng index là:

Bậc tự do Phần tử

1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 9 10 ... ... ... ... 4 9 10 3 4 11 12

SinhVienKyThuat.Com

29

Khi ấy:

TQQQQQQQQQQQQQ 121110987654321

- Với phần tử số 1

1094321:),1(

1094321

indexQQQQQQq T

- Với phần tử số 4

121143109:),4(

121143109

indexQQQQQQq T

Với sự giúp đỡ của bảng index, mỗi số hạng kij của ma trận ke được cộng vào IJK của [K] sao cho:

I = index(e,i), với i = 1.. sdof J = index(e,j), với j = 1.. sdof

hoặc:

jie

jeieIJ kKK ),(index),(index (3.2)

Tương tự, mỗi số hạng fi của {fe}được chuyển sang FI của F sao cho:

ie

ieI fFK ),(index (3.3)

2.2. Thuật toán ghép nối phần tử: Bước 1: Khởi tạo ma trận vuông [K] có kích thước (sdof sdof) và véctơ cột {F} có kích thước (sdof 1), với các số hạng bằng không. Trong đó, sdof là ký hiệu cho tổng số bậc tự do của các nút trong toàn hệ. Bước 2: Với mỗi phần tử e (e = 1:noe), cộng đúng vị trí mỗi số hạng kij của của ma trận phần tử ke vào số hạng IJK của ma trận [K]:

),(),,(;:1,; jeindexJieindexIedofjikKK jie

IJIJ (3.4)

Bước 3: Với mỗi phần tử e (e = 1:noe), cộng đúng vị trí mỗi số hạng fi của của véctơ lực phần tử f vào số hạng FI của véctơ lực chung F:

),(;:1; ieindexIedofifFF ie

II (3.5)

Sơ đồ thuật toán được mô tả như Hình 3.3 sau:

SinhVienKyThuat.Com

30

K=zero(sdof,sodf); F=zero(sdof,1);

e =1; i = 1; j = 1;

jikieindexieindexKieindexieindexK e ,),(),,(),(),,(

j edof

j = j + 1;

i = i+1;

i edof

ifieindexFieindexF e ),(),(

e = e +1;

e noe

...

...

T

T

T

F

F

F

Hình 3.3. Sơ đồ thuật toán ghép nối phần tử

SinhVienKyThuat.Com

31

Chương 4 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN MỘT CHIỀU

1. MỞ ĐẦU Để giải bài toán một chiều (1D) bằng phương pháp phần tử hữu

hạn, chúng ta sẽ sử dụng nguyên lý cực tiểu hoá thế năng toàn phần và các quan hệ: quan hệ ứng suất-biến dạng, quan hệ biến dạng-chuyển vị. Với bài toán hai chiều (2D) và ba chiều (3D), cách tiếp cận cũng tương tự.

Trong bài toán một chiều, các đại lượng: chuyển vị, biến dạng, ứng suất chỉ phụ thuộc vào biến x. Ta biểu diễn chúng như sau:

;xuu

;x x (4.1)

Quan hệ giữa ứng suất với biến dạng, biến dạng với chuyển vị:

dxduE ; (4.2)

Với bài toán một chiều, vi phân thể tích dv được viết dưới dạng: dv=Adx (4.2)

trong đó, A là diện tích mặt cắt ngang.

2. MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN Có thể chia thanh ra nhiều phần tử, mỗi phần tử có tiết diện ngang

không đổi (hoặc thay đổi). Chẳng hạn, ta chia thanh ra 5 phần tử với các nút được đánh số từ 1 đến 6, các chỉ số nút này là chỉ số nút toàn cục (Hình 4.1a); mỗi phần tử có hai nút 1 và 2, các chỉ số nút này là chỉ số nút cục bộ (Hình 4.1b).

Trong bài toán một chiều, mỗi nút chỉ có một chuyển vị theo phương x . Vì vậy mỗi nút chỉ có một bậc tự do, n nút có n bậc tự do.

Chuyển vị tổng thể được kí hiệu là Qi ; i = 1, n; chuyển vị địa phương của mỗi phần tử được ký hiệu là qj; j = 1, 2

Véctơ cột Q Qi

T được gọi là véctơ chuyển vị chung (tổng thể).

Lực nút được kí hiệu là Fi ; i = 1, n.

Véctơ cột F Fi

T được gọi là véctơ lực nút chung (tổng thể).

SinhVienKyThuat.Com

32

Để ghép nối các phần tử với nhau, ta sử dụng bảng ghép nối các

phần tử như sau: Bảng 3.1. Bảng ghép nối các phần tử

Phần tử Nút

1(đầu) 2(cuối) 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

2 3 4 5 6

3. CÁC HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ VÀ HÀM DẠNG Khảo sát một phần tử e như Hình 4.2. Theo sơ đồ đánh số nút cục bộ:

Nút thứ nhất là 1 Nút thứ hai là 2

e 1 2

x2 x

x1

= -1 = 1

(b) (a)

Hình 4.2. Phần tử trong hệ toạ độ x và

1 2 3 4 5 x

1 2 3 4 5 6

Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6

e 1 2

q1 q2

Hình 4.1a. Chỉ số toàn cục Hình 4.1b. Chỉ số cục bộ

Chỉ số địa phương

Chỉ số chung

SinhVienKyThuat.Com

33

Theo ký hiệu, x = x1 là tọa độ của nút thứ nhất; x = x2 là tọa độ của nút thứ hai. Ta định nghĩa hệ tọa độ qui chiếu (hay chuẩn hoá) được ký hiệu là như sau:

121

12

xxxx

1

1

2

1

xxxx

(4.3)

Vậy: 21 :1:1 xxx

Ta sử dụng hệ tọa độ địa phương này để xác định hàm dạng với mục đích nội suy ra trường chuyển vị trong các phần tử.

Bây giờ trường chuyển vị cần tìm cho một phần tử sẽ được nội suy bằng một phép biến đổi tuyến tính (Hình 4.3).

Để thực hiện được phép nội suy này, cần đưa vào một hàm dạng

tuyến tính:

2

1;2

121

NN (4.4)

Các hàm dạng được minh hoạ trên Hình 4.4. Đồ thị của hàm dạng N1 trên Hình 4.4a được suy ra từ phương trình (4.4): N1 = 1 tại = -1 và N1 = 0 tại = 1. Tương tự ta có đồ thị của N2.

1

N1

Hình 4.4. (a), (b). Hàm dạng N1, N2; (c). Nội suy tuyến tính

-1 0 1

1

N2

u

1 2

21

1

N

21

2

N

q1 q2

u=N1q1+N2q2

2 1 1 2

(a) (b) (c)

-1 0 1

e 1 2

u2 u1

Hình 4.3. Nội suy tuyến tính trường chuyển vị của một phần tử

q2 q1

e 1 2

SinhVienKyThuat.Com

34

Một khi các hàm dạng được xác định, trường chuyển vị của phần tử sẽ được biểu diễn qua các chuyển vị nút q1 và q2 như sau:

2211 qNqNu (4.5) Hoặc dưới dạng ma trận:

u = Nq (4.6)

Trong đó: N N N 1 2,

Tqqq 11 (4.7) Trong biểu thức trên, q là véctơ chuyển vị của phần tử. Từ (4.5), ta thấy u = q1 tại nút 1; u = q2 tại nút 2 và u biến thiên tuyến tính trong phần tử (Hình 4.4c).

Ta đã biết: 12

11 0

11 qu

NN

xx

22

12 1

01 qu

NN

xx

Bây giờ ta nội suy tọa độ x nhờ các hàm dạng 21 , NN

2211 xNxNx (4.8)

So sánh:

2211

2211

qNqNuxNxNx

ta thấy chuyển vị u và toạ độ x được nội suy trên cùng phần tử nhờ cùng các hàm dạng N1 và N2. Trong trường hợp này, ta có phép biểu diễn đẳng tham số. Chú ý: Các hàm dạng cần thoả mãn:

1) Đạo hàm bậc nhất phải hữu hạn, 2) Chuyển vị phải liên tục trên các biên của phần tử.

Mặt khác:

dxd

ddu

dxdu

(4.9)

mà:

12

2xxdx

d

(4.10)

SinhVienKyThuat.Com

35

suy ra

212211 21

21 qqqNqNu

(4.11)

221 qq

ddu

(4.12)

2112

1 qqxx

(4.13)

do đó:

111;12

xx

BBq (4.14)

Trong đó ma trận B được gọi là ma trận biến dạng-chuyển vị của phần tử. Theo định luật Hooke, ta có biểu thức tính ứng suất:

= EBq (4.15) Chú ý:

B, , là các đại lượng hằng số; Các biểu thức u = Nq; = Bq; = EBq mô tả chuyển vị, biến dạng và ứng suất qua các giá trị chuyển vị nút của phần tử. Ta sẽ thế các biểu thức này vào biểu thức thế năng của thanh để thiết lập ma trận độ cứng và ma trận lực nút của phần tử.

4. THẾ NĂNG TOÀN PHẦN Áp dụng công thức (1.3) - Chương 1, ta tính được thế năng toàn

phần của thanh:

n

ii

Ti

L

T

L

T

L

T PuTdxuAdxfuxdA12

1 (4.16)

Khi vật thể được chia ra làm nhiều phần tử hữu hạn, thì

n

iii

e e

T

e e

T

e e

T PQTdxuAdxfuxdA12

1 (4.17)

SinhVienKyThuat.Com

36

5. MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ Gọi:

xdAUe

Te

21

là thế năng biến dạng của phần tử, ta có:

xdAqBEBqUe

eeTT

e 21

qxdABEBqUe

eeTT

e

2

1 (4.18)

Chú ý rằng: Ae, Ee và B là các đại lượng hằng số, và

dldxdxxdx e

2212

, với: 12;11 xxle

Khi ấy, ta có biểu thức của năng lượng biến dạng của phần tử:

qdBBElAqU Te

ee

Te

1

1221

với:

111

12

xx

B

ta có:

qlEAqUe

eeTe

1111

21

Gọi:

1111

e

eee

lEAk (4.19)

là ma trận độ cứng của phần tử . Khi đó, biểu thức thế năng (4.18) được biểu diễn ở dạng thu gọn như sau:

qkqU eTe 2

1 (4.20)

SinhVienKyThuat.Com

37

6. QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT Khi vật thể đã được rời rạc hóa bằng các phần tử hữu hạn với các

nút xác định, ta phải qui đổi các loại lực tác dụng về nút. Lần lượt xét từng thành phần biểu diễn công của ngoại lực trong

biểu thức thế năng (4.17), ta có: - Công do lực khối:

e

e

ee

T

e

T

dxNfA

dxNfAqAdxfu

2

1

mà:

221

2

221

21

12

1

11

ee

e

ee

e

ldldxN

ldldxN

eTeeT

e

T fqlfAqAdxfu

11

2

Với:

11

2eee lfAf (4.21)

là lực thể tích quy đổi về nút của phần tử - Công do lực diện tích:

eT

e

eTT

e

T TqdxNT

dxNTqdxTqNqNdxTu

2

1

2211

Với:

11

2ee lTT (4.22)

được gọi là lực diện tích qui đổi về nút của phần tử Cuối cùng, biểu thức được viết gọn dưới dạng

SinhVienKyThuat.Com

38

FQKQQ TT 21 (4.23)

Trong đó: Q là véctơ chuyển vị nút chung,

K là ma trận độ cứng chung, được xác định từ các ma trận độ cứng ke của các phần tử:

Kke

e

F là véctơ lực nút chung, được xác định từ các véctơ lực nút: fe, Te, P của các phần tử:

FPTfe

ee

Với phần tử một chiều và mỗi nút có một bậc tự do, ta vẫn sử dụng bảng ghép nối phần tử ở trên để thiết lập ma trận độ cứng K và véctơ lực F.

7. ĐIỀU KIỆN BIÊN, HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN Sau khi rời rạc hóa vật thể nhờ phương pháp phần tử hữu hạn, ta

xác định được biểu thức thế năng toàn phần (4.23). Bây giờ phải xây dựng phương trình cân bằng để từ đó xác định

các chuyển vị nút, sau đó tính ứng suất, biến dạng và các phản lực liên kết.

Bằng cách cực tiểu biểu thức thế năng đối với Q, tức là cho cho thế năng biến dạng "chịu" điều kiện biên, ta sẽ thu được phương trình cân bằng.

Dưới đây ta trình bày cách nhập điều kiện biên. Phương pháp này được áp dụng không chỉ cho bài toán một chiều mà còn cho cả bài toán hai, ba chiều. Điều kiện biên thường có dạng:

Qi = ai Biểu thức trên có nghĩa là chuyển vị Qi phải bằng ai . Ở đây, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp khử để nhập các điều kiện biên. Khảo sát trường hợp đơn giản: Q1 = a1.

SinhVienKyThuat.Com

39

Với một kết cấu có n bậc tự do, ta có

TnQQQQ 21

TnFFFF 21

Ma trận độ cứng tổng thể có dạng:

nnnn

n

n

KKK

KKKKKK

K

21

22221

11211

(4.24)

K là ma trận đối xứng Ta viết biểu thức của thế năng dưới dạng khai triển như sau:

nn

nnnnnnnn

nn

nn

FQFQFQ

QKQQKQQKQ

QKQQKQQKQQKQQKQQKQ

2211

2211

2222221212

1121211111

21

(4.25)

Thay Q1 = a1 vào phương trình trên, ta được:

nn

nnnnnnnn

nn

nn

FQFQFa

QKQQKQaKQ

QKQQKQaKQQKaQKaaKa

2211

2211

2222221212

1121211111

21

(4.26)

Chú ý rằng chúng ta đã khử chuyển vị Q1 trong biểu thức của thế năng ở trên. Áp dụng điều kiện cực tiểu thế năng:

niQi

,...,2;0 (4.27)

ta thu được:

113322

13133333232

12122323222

aKFQKQKQK

aKFQKQKQKaKFQKQKQK

nnnnnnn

nn

nn

(4.28)

SinhVienKyThuat.Com

40

Khi ấy, hệ phương trình PTHH được biểu diễn như sau:

11

1313

1212

3

2

32

33332

22322

aKF

aKFaKF

Q

QQ

KKK

KKKKKK

nnnnnnn

n

n

(4.29)

Nhận xét: Ma trận độ cứng (n-1)(n-1) ở trên được nhận từ ma trận độ cứng (nn) ban đầu (4.23) bằng cách bỏ đi hàng thứ nhất và cột thứ nhất (vì Q1 = a1). Hệ phương trình (4.28) được viết dưới dạng cô đọng:

KQ = F (4.30) Ma trận K trong (4.30) là ma trận không kỳ dị còn ma trận K ban đầu (4.24) là ma trận kỳ dị (det K=0). Áp dụng phương pháp khử Gauss (xem chương 2) để giải hệ phương trình (4.30), ta sẽ tìm được chuyển vị Q; Nhờ bảng thông tin ghép nối phần tử đã giới thiệu ở phần đầu, ta sẽ xác định được chuyển vị nút q của phần tử từ chuyển vị chung Q đã tìm được ở trên. Áp dụng công thức EBq ta tìm được ứng suất;

Để xác định phản lực liên kết R1, ta viết phương trình cân bằng cho nút 1:

111212111 RFQKQKQK nn (4.31)

Trong đó Qi đã được xác định, F1 là lực tác dụng tại nơi đặt liên kết cũng đã biết.

8. VÍ DỤ

Ví dụ 4.1. Cho một trục bậc chịu tác dụng của lực P = 10 N (hình 4.5a). Biết

tiết diện các đoạn: A1=20 mm2; A2 = 10 mm2; chiều dài các đoạn l1 = l2 = 100 mm; và môđun đàn hồi: E1 = E2 = 200 gPa. Hãy xác định chuyển vị tại B và C; biến dạng, ứng suất trong các đoạn trục AB, BC.

SinhVienKyThuat.Com

41

Lời giải Chia trục làm hai phần tử: 1 và 2, Hình 4.5b. 1. Bảng ghép nối phần tử được thiết lập như sau:

Phần tử Nút i Nút j

1 1 2

2 2 3

2. Xác định ma trận độ cứng của phần tử 1: k1 và 2: k2

mmN

lEAk 4

1

111 104444

1111

mmN

lEAk 4

2

222 102222

1111

3. Ma trận độ cứng chung K:

mmNK 410

2202244

044

4. Véctơ lực nút chung F: F = [0 0 10]T 5. Hệ phương trình phần tử hữu hạn:

100

2202244

04410

3

2

14

R

QQQ

A

1

Hình 4.5. (a) Trục bậc chịu kéo đúng tâm; (b) Sơ đồ phần tử

P=10 kN x

B C

1 2

2 3

(a)

(b)

SinhVienKyThuat.Com

42

6. Áp đặt điều kiện biên: Do Q1 = 0 (liên kết ngàm tại A), do đó ta loại dòng 1 và cột 1 trong hệ phương trình trên. Cuối cùng ta thu được hệ phương trình:

100

2226

103

24

QQ

7. Xác định chuyển vị, biến dạng, ứng suất Giải hệ phương trình trên ta được:

Q2 = 0,25 10-3 mm Q3 = 0,75 10-3 mm

áp dụng công thức (4.31), ta tìm được phản lực liên kết: R1 =104 (-4 Q2 ) = -10 N

Biến dạng được tính cho mỗi phần tử 1 = (-q1 + q2 )/l = 0,25 x10-5 /100 = 2,5 x10-6

2 = (-q2 + q3 )/l = 5 x10-6

Ứng suất được tính cho mỗi phần tử 1 = E 1 = 0,5 N/mm2 2 = E 2 = 1 N/mm2

Ví dụ 4.2. Cho một trục bậc chịu liên kết ngàm 2 đầu và tác dụng của lực P =

200 kN (hình 4.6a). Biết tiết diện các đoạn: A1=2400 mm2; A2 = 600 mm2; chiều dài các đoạn l1 = 300mm, l2 = 400 mm; và môđun đàn hồi: E1 = 70 gPa, E2 = 200 gPa. Hãy xác định chuyển vị tại B; ứng suất trong các đoạn trục AB, BC và phản lực tại A và C.

Lời giải

2

A Hình 4.6. Trục bậc chịu kéo đúng tâm

x

1 B C

P=200 KN

SinhVienKyThuat.Com

43

Chia trục làm hai phần tử: 1 và 2, như hình 4.5b ở ví dụ 4.1. 1. Bảng ghép nối phần tử được thiết lập như sau:

Phần tử Nút i Nút j

1 1 2

2 2 3

2. Xác định ma trận độ cứng của phần tử 1: k1 và 2: k2

mmN

lEAk

1111

30010702400

1111 3

1

111

mmN

lEAk

1111

40010200600

1111 3

2

222

3. Ma trận độ cứng chung K:

mmNK 310

3003003008605600560560

4. Véctơ lực nút chung F:

F = [R1 200103 R3]T

5. Hệ phương trình phần tử hữu hạn:

3

31

3

2

13 10200

30030003008605600560560

10R

R

QQQ

6. Áp đặt điều kiện biên:

Do Q1 = 0 (liên kết ngàm tại A) và Q3 = 0 (liên kết ngàm tại C) , do đó ta loại dòng 1, cột 1 và dòng 3, cột 3 trong hệ phương trình trên. Cuối cùng ta thu được phương trình:

860 Q2 = 200

7. Xác định chuyển vị, biến dạng, ứng suất

Giải phương trình trên ta được:

SinhVienKyThuat.Com

44

Q2 = 0,23257 mm Áp dụng công thức (4.31), ta tìm được các phản lực liên kết:

R1 =103 (-560 Q2 ) = -130,233 KN R3 =103 (-300 Q2 ) = -69,767 KN

Biến dạng được tính cho mỗi phần tử 1 = (-q1 + q2 )/l1 = 0,23257 /300 = 7,752 10-4 2 = (-q2 + q3 )/l2 = -0,23257 /400 = 5,81410-4

Ứng suất được tính cho mỗi phần tử 1 = E11 = 54,26 N/mm2 2 = E2 2 = 116,28 N/mm2

Ví dụ 4.3. Cho một trục tròn chịu liên kết ngàm tại A, khe hở giữa đầu C và

thành cứng là 1,2mm, chịu tác dụng của lực P = 60 kN tại B (hình 4.7). Biết tiết diện của thanh là A=250 mm2; và môđun đàn hồi: E = 2103N/mm2 Hãy xác định chuyển vị tại B; và phản lực tại A và C.

Lời giải Ở đây, ta đã xem như đã thực hiện bước kiểm tra để kết luận rằng, trong quá trình biến dạng, đầu C của trục đã tiếp xúc với thành cứng và tiếp tục biến dạng. Tương tự các ví dụ trên, ta chia trục làm hai phần tử (1) và (2). Khi đó, ma trận độ cứng chung K được xác định như sau:

mmNK 3

3

10110121

011

1501020250

Véctơ lực nút chung F: F = [R1 60103 R3]T

2 A

Hình 4.7. Tính kết cấu bằng phương pháp PTHH

x

1 B C

150mm 150mm 1,2mm

P=60 KN

SinhVienKyThuat.Com

45

Hệ phương trình phần tử hữu hạn:

3

31

3

2

13

1060110121

011

1501020250

R

R

QQQ

Áp đặt điều kiện biên: Do Q1 = 0 (liên kết ngàm tại A) và Q3 = 1,2 (khe hở tại C) , do đó ta loại dòng 1, cột 1. Cuối cùng ta thu được hệ phương trình:

3,3333104(2 Q2 – 1,2) = 60103 3,3333104(- Q2 + 1,2) = R3

Xác định chuyển vị, biến dạng, ứng suất Giải phương trình trên ta được:

Q2 = 1,5 mm; R3 =3,3333104 (-Q2 + 1,2) = - 10 kN

R1 =3,3333104 (- Q2) = -50 kN

SinhVienKyThuat.Com

46

9. CHƯƠNG TRÌNH TÍNH KẾT CẤU MỘT CHIỀU - 1D Chương trình nguồn

%---------------------------------------------------------------------------- % Chuong trinh so 1, chuong 4. (P4_1) %---------------------------------------------------------------------------- % Tinh chuyen vi nut trong cac ket cau 1-D % % Mo ta cac bien % k = ma tran do cung phan tu % f = vecto luc nut phan tu % kk = ma tran do cung tong the % ff = vecto luc nut tong the % gcoord = toa do nut % nodes = ma tran chi so nut cua moi phan tu % index = vecto chuyen vi nut chung o moi phan tu %---------------------------------------------------------------------------- %------------------------------------ % Cac tham so dau vao %------------------------------------

clear edof=1; % edof = so bac tu do tai nut noe=input('Nhap so phan tu:'); % noe = so phan tu % Nhap du lieu: cac thong so hinh hoc cua ket cau va co tinh vat lieu for i=1:noe Doan_truc=i los(i)=input('Nhap chieu dai (don vi mm) cua doan '); E(i)=input('Nhap modul dan hoi keo nen (N/mm2) cua doan (phan tu)'); A(i)=input('Nhap tiet dien mat cat ngang (mm2) cua doan (phan tu)'); end % Nhap du lieu: cac thong tin ve chi so nut phan tu tuong ung voi chi so % nut tong the, phuc vu cho viec ghep noi phan tu

SinhVienKyThuat.Com

47

for i=1:noe Phan_tu = i index(i,1)=input('Chi so nut toan cuc cua nut 1:'); index(i,2)=input('Chi so nut toan cuc cua nut 2:'); end % Nhap du lieu: cac thong tin ve tai trong tac dung. % 1. Tai trong tap trung nof=input('Nhap so luc tap trung:'); % nof=Number Of Force for i=1:nof Luc_thu =i temp_f(i)=input('Gia tri luc (don vi N): '); force_pos(i)=input('Vi tri dat luc (nut so): '); end % Thong tin ve lien ket noc=0; % noc=Number Of Clamp while ((noc==0)|(noc>2)) noc=input('So luong lien ket (1 hoac 2):'); end for i=1:noc c(i)=input('Vi tri dat lien ket (nut dat lien ket): '); end % Tinh ma tran do cung phan tu for i=1:noe k(1,1,i)=E(i)*A(i)/los(i); k(1,2,i)=-k(1,1,i); k(2,1,i)=-k(1,1,i); k(2,2,i)=k(1,1,i); end for e=1:noe % In ma tran do cung cac phan tu k(e,:) end % Xay dung ma tran do cung tong the

SinhVienKyThuat.Com

48

non=noe+1; % non = Number Of Nodes sdof=non*edof; kk=zeros(sdof,sdof); for row_indx=1:non for e=1:noe for n1=1:2 if (index(e,n1)==row_indx) for col_indx=1:non for n2=1:2 if (index(e,n2)==col_indx) kk(row_indx,col_indx)=kk(row_indx,col_indx)+ k(n1,n2,e); end end end end end end end kk % In ma tran do cung tong the % Tinh ma tran luc nut phan tu f=zeros(noe,2); for e=1:noe for i=1:nof if (index(e,1)==force_pos(i)) f(e,1)=temp_f(i); end if (index(e,2)==force_pos(i)) f(e,2)=temp_f(i); end end end for i=e:noe % In vecto luc nut phan tu

SinhVienKyThuat.Com

49

f(e,:) end % Xay dung vecto luc nut chung ff=zeros(sdof,1); for node=1:non for e=1:noe for n=1:2 if (index(e,n)==node) ff(node)=f(e,n); end end end end ff % In vecto luc nut chung % Ap dat dieu kien bien for node=1:noc kk(c(node),:)=0; kk(:,c(node))=0; ff(c(node))=0; kk(c(node),c(node))=1; end kk ff Q=kk\ff;

SinhVienKyThuat.Com

50

10. BÀI TẬP

4.1. Cho kết cấu 1D được rời rạc hoá bởi 2 phần tử một chiều như Hình 4.10.1 dưới đây.

a. Hãy chứng tỏ rằng ma trận độ cứng tổng thế K là ma trận kỳ dị. b. Chỉ ra một véctơ chuyển vị Q0 0 mà thoả mãn KQ0 = F = 0.

Bằng cách mô tả qua hình vẽ, hãy phân tích ý nghĩa của các chuyển vị này. Và chỉ ra năng lượng biến dạng đàn hồi trong cấu trúc ở trường hợp này ?

c. Chứng minh ở dạng tổng quát rằng, với bất kỳ véctơ chuyển vị Q 0 là nghiệm của hệ phương trình KQ = 0, với K là ma trận kỳ dị.

4.2. Xét kết cấu thanh bằng thép, môđun đàn hồi

E=200×109N/m2. Có liên kết và chịu lực như Hình 4.10.2. Xác định các chuyển vị nút (các chấm đen trên hình), ứng suất trong các phần tử và các thành phần phản lực tại ngàm. Hãy giải bài toán bằng tay và nghiên cứu kỹ Chương trình đã cho, sửa đổi lại một số điểm nếu cần thiết và bổ sung phần chương trình tính ứng suất trong các phần tử; thực hành tính toán bằng chương trình và so sánh kết quả.

4.3. Xét kết cấu thanh bằng thép, môđun đàn hồi

E=200×109N/m2. Có liên kết và chịu lực như Hình 4.10.3. Xác định các chuyển vị nút, ứng suất trong các phần tử và các thành phần phản lực tại ngàm.

150mm 150mm 300mm

x P=300 kN 250mm2 400mm2

Hình 4.10.2

1 2 3 x

Hình 4.10.1

SinhVienKyThuat.Com

51

4.4. Xét kết cấu liên kết và chịu lực như Hình 4.10.4. Thanh

nằm ngang được xem như là tuyệt đối cứng, các thanh treo được làm bằng thép và nhôm, có môđun đàn hồi như chỉ ra trên hình vẽ. Tính ứng suất trong mỗi thanh treo.

Hình 4.10.4

thép 2×2 cm

E=200×109 N/m2

Nhôm 2×4 cm

50cm 40 cm 30 cm 20 cm

60 KN

Thanh tuyệt đối cứng, trọng lượng không đáng kể

E=70×109 N/m2

150mm 150mm 200mm 200mm

250mm2 400mm2

P=300 kN P=600 kN x

3.5mm

Hình 4.10.3

SinhVienKyThuat.Com

52

Chương 5 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN HỆ THANH PHẲNG

1. MỞ ĐẦU Trong chương này chúng ta sẽ áp dụng phương pháp phần tử hữu

hạn để tính toán hệ thanh phẳng (hệ gồm n thanh liên kết với nhau bởi các khớp quay). Hệ thanh phẳng điển hình được trình bày trên Hình 5.1.

Trong hệ thanh, tải trọng hoặc phản lực liên kết đặt ở các khớp nối;

bỏ qua ma sát trong các khớp nối. Rõ ràng, mỗi phần tử của hệ thanh hoặc chịu kéo, hoặc chịu nén.

Ta có thể gặp hệ thanh tĩnh định hoặc siêu tĩnh.

2. HỆ TOẠ ĐỘ ĐỊA PHƯƠNG, HỆ TOẠ ĐỘ CHUNG Hệ thanh khác với các kết cấu một chiều đã xét trong Chương 4 ở

chỗ: trong hệ thanh, các phần tử (các thanh) có các phương khác nhau. Để có thể tính đến sự khác nhau về phương của các phần tử trong hệ, ta cần phải đưa ra khái niệm hệ toạ độ địa phương và hệ toạ độ chung.

Một phần tử thanh được mô tả trong hệ toạ độ địa phương và hệ toạ độ chung như trong Hình 5.2.

2 3 4 5

6 7 8

1

Q2

Q1 Q5 Q7 Q9

Q4

Q3

Q6 Q8 Q10

Q15

Q16

Q13

Q14

Q11

Q12

Hình 5.1. Hệ thanh phẳng

SinhVienKyThuat.Com

53

Trong sơ đồ đánh số nút địa phương, hai nút của phần tử được đánh số 1 và số 2. Hệ toạ độ địa phương hướng theo trục x’, chạy từ nút 1 đến nút 2. Tất cả các đại lượng trong hệ toạ độ địa phương được ký hiệu bởi dấu (’). Hệ toạ độ chung (x,y) là cố định và không phụ thuộc vào phương của các phần tử. Trong hệ toạ chung, mỗi nút cũng có hai bậc tự do. Chẳng hạn, nút “j” sẽ có hai chuyển vị là Q2j-1 và Q2j. Gọi q1’ và q2’ là các chuyển vị của nút 1 và 2 tương ứng trong hệ toạ độ địa phương. Ta ký hiệu véctơ chuyển vị trong hệ toạ độ địa phương bởi:

q’ = [q1’ , q2’]T (5.1) Trong hệ toạ độ chung, véctơ chuyển vị có 4 thành phần:

q = [q1, q2 , q3 , q4 ]T (5.2) Ta đi tìm quan hệ giữa q và q’. Dễ thấy

q1’ = q1 cos + q2 sin (5.3a) q2’ = q3 cos + q4 sin (5.3b)

Ký hiệu

= cos (5.4a) m = sin (5.4b)

x

y

x’

1

(a)

q1 q2

q4

q3

q1cos

q2sin

q3cos

q4sin

q’1

q’2

(b)

Hình 5.2. Phần tử thanh trong hệ toạ độ địa phương (a) và trong hệ toạ độ chung (b)

SinhVienKyThuat.Com

54

Ta có thể viết q’ = L q (5.5)

Trong đó L là ma trận chuyển vị, được viết dưới dạng:

ml

mlL

0000

(5.6)

3. MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ Các phần tử trong hệ thanh đều là các phần tử một chiều. Vì vậy, ta áp dụng những kết quả của chương 4 vào hệ thanh. Trong hệ toạ độ địa phương, ta đã xác định được ma trận độ cứng của phần tử

1111

'e

ee

lAEk (5.7)

Để thiết lập ma trận độ cứng của phần tử trong hệ toạ độ chung, ta chú ý tới biểu thức năng lượng biến dạng của phần tử

'''21 qkqU T

e (5.8)

Thay q’ = Lq vào biểu thức trên, ta được

qLkLqU TTe '

21

(5.9)

Cuối cùng, năng lượng biến dạng trong hệ toạ độ chung được viết dưới dạng:

qkqU Te 2

1 (5.10)

Trong đó k là ma trận độ cứng của phần tử trong hệ toạ độ chung và k = LT k' L (5.11)

Thay biểu thức của L từ (5.6) và của k' từ (5.7) vào (5.11), ta được

22

22

22

22

mlmmlmlmllmlmlmmlmlmllml

lAEke

ee (5.12)

SinhVienKyThuat.Com

55

Từ các ma trận độ cứng của các phần tử và nhờ bảng ghép nối phần tử, ta sẽ thu được ma trận độ cứng chung của cả hệ thanh.

4. ỨNG SUẤT Như đã lưu ý ở trên, mỗi phần tử trong hệ thanh hoặc chịu kéo, hoặc chịu nén. Do đó, ứng suất trong thanh được xác định bởi:

= Ee Hoặc

LqlE

qq

lE

lqqE

e

e

e

e

ee 11

''

11''

2

112

Thế biểu thức của L từ (5.6) vào biểu thức trên ta được:

qmlmllE

e

e (5.13)

Như vậy, sau khi tìm được chuyển vị, ta sẽ xác định được ứng suất trong mỗi phần tử của hệ thanh.

5. VÍ DỤ Khảo sát hệ gồm hai thanh chịu lực P như hình dưới. Các thanh có cùng diện tích mặt cắt ngang và cùng vật liệu. Xác định chuyển vị tại điểm đặt lực.

x 300

y

L, A, E 1 2 300

P

3

2

1

(b) (a) Hình 5.3. (a) Kết cấu bằng chịu lực, (b) sơ đồ phần tử

SinhVienKyThuat.Com

56

Lời giải 1. Mô hình. Ta mô hình hoá hệ thanh bởi 2 phần tử hữu hạn; mỗi nút phần tử có 2 bậc tự do. 2. Xác định ma trận độ cứng của các phần tử

Áp dụng công thức (5.12), ta tính được các ma trận độ cứng của các phần tử. Với phần tử 1: LLml 1;0sin;1cos

0000010100000101

1

LEAk

Với phần tử 2: LLml3

2;21sin;

23cos 2

83

83

83

83

83

833

83

833

83

83

83

83

83

833

83

833

2

LEAk

Từ đây, ta thiết lập được ma trận độ cứng chung K và hệ phương trình:

6

5

2

1

4

3 0

00

00

83

83

83

8300

83

833

83

83300

83

83

83

8300

83

833

83

833101

000000000101

RR

P

RR

QQ

LEA

Áp dụng điều kiện biên: Q1 = Q2 = Q5 = Q6 =0, ta thu được hệ phương trình PTHH:

SinhVienKyThuat.Com

57

PQQ

LEA 0

83

83

83

8331

4

3

Giải hệ phương trình trên, ta được:

EALP

EALP

QQ

33

8

3

4

3

Thay các giá trị chuyển vị trên vào (5.14), ta tìm được phản lực liên kết:

PRRRRR 13036511

6. CHƯƠNG TRÌNH TÍNH HỆ THANH PHẲNG

Ví dụ Khảo sát hệ thanh chịu lực như sau (Hình 5.4). Các thanh có cùng

diện tích mặt cắt ngang A = 2,5cm2 và cùng vật liệu, với E = 2105N/cm2. Xác định chuyển vị tại điểm đặt lực. Xác định ma trận độ cứng của các phần tử và ma trận độ cứng chung; chuyển vị tại điểm đặt lực và ứng suất trong các thanh và các phản lực liên kết.

Chương trình nguồn

x

y 1

2

P=100KN

2

1

Hình 5.4. Tính kết cấu bằng phương pháp PTHH

3

4 3 4

Q2 Q3

Q4

Q6 Q5 Q7

Q8

100 cm

75 cm

Q1

SinhVienKyThuat.Com

58

%---------------------------------------------------------------------------- % Chuong trinh so 1, chuong 5 - (P5_1) %---------------------------------------------------------------------------- % Tinh toan chuyen vi nut, ung suat trong cac thanh cua he thanh phang % tinh phan luc lien ket tai cac lien ket cua he thanh phang chiu luc % su dung phan tu thanh % (Hinh. 5.4 mo ta mo hinh PTHH tinh he thanh phang) % % Mo ta cac bien % k = ma tran do cung phan tu % f = vecto luc nut phan tu % kk = ma tran do cung tong the % ff = vecto luc nut tong the % disp = vecto chuyen vi nut tong the % eldisp = (element_disp) – vecto chuyen vi nut phan tu % stress = ma tran ung suat % strain = ma tran bien dang % gcoord = toa do nut % nodes = ma tran chi so nut cua moi phan tu % index = vecto chuyen vi nut chung o moi phan tu %---------------------------------------------------------------------------- %------------------------------------ % Cac tham so dau vao %------------------------------------ clear % Type of geometric construction type_geometric =1; switch (type_geometric) case 1 length=1000; % mm emodul=100e3; % MPa (N/mm^2) area=(2.5^2)e2; % mm^2 force=100e3; % N noe=4; % noe = Number Of Elements(segments) non=4; % non = Number Of Nodes lcoord(1,1,1)=0;

SinhVienKyThuat.Com

59

lcoord(1,2,1)=0; lcoord(2,1,1)=length; lcoord(2,2,1)=0; lcoord(1,1,2)=lcoord(2,1,1); lcoord(1,2,2)=lcoord(2,2,1); lcoord(2,1,2)=lcoord(2,1,1); lcoord(2,2,2)=length*3/4; lcoord(1,1,3)=0; lcoord(1,2,3)=0; lcoord(2,1,3)=length; lcoord(2,2,3)=length*3/4; lcoord(1,1,4)=0; lcoord(1,2,4)=length*3/4; lcoord(2,1,4)=length; lcoord(2,2,4)=length*3/4; % Chi so nut phan tu theo chi so nut chung index(1,1)=1; index(1,2)=2; index(2,1)=2; index(2,2)=3; index(3,1)=1; index(3,2)=3; index(4,1)=4; index(4,2)=3; end % Tinh chieu dai cac thanh l(e) va ma tran chuyen doi he co so: % trans_mat(e). for i=1:noe L(i)=sqrt((lcoord(2,1,i)-lcoord(1,1,i))^2+(lcoord(2,2,i)-lcoord(1,2,i))^2); l(i)=(lcoord(2,1,i)-lcoord(1,1,i))/L(i); m(i)=(lcoord(2,2,i)-lcoord(1,2,i))/L(i); % Ma tran chuyen doi he toa do trans_mat(1,1,i)=l(i); trans_mat(1,2,i)=m(i); trans_mat(1,3,i)=0; trans_mat(1,4,i)=0;

SinhVienKyThuat.Com

60

trans_mat(2,1,i)=0; trans_mat(2,2,i)=0; trans_mat(2,3,i)=l(i); trans_mat(2,4,i)=m(i); % Ma tran chuyen doi he toa do ung suat stress_trans(i,1)=-l(i); stress_trans(i,2)=-m(i); stress_trans(i,3)=l(i); stress_trans(i,4)=m(i); % Modul dan hoi cua cac thanh E(i)=emodul; A(i)=area; % Tiet dien ngang cua cac thanh end % Tinh ma tran do cung phan tu trong he toa do dia phuong for i=1:noe k_local(1,1,i)=(E(i)*A(i)/L(i)); k_local(1,2,i)=-k_local(1,1,i); k_local(2,1,i)=-k_local(1,1,i); k_local(2,2,i)=k_local(1,1,i); end % Tinh ma tran do cung phan tu trong he toa do chung trans_trans_mat=permute(trans_mat,[2,1,3]); for i=1:noe k(:,:,i)=trans_trans_mat(:,:,i)*k_local(:,:,i)*trans_mat(:,:,i); end k % In ma tran do cung phan tu % Xay dung ma tran do cung tong the edof=2; %edof: so bac tu do cua 1 node sdof=non*edof; kk=zeros(sdof,sdof); for row_indx=1:non for e=1:noe for n1=1:2 if (index(e,n1) = = row_indx) for col_indx=1:non for n2=1:2 if (index(e,n2)==col_indx)

SinhVienKyThuat.Com

61

for i=1:2 for j=1:2 kk((row_indx-1)*edof+i,(col_indx-1)*edof+j)=... kk((row_indx-1)*edof+i,(col_indx-1)*edof+j)+... k((n1-1)*edof+i,(n2-1)*edof+j,e); end end end end end end end end end kkk=kk; kk % In ma tran do cung tong the % Tinh ma tran luc nut phan tu f=zeros(noe,2*edof); f(2,1)=20000 f(2,4)=-25000; f % In ve to luc nut phan tu % Xay dung ve to luc nut chung ff=zeros(sdof,1); for row_indx=1:non for e=1:noe for n=1:2 % 2:so node/phan tu if (index(e,n)==row_indx) for i=1:2 ff((row_indx-1)*edof+i)=ff((row_indx-1)*edof+i)... +f(e,(n-1)*edof+i); end end end end end % In vec to luc nut chung ff

SinhVienKyThuat.Com

62

% Ap dat dieu kien bien for i=1:sdof disp(i)=1; end disp(1)=0; disp(2)=0; disp(4)=0; disp(7)=0; disp(8)=0; for i=1:sdof if (disp(i)==0) kk(i,:)=0; kk(:,i)=0; ff(i)=0; kk(i,i)=1; end end kk ff % Giai he PT PTHH xac dinh chuyen vi nut disp=kk\ff; % In vec to chuyen vi nut chung disp % Xac dinh chuyen vi nut trong cac thanh for e=1:noe for i=1:2 % 2 nut for j=1:edof % edof=2: 2 bac tu do/nut eldisp(e,(i-1)*edof+j)=disp((index(e,i)-1)*edof+j); end end end eldisp % Tinh Ung suat trong cac thanh stress=zeros(noe,1); for e=1:noe stress(e)=(E(e)/L(e))*stress_trans(e,:)*eldisp(e,:)'; end

SinhVienKyThuat.Com

63

stress % Tinh Phan luc lien ket tai cac goi R=zeros(sdof,1); R=kkk*disp; R

SinhVienKyThuat.Com

64

Kết quả số

k(:,:,1) =

1.0e+011 *

1.2916 0 -1.2916 0

0 0 0 0

-1.2916 0 1.2916 0

0 0 0 0

k(:,:,2) =

1.0e+011 *

0 0 0 0

0 1.7221 0 -1.7221

0 0 0 0

0 -1.7221 0 1.7221

k(:,:,3) =

1.0e+010 *

6.6128 4.9596 -6.6128 -4.9596

4.9596 3.7197 -4.9596 -3.7197

-6.6128 -4.9596 6.6128 4.9596

-4.9596 -3.7197 4.9596 3.7197

k(:,:,4) = 1.0e+011 *

1.2916 0 -1.2916 0 0 0 0 0 -1.2916 0 1.2916 0 0 0 0 0

kk =

SinhVienKyThuat.Com

65

1.0e+011 * 1.9529 0.4960 -1.2916 0 -0.6613 -0.4960 0 0 0.4960 0.3720 0 0 -0.4960 -0.3720 0 0 -1.2916 0 1.2916 0 0 0 0 0 0 0 0 1.7221 0 -1.7221 0 0 -0.6613 -0.4960 0 0 1.9529 0.4960 -1.2916 0 -0.4960 -0.3720 0 -1.7221 0.4960 2.0941 0 0 0 0 0 0 -1.2916 0 1.2916 0 0 0 0 0 0 0 0 0

disp = 1.0e-006 * Q1 0 Q2 0 Q3 0.1549 Q4 0 Q5 0.0323 Q6 -0.1270 Q7 0 Q8 0

SinhVienKyThuat.Com

66

eldisp=

Phần tử Nút 1 Nút 2

Phương x 1.0e-006 *

Phương y 1.0e-006 *

Phương x 1.0e-006 *

Phương y 1.0e-006 *

1 0 0 0.1549 0

2 0.1549 0 0.0323 -0.1270

3 0 0 0.0323 -0.1270

4 0 0 0.0323 -0.1270

stress=

Phần tử Ứng suất (mPa)

1 31.0001

2 -33.9063

3 -8.0729

4 6.4583

R =

Ri Phản lực liên kết (N) 1.0e+004 *

1 -1.5833

2 0.3125

3 2.0000

4 2.1875

5 -0.0000

6 -2.5000

7 -0.4167

8 0

SinhVienKyThuat.Com

67

7. BÀI TẬP

5.1. Một kết cấu thanh giằng như trên Hình 5.7.1. Vật liệu các thanh bằng thép, có môđun đàn hồi E=200gPa. Xác định ma trận độ cứng tổng thể của hệ.

5.2. Một kết cấu giàn gồm 3 thanh được đánh số (nút và thanh) như trên Hình 5.7.2. Vật liệu của các thanh I và II là nhôm, vật liệu của thanh III là thép. Tiết diện của thanh I là 15cm2 và tiết diện của thanh II và III là 8cm2. Xác định chuyển vị của nút 2 và ứng suất trong các thanh. Giải bài toán bằng tay và bằng cách sử dụng phần mềm tính toán kết cấu tương ứng. Khi giải bằng tay yêu cầu biểu diễn ma trận độ cứng tổng thể dưới dạng toàn bộ và dưới dạng rút gọn. Cho Enhôm = 70gPa, Ethép = 210gPa.

Hình 5.7.1

1000 mm2

1250 mm2

P

500 mm

750 mm

Q2i

Q2i-1

1

2

3

i

0,7m

1 2

8 kN

3 4

5 kN

y

x

I

III II

0,5m

1m

Hình 5.7.2. Dàn chịu lực

SinhVienKyThuat.Com

68

5.3. Một kết cấu giàn gồm 5 thanh được đánh số (nút và thanh) như trên Hình 5.7.3. Vật liệu của các thanh đều là thép và có môđun đàn hồi Ethép = 210gPa. Tiết diện của thanh I, II và III là 15cm2 và tiết diện của thanh IV và V là 8cm2. Xác định chuyển vị của các nút và ứng suất trong các thanh. Giải bài toán bằng tay và bằng cách sử dụng chương trình tính toán kết cấu tương ứng. Khi giải bằng tay nên chú ý đến tính đối xứng của kết cấu. Cho a = 0,5 m; α = 600; P = 2kN; Q = 4kN.

5.4. Một cây cầu đường sắt được ghép từ các thanh thép, tiết diện của các thanh thép bằng nhau và bằng 3250 mm2. Một đoàn tàu dừng trên cầu, cầu phải chịu tải trọng của đoàn tàu (Hình 5.7.4). Tính chuyển vị theo phương ngang gối di động R dưới tác dụng của các tải trọng. Xác định chuyển vị tại các nút và ứng suất trong mỗi thanh cầu.

5.5. Một kết cấu cầu được tính toán thiết kế theo mô hình dàn

thanh như trên Hình 5.7.5. Kết cấu này được cấu thành từ 6 nhịp. Tải trọng biểu diễn trên hình vẽ mô tả trạng thái làm việc nguy hiểm nhất của kết cấu. Vật liệu sử dụng trong kết cấu là thép với môđun đàn hồi Ethép = 210gPa. Xác định tiết diện cho các thanh sao cho tối ưu theo

280 kN 210 kN 280 kN 360 kN

3.118m

3.6m 3.6m 3.6m

600 600

Hình 5.7.4. Mô hình một nhịp cầu chịu lực

R

y

a a

x 1 2

3

4 5

I IV V

III

II

Q

P

α α

Hình 5.7.3. Dàn chịu lực

Q

P

SinhVienKyThuat.Com

69

điều kiện bền. Cho a=5,5m; b=4,5m; c=1m; P1=25kN; P2=15kN; P3=40kN và P4=20kN. Chú ý: Kết cấu này sẽ được tính toán, thiết kế lại theo mô hình khung (xem bài tập Chương 8).

5.6. Sơ đồ kết cấu của một chiếc cần cẩu được thể hiện trên Hình 5.7.6, tải trọng thiết kế là 10 tấn. Chọn loại thép phù hợp và sử dụng hệ số an toàn bằng 4, xác định tiết diện cho tất cả các thanh. Cho a=3m; b=9m; P=10000kg.

5.7. Một kết cấu giàn công xôn phải chịu tải như trên Hình

5.7.7; các thanh đều bằng thép và có tiết diện 8cm2, ứng suất cho phép của vật liệu là 600mPa. Kiểm tra xem thiết kế có thỏa mãn điều kiện bền hay không? Thiết kế lại (thiết kế tinh) với điều kiện sử dụng cùng loại vật liệu và giữ nguyên đường bao của kết cấu. Thiết kế lại ở đây có thể hiểu là thay đổi cách sắp xếp các thanh, loại bỏ một số thanh, hoặc

P1 P2 P3 P4

a c

b

Hình 5.7.5. Mô hình dầm cầu chịu lực

a

b

b

a

P

Hình 5.7.6. Mô hình cần cẩu

SinhVienKyThuat.Com

70

thay đổi tiết diện của các thanh. Một trong các mục đích của thiết kế tinh ví dụ là tìm cách làm giảm khối lượng tổng thể của kết cấu. Cho a=0,5m ; b=0,9m; c=0,4m; d=0,6m; α=600; P = 30kN; Q = 40kN.

5.8. Cho kết cấu giàn như Hình 5.7.8. Vật liệu và tiết diện của

các thanh giống như ở bài 5.7. Hãy phân tích bài toán giống như đã làm với bài toán 5.7. Cho a=0,4m; b=6,5m; c=0,4m; α = 300; P = 40kN; Q = 60kN.

a

a

c d b

P

Q

Hình 5.7.7. Mô hình dàn công xôn chịu lực

a

a

b c b P

Q

Hình 5.7.8. Mô hình dàn công xôn chịu lực

SinhVienKyThuat.Com

71

Chương 6 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN HAI CHIỀU

1. MỞ ĐẦU Trong chương này, chúng ta áp dụng phương pháp PTHH để tính

kết cấu phẳng (2D) của bài toán đàn hồi. Các bước được tiến hành giống như bài toán một chiều đã xét trong chương 4. Véctơ chuyển vị u được xác định bởi:

u = [u v]T (6.1) Trong đó: u, v là các chuyển vị theo phương x và y tương ứng (Hình 6.1).

Ứng suất và biến dạng được ký hiệu bởi:

= [x, y, xy]T (6.2) = [x, y, xy] T (6.3)

Lực thể tích, lực diện tích và vi phân thể tích được xác định như sau: f = [fx fy]T T = [Tx Ty]T (6.4) dv = tdA .

trong đó: t là độ dầy theo phương z. Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị:

x

u

v

fx

fy

i

(x,y)

A

L

y

T

u=0 v=0

Hình 6.1. Bài toán hai chiều

SinhVienKyThuat.Com

72

T

xv

yu

yv

xu

(6.5)

Xét quan hệ ứng suất với biến dạng cho hai trường hợp:

1.1. Trường hợp ứng suất phẳng

xy

y

x

xy

y

x E

2100

0101

1 2 (6.6)

Hoặc: = D (6.7) Trong đó

2100

0101

1 2

ED (6.8)

1.2. Trường hợp biến dạng phẳng

xy

y

x

xy

y

x E

22100

0101

211 (6.9)

Hoặc: = D (6.10)

Trong đó

22100

0101

211

ED (6.11)

E là môđun đàn hồi; là hệ số Poisson của vật liệu.

SinhVienKyThuat.Com

73

2. RỜI RẠC KẾT CẤU HOÁ BẰNG PHẦN TỬ TAM GIÁC Miền hai chiều được rời rạc hoá bằng các phần tử tam giác như hình 6.2. Mỗi phần tử tam giác có 3 nút, mỗi nút có 2 chuyển vị (theo phương x và y).

Ta ký hiệu véctơ chuyển vị nút chung bởi:

TnQQQQ 21 (6.12)

Để tiện tính toán, các thông tin về việc chia miền thành các phần tử tam giác sẽ được thể hiện qua các bảng toạ độ nút và bảng định vị các phần tử. Bảng định vị các phần tử được thiết lập như sau:

Bậc t.do Phần tử 1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 11 12 2 3 4 13 14 11 12 3 3 4 5 6 13 14 ... 11 13 14 9 10 21 22

Qui ước: Đường đi từ nút đầu đễn nút cuối trong mỗi phần tử theo chiều ngược chiều kim đồng hồ. Bảng định vị phần tử mô tả tính tương ứng giữa chuyển vị địa phương và chuyển vị chung của phần tử. Các

x

1

y

T

Hình 6.2. Rời rạc kết cấu bằng phần tử tam giác

Q1

Q2

1 3

4 2

5

6

7

8

9

10 11

2 3

4

5

6

7 8

9

10 11

Q3

Q4 Q5

Q6

Q2j-1 j

Q2j

SinhVienKyThuat.Com

74

thành phần chuyển vị trong hệ toạ độ địa phương của nút i được kí hiệu là q2i-1 và q2i theo phương x và y tương ứng. Ta ký hiệu véctơ chuyển vị của phần tử bởi:

Tqqqq 621 (6.13)

Rõ ràng, từ bảng định vị các phần tử ở trên, sau khi tìm được véctơ chuyển vị chung Q, ta sẽ tìm được véctơ chuyển vị nút của từng phần tử để rồi từ đó đi xác định các đại lượng khác như ứng suất, biến dạng trong mỗi phần tử.

Chuyển vị tại một điểm bất kì trong phần tử được biểu diễn qua các thành phần chuyển vị của nút phần tử. Đối với phần tử tam giác có biến dạng là hằng số, các hàm dạng biến thiên tuyến tính trong phần tử. Ta có thể biểu diễn các hàm dạng N1, N2, N3 như trên Hình 6.3.

Nhận xét:

=1

2

N1=1

1

3

=1

N1

=1

2

1

3

=1

N2

N2 =1

=1

2

1

3

=1

N3 =1 N3

Hình 6.3. Biểu diễn hình học các hàm dạng

SinhVienKyThuat.Com

75

- Hàm dạng N1=1 ở nút 1, giảm tuyến tính đến 0 tại nút 2 và nút 3. Tương tự đối với N2 và N3.

- Bất kì một tổ hợp tuyến tính nào của các hàm dạng trên cũng đều biểu diễn một mặt phẳng.

- Tổng N1+ N2+ N3 biểu diễn một mặt phẳng có chiều cao là một đơn vị ở các nút 1, 2 và 3; mặt phẳng này song song với mặt phẳng (1, 2, 3). Vì vậy, với N1, N2 và N3 bất kỳ, ta có:

N1+ N2+ N3 = 1 Trong ba hàm dạng, có hai hàm là độc lập. Các hàm dạng được

biểu diễn qua và như sau: N1= 1- - ; N2 = ; N3 =. (6.14)

Trong đó và được gọi là các toạ độ chuẩn hoá hay toạ độ tự nhiên. Tương tự như trong bài toán một chiều (toạ độ x được biến đổi qua

toạ độ , các hàm dạng là hàm số của ), trong bài toán hai chiều, các toạ độ x, y cũng được biểu diễn qua các toạ độ và .

Về mặt vật lý, các hàm dạng được biểu diễn bởi các toạ độ diện tích. Khi nối một điểm nằm trong một tam giác với ba đỉnh, tam giác đó sẽ được chia ra ba tam giác có diện tích A1, A2, A3 như Hình 6.4.

AAN

AAN

AAN 3

32

21

1 ;;

Trong đó A là diện tích của phần tử.

(x,y) A1

A3

A2

1

2

3

Hình 6.4. Toạ độ diện tích

SinhVienKyThuat.Com

76

3. BIỂU DIỄN ĐẲNG THAM SỐ Ta biểu diễn chuyển vị trong phần tử qua các hàm dạng và các

chuyển vị nút của nó như sau:

634221

533211

qNqNqNvqNqNqNu

(6.15)

hay u = Nq (6.16)

Trong đó

321

321

000000

NNNNNN

N (6.17)

Thay (6.14) vào (6.15), ta có biểu thức xác định chuyển vị qua chuyển vị nút xét trong hệ toạ độ quy chiếu như sau:

22624

11513

qqqqqvqqqqqu

(6.18)

Đối với phần tử tam giác, nhờ phép mô tả đẳng tham số, ta có thể biểu diễn toạ độ (x,y) qua toạ độ nút phần tử với cùng các hàm dạng trên:

332211

332211

yNyNyNyxNxNxNx

(6.19)

Hay

11312

11312

yyyyyyxxxxxx

(6.20)

Ta kí hiệu: xij = xi - xj yij = yi - yj

Từ (6.20), suy ra:

13121

13121

yyyyxxxx

(6.21)

Đây là mối liên hệ giữa (x, y) với (, ). Để xác định các thành phần biến dạng, ta cần tính các đạo hàm riêng u và v theo x và y. Ta có:

u = u(x(, ), y(, )).

SinhVienKyThuat.Com

77

v = v(x(, ), y(, )). Áp dụng qui tắc đạo hàm hàm hợp:

yyux

xuu

yyux

xuu

(6.22)

Hoặc dưới dạng ma trận:

yuxu

yx

yx

u

u

(6.23)

Trong đó ma trận vuông (2x2) được gọi là Jacobian của phép biến đổi, ký hiệu là J:

3131

2121

yxyx

J ( ((

Triển khai lấy đạo hàm của x và y theo và , ta được:

u

u

J

yuxu

1 (6.24)

1J là ma trận nghịch đảo của J

2131

21311

det1

xxyy

JJ (6.25)

Trong đó: det J = x21 y31 – x31 y21

Ta cũng biết rằng, det J chính bằng hai lần diện tích tam giác. det J= 2A (6.26)

Chú ý: Nếu các nút 1, 2, 3 được xếp đặt theo chiều ngược chiều kim đồng hồ, thì det J luôn có dấu dương. Từ (6.24), (6.25), ta có thể viết:

SinhVienKyThuat.Com

78

uxux

uyuy

Jyuxu

2131

2131

det1 (6.27)

Thay vai trò của u bởi v, ta cũng được biểu thức tương tự:

vxvx

vyvy

Jyvxv

2131

2131

det1 (6.28)

Khi ấy, các thành phần biến dạng được xác định bởi:

612521431313223132

621413232

512331123

det1

qyqxqyqxqyqxqxqxqxqyqyqy

J

xv

yu

yvxu

(6.29)

Hoặc dưới dạng ma trận: = B q (6.30)

Trong đó:

122131132332

211332

123123

000000

det1

yxyxyxxxx

yyy

JB (6.31)

Đây là ma trận liên hệ giữa biến dạng và chuyển vị nút, trong đó các số hạng đều là các hằng số và đựơc xác định qua các toạ độ nút của các phần tử.

SinhVienKyThuat.Com

79

4. THẾ NĂNG Thế năng của hệ được xác định bởi:

i

iT

iL

T

A

T

A

T PudlTtdAftudAtD 21 (6.32)

Trong đó: T: lực diện tích; f: lực thể tích; t: chiều dầy phần tử Pi: lực tập trung, Pi = [Px, Py]i

T Theo sơ đồ phần tử hữu hạn, thế năng được viết dưới dạng:

i

iT

ie e

T

e e

T

e e

T PudlTtdAftudAtD 21 (6.33)

Hoặc

i

iT

ie e

T

e e

T

ee PudlTtdAftuU (6.34)

Trong đó:

e

Te dAtDU

21

là năng lượng biến dạng của phần tử

5. MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ TAM GIÁC Thế biểu thức của biến dạng vào biểu thức của thế năng biến dạng của phần tử, sẽ được:

e

TT

e

Te dADBqtBqdAtDU

21

21 (6.35)

Vì: t, D, B là hằng số và các ma trận hằng số, do đó

e

eTT

e dAqtDBBqU21 (6.36)

Mặt khác: ee

AdA , nên cuối cùng ta được:

qkqqDBBAtqU eTTee

Te 2

121

(6.37)

Trong đó:

SinhVienKyThuat.Com

80

DBBAtk Tee

e (6.38)

là ma trận độ cứng của phần tử tam giác; t là độ dầy của phần tử; Ae

là diện tích của phần tử; B là ma trận liên hệ biến dạng-chuyển vị nút của phần tử; D là ma trận liên hệ ứng suất-biến dạng, nó phụ thuộc vào vật liệu khảo sát. Vì D là ma trận đối xứng, do đó ke cũng là ma trận đối xứng. Từ các ma trận độ cứng ke của các phần tử, ta sẽ suy ra ma trận độ cứng K của cả kết cấu; khi ấy, thế năng biến dạng của cả kết cấu được xác định bởi:

QKQU Te 2

1 (6.39)

Ma trận K là ma trận đối xứng, thường có dạng dải băng Chú ý: Muốn giảm chiều rộng dải băng trong ma trận K, ta cần giảm hiệu số giữa các chữ số ở nút của mỗi phần tử trong kết cấu.

6. QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT

6.1. Qui đổi lực thể tích Ta có:

e

yxee

T dAvfuftdAftu (6.40)

Áp dụng biểu thức nội suy của u và v ta được:

eye

exe

eye

exe

eye

exe

e

T

dANftqdANftq

dANftqdANftq

dANftqdANftqdAftu

3635

2423

1211

(6.41)

Với chú ý:

1

0

1

0

1

0

1

011 3

112det

eee

AddAddJNdAN (6.42a)

SinhVienKyThuat.Com

81

1

0

1

0

1

0

1

022 3

12det

eee

AddAddJNdAN (6.42b)

1

0

1

0

1

0

1

023 3

12det

eee

AddAddJNdAN (6.42c)

biểu thức (6.41) sẽ cho eT

e

T fqdAftu

Trong đó fe là véctơ lực thể tích qui đổi về nút, và

Tyxyxyx

eee ffffffAtf3

(6.43)

Sau khi xác định được các lực nút fe của phần tử, ta suy ra véctơ lực F chung.

6.2. Qui đổi lực diện tích Lực diện tích thường là các lực tác dụng trên các cạnh nối các nút

phần tử. Vấn đề là ta phải qui đổi các lực này về nút. Giả sử cạnh 21l chịu tác dụng của lực kéo Tx và Ty (Hình 6.5).

21l

yxL

T dltvTuTdlTtu (6.44)

Thay u = Nq, ta sẽ được:

1

2

3

y

x

Tx

Ty

Tx2

Ty2

Ty1

Tx1

l12

Hình 6.5. Lực tác dụng trên cạnh phần tử

SinhVienKyThuat.Com

82

1212

1212

2423

1211

lye

lxe

lye

lxe

L

T

dANTtqdANTtq

dlNTtqdlNTtqdlTtu

(6.45)

Vì N3 = 0 trên cạnh (1-2) suy ra: N1 + N2 = 1; do đó

121 21

12

ldlNl

Trong đó

212

21212 yyxxl

eT

L

T TqdlTtu

ở đây, q là tập hợp các bậc tự do nút tương ứng với cạnh 1-2.

Tqqqqq 4321 (6.46) Cuối cùng

Tyxyx

ee TTTTltT 002

12 (6.47)

6.3. Lực tập trung Để tiện cho việc tính toán, người ta thường lấy nút tại điểm đặt lực

tập trung. Nếu i là nút có lực: Pi = [Px, Py]T tác dụng, thì

uiTPi = Q2i-1 Px + Q2i Py (6.48)

Cuối cùng ta có thể viết FPTf ee (6.49)

Sau khi tính được năng lượng biến dạng và các thành phần lực nút, ta viết biểu thức thế năng toàn phần dưới dạng:

FQKQQ TT 21

(6.50)

Áp dụng điều kiện cực tiểu hoá thế năng, ta thu được hệ phương trình: K Q = F (6.51)

SinhVienKyThuat.Com

83

Giải hệ phương trình (6.51), ta tìm được véctơ chuyển vị nút Q.

6.4. Tính ứng suất Vì biến dạng là hằng số trong phần tử, do đó ứng suất cũng là hằng

số. Ta cần xác định giá trị ứng suất trong mỗi phần tử: = D. Mà: = Bq, do đó:

= DBq (6.52) Từ chuyển vị chung Q, nhờ bảng ghép nối phần tử, suy ra các chuyển vị nút q của từng phần tử, sau đó thay vào (6.52) sẽ tính được ứng suất. Ứng suất chính và phương chính được xác định nhờ vòng Mohr ứng suất.

7. VÍ DỤ Cho một tấm kim loại hình vuông, cạnh dài 2m, chịu lực như Hình

6.6.

Biết E = 182 gPa; = 0,3; t = 0,01 m. Xác định ứng suất trong

tấm cho hai trường hợp:

P=100 kN

P

p=10mN/m2

P

P

p

2m y

x

q

(a)

(b)

Hình 6.6. Mô hình PTHH tính tấm vuông chịu kéo

1 2

1

2

4 3 P=100 kN

SinhVienKyThuat.Com

84

a. Chỉ có P = 100 kN tác dụng, b. Chỉ có p = 10 mN/m2 tác dụng. Lời giải

Do kết cấu đối xứng, chịu tải trọng đối xứng, nên ta chỉ cần xét một phần tư tấm với hai phần tử (Hình 6.6b). Ta thiết lập được bảng định vị các phần tử

Bậc t.do Phần tử

1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 6 2 3 4 7 8 5 6

Điều kiện biên: Tại nút 1: u = v = 0, tương ứng ta có Q1 = Q2 = 0; Tại nút 2: v = 0, tương ứng ta có Q4 = 0; Tại nút 3: u = 0, tương ứng ta có Q5 = 0;

Áp dụng các công thức (6.38): ke = te Ae BT D Ta xác định được ma trận độ cứng cho từng phần tử. Phần tử 1

mm/Nk 31 10

10000030010003000350350035035003503500350350

30000100030010001000350350300135065030035035010006501350

Phần tử 2

mm/Nk 32 10

35003503500350010003001000300035030013506501000350350100065013503003500300100030010000

35003503500350

Ma trận độ cứng chung K

SinhVienKyThuat.Com

85

310

1350650350300100035000650135035010003003500035035013500065010003003001000013506500350350

1000300065013500350350350350650001350300100000100035035030013506500030035035010006501350

K

Trường hợp 1: P = 100 kN Sau khi áp đặt điều kiện biên ta có hệ phương trình:

3

8

7

6

3

3 10

0100

00

1350650350350650135035035035035013506503503506501350

10

QQQQ

Giải hệ phương trình, ta được: Q3 = 9,971510-3 (mm) Q6 = 9,971510-3 (mm) Q7 = 99,91910-3 (mm) Q8 = -42,93810-3 (mm) Để tính ứng suất trong mỗi phần tử, ta áp dụng công thức (6.52): = D B q Trong đó

mND /7000020060060200

109

Tq 09715,9009715,9010 61

101101001010010100

1B

SinhVienKyThuat.Com

86

Cuối cùng ta tính được ứng suất trong phần tử 1

MPa,,

xy

y

x

059325932

Thực hiện các bước tương tự cho phần tử 2:

Tq 938,42919,9909715,99715,9010 62

110110101000010001

2B

Và ứng suất trong phần tử 2:

MPa,,,

xy

y

x

592625926240717

Trường hợp 2: p =10 mN/m2 Áp dụng công thức (6.47) để tính lực nút qui đổi, ta được:

F3 = 50000 N F7 = 50000 N

Ta thiết lập được hệ phương trình:

3

8

7

6

3

3 10

0500

50

1350650350350650135035035035035013506503503506501350

10

QQQQ

Giải hệ phương trình, ta tìm được các chuyển vị nút Q3 = 54,945110-3 (mm); Q6 = -16,483510-3 (mm); Q7 = 54,945110-3 (mm); Q8 = -16,483510-3 (mm).

Cuối cùng ta tính được các thành phần ứng suất trong các phần tử 1 và 2 (có cùng giá trị):

MPa

xy

y

x

00

10

SinhVienKyThuat.Com

87

Trong cả hai trường hợp đặt tải, kết quả theo phương pháp phần tử hữu hạn trùng với kết quả chính xác.

SinhVienKyThuat.Com

88

8. CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TẤM CHỊU TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG

Ví dụ. Cho một tấm kim loại chịu lực kéo như Hình 6.7, kích thước 100400mm, chiều dầy t = 10 mm, với p = 200 N/mm. Biết E = 200 gPa; = 0,3. Xác định ứng suất trong tấm.

Theo sơ đồ lưới PTHH, điều kiện biên sẽ được mô tả như sau: Ở nút 1 các thành phần chuyển vị u và v bằng không, ở nút 2 thành phần u bằng không; như vậy điều kiện biên tương ứng là Q1= Q2 = Q3 = 0.

p 40 mm

Hình 6.7. Tấm chữ nhật chịukéo trong mặt phẳng

1

2

2

1

3

4

4

3

5

6

6

5

7

8

8

7

10

9 p

SinhVienKyThuat.Com

89

Chương trình nguồn. %---------------------------------------------------------------------------- % Chuong trinh so 1, chuong 6, (Vi du 6.8.1) – P6_1 % Phan tich ung suat cua tam chiu keo su dung phan tu tam giac bac 1 % (Hinh. 6.7 mo ta luoi phan tu) % % Mo ta cac bien % k = ma tran do cung phan tu % f = vecto luc nut phan tu % kk = ma tran do cung tong the % ff = vecto luc nut tong the % disp = vecto chuyen vi nut tong the % eldisp = vecto chuyen vi nut phan tu % stress = ma tran cac thanh phan ung suat % strain = ma tran cac thanh phan bien dang % gcoord = toa do nut % nodes = ma tran chi so nut phan tu % index = vecto chua cac bac tu do (chuyen vi) tong the tai moi phan tu % bcdof = vecto chua cac bac tu do (chuyen vi nut) tai bien cua ket cau % bcval = vecto chi dieu kien bien (gia tri chuyen vi nut tai bien) %---------------------------------------------------------------------------- %------------------------------------ % Cac tham so dau vao %------------------------------------ clear noe_x=4; % so luong cac phan tu theo phuong x noe_y=1; % so luong cac phan tu theo phuong y noe=noe_x*2*noe_y; % tong so phan tu nnel=3; % tong so nut cua moi phan tu ndof=2; % tong so bac tu do tai moi nut nnode=10; % tong so nut cua he sdof=nnode*ndof; % tong so bac tu do cua he

SinhVienKyThuat.Com

90

edof=nnel*ndof; % so bac tu cua phan tu E_module=200e3; % modun dan hoi khi keo nen poisson=0.3; % he so Poisson x_length=400; % chieu rong tam (mm) y_length=100; % chieu dai tam (mm) thickness=10; p=200; % tai trong phan bo deu (MPa=N/mm) %--------------------------------------------- % nhap gia tri toa do cac nut: gcoord(i,j), % trong do: i la chi so nut, j =1,2 chi toa do x hay y %--------------------------------------------- temp=x_length/noe_x; gcoord=[temp*0 0.0; 0.0 y_length; temp*1 0.0; temp y_length; temp*2 0.0; temp*2 y_length; temp*3 0.0; temp*3 y_length; temp*4 0.0; temp*4 y_length]; %--------------------------------------------------------- % Nhap chi so nut o moi phan tu: nodes(i,j) % trong do: i la chi so cua phan tu va j la chi so nut %--------------------------------------------------------- nodes=[1 3 4; 1 4 2; 3 5 6; 3 6 4; 5 7 8; 5 8 6;7 9 10; 7 10 8]; %------------------------------------- % Nhap cac dieu kien bien %------------------------------------- bcdof=[1 2 3]; % ba bac tu do dau tien la co rang buoc bcval=[0 0 0]; % voi gia tri bang khong %----------------------------------------- % khoi tao cac ma tran va cac vecto %----------------------------------------- ff=zeros(sdof,1); % vecto luc nut tong the kk=zeros(sdof,sdof); % ma tran do cung tong the disp=zeros(sdof,1); % vecto chuyen vi nut tong the

SinhVienKyThuat.Com

91

eldisp=zeros(edof,1); % vecto chuyen vi nut phan tu stress=zeros(noe,3); % ma tran ung suat strain=zeros(noe,3); % ma tran bien dang index=zeros(edof,1); % veto chi so B_matrix=zeros(3,edof); % ma tran chuyen vi – bien dang D_matrix=zeros(3,3); % ma tran do cung vat lieu %---------------------------- % vecto luc nut %---------------------------- ff(17)=(y_length/noe_y)*p/2; % luc dat tai nut so 9 theo phuong x ff(19)=(y_length/noe_y)*p/2; % luc dat tai nut so 10 theo phuong x %----------------------------------------------------------------- % tinh toan cac ma tran do cung phan tu, vec to luc nut phan tu va % ghep noi thanh ma tran do cung tong the, vecto luc nut tong the %----------------------------------------------------------------- % tinh ma tran do cung vat lieu D_matrix=D_matrix_2D(1,E_module,poisson); for iel=1:noe % xet tung phan tu nd(1)=nodes(iel,1); % chi so nut tong the cua nut thu 1 phan tu iel nd(2)=nodes(iel,2); % chi so nut tong the cua nut thu 2 phan tu iel nd(3)=nodes(iel,3); % chi so nut tong the cua nut thu 3 phan tu iel x1=gcoord(nd(1),1); y1=gcoord(nd(1),2); % toa do nut thu nhat x2=gcoord(nd(2),1); y2=gcoord(nd(2),2); % toa do nut thu hai x3=gcoord(nd(3),1); y3=gcoord(nd(3),2); % toa do nut thu ba % xay dung vecto chi so bac tu do tong the gan ket voi tung phan tu index=sys_elm_dof_assoc(nd,nnel,ndof); %------------------------------------------------------- % Xac dinh cac dao ham ham dang %------------------------------------------------------- % dien tich phan tu tam giac area=0.5*(x1*y2+x2*y3+x3*y1-x1*y3-x2*y1-x3*y2); % tinh dao ham rieng theo x dhdx=(1/(area*2))*[(y2-y3) (y3-y1) (y1-y2)];

SinhVienKyThuat.Com

92

% tinh dao ham rieng theo y dhdy=(1/(area*2))*[(x3-x2) (x1-x3) (x2-x1)]; % xay dung ma tran chuyen vi – bien dang B_matrix=B_matrix_2D(nnel,dhdx,dhdy); % tinh ma tran do cung phan tu k=thickness*area*B_matrix'*D_matrix*B_matrix; % ghep noi ma tran do cung tong the kk=kk_build_2D(kk,k,index); end %----------------------------- % aps datj dieu kien bien %----------------------------- [kk,ff]=boundary_aply_2D(kk,ff,bcdof,bcval); %------------------------------ % tinh vecto chuyen vi nut tong the %------------------------------ disp=kk\ff; %------------------------------ % tinh ung suat phan tu %------------------------------ for e=1:noe % tinh cho tung phan tu nd(1)=nodes(e,1); % chi so nut tong the cua nut thu 1 phan tu iel nd(2)=nodes(e,2); % chi so nut tong the cua nut thu 2 phan tu iel nd(3)=nodes(e,3); % chi so nut tong the cua nut thu 3 phan tu iel x1=gcoord(nd(1),1); y1=gcoord(nd(1),2); % toa do nut thu nhat x2=gcoord(nd(2),1); y2=gcoord(nd(2),2); % toa do nut thu hai x3=gcoord(nd(3),1); y3=gcoord(nd(3),2); % toa do nut thu ba % xay dung vecto chi so bac tu do tong the gan ket voi tung phan tu index=sys_elm_dof_assoc(nd,nnel,ndof); %------------------------------------------------------- % xay dung vecto chuyen vi nut phan tu %-------------------------------------------------------

SinhVienKyThuat.Com

93

for i=1:edof eldisp(i)=disp(index(i)); end % dien tich phan tu area=0.5*(x1*y2+x2*y3+x3*y1-x1*y3-x2*y1-x3*y2); % dao ham theo x dhdx=(1/(2*area))*[(y2-y3) (y3-y1) (y1-y2)]; % dao ham theo x dhdy=(1/(2*area))*[(x3-x2) (x1-x3) (x2-x1)]; % tinh ma tran chuyen vi – bien dang B_matrix=B_matrix_2D(nnel,dhdx,dhdy); estrain=B_matrix*eldisp; % tinh bien dang estress=D_matrix*estrain; % tinh ung suat for i=1:3 strain(e,i)=estrain(i); % luu tru vecto bien dang tai nut cua PT stress(e,i)=estress(i); % luu tru vecto ung suat tai nut cua PT end end %------------------------------------ % In ket qua %------------------------------------ num=1:1:sdof; displace=[num' disp] % chuyen vi nut for i=1:noe stresses=[i stress(i,:)] % ung suat end

SinhVienKyThuat.Com

94

Các hàm sử dụng trong chương trình %------------------------------------------------------------------------ function [D_matrix]=D_matrix_2D(type,E_module,poisson) %------------------------------------------------------------------------ % muc dich: % xac dinh ma tran do cung vat lieu (vat lieu dang huong) % % cu phap cua ham: % [D_matrix]=D_matrix_2D(type,E_module,poisson) % % mo ta cac bien: % E_module – modul dan hoi % poisson – he so Poisson % type=1 – lua chon cho truong hop bai toan ung suat phang % type=2 - lua chon cho truong hop bai toan bien dang phang % type=3 - lua chon cho truong hop bai toan doi xung truc % type=4 - lua chon cho truong hop bai toan ba chieu %------------------------------------------------------------------------ if type==1 % bai toan ung suat phang D_matrix= E_module/(1-poisson*poisson)* ... [1 poisson 0; ... poisson 1 0; ... 0 0 (1-poisson)/2]; elseif type==2 % bai toan bien dang phang D_matrix= E_module/((1+poisson)*(1-2*poisson))* ... [(1-poisson) poisson 0; poisson (1-poisson) 0; 0 0 (1-2*poisson)/2]; elseif type==3 % bai toan doi xung truc D_matrix= E_module/((1+poisson)*(1-2*poisson))* ... [(1-poisson) poisson poisson 0; poisson (1-poisson) poisson 0; poisson poisson (1-poisson) 0;

SinhVienKyThuat.Com

95

0 0 0 (1-2*poisson)/2]; else % bai toan ba chieu D_matrix= E_module/((1+poisson)*(1-2*poisson))* ... [(1-poisson) poisson poisson 0 0 0; poisson (1-poisson) poisson 0 0 0; poisson poisson (1-poisson) 0 0 0; 0 0 0 (1-2*poisson)/2 0 0; 0 0 0 0 (1-2*poisson)/2 0; 0 0 0 0 0 (1-2*poisson)/2]; end %------------------------------------------------------------------------ %------------------------------------------------------------------------ function [B_matrix]=B_matrix_2D(nnel,dhdx,dhdy) %------------------------------------------------------------------------ % muc dich: % xac dinh ma tran chuyen vi-ung suat % % cu phap: % [B_matrix]=B_matrix_2D(nnel,dhdx,dhdy) % % mo ta cac bien: % nnel – tong so nut cua phan tu % dhdx – dao ham ham dang theo x % dhdy – dao ham ham dang theo y %------------------------------------------------------------------------ for i=1:nnel i_1=(i-1)*2+1; i_2=i_1+1; B_matrix(1,i_1)=dhdx(i); B_matrix(2,i_2)=dhdy(i); B_matrix(3,i_1)=dhdy(i); B_matrix(3,i_2)=dhdx(i);

SinhVienKyThuat.Com

96

end %------------------------------------------------------------------------ %------------------------------------------------------------------------ function [kk]=kk_build_2D(kk,k,index) %------------------------------------------------------------------------ % Muc dich: % ghep noi ma tran do cung phan tu vao ma tran do cung chung % % Cu phap: % [kk]=kk_build_2D(kk,k,index) % % Mo ta cac bien: % kk – ma tran do cung chung (tong the) % k - ma tran do cung phan tu % index – vecto chi so chuyen vi nut chung o moi phan tu %----------------------------------------------------------- edof = length(index); for i=1:edof ii=index(i); for j=1:edof jj=index(j); kk(ii,jj)=kk(ii,jj)+k(i,j); end end %------------------------------------------------------------------------ %------------------------------------------------------------------------ function [kk,ff]=boundary_aply_2D(kk,ff,bcdof,bcval) %---------------------------------------------------------- % Muc dich: % Ap dat dieu kien bien vao he phuong trinh [kk]{x}={ff} %

SinhVienKyThuat.Com

97

% Cu phap: % [kk,ff]=boundary_aply_2D(kk,ff,bcdof,bcval) % % Mo ta cac bien: % kk – ma tran do cung chung truoc khi loai hang va cot % ff – vec to luc nut chung truoc khi loai hang % bcdof – vec to chua cac bac tu do bi rang buoc boi dieu kien bien % bcval – vecto chua gia tri cac rang buoc % % Vi du, neu co cac rang buoc o cac chuyen vi nut (bac tu do) 2 va 10, % tuong ung voi cac gia tri la 0.0 va 2.5. % Thi ta co: bcdof(1)=2 va bcdof(2)=10; va % bcval(1)=1.0 va bcval(2)=2.5. %----------------------------------------------------------- n=length(bcdof); sdof=size(kk); for i=1:n c=bcdof(i); for j=1:sdof kk(c,j)=0; kk(j,c)=0; end kk(c,c)=1; ff(c)=bcval(i); end

SinhVienKyThuat.Com

98

Kết quả chương trình displace =

Bậc tự do Chuyển vị nút 1 0 2 0 3 0 4 - 0.0030 5 0.0100 6 0.0000 7 0.0100 8 - 0.0030 9 0.0200 10 0.0000

Bậc tự do Chuyển vị nút 11 0.0200 12 - 0.0030 13 0.0300 14 0.0000 15 0.0300 16 - 0.0030 17 0.0400 18 0.0000 19 0.0400 20 - 0.0030

stresses = Phần tử x y xy

1 20.0000 0.0000 -0.0000 2 20.0000 0.0000 0.0000 3 20.0000 0.0000 -0.0000 4 20.0000 -0.0000 0.0000 5 20.0000 0.0000 -0.0000 6 20.0000 -0.0000 0.0000 7 20.0000 -0.0000 0.0000 8 20.0000 -0.0000 0.0000

SinhVienKyThuat.Com

99

9. BÀI TẬP 6.1. Tìm chuyển vị tại hai điểm A và B và phân bố ứng suất

trong tấm phẳng có kích thước và chịu tải trọng như Hình 6.9.1. Vật liệu của tấm là thép có môđun đàn hồi Ethép=210gPa và hệ số Poisson =0,22; với a = 0,2 m ; b = 0,3 m; t = 5 mm và q = 8 kN/m2. Hãy xét với các trường hợp chia lưới như sau:

a. Hai phần tử tam giác như trên Hình 6.9.1a b. Ba phần tử tam giác như trên Hình 6.9.1b c. So sánh kết quả trong hai trường hợp trên và đưa ra nhận xét

và khuyến cáo. d. Thay đổi liên kết của tấm như trên Hình 6.9.1c và d, liệu các

kết quả tính trên Hình 6.9.1a và b có thay đổi hay không? Giải thích?

4 3

2 1

b

a

II

I

B

A

q

4 3

2 1

b/2

a

II

I

B

q III 5

b/2 b

4 3

2 1

b

a

II

I

B

q

4 3

2 1

b/2

a

II

I

B

qIII

5 b/2

b

a) b)

c) d)

Hình 6.9.1.Các dạng luới với phần tử tam giác

A

A A

SinhVienKyThuat.Com

100

6.2. Một vòng dẹt ( h << ri , re ) chịu áp suất trong p như trên Hình 6.9.2. Hãy tính chuyển vị và ứng suất trong vòng. Đây là dạng bài toán vật đối xứng trục chịu tải đối xứng trục và có thể sử dụng các phần tử dạng vỏ đối xứng trục để giải. Nhưng ở đây ta sẽ sử dụng mô hình bài toán ứng suất phẳng để giải quyết. Với: ri = 15mm; re = 30mm; p = 120N/mm2; E = 70000 N/mm2; = 0,3 và h = 1mm.

So sánh kết quả tìm được với các kết quả giải tích như sau:

2

2

22

2

2

2

22

2

2

2

22

2

1;1

11

rr

rrpr

rr

rrpr

rr

rrEprru

e

ie

ie

ie

ir

e

ie

ir

6.3. Một tấm thép hình tam giác được bắt chặt vào một cột thép bằng 5 bu-lông đường kính 8mm như trên hình vẽ 6.9.3. Giả thiết là cột thép và bu-lông là rất cứng so với tấm thép và bỏ qua ma sát giữa tấm và cột, hãy xác định xem bu-lông nào chịu tải trọng lớn nhất và xác định giá trị đó. So sánh với kết quả theo phương pháp giải tích thông dụng cho một nhóm bu-lông chịu tải lệch. Nếu tấm trên làm bằng nhôm thì tải trọng mà bu-lông phải chịu có thay đổi không? Lưu ý: Do kích thước tương đối giữa bu-lông, tấm và cột, chỉ cần mô phỏng mỗi bu-lông bằng một hoặc một vài nút, và đặt các chuyển vị nút này bằng không (= 0). Phản lực tại các

pơ

h

re

ri

Hình 6.9.2. Vòng dẹt chịu áp lực

d

a a a

a b c P

d

Hình 6.9.3. Kết cấu lắp ghép

SinhVienKyThuat.Com

101

nút cố định này sẽ chính là tải mà bu-lông tương ứng phải chịu. Tuy nhiên để có một phân bố khá chính xác của ứng suất trên tấm ta cần phải có một lưới đủ mịn cho tấm. Sử dụng phần tử tam giác tuyến tính. Biết: a = 100mm; b = 120mm; c = 300mm; d = 600mm; E = 210gPa; = 0,22 và P = 4kN.

6.4. Bài toán tương ứng như bài 6.3, lần này tấm thép có dạng hình thang như trên hình vẽ 6.9.4 và được bắt bằng tám bu-lông đường kính 16mm. Sử dụng phần tử tam giác tuyến tính. Biết: a = 50mm; b = 75mm; c = 500mm và P = 8kN.

6.5. Xác định hệ số tập trung ứng suất trong kết cấu tấm phẳng

có chiều dày 1 đơn vị, chịu tải trọng như Hình 6.9.5, ứng với các trường hợp sau:

a. Một lỗ ở chính tâm của tấm b. Một lỗ lệch tâm c. Một lỗ chính tâm và hai rãnh cong khoét đối xứng ở giữa chiều

dài tấm d. Một lỗ ở chính tâm và chiều rộng ở một đầu nhỏ hơn.

Biết: a = 50 mm; b = 80 mm; c = 30 mm; e = 110 mm; r = 10 mm; r1 = 6 mm; q = 20N/mm và P = qa.

c

2b

2b

a

a b P 2b b a

a

Hình 6.9.4. Kết cấu lắp ghép

SinhVienKyThuat.Com

102

r q q

r

q q e

r

r1

b

r P P

r e

2b

a

b

a

2b

q q

a

b 2b

2b b

a

(d)

(c)

(b)

(a)

Hình 6.9.5. Các kết cấu tấm phẳng chịu kéo

SinhVienKyThuat.Com

103

Chương 7 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN ĐỐI XỨNG TRỤC

CHỊU TẢI TRỌNG ĐỐI XỨNG

1. MỞ ĐẦU Để tính toán một vật đối xứng trục hay còn gọi là vật tròn xoay

chịu tải trọng đối xứng trục, ta đưa bài toán về bài toán hai chiều đơn giản.

Vì vật đối xứng hoàn toàn đối với trục z, nên các thành phần biến dạng và ứng suất không phụ thuộc vào góc quay . Do đó, bài toán được xem xét như một bài toán hai chiều trong mặt phẳng (rz), trong đó z là trục đứng, r là trục hướng kính.

2. MÔ TẢ ĐỐI XỨNG TRỤC Khảo sát một vi phân thể tích như trên Hình 7.1:

Vi phân thể tích dv = rddrdz = rddA. Khi đó biểu thức thế năng

sẽ có dạng:

dA

r

z

Pi

w

u r,z

dA

biên L

r

z

(a) (b)

Hình 7.1. Vật đối xứng trục

SinhVienKyThuat.Com

104

i

iT

iL

T

A

T

A

T PuTrdldufrdAdurdAd

2

0

2

0

2

021 (7.1)

với Pi là lực tập trung tác dụng trên chu tuyến đối xứng qua trục z. Vì tất cả các biến trong tích phân trên không phụ thuộc vào , do

đó, hệ thức (7.1) cho ta:

ii

Ti

L

T

A

T

A

T PuTrdlufrdAurdA212 (7.2)

Ở đây: u = [u w]T (7.3) f = [fr fz]T (7.4) T = [Tr Tz]T (7.5)

Từ (7.3), ta có quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị u:

T

Trzzr r

urw

zu

zw

ru

(7.6)

Véctơ ứng suất:

Trzzr (7.7)

Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng: = D (7.8)

với:

1011

012

21001

011

10

11

2111

ED (7.9)

3. PHẦN TỬ TAM GIÁC Xét một miền hai chiều (mặt cắt) được trích ra từ vật thể tròn xoay.

Ta chia miền này thành các phần tử tam giác. Một phần tử đại diện với

SinhVienKyThuat.Com

105

3 nút là 1, 2, 3 và các chuyển vị tương ứng q1, q2, q3, q4, q5 và q6 được biểu diễn như trên Hình 7.2.

Với chú ý rằng các toạ độ r và z đóng vai trò giống như x và y trong bài toán hai chiều đã xét trong Chương 6. Nhờ các hàm dạng N1, N2, N3 đã biết trong chương 6, ta biểu diễn hàm chuyển vị bởi:

u = Nq (7.10) trong đó:

321

321

000000

NNNNNN

N (7.11)

Tqqqqqqq 654321 (7.12)

Chú ý rằng: N1 = 1 - - , N2 = , N3 =

Suy ra:

642

531

11

qqqvqqqu

(7.13)

Dùng phép mô tả đẳng tham số ta cũng được:

Ae

r

z

Hình 7.2. Phần tử tam giác đối xứng trục

u

w

(r3,z3) 3

1 (r1,z1)

2 (r2,z2 )

q3

q4

q5

q6

q1

q2

SinhVienKyThuat.Com

106

321

321

11

zzzzrrrr

(7.14)

Từ đó ta có:

zuru

Ju

u

(7.15)

và

zwrw

Jw

w

(7.16)

Trong đó ma trận vuông (22) được gọi là Jacobian của phép biến đổi, ký hiệu là J:

3131

2121

zrzr

J ( (( (7.17)

Ký hiệu: rịj = ri - rj ; zị = zi - zj Suy ra:

detJ = r21z31 – r31z21 (7.18) vậy

|detJ| = 2Ae Nghịch đảo (7.15) và (7.16) ta được:

w

w

J

zwrw

u

u

J

zuru

11 ; (7.19)

Trong đó, 1J là ma trận nghịch đảo của J và được xác định bởi:

2131

21311

det1

rrzz

JJ (7.20)

T

Trzzr r

urw

zu

zw

ru

(7.21)

SinhVienKyThuat.Com

107

642

531

11

qqqvqqqu

(7.22)

Thay các quan hệ trên vào biểu thức biến dạng - chuyển vị (7.6), ta được:

rqNqNqN

Jqqzqqzqqrqqr

Jqqrqqr

Jqqzqqz

533211

2621243115211331

26212431

15211331

det

det

det

Hoặc dưới dạng ma trận: = Bq (7.23)

Trong đó, ma trận biến dạng - chuyển vị B được xác định bởi:

000detdetdetdetdetdet

det0

det0

det0

0det

0det

0det

321

122131132332

211332

123123

rN

rN

rN

Jz

Jr

Jz

Jr

Jz

Jr

Jr

Jr

Jr

Jz

Jz

Jz

B (7.24)

SinhVienKyThuat.Com

108

3.1. Ma trận độ cứng của phần tử Trước hết ta xác định biểu thức thế năng biến dạng như sau:

ii

Ti

e e

T

e

T

e

T PudrTudfrudrD l2A2A221 (7.25)

Số hạng đầu trong dấu móc [], chính là năng lượng biến dạng của phần tử. Sau khi thay

qdrBDBqUe

TTe

A2

21 (7.26)

Đại lượng

e

Te drBDBk A2 (7.27)

được gọi là ma trận độ cứng của phần tử. Chú ý rằng hàng thứ tư của ma trận B và tích phân (7.25) có chứa biến r. Trong thực tế, để đơn giản hoá việc xác định ma trận độ cứng ke, ta tính gần đúng giá trị của B và r đối với trọng tâm của tam giác và coi đây là giá trị đặc trưng của tam giác đó. Do đó, đối với trọng tâm tam giác thì:

31

321 NNN (7.28)

Ký hiệu: 3

321 rrrr ; trong đó r là bán kính của trọng tâm tam

giác. Ký hiệu B là ma trận quan hệ biến dạng-chuyển vị của phần tử được tính đối với trọng tâm tam giác, khi đó ta có:

e

Te dBDBrk A2

Cuối cùng, ma trận độ cứng của phần tử được xác định bởi:

BDBArkT

ee 2 (7.29)

Chú ý: số hạng eAr2 chính là thể tích của phần tử vành, còn diện tích

Ae được xác định bởi: 2

det JAe

SinhVienKyThuat.Com

109

3.2. Lực nút qui đổi

3.2.1. Lực thể tích Ta có:

ezr

ezr

e

T

rdAfqNqNqNfqNqNqN

rdAwfuffrdAu

6342215332112

22

Lấy xấp xỉ các biến bằng các giá trị tương ứng tại trọng tâm tam giác, ta được:

eT

e

T fqfrdAu 2 (7.30)

trong đó:

Tzrzrzree ffffffArf

32

(7.31)

Ký hiệu rff zr ,, trong (7.31) chỉ các đại lượng được biểu diễn đối với trọng tâm của tam giác.

3.2.2. Lực diện tích Xét trường hợp lực tác dụng đều trên cạnh nối nút 1 và nút 2 có các thành phần là Tr, Tz (Hình 7.3).

Dựa vào biểu thức:

1

2

3

r

T

q3 l12

Hình 7.3. Lực tác dụng trên cạnh phần tử

q4

q2 q1

Tr

Tz

SinhVienKyThuat.Com

110

eT

e

T TqTrdlu 2 (7.32)

trong đó:

Tqqqqqqq 654321 (7.33)

Tzrzr

e bTbTaTaTlT 122 (7.34)

với

212

21212

2121

62;

62

zzrrl

rrbrra

(7.35)

Chú ý trong tích phân (7.33), r = N1r1 + N2r2. Khi cạnh 1-2 song song với trục z, thì a = b = 0,5r1 và r1 = r2

3.3. Ứng suất Sau khi tính được thế năng toàn phần, điều kiện biên sẽ được áp

dụng trong quá trình cực tiểu hoá thế năng, cuối cùng ta được thu được hệ phương trình dạng quen thuộc sau:

K Q = F (7.36) trong đó: K là ma trận độ cứng chung; Q là véctơ chuyển vị nút chung; F là véctơ lực nút chung. Từ (7.36) ta sẽ giải được các chuyển vị nút Q, sau đó nhờ bảng định vị phần tử sẽ suy ra chuyển vị qi của từng phần tử. Tiếp tục áp dụng biểu thức quan hệ ứng suất-biến dạng và biến dạng-chuyển vị, ta sẽ tính được

qBD (7.37)

Chú ý: là một ứng suất chính, hai ứng suất chính khác là 1 và 2 sẽ được xác định qua r, z và rz nhờ vòng tròn Mohr ứng suất.

SinhVienKyThuat.Com

111

3.4. Ví dụ Cho một ống trụ dài có đường kính trong bằng 80mm, đường kính

ngoài bằng 120mm. Ống được ghép căng xung quanh đường sinh với một vật cứng khác và chịu áp lực từ bên trong p = 2 mPa. Bằng mô hình hai phần tử hữu hạn trên chiều dài 10mm, hãy xác định các chuyển vị, ứng suất của điểm bên trong thành ống, biết E = 200 gPa, = 0,3.

Lời giải Mô hình 2 phần tử trên chiều dài 10mm theo phương z được minh

hoạ như trên Hình 7.4. Với ống chịu liên kết như trên, chuyển vị phía ngoài ống không

có; coi liên kết tại nút 3 và 4 là cố định. Tương tự, chuyển vị dọc trục cũng không có; liên kết tại nút 1 và 2 là cố định theo phương dọc trục z.

Theo nhận xét trên ta có: Q2 = Q4 = 0 (chuyển vị dọc trục) Q5 = Q6 = Q7 = Q8 = 0 (chuyển vị phía ngoài ống) Ta lập bảng định vị các phần tử:

2mPa

80mm

120mm

1 2

10mm 1

F1

F2 2 3

4

z

60mm 40mm

Hình 7.4. Mô hình hai phần tử

SinhVienKyThuat.Com

112

Bậc t.do Phần tử

1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 7 8 2 3 4 5 6 7 8

Khi lấy gốc toạ độ trùng với nút 2, ta có bảng toạ độ các nút như sau: Nút r z 1 40 10 2 40 0 3 60 0 4 60 10

Tính ma trận D theo biểu thức (7.9):

555

5

555

555

1069,201015,11015,101077,000

1015,101069,21015,11015,101015,11069,2

D

Với cả 2 phần tử, ta đều có: detJ = 200mm2 và diện tích của phần tử là Ae= 100mm2. Các lực nút được xác định bởi:

NlprFF 25142

2104014,322

2 121

Xét phần tử 1

mmr 67,4660404031

1

00071,000071,000071,005,0001,005,01,0001,001,00005,000005,0

1B

Xét phần tử 2

mmr 33,5360604031

2

SinhVienKyThuat.Com

113

000625,0000625,0000625,001,005,01,005,01,01,001,0000

00005,0005,0

2B

Áp dụng công thức (7.29), ta tính được:

565,0025,2093,189,713,116,024,030,2565,093,189,737,145,813,1932,145,134,258,203,4

1071

DX

k

01,9241,062,2

01,905,166,917,242,246,311,5029,1645,029,1645,069,1085,069,122,2005,2

1072

DX

k

Ghép 2 phần tử với ma trận độ cứng là k1 và k2 rồi áp đặt các điều kiện

biên: Q2 = Q4 = Q5 = Q6 = Q7 =Q8 = 0. Ta thu được hệ hai phương trình, hai ẩn số:

25142514

35,434,234,203,4

103

17

QQ

Giải hệ phương trình trên ta thu được:

mmQQ

2

2

3

1

100133,010014,0

Chuyển vị nút của từng phần tử:

mmq T 21 100000133,00014,0

mmq T 22 10000000133,0

Xác định ứng suất Dựa vào phương trình quan hệ ứng suất - biến dạng (7.37) ; ta nhận được các kết quả sau:

SinhVienKyThuat.Com

114

mPa,, T 21 1042854258166 mPa,, T 22 105409663169

4. CHƯƠNG TRÌNH TÍNH KẾT CẤU ĐỐI XỨNG TRỤC

Ta sẽ xây dựng chương trình tính cho bài toán đã được mô tả ở ví dụ trên (Mục 3.4), với mô hình 10 phần tử (Hình 7.5).

Chương trình tính và kết quả số được mô tả chi tiết dưới đây:

2 mPa

80mm 120mm

2

1 10mm

2

p

1

60mm 40mm

Hình 7.5

4

3

6

5

8

7

10

9 3 5 7 9 11

4 6 8 10 12

SinhVienKyThuat.Com

115

Chương trình nguồn

%---------------------------------------------------------------------------- % Chuong trinh tinh ket cau doi xung truc- chuong 7 % tinh ket cau ong (doi xung truc) chiu ap luc trong % bang cach su dung phan tu tam giac (hinh 7.5 mo ta luoi phan tu) % % Mo ta cac bien % k = ma tran do cung phan tu % f = vecto luc nut phan tu % kk = ma tran do cung tong the % ff = vecto luc nut tong the % disp = vecto chuyen vi nut tong the % eldisp = vecto chuyen vi nut phan tu % stress = ma tran cac thanh phan ung suat % strain = ma tran cac thanh phan bien dang % gcoord = toa do nut % nodes = ma tran chi so nut phan tu % index = vecto chua cac bac tu do (chuyen vi) tong the tai moi phan tu % bcdof = vecto chua cac bac tu do (chuyen vi nut) tai bien cua ket cau % bcval = vecto chi dieu kien bien (gia tri chuyen vi nut tai bien) %---------------------------------------------------------------------------- %----------------------------------------- % du lieu cua cac tham so dieu khien %----------------------------------------- clear noe=10; % tong so phan tu nnel=3; % so nut cua 1 phan tu ndof=2; % so bac tu do tai moi nut nnode=12; % tong so nut trong he thong

SinhVienKyThuat.Com

116

sdof=nnode*ndof; % tong so bac tu do cua he edof=nnel*ndof; % so bac tu do cua moi phan tu E_module=200e3; % modul dan hoi (MPa=N/mm2) poisson=0.25; % he so Poisson in_r=40; % ban kinh trong cua ong (mm) out_r=60; % ban kinh ngoai cua ong (mm) len_z=10; % kich thuoc phan tu theo phuong truc z (mm) p=2; % gia tri ap luc (MPa) %--------------------------------------------- % du lieu toa do nut, luu tru trong ma tran gcoord(i,j), % trong do i la chi so nut va j =1 la toa do x, j=2 la toa do y %--------------------------------------------- temp=((out_r-in_r)/noe)*2; gcoord=[in_r 0; in_r len_z; in_r+temp 0; in_r+temp len_z; in_r+temp*2 0; in_r+temp*2 len_z; in_r+temp*3 0; in_r+temp*3 len_z; in_r+temp*4 0; in_r+temp*4 len_z; in_r+temp*5 0; in_r+temp*5 len_z]; %--------------------------------------------------------- % du lieu cac chi so nut tong the o moi phan tu % nodes(i,j), trong do i la chi so phan tu va j la chi so nut %--------------------------------------------------------- nodes=[1 3 4; 1 4 2; 3 5 6; 3 6 4; 5 7 8; 5 8 6;7 9 10; 7 10 8; 9 11 12; 9 12 10]; %------------------------------------- % du lieu mo ta dieu kien bien %------------------------------------- % cac chuyen vi nut bi khong bi che bcdof=[2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24]; bcval=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]; % gia tri cua chuyen vi nut = 0 %----------------------------------------- % khoi tao cac ma tran va cac vecto

SinhVienKyThuat.Com

117

%----------------------------------------- ff=zeros(sdof,1); % vec to luc nut tong the kk=zeros(sdof,sdof); % ma tran do cung tong the disp=zeros(sdof,1); % vecto chuyen vi nut tongthe eldisp=zeros(edof,1); % vecto chuyen vi nut phan tu stress=zeros(noe,4); % ma tran cac thanh phan ung suat strain=zeros(noe,4); % ma tran cac thanh phan bien dang index=zeros(edof,1); % vecto chi so B_matrix=zeros(4,edof); % ma tran chuyen vi – bien dang D_matrix=zeros(4,4); % ma tran do cung vat lieu %---------------------------- % vec to luc nut tong the %---------------------------- ff(1)=p*2*pi*len_z*in_r/2; % luc dat tai nut 1 theo phuong x ff(3)=p*2*pi*len_z*in_r/2; % luc dat tai nut 2 theo phuong x %----------------------------------------------------------------- % tinh toan cac ma tran do cung phan tu, cac vec to luc nut % va ghep noi chung vao ca ma tran va vec to tong the %----------------------------------------------------------------- % tinh ma tran do cung vat lieu D_matrix=D_matrix_2D(3,E_module,poisson); for iel=1:noe % tinh cho moi phan tu nd(1)=nodes(iel,1); % chi so nut tong the ung voi nut 1 cua phan tu (iel) nd(2)=nodes(iel,2); % chi so nut tong the ung voi nut 2 cua phan tu (iel) nd(3)=nodes(iel,3); % chi so nut tong the ung voi nut 3 cua phan tu (iel) x1=gcoord(nd(1),1); y1=gcoord(nd(1),2); % toa do nut thu nhat x2=gcoord(nd(2),1); y2=gcoord(nd(2),2); % toa do nut thu hai

SinhVienKyThuat.Com

118

x3=gcoord(nd(3),1); y3=gcoord(nd(3),2); % toa do nut thu ba % xay dung vec to chi so phuc vu viec ghep noi phan tu index=sys_elm_dof_assoc(nd,nnel,ndof); %------------------------------------------------------- % xac dinh dao ham cac ham dang %------------------------------------------------------- % dien tich phan tu tam giac area=0.5*(x1*y2+x2*y3+x3*y1-x1*y3-x2*y1-x3*y2); area2=area*2; xcenter=(x1+x2+x3)/3; % toa do x cua trong tam phan tu ycenter=(y1+y2+y3)/3; % toa do y cua trong tam phan tu shape(1)=((x2*y3-x3*y2)+(y2-y3)*xcenter+(x3-x2)*ycenter)/area2; shape(2)=((x3*y1-x1*y3)+(y3-y1)*xcenter+(x1-x3)*ycenter)/area2; shape(3)=((x1*y2-x2*y1)+(y1-y2)*xcenter+(x2-x1)*ycenter)/area2; dhdx=(1/area2)*[(y2-y3) (y3-y1) (y1-y2)]; % dao ham theo x dhdy=(1/area2)*[(x3-x2) (x1-x3) (x2-x1)]; % dao ham theo y % xay dung ma tran bien dang – chuyen vi B_matrix=B_matrix_ax(nnel,dhdx,dhdy,shape,xcenter); % tinh ma tran do cung phan tu k=2*pi*xcenter*area*B_matrix'*D_matrix*B_matrix; % ghep noi ma tran do cung phan tu vao ma tran do cung chung kk=kk_build_2D(kk,k,index); end %----------------------------- % ap dat dieu kien bien %-----------------------------

SinhVienKyThuat.Com

119

[kk,ff]=boundary_aply_2D(kk,ff,bcdof,bcval); %---------------------------- % giai he phuong trinh PTHH %---------------------------- disp=kk\ff; %--------------------------------------- % tinh ung suat tai cac diem gauss cua phan tu %--------------------------------------- for ielp=1:noe % Tinh cho moi phan tu nd(1)=nodes(ielp,1); % chi so nut tong the ung voi nut 1 cua phan tu (iel) nd(2)=nodes(ielp,2); % chi so nut tong the ung voi nut 2 cua phan tu (iel) nd(3)=nodes(ielp,3); % chi so nut tong the ung voi nut 3 cua phan tu (iel) x1=gcoord(nd(1),1); y1=gcoord(nd(1),2); % toa do nut thu nhat x2=gcoord(nd(2),1); y2=gcoord(nd(2),2); % toa do nut thu hai x3=gcoord(nd(3),1); y3=gcoord(nd(3),2); % toa do nut thu ba % xay dung vec to chi so phuc vu viec ghep noi phan tu index=feeldof(nd,nnel,ndof); %------------------------------------------------------- % xac dinh vec to chuyen vi nut phan tu %------------------------------------------------------- for i=1:edof eldisp(i)=disp(index(i)); end % area of triangule area=0.5*(x1*y2+x2*y3+x3*y1-x1*y3-x2*y1-x3*y2); area2=area*2; xcenter=(x1+x2+x3)/3; % toa do x cua trong tam phan tu

SinhVienKyThuat.Com

120

ycenter=(y1+y2+y3)/3; % toa do y cua trong tam phan tu shape(1)=((x2*y3-x3*y2)+(y2-y3)*xcenter+(x3-x2)*ycenter)/area2; shape(2)=((x3*y1-x1*y3)+(y3-y1)*xcenter+(x1-x3)*ycenter)/area2; shape(3)=((x1*y2-x2*y1)+(y1-y2)*xcenter+(x2-x1)*ycenter)/area2; dhdx=(1/area2)*[(y2-y3) (y3-y1) (y1-y2)]; % dao ham theo x dhdy=(1/area2)*[(x3-x2) (x1-x3) (x2-x1)]; % dao ham theo y % tinh ma tran chuyen vi – bien dang B_matrix=B_matrix_ax(nnel,dhdx,dhdy,shape,xcenter); estrain=B_matrix*eldisp; % tinh vecto bien dang estress=D_matrix*estrain; % tinh vecto ung suat for i=1:4 strain(ielp,i)=estrain(i); % luu tru stress(ielp,i)=estress(i); % luu tru end end %------------------------------------ % hien thi ket qua %------------------------------------ num=1:1:sdof; displace=[num' disp] % hien thi chuyen vi nut for i=1:noe stresses=[i stress(i,:)] % hien thi ung suat end

SinhVienKyThuat.Com

121

Các hàm sử dụng trong chương trình

%------------------------------------------------------------------------------------ function [B_matrix]=B_matrix_ax(nnel,dhdx,dhdy,shape,radist) %------------------------------------------------------------------------ % Muc dich: % xac dinh ma tran chuyen vi - bien dang cho bai toan ket cau x % doi xung dung truc % Cu phap: % [B_matrix]=B_matrix_ax(nnel,dhdx,dhdy,shape,radist) % % Mo ta cac bien: % nnel – so nut cua phan tu % shape – cac ham dang % dhdx – dao ham ham dang theo x % dhdy - dao ham ham dang theo y % radist – khoang cach tu ta den diem lay tich phan den hay % trong tam phan tu %------------------------------------------------------------------------ for i=1:nnel i1=(i-1)*2+1; i2=i1+1; B_matrix(1,i1)=dhdx(i); B_matrix(2,i1)=shape(i)/radist; B_matrix(3,i2)=dhdy(i); B_matrix(4,i1)=dhdy(i); B_matrix(4,i2)=dhdx(i); end

Kết quả chương trình

SinhVienKyThuat.Com

122

displace = bậc tự do chuyển vị nút

1 0.0011 2 0 3 0.0011 4 0 5 0.0010 6 0 7 0.0010 8 0 9 0.0010 10 0 11 0.0010 12 0

bậc tự do chuyển vị nút 13 0.0010 14 0 15 0.0010 16 0 17 0.0009 18 0 19 0.0009 20 0 21 0.0009 22 0 23 0.0009 24 0

stresses = phan tu r z rz

1 -1.5928 4.7563 0.7909 0.0221 2 -1.7516 4.9888 0.8093 0.0575 3 -1.0897 4.2332 0.7859 0.0016 4 -1.1632 4.4217 0.8146 0.0221 5 -0.6878 3.8327 0.7862 -0.0117 6 -0.7261 3.9831 0.8143 0.0016 7 -0.3606 3.5200 0.7899 -0.0225 8 -0.3944 3.6361 0.8104 -0.0117 9 -0.0882 3.2724 0.7960 -0.0345 10 -0.1400 3.3558 0.8039 -0.0225

5. BÀI TẬP

SinhVienKyThuat.Com

123

7.1. Một ống dày hình trụ chịu áp suất trong p như trên hình vẽ 7.5.1, tìm chuyển vị và ứng suất trong ống. Đây là dạng bài toán vật đối xứng trục chịu tải đối xứng trục. Hãy sử dụng các phần tử phẳng tuyến tính (tam giác hoặc tứ giác) để giải cho một lát mỏng (bài toán biến dạng phẳng). ri = 15; re = 30 mm; h = 10 mm ; E = 70000N/mm2; = 0,3 ; p = 120 N/mm2. So sánh kết quả tìm được với các kết quả tìm được bằng phương pháp giải tích như sau:

2

2

22

2

2

2

22

2

2

2

22

2

1;1

11

rr

rrpr

rr

rrpr

rr

rrEprru

e

ie

ie

ie

ir

e

ie

ir

7.2. Một tấm tròn đường kính R=120mm, chiều dày h=15mm, bị ngàm chặt trên toàn bộ biên chịu một áp suất phân bố đều p=2mPa theo phương vuông góc trên một mặt của nó.

- Xác định độ võng cực đại của tấm biết rằng vật liệu của tấm có môđun đàn hồi E=210 gPa và hệ số Poisson =0,3.

- So sánh với kết quả giải tích biểu diễn dưới dạng:

DpRwmax 64

4

trong đó, D là độ cứng chống uốn:

2

3

112D

Eh

p

h

re

ri

Hình 7.5.1. Vòng dẹt chịu áp lực

SinhVienKyThuat.Com

124

7.3. Ống trụ rỗng không đáy (Hình 7.5.3) chịu áp lực tác dụng

từ phía trong, độ lớn 1MPa. Xác định biến dạng của ống và sự phân bố của ứng suất chính. Biết E = 200 gPa và = 0,3.

7.4. Một khuôn thép hình chiếc cốc, được đặt vừa khít vào một

đai thép hình vành khăn (Hình 7.5.4a). Chày dập tác dụng lực ép lên phôi để tạo ra vật có hình dáng như chiếc cốc. Giả sử quá trình dập là lý tưởng với lực tác dụng vào khuôn thay đổi tuyến tính theo bề mặt chịu lực ép (Hình 7.5.4b). Xác định vị trí và độ lớn của ứng suất chính lớn nhất trong khuôn trong các trường hợp sau:

a. Khuôn không có đai thép vành khăn bao ngoài. b. Khuôn có đai thép bao ngoài và không có sự trượt giữa khuôn

thép với đai thép. c. Khuôn có đai thép bao ngoài có kể đến ma sát trượt (gợi ý: cần

phải tách riêng bề mặt tiếp xúc giữa khuôn và đai thép. Nếu I và J là là một cặp điểm trên bề mặt tiếp xúc, khi đó ràng buộc giữa các điểm là: Q2I-1 – Q2J-1 = 0.

R

h

p

Hình 7.5.2. Đĩa tròn chịu lực phân bố đều

16 mm

200 mm

100 mm

Hình 7.5.3. Ống thép hở, chịu áp lực trong lòng ống

1 mPa

SinhVienKyThuat.Com

125

7.5. Hình 7.5.5 mô tả một đoạn trục hạ bậc chịu tải dọc trục có

sử dụng bán kính cong để giảm tập trung ứng suất. Muốn phân tích chính xác quá trình phá huỷ mỏi thì đánh giá hệ số tập trung ứng suất (HSTTƯS) tại chỗ trục hạ bậc này là rất quan trọng để ta có thể sử dụng ứng suất dọc trục trung bình cho toàn tiết diện ngang. Hãy đánh giá HSTTƯS bằng phương pháp phần tử hữu hạn và so sánh kết quả với các kết quả công bố trong các bảng tra cứu. Môđun Young và hệ số Poisson có làm ảnh hưởng đến HSTTƯS hay không? Biết:

d1=150mm ; d2 = 200mm ; r = 15mm ; E = 210 gPa ; = 0,22 ; P = 100 kN

Đai thép hợp kim

Khuôn Phôi

Chầy dập

190

100

220

320

420

320

300 1 2

3

p1

1 p2

p2

p3

(a) (b)

Hình 7.5.4. Mô hình chịu lực của bộ chầy - cối dập

d1 P

r

d2 P

Hình 7.5.5. Trục bậc chịu kéo

SinhVienKyThuat.Com

126

Chương 8 PHẦN TỬ TỨ GIÁC

1. MỞ ĐẦU Trong chương 6 và 7 chúng ta đã làm quen với phần tử tam giác 3

nút có biến dạng là hằng số. Trong chương này, chúng ta sẽ khảo sát phần tử tứ giác 4 nút, mỗi nút có 2 bậc tự do. Các phần tử tứ giác được ứng dụng nhiều trong kỹ thuật để giải các bài toán hai và ba chiều.

2. PHẦN TỬ TỨ GIÁC Khảo sát một phần tử tứ giác tổng quát như Hình 8.1. Phần tử có

bốn nút: 1, 2, 3 và 4 được đánh số ngược chiều kim đồng hồ, mỗi nút có 2 bậc tự do; (xi, yi) là toạ độ của nút i. Véctơ chuyển vị nút của phần tử được ký hiệu bởi:

Tqqqq 821

Chuyển vị của một điểm M(x, y) bất kỳ trong phần tử được ký hiệu là u: u = [u(x, y), v(x, y)] T

Hình 8.1. Phần tử tứ giác 4 nút

x

y

1 2

3 4

q2

q1

q8

q7

q6

q5

q4

q3

M(x,y)

v

u 1

(-1,-1) 2

(1,-1)

(1,1) 3

(-1,1) 4

(0,0)

SinhVienKyThuat.Com

127

3. HÀM DẠNG

Giống như các chương trước, trong chương này, phần tử qui chiếu tứ giác có dạng hình vuông được xác định trong hệ toạ độ (, ) (Hình 8.1). Các hàm dạng Ni (i = 1, 2, 3, 4) có tính chất: Ni = 1 tại nút i và bằng không tại các nút khác. Chẳng hạn: N1 bằng 1 tại nút 1; bằng 0 tại các nút còn lại (2, 3, 4). Yêu cầu N1 = 0 tại nút 2, 3, 4 có nghĩa là N1 = 0 dọc theo cạnh =1 và =1. Vì vậy, N1 phải có dạng: N1 = c(1- )(1- ) ; trong đó c là hằng số cần xác định.

Từ điều kiện N1= 1 tại nút 1 ( = -1; = -1), suy ra: 41

c .

Tương tự như trên, ta cũng xác định được biểu thức của các hàm dạng còn lại. Cuối cùng, biểu thức của các hàm dạng Ni như sau:

1141

1141

1141

1141

4

3

2

1

N

N

N

N

(8.1)

Ta có thể biểu diễn các hàm dạng một cách tổng quát như sau:

iiiN 1141 (8.2)

trong đó (i , i) là toạ độ của nút i. Bây giờ ta mô tả trường chuyển vị của phần tử theo chuyển vị nút của nó. Ta thấy:

u = N1q1 + N2q3 + N3q5 + N4q7 v = N1q2 + N2q4 + N3q6 + N4q8 (8.3)

Hoặc dưới dạng ma trận u = Nq (8.4)

Trong đó

SinhVienKyThuat.Com

128

4321

4321

00000000

NNNNNNNN

N (8.5)

Nhờ cách mô tả đẳng tham số, ta biểu diễn toạ độ của một điểm trong phần tử qua toạ độ các nút phần tử cũng nhờ các hàm dạng Ni ở trên:

x = N1x1 + N2x2 + N3x3 + N4x4 y = N1y1 + N2y2 + N3y3 + N4y4 (8.6)

Trước hết, ta tính đạo hàm của hàm hợp f = f(x, y) = f[x(, ), y(, )] theo và .

yyfx

xff

yyfx

xff

(8.7)

Hoặc

yfxf

Jf

f

(8.8)

Trong đó J là ma trận Jacôbiên

yx

yx

J (8.9)

Từ (8.1) và (8.6), ta có:

2221

1211

23142314

43124312

11111111

41

JJJJ

yyyyxxxxyyyyxxxx

J

(8.10)

Nghịch đảo (8.8) ta có quan hệ:

SinhVienKyThuat.Com

129

f

f

J

yfxf

1 (8.11)

Hoặc

f

f

JJJJ

Jyfxf

1121

1222

det1 (8.12)

Ta sẽ sử dụng các biểu thức trên để xây dựng ma trận độ cứng của phần tử.

4. MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ Năng lượng biến dạng của vật thể đàn hồi được xác định bởi:

V

T dVU 21 (8.13)

hoặc

e V

Te dAtU

21 (8.14)

Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị:

xv

yu

yvxu

xy

y

x

(8.15)

Nếu trong (8.12), coi vai trò của f là u, ta được:

u

u

JJJJ

Jyuxu

1121

1222

det1 (8.16)

Tương tự,

SinhVienKyThuat.Com

130

v

v

JJJJ

Jyvxv

1121

1222

det1 (8.17)

Biểu thức (8.15), (8.16) và (8.17) cho ta:

v

v

u

u

A (8.18)

Trong đó A được xác định bởi

12221121

1121

1222

0000

det1

JJJJJJ

JJ

JA (8.19)

Từ phương trình nội suy (8.3), ta có thể viết:

qG

v

v

u

u

(8.20)

Trong đó

10101010101010100101010101010101

41G

(8.21) Cuối cùng ta có:

SinhVienKyThuat.Com

131

= Bq (8.22) Trong đó

B = AG (8.23) và ứng suất được xác định bởi

= DBq (8.24) Quay lại biểu thức năng lượng biến dạng (8.14),

e

eT

e

Te

T qkqqddJDBBtqU21det

21 1

1

1

1

(8.25)

Trong đó

1

1

1

1

det ddJDBBtk Te

e (8.26)

chính là ma trận độ cứng của phần tử tứ giác.

5. QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT 5.1. Lực thể tích

Để ý tích phân:

V

T dVfu (8.27)

với: u = Nq và giả thiết rằng các thành phần lực khối f = [fx, fy]T phân bố là hằng số trong mỗi phần tử, ta sẽ có:

e

eT

V

T fqdVfu (8.28)

Trong đó:

y

xTe

e

ff

ddJNtf1

1

1

1

det (8.29)

5.2. Lực diện tích Giả sử lực diện tích T = [Tx, Ty ]T bằng hằng số, tác dụng trên cạnh

2-3 của phần tử tứ giác. Dọc theo cạnh 2-3, = 1 và khi ấy các hàm dạng trở nên:

2

1;2

1;0 3241

NNNN

Ta tính được các thành phần của véctơ lực nút phần tử:

SinhVienKyThuat.Com

132

Tyxyx

ee TTTTltT 00002

23 (8.30)

Chú ý: Trong công thức ma trận độ cứng (8.26) và công thức qui đổi lực thể tích (8.29), các đại lượng B và detJ đều là các hàm số của và . Ta cần phải số hoá các tích phân trên. Dưới đây chúng ta nhắc lại một vài khái niệm về tích phân số.

6. TÍCH PHÂN SỐ 6.1. Tích phân số một biến Cho tích phân

1

1

dfI

(8.31)

Ta sẽ xấp xỉ tích phân I trên dưới dạng một tổng n điểm xấp xỉ như sau:

nn fwfwfwdfI

2211

1

1 (8.32)

Trong đó w1, w2, ..., wn là các hàm trọng số và 1, 2, ..., n là các điểm Gauss. Tư tưởng của phương pháp cầu phương Gauss là chọn n điểm Gauss và n hàm trọng số sao cho tích phân (8.31) cho kết quả chính xác nhất đối với đa thức f(). Nói khác đi, công thức tích phân n điểm là chính xác cho tất cả các đa thức bậc đủ cao, và công thức tích phân trên vẫn đúng thậm chí khi f không phải là một đa thức. Để hiểu được bản chất của phương pháp, chúng ta xét công thức tích phân 1- điểm và tích phân 2- điểm như sau:

SinhVienKyThuat.Com

133

6.1.1. Công thức tích phân 1- điểm Khi n = 1:

11

1

1

fwdfI

(8.33)

Có 2 tham số w1 và 1 cần xác định, với yêu cầu là (8.33) cho kết quả chính xác khi f() là một đa thức bậc nhất. Điều này có nghĩa là nếu f() là một đa thức bậc nhất, thì sai số:

011

1

110

fwdaa

(8.34a)

hoặc 02 11010 aawa

(8.34b)

02 11110 awwa

(8.34c)

Từ (8.34c), suy ra = 0 khi:

02

1

1

w

(8.35)

Với hàm f tổng quát và tuỳ ý, ta có:

021

1

fdfI

(8.36)

Kết quả tính giống như phương pháp trung điểm (phương pháp hình chữ nhật), như mô tả ở Hình 8.2 sau.

6.1.2. Công thức tích phân 2- điểm

f(0)

f

-1 0 1

Phần diện tích xấp xỷ = 2f(0)

Phần diện tích chính xác

f()

Hình 8.2. Cầu phương 1 điểm Gauss

SinhVienKyThuat.Com

134

Khi n = 2

2211

1

1

fwfwdfI

(8.37)

Ở đây, có 4 thông số cần xác định là: w1; w2 ; 1 và 2. Chọn 3

32

210 aaaaf , ta có:

02211

1

1

33

2210

fwfwdaaaa

(8.38)

Để thoả mãn (8.38): = 0, khi đó ta phải có:

032

02

322

311

222

211

2211

21

ww

ww

wwww

(8.39)

Hệ phương trình phi tuyến (8.39) có nghiệm duy nhất là:

57735,03

11

21

21

ww (8.40)

Từ đây, chúng ta có thể kết luận rằng phương pháp cầu phương Gauss n-điểm sẽ cho kết quả chính xác nếu f là một đa thức bậc (2n-1) hoặc nhỏ hơn. Bảng dưới cho các giá trị của wi và i theo công thức Gauss với n =1,...,6.

Bảng 8.1. Điểm Gauss và hàm trọng lượng

n i wi n i wi 1 0 2

5 0,9061798459 0,2369268851

2 0,5773502692 1 0,5384693101 0,4786286705

3 0,7745966692 0,5555555556 0 0,5688888889 0 0, 888888889

6 0,9324695142 0,1713244924

4 0,8611363116 0,3478548451 0,6612093865 0,3607615730 0,3399810436 0,6521451549 0,2386191861 0,4679139346

6.2. Tích phân số hai biến

SinhVienKyThuat.Com

135

Xét tích phân

ddfI

1

1

1

1

,

(8.41)

Ta có

n

i

n

jjiji

n n

jiij

n

ii fwwfwwdfwI1 11 1

1

1 1,,,

(8.42)

6.3. Tích phân ma trận độ cứng Từ công thức (8.26):

1

1

1

1

det ddJDBBtk Te

e

Chú ý ke là ma trận độ cứng (8x8) đối xứng, do đó ta chỉ cần lấy tích phân các số hạng ở phía trên đường chéo chính là đủ. Ký hiệu

ijTe JDBBt det, (8.43)

và áp dụng công thức (8.42), ta được

222

212122121112

1 ,,,, wwwwwwkij (8.44)

Trong đó:

57735,0;57735,01

2211

21

ww

Các điểm Gauss theo công thức tích phân 2- điểm ở trên được mô tả trên Hình 8.3. Nếu gọi các điểm Gauss lần lượt là 1, 2, 3, 4 thì kij trong (8.44) được viết dưới dạng:

4

1KKkji Wk (8.45)

Trong đó K là giá trị của và WK là hàm trọng số tại điểm tích phân k. Chú ý rằng WK = (1)(1) = 1. Công thức (8.45) rất thuận lợi cho chúng ta khi lập trình tính toán ma trận độ cứng.

SinhVienKyThuat.Com

136

7. TÍNH ỨNG SUẤT Không giống như phần tử tam giác có biến dạng hằng số; với phần

tử tứ giác, ứng suất = DBq không phải là hằng số trong phạm vi một phần tử, mà chúng thay đổi theo và . Trong thực tế, ứng suất được tính tại các điểm Gauss, đây cũng là những điểm được sử dụng trong khi tính ma trận độ cứng ke. Như vậy, với phần tử tứ giác, ta sẽ có 4 giá trị ứng suất. Để tránh sinh ra nhiều số liệu, ta chỉ cần tính ứng suất tại một điểm cho mỗi phần tử, chẳng hạn điểm ( = 0, = 0).

8. VÍ DỤ Khảo sát một phần tử chữ nhật như hình vẽ dưới đây. Giả thiết

phần tử chịu trạng thái ứng suất phẳng và có các thành phần chuyển vị: mmq T00081,0152,0076,0051,000 . Biết E = 206

gPa, = 0,3. Hãy xác định các đại lượng J, B và tại điểm ( = 0, = 0).

1

1 2

3 4

31

31

31

31

Hình 8.3. Điểm Gauss theo qui tắc tích phân 2 điểm

3 (2,1)

y

x 2 (2,0) 1 (0,0)

4 (0,1)

q7 q8

q5 q6

q3 q4

q1 q2

SinhVienKyThuat.Com

137

Bài giải Theo công thức (8.10), ta có:

21001

111212111212

41

J

Áp dụng công thức (8.19), ta được:

02110

1000

00021

211A

Áp dụng công thức (8.21) và (8.23) với = 0, = 0 ta sẽ được:

41

21

41

21

41

21

41

21

210

210

210

210

0410

410

410

41

B

Ma trận D được xác định bởi (6.8)

35,000013,003,01

09,0110206 3

D

Cuối cùng ta tính được tại điểm = 0, = 0: MPaDBq T282159461

SinhVienKyThuat.Com

138

9. CHƯƠNG TRÌNH Trở lại với ví dụ ở mục 7, chương 6. Ở đây, ta sẽ sử dụng phần tử

tứ giác bậc nhất đẳng tham số với 4 phần tử để xây dựng chương trình tính cho kết cấu, như mô tả trong Hình 8.5. Trong chương trình, việc lấy tích phân số sẽ được thực hiện với 22 điểm Gauss. Theo sơ đồ lưới PTHH, điều kiện biên sẽ được mô tả như sau: Tại nút 1, các thành phần chuyển vị u và v bằng không, tại nút 2 u bằng không; như vậy điều kiện biên tương ứng là Q1 = Q2 = Q3 = 0

Chương trình nguồn. %---------------------------------------------------------------------------- % Chuong trinh so 1, chuong 8 - (P8_1) %---------------------------------------------------------------------------- % Phan tich ung suat cua tam chiu keo su dung phan tu tu giac bac 1 % (Hinh. 8.5 mo ta luoi phan tu) % Mo ta cac bien % k = ma tran do cung phan tu % f = vecto luc nut phan tu % kk = ma tran do cung tong the % ff = vecto luc nut tong the % disp = vecto chuyen vi nut tong the % eldisp = vecto chuyen vi nut phan tu % stress = ma tran cac thanh phan ung suat % strain = ma tran cac thanh phan bien dang % gcoord = toa do nut

Hình 8.5. Tấm chữ nhật chịu kéo trong mặt phẳng

1 2

2

1

3 4

4

3

6

5

8

7

10

9

p

SinhVienKyThuat.Com

139

% nodes = ma tran chi so nut phan tu % index = vecto chua cac bac tu do (chuyen vi) tong the tai moi phan tu % bcdof = vecto chua cac bac tu do (chuyen vi nut) tai bien cua ket cau % bcval = vecto chi dieu kien bien (gia tri chuyen vi nut tai bien) %---------------------------------------------------------------------------- %------------------------------------ % Cac tham so dau vao %------------------------------------ clear noe_x=4; % so luong cac phan tu theo phuong x noe_y=1; % so luong cac phan tu theo phuong y noe=noe_x*noe_y; % tong so phan tu nnel=4; % tong so nut cua moi phan tu ndof=2; % tong so bac tu do tai moi nut nnode=(noe_x+1)*(noe_y+1); %tong so nut cua he sdof=nnode*ndof; % tong so bac tu do cua he edof=nnel*ndof; % so bac tu cua phan tu E_module=200e3; % modul dan hoi khi keo nen poisson=0.3; % he so Poisson x_length=400; % chieu dai tam (mm) y_length=100; % chieu rong tam (mm) t=10; % chieu day tam (mm) p=200; % tai trong phan bo deu (MPa=N/mm) nog_x=2; nog_y=2; % 2x2 Gauss-Legendre quadrature nog_xy=nog_x*nog_y; % number of sampling points per element %--------------------------------------------- % nhap gia tri toa do cac nut: gcoord(i,j), % trong do: i la chi so nut, j =1,2 chi toa do x hay y %--------------------------------------------- len_x_elm = x_length/noe_x; len_y_elm = y_length/noe_y; for col_index=1:(noe_x+1) for row_index=1:(noe_y+1)

SinhVienKyThuat.Com

140

gcoord((row_index+(col_index-1)*(noe_y+1)),1)=... (col_index-1)*len_x_elm; gcoord((row_index+(col_index-1)*(noe_y+1)),2)=... (row_index-1)*len_y_elm; end end gcoord %--------------------------------------------------------- % Nhap chi so nut o moi phan tu: nodes(i,j) % trong do: i la chi so cua phan tu va j la chi so nut %--------------------------------------------------------- nodes=[1 3 4 2; 3 5 6 4; 5 7 8 6; 7 9 10 8]; %------------------------------------- % Nhap cac dieu kien bien %------------------------------------- bcdof=[1 2 3]; % bon bac tu do dau tien chiu rang buoc bcval=[0 0 0]; % voi gia tri bang khong %----------------------------------------- % khoi tao cac ma tran va cac vecto %----------------------------------------- ff=zeros(sdof,1); % vecto luc nut tong the kk=zeros(sdof,sdof); % ma tran do cung tong the disp=zeros(sdof,1); % vecto chuyen vi nut tong the eldisp=zeros(edof,1); % vecto chuyen vi nut phan tu stress=zeros(noe,3); % ma tran ung suat strain=zeros(noe,3); % ma tran bien dang index=zeros(edof,1); % veto chi so B_matrix=zeros(3,edof); % ma tran chuyen vi-bien dang D_matrix=zeros(3,3); % ma tran do cung vat lieu %---------------------------- % vecto luc nut %---------------------------- ff(17)=(y_length/noe_y)*p/2; % luc dat tai nut so 9 theo phuong x ff(19)=(y_length/noe_y)*p/2; % luc dat tai nut so 10 theo phuong x %-----------------------------------------------------------------

SinhVienKyThuat.Com

141

% tinh toan cac ma tran do cung phan tu, vec to luc nut phan tu va % ghep noi thanh ma tran do cung tong the, vecto luc nut tong the %----------------------------------------------------------------- % tinh toa do va trong so cac diem Gauss [point,weight]=Gauss_Point_2D(nog_x,nog_y); % tinh ma tran do cung vat lieu D_matrix=D_matrix_2D(1,E_module,poisson); for iel=1:noe % xet tung phan tu for i=1:nnel nd(i)=nodes(iel,i); % chi so nut tong the cua nut thu i phan tu iel xcoord(i)=gcoord(nd(i),1); % toa do x cua nut thu i ycoord(i)=gcoord(nd(i),2); % toa do y cua nut thu i end k=zeros(edof,edof); % khoi tao ma tran do cung phan tu iel % tich phan so for intx=1:nog_x x=point(intx,1); % toa do x cua diem Gauss wtx=weight(intx,1); % trong so diem gauss for inty=1:nog_y y=point(inty,2); % toa do y cua diem Gauss wty=weight(inty,2) ; % trong so diem gauss % tinh cac ham dang va cac dao ham tai cac diem Gauss [shape,dhdr,dhds]=Shape_Func_4node(x,y); % ma tran Jacobian jacob2=jacob_2D(nnel,dhdr,dhds,xcoord,ycoord); detjacob=det(jacob2); % dinh thuc ma tran Jacobian invjacob=inv(jacob2); % nghich dao ma tran Jacobian % xac dinh cac dao ham ham dang trong he toa do vat ly for i=1:nnel dhdx(i)=invjacob(1,1)*dhdr(i)+invjacob(1,2)*dhds(i); dhdy(i)=invjacob(2,1)*dhdr(i)+invjacob(2,2)*dhds(i); end

SinhVienKyThuat.Com

142

% ----------------------------------- % tinh ma tran chuyen vi-bien dang B % ----------------------------------- B_matrix=B_matrix_2D(nnel,dhdx,dhdy); %------------------------------ % tinh ma tran do cung phan tu %------------------------------ k=k+t*B_matrix'*D_matrix*B_matrix*wtx*wty*detjacob; end end % ket thuc doan chuong trich tinh phan so % xay dung vecto chi so bac tu do tong the gan ket voi tung phan tu index=sys_elm_dof_assoc(nd,nnel,ndof); % ghep noi ma tran do cung tong the kk=kk_build_2D(kk,k,index); end %----------------------------- % ap dat dieu kien bien %----------------------------- [kk,ff]=boundary_aply_2D(kk,ff,bcdof,bcval); %------------------------------ % tinh vecto chuyen vi nut tong the %------------------------------ disp=kk\ff; %------------------------------ % in ket qua chuyen vi %------------------------------ num=1:1:sdof; displace=[num' disp] %------------------------------ % tinh ung suat phan tu %------------------------------ for ielp=1:noe % xet tung phan tu for i=1:nnel nd(i)=nodes(ielp,i); % chi so nut tong the cua nut thu i phan tu iel xcoord(i)=gcoord(nd(i),1); % toa do x cua nut thu i

SinhVienKyThuat.Com

143

ycoord(i)=gcoord(nd(i),2); % toa do y cua nut thu i end %-------------------------------- % tich phan so %-------------------------------- intp=0; for intx=1:nog_x x=point(intx,1); % toa do x diem gauss wtx=weight(intx,1); % trong so diem gauss for inty=1:nog_y y=point(inty,2); % stoa do y diem gauss wty=weight(inty,2) ; % trong so diem gauss intp=intp+1; % tinh cac ham dang va cac dao ham tai cac diem Gauss [shape,dhdr,dhds]=Shape_Func_4node(x,y); % ma tran Jacobian jacob2=jacob_2D(nnel,dhdr,dhds,xcoord,ycoord); detjacob=det(jacob2); % determinant of Jacobian invjacob=inv(jacob2); % inverse of Jacobian matrix % xac dinh cac dao ham ham dang trong he toa do vat ly for i=1:nnel dhdx(i)=invjacob(1,1)*dhdr(i)+invjacob(1,2)*dhds(i); dhdy(i)=invjacob(2,1)*dhdr(i)+invjacob(2,2)*dhds(i); end % ----------------------------------- % tinh ma tran chuyen vi-bien dang B_p % ----------------------------------- B_matrix=B_matrix_2D(nnel,dhdx,dhdy); % xay dung vecto chi so bac tu do tong the gan ket voi tung phan tu index=sys_elm_dof_assoc(nd,nnel,ndof); %------------------------------------------------------- % xac dinh vec to chuyen vi nut phan tu %------------------------------------------------------- for i=1:edof eldisp(i)=disp(index(i)); end

SinhVienKyThuat.Com

144

estrain=B_matrix*eldisp; % tinh bien dang estress=D_matrix*estrain; % tinh ung suat for i=1:3 strain(intp,i)=estrain(i); % luu kq cua moi phan tu stress(intp,i)=estress(i); % luu kq cua moi phan tu end location=[ielp,intx,inty] % in vi tri bieu dien US stress(intp,:) % gia tri ung suat end end % ket thuc phan tinh tich phan so end

SinhVienKyThuat.Com

145

Các hàm sử dụng trong chương trình function [point_1D,weight_1D]=Gauss_Point_1D(nog_1D) %------------------------------------------------------------------- % Muc dich: % xac dinh các diem tich phan va ham trong so % cua cac diem Gauss-Legendre voi tich phan so 1 bien % Cu phap: % [point1,weight1]=1_D_Gauss_Point(nog_1D) % Mo ta cac bien: % nog_1D – so luong cac diem tich phan % point_1D - vector chua tao do cac diem Gauss % weight_1D - vector chua cac he so trong so cua diem Gauss %------------------------------------------------------------------- % khoi tao point_1D=zeros(nog_1D,1); weight_1D=zeros(nog_1D,1); % tim cac diem tich phan va he so trong so tuong ung if nog_1D==1 % tich phan 1 diem point_1D(1)=0.0; weight_1D(1)=2.0; elseif nog_1D==2 % tich phan 2 diem point_1D(1)=-0.577350269189626; point_1D(2)=-point_1D(1); weight_1D(1)=1.0; weight_1D(2)=weight_1D(1); elseif nog_1D==3 % tich phan 3 diem point_1D(1)=-0.774596669241483; point_1D(2)=0.0; point_1D(3)=-point_1D(1); weight_1D(1)=0.555555555555556; weight_1D(2)=0.888888888888889; weight_1D(3)=weight_1D(1);

SinhVienKyThuat.Com

146

elseif nog_1D==4 % tich phan 4 diem point_1D(1)=-0.861136311594053; point_1D(2)=-0.339981043584856; point_1D(3)=-point_1D(2); point_1D(4)=-point_1D(1); weight_1D(1)=0.347854845137454; weight_1D(2)=0.652145154862546; weight_1D(3)=weight_1D(2); weight_1D(4)=weight_1D(1); else % tich phan 5 diem point_1D(1)=-0.906179845938664; point_1D(2)=-0.538469310105683; point_1D(3)=0.0; point_1D(4)=-point_1D(2); point_1D(5)=-point_1D(1); weight_1D(1)=0.236926885056189; weight_1D(2)=0.478628670499366; weight_1D(3)=0.568888888888889; weight_1D(4)=weight_1D(2); weight_1D(5)=weight_1D(1); end %------------------------------------------------------------------- function [point_2D,weight_2D]=Gauss_Point_2D(nog_xa,nog_ya) %------------------------------------------------------------------- % Muc dich: % xac dinh các diem tich phan va ham trong so % cua cac diem Gauss-Legendre voi tich phan so 2 bien % Cu phap: % [point_2D,weight_2D]=2_D_Gauss_Point(nog_xa,nog_ya) % Mo ta cac bien: % nog_xa - so diem tich phan theo phuong x % nog_ya - so diem tich phan theo phuong y % point_2D - vector chua cac diem Gauss

SinhVienKyThuat.Com

147

% weight_2D - vector cac he so trong so cua diem Gauss %------------------------------------------------------------------- % xac dinh gia tri max giua nog_xa va nog_ya if nog_xa > nog_ya nog=nog_xa; else nog=nog_ya; end % khoi tao point_2D=zeros(nog,2); weight_2D=zeros(nog,2); % tim cac diem tich phan va he so trong so tuong ung % tinh cac diem Gauss theo phuong x [point_xa,weight_xa]=Gauss_Point_1D(nog_xa); % tinh cac diem Gauss theo phuong x [point_ya,weight_ya]=Gauss_Point_1D(nog_ya); % tinh cac diem Gauss theo 2 phuong for intx=1:nog_xa % quadrature in x-axis point_2D(intx,1)=point_xa(intx); weight_2D(intx,1)=weight_xa(intx); end for inty=1:nog_ya % quadrature in y-axis point_2D(inty,2)=point_ya(inty); weight_2D(inty,2)=weight_ya(inty); end %------------------------------------------------------------------------ function [shape,dos_r,dos_s]=Shape_Func_4node(rvalue,svalue) %------------------------------------------------------------------------ % Muc dich: % tinh ham dang cua phan tu tu giac bac nhat dang tham so % va cac dao ham cua no tai cac diem Gauss trong he truc tu nhien % Cu phap: % [shape,dos_r,dos_s]=4node_Shape_Func(rvalue,svalue) % Mo ta cac bien:

SinhVienKyThuat.Com

148

% shape – ham dang cua phan tu tu giac bac nhat % dos_r – dao ham ham dang theo r (Coxi) % dos_s - dao ham ham dang theo s (Nheta) % rvalue – gia tri toa do r cua diem Gauss % svalue - gia tri toa do s cua diem Gauss % Chu y: % toa do nut 1 la (-1,-1), toa do nut 2 la (1,-1) % toa do nut 3 la (1,1), toa do nut 4 la (-1,1) %------------------------------------------------------------------------ % Ham dang shape(1)=0.25*(1-rvalue)*(1-svalue); shape(2)=0.25*(1+rvalue)*(1-svalue); shape(3)=0.25*(1+rvalue)*(1+svalue); shape(4)=0.25*(1-rvalue)*(1+svalue); % cac dao ham dos_r(1)=-0.25*(1-svalue); dos_r(2)=0.25*(1-svalue); dos_r(3)=0.25*(1+svalue); dos_r(4)=-0.25*(1+svalue); dos_s(1)=-0.25*(1-rvalue); dos_s(2)=-0.25*(1+rvalue); dos_s(3)=0.25*(1+rvalue); dos_s(4)=0.25*(1-rvalue); %--------------------------------------------------------------------------

SinhVienKyThuat.Com

149

Kết quả số

- Chuyển vị nút:

Bậc tự do (q)

Giá trị Bậc tự do (q)

Giá trị Bậc tự do (q)

Giá trị Bậc tự do (q)

Giá trị

1 0 6 0.0000 11 0.0200 16 -0.0030

2 0 7 0.0100 12 -0.0030 17 0.0400

3 0 8 -0.0030 13 0.0300 18 0.0000

4 -0.0030

9 0.0200 14 0.0000 19 0.0400

5 0.0100 10 0.0000 15 0.0300 20 -0.0030

- Ứng suất tại các điểm Gauss:

Điểm Gauss Phần tử

1, 1 1, 2 2, 1 2, 2

Phần tử 1 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000

Phần tử 2 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000

Phần tử 3 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000

Phần tử 4 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000

Chú ý: Thành phần ứng suất trong bảng là x, các thành phần ứng suất còn lại y và xy đều bằng không. Kết quả này hoàn toàn tương tự như đã nhận được trong Ví dụ 6.8.1 ở Chương 6.

SinhVienKyThuat.Com

150

10. BÀI TẬP 8.1. Trở lại kết cấu trong bài toán 6.1 trên hình 8.10.1. Ta vẫn đi

xác định chuyển vị tại hai điểm A và B, và phân bố của ứng suất trong tấm, nhưng ở đây ta sử dụng các phần tử chữ nhật. Vật liệu của tấm là thép có môđun đàn hồi E=210 gPa và hệ số Poisson = 0,22. Hãy chia tấm ra thành hai phần tử chữ nhật theo hai cách được mô tả trong các hình: Hình 8.10.1a,b.

So sánh kết quả trong hai trường hợp trên và so sánh với kết quả tìm được bằng các phần tử tam giác như trong bài 6.1. Biết: a = 0,2 m; b = 0,3 m; t = 5mm và q = 8 kN/m.

8.2. Một kết cấu được mô tả như Hình 8.10.2. Bằng các phần tử

chữ nhật tuyến tính, hãy giải lại bài toán theo yêu cầu như bài toán 6.4.

c

2b

2b

a

a b P 2b b a

a

Hình 8.10.2. Kết cấu lắp ghép

a = 50mm; b = 75mm; c = 500mm P = 8kN.

4 3

2 1

b

a B

A

q

a

b q

B 2 1

4 3 A

1

2

1 2

Hình 8.10.1. Sơ đồ hoá PTHH với phần tử tứ giác

SinhVienKyThuat.Com

151

8.3. Xác định ma trận độ cứng tổng thể các lưới phần tử như trên hình vẽ 8.10.3. Giả thiết mỗi nút có một bậc tự do và gọi [K(e)] là ma trận độ cứng của phần tử thứ e. (Kết quả có thể biểu diễn thông qua các số hạng Kij

(e)).

8.4. Trở lại kết cấu trong bài tập 6.5 (Hình 6.9.5). Bằng cách kết

hợp hợp lý các phần tử tam giác tuyến tính với các phần tử chữ nhật tuyến tính, hãy tính lại hệ số tập trung ứng suất trong các kết cấu.

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4 1 2 3

4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Hình 8.10.3. Sơ đồ lưới phần tử

SinhVienKyThuat.Com

152

Chương 9 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU DẦM VÀ

KHUNG

1. GIỚI THIỆU Dầm và khung được ứng dụng rộng rãi trong kỹ thuật. Trong

chương này chúng ta sẽ áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để tính dầm sau đó mở rộng cho kết cấu khung hai chiều.

Ta chỉ xét dầm có mặt cắt ngang đối xứng so với mặt phẳng tải trọng. Sơ đồ hoá dầm chịu uốn và biến dạng (độ võng) của trục dầm được minh hoạ như Hình 9.1 dưới đây.

Trong trường hợp biến dạng nhỏ, ta đã có kết quả quen biết sau:

yJM

(9.1)

E (9.2)

Phương trình độ võng:

J2

2

EM

dxvd (9.3)

Mkm

Pkp p

y

x

Hình 9.1. (a) Sơ đồ hoá dầm chịu uốn; (b). Biến dạng của trục dầm

x v

(a)

(b)

kp km

SinhVienKyThuat.Com

153

Trong đó: là ứng suất pháp, là biến dạng dài, M là mômen uốn nội lực trên mặt cắt ngang, v là độ võng của trục x và J là mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hoà (trục z đi qua trọng tâm mặt cắt ngang).

2. THẾ NĂNG Năng lượng biến dạng trong một phân tố có chiều dài dx được xác định bởi:

dAdxdu A2

1 (9.4)

Thay (9.1) và (9.2) vào (9.4) ta được:

dxEJMdxdAy

EJMdAdxdu

A2

22

2

2

A 21

21

21

(9.5)

Từ (9.5) ta tính được năng lượng biến dạng toàn phần trong dầm:

dxdx

vdEJU

L2

2

21 (9.6)

Thế năng của dầm được xác định bởi:

kmkmkm

kpkpkp

LL

MvPvdxdxdx

v 0

2

02

2

pdEJ21 (9.7)

Trong đó: p là tải trọng phân bố trên một đơn vị dài; Pkp là lực tập trung tại điểm kp; Mkm là mômen của ngẫu lực tại điểm km; vkp là độ võng tại điểm kp và km là góc xoay của mặt cắt ngang tại km.

3. HÀM DẠNG HERMITE Giả sử ta chia dầm thành bốn phần tử như Hình 9.2, mỗi phần tử có

2 nút; mỗi nút có 2 bậc tự do. Hai bậc tự do của nút i được ký hiệu là Q2i-1 và Q2i. Trong đó Q2i-1 là độ võng; Q2i là góc xoay. Q là véctơ chuyển vị chung:

Q = [ Q1, Q2 , Q3, ..., Q10 ]T (9.8) Bốn bậc tự do địa phương của mỗi phần tử được ký hiệu bởi: q = [q1, q2, q3, q4]T. trong đó: q1, q3 là độ võng và q2, q4 là góc xoay.

SinhVienKyThuat.Com

154

Các hàm dạng để nội suy chuyển vị trên một phần tử dầm sẽ được

xác định theo ; trong đó -1 1. Các hàm dạng đối với phần tử dầm khác với các hàm dạng mà ta

đã biết trong các chương trước. Vì có cả chuyển vị ngang (độ võng) và góc xoay do đó chúng ta đưa vào hàm dạng Hermite như sau:

Hi = a i + b i + c i2 + di 3; với (i = 1, 2, 3, 4) (9.9) Các hàm dạng Hermite thoả mãn các điều kiện:

H1 H1’ H2 H2’ H3 H3’ H4 H4’

= -1 1 0 0 1 0 0 0 0

= 1 0 0 0 0 1 0 0 1

Các hệ số ai, bi, ci và di được xác định nhờ các điều kiện trong bảng trên. Kết quả cho ta:

H1 = ( 1 - )2(2 + )/4 = (2 - 3 + 3)/4 H2 = (1 - )2 (1 + )/4 = (1 - - 2 + 3)/4 H3 = (1 + )2(2 - )/4 = (2 + 3 - 3)/4 (9.10) H4 = (1 + )0( - 1)/4 = (-1 - + 2 + 3)/4

Biểu diễn hình học các hàm dạng như Hình 9.3:

1 2 3 4 e

Q10

Q9 Q6

Q8

Q5

Q6

Q3

Q4

Q1

Q2 q4

q3 q1

q2

2 1 v1

v’2

v2

v’1 (a) (b)

Hình 9.2. Rời rạc dầm bằng phần tử hữu hạn

SinhVienKyThuat.Com

155

4. MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ DẦM Trước hết, ta sử dụng các hàm dạng Hermite trên để xây dựng biểu

thức chuyển vị v(): v() = H1v1 + H2 (dv/d)1 + H3v2 + H4 (dv/d)2 (9.11)

Mặt khác:

222

12

1 122121

xxxxxxx

(9.12)

Vì (x2 - x1 = le) là độ dài phần tử, do đó: dldx e2

; và d

dxdxdv

ddv

,

nên ta có quan hệ đạo hàm sau:

dxdvl

ddv e

2

(9.13)

Chú ý rằng (dv/dx) tại nút 1 và nút 2 chính là q2 và q4, suy ra:

44332211 22qHlqHqHlqHv ee (9.14)

hay viết dưới dạng cô đọng:

Hình 9.3. Hàm dạng Hermite

SinhVienKyThuat.Com

156

v = H q (9.15) Trong đó:

4321 22

HlHHlHH ee (9.16)

Năng lượng biến dạng của phần tử được xác định bởi:

dxdx

vdEJUe

e

2

2

2

21

Từ (9.13) suy ra:

ddv

ldxdv

e

2 và 2

2

22

2 4d

vdldx

vd

e

Thay v = Hq, ta được:

2231

23

2231

23

16

2

2

2

2

2

2

4

2

2

2

ee

T

e

T

lld

Hd

qd

Hdd

Hdl

qdx

vd

(9.17)

Chú ý: dldx e2

, biểu thức của năng lượng biến dạng của phần tử

được viết dưới dạng:

qd

l

lDX

lll

ll

lEJqU

e

e

eee

ee

e

Te

1

1

22

2

22

22

22

3

431

3183

49

169131

83

431

3183

4931

83

49

821

(9.18) cuối cùng ta thu được:

qkqU eTe 2

1 (9.19)

Trong đó ke là ma trận độ cứng của phần tử dầm

SinhVienKyThuat.Com

157

eeee

ee

eeee

ee

ee

llllll

llllll

lEJk

4626612612

2646612612

3 (9.20)

5. QUY ĐỔI LỰC NÚT Các dạng tải trọng tác dụng gây uốn trên phần tử dầm như chỉ ra

trong Hình 9.4.

Việc quy đổi các tải trọng này về nút được thực hiện như sau:

5.1. Lực phân bố đều, cường độ p (Hình 9.4a)

qdHplpvdx e

e

1

12 (9.21)

Thay biểu thức của H từ (9.10) và (9.16) vào (9.21), sau đó lấy tích phân ta được:

qfpvdx eT

e

(9.22)

Trong đó:

l x

y

p

l x

y

lxpxp 0)( p0

x

y

P0

x0

l

x

y

M0

x0

(a) (b)

(c) (d) Hình 9.4. Các dạng tải trọng gây uốn trên phần tử dầm

l

SinhVienKyThuat.Com

158

Teeee llplf 66

12 (9.23)

5.2. Lực phân bố bậc nhất (0: p0) (Hình 9.4b)

qdHlpvdxl

xppvdx e

e ee

1

1

00 )1(4

(9.24)

Thay biểu thức của H từ (9.10) và (9.16) vào (9.24), sau đó lấy tích phân ta sẽ nhận được:

Teeee lllpf 32129

600 (9.25)

5.3. Lực tập trung P0 (Hình 9.4c)

qHPvP kpkp 00 (9.26)

Tương tự như trên, ta có: T

eee HlHHlHPf

)(

2)()(

2)( 040302010 (9.27)

trong đó:

12 00

elx

(9.28)

5.4. Ngẫu lực có mômen M0 (Hình 9.4d) Tương tự như trên, ta có:

Teeeeeeee

e lxlxlxxxlxlllxxlMf 236346 0000

200

2003

0 (9.29)

Chú ý: véctơ lực nút fe cũng có thể được biểu diễn theo biến 0, bằng

cách thay 12 00 xlx e vào biểu thức (9.29).

6. TÍNH MÔMEN UỐN VÀ LỰC CẮT Áp dụng hệ thức mômen uốn và lực cắt:

dxdMQ

dxvdEJM ;2

2

, trong đó: v = Hq

Suy ra

SinhVienKyThuat.Com

159

43212 136136 qlqqlqlEJM ee

e

(9.30)

43213 226 qlqqlqlEJQ eee

(9.31)

7. KHUNG PHẲNG Khảo sát một kết cấu phẳng gồm các dầm liên kết cứng với nhau.

Các phần tử trong kết cấu có thể có nhiều phương khác nhau. Hình 9.5 giới thiệu một phần tử khung.

Mỗi nút phần tử có hai chuyển vị theo x,y và một góc xoay. Ta ký

hiệu véctơ chuyển vị nút của phần tử bởi: q = [ q1, q2, q3, q4, q5, q6]T (9.32)

Ta qui ước hệ toạ độ địa phương (x’, y’) sao cho x’ hướng dọc theo phần tử khung với các cosin chỉ phương l = cos và m = sin. Trong hệ toạ độ địa phương, véctơ chuyển vị nút được xác định bởi:

q' = [ q'1, q'2, q'3, q'4, q'5, q'6]T (9.33) Chú ý: q’3 = q3 ; q’6 = q6, ta tìm được biểu thức quan hệ giữa q và q’:

q' = Lq (9.34) Trong đó:

x

y

y’

x’

q6 (q’6)

q5 q’5

q4

q’4

q2 q’2

q1

q’1

q3 (q’3) Hình 9.5. Phần tử khung phẳng

SinhVienKyThuat.Com

160

1000000000000000010000000000

lmml

lmml

L (9.35)

Ở đây, ta coi q'2, q'3, q'5, q'6 như các bậc tự do của một phần tử dầm chịu uốn; còn q'1 và q'4 giống như các chuyển vị của một phần tử thanh chịu kéo hoặc nén (Chương 4).

Tổng hợp các độ cứng theo đúng vị trí cần có, ta xác định được ma trận độ cứng của phần tử khung như sau:

eeee

eeee

ee

eeee

eeee

ee

e

lEA

lEJ

lEA

lEJ

lEJ

lEJ

lEJ

lEJ

lEA

lEA

lEA

lEJ

lEJ

lEJ

lEJ

lEJ

lEJ

lEJ

lEA

lEA

k

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

'

22

2323

22

2323

(9.36)

Tương tự như phần hệ thanh phẳng (Chương 5), ta có thể xác định được năng lượng biến dạng của phần tử khung:

qkqLqkLqqkqU eTeTTeTe 2

1'21'''

21

(9.37)

trong đó: ke = LT k'e L (9.38)

là ma trận độ cứng của phần tử trong hệ toạ độ chung (x, y). Trong các chương trình phần tử hữu hạn, trước hết ta xác định ma

trận k’e, sau đó tiến hành nhân các ma trận ở trên theo (9.38) để được ke.

SinhVienKyThuat.Com

161

Nếu trên khung có tải trọng phân bố tác dụng, chẳng hạn như Hình 9.6. Ta có:

q’Tf' = qT LT f' trong đó

Teeee PlPlPlPlf

1220

1220'

22

(9.39)

Vậy, tải trọng nút do p gây ra sẽ được xác định bởi: f = LT f' (9.40)

Các giá trị của f được cộng vào véctơ lực nút chung, với chú ý là chiều dương của p được lấy theo chiều của y'.

Lực tập trung và mômen của ngẫu lực uốn cũng được cộng một cách đơn giản vào véctơ lực nút chung.

Áp dụng điều kiện biên, cuối cùng ta thu được hệ phương trình PTHH: KQ = F cho phép tính chuyển vị tại một điểm bất kỳ của khung chịu lực.

8. VÍ DỤ

8.1. Ví dụ 1

Cho một dầm chịu lực như Hình 9.7. Biết E = 200 gPa, J = 4106 mm4, = 1000 mm, p = 12 kN/m. Xác định góc xoay tại B, C và độ võng tại điểm giữa đoạn BC.

x

y y’

x’

p

2ePl

Hình 9.6. Qui đổi lực phân bố về nút

2ePl

12

2ePl

12

2ePl

SinhVienKyThuat.Com

162

Lời giải

Chia dầm ra 2 phần tử; mỗi phần tử có 2 nút; mỗi nút có 2 bậc tự do (Hình 9.7). Các chuyển vị Q1 = Q2= Q3= Q5= 0; cần tìm Q4 và Q6. Ta có:

mNlEJ

e

/1081

10410200 53

69

3

4626612612

2646612612

108 521 kk

Áp dụng công thức (9.23), ta tính được lực nút qui đổi: F4 = -1000 Nm ;F6 = 1000 Nm Ghép hai phần tử, ta thu được ma trận độ cứng chung của dầm

4228

108 5

442

242

242

222

441

kkkkk

K

và hệ phương trình

p

l l

2 3 1 1 2

A B C

Hình 9.7. Tính dầm chịu uốn bằng phương pháp PTHH

Q3

Q4

Q1

Q2

Q5

Q6

SinhVienKyThuat.Com

163

10001000

4228

1086

45

QQ

Giải hệ phương trình trên sẽ được

4

4

6

4

10464.410679.2

QQ

(Rad)

Đối với phần tử 2: q1 = 0; q2 = Q4; q3 = 0; q4 = Q6. Để xác định độ võng tại điểm giữa của phần tử 2, ta áp dụng công thức (9.15): v = Hq, tại = 0 Suy ra:

)(0893.0)(1093.82

02

0 56442 mmmQHlQHlv ee

8.2. Ví dụ 2 Xác định chuyển vị tại điểm B của khung chịu lực như hình dưới.

Biết A = 0,006m2; J = 0,0002m4; E = 200 gPa. Lời giải 1. Bảng định vị các phần tử Kết cấu được chia ra 2 phần tử như Hình 9.8; số nút chung là 1, 2 và 3.

Bậc t.do PT

1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 7 8 9 2 7 8 9 4 5 6

2. Các thông số liên quan

PT () sin cos E(N/m2) l(m) J(m4) EJ/l3 A(m2)

1 2

22,02 0

0.375 0

0,927 1

200.109

200.109 8 8

0,0002 0,0002

78,125 78,125

0,006 0,006

SinhVienKyThuat.Com

164

3. Ma trận độ cứng của các phần tử Áp dụng công thức (9.36), ta tính được ma trận độ cứng của các phần tử:

20477,39,21

406,182,5112910477,3406,120477,39,2182,51477,390,21406,182,51129406,182,51129

10

987321

61

DX

k

2075,39375,0

001501075,302075,39375,0075,39375,00015000150

10

654987

62

DX

k

4. Xác định véctơ lực nút của các phần tử:

2

1

P=50kN

1

3 2

p=4 kN/m

5m

3m 8m 3m

Q1

Q2

Q3

Q4

Q5 Q6 Q9

Q8 Q7

2

1

1

3 2

Hình 9.8. Bài toán khung phẳng chịu lực

SinhVienKyThuat.Com

165

- Trên phần tử 1, lực tập trung P không đặt đúng nút, nên có thể sử dụng các công thức (9.10), (9.27) và (9.28), ta được:

)(

15,3566,15932,559,5868,3182,12

1031 Nf

;

- Trên phần tử 2, có lực phân bố đều tác dụng, áp dụng công thức (9.34) và (9.35), ta được:

)(

33,21160

33,21160

1032 Nf

Ghép hai ma trận độ cứng trên ta sẽ được ma trận độ cứng chung K; ghép hai véctơ lực nút phần tử trên ta được véctơ lực nút chung F. Áp dụng điều kiện biên (Q1 = Q2= Q3= Q4= Q5= Q6 =0); cuối cùng ta thu được hệ phương trình:

48,5634,1932,5

10402735,0406,12735,084,2282,51406,182,51279

10 3

9

8

76

QQQ

Giải hệ phương trình trên, ta được các thành phần chuyển vị tại điểm B:

)(001412,0)(01631,0)(0111,0

9

8

7

Radmm

mm

QQQ

SinhVienKyThuat.Com

166

9. CHƯƠNG TRÌNH TÍNH DẦM CHỊU UỐN

Ví dụ 9. 1

Cho một dầm chịu lực như Hình 9.9. Biết E = 10106 psi; tiết diện ngang hình chữ nhật, kích thước 11in, = 10 in, P = 100 lb (1psi = 6894,8Pa; 1lb = 4,448N; 1in = 25,4mm). Xác định góc xoay tại B, C và độ võng tại điểm giữa đoạn BC.

Ở ví dụ này, do tính do đối xứng của kết cấu và tải trọng tác dụng nên chúng ta sử dụng 5 phần tử dầm Hermitian cho một nửa dầm để xây dựng chương chính tính. Sơ đồ rời rạc dầm bằng các phần tử như đã minh hoạ trên hình. Dưới đây là chương trình:

Chương trình nguồn

%----------------------------------------------------------------------------% % Chuong trinh so 1, chuong 9 (P9_1) %----------------------------------------------------------------------------% % tinh do vong tinh cua dam, su dung phan tu dam Hermitian % voi vecto chuyen vi nut nut la {u_1 theta_1 u_2 theta_2} % Mo ta bai toan % Tinh do vong cua dam chiu lien ket don tai 2 dau mut % Chieu dai dam bang 20 inches. % Modul dan hoi vat lieu dam la 10x10e6 psi % Mo men quan tinh mat cat ngang la 1/12 inch^4. % Chiu tai trong tap trun tai giua dam, do lon bang 100 lb. % Su dung 5 phan tu cho 1 nua dam (Hinh 9.9 mo ta luoi phan tu)

P

l l

1

1 A

B C

Hình 9.9. Dầm liên kết đơn chịu uốn

2 3 4 5 6

2 3 4 5

SinhVienKyThuat.Com

167

% Mo ta cac bien % k = ma tran do cung phan tu % kk = ma tran do cung tong the % f = vec to luc nut phan tu % ff = vec to luc nut tong the % index = vecto chi so phuc vu ghep noi phan tu % bcdof = vecto chua cac chuyen vi nut bi rang buoc boi dieu kien bien % bcval = vecto chua gia tri cac chuyen vi nut bi rang buoc %----------------------------------------------------------------------------% clear % Cac he so chuyen doi don vi tinh psi_pa = 6894.8; % he so chuyen don vi tu Psi => Pa in_mm = 25.4; % he so chuyen don vi tu Inch => mm lb_N = 4.448; % he so chuyen don vi tu Lb => N psi_pa=1; in_mm = 1; noe=5; % tong so phan tu nnel=2; % so nut cua moi phan tu ndof=2; % so bac tu do tai moi nut nnode=(nnel-1)*noe+1; % tong so nut cua ca he sdof=nnode*ndof; % tong so bac tu do cua ca he edof = nnel*ndof; % so bac tu do cua moi phan tu E_module=10^7; % modul dan hoi J=1/12; % momen quan tinh cua mat cat ngang tleng=10; % mot nua chieu dai cua dam leng=10/noe; % kich thuoc cua cac phan tu area=1; % dien tich mat cat ngang cua dam bcdof(1)=1; % chuyen vi nut dau tien chiu rang buoc boi DK bien bcval(1)=0; % gia tri cua chuyen vi nay bang 0 bcdof(2)=12; % chuyen vi nut thu 12 chiu rang buoc boi DK bien bcval(2)=0; % gia tri cua chuyen vi nay bang 0

SinhVienKyThuat.Com

168

ff=zeros(sdof,1); % khoi tao vec to luc nut chung kk=zeros(sdof,sdof); % khoi tao ma tran do cung tong the index=zeros(edof,1); % khoi tao vec to chi so ghep noi ff(11)=50; % xac dinh vec to luc nut tong the (½ cua luc tap trung) for iel=1:noe % xet tung phan tu cua he % xac dinh cac chuyen vi nut chung tuong ung tai moi phan tu start = (iel-1)*(nnel-1)*ndof; for i=1:edof index(i)=start+i; end % tinh toan ma tran do cung phan tu dam Hermit k=HermitianBeam(E_module,J,leng,area); kk=kk_build_2D(kk,k,index); % ghep noi phan tu end [kk,ff]=boundary_aply_2D(kk,ff,bcdof,bcval); % ap dat dieu kien bien fem_solution=kk\ff; % giai he phuongg trinh PTHH % tinh chuyen vi tai cac nut theo phuong phap giai tich e=10^7; l=20; xi=1/12; P=100; for i = 1:nnode x=(i-1)*2; c=P/(48*e*xi); k=(i-1)*ndof+1; exac_solution(k)=c*(3*l^2-4*x^2)*x; exac_solution(k+1)=c*(3*l^2-12*x^2); end % hien thi ket qua theo ca 2 phuong phap num=1:1:sdof; store=[num' fem_solution exac_solution']

Các hàm được sử dụng trong chương trình

function k=HermitianBeam(E_module,J,leng,area)

SinhVienKyThuat.Com

169

%------------------------------------------------------------------- % Muc dich: % Tinh ma tran do cung phan tu cua phan tu dam Hermit % Cu phap ham: % [k]=HermitianBeam(E_module,J,leng,area) % Mo ta cac bien: % k – ma tran do cung phan tu (kich thuoc 4x4) % E_module – modul dan hoi % J – momen quan tinh mat cat ngang cua dam % leng – kich thuoc (chieu dai) cua phan tu % area – dien tich mat cat ngang cua dam %------------------------------------------------------------------- % ma tran do cung phan tu c=E_module*J/(leng^3); k=c*[12 6*leng -12 6*leng;... 6*leng 4*leng^2 -6*leng 2*leng^2;... -12 -6*leng 12 -6*leng;... 6*leng 2*leng^2 -6*leng 4*leng^2];

Kết quả số store = Chuyển vị nút

Kết quả theo PTHH

Kết quả theo giải tích

Chuyển vị nút

Kết quả theo PTHH

Kết quả theo giải tích

1 0 0 7 0.0158 0.0158 2 0.0030 0.0030 8 0.0019 0.0019 3 0.0059 0.0059 9 0.0189 0.0189 4 0.0029 0.0029 10 0.0011 0.0011 5 0.0114 0.0114 11 0.0200 0.0200 6 0.0025 0.0025 12 0 0

Ví dụ 9. 2 Xác định chuyển vị tại điểm mút tự do của khung chịu lực như

Hình 9.10 dưới. Biết E = 200 gPa. Ở đây ta sẽ xây dựng chương trình tính với lưới gồm 6 phần tử có kích thước đều nhau, được mô tả như Hình 9.10.

SinhVienKyThuat.Com

170

Chương trình nguồn

%---------------------------------------------------------------------------- % Chuong trinh so 2, chuong 9 – Vi du 9.2 - (P9_2) %---------------------------------------------------------------------------- % Giai bai toan khung phang chiu luc, su dung phan tu khung % Mo ta bai toan % Xac dinh bien dang cua khung phang hinh chu L, cac doan co kich thuoc % la 2m va 1m. tiet dien mat cat ngang = 60x30mm, khong doi tren chieu % dai cua ca 2 doan. Modul dan hoi là 200 GPa. Khung chiu lien ket ngam % tai mot dau, dau tu do chiu luc tap trung bang 50 KN. Su dung luoi 6 % phan tu de xay dung chuong trinh tinh, nhu mo ta tren Hinh 9.10 % Mo ta cac bien % x va y = cac toa do nut toan cuc

6

1

P=50KN

1

2 m

1m

Hình 9.10. Bài toán khung phẳng chịu lực

2

3

4

5 6 7

x

y

6 cm

3cm

A-A

A-A

SinhVienKyThuat.Com

171

% k = ma tran do cung phan tu % kk = ma tran do cung tong the % f = vecto luc nut phan tu % ff = vecto luc nut tong the % index = vecto chi so ghep noi phan tu % bcdof = vecto chua cac bac tu do (chuyen vi nut chung) chiu rang buoc % boi cac dieu kien bien % bcval = vecto gia tri cac chuyen vi nut chiu rang buoc boi dieu kien bien %----------------------------------------------------------------------------% clear noe=6; % tong so phan tu nnel=2; % so nut cua moi phan tu ndof=3; % so bac tu do tai moi nut nnode=(nnel-1)*noe+1; % tong so nut cua ca he sdof=nnode*ndof; % tong so bac tu do cua ca he edof = nnel*ndof; % so bac tu do cua moi phan tu % toa do x, y cua nut trong he truc chung x(1)=0; y(1)=0; % toa do nut so 1 x(2)=0; y(2)=500; % toa do nut so 2 x(3)=0; y(3)=1000; % toa do nut so 3 x(4)=0; y(4)=1500; % toa do nut so 4 x(5)=0; y(5)=2000; % toa do nut so 5 x(6)=500; y(6)=2000; % toa do nut so 6 x(7)=1000; y(7)=2000; % toa do nut so 7 E_module=200*10^3; % modul dan hoi (E = 200 GPa) b=30; % chieu rong cua mat cat ngang (mm) h=60; % chieu cao mat cat ngang (mm) area=b*h; % tinh dien tich mat cat ngang (mm^2) J=b*h^3/12; % mo men quan tinh mat cat ngang (mm^4) bcdof(1)=1; % chuyen vi theo phuong x tại nut 1 bi khong che

SinhVienKyThuat.Com

172

bcval(1)=0; % gia tri bang 0 bcdof(2)=2; % chuyen vi theo phuong y tại nut 1 bi khong che bcval(2)=0; % gia tri bang 0 bcdof(3)=3; % chuyen vi goc tai nut 1 bi khong che bcval(3)=0; % gia tri bang 0 ff=zeros(sdof,1); % khoi tao vec to luc nut tong the kk=zeros(sdof,sdof); % khoi tao ma tran do cung tong the index=zeros(edof,1); % khoi tao vec to vecto chi so (bang) ghep noi ff(20)=-50e3; % khai bao cac thanh phan vecto luc nut tong the for iel=1:noe % xet tung phan tu % xac dinh cac bac tu do (chuyen vi nut) tong the tai moi phan tu start = (iel-1)*(nnel-1)*ndof; for i=1:edof index(i)=start+i; end node1=iel; % nut thu 1 cua phan tu thu 'iel' node2=iel+1; % nut thu 2 cua phan tu thu 'iel' x1=x(node1); y1=y(node1); % cac toa do cua nut thu nhat x2=x(node2); y2=y(node2); % cac toa do cua nut thu hai leng=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2); % chieu dai cua phan tu thu 'iel' if (x2-x1)==0; % tinh goc giua truc dia phuong va truc chung if y2>y1; beta=pi/2; else beta=-pi/2; end else beta=atan((y2-y1)/(x2-x1)); end % tinh ma tran do cung phan tu k=frame_element(E_module,J,leng,area,beta); kk=kk_build_2D(kk,k,index); % ghep noi ma tran do cung tong the

SinhVienKyThuat.Com

173

end % ap dat dieu kien bien [kk,ff]=boundary_aply_2D(kk,ff,bcdof,bcval); fem_solution=kk\ff; % giai he phuong trinh PTHH % in cac ket qua num=1:1:sdof; store=[num' fem_solution]

Các hàm sử dụng trong chương trình

%-------------------------------------------------------------- function k=frame_element(E_module,J,leng,area,beta) %-------------------------------------------------------------- % Muc dich: % tinh ma tran do cung phan tu của phan tu khung 2 chieu % voi vecto chuyen vi nut nut la {u_1 v_1 theta_1 u_2 v_2 theta_2} % % Cu phap: % k=frame_element(J,leng,area,beta) % % Mo ta cac bien: % k – ma tran do cung phan tu (kich thuoc 6x6) % E_module – modul dan hoi % J – mo men quan tinh mat cat ngang % leng – chieu dai phan tu % area – dien tich mat cat ngang % beta – goc giua truc x – he truc dia phuong va truc X- he truc chung %-------------------------------------------------------------------------- % tinh ma tran do cung phan tu trong he toa do dia phuong a=E_module*area/leng; c=E_module*J/(leng^3); kl=[a 0 0 -a 0 0;...

SinhVienKyThuat.Com

174

0 12*c 6*leng*c 0 -12* c 6*leng*c;... 0 6*leng*c 4*leng^2*c 0 -6*leng*c 2*leng^2*c;... -a 0 0 a 0 0;... 0 -12*c -6*leng*c 0 12*c -6*leng*c;... 0 6*leng*c 2*leng^2*c 0 -6*leng*c 4*leng^2*c]; % xay dung ma tran quay r=[ cos(beta) sin(beta) 0 0 0 0;... -sin(beta) cos(beta) 0 0 0 0;... 0 0 1 0 0 0;... 0 0 0 cos(beta) sin(beta) 0;... 0 0 0 -sin(beta) cos(beta) 0;... 0 0 0 0 0 1]; % tinh ma tran do cung phan tu trong he toa do chung k=r'*kl*r;

Kết quả số store = Chuyển vị nút

Giá trị Chuyển vị nút

Giá trị Chuyển vị nút

Giá trị

1 0 8 -0.0001 15 -0.0009 2 0 9 -0.0005 16 0.9259 3 0 10 0.5208 17 -0.5115 4 0.0579 11 -0.0002 18 -0.0011 5 - 0.0001 12 -0.0007 19 0.9259 6 - 0.0002 13 0.9259 20 -1.0805 7 0.2315 14 -0.0003 21 -0.0012

SinhVienKyThuat.Com

175

10. BÀI TẬP 9.1-9.6. Trong các bài toán về dầm, biểu diễn trên các hình vẽ

từ 9.10.1-9.10.6. Biết: EJ = 3E6 Nm2; L = 4 m; xC = 0,4L; q = 15kN/m; m = 10kN.m. Hãy xác định:

a) Ma trận độ cứng tổng thể và véctơ lực tổng thể b) Các chuyển vị tổng thể c) Mômen uốn tại điểm C trên dầm

Chú ý: Sử dụng số lượng phần tử cần thiết tối thiểu trong mỗi bài toán.

9.7. Hãy chỉ ra tính hội tụ của các mô hình phần tử hữu hạn cho

một dầm tựa trên hai gối đỡ đơn giản và chịu tải phân bố đều, như Hình 9.10.7. Hãy chia lưới mịn dần để xác định chuyển vị (ở đây là độ võng) cực đại và ứng suất cực đại với sai số nhỏ hơn 5%. Dầm có chiều dài gấp 10 lần chiều cao và có chiều dày đơn vị. So sánh kết quả tính được

x q

x

L L L

Hình 9.10.1 Hình 9.10.2

4J1 2J1 J1 P q

L 2L

x

Hình 9.10.3 Hình 9.10.4

L L L

m m q x

L L L

x

L L L

Hình 9.10.5 Hình 9.10.6

L

x

SinhVienKyThuat.Com

176

với ứng suất uốn và độ võng ở giữa dầm có kể đến ảnh hưởng của biến dạng trượt theo biểu thức giải tích sau:

Ebc

qLEbcqLy

bcqL

513

165;

43 2

3

4

max2

2

9.8. Xác định độ võng cực đại và ứng suất cực đại cho một dầm

công xôn chịu tải phân bố đều, như Hình 9.10.8. Chiều dày của dầm bằng đơn vị và chiều dài của dầm gấp 5 lần chiều cao của nó. So sánh kết quả tính được với ứng suất uốn và độ võng ở giữa dầm có kể đến ảnh hưởng của biến dạng trượt theo biểu thức giải tích sau:

Ebc

qLEbcqLy

bcqL

513

165;

43 2

3

4

max2

2

9.9-9.10. Trong các bài toán về khung biểu diễn trên các hình vẽ

từ Hình 9.10.9 - 9.10.10. Hãy xác định: Ma trận độ cứng tổng thể; véctơ lực nút tổng thể; các chuyển vị nút và các phản lực tại các liên kết. Cho Q = 15 kN ; P= 10 kN; L = 3m; E = 200 gPa; đường kính D = 0,1m.

L L y

x

b

2c

q

Hình 9.10.7. Dầm liên kết tựa bản lề chịu uốn

L y

x

q

b

2c

Hình 9.10.8. Dầm công xôn chịu uốn

SinhVienKyThuat.Com

177

9.11. Hãy phân tích kết cấu sơ bộ cho một khung xe đạp trên

Hình 9.10.11. Thiết kế theo chế độ tải trọng như sau: tải tác dụng theo phương thẳng đứng tại vị trí yên xe là 75 kg và tại vị trí tay lái xe (ghi đông) là 12 kg. Kể đến ảnh hưởng của lực quán tính bằng cách sử dụng hệ số tải trọng 2,5. Giả thiết ban đầu là tất cả các dầm đều là thép ống với đường kính ngoài là 25 mm và chiều dày thành ống là 1,5 mm. Kiểm tra xem khung xe có bị phá hủy cục bộ (tại một điểm nào đó trên khung) nếu vật liệu là thép giàu cacbon với giới hạn đàn hồi là 600gPa? Nếu phá hủy xảy ra thì hãy thiết kế lại (thiết kế tinh) ví dụ thay vật liệu bằng loại có giới hạn đàn hồi cao hơn hoặc có tiết diện lớn hơn hoặc thay đổi hình dạng của khung để chống phá hủy. Nếu khung được thiết kế quá thừa bền thì hãy thiết kế tinh để giảm khối lượng của khung. (Kích thước của khung trên hình vẽ dưới đây được biểu diễn bằng mm

P

Q

L

P

L

Hình 9.10.9 Hình 9.10.10

L L

915

75 kg

12 kg

458 813

305

380

255 790

Hình 9.10.11. Mô hình khung xe đạp chịu lực

SinhVienKyThuat.Com

178

Chương 10 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN DẪN NHIỆT

1. GIỚI THIỆU Trong kỹ thuật, việc xác định ứng suất nhiệt trong quá trình hàn,

ứng suất nhiệt do các động cơ nhiệt hoạt động gây ra và xác định các biến dạng nhiệt do ánh sáng mặt trời gây ra trên các kết cấu v.v, có ý nghĩa rất quan trọng. Để giải quyết vấn đề trên, ta cần thiết phải biết sự phân bố nhiệt độ trong vật.

Dưới đây, ta xét bài toán dẫn nhiệt một chiều và hai chiều trong môi trường dừng nhờ phương pháp phần tử hữu hạn.

2. BÀI TOÁN DẪN NHIỆT MỘT CHIỀU

2.1. Mô tả bài toán Bài toán dẫn nhiệt một chiều còn được gọi là bài toán thanh nhiệt, Hình 10.1.

2.2. Phần tử một chiều Giả thiết nhiệt độ biến thiên tuyến tính dọc chiều dài thanh, khi đó

ta có thể sử dụng mô hình phần tử 2 nút với hàm dạng tuyến tính để xây dựng mô hình PTHH cho bài toán truyền nhiệt một chiều (Hình

qA Adx

dxdqq

x dx

dòng nhiệt

Vật dẫn nhiệt

Hình 10.1. Mô hình bài toán dẫn nhiệt một chiều

QAdx

SinhVienKyThuat.Com

179

10.2). Nhiệt độ tại các nút được ký hiệu là T (tại nút 1 là T1 và nút 2 là T2) là các ẩn số cần tìm.

Trong chương này, các ký hiệu được sử dụng như sau:

T là nhiệt độ, k là hệ số dẫn nhiệt của vật liệu (W/m 0C), q là mật độ dòng nhiệt (W/ m2), Q là nguồn nhiệt trên một đơn vị thể tích hoặc trên một đơn vị diện tích, h là hệ số đối lưu nhiệt (W/m2 0C),

Định luật Fourier cho rằng: Dòng nhiệt đi qua thanh tỉ lệ thuận với građiên nhiệt độ T/x theo phương dẫn. Do đó,

dxdTkAQ (10.1)

Trong đó: Q là nhiệt lượng; k là hệ số dẫn nhiệt; A là diện tích mặt cắt ngang (mặt đẳng nhiệt vuông góc với hướng truyền nhiệt). và:

e

ij

ij

ij

lTT

xxTT

dxdT

(10.2)

do đó:

jie

jije

i TTlkAQTT

lkAQ ;

hoặc dưới dạng ma trận:

1 2 1 2 3 L

T1=T0 q=h(TL-T)

X

Hình 10.2. Mô hình phần tử hữu hạn cho bài toán dẫn nhiệt

SinhVienKyThuat.Com

180

j

i

j

i

e QQ

TT

lkA

1111

(10.3)

Đây là phương trình cân bằng của phần tử cho bài toán thanh nhiệt. So sánh với bài toán một chiều (Chương 4), ta dễ thấy có một sự tương tự:

QfTul

kAl

EA ;;

Tiến hành ghép các phần tử như trong bài toán một chiều (1D). Cuối cùng ta cũng thu được hệ phương trình PTHH dưới dạng tổng quát:

KT = R (10.4)

2.3. Ví dụ Khảo sát sự phân bố nhiệt qua vách phẳng được ghép từ 3 lớp vật

liệu như Hình 10.3; với hệ số dẫn nhiệt của các lớp vật liệu là: k1=8010-3W/mm 0C; k2=110-3W/mm 0C; k3=8010-3 W/mm 0C.

Lời giải

Ta có thể mô tả bài toán như một thanh nhiệt gồm 3 phần tử; diện tích mặt cắt ngang bằng 1 đơn vị. Trước hết ta xây dựng bảng ghép nối các phần tử, như bảng sau:

Bậc t.do Phần tử

1 2

1 2 1 2 3

T1=2000C x

Hình 10.3. Mô hình bài toán dẫn nhiệt qua vách phẳng 3 lớp

4 3

k1 k2 k3 T4=200C

10 5 10

SinhVienKyThuat.Com

181

1 1 2

2 2 3

3 3 4

Sau đó tính các ma trận dẫn nhiệt của các phần tử:

Cw 033

/1111

1081111

101080

Cw 033

/1111

102,01111

5101

Cw 033

/1111

1081111

101080

Từ đây, ta tính được ma trận dẫn nhiệt K:

CwK 03 /10

880082,82,00

02,02,880088

và hệ phương trình PTHH có dạng:

4

1

4

3

2

1

3

00

880082,82,00

02,02,880088

10

R

R

TTTT

Áp đặt điều kiện biên: T1 = 2000C, T4 = 200C vào hệ phương trình trên (tức là loại bỏ dòng 1, cột 1 và dòng 4, cột 4); sau đó giải hệ phương trình, ta sẽ được: T2 = 195,710C T3 = 24,29 0C Thay các giá trị của T vào hệ phương trình trên, ta tìm được lượng nhiệt cần cung cấp tại nút 1 và 4 sẽ là: R1 = -R4 = 34,3210-3 W/mm2

SinhVienKyThuat.Com

182

3. BÀI TOÁN DẪN NHIỆT HAI CHIỀU

3.1. Phương trình vi phân quá trình dẫn nhiệt hai chiều Mục đích của chúng ta ở đây là đi xác định sự phân bố nhiệt độ

T(x, y) trong một vật thể dài, hình lăng trụ; chẳng hạn trong ống khói có tiết diện ngang chữ nhật như Hình 10.4.

Khảo sát một vi phân thể tích như Hình 10.4b. Vi phân thể tích có

độ dầy t là hằng số theo phương z. Lượng nhiệt phát sinh trong phân tố được ký hiệu là Q(W/m3). Vì lượng nhiệt đi vào vi phân thể tích cộng với lượng nhiệt phát sinh phải bằng lượng nhiệt đi ra; do đó:

tdxdyy

qqtdydx

xqqtQdxdytdxqtdyq y

yx

xyx

(10.5)

Từ (10.5), suy ra:

0

Q

yq

xq yx (10.6)

thay yTkqxTkq yx ; vào (10.6), ta sẽ được phương

trình dẫn nhiệt:

A A

A-A

Hình 10.4. (a). Mô hình bài toán dẫn nhiệt hai chiều (b).Vi phân thể tích dẫn nhiệt

y

x

Q

(b) (a)

qy

dxqqx

xx

dyq

qy

yy

qx

dx

dy

SinhVienKyThuat.Com

183

0

Q

yTk

yxTk

x (10.7)

Phương trình vi phân đạo hàm riêng mô tả quá trình dẫn nhiệt 2 chiều (10.7) là một trường hợp riêng của phương trình tổng quát cho quá trình dẫn nhiệt Helmholtz.

3.2. Điều kiện biên Phương trình (10.7) phải được giải quyết với các điều kiện biên xác định. Có ba dạng điều kiện biên như mô tả trên Hình 10.5. Các điều kiện biên được phát biểu cụ thể như sau: i. Cho trước nhiệt độ T = T0 trên biên ST; ii. Cho trước mật độ nhiệt qn = q0 trên Sq; iii. Cho trước qui luật trao đổi nhiệt giữa bề mặt của vật và môi

trường qn = h(T-T) trên Sc.

Phần bên trong vật ký hiệu là A. Biên tổng cộng là S = (ST + Sq + Sc). Ngoài ra, véctơ mật độ nhiệt qn vuông góc với biên dẫn. Ở đây ta qui ước: q0 >0 nếu nhiệt đi ra ngoài vật và q0 <0 nếu nhiệt đi vào trong vật.

Sc: qn = h(T-T)

ST: T=T0

Sq: qn = q0 Hình 10.5. Các điều kiện biên của bài toán dẫn nhiệt hai chiều

A

SinhVienKyThuat.Com

184

3.3. Phần tử tam giác Dưới đây, chúng ta sẽ sử dụng phần tử tam giác để giải bài toán

dẫn nhiệt (Hình 10.6). Việc mở rộng cho phần tử tứ giác đẳng tham số cũng được thực hiện tương tự như Chương 8.

Ta biểu diễn trường nhiệt độ trong phần tử được biểu diễn bởi:

T = T1 N1 + T2 N2 + T3 N3 (10.8) Hoặc: T = NTe Trong đó:

1N là các hàm dạng và Te TTTT 321 tương ứng là nhiệt độ tại các nút và là các ẩn số cần tìm. Tương tự như ở Chương 6, với phần tử tam giác đẳng tham số ta có: x = N1 x1 + N2 x2+ N3 x3 y = N1 y1 + N2 y2 + N3 y3 (10.9) Suy ra

y

yTx

xTT và

y

yTx

xTT (10.10)

Hay

yTxT

JT

T

(10.11)

1 2

3

1 2

3

= 1

= 1 y

x

T(x,y)

T1

T3

T2

Hình 10.6. Phần tử tam giác bậc nhất trong bài toán dẫn nhiệt hai chiều

Phần tử quy chiếu

SinhVienKyThuat.Com

185

J là ma trận Jacobian được xác định bởi:

3131

2121

yxyx

J

Trong đó: xij = xi - xj; yij = yi - yj và eAJ 2det , với Ae là diện tích

của phần tử tam giác. Nghịch đảo (10.11), dẫn đến:

eTxxyy

JT

T

J

yTxT

101011

det1

2131

21311

(10.12)

Hay:

eTTB

yTxT

(10.13)

Trong đó

211332

123123

21312131

21313121

det1

det1

xxxyyy

Jxxxxyyyy

JBT (10.14)

Kết quả là:

eT

TT

Te TBBT

yTxT

yT

xT

yT

xT

22

(10.15)

3.4. Xây dựng phiếm hàm Như đã đề cập ở mục trên, chúng ta cần giải phương trình (10.7)

với các điều kiện biên: (i). T = T0 trên ST; (ii). qn = q0 trên Sq; (iii). qn = h(T-T) trên Sc. Việc giải bài toán này tương đương với việc cực tiểu hoá phiếm hàm:

cq SSA

tdSTThTtdSqtdAQTyTk

xTk 2

0

22

212

21 (10.16)

sao cho T = T0 trên ST.

SinhVienKyThuat.Com

186

Thế (10.15) vào hai số hạng đầu trong biểu thức tích phân thứ nhất của , ta sẽ được:

eT

Te

e

eT

Te

e

eT

TTe

Te

e e

eT

TT

Te

A

TKTTkTTBBktAT

tdATBBkT

tdAyTk

xTk

21

21

2121

21 2

(10.17)

Trong đó ma trận dẫn nhiệt của phần tử được xác định bởi:

TT

TeT BBktAk (10.18) và ma trận dẫn nhiệt của cả hệ:

e

TT kK (10.19)

a. Xét số hạng thứ ba trong biểu thức tích phân thứ nhất của , có ba trường hợp xảy ra: 1. Khi Q =Qe là hằng số trong phần tử; độ dày phần tử t = const.

e

e

TQ

e

e ee

A

TrTNtdAQQTtdA

(10.20)

Vì ee

i AdAN31

, do đó véctơ lượng nhiệt:

TeeQ

tAQr 1113

(10.21)

2. Khi Q biến thiên tuyến tính với Qe = [Q1, Q2 , Q3 ]T. Khi ấy, ta có: Q(, ) = NQe (10.22)

Thế (10.22) vào A

QTtdA , sẽ được:

TeQ QQQQQQQQQtAr 321321321 222

12 (10.23)

3. Trường hợp điểm nhiệt. Giả sử Q0 là biên độ của điểm nhiệt tại (0, 0) trong phần tử. Nếu điểm nhiệt trùng với nút của phần tử thì Q0 được

SinhVienKyThuat.Com

187

cộng vào véctơ tải trọng ở vế phải; nếu điểm nhiệt nằm bên trong phần tử thì:

eTQ

e

e

TrTNtQTtQQTtdA 00000 , (10.24)

Trong đó: 000 ,TQ NtQr

Hay TQ tQr 00000 1 (10.25)

b. Xét tích phân tiếp theo

qS e

e

eq TNtdSqTtdSq 00 (10.26)

Giả thiết rằng điều kiện biên mật độ nhiệt q = q0 được cho vuông góc với cạnh 2-3 của phần tử như Hình 10.7.

Khi ấy, dọc theo cạnh 2-3, ta có: 10N và dldS 23 . Vì vậy

e

eTQ

e

ee

e

eq TrtTdlqTNtdSq

1

02300 10 (10.27)

Trong đó:

TQtlqr 1102

230 (10.28)

1 2

3

q = q0

Hình 10.7. Điều kiện biên dẫn trên cạnh 2-3 của phần tử tam giác

= 0 = 0

= 1 = 0

= 0 = 1

x

SinhVienKyThuat.Com

188

Tương tự, nếu điều kiện biên mật độ nhiệt q = q0 được cho vuông góc với cạnh 1-2 của phần tử, ta sẽ có:

TQtlqr 0112

120 (10.29)

Và nếu điều kiện biên mật độ nhiệt q = q0 được cho vuông góc với cạnh 1-3 của phần tử, ta sẽ có:

TQtlqr 1012

130 (10.30)

c. Xét tích phân cuối cùng

e ec

e

eTe

eT

Te

e ec

e

e

ec

e

e ec

TTe

SSSS

dSthTTrThT

dSthTTNtdShTTNtdShNT

tdShTtdShTTtdShTtdSTThcccc

2

2

222

21

21

21

21

21

21

21

(10.31)

Nếu cạnh 2-3 là cạnh toả nhiệt đối lưu của phần tử, khi ấy 10N và dldS 23 , nên ta có:

210120000

623htlhT (10.32)

TlhtTr 1102

23 (10.33)

Nếu cạnh 1-2 là cạnh toả nhiệt đối lưu của phần tử, khi ấy 01 N và dldS 12 , nên ta có:

000021012

612htlhT (10.34)

TlhtTr 0112

12 (10.35)

Nếu cạnh 1-3 là cạnh toả nhiệt đối lưu của phần tử, khi ấy 01N và dldS 13 , nên ta có:

SinhVienKyThuat.Com

189

201000102

613htlhT (10.36)

TlhtTr 1012

13 (10.37)

cuối cùng, số hạng e e

cdSthT 2

21 trong (10.31) được bỏ qua vì nó

không chứa các thành phần của vectơ Te, nên sẽ tự động bị triệt tiêu trong phép toán tìm cực trị của phiếm hàm. Cuối cùng, ta viết phiếm hàm (10.16) dưới dạng:

TRKTT TT 21 (10.38)

Trong đó

e

TT hkK (10.39)

e

qQ rrrR (10.40)

Việc cực tiểu hoá phiếm hàm phải được thực hiện sao cho thoả mãn điều kiện T = T0 ở tất cả các nút trên ST.

3.5. Ví dụ Một vật thể đủ dài, tiết diện ngang chữ nhật, có hệ số dẫn nhiệt là

1,5W/m 0C chịu điều kiện biên như Hình 10.8. Hai mặt đối diện trên và dưới được giữ ở nhiệt độ 1800C; mặt trái cách nhiệt; mặt phải chịu sự trao đối nhiệt đối lưu với T = 250C; h = 50 W/m2 0C. Xác định sự phân bố nhiệt độ trong vật thể. Lời giải

Do mặt cắt ngang đối xứng nên ta chỉ xét một nửa chiều cao mặt cắt ngang. Phần mặt cắt khảo sát được chia ra 3 phần tử với 5 nút như Hình 10.8.

SinhVienKyThuat.Com

190

Từ sơ đồ lưới phần tử như trên, ta xây dựng được bảng ghép nối các phần tử:

Bậc t.do Phần tử

1 2 3

1 1 2 3 2 5 1 3 3 5 3 4

Theo công thức (10.14)

211332

123123

det1

xxxyyy

JBT

Ta tính được

4,04,00015,015,0

06,011B

04,04,03,015,015,0

12,012B

4,04,00

015,015,006,013B

k=1,5W/m0C

2

3

1 1

5 4

3

2 0,4m

0,6m

h, T h, T

T=1800

T=1800

q=0 Hình 10.8. Mô hình bài toán thanh dẫn nhiệt

T=1800

SinhVienKyThuat.Com

191

Áp dụng công thức TT

TeT BBkAk (t=1 đơn vị), ta tính được các ma trận nhiệt của các phần tử:

22022813,22813,0

02813,02813,0)03,0()5,1( 111

TT

TT BBk

5625,02813,02813,02813,014,186,02813,086,014,1

2Tk

22022813,22813,0

02813,02813,03

Tk

Tiếp theo, cần tính ma trận hT cho phần tử có cạnh đối lưu. Vì hai phần tử 1 và 3 cùng có cạnh 2-3 (nút địa phương) đối lưu, áp dụng biểu thức (10.32) ta có:

210120000

623htlhT

thay số vào ta được:

5,225,1025,15,20000

31TT hh

Ma trận dẫn nhiệt của cả hệ (kích thước 5x5) sẽ được xây dựng nhờ bảng ghép nối các phần tử ở trên. Chú ý đến điều kiện biên T = 1800C tại nút 4 và 5 (bỏ hàng 4, cột 4; hàng 5, cột 5), ta được:

563,975,02813,0

75,07813,42813,02813,02813,04213,1

K

Bây giờ ta đi tính véctơ lượng nhiệt R theo công thức (10.33):

SinhVienKyThuat.Com

192

TlhtTr 1102

23

ta có:

Trr 1102

15,0255031

Vậy

R = 93,75 [ 0 1 2 ]T

Giải hệ phương trình: (KT = R) ta được:

TTTTTTTT 1801804,40345,12454321

Nếu chia cạnh 2-4 ra nhiều nút, ta sẽ có kết quả chính xác hơn.

4. CÁC CHƯƠNG TRÌNH TÍNH BÀI TOÁN DẪN NHIỆT

4.1. Ví dụ 10.1 Khảo sát sự phân bố nhiệt qua vách phẳng được ghép từ 3 lớp vật

liệu như Hình 10.9. Với hệ số dẫn nhiệt của các lớp vật liệu là: k1=20 W/mm 0C; k2=30 W/mm 0C; k3=25 W/mm 0C. Quá trình truyền nhiệt đối lưu từ bề mặt bên trong của vách, với T = 8000C và h=25 W/m2.0C.

Ở bài toán này, ta sẽ sử dụng mô hình PTHH với 4 phần tử như

Hình 10.9, điều kiện biên sẽ là T4=200C ; do đó, việc áp đặt điều kiện biên vào hệ phương trình PTHH sẽ cần phải được thực hiện theo trình tự sau:

- Cộng vào các thành phần của véctơ R(i) một đại lượng bằng -K(i,4)*20, với i là chỉ số hàng (i=1..4) ;

1 2

1 2 3 x

Hình 10.9. Mô hình bài toán dẫn nhiệt qua vách phẳng 3 lớp

4

3

k1 k2 k3 T4=200C

0,3m 0,15m

h, T

0,15m

SinhVienKyThuat.Com

193

- Tiến hành loại hàng 4 và cột 4 như bài toán thông thường.

Chương trình nguồn %---------------------------------------------------------------------------- % Chuong trinh 1 chuong 10. %---------------------------------------------------------------------------- % Vi du 10.1, giai bai toan truyen nhiet mot chieu % Mo ta bai toan % Xac dinh phan bo nhiet do trong vach phang nhu Hinh 10.9. % Mo ta cac bien % k = ma tran dan nhiet phan tu % kk = ma tran dan nhiet tong the % rr = vecto nhiet luong tong the % index = vecto chi so ghep noi phan tu % gcoord = ma tran toa do nut tong the % k_coeff = he so dan nhiet cua vat lieu % elsec = dien tich mat cat ngang phan tu % nodes = ma tran chi so nut tong the tai moi phan tu % bcdof = vecto nhiet do nut chiu rang buoc cua cac dieu kien bien % bcval = gia tri nhiet do nut chiu rang buoc cua cac dieu kien bien %---------------------------------------------------------------------------- %--------------------------- % du lieu dieu khien luoi %--------------------------- clear noe=3; % tong so phan tu nnel=2; % so nut cua phan tu ndof=1; % so bac tu do tai nut nnode=noe+1; % tong so nut cua he sdof=nnode*ndof; % tong so bac tu do cua he %--------------------------- % toa do nut %--------------------------- gcoord(1)=0.0; % toa do x cua nut 1 gcoord(2)=0.3; % toa do x cua nut 2 gcoord(3)=0.45; % toa do x cua nut 3 gcoord(4)=0.6; % toa do x cua nut 4 %----------------------------------------------------------- % cac tham so: he so dan nhiet cua vat lieu và thong so hinh hoc phan tu %-----------------------------------------------------------

SinhVienKyThuat.Com

194

% Don vi W/m do C k_coeff(1)=20; % he so dan nhiet cua vat lieu phan tu thu 1 k_coeff(2)=30; % he so dan nhiet cua vat lieu phan tu thu 2 k_coeff(3)=50; % he so dan nhiet cua vat lieu phan tu thu 3 elsec(1)=1; % dien tich mat cả ngang phan tu thu 1 elsec(2)=1; % dien tich mat cả ngang phan tu thu 2 elsec(3)=1; % dien tich mat cả ngang phan tu thu 3 %----------------------------- % nodal connectivity %----------------------------- nodes(1,1)=1; nodes(1,2)=2; % cac chi so nut tong the cua phan tu 1 nodes(2,1)=2; nodes(2,2)=3; % cac chi so nut tong the cua phan tu 2 nodes(3,1)=3; nodes(3,2)=4; % cac chi so nut tong the cua phan tu 4 %----------------------------------------------------------- % Convection heat transfer conditions %----------------------------------------------------------- T_0 = 20; % nhiet do ben ngoai (do C) T_ext = 800 % T_vocung (do C) h_coeff = 25; % he so trao doi nhiet (W/m^2) %----------------------------- % khai bao cac dieu kien bien %----------------------------- bcdof(1)=4; bcval(1)=T_0; %---------------------------- % khoi tao cac vecto va cac ma tran %---------------------------- rr=zeros(sdof,1); kk=zeros(sdof,sdof); index=zeros(nnel*ndof,1); r=zeros(nnel*ndof,1); % vec to nhiet luong phan tu eltemp=zeros(nnel*ndof,1); % vecto nhiet do nut phan tu k=zeros(nnel*ndof,nnel*ndof); % ma tran dan nhiet phan tu %----------------------------- % xay dung vecto nhiet luong tong the %----------------------------- rr(1)=h_coeff*T_ext; kk(1,1)=h_coeff; %-------------------------- % Xet tung phan tu %--------------------------

SinhVienKyThuat.Com

195

for iel=1:noe % xet tung phan tu nd(1)=nodes(iel,1); % chi so tong the cua nut 1 phan tu (iel) nd(2)=nodes(iel,2); % chi so tong the cua nut 2 phan tu (iel) x1=gcoord(nd(1)); % toa do nut thu 1 x2=gcoord(nd(2)); % toa do nut thu 2 leng=x2-x1; % chieu dai phan tu 1 chieu % xac dinh cac bac tu do phan tu k=0; for i=1:nnel start = (nd(i)-1)*ndof; for j=1:ndof k=k+1; index(k)=start+j; end end % tinh ma tran dan nhiet phan tu k= (area(iel)*k_coeff(iel)/leng(iel))*[ 1 -1;-1 1]; kk=kk_build_2D(kk,k,index); % ghep noi phan tu end %--------------------------------------------------- % ap dat cac dieu kien bien va giai he phuong trinh PTHH %--------------------------------------------------- kkk=kk; % kkk – luu vet cua kk de tinh vecto nhiet luong. % ap dat cac dieu kien bien [kk,rr]=boundary_aply_2D_N(kk,rr,bcdof,bcval); disp=kk\rr; % giai he phuong trinh PTHH %-------------------------------------------------- % tinh vecto nhiet luong %-------------------------------------------------- rr=zeros(sdof,1); % khoi tao vecto nhiet luong for i=1:sdof for j=1:sdof rr(i)=rr(i)+kkk(i,j)*disp(j); end end %---------------------------- % in ket qua %---------------------------- num=1:1:sdof; displ=[num' disp rr] %--------------------------------------------------------------------

SinhVienKyThuat.Com

196

Kết quả số displ = Node Nhiệt độ Nhiệt lượng vào/ra 1 305 20000 2 119 0 3 57 0 4 20 -12381

SinhVienKyThuat.Com

197

4.2. Ví dụ 10.2 Một thanh đủ dài, tiết diện ngang chữ nhật, có hệ số dẫn nhiệt là

1,5W/m.0C chịu điều kiện biên như Hình 10.10. Hai mặt đối diện trên và dưới được giữ ở nhiệt độ 1800C; mặt trái cách nhiệt; mặt phải chịu sự trao đối nhiệt đối lưu với T = 250C; h = 50 W/m2 0C. Xác định sự phân bố nhiệt độ trong vật thể.

Ở đây, ta sẽ xây dựng chương trình tính với mô hình 6 phần tử cho một nửa chiều cao mặt cắt ngang. Và từ kết quả số của chương trình, bạn đọc có thể tự so sánh với kết quả tính tay đã thực hiện với mô hình 3 phần tử trong ví dụ 2, (Chương 10)

Chương trình nguồn:

%---------------------------------------------------------------------------- % Chuong trinh 2, chuong 10 – Vi du 10.2 (P10_2) %---------------------------------------------------------------------------- % Mo ta bai toan: % Mot thanh kim loai du dai, co mat cat ngang hinh chu nhat; % he so dan nhiet cua vat lieu thanh bang 1,5 W/m. do C % dieu kien bien nhu mo ta tren Hinh 10.10: % hai mat doi dien duoc duy tri o mot nhiet do deu la 180 do C

k=1,5W/m0C

1

7 8

5

2

0,4m

0,6m

h, T h, T

T=1800

T=1800

q=0

Hình 10.10. Mô hình bài toán thanh dẫn nhiệt

T=1800

3 4

6

SinhVienKyThuat.Com

198

% su trao doi nhiet doi luu tren mot mat voi T_extremely=25 do C % va h=50W/m^2. do C, mat doi dien duoc phu lop cach nhiet % Xac dinh su phan bo nhiet do trong thanh % su dung 6 phan tu tam giac bac nhat dang tham so tren 1 nua mat cat % Chu y, tai bien doi xung truc, khong co su trao doi nhiet luong % Hinh 10.10 mo ta luoi phan tu % % Mo ta cac bien % k = ma tran dan nhiet phan tu % kk = ma tran dan nhiet tong the % rr = vec to nhiet luong tong the % gcoord = ma tran toa do nut tong the % nodes = ma tran cac chi so nut tong the tai moi phan tu % index = vecto chi so ghep noi phan tu % bcdof = vecto nhiet do nut chiu rang buoc cac dieu kien bien % bcval = gia tri nhiet do nut chiu rang buoc cua cac dieu kien bien %---------------------------------------------------------------------------- %------------------------------------ % cac tham so dieu khien luoi phan tu %------------------------------------ clear noe=6; % tong so phan tu nnel=3; % so nut cua phan tu ndof=1; % so bac tu do tai nut nnode=8; % tong so nut trong he sdof=nnode*ndof; % tong so bac tu do cua he edof=nnel*ndof; % so bac tu do cua phan tu %--------------------------------------------- % nhap thong tin toa do nut: gcoord(i,j), % trong do i la so hieu nut va j = 1 chi toa do x, j=2 chi toa do y %--------------------------------------------- gcoord=[0.0 0.0; 0.4 0.0; 0.4 0.075; 0.0 0.15; 0.4 0.15; 0.4 0.225; 0.0 0.3; 0.4 0.3]; %--------------------------------------------------------- % nhap thong tin chi so nut tong the cua moi phan tu: nodes(i,j)

SinhVienKyThuat.Com

199

% trong do i chi phan tu, j la chi so nut %--------------------------------------------------------- nodes=[1 2 3; 1 3 4; 4 3 5; 4 5 6; 4 6 7; 7 6 8]; % canh 2 cua cac phan tu: 1, 3, 4 va 6 la cac canh trao doi nhiet doi luu ce=[2 0 2 2 0 2]; %----------------------------------------------------------- % cac thong tin ve su dan nhiet va doi luu nhiet %----------------------------------------------------------- t=1; % chieu day phan tu thanh, la do day PTHH 2 chieu k_coeff=1.5; % he so dan nhiet cua vat lieu (W/m do C) T_0 = 180; % nhiet do moi truong ngoai (do C) T_ext = 25; % T_vocung (do C) h_coeff = 50; % he so doi luu (W/m^2) %------------------------------------- % thongg tin ve dieu kien bien %------------------------------------- bcdof(1)=7; % nhiet do nut 7 chiu rang buoc bcdof(2)=8; % nhiet do nut 8 chiu rang buoc bcval(1)=T_0; % gia tri nhiet do tai nut 7 = 0 bcval(2)=T_0; % gia tri nhiet do tai nut 8 = 0 %---------------------------------------------- % khoi tao cac vecto va ma tran %---------------------------------------------- rr=zeros(sdof,1); kk=zeros(sdof,sdof); hh=zeros(sdof,sdof); % ma tran doi luu tong the index=zeros(edof,1); eltemp=zeros(edof,1); % vec to nhiet do nut phan tu %----------------------------------------------------------------- % tinh toan cac ma tran dan nhiet, vecto nhiet luong phan tu va ghep noi %----------------------------------------------------------------- for iel=1:noe % xet tung phan tu for i=1:nnel

SinhVienKyThuat.Com

200

nd(i)=nodes(iel,i); % chi so nut tong the cac nut cua phan tu (iel) xcoord(i)=gcoord(nd(i),1); % toa do x cua cac nut ycoord(i)=gcoord(nd(i),2); % toa do x cua cac nut end k=zeros(edof,edof); % khoi tao ma tran dan nhiet phan tu h=zeros(edof,edof); % khoi tao ma tran doi luu nhiet phan tu r=zeros(edof,1); % khoi tao vecto nhiet luong phan tu nd(1)=nodes(iel,1); % chi so nut tong the cua nut thu 1 phan tu(iel) nd(2)=nodes(iel,2); % chi so nut tong the cua nut thu 2 phan tu(iel) nd(3)=nodes(iel,3); % chi so nut tong the cua nut thu 3 phan tu(iel) x1=gcoord(nd(1),1); % toa do x cua nut thu 1 y1=gcoord(nd(1),2); % toa do y cua nut thu 1 x2=gcoord(nd(2),1); % toa do x cua nut thu 2 y2=gcoord(nd(2),2); % toa do y cua nut thu 2 x3=gcoord(nd(3),1); % toa do x cua nut thu 3 y3=gcoord(nd(3),2); % toa do y cua nut thu 3 J=[x2-x1 y2-y1; x3-x1 y3-y1] % ma tran Jacobian phan tu A_e=det(J)/2 % dien tich phan tu B_t=(1/det(J))*[y2-y3 y3-y1 y1-y2; x3-x2 x1-x3 x2-x1]; %-------------------------------------------- % tinh ma tran dan nhiet phan tu %-------------------------------------------- k=k_coeff*A_e*B_t'*B_t; %------------------------------------ % tinh vec to nhiet luong doi luu %------------------------------------------------- % khoi tao vecto nhiet luong do doi luu nhiet r_ext=zeros(edof,1); if ce(iel)~=0 % co 1 canh la canh doi luu length(1)=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2); % do dai cua canh (1-2)

SinhVienKyThuat.Com

201

length(2)=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2); % do dai cua canh (2-3) length(3)=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2); % do dai cua canh (1-3) if ce(iel)==1 % canh 1-2 la canh doi luu h=(h_coeff*length(1)/6)*[2 1 0; 1 2 0; 0 0 0]; r_ext=(h_coeff*T_ext*length(1)/2)*[1 1 0]; else if ce(iel)==2 % canh 2-3 la canh doi luu h=(h_coeff*length(2)/6)*[0 0 0; 0 2 1; 0 1 2]; r_ext=(h_coeff*T_ext*length(2)/2)*[0 1 1]; else % canh 1-3 la canh doi luu h=(h_coeff*length(3)/6)*[2 0 1; 0 0 0; 1 0 2]; r_ext=(h_coeff*T_ext*length(3)/2)*[1 0 1]; end end end % xay dung bang ghep noi phan tu index=sys_elm_dof_assoc(nd,nnel,ndof); kk=kk_build_2D(kk,k,index); % ghep noi ma tran dan nhiet hh=kk_build_2D(hh,h,index); % ghep noi ma tran doi luu rr=ff_build_2D(rr,r_ext,index); % ghep noi vecto nhiet luong end kk=kk+hh; %----------------------------- % ap dat dieu kien bien %----------------------------- [kk,rr]=boundary_aply_2D_N(kk,rr,bcdof,bcval); %---------------------------- % giai he phuong trinh PTHH %---------------------------- disp=kk\rr; num=1:1:sdof; displace=[num' disp] % in ket qua

Kết quả số:

SinhVienKyThuat.Com

202

Nút Nhiệt độ (oC) 1 128.9190 2 37.1185 3 40.0259 4 142.0870 5 51.6724 6 85.4203 7 180.0000 8 180.0000

SinhVienKyThuat.Com

203

5. BÀI TẬP 10.1. Trong một bài toán dẫn nhiệt

của một kết cấu, người ta cho biết rằng nhiệt độ tại các nút của phần tử tam giác số (5) là: T6 = 488,66 0K; T7 = 425,16 0K; T8 = 496,08 0K, như trên Hình 10.5.1. Xác định građien nhiệt độ trong phần tử. Xác định xem đường đẳng nhiệt 4910K cắt biên của phần tử tại đâu?

10.2. Trong một bài toán dẫn nhiệt

tương tự như bài 10.1 người ta biết nhiệt độ tại các nút của phần tử chữ nhật số (10) là: T5 = 258,46 0K; T6 = 288,66 0K; T7 = 325,16 0K; T8 = 196,08 0K như trên Hình 10.5.2. Xác định građien nhiệt độ trong phần tử. Xác định xem đường đẳng nhiệt 260 0K cắt biên của phần tử tại đâu?

10.3. Khảo sát một bức tường có chiều dày L=30 cm, hệ số dẫn nhiệt của vật liệu k = 0.7 W/m .oC. Bề mặt trong có nhiệt độ 28oC và bề mặt ngoài tiếp xúc với không khí lạnh ở nhiệt độ -15oC. Hệ số đối lưu nhiệt của bề mặt là h = 40W/m2

.oC. Hãy xác định giá trị nhiệt độ trung bình phân bố trong tường và lượng nhiệt đi qua tường. Sử dụng 2 cách cơ bản: tính toán bằng tay và sửa đổi lại chương trình P10_2.

10.4. Xét kết cấu nhiệt như Hình 10.5.4. Mặt ngoài của bộ phát nhiệt (dạng băng) được gắn với 1 lớp cách nhiệt, mặt

y

x

8

7 6

Hình 10.5.1

5

y

x

8 7

6 5

Hình 10.5.2

10

Hình 10.5.3

k=0.7W/moC 28oC

h=40W/m2 oC T = -15oC

30 cm

2cm

Hình 10.5.4

h =5W/m2.0C T =20oC

Thép trắng k =16.6W/moC

Phần tử phát nhiệt

Lớp cách nhiệt

SinhVienKyThuat.Com

204

trong được gắn với một tấm thép không gỉ dày 2cm, hệ số dẫn nhiệt k =16.6W/m.oC. Bề mặt kia của tấm thép được tiếp xúc với không khí ở nhiệt độ 20oC. Nhiệt lượng phát sinh từ bộ phát nhiệt ở cường độ 500W/m2. Hãy xác định nhiệt độ tại bề mặt mà dải nhiệt gắn với tấm thép tản nhiệt.

10.5. Ống khói bằng gạch trên Hình 10.5.5 có chiều cao 6m. Bề mặt

trong có nhiệt độ cố định là 100oC và bề mặt ngoài được giữ ở nhiệt độ là 30oC. Bằng cách tính tay và phát triển chương trình P10_2 để tính tổng nhiệt lượng truyền qua thành ống khói. Chú ý đến tính đối xứng của hệ, nên chỉ thực hiện tính cho ¼ mặt cắt ngang. Biết hệ số dẫn nhiệt của vật liệu là k = 0,72 W/m.oC.

0,1m

0,6m

100oC

300C

Hình 10.5.5

x

y

0,1m

0,8m

SinhVienKyThuat.Com

205 SinhVienKyThuat.Com

206

Chương 11 PHẦN TỬ HỮU HẠN

TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TẤM - VỎ CHỊU UỐN

1. GIỚI THIỆU Tấm và vỏ là các dạng kết cấu được sử dụng nhiều trong kỹ thuật

và chúng thường chịu biến dạng chịu uốn. Các phương trình PTHH đối với các kết cấu tấm-vỏ thường phức tạp hơn nhiều so với các dạng kết cấu khác. Chương 11 sẽ giới thiệu về hai lý thuyết tấm được sử dụng phổ biến trong các bài toán kết cấu tấm-vỏ: lý thuyết tấm kinh điển của Kirchoff (gọi tắt là tấm Kirchoff) và lý thuyết tấm bậc nhất của Mindlin (gọi tắt là tấm Mindlin).

Các thuật toán PTHH đối với tấm chịu uốn tương ứng với hai lý thuyết trên đã được thiết lập chi tiết.

Phần tử vỏ được xem là tổ hợp của phần tử tấm chịu uốn và phần tử tấm chịu trạng thái ứng suất phẳng.

2. LÝ THUYẾT TẤM KIRCHOFF Giả thiết cơ bản của lý thuyết uốn tấm Kirchoff là: đoạn thẳng

vuông góc với mặt trung bình (mặt phẳng chia đôi chiều cao tấm) vẫn thẳng và vuông góc với mặt trung bình sau khi biến dạng. Hệ quả của giả thiết này là ta đã bỏ qua các thành phần biến dạng cắt ngang ( 0 xzyz ). Do đó, các thành phần chuyển vị trong mặt phẳng: u, v

và w (Hình 11.1) được biểu diễn như sau:

),(),,(

),,(

),,(

0 yxwzyxwywzzyxv

xwzzyxu

(11.1)

trong đó, mặt phẳng (0, x, y) là mặt giữa của tấm, trục z vuông góc với bề mặt tấm. Các thành phần u, v và w tương ứng là chuyển vị theo phương x, phương y và phương z; w0 là chuyển vị tại mặt trung bình (giả thiết biến dạng màng: u0 = v0 = 0).

SinhVienKyThuat.Com

207

Vì bỏ qua biến dạng cắt, nên các thành phần biến dạng trong mặt

phẳng được viết ở dạng sau:

xyyxxyyxT z (11.2)

Trong đó:

yx

wyw

xw

xyyxT

2

2

2

2

2

2 (11.3)

được gọi là các thành phần độ cong. Thay các biểu thức (11.2) và (11.3) vào quan hệ ứng suất biến

dạng D ta được biểu thức sau:

Dz (11.4)

Trong đó:

Txyyx

x

y

z

Mxy Mx

Qx

Qy

Mxy

My dyy

MM y

y

dxx

MM xy

xy

dxx

MM xx

dyy

MM xy

xy

dxx

QQ x

x

dyy

QQ y

y

dy

dx

Hình 11.1. Sơ đồ phần tử tấm chịu uốn

SinhVienKyThuat.Com

208

2100

0101

1 2 vED

Các thành phần mômen được xác định bởi:

dzzM

h

h

2

2

(11.5)

Trong đó: Txyyx MMMM và h là chiều dày tấm. Thay biểu

thức (11.4) vào (11.5), ta thu được quan hệ giữa mômen và các thành phần độ cong như sau:

DM (11.6) Trong đó:

DhD12

3

(11.7)

Các phương trình cân bằng (cân bằng mômen đối với các trục x, y và cân bằng lực đối với trục z, được suy ra từ điều kiện cân bằng tĩnh học của phần tử tấm (Hình 11.1). Sau khi đã bỏ qua các thành phần bậc cao, ta thu được các phương trình cân bằng sau:

0

0

0

py

Qx

Q

Qy

Mx

M

Qy

Mx

M

yx

yyxy

xxyx

(11.8)

Trong đó, Qx và Qy là các lực cắt và p là tải trọng phân bố gây uốn tấm (phương tác dụng vuông góc với mặt phẳng tấm). Khử các thành phần lực cắt trong các phương trình của hệ (11.8) ta được:

02 2

22

2

2

p

yM

yxM

xM yxyx (11.9)

SinhVienKyThuat.Com

209

Tổ hợp các biểu thức (11.3), (11.6) và (11.9), qua một số phép biến đổi đơn giản cuối cùng ta nhận được phương trình vi phân cân bằng đối với tấm chịu uốn như sau:

rDp

yw

yxw

xw

4

4

22

4

4

4

2 (11.10)

Trong đó:

)1(12 2

3

EhDr

là độ cứng chống uốn của tấm.

3. PHẦN TỬ TẤM KIRCHOFF CHỊU UỐN Dựa trên lý thuyết tấm kinh điển đã trình bày ở trên, chúng ta sẽ

xây dựng thuật toán PTHH cho phần tử tứ giác bốn nút tại đỉnh chịu uốn. Phần tử được mô tả trong Hình 11.2.

Mỗi nút của phần tử có 3 bậc tự do: Chuyển vị w theo phương z và

hai góc xoay x = w,x và y = w,y (dấu phảy là ký hiệu của đạo hàm riêng phần của w theo các biến x và y) quanh trục x và y tương ứng. Ký hiệu véctơ chuyển vị nút là di, ta có:

T

iiii y

wxwwd

(11.11)

(x2,y2) 1

(x1,y1)

4 (x4,y4)

3 (x3,y3)

x

y

z

w y x

Hình 11.2. Phần tử tứ giác Kirchoff

SinhVienKyThuat.Com

210

Với phần tử tứ giác 4 nút, véctơ chuyển vị nút phần tử được biểu diễn như sau:

TTTTT ddddq 4321 (11.12)

và véctơ chuyển vị tại một điểm bất kỳ của phần tử là:

Tyxwd 0 (11.13)

Véctơ chuyển vị nút phần tử (11.11) có chứa các thành phần là đạo hàm bậc nhất tương ứng với các góc xoay tại nút. Do đó, các thành phần chuyển vị của véctơ chuyển vị (11.13) sẽ được nội suy qua các giá trị chuyển vị nút như sau:

- Thành phần chuyển vị độ võng tấm (w) được xấp xỉ theo hàm nội suy Hecmit, tức là:

412

411

0410

13

12

011 ...

ywH

xwHwH

ywH

xwHwHw (11.14)

- Các thành phần chuyển vị góc xoay được nội suy qua các thành phần chuyển vị nút:

4

131323

i ii

iiiix y

wHxwHwH

xxw (11.15)

4

131323

i ii

iiiiy y

wHxwHwH

yyw (11.16)

Khi đó, quan hệ giữa véctơ chuyển vị được nội suy qua véctơ chuyển vị nút phần tử như sau:

d = B q. (11.17) Trong đó: B là ma trận nội suy, được biểu diễn như sau:

121110321

121110321

121110321

Hy

Hy

Hy

Hy

Hy

Hy

Hx

Hx

Hx

Hx

Hx

Hx

HHHHHH

B

(11.18)

Thay vào biểu thức (11.3) ta có thể biểu diễn các thành phần biến dạng qua véctơ chuyển vị dưới dạng:

SinhVienKyThuat.Com

211

dL ; (11.19)

với L là ma trận toán tử đạo hàm, được xác định như sau:

xy

y

x

L

0

00

00

(11.20)

Cuối cùng, các thành phần biến dạng được viết lại dưới dạng:

BqqBLL d (11.21)

với B là ma trận quan hệ biến dạng-chuyển vị. Từ biểu thức năng lượng biến dạng đàn hồi:

V

te dVU

21 (11.22)

Đưa các quan hệ (11.2), (11.3) và (11.4) vào (11.22) và qua một số khai triển, chú ý đến biểu thức của các thành phần nội lực, ta được biểu thức của năng lượng biến dạng đàn hồi:

qBdSDBhqdSDh

dzzdSDdSdzDzzU

ee

ee

S

TT

S

T

h

h S

T

h

h S

Te

2424

21

21

33

22

2

2

2

Cuối cùng, thế năng biến dạng đàn hồi của phần tử được biểu diễn dưới dạng cô đọng:

qq21 et

e kU (11.23)

trong đó ke là ma trận độ cứng phần tử tứ giác Kirchoff và được xác định theo biểu thức:

eS

Te BdSDBhk24

3

(11.24)

SinhVienKyThuat.Com

212

Để xác định được ma trận độ cứng phần tử tứ giác Kirchoff, ta cần xây dựng được các hàm nội suy Hecmit Hi (i = 1, 2, .., 12). Các hàm này được xác định trong hệ toạ độ quy chiếu (, ) và với tính chất:

Nút 1 , H1 H1’ H1’ H2 H2’ H2’ H3 H3’ H3’ -1,-1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1,-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Nút 2 , H4 H4’ H4’ H5 H5’ H5’ H6 H6’ H6’ -1,-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,-1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Nút 3 , H7 H7’ H7’ H8 H8’ H8’ H9 H9’ H9’ -1,-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 -1,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Nút 4 , H10 H10’ H10’ H11 H11’ H11’ H12 H12’ H12’ -1,-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1,1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Ta có thể chọn các hàm dạng Hi dưới dạng sau: H = a0 + a1 + a2+ a32 + a4 + a52 +

+ a63 + a72 + a82 + a93+ a103 + a113 Từ bảng trên, ta sẽ xác định được các hệ số ai (i = 0 .. 11). Cuối

cùng, ta sẽ thu được các hàm nội suy Hecmit như sau:

221 211

81 H (11.25a)

22 111

81 H ; 2

3 11181 H

SinhVienKyThuat.Com

213

224 211

81 H (11.25b)

25 111

81 H ; 2

6 11181 H

227 211

81 H (11.25c)

28 111

81 H ; 2

9 11181 H

2210 211

81 H (11.25d)

211 111

81 H ; 2

12 11181 H

Quan hệ giữa 2 hệ toạ độ (x,y) và (, ) được thể hiện dưới dạng:

CC

CC

ybyxax

byy

axx

2;

2

2;2

(11.26)

trong đó : a, b là kích thước phần tử chữ nhật; xC, yC là tọa độ trọng tâm C của phần tử.

Như đã thấy trên đây, các hàm nội suy Hi tương ứng với nút i được biểu diễn theo các toạ độ quy chiếu (,). Các biểu thức của ma trận toán tử L (11.20), có chứa đạo hàm riêng phần của các hàm Hi lấy theo biến x và y của hệ toạ độ thực. Do đó, ta cần thực hiện phép tính đạo hàm của hàm hợp:

y

xJ

y

xyx

yx

(11.27a)

và:

*22

*21

*12

*111

JJJJ

J

y

x (11.27b)

SinhVienKyThuat.Com

214

với: 1J là ma trận nghịch đảo của ma trận Jacôbiên

ba

J0

0.

Vậy ta có:

b

aJJJJ

J 10

01

*22

*21

*12

*111 (11.28)

và:

b

a

y

x1

1

;

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

b

a

y

x (11.29)

Khi đó các biểu thức (10.20) của ma trận toán tử đạo hàm được biểu diễn theo hệ toạ độ quy chiếu (, ):

ab

b

a

L

220

200

020

(11.30)

và ma trận B được biểu diễn như sau:

122

112

102

32

22

12

212

2

2211

2

2210

2

223

2

222

2

221

2

2

212

2

2211

2

2210

2

223

2

222

2

221

2

2

888888

444444

444444

Hab

Hab

Hab

Hab

Hab

Hab

Hb

Hb

Hb

Hb

Hb

Hb

Ha

Ha

Ha

Ha

Ha

Ha

B

(11.31)

Trong đó:

1

43

21

2H ;

1

43

21

2H . (11.32a)

13141

22

2

H ; 02

22

H . (11.32b)

023

2

H ; 131

41

23

2

H (11.32c)

SinhVienKyThuat.Com

215

1

43

24

2H ;

143

24

2H (11.32d)

13141

25

2

H ; 02

52

H (11.32e)

026

2

H ; 131

41

26

2

H (11.32f)

1

43

27

2H ;

1

43

27

2H . (11.32g)

13141

28

2

H ; 02

82

H , (11.32h)

029

2

H ; 131

41

29

2

H (11.32i)

1

43

210

2H ;

1

43

210

2H (11.32k)

13141

211

2

H

; 0211

2

H (11.32m)

0212

2

H ; 131

41

212

2

H (11.32n)

4. PHẦN TỬ TẤM MINDLIN CHỊU UỐN Khác với lý thuyết tấm Kirchoff, lý thuyết tấm của Mindlin có kể

đến ảnh hưởng của các thành phần biến dạng cắt ngang ( 0 xzyz ).

Khi đó, biểu thức của năng lượng biến dạng đàn hồi của tấm có chứa thêm biểu thức năng lượng biến dạng cắt ngang:

dVdVUV

sT

sV

bT

be 21

21 (11.33)

trong đó :

Txyyxb (11.34)

Txyyxb (11.35)

là các thành phần ứng suất và biến dạng uốn, còn:

Tyzxzs (11.36)

Tyzxzs (11.37)

SinhVienKyThuat.Com

216

là các thành phần ứng suất và biến dạng cắt ngang (trong các mặt phẳng vuông góc với mặt trung bình). Trong các tính toán kỹ thuật theo lý thuyết tấm của Mindin, ta cần phải

sử dụng thêm hệ số hiệu chỉnh cắt, hệ số này thường được chọn là 65 .

Khi đó, năng lượng biến dạng đàn hồi của tấm chịu uốn có kể đến ảnh hưởng của biến dạng cắt sẽ được biểu diễn dưới dạng:

dVDdVDUV

ssT

sV

bbT

be 125

21 (11.38)

trong đó :

2100

0101

1 2 vEDb

(11.39)

và

GG

Ds 00

(11.40)

Theo lý thuyết tấm Mindlin, trường chuyển vị được biểu diễn như sau :

),(),,(

),(),,(),(),,(

0 yxwzyxw

yxzzyxvyxzzyxu

y

x

(11.41)

trong đó, yx , là các góc xoay của mặt trung bình quanh trục y và

trục x tương ứng. Ở đây, ta giả thiết: không có các thành phần biến dạng trong mặt phẳng trung bình (không có biến dạng màng). Các thành phần góc xoay này được biểu diễn bởi:

yzy

xzx

ywxw

(11.42)

Vì chuyển vị w và các góc xoay yx , là các thành phần độc lập nhau,

nên chúng ta cần có các hàm dạng để nội suy chúng một cách độc lập. Do đó, với phần tử tấm chịu uốn có kể đến biến dạng cắt ngang này sẽ

SinhVienKyThuat.Com

217

yêu cầu sử dụng phàn tử tương thích C0. Các hàm dạng đẳng tham số sẽ được sử dụng cho các phương trình PTHH của phần tử tấm chịu uốn, cụ thể như sau :

n

iiyiy

n

iixix

n

iii

N

N

wNw

1

1

1

,

,

,

(11.43)

Ở đây, n là số nút của phần tử. Để đơn giản hóa bài toán, ta có thể sử dụng các hàm dạng song tuyến tính (Chương 8) cho phần tử tứ giác bốn nút. Đối với các bài toán có yêu cầu cao về độ chính xác, người ta thường sử dụng các hàm dạng bậc cao hơn. Ta có:

e

ss

epb

dBz

dBz

(11.44)

trong đó :

0000

00000000

00000000

44332211

4321

4321

xN

yN

xN

yN

xN

yN

xN

yN

yN

yN

yN

yN

xN

xN

xN

xN

Bp (11.45)

yNN

yNN

yNN

yNN

xNN

xNN

xNN

xNN

Bs

44

33

22

11

44

33

22

11

0000

0000 (11.46)

và

Tyxyxyxyxe wwwwd 444333222111 (11.47)

Thay các biểu thức trong (11.44) vào (11.38) ta được :

SinhVienKyThuat.Com

218

e

V zss

Ts

Tee

A zbb

Tb

Tee ddAdzBDBdddAdzDBdU

e

12

521

(11.48) Cuối cùng, ta thu được ma trận độ cứng của phần tử tấm tứ giác bậc nhất chịu uốn dưới dạng:

V

ssT

sA

bbT

be dABDBhdADBhk

e 65

12

3

(11.49)

trong đó, h là chiều dày tấm. Chú ý: khi chiều dày h của tấm rất nhỏ so với kích thước của 2 phương còn lại (tấm mỏng), năng lượng biến dạng đàn hồi do các thành phần biến dạng cắt (tỉ lệ với h) sẽ lớn hơn nhiều so với năng lượng biến dạng đàn hồi do các thành phần biến dạng uốn (tỉ lệ với h3) gây ra. Hiện tượng này được gọi là ‘‘nghẽn cắt’’ (shear locking), khiến cho lời giải số của bài toán không hội tụ. Để khắc phục hiện tượng này, người ta có thể sử dụng kỹ thuật tích phân rút gọn (reduced integration) hoặc tích phân lựa chọn (selective integration). Nội dung chính của các kỹ thuật này là: biểu thức năng lượng của biến dạng uốn sẽ được tính theo luật tích phân đúng cấp, còn biểu thức năng lượng của biến dạng cắt sẽ được lấy tích phân ở mức độ kém chính xác hơn một cấp. Chẳng hạn, với phần tử tứ giác 4 nút đẳng tham số, ta sử dụng tích phân số với 22 điểm Gauss đối với biểu thức tích phân năng lượng biến dạng uốn, còn đối với biểu thức tích phân năng lượng biến dạng cắt chỉ sử dụng 1 điểm Gauss. Tương tự, với phần tử tứ giác 9 nút đẳng tham số, nếu sử dụng tích phân số 33 điểm Gauss đối với biểu thức tích phân năng lượng biến dạng uốn, thì ta sẽ chỉ sử dụng tích phân số 22 điểm Gauss đối với biểu thức tích phân năng lượng biến dạng cắt.

5. PHẦN TỬ VỎ Kết cấu vỏ tương tự như kết cấu tấm nhưng có độ cong không đổi

hoặc thay đổi theo các phương x và y. Có thể coi kết cấu tấm phẳng là trường hợp riêng của kết cấu vỏ, khi bán kính cong bằng vô cùng. Khi vỏ được chia thành một số hữu hạn các phần tử có kích thước đủ nhỏ, thì mỗi phần tử có thể được xem như là phần tử tấm phẳng chịu uốn với một phương xác định trong không gian. Tuy nhiên, mỗi phần tử này lại

SinhVienKyThuat.Com

219

có phương khác nhau (phương véctơ pháp tuyến của mặt), vì vậy biến dạng uốn trong phần tử này có thể gây ra biến dạng trong mặt phẳng cho phần tử kế tiếp.

Kết quả là, một phần tử vỏ có thể được xác định như là tổ hợp của một phần tử chịu uốn và một phần tử ở trạng thái ứng suất phẳng, tương tự như phần tử khung 2 chiều được xây dựng từ phần tử dầm chịu uốn và phần tử thanh chịu kéo hoặc nén. Hình 11. 3 mô tả tổ hợp hai phần tử nói trên để tạo ra phần tử vỏ có 5 bậc tự do tại mỗi nút: ba chuyển vị thẳng và hai chuyển vị góc. Ma trận độ cứng của phần tử vỏ được biểu diễn như sau:

m

b

m

b

m

b

FF

dd

KK0

0 (11.50)

trong đó: K, d và F tương ứng là ma trận độ cứng, véctơ chuyển vị nút và véctơ lực nút. Các ma trận và các véctơ trên bao gồm hai phần, một là từ phần tử tấm chịu uốn và hai là từ phần tử tấm chịu kéo (nén). Các chỉ số dưới b và m chỉ các biến dạng uốn và biến dạng màng (kéo, nén) của phần tử vỏ.

Khi các phần tử vỏ có phương khác nhau, ví dụ khi xét ở vị trí góc của một hình hộp (Hình 11.4), tại đây có 3 phần tử kề nhau; ta có thể thấy rằng thành phần góc xoay của phần tử này

x

y

z

w

v

u

x

y y

x v

u

w

+ =

Hình 11. 3. Phần tử vỏ là tổ hợp của 2 phần tử

X

Y

zk

y

Hình 11. 4

zj

zi Z

x

w

j

k

i

SinhVienKyThuat.Com

220

sẽ là góc xoắn của phần tử kế tiếp. Do đó, khi ghép nối các ma trận độ cứng phần tử và véctơ lực nút phần tử ta cần phải tính đến góc xoắn nói trên. Kết quả là, số bậc tự do của các ma trận và véctơ phần tử cần phải tăng thêm 1 tại mỗi nút. Như vậy, phương trình (11.50) sẽ được viết lại như sau :

00000000

m

b

z

m

b

m

b

FF

dd

KK

(11.51)

Các ma trận và véctơ trong phương trình (11.45) được xác định trong hệ trục toạ độ địa phương của mỗi phần tử, với trục x và y nằm trong mặt phẳng trung bình của phần tử vỏ và trục z là trục vuông góc với mặt phẳng phần tử. Vì vậy, để ghép nối các ma trận và véctơ này thành ma trận độ cứng tổng thể và véctơ lực nút tổng thể ở hệ trục toạ độ chung thì chúng phải được biến đổi sang hệ trục toạ độ chung trước khi tiến hành ghép nối. Nếu gọi ma trận chuyển đổi hệ trục là T, ta có :

gl dTd (11.52)

Trong đó, l và g là ký hiệu cho hệ trục địa phương và hệ trục chung tương ứng.

Như vậy, ma trận T chuyển đổi các bậc tự do chung sang các bậc tự do địa phương. Nó chứa các cosin chỉ phương của các trục toạ độ địa phương trong hệ trục toạ độ chung. Tại mỗi nút, quan hệ giữa các bậc tự do trong hệ toạ độ địa phương và hệ toạ độ chung được mô tả bởi:

gz

gy

gx

g

g

g

lz

ly

lx

l

l

l

wvu

ccccccccc

ccccccccc

wvu

131211

131211

131211

333231

232221

131211

000000000

000000000

(11.53)

Trong đó, cij là cosin của góc hợp bởi trục toạ độ địa phương xi và trục toạ độ chung Xj. Quan hệ này được sử dụng cho từng nút phần tử. Như vậy, ma trận chuyển đổi T đối với phần tử tứ giác 4 nút sẽ được biểu diễn dưới dạng:

SinhVienKyThuat.Com

221

d

d

d

d

TT

TT

T

000000000000

(11.54)

với Td được xác định theo biểu thức (11.53). Cuối cùng, ta xác định được ma trận độ cứng và véctơ lực nút phần

tử như sau :

TKTK lTg (11.55)

lTg FTF (11.57)

Chú ý: khi vỏ suy biến về tấm phẳng, ma trận độ cứng tổng thể sẽ là một ma trận kỳ dị vì trước đó ta đã gán thêm góc xoắn vào véctơ chuyển vị nút. Để khắc phục hiện tượng trên, người ta thường cộng thêm một giá trị nhỏ vào bậc tự do góc xoắn. Giá trị cộng thêm này không được quá nhỏ để cho ma trận đã được sửa đổi là một ma trận không kỳ dị. Đồng thời, giá trị này cũng không quá lớn để tránh ảnh hưởng đến độ chính xác của kết quả tính. Trong thực tế tính toán, người ta thường khắc phục hiện tượng trên bằng cách đặt K(i,i) = 1, với i là chỉ số ứng với bậc tự do góc xoắn.

6. CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TẤM CHỊU UỐN Xét tấm vuông với liên kết đơn trên 4 cạnh chịu uốn bởi tải trọng

tập trung đặt tại giữa tấm như Hình 11.5. Tìm độ võng của tấm dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất. Biết các kích thước của tấm là 4004002 (mm). Vật liệu tấm là thép có môđun đàn hồi E=200gPa và hệ số Poatxông =0,3; lực tập trung P=500N.

SinhVienKyThuat.Com

222

Do kết cấu đối xứng, nên ta sẽ giải bài toán cho ¼ tấm vuông. Phần diện tích này được chia thành 4 phần tử tứ giác bốn nút, sơ đồ nút như mô tả trên Hình 11.5b. Ở đây, ta lấy tích phân số sẽ 22 điểm Gauss đối với tích phân ma trận độ cứng uốn phần tử và 11 điểm Gauss đối với tích phân ma trận độ cứng cắt phần tử. Theo sơ đồ lưới PTHH, điều kiện biên sẽ được mô tả như sau: Tại các nút 1, 2 và 3: các thành phần x và w bằng không; tại các nút 1, 4 và 7: các thành phần y và w bằng không; tại các nút: 3, 6 và 9 có thành phần x bằng không; còn tại các nút 7, 8 và 9: thành phần y bằng không.

Chương trình nguồn %---------------------------------------------------------------------------- % Chuong trinh so 1, chuong 11- Vi du 11.1 %---------------------------------------------------------------------------- % Mo ta bai toan: % Tim bien dang (do vong) cua tam, su dung phan tu tu giac bac 1 % dang tham so voi ly thuyet chuyen vi cat bac nhat. % Kich thuoc tam la 400x400 mm va do day 5 mm. % Vat lieu tam bang thep, tai trong tap trung bang 500 N. % (so do luoi phan tu mo ta tren hinh 11.5) % Mo ta cac bien % k = ma tran do cung phan tu

P z

y

x 1 2 3

4 5 6

7 8 9

1 2

3 4

Hình 11.5. (a). Sơ đồ hoá tấm vuông chịu uốn (b). Lưới 4 phần tử của ¼ tấm vuông

(b) (a)

SinhVienKyThuat.Com

223

% kb = ma tran do cung phan tu (thanh phan chuyen vi uon) % ks = ma tran do cung phan tu (thanh phan chuyen vi cat) % f = vecto luc nut phan tu % kk = ma tran do cung tong the % ff = vecto luc nut tong the % disp = vecto chuyen vi nut chung % gcoord = toa do nut tong the % nodes = ma tran dinh vi nut phan tu % index = bang ghep noi phan tu % pointb = ma tran toa do cac diem Gauss cho cac thanh phan uon % weightb = ma tran trong so cac diem Gauss cho cac thanh phan uon % points = ma tran toa do cac diem Gauss cho cac thanh phan cat % weights = ma tran trong so cac diem Gauss cho cac thanh phan cat % bcdof = vecto chuyen vi nut chiu rang buoc boi dieu kien bien % bcval = vecto gia tri chuyen vi nut chiu rang buoc % B_b = ma tran chuyen vi – ung suat cua cac thanh phan bien dang uon % D_b = ma tran do cung chong uon cua vat lieu % B_s = ma tran chuyen vi – ung suat cua cac thanh phan bien dang cat % D_s = ma tran do cung chong cat cua vat lieu %------------------------------------ % cac tham so dieu khien lưoi %------------------------------------ clear noe_x=2; % tong so phan tu theo phuong x noe_y=2; % tong so phan tu theo phuong x noe=noe_x*noe_y; % tong so phan tu nnel=4; % so nut cua phan tu ndof=3; % so bac tu do o moi nut nnode=(noe_x*2-1)*(noe_y*2-1); % tong so nut cua ca he sdof=nnode*ndof; % tong so bac tu do cua he edof=nnel*ndof; % so bac tu do cua moi phan tu E_module=200e3; % modul dan hoi (Mpa=N/mm^2) poisson=0.3; % he so Poisson

SinhVienKyThuat.Com

224

len_x=400; % kich thuoc theo phuong x cua tam (mm) len_y=400; % kich thuoc theo phuong y cua tam (mm) t=5; % chieu day tam (mm) % tich phan so 2x2 diem Gauss voi tich phan ma tran do cung uon nog_xb=2; nog_yb=2; % so cac diem Gauss nog_b=nog_xb*nog_yb; % tich phan so 1x1 diem Gauss voi tich phan ma tran do cung cat nog_xs=1; nog_ys=1; % so cac diem Gauss nog_s=nog_xs*nog_ys; %--------------------------------------------- % du lieu toa do nut: gcoord(i,j) % voi i la chi so nut va j chi toa do x hay y %--------------------------------------------- len_x_elm = (len_x/2)/noe_x; len_y_elm = (len_y/2)/noe_y; for row_index=1:(noe_y*2-1) for col_index=1:(noe_x*2-1) gcoord((col_index+(row_index-1)*(noe_x*2-1)),1) = ... (col_index-1)*len_x_elm; gcoord((col_index+(row_index-1)*(noe_x*2-1)),2) = ... (row_index-1)*len_y_elm; end end %--------------------------------------------------------- % du lieu ma tran dinh vi nut phan tu: nodes(i,j) % voi i la chi so phan tu va j la chi so nut tong the %--------------------------------------------------------- nodes=[1 2 5 4; 2 3 6 5; 4 5 8 7; 5 6 9 8]; %------------------------------------- % du lieu ve dieu kien bien %------------------------------------- bcdof=[1 2 3 4 6 7 9 11 12 16 20 21 23 25 26]; % cac bac tu do bi rang buoc bcval=zeros(1,15); % gia tri cac bac tu do bi rang buoc = 0

SinhVienKyThuat.Com

225

%---------------------------------------------- % khoi tao cac vecto va cac ma tran %---------------------------------------------- ff=zeros(sdof,1); kk=zeros(sdof,sdof); disp=zeros(sdof,1); index=zeros(edof,1); B_b=zeros(3,edof); D_b=zeros(3,3); B_s=zeros(2,edof); D_s=zeros(2,2); %---------------------------- % xay dung vec to luc nut tong the %---------------------------- ff(15)=500; % luc gay uon dat tai nut so 5 %----------------------------------------------------------------- % tinh toan cac ma tran do cung phan tu, vec to luc nut phan tu % va ghep noi phan tu %----------------------------------------------------------------- % voi do cung chong uon % xac dinh toa do va trong so cua cac diem Gauss [pointb,weightb]=Gauss_Point_2D(nog_xb,nog_yb); % xac dinh ma tran do cung chong uon cua vat lieu D_b=D_matrix_2D(1,E_module,poisson)*t^3/12; % % voi do cung chong cat % xac dinh toa do va trong so cua cac diem Gauss [points,weights]=Gauss_Point_2D(nog_xs,nog_ys); G_module=0.5*E_module/(1.0+poisson); % modul cat shcof=5/6; % he so hieu chinh cat % xac dinh ma tran do cung chong cat cua vat lieu D_s=G_module*shcof*t*[1 0; 0 1]; for iel=1:noe % xet ti\ung phan tu for i=1:nnel nd(i)=nodes(iel,i); % xac dinh chi so nut phan tu thu (iel) xcoord(i)=gcoord(nd(i),1); % xac dinh toa do x cua nut phan tu

SinhVienKyThuat.Com

226

ycoord(i)=gcoord(nd(i),2); % xac dinh toa do y cua nut phan tu end k=zeros(edof,edof); kb=zeros(edof,edof); % khoi tao ma tran do cung uon phan tu ks=zeros(edof,edof); % khoi tao ma tran do cung cat phan tu %------------------------------------------------------ % tinh tich phan so cua ma tran cac thanh phan bien dang uon %------------------------------------------------------ for intx=1:nog_xb x=pointb(intx,1); % toa do x diem Gauss wtx=weightb(intx,1); % trong so cua diem Gauss theo phuong x for inty=1:nog_yb y=pointb(inty,2); % toa do y diem Gauss wty=weightb(inty,2) ; % trong so cua diem Gauss theo phuong y % tinh cac ham dang va dao ham ham dang tai cac diem Gauss [shape,dhdr,dhds]=Shape_Func_4node(x,y); jacob2=jacob_2D(nnel,dhdr,dhds,xcoord,ycoord); % tinh ma tran Jacobian detjacob=det(jacob2); % dinh thuc ma tran Jacobian invjacob=inv(jacob2); % nghich dao ma tran Jacobian matrix % xac dinh dao ham ham dang trong he truc vat ly for i=1:nnel dhdx(i)=invjacob(1,1)*dhdr(i)+invjacob(1,2)*dhds(i); dhdy(i)=invjacob(2,1)*dhdr(i)+invjacob(2,2)*dhds(i); end % xac dinh ma tran bien dang – chuyen vi cac thanh phan uon B_b=Bb_matrix(nnel,dhdx,dhdy); % tinh ma tran do cung phan tu uon kb=kb+B_b'*D_b*B_b*wtx*wty*detjacob; end end % ket thuc doan CT tinh tich phan so %------------------------------------------------------ % tinh tich phan so cua ma tran cac thanh phan bien dang cat %------------------------------------------------------

SinhVienKyThuat.Com

227

for intx=1:nog_xs x=points(intx,1); % toa do x diem Gauss wtx=weights(intx,1); % trong so cua diem Gauss theo phuong x for inty=1:nog_ys y=points(inty,2); % toa do y diem Gauss wty=weights(inty,2) ; % trong so cua diem Gauss theo phuong y % tinh cac ham dang va dao ham ham dang tai cac diem Gauss [shape,dhdr,dhds]=Shape_Func_4node(x,y); jacob2=jacob_2D(nnel,dhdr,dhds,xcoord,ycoord); % tinh ma tran Jacobian detjacob=det(jacob2); % dinh thuc ma tran Jacobian invjacob=inv(jacob2); % nghich dao ma tran Jacobian matrix % xac dinh dao ham ham dang trong he truc vat ly for i=1:nnel dhdx(i)=invjacob(1,1)*dhdr(i)+invjacob(1,2)*dhds(i); dhdy(i)=invjacob(2,1)*dhdr(i)+invjacob(2,2)*dhds(i); end % xac dinh ma tran bien dang – chuyen vi cac thanh phan cat B_s=Bs_matrix(nnel,dhdx,dhdy,shape); %---------------------------------------- % tinh ma tran do cung phan tu cat %---------------------------------------- ks=ks+B_s'*D_s*B_s*wtx*wty*detjacob; end end % ket thuc doan CT tinh tich phan so %-------------------------------- % tinh ma tran do cung phan tu %-------------------------------- k=kb+ks; % xac dinh bang ghep boi phan tu index=sys_elm_dof_assoc(nd,nnel,ndof); kk=kk_build_2D(kk,k,index); % ghep noi phan tu end %----------------------------- % ap dat cac dieu kien bien

SinhVienKyThuat.Com

228

%----------------------------- [kk,ff]=boundary_aply_2D(kk,ff,bcdof,bcval); %---------------------------- % giai he phuong trinh PTHH %---------------------------- disp=kk\ff; num=1:1:sdof; displace=[num' disp] % in ket qua

SinhVienKyThuat.Com

229

Các hàm sử dụng trong chương trình %-------------------------------------------------------------------------- function [B_b]=Bb_matrix(nnel,dhdx,dhdy) %-------------------------------------------------------------------------- % Muc dich: % xac dinh ma tran chuyen vi – bien dang cua cac thanh phan bien dang uon % theo ly thuyet chuyen vi bac nhat co ke den bien dang cat % Cu phap: % [B_b]=Bb_matrix(nnel,dhdx,dhdy) % Mo ta ca cac bien % nnel - so nut cua phan tu % dhdx – dao ham ham dang theo x % dhdy - dao ham ham dang theo y %-------------------------------------------------------------------------- for i=1:nnel i1=(i-1)*3+1; i2=i1+1; i3=i2+1; B_b(1,i1)=dhdx(i); B_b(2,i2)=dhdy(i); B_b(3,i1)=dhdy(i); B_b(3,i2)=dhdx(i); B_b(3,i3)=0; end %------------------------------------------------------------------------ function [B_s]=Bs_matrix(nnel,dhdx,dhdy,shape) %------------------------------------------------------------------------ % Muc dich: % xac dinh ma tran chuyen vi – bien dang cua cac thanh phan bien dang cat % theo ly thuyet chuyen vi bac nhat co ke den bien dang cat % Cu phap: % [B_s]=Bs_matrix(nnel,dhdx,dhdy,shape) % Mo ta cac bien: % nnel - so nut cua phan tu % dhdx – dao ham ham dang theo x % dhdy - dao ham ham dang theo y % shape – ham dang %------------------------------------------------------------------------ for i=1:nnel

SinhVienKyThuat.Com

230

i1=(i-1)*3+1; i2=i1+1; i3=i2+1; B_s(1,i1)=-shape(i); B_s(1,i3)=dhdx(i); B_s(2,i2)=-shape(i); B_s(2,i3)=dhdy(i); end

Kết quả số displace = Chuyển vị nút Giá trị 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0.0054 6 0 7 0 8 0.0064 9 0 10 0.0054 11 0 12 0 13 0.0026 14 0.0026 15 0.4032 16 0 17 0.0043 18 0.5345 19 0.0064 20 0 21 0 22 0.0043 23 0 24 0.5345 25 0 26 0 27 0.7490

SinhVienKyThuat.Com

231

7. BÀI TẬP 11.1. Một kết cấu tấm bằng hợp kim nhôm, có môđun đàn hồi E

= 75gPa và hệ số Poisson = 0,3. Tấm có kích thước 500100mm và chiều dày h = 5mm; chịu liên kết tựa bản lề trên 2 cạnh đối diện và chịu tải trọng phân bố đều, cường độ p= 0,5 N/mm trên suốt chiều rộng và nằm ở giữa chiều dài của nó như trên Hình 11.7.1. Xác định độ võng cực đại của kết cấu bằng phương pháp phần tử hữu hạn. So sánh với kết quả giải tích theo lý thuyết dầm: Độ võng của dầm chịu uốn (có kể đến cả ảnh hưởng của lực cắt)

*448

3

GShL

EJhLw

Trong đó: G là modul đàn hồi trượt ; S* là tiết diện chịu cắt thực tế:

SS65* .

Gợi ý: có thể dùng mô hình dầm hoặc mô hình tấm (chịu cả kéo nén và uốn), và chú ý tính đối xứng của kết cấu.

11.2. Cho kết cấu như bài tập 11.1, hãy tính độ võng cực đại

của kết cấu khi chịu tải trọng phân vố đều trên toàn bộ bề mặt tấm, với cường độ p= 0,1 N/mm2. 11.3. Hãy giải bài toán với kết cấu và tải trọng như ở bài tập 11.2, những thay liên kết tựa bản lề trên hai cạnh bằng liên kết ngàm trên cả hai cạnh này.

11.4. Một đĩa tròn bán kính 0,2m, chiều dày 10mm bị ngàm chặt trên biên như Hình 11.7.2a, môđun đàn hồi E = 200 gPa, hệ số

p z y

x

Hình 11.7.1. Sơ đồ hoá tấm chữ nhật chịu uốn

b=100mm

L =500mm

h=5mm

SinhVienKyThuat.Com

232

Poisson = 0,3 chịu lực tập trung tại tâm đĩa có cường độ p = 2 kN. Hãy xác định độ võng lớn nhất của tấm theo sơ đồ lưới của ¼ tấm như Hình 11.7.2c; giải bằng tay và xây dựng chương trình tính.

11.5. Hãy thực hiện bài toán với kết cấu và yêu cầu tính toán như bài 11.4, nhưng thay lực tập trung bằng lực phân bố đều trên toàn bề mặt tấm với cường độ p = 1N/mm2 như Hình 11.7.2b.

p

P

(a)

(b) (c)

Hình 11.7.2

SinhVienKyThuat.Com

233

SinhVienKyThuat.Com

234

Chương 12 PHẦN TỬ HỮU HẠN

TRONG TÍNH TOÁN VẬT LIỆU, KẾT CẤU COMPOSITE

1. GIỚI THIỆU Vật liệu composite là vật liệu được tổ hợp từ hai pha: pha liên tục

và pha gián đoạn. Pha gián đoạn gọi là cốt, pha liên tục gọi là nền. Cốt có chức năng chịu lực, nền làm chức năng liên kết, bảo vệ và truyền tải trọng cho cốt.

Cốt thường được sử dụng dưới dạng sợi: sợi cácbon, sợi thuỷ tinh, sợi kevlar, sợi gốm, v.v.

Nền thường sử dụng là nhựa: nhựa epoxy, nhựa polyeste v.v. Vật liệu composite cốt sợi/nền nhựa có nhiều ưu điểm nổi trội so

với các vật liệu đẳng hướng truyền thống: nhẹ, độ bền riêng, môđun đàn hồi riêng cao, độ bền mỏi cao, v.v. Do đó nó ngày càng được ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành công nghiệp: trong công nghiệp hàng không ở dạng các kết cấu khung, dầm và tấm vỏ; trong hàng hải như ứng dụng làm vỏ tàu, thuyền; trong ngành giao thông vận tải; trong ngành công nghiệp xây dựng dân dụng và đặc biệt trong nhiều lĩnh vực của cuộc sống.

Trong kỹ thuật, kết cấu bằng vật liệu composite thường được ứng dụng dưới dạng tấm hoặc vỏ nhiều lớp, việc tính toán các loại vật liệu và kết cấu lớp này rất quan trọng, nó sẽ giúp chúng ta hiểu rõ hơn các qui luật ứng xử cơ học để tiến đến tối ưu vật liệu cũng như các kết cấu nghiên cứu.

2. PHÂN LOẠI VẬT LIỆU COMPOSITE Trong kỹ thuật, ta thường gặp các loại vật liệu composite sau: - (1): Composite cốt hạt hoặc bột; (2): Composite đồng phương, khi

cốt (sợi) được phân bố theo một phương nào đó, (3): Composite "mat", khi sợi được chặt vụn và phân bố ngẫu nhiên trong một mặt phẳng.

- Composite lớp vuông, khi một (hoặc nhiều) lớp theo phương 00 được kèm một hoặc (nhiều) lớp theo phương 900.

SinhVienKyThuat.Com

235

- Composite cốt vải, khi cốt là những tấm vải gồm những sợi dọc đan với những sợi ngang. Trên phương diện cơ học, các loại vật liệu composite trên được xếp

vào 3 nhóm chính: - Composite đẳng hướng: Sợi vụn phân bố ngẫu nhiên theo cả ba

phương x, y và z. - Composite đẳng hướng ngang: composite gồm nhiều lớp mat hoặc

composite nhiều lớp sợi đồng phương; - Composite trực hướng: composite gồm nhiều lớp đồng phương xếp

vuông góc hoặc composite nhiều lớp cốt vải, v.v. Hình 12.1 mô tả một số lớp vật liệu composite thông dụng

Khi phương của cốt (sợi) trùng hoặc vuông góc với phương của

trục qui chiếu hay phương tải trọng tác dụng ( = 00 hoặc 900 ) ta có composite đúng trục; khi phương sợi không trùng hoặc không vuông góc với phương của trục qui chiếu hay phương tải trọng tác dụng ( 00 hoặc 900) ta có composite lệch trục.

Như vậy sẽ có khái niệm composite đẳng hướng ngang đúng trục và lệch trục; composite trực hướng đúng trục và lệch trục

(a)

(b)

(c)

Hình 12.1. Lớp vật liệu composite

Lớp mat

Lớp sợi đồng phương

Lớp sợi trực hướng

Nền nhựa

SinhVienKyThuat.Com

236

3. MÔ TẢ PTHH BÀI TOÁN TRONG TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG Để xây dựng mô hình tính toán vật liệu và kết cấu composite bằng

phương pháp PTHH, ta coi vật liệu là đồng nhất và dị hướng (thường gặp là trực hướng hoặc đẳng hướng ngang).

Như đã giới thiệu trong các chương trước, trong quá trình tính toán kết cấu ta cần phải xây dựng các hệ thức sau: 1. Quan hệ giữa chuyển vị u với chuyển vị nút q của phần tử:

u = Nq (12.1) trong đó N là các hàm dạng, được xác định cụ thể tuỳ thuộc vào phần tử được sử dụng (xem chương 6, 7, 8, v.v) 2. Quan hệ giữa biến dạng với các chuyển vị nút:

= Bq (12.2) trong đó B là ma trận liên hệ giữa biến dạng và chuyển vị, là hàm của các toạ độ nút của các phần tử. 3. Quan hệ đàn hồi tuyến tính giữa ứng suất với biến dạng:

= D (12.3) trong đó D là ma trận đàn hồi phụ thuộc qui luật ứng xử của vật liệu.

Rõ ràng, ta cần phải biết qui luật ứng xử của một vật liệu composite cần tính toán, có nghĩa là phải biết ma trận D. Dưới đây ta sẽ làm quen với ma trận D của lớp composite trực hướng và đẳng hướng ngang chịu trạng thái ứng suất phẳng.

3.1. Ma trận D đối với trạng thái ứng suất phẳng

Lớp composite trực hướng và đẳng hướng ngang đúng trục Trong trạng thái ứng suất phẳng, quan hệ giữa ứng suất và biến

dạng của hai loại vật liệu trên có cùng một dạng:

12

2

1

66

1212

1211

12

2

1

0000

QQQQQ

(12.4)

Hoặc dưới dạng cô đọng: = D (12.5)

trong đó:

SinhVienKyThuat.Com

237

66

1212

1211

0000

QQQQQ

D (12.6)

với

12662112

222

2112

12112

2112

111

;1

1;

1

GQEQ

EQEQ

(12.7)

ở đây, E1, E2, 12 và G12 là bốn môđun kỹ thuật độc lập của lớp vật liệu composite.

Lớp composite trực hướng và đẳng hướng ngang lệch trục Ta thường gặp lớp composite lệch trục như Hình 12.2

Chúng ta cần phải biết quan hệ ứng suất-biến dạng khi hệ trục

chính (1, 2) của lớp vật liệu không trùng với hệ qui chiếu (x, y). Quay tenxơ ứng suất từ hệ trục (1, 2) đến hệ trục (x, y), ta sẽ được:

12

2

1

22

22

22

sincoscossincossincossin2cossincossin2sincos

xy

y

x

(12.8)

Quay tenxơ biến dạng từ hệ trục (x,y) đến hệ trục (1,2), ta sẽ được:

2

y y

z3

x 1

x

z3

Hình 12.2. Lớp composite lệch trục

SinhVienKyThuat.Com

238

xy

y

x

22

22

22

12

2

1

sincoscossin2cossin2cossincossin

cossinsincos (12.9)

Từ các hệ thức (12.4), (12.7) và (12.8), ta tìm được quan hệ giữa ứng suất và biến dạng trong hệ trục (x, y) như sau:

xy

y

x

xy

y

x

QQQQQQQQQ

662616

261212

161211

'''''''''

(12.10)

Hoặc dưới dạng cô đọng: = D (12.11)

trong đó

662616

261212

161211

'''''''''

QQQQQQQQQ

D (12.12)

với:

226612

422

41111 sincos22sincos' QQQQQ

222211

441212 sincossincos' QQQQ

3662221

366121116 sincos2sincos2' QQQQQQQ

226612

422

41122 sincos22cossin' QQQQQ

sincos2sincos2' 3662221

366121126 QQQQQQQ

2266122211

446666 sincos2sincos' QQQQQQ

3.2. Ví dụ Xét lớp composite đồng phương cacbon/epoxy có chiều dày 9,15

mm, chịu lực như Hình 12.3. Biết p = 1750N/m ; E1=213740 mPa, E2 = 18616 mPa, 12=0,28, G12 = 5170 mPa; a = 3000 mm, b = 4000 mm. Hãy xác định chuyển vị tại hai điểm A và B.

SinhVienKyThuat.Com

239

Lời giải 1. Mô hình tính

Mô hình 2 phần tử tam giác ba nút, mỗi nút có hai bậc tự do được mô tả như Hình 12.3b

2. Bảng định vị các phần tử

Bậc t.do Phần tử

1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 6 2 1 2 5 6 7 8

3. Tính ma trận độ cứng của mỗi phần tử Ma trận độ cứng của mỗi phần tử được tính theo công thức:

DBtABk Te trong đó t = 9,15 mm, là độ dày phần tử A = 6106 mm2 là diện tích phần tử B được xác định theo công thức (6.31) - Chương 6:

122131132332

211332

123123

000000

det1

yxyxyxxxx

yyy

JB

x

p

a

b

A

B

y

Hình 12.3. Tấm vật liệu composite lớp đơn, chịu kéo

1

2

1 2

3 4

(a) (b)

t

SinhVienKyThuat.Com

240

D được xác định theo công thức (12.12).

4. Tính ma trận độ cứng chung K Ma trận K sẽ có kích thước 88. Với điều kiện biên:

Q1 =Q2 = Q7 = Q8 =0 ta loại dòng và cột 1, 2, 7, và 8. Khi ấy K chỉ còn:

244

166

243

165

164

163

234

156

233

155

154

153

146

145

144

143

136

135

134

133

KKKKKKKKKKKK

KKKKKKKK

K

5. Tính lực qui đổi về nút Áp dụng công thức (6.47) - Chương 6, ta có:

NF

03500

03500

6. Hệ phương trình PTHH Với điều kiện biên ở trên, ta thiết lập được hệ phương trình PTHH như sau:

03500

03500

12606,752,2507,1628,373,28

6,758,37126632,253,28637,162

10

6

5

4

3

3

QQQQ

Giải hệ phương trình ta tìm được các chuyển vị tại nút 2 và 3 tức là tại điểm A và B của tấm:

mm

QQQQ

4

4

4

4

6

5

4

3

10106,401051,2701032,42105,273

SinhVienKyThuat.Com

241

4. BÀI TOÁN UỐN TẤM COMPOSITE LỚP THEO LÝ THUYẾT MINDLIN

4.1. Mô hình hóa vật liệu composite nhiều lớp theo lý thuyết Mindlin

Trong tính toán kỹ thuật các kết cấu composite dạng tấm - vỏ, người ta phải dựa trên một giả thiết về trường chuyển vị trong tấm hay còn gọi là lý thuyết tấm; và lý thuyết tấm có vai trò quyết định đến độ chính xác của lời giải. Trước hết, ta xây dựng một số hệ thức cơ học cho vật liệu composite lớp theo lý thuyết tấm Mindlin.

Giả thiết vật liệu composite gồm n lớp như Hình 12.4, các lớp được đánh số theo thứ tự từ dưới lên trên. Mặt phẳng trung bình là mặt phẳng Oxy. Lớp thứ k được xác định bởi chiều cao hk-1 và hk.

a. Trường chuyển vị Các thành phần chuyển vị u, v, w của tấm được biểu diễn bởi:

),(),(),,( 0 yxzyxuzyxu x ),(),(),,( 0 yxzyxvzyxv y (12.13)

),(),,( 0 yxwzyxw Trường chuyển vị Mindlin phụ thuộc vào 5 hàm số độc lập: u0, v0, w0, x và y. Trong đó: u0, v0 và w0 là các chuyển vị của mặt trung bình; x, y là các chuyển vị góc quanh các trục y và x tương ứng.

hk-1

Hình 12.4. Sơ đồ hóa vật liệu composite lớp

z

y

x

hk

Lớp thứ k

SinhVienKyThuat.Com

242

b. Trường biến dạng Trường biến dạng được xác định từ trường chuyển vị (12.13):

yyyzxxxz

xyyxxyxy

zyyyyxxxx

ww

zvu

zvzu

0'

0'

''0'

0'

'0''

0'

;

)()(

0;;

(12.14)

Tuy nhiên, theo lý thuyết Mindlin, các biến dạng cắt yzxz , được

xem là hằng số trong tất cả các lớp vật liệu và bằng biến dạng của mặt trung bình. Do đó, các thành phần biến dạng của một điểm bất kỳ thuộc tấm sẽ được biểu diễn bởi:

000

00

;;

;

yzyzxzxzxyxyxy

yyyxxx

z

zz

(12.15)

trong đó

xyxyyyxx vuvu ,,;,;, 0000000 (12.16)

xyyxxyyyyxxx ,,;,;, (12.17)

yyyzxxxz ww ,;, 0000 (12.18)

tương ứng là các thành phần biến dạng màng, độ cong theo các phương x, phương y, biến dạng xoắn kxy và các thành phần biến dạng cắt ngang.

c. Trường ứng suất

Theo giả thiết, ta bỏ qua ứng suất pháp theo phương z (z = 0), khi ấy trường ứng suất trong lớp thứ k được biểu diễn qua các hệ số độ cứng C’ij như sau:

kxz

yz

xy

y

x

kkxz

yz

xy

y

x

CCCC

CCCCCCCCC

0

0

'55

'45

'45

'44

'66

'26

'16

'26

'22

'12

'16

'12

'11

000000

000000

(12.19)

'ijC là các hằng số của ma trận độ cứng của lớp k trong hệ trục chung

(Oxyz), được xác định như sau:

CTTC 1' (12.20)

SinhVienKyThuat.Com

243

Với 1T là ma trận nghịch đảo của ma trận biến đổi hệ cơ sở ứng suất

T:

cossin000sincos00000sincoscossincossin00cossin2cossin00cossin2sincos

22

22

22

1T (12.21)

và T là ma trận biến đổi hệ cơ sở biến dạng:

cossin000sincos00000sincoscossin2cossin200cossincossin00cossinsincos

22

22

22

T (12.22)

Cij là các hằng số độ cứng của lớp vật liệu, được xác định theo các môđun kỹ thuật bởi biểu thức:

21

23121313

31

13321212

32

322311 ;;1

EEC

EEC

EEC

21

211233

21

13212323

31

231322

1;;1EE

CEE

CEE

C

126613552344 ;; GCGCGC 05445363534262524161514 CCCCCCCCCCC

321

133221311332232112 21EEE

SinhVienKyThuat.Com

244

d. Các thành phần nội lực Tích phân biểu thức (12.19) theo chiều dày tấm, nhằm đưa bài toán

ba chiều về bài toán hai chiều, ta nhận được các thành phần nội lực như sau: Lực màng, mômen uốn và mômen xoắn:

n

k

h

hxy

y

x

xyxy

yy

xx k

k

dzzMNMNMN

MN1

1

1

(12.23)

Các thành phần lực cắt:

0

0

5545

4544

11 xz

yzn

k

h

h xz

yz

x

y

AAAA

dzQQ

Qk

k

(12.24)

với:

4,5 j i,);(' 11

kk

k

n

kijij hhCA (12.25)

Trong tính toán, để có các thành phần ứng suất cắt đạt độ chính xác cao so với lời giải của lý thuyết đàn hồi, người ta phải sử dụng thêm các hệ số hiệu chỉnh ứng suất cắt. Mindlin đã đề xuất hàm hiệu chỉnh dưới dạng:

2

2/1

45)(

hzzf (12.26)

Khi ấy, từ (12.24) các thành phần lực cắt sẽ được tính theo biểu thức: 0

550

450

450

44 ; xzyzxxzyzy AAQAAQ (12.27)

trong đó:

n

kkkkkkijij

hhhhhCA

12

31

31 4,5 j i,;1)(

34'

45 (12.28)

Chú ý: Hàm hiệu chỉnh (hay hệ số hiệu chỉnh) được chọn tuỳ theo vật liệu và phụ thuộc vào tác giả. Chẳng hạn, Reissner chọn hệ số bằng 5/6 cho tấm trực hướng và đồng nhất.

SinhVienKyThuat.Com

245

e. Phương trình ứng xử cơ học của tấm nhiều lớp. Phương trình quan hệ của tấm nhiều lớp được viết dưới dạng sau:

0

0

0

0

0

5545

4544

662616662616

262212262212

161211161211

662616662616

262212262212

161211161211

000000000000

000000000000

xz

yz

xy

y

x

xy

y

x

x

y

xy

y

x

xy

y

x

AAAA

DDDBBBDDDBBBDDDBBBBBBAAABBBAAABBBAAA

QQMMMNNN

(12.29)

Hay có thể viết dưới dạng thu gọn:

0'0000

m

ADBBA

QMN

(12.30)

trong đó: A =[Aij] (i, j =1, 2, 6) là ma trận độ cứng màng; D là ma trận độ cứng uốn; B là ma trận tương tác màng-uốn-xoắn; A’ =[Aij] (i, j =4, 5) là ma trận độ cứng cắt. Các phần tử của chúng được xác định theo các biểu thức:

)( 11

'

k

n

kkkijij hhQA (12.31a)

)(21 2

12

1

'

kk

n

kkijij hhQB (12.31b)

)(31 3

13

1

'

kk

n

kkijij hhQD (12.31c)

Txyyxm000 là ma trận biến dạng màng,

Txyyx là ma trận độ cong của tấm chịu uốn,

Txzyz000 là ma trận biến dạng cắt của mặt trung bình.

SinhVienKyThuat.Com

246

4.2. Mô hình hóa PTHH bài toán tấm composite lớp chịu uốn Dưới đây, chúng ta sẽ sử dụng phần tử tứ giác đẳng tham số, bốn

nút ở đỉnh để giải bài toán uốn tấm composite.

a. Véctơ chuyển vị nút phần tử Theo lý thuyết chuyển vị bậc nhất của Mindlin trên đây, tại mỗi

nút của phần tử sẽ có 5 thành phần chuyển vị:

Tixiyiiii wvud 000 (12.32)

Các thành phần chuyển vị này tương ứng với 5 bậc tự do tại mỗi nút:

Tiiiiii qqqqqq 4321 (12.33)

b. Véctơ biến dạng Véctơ chuyển vị tại một điểm bất kỳ của phần tử tấm là:

Txywvud 000 (12.34)

Véctơ này được xác định nhờ phép nội suy từ các chuyển vị nút và các hàm dạng:

ii

idNd

4

1 (12.35)

Trong đó (nhắc lại về phần tử tứ giác bậc nhất đẳng tham số): các hàm dạng và đạo hàm của chúng được biểu diễn như sau:

1111111141N (12.36a)

111141

111141

'

'

N

N (12.36b)

Toạ độ hình học của một điểm bất kỳ trong phần tử cũng được nội suy từ toạ độ các điểm nút như sau: x = N1 x1 + N2 x2+ N3 x3+ N4 x4 y = N1 y1 + N2 y2 + N3 y3+ N4 x5 (12.37) Quan hệ giữa các đạo hàm riêng trong các hệ toạ độ thực và hệ toạ độ quy chiếu của một hàm f bất kỳ được biểu diễn như sau:

SinhVienKyThuat.Com

247

y

yfx

xff

vy

yfx

xff

(12.38)

Hay

yfxf

Jf

f

(12.39)

Với J là ma trận Jacobian được xác định bởi:

4

122

4

121

4

112

4

111

;

;

ii

i

ii

i

ii

i

ii

i

yNxJxNxJ

yNyJxNxJ

(12.40)

Thay (12.36b) vào (12.40) ta được:

432111 1411

411

411

41 xxxxJ (12.41a)

432112 1411

411

411

41 yyyyJ (12.41b)

432121 1411

411

411

41 xxxxJ (12.41c)

432122 1411

411

411

41 yyyyJ (12.41d)

Và quan hệ ngược:

f

f

JJJJ

Jf

f

J

yfxf

1121

12221

det1 (12.42)

SinhVienKyThuat.Com

248

Khi đó, trường biến dạng được xác định qua véctơ chuyển vị dưới dạng:

dLLLm

3

2

1

0

(12.43)

Trong đó: Li là các ma trận toán tử đạo hàm được biểu diễn như sau:

000

0000

0000

1

xy

y

x

L ;

xy

y

x

L

000

0000

0000

2;

0100

1000

3

x

yL (12.44)

Gọi a là véctơ chuyển vị nút của phần tử:

TTTTT dddda 4321 (12.45)

Khi đó, các thành phần biến dạng được biểu diễn qua véctơ chuyển vị nút phần tử như sau:

4

1111

iiim aBdNLdL (12.46a)

4

1222

iii aBdNLdL (12.46b)

4

1333

0

iii aBdNLqL (12.46c)

Trong đó Bi được gọi là các ma trận biến dạng-chuyển vị và được xác định như sau:

413121111 NLNLNLNLB (12.47a)

423222122 NLNLNLNLB (12.47b)

433323133 NLNLNLNLB (12.47c)

SinhVienKyThuat.Com

249

c. Ma trận độ cứng của phần tử của tấm Biểu thức của năng lượng biến dạng đàn hồi là:

dVUV

Te

21

(12.49)

Khai triển (12.49), với chú ý 0z ta được:

dzdSUS

h

hxzxzyzyzxyxyyyxxe

2

2

21 (12.50)

Thay các quan hệ nội lực ứng suất (12.14) và (12.19) vào (12.50), rồi lấy tích phân dọc theo z ta sẽ được biểu thức năng lượng biến dạng đàn hồi như sau:

dSQQMkN

MkNMkNU

S xzxzyzyzxyxyxyxy

yyyyxxxxe

000

00

21

(12.51)

Thay biểu thức (12.30) vào (12.51) ta được:

dSAkDkBk

kBAU

SeTT

mT

Tmm

Tm

e

0'021

(12.52)

Thay các biểu thức (12.44a-c) vào (12.52) ta được:

dSaBABaaDBBa

aBBBaaBBBaaABBaU

SeTTTT

TTTTTT

e

2322

122111

'21

(12.53)

Cuối cùng, ta có thể viết (12.53) dưới dạng cô đọng sau:

akaU eTe 2

1 (12.54)

Trong đó ek được gọi là ma trận độ cứng phần tử như sau:

dSBABDBBBBBBBBABBkSe

TTTTTe 3322122111 ' (12.55)

SinhVienKyThuat.Com

250

d. Véctơ lực nút phần tử Công do tải trọng phân bố p(x,y) tác dụng vuông góc với bề mặt tấm được biểu diễn bởi biểu thức:

ee S

TP

T

S

dSyxpBadSyxwyxp ),(),(),( (12.56)

Với phần tử tứ giác bốn nút, ma trận Bp được xác định bởi:

4321 ppppp BBBBB (12.57)

với:

0011

41001 pL (12.58a)

0011

41002 pL (12.58b)

0011

41003 pL (12.58c)

0011

41004 pL (12.58d)

5. CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TẤM COMPOSITE LỚP CHỊU UỐN Xét tấm composite lớp chữ nhật với liên kết bản lề trên 4 cạnh chịu

uốn bởi tải trọng phân bố đều như Hình 12.5. Tìm độ võng của tấm dựa trên lý thuyết tấm Mindlin. Kích thước của tấm chữ nhật: a=254 mm, b=508mm, h=12,7mm; cấu hình đối xứng, đúng trục:(900/00/00/900); tải trọng phân bố đều trên toàn bộ bề mặt tấm: p=0,6895 N/mm2. Cơ tính của các lớp như nhau: E1=144,8 gPa, E2=E3=9,65 gPa, G12=G13=4,14 gPa, G23=3,45 gPa; các hệ số Poatxong : 3,0231312 .

Ở đây, với ma trận độ cứng uốn phần tử, ta lấy tích phân số 22 điểm Gauss; với ma trận độ cứng cắt, ta lấy tích phân số 1 điểm Gauss. Điều kiện biên sẽ được mô tả như sau: - Tại các nút nằm trên các cạnh biên song song với trục x: u, w và x

bằng không.

SinhVienKyThuat.Com

251

- Tại các nút nằm trên các cạnh biên song song với trục y: v, w và y bằng không.

Chương trình nguồn %---------------------------------------------------------------------------- % Chuong trinh chuong 12 – Vi du 12.2 (P12_2)

z y

x

1 2 3 4 5

6 7 8 9

1

Hình 12.5. (a). Sơ đồ hoá tấm composite chữ nhật chịu uốn (b). Lưới 44 phần tử trên tấm chữ nhật

(b)

(a)

p

2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

y

a

b

h

x

SinhVienKyThuat.Com

252

%---------------------------------------------------------------------------- % Mo ta bai toan % Tam composite, chiu lien ket tua ban le tren 4 canh; chiu tai trong deu. % Tim do vong cua tam, su dung phan tu tu giac bac nhat dang tham so % dua tren ly thuyet tam bac nhat Mindlin. (so do luoi nhu Hinh 12.5) % Mo ta cac bien % k = ma tran do cung phan tu % kb = ma tran do cung phan tu ung voi cac thanh phan uon % ks = ma tran do cung phan tu ung voi cac thanh phan cat % f = vecto luc nut phan tu % kk = ma trando cung tong the % ff = vecto luc nut phan tu % disp = vecto chuyen vi nut tong the % gcoord = toa do nut tong the % nodes = bang dinh vi nut phan tu % index = bang ghep noi phan tu % pointb = toa do cac diem Gauss cho tich phan so cac thanh phan uon % weightb = he so trong so cac diem Gauss cho cac thanh phan uon % points = toa do cac diem Gauss cho tich phan so cac thanh phan cat % weights = he so trong so cac diem Gauss cho cac thanh phan cat % bcdof = cac chuyen vi nut chiu rang buoc boi dieu kien bien % bcval = gia tri cac chuyen vi nut chiu rang buoc % B_b = ma tran bien dang - chuyen vi doi voi cac bien dang uon % D_b = ma tran do cung chong uon cua vat lieu % B_s = ma tran bien dang - chuyen vi doi voi cac bien dang cat % D_s = ma tran do cung chong cat cua vat lieu %---------------------------------------------------------------------------- %----------------------------------------- % cac tham so dieu khien luoi %-----------------------------------------

SinhVienKyThuat.Com

253

clear noe_x=4; % so luong phan tu theo phuong x noe_y=4; % so luong phan tu theo phuong y noe=noe_x*noe_y; % tong so phan tu cua he nnel=4; % so luong nut cua phan tu ndof=5; % so bac tu do cua nut nnode=(noe_x+1)*(noe_y+1); % tong so nut cua he sdof=nnode*ndof; % tong so bac tu do cua ca he edof=nnel*ndof; % so bac tu do cua moi phan tu lop=254; % kich thuoc (chieu dai) tam (mm) ratio_b_a=2; wop=lop*ratio_b_a; % kich thuoc (chieu rong) tam (mm) ratio_h_a=0.05; nol_p=4; % so lop vat lieu top = lop*ratio_h_a; % chieu day tam aol_p=[0 90*pi/180 90*pi/180 0]; % cac goc dat cot (radial) nog_xb=2; nog_yb=2; % 2x2 diem Gauss-Legendre cho TP uon nog_b=nog_xb*nog_yb; % tong so diem Gauss nog_xs=1; nog_ys=1; % 1x1 Gauss-Legendre cho TP cat nog_s=nog_xs*nog_ys; % tong so diem Gauss %------------------------------------------ % du lieu tinh chat cau vat lieu lop %------------------------------------------ type_material=1; % chon 1 trong cac loai vat lieu switch (type_material) case 1 emodule_1=175.0e3; % modul dan hoi E_1 (N/mm^2) emodule_2=emodule_1/25; % modul dan hoi E_2 emodule_3=emodule_2; % modul dan hoi E_3 gmodule_12=0.5*emodule_2; % modul dan hoi truot G_12 gmodule_13=gmodule_12; % modul dan hoi truot G_13 gmodule_23=0.2*emodule_2; % modul dan hoi truot G_23

SinhVienKyThuat.Com

254

% He so Poisson nuy_12 = 0.25; nuy_13 = 0.25; nuy_23 = 0.45; case 2 emodule_1=144.8e3; emodule_2=9.65e3; emodule_3=emodule_2; gmodule_12=4.14e3; gmodule_13=gmodule_12; gmodule_23=3.45e3; nuy_12 = 0.3; nuy_13 = 0.3; nuy_23 = 0.49; case 3 emodule_1=19.2*psi_Pa; emodule_2=1.56*psi_Pa; emodule_3=emodule_2; gmodule_12=0.82*psi_Pa; gmodule_13=gmodule_12; gmodule_23=0.49*psi_Pa; nuy_12 = 0.24; nuy_13 = 0.24; nuy_23 = 0.49; end %---------------------------- % tai trong gay uon phan bo deu %---------------------------- p=13.8e-3; % tai trong phan bo deu (N/mm^2) %--------------------------------------------- % du lieu toa do nut gcoord(i,j) % trong do, i la chi so nut va j=1, chi toa do x va j=2 chi toa do y %--------------------------------------------- len_x_elm = lop/noe_x; len_y_elm = wop/noe_y;

SinhVienKyThuat.Com

255

for row_index=1:noe_y+1 for col_index=1:noe_x+1 gcoord(((row_index-1)*(noe_x+1)+col_index),1) = … (col_index-1)*len_x_elm; gcoord(((row_index-1)*(noe_x+1)+col_index),2) = … (row_index-1)*len_y_elm; end end %--------------------------------------------------------- % Tinh do cao tam lop cua cac lop vat lieu %--------------------------------------------------------- z_p(1)= -top/2.0; for k=1:nol_p tol_p(k)=top/nol_p; % do day cua cac lop deu nhau (mm) z_p(k+1)=z_p(k)+tol_p(k); end %--------------------------------------------------------- % du lieu cua mang chi so nut tong the cua moi phan tu % nodes(i,j), trong do i la chi so phan tu, j la chi so nut %--------------------------------------------------------- % nodes=[1 2 5 4; 2 3 6 5; 4 5 8 7; 5 6 9 8]; % 4 phan tu 4 nut. for row=1:noe_y for col=1:noe_x elm=(row-1)*noe_x+col; nodes(elm,1)= (row-1)+elm; nodes(elm,2)= nodes(elm,1)+1; nodes(elm,4)= nodes(elm,1)+(noe_x+1); nodes(elm,3)= nodes(elm,4)+1; end end %-------------------------------------------- % dieu kien bien %--------------------------------------------

SinhVienKyThuat.Com

256

i=1; for node_indx=1:nnode temp_n=(node_indx-1)*5; % cac bien x=0 va x=a if ((gcoord(node_indx,1)= =0)||(gcoord(node_indx,1)= =lop)) bcdof(i)=temp_n+2; % v_i i=i+1; bcdof(i)=temp_n+3; % w_i i=i+1; bcdof(i)=temp_n+5; % teta_x_i i=i+1; end % cac bien y=0 va y=b if ((gcoord(node_indx,2)==0)||(gcoord(node_indx,2)==wop)) bcdof(i)=temp_n+1; % u_i =0 i=i+1; % tranh cap nhat cac nut goc if ((gcoord(node_indx,1)~= 0)&&(gcoord(node_indx,1)~=lop)) bcdof(i)=temp_n+3; i=i+1; end bcdof(i)=temp_n+4; i=i+1; end end bcval=zeros(size(bcdof)); % gia tri cac chuyen vi nut bi rang buoc = 0 %---------------------------------------------- % khoi tao cac vec to va ma tran %---------------------------------------------- ff=zeros(sdof,1); kk=zeros(sdof,sdof); disp=zeros(sdof,1); % vecto chuyen vi nut tong the

SinhVienKyThuat.Com

257

index=zeros(edof,1); A=zeros(3,3); % ma tran do cung mang B=zeros(3,3); % ma tran tuong tac mang-uon-xoan D=zeros(3,3); % ma tran do cung uon A_t=zeros(2,2); % ma tran do cung cat %------------------------------------------------------------------------------- % tinh ma tran do cung phan tu, vecto luc nut va ghep noi phan tu %------------------------------------------------------------------------------- % % voi cac thanh phan gay uon % xac dinh toa do va trong so cac diem gauss [pointb,weightb]=Gauss_Point_2D(nog_xb,nog_yb); % voi cac thanh phan gay cat % xac dinh toa do va trong so cac diem gauss [points,weights]=Gauss_Point_2D(nog_xs,nog_ys); % tinh cac ma tran do cung vat lieu [A, B, D, A_t]=ABD_matrix(emodule_1,emodule_2,emodule_3,... gmodule_12,gmodule_13,gmodule_23,… nuy_12,nuy_13,nuy_23,nol_p,aol_p, z_p); for iel=1:noe % xet tung phan tu for i=1:nnel nd(i)=nodes(iel,i); % chi so tong nut the cua phan tu (iel) xcoord(i)=gcoord(nd(i),1); % toa do nut (phuong x) ycoord(i)=gcoord(nd(i),2); % toa do nut (phuong y) end k=zeros(edof,edof); f=zeros(edof,1); kb=zeros(edof,edof); ks=zeros(edof,edof); %------------------------------------------------------ % tinh tich phan so cac thanh phan uon %------------------------------------------------------

SinhVienKyThuat.Com

258

for intx=1:nog_xb x=pointb(intx,1); % toa do diem Gauss (phuong x) wtx=weightb(intx,1); % trong so diem Gauss (phuong x) for inty=1:nog_yb y=pointb(inty,2); % toa do diem Gauss (phuong y) wty=weightb(inty,2) ; % trong so diem Gauss (phuong y) % tinh cac ham dang va dao ham tai cac diem Gauss [shape,dhdr,dhds]=Shape_Func_4node(x,y); % tinh ma tran Jacobian jacob2=jacob_2D(nnel,dhdr,dhds,xcoord,ycoord); detjacob=det(jacob2); % dinh thuc ma tran Jacobian invjacob=inv(jacob2); % nghich dao ma tran Jacobian % xac dinh dao ham ham dang trong he toa do vat ly for i=1:nnel dhdx(i)=invjacob(1,1)*dhdr(i)+invjacob(1,2)*dhds(i); dhdy(i)=invjacob(2,1)*dhdr(i)+invjacob(2,2)*dhds(i); end % xac dinh ma tran chuyen vi – bien dang [B1, B2]=Bb_matrix_com1(nnel,dhdx,dhdy); B_p= Bp_matrix_com1(nnel,shape,edof); %-------------------------------------------- % tinh ma tran do cung ung voi thanh phan uon %-------------------------------------------- kb=kb+(B1'*A*B1+B1'*B*B2+B2'*B*B1+B2'*D*B2)… *wtx*wty*detjacob; %-------------------------------------------- % tinh vecto luc nut phan tu %-------------------------------------------- f=f+B_p'*wtx*wty*detjacob*p; end end % ket thuc doan chuong trinh tich phan so %------------------------------------------------------ % tinh tich phan so cac thanh phan cat

SinhVienKyThuat.Com

259

%------------------------------------------------------ for intx=1:nog_xs x=points(intx,1); wtx=weights(intx,1); for inty=1:nog_ys y=points(inty,2); wty=weights(inty,2) ; % tinh cac ham dang va dao ham tai cac diem Gauss [shape,dhdr,dhds]=Shape_Func_4node(x,y); % tinh ma tran Jacobian jacob2=jacob_2D(nnel,dhdr,dhds,xcoord,ycoord); detjacob=det(jacob2); % dinh thuc ma tran Jacobian invjacob=inv(jacob2); % nghich dao ma tran Jacobian % xac dinh dao ham ham dang trong he toa do vat ly for i=1:nnel dhdx(i)=invjacob(1,1)*dhdr(i)+invjacob(1,2)*dhds(i); dhdy(i)=invjacob(2,1)*dhdr(i)+invjacob(2,2)*dhds(i); end % xac dinh ma tran chuyen vi – bien dang B_s=Bs_matrix_com1(nnel,dhdx,dhdy,shape); %---------------------------------------- % tinh ma tran do cung ung voi thanh phan cat %---------------------------------------- ks=ks+B_s'*A_t*B_s*wtx*wty*detjacob; end end % ket thuc doan chuong trinh tich phan so %-------------------------------- % tinh ma tran do cung phan tu %-------------------------------- k=kb+ks; % xay dung bang ghep noi phan tu index=sys_elm_dof_assoc(nd,nnel,ndof); kk=kk_build_2D(kk,k,index); % ghep noi ma tran do cunng tong

SinhVienKyThuat.Com

260

the ff=ff_build_2D(ff,f,index); % ghep noi vecto luc nut tong the end %------------------------------------ % ap dat dieu kien bien %------------------------------------ [kk,ff]=boundary_aply_2D(kk,ff,bcdof,bcval); %--------------------------------- % giai he phuong trinh PTHH %--------------------------------- disp=kk\ff; for node=1:nnode displace(node)=disp((node-1)*5+3); end num=1:1:nnode; Result=[num' displace'] % in ket qua

SinhVienKyThuat.Com

261

Các hàm sử dụng trong chương trình function [A, B, D, A_t]=ABD_matrix(emodule_1,emodule_2,emodule_3,... gmodule_12,gmodule_13,gmodule_23,… nuy_12,nuy_13,nuy_23,nol_p,aol_p, z_p) %------------------------------------------------------------------------ % Muc dich: % xac dinh cac ma tran do cung vat lieu composite lop % Cu phap: % [A, B, D]=ABD_matrix(emodule_1,emodule_2,emodule_3,... % gmodule_12,gmodule_13,gmodule_23,… % nuy_12,nuy_13,nuy_23,nol_p,aol_p) %------------------------------------------------------------------------ % Tinh toan cac ma tran do cung cua cac lop nuy_21 = nuy_12*emodule_2/emodule_1; nuy_31 = nuy_13*emodule_3/emodule_1; nuy_32 = nuy_23*emodule_3/emodule_2; temp_delta = 1-nuy_12*nuy_21; U1=(emodule_1+emodule_2+2*nuy_12*emodule_2)/(8*temp_delta); U2=(temp_delta*gmodule_12-nuy_12*emodule_2)/(2*temp_delta); U3=(emodule_1-emodule_2)/(2*temp_delta); U4=(emodule_1+emodule_2-2*nuy_12*emodule_2-4*temp_delta*gmodule_12)/(8*temp_delta); for k=1:nol_p % C(k,i,j): the k layer, i row, j column of hardness coefficient matrix C(1,1,k)=3*U1+U2+U3*cos(2*aol_p(k))+U4*cos(4*aol_p(k)); C(2,2,k)=3*U1+U2-U3*cos(2*aol_p(k))+U4*cos(4*aol_p(k)); C(1,2,k)=U1-U2-U4*cos(4*aol_p(k)); C(2,1,k)=C(1,2,k); C(3,3,k)=U1+U2-U4*cos(4*aol_p(k)); C(1,3,k)=0.5*U3*sin(2*aol_p(k))+U4*sin(4*aol_p(k));

SinhVienKyThuat.Com

262

C(3,1,k)=C(1,3,k); C(2,3,k)=0.5*U3*sin(2*aol_p(k))-U4*sin(4*aol_p(k)); C(3,2,k)=C(2,3,k); C(4,4,k)=cos(aol_p(k))*cos(aol_p(k))*gmodule_13 + … sin(aol_p(k))*sin(aol_p(k))*gmodule_23; C(5,5,k)=sin(aol_p(k))*sin(aol_p(k))*gmodule_13 + … cos(aol_p(k))*cos(aol_p(k))*gmodule_23; C(4,5,k)=cos(aol_p(k))*sin(aol_p(k))*… (gmodule_13-gmodule_23); C(5,4,k)=C(4,5,k); end for i=1:5 for j=1:5 Temp1(i,j)=0; Temp2(i,j)=0; Temp3(i,j)=0; for k=1:nol_p Temp1(i,j) = Temp1(i,j) + C(i,j,k)*(z_p(k+1)-z_p(k)); Temp2(i,j) = Temp2(i,j) + C(i,j,k)*((z_p(k+1)^2)-(z_p(k)^2))/2; Temp3(i,j) = Temp3(i,j) + C(i,j,k)*((z_p(k+1)^3)-(z_p(k)^3))/3; end end end for i=1:3 for j=1:3 A(i,j) = Temp1(i,j); B(i,j) = Temp2(i,j); D(i,j) = Temp3(i,j); end end for i=1:2 for j=1:2

SinhVienKyThuat.Com

263

A_t(i,j) = Temp1(i+3,j+3)*5.0/6.0; % 5/6 He so hieu chinh end end %-------------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------------------------------- function [B1,B2]=Bb_matrix_com1(nnel,dhdx,dhdy) %-------------------------------------------------------------------------- % Muc dich: % xac dinh cac ma tran chuyen vi – bien dang % cua cac thanh phan chuyen vi uon va do cong % Cu phap: % [B1, B2]=Bb_matrix_com1(nnel,dhdx,dhdy) % Mo ta cac bien: % nnel – so nut cua phan tu % dhdx – dao ham ham dang theo x % dhdy - dao ham ham dang theo y %-------------------------------------------------------------------------- for row =1:3 for col=1:nnel*5 B1(row,col)=0; B2(row,col)=0; end end for i=1:nnel i1=(i-1)*5+1; i2=i1+1; i3=i1+3; i4=i3+1; B1(1,i1)=dhdx(i); B1(2,i2)=dhdy(i); B1(3,i1)=dhdy(i); B1(3,i2)=dhdx(i);

SinhVienKyThuat.Com

264

B2(1,i3)=dhdx(i); B2(2,i4)=dhdy(i); B2(3,i3)=dhdy(i); B2(3,i4)=dhdx(i); end %------------------------------------------------------------------------ function [B_p]=Bp_matrix_com1(nnel,shape,edof) %------------------------------------------------------------------------ % Muc dich: % xac dinh vecto dinh vi luc nut phan tu % Cu phap: % [B_p]=Bp_matrix_com1(nnel,shape, edof) % Mo ta cac bien: % nnel – so luong nut cua phan tu % shape – ham dang % edof - so bac tu do cua phan tu %------------------------------------------------------------------------ B_p=zeros(1,edof); % khoi tao vecto B_p for i=1:nnel ii=(i-1)*5+3; B_p(1,ii)=shape(i); end %------------------------------------------------------------------------ %------------------------------------------------------------------------ function [B_s]=Bs_matrix_com1(nnel,dhdx,dhdy,shape) %------------------------------------------------------------------------ % Muc dich: % xac dinh ma tran quan he chuyen vi – bien dang % cua cac thanh phan bien dang cat

SinhVienKyThuat.Com

265

% Cu phap: % [B_s]=Bs_matrix_com1(nnel,dhdx,dhdy,shape) % Mo ta cac bien: % nnel – so nut cua phan tu % dhdx – dao ham ham dang theo x % dhdy - dao ham ham dang theo y % shape - ham dang %------------------------------------------------------------------------ for row =1:2 for col=1:nnel*5 B_s(row,col)=0; end end for i=1:nnel i1=(i-1)*5+3; i2=i1+2; i3=i1+1; B_s(1,i1)=dhdy(i); B_s(1,i2)=shape(i); B_s(2,i1)=dhdx(i); B_s(2,i3)=shape(i); end

Kết quả số Result = Nút số Độ võng (mm) 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0

SinhVienKyThuat.Com

266

6 0 7 0.0210 8 0.0291 9 0.0210 10 0 11 0 12 0.0256 13 0.0361 14 0.0256 15 0 16 0 17 0.0210 18 0.0291 19 0.0210 20 0 21 0 22 0 23 0 24 0 25 0

SinhVienKyThuat.Com

267

6. BÀI TẬP 12.1-12.3. Phát triển chương trình P12_2 cho bài toán đã cho

trong Ví dụ 12.2, nhưng thay liên kết đơn trên 4 cạnh của tấm bằng các dạng sau đây:

a. Liên kết ngàm (N) ở một biên y = 0 (TTNT); b. Liên kết ngàm ở biên y = 0 và liên kết tựa bản lề (B) ở biên y = b

(TTNB); c. Liên kết ngàm tại 2 biên y = 0 và y =b (TTNN).

12.4-12.6. Phát triển chương trình P12_2 cho bài toán đã cho trong Ví dụ 12.2, với các yêu cầu của bài 12.1-12.3, nhưng thay tải trọng phân bố đều trên bề mặt tấm thành tải trọng phân bố sin như sau:

mm/Np;b

ysina

xsinpp 100

12.7. Phát triển chương trình P12_2 để tính toán độ võng lớn nhất và các thành phần ứng suất tại điểm đó của tấm hình vuông có cấu hình lớp vuông xen lớp (0o/90o/0o/90o/...), số các cặp lớp (0o/90o) quy ước là n, lần lượt là n=1, n=5 và n=10. Vật liệu của các lớp là như nhau, có cơ tính là E1/E2 = 25 = 280 gPa, G12 = G13 = 0,5E2, G23 = 0,2 E2, 12=0,25. Xét bài toán với các điều kiện biên khác nhau và chịu tải trọng gây uốn phân bố sin như đã cho trong bài 12.3-12.6. Trong các trường hợp tính toán, các cạnh biên x = 0 và x = a chịu liên kết đơn (BB), hai cạnh còn lại sẽ là (NN), (BB) và (TT). Sử dụng phần tử tứ giác bậc nhất đẳng tham số và khảo sát bài toán với các mật độ lưới khác nhau 33; 44; 66 và 88. Chiều dày các lớp được xác định trong từng trường hợp cụ thể, với quy định tỷ lệ a/h = 100.

SinhVienKyThuat.Com

268

Chương 13 PHẦN TỬ HỮU HẠN

TRONG BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU

1. GIỚI THIỆU Trong các chương trước, chúng ta đã xét các kết cấu chịu tác dụng

của tải trọng tĩnh. Trong kỹ thuật, ta còn gặp các kết cấu chịu lực tác dụng tức thời của lực hoặc lực thay đổi theo thời gian, khi ấy khối lượng và gia tốc đóng vai trò quan trọng.

Giả sử một kết cấu bị biến dạng đàn hồi, nếu ta loại bỏ lực tác dụng một cách tức thời, khi ấy kết cấu sẽ dao động xung quanh vị trí cân bằng. Chuyển động có chu kỳ này được gọi là dao động tự do. Số chu kỳ trong một đơn vị thời gian được gọi là tần số; chuyển vị lớn nhất từ vị trí cân bằng được gọi là biên độ.

Dưới đây ta xét bài toán dao động tự do không có lực cản của vật (kết cấu).

2. MÔ TẢ BÀI TOÁN Người ta định nghĩa Lagrangean L là hiệu của động năng T và thế

năng của vật (hay hệ) như sau: L = T - (13.1)

Nguyên lý Haminton Trong một khoảng thời gian bất kỳ từ t1 đến t2, trạng thái chuyển

động của vật sẽ làm cực trị phiếm hàm:

2

1

t

t

LdtI (13.2)

Biểu diễn L theo các biến mở rộng nn qqqqqq ,,,,, 2121 ; trong

đó tqq i

i

. Khi đó, các phương trình chuyển động sẽ được viết dưới

dạng:

SinhVienKyThuat.Com

269

niqL

qL

dtd

ii

,,2,1;0

(13.3)

Để minh hoạ, chúng ta xét ví dụ sau:

Ví dụ Khảo sát hệ gồm hai khối lượng

tập trung m1, m2 nối với nhau bởi các lò xo có độ cứng k1 và k2 như Hình 13.1. Động năng và thế năng của hệ được xác định bởi:

222

211 2

121 xmxmT

2122

211 2

121 xxkxk

Áp dụng L = T - , ta thu được phương trình chuyển động

0

0

1222222

122111111

xxkxmxL

xL

dtd

xxkxkxmxL

xL

dtd

Hoặc dưới dạng ma trận:

00

00

2

1

22

221

2

1

2

1

xx

kkkkk

xx

mm

Hay dưới dạng cô đọng hơn: 0 KXXM (13.4)

Trong đó M là ma trận của các khối lượng của các phần tử hữu hạn của hệ, K là ma trận độ cứng, X là ma trận chuyển vị, X là ma trận gia tốc.

11, xx

22 , xx

k1

k2

m2

m1

Hình 13.1. Hệ lò xo-khối lượng

SinhVienKyThuat.Com

270

3. VẬT RẮN CÓ KHỐI LƯỢNG PHÂN BỐ Khảo sát một vật rắn với khối lượng phân bố (Hình 13.2).

Biểu thức xác định thế năng đã trình bày trong (1.9) - Chương 1, còn động năng được xác định bởi:

V

T dVuuT 21 (13.5)

Trong đó là khối lượng riêng của vật liệu; u là véctơ vận tốc tại điểm x với các thành phần u , v và w .

Twvuu (13.6)

Theo phương pháp PTHH, vật thể được chia thành các phần tử; trong mỗi phần tử, ta biểu diễn chuyển vị u theo các chuyển vị nút q nhờ các hàm dạng N:

u = N q (13.7) Trong các bài toán động lực học, các thành phần chuyển vị q phụ thuộc vào thời gian. Vì vậy, véctơ vận tốc được xác định bởi:

qNu (13.8)

Thay (13.8) vào (13.5) ta thu được động năng của phần tử:

qdVNNqTe

TT

2

1 (13.9)

Biểu thức trong ngoặc được gọi là ma trận khối lượng của phần tử:

e

Te dVNNm (13.10)

y

x

z

uu , vv ,

ww ,

dV

V

Hình 13.2. Vật có khối lượng phân bố

SinhVienKyThuat.Com

271

Động năng của cả vật (hệ) được xác định bởi:

QMQqmqTT T

e

eT

ee

21

21

(13.11)

Mặt khác, thế năng của vật (hệ) được xác định bởi:

FQKQQ TT 21 (13.12)

Áp dụng hệ thức (13.3), ta thu được phương trình chuyển động

FKQQM (13.13)

Trong đó M là ma trận khối lượng của các phần tử hữu hạn của hệ do các khối lượng phân bố qui đổi ra. Trong trường hợp vật dao động tự do, F = 0, do đó:

0 KQQM (13.14)

Khi dao động tự do, tất cả các điểm của hệ dao động cùng pha, vì vậy ta có thể viết:

Q = U sin t (13.15) trong đó U là véctơ dao động nút và (rad/s) là tần số góc. Thế phương trình (13.15) vào (13.14), ta được:

KU = 2 M U (13.16) Đây là bài toán trị riêng tổng quát. Ta cũng có thể viết (13.16) dưới dạng:

KU = M U (13.17) Ở đây, U là véctơ riêng, biểu thị dạng dao động ứng với trị riêng . Trị riêng là bình phương của tần số góc , còn tần số f = /2 được đo bằng Hz (số chu kỳ/giây). Mỗi giá trị tần số ứng với một dạng dao động cụ thể. Có nhiều phương pháp giải hệ phương trình (13.17) để tìm các trị riêng và dạng dao động của hệ (xem thêm giáo trình phương pháp tính). Trong thực hành, người ta hay dùng các chương trình để giải bài toán trị riêng.

SinhVienKyThuat.Com

272

4. MA TRẬN KHỐI LƯỢNG CỦA PHẦN TỬ CÓ KHỐI LƯỢNG PHÂN BỐ

Xét một vật liệu có khối lượng riêng bằng hằng số. Từ công thức (13.10) ta có:

e

Te dVNNm (13.18)

4.1. Phần tử một chiều Với phần tử một chiều như mô tả trong Hình 13.3.

Ta có:

Tqqq 21

2

12

121

NNN (13.19)

Khi đó:

2112

62

1

1

eeTee

ee

Te lANdNlAdxANNm

(13.20)

4.2. Phần tử trong hệ thanh phẳng Phần tử giàn, như mô tả trong Hình 13.4.

Ta có:

1

q1 q2 le

Hình 13. 3. Phần tử 1 chiều

dV=Adx

2

1

Hình 13.4. Phần tử giàn

2 q3

q4

q1

q2 u

v

SinhVienKyThuat.Com

273

21

21

4321

0000

;

NNNN

N

qqqqqvuu TT

(13.21)

Trong đó N1, N2 cũng được xác định theo (13.19) Tương tự như trên, ma trận khối lượng của phần tử giàn cũng được xác định theo biểu thức:

2010020110200102

6eee lAm (13.22)

4.3. Phần tử tam giác Với phần tử hữu hạn tam giác biến dạng hằng số, Hình 13.5. ta có:

311

321

321

654321

;;1000

000

;

NNNNNN

NNNN

qqqqqqq

vuuT

T

Chú ý rằng:

;121;

61

212

1 ee

ee

AdANNAdAN

Khi đó, ma trận khối lượng của phần tử được xác định bởi:

201010020101102010010201101020010102

12eee tAm (13.23)

1 q1

q2 2 q3

q4 3 q5

q6

u

v

x

y

Hình 13.5. Phần tử tam giác phẳng

SinhVienKyThuat.Com

274

4.4. Phần tử tam giác đối xứng trục Với phần tử tam giác đối xứng trục, ta có

Twuu

Trong đó u và w là các chuyển vị hướng kính và hướng trục. Véctơ q và N được xác định tương tự như trường hợp phần tử tam giác ở trên. Khi ấy:

e

T

e

Te dArNNdVNNm 2 (13.24)

Vì: r = N1r1 + N2r2 + N3r3, do đó:

e

Te dANNrNrNrNm 3322112

Chú ý

;60

;30

;10 3212

21

31

e

e

e

e

e

e

AdANNNAdANNAdAN

Cuối cùng ta được

rrrrrr

rrrrrr

rrrrrr

rrrrrr

rrrrrr

rrrrrr

Am ee

2340

320

320

02340

320

32

3202

340

320

03

202340

32

320

3202

340

03

203

20234

10

312

312

12

3

12

3

231

231

(13.25) Trong đó:

3321 rrrr

(13.26)

SinhVienKyThuat.Com

275

4.5. Phần tử tứ giác Với phần tử tứ giác ở trạng thái ứng suất và biến dạng phẳng:

4321

4321

87654321

00000000

;

NNNNNNNN

N

qqqqqqqqqvuu TT

(13.27)

Ma trận khối lượng được xác định bởi:

1

1

1

1

det ddJNNtm Te

e (13.28)

Để tính được ma trận khối lượng trên, ta sẽ áp dụng công thức tích phân số (xem Chương 8)

4.6. Phần tử dầm Với phần tử dầm Hermite, Hình 13.6, ta có:

v = Hq (13.29)

Khi ấy:

1

1 2 dlAHHm e

eTe , sau khi lấy tích phân, ta được:

eeee

ee

eeee

ee

eee

llllll

llllll

lAm

422313221561354313422

135422156

420 (13.30)

q2

q1 q3

q4

v

le

Hình 13.6. Phần tử dầm

SinhVienKyThuat.Com

276

4.7. Phần tử khung Trong hệ toạ độ địa phương (x', y'), ma trận khối lượng của phần tử

được xem như một tổ hợp của ma trận khối lượng của phần tử thanh và phần tử dầm. Khi ấy, ma trận khối lượng được xác định bởi:

blblblblblbblb

aablblblblblbblb

aa

m

eeee

ee

eeee

ee

e

22

222

2

4220313022156013540

00200313042201354022156000002

' (13.31)

với ký hiệu:

420;

6eeee lAblAa

Áp dụng ma trận chuyển vị L đã giới thiệu trong Chương 9, ta sẽ xác định được ma trận khối lượng me của phần tử khung trong hệ toạ độ chung bởi:

LmLm eTe ' (13.32)

5. VÍ DỤ Cho một dầm ngàm hai đầu (Hình 13.7), chiều dài 2, khối lượng

riêng , mặt cắt ngang tròn, diện tích A. Dầm chịu dao động uốn tự do. Hãy xác định các tần số dao động riêng.

Lời giải

Chia dầm ra hai phần tử có chiều dài bằng nhau. Từ ma trận độ cứng của phần tử chịu uốn (xem Chương 9), ta xác định được ma trận độ cứng chung K; chú ý đến điều kiện biên sẽ được:

1 2

1 2 3 l1=l l2=l

A B

Hình 13.7

SinhVienKyThuat.Com

277

23 80

024ll

EJK

Áp dụng công thức (13.31), ta xác định được ma trận khối lượng của các phần tử, từ đó suy ra ma trận khối lượng chung M; chú ý đến điều kiện biên sẽ được:

280

0312420 l

AlM

Cuối cùng ta thiết lập được phương trình

4

32

2

4

323 80

031242080

024UU

lAl

UU

llEJ

do tính đối xứng, ta suy ra ngay:

42

242

1 420;31,32AlEJ

AlEJ

Nếu chia dầm ra nhiều phần tử, ta sẽ tính được các giá trị tần số góc chính xác hơn.

6. CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TẦN SỐ DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA DẦM VÀ KHUNG

6.1. Chương trình tính tần số dao động tự do của dầm Tính tần số dao động tự do của dầm công xôn như Hình 13.8. Dầm

có chiều dài 1m, tiết diện mặt cắt ngang 2020 mm; khối lượng riêng vật liệu dầm là 1000Kg/m3; môđul đàn hồi kéo là 100 gPa, môđul đàn hồi trượt của vật liệu dầm là 40 gPa. Ở đây, ta sẽ minh hoạ bằng chương trình Matlab, với số phần tử là 4. Trong chương trình này, chúng ta sử dụng hàm = eig(K,M) là một công cụ sẵn có của Matlab, cho phép tính nghiệm riêng của phương trình KU = MU. Ở đây, U là véctơ riêng, biểu thị dạng dao động ứng với trị riêng . Trị riêng là bình phương của tần số góc , còn tần số f = /2 được đo bằng Hz (số chu kỳ/giây). Mỗi giá trị tần số ứng với một dạng dao động cụ thể.

SinhVienKyThuat.Com

278

Chương trình nguồn %---------------------------------------------------------------------------- % Chuong trinh so 1, chuong 13- Vi du 13.1 (P13_1) %---------------------------------------------------------------------------- % tinh tan so dao dong tu do cua dam, su dung phan tu dam voi 1 bac tu do % Mo ta bai toan % Tinh tan so dao dong tu do cua dam cong xon, su dung 4 phan tu. % dam co chieu dai 1 m, kich thuoc mat cat ngang 0.02 x0.02 (m) % va trong luong rieng la 1000 Kg/m^3. % mo dul dan hoi E = 100 GPa va mo dul dan hoi truot la 40 GPa % Mo ta cac bien % k = ma tran do cung phan tu % kk = ma tran do cung tong the % m = ma tran khoi luong phan tu % mm = ma tran khoi luong tong the % index = bang ghep noi phan tu % bcdof = vecto chua cac bac tu do bi rang buoc theo dieu kien bien %------------------------------------------------------------------------------------- clear noe=4; % tong so phan tu nnel=2; % so nut cua phan tu ndof=3; % so bac tu do tai nut edof = nnel*ndof; % so bac tu do cua phan tu nnode=noe+1; % tong so nut cua he sdof=nnode*ndof; % so bac tu do cua he e_module=100*10^9; % modul dan hoi

1 2 3 4

1 2 3 4 5 1 m

A-A A-A

0,02

Hình 13.8. Mô hình dầm dao động uốn tự do

SinhVienKyThuat.Com

279

g_module=40*10^9; % modul dan hoi truot tleng=1; % chieu dai dam leng=tleng/noe; % chieu dai cac phan tu (deu nhau) h=0.02; % chieu cao mat cat dam b=0.02; % chieu rong mạt cat dam rho=1000; % trong luong rieng vat lieu dam bcdof(1)=1; % bac tu do thu 1 tai nut 1 bi rang buoc theo dieu kien bien bcdof(2)=2; % bac tu do thu 2 tai nut 1 bi rang buoc theo dieu kien bien bcdof(3)=3; % bac tu do thu 3 tai nut 1 bi rang buoc theo dieu kien bien kk=zeros(sdof,sdof); % khoi tao ma tran do cung tong the mm=zeros(sdof,sdof); % khoi tao ma tran khoi luong tong the index=zeros(edof,1); % khoi tao bang ghep noi for iel=1:noe % xet tuing phan tu trong he % xay dung bang ghep noi start = (iel-1)*(nnel-1)*ndof; for i=1:edof index(i)=start+i; end % tinh ma tran do cung phan tu va ma tran khoi luong phan tu [k,m]=beam_elm_3(e_module,g_module,leng,h,b,rho); % ghep noi ma tran do cung kk=kk_build_2D(kk,k,index); % ghep noi ma tran khoi luong mm=kk_build_2D(mm,m,index); end %---------------------------------- % ap dat dieu kien bien %---------------------------------- [kn,mn]=boundary_aply_beam(kk,mm,bcdof); fsol=eig(kn,mn); % giai he phuong trinh tri rieng va in ket qua fsol=sqrt(fsol)

SinhVienKyThuat.Com

280

Các hàm sử dụng trong chương trình function [k,m]=beam_elm_3(e_module,g_module,leng,h,b,rho) %-------------------------------------------------------------- % Muc dich: % Xac dinh ma tran do cung va ma tran khoi luong phan tu % cua phan tu dam, voi cac chuyen vi nut chi la chuyen vi dai % vecto chuyen vi phan tu: {u_1_b u_1_t v_1 u_2_b u_2_t v_2} % Cu phap: % [k,m]=beam_elm_3(e_module,g_module,leng,h,b,rho) % Mo ta cac bien: % k – ma tran do cung phan tu (kich thuoc 6x6) % m – ma tran khoi luong phan tu (kich thuoc 6x6) % e_module – modul dan hoi % g_module – modul cat % leng – chieu dai phan tu % h, b – chieu cao va chieu rong mat cat ngang cua dam % rho – trong luong rieng vat lieu dam %--------------------------------------------------------------- % ma tran do cung a1=(g_module*leng*b)/(4*h); a2=(g_module*h*b)/leng; a3=(e_module*h*b)/(6*leng); a4=g_module*b/2; k= [ a1+2*a3 -a1+a3 a4 a1-2*a3 -a1-a3 -a4;... -a1+a3 a1+2*a3 -a4 -a1-a3 a1-2*a3 a4;... a4 -a4 a2 a4 -a4 -a2;... a1-2*a3 -a1-a3 a4 a1+2*a3 -a1+a3 -a4;... -a1-a3 a1-2*a3 -a4 -a1+a3 a1+2*a3 a4;... -a4 a4 -a2 -a4 a4 a2]; % ma tran khoi luong m=zeros(6,6); mass=rho*h*b*leng/4; m=mass*diag([1 1 2 1 1 2]); %----------------------------------------------------------------------

SinhVienKyThuat.Com

281

function [kk,mm]=boundary_aply_beam(kk,mm,bcdof)

%---------------------------------------------------------------------- % Muc dich: % Ap dat cac dieu kien bien len he phuong trinh tri rieng % [kk]{x}=lamda[mm]{x} % Cu phap: % [kk,mm]=boundary_aply_beam(kk,mm,bcdof) % Mo ta cac bien: % kk – ma tran do cung tong the truoc khi ap dat dieu kien bien % mm - ma tran khoi luong tong the truoc khi ap dat dieu kien bien % bcdof – vecto cac bac tu do chiu rang buoc theo dieu kien bien %--------------------------------------------------------------------- n=length(bcdof); sdof=size(kk); for i=1:n c=bcdof(i); for j=1:sdof kk(c,j)=0; kk(j,c)=0; mm(c,j)=0; mm(j,c)=0; end mm(c,c)=1; end

Kết quả số fsol = Mode Tần số (Hz) 1 200 2 1260 3 4040

SinhVienKyThuat.Com

282

6.2. Chương trình tính tần số dao động tự do của khung Ví dụ 13.2.

Tính tần số dao động tự do của khung công xôn như Hình 13.9. Tiết diện mặt cắt ngang 1010 mm; khối lượng riêng vật liệu khung là 1000Kg/m3; môđun đàn hồi kéo nén vật liệu khung là 100gPa. Ở đây ta sẽ xây dựng chương trình tính với lưới gồm 10 phần tử có kích thước đều nhau, được mô tả như Hình 13.9.

1 1

1 m

1m

Hình 13.9. Dao động tự do của khung phẳng

2

3

4

5

6

7

x

y

0.01m

0,01

A-A

A-A

10 8 9 10 11

SinhVienKyThuat.Com

283

Chương trình nguồn %---------------------------------------------------------------------------- % Chuong trinh so 2, chuong 13 – Vi du 13.2 (P13_2) %---------------------------------------------------------------------------- % Mo ta bai toan % Tim tan so dao dong rieng cua khung hinh chu L duoc cau tao tu 2 thanh % moi thanh co do dai 1 m. Ca 2 thanh co cung tiet dien ngang 0.01x0.01 m. % Mo dul dan hoi E=100 gPa; khoi luong rieng vat lieu thanh 1000 Kg/m^3. % Chuong trinh dung luoi 10 phan tu. % Mo ta cac bien % x va y = cac toa do nut toan cuc % k = ma tran do cung phan tu % kk = ma tran do cung tong the % m = ma tran khoi luong phan tu % mm = ma tran khoi luong tong the % index = bang ghep noi phan tu % bcdof = vecto chuyen vi nut chiu rang buoc theo dieu kien bien %---------------------------------------------------------------------------- clear b=0.01; % chieu rong mat cat thanh (mm) h=0.01; % chieu cao mat cat thanh (mm) noe=10; % so luong phan tu nnel=2; % so luong nut cua phan tu ndof=3; % so luong bac tu do cua moi nut nnode=(nnel-1)*nel+1; % tong so nut trong he sdof=nnode*ndof; % tong so bac tu do cua he % toa do x, y cua cac nut trong he truc chung x(1)=0; y(1)=0; x(2)=0; y(2)=0.2; x(3)=0; y(3)=0.4; x(4)=0; y(4)=0.6; x(5)=0; y(5)=0.8; x(6)=0; y(6)=1; x(7)=0.2; y(7)=1;

SinhVienKyThuat.Com

284

x(8)=0.4; y(8)=1; x(9)=0.6; y(9)=1; x(10)=0.8; y(10)=1; x(11)=1; y(11)=1; e_module=100*10^9; % modul dan hoi area=b*h; % dien tich mat cat ngang xi=(b*h^3)/12; % momen quan tinh mat cat ngang rho=1000; % khoi luong rieng vat lieu khung bcdof(1)=1; % thanh phan u tai nut 1chiu rang buoc boi dieu kien bien bcdof(2)=2; % thanh phan v tai nut 1chiu rang buoc boi dieu kien bien bcdof(3)=3; % goc xoay tai nut 1chiu rang buoc boi dieu kien bien kk=zeros(sdof,sdof); mm=zeros(sdof,sdof); index=zeros(nel*ndof,1); for iel=1:noe % xet tung phan tu index=feeldof1(iel,nnel,ndof); % xay dung bang ghep noi phan tu node1=iel; % chi so nut tong the cua nut thu 1 phan tu 'iel' node2=iel+1; % chi so nut tong the cua nut thu 2 cua phan tu 'iel' x1=x(node1); y1=y(node1); % toa do x, y cua nut thu 1 x2=x(node2); y2=y(node2); % toa do x, y cua nut thu 2 leng=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2); % chieu dai phan tu 'iel' if (x2-x1)==0; % tinh goc giua truc dia phuong x va truc chung X beta=pi/2; else beta=atan((y2-y1)/(x2-x1)); end % tinh ma tran do cung phan tu va ma tran khoi luong phan tu [k,m]=frame_element_2(e_module,xi,leng,area,rho,beta,1); kk=kk_build_2D(kk,k,index); % ghep noi ma tran do cung tong the mm=kk_build_2D(mm,m,index); % ghep noi ma tran khoi luong tong the end [kn,mn]=boundary_aply_beam(kk,mm,bcdof); % ap dat dieu kien bien fsol=eig(kn,mn); % giai he phuong trinh tri rieng fsol=sqrt(fsol) % in ket qua

SinhVienKyThuat.Com

285

Các hàm sử dụng trong chương trình %-------------------------------------------------------------- function [k,m]=frame_element_2(e_module,xi,leng,area,rho,beta,ipt) %-------------------------------------------------------------- % Muc dich: % xac dinh ma tran do cung phan tu va ma tran khoi luong phan tu % cua phan tu khung 2 chieu % voi vecto chuyen vi {u_1 v_1 theta_1 u_2 v_2 theta_2} % Cu phap: % [k,m]=frame_element_2(e_module,xi,leng,area,rho,beta,ipt) % Mo ta cac bien: % k – ma tran do cung phan tu (kich thuoc 6x6) % m – ma tran khoi luong phan tu (kich thuoc 6x6) % e_module – modul dan hoi % xi – mo men quan tinh cua mat cat ngang % leng – chieu dai phan tu % area – dien tich mat cat ngang cua khung % rho – khoi luong rieng (kg/m^3) % beta – goc nghieng giua truc dia phuong x va truc chung X %-------------------------------------------------------------------------- % ma tran do cung trong he truc dia phuong a=e_module*area/leng; c=e_module*xi/(leng^3); kl=[a 0 0 -a 0 0;... 0 12*c 6*leng*c 0 -12* c 6*leng*c;... 0 6*leng*c 4*leng^2*c 0 -6*leng*c 2*leng^2*c;... -a 0 0 a 0 0;... 0 -12*c -6*leng*c 0 12*c -6*leng*c;... 0 6*leng*c 2*leng^2*c 0 -6*leng*c 4*leng^2*c]; % ma tran quay (bien doi he toa do) r=[ cos(beta) sin(beta) 0 0 0 0;...

SinhVienKyThuat.Com

286

-sin(beta) cos(beta) 0 0 0 0;... 0 0 1 0 0 0;... 0 0 0 cos(beta) sin(beta) 0;... 0 0 0 -sin(beta) cos(beta) 0;... 0 0 0 0 0 1]; % ma tran do cung phan tu tinh trong he truc chung k=r'*kl*r; % consistent mass matrix mm=rho*area*leng/420; ma=rho*area*leng/6; ml=[2*ma 0 0 ma 0 0;... 0 156*mm 22*leng*mm 0 54*mm -13*leng*mm;... 0 22*leng*mm 4*leng^2*mm 0 13*leng*mm … -3*leng^2*mm;... ma 0 0 2*ma 0 0;... 0 54*mm 13*leng*mm 0 156*mm -22*leng*mm;... 0 -13*leng*mm -3*leng^2*mm 0… -22*leng*mm 4*leng^2*mm]; % ma tran khoi luong trong he toa do chung m=r'*ml*r;

Kết quả số Mode Tần số (Hz) 1 34 2 92 3 455 4 667

SinhVienKyThuat.Com

287

7. BÀI TẬP 13.1. Cho kết cấu dầm như Hình 13.7.1.

a. Hãy xây dựng ma trận độ cứng tổng thể cho kết cấu và ma trận khối lượng hệ;

b. Thực hiện tính toán bằng tay, xác định tần số dao động tự do nhỏ nhất của dầm;

c. Phát triển chương trình P13_1 để thực hiện theo các yêu cầu ở ý a và b trên đây; và kiểm tra, so sánh kết quả.

13.2. Phát triển chương trình P13.1, xác định các tần số dao

động tự do của kết cấu dầm như Hình 13.7.2. So sánh kết quả khi tính ở hai trường hợp: sử dụng lưới 2 phần tử và lưới 4 phần tử.

13.3. Bằng cách tính tay và phát triển chương trình P13_1 để

xác định hai tần số dao động tự do thấp nhất của hệ thống trục thép mang các bánh răng (coi như khối lượng tập trung) như chỉ ra trên Hình 13.7.3. Ở hai trường hợp như sau:

a. Coi cả 3 ổ bi như các gối đơn b. Mỗi ổ bi được coi là các gối đỡ mềm, độ cứng là 45kN/mm.

800 mm

x

Hình 13.7.2

75 mm

25 mm

300 mm 400 mm

A1=1200 mm2 A2=900 mm2

x

Hình 13.7.1

SinhVienKyThuat.Com

288

13.4. Phát triển chương trình P13_2 để xác định hai tần số dao

động tự do thấp nhất của khung thép như chỉ ra trên Hình 13.7.4.

600

600

300

15

30

0,5

1

Khung thép Mặt cắt ngang

Hình 13.4

10 kN 5 kN

75mm 75mm 45mm 45mm

Hình 11.7.3

SinhVienKyThuat.Com

289

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Trần Ích Thịnh - Trần Đức Trung - Nguyễn Việt Hùng. Phương pháp phần tử hữu hạn trong kỹ thuật. Đại học Bách Khoa – Hà Nội, 2000.

2. Tirupathi R. Chandrupatla – Ashok D. Belegundu. Introduction Finite Elements in Engineering. Third Edition.

3. Young W. Hwon - Hyochoong Bang. The Finite Element Method Using MATLAB. Second Editor. CRC Press, 2000.

4. J. N. Reddy. An Introduction To The Finite Element Method. Third Edition. Tata McGraw-Hill, 2005.

5. Klaus – Jürgen Bathe. Finite Element Procedures. Prentice-Hall of India, New Delhi, 2005.

6. K Chandrashekhara. Theory of Plates. Universities Press, 2001. 7. O. C. Zienkiewicz and R. L. Taylor. The Finite Element Method,

Fifth Edition. Volume 2, Solid Mechanics. Butterworth Heinemann, 2000.

8. O. C. Zienkiewicz and K. Morgan. Finite Element and Approximation. New York: Wiley – Iterscience, 1982.

9. Akin J. E. Finite Element for Analysis and Design. Academic Press Limited, London, 1994.

10. Batoz J. L. Et Dhatt DG. Modélesation des structues par élements finis.Vol. 1, 2, 3. Ed. Hermès. Paris, 1995.

11. Dhatt G. Et Touzot G. Une présentation de la méthode des élements finis. Maloine S.A. Editeur, 1981.

12. Ochoa O. O, Readdy, J. N. Finite Element Analysis of Composite Laminates. Klwer Academic Publisher, 1992.

SinhVienKyThuat.Com