MÉTODOS PARA EL CÁLCULO APROXIMADO DE Y DE OTRAS

SUPERFICIES IRREGULARES

REALIZADO POR:

MARÍA DÁVILA CABANILLASCRISTINA GARCÍA MOTIÑO

GEOMÉTRICOS

MÉTODO DEL AGRIMENSOR

PROBABILÍSTICOS MÉTODO DE MONTECARLO

BASADO EN LA SIGUIENTE DEDUCCIÓN:

𝐴𝐶 í 𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜=𝜋 𝑟2=𝜋 ∙12=𝜋

DESARROLLAREMOS EL CÁLCULO DE POR DIRERENTES MÉTODOS:

BASADO EN APROXIMAR LA SUPERFICIE A UNA POLIGONAL Y CONTAR PUNTOS

BASADO EN LA TRIANGULACIÓN Y PRODUCTO VECTORIALES.

BASADO EN LA GENERACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS PARA ESTIMAR PROBABILIDADES

OBTENCIÓN DEL ÁREA DEL NÚCLEO URBANO DE ZALAMEA DE LA SERENA

CONCLUSIONES Y ERRORES COMETIDOS

TEOREMA DE PICK

A LO LARGO DE LA HISTORIA, EL CÁLCULO DE HA MEJORADO A MEDIDA QUE SE HAN IDO DESARROLLANDO HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS MÁS POTENTES Y COMPLEJAS

UNA DE LAS REFERENCIAS MÁS ANTIGUAS DEL VALOR DE SE ENCUENTRA EN LA BIBLIA.

LOS TRABAJOS DE ARQUÍMEDES DE SIRACUSA, MARCAN UN ANTES Y UN DESPUÉS EN EL CÁLCULO DE , DESARROLLANDO LOS INICIOS DEL CÁLCULO INTEGRAL

INSCRIBE Y CIRCUNSCRIBE SENDOS HEXÁGONOS EN UNA CIRCUNFERENCIA

CON 96 LADOS:

3,14084507 < < 3,14285714.

6 < 2 < 4

EL HOLANDÉS WILLEFORD SNELL (1580-1626) LLEGÓ A CALCULAR 35 CIFRAS DECIMALES EXACTAS UTILIZANDO POLÍGONOS DE 2³º LADOS.

INTRODUCCIÓN

EULER ENCONTRÓ SERIES QUE PERMITEN CALCULAR EL VALOR DE

LA INVENCIÓN DEL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL POR LEIBNIZ Y NEWTON CAMBIA EL ENFOQUE A LA HORA DE INTENTAR CALCULAR EL NÚMERO

𝜋2

6=1+ 1

22+ 132

+ 142

+…

𝜋4

=1−13+15−17+…

LEIBNIZ DESCUBRIÓ LA SIGUIENTE FÓRMULA

HOY EN DÍA, EL CÁLCULO DE UN VALOR ACEPTABLEMENTE BUENO DE ESTÁ AL ALCANCE DE UN PAR DE ALUMNAS DE 4º DE ESO

CON EL USO DE LOS ORDENADORES, EN LA SEGUNDA MITAD DEL SIGLO XX SE HA PODIDO CALCULAR EL VALOR DE CON UNA EXACTITUD INIMAGINABLE HASTA EL MOMENTO Y UTILIZANDO PARA ELLO TÉCNICAS ANTERIORMENTE IMPOSIBLES DE EMPLEAR

EJEMPLO: TÉCNICAS PROBABILÍSTICAS (MÉTODO DE MONTECARLO)

B= PUNTOS DEL BORDE QUE COINCIDEN CON LOS NODOS DE LA CUADRICULA

I= PUNTOS INTERIORES QUE COINCIDEN CON LOS NODOS DE LA CUADRÍCULA

COMO CADA UNIDAD DE SUPERFICIE ES UN CUADRADO DE 100 METROS DE LADO, OBTENEMOS EL SIGUIENTE VALOR APROXIMADO DEL NÚCLEO URBANO DE ZALAMEA DE LA SERENA

HEMOS APROXIMADO LA SUPERFICIE DE ZALAMEA DE LA SERENA POR UNA POLIGONAL CUYOS VÉRTICES COINCIDAN CON LOS DE LA CUADRÍCULA.

TEOREMA DE PICK

𝐵=25𝐼=99 }

EL TEOREMA DE PICK FUE DESCUBIERTO POR GEORGE PICK NACIDO EN VENECIA EN 1859.

PARA VER LA UTILIDAD DE ESTE MÉTODO LO HEMOS APLICADO PARA CALCULAR AL ÁREA DEL NÚCLEO URBANO DE LA POBLACIÓN DE ZALAMEA DE LA SERENA

→ 𝐴=99+252−1=110,5

• SUPERPONEMOS SOBRE ESTE POLÍGONO UN SISTEMA DE EJES COORDENADOS

• COMENZANDO POR UN VÉRTICE CUALQUIERA NUMERAMOS DE FORMA CONSECUTIVA, EN SENTIDO HORARIO O ANTIHORARIO

:

𝐴=12

[ [ (−4.2 ) ∙ (−2.8 )+3.5 ∙1.9+5.4 ∙2.9+2.3 ∙1.7+ (−4.8 ) ∙ (−3.2)]− [ (−4.2 ) ∙1.7+ (−4.8 ) ∙2.9+2.3 ∙1.9+5.4 ∙ (−2.8 )+3.5∙ (−3.2)] ]=48.175

𝑃1=(𝑥1 , 𝑦1 ) ,𝑃2=(𝑥2 , 𝑦2 ) ,…,𝑃𝑛−1= (𝑥𝑛− 1 , 𝑦𝑛−1 ) ,𝑃𝑛= (𝑥𝑛 , 𝑦 𝑛)

Y APLICANDO LA FÓRMULA:

MÉTODO DEL AGRIMENSOR

APLICANDO LA FÓRMULA OBTENEMOS 100,5 UNIDADES CUADRADAS, IGUAL RESULTADO QUE EMPLEANDO LA FÓRMULA DE PICK.

NUMERAMOS LOS PUNTOS EN EL EJE DE COORDENADAS QUE HEMOS ELEGIDO Y UTILIZANDO UNA HOJA DE CÁLCULO EXCEL HALLAMOS EL ÁREA.

𝐴=100,5×10000𝑚2=1005000𝑚2=100,5h𝑎

Aproximación Agrimensor

PUNTOS X Y Productos(+) Productos(-) 1 6 0 0 0 2 7 0 14 0 3 8 2 16 18 4 9 2 27 18 5 9 3 36 27 6 9 4 36 40

52 5 1 5 653 6 1 0 61 6 0

Total (+) Total (-) Área

2339 2138 100,5

1ª COLUMNA: PUNTOS NUMERADOS

2ª Y 3ª COLUMNAS: COORDENADAS X e Y

4ª COLUMNA:

5ª COLUMNA:

PERMITE RESOLVER PROBLEMAS FÍSICOS Y MATEMÁTICOS MEDIANTE LA SIMULACIÓN

DE VARIABLES ALEATORIAS

MÉTODO DE MONTE CARLO

MULTIPLICANDO EL ÁREA DEL CUADRADO 2X2 POR LA PROPORCIÓN ANTERIOR OBTENDREMOS NUESTRA APROXIMACIÓN DE

𝑃𝑈𝑁𝑇𝑂𝑆𝐷𝐸𝑁𝑇𝑅𝑂 𝐷𝐸𝐿𝐶 Í 𝑅𝐶𝑈𝐿𝑂𝑃𝑈𝑁𝑇𝑂𝑆𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿𝐸𝑆

≈𝜋4

AL LANZAR UN DARDO ALEATORIO SOBRE EL CUADRADO, LA

PROBABILIDAD DE QUE ÉSTE CAIGA DENTRO DEL CÍRCULO DEBE SER

PROPORCIONAL AL ÁREA DEL CÍRCULO

𝑝= 𝐴𝑐 í 𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜𝐴𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜

=π r2

4 r2=𝜋4

ÁREA DEL NÚCLEO URBANO DE LA POBLACIÓN DE ZALAMEA DE LA SERENA

AL LANZAR 100 PUNTOS AL LANZAR 200 PUNTOS AL LANZAR 400 PUNTOS

𝐴𝑍𝑎𝑙𝑎𝑚𝑒𝑎=1600 ∙1800 ∙60200

=864.000𝑚2=86,4h𝑎

CUANTOS MÁS PUNTOS ALEATORIOS SON GENERADOS, MENOR ES EL ERROR COMETIDO

CÁLCULO APROXIMADO DE

FÓRMULA DE PICK

RADIO EN 2 PARTES

HALLAREMOS EL ÁREA DE UN CUARTO DE CÍRCULO DE RADIO UNIDAD SOBRE EL QUE SE HA SUPERPUESTO UNA CUADRÍCULA DIVIDIENDO SU RADIO 2, 4, 10, 12 Y 50 PARTES IGUALES

𝐴 14𝑐 í 𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜

=𝐼+𝐵2−1=1+

72−1=3 ,5𝑢2

3 ,5𝑢2×0,25=0 ,875

𝐴𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥 .𝐶í 𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜=4 ∙0 ,875=3 ,5

𝐴𝐶 í 𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜=𝜋 𝑟2=𝜋 ∙12=𝜋

COMO EL RADIO, LO HEMOS DIVIDIDO EN DOS PARTES DE 0,5 CADA UNA, CADA UNIDAD CUADRADA TENDRÁ UN VALOR DE 0,25

𝜀𝑟=3,5− 𝜋

𝜋∙100=11,41%

RADIO EN 12 PARTESRADIO EN 50 PARTES

RADIO EN 4 PARTES RADIO EN 10 PARTES

Nº de DIVISIONES Nº de DIVISIONESÁREA

APROXIMADA DE PI

ERROR RELATIVO (%)

2 2 3,5 11,41 %

4 4 3,125 5,28 %

10 10 3,1 1,27 %

12 12 3,1111111111 0,920 %

50 50 3,1456 0,1783 %

SE HA DISEÑADO PARA ELLO UNA HOJA DE CÁLCULO, TENIENDO EN CUENTA LOS DATOS ANTERIORES

𝐴=12

(𝑥1 𝑦2+𝑥2 𝑦3+𝑥3 𝑦4+𝑥4 𝑦 5+𝑥5 𝑦1 )− (𝑥1 𝑦5+𝑥5 𝑦4+𝑥4 𝑦 3+𝑥3 𝑦 2+𝑥2 𝑦1 )

CUADRANTE DE RADIO UNIDAD EN EJES COORDENADOS

MÉTODO DEL AGRIMENSOR

X Y Productos (+) Productos(-)

0 0 0 0

0 0,00000000000000000000 1,00000000000000000000 0,00000000000000000000 0,5 0

30 0,52359877559829900000 0,86602540378443900000 0,50000000000000000000 0,75 0,25

60 1,04719755119660000000 0,50000000000000000000 0,86602540378443900000 0,5 5,30505E-17

90 1,57079632679490000000 0,00000000000000006126 1,00000000000000000000 0 0

0 0 Total (+) Total (-)

1,75 0,25

Origen

Aproximación Agrimensor (30º)

Origen PI Error (%)

3 4,50703414486279000000

APROXIMACIONES SUCESIVAS:SE HAN REALIZADO LOS CÁLCULOS ESCOGIENDO LOS PUNTOS FORMANDO ENTRE ELLOS ÁNGULOS DE 15º, 10º, 5º, 2º, 1º, 0’5º, 0’2º, 0’1º, 0’05º, 0’02º Y 0’01º. A CONTINUACIÓN SE EXPONEN LOS RESULTADOS OBTENIDOS:

RESULTADOS

Grados ÁREA APROXIMADA DE PI Error (%)

30 3 4,50703414486279000000

15 3,10582854 1,13840705346305000000

10 3,1256672 0,50692299547011100000

5 3,13760674 0,12687560462499900000

2 3,1409547 0,02030659079825370000

1 3,14139063 0,00643052867966673000

0'5 3,14155677 0,00114236767505909000

0'2 3.14127221 0,00020307816682978600

0'1 3,14159106 0,00005076955734163970

0'05 3.14159225 0,00001269237149603210

0'02 3,14159259 0,00000203056505923640

0'01 3.14159264 0,00000050696390561254

MÉTODO DE MONTECARLO

LANZAMOS UNA SERIE DE PUNTOS ALEATORIOS SOBRE UN CUADRADO

DE LADO 2 EN EL QUE SE HA INSCRITO UNA CIRCUNFERENCIA DE

RADIO LA UNIDAD CENTRADA EN EL ORIGEN DE COORDENADAS.

PARA APLICAR EL MÉTODO DE MONTECARLO, CALCULAR EL VALOR DE Y EL

ERROR COMETIDO, SE HA UTILIZADO UNA HOJA DE CÁLCULO COMO LA

SIGUIENTE:

• COLUMNA A: LOS PUNTOS LANZADOS ALEATORIAMENTE;• COLUMNAS B Y C: LAS COORDENADAS X E Y DE DICHOS PUNTOS, OBTENIDOS CON LA

FÓRMULA MATEMÁTICA =ALEATORIO() QUE NOS APORTA LA HOJA DE CÁLCULO.• COLUMNA D: APLICAMOS UNA FÓRMULA (PRUEBA_LÓGICA) COMO SE APRECIA EN LA

IMAGEN QUE NOS DETERMINA SI LA DISTANCIA DEL PUNTO LANZADO AL ORIGEN ES MENOR QUE 1 Y POR TANTO, SI EL PUNTO ESTÁ DENTRO DEL CÍRCULO

• COLUMNA E: SUMA EL TOTAL DE PUNTOS QUE ESTÁN DENTRO DEL CÍRCULO • COLUMNA F: SE CALCULA EL VALOR DE .

𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑑𝑒𝑙𝐶 í 𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠

≈𝜋4

COMO YA SE HA VISTO CON ANTERIORIDAD CUANDO FUE EXPUESTO EL MÉTODO DE MONTECARLO

SE HAN REALIZADO CÁLCULOS LANZANDO MÁS DE 200 000 PUNTOS

LA SIGUIENTE TABLA RESUME LOS RESULTADOS OBTENIDOS:

Nº PUNTOS APROXIMACIÓN ERROR %

20000 3,1374 0,133456309

40000 3,1409 0,022047849

60000 3,135 0,209850681

80000 3,13615 0,173245044

100000 3,13552 0,193298567

120000 3,134333333 0,23107134

140000 3,137571429 0,127999568

160000 3,138425 0,100829545

180000 3,137622222 0,126382756

200000 3,13942 0,069157712

CONCLUSIONES MÉTODO DE PICK: FACILIDAD DE APLICACIÓN Y RESULTADO BASTANTE ACEPTABLE

TANTO EN EL CÁLCULO DE ÁREA IRREGULARES COMO EL CÁLCULO DE PI, EN EL QUE SE HA LLEGADO A UN VALOR DE 3,1456 CON UN ERROR RELATIVO DE 0,1783 %.

MÉTODO DEL AGRIMENSOR: NECESITA DE CÁLCULO ALGO MÁS ELABORADOS, OBTENIENDO EN EL CÁLCULO DE ÁREAS IRREGULARES EL MISMO RESULTADO QUE EL MÉTODO DE PICK Y DANDONOS UN RESULTADO DE PI DE 3,14159264 CON UN ERROR RELATIVO MUY BAJO, 0’00000050696390561254 %

MÉTODO DE MONTECARLO: NECESITA HERRAMIENTAS INFORMÁTICAS PARA SU CÁLCULO Y EL LANZAMIENTO DE DEMASIADOS PUNTOS PARA OBTENER UN RESULTADO ACEPTABLE, CONCLUYENDO QUE PARA SUPERFICIES IRREGULARES SÍ SE OBTIENEN RESULTADO SIMILARES QUE EN LOS ANTERIORES. SIN EMBARGO PARA EL CÁLCULO DE CON UN LANZAMIENTO DE 200.000 PUNTOS, LA APROXIMACION OBTENIDA NO ES NADA BUENA CON UN VALOR DE 3,13942.

COMO CONCLUSIÓN FINAL, EL MÉTODO DEL AGRIMENSOR ES EL QUE HA RESULTADO SER MÁS EFICIENTE PARA EL CÁLCULO APROXIMADO DE ÁREAS EN GENERAL Y DE EN PARTICULAR, PUESTO QUE SE PUEDE APLICAR CON AYUDA DE UNA HOJA DE CÁLCULO Y APROXIMAR CUANTO SE DESEE, INTRODUCIENDO MÁS PUNTOS CON COORDENADAS CONOCIDAS COMO VÉRTICES DE UN POLÍGONO QUE APROXIME EL ÁREA QUE SE PRETENDA CALCULAR.