exposicion montecarlo
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INTEGRANTES
Julio Tamayo.
Marco Hidrobo.
Daniel Carrera.
Cristian Perugachi.
LA Simulación de Montecarlo es una técnica qcombina conceptos estadísticos (muestreoaleatorio) con la capacidad q tienen losordenadores para generar números pseudo-aleatorios y automatizar cálculos.
Los orígenes de esta técnica están ligados altrabajo aplicando una infinidad de ámbitoscomo alternativas a los modelos matemáticosexactos o inclusos como único medio deestimar soluciones para problemascomplejos.
En la actualidad es posible encontrar modelos desimulación Montecarlo en las áreas informáticas,empresarial, económica, industrial e inclusosocial.
En otras palabras, la simulación de Montecarloestá presente en todos los ámbitos en la q elcomportamiento aleatorio o probabilísticodesempeñe un papel fundamental.
El nombre de Montecarlo proviene de la famosaciudad de Mónaco, donde abundan los casinos dejuegos y donde el azar la probabilidad y elcomportamiento aleatorio conforman todo unestilo de vida.
La simulación Monte Carlo es una técnicamatemática computarizada que permite teneren cuenta el riesgo en análisis cuantitativos ytomas de decisiones.
Esta técnica es utilizada por profesionales decampos tan dispares como los de finanzas,gestión de proyectos, energía,manufacturación, ingeniería, investigación ydesarrollo, seguros, petróleo y gas,transporte y medio ambiente.
La simulación Monte Carlo ofrece a la personaresponsable de tomar las decisiones una seriede posibles resultados, así como laprobabilidad de que se produzcan según lasmedidas tomadas.
Muestra las posibilidades extremas , losresultados de tomar la medida másarriesgada y la más conservadora, así comotodas las posibles consecuencias de lasdecisiones intermedias.
Es un método directo y flexible.
Cuando el modelo matemático es demasiadocomplicado la simulación permite obteneruna simulación.
La simulación permite resolver problemas qno tiene solución analítica.
La simulación no interviene en el mundo real,permite experimentar.
La simulación no genera soluciones Optimasglobales.
Una buena simulación puede resultar muycomplicada, gran número de variables.
No proporciona la decisión a tomar, sino queresuelve el problema mediante aproximaciónpara unas condiciones iniciales.
Cada simulación es única, interviene el azar.
El método de Montecarlo permite resolver problemas
matemáticos mediante la simulación de variables
aleatorias.
John Von Neumann, en los años 40 y con los primeros
ordenadores, aplica la simulación para resolver
problemas complejos que no podían ser resueltos de
forma analítica.
Montecarlo y su casino están relacionados con la
simulación. La ruleta, juego estrella de los casinos, es
uno de los aparatos mecánicos más sencillos que nos
permiten obtener números aleatorios para simular
variables aleatorias.
Ejemplo: Cálculo de Integrales
Una aplicación inmediata del método, el el cálculo
de integrales definidas.
Ejemplo: Cálculo de Integrales
Consideremos un caso más sencillo:
Siempre podremos considerar que el área se encuentra inscrita en
un cuadrado de área 1. Podremos considerar en el cuadrado de área
1
un número N de puntos aleatorios (x, y), y un número N′ que aparecen
dentro de la superficie a determinar.
Precisión en el Cálculo
El procedimiento de Montecarlo tiene N puntos aleatorios de los que N′
resultan corresponder al área que deseamos calcular.
Luego S es proporcional a la probabilidad de que un punto aleatorio caiga en
la
superficie.
Estimaremos esa probabilidad como:
Que será la probabilidad de N′ éxitos en N intentos y que viene dada por la
distribución binomial:
La distribución binomial se puede aproximar mediante una normalcuando: N · p > 5 y
N · q > 5.
La distribución normal por la que aproximamos tendrá media μ = N ·p y varianza =
N · p · q.
Además para una distribución normal N(μ, ) sabemos que el 95% delas
observaciones se encuentran en el intervalo:
Con lo que suponiendo N · p > 5 y N · q > 5 tendremos que elintervalo de confianza al
95% del número de aciertos N′ en S estará en:
Tamaño de la Simulación
En nuestro ejemplo sabemos que:
y calculamos el área bajo la curva mediante el método de Montecarlo:
¿Cuántas simulaciones son necesarias para estimar S con 2 cifrassignificativas
correctas?
Esto equivale a que el número de aciertos N′ con un 95% de confianza:
La distribución Binomial la hemos aproximado mediante una Normal:
Para una variable aleatoria Z N(0, 1) tenemos que,
entonces tendremos que siendo p = 1/3 :
•Generadores de números aleatorios.
•Números pseudo aleatorios.
Los números aleatorios son la base esencial de la
simulación. Usualmente, toda la aleatoriedad
involucrada en el modelo se obtiene a partir de un
generador de números aleatorios que produce
una sucesión de valores que supuestamente son
realizaciones de una secuencia de variables
aleatorias independientes e idénticamente
distribuidas (i.i.d.) U (0; 1).
El método mas conveniente y mas estable degenerar números aleatorios es utilizaralgoritmos determinativos que posean algunabase matemática solida. Estos algoritmosproducen una sucesión de números que seasemeja a la de una sucesión de realizacionesde variables aleatorias iid U(0; 1), aunquerealmente no lo sea. Es por ello que este tipode números se denominan pseudo-aleatoriosy el algoritmo que los produce se llamagenerador de números pseudo-aleatorios.
Por encima de todo, la sucesión de valores queproporcione deberá asemejarse a una sucesión derealizaciones independientes de una variablealeatoria U(0; 1).
Los resultados deben ser reproducibles, en el sentidode que comenzando con las mismas condicionesiníciales debe ser capaz de reproducir la mismasucesión. Esto nos puede permitir depurar fallos delmodelo o simular diferentes alternativas del modeloen las mismas condiciones obteniendo unacomparación mas precisa. Los procedimientos físicosno permiten que los resultados sean reproducibles.
la sucesión de valores generados debe tener un ciclono repetitivo tan largo como sea posible el generadordebe ser rápido y ocupar poca memoria interna
Método de los centros de los cuadrados.
Métodos congruenciales.
Generador multiplicativo.
Generador mixto.
El método comienza tomando un numero alazar, x0, de 2n cifras. Si es necesario seañaden ceros a la izquierda para que elnumero resultante tenga exactamente 4ncifras. Sea x1 el numero resultante deseleccionar las 2n cifras centrales de x2 0; elprimer numero aleatorio u1 se obtieneponiendo un punto decimal delante las 2ncifras de x1. A continuación x2 y u2 segeneran a partir de x1 del mismo modo. Assucesivamente.
Tiene una fuerte tendencia a degenerar a cero rápidamente
Los números generados pueden repetirse clicamente después de una secuencia corta.
Diremos que dos números x e y son congruentes modulo m si:
x y mod(m)
Esto equivale a que x e y producen el mismo resto al ser divididos por m
La expresión más común a la hora de calcular números aleatorios es la dada por:
Donde a y b son números elegidos convenientemente y se denomina semilla.
Es una modificación del método congruencial en el que b = 0.
Normalmente m se elige tal que m = donde c es el numero de dígitos diferentes del sistema usado (binario, 2) y p es el tamaño de una palabra.
El período máximo de repetición es m/4 con m = y tomando como 0 una semilla impar.
En el método congruencial, la elecciónadecuada de a y b hacen que el período derepetición de los números aleatoriosobtenidos se incremente hasta m:◦ a y b primos.
◦ (a − 1) múltiplo de cada factor primo de m.
◦ (a − 1) ha de ser múltiplo de 4 si m lo es.
Basta con realizar operaciones aritméticas sencillas.
Computacionalmente esta tarea no necesita de elevados recursos.
Los números aleatorios se pueden reproducir, permitiendo comprobar la calidad de la secuencia y aplicarla en diferentes problemas.
Simulación de V.A.
Simulación de V.A.
Números Aleatorios U(0, 1):
Yk U(0, 1)
Esta distribución tendrá la función de densidad:
y función de distribución:
Transformación de Variables Aleatorias
Cuando un sistema o un proceso esta regido en su comportamiento por el
azar, entonces podemos aplicar técnicas de simulación basadas en el método
de Montecarlo.
La idea básica del método es simular valores que toman las variables que
forman parte del proceso en lugar de experimentar u observar la realidad.
Ejemplos de esas variables a simular:
• Demanda.
•Tiempo de respuesta, entre ocurrencias, de servicio,..
•Cantidad de empleados ausentes.
•Presión de un neumático.
•Velocidad y dirección del aire.
Existen dos tipos de variables aleatorias:
• Variables Aleatorias Discretas: Demanda, Numero de Empleados, etc.
• Variables Aleatorias Continuas: Tiempos, etc.
Simulación de V. A. DiscretasUna primera aproximación a la simulación de una V.A. Discreta, X, quesiga una determinada distribución de probabilidad dada por sufunción de probabilidad:
sería construir una ruleta a los sectores asignados a cada posiblevalor de la V.A. fuese proporcional a la probabilidad de ocurrenciade dicho valor.Supongamos que deseamos simular una V.A.D., X, con unadistribución de probabilidad dada por:
