Geometrian vaikeudet

kongnitiivisesta

nakokulmasta

Pro Gradu -tutkielmaPaivi Mensonen

Matemaattisten tieteiden laitosOulun yliopisto

Kevat 2013

1

Tiivistelma

Kreikankielinen sana geometria tarkoittaa maanmittausta. Muinaiset kreik-kalaiset ja egyptilaiset kehittivatkin nykyaan matematiikan alana tunne-tun geometrian alun perin maanmittauksen apuvalineeksi. Yhtena geomet-rian merkittavimpina teoksena voidaan pitaa Eukleideen noin 300 eaa. laa-timaa oppikirjaa nimeltaan Alkeet. Tama teos koostuu 13 kirjasta, joissa onmaaritelmia, aksioomia, postulaatteja ja teoreemojen todistuksia. Kirjassakasitellaan lahinna sen ajan lukuteoriaa ja euklidista geometriaa. Tarkeaaon kuitenkin huomata ettei Eukleides kirjoittanut kaikkia todistuksia itse,vaan Alkeet on kokoelma sen ajan matemaatikkojen tuloksista.Nykyaan geometria nahdaan matematiikan alana, joka tutkii kappaleita, ku-vioita ja niiden ominaisuuksia. Historian saatossa geometria on pystytty ja-kamaan myos osa-alueisiin sen mukaan mita tutkitaan ja mita menetelmiatutkimuksissa kaytetaan. Naita osa-alueita ovat tasogeometria, avaruusgeo-metria, euklidinen geometria, epaeuklidinen geometria ja analyyttinen geo-metria.Kuten muualla maailmassa, myos suomalaisessa koulujarjestelmassa mate-matiikan opetus oli pitkaan rajoittunut aritmetiikan, trigonometrian, al-gebran ja geometrian opetukseen (Lehtinen,M., 2000). Ennen 1700-luvunpuolivalia geometriaa opetettiin kouluissa huomattavan paljon enemmankuin nykyaan ja opetus oli paljon syvallisempaa. Tama mahdollistikin op-pilaiden geometrisen ajattelun kehittymisen koulunkaynnin aikana.Taman kirjallisuustutkielman tarkoituksena on tuoda esille niita vaikeuksiajoihin ylakoulun oppilaat saattavat tormata opiskellessaan geometriaa. Tut-kielman tarkoituksena ei ole pelkastaan esitella naita vaikeuksia vaan myospureutua siihen, mista nama vaikeudet johtuvat ja miten naiden vaikeuk-sien syntymista voitaisiin ehkaista. Koska geometriassa ilmenevia vaikeuksiaon lukuisia, on tutkielma rajattu kasittelemaan geometrian vaikeuksia kog-nitiivisesta nakokulmasta. Naista kognitiivisista nakokulmista tutkielmas-sa kasitellaan visuaalista havainnointia, luetunymmartamista ja van Hielenmallia.Visuaalisen havainnoinnin kautta syntyvia vaikeuksia tarkastellaan tutkiel-massa bottom-up - & top-down -prosessien, oppilaan kasityksiin perustuvantiedon, mielikuvien ja kuvien hierarkkisen rakenteen seka Gestaltin periaat-teiden avulla. Paalahteena tassa tarkastelussa on kaytetty Gal & Linchevskin(2010) julkaisua To see or not see: analyzing difficulties in geometry from theperspective of visual perception. Luetunymmartamisen kautta tapahtuvas-sa geometrian vaikeuksien tarkastelussa on kaytetty Kai-Lin Yangin (2011)tutkimusta. Viimeisena tutkielmassa on tarkasteltu van Hielen viisiosais-ta mallia geometrisen ajattelun kehittymisesta (Fuys, Geddes & Tischler,1988).

Sisalto

0.1 Johdanto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 Kognitiivinen oppiminen 3

2 Visuaalinen havainnointi 5

2.1 Bottom-up - ja top-down -prosessit . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Oppilaan kasityksiin perustuva tieto . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Mielikuvat ja kuvien hierarkkinen rakenne . . . . . . . . . . . 102.4 Gestaltin periaatteet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Luetun ymmartaminen 18

4 Van Hielen malli 22

5 Johtopaatokset 25

1

0.1 Johdanto

Matematiikka on tahtitieteen ja historian ohella yksi vanhimmista tietee-naloista. Sen ensimmaisten kehitysvaiheiden tarkka selvittaminen on mah-dotonta, silla ihmiset oppivat laskemaan ennen kirjoitustaidon syntymista.Tutkimukset ovat kuitenkin osoittaneet, etta geometria on yksi matematii-kan vanhimmista aloista. Geometrian sanotaankin olevan muinaisten egyp-tilaisten ja kreikkalaisten kehittama apuvaline maanmittaukseen. Vaikkageometrialla oli aikaisemmin merkittavampi rooli koulujarjestelmassa kuinnykyaan, on geometria silti matematiikan alana kehittynyt vuosien varrella.Esimerkiksi Rene Descartes ja Pierre de Fermat kehittivat 1600-luvulla ana-lyyttisen geometrian, kun taas 1800-luvun alussa venalainen matemaatikkoNikolai Lobatsevski kehitti epaeuklidisen geometrian.

Nykyaan geometriaa opetetaan koulussa vahemman kuin aikaisemmin.Tama johtuu osittain siita, etta matematiikka on tieteena kehittynyt ja ope-tettavaa asiaa on siten enemman. Toisaalta osa syyna voidaan nahda myosmuiden tieteiden kehittyminen ja siita seurannut opetettavien oppiaineidenmaaran lisaantyminen koulussa, minka seurauksena matematiikkaa voidaanviikossa opettaa vahemman kuin aikaisemmin. Oppilaille ei siis opeteta muu-tamaa asiaa syvallisesti kuten ennen, vaan heilta vaaditaan yha useammanaihekokonaisuuden hallintaa. Talloin opetustahti on nopeampi ja vaikeuksiaasian ymmartamisessa saattaa ilmeta.

Tutkielmassa on tarkasteltu geometriassa ilmenevia vaikeuksia kognitii-visesta nakokulmasta. Toisin sanoen siina tarkastellaan miten oppilas kayttaaaikaisemmin muodostuneita tiedonrakenteitaan geometrian tehtavien tulkit-semiseen ja muokkaamiseen. Kognitiivista oppimista on esitelty tarkemminensimmaisessa luvussa. Tutkielma on niin sanottu kirjallisuustutkielma jasen tarkoituksena on paitsi esitella niita vaikeuksia joihin oppilaat saat-tavat tormata geometriaa opiskellessaan, myos niita keinoja joilla naidenvaikeuksien syntymista voitaisiin ehkaista. Taman lisaksi tutkielmassa esi-tellaan teorioita, joiden avulla vaikeuksien syntymista geometriassa voidaanselittaa.

Toisessa luvussa tarkastellaan geometrian vaikeuksia visuaalisesta na-kokulmasta. Taman luvun tarkoituksena on esitella niita vaikeuksia joitaoppilaille syntyy nakohavainnoin valityksella. Esimerkiksi bottom-up - jatop-down -prosessien avulla oppilas saattaa helposti tunnistaa suorakulmai-sen kolmion suorakulmaiseksi mikali kolmion yksi sivu on horisontaalisestija toinen vertikaalisesti. Bottom-up -prosessissa oppilas keraa ensin kaikenmahdollisen tiedon kuviosta ja sen jalkeen yhdistaa saamansa tiedot yh-deksi kokonaisuudeksi. Talloin aikaisempien kokemuksiensa perusteella op-pilas havaitsee sivujen asettelun perusteella kolmion olevan suorakulmainen.Top-down -prosessissa oppilas puolestaan lahtee liikkeelle kokonaisuudesta,jota purkaa sitten pienempiin osiin. Talloin kolmio tunnistetaan suorakul-maiseksi vain jos kolmiosta loytyy suorakulmaisuuden osoittava symboli.

1

Top-down - ja bottom-up -prosessien kayttaminen saattaa auttaa oppilastageometrian tehtavien ratkaisemisessa, mutta vain niissa tapauksissa etta ku-vioista loytyy tarvittavat symbolit ja kuviot on aseteltu oikealla tavalla. Vai-keuksia syntyy mikali symbolit poistetaan ja kuviota kaannetaan normaa-lista eriavaan asentoon. Nain syntyvia vaikeuksia voidaan kuitenkin helpos-ti ehkaista mikali opettajat saataisiin kayttamaan opetuksessaan muitakinkuin yhdella tavalla piirrettyja esimerkkikuvia.

Bottom-up - ja top-down -prosessien lisaksi toisessa luvussa tarkastel-laan myos nakohavainnon kautta syntyvia vaikeuksia oppilaan aikaisempiinkasityksiin perustuvan tiedon, mielikuvien ja kuvien hierarkkisen rakenteenseka Gestaltin periaatteiden avulla. Naista Gestaltin periaatteita on esiteltypaaasiassa Desolneux‘n, Moisan ja Morelin (2008) tieteellisen julkaisun FromGestalt Theory to Image Analysis pohjalta. Toisena merkittavana lahteenaluvussa on kaytetty Gal & Linchevskin (2010) julkaisua To see or not see:analyzing difficulties in geometry from the perspective of visual perception.Tasta Gal & Linchevskin (2010) artikkelista loytyy myos katkelmia heidantekemastaan tutkimuksesta, joka kasittelee hyvin paljon samoja aiheita kuinmita tutkielman ensimmaisessa luvussa on esitelty.

Kolmas luku kasittelee luetunymmartamista. Luvussa tarkastellaan paa-asiassa Kai-Lin Yangin (2011) tutkimustuloksia apuna kayttaen miten oppi-laiden kognitiiviset ja metakognitiiviset lukustrategiat vaikuttavat vaikeuk-sien syntymiseen geometriassa. Metakognitiivisuudella tarkoitetaan tietoi-suutta seka omasta etta muiden ihmisten oppimisesta, ajattelusta, tieta-misesta ja kognitiivisista taidoista. Tutkimuksessa todetaankin, etta niillaoppilailla, joilla metakognitiiviset ja kognitiiviset lukustrategiat eivat oleharjaantuneet, on selvasti heikommat mahdollisuudet saada haluttu geo-metrinen todistus rakennettua kuin niilla, joilla kyseiset lukustrategiat ovathyvin hallussa.

Tutkielman neljannessa luvussa esitellaan niin sanottu van Hielen malli,joka pohjautuu suurilta osin Pierre van Hielen ja Dina van Hiele-Geldolfintutkimuksiin. He julkaisivatkin vuonna 1957 vaitoskirjansa, josta van Hiele-Geldolfin osuus kasitteli didaktista kokeilua, jonka tarkoituksena oli edistaaoppilaiden ajatteluntasoa (Fuys, Geddes & Tischler). Van Hiele puolestaanmuotoili geometrisen ajattelun tasojen rakenteet. Tutkielmassa esitellaankinvan Hielen viisi ajattelun tasoa, jotka ovat tunnistamisen taso, analysoinnintaso, jarjestamisen taso, paattelyn taso ja aksioomasysteemin ymmartamisentaso. Van Hielen mukaan oppilas ei pysty etenemaan seuraavalle ajatteluntasolle ennen kuin aikaisemman tason vaatimukset on taytetty. Tama onkinjuuri yksi niista asioista, joiden huomioon ottaminen opetuksessa on opetta-jille haaste. Opettajan tulisi kussakin luokassa pystya hahmottamaan luokanoppilaiden ajattelun taso, jotta han pystyisi opettamaan oppilaita kielella,jota he ymmartavat.

2

Luku 1

Kognitiivinen oppiminen

Ajatellaan tilannetta, jossa oppilaille opetetaan Word-ohjelmiston kayttoatietokoneella aineenkirjoituksen yhteydessa. Osalle oppilaista ohjelmistonkayttaminen on jo osittain entuudestaan tuttua, kun taas osalle ohjelmistonkayttaminen on taysin uusi asia. Tunnin jalkeen oppilaat saattavat hyvinkinmuistaa samat yksittaiset asiat opetetusta sisallosta, vaikkakin oppilaidenmuodostamat kasitykset asiakokonaisuudesta saattavat olla hyvinkin erilai-sia (Lehtinen, Kuusinen Vauras 2007,74-75). Tahan vaikuttavat osaltaanoppilaiden aikaisemmat kokemukset opetettavaan asiaan liittyen. Monimut-kaisempien asioiden ymmarrys opetettavasta asiasta mahdollistuu, kun op-pilaalla on jo aikaisempaa tietoa ja kokemusta asiaan liittyen. Talloin ei enaatarvitse keskittya niin kutsuttujen perustietojen ymmartamiseen, vaan oppi-las voi syventaa tietojaan pystyessaan keskittymaan muihin asioihin. Mistasitten johtuu, etta vaikka kahdella oppilaalla olisi samat lahtokohdat ope-tettavaan asiaan niin tunnin jalkeen oppilailla saattaa olla hyvinkin erilaisetkasitykset opetetusta asiasta? Muun muassa tahan kysymykseen vastauksiaetsii kognitiivinen tutkimus.

Sanalla kognitio tarkoitetaan tajunnan sisaltoa ja naihin sisaltoihin liit-tyvia tapahtumia kutsutaan kognitiivisiksi prosesseiksi. Tallaisia prosessejaovat muun muassa tiedon hankinta ja tallentaminen seka tiedon kayttaminen.Edella kuvatut prosessit voidaan helposti yhdistaa kognitiiviseen tutkimuk-seen, jonka kohteita ovat esimerkiksi tarkkaavaisuuden suuntautuminen, op-pimisen laadulliset erilaiset strategiat, ongelmanratkaisuprosessit seka muis-tin rakenne ja toiminta (Lehtinen ym. 2007, 76). Kognitiivinen tutkimus on-kin siita erikoinen tutkimuksen osa-alue, etta se tutkii myos sellaisia asioitajoita emme voi suoraan havaita, esimerkiksi juuri ongelmanratkaisuprosessia.Mikali seuraamme vieresta oppilaan ongelmanratkaisua, saatamme hyvinkinhavaita, paljonko tehtaviin tutustumiseen ja vastaamiseen kaytetaan aikaa,mutta todellisuudessa tallainen kayttaytyminen ei anna meille minkaanlaistakuvaa siita, mita oppilaan mielessa tapahtuu. Taman takia kognitiivisissatutkimuksissa onkin jouduttu tekemaan paljon oletuksia, minka seurauksena

3

muun muassa oppimisen tutkimuksissa ei voida nahda vain yhta hyvaksyttyaajattelutapaa vaan samalle asialle voi hyvinkin olla useampi rinnakkainenajattelumalli.

Kognitiivisen oppimisen voidaan kasittaa olevan toimintaa, jossa yk-silo kayttaa aikaisemmin muodostuneita tiedon rakenteitaan eli skeemojaanympariston tulkintaan ja muokkaamiseen (Rinne, Kivirauma & Lehtinen2005, 177). Toisin sanoen oppija pystyy yhdistamaan opetettavan asian ai-kaisemmin oppimiinsa asioihin ja nain ollen pystyy vahvistamaan tai muok-kaamaan aikaisempia tietojaan asiaan liittyen. Talloin voidaankin sanoa,etta oppijalla jo valmiiksi olevat skeemat ikaan kuin ohjaavat sita, mitaoppija voi havaita. Taman havainnoin seurauksena saatavat tiedot puoles-taan muokkaavat alkuperaisia skeemoja ja nain muodostuneet skeemat toi-mivat taas pohjana uusien havaintojen muodostumiselle. Kognitiiviseen op-pimiseen vaikuttavat siis selvasti myos ymparistotekijat, kuten oppijan asui-nymparisto, kieli ja kulttuuri, silla niiden avulla oppija pystyy rakentamaanja muokkaamaan tiedonrakenteitaan. Lehtinen ym. (2007, 80) toteavatkin,etta kognitiivisessa oppisessa korostuu myos, se etta samalla kun oppija ke-hittaa tiedonrakenteitaan, han kehittaa myos oppimisen taitojaan.

Olemme edella tarkastelleet, mita kognitiivinen oppiminen kasitteenatarkoittaa ja mitka tekijat taman tyyppiseen oppimiseen vaikuttavat, muttavastausta siihen minkalaisia kognitiivisia oppimistapoja on olemassa emmeole viela saaneet. Tama kysymys on aiheuttanut myos tutkijoille paanvaivaa,silla yhta ainutta keinoa luokitella naita oppimistapoja ei ole loydetty, vaantapoja on monia eika mitaan voi sanoa ainoaksi oikeaksi. Pitta-Pantazi& Christou (2008) esittelevat julkaisussaan tallaisia luokittelutapoja, joi-ta ovat muun muassa ymparistosta riippuvainen ja ymparistosta riippu-maton tapa (Witkin, 1962) seka verbaalinen ja visuaalinen tapa (Paivio,1971). Suurin osa naista oppimistavoista voidaan kuitenkin ryhmitella kuu-luvaksi joko verbaalis-visuaaliseen luokkaan tai kokonais-analyyttiseen luok-kaan. Naista verbaalis-visuaaliset kiinnittavat enemman huomiota tapaan,jolla esittavat tietoa ajatellessaan kuin sanoihin ja mielikuviin, kun taaskokonais-analyyttiset kiinnittavat huomiota siihen, miten nakevat asiat; ko-konaisuuksina vai pienempina osina (Pitta-Pantazi & Christou 2008). Onmyos mahdollista ettei oppija osoita mieltymysta kumpaankaan tyyliin, eiverbaaliseen eika visuaaliseen. Tallaista oppijaa kutsutaan bimodaaliseksiajattelijaksi.

4

Luku 2

Visuaalinen havainnointi

2.1 Bottom-up - ja top-down -prosessit

Opiskellessaan matematiikassa geometriaa jokainen oppilas tormaa vaista-matta geometrisiin muotoihin ja kappaleisiin. Oppilas saattaa helposti tun-nistaa ympyran, pallon ja kolmion, mutta kun kuviosta pitaisi hahmottaajotain enemman se ei valttamatta ole niin yksinkertaista. Otetaan esimer-kiksi suorakulmaisen kolmion tunnistaminen. Oletetaan, etta oppilas tietaamika on kolmio ja mika on suorakulma. Lisaksi opettaja on piirtanyt tau-lulle mallin suorakulmaisesta kolmiosta, joka on kuvan 2.1 mukainen.

Kuva 2.1: suorakulmaiset kolmiot

Suorankulman tunnistaminen taulun mallista voi olla tuloksena niinsanotuista ”bottom-up” - ja ”top-down” -prosesseista (Gal & Linchevs-ki 2010). Bottom-up -prosessissa pyritaan aluksi keraamaan tutkittavastaasiasta mahdollisimman paljon tietoa. Taman jalkeen hankituista tiedoistapyritaan muodostamaan isompia asiakokonaisuuksia ja naista edelleen yksiisompi kokonaisuus. Tallaista ajattelumallia edustavat empiristiset teoriat,silla empiristisen ajattelun mukaan tietamisen ja ajattelun perustana on ai-na havainto. Naiden havaintojen pohjalta mieleen syntyy ideoita, jotka edus-tavat havaittuja ulkoisen maailman ilmioita (Lehtinen, Kuusinen & Vau-ras 2007,43). Empiristit nakevatkin kokonaisuuden muodostuvan vahitellen

5

summana pienemmista palasista juuri niin kuin bottom-up prosessissa ta-pahtuu. Top-down -prosessi puolestaan toimii ikaan kuin kaanteisena ver-siona bottom-up prosessille. Siina lahdetaan liikkeelle yhdesta suuremmastaasikokonaisuudesta, joka prosessin aikana pilkkoutuu pienempiin kokonai-suuksiin ja asioihin. Tallaista ajattelua edustavat muun muassa hahmop-sykologit, jotka tulkitsevat havainnon aktiiviseksi tapahtumaksi, jossa aivotorganisoivat havainnon kokonaishahmoksi (Lehtinen ym. 2007, 81). Kokonai-suuden voidaankin hahmopsykologiassa sanoa olevan enemman kuin osiensasumma.

Kuvan 2.1a) tapauksessa suorakulmaisen kolmion tunnistamiseksi kayte-taan bottom-up -prosessia. Gal & Linchevski (2010) esittavatkin, etta tamankaltainen prosessi on arsykkeen ohjaamaa tiedonkasittelya. Talloin siis ha-vaitaan horisontaalinen ja vertikaalinen sivu osana suorakulmaisen kolmionyleista esitysmuotoa, joka on havainnollistettuna kuvassa 2.1a). Kolmio siishavaitaan suorakulmaiseksi vain koska sen yksi sivu on vertikaalinen ja yksion horisontaalinen. Nain ollen, kun kolmiota kaannetaan kuvan 2.1a) asen-nosta kuvan 2.1b) asentoon, suorakulmaisen kolmion tunnistamisesta tuleevaikeampaa. Talloin tunnistamisen apuna voidaan kayttaa niin kutsuttuakontrolloitua prosessia, joka vaatii huomion kiinnittamista asiaan seka tie-toista ohjausta, jotta suorakulmainen kolmio voidaan tunnistaa. Yleisestivoidaankin sanoa, etta suorankulman tunnistaminen kolmiosta on helpom-paa mikali yksi sivu on vertikaalinen ja yksi horisontaalinen.

Top-down -prosessi puolestaan tulee kayttokelpoiseksi, kun kolmioon lii-tetaan suorakulman symboli. Talloin suorakulmaisen kolmion tunnistami-nen tapahtuu top-down -prosessin avulla. Kolmioon on liitetty suorakulmansymboli taydentamaan tietoja kolmiosta. Talloin oppilaiden on helpompaatunnistaa suorakulmainen kolmio, olipa se missa asennossa vaan, kunhan hevain tunnistavat symbolin. Gal & Linchevski (2010) mukaan tama ei kui-tenkaan tarkoita sita, etta oppilaat keskittyisivat kulmaan itseensa, huoma-ten sen suuruudeen. Symboli saattaa siis aiheuttaa ”keinotekoisen” suora-kulmaisen kolmion tunnistamisen; tunnistamme kolmion suorakulmaiseksisymbolista, emmeka kuitenkaan ymmarra mita tama symboli meille todelli-suudessa kertoo. Top-down -prosessia voitaisiinkin luonnehtia kasitteellisestiohjautuvaksi prosessiksi.

Geometrisen kuvion tunnistamisen kannalta on myos ratkaisevaa se,missa yhteydessa kuvio havaitaan. Tallaisia tilanteita on tarkasteltu pa-remmin Raymond Duvalin (1998) artikkelissa Geometry from a cogniti-ve point of view. Duval (1998) esittaakin, etta bottom-up - ja top-down-prosessien kayttaminen kuvion tai sen ominaisuuden tunnistamisessa ei ai-na onnistu. Tarkastellaan esimerkiksi tilannetta, jossa geometrinen kuvioon jaettu useampaan osaan. Ajatellaan, etta kuviosta halutaan todistaa jo-kin tietty ominaisuus. Talloin pelkan bottom-up -prosessin kayttaminen eivalttamatta riita, silla geometrisesta kuviosta on mahdollista havaita useitaosakuvioita. Ominaisuuden todistaakseen oppilaan tulee talloin muodostaa

6

osakuvioista sellaisia kokonaisuuksia, etta han pystyy niiden avulla ratkaise-maan annetun tehtavan. Voikin olla, etta tehtava jota oppilas aluksi lahteeratkaisemaan bottom-up prosessilla ratkeaakin lopulta top-down -prosessinavulla.

Joskus oppilailla on vaikeuksia tunnistaa, mita tehtavassa kysytyaan jamita tietoja tehtavassa on valmiiksi annettuna. Gal & Linchevski (2010)esittavat, etta top-down -prosessilla voidaan selittaa, kuinka vaikeudet tun-nistaa lahtokohtana saatua tietoa voidaan poistaa. Aluksi oppilaan tulee lu-kea tehtavananto, joka johtaa hanet top-down -prosessiin. Tama sen takia,etta lukiessaan oppilas tulee tietoiseksi kasiteltavista aiheista ja saattaa sa-malla pystya purkamaan kasiteltavaa asiaa pienempiin osiin, johon ei aikai-semmin olisi pystynyt. Geometrisia tehtavia kasitellessa kannattaa aina pyr-kia piirtamaan kuva tehtavan tilanteesta mikali se on mahdollista. Tamanjalkeen kuviota voi myos varittaa siten, etta samanlaiset osat on varitettysamalla varilla. Kuvio voi olla myos valmiiksi piirrettyna ja varitettyna, jol-loin oppilas paasee varien kautta muistelemaan samalla varilla varitettyjenosien ominaisuuksia ja pystyy nain ollen purkamaan isompaa kokonaisuuttapienempiin osiin. Varien kayttamisen on koettu olevan erittain hyodyllistageometrian kuvioiden ominaisuuksien opettelemisessa.

Kuten suorakulmaisen kolmion esimerkista kay hyvin ilmi top-down - jabottom-up -prosessien avulla voidaan tietyissa tapauksissa hyvinkin helpostitunnistaa haluttu geometrinen ominaisuus, joka tassa tapauksessa on suo-rakulma. Toisaalta taas se, etta tunnistaa suorakulman ei valttamatta kerromitaan siita onko todella ymmartanyt suorakulma kasitteen vai pelkastaansymbolin, tai tunnistaako suorankulman vain silloin kun toinen sivu on ho-risontaalisesti ja toinen vertikaalisesti. Ilmaan jaakin kysymys siita, mitennaiden ongelmien syntymista voitaisiin estaa.

2.2 Oppilaan kasityksiin perustuva tieto

Aivojemme paatehtavana on kasitella aistien valityksella saatua informaa-tiota siten, etta toimintakykymme elinymparistossamme sailyy. Aivoista onmahdollista erotella yksikoita, jotka ovat eri kokoisia ja joista jokaisellaon oma tehtavansa. Esimerkiksi kuvallisen materiaalin muisti on laajem-pi verrattuna verbaalisen materiaalin muistiin. Tama onkin seurausta siita,etta osa visuaalisesta informaatiosta sailytetaan avaruudellisessa muodos-saan, esimerkiksi geometriset kuviot, kun taas sanat sailytetaan lineaari-sessa jarjestyksessa. Gal & Linchevski (2010) ovat esittaneet, etta geomet-riassa ongelmia saattaa syntya juuri sen takia, etta sailytamme verbaalis-ta ja visuaalista tietoa niin erilaisessa muodossa. Tallaisia ongelmia voi-vat esimerkiksi olla vaikeudet kirjoittaa tietoa, vaikeudet lukea tietoa sekakommunikointi oppilaan ja opettajan valilla. Jos esimerkiksi tarkastelemmesuunnikasta ja merkitsemme sen nurkkia A:lla,B:lla,C:lla ja D:lla siten, etta

7

kirjaimet kiertavat suunnikkaan nurkat aakkosjarjestyksessa myotapaivaan,on todennakoisinta, etta suunnikasta luetaan sen avaruudellisen esityksenmukaan, eika oteta huomioon kirjaimien verbaalista luonnetta tai niidenlineaarista esitysta. Toisin sanoen monet muodolliset tavat nimeta geomet-risia kuvioita jattavat huomioimatta erilaiset prosessit koskien kuvallista javerbaalista tiedon esittamista.

Aikaisemmin mainitussa suunnikasesimerkissa suunnikas oli nimetty si-ten, etta kirjaimet kiersivat suunnikkaan nurkat aakkosjarjestyksessa myota-paivaan. Talloin suunnikas nimetaan ABCD:ksi. Osalle oppilaista nimeaminenei kuitenkaan ole nain yksinkertaista. Vaarin nimeamista ilmenee usein juurisiita syysta, etta oppilaat kiinnittavat huomion suunnikkaan verbaalisen in-formaation lineaariseen esitysmuotoon ja nimeavat suunnikkaan nain ollensuunnikkaaksi ABDC. Tama tarkoittaa siis sita, etta suunnikas nimetaankayttaen vastakkaisia sivuja hyvaksi. Tama tapahtuu siten, etta aluksi ni-metaan toinen sivuista AB jonka jalkeen vastakkainen sivu nimetaan samal-la tavalla lahtien oikealla puolella olevasta pisteesta D paatyen vasemmanpuoleiseen pisteeseen C. Saadaan siis sivuksi DC, jolloin suunnikkaaksi saa-daan ABDC. Tallainen vaarin nimeaminen saattaa usein johtaa geometris-ten kuvioiden vaarin ymmartamiseen ja ennen kaikkea siita voi olla haittaaasioiden tunnistamisessa.

Kuva 2.2: Kulman nimeaminen

Tarkastellaan seuraavaksi kuvan 2.2 mukaista tilannetta, jossa on kuvat-tuna kulma ∠ABC. Gal (2005) toteaa, etta monille oppilaille kulman kolmi-kirjaiminen nimeaminen tuottaa huomattavasti ongelmia. Useimmin esiin-tyva virhe nimeamisessa on kulman nimeamisen aloittaminen pisteesta jon-ka valittomassa laheisyydessa kulma sijaitsee. Kuvan 2.2 kulman tapaukses-sa taman kaltainen virheellinen nimeaminen antaisi kulman ∠BAC. Mistatallainen virheellinen nimeaminen sitten voisi johtua? Gal & Linchevski ovatesittaneet yhtena mahdollisuutena ajatuksen siita, etta oppilaat ajattelevatkirjaimien kuljettavan verbaalista informaatioita, jolloin he lukevat kirjai-met vasemmalta oikealle ja ylhaalta alas. Talloin syntyisi juuri edella mai-nittu virheellisesti nimetty kulma ∠BAC. Tallaiseen ongelmaan on kuiten-kin havaittu helppo ratkaisu. Oppilaat nimittain tuntuvat nimeavan kulman

8

helpommin kun se aukeaa oikealle pain. Toisin sanoen, mikali kuvaa 2.2kaannettaisiin 1800:tta, jolloin kulma aukeaisi oikealle pain, oppilaille ei Gal& Linchevskin (2010) mukaan synny minkaanlaista konfliktia informaationverbaalisen ja visuaalisen esityksen valille, vaan haluttu kulma merkittaisiinoikein.

Toisaalta oppilas voi myos virheellisesti tulkita kulman karkipisteen mer-kityksellisemmaksi kuin muut pisteet, jolloin han aloittaa nimeamisen siita.Lisaksi osa oppilaista saattaa takertua kirjaimien aakkosjarjestykseen. Tallatarkoitetaan sita, etta kulman nimeamiseen tarvittavat kolme kirjainta py-ritaan jarjestamaan aakkosjarjestykseen huolimatta siita, miten ne sijaitse-vat. Kuvan 2.2 tapauksessa tallainen nimeaminen tuottaisi oikean kulman,mutta on hyva muistaa etta nain ei suinkaan aina ole. Usein opettajat mer-kitsevat kulman nimeamiseen tarvittavia kolmea pistetta kirjaimilla A,B jaC. Aluksi oppimisen kannalta on varmasti tehokasta, etta kaytetaan samojakirjaimia jolloin oppilaille rakentuu kuva opiskeltavasta asiasta. Olisi kuiten-kin hyva muistaa tehda selvaksi, etta myos muiden kirjaimien kayttaminenon hyvaksyttavaa ja, etta nimeaminen tapahtuu naiden kirjaimien kohdal-la samalla tavalla. Osalle oppilaista nimeaminen on nimittain helppoa, kunkirjaimina ovat juuri nama opettajien suosimat A,B ja C, mutta kun vaih-damme kirjaimet toisiin kulman nimeaminen saattaa tuntua hyvinkin vai-kealta.

Silfverbergin (1999) mukaan kunkin oppilaan kasitykset rakentuvat op-pilaalle muodostuneista geometristen kasitteiden merkityksista seka naidenkasitteiden valisista yhteyksista. Toisin sanoen oppilaan kasityksiin perus-tuvalla tiedolla tarkoitetaan tassa yhteydessa sita, miten oppilas ymmartaageometrisen kuvion ja millaisia ominaisuuksia nailla geometrisilla kuvioil-la hanen mielestaan on. Merkittavassa asemassa on talloin myos se, mitenoppilas pystyy linkittamaan geometrisia ominaisuuksia toisiinsa. Kun op-pilasta pyydetaan piirtamaan jokin tietty geometrinen kuvio, han piirtaasen yleensa rutiinimaisesti siihen asentoon jossa kuvio on hanen mielessaan.Kuvion ominaisuuksien tunteminen helpottaa sen piirtamista. Taman ta-kia oudomman kuvion piirtamisessa ominaisuuksien tarkempi tunteminenon erittain hyodyllista.

Tarkastellaan viela lopuksi kohtisuoruuden merkitsemista ja sen aiheut-tamia vaikeuksia geometrian opiskelussa. Galin (2005) havaintojen mukaanmerkinnan a⊥b oikeaoppinen lausuminen tuottaa osalle oppilaista vaikeuk-sia, vaikka kohtisuoruutta kasitellessa merkinta otettaisiinkin esiin. Osa op-pilaista jattaa merkin ⊥ kokonaan huomioitta, kun taas toiset lukevat mer-kinnan a⊥b olevan a, b, kohtisuoruus. Samalla tavalla kay kun kasitellaanmerkintaa a ‖ b, jossa siis a on yhdensuuntainen b:n kanssa. Selityksianaiden merkintojen tulkitsemisen vaikeuteen tarjoavat oppilaiden aikaisem-mat kasitykset asiasta. Gal & Linchevski (2010) kertovat, etta merkinnassaa⊥b yhdistyy seka verbaalinen (a, b) informaatio, etta kuvallinen informaatio(⊥). Nailla kummallakin informaation muodolla puolestaan on jo aikaisem-

9

min mainitut omat esitysmuodot, joita ovat lineaarinen ja avaruudellinenesitysmuoto. Kun kirjoitamme a⊥b tarkoitamme sen luettavaksi niin kuinkaikki siina olisi verbaalista tietoa. Toisaalta oppilas joka nakee symbolin ⊥geometrisena objektina ei valttamatta pysty lukemaan merkkia siten, ettase tulisi a:n ja b:n valiin vaan jattaa merkin huomiotta tai lisaa sen loppuun,luettuaan ensin a:n ja b:n. Tilanteissa, joissa matemaattisen merkin merkit-seminen symbolilla ei ole valttamatonta, olisikin siis jarkevampaa kayttaasanoja vaarin ymmarrysten valttamiseksi.

2.3 Mielikuvat ja kuvien hierarkkinen rakenne

Gal & Linchevski (2010) toteavat useiden geometrian vaikeuksien johtuvansiita, etta ihmisilla on valmiiksi rakentuneita kuvia asioista mielessaan, eikanaiden kuvien muokkaaminen tarvetta vastaavaksi onnistu aina niin helpos-ti. Tama kay ilmi esimerkiksi silloin kun haluamme kaantaa tiettya kuviota1800. Talloin monet oppilaat kaantavat ensin kuvaa mielessaan 900 ja vas-ta sen jalkeen paatyvat tilaan, jossa kuvaa on kaannetty haluttu 1800. Voi-daan sanoa, etta paastakseen haluttuun lopputilaan oppilas etenee yhden taiuseamman niin sanotun valitilan kautta. Mita isompi muutos on kyseessaverrattuna oppilaan mielessa olevaan kuvaan, sita kauemmin haluttuun lop-putulokseen paaseminen kestaa. Voidaan ajatella myos, etta mita saman-laisemmat kuvat ovat tarkastelun alla, sita vaikeampaa on huomata niideneroavaisuuksia. Jos kuvat eroavat vain hieman kokonsa suhteen, oppilas eivalttamatta miella tata eroavaisuudeksi mikali kuviot ovat muuten saman-muotoiset. Gal & Linchevski (2010) havaitsivat myos tutkimuksessaan, ettakaksi kuviota on helpompaa todeta yhtenevaisiksi mikali ne saadaan toisis-taan peilaamalla kuin jos kappaleiden saattamiseen samanlaiseen asentoontarvitaan seka peilausta etta kuvion kaantamista. Talloin ei myoskaan syn-ny virheita niin paljon, kun tarvitaan vahemman mielessa tehtavia vaiheita.

Monimutkaisemmat kuviot puolestaan rakentuvat mielessamme olevistahierarkkisista yksikoista, jotka ovat osia kononaisuudesta. Tama siis tarkoit-taa sita, etta mielessamme oleva kuva, esimerkiksi tarkasteltavasta geometri-sesta kappaleesta, muodostuu useasta pienemmasta osasta. Mika tarkoittaasita, etta pystymme mielessamme hajoittamaan kuvan pienempiin alayk-sikkoihin. Ajatusta hierarkkisten yksikoiden muodostamista kuvista ja eri-tyisesti suuremman kokonaisuuden hajoittamista pienempiin palasiin edus-taa myos luvussa 2.1 esittelemani top-down prosessi. Silfverbergin (1999)mukaan liiallinen kuvaan takertuminen saattaa kuitenkin estaa oppilastahuomaamasta muita lahestymistapoja tarkasteltavaan tehtavaan. Lisaksimielikuviin tukeutumisesta saattaa olla haittaa matemaattiselle kasitteen-muodostukselle. Tarkastellaan seuraavaksi esimerkkia tallaisesta kuvien hie-rarkkisesta rakenteesta kayttaen apuna myos Galin & Linchevskin (2010)tutkimuksesta loytyvaa kuvaa neliosta ja sen lavistajista. Tama kuva on esi-

10

tettyna kuvassa 2.3.

Kuva 2.3: Nelion lavistajien kohtisuoruuden hahmottaminen

Kun tarkastellaan neliota ja sen lavistajia tarkemmin, huomataan ettalavistajien avulla on mahdollista muodostaa erilaisia mielikuvia siita mitakuvassa todella on. Osa nakee kuvassa nelion, jonka sisalle on laitettu ras-ti. Toisille taas kuvassa on nelja saman kokoista kolmiota, jotka yhdessamuodostavat nelion. Jotkut puolestaan saattavat nahda kuvassa vain kaksiisompaa kolmiota, jotka edelleen muodostavat yhdessa halutun nelion ja joil-la on yhteisena sivuna nelion toinen lavistajista. Tallainen mielikuva, jossakaksi suurempaa kolmiota muodostavat nelion tekee oppilaille lahes mah-dottomaksi huomata nelion voivan muodostua myos neljasta pienemmastakolmiosta. Tallaisella hierarkkialla oppilaiden on mahdotonta huomata ne-lion lavistajien leikkauspisteeseen syntyvia suorakulmia, silla oppilas ei olehahmottanut mieleensa syntyneessa kuvassa kuin toisen lavistajan.

Tarkastellaan viela hieman kuvaa 2.3, mutta keskitytaan nyt lavistajienleikkauspisteeseen, joka samalla kertoo meille myos lavistajien kohtisuoruu-den. Kiinnitetaan nyt huomiota erityisesti siihen, minkalaisia vaikeuksia op-pilailla voi olla liittyen kohtisuoruuden tunnistamiseen. Gal & Linchevski(2010) ovat esittaneet viisi erilaista nakokulmaa naiden vaikeuksien syntymi-selle. Yhtena ongelmana voidaan ajatella sita, etta jotkut oppilaat eivat tun-nista mihin suorakulmia syntyy, kun puhutaan kohtisuoruudesta. He saatta-vat vain osoittaa sormellaan kohtaa jossa lavistajat leikkaavat, sen kummem-min tunnistamatta kulmaa. Nain syntynytta ongelmaa tunnistaa kohtisuo-ruuteen liittyvaa suorakulmaa voidaan selittaa Gestaltin periaatteilla, joitaesitellaan paremmin luvussa 2.4. Naista periaatteista ongelmaa parhaitenselittaa jatkavuuden periaate, jonka mukaan oppilas pystyy havaitsemaankaksi lavistajaa, mutta ei pysty lavistajien leikkauspisteessa kaantymaantoisen lavistajan suuntaan, kun on aluksi edennyt toista lavistajaa pitkinleikkauspisteeseen asti. Toinen mahdollinen ongelma liittyy oppilaan aikai-sempiin kokemuksiin suorankulmaan liittyen. Mikali oppilas on aikaisem-min tottunut siihen, etta suorakulma on aina horisontaalisen ja vertikaa-lisen sivun muodostamassa kulmassa, on hanen erittain vaikeaa huomatalavistajien leikkauspisteeseen syntyvia suorakulmia. Oppilas saattaa siis hy-

11

vinkin hahmoittaa nelion jokaiseen kulmaan muodostuvan suorankulman,silla nama sopivat hanen aikaisemmin hahmottamiensa suorakulmien kans-sa hyvin yhteen, mutta ei lavistajien kohtisuoruutta osoittavia suorakul-mia. Taman tapainen tunnistaminen on luvussa 2.1 esiteltya bottom-up-prosessointia, joka perustuu oppilaan aikaisempiin tietoihin. Kolmantenavoimme tarkastella tilannetta, jossa oppilas aluksi havaitsee kaksi suoraakul-maa nelion kulmista. Kun oppilaalle kerrotaan, etta han on kylla tunnista-nut oikein suorankulman, mutta nama kulmat eivat kerro mitaan lavistajienkohtisuoruudesta, oppilas ryhtyy vertaamaan loytamiaan suorakulmia mie-lessaan oleviin kuviin suorakulmista. Talloin oppilas saattaa loytaa, ensinloytamiaan suorakulmia mielessaan kaantelemalla, uudet suorakulmat ne-lion kahdesta muusta kulmasta. Tassa tapauksessa oppilaan omat kasityksetsiita mihin ja miten suorakulma syntyy eivat mahdollista tilannetta, jossaoppilas huomaisi kahden lavistajan kohtisuoruuteen liittyvat suorakulmat.Neljantena asiana on mahdollista ajatella tilannetta, jossa oppilas saattaasailyttaa muistissaan useita erilaisia malleja suorakulmasta. Naista malleis-ta osa voi olla helposti mieleen palautettavissa, mutta osan mieleen palaut-taminen vaatii pitkaaikaismuistin aktivointia (Gal&Linchevski(2010)). Vii-dentana nakokulmana Gal & Linchevski esittavat tilanteen, jossa oppilas ha-joittaa nelion kahteen kolmioon visuaalisen informaation prosessoinnin aika-na. Nelion jakaminen kolmioihin vaikeuttaa kohtisuoruuden tunnistamista,koska sama kulma ei sisally kumpaankin kuvioon ja oppilas saattaa toisaal-ta kiinnittaa nyt huomionsa pelkastaan muodostuneeseen suorakulmaiseenkolmioon.

On myos mahdollista, etta eras syy siihen, miksi oppilailla on vaikeuksiageometrian oppimisen kanssa liittyy siihen, missa jarjestyksessa ja millai-sen kuvituksen kera asioita on hanelle esitetty. Jos opettaja esittaa esimer-kiksi suorakulmaisen kolmion aina kuvan 2.1a) mukaisesti, tama kuva jaaoppilaan mieleen ja pahimmassa tapauksessa han tunnistaa jatkossa vaintaman mallin mukaiset kolmiot suorakulmaiseksi. On siis tarkeaa, etta en-nen jokaista tuntiaan opettaja miettii voisiko asian ilmaista jollakin toisellatavalla tai voisiko jonkun tunnin esimerkkikuvista piirtaa toisella tavalla.Nykypaivana opettajille tarjotaan myos paljon niin sanottua valmista ma-teriaalia opetuksen tueksi. On olemassa muun muassa niin sanottuja opet-tajan oppaita lahes jokaiseen ylakoulun kurssikirjaan. Naissa oppaissa onlahes taydellisesti kuvattuna tunnin kulku ja joissakin kirjoissa on jopa ku-va, siita mita taululle tulisi kirjoittaa. Opettaja voi paasta parhaimmillaanhyvin helpolla, mikali luottaa sokeasti siihen, mita naissa oppaissa sanotaan.On kuitenkin syyta nostaa esille kysymys siita, onko naissa kirjoissa esitet-ty asioiden opettamisjarjestys valttamatta se oikea ja esiintyyko kirjoissakaikki sellaiset asiat, jotka ovat jatkon kannalta oleellisia.

12

2.4 Gestaltin periaatteet

1890−luvulla syntyi Saksassa ja Itavallassa niin kutsuttu Gestalt-teoria, jokatoimi ikaan kuin vastalauseena atomismille. Max Wertheimer ja hanen kolle-gansa tulkitsivat havainnon aktiiviseksi tapahtumaksi, jossa aivot jarjestelevathavainnon kokonaishahmoksi. He loivat pohjan niin sanotulle hahmopsyko-logialle, jonka edustajat johtivat niin sanotut Gestaltin periaatteet, jois-ta kaytetaan myos nimitysta hahmolait. Naiden lakien tarkoituksena oliselittaa sita milla perusteella aivomme jarjestelevat yksityiskohdista koko-naisuuksia. Yleensa Gestaltin periaatteita on kaytetty selittamaan nako-havainnoinnin kautta tapahtuvaa oppimista, mutta yhta hyvin periaatteitavoitaisiin soveltaa kuullunymmartamisen kautta tapahtuvan oppimisen se-littamisessa.

Desolneux, Moisan ja Morel (2008) esittelevat teoksessaan From Ges-talt Theory to Image Analysis kaiken kaikkiaan yhdeksan erilaista Ges-taltin luokitteluperiaatetta, jotka ovat laheisyys, samanlaisuus, valiomuo-toisuus, jatkuvuus, sulkeutuminen, yhteenliittyminen, taipuvuus kaareutua,symmetria, yhteinen liike ja aikaisemmat kokemukset. Tarkastellaan seuraa-vaksi esimerkkien kanssa, mita kukin periaate todella tarkkoittaa. Aloitetaanlaheisyyden laista, jossa lahekkain sijaitsevat kuviot mielletaan yhteenkuu-luviksi. Tasta voisimme ottaa esimerkkina kuvan 2.4a), jossa on piirrettynaviisi ympyraa.

Kuva 2.4: Gestaltin periaatteet

13

Gestaltin laheisyyden periaatteen mukaan, kuvan ympyrat jaetaan nytkahteen ryhmaan sen perusteella kuinka lahekkain ne toisiinsa nahden sijait-sevat. Mita tiiviimiinnin kuviot toisiinsa nahden sijaitsevat, sen vahvemminne koetaaan yhteenkuuluviksi. Tallaisen ryhmittelyn perusteena ei siis olekuvioiden samankokoisuus tai edes samanmuotoisuus, kunhan kuviot vainsijaitsevat lahella toisiaan.

Samanlaisuuden periaate toimii siten, etta ominaisuuksiltaan samankal-taiset kuviot mielletaan yhteenkuuluviksi. Visuaalisen havainnoinnin kan-nalta tallaisia ominaisuuksia voivat olla esimerkiksi vari, muoto, koko jatummuus. Tarkastellaan esimerkkina kuvaa 2.4b), jossa on kuvattuna kol-mioita ja ympyroita. Kiinnititko kuvaan katsoessasi huomiota ensin siihen,etta kuvassa on kolmioita ja ympyroita vai siihen minka kokoisia kuviotovat? Taman lain noudattaminen korostuukin, kun halutaan korostaa visu-aalisen tiedon merkitysta. Esimerkiksi mainoksissa ja varsinkin liikennemer-keissa muodolla ja varilla on hyvinkin suuri merkitys.

Valiomuotoisuuden lailla tarkoitetaan sita, etta ihminen pyrkii aina hah-mottamaan nakemansa symmetrisempana ja yksinkertaisempana mikali seon mahdollista. Tasta johtuen oppilaat tunnistavat opettajan vapaalla kadellapiirtaman ympyran ympyraksi, vaikka se ei joka kohdasta olisikaan sateeltaantasmalleen sama. Samoin voimme ajatella kuvan 2.4c)-kohdan esittavan ne-liota, vaikka silla ei varsinaisesti olekaan neljaa kokonaisesta viivasta muo-dostuvaa sivua.

Neljantena tarkastelemme jatkuvuuden periaatetta. Taman lain mukaanyhtenainen viiva koetaan kuvioksi, vaikka sen leikkaisikin jokin toinen kap-pale tai suora. Talloin havainnoitsija nimittain jakaa kuvion selkeasti jat-kuviin osiin. Esimerkkina tallaisesta tilanteesta voimme pitaa kuvan 2.4d)-kohdan tilannetta, missa voimme ajatella suoran useampaan otteeseen leik-kautuvan spiraalilla tai spiraalin leikkautuvan useaan otteeseen suoralla. Jo-ka tapauksessa havaitsemme kummankin kuvion taysin erillisina jatkuvinatapauksina.

Sulkeutumisen periaatteen mukaan suljettu viiva muodostaa kuvion. Myoslahes suljettu viiva toteuttaa sulkeutumisen periaatteen. Taman on Gestal-tin periaatteista yleisimmin kaytettyja. Kuvan 2.4e)-kohdassa naemme ku-van etualalla olevat kaksi palloa. Taman lisaksi voimme hahmottaa myoskolme taakse jaavaa vaillinaista ympyraa palloksi. Tama johtuu siita, ettaajattelemme takana olevien pallojen vain jaavan etumaisten pallojen taakse,jolloin naemme niista vain osan. Tallaisia tilanteita, jossa mielemme ikaankuin taydentaa nakemaamme, tulee vastaan joka paiva. Ajatellaan esimer-kiksi tilannetta, jossa valkoisen aidan takaa nakyy nelja tassua ja aidanylareunasta vilkkuu hanta. Vaikka tassujen jalkeen hahmon kuva katkeaa-kin aitaan, se jatkuu edelleen aidan paalta paljastaen hannan. Talloin mie-lessasi muodostuu kuva siita, etta nakemasi hahmo aidan toisella puolella onkoira, vaikka et hahmoa kokonaan nakisikaan. Sulkeutumisen periaatetta eikuitenkaan noudata tilanne, jossa C-kirjaimen kuviteltaisiin olevan ympyra.

14

Tama johtuu juurikin siita, etta C-kirjaimen paat eivat sulkeudu eivatka nejaa minkaan toisen kuvion taakse.

Yhteenliittyvyyden periaate puolestaan sanoo, etta toisiinsa liitetyt kap-paleet kuuluvat yhteen ryhmaan. Tama tarkoittaa sita, etta kappaleet voi-vat olla hyvinkin erilaisia, mutta kuuluvat yhteen silla ne on yhdistetty toi-siinsa esimerkiksi viivalla, kuten kuvassa 2.4f). Tama Gestaltin periaate onsiina mielessa hyvinkin ristiriitainen, etta se loytyy vain osasta kirjallisuudes-ta jossa kasitellaan Gestaltin periaatteita. Kuitenkin niissa teoksissa, joissamaininta tasta laista on, kerrotaan taman periaatteen olevan niin sanotustivahvempi kuin yksikaan muu periaate.

Kuten aikaisemmin jo todettiin Desolneux, Moisan ja Morel (2008) ovatmaaritelleet yhdeksi Gestaltin periaatteksi taipuvuuden kaareutua. Tata pe-riaatetta ei kuitenkaan tarkastella heidan julkaisussaan juuri ollenkaan. Hetoteavat vain periaatteen liittyvan hyvin laheisesti sulkeutuvuuden periaat-teeseen seka jatkuvuuden periaatteeseen. Taman lain perusteella pystymmesiis ainakin karkeasti jaottelemaan pyoreita muotoja sisaltavat objektit eril-leen teraviakulmia sisaltavista objekteista.

Kolmanneksi viimeisena tarkastelemme symmetriaa. Taman periaatteettarkoituksena on luokitella asioita sen perusteella kuinka symmetrisia neovat. Joskus symmetrinen kappale saattaa muodostua useammasta pienem-masta kappaleesta. Tallaiseen luokitteluun ei vaikuta kappaleen koko taivari, vaan pelkastaan se onko tarkasteltava kappale symmetrinen. Mikali siisryhmittelemme esimerkiksi geometrisia kuvioita taman lain mukaan, voim-me hyvinkin paatya tilanteeseen jossa neliot ja tasasivuiset kolmiot kuuluvatsamaan ryhmaan. Onneksi voimme muiden Gestaltin periaatteiden avullajakaa nain syntyineita ryhmia pienempiin osiin.

Tarkastellaan seuraavaksi yhteisen liikkeen periaatetta. Talla periaattel-la muodostettuun ryhmaan kuuluvat ne objektit, jotka nayttavat liikku-van samaan suuntaan samalla nopeudella. Tallainen tilanne on periaattees-sa mahdollista esimerkiksi liikenteessa. Ajatellaan tilannetta, jossa kymme-nen autoilijaa ajaa perakkain samalla tiella nopeusrajoitusten maaraamallanopeudella. Talloin kullakin autolla on sama nopeus ja sama suunta, eikaminkaan auton voida sanoa poikkeavan muista. Poikkeavuutta voi kylla ollamuissa ominaisuuksissa, kuten auton varissa tai koossa, mutta ei liikkeensuunnassa tai nopeudessa.

Viimeisena tarkastelemme viela aikaisempiin kokemuksiin pohjautuvaaperiaatetta. Tatakin periaatetta on esitelty vain hyvin vahan Desolneux‘n,Moisan ja Morel‘n (2008) julkaisussa. Taman periaatteen avulla objektitvoidaan luokitella aikaisempiin kokemuksiin perustuen. Tallainen ryhmitte-leminen ei kuitenkaan valttamatta tarkoita sita, etta ryhmittelija tietaisi,miksi laittaa juuri tietyt objektit samaan ryhmaan. Han on vain saattanutnahda jonkun toisen tekevan niin ja oppinut mallin sielta.

Olemme nyt saaneet tarkasteltua Desolneux‘n, Moisan ja Morel‘n (2008)maarittelemat yhdeksan Gestaltin periaatetta. Naita periaatteita on loydet-

15

tavissa hieman eri maaria eri lahteista, riippuen siita kenen/keiden julkaisujatarkastelee. Suurimmassa osassa tarkastelemistani artikkeleista, kuten Gal& Linchevskin (2010) artikkelissa To see or not to see: analyzing difficultiesin geometry from the perspective of visual perception, esitellaan ainoastaanviisi Gestaltin periaatetta, joita ovat laheisyys, samanlaisuus, jatkuvuus,sulkeutuminen seka kohde ja tausta. Naista periaatteista neljan ensimmaisenmerkitysta on tarkastelu edella, joten tarkastellaan viela kohde ja tausta -periaatteen toimivuutta.

Kohde ja tausta -periaatteen mukaan ihminen havainnoi rajatun alueensisapuolella olevan kuvion kohteeksi ja kaiken muun alueen sisapuolella ole-van taustaksi. Voimme ajatella tauluissa olevien raamien rajaavan taulun.Talloin vahvimmin kuvasta esiin nousevasta objektista tulee kohde ja kaikkimuu ajatellaan taustaksi. Tata periaatetta voi kayttaa hyvakseen eri me-dian aloilla, jossa informaation sekaan on mahdollista piillottaa mainoksia.

Kuva 2.5: Yhteisten osien tunnistaminen

Miten Gestaltin periaatteilla voidaan siis selittaa niita vaikeuksia, joitaoppilailla on liittyen geometristen kuvioiden visuaaliseen hahmottamiseen?Tarkastellaan tahan liittyen Gal & Linchevskin (2010) julkaisusta loytyvaatilannetta, jossa tutkitaan, mita yhteisia osia kuvan 2.5 kolmioilla on. Tut-kimuksessa kavi ilmi, etta oppilaat eivat osanneet tunnistaa oikeita yhteisiaosia. Useimmin havaittu virhe oli tulkita kummankin kolmion pohjana toimi-va sivu yhteiseksi sivuksi tai kolmioiden ylaosassa sijaitsevien kulmien sum-ma yhteiseksi kulmaksi. Jotta oppilas loytaisi oikean vastauksen tahan kysy-mykseen tulee hanen erottaa kolmiot kahdeksi erilliseksi kolmioksi. Talloinhanen on helpompaa tarkastella niita kolmion osia, jotka loytyvat seka ku-vasta 2.5, etta kahdesta erotetusta kolmiosta. Kuitenkin tallainen kolmioidenerottaminen sotii hyvin vahvasti sulkeutumisen periaatetta vastaan. Tamasen takia, etta kuvassa 2.5 on havaittavissa yksi suurempi kolmio jonka ra-joja oltaisiin nyt rikkomassa. Mikali erottaisimme kolmiot toisistaan rikkoi-simme samalla myos laheisyyden periaatetta, jonka nojalla kaksi kolmiotakuuluvat yhteen mikali ne ovat riittavan lahella toisiaan. Tallaisia tilantei-ta, joissa oppilas ei kykene jakamaan kuvaa pienempiin osiin, tulee vastaan

16

opettajan tyossa usein. Talloin opettaja voi kyselemalla tiedustella mitaoppilas nakee kuvassa ja yrittaa nain hahmottaa, missa kohtaa ongelman-ratkaisua vaikeuksia syntyy. Opettaja voi taman jalkeen helpommin auttaaoppilasta hahmottamaan kuviota, esimerkiksi taydentavien lisakysymystenavulla.

Geometristen kuvioiden tulkitseminen halutulla tavalla ei siis aina olehelppoa. Etenkin, jos halutun asian tunnistaminen kuviosta vaatii Gestal-tin periaatteiden rikkomista. Tama on tietenkin vain yksi tapa selittaa vai-keuksia, joita oppilaille syntyy geometrisia kuvioita tarkasteltaessa. Ote-taan viela lopuksi esimerkki, jossa tarkastelemme vieruskulmien syntymista.Ajatellaan tilannetta, jossa kaksi eri suoraan leikkaavat. Talloin oppilaantulisi rikkoa jatkuvuuden periaatetta tunnistaakseen vieruskulmat. Hanentaytyisi siis ajatella toisen suorista katkeavan leikkauspisteen jalkeen, jolloinhan saisi vieruskulmat muodostettua. On kuitenkin huomattava, etta eteentulevat ongelmat Gestaltin periaatteiden suhteen on mahdollista valttaakayttamalla samanlaisuuden periaatetta luomaan uudenlainen ryhmittelyasioille. Taman voi tehda esimerkiksi varittamalla tarkeita osia samallavarilla tai vahvistamalla haluttuja osia tummemmaksi kuin muita. Kutenaikaisemmin on todettiin Gestaltin periaate tarjoaa seka selityksen geomet-risten ongelmien muodostumiselle visuaalisesta nakokulmasta, etta yhdenmahdollisen ratkaisutavan syntyneisiin ongelmiin.

17

Luku 3

Luetun ymmartaminen

Luvussa 2 tarkasteltiin niita geometrian vaikeuksia, joita oppilaille syntyynakohavainnoin yhteydessa. Saimme myos muutamia ideoita siihen, mitentallaisten vaikeuksien syntymista voitaisiin estaa. Kaikki geometrian oppi-misen vaikeudet eivat suinkaan johdu vain siita, miten havainnoimme asioitavaan osa saattaa johtua siita, miten luemme ja tulkitsemme niita. Tarkastel-laan seuraavaksi tahan liittyen luetun ymmartamisen kautta muodostuviavaikeuksia geometrian oppimisessa.

Kai-Lin Yang (2011) on tarkastellut julkaisussaan oppilaiden vaikeuk-sia ymmartaa geometrisia todistuksia. Osa naista vaikeuksista on sidoksissaluetun ymmartamiseen. Kai-Lin Yang (2011) kertoo tutkijoiden havainneen,etta koulussa menestyksekkaammat oppilaat eroavat vahemman menestyk-sellisemmista oppilaista seka maarallisesti etta laadullisesti kogniitiivisten jametakognitiivisten lukustrategioiden kaytossa. Talla tavalla lukemaan op-pimisesta on hyotya paitsi akateemisessa oppimisessa kaikissa oppiaineissamyos elinikaisessa oppimisessa.

Todistusten luetun ymmartamisella tarkoitetaan todistusten keskeistenosien ymmartamista ja tietoa siita miten todistus toimii seka miksi se onoikein. Jotta tietaisimme todistuksen olevan oikein, on myos tiedettava,mita todistuksella voidaan todistaa. Todistuksien lukemisen seka sen seu-rausten ymmartamisen prosessia on hyvin vaikeata havaita, silla kaikki siitaei tapahdu tietoisesti vaan ymmartamista tapahtuu myos alitajuntaisesti.Taman takia Lin & Yang (2007) loivat yhdeksasluokkalaisten oppimistavoit-teiden pohjalta viisiosaisen maarittelyn, jonka osia ovat perustiedot, loogi-nen tila, sopeutuminen tai yhteenvetaminen, yleispatevyys ja soveltaminen.Naista perustietojen nakokulma vaatii oppilasta ymmartamaan matemaat-tisten termien, kuvioiden ja symboleiden esittamista seka lauseiden todista-mista. Loogisen tilan nakokulma taas vaatii oppilasta tunnistamaan oikeinvaitteiden aseman, joka saattaa olla jokin tila, paatelma tai sovellettu omi-naisuus todistuksessa. Yhteenvetamisen nakokulmasta katsottuna oppilaanpitaisi pystya tunnistamaan todistuksen ydinkohdat tai esittamaan kriit-

18

tinen idea todistuksesta. Toisaalta yleispatevyyden nakokulmasta oppilaantulisi pystya arvioimaan todistus ehdotuksen paikkaansa pitavyytta sekaarvioida, mika on todistuksen kannalta oleellista. Soveltamisen nakokulmapuolestaan edellyttaa, etta oppilas osaa soveltaa nakemaansa esitysta ma-temaattisesta todistuksesta myos toisessa tilanteessa. Kai-Lin Yangin tut-kimus kognitiivisten ja metakognitiivisten lukustrategioiden vaikutuksestageometristen todistusten luetun ymmartamiseen pohjautuu osittain juuritalle jaottelulle.

Metakognitiivisuudella tarkoitetaan tietoisuutta omista ja muiden ihmis-ten oppimisesta, tietamisesta, ajattelusta ja kognitiivisista taidoista. Mikalihaluaa menestya eivat kognitiiviset perustaidot enaa riita, vaan taytyy omak-sua oppimaan oppimisen taito. Talloin heikommankin oppijan metakognitii-visia taitoja pystytaan kehittamaan ja samalla pystytaan edistamaan hanenoppimistaan. Metakognitiiviset oppimisstrategiat puolestaan edellyttavat op-pilaalta tarkkaavaista lukemista, huolellista seuraamista ja asioiden hallin-taa. Kai-Lin Yangin (2011) mukaan tallaiset strategiat vaativat, etta todis-tuksen paamaara on tiedossa ja etta pystyy tunnistamaan sen keskeiset osat.On myos tarkeaa, etta oppilas pystyy havaitsemaan kahden tai useammanperakkaisen valivaiheen valisia yhteyksia todistuksessa. Lisaksi olisi hyvapystya seuraamaan omaa ymmarrystaan ja nain ollen havaitsemaan myosniita kohtia, joissa on saattanut syntya vaarinkasityksia. Kognitiiviset op-pimisstrategiat puolestaan sisaltavat ajatuksen siita, etta ensin tulisi lukeavaite, minka jalkeen voisi siirtya alleviivaamaan, keskittymaan oheiseen ku-vioon ja asioiden erottamiseen seka numeroimaan todistuksen vaiheita. Osatutkijoista on ajatellut, etta lukemiseen vaikuttavat seka metakogniiviset te-kijat etta kognitiiviset tekijat. Osa taas on sita mielta, etta metakognitiivisettekijat vaikuttavat kognitiivisiin tekijoihin jotka puolestaan vaikuttavat lu-kemiseen. Yhta selkeaa linjausta siihen kumpi malleista on oikeampi ei oleolemassa.

Kai-Lin Yang (2011) havaitsi tutkiessaan 533:n taipeilaisten yhdeksas-luokkalaisten metakognitiivisten ja kognitiivisten lukustrategioidin kayttoageometristen todistuksien luetun ymmartamisessa, etta oppilaat oli mah-dollista jakaa kolmeen ryhmaan sen perusteella, miten he geometrian todis-tuksen osasivat tehda. Jaottelun kolme ryhmaa olivat hyvan suorituskyvynomaavat oppilaat, kohtalaisen suorituskyvyn omaavat oppilaat seka kehnonsuorituskyvyn omaavat oppilaat. Suurin osa hyvan suorituskyvyn omaavistaoppilaista pystyi vastaamaan oikein tutkimuksessa olleisiin 16:een kysymyk-seen, kun taas kehnon suorituskyvyn omaavat oppilaat eivat pystyneet yh-teenvetamaan asioita eivatka myoskaan yleispatevoittamaan ja soveltamaanniita. Kohtalaisen suorituskyvyn omaavat oppilaat puolestaan pystyivat hie-man paremmin yhteenvetamaan asioita, kuin kehnon suorituskyvyn omaa-vat.

Yleisesti tutkimuksessa havaittiin hyvan suorituskyvyn omaavien oppi-laiden parjaavan seka metakognitiivisten etta kognitiivisten lukustrategioi-

19

den avulla todistamisessa paremmin, kuin kehnon suorituskyvyn omaavienoppilaiden. Hyvan suorituskyvyn omaavien oppilaiden havaittiin kayttavangeometrian todistuksien ratkaisemisessa lahes yhta hyvin hyvakseen niin lue-tun ymmartamisen taitoa kuin kognitiivista lukustrategiaa todistusten luo-miseen, seka metakogniitiivista lukustrategiaa suunnittelun ymmartamiseen.Hieman vahemman he kayttivat hyvakseen metakognitiivisia lukustrategioi-ta seuraamusten ja hallinnan ymmartamisessa. Kehnon ja kohtalaisen suori-tuskyvyn omaavien oppilaiden tulokset olivat samanlaiset, mutta kohtalai-sen suorituskyvyn omaavat jaivat jokaisessa ominaisuudessa reilusti hyvansuorituskyvyn omaavista ja kehnon suorituskyvyn omaavat puolestaan hie-man kohtalaisen suoristuskyvyn omaavista.

Tutkimustuloksista kay ilmi, etta oppilailla, joilla kognitiiviset ja meta-kognitiiviset lukustrategiat eivat ole niin hyvin harjaantuneet, on selvastiheikommat edellytykset saada todistus rakennettua, kuin niilla joilla kysei-set lukustrategiat ovat hyvin hallussa. Ajatellaan esimerkkina Kai-Lin Yan-gin (2011) tutkimuksessa esitettya ongelmaa, joka on esitettyna kuvassa 3.1.

Kuva 3.1: Geometrinen ongelma

Seka hyvan etta kehnon suorituskyvyn omaavat oppilaat saattavat hy-vinkin molemmat hahmottaa kuvasta alkuperaisen suuren kolmion, seka kol-mion sisalle muodostuneet kolme pienempaa kolmiota. Mikali oppilaille oli-si tehtavassa annettu vain tehtavananto olisi suurin osa oppilaista osan-nut itse muodostaa kyseisen kuvion lukemalla tehtavanannon lapi. Sekatehtavanannosta etta kuvasta on nahtavilla sivujen BD ja AD olevan sa-manpituisia. Tehtavassa on myos annettu tieto siita, etta suora L puolit-taa sivun BC pisteessa M, jolloin myos BM on samanpituinen MC:n kans-sa. Hyvan suorituskyvyn omaava oppilas pystyy viela tarkastamaan edelli-sen vaitteen yhtapitavyyden toteamalla kulman ∠BMC olevan yhtasuurikulman ∠CMD kanssa. Taman tyyppiseen asioiden oikeellisuuden tarkas-tamiseen ja aikaisempien tietojen hyodyntamiseen eivat kehnon suoritus-kyvyn omaavat oppilaat pysty, mutta tilannetta voidaan yrittaa parantaakehittamalla oppilaiden metakognitiivisia taitoja. Seuraavassa todistamisenvaiheessa paremman suorituskyvyn omaavat oppilaat havaitsevat kolmioi-

20

den BMD ja CMD olevan (sks) yhtenevia, missa (sks) on lyhenne sanastasivu-kulma-sivu. Kolmioista on siis mahdollista erottaa yksi yhteinen sivu,joka on MD ja se on kummallekin kolmiolle yhtapitka. Lisaksi loydetaanyhtapitkat sivut BM ja MC seka saman suuruiset kulmat ∠BMC ja ∠CMD.Tasta puolestaan hyvan suorituskyvyn omaava oppilas pystyy saamaan ir-ti tiedon siita, etta nyt sivut BD ja CD ovat yhtapitkat. Tasta taas seu-raa, etta sivut CD ja AD ovat yhtapitkat ja etta kulmat ∠DCA ja ∠DAC

ovat samansuuruiset. Edellisista jalkimmainen vaite antaa myos tehtavassahalutun ratkaisun. Kuten aikaisemmin on jo todettu kaikki geometriaanliittyvat ongelmat eivat johdu visuaalisista vaikeuksista hahmottaa asioi-ta, vaan joskus myos silla miten lukee asioita ja mihin kiinnittaa huomio-ta tehtavaa tarkastellessaan on merkitysta. Hyvan suorituskyvyn omaavatoppilaat pystyvat melko vaivatta etenemaan todistuksessa lukemalla huo-lellisesti tehtavanannon ja miettimalla mita tietoja on annettu, mihin tulisipaasta ja mita keinoja haluttuun lopputulokseen paasemiseen voisi kayttaa.Kehnomman suorituskyvyn omaavia oppilaita taytyy enemman ohjata rat-kaisuun paasemiseksi, mutta heidankin taitojaan on mahdollista harjaan-nuttaa metakognitiivisia taitoja kehittamalla.

21

Luku 4

Van Hielen malli

Fuys, Geddes & Tischler (1988) ovat erillisteoksessaan [3], kasitelleet VanHielen ajattelumallia geometriasta nuorten keskuudessa. Pierre M van Hieleoli erityisen kiinnostunut juuri siita, millaisiin vaikeuksiin ylakoulussa opis-kelevat nuoret tormaavat geometrian opiskelussa. Han uskoi, etta ylakoulungeometriaan liittyy ajattelua suhteellisen korkealla tasolla, mutta oppilaateivat ole viela saaneet riittavasti kokemuksia ajattelun alemmilla tasoilla,jolloin vaikeuksien syntyminen geometriassa mahdollistuu (Fuys, Geddes &Tischler,1988). Van Hielen mallin mukaan oppilas kay lapi viisi ajatteluntasoa, joissa oppilas ei pysty etenemaan seuraavalle tasolle ennen kuin onkaynyt lapi edellisen. Tama malli on kehittynyt seurauksena Pierre van Hie-len ja Dina van Hiele-Geldolfin tutkimuksista, joihin he saivat idean ope-tustyossaan huomaamistaan havainnoista geometrian oppimisen edistymi-sesta. Vuonna 1957 Pierre van Hiele ja Dina van Hiele-Geldof julkaisivatvaitoskirjansa, joista van Hiele-Geldofin osuudessa kasiteltiin didaktista ko-keilua, jonka tarkoituksena oli edistaa oppilaiden ajattelun tasoa (Fuys, Ged-des & Tischler, 1988). Van Hiele sen sijaan muotoili geometrisen ajatteluntasojen rakenteet ja esitti ajatuksen siita, miten oppilas pystyisi edesautta-maan omaa geometrian ymmartamistaan. Seuraavassa kappaleessa esitellaanvan Hielen mallin mukaiset viisi ajattelun tasoa, minka jalkeen jokainen tasoesitellaan viela yksityiskohtaisemmmin.

Nollatasolla,jota voidaan myos nimittaa tunnistamisen tasoksi, oppilaskykenee tunnistamaan, nimeamaan ja vertailemaan geometrisia kuvioita,kuten kolmiota, kulmia ja kohtisuoruutta. Kuvion tunnistaminen ja vertaile-minen perustuu sen visuaaliseen hahmoon ominaisuuksien sijaan. Van Hielennollatasolla onkin hyvin paljon samoja piirteita kuin Kai-Lin Yangin (2011)perustietojen nakokulmassa, jossa myos oppilaan tulisi ymmartaa symbo-lien, kuvioiden ja matemaattisten termien esittamista. Erona nailla kahdellaon kuitenkin se, etta Kai-Lin Yangin (2011) perustietojen nakokulmassa op-pilaalta vaaditaan tunnistamisen lisaksi kuvioiden todistamisen ymmartamista.Tasolla yksi, jota kutsutaan myos analysoinnin tasoksi, oppilas pystyy ana-

22

lysoimaan kuvia ja niihin liittyvia osia. Lisaksi han pystyy myos kokemus-peraisesti huomaamaan minka kuvioiden tai osien valilla on yhteyksia. Tamataso vastaa puolestaan Kai-Lin Yangin (2011) loogisentilan nakokulmaa,missa myos painotetaan kuvien ja niihin liittyvien asioiden tarkempaa ym-marrysta. Eroavaisuuksia syntyy vain silta osin, etta Kai-Lin Yangin (2011)tutkimus kohdistui pelkastaan geometristen todistuksien luetun ymmarta-miseen. Tasolla kaksi eli jarjestamisen tasolla oppilas pystyy ottamaan huo-mioon aikaisemmin loytamansa ominaisuudet esimerkiksi seuraamalla in-formatiivisia argumentteja. Kolmannella tasolla eli paattelyn tasolla opis-kelija todistaa lauseita deduktiivisesti ja pystyy luomaan lauseiden valisiaverkostoja. Tallaisella verkostojen luomisella tarkoitetaan sita, etta oppi-las kykenee yhdistamaan lauseita toisiinsa mikali niilla on jotain yhteista.Talla tasolla on hyvin paljon samanlaisia piirteita Kai-Lin Yangin (2011)soveltamisen nakokulman kanssa, jossa edellytetaan oppilaan osaavan so-veltaa aikaisemmin esitettyja matemaattisia todistuksia myos muissa to-distuksissa. Neljannelle tasolle (Aksioomasysteemin ymmartamisen taso)paastakseen oppilaan tulisi pystya luokittelemaan lauseita erilaisiin postu-laattijarjestelmiin ja lisaksi hanen tulisi myos pystya analysoimaan naitajarjestelmia.

Tarkastellaan seuraavaksi hieman tarkemmin edella lyhyesti esiteltyjaviitta ajattelun tasoa, jotka oppilas kay lapi. Tunnistamisen tasolla oppilastunnistaa suorakulmion sen muodosta ja ajattelee suorakulmion eroavan ne-liosta. Geometrisia kuviota kasitellaankin talla tasolla kokonaisuutena eikaniin sanotusti osiensa summana. Fuys, Geddes & Tischler (1988) kertovatkolmannessa erillisteoksessaan oppilailla ilmenevien geometrian vaikeuksienolevan puhtaasti visuaalisia. Erillisteoksessa kerrotaan oppilaiden tayttavannollatason vaatimukset lukemalla tarkoin heille tehtavassa annettut ohjeetja mahdolliset vihjeet. Tassa vaiheessa luetun ymmartamisella on suuri mer-kitys juuri sen takia, etta hyva luetun ymmartamisen taito mahdollistaa siir-tymisen seuraavalle ajattelun tasolle, vaikka visuaalinen ymmartaminen eiyksinaan olisikaan vaaditulla tasolla.

Analysoinnin tasolla kuviot nahdaan ikaan kuin ominaisuuksiensa omis-tajina. Esimerkiksi se, etta kuvio on suorakulmio merkitsee sita, etta ku-viossa on nelja suorakulmaa, lavistajat ovat yhta pitkat ja vastakkaiset sivutovat pituudeltaan samat. Kuviota on myos mahdollista tunnistaa pelkastaansen ominaisuuksien perusteella. Voidaankin sanoa, etta talla tasolla kon-kreettisilla objekteilla operointi muuttuu hiljalleen geometristen symbolei-den avulla tapahtuvaksi operoinniksi. Oppilas pystyy myos lajittelemaankuvioita niiden ominaisuuksien perusteella ja vertailemaan eri kuvioita toi-siinsa. Talla tasolla oppilaalta jaa kuitenkin viela tiedostamatta kuvioidenkeskinaiset suhteet, eika oppilas nain ollen pysty selittamaan miten hanensamaan ryhmaan lajittelemiensa kuvioiden ominaisuudet riippuvat toisis-taan.

Tasolta yksi tasolle kaksi siitynyt oppilas pystyy jarjestelemaan geo-

23

metristen kuvioiden ominaisuuksia. Nama ominaisuudet ovat yleensa hy-vin selvasti yhteydessa toisiinsa. Saattaa olla, etta toinen ominaisuus seu-raa toisesta ominaisuudesta tai jokin ominaisuus voi edeltaa jotain toistaominaisuutta (Fuys, Geddes & Tischler, 1988). Talla tasolla oleva oppilaskykenee myos itse muodostamaan ja kayttamaan geometrisia maaritelmia.Lisaksi han pystyy tunnistamaan kuvioista ne osat, joita han jatkossa tar-vitsee, kiinnittamatta muihin osiin tarkemmin huomiota. Suurimpana muu-toksena edelliseen tasoon verrattuna, oppilas pystyy jarjestamisen tasollaymmartamaan ominaisuuksien valisia suhteita. Oppilas ei kuitenkaan hal-litse laajempia teoreemajoukkojen valisia yhteyksia ja geometrian ymmar-taminen aksiomaattisena tieteena jaa vaille ymmarrysta.

Oppilas pystyy paattelyn tasolla todistamaan lauseita ja vaitteita de-duktiivisesti, kuten jo luvun alussa totesimme. Lisaksi han kykenee ha-vaitsemaan teoreemajoukkojen valisia yhteyksia. Talla tasolla oppilas op-pii ymmartamaan eroavaisuudeet lauseen, maaritelman ja aksiooman valilla.Myos ymmartaminen lisaantyy, silla paattelyn tasolla oppilas tunnistaa mitatehtavassa on annettu ja mita tehtavassa halutaan. Kolmannella tasolla olisimyos mahdollista kehittaa aksiomaattinen jarjestelma, mutta itse aksioomatkuuluvat neljannelle tasolle.

Aksioomasysteemin ymmartamisen tasolle on ominaista abstraktien sys-teemien esittaminen ja naiden mallien avulla eri ilmioiden kuvaileminen.Kuten edellisessa kappaleessa jo hieman vihjattiinkin, talla tasolla oppi-las ymmartaa aksioomien mahdollisuudet ja rajoitukset. Lisaksi han pystyysujuvasti vertailemaan aksiomaattisia systeemeja keskenaan. Korkeammillavan Hielen tasoilla olevat oppilaat pystyvat auttamaan alemmilla tasoillaolevia oppilaita eteenpain.

Kuten alussa jo todettiin van Hielen mallin mukaan oppilas kay lapiedella esitetyt viisi tasoa. Heraakin kysymys siita, miten tallaiset viisi tasoaon voitu havaita. Fuys, Geddes & Tischler (1988) esittavat, etta P.M. vanHiele ja D. van Hiele-Geldof havaitsivat geometrisen ajattelun kehittymisenolevan prosessi, joka valilla pysahtyy kunnes taas jatkuu. Talloin ajatte-lun kehityskaaressa on mahdollista huomata hyppayksia, jotka kertovat vanHielen tasojen olemassaolosta. Mikali oppimisprosessi on syysta tai toises-ta pysahtynyt ja se ei jatkukkaan, voidaan Fuys‘n, Geddesin & Tischlerin(1988) mukaan sanoa opettajan epaonnistuneen uuden asian opettamises-sa. Talloin on tapahtunut ilmio, jossa opettaja puhuu sellaisen tason kieltaoppilaille, mita he eivat ole viela saavuttaneet. Oppilaat saattavat hyvinkinhyvaksya opettajan antaman selityksen asiaan, mutta asia ei painu heidanmieleensa ennen seuraavalle tasolle paasemista. Geometrian opiskelussa on-kin siis tarkeaa, etta opettaja tietaa luokkansa sen hetkisen tason, jotta hanpystyy kayttamaan sellaista matemaattista kielta jota oppilaiden sen hetki-nen taso edellyttaa.

24

Luku 5

Johtopaatokset

Tutkielman tarkoituksena oli tarkastella niita vaikeuksia, joihin ylakoulunoppilaat saattavat tormata geometriaa opiskellessaan. Aiheen laajuuden vuok-si tutkimusta rajattiin siten, etta se tarkastee geometrian vaikeuksia kogni-tiivisesta nakokulmasta. Edella olleissa luvuissa tarkasteltiin naita vaikeuk-sia muun muassa visuaalisesta nakokulmasta katsottuna. Vaikka naiden vai-keuksien syntymista tarkasteliin useasta eri nakokulmasta ja muutaman teo-rian avulla emme siltikaan voi sanoa yhta ainutta syyta siihen, miksi vai-keuksia ilmenee geometrian oppimisessa. Sen sijaan syntyneet vaikeudet pys-tytaan lajittelemaan sen perusteella mitka vaikeudet johtuvat opettajasta jamitka oppilaasta itsestaan.

Van Hielen mallin mukaan opettaja saattaa tahtomattaan aiheuttaa op-pilaille vaikeuksia geometrian oppimisessa, jos han kayttaa sellaista mate-maattista kielta opetuksessaan jota oppilaiden sen hetkinen ajattelun tasoei tue. Oppilaiden ajattelun tason tunnistaminen onkin opettajalle hankalaatai ainakin se vaatii luokan parempaa tuntemista. Lisahaasteensa opettajal-le tuo myos se, etta oppilaat eivat suinkaan kaikki valttamatta ole samallaajattelun tasolla vaan toiset saattavat edeta tasolta toiselle huomattavastinopeammin kuin toiset. Nain syntyneisiin vaikeuksiin on kuitenkin helppoapuuttua, kunhan opettaja vaan nopeasti havaitsee milloin oppilas putoaakarryilta opettajan kayttaman matemaattisen termiston takia.

Bottom-up - ja top-down -prosessit osottautuivat hyvin kaytannollisiksitavoiksi tunnistaa esimerkiksi haluttu geometrinen ominaisuus. Naiden pro-sessien kaytossa on kuitenkin se ongelma, etta niiden kayttaminen vaatiisen etta oppilas on jo aikaisemmin tullut tutuksi tehtavassa kysytyn omi-naisuuden kanssa. Tama tarkoittaa sita, etta oppilas voi prosessien avullatunnistaa kuviosta ominaisuuden, mikali se on esitetty samalla tavalla kuinhanen aikaisemmin nakemassaan tehtavassa. Vaikeuksia syntyykin kun ku-viota kaannetaan oppilaan aikaisemmin nakemasta asennosta eriavaan asen-toon ja myos silloin kun geometrisen kuvion ominaisuutta osoittava symbolipoistetaan. Syyksi talla tavoin syntyviin vaikeuksiin geometriassa voidaan

25

ajatella opettajien kayttamien geometristen kuvioiden samanlaisen esitysta-van. Mikali opettaja piirtaa kuvion aina samaan asentoon tai merkitsee ai-na ominaisuutta osoittavan symbolin nakyviin, ei oppilas opi ajattelemaanmita geometrinen kuvio tai ominaisuus todella tarkoittaa. Nain ollen op-pilas ei siis pysty tunnistamaan kuviota, kun sita kaannetaan tai symbolipoistetaan. Ratkaisuksi tahan ongelmaan Gal & Linchevski (2010) tarjoavatajatusta siita, etta opettajien tulisi esittaa oppilaille geometrisia kuvioitaeri asennoissa ja opettaa miten geometrinen kuvio voidaan tunnistaa senominaisuuksien perusteella ilman symbolin kayttoa. Luvussa 2.2 on myostodettu, etta oppilaat eivat usein pysty ymmartamaan merkintoja, joissa onseka verbaalista etta visuaalista informaatiota esimerkiksi a⊥b. Tamankintakia on suotavaa, etta matemaattisten symbolien kayttamista harkitaanaina kun se on mahdollista.

Luvussa 2.4 on esitelty Gestaltin periaatteet, joiden avulla voidaan se-littaa niita vaikeuksia joita oppilailla on liittyen geometristen kuvioiden vi-suaaliseen hahmottamiseen. Gastaltin periaatteet itsessaan ovat ikaan kuinselitysmalleja sille milla perusteella aivomme jarjestelevat yksityiskohdistakokonaisuuksia. Desolneux, Moisan ja Morel (2008) esittelevat kaiken kaik-kiaan yhdeksan erilaista Gestaltin luokitteluperiaatetta. Naista esimerkkinavoidaan mainita samanlaisuuden ja jatkuvuuden periaatteet. Naiden peri-aatteiden avulla ei kuitenkaan ole aina mahdollista tulkita geometrisia ku-vioita halutulla tavalla, mika aiheuttaa vaikeuksia oppilaille. Tallaisia vai-keuksia syntyy varsinkin silloin, kun halutun asian tunnistaminen geomet-risesta kuviosta vaatii Gestaltin periaatteiden rikkomista. Esimerkiksi kah-den suoran leikkauspisteeseen muodostuneet vieruskulmat voi olla vaikeatunnistaa, silla se vaatisi jatkuvuuden periaatteen rikkomista. Ongelma voi-daan kuitenkin ratkaista esimerkiksi luomalla uudenlaisia ryhmittelyja taivarittamalla geometrisesta kuviosta tiettyja osia eri vareilla. Gestaltin pe-riaate tarjoaa siis seka selityksen etta ratkaisun oppilailla ilmenneisiin vai-keuksiin geometriassa, tosin visuaalisesta nakokulmasta katsottuna.

Miten oppilaat itse sitten pystyvat vaikuttamaan omaan oppimiseensageometriassa siten, etta vaikeuksia ei muodostuisi? Eras vaihtoehto on Kai-Lin Yangin (2011) mukaan metakognitiivisten ja kognitiivisten lukustrate-gioiden kehittaminen. Kai-Lin Yangin (2011) tekemassa tutkimuksessa tar-kasteltiin taipeilaisten yhdeksasluokkalaisten metakognitiivisten ja kognitii-visten lukustrategioiden kayttoa geometristen todistuksien luetunymmar-tamisessa. Tutkimuksen perusteella oppilaat oli mahdollista jakaa kolmeenryhmaan sen perusteella miten he osasivat tehda geometrisen todistuksen.Tama jaottelu on esitelty tarkemmin luvussa kolme. Jaottelun perusteellavoidaan sanoa etta niilla oppilailla, jotka saivat todistuksen tehtya, oli pa-remmat metakognitiiviset ja kognitiiviset lukustrategia taidot kuin toisillaoppilailla. Naita taitoja on kuitenkin mahdollista harjoittaa, jolloin myosgeometristen todistuksien yhteydessa ilmenevat vaikeudet vahenevat.

Toisille geometria on se helpoin aihe matematiikassa, toisille se taas

26

on vaikein. Tutkielmani pohjalta on kuitenkin mahdollista ajatella, ettaniillakin oppilailla joille geometria tuottaa paanvaivaa, on mahdollisuus paastaetenemaan geometrian opiskeluissaan. Tama vaatii kuitenkin sen, etta oppi-las itse on valmis tekemaan asioita oppimisen eteen. Omatoiminen opiskeluja kavereiden kanssa asioiden pohtiminen ovat oiva tapa oppia geometriaa.Myos opettajalta avun pyytaminen on kannattavaa, silla silloin myos opet-taja saattaa havahtua huomaamaan etta hanen olisi syyta muuttaa opetus-metodejaan.

27

Lahdeluettelo

[1] Desolneux,A., Moisan,L. & Morel,J.-M. 2008. From Gestalt Theory toImage Analysis.

[2] Duval,R. 1998. Geometry from a cognitive point of view. Mammana,C& Villani,V, Perspectives on the teaching of geometry for the 21st cen-tury, 37-52.

[3] Fuys,D.,Geddes,D. & Tischler,R. 1988. The van Hiele model of thinkingin geometry among adolescents.

[4] Gal,H. 2005. Identifying problematic learning situations in geometry in-struction, and handling them within the framework of teacher training.

[5] Gal,H., & Linchevski, L. 2010. To see or not to see: analyzing difficul-ties in geometry from the perspective of visual perception. EducationalStudies in Mathematics, 74, 163-183

[6] Lehtinen,E., Kuusinen,J. & Vauras,M. 2007. Kasvatuspsykologia.

[7] Lehtinen,M. 2000. Matematiikan historia.

[8] Lin,F.L., & Yang K.L. 2007. The reading comprehension of geomet-ric proofs: The contribution of knowledge and reasoning. InternationalJournal of Science and Mathematics Education, 5, 729-754.

[9] Pitta-Pantazi,D. & Christou,C. 2008. Cognitive styles, dynamic geo-metry and measurement performance. Educational Studies in Mathe-matics, 70, 5-26.

[10] Rinne,R., Kivirauma,J. & Lehtinen,E. 2005. Johdatus kasvatustietei-siin.

[11] Silfverberg,H. 1999. Peruskoulun ylaasteen oppilaan geometrinenkasitetieto.

[12] Yang,K.-L. 2011. Structures of cognitive and metacognitive readingstrategy use for reading comprehension of geometry proof. Educatio-nal Studies in Mathematics ,80, 307-326.

28