GEOMETRÍA

PUNTOS EN EL ESPACIO

EL ESPACIO AFÍN A3

Consideramos el conjunto de todos los puntos del espacio. A dicho conjunto

le llamaremos espacio afín tridimensional y lo designamos por A3

Llamaremos sistema de referencia del espacio de puntos a un conjunto formado por un punto fijo (O: origen) y tres vectores que formen base del espacio vectorial V3

kjiOS,,; En la práctica, utilizaremos

siempre una base ortonormal

Vector de posición del punto P: OPDefinición

Coordenadas del punto P = Coordenadas del vector OP

Definición

kzjyixOP

Coordenadas de P=(x.y,z)

O

k

j

i

P

O

k

j

i

P

P=(1,2,1’5)

Definición:

CONCEPTOS BÁSICOS

COORDENADAS DEL VECTOR QUE UNE DOS PUNTOS

P

O

Q

OQPQ PO= +

OQPQ OP= -

PQ = coordenadas de Q – coordenadas de PCoordenadas de

Ejercicio: sean los puntos P(1,-4,5) y Q(-2,3,-6). Calcula las coordenadas de PQ

y halla un punto R que cumpla: OR PQ=

Solución: (-3,7,-11)

Recuerda:

vu, tienen la misma dirección existe un número t que cumple: vtu

uv5'1

u

Ejemplo 1:

¿Están alineados los puntos P(1,1,3) Q(-1,6,7) y R(0,2,3)?

☺considera los vectores que unen los puntos PQ y PR ¿cómo deben ser?

Ejemplo 2:

Halla m y n para que los puntos P(1,m,3) Q(-1,1,2) y R(0,2,n) estén alineados

Ejemplo 3:

Halla un vector unitario (módulo 1) con la misma dirección y el mismo sentido que el vector (1,2,2)

VECTORES CON LA MISMA DIRECCIÓN

solución: m=3; n=5/2

solución: (1/3,2/3,2/3)

ECUACIONES DE LA RECTA¿Cómo se determina una recta?

Para determinar una recta, utilizaremos un punto fijo de la recta A y un vector que tenga la dirección de la recta, (vector director)

directorvectoru

rectaladepuntoA

:

:

ECUACIÓN VECTORIAL

A

u

X

¿Qué condición debe cumplir el punto X para estar en la recta?

uAX ||

tuAX =

tuOX = OA +Ecuación vectorial de la recta

Existe un numero t que cumple:

tu=OX - OA

(x,y,z)=(a1,a2,a3)+t(u1,u2,u3)

Si sabemos las coordenadas del punto y del vector director: A= (a1,a2,a3) Vector director: (u1,u2,u3). Sea X un punto cualquiera de la recta X=(x,y,z)

x=a1+tu1

y=a2+tu2

z=a3+tu3

Ecuaciones paramétricas de la recta

ECUACIONES PARAMÉTRICAS

ECUACIONES CONTINUAS

Despejando el parámetro t en la tres ecuaciones paramétricas anteriores e igualando las expresiones, obtenemos:

3

3

2

2

1

1

u

az

u

ay

u

ax

Ecuaciones continuas de la recta

RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

Para calcular las ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos P y Q, tomaremos como punto fijo uno cualquiera de los dos (P o Q) y como vector director el vector PQ

Ejemplo 1:

Halla las ecuaciones paramétricas y continuas de la recta que pasa por los puntos P(1,0,2) y Q(-1,3,3)

x=1-2t

y=3t

z=2+t1

2

32

1

zyx

Ejemplo 2:

Halla las ecuaciones paramétricas y continuas de la recta paralela a la anterior que pasa por el punto O.

ECUACIONES DEL PLANO¿Cómo se determina un plano?

Para determinar un plano, utilizaremos un punto del plano A y dos vectores (no paralelos) que tengan la dirección del plano, (vectores directores)

directoresvectoresvu

planodelpuntoA

:,

:

ECUACIÓN VECTORIAL

¿Qué condición debe cumplir el punto X para estar en el plano?u

AX es C.L. de

Ecuación vectorial del plano

existen dos números t y s que cumplen:

A

v

u vy

vsutOAOX

vsutAX

X

(x,y,z)=(a1,a2,a3)+t(u1,u2,u3)+s(v1, v2, v3)

Si sabemos las coordenadas del punto y de los vectores directores: A= (a1,a2,a3) Vectores directores: (u1,u2,u3) y (v1, v2, v3). Sea X un punto del plano X=(x,y,z)

x=a1+tu1+sv1

y=a2+tu2+sv2

z=a3+tu3+sv3

ecuaciones paramétricas del plano

ECUACIONES PARAMÉTRICAS

Ejemplo 1:

Sea el plano definido por el punto y los vectores siguientes:

)1,0,1(

)2,1,1(

)2,1,0(

v

u

A

x=0+t+s

y=1+t

z=-2+2t+s

ecuaciones paramétricas del plano

Como hemos visto, la condición que debe cumplir el punto X para estar en el plano es:

AX es C.L. de u vy

Si formamos la matriz cuyas columnas son los vectores AX u v

¿Qué rango tendrá dicha matriz? ¿Cuánto valdrá su determinante?

0

333

222

111

vuaz

vuay

vuax

ECUACIÓN GENERAL

ecuación general del plano

Ejemplo 2: halla la ecuación general del plano del ejemplo1

)1,0,1(

)2,1,1(

)2,1,0(

v

u

A

0

122

011

11

z

y

x

x+(y-1)-(z+2)=0 x+y-z-3=0