Geometria jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między nimi. Figury geometryczne na płaszczyźnie noszą nazwę figur płaskich, w przestrzeni trójwymiarowej brył geometrycznych. Termin geometria pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi. Z rozwojem geometrii związane jest nazwisko greckiego matematyka Euklidesa. Dzięki Euklidesowi geometria przedstawiana jest jako nauka uporządkowana, wzorowy przykład teorii dedukcyjnej zaczynającej się od kilku pojęć pierwotnych, z których za pomocą aksjomatów i definicji wyprowadza się twierdzenia.

1. Przez każde dwa różne punkty można poprowadzić jedną i tylko jedną linię prostą.

2. Każdy odcinek może być przedłużony do nieskończoności, tworząc prostą.

3. Odległość i punkt wyznaczają okrąg.

4. Wszystkie kąty proste są równe.

5. Przez każdy punkt nie leżący na danej prostej można poprowadzić dokładnie jedną prostą równoległą do danej.

Geometria nieeuklidesowa – geometria, która nie spełnia co najmniej jednego z aksjomatów geometrii euklidesowej. Może ona spełniać tylko część z nich, przy czym mogą również obowiązywać w niej inne, sprzeczne z aksjomatami i twierdzeniami geometrii Euklidesa. Przykładami geometrii nieeuklidesowych są: geometria hiperboliczna (geometria Łobaczewskiego), geometria eliptyczna (geometria sferyczna).

Nikołaj Łobaczewski stworzył własny postulat, zastępujący V postulat Euklidesa. Brzmi on: przez punkt płaszczyzny nie należący do danej prostej przechodzą co najmniej dwie różne proste nie posiadające punktów wspólnych z daną prostą. W geometrii hiperbolicznej płaszczyzną jest powierzchnia siodła.

Płaszczyzna hiperboliczna

Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń o geometrii

euklidesowej. Jest ona naturalnym elementem modeli świata rzeczywistego i stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznych w warunkach makroskopowych.

Przestrzeń metryczna – zbiór z określonym pojęciem odległości (nazywanej metryką) między jego elementami.

W metryce euklidesowej odległość między dwoma punktami możemy określić za pomocą wzoru:

d(x,y) = |y-x|

Możemy wyróżnić następujące metryki:

Metryka „miasto”;

Metryka maksimum;

Metryka kolejowa;

Metryka „rzeka”;

Metryka dyskretna.

Wyobraźmy sobie, że z jakichś powodów (kwadratowa sieć ulic przypominająca plan Manhattanu) możemy poruszać się jedynie w kierunkach wschód-zachód oraz północ-południe. Wtedy droga, jaką będziemy przebywać z jednego punktu do drugiego, wyniesie właśnie tyle, ile mówi o niej metryka miejska.

Metryka Manhattan – odległość dwóch punktów w tej metryce to suma wartości bezwzględnych różnic ich współrzędnych.

Metryka maksimum– metryka opisana wzorem

Niech pod słowem „rzeka” kryje się ustalona prosta na płaszczyźnie. Wyobraźmy sobie, że znajdujemy się w bardzo gęstej dżungli, po której poruszać się można jedynie w kierunkach prostopadłych do rzeki oraz po samej rzece (po tych ścieżkach poruszamy się zgodnie z metryką euklidesową na płaszczyźnie). Tak określona odległość nosi nazwę metryki rzeki.

Problem: dostanie się z punktu A do B

Wzór opisujący metrykę rzeki: