RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

CONCEPTO DE PLANO

Un plano es una superficie de infinitos puntos

Si dos puntos de una recta están en un mismo plano, entonces la recta está en un mismo plano.Esta afirmación describe la condición del plano de ser una superficie no curva.

Es usual representar un plano por un paralelogramo o por una figura de contorno irregular, entendiéndose que sus lados o contornos no son el límite del plano, ya que este es ilimitado. Se le nombra por la letra P o por tres puntos no colineales.

En términos físicos, un plano se considera como superficie sin puntos de inflexión y que se extiende hasta el infinito en todas las direcciones.

Toda recta de un plano lo separa o divide en dos semiplanos P1 y P2 . La recta es la frontera de estos semiplanos

Axiomas relativos al plano

Un único plano queda determinado por:

Tres puntos no colineales

Dos rectas que se intersectan

Dos rectas paralelas

Una recta y un punto exterior a ella.

A

C B

L2

L1

L2

L1

A

B

L2

L1P

A

L2

L1P

Determinación de infinitos planos Si dos planos distintos se intersectan, su

intersección es una recta

P1 P2 P1 P2 = L

Por una recta pasa un número infinito de planos .

Posiciones de rectas en el espacio

De acuerdo co su posición en el espacio, las rectas pueden ser:

a. Paralelas no tinen puntos comunes y existe sólo un plano que los contiene

b. Coincidentes tienen todos sus puntos comunes

c. Secantes se intersectan en un solo punto

L1

L2

P

P1

P3

P2

L

P1

P2

L1

L2

d. Alabeadas están contenidas en planos distintos y no tienen puntos comunes ( no se intersectan)

Posiciones de planos en el espacio

De acuerdo con la posición relativa que tengan dos planos en el espacio, estos pueden ser :

a. Paralelos no tienen puntos comunes, su intersección es vacía

b. Secantes es decir, se intersectan. Los planos pueden ser perpendiculares u oblicuos

c. Coincidentes tienen a lo menos tres puntos comunes

AC

B

P2

P1

P1

P2

Planos y rectas perpendiculares

Propiedades relacionadas con rectas y planos:

a. Recta perpendicular a un planoEsta situación ocurre cuando la recta es perpendicular a dos rectas del plano que contienen al punto de intersección de la recta con el plano. De este modo, la recta es perpendicular a toda recta del plano que contiene a dicho punto de intersecciónb. Recta perpendicular a planos paralelos

Si una recta es perpendicular a un plano P1

que es paralelo a otro plano P2, entonces esta recta también es perpendicular a P2. Se verifica que la distancia entre P1 y P2 es la medida del segmento de recta que intersecta perpendicularmente a estos planos paralelos

c. Rectas perpendiculares a un mismo plano Dos o más rectas perpendiculares a un mismo plano P1 son paralelas entre sí.

L1

L2

P

P2

P1

Q

R

L

Ángulos Diedros

En el espacio la intersección de dos planos nos da una recta.

Cada plano queda dividido en dos semiplanos Se forman cuatro “diedros” cuyas caras son los semiplanos y cuya arista es la recta R. Definimos ángulo diedro como la unión de dos semiplanos no coplanarios, de frontera común.

forman el diedro

Los ángulos diedros se miden por medio de sus ángulos rectilíneos. Escogemos un punto cualquiera A de la arista del ángulo y por A trazamos dos semirrectas, una en cada semiplano, perpendicular a la arista del diedro. Obtenemos así un ángulo rectilíneo de vértice A que es la imagen del diedro. La medida de este ángulo se toma como medida del diedro. Todas las imágenes constituidas de la misma forma en un mismo ángulo diedro, tienen igual medida.

El ángulo diedro son imágenes del diedro. Medida BAC= medida del ángulo diedro.

Si el ángulo imagen es recto (90º), el diedro también se llama recto. Si el ángulo es extendido (180º), el diedro también es extendido o llano y se confunde con un semiespacio. Los diedros que suman 90º son complementarios.

Los diedros que suman 180º son suplementarios. Ángulos triedros y ángulos poliedros

La medida de un ángulo poliedro es igual a la suma de las medidas de los ángulos formados en cada una de sus caras .El ángulo diedro debe medir menos de 360º.

Ejercicios

1) mediante el análisis de la figura, indica cuales puntos:i. pertenece a una misma rectaii. no pertenece a una misma recta, pero con coplanarios (pertenece a un mismo plano)iii. no son coplanarios

2) Indica cuántas rectas pueden trazarse por los distintos puntos A,B,C y D, tomados de dos en dos, si:

a) A,B y C son colinealesb) tres puntos cualesquiera no son colineales c) A, B, C y D no son coplanarios

3) Si en un plano se dibuja una recta, ¿cuál de los semiplanos que esta determina pertenecen los puntos de la recta?

4) ¿Cuál es el mayor número de rfectas que determinan cinco puntos no colineales del espacio?

5) De acuerdo con la figura, en la cual los puntos A,B,C y D son coplanarios, indica en cada caso si la afirmación es V o F, según corresponda.

i.- A,E y F son colinealesii.- B,C,E y F son coplanariosiii.- se intersecta con iv.- se intersecta con v.- B,E,F son coplanariosvi.- B,D,F y G son coplanarios