geometria ejercicios del primer bimestre de matematica de tercero de secundaria

8/17/2019 Geometria Ejercicios Del Primer Bimestre de Matematica de Tercero de Secundaria

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CONCEPTOS GEOMÉTRICOSFUNDAMENTALES

OPERACIONES CON SEGMENTOS

I. OBJETIVO DE LA GEOMETRÍAEl objeto de la geometría es el estudio de lasfiguras geométricas desde el punto de vistade su forma, extensión y relaciones queguardan entre sí.

Geometría plana.- Estudia las figurasplanas, esto es, aquellas cuyos puntos seencuentran en un mismo plano. Llamadatambién Planimetría.

Geometría del espacio.- Estudia lasfiguras sólidas o del espacio, esto es,aquellas cuyos puntos no se encuentran en

un mismo plano.Ejm: cubo, prisma, pirámide, esfera, etc.

II. FIGURA GEOMETRICASe llaman figuras geométricas a losconjuntos de puntos, tales como las líneas,superficies y cuerpos. El punto representael conjunto unitario. En toda figura, menosen el punto, distinguiremos su tamaño, suforma y su posición.

Clasificación de las figuras planas:

Congruentes. Cuando tienen igual formay tamaño.

Semejantes. Cuando tienen igual formapero diferente tamaño.

Equivalente. Cuando tienen la mismaárea o el mismo volumen pero diferenteforma o tamaño.

III. ELEMENTOS FUNDAMENTALES DELA GEOMETRÍALos elementos geométricos fundamentalesson:1) El Punto2) La Recta y3) El Plano

1. Punto: Límite mínimo de la extensión,que se considera sin longitud, latitud niprofundidad. La idea de puntogeométrica nos lo da la punta de unalfiler o la marca que deja la punta deun lápiz. Expresa tan solo una idea y

no un objeto real.

2. Línea Recta: Sucesión continua depuntos que se desplaza hacia ambosextremos en forma ilimitada.

3. Plano: Superficie imaginaria ilimitada,es engendrada por una línea rectacuando se desplaza paralelamente a suposición original.

IV. OTROS TERMINOS GEOMETRICOS

1. Línea: Está formada por una sucesióncontinua de puntos con una soladimensión que es la longitud.

2. Semi-recta: Parte de la recta quecarece de punto de origen.

3. Rayo: Parte de la recta que poseepunto de origen.

4. Segmento de recta: Porción de rectacomprendido entre dos puntos que sonlos extremos.

Conjuntos ConvexosDefinición: Un conjunto “P” del planorecibe el nombre de conjunto convexo, si y

solo si, para cada par de puntos A y B deP, se cumple que P AB ⊂ .Un conjunto que no es convexo se llamaCÓNCAVO.

A

B

A B

A

B

a) b) c)

d) ___ ___e)

De los conjuntos precedentes (a) sonconjuntos convexos.

SEGMENTO DE RECTA

Definición: Para dos puntoscualesquiera A y B, el segmento AB es elconjunto de los puntos A y B y de todoslos puntos que están entre A y B. Lospuntos A y B se denominan extremos.

Segmentos consecutivos: Dos o mássegmentos se llaman consecutivos,cuando cada uno tiene con el siguiente unextremo común. Los segmentosconsecutivos pueden pertenecer a unamisma recta o a una poligonal.

Congruencia de segmentos: Se diceque dos segmentos son congruentes

cuando tienen la misma longitud.

Punto Medio o Punto Bisector de unsegmento:Se dice que el punto “M” de

AB es unpunto medio. Si: AM=MB

A M B

a a

AM =MB = a

Observaciones: a) Todo segmento tiene exactamenpunto medio.

b) Si los puntos extremos de un segmPQ , tienen por coordenadas ( 1,x( )22 y,x , entonces su punto mtiene por coordenada (m;n).

Donde: 2

xxm

21

;2

yn 1

=

Ejemplo:Si: P=(2;4) y Q=(6,8)Hallar la coordenada de su pmedio.

Solución: 42 62m =

= ;

62

84n = =

Luego: M= (4,6)

c) Si los puntos extremos de AB tpor coordenadas 21 xyx , es

1xA = y 2xB = , entonces, su medio tiene por coordenada:

2

xxm 21

Distancia entre A y B:

12 xx AB

OPERACIONES CON SEGMENTO

GEOMETRÍ


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A) Suma de Segmentos:

A B C D

ADCDBCAB =++

B) Resta de Segmentos:

A B C D

BDADAB −= PROBLEMAS RESUELTOS

01. En una recta se encuentran los puntos

consecutivos A, B, C donde BC mide 10y AC , 40. Hallar la medida del segmento AB .

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

Solución:Sea la recta:

A B C

10

40

BCACAB −= 1040 −= AB 30= AB

Clave “C”

02. Los puntos colineales y consecutivos A, B,C y D; son tales que: AD = 18, BD =13 y AC = 12. Hallar BC

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 5

Solución:

A B C D

18

1312

AC ADCD

1218CD

)1..(..........6CD = )2......(CDBDBC

Reemplazando (1) en (2):613BC

7BC

Clave “B”03. En una recta se encuentran los puntos A,

B, C y D consecutivos tal que AC = 18 yBD = 20.Hallar ABCD

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

Solución:

A B C D

18

20

x

BC AC AB −= .......(1)x18AB −= BC BDCD −= .......(2)x20CD −=

Restando: (2) menos (1)x)(18x20ABCD −−−=− x18x20ABCD +−−=−

2=− ABCD Clave “B”

04. Los puntos colineales y consecutivos sontales que: AB + BC = 15;

20CD AB;17CDBC =+=+ ; hallar AB –BC + CD

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15e) 16

Solución:

A B

C D

a b c

(*) a + b = 15 ........(1)(*) b + c = 17 .......(2)(*) a + c = 20 ........(3)Sumando: (1) + (2) + (3):2(a+b+c) = 52(a+b+c) = 26 ⇒ a = 9

17 Luego: 6 b = y 11c = Por tanto:a – b + c = 9 – 6 + 11 = 14

Clave “C”

05. P, Q y R son 3 puntos consecutivos de unarecta PQ = 2QR + 1 y PR = 31. HallarQR.

a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 13

Solución:

P Q R

a b

Del enunciado tenemos:a = 2b + 1.......(1)a + b = 31 .......(2)Reemplazando (1) en (2):3b + 1 = 31 ⇒ b =10

Luego:10 bQR ==

Clave

06. Sobre una línea recta se u

ordenadamente los puntos A, B, C y AB = 3BC = 4CD y AD=19m.Calcular la longitud de BC .

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

Solución:

A B C D

a b c

Del enunciado:(*) a = 3b = 4c = k ...... (1)(*) a + b +c = 19 ..........(2)

De (1)a = kb = 3k

c = 4k

Reemplazando en (2)

194

k

3

k k =++

k = 12Por tanto:

3

12

3

kbBC ===

4BC =∴ Clave

07. Sobre una línea recta se ubican los pconsecutivos: A, B, C, D y E. Si AC + CE = 44, AE = 25 y DE = Calcular la longitud de AB .


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a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Solución:

A B C D E

a b c d

Del Dato:(*) a + b + b + c + c + d = 44a + 2b +2c + d = 44 ....... (1)

.....25d c baAE =+++= (2).....a2d AB2DE =⇒= (3)

Reemplazando (2) en (1):(a+b+c+d) +b+c=44

25 + b+c=44b+c=19 ......(4)

Reemplazando (4) en (2):a+d+19=25a+d=6 ...... (5)

Reemplazando (3) en (5)a+2a=6

a=2

Luego:

2aAB ==∴ Clave: “B”

08. Sobre una línea recta se ubicanordenadamente los puntos A, B, C, D y E;si AC + BD + CE = 32 y además:

5

AE3BD = . Calcular la longitud de AE .

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

Solución:

A B C D E

a b c d

Del Dato:32CEBDAC =++

32d cc b ba =+++++ 32d c2 b2a =+++ ...... (1)

Además:

( )dcba5

3cb +++=+

d3c3b3a3c5b5 +++=+

)2......(d 3a3c2 b2 +=+ Reemplazando (2) en (1):32d )d 3a3(a =+++

)3........(8d a =+ Reemplazando (3) en (2):

)d a(3c2 b2 +=+ )8(3)c b(2 =+

)4........(12c b =+

Sumando (3) y (4):20d c ba =+++

20AE = Clave: “B”

09. A, C, D y E son puntos colineales yconsecutivos tal que D sea punto medio deCE y AC +AE = 50. Hallar AD.

a) 25 b) 12.5 c) 50d) 20 e) N.a.

Solución:

A

a

C D E

bb

Del enunciado:50AEAC =+

Reemplazando:50 b2aa =++

50) ba(2 =+ 25 ba =+

25 baAD =+=

Clave: “A”

10. A, B y C son puntos colineales yconsecutivos, tales que 7AB =8BC y AC = 45, hallar BC.

a) 25 b) 19 c) 23

d) 21 e) N.a.

Solución:

A B C

a b

Del enunciado, tenemos:

)1........(kb8a7 == )2...(..........45 ba =+

De (1):

8

kb

7

ka =∧=

Reemplazando “a” y “b” en (2):45

8

k

7

k =+

k = 168Luego:

8

168

8

k bBC ===

21BC =∴

Clave: “D”PRÁCTICA DE CLASE

01. AC + BD = 40 cm . Hallar : PQ

A B C D

x

a a b bP Q

a) 5 b) 10 c) 15d) 20 e) 25

02. AB = 60 cm ; BC = 40 cm

AM = MC . Calcular “x”

A M B N

Cx

a) 50 b) 30 c) 20d) 15 e) 5

03. AD = 24 cm , AC = 15 cm ; BD cm. Hallar “x ”

A B C D

x

a) 4 b) 10 c) 12d) 7 e) 8

04. PR + QS = 20 mts QR = 6Calcular : “x”

P Q R Sx

a) 14 b) 11 c) 13d) 10 e) 9

05. 7 PC = 2 PD + 5 PB 2AD + 5AB = 14 mts. Calcular “x”

P A B C D

x

a) 2 b) 7 c) 4d) 8 e) 6

06. AM = 4 mts , OR = 6 mts

1/ AM + 1/AR = 2/ AO . Hallar “x”


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A M O R

x

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

07. CD = AB + BC ; AD = 10 mtsCD/BC = 2/5. Hallar “x”

A B C D

x

a) 3 b) 6 c) 8d) 10 e) 7

08. AC = 3 mts ; AB . AC = )BC AB(2 22 − Calcular “x”

A CB

x

a) 2 b) 5 c) 8d) 3 e) 1,5

09. AM = MD ; AB + CD = 10 mtsBM - MC = 2 mts. calcular “x”

A DB M C

x

a) 7 b) 4 c) 6 d) 9 e) 2

10. AP; AQ /1 AB /2 AP /1 == = 2 mtsBQ = 3 mts. Calcular : “x”

A BP Q

x

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

11. 2

CD AC AB

+= ; 1BD2BD

2−=

Calcular : “x”

A DB C

x

a) 9 b) 1 c) 7d) 2 e) 0,8

12. Los puntos consecutivos A, M, B y Cpertenecen a la misma recta. M es el puntomedio de AC . Hallar MB; si AB – BC =32.

a) 8 b) 32 c) 18d) 16 e) 24

13. En una recta se tienen los puntosconsecutivos A, B, C y D cumpliendo larelación: AD – BD – 2CD = 1. Hallar AD,

si AB = 3 y AC = 5.a) 5 b) 6 c) 8d) 9 e) 7

14.Sean los puntos colineales y consecutivos: A, B, C y D. Calcular “AD” si : AC = 7 ;BD = 9 y BC = 4.

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

15.Se tiene los puntos A, B, C y D, colinealesy consecutivos, tal que AB=4 y AB.BD = AC.CD. Calcular “CD”.

a) 2 b) 22 c) 4

d) 6 e) 8

16.Sobre una recta se tienen los puntosconsecutivos A, B y C de tal manera que :

AC+AB=18 ; si “M” es punto medio deBC . Calcular “AM”.

a) 12 b) 9 c) 8d) 7,5 e) 6

17. Sobre una recta se toman los puntosconsecutivos A, B, C y D tal que “M” espunto medio de AB y “N” es punto mediode CD . Calcular “MN” si AC = 6 yBD = 8.

a) 7 b) 9 c) 12d) 10 e) 5

18.Sobre una recta se toman los puntosconsecutivos A, B, C, y D de manera que AC = 8, BD = 7 y AD = 4BC.Calcular “BC”.

a) 2,5 b) 3 c) 3,5

d) 4 e) 519. Sobre una recta se dan tres puntos

consecutivos M, A y B , tal que AB = 2y MB . MA = 24.Calcular la distancia de “M” al punto mediode AB .

a) 4 b) 5 c) 6d) 8 e) 10

20.Sobre una recta se ubican los puntosconsecutivos A, B, C y D.Siendo CD = 3AB y AD = 3BC = 60.Hallar “AC”.

a) 45 b) 30 c) 15d) 10 e) 20

PROBLEMAS PROPUESTOS

01.Se tiene los puntos colineales A, B, C AC=2BD. Calcular “BC”.

Si: 2AB + 8 = 3BC + 4CD

a) 8 b) 12 c) 9d) 10 e) 11

02.En una recta se toman los pconsecutivos A, B, C, D, E, tal AC+BE = 20 . Hallar BC, si AE=BC+

a) 6 b) 3 c) 4d) 5 e) 8

03.Sobre una recta se dan los pconsecutivos A, B, C. Luego se topunto medio “M” de BC .

Hallar AM, si: AB+AC=14µ.

a) 7µ b) 14µ c) 28µd) 3,5µ e) N.A.

04.Sobre una recta se toman los pconsecutivos A, B, C y D, cumpliéque AC + BD = 10µ y BC=3µ. AD.

a) 6µ b) 7µ c) 8µd) 9µ e) N.A.

05.En una recta se encuentra los pconsecutivos A, B, C, D y cumplsiguiente relación:4AB - BD - 2CD = 4µ ; AB = 3µ ; AC Hallar AD:

a) 5µ b) 6µ c) 7µ


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d) 8µ e) N.a.

06.Sobre una línea recta se marcan los puntosconsecutivos A, B, C y D de modo que AB,BC y CD están en progresión aritmética. Si AD = 27 y CD = AB + 6. Hallar ABa) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 10

07.Tres segmentos tienen sus longitudesproporcionales a los números 5, 8 y 12. Si elmayor tiene 56 unidades más que elmenor, entonces la longitud del segmentoque no es mayor ni menor es:

a) 20 b) 32 c) 64d) 72 e) 86

08.Se tienen los segmentos consecutivos

colineales CDyBC, AB . El primero es elcuádruple del segundo y el tercero es el

doble de AC . Si AD = 30. Hallar ladistancia entre los puntos medios de

CDy AB .

a) 8 b) 12 c) 15d) 16 e) 18

09.En una recta se toman los puntos colineales

O, A, B. Si .m13OBOA =+ Calcular la distancia de “O” al punto mediode AB.

a) 5 b) 6 c) 5,5d) 6,5 e) 7,5

10.En una recta se tienen los puntosconsecutivos A, B, C, D. Si AB = 2CD; BCigual a 5CD y BC = 3m.

Calcular AB .

a) 1,2 b) 6 c) 2,8

d) 1,4 e) 1,6

11.Sobre una recta se toman los puntosconsecutivos A, B y D de modo que AC =CD.Calcular BC, Si: AB = 6m y BD = 14m

a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 412.En una recta se tienen los puntos

consecutivos A, B, C y D de modo que:

3

CD

2

BCB ==A . Si AD = 24m.

Calcular AB.

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

13.Sobre una recta se dan los puntosconsecutivos A, B y C. Hallar AM2 – BM2.Sabiendo que AB x AC = 16 y que M espunto medio de BC.

a) 8 b) 10 c) 12d) 14 e) 16

14. Sobre una recta se toman los puntos A, B,C, D.Calcular AD, si: BC = 6

CD AD

BC AB

;23

CD AB

==

a) 36 b) 38 c) 42d) 56 e) 64

15.En una recta se toman los puntos

consecutivos A, B, C, D, hallar AD, Sí:

4

CD

3

BC

2

AB== y AC = 4 + CD

a) 4 b) 16 c) 27

d) 36 e) 45

TAREA DOMICILIARIA

01. Se tienen los puntos consecutivos: “M” ,“A”, “O” y “B”, siendo “O” punto mediode AB. Calcular OM, sabiendo que

4

AB2+ MA . MB = 81

a) 18m b) 12 c) 6d) 3 e) 9

02. Se tiene los puntos consecutivos “P”, “Q”,“R” y “S” de manera que: PR + QS =20m, si QR = 6m, halle PS

a) 10 b) 12 c) 14d) 16 e) 20

03. Se tiene los puntos consecutivos A, B, C yD; siendo B punto medio de AC. Calcular AB, si:

m22 ADy3

AC

4

BD==

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 12

04. Sobre una recta se ubican los puntosconsecutivos A, B, C, D, y E hallar BE, si:

51 AE,7

DE

5

CD

3

BC

2

AB====

a) 6 b) 9 c) 24d) 36 e) 45

05. Sobre una recta se dan los puntos: C, D de modo que AC = 12m, B15m, BC = CD/2, calcular el valor de

a) 5m b) 6m c) 7md) 8m e) 9m

06. Sobre una recta XX1 se dan los punt A, C, B de tal manera que OA =OB = 15cm y AC CB/2, sedeterminar la longitud OC.a) 8 b) 9 c) 10d) 7 e) 5

07. Sobre una recta se dan los puntos AD, E y F consecutivamente de modoBE = 5/8. AF y AC + BD + CE + D26m. Hallar el valor de AFa) 13cm b) 14 c) 15d) 16 e) 17

08. Sobre una recta se toman los pconsecutivos A, B, C, D y E de tal mque se cumpla:

AB = BC/2 = CD/3 = DE/4.Calcular AE si AC = 6m

a) 20m b) 21 c) 24d) 25 e) 18

09. Sean los puntos colineales y consecL, M, N, P, Q, siendo: 2LM = M

5

1

MQ

LN= .

Hallar LMNQ

a) 12 b) 1/12 c) 13d) 1/13 e) N.a.


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10. Sobre una recta se toman los puntosconsecutivos P, Q y R entre los puntos Q yR se toma un punto H, tal que:

.28PQ4QRy4

HRPH =−=

Hallar QH.

a) 7 b) 5,6 c) 4,8d) 4,5 e) N.a.

Definición: Es la reunión de dos rayos quetienen un punto extremo común, es decirtienen el mismo origen.

Los dos rayos son los lados del ángulo y elpunto extremo común se llama VÉRTICE delángulo.

A

BO

θ

Elementos del ángulo.

1. Lados: OA y OB 2. Vértice: “O”3. Simbología: ∠ AOB, AOB; ∠ AOB

4. Notación: ∠ AOB = OA ∪ OB 5. Medida: m ∠ AOB = θ°

Ángulos congruentes. (≡)

Dos o más ángulos son congruentes si tienenigual medida.

A

BO

∝°

P

QO ∝

POQ AOB ∠≅∠

Bisectriz de un ángulo. La bisectriz de unángulo es el rayo que partiendo del vérticedivide al ángulo en dos ángulos congruentes.

• OX : es bisectriz del ∠ AOB• m∠ AOX =∠ XOB = θ°• ∠ AOX =∠ XOB

A

BO

θ x°

θ °

Clasificación de los ángulos.Los ángulos se clasifican según su medida, deacuerdo a su posición y según suscaracterísticas.

I. SEGÚN SU MEDIDA

1. Ángulo Agudo: Es aquel ángulo cuyamedida es menor que 90° pero mayor que0°.

A

BO

θ °

°∠θ°∠ 90O

2. Ángulo Obtuso: Es aquel ángulo cuyamedida es mayor que 90° pero menor que180°.

A

BO

°α

°∠α°∠ 18090 3. Ángulo Llano o rectilíneo: Es

ángulo cuyos lados son dos opuestos; es decir son colineales medida es 180°.

O

180°

°=∠ 180 AOBm

4. Ángulo Recto: Es aquel ángulo medida es igual a 90°

A

BO

θ

°=θ 90

5. Ángulo Nulo o Perígono: Es ángulo cuya medida se considera ig

0°.

A

BO

°=∠ 0 AOBm

ÁNGULOS


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II. SEGÚN LA POSICIÓN DE SUSLADOS

1. Ángulos adyacentes:Se dice que dos ángulos son adyacentes

cuando tienen el mismo vértice y un ladocomún tal que los lados se encuentren a otroy otro lado del lado común.

BO

θ

lado común

A

C

α

Los ángulos: AOB y BOC son adyacentes(*) dos o más ángulos serán adyacentesconsecutivos cuando cada uno de ellos es

adyacente con su inmediato.

2. Ángulos opuestos por el vértice:Son dos ángulos determinados al trazar dosrectas secantes.

θ

A

B D

C

∠ AOB ≡ ∠ CODm∠ AOB = m ∠ COD

III. SEGÚN SUS CARACTERÍSTICAS.

1. Ángulos adyacentes complementarios: Se dice que dos ángulos son adyacentescomplementarios, cuando tienen el mismo

vértice y cuyos lados tienen el mismo vérticey cuyos lados no comunes forman unángulo recto.

A B

O

θ C

α

Los ángulos AOB y BOC son adyacentescomplementarios.

°=β+α 90 2. Ángulos adyacentes suplementarios:

Se dice que dos ángulos son adyacentessuplementarios, cuando tienen el mismo vértice y cuyos lados tienen el mismo vérticey cuyos lados no comunes forman unángulo recto.

A

B

O

θ

C

α

PROBLEMAS RESUELTOS

01. La diferencia entre el suplemento y elcomplemento del ángulo “α”, es igual a 6 veces el ángulo “α”. Hallar dicho ángulo.

a) 30° b) 90° c) 60°d) 15° e) N.a

SoluciónSea el ángulo “α”Por da:(*) Suplemento = 180 - α (*) Complemento = 90 - α

Planteando la ecuación:(180 - α) - (90° - α) = 6α 90 = 6α

°=α 15

02. Si a un ángulo se le resta su complementoes igual a la cuarta parte de su suplemento.

Hallar dicho ángulo.

a) 80° b) 45° c) 15°d) 60° e) 75°

SoluciónSea el ángulo “α”Luego:α - (90° - α) 1/4 (180 - α)2α - 90 = 1/4 (180 - α)8α - 360 = 180 - α 9α = 540

°=α 60

03. Si a uno de 2 ángulos suplementarios se ledisminuye 35° para agregarle al otro, estenuevo resulta ser 8 veces mayor de lo queera el primero. El menor de los ángulossuplementarios mide:

a) 50° b) 45° c) 125°d) 55° e) N.a.

Solución:Sean los ángulos “α” y “θ”

Por datoα + θ = 180° ............................. (1)

Si se agrega y disminuye 35°, se tiene:

(θ + 35)= 8( α - 35)θ + 35 = 8α - 2808α - θ =315 .............................. (2)

Sumando (1) + (2)

α + θ = 180°8α - θ = 315°

4α = 495°

α = 55θ = 125

Clave:

04.En la figura: OP y OR son bisec

?COB,160RQP ==∧∧

A D

P

B

O

C

R

a) 80° b) 140° c) 100°d) 120° e) N.a.Solución:De la gráfica:

A D

P

B

O

C

R

αα

θ

θ

γ

PQR = 160°α + γ + θ = 160° ......................... (1 Además:α + θ + (α + γ + θ) = 180°

α + θ + 160° = 180°

α + θ = 20° ........... (2Reemplazando (2) en (1)α + θ + γ = 160°

20° + γ = 160°


8/16


γ = 140°Clave: “B”

05. En la figura: AOC = 140, BOD = 120,BOC = ?

A D

CB

O a) 80° b) 50° c) 70°d) 60° e) N.a.

Solución:De la gráfica:

A D

CB

O

αβ

θ

Se tiene, según los datos: AOC = α + β = 140 ..............……. (1)BOD = β + θ = 120 ……………… (2)

Además:α + β+ θ = 180 …………………... (3)Sumando (1) y (2) y reemplazando en (3)β + β + α + θ = 260°

β + 180 = 260

BOC = β = 80

Clave: “A”

06. En la figura: AOC = 150°, BOD = 110°.Calcular: BOC

A D

C B

O

a) 80° b) 90° c) 85°d) 55° e) N.a.

Solución:Del dato tenemos:

AOC = AOB + BOCBOD = COD + BOC

AOC+BOD= AOB+BOC+COD+BOC

Reemplazando:150 + 110 = 180 + BOC

BOC =80Clave: “A”

PRÁCTICA DE CLASE

01.Tres ángulos consecutivos, situados a unmismo lado de una recta están enprogresión aritmética. Calcular los ángulos,si el menor y el mayor están en relación de3 es a 7.

a) 36°, 60°, 84° b) 0°, 60°, 84°c) 60°, 20°, 70° c) 40°, 50°, 80°e) N.a.

02. Cinco ángulos situados alrededor de unpunto están en progresión aritmética.

Calcular el mayor de los ángulos si losmenores están en relación de 4 es a 5.

a) 84° b) 48° c) 96°d) 40° e) N.a.

03. En el siguiente gráfico BD es bisectriz delángulo CBE y la suma de los ángulos ABC + ABE = 86°. ¿ Cuál es el valor delos ángulos ABD?

B

A

C

D

E

a) 45° b) 35° c) 43°d) 48° e) 60°

04. Sabiendo que:

AOBdetrizsecBiOQ → °=→ 48BOCy AOCdetrizsecBiOR

Calcular QOR

O

A

C

R

B

Q

a) 14° b) 24° c) 12°d) 26° e) 10°

05. En el siguiente gráfico:

O

C

D

B

A

AOC + BOC = 100° AOC - BOC = 40°

DOBHallar. AOCdetrizsecBiOD→

a) 8° b) 6° c) 5°d) 15° e) 10°

06.Se tiene tres ángulos consecutivos BOC y COD de tal manera qubisectrices de los ángulos AOB y CODperpendiculares y el ángulo BOD midCalcular la m ∠ AOC.

a) 100° b) 50° c) 70°d) 80° e) N.A

07.Si los puntos A, O y B es una recta, Obisectriz del ángulo AOM

7

5

QOBm

QONm=

∠

∠ . Hallar la medida

ángulo NOB.

A B

N

M

O

a) 18° b) 25° c) 30°d) 45° e) 60°


9/16


08.En la figura, calcular la medida del ánguloformando por la bisectriz del ángulo AOB yCOD.

A DO

B

C

120°

70°

120

a) 85° b) 90° c) 95°d) 100° e) 105°

09.En la figura si: medida del ángulo

BON= 20° ON bisectriz del ángulo AOQ.

OM bisectriz del ángulo AOP. Calcular “x”

P QO

C

x°

x°

A

a) 51° b) 52° c) 53°d) 54° e) 55°

10.Se tienen los ángulos adyacentes

suplementarios AOB y BOC . Si OM esbisectriz del ángulo AOB. Calcular lamedida del ángulo BOM. Siendo ademásm∠ BOC - m∠ AOB = 40°.

a) 40° b) 20° c) 10°d) 30° e) 35°

11.De que ángulo se debe restar sucomplemento para obtener 10°.

a) 30° b) 40° c) 50°d) 60° e) 70°

12.Si el suplemento del suplemento delsuplemento de la medida de un ángulo sela añade el complemento del complementodel complemento del doble de la medidade dicho ángulo, se obtiene el triple de lamedida del ángulo mencionado. Calculardicho ángulo.

a) 60° b) 45° c) 30°d) 55° e) 50°

13.Se tiene los ángulos consecutivos AOB,

BOC y COD. Se trazan las bisectrices OP y

OQ de los ángulos AOB y COD

respectivamente. Si m ∠ POQ = 70° ym∠ BOD = 120°. Hallar la medida delángulo AOC.

a) 60° b) 20° c) 40°d) 50° e) 30°

14.Dados los ángulos consecutivos M Oˆ N y

QOˆ

N , OX es bisectriz del NÔM , OY , es

bisectriz del QÔN , OZ es bisectriz del

YÔX . Si m∠ NOQ - m ∠ MON = 60°.Calcular m∠ NOZ:

a) 20° b) 15° c) 30°

d) 25° e) N.a

15.Sabiendo que los ángulos superpuestos

BÔ A y CÔ A son complementarios, siendo

OX , bisectriz del ángulo BOC, entonces elángulo AOX mide:

a) 30° b) 37° c) 60°d) 53° e) 45°

16.De la figura: Hallar “x”:

x

2x

a) 30° b) 60° c) 45°d) 53° e) 36°

17. Se tiene los ángulos consecutivos AOBBOC y COD tal que OC es bisectriz delángulo BOD; además se cumple:m AOB +m AOD = 100. Hallar m AOC

a) 100° b) 80° c) 50°d) 60° e) 40°

18. Se tienen los ángulos consecutivos AOB yBOC; el primero es mayor que el segundoen 40°. Se traza la bisectriz OX del ángulo AOC. Calcular la m BOX.

a) 40° b) 50° c) 80°d) 20° e) 70°

19.Sobre una línea se tiene cinco ángulosconsecutivos, los cuales se encuentran enprogresión aritmética. Si el mayor de losángulos excede al menor en 20°. Hallar elmenor de dichos ángulos.

a) 20° b) 50° c) 36°d) 40° e) 70°

20. Hallar “x”. Si: m AOD = 220BOD=230°, m AOC = 240.

a) 10° b) 20° c) 30°d) 40° e) 50°


01. Encontrar la mitad de la tercera parcomplemento del suplemento de un áque mide 96°.

a) 1° b) 2° c) 3°d) 4° e) N.a.

02. Si a un ángulo se le resta su complemes igual a la cuarta parte de su suplemcalcular dicho ángulo.

a) 80° b) 45° c) 15°d) 60° e) N.a.

03. Dados los ángulos consecutivos AOB,y COD, calcular la suma de AOC y Bel ángulo formado por las bisectrice AOB y Cod es de 90°

a) 150° b) 135° c) 160°d) 180° e) N.a.

04. La diferencia de dos ángulos adyacen90. ¿Cuál s la diferencia de los ánformados por sus bisectrices?

a) 40° b) 50° c) 45°d) 30° e) N.a.

05. Hallar “x” en la figura, si POQ = 100.


10/16


x° α

αβ

β

A

R

X

B

P

Y

a) 50° b) 40° c) 30°

d) 20° e) N.a.

06. En la figura:OB bisectriz de AOEOC bisectriz de BOEOC bisectriz de COESi BOD = 36. Hallar AOE

A

C

E

B

D

a) 96° b) 72° c) 48°d) 24° e) N.a.

07. En la figura AOC y BOC sonsuplementarios. AOB = 80. Hallar AOC.

A

C

O

B

a) 100° b) 110° c) 120°d) 130° e) N.a.

08. La suma del complemento de un ángulo“α” con el suplemento de un ángulo doblees igual a 3/2 del complemento de unángulo “β” y α - β = 24°. Calcular elcomplemento del ángulo de “α”.

a) 36° b) 18° c) 24°d) 45° e) 38°

09.En la figura AOM = BOXBON = 22.BOX = ?ON es bisectriz de AOX

OM es bisectriz de AOX

α

α

A

B

X

M

OX'

N

a) 28° b) 14° c) 56°d) 95° e) 69°

10.Calcular la medida de un ángulo, sabiendoque su complemento es a su suplementocomo 1 es a 10.a) 80° b) 75° c) 70°

d) 95° e) 69°

11. Se tienen tres ángulos consecutivos, AOB,BOC y COD de tal manera que lasbisectrices de los ángulos AOB y COD sonperpendiculares y el ángulo BOd mide 80°.Calcular la m ADC.

a) 100° b) 50° c) 70°d) 80° e) N.a.

12. Si los puntos A, O y B están en una recta,OQ es bisectriz del ángulo AOM y

75

QOBmQONm =

∠

∠ . Hallar la medida del

ángulo NOB.

Q

B

M

O A

N

a) 18° b) 25° c) 30°d) 45° e) 60°

13. En la figura la medida del ángulo formadopor la bisectriz del ángulo AOB y COD.

B

B

C

O A

70°

120°

a) 85° b) 90° c) 95°d) 100° e) 105°

14. En la figura si: m BON = 20°. ON bisectrizdel ángulo AOQ, OM bisectriz del ángulo AOP. Calcular “x”

QP

M

O

A

Nx°

x°

B

a) 51° b) 52° c) 53°d) 54° e) 55°

15. Se tienen los ángulos adyacentes

suplementarios AOB y BOC. Si OM esbisectriz del ángulo AOB. Calcular lamedida del ángulo BOM, siendo ademásm BOC - m AOB = 40°

a) 40° b) 20° c) 10°

d) 30° e) 35°

TAREA DOMICILIARIA

01. Se tiene los ángulos consecutivossuplementarios AOB y BOc que sediferencian en 38°. Calcular la medidaángulo formado por la bisectriz del án AOC y el rayo OB.

a) 76° b) 38° c) 20°d) 19° e) 24°

02. Hallar “x”

x°

30°

a) 30° b) 60° c) 70°d) 50° e) 25°

03. Se tiene los ángulos consecutivos ABOC y COD, siendo 2(AOB) = 3(C AOC = 92° y BOD = 76°. Halmedida de BOC.

a) 24° b) 16° c) 54°d) 44° e) 64°

04. El doble de la medida de un ánguigual al triple de la media dcomplemento. Hallar la medida del án

a) 54° b) 36° c) 44|d) 27° e) 58°

05. Si a la medida de un ángulo se le restgrados mas que a la tercera parte dcomplemento, resulta un cuarto


11/16


RECT S P R LEL S

suplemento del ángulo, disminuido en ungrado. ¿Cuánto mide dicho ángulo?

a) 45° b) 46° c) 44°d) 48° e) 38°

06. Alrededor de un punto O, en sentidohorario, en forma consecutiva se trazan los

rayos ODyOC,OB, AO , siendo

ODOCyOBOA ⊥⊥ . Hallar la medidadel ángulo que forman las bisectrices de AOC y BOD.

a) 135° b) 45° c) 120°d) 150° e) 90°

07. Se tiene los ángulos consecutivos: AOB,BOC y COd de tal modo que AOD = 100°y BOC = 60°. Calcular el ángulo que

forman las bisectrices de los ángulos AOB yCOD.

a) 60° b) 70° c) 80°d) 90° e) 85°

08. Sean los ángulos AOB y BOC adyacentes,suplementarios d modo que BOC - AOB =44°. Se trazan:OX: Bisectriz del ángulo BOCOY: Bisectriz del ángulo AOXOZ: Bisectriz del ángulo XOYHallar el suplemento del complemento dela medida del ángulo BOZ.

a) 24° b) 24° 30’ c) 25°d) 27° 30’ e) 115°

09. Los rayos OEyOD,OC,OB,OA y seencuentran ubicados en un mismo plano

de modo que la bisectriz del ángulo OX delángulo AOB es perpendicular a la bisectrizOD del ángulo BOE. Si XOE = 160°.Calcular el complemento del ángulo BOD

a) 70° b) 40° c) 140°d) 30° e) 20°

10. La tercera parte de la mitad del suplementode la medida de un ángulo excede de 2 alos 3/5 del complemento de la medida delmismo ángulo.

a) 60° b) 30° c) 10°d) 120° e) 45°

Ángulos formados por dos rectas paralelas.

Si L1 // L2

a b

d c

n

pqm

L

L

Entonces:1. ∠ Internos ......................................

.......................................................

.......................................................

.......................................................

2. ∠ Externos ..........................................................................................................................................................................................................

Internos ...................................................................

3. ∠ Alternos Externos .................................................................

Internos .......................................................

4. ∠ Conjugados Externos .........................................................

5. ∠ Correspondientes .............................................................................................................................................................................................

Practica de Clase:

01. En la figura, L1 // L2 y α + β = 160°.Hallar θ


12/16


L

L

1

2

α

β

θ

a) 35° b) 40° c) 50°d) 55° e) 80°

02. Hallar el ángulo en la figura, si L1 // L2

L

L

1

2

α

x

3x/2

a) 144° b) 154° c) 134°d) 136° e) 146°

03. Si ' YY //'XX .Hallar β - α.

α

X

β

X'100°100°

Y'38°

a) 72° b) 32° c) 10°d) -32° e) -10°

04. En la figura, DE;EF // AB es

perpendicular a AC y α y β son entre si

como 2 es a 7. Hallar β - α

α

A

β

B

CD

E F a) 100° b) 80° c) 0

d) 60° e) 40°

05. En la figura ' YY //'XX . Hallar ∧

x

X X'

Y Y'

α

α

x

30°

30°

a) 30° b) 60° c) 90°d) 120° e) 150°

06. En la figura mostrada ' YY //'XX .

Determinar α + β

X X'

Y Y'

α

35°

β

120°

150°

a) 175° b) 185° c) 65°d) 155° e) 95°

07. En la figura ' YY //'XX y ABCD es un

cuadrado. Hallar el ángulo α.

X X'

Y Y'α

120°

A

B

C

D

a) 60° b) 30° c) 45°d) 15° e) N.a.

08. En la figura L1 // L2. Hallar la medida de

DE ADyBC ADsiFED ⊥⊥∧

L1α A

C x40°

B

D

EF

α

L2

a) 15° b) 10° c) 25°d) 30° e) 40°

09. En la figura L1 // L2 y L3 // L4. Calcular x/y

L1

140°

L2

L3 L4

60°y

x

a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4d) 1/4 e) 1/3

10. En la figura: L1 // L2. Clacular la medida

del ángulo∧

x sabiendo que: α - β = 160°

L1

L2

α

β

x

a) 35° b) 40° c) 50°d) 39° e) 50°

11. En la figura L1 // L2. Si el triángulo ABCes equilátero, hallar α + β

L1

L2α

β

A

B

C

a)240° b) 180° c) 210d) 120° e) 300°

12. En la figura, hallar “a”. Si L1 // L2

L1

L2

2x

3xx

a

a

a) 15° b) 45° c) 30°d) 50° e) 60°

13. En la figura adjunta EFyCD, AB son

paralelas, BEF∧

= 65° y DBE∧

= 15

entonces BDC∧

es igual a:

A B

x

C D

E F

a) 110° b) 145° c) 30°d) 50° e) 60°

14. En la figura, determinar el suplemenb, si se sabe que L1 // L2 y además 4= 30°


13/16


L1

L2 a

b

4a

a)90° b) 105° c) 120°d) 135° e) 130°

15. Del gráfico, calculae el valor de “x”. Si L1 // L2:

L1

L2

α

x

α

5

3 α4

a) 10° b) 50° c) 70°d) 80° e) N.a.

16. Si L1 // L2. Hallar:3

)xy( −

L1

L2

y

35°

30°

x

a) 5 b) 6 c) 7d) 10 e) N.a.

17. En la figura mostrada, L1 // L2. Calcular“x”

L1

L2

3

2n

n

α α

β

βθ

θ

x

mm

a) 100° b) 135° c) 140°d) 180° e) 200°

18 En la figura, calcular “x”. Si L1 // L2

L1

L2

3

α

αβ

β

x w

wx

a) 36° b) 40° c) 50°

d) 20° e) N.a.19. Según el gráfico, L1 // L2. Calcular el

valor de “x”:

L1

L2

ααθ

x

θ

130°

a) 10° b) 15| c) 20°d) 30° e) N.a.

20. Si L1 // L2, hallar “x”:

L1

L2

x°

x°

8x°

a) 45° b) 20° c) 30°d) 25° e) 18°


01. Si L1 // L2. Hallar “x”

L1

L2

2x

3x

x°

a) 15° b) 18° c) 12°d) 20° e) 30°

02. Si L1 // L2. Hallar “x”, Si a° + b° + c° +d° = 140°

L1

L2

b

a

x°

c

d

a) 30° b) 40°d) 60° e) 70°

03. Hallar “x” si L1 // L2

L1

L2

b

x°

aa

b

a) 60° b) 75°d) 135° e) N.a.

04. Si L1 // L2, hallar “x”

L1

L2a

x°

2a

110°

a) 40° b) 60°d) 100° e) N.a.


14/16


05. Si L1 // L2. Hallar “x”. Si a° + b° + c° +d° = 122°

L1

L2

c

a

x°

b

d

a) 41° b) 51° c) 60°d) 61° e) 71°

06. Hallar “x”, si L1 // L2

L1

L2

x°

θ

30°

40°

θ

a) 120° b) 100° c) 80°d) 110° e) 150°

07. Si L1 // L2. Hallar “x”:

L1

L2

2x

4x

a) 15° b) 20° c) 30°d) 45° e) 60°

08. En la figura AB, Cd y EF so paralelas m∠ FEB = 65°, m∠ EBD = 15°. Entoncesm∠ CDB

A B

C D

E F

a) 125° b) 130° c) 115°d) 145° e) 135°

09. Hallar”x”, si L1 // L2

L1

L2

2

2

α

θθ

α

x

a) 30° b) 45° c) 60°d) 80° e) 90°

10. Si L1 // L2. Hallar “x”

L1

L2 4x7x

3x

2x

x

a) 12° b) 10| c) 9°

d) 15° e) 18°

11. En la figura L1 // L2. Hallar “x”:

L1

L2

13α

6α

2α

a) 10° b) 15° c) 12°d) 18° e) 13°

12. En la figura Ab.BC. Hallar el ángulo “x”en función de “α”, si FG // AC.

A

B C

F

G

x

a) 90° + α / 2 b) 180° − α c) 90° + 2α d) 180° - α / 2 e) 90° + 3α / 2

13. Hallar el valor del ángulo “x”. Si COF∧

= α / 3. L1 // L2 y L3 // L4

L1

L2

α2β α

L3

L4

F

G

O

a) 45° b) 45° c) 270d) 30° e) 180° - 2

14. Calcular el valor de α (L1 // L2)

L1

L2

θ

θ

α

5α

a) 12°30’ b) 15° c) 13°d) 10° e) 8°

15. En la figura mostrada. Calcular “x”, // L2

L1

L2

60°

80°

x

αα

a) 64° b) 168° c) 166d) 170° e) 172°

TAREA DOMICILIARIA

01. Si L1 // L2 que se cumple


15/16


L1

L2

3ba

a3b n

m

a) m - n b) m + n = 90c) m + 2n = 90 d) m = 2ne) 2m = n

02. Hallar θ L1 // L2

L1

L2

45

α + 15φ

α + 30

2φ

θ

a) 2° b) 5° c) 10°d) 15° e) N.a.

03. AB //EF . Calcular α

F

AB

E

40°

α

a) 2° b) 5° c) 10°

d) 15° e) N.a.

04. Si: m // n. Calcular θ°

F

A

θ

θ

θ

80°

a) 80° / 3 b) 50° / 3 c) 80°d) 50° e) N.a.

05. En la figura calcular “x”, si: α +θ = 270 ym // n

θ

m

α

x

a) 45° b) 60° c) 37°d) 90° e) N.a.

06. Si: L1 // L2 y α + θ = 300°Calcular:

L

θ

x

1

L 2

α

a) 10° b) 20° c) 30°d) 41° e) N.a.

07. Si: α − θ = 6 y m // n.Calcular “x”

m

n

x

α

θ

a) 84° b) 50° c) 37°d) 45° e) 90°

08. En la figura L1 // L2.Calcular “x”

L

L

x + 2

x

145°

x

2

2

1

2

a) 30° b) 33° c) 40°d) 43° e) N.a.

09. Si: α + θ = 260 y L1 // L2// L3.Calcular “x”

L

L

1

2

L3

α

β

β

x

θ

a) 20° b) 30° c) 50°d) 58° e) N.a.

10. Hallar “α”L1 // L2

L

L

1

2

α

2α

3α

7α

4α

a)10° b) 20° c) 30°d) 50° e) N.a.


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geometria ejercicios del primer bimestre de matematica de tercero de secundaria

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