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GEOMETRIA DE POSIÇÃO
Matemática
Dorta
CONCEITOS PRIMITIVOS
As noções geométricas, em geral, são estabelecidas através de definições. Em particular, as
primeiras noções, os conceitos primitivos da Geometria, são
adotados sem definição.
ADOTAREMOS SEM DEFINIR OS CONCEITOS DE PONTO, RETA E
PLANO.
Ponto (representado por letra maiúscula)
Reta (representações usuais: letra minúscula ou da outra forma indicada
abaixo)
rAB
Plano (representado normalmente por uma letra
grega minúscula)
GEOMETRIA DE POSIÇÃO
No plano: estudo das posições relativas de pontos e retas de um mesmo plano;
Espacial: estudo das posições relativas de pontos, retas e planos do espaço.
PROPOSIÇÕES PRIMITIVAS
As proposições (propriedades) geométricas são aceitas
mediante demonstrações. Em particular, as proposições
primitivas ou postulados ou axiomas são aceitos sem
demonstração.
Postulados da existência
Da reta;
Do plano.
Postulado da existência da reta
Numa reta, bem como fora dela,
existem infinitos pontos.
rC
rB
rA
Postulado da existência do plano
Num plano, bem como fora dele,
existem infinitos pontos.
B
A
Postulados da determinação
Da reta
Do plano
Postulado da determinação da reta
Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.
r
rB
rA
AB
Postulado da determinação do
plano
três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles.
ABC
Postulado da Inclusão
Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então a reta está contida
neste mesmo plano.
r)r AB e , ,( BABA
Postulado da intersecção
Se dois planos distintos tem um
ponto comum, então a intersecção
desses planos é uma única reta que passa por aquele
ponto.
Observação: Postulado da intersecção
reta. uma é e secantes planos os entre ointersecçãA
secantes. chamados são caso nesse , e planos Os
Postulados de separação
Da reta
Do plano
Do espaço
Postulado de separação da reta
Um ponto O de uma reta r divide-a em duas semi-retas de origem O.
opostas. retas-semi são mas
O, ponto no comum origem temOB e OA retas-semi As
Postulado de separação do plano
Uma reta r de um plano alpha divide-o em dois semiplanos de origem r.
r. reta a relação em
opostos, semiplanos são e
r
21
2
1
r1 2
Postulado de separação do espaço
Um plano alpha separa o espaço em dois semi-espaços de origem alpha.
2
1
21
. plano ao relação em
opostos, espaços-semi são e
E
E
EE
Posições Relativas
De ponto e reta; De ponto e plano; De uma reta e um plano; De duas retas no espaço; De dois planos no espaço.
Posição Relativa de ponto e reta
Dado um ponto P e uma reta r, temos:
rPou r P
rC
r B
rA
:exemplo No
Posição Relativa de ponto e plano
Dado um ponto P e um plano α, temos:
Pou P
B
A
:exemplo No
Posição Relativa de uma reta e um plano
Posição Relativa de uma reta e um plano
Posição Relativa de uma reta e um plano
Posição Relativa de duas retas no espaço
duas ou mais retas são coplanares quando existe um plano que contém todas elas.
retas coplanares que não tem ponto comum são chamadas de retas paralelas distintas.
retas coplanares que têm um único ponto comum são chamadas de retas concorrentes.
dadas duas retas, quando não existe um plano que contém as duas, elas são chamadas de retas reversas (ou não coplanares).
Posição Relativa de duas retas no espaço: resumo
coplanares paralelas
Distintas concorrentes: perpendiculares ou não
reversas: ortogonais ou não
Coincidentes (paralelas iguais)
Posição Relativa de dois planos no espaço
dois planos que não têm ponto comum são chamados planos paralelos distintos
Posição Relativa de dois planos no espaço
dois planos distintos que têm uma reta comum são chamados planos secantes.
Posição Relativa de dois planos no espaço: resumo
iguais). (paralelos escoincident planos
secantes.
paralelos. distintos planos
EXERCÍCIOS – AULA 30
EXERCÍCIO 1
Assinale a alternativa correta:
EXERCÍCIO 1
a) Se duas retas não tem ponto em comum, então elas são reversas.
RESPOSTA: Falso. Podem ser paralelas distintas.
EXERCÍCIO 1
b) Duas retas que formam ângulo reto são perpendiculares.
RESPOSTA: Falso. Podem ser ortogonais (reversas
+ ângulo reto).
OBSERVAÇÃO: RETAS REVERSAS
Duas retas são denominadas reversas se, e somente se, não existe um plano que as contém. Se as retas reversas formam um ângulo reto, então elas são ortogonais.
EXERCÍCIO 1
c) Três pontos distintos determinam um plano.
RESPOSTA: Falso. Além de distintos devem ser não colineares, para determinar um plano.
EXERCÍCIO 1 d) Duas retas
perpendiculares a uma terceira são paralelas entre si.
RESPOSTA: Falso, não necessariamente. No exemplo, s e t são perpendiculares r, mas não são paralelas entre si.
EXERCÍCIO 1
e) Duas retas ortogonais formam ângulo reto.
RESPOSTA: Verdadeiro. Ortogonais = reversas +
ângulo reto.
EXERCÍCIOS – AULA 30
EXERCÍCIO 2
A figura representa um cubo ABCDEFGH.
Assinale a alternativa falsa.
EXERCÍCIO 2
a) As retas BC e FG são paralelas.
RESPOSTA: Verdadeiro
EXERCÍCIO 2
b) As retas AC e CH são concorrentes.
RESPOSTA:
Verdadeiro. As retas se interceptam no ponto C.
EXERCÍCIO 2 c) As retas BC e HG são ortogonais. RESPOSTA: Verdadeiro. As retas são reversas e é possível
perceber o ângulo reto pela perspectiva proporcionada pela segunda figura da esquerda para direita
EXERCÍCIO 2 d) As retas AC e BD são perpendiculares. RESPOSTA: Verdadeiro. Como estas retas são as diagonais de
uma das faces de um cubo, que é um quadrado, elas se interceptam formando um ângulo reto. Observe na perspectiva da figura 2.
EXERCÍCIO 2
e) As retas AB e CH são concorrentes. RESPOSTA: Falso. Observe nas figuras, que as
referidas retas não se interceptam.
EXERCÍCIOS – AULA 31
EXERCÍCIO 1
Considere o cubo representado na figura:
Assinale a alternativa falsa.
EXERCÍCIO 1
a) A reta GB é secante ao plano ADC.
RESPOSTA: Verdadeiro.
EXERCÍCIO 1 b) A reta DB está contida no plano ABC.
RESPOSTA: Verdadeiro.
EXERCÍCIO 1 c) A reta EG é paralela ao plano ABC.
RESPOSTA: Verdadeiro.
EXERCÍCIO 1
d) A reta AF é paralela ao plano HGC.
RESPOSTA: Verdadeiro.
EXERCÍCIO 1
e) As retas EG e DB são paralelas
RESPOSTA: Falso. São reversas.
EXERCÍCIOS – AULA 31
EXERCÍCIO 2
Considere as proposições seguintes:
EXERCÍCIO 2
I. Se duas retas são paralelas a um mesmo plano, então elas são paralelas entre si.
RESPOSTA: Falso.
es.concorrent são s er
)(//
)(//
ABCplanos
ABCplanor
EXERCÍCIO 2
II. Dois planos secantes tem como intersecção uma reta.
RESPOSTA: Verdadeiro
EXERCÍCIO 2 III. Dois planos paralelos não tem ponto em comum.
RESPOSTA: Falso, podem ser coincidentes.
EXERCÍCIO 2
IV.
paralelas. retas são esintersecçõ as
então , umplanopor dosintercepta são
distintos paralelos e planos dois Se
BCFG //
Então,
(FGC) plano
(EFG) plano
(ABC) plano
Se
Verdadeiro :Resposta
EXERCÍCIOS – AULA 32
EXERCÍCIO 1
Considere o cubo representado na figura:
Assinale a alternativa falsa.
EXERCÍCIO 1
a) A reta FB é perpendicular ao plano ADC.
RESPOSTA: Verdadeiro.
EXERCÍCIO 1
b) A reta BC é perpendicular ao plano DHG.
RESPOSTA: Verdadeiro.
EXERCÍCIO 1
c) As retas FB e DB são perpendiculares.
RESPOSTA: Verdadeiro, observe as figuras em perspectivas diferentes.
EXERCÍCIO 1
d) As retas BC e HC são perpendiculares.
RESPOSTA: Verdadeiro, observe as figuras em perspectivas diferentes.
EXERCÍCIO 1
e) A reta FD é perpendicular ao plano ABC.
RESPOSTA: Falso.