geometri: areal

Geometri: Areal

Fladefigurer og deres arealerSammensatte fladefigurer

Specielle fladefigurer Fladefigurer i koordinatsystemet

Figurer og deres arealer

Der er kun to forskellige ”enkle” fladefigurer: cirkler og n-kanter (polygoner): trekanter, firkanter, femkanter, sekskanter, osv.

Man kan finde både omkreds og areal af fladefigurer.

Sammensatte fladefigurer består af flere enkle figurer, der er sat sammen, f.eks. en halv cirkel sat sammen med et kvadrat, en trekant eller lign.

Arealet af en cirkel:

A = ·r2, hvor r er cirklens radius.

r

Cirklen

Cirklen



Omkredsen af en cirkel:

O = 2··r (læses og huskes som “2, pi, r” = “2 piger”)

r

Cirklen



Omkredsen af en cirkel:

O = 2··r (læses og huskes som “2, pi, r” = “2 piger”)

Omkredsen kan også findes som:

O = ·d, hvor d er cirklens diameter

d

Firkanter

En firkant har 4 sider og dermed også 4 vinkler mellem siderne…

Firkanten kan være konveks (ingen vinkler over 180o – som den sorte firkant til højre)

Firkanter

En firkant har 4 sider og dermed også 4 vinkler mellem siderne…

Firkanten kan være konveks (ingen vinkler over 180o – som den sorte firkant til højre)

… eller konkav (én vinkel større end 180o – som den røde firkant)

Firkanter

Der er 5 specielle former for firkanter:

1. Trapez- har 2 sider, der er parallelle

Firkanter


1. Trapez- har 2 sider, der er parallelle2. Parallellogram- har 2 par parallelle sider

Firkanter


1. Trapez- har 2 sider, der er parallelle2. Parallellogram- har 2 par parallelle sider3a. Rektangel- har 4 rette vinkler

Firkanter


1. Trapez- har 2 sider, der er parallelle2. Parallellogram- har 2 par parallelle sider3a. Rektangel- har 4 rette vinkler3b. Rombe- har 4 lige lange sider

Firkanter


1. Trapez- har 2 sider, der er parallelle2. Parallellogram- har 2 par parallelle sider3a. Rektangel- har 4 rette vinkler3b. Rombe- har 4 lige lange sider4. Kvadrat- har 4 rette vinkler og 4 lige lange sider

Firkanter


1. Trapez- har 2 sider, der er parallelle2. Parallellogram- har 2 par parallelle sider3. Rektangel- har 4 rette vinkler4. Rombe- har 4 lige lange sider5. Kvadrat- har 4 rette vinkler og 4 lige lange sider

1

2

34

5

Firkanter

s

s

A = s2

Firkanternes arealer:

Kvadrat

Areal:A = s·s = s2

Firkanter


Kvadrat

Areal:A = s2

Omkreds:O = 4·s

s

s

O = 4·s

Firkanter


Rhombe

D er den lange diagonal, d er den korte diagonal.

D

d

Firkanter


Rhombe


Areal:

D

d2

A = 2D·d

Firkanter


Rhombe


Areal:

D

d

A = 2D·d A = 2

D·d

Firkanter


Rektangel

Areal:A = g·h

A = g · h

g (grundlinie)

h (højde)

Firkanter


Rektangel

Areal:A = g·h

A = g · h

g (grundlinie)

h (højde)

I stedet for begreberne grundlinie og højde bruges ofte begreberne længde og bredde.Areal = længde · bredde

Firkanter

h (højde)

g (grundlinie)


Rektangel

Areal:A = g·h

Omkreds:O = g+h+g+hO = 2·(g + h)

O = 2·(g + h)

Firkanter


Parallellogram

h er højden mellem de 2 parallelle sider, g er grundlinien.

h

g

Firkanter

h

g


Parallellogram

h er højden mellem de 2 parallelle sider, g er grundlinien.Ved at flytte den viste tre-kant, får vi et rektangel.

Firkanter


Parallellogram


g

h

Firkanter


Parallellogram


Areal:A = g·h

g

h

Firkanter

h

g


Parallellogram

h er højden mellem de 2 parallelle sider, g er grundlinien.

Areal:A = g·h

Firkanter


Trapez

h er højden mellem de 2 parallelle sider, a og b er længderne af de parallelle sider.

h

b

a

Firkanter


Trapez

h er højden mellem de 2 parallelle sider, a og b er længderne af de parallelle sider.For at finde arealet af trapezet, bruges følgende opskrift:

h

b

a

Firkanter


Trapez

h er højden mellem de 2 parallelle sider, a og b er længderne af de parallelle sider.For at finde arealet af trapezet, bruges følgende opskrift:1. Tegn linien præcis midt mel-lem siderne a og b h

b

a

Firkanter


Trapez

h er højden mellem de 2 parallelle sider, a og b er længderne af de parallelle sider.For at finde arealet af trapezet, bruges følgende opskrift:1. Tegn linien præcis midt mel-lem siderne a og bDenne linie har længden:

h

b

a

g = 2a+b

Firkanter


Trapez

h er højden mellem de 2 parallelle sider, a og b er længderne af de parallelle sider.For at finde arealet af trapezet, bruges følgende opskrift:2. Flyt trekanterne som vist:

h

b

a

Firkanter


Trapez

h er højden mellem de 2 parallelle sider, a og b er længderne af de parallelle sider.For at finde arealet af trapezet, bruges følgende opskrift:2.– og derved dannes igen et rektangel.Højden: h – ogGrundlinien:

h

g = 2a+b

g = 2a+b

Firkanter


Trapez

h er højden mellem de 2 parallelle sider, a og b er længderne af de parallelle sider.For at finde arealet af trapezet, bruges følgende opskrift:3. Arealet er igen g·h, altså:

hA = 2

a+b

g = 2a+b

· h

Firkanter


Trapez

h er højden mellem de 2 parallelle sider, a og b er længderne af de parallelle sider.

A = 2a+b · h

h

b

a

Trekanter

Arealet af en trekant:h er højden, g er grundlinien.

h

g

Trekanter

Arealet af en trekant:h er højden, g er grundlinien.En trekant er nøjagtig halvt så stor som det rektangel, der har samme højde og grundlinie:

Trekanter

Arealet af en trekant:h er højden, g er grundlinien.En trekant er nøjagtig halvt så stor som det rektangel, der har samme højde og grundlinie:A1 = A2…

A1

A2

Trekanter

A1

A2

Arealet af en trekant:h er højden, g er grundlinien.En trekant er nøjagtig halvt så stor som det rektangel, der har samme højde og grundlinie:A1 = A2… og

Trekanter

A3

A4

Arealet af en trekant:h er højden, g er grundlinien.En trekant er nøjagtig halvt så stor som det rektangel, der har samme højde og grundlinie:A1 = A2… ogA3 = A4

Trekanter

Arealet af en trekant:h er højden, g er grundlinien.En trekant er nøjagtig halvt så stor som det rektangel, der har samme højde og grundlinie:A1 = A2… ogA3 = A4

Derfor er arealet: h

g

A = 2h·g

Trekanter


h

g

A = 2h·g

Trekanter


Hvis trekanten er retvinklet,kan den ene katete brugessom højde, mens den anden katete er grundlinie.

h

g

A = 2h·g

n-kanter

Arealet af en n-kant (polygon)- kan altid findes ved at dele figuren op i trekanter:

F.eks. kan en 6-kant opdeles i 4 trekanter:

n-kanter


F.eks. kan en 6-kant opdeles i 4 trekanter (og arealet findes som summen af de 4 trekanters arealer):

n-kanter


… og en 8-kant opdeles i 6 trekanter,

n-kanter


… og en 8-kant opdeles i 6 trekanter, osv…

Sammensatte figurer

Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår!

Der er alle mulige tænkelige eksempler på sammensatte figurer.

På de følgende sider ses 3 eksempler.

Sammensatte figurer

Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår:

1) Kvadrat + halv cirkel:

s

s

Sammensatte figurer



Kvadratet: A =

s

s

s2

Sammensatte figurer



Kvadratet: A =

Halv cirkel: A =

s

s

·( ·s)2

221

s2

Sammensatte figurer



Kvadratet: A =

Halv cirkel: A =

I alt: A = +s

s

·( ·s)2

221

s2

s2·( ·s)2

221

Sammensatte figurer


2) En husgavl bestående af 2 trapezer:

a

bc

d

Sammensatte figurer



Venstre trapez: A =

a

bc

d

2a+c

·2d

Sammensatte figurer



Venstre trapez: A =

Højre trapez: A =

a

bc

d

2a+c

·2d

2c+b

·2d

Sammensatte figurer



Venstre trapez: A =

Højre trapez: A =

I alt: A = +

a

bc

d

2a+c

·2d

2c+b

·2d

2a+c

·2d

2c+b

·2d

Sammensatte figurer


3) Rektangel + kvart cirkel:

h

g

Sammensatte figurer



Rektanglet: A = g·h

h

g

Sammensatte figurer




Kvart cirkel: A = h

g

·g2

4

Sammensatte figurer




Kvart cirkel: A =

I alt: A = g·h +

h

g

·g2

4

·g2

4

Specielle figurer

Specielle figurer, der tager udgangspunkt i en cirkel:

Cirkelring:

Arealet findes som forskellen mellem de 2 cirklers arealer:

eller

R

r

A = ·(R2 - r2)

A = ·R2 - · r2

Specielle figurer


Cirkeludsnit:

- hvor v er cirkeludsnittets størrelse i grader.

Arealet findes som:R

v

A = ·R2 ·v

360

Specielle figurer


Ellipse (oval):

- hvor a er den halve lilleakse og b den halve storeakse.

Arealet findes som:

A = ·a·b

a

b

Specielle figurer

Specielle figurer, der tager udgangspunkt i en trekant:

Ligesidet trekant:

- alle 3 sider lige lange.

Højden kan beregnes ved Pythagoras til:

h

s

h = · s23√

= · s2

43√

A = ·h·g21

s s

Areal i koordinatsystemet

C

A

B

Når man skal udregne arealet af en figur i et koordinatsystem – og gøre det nøjagtigt, skal det gøres på følgende måde:


C

A

B


1. Tegn lodrette linier gennem figurens hjørner, så den “pakkes ind i” et rektangel:


C

A

B


1. Tegn lodrette linier gennem figurens hjørner, så den “pakkes ind i” et rektangel (blåt)


C

A

B9



2. Aflæs længde


C

A

B

10

9



2. Aflæs længde og bredde af rektanglet


C

A

B

10

9



2. Aflæs længde og bredde af rektanglet og find dets areal (90 cm2)

90 cm2


9

6

27 cm2




3. Find herefter arealet af hver af de blå trekanter…


7

4

27 cm2

14 cm2










2

10

27 cm2

14 cm2 10 cm2






4. Træk trekanternes arealer fra rektanglets areal – og man har figurens areal:

27 cm2

14 cm2 10 cm2






4. Træk summen af trekanternes arealer fra rektanglets areal – og man har figurens areal:

27 cm2

14 cm2 10 cm2

90 cm2 – (27 cm2 + 14 cm2 + 10 cm2) = 39 cm2

Lidt om tillægsord…En kvadratisk figur Har form som et kvadrat

Lidt om tillægsord…En kvadratisk figur

En rektangulær figur

Har form som et kvadrat

Har form som et rektangel



En triangulær figur



Har form som en trekant




En cirkulær figur




Har form som en cirkel




En cirkulær figur

En elliptisk figur





Har form som en ellipse




En cirkulær figur

En elliptisk figur

En regulær figur,

regulær polygon





Har form som en ellipse

Har lige lange sider

ArealerArealer

geometri: areal

Documents