GEOLOGA ESTRUCTURALPosgradoen Ciencias de la Tierra, UNAMTemario 2007Juriquilla,Qro.Profesores del curso:Angel F. Nieto-SamaniegoSusana A.Alaniz-AlvarezDescripcin geomtrica de las estructuras tectnicas.Fracturas y fallasSimbologa y nomenclaturaPartes que constituyen una falla, tipos de fallas y tipos de fracturas Los planos de fracturas en los ensayos mecnicosInterpretacin de las deformaciones frgiles naturales: Fallas (descripcin geomtrica).Fallas y juntas decizallamiento, grietas de tensin ydiaclasas.Fosas y Pilares tectnicos; cuencas en extensin.Fallas de rumbo o de corrimiento lateral y fallas transformantes.Fallas Inversas y cabalgaduras.Bibliografa:Twiss, R.J., andMoores, E.M., 1992, Structural Geology.New York, W.H. Freeman and Co., p. 50-71Pliegues: Clasificacin, morfologa, orientacin y tcnicas de proyeccin, secciones y perfiles.Mecanismos de plegamiento: Capas simples y mltiplesDeformacin y estructuras a pequea escala en pliegues.Pliegues superpuestos.Bibliografa:Ramsay, J.G. y Huber, M.I., 1983.The Techniques of Modern Structural Geology, Volume 2: Folds and Fractures.Academic Press, p. 309-699.Mercier J. L. y Vergely P. 1992, Tectonique.Gosciences, Dunod. Paris. 214 p.

EsfuerzoIniciamos estos apuntes con el estudio de las deformaciones porque en la naturaleza lo que observamos y podemos medir son justamente deformaciones. Al intentar deformar un cuerpo nos encontramos que existe cierta resistencia al proceso deformante, esa resistencia puede deberse a mltiples causas, pro ejemplo cuando un cuerpo que est en contacto con otro presenta una resistencia al deslizamiento sobe la superficie de contacto, la cual es conocida como fuerzafriccionaly que es proporcional a la fuerza perpendicular que acta sobre la superficie de deslizamiento. De manera semejante podemos encontrar resistencias a desplazamientos de las partculas que forman un cuerpo debido a que implican ruptura, no por deslizamiento sino por separacin de las partes, o bien por friccin entre partculas. En el caso de la deformacin cristal-plstica, se requiere cierta energa que active y mantenga los procesos de transferencia de materia que producen como resultado la deformacin, esa energa es introducida al sistema a manera de calor y por la aplicacin de fuerzas. De la mecnica clsica podemos deducir la relacin que guardan las deformaciones con algunas fuerzas. De acuerdo con la leyF=ma(siendoFuna fuerza,muna masa yauna aceleracin), para acelerar (o desacelerar) una masa cualquiera se requiere una Fuerza que venza una resistencia a cambiar su condicin de movimiento (o reposo), que ser igual a la masa multiplicada por la aceleracin lograda. Lo anterior ejemplifica las relaciones que existen entre fuerzas y deformacin, se puede generalizar que existen dos tipos de fuerzas fundamentales que actan sobre los medios geolgicos: LasFuerzas de Cuerpoy lasFuerzas de Superficie. Las primeras de ellas son las que actan sobre cada una de las partculas que forman el cuerpo de roca y las de superficie actan sobre caras de los cuerpos o segmentos de esos cuerpos. En el caso que nos ocupa trataremos sobre las fuerzas de superficie, que es el mbito de laGeologa Estructuraly dejaremos de lado (salvo que se especifique lo contrario) lasfuerzas de cuerpo, que caen ms en el mbito de laTectnica.Si consideramos solamente las fuerzas de superficie, entonces resulta intuitivo que requerimos asociar dichas fuerzas al rea de la superficie donde actan, lo que de manera natural nos introduce el concepto deesfuerzo. Podemos definir el esfuerzo como la cantidad de fuerza actuante por cada unidad de superficie y formalmente se expresa como, dondees el esfuerzo yFla fuerza queactasobre el reaA. Como se ver ms adelante el estado de esfuerzos al que est sometido una partcula queda definido por un tensor de segundo orden denominadotensor de esfuerzosy que representaremos como. Las consideraciones anteriores nos llevan, por lo pronto y de manera general, a asociar un estado deformado a un estado de esfuerzos, ya que los desplazamientos de las partculas del cuerpo deformado requerirn fuerzas que venzan la resistencia a la deformacin. A la expresin formal de esta condicin la denominamosecuacin constitutivade deformacin-esfuerzo (consideraremos en este curso solamente la teora elstica) y se expresa como, dondees un tensor de cuarto orden relaciona linealmente la deformacin con el esfuerzos. Dentro del marco de referencia que nos da lo anterior, nos adentraremos en algunos detalles del anlisis de esfuerzos aplicado d las deformaciones de los cuerpos de roca.Esfuerzo sobre un planoPartiendo de la definicin de esfuerzo mencionada arriba, donde, y considerando que una fuerza es un vector, podemos ver que es posible cambiar nuestra idea de fuerza que estactuandosobre una superficie a considerar unesfuerzoactuando sobre esa misma superficie, ya que ste esfuerzo lo obtendremos simplemente de dividir la magnitud de la fuerza entre el rea de la superficie donde est actuando. Evidentemente, el esfuerzo as obtenido ser tambin un vector, ya que un vector (fuerza) multiplicado por un escalar (rea) es igual a otro vector (esfuerzo). Sin embargo se debe tener en mente quelos esfuerzos solamente son susceptibles de ser tratados como cantidades vectoriales cuando estn asociados a un plano.En general un estado de esfuerzos en una cantidad tensorial, el tratamiento matemtico es igual que en el caso del tensor de distorsin () ya que al igual que este, se trata de un tensor simtrico de segundo orden; es decir, no existe la parte rotacional (tensorantisimtrico). Consecuentemente, un estado de esfuerzos tambin se puede representar por un elipsoide. La deduccin del tensor de esfuerzos se ver ms adelante, por lo pronto solamente requerimos tener en mente su carcter tensorial.Si consideramos un plano que se encuentra sometido a un estado de esfuerzos, la totalidad del estado de esfuerzos (recurdese que es una cantidad tensorial con nueve componentes en tres dimensiones) quedar resuelta por un solo vector actuando sobre el plano, es decir se resolver en una cantidad vectorial con tres componentes en tres dimensiones. A este vector lo denominaremosvector traccin. Del clculo tensorial se sabe que un tensor de segundo orden es un operador lineal que relaciona dos vectores; aplicando esta propiedad a nuestro caso, y representando el plano por medio de un vector unitario perpendicular a l, podemos obtener fcilmente el vector traccin, dondeTies el vector traccin (vector de esfuerzo) ynjel vector unitario perpendicular al plano donde acta dicho esfuerzo. Comnmente se consideran dos componentes del vector traccinqueactan sobre el plano, el vector normal (al plano) llamado esfuerzo normaly el vector paralelo al plano llamado esfuerzo de cizalla. Lo anterior se ilustra en la FiguraIIIa.

FiguraIIIa. Esquema que muestra las relaciones geomtricas entre el vector traccin y un plano de falla. La flecha encima de las letras indica su carcter vectorial.Estos conceptos son especialmente importantes en el anlisis de las fallas, ya que la resistenciafriccionalal deslizamiento es proporcional al esfuerzo normaly la magnitud, direccin y sentido del deslizamiento son proporcionales al esfuerzo de cizalla mximo que acta sobre el plano de falla. La aplicacin a casos especficos se ver ms adelante.

Tensor de EsfuerzosNota: Por convencin, consideraremos los esfuerzos compresivos como positivos y los esfuerzostencionalescomo negativos.En trminos generales un tensor es un ente matemtico que relaciona una cierta cantidad de nmeros, denominados componentes del tensor, con un sistema de referencia. En notacin de subndices, tambin conocida como notacin tensorial, un tensor se expresa comoaijk, dondeijk...pueden tomarlos valores 1,2,3,... Al nmero de subndices se le conoce como orden del tensor y al nmero (n) de valores que pueden tomar estos subndices se le conoce como rango del subndice. De estas definiciones resulta evidente que un vector es un tensor de orden 1, recurdese que puede ser expresado comoai;. En el caso que nos ocupa en esta seccin, estaremos utilizando Tensores Cartesianos de Segundo Orden, los cuales pueden ser representados comoaij.Para entender el significado del tensor de esfuerzos, imaginemos un plano de rea infinitesimal perpendicular a uno de los ejes de referencia, digamos al ejeX,. Un esfuerzo cualquiera que acta sobre dicho plano, puede ser descompuesto en las tres componentes paralelas a los ejes de referencia. La componente perpendicular al plano ser denominada,donde el primer subndice indica el eje al cual es perpendicular el plano sobre el que est actuando, y el segundo subndice el eje a lo largo del cual est actuando el esfuerzo. Habr otra componente,que acta sobre el mismo plano en la direccin deY, y una tercera,,que acta sobre el mismo plano en la direccin de Z (FiguraIII.b).

FiguraIII.b.Anlogamente podemos obtener las componentes de los esfuerzos que actan sobre planos perpendiculares aYyaZ, que forman las caras del cubo mostrado en la FiguraIII.b, con lo que obtenemos el total de nueve componentes, las cuales definen totalmente el estado de esfuerzos que acta en un punto; estas son componentes son

Si los ejes del sistema de referencia son rotados hasta que los planos perpendiculares a ellos sean a su vez perpendiculares al vector de esfuerzos que acta sobre cada una de las caras, entonces no habr esfuerzos de cizalla sobre las caras del cubo; es decirpara todoij, quedando solamente las componentes diagonales del tensor. A estas componentes que forman la diagonal se las denomina componentes principales del tensor o esfuerzos principales del tensor y son representadas por,,.En forma de matrices, el tensor en funcin de sus componentes principales se escribe.Esta forma simplifica mucho el anlisis de los esfuerzos, por lo que es comnmente adoptada, especialmente en el estudio de fallas en la Geologa Estructural y se utiliza para definir la forma del elipsoide de esfuerzos en trminos de los esfuerzos principales, para ello se utiliza la razn de esfuerzos.Como se vio ms arriba, es conveniente conocer los esfuerzos normal y de cizalla que actan sobre un plano, los cuales se obtienen fcilmente a partir de nuestro tensor el esfuerzo en fundn de los esfuerzos principales; el normal est dado por:, y el esfuerzo de cizalla por, dondeSiun el vector unitario paralelo al esfuerzo de cizalla. Cabe comentar que comnmente se asume que la estra de deslizamiento sobre el plano de falla es paralela al mximo esfuerzo de cizalla sobre dicho plano, con lo cual la orientacin deSila obtenemos como dato de campo.Esfuerzoisotrpico, esfuerzo medio y esfuerzodesviatrico.Otros parmetros muy tiles para caracterizar un sistema de esfuerzos son elesfuerzo medio(),isotrpico() y eldesviatrico(). Estos parmetros son equivalentes a los parmetros vistos en el captulo de deformacin. Considrese el significado de cada uno de estos parmetros: El esfuerzoisotrpicoest dado por; recurdese que la delta deKronecker(tambin llamada matriz identidad) toma valores de 1 parai=jy de 0 paraij. Representa la parte del estado de esfuerzos aportada por los esfuerzos normales y que es igual en todas direcciones, obsrvese que las componentes de cizalla fueron eliminadas al hacerpara todos losij; entonces, se trata de un esfuerzo hidrosttico. El esfuerzo medio queda definido por, obsrvese que en este caso no se trata de un estado de esfuerzos sino de una cantidad escalar; por ltimo el esfuerzodesviatricoest definido por, es decir por los esfuerzos no incluidos en el estado hidrosttico, dado que el esfuerzodesviatricocontiene la parte del sistema de esfuerzos que se desva del estado hidrosttico, es el responsable de producir flujo de material. Adicionalmente es conveniente considerar el valor absoluto mximo de desviacin que tiene el estado de esfuerzos total con respecto al estado de esfuerzos hidrosttico, al a ese valor lo denominamos diferencia de esfuerzos o esfuerzo diferencial y queda definido por la diferencia entre las magnitudes del esfuerzo principal mximo y mnimo, es decir. Este valor es muy til como medida de la intensidad con que se impone el esfuerzodesviatrico.

Crculo deMohrpara esfuerzosEn este apartado analizaremos el caso bidimensional, si es requerido se analizar en clase el caso del Crculo deMohren tres dimensiones. La asuncin principal para el caso bidimensional es que el esfuerzo principal intermedio no interviene. En el Anexo 3 se presenta una deduccin de la ecuacin del crculo deMohrpara esfuerzos, por ello aqu nos enfocaremos en sus caractersticas ms importantes as como sus aplicaciones ms comunes.Partamos simplemente de que, que es la ecuacin de un circunferencia con centro fuera del origen en un sistema coordenados donde los esfuerzos normal y de cizalla en los ejesxyyrespectivamente. Resulta claro que el valor mximo de la cizalla estar dado para el valor donde el esfuerzo normal es igual a la coordenada del centro del crculo, como se observa en la figura siguiente. El valor mximo de la cizalla estar localizado con un ngulo 2=90, siendoel ngulo formado entre la direccin de la normal al plano y el esfuerzo principal mximo. Ntese que=45 en el espacio fsico dado que en un espacioMohrlos ngulos son dobles, por ejemplo obsrvese que1y3forman un ngulo de 180 en el espacioMhor(FiguraIII.c.).FiguraIII.c.Un crculoMohrrepresenta un estado de esfuerzos, un punto en la circunferencia representa la solucin del estado de esfuerzos sobre un punto en un plano orientado de acuerdo con el ngulo. La circunferencia en su totalidad representa todos los planos paralelos a la direccin de2y que varan en su ngulo de inclinacin con respecto a1.Bibliografa:Bott, M. H. P., The mechanics of oblique slip faulting, Geol. Magazine, v. 96, p. 11-12Hafner, W. 1951, Stress distribution and faulting, Bulletin of the Geological Society of America, v. 62,p. 373-396Hubbert, M. K., 1981, Mechanics of Deformation ofCrustalRocks: Historical Development in Mechanicalbehavoirofcrustalrocks, TheHandinvolume, Carter, N. L., Friedman, M. Logan, J. M., Geophysical Monograph, 24,Nieto-Samaniego, A. F.,Alaniz-Alvarez, S.A., Apuntes de Geologa Estructural, (captuloPaleotensorde esfuerzos)Twiss, R.J., andMoores, E.M., 1992, Structural Geology.New York, W.H. Freeman and Co., 532 p. (captulo8 )DeformacinConsideraciones iniciales.- Materiales geolgicos como medios heterogneos y discontinuos.En trminos generales las rocas son medios heterogneos y discontinuos. Esto se hace evidente al analizar su naturaleza fsica en distintas escalas. Consideremos que los constituyentes de las rocas son cristales y matriz, surgiendo as la heterogeneidad del cuerpo rocoso en la escala ms pequea. En otra escala, las rocas presentan variacionescomposicionalesytexturalesdefinidas por la naturaleza misma de las rocas; por ejemplo en las rocas sedimentarias los estratos tendrn composiciones diferentes, pudiendo ocurrir tambin variaciones laterales. Condiciones semejantes se tienen para las rocas gneas y metamrficas, donde los cambioscomposicionalestanto horizontales como verticales son la norma. Para el estudio de las deformaciones de los cuerpos rocosos, se analizan las consecuencias mecnicas de los cambios en la composicin de las rocas (heterogeneidades). Al cambio espacial en el comportamiento mecnico de las rocas se lo denomina Anisotropa.Una caracterstica de las rocas es la presencia de discontinuidades, que son planos o zonas que rompen la continuidad del medio; ejemplos de ellas sondiaclasas, planos de estratificacin, fallas, foliaciones frgiles (pizarrosas), etc., cuya existencia est ligada a la gnesis misma de los cuerpos de roca y a su evolucin a lo largo del tiempo geolgico, y por lo tanto en la prctica podemos considerar que siempre estarn presentes en la naturaleza.Por lo anterior, podemos decir que un cuerpo rocoso es, en general,anisotrpicoy discontinuo, o que presenta discontinuidades.- Mecnica del medio continuo, por que se aplica?.En el sentido ms general, para estudiar las deformaciones de las rocas se utilizan dos aproximaciones de la fsica (o fsica matemtica), una de ellas la mecnica del medio continuo (continuum-mechanics) y la otra la fsica del estado slido. La primera de ellas enfoca el aspecto geomtrico y mecnico, considerando una escalamesoymacroscopica; la segunda se enfoca sobre los fenmenos ocurridos a nivel atmico y las consecuencias que stos tienen, considerando cambios mineralgicos, qumicos o de ndole similar que ocurren durante la deformacin.En la Geologa Estructural utilizamos la mecnica del medio continuo, por lo que conviene tener algn tipo de definicin que nos sirva como marco de referencia: un medio continuo (ocontinuum) es una idealizacin de un medio en el que las partes que lo componen estn localizadas sin que haya huecos entre ellas, es decir, es un agregado continuo; adicionalmente, el tamao de dichas partes son suficientemente grandes para que las caractersticas atmicas del medio seannegligiblesy suficientemente pequeas para que puedan ser consideradaspuntosque ocupan unaposicinen unsistema de coordenadas. Las definiciones de los trminos en negritas son precisadas ms adelante.Ahora bien, si la mecnica del mediocontinuono trata objetos discontinuos como lo son los cuerpos de roca porque usamos esta herramienta? La respuesta es ms de carcter prctico: porque es un esquema terico slidamente fundamentado, relativamente sencillo y que nos permite una aproximacin suficiente para la gran mayora de las observaciones y para resolver los problemas que enfrentamos en laGelogaEstructural.Es muy importante considerar que, al igual que en el caso de la diferencia entre la fsica del estado slido y la mecnica del medio continuo donde un elemento determinante es la escala, en el primer caso atmica ysub-atmica y en el segundo macroscpica, podemos considerar como continuo un medio si contiene discontinuidades pequeas relativas al volumen total que estamos considerando. Entonces poder tratar una roca como un medio continuo se reduce a un problema de escala. Por ejemplo, en un granito existen numerosas fracturas pequeas en la escala de los cristales, hay crucero en los cristales y superficiesintercristalinasque constituyen fracturas, todos estos elementos son discontinuidades, pero pueden ser ignoradas si trabajamos en escala de metros a decenas de metros y podemos considerar que el cuerpo es continuo. El comportamiento mecnico del granito ser independiente de las fracturas a escala cristalina; podemos trabajar bajo esa consideracin. Sin embargo, si se consideran lasdiaclasasque tpicamente hay en los cuerpos granticos cuyas dimensiones son de metros a centenas de metros, stas tendrn un gran influencia en el comportamiento mecnico del cuerpo grantico, considerando la ruptura como proceso de deformacin, seguramente esasdiaclasassern activadas como zonas de cizalla (fallas) durante la deformacin y ejerciendo un control importante en el proceso. Nuevamente, si cambiamos de escala y consideramos la deformacin del cuerpo grantico a la escala entre decenas kilmetros a cientos de kilmetros, esasdiclasaspodrn ser ignoradas podremos tratar el cuerpo como un medio continuo.Otra caracterstica de los medios rocosos naturales que nos permiten hacer uso del medio continuo es que las estructuras frgiles, que son discontinuidades del medio, se presentan en conjuntos de numerosos miembros todos ellos asociados a un campo de deformacin y considerados en conjunto todos esos elementos frgiles, es posible aproximar el comportamiento de un medio continuo; esto se ilustra en la FiguraIa. Definir si existen numerosas estructuras que constituyen un sistema de deformacin es nuevamente un asunto de la escala de observacin. Una falla cuyas dimensiones son de una escala cualquiera estar constituida por numerosas estructuras semejantes con dimensiones de menor escala. Este aspecto escalado de las fracturas y fallas, y de muchos otros objetos geolgicos, es muy conocido por los gelogos ya que es una observacin cotidiana durante el trabajo de campo.De las consideraciones anteriores surge, de una manera intuitiva, una de las ideas fundamentales de la geologa, el carcter escalado de muchos de los objetos geolgicos, lo cual nos lleva de manera natural a considerar que un estudio ms completo de cualquier objeto geolgico debe sermultiescalary ese cambio de escala nos permite utilizar la mecnica del medio continuo sin perdida de objetividad.

I.2. Definiciones:- Marco de Referencia.Regin del espacio fsico que se considera fija.- Sistemas de Coordenadas.Sistema de referencia fijo con respecto a l marco de referencia. Puede considerarse un nmero cualquiera de sistemas de coordenadas para un mismo Marco de referencia..- Partcula.Pequeas partes de material.- Punto.Objeto geomtrico que se define por una posicin en el sistema de coordenadas.- Posicin.Coordenadas del punto.Vector posicin del punto.- Velocidad instantnea.Vector con origen en un punto, que indica la direccin, sentido y magnitud del movimiento de dicho punto.- Campo de velocidades instantneas.Conjunto de vectores de velocidad instantnea de un cuerpo.- Tensor de gradientes de velocidad.En un campo de velocidades homogneo (lneas rectas paralelas se mantienen paralelas) tenemos que las componentesdelvector velocidad estn dadas por:Estado inicial.Conjunto de posiciones que guardan los puntos en el tiempot0Estado final.Conjunto de posiciones que guardan los puntos en el tiempot1Desplazamiento.Cambio de posicin de un punto.Puede ser infinitesimal (minsculo) o finito (grande) y es susceptible de ser representado por un vector que queda definido por los vectores posicin de los estados inicial y final.En coordenadas, un desplazamiento se expresa:,

yen vectores:,dondeiyfindican los estados inicial y final, respectivamente FiguraIa.

FiguraIa. Esquema que ilustra el cambio de posicin de un punto desde la posicin i hasta la f. Ese cambio de posicin puede expresarse por el cambio en el valor de las coordenadasxxyyyde acuerdo con las cantidadesayb, o bien por el vector desplazamiento.Campo de desplazamientos.Conjunto de vectores desplazamiento que muestran los cambios de posicin de los puntos entre los tiempost0yt1Desplazamiento Homogneo y Traslacin.Todos losson iguales.Desplazamiento HeterogneoTodos o algunos de losson distintos.Deformacin.Cambio de posicin de las partculas de un objeto entre los estados inicial y final.Podemos representar ladeformacinpor un campo de desplazamientos. De ah se deduce que puede haber cambios deposicinde las partculas con respecto almarco de referenciaas como cambio de posicin relativo entre ellas (distorsin).Deformacin Lineal.Para medir la deformacin lineal se hace uso de distintos parmetros, los ms utilizados en la literatura geolgica son los siguientes: La deformacin lineal se refiere al cambio de longitud experimentado por una lnea despus de ser deformada. Esto puede representarse por:Extensin (e): Es el cambio de longitud por unidad de longitud.

Elongacin (stetch): Es la razn de la longitud post-deformacin con respecto a la longitud inicial.

Elongacin cuadrtica (). Es el cuadrado de la longitud de una lnea originalmente unidad.

Distorsin natural o logartmica (). Este parmetro surge de la consideracin de que la extensin total se acumula por la suma de muchas pequeas extensiones y se define por:,ysi se consideran incrementos infinitesimales se obtiene:. Esta medida es til, considrese que cuando una lnea se acorta enormemente,tiende a - mientras queetiende a -1. La variacin deepara deformaciones muy grandes entre - y + es ms representativa que lmites dee.Deformacin angular por cizalla(psi). Se define como la desviacin angular que sufren dos rectas originalmente ortogonales.Deformacin por cizalla (). Se define como la tangente de la deformacin angular por cizalla: =tan.Deformacin Homognea.La deformacin homognea queda definida por las siguientes caractersticas:Las lneas paralelas en el estado inicial siguen siendo paralelas en el estado final.Las lneas paralelas en el estado inicial permanecen paralelas en el estado final.Las lneas con la misma direccin en el cuerpo deformado tienen los mismos valores dee, , , y .Deformacin HeterogneaLas lneas paralelas en el estado inicial no son paralelas (al menos algunas) en el estado final.Las lneas rectas en el estado inicial se convierten en curvas en el estado final.Los valores dee, , , y son variables para cualquier direccin dada del cuerpo en el estado deformado.Se puede ver con facilidad que la deformacin homognea es un caso especial de la deformacin heterognea o sea de la deformacin general. Aunque distintos grados de deformacin heterognea est presente en los objetos geolgicos deformados, en la gran mayora de los casos sus deformaciones que se aproximan mucho a la homognea. Tambin se debe considerar que un cambio de escala puede hacer que el cuerpo deformado se aproxime mucho a la deformacin homognea, como se ilustra en la FiguraIb.

FiguraIb. Obsrvese que en conjunto el cuadrado ha sufrido deformacin heterognea, pero las figuras que estn dentro de l han sufrido deformacin heterognea o bien homognea segn su tamao.Bibliografa:Ramsay, J.G., 1967,Foldingand fracturing of rocks:New York, McGraw-Hill, 568 p.MarshakS. yMitra, G., 1988, Basic Methods of Structural Geology,PerenticeHall, 446p.(Captulo15)Means, W. D., 1990, Review paper: Kinematics, stress, deformation and materialbehavior, Journal of Structural Geology, v. 12, p. 953-971Marrett, R., y Peacock, D. C. P., 1999, Strain and stress, Journal of Structural Geology, v. 21, p. 1057-1063.DePaor, D. G., 1983, Orthographic analysis of geologic structures, I. Deformation theory, Journal of Structural Geology, v. 5, p. 255-278.Elliot, D. 1972.Deformation paths in structural geology, Geological Society of America Bulletin, v. 83, p. 2621-2638.Simpson, C. y DePaor, D., 1991, Deformation and kinematics of high strain zones, Short course notes, 1991 Annual GSA meeting-San Diego.

Elipsoide de Deformacin (Distorsin):-Si en el estado no deformado consideramos una esfera, al deformar el cuerpo por medio de una deformacin homognea, entonces el crculo se transformar en unelipsoide; a este elipsoide se lo denominaelipsoide de deformacin. Si se trabajaenunespacio bidimensional, se obtiene unaelipse, denominadaelipse de deformacin.- Si realizamos la operacin contraria, consideramos una esfera en el estado deformado y luegoretrodeformamosel cuerpo hasta su estado no deformado, entonces obtenemos elelipsoide de deformacin recproca.Como cualquier elipsoide, el elipsoide de deformacin tiene tres planos de simetra especular. Las intersecciones de esos planos forman los tres dimetros principales del elipsoide, los cuales constituyen las direcciones principales de distorsin. Para expresar dichas direcciones se utiliza comnmente al letra lambda iy se considera que la esfera original fue de radio unitario, por lo que los radios del elipsoide estn definidos por las elongaciones sobre las direcciones principales i.Un parmetro que define la forma de cualquier elipse es la razn de sus radios, a lo cual se le denominaelipticidad( R ), la que en el caso de la elipse de deformacin est dada por:.

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Demostracin. Ecuacin de la elipse de deformacin interna o distorsin)FiguraIc. Esquema mostrando las relaciones de los desplazamientos ocurridos durante una deformacin homognea de un cuadrado.De la figuraIc, podemos ver que;, dondea,b,cydson coeficientes que modifican a las variablesxyy. Los valores de cada una de ellas son:;;;.De lo anterior podemos establecer la ecuacin general del desplazamiento usando notacin de subndices.. En notacin de matrices seraAhora podemos aplicar nuestra ecuacin de desplazamiento a cualquier objeto geomtrico, lo aplicamos a una circunferencia de radiounitariocuyaecuacin es, la cual representa nuestro estado no deformado y obtenemos la ecuacin general de una elipse (se omiten los pasos de la solucin por simplicidad, pero pueden consultarse en la bibliografa recomendada)

******************************Tipos de distorsin:-Uniaxica: Solamente una direccin principal tiene elongacin-Biaxica: Solamente dos direccin principal tiene elongacin; tambin se le llama distorsin plana.-Triaxica: Las tresdireccin principaltiene elongacin: Se pude clasificar de acuerdo con las relaciones que guardan las magnitudes de elongacin en las direcciones principales.Consideremos con fines ilustrativos el caso bidimensional de acuerdo con las figurasId.

FiguraId. El crculo rojo representa el estado no deformado, en a se ilustra una elipse de distorsinuniaxicay en b una distorsinbiaxica.Debe considerarse que en el caso de la FiguraId-a, el crculo no experiment deformacin en su eje vertical, es decir la forma elptica no implica necesariamente deformacin en sus dos ejes. Estas caractersticas se extienden directamente al caso tridimensional.Por otra parte, de la FiguraIese ve fcilmente que en la elipse siempre se puede trazar un crculo que quede contenido el ella, si se compara ese crculo con el crculo original del estado no deformado obtendremos un cambio de rea, o de volumen si consideramos tres dimensiones. A la deformacin que produce este cambio de rea o volumen lo denominamos la parteisotrpicade la deformacin y al resto, representado por las pastes de la elipse que quedan fuera del cambio de rea del crculo, la denominamos la pastedesviatricade la deformacin.En general, un elipsoide de deformacin puede deformarse por un cambio de volumen (deformacinisotrpica) o bien adquirir dos formas fundamentales denominadasProladacomo aparece en la FiguraIe-a y Oblada como aparece en la FiguraIf-b

FiguraIf. Una elipse de deformacin puede adquirir dos formasfundmentales, de cigarro denominadaprolada(a) o bien de plato, denominada oblada (b).Las formas de las elipses de deformacin son analizadas cuantitativamente utilizando los diagramas deFlinn(FiguraIg). En estos diagramas se pueden separar dominios en los que se producen estructurasplanaresy estructuras lineales, de acuerdo con las magnitudes relativas de elongacin en los ejes principales de la deformacin. Algunas caractersticas de los distintos dominios sern tratadas en el aula.

FiguraIg.Diagrama deFlinnComponentes de la deformacin.La deformacin general de un cuerpo est podemos definirla como el cambio de posicin de las partculas que lo constituyen. De esta definicin general se puede ver que, si todas las partculas se mueven con respecto a un sistema de referencia, pero se mantienen sin movimiento relativo entre ellas, ese evento quedar comprendido dentro de nuestra definicin. Este tipo de deformacin es un caso especial, cuya caracterstica es que el objeto se comporta como un cuerpo rgido.Analizando las maneras en que puede ocurrir la deformacin de cuerpo rgido, se hace evidente que hay dos modos fundamentales; debe recordarse que en ambos casos las partculas que forman el objeto mantienen las distancias relativas entre ellas.En modo es en el que los vectores de desplazamiento de todas las partculas son paralelos y de la misma magnitud, al cual se lo denominado traslacin; el otro es aquel en el que los vectores de desplazamiento son no paralelos y de distinta magnitud, al que se denomina rotacin de cuerpo rgido o Espn.Regresando a nuestra definicin general, vemos que puede ocurrir tambin movimiento relativo entre las partculas que conforman el objeto deformado, a esto se le denomina deformacin interna o distorsin. Su expresin ms elemental es el cambio entre la distancia que existe entre dos partculas, que se queda expresada por la elongacin.Considrense separadamente dos de las partculas que constituyen un cuerpo en el tiempoto, y la posicin que esa partcula ocupa en el tiempo t1despus de ocurrida una deformacin. De acuerdo con lo discutido en los prrafos anteriores, el desplazamiento de esa partcula puede descomponerse en un movimiento de traslacin, uno de rotacin y una elongacin. Si se consideran todas las partculas del cuerpo, decimos que el conjunto de vectores de desplazamiento correspondientes a las partculas de ese cuerpo constituyen el campo de deformacin de ese evento (FiguraIh).

FiguraIh. Las flechas muestran los desplazamientos de varias partculas el cuerpo deformado. El conjunto de vectores de desplazamiento de todas las partculas constituye el campo de deformacin finita.Una restriccin muy importante considerada comnmente en el anlisis de la deformacin de los cuerpos rocosos es que el volumen se mantiene. Sabemos que en la naturaleza hay varios mecanismos de transferencia de material y el cambio de volumen que ocurre deber ser considerado en algunos casos. Con fines de simplicidad y claridad, en este punto de nuestro anlisis asumiremos que el cuerpo se deforma sin cambio de volumen.Generalizando los conceptos anteriores, decimos que las componentes principales de la deformacin son tres: Traslacin, Rotacin (tambin llamadavorticidad) y Elongacin.Las definiciones anteriores permiten obtener una idea clara de lo que es la deformacin y permiten visualizar cmo abordar su anlisis. En un campo de deformacin homognea podemos localizar dos ejes (tres en tres dimensiones) a lo largo de los cuales ocurren el mayor alargamiento y el mayor acortamiento; es decir, elongaciones mayores y menores que uno, respectivamente. Por lo pronto consideraremos solamente dos dimensiones, entonces esos ejes corresponden a los ejes principales de la elipse de deformacin y a loseigenvectores(vectores caractersticos) del tensor de deformacin y son denominados ejes principales de la deformacin.Considerando la manera en que ocurre la deformacin con respecto a los ejes de la deformacin, podemos clasificarla en deformacin coaxial oirrotacionaly deformacin no coaxial o rotacional, ms comnmente denominadas en Geologa Estructural como Cizalla Pura y Cizalla Simple (esta ltima es en realidad un tipo especial de deformacin rotacional), respectivamente. Cualquier deformacin homognea (recurdese que son deformaciones sin cambio de volumen) podemos descomponerla en una Cizalla Pura y una Cizalla Simple. Pasemos a definir las caractersticas de estos tipos de deformacin.En la Cizalla Pura las lneas materiales paralelas a los ejes principales de la deformacin no rotarn, solamente sernelongadas; por ello esas lneas materiales permanecern paralelas a los ejes principales de la deformacin conforme esta; por esta caracterstica se denomina coaxial a este tipo de deformacin. Todas las dems lneas materiales, es decir aquellas que no coinciden con los ejes principales sern rotadas yelongadasen distintos grados, dependiendo de su posicin en el cuerpo deformado. El campo de deformacin en una Cizalla Pura es simtrico con respecto a los ejes principales de la deformacin (simetra ortorrmbica), por lo que si sumamos todas las rotaciones que ocurren al interior del cuerpo el resultado ser cero; es decir las rotaciones se anularn dada la simetra del sistema y as el cuerpo en su conjunto no experimentar rotacin; de ah su denominacin de deformacin irrotacional.***********************************Deduccin Cizalla Pura:

FiguraIiDe acuerdo con la figuraIi, considerando la arista horizontal superior del cuadrado que se deforma a rectngulo, la elongacin (S) de esa arista est dada por la raznDef_x/Undef_x= S, que de acuerdo con las definiciones ya vistas tambin es igual aS = (1 +e), donde la extensin est dada pore= (def_x-Undef_x) /Undef_x.De aqu se desprende, de acuerdo con la figura que la ecuacin de transformacin de x esx= (e+1) x + 0y.Ahora obtengamos la ecuacin de transformacin para y. Para ello consideremos que la cizalla pura es una deformacin donde se mantiene constante el volumen, por lo tantoAcuad=Arect. El rea del rectngulo es (Def_x)(Def_y) y ser tambin igual al rea del cuadrado, por lo que podemos escribir(Def_x)(Def_y) = (Undef_x)(Undef_y), y entonces(Def_x) / (Undef_x) = (Undef_y) / (Def_y), y de acuerdo con lo definido arriba para la elongacin tambin podemos escribir(e+1)-1= (Def_y) / (Undef_y)La coordenada en y despus de la deformacin para el punto analizado es proporcional a la elongacin e independiente de la coordenada x, por lo que podemos escribiry = 0x + [ 1 / (e+1)] y .De las ecuaciones de transformacin deducidas podemos obtener la matriz de transformacin para la cizalla pura a partir de, la cual ser:

***********************************En la Cizalla Simple, las lneas materiales rotan pasando a travs de los ejes principales de la deformacin. Las nicas lneas materiales queno rotan son aquellas lneas materiales paralelas a la direccin de la cizalla. El campo de deformacin producido por la cizalla simple tiene una simetra menor que el producido por la Cizalla Pura. Considrese el dibujo de la FiguraIj,donde los planos con simetra especular obtenida para la deformacin por Cizalla Pura se han perdido y se slo se conserva el eje de simetra con rotacin de 180 perpendicular al plano del sistema de coordenadas. Obsrvese tambin que todas las rotaciones de las lneas materiales son consistentes con el sentido (horario oantihorario) de la cizalla. Slo las lneas materiales paralelas a la cizalla permanecen sinelongarsey todas las dems experimentarn alargamiento o acortamiento segn so posicin entro del cuerpo. En la Cizalla simple, aunque los ejes principales de la deformacin permanezcan con la misma orientacin durante la deformacin, durante cada etapa instantneasern lneas materiales diferentes las que sern paralelas a dichos ejes principales.Una deformacin producida pro Cizalla Simple se puede obtener si aplicamos una cizalla simple y sobre ella una rotacin de cuerpo rgido adecuadas. Este concepto resulta til para fines prcticos en el estudio de los cuerpos de roca, ya que en escalas determinadas es posible definir aquellos cuerpos que se comportaron como rgidos durante una deformacin y de esa manera podemos separar aquellas rotaciones que fueron producidas durante la deformacin por cizalla simple de un cuerpo, acomodada por mecanismos de deformacin que ocurren al interior del cuerpo deformado, y la rotacin del cuerpo como un todo.***********************************Deduccin de la matriz de transformacin para la cizalla simple:Considrese la FiguraIj, de donde se obtiene que; y como se defini con anterioridad que, podemos escribir.

Figura.IjUsando un sistema de coordenadas con el ejexparalelo a la direccin de la cizalla el cambio de posicin de un punto cualquiera debido a la cizalla simple estar definido como,dedonde obtenemos la matriz de transformacin para la cizalla simple.***********************************A manera de sntesis considrense las clasificaciones siguientes como una gua para identificar las componentes de la deformacin observada en los cuerpos de roca.Clasificacin (a)(a)Traslacin(b)Vorticidado Rotacin:Espn (rotacin de cuerpo rgido)RID (Rotacin inducida por distorsin)(c)ElongacinClasificacin (b)Componentes de cuerpo rgido:a)Traslacin.b)EspnComponentes de cuerpo deformadoa)ElongacinRID (Rotacin inducida por distorsin)Comportamiento de elementos estructurales lineales y planos durante la deformacin.Bibliografa:Tolson, G. 1992, Cizalla Simplemente Pura, Cizalla Puramente Simple y Combinaciones de Ambas: Las Matemticas de Deformacin y su Aplicacin a la Geologa Estructural, Unidad Terica,Posgradode GeofsicaRamsay, J.G., 1967,Foldingand fracturing of rocks:New York, McGraw-Hill, 568 p.

Particin de la Deformacin.Para de analizar la particin de la deformacin sobe fallas y fracturas requerimos hacer unas consideraciones previas:Para analizar la deformacin que general las fallas consideraremos a una falla como un sistema de deformacin que consiste de un plano (plano de la falla) y de vector de deslizamiento que acta sobre dicho plano. Ese sistema de deformacin liberar necesariamente deformacin bidimensional rotacional. Bidimensional porque no habr elongacin en una direccin perpendicular al vector de deslizamiento y localizada sobre el plano de la falla; y rotacional porque el cuerpo experimentar una rotacin en su conjunto sobre un eje perpendicular al vector de deslizamiento y en un sentido compatible con dicho vector; lo anterior se ilustra en la FiguraIl.

FiguraIl. Se ilustra el sistema de deformacin generado por una sola falla. Enase puede deducir que no habr deformacin perpendicular al vector de desplazamiento, mientras que enbse observa la rotacin producida por el deslizamiento.Si consideramos el caso general de una deformacin bidimensional rotacional y de acuerdo con lo expuesto anteriormente, esperamos que exista un sistema de cizalla que libere ms eficientemente dicha deformacin, por medio de una falla con vector de deslizamiento oblicuo. Supngase ahora que el plano de falla a lo largo del cual se liberar la deformacin ya existe, esto quiere decir que las orientaciones de los vectores de deslizamiento estn sujetas a las permitidas por la superficie del plano de falla (aquellas que estn contenidas el l). Para liberar la deformacin con un solo sistema de cizalla, el vector de deslizamiento deber ser perpendicular a la direccin principal de elongacin nula, como se mostr en la FiguraIl. Sin embargo, dado que la orientacin del plano ya est determinada, es posible que las direcciones permitidas impidan la liberacin total de la deformacin impuesta, o bien que haya otrossistemasque liberen la deformacin de manera ms eficiente. Si este es el caso se producirn nuevos sistemas de cizalla sobre otra falla existente, o bien se pueden general nuevas fallas, y todos los sistemas actuarn simultneamente para acomodar la deformacin de la manera ms eficiente. Cuando esto ocurre se dice que la deformacin ha sidoparticionada.

Figura Im. Modelo idealizado de dos fallas queparticionanuna deformacin plana rotacional. Las variables crticas son: los ngulos de convergencia (acortamiento) y el ngulo de inclinacin de la fallabusante. Obsrvese que la direccin de deslizamientosoberla falla vertical es horizontal mientras que en la falla inclinada es oblicua.Se han propuesto varias maneras de medir la eficiencia relativa de los sistemas de cizalla, en general se asume que se activarn aquellos sistemas de cizalla cuya suma minimice la energa disipada (o la cantidad de cizalla). Considrese por ejemplo el caso de un plano inclinado y uno vertical, que en un esquema de tectnica de placas ocurre comnmente en zonas de convergencia oblicua (FiguraIm). En la literatura al respecto, comnmente se asume que la falla vertical tendr un desplazamiento de tipo lateral y la falla inclinada un desplazamiento de tipo inverso u oblicuo. Lo anterior se basa en observaciones realizadas en numerosas zonas de convergencia oblicua (e. g.Jones, C. H.,andWesnousky, S. G., 1992,VariationsinstrengthandslipratealongtheSanAndreasFaultSystem:Science, v. 256, p. 83-86).Se hace necesario definir una variable geomtrica que minimice la energa disipada, por ejemplo se puede elegir el ngulo formado entre el vector de deslizamiento y la horizontal, medido sobre el plano de la falla inclinada. Entonces se busca una ecuacin de la forma,siendo,dondees el vector de convergencia,el ngulo entre el vector de convergencia y el rumbo de las fallas,el echado de la falla inclinada. Pueden utilizarse otras variables que se consideren adecuadas al modelocinemticoque se est analizando.Estos esquemas de particin de la deformacin son bastante rgidos ya que imponen numerosas restricciones al modelocinemtico. Una aproximacin ms general, an no explorada, es el uso de la teora de deformacin plstica por deslizamiento sobre planos (gliding) propuesta por Taylor (1938) yBishop& Hill (1951). Esta teora fue aplicada porOertel(1965) para explicar las fracturas formadas en pasteles de arcilla y porReches(1978) para explicar el origen de los patrones ortorrmbicos de fallas, los cuales se generan en campos de deformacin tridimensionalirrotacional. Actualmente, en el Instituto de Geologa de la UNAM, se desarrolla un proyecto de investigacin sobre la aplicacin de esta teora a un cuerpo de roca que contiene varios planos de debilidad susceptibles de liberar la deformacin. Basados en esta teora, se podrn considerar en el anlisiscinemticoun nmero ms grande de sistemas de cizalla, representados por fallas en el caso de la corteza terrestre. El modelo asumir que ser preferida aquella combinacin de sistemas de cizalla que acomode la deformacin impuesta con el mnimo de energa disipada. Se podr considerar que las fallas tienen deslizamiento simultneo, o que se activaron por grupos en fases distintas de un evento de deformacin.Actividades a desarrollar en el aula:1. Uso del programaFluDef. Explicacin y manipulacin para entender su funcionamiento y familiarizarse con su manejo.2. Calcular las componentes de la matriz de deformacin para los casos siguientes:- Un a deformacinisotrpicacon cambio de volumen de + 50%.- Una rotacin de cuerpo rgido de 225 en sentido de las manecillas del reloj.- Una cizalla simple que produzca una rotacin de 25 en el sentido de las manecillas del reloj.- Una cizalla pura que produzca una elongacin de 150% en la horizontal.- Simular la deformacin que produce una falla normal con deslizamiento igual al 25% de la arista del cubo que deforma.Bibliografa:Jones, C. H., andWesnousky, S. G., 1992, Variations in strength and slip rate along the San Andreas Fault System: Science, v. 256, p. 83-86.Kostrov, B. V. 1974, Seismic moment and energy of earthquakes, and seismic flow of rock:Izv. Acad.Sci. USSR Phys. Solid Earth, v. 1, p. 23-44.Krantz, R. W., 1988, Multiple fault sets and three-simensionalstrain: theory and application: Journal of Structural Geology, v.10, p. 225-237.Nieto-Samaniego, A. F.,Alaniz-lvarez, S. A. yLabarthe-Hernndez, G., 1997, Deformacin Cenozoica en la parte sur de la Mesa Central, Mxico, Revista Mexicana de Ciencias Geolgicas, v. 14, p. 13-25.Reches, Z., 1978, Analysis of faulting in three-dimensional strain fields.Tectonophysics, v. 47, p. 109-129.Reches, Z., 1983,Faultingof rocks in three-dimensional strain fields, II: Theoretical analysis.Tectonophysics, v. 95, p. 133-156.

II.6. Tensor de deformacinPara el estudio de la deformacin utilizando el clculo tensorial es conveniente establecer la diferencia entre la deformacin infinitesimal y la deformacin finita. Decimos que una deformacin infinitesimal es aquella extremadamente pequea y que podemos asociar con un fenmeno instantneo. El anlisis de la deformacin infinitesimal tiene la ventaja de ser sencillo y podemos considerar en muchos casos que se ajusta a la naturaleza por ser muy pequea en relacin con la escala de trabajo. La deformacin instantnea tambin es una forma de expresar la deformacin infinitesimal y tiene la ventaja de permitirnos conocer que sucede durante el evento de deformacin. Por otra parte la deformacin finita se refiere a deformaciones grandes, que se deducen de los estados inicial y final de deformacin entre los cuales se considera ocurri la totalidad del eventodeformacional. Los tensores de deformacin infinitesimal y finita son semejantes, sin embargo tienen diferencias importantes que se vern posteriormente a la deduccin del tensordedeformacin infinitesimal.

FiguraIk. Esquema de una deformacin general. Se asume que los puntos se movieron como lo indican los vectores de desplazamiento.Considrese la FiguraIk, en ella se observa que un cuerpo cualquiera ha sido deformado y analizaremos lo que ocurre a dos puntos dentro de ese cuerpo. Los puntos sonP(xi) yQ(xi+dxi); esos puntos despus de la deformacin pasan aP(x+ui) yQ(xi+dxi+ui+dui). Dondeuiyui+duison los desplazamientos dePyQrespectivamente. Dado que la deformacin interna de un cuerpo se refiere al cambio de posicin relativa de las partculas que lo constituyen, podemos utilizar cualquiera de ellas para definir el vector de traslacin de dicho cuerpo; en nuestro caso elegimosuicomo la componente trasnacional del cuerpo, que es igual para ambos puntos, y entoncesduies la diferencia de desplazamiento entre ambos puntos inducida por la elongacin y la rotacin.Asumamos ahora que las partculas son adyacentes y que las diferencias de desplazamiento son muy pequeas, tambin que los desplazamientos son una funcin continua sobre los tres ejes coordenados, entonces podemos considerar que el vector desplazamiento y en consecuencia sus componentes varan de manera continua sobre cada uno de los ejesxi, por lo cual podemos escribir la ecuacin del tensor de gradientes de desplazamiento

, de la que podemos obtener el desplazamiento diferencial entre dos puntos cualquiera del cuerpo; ese desplazamiento diferencial representa la distorsin del cuerpo.Un tensor asimtrico de segundo orden, como lo es el tensor de gradientes de desplazamiento siempre puede representarse (o descomponerse) en la suma de un tensor simtrico y unoantisimtrico. Un tensor simtrico es tal queaij=ajiy unoantisimtricoaquel en queaij=-aji, por lo que podemos escribiraij= (aij+aji) + (aij-aji), que en nuestro caso ser

En notacin de matrices el tensor asimtrico de la distorsin se escribe:

, donde la matriz de transformacin es un tensor asimtrico, el cual podemos descomponerlo en uno simtrico, en el cual los trminos que estn que tienen y ocupan posiciones opuestas en la matriz tienen igual valor. A este tensor lo denominamos tensor de distorsin y lo definimos por. La parteantisimtricaser, ntese que la diagonal es cero; a este tensor lo denominamos el tensor de rotacin o devorticidady lo definimos como.Regresando a nuestro planteamiento inicial, la expresin total de la deformacin ser:

En esta expresin podemos ver que se encuentran separadas las componentes de la deformacin que se vieron anteriormente desde un punto de vista geomtrico, estas son las partes de traslacin, de distorsin y de rotacin. Si requiriramos analizar el cambio de posicin de un solo punto nos bastara con la parte de traslacinui; si consideramos el casoirrotacionalde la deformacin, por ejemplo en un graben simtrico, requerimos solamente el tensory si consideramos un caso rotacional, como es el de una sola falla o un graben asimtrico requerimos ambos el tensor de distorsin y el de rotacin.Cuando analizamos el elipsoide de deformacin vimos que se puede identificar una parteisotrpicade la deformacin, as como unadesviatrica, las cuales se identificaron usando la elipse de deformacin. La expresinmatemticasde estas dos componentes de ladeformacines la siguiente:Definamos primero la delta deKronecker, es un operador denominado por la letra, y quetienalapropiedadede ser igual a 0 para todos los casos en queijy adquiere el valor 1 para todos los casos en quei=j.Entonces definimos la parteisotrpicacomo;(recurdeseque la convencin de suma nos dice que; ase le conoce como la dilatacin cbica). Y la partedesviatricaser la diferencia de la parteisotrpicacon la distorsin total, la cual representa el cambio de forma, y est dada por.Con fines didcticos reduciremos a dos dimensiones los ejercicios en el aula, con lo cual los tensores tendrn solamente cuatro componentes.Nota:Para un entendimiento ms completo del siguiente apartado se recomienda la lectura complementaria 01 (Anexo) (Nieto-Samaniego, A. F., 1996, Principios tericos delfallamientofrgil por cizalla. Parte I: la deformacin bidimensional: Unin Geofsica Mexicana,Geos, v. 16, p. 146-151). Adicionalmente, puede estudiar la lectura complementaria 02 (Anexo), en el que se deduce el Crculo deMohrpara el estado deformado, esta herramienta es muy til en el anlisis de las deformaciones, aunque no es tan comn su uso.Bibliografa:Means, W. D., 1990, Review paper: Kinematics, stress, deformation and materialbehavior, Journal of Structural Geology, v. 12, p. 953-971Fossen, H., yTikoff, B., 1993,Thedeformation matrix forsimultneoussimple shearing, pure shearing and volume change and its application totranspression-transtensiontectonicsRamsay, J.G., 1967,Foldingand fracturing of rocks:New York, McGraw-Hill, 568 p.

Mecanismosdedeformacin.Bibliografa:Means, W. D., 1995, Shear zones and rock history,Tectonophysics, v. 247, p. 157-160.Twiss, R.J., andMoores, E.M., 1992, Structural Geology.New York, W.H. Freeman and Co., p. 50-71

Anlisis fenomenolgico de la respuesta de las rocas al esfuerzo.Criterio deCoulombEn una primera aproximacin podemos suponer que un cuerpo se romper por cizalla (diaclasasde cizalla y fallas) debido al esfuerzo de cizalla y por ello a lo largo de plano que contenga a ste. De ah se desprende una primera idea de que la ruptura ocurrir donde la cizalla sea mxima (la parte ms alta del crculo deMohr). Sin embargo, para que el deslizamiento ocurra por cizalla hay que vencer la fuerzafriccionalque se resiste al deslizamiento entre los planos, y recordemos que esta fuerzafriccionales proporcional al esfuerzo normal aplicado, el factor de proporcionalidad es conocido como coeficiente de friccin interna. Entonces, la ruptura por cizalla ocurrir en donde la relacin entre el esfuerzo de cizalla que induce el deslizamiento iguale a la fuerzafriccionalque impide el deslizamiento. Expresando lo anterior a manera de ecuacin escribimos,, dondees el coeficiente de friccin interna del cuerpo.En el espacioMhorla ecuacin anterior es una recta que pasa por el origen y que tiene una pendiente igual al valor del coeficiente de friccin interna.La experiencia nos dice que una roca presentar una resistencia a la ruptura por cizalla aunque no exista esfuerzo normal, a ese valor de la cizalla se le conoce como cohesin, y deber ser vencido por la cizalla para que tenga lugar la fractura. Considerando lo anterior podemos escribir:, a esta ecuacin se le conoce como el criterio de ruptura deCoulomby la interpretacin dada surge en realidad de datos experimentales. Si se somete una probeta a un estado de esfuerzos con un esfuerzo normal medio determinado y se modifica la diferencia de esfuerzos hasta alcanzar la ruptura, y ese experimento se repite para varios valores del esfuerzo medio, entonces trazando la envolvente a los crculos deMohrobtendremos una recta que satisface la ecuacin descrita arriba, como se muestra en la figura siguiente (FiguraIII.d.). Los valorescycaracterizan un material y son sus parmetros de ruptura a la cizalla.FiguraIII.d.Ahora considrese que conocemos la envolvente deMohrpar una roca determinada sometida a un estado de esfuerzos cualquiera Qu modificaciones del estado de esfuerzos podra producir la ruptura de esa roca? Si observamos la FiguraIII.c. podemos deducir que el crculo deMohralcanzara la envolvente si se aumenta suficientemente el radio de la circunferencia, esto equivale a aumentar la diferencia de esfuerzos, que es el valor mximo del esfuerzodesviatricoanalizado con anterioridad. Por otra parte tambin alcanzaremos la envolvente si, manteniendo la diferencia de esfuerzos trasladamos la circunferencia hacia el origen del sistema de coordenadas, lo que equivale a disminuir el esfuerzo normal que acta sobre los planos potenciales de ruptura.Considrese ahora que ya existe un plano y queremos analizar cundo ocurrir deslizamiento sobre l. El criterio deCoulombdel deslizamiento sobre un plano tiene la misma forma que el de ruptura por cizalla, es decir, dondeces la cohesin que existe sobre el plano yel coeficiente de friccin del plano. Ahora bien, si en el plano existe una presin de fluidos (f), esa presin soportar parte del esfuerzo normal que est siendo aplicado sobre el plano de deslizamiento. A la diferencia entre el esfuerzo normal aplicado y la presin de fluidos en el plano se le denomina esfuerzo normal efectivo y constituye el esfuerzo real aplicado, por lo que nuestra ecuacin se ve modificada como sigue:. Obsrvese que un aumento enfequivale a una disminucin den. Tpicamente los valores decyson menores que los decy, aunque no siempre tiene que ser as. Por ejemplo en una fractura abiertacser cero y si hay material de falla como salbanda o brecha, su cohesin ser mucho menor que la de la roca sana; algo semejante ocurre con la friccin, aunque en trminos generales los coeficientes de friccin de dos paredes de roca sana tienen coeficientes de friccin semejantes a el coeficiente de friccin interna de la roca intacta, si la falla est rellena con materiales arcillosos, lo que es muy comn, y especialmente en los casos de contenermontmorillonitaoilita, tendrn coeficientes de friccin bastante ms bajos que el coeficiente de friccin interna de la roca intacta. En un espacioMohr, la recta deCoulombde una falla preexistente ser una lnea recta que corta a la coordenada vertical en un punto ms abajo que la envolvente deCoulomby posiblemente con una pendiente un poco menor (FiguraIII.e).

Figura III. e.El arco de que se localiza entre las rectas de ruptura y de deslizamiento sobre un plano constituye una zona de inestabilidad, en la que los planos con esas orientaciones y que se encuentren sometidos al estado de esfuerzos representados por el crculo deMohrocurrir deslizamiento sin que se alcance la ruptura del material sano. Esta es una situacin comn en la naturaleza ya que siempre existen planos de debilidad en las rocas, por ejemplo foliaciones,diaclasas, planos de estratificacin, fallas preexistentes, etc.Ejercicios en clase:Dibuje un crculo deMhorpara los siguientes estados de esfuerzos:a). Presin hidrosttica cualquiera.b). Un estado de esfuerzos con el esfuerzo principal mnimo igual a cero.d). Un estado de esfuerzos con el esfuerzo principal mnimotensional(negativo).e). Un estado de esfuerzos que no alcanza la envolvente. Explique que pasar en ese caso con la probeta.f). Un estado de esfuerzos que rebasa la envolvente. Explique que pasar con la probeta en ese caso.g). Cmo interpretara una envolvente horizontal?h). Entre mayor sea la pendiente de la envolvente cmo ser el ngulo de ruptura?i). Dibuje un esquema en espacioMohrilustrando un aumento en la presin de fluidos y otro ilustrando una disminucin en la presin de fluidos.j). Que pasa al crculo deMohrde un estado de esfuerzos hidrosttico si aumenta la presin de fluidos?Comportamiento de las rocas al ser sometidas a esfuerzoLas rocas son materiales que tienen doscararactersticasmuy importantes para su comportamiento a la deformacin, se trata de materiales policristalinos con minerales de distintas composiciones; y contiene planos de debilidad que van desde zonas con comportamientoreolgicodistinto hasta fracturas abiertas. Las rocaspresentasndos comportamientos a la deformacin en lamacroescala, frgil y dctil. La diferencia es que en el primero ocurrefracturamientodel material es decir elmaterilpierde la cohesin en algunas de sus partes y en el segundo se da el cambio de forma sin que haya prdida de cohesin del material. Los mecanismos de uno y otro tipos de deformacin no sern tratados aqu, solamente apuntaremos algunas de sus caractersticas principales.Los factores que tienen mayor influencia (no los nicos) para determinar si la deformacin ser frgil o dctil son lapresin, latemperatura, lavelocidad de deformaciny la presencia defluidos. La deformacin dctil ocurre de varias maneras, una es por deformacin frgil (deslizamiento sobre planos) en escalas menores a la de observacin y de esa manera no hay prdida de cohesin a la escala observada, este tipo de deformacin lo tenemos de manera dominante en el plegamiento de cobertura; otra es por transferencia de material va disolucin-precipitacin, que comnmente se asocia tambin a los fenmenos de plegamiento, y por deformacin cristal-plstica, que es la dominante en los procesos de deformacin con metamorfismo asociado. La deformacin frgil es un fenmeno controlado fundamentalmente por la presin, o por la friccin segn se quiera ver, recurdese que la fuerzafriccionales proporcional a el esfuerzo normal; por otra parte los procesos cristal-plsticos son fenmenos controlados por la temperatura (tipoArrenius). En un esquema simplificado pero ilustrativo como el que se muestra en la FiguraIII.f, se puede verificar que especificadas las condiciones de temperatura y presencia de fluidos, cambios en la velocidad de deformacin puede producir deformacin frgil o dctil.

FiguraIII.f.Si la velocidad de deformacinvsupera a la velocidad con que ocurre el proceso de disolucin y precipitacin, se dar la fractura del material. Ambas velocidades pueden tener variaciones en el tiempo, por lo que puede presentarse una superposicin de ambos tipos de deformacin. El caso de la deformacin cristal-plstica es anlogo al de la FiguraIIIf, siendo en ese caso la temperatura la que permite una mayor velocidad de deformacin por procesos cristal-plstico.Los planos de deslizamiento en ensayos mecnicos.Cuando una roca es sometida a compresin, tienen lugar una serie de fenmenos que culminan con la fractura del material. El resultado depender de las condiciones en las que se realiza el experimento. En la FiguraIII.gse muestran los resultados tpicos para distintos casos.

FiguraIII.g.Fracturas producidas en probetas bajo distintas condiciones. 1 en ausencia de presin confinante se general fracturas por extensin (splitting), 2 en condiciones de confinamiento se producen fracturas de cizalla (tipoCoulomb), 3 con una presin confinante alta se producen fracturas tipoCoulombpero la probeta experimenta cierto grado de deformacin dctil, 4 en una prueba de tensin se producen fracturas por extensin.Si se inicia con una probeta sana, en respuesta a la deformacin (o a los esfuerzos aplicados) se inicia el crecimiento de pequeasmicrofracturasa partir de los defectos existentes. Todas lasmicrofractrurascrecen por medio de la propagacin de fracturas de tensin en las puntas de los defectos (Fracturas Tipo I) y durante el proceso ocurre el enlace de aquellas que se encuentran cercanas. Sobre las fracturas mayores se resolver un esfuerzo normal y uno de cizalla segn estn orientadas y habr mayor propensin al deslizamiento en aquellas orientadas adecuadamente con respecto al sistema de esfuerzos general (como ya se analiz con anterioridad); as las fracturas orientadas ms favorablemente crecern ms rpido y el proceso culminar con la formacin de fracturas mayores con orientacinCoulombque rompen la probeta.Bibliografa:Stearns, D. W., et al., Understanding faulting in the shallow crust: Contributions of selected experimental and theoretical studiesMarshakS. yMitra, G., 1988 Basic Methods of Structural Geology,PerenticeHall, 446p. (Captulo10)Scholz, C., The mechanics of Earthquakes and faulting, Cambridge University Press,Atkinson, K., Fracture Mechanics of rocks, Academic Press Geology Series (captulos1 y 2).

Los dominios de la deformacin geolgicaLas zonas de cizalla se presentan en la corteza de dos modos extremos, a manera de fallas frgiles y como zonas de deformacin dctil, en ambos casos forman cuerpos aproximadamente tabulares. En la FiguraIII.hse muestra la distribucin con la profundidad que se observa en las fallas, stas pasan de ser zonas de deformacin quebradiza en la parte superior de la corteza, formando rocas poco o no cohesivas como las brechas, salbandas ycataclasitasa una zona de deformacin dctil donde se formanmilonitas, entre estos dos dominios se presenta una zona de transicin donde coexisten ambos tipos de rocas. La zona de transicin se localiza entre 12 y 15kmaproximadamente.

FiguraIII.h.Esquema que muestra los dominios de la deformacin frgil y dctil segn la profundidad y temperatura en la corteza, tambin se muestra el tipo de roca de falla que e forma y lasfaciesmetamrficas.En la FiguraIII.imuestra la distribucin de la resistencia mxima de las rocas corticales al esfuerzodesviatrico, para las condiciones de temperatura y presin de fluidos indicadas en ella. Por ejemplo, una roca puede resistir hasta 200MPaa profundidades aproximadas de entre 4 y 17km, a menor profundidad se fracturar formando una falla frgil, y a mayor profundidad se deformar dctilmente formando una zonamilontica. Obsrvese que se localiza la zona de transicin frgil-dctil entre los 12 y 15kmde profundidad aproximadamente.

FiguraIII.i.Grfica que muestra la resistencia de la corteza. Obsrvese que se pueden deducir losdominosde las deformaciones frgil y dctil mostrados en la FiguraIII.h.Bibliografa:Sibson, R. H., 1986, Earthquakes and rock deformation incrustalfault zones, Ann.Rev.EarthPlanetSci, 14, 149-175Nieto yAlaniz, Apuntes de Geologa Estructural, Geometra de fallas a profundidad.Wise et al., 1984, Fault related rocks: Suggestions for terminology, Geology, v. 12, p. 391-394Schmid, S.M. and Handy, M.R., 1991.Towards a genetic classification of fault rocks: Geological usage andtectonophysicalimplications, Controversies in modern geology.AcademicPressLimited, pp. 339-361.

La deformacin frgil de los medios rocosos discontinuosLa activacin de las fallas existentesCriterios de deslizamiento y orientacin del deslizamiento sobre planospre-existentesCinemtica de fallas en un medio rocoso fracturadoBibliografa:Alaniz-Alvarez, S. A., y Nieto-Samaniego, A. F., 1997, Representacin grfica de los dominios de ruptura y deslizamiento: aplicacin a la Falla de Oaxaca, Mxico: Univ.Nal.Autn. Mxico, Inst. Geologa, Revista Mexicana de Ciencias Geolgicas, v. 14, p. 26-37.Morris, A.,Ferril, D. A., y Henderson, D. B., 1996, Slip-tendency analysis and fault reactivation, Geology, 24,p. 275-278.Hancock, P. L., Editor, 1994, Continental deformation,PergamonPress,OxfordNew York,Seoul,Tokyo, 421p.(Captulo14)Twiss, R.J., andMoores, E.M., 1992, Structural Geology.New York, W.H. Freeman and Co., 532 p. (captulo9)

-Inicio y propagacin de fallas en un medio rocosoAhora pasaremos a analizar de manera especfica como se desarrollan las fallas en la corteza terrestre. En este apartado trataremos las fallas como objetos individuales y solamente veremos la interaccin que ocurre entre fallas que se encuentran cercanas. Posteriormente, en la ltima parte estudiaremos las fallas y fracturas como conjuntos de estructuras. Es generalmente aceptado que las fallas crecen de dos maneras, por propagacin de una fractura a partir de sus colas y por enlace de dos fracturas cercanas para formar una de mayor tamao.Iniciaremos por definir los tres modos bsicos en que se propaga una fractura, los cuales se ilustran en la FiguraIII.h.

FiguraIII.h. Esquema de los principales tipos de fractura. Modo I son fracturas de extensin donde el desplazamiento es perpendicular a las paredes de la fractura. Modo II son aquellas en las que le la cizalla es paralela a la direccin de propagacin de la fractura. Modo III son aquellas en las que la cizalla es perpendicular a la direccin de propagacin de la fractura.Es generalmente aceptado que las fracturas se inician a partir de un defecto (crack), este puede ser muy pequeo, por ejemplo una pequea fractura o elclivajeen un cristal, o cualquier otro defecto que constituya una zona o plano de discontinuidad muy pequeo con relacin a al objeto que se est deformando, a estas zonas las denominaremos zonas denucleacinde fracturas. Hay dos maneras de analizar las condiciones que hacen que la fractura se propague a partir de esos pequeos defectos. Los basados en el balance de energa (elstica) en el sistema, basados en la teora deGriffity los que analizan la distribucin espacial del sistema de esfuerzos alrededor del defecto o fractura, denominados de manera genrica mecnica de la fractura. En el caso de la teora deGriffitse puede determinar las condiciones en las cuales un crack se propaga, se mantiene estable o se cicatriza. En el caso de la Mecnica de la Fractura Lineal Elstica, se define la geometra de la propagacin, lo cual es especialmente til en la geologa estructural.En la FiguraIII.ise muestran las trayectorias que seguirn las colas de unamicrofracturaen dos circunstancias: En una pequea fractura aislada, las colas crecern siempre en modo I con una tendencia a alinearse perpendiculares al esfuerzo mnimo compresivo (3) en la notacin que hemos seguido, independientemente del modo en el que se encuentre la fractura pequea; estas colas pueden crecer hasta una longitud finita, ya que al crecer el esfuerzo necesario para producir su propagacin aumenta haciendo imposible que su propagacin contine. Cuando dos fracturas se aproximan, las colas tienden a seguir las trayectorias del esfuerzo, dichas trayectorias estn perturbadas por las fracturas mismas, por ello tienden a curvarse hasta interceptarse una con otra.

FiguraIII.i. El esquema de la izquierda muestra que un crack sujeto a cizalla dado el estado de esfuerzos general se propagar por el crecimiento de sus colas siempre en el Modo I, las colas tienden a orientarse perpendiculares al esfuerzo compresivo mnimo. En el esquema de la derecha se muestran las trayectorias de los esfuerzos en las inmediaciones de la cola del crack 1, las lneas son perpendiculares al esfuerzo mnimo compresivo local. Al crecer el crack 2, tiende a seguir las trayectorias del esfuerzo local adquiriendo una forma curva. En este esquema se simplific el caso suponiendo que el campo se esfuerzos slo esta afectado por el crack 1, pero en realidad tanto el crack 1 como el 2 generarn una zona de perturbacin en el campo de esfuerzos siendo el resultado que las dos colas se curven simtricamente.El estado de esfuerzos en la vecindad de las colas de dos fracturas cercanas se ilustra en la FiguraIII.j. El caso ilustrado es de fallas laterales derechas, en el caso a con un salto izquierdo y el caso b con un salto derecho. En el casoase define un rea entre las dos colas que est sometida a compresin y el rea con esfuerzo principal mnimotensionales muy pequea y restringida a una zona muy cercana a las colas de las fracturas; dada la configuracin de las trayectorias de los esfuerzos principales se formarn fracturas de cizalla secundarias tal como se ilustra; ntese que las fracturas de tensin tendern a alejarse de la fractura vecina; una zona de relevo como sta evolucionar a un a zona compleja con numerosas fracturas de cizalla. En el casobcasi toda la zonalicalizadaentre las colas de las fracturas tiene un esfuerzo principal mnimotensional, lo que hace fcil el desarrollo de fracturas en modo I que al seguir las trayectorias de los esfuerzos para orientarse perpendicular al esfuerzo principal mnimo (vase figuraIII.i), tendern a unir ambas fracturas.

FiguraIII.j.El proceso de enlace de fracturas en escalas mayores se relaciona ntimamente con el desarrollo de un sistema de fracturas secundario que se genera en las zonas de cizalla (zonas de cizalla simple), conocido en general como sistemasRiedel. Aunque debe aclararse que el trmino fracturasRiedelse refiere a un grupo especfico de fracturas con una orientacin determinada dentro de la zona de cizalla (FiguraIII.k). Los conjuntos de fracturasRiedeltienen la caracterstica de formarse en casi todas las zonas de cizalla, tanto en experimentos analgicos con arcillas y arenas como en fallas de gran desplazamiento o incluso en losfracturamientosasociados a grande eventos ssmicos. La FiguraIII.kmuestra un sistemaRiedel, la elipse de deformacin finita producida y las direcciones principales de los esfuerzos asociados.La experiencia nos muestra que en los medios rocosos naturales existen numerosas fracturas de muy diversos tamaos y comnmente tambin con orientaciones diversas, por ello en general cuando una fractura se est propagando se aproxima a otras fracturas y tendr lugar un enlace. Cuando se propaga una fractura pequea esta fractura se aproximara a otras fracturas y al unirse formarn fracturas mayores que podrn constituirse en zonas denucleacinde fracturas en para una escala mayor, y el proceso de crecimiento de colas en Modo I se puede repetir en la nueva escala formando as estructuras cada vez mayores. Ms adelante discutiremos cmo este proceso puede ser el responsable del escalamiento de las fracturas.

FiguraIII.k. Esquema mostrando las relaciones geomtricas de las estructuras formadas en un sistema de cizalla izquierdo. R = FracturasRiedel, son fracturas de cizalla sintticas con el sistema de cizalla general, R =Fracturas conjugadasRiedelcon cizalla antittica, en este caso cizalla derecha, T = Fracturas de tensin (abiertas), son paralelas al esfuerzo principal mximo compresivo, X Fracturas de cizalla derecha, P = Fracturas de cizalla sintticas con la cizalla general.Las zonas de cizalla evolucionan al aumentar la deformacin finita, desarrollando las fracturas mostradas en la FiguraIII.k, esas fracturas se deforman y rotan progresivamente conforme avanza la deformacin produciendo el enlace de segmentos de falla y estructuras en rombos y estructuras trenzadas que comnmente son observadas tanto en la naturaleza como en modelos analgicos. La generacin de fracturasRiedel, estructuras rmbicas, lentessigmoidalesy estructuras trenzadas representan fases paulatinamente ms avanzadas de la deformacin. Recurdese que la caracterstica principal de la cizalla simple es que las lneas materiales rotan conforme la deformacin avanza, pudiendo pasar de un dominio de acortamiento a uno de alargamiento. En la FiguraIII.lse muestra un ejemplo de enlace de fallas en un modelo de arcilla por medio del crecimiento de fracturas R y P.

FiguraIII.l.En una zona de cizalla se forman adems de las fracturas de cizalla otras estructuras, tanto de acortamiento como de alargamiento. En la FiguraIII.mse ilustra la disposicin de esas estructuras con respecto al la zona de cizalla.

FiguraIII.m.Crecimiento de fallas, terminacin de fallas y zonas de relevo.Los enlaces se pueden agrupar en dos tipos mayores, enlace dbil o incompleto y enlace fuerte o completo. El enlace dbil se refiere al estado en el cual dos fracturas cercanas empiezan a interactuar, generando una zona de transferencia en donde aparecen estructuras tales como rampas y fallas secundarias. El enlace fuerte se refiere al estado en el cual ya se generaron fracturas secundarias que unen las fracturas originales formndose as una sola estructura compleja. En la FiguraIII.n. Se muestra el desarrollo de una falla normal mayor a partid del enlace de fallas menores, que al unirse forman segmentos de la falla completamente desarrollada. El enlace ocurre en fracturas y en todos los tipos de fallas (normales, inversas y laterales).

FiguraIII.n.Las zonas de transferencia pueden ser de distintos tipos dependiendo de la cinemtica de las fallas involucradas, su forma y las estructuras que en ellas se desarrollan dependen tambin de la cantidad de traslape que haya entre las fallas; en la FiguraIII.ose presenta un cuadro con los tipos de zonas de transferencia para fallas normales.

FiguraIII.o.Cada tipo de transferencia depender de la cinemtica de las fallas y de cmo se aproximan unas a otras durante el proceso de crecimiento. A manera de conclusin podemos decir que lasfractrurasy fallas crecen principalmente por dos mecanismos fundamentales: (a) por propagacin, en este caso el registro queda a manera de mltiples fracturas abandonadas que se localizan en los alrededores de la estructura mayor y (b) por enlace, en este caso la estructura desarrollada adquirir una forma enzig-zago anastomosada para estadios avanzados de deformacin (FiguraIII.p).

FiguraIII.p.Esquema que muestra el crecimiento de una falla por propagacin (A) y por enlace con otra estructura (B).TomadodeAlessioy Martel Fault terminations and barriers to fault growth Journal of Structural Geology 26, p. 1885-1896.Bibliografa:Peacock, D. C. P., 2002, Propagation, interaction and linkage in normal fault systems, EarthSciencieReviews, 58, p. 121-142Hancock, P. L., Editor, 1994, ContinentaldDeformation,PergamonPress,OxfordNew York,Seoul,Tokyo, 421p.(Captulo 6)Estructuras regionales y conjuntos estructuralesLa tectnica en compresinLa inversin tectnicaBibliografa:Hancock, P. L., Editor, 1994, Continental Deformation,PergamonPress,OxfordNew YorkSeoulTokio, 421p.EguiluzdeAntuanoet al., 2000, Tectnica de la Sierra madre Occidental, Boletn de la Sociedad Geolgica Mexicana, v. LIII, p. 1-26.Napasde coberturas sedimentarias y de despegue (decollement).Napasde basamento por deformacin dctil.Deformacin dctil en extensin. Los complejos de ncleo metamrfico (Metamorphiccorecomplex)Bibliografa:Auboin, J., 1980, Tratado de geologa, tomo III TectnicaTectonofsicay Morfologa, Ediciones Omega.339 p.LePichon, X., yChamot-Rooke, N. Extension of continental crust, Controversies in modern geology.AcademicPressLimited, pp. 313-339.Martnez-Reyes, J., y Nieto-Samaniego, A. F., 1990, Efectos geolgicos de la tectnica reciente en la parte central de Mxico: Universidad Nacional Autnoma de Mxico, Instituto de Geologa, Revista, v. 9, p. 3350.Nieto-Samaniego, A. F., Ferrari, L.,Alaniz-Alvarez, S. A.,Labarthe-Hernndez, G., y Rosas-Elguera, J., 1999,VariationofCenozoicextensionandvolcanismacrossthesouthernSierra Madre OccidentalVolcanicProvince, Mxico,GeologicalSocietyofAmericaBulletin, v. 111, p. 347-363.Suter, M., Lpez-Martnez, M., Quintero-Legorreta, O., Carrillo-Martnez, M., 2001,Quaternaryintra-arcextensioninthecentralTrans-Mexicanvolcanicbelt,GeologicalSocietyofAmericaBulletin, v. 113, p. 693-703.

Escalamiento de fracturas y fallasIV. GeometraFractalLos objetos geolgicos tienen distintos tamaos, los hay desde la escala microscpica hasta la escala planetaria. Es evidente que se nos facilita estudiar aquellos cuyos tamaos son cercanos al nuestro, desde tamaos que podemos observar con una lupa de aumento hasta aquellos que podemos recorrerlos caminando. Para estudiar objetos ms pequeos requerimos de tomar muestras y trasladarlas a laboratorios donde podamos observarlas o analizar su constitucin qumica o fsica utilizando diversos aparatos; para estudiar los ms grandes requerimos el uso de algunas tecnologas como fotografas areas o imgenes de satlite, por ejemplo.Este concepto de escala o de distintas magnitudes de los objetos podemos trasladarlo ms all de lo referente a sus dimensiones fsicas, es decir a la medida de las magnitudes de sus fronteras. La observacin de los objetos nos muestra que hay objetos ms complejos que otros, por ejemplo un cubo de hierro fundido es menos complejo que un rbol. Bajo esta consideracin podemos suponer que la complejidad de los objetos puede variar mucho y podramos tambin hablar de escalas de complejidad. Un ejemplo ilustrativo de esto es el siguiente: obsrvese la FiguraIV.a, donde aparece una lnea de longitudx; a su derecha aparece una lnea quebrada de la misma longitud. A pesar de que ambas son una sola lnea y su nico parmetro invariante, su longitud, es el mismo, para un observador es evidente que la lnea quebrada tiene una forma ms complicada que la lnea recta. Vayamos ms adelante, por la forma en que se construy, lnea cerrada que est en el extremo derecho de la figura, con un aumento de su longitud debido a cada doblez, y suponiendo que el nmero de dobleces o pliegues hechos a la lnea es infinito, se pude deducir que esa lnea tendr una longitud infinita, pero encerrar un rea finita. En este caso se hace mucho ms evidente que la lnea de la extrema derecha de la figura es mucho ms compleja que la de la extrema izquierda.

FiguraIV.aEste ejemplo tiene la finalidad de ilustrar que adems al estudiar la geometra de un objeto, adems de la escala en tamao, se hace necesario considerar la escala de la complejidad del objeto para poder describirlo y, como se desprende de la misma figura esa complejidad ser posible determinarla utilizando una o varias escalas adecuadas de observacin ya que, aquello que es evidente a una escala no lo es a otra.En esta parte de este curso nos centraremos principalmente en estudiar la complejidad de los objetos geolgicos, particularmente de las fracturas y conjuntos de fracturas. Iniciemos diferenciando lo que es contar y medir. Medir es un proceso continuo, la medida de una longitud (una cara de un objeto por ejemplo) depender solamente de la precisin del instrumento de medicin que utilicemos, o implcitamente de la escala a la cual estemos realizando la medicin. En cambio, contar es un proceso discreto, contamos uno, dos y tres objetos, no depende de la escala de observacin. De la misma manera, hay procesos que son continuos en el tiempo o en el espacio y por lo tanto al graficarlos variarn de un punto a otro continuamente. Hay otros procesos que son discretos o que se comportan en saltos discretos es decir pasan de un estado a otro. Estudiaremos este tipo de procesos ya que ellos son lo que se encuentran en el corazn mismo del Caos.Iteracin yautoreferenciaLaautoreferenciaes la condicin en la cual un enunciado hace referencia a s mismo. Esta caracterstica tiene una enorme trascendencia en el resultado de un proceso, como se explicar ms adelante.Unaiteracines, en trminos simples y claros, es una funcin de s misma. La diferencia entreautoreferenciae iteracin es que la primera es lacondicinde referirse a s mismo (existo no existe), mientras que la iteracin es unarepeticinque puede producirse un nmero determinado de veces.Tomemos como ejemplo la funcin, entonces podemos definir una funcin de esta misma funcin, de donde se hace evidente que requerimos primero definir, es decir especificar un valor para, digamos por ejemplo para, entonces obtenemos. Decimos que esta es la segunda iteracin de la funcinpar un valor inicial de. De este ejemplo podemos ver que los valores depara cada iteracin no variarn continuamente, sino en saltos teniendo un valor definido para cada iteracin que depender del valor inicial dex.Veamos ahora que los valores de las iteraciones de ciertas funciones variarn enormemente dependiendo de el valor inicial dex. Considrese la funcin. En la siguiente tabla siguiente se muestran los valores que toma la funcin para distintos valores iniciales dex.Valorinicialdexrbita dexValores de la funcin para las iteraciones 1,2,3, comenzando con el valor inicial dex

22, 4.25, 18.31, 335.59, 112626.03,

0.50.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5,

0.40.4, 0.41, 0.4181, 0.4248, 0.4304,

0.60.6, 0.61. 0.6221, 0.6370, 0.6557,

00, 0.25, 0.3125, 0.3476, 0.3708,

Vemos en la tabla que las rbitas son muy diferentes dependiendo del valor inicial; para 2, los valores de la rbita aumentan indefinidamente, para 0.5 todas las iteraciones tendrn el mismo valor 0.5, para 0.6 el valor de las iteraciones aumenta pero a una taza mucho ms pequea que para 2, y para 0.4 y 0 los valores de las iteraciones aumentarn pero teniendo como lmite 0.5.Pasemos ahora a decir que los procesos caticos son procesos no lineales que pueden ser simulados por medio de iteraciones matemticas, adems ahora sabemos que muchos procesos naturales y especficamente procesos geolgicos se comportan de manera catica. Si esto es verdad, del sencillo ejemplo mencionado arriba deducimos que no solo es necesario conocer la funcin, sino adems conocer el valor exacto inicial de la variable (o las variables) involucradas para poder predecir el resultado de la iteracinn, aeseosvalores inicial le denominamos condiciones iniciales y resulta intuitivamente obvio que en un proceso natural es imposible conocer los valores iniciales de todas las variables involucradas. Ya vimos que un cambio muy pequeo en las condiciones iniciales puede producir resultados dramticamente distintos. Esta es la esencia del Caos.Espacio de FaseEl Espacio de Fases un espacio hipottico que posee tantas dimensiones como el nmero de variables que intervienen en un sistema dinmico determinado. Cada variable estara representada por un eje coordenado y un punto en el espacio de fase representara el conjunto de valores simultneos de todas las variables. Si graficamos los valores simultneos que adquieren las variables para diferentes momentos los puntos en el espacio de fase dibujarn una trayectoria que se denomina rbita. Cuando en un sistema de fase una rbita tiende a un punto o conjunto de puntos, se dice que ese conjunto de puntos es unatractor. Por ejemplo al graficar la rbita en el espacio de fase velocidad-posicin de un pndulo este siempre terminar en un punto que representa el estado de reposo (cuando el pndulo est quieto, localizado en la vertical y con velocidad cero). Ese punto es elatractorpara un pndulo. Pueden existir muchos otrosatractores, por ejemplo una circunferencia, pero los sistemas caticos tienenatractoresdiferentes, llamadosatractoresextraos, y cuya caracterstica es que su dimensin esfractal. Pasemos entonces a definir que es la dimensin de un objeto.Dimensiones topolgicas y dimensinfractalNo es tan sencillo definir la dimensin de un objeto, para fines prcticos de este curso consideraremos simplemente que la dimensin topolgica es aquella que obtenemos de definir en un cuerpo la parte ms pequea y simple que nos permite dividirlo, y a la dimensin euclidiana de ese cuerpo le sumamos 1. Por ejemplo una lnea puede ser dividida por un punto, entonces su dimensin es 1 ya que un punto tiene dimensin 0 y al sumarle 1 obtenemos 1; pero una superficie no puede ser dividida por un punto, requerimos una lnea para dividirla, por lo cual su dimensin topolgica ser 1+1=2; y para un cuerpo que tiene volumen requeriremos un plano para poder dividirlo, as su dimensin topolgica ser 3. Las dimensiones obtenidas de esta manera son intuitivas si consideramos la libertad de movimiento que nos permite cada objeto, por ejemplo en una lnea slo podemos movernos en una direccin (en dos sentidos, claro est) y entonces tendremos que la lnea tiene dimensin 1, en el plano podemos movernos en dos sentidos (dimensin 2) y en un cuerpo en tres sentidos (dimensin 3), vase lectura complementaria 3.Para poder obtener una medida de la dimensin de un objeto acudimos a la denominada DimensinHausdorff-Besicovich. Para ello partimos de que un objeto puede ser llenado por un nmero determinado de objetos de forma semejante N(r) con un factor de semejanza que denominaremosrentonces la dimensin topolgica ser igual al valor D de acuerdo con, por lo que. Veamos ahora que pasa con la dimensin de un cuadrado por ejemplo, lo podemos dividir en cuatrosub-cuadrados que lo llenan completamente, entoncesr= 1/2 y N = 4, la razn de semejanzares un medio ya que para obtener elsub-cuadrado lo que hicimos fue sacar mitad a las magnitudes de los lados del cuadrado mayor. Entonces de acuerdo con nuestra ecuacin tenemos que, lo cual coincide con nuestra dimensin topolgica de un cuadrado.Si aplicamos este procedimiento a otros objetos, encontraremos que para algunos de ellos el valor de D no es entero sino fraccionario, a esos objetos los denominamosFractales. Losfractalestienen una dimensin fraccionaria cuyo valor est entre el valor de la dimensin topolgica de los objetos que lo constituyen (los que pueden dividirlo) la dimensin inmediatamente superior. Por ejemplo unfractalque est compuesto por lneas, que sera el caso de un mapa con trazas de fallas, tendr una dimensin entre 1 y 2. Una explicacin ms extensa se puede consultar en la lectura complementaria 03 (Anexo)En la lectura complementaria 04 (Anexo) aparecen algunosfractalesclsicos, sus caractersticas y sus dimensiones. Todos estosfractalessonDeterminsticos.Es momento de introducir una definicin deFractal, podemos decir que es un objeto compuesto por partes que son semejantes al objeto en su conjunto. Existen varios tipos defractales, aquellos en los que las partes que los componen son idnticas (o estadsticamente semejantes para losfractalesnodeterminsticos) al objeto mayor, dada esa caracterstica siempre observaremos el mismo objeto independientemente de la escala de observacin. Este caso es muy conocido por los gelogos ya que en un afloramiento requerimos de una escala para conocer el tamao de las estructuras geolgicas, pues son semejantes indistintas escalas; a estosfractalesse los denominaAutosimilares. Cuando la semejanza de las partes con el todo se da conjuntamente con una deformacin, es decir al cambiar de escala se observa el mismo objeto pero deformado, decimos que se trata de unfractalAutoafn. Por ltimo, hayfractalesque cumplen con lasemeanzaal cambiar de escala pero que estn compuestos por otros objetosfractales, a estos los denominamosMultifractales.

Aplicacin a las Fracturas y FallasLa aplicacin de la geometrafractalal estudio de las fracturas ha tenido un gran auge en los ltimos aos y la literatura al respecto es ya muy numerosa. Los estudios se enfocan a determinar caractersticas tales como distribucin de longitudes, distribucin de desplazamientos,clustering(agrupamiento), y a partir de los parmetrosfractalesde las poblaciones de fracturas determinar porosidades y conectividad. En este caso abordaremos, a manera de ejemplo de aplicacin de la geometrafractalal estudio de las fracturas, el problema de determinar la cantidad total de fractura que puede contener una falla mayor.Nota:Ejercicios para generar conjuntos de fracturas con distintos parmetros usando el programaFautGrowthy determinar su dimensin de caja utilizando el programaFractalAnlisis. Se har un ejercicio utilizando una imagen de un cuerpo fracturado para determinar su dimensin de fragmentacin, densidad de fractura y se determinar su grado defracturamientorelativo.Bibliografa:Marrett R., Allmendinger, R. W., 1992, Amount of extension on small faults: An example from the Viking graben, Geology, v. 20, p. 47-50Marrett R., Allmendinger, R. W., 1990, Kinematic analysis of fault slip data Journal of Structural geology, v. 12, No. 8, p. 973-986Scholz, C. H., Cowie, P. A., 1990, Determination of total strain from faulting using slip measurements, nature, v. 346, p. 837-839.La Pointe, P. R., Hudson, J. A., 1985, Characterization and interpretation of rock mass joint patterns, Special Paper 199, Geological Society of America.25p.Nieto-Samaniego, A. F., Alaniz-Alvarez, S. A.,Tolson, G., Oleschko, K., Korvin, G., Xu, S.-S., y Prez-Venzor, J. A., en prensa (en pgina web de A. Nieto), Spatial distribution, scaling and self-similar behavior of fracture arrays: Pure and Applied Geophysics.,Nieto-Samaniego, A. F., Alaniz-Alvarez, S. A.,Tolson, G., Xu, S.-S., y Prez-Venzor, J. A., 2003, Estimacin de densidades, distribuciones de longitud y longitud total de fracturas; un caso de estudio