geodesie 1819 05 geodesie v5 sterk ingeperkte versie
TRANSCRIPT
14 | GEODESIE EN CARTOGRAFISCHE SYSTEMEN
- o.a. verdedigd door Descartes en Cassini - stond voor een prolate vorm van de aarde, de andere - o.a. gesteund door Newton en Huygens - stond voor een oblate vorm van de aarde.
Prolate vorm Oblate vorm
Figuur 12 β Prolate vs. oblate hypothese van de aarde
De Franse AcadΓ©mie des Sciences lanceerde twee expedities om de veldwaarnemingen te verrichten, de ene naar Lapland (1736-1737), met als wetenschappers Pierre Maupertuis en Anders Celsius, de andere naar Ecuador (1735-1739), met Charles Marie de la Condamine, Pierre Bouguer en Louis Godin als astronomen
Figuur 13 β Booggraadmetingen
Op basis van de gegevens van de expedities en de graadmeting welke ook in Frankrijk werd uitgevoerd kon Alexis- Claude Clairaut in 1743 in zijn De la Figure de la Terre aantonen dat Newton en Huygens het bij het rechte einde hadden.
GEODESIE EN CARTOGRAFISCHE SYSTEMEN | 15
2.2.4.3 Formules in verband met bepaling afmetingen aardellipsoΓ―de
De vergelijking van de meridiaanellips wordt gegeven door + = 1
Beschouwt men twee meridiaanbogen Arc π΅ en Arc π΅ waarvan men de lengte kent door triangulatie (zoals bijvoorbeeld de expedities van Maupertuis en de la Condamine realiseerden), met resp. π , πβ² , π en πβ² de geodetische breedten van de einpunten van Arc π΅ en Arc π΅ , en zij R1 en R2 de waarden van de kromtestralen van Arc π΅ en Arc π΅ .
Figuur 14 β Graadmeting op ellipsoΓ―de
Dan is
Arc π΅ = π . (πβ² β π )(Β°). Vgl. 2-8
Arc π΅ = π . (πβ² β π )(Β°). Vgl. 2-9
De waarde van de kromtestraal R van een ellips met halve grote as a excentriciteit e is, op breedte π (zie Β§ 2.2.5.1)
π =π(1 β π ) sin π
(1 β π sin π)=
π(1 β π )
(1 β π sin π)
Voor R1 en R2 neemt men voor de breedte de gemiddelde breedte van de beschouwde boog, zodat
Arc π΅1 =π(1 β π2)
1 β π2 sin2(12
(π1
+ πβ²1
)
32
. πβ²1
β π1
(Β°).
π
180 Vgl. 2-10
16 | GEODESIE EN CARTOGRAFISCHE SYSTEMEN
Arc π΅2 =π(1 β π2)
1 β π2 sin2(12
(π2
+ πβ²2
)
32
. πβ²2
β π2
(Β°).
π
180
Vgl. 2-11
In deze twee vergelijkingen zijn B1, B2, π , π , πβ² en πβ² waargenomen grootheden, zodat men hieruit de waarde van a en e kan berekenen.
Hieruit volgt dan ook b uit π = en de afplatting uit π = .
Om dan zo precies mogelijk de vorm van de ellipsoΓ―de te bepalen werden in het verleden verschillende meridiaangraadmetingen gebruikt welke men vereffende met de methode der kleinste kwadraten.
2.2.4.4 Thans
Moderne technieken gebaseerd op satellietplaatsbepaling laten toe met hoge nauwkeurigheid de vorm en afmetingen van de aarde vast te leggen. Dit gaf uiteraard aanleiding tot het gebruik van aangepaste ellipsoΓ―den, zoals GRS1980.
2.2.5 Berekeningen op de ellipsoΓ―de
2.2.5.1 Geocentrische breedte Ο, geodetische breedte Ξ², geografische breedte Ο en astronomische breedte
Figuur 15 β Geocentrische breedte Ρ° vs. geodetische breedte Ξ²
De geocentrische breedte Ο van het punt A is de hoek in het centrum van de sfeer gemeten in het meridiaanvlak van het punt A tussen de equator en het punt A. Dit komt overeen met de boogafstand AβA van de meridiaanboog door A. Deze hoek wordt positief gemeten naar de Noordpool, negatief naar de Zuidpool.
GEODESIE EN CARTOGRAFISCHE SYSTEMEN | 17
De geodetische breedte Ξ² is bepaald door de normale op het tangent-vlak aan de ellipsoΓ―de in A. Indien aan de polen en evenaar beide breedtes gelijk zijn verschillen zij maximaal op een breedte van 45Β°. Bij een ellipsoΓ―dale aarde wordt de breedte geocentrisch of geodetisch uitgedrukt. Bij een sferische aarde vallen geocentrische en geodetische breedte samen. Geografische breedte Ο is een verzamelnaam en geeft geen uitsluitsel of men nu geodetische dan wel geocentrische breedte bedoelt (indien niet gespecifieerd zal men veelal de geodetische breedte bedoelen). De astronomische breedte van het punt P is de hoek tussen de hemelequator en de vertikale van de plaats. Het is dezelfde hoek welke een waarnemer in het punt P uit de observatie van de zenit Z en de hemelpool zal waarnemen (complement van de poolshoogte).
Figuur 16 β Geodetische breedte Ξ² vs. astronomische breedte
Uiteraard valt het centrum van de ellipsoΓ―de van een datum (infra) en het massacentrum van de aarde niet noodzakelijk samen (zie paragraaf 2.3).
P
Ο Ξ²
O
b
a
Ξ²: geodetische breedteΟ: geocentrische breedtexP
yPraakvlak ellipsoΓ―de
y
xastronomische breedte
geoΓ―de
ΞΎ: afwijking in de NZ-richtingtussen verticaal en normaal(gravimetrische deflectie)
ΞΎ
P
Ξ²
xPyP
geoΓ―de
raakvlak ellipsoΓ―de
raakvlak geoΓ―de
ΞΎ
astronomische breedte
Ο
18 | GEODESIE EN CARTOGRAFISCHE SYSTEMEN
2.2.5.2 Cartesische coΓΆrdinaten van een punt P op een geodetische breedte Ξ²
Figuur 17 β Graadmeting
Uit Vgl. 2-1, met name de vergelijking van de ellips, + = 1, kan worden afgeleid
dat + = 0
+ = 0 Vgl. 2-12
Beschouwt men de richting van de raaklijn in x en y en de corresponderende toename (zie (b) in Figuur 17)
tan(90Β° β π½) = β (β omdat een positieve dy negatieve dx)
cot π½ = β Vgl. 2-13
Uit Vgl. 2-12 en Vgl. 2-13 + (β cot π½) = 0
π¦
π cot π½ =
π₯
π
GEODESIE EN CARTOGRAFISCHE SYSTEMEN | 19
π¦ = π₯π
π tan π½ Vgl. 2-14
} π¦ = π₯(1 β π ) tan π½ Vgl. 2-15
π = π (1 β π ) Uit de vergelijking van de ellips en Vgl. 2-14 volgt dat
π₯
π+
π₯
π
π
π tan π½ = 1
π₯1
π+
π
π tan π½ = 1
ππ =π
1 + ππ tan π½
= [ Γ cos π½ ]
= [ π = π π = (1 β π ) ]
=π cos π½
1 β π sin π½
π = = , met π = (1 β π sin π½) Vgl. 2-16
Uit Vgl. 2-14 = tan π½ , = (1 β e ) en vgl. Vgl. 2-16 volgt dat
π = π₯. tan π½ =
=
π = π ππ¨π¬ π·
πΎ
π =π π ππ π¬π’π§ π·
πΎ
, met πΎ = (π β ππ π¬π’π§π π·)π
π Vgl. 2-17
20 | GEODESIE EN CARTOGRAFISCHE SYSTEMEN
2.2.5.3 Hoekverschil tussen geocentrische en geodetische breedte
Uit Vgl. 2-15 π¦ = π₯(1 β π ) tan π½ volgt dat = (1 β π ) tan π½.
Uit Figuur 15 leidt men af dat tan π = , m.a.w.
πππ§ π = (π β ππ) πππ§ π·. Vgl. 2-18
Daar π < π β |π| β€ π½ , met op de pool π½ = π = 90Β° en op de evenaar π½ = π = 0Β° en tussen evenaar en pool |π| < π½ . De vraag stelt zich dan uiteraard hoe groot het hoekverschil V tussen de geocentrische breedte en geodetische breedte bedraagt of wat is de waarde π = π½ β π
Uit de verschilregel van de tangens volgt dat tan( π½ β π) =
tan( π½ β π) =tan π½ β tan π
1 + tan π½ tan π=
tan π½ β (1 β π ) tan π½
1 + tan π½ . (1 β π ) tan π½
= tan π½1 β (1 β π )
1 + tan π½ . (1 β π )
= tan π½π
1 + tan π½ β π tan π½
=sin π½
cos π½.
π
1 +sin π½cos π½
β πsin π½cos π½
=sin π½
cos π½.
π
cos π½ + sin π½ β π sin π½cos π½
=2
2.
sin π½
cos π½.
π
cos π½ + sin π½ β π sin π½cos π½
=2 sin π½ . π . cos π½
2 cos π½ . (cos π½ + sin π½ (1 β π ))
=2 sin π½ . π . cos π½
2 . cos π½ + sin π½ (1 β π )
GEODESIE EN CARTOGRAFISCHE SYSTEMEN | 21
2 sin π½ . π . cos π½
2 . (cos π½ + sin π½ β π sin π½)
=π sin 2π½
2. (1 β π sin π½ )=
π sin 2π½
2 β π (2. sin π½)
gelet op cos 2π½ = cos π½ β sin π½ = cos π½ + sin π½ β 2 sin π½ = 1 β 2 sin π½ of
2 sin π½ = 1 β cos 2π½
volgt dat
tan(π½ β π) = π sin 2π½
2 β π (1 β cos 2π½)
=π sin 2π½
2 β π + π cos 2π½=
π sin 2π½2 β π
2 β π + π cos 2π½2 β π
=
π2 β π
. sin 2π½
2 β π2 β π
+π cos 2π½
2 β π
=
π2 β π
. sin 2π½
1 +π
2 β π . cos 2π½
tan(π½ β π) =π . sin 2π½
1 + π . cos 2π½
Vgl. 2-19
daar π = voldoende klein is kan men dit benaderen door een reeksontwikkeling 1
1 + π₯= 1 β π₯ + π₯ β β―
waaruit volgt dat
tan(π½ β π) =π . sin 2π½
1 + π . cos 2π½= π . sin 2π½ (1 β π. cos 2π½ + π . cos π½ β β― )
= π . sin 2π½ β π . sin 2π½. cos 2π½ + β―
met toepassing van de verdubbelingsformule (sin 2π = 2. sin π. cos π) geeft dit
22 | GEODESIE EN CARTOGRAFISCHE SYSTEMEN
tan(π½ β π) = π . sin 2π½ β1
2. π . sin 4π½ + β―
gelet op het kleine hoekverschil is tan π β π waaruit volgt dat
π(") sin 1" = π . sin 2π½ β1
2. π . sin 4π½ + β―
= π
2 β π . sin 2π½ β
1
2. (
π
2 β π) . sin 4π½ + β―
Substitueert men de excentriciteit e door de afplatting f (zie Vgl. 2-6) bekomt men
π = 2π β π , met π = geeft dit
π½(") = (π½ β π)(") = 695,65 . sin 2π½ β 1,17. sin 4π½ + β― Vgl. 2-20
Bij sin 2π½ = 1 , m.a.w. bij π½ = 45Β°, bereikt de hoek V zijn maximum afwijkingswaarde (= 11β36β) tussen de geocentrische en de geodetische breedte.
2.2.5.4 Plaatselijke waarde van de voerstraal
De plaatselijke waarde van de voerstraal7 Ο als een functie van de geodetische breedte
Ξ², kan men bepalen uit Vgl. 2-17, π =
π = , met π = (1 β π sin π½) .
Immers π = π₯ + π¦ = [π cos π½ + π (1 β π ) sin π½]
=1
π[π cos π½ + π sin π½ + π π sin π½ β 2 π π sin π½]
=1
π[π + π π sin π½ β 2 π π sin π½]
=π
π[1 + π sin π½ β 2 π sin π½]
=π
π[1 β (2 π β π ) sin π½]
7 niet te verwarren met de kromtestralen (infra)
GEODESIE EN CARTOGRAFISCHE SYSTEMEN | 23
π = [1 β (2 π β π ) sin π½], Vgl. 2-21
met a de grote halve as of met andere woorden de equatoriale straal en π =
(1 β π sin π½) .
Aan de evenaar (π½ = 0Β°) wordt π = [1 β (2 π β π ) sin π½]
π =( )
[1 β (2 π β π ) sin π½] = π, Vgl. 2-22
Uit π = [1 β (2 π β π ) sin π½] =( )
[1 β (2 π β π ) sin π½]
volgt dat aan de pool (π½ = 90Β°)
π =π
(1 β π )[1 β (2 π β π )] = π .
1 β 2π β π
1 β π= π . (β1 β π )
= π . β1 βπ β π
π= π
of π = π Vgl. 2-23
In astronomische almanakken8 vindt men de waarde van de geodetische breedte Ξ² van de sterrenwachten:
8 in het jaarboek van de Koninklijke Sterrenwacht vindt men aldus (GRS80 ellipsoΓ―de) voor de Schmidttelescoop (top van de koepel) te Ukkel:
X 4 027 931,23 m breedte + 50β¦ 47β² 51β²β²,0663 Y 306 956,59 m lengte + 4β¦ 21β² 28β²β²,5002 Z 4 919 459,90 m lengte + 0h 17m 25s,9000
ellipsoΓ―dale hoogte 157,22 m hoogte TAW 114,29 m