1. 1. Grupo A. Temas generales Grupo A.1 Geodesia y Geofsica Tema 1. El campo de la gravedad terrestre. Sus componentes. Fuerza y potencial gravitatorios. Potencial gravitatorio de una Tierra con simetra esfrica. Propiedades del potencial gravitatorio. Aceleracin centrfuga, potencial centrfugo. Aceleracin y potencial de la gravedad. Tema 2. Aceleracin y potencial de las mareas. Mareas terrestres. Modelos para el clculo del potencial terico de las mareas terrestres para una tierra rgida. Clculo de los coeficientes de marea. Medida de las mareas terrestres. Tema 3. Medidas absolutas y relativas de la gravedad. Mtodos pendulares y de cada libre. Observacin sobre mviles. Determinacin de las segundas derivadas del potencial de la gravedad. Medida del gradiente de la gravedad. Calibracin e intercomparacin de instrumentos. Correcciones a las observaciones: mareas, movimiento del polo, carga ocenica y carga atmosfrica. Tema 4. Sistemas geodsicos de referencia. Sistema cartesiano espacial, movimiento del Polo. Sistema de coordenadas en el campo de la gravedad terrestre. Sistemas astronmicos general y local, transformaciones entre ambos. Tema 5. El geoide como superficie de referencia para las altitudes. Nivel medio del mar. Altitudes sobre el nivel del mar. Definiciones, objeto de su determinacin, precisiones. Altitudes dinmicas, normales y ortomtricas. Nivelacin geomtrica y trigonomtrica. Tema 6. Sistemas elipsoidales de referencia. Parmetros del elipsoide. Latitud geodsica, geocntrica y reducida. Curvatura del elipsoide. Tema 7. La esfera celeste. El movimiento diurno.Sistemas de coordenadas en Astronoma: horizontales, horarias, ecuatoriales absolutas, eclpticas. Transformaciones. Movimiento aparente del Sol. Teora de las anomalas. La ecuacin del tiempo. El tiempo: tiempo rotacional, tiempo de efemrides, tiempo atmico. Correcciones astronmicas: movimiento propio, precesin, nutacin, paralaje, aberracin, refraccin atmosfrica. Tema 8. Mtodos de transformacin entre Sistemas Geodsicos de Referencia Clsicos y Geocntricos. Transformacin de cinco parmetros. Transformacin de siete parmetros. Ecuaciones de regresin. Mtodos basados en la eliminacin de la distorsin de la red. Tema 9. Sistemas de Referencia Celestes. Sistemas de Referencia Geocntricos. ITRS, ETRS, ETRS89. El IERS. Marcos. Transformacinde parmetros entre Sistemas Geocntricos Terrestres. Tema 10. Mtodos de precisin para el levantamiento de un punto Laplace mediante procedimientos pticos: Determinacin del acimut astronmico porel mtodo de series a la polar, procedimiento y precisin. Determinacin del ngulo de latitud astronmica por el mtodo de Sterneck, procedimiento y precisin. Determinacin del ngulo de longitud astronmica por el mtodo de Mayer, procedimiento y precisin. Reduccin de los datos astronmicos al polo medio de rotacin. Tema 11. Redes geodsicas: objeto y definiciones. Precisin. Triangulaciones clsicas: Longitud de los lados, utilizacin de las mismas. Medida de ngulos y distancias en Geodesia: Instrumentacin, mtodos de observacin acimutal. Errores y compensacin de una estacin. Reducciones de las medidas. Calibracin y contrastacin de instrumentos. Tema 12. Sistemas de posicionamiento y navegacin: GPS, EGNOS, Galileo, GLONASS. Sistemas de correccin diferencial y de aumentacin. Estaciones virtuales GPS. Tema 13. Estructura interna de la Tierra. Corteza y manto superior. Manto inferior y ncleo. Densidad y parmetros elsticos. Propiedades anelsticas. Ecuacin de estado y de composicin. Tema 14. Distribucin espacial de terremotos. Caractersticas de terremotos en mrgenes convergentes, divergentes y transcurrentes. El ciclo ssmico: modelos de recurrencia. Distribucin de magnitudes. Modelos temporales de recurrencia. Tema 15. Caracterizacin de terremotos. Identificacin de fases ssmicas en un sismograma. Localizacin hipocentral. Intensidad ssmica. Escala EMS-98. Definiciones de magnitud. Tema 16. Instrumentacin ssmica. Teora del sismmetro mecnico. Sismmetro electromagntico. Sismmetro de banda ancha. Acelermetro. Funciones de respuesta y de transferencia. Determinacin de amplitudes del suelo a travs de sismogramas digitales. Tema 17. Movimientos ssmicos fuertes. Acelerogramas. Caractersticas de un acelerograma en el tiempo y en la frecuencia. Estimacin emprica de la aceleracin mxima en un punto. Espectro de respuesta y de diseo. Tema 18. Peligrosidad y riesgo ssmico. Conceptos. Caractersticas de los mtodos determinista y probabilista. Periodo de retorno. Normativa de construccin sismorresistente en Espaa. Tema 19. Tsunamis. Generacin, propagacin e inundacin. Magnitud e intensidad del Tsunami. Caractersticas de los terremotos productores del Tsunami. Sistemas de alerta de Tsunami. Tema 20. Volcanismo. Materiales volcnicos. Mecnica de los fenmenos eruptivos. Proyeccin de piroclastos. Extrusin y dinmica de domos y coladas. Mapas de peligrosidad. Tema 21. Campo magntico terrestre. Componentes y divisin segn su origen. Campo magntico de un dipolo. Dipolo terrestre. Variacin secular. Origen del campo magntico interno. Tema 22. Campo magntico externo. Variaciones del campo magntico externo. Composicin de la ionosfera. Estructura de la magnetosfera. Anillos de radiaciones y Auroras. Tema 23. Observaciones del campo magntico. Medidas absolutas y relativas. Mtodos clsicos y modernos de medidas del campo magntico. Observacin desde satlites. Tema 24. Radioactividad de la Tierra. Elementos radioactivos. Leyes de la desintegracin radioactiva. Principios de geocronologa. Edad de la Tierra. Evolucin trmica de la Tierra.
2. 2. Grupo A1 Tema 1 1 Tema 1. El campo de la gravedad terrestre. Sus componentes. Fuerza y potencial gravitatorios. Potencial gravitatorio de una Tierra con simetra esfrica. Propiedades del potencial gravitatorio. Aceleracin centrfuga, potencial centrfugo. Aceleracin y potencial de la gravedad. 1.1. El campo de la gravedad terrestre De las cuatro interacciones bsicas que ocurren en la naturaleza (fuerza gravitatoria, fuerza electromagntica, fuerza nuclear fuerte y fuerza nuclear dbil), la fuerza gravitatoria es la ms dbil de todas ellas, siendo despreciable en las interacciones entre partculas elementales (molculas, tomos, ncleos, etc.), o entre objetos del tamao de las personas pero siendo de gran importancia en las interacciones entre cuerpos muy grandes tales como satlites, planetas, estrellas, etc. Por campo de la gravedad terrestre no slo se entiende a la fuerza gravitatoria ejercida por la Tierra, sino a la suma de todas aquellas fuerzas que actan sobre un cuerpo en reposo sobre la superficie terrestre. La astronoma no es la nica ciencia que se encarga del estudio del campo de la gravedad de la Tierra. Uno de los principales objetivos de la geodesia es la determinacin de este campo de gravedad ya que, entre otras razones, las magnitudes medidas en geodesia tienen como sistema de referencia fundamental, el campo de la gravedad terrestre. De hecho, el geoide es una superficie de nivel del campo de gravedad. Adems, la distribucin de los valores de gravedad en superficie junto con otras medidas geodsicas permite determinar la forma de la superficie terrestre. La gravimetra tambin tiene como principal objetivo el estudio del campo de gravedad terrestre debido a que las medidas de gravedad en superficie dan informacin sobre la estructura y las caractersticas del interior de la Tierra y la variacin temporal del campo de gravedad revela fenmenos como las oscilaciones de los polos terrestres, la redistribucin de la masa de la Tierra, etc.
3. 3. Grupo A1 Tema 1 2 1.2. Sus componentes Las fuerzas que actan sobre un cuerpo en reposo que se encuentra en un punto fijo sobre la superficie terrestre son: - la fuerza gravitatoria terrestre - la fuerza centrfuga debida a la rotacin de la Tierra - la fuerza de atraccin de otros cuerpos celestes como son el Sol y la Luna - la fuerza de atraccin de la atmsfera terrestre - Otras La fuerza resultante de todas ellas se denomina fuerza de la gravedad y se caracteriza por ser funcin de la posicin y del tiempo. Para estudios no muy precisos, slo se tienen en cuenta las dos primeras fuerzas mencionadas ya que la influencia de las dems fuerzas sobre el valor de la gravedad es muy pequea y se suelen despreciar (como haremos en este tema). Esta fuerza de la gravedad F r , se obtiene de multiplicar la aceleracin de la gravedad g r por la masa del cuerpo m : gmF rr = Al vector g r se le denomina campo de la gravedad terrestre y se define como la fuerza por unidad de masa ejercida por la Tierra sobre cualquier objeto. Para la representacin del campo de gravedad, se suele considerar a la Tierra como un slido rgido que gira con velocidad de rotacin , constante sobre un eje invariable. En un sistema de coordenadas geocntrico, el origen se sita en el centro de gravedad de la Tierra y se hace coincidir el eje z con el eje medio de rotacin. El eje x est contenido en el plano del meridiano de Greenwich y el eje y se elige de tal manera que est en el plano del ecuador y sea perpendicular a los ejes x y z . En un punto de la superficie terrestre, el campo de la gravedad g r vendr dado por la suma del campo gravitatorio mg r ms la aceleracin centrfuga ca r : cm agg rrr +=
4. 4. Grupo A1 Tema 1 3 Figura 1. Campo de gravedad en una tierra esfrica La gravedad es funcin de la posicin. Diferencias de gravedad con la latitud o la altitud pueden llegar a ser del orden de 510-3 g (siendo g un valor medio de gravedad). Los efectos de las mareas afectan en torno a los 310-7 g y los desplazamientos de las masas terrestres influyen entre 10-8 g y 10-9 g. La unidad de la gravedad en el Sistema Internacional es m/s2 . Sin embargo, se suele utilizar la unidad gravimtrica para medidas de desviaciones de la gravedad o para errores de medida: 1u.g.= m/s2 = 10-6 m/s2 En el sistema cgs la unidad de la gravedad es el Gal (por Galileo): 1gal = 1cm/s2 Y para desviaciones de la gravedad o errores de medida se utiliza el mgal: 1mgal =10-5 m/s2 La unidad del gradiente de gravedad es s-2 en el Sistema Internacional o E (Etvs) en el sistema cgs: 1E = 10-9 s-2 . Y la unidad del potencial es m2 /s2 , dimensin de trabajo por unidad de masa. 1.3. Fuerza y potencial gravitatorios En 1687 Newton public la ley de la gravitacin en su Philosophiae Naturalis Principia Mathemtica. Esta ley postula que existe una fuerza de atraccin entre cada par de objetos que es proporcional al producto de las masas de los objetos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Esta fuerza se denomina fuerza gravitatoria y est dirigida a lo largo de la lnea que conecta los dos objetos. Vemosla con ms detalle.
5. 5. Grupo A1 Tema 1 4 Si tenemos dos objetos en un sistema de coordenadas rectangulares, uno con masa m1 que se encuentra en la posicin 1r r y otro con masa m2 en la posicin 2r r , la fuerza ejercida por m1 sobre m2 2,1F r es: 2,12 21 2,1 r mm rGF = r G es la constante de gravitacin universal, cuyo valor es 6,6710-11 Nm2 /kg2 . 2,1 r es el vector unitario del vector definido desde la masa m1 a la masa m2: 2,1 2,1 2,1 r r r r r = La fuerza gravitatoria 2,1F r est situada en la recta que une m1 y m2, y dirigida hacia m1. De modo que F r y r r apuntan en direcciones opuestas. Figura 2. Fuerza gravitacional actuando entre dos objetos En este caso, m1 es la masa atrayente y m2 la masa atrada. De acuerdo con la tercera ley de Newton, la fuerza 1,2F r (ejercida por m2 sobre m1) es el valor negativo de 2,1F r : 2,11,2 FF rr = El mdulo de la fuerza gravitatoria es por tanto: 2 21 r mm GF = A la fuerza gravitatoria por unidad de masa ejercida por la Tierra sobre cualquier objeto de masa m se denomina campo gravitatorio terrestre mg r : m F gm r r = mg r es la denominada aceleracin gravitacional o gravitacin. El campo gravitatorio en un punto debido a un conjunto de masas puntuales es igual a la suma vectorial de los campos debidos a las masas individuales en dicho punto: = i mim gg rr
6. 6. Grupo A1 Tema 1 5 Y el campo gravitatorio en un punto debido a un cuerpo continuo se calcula considerando el campo mgd r debido a un pequeo elemento de masa dm del cuerpo, suponiendo que se trata de una masa puntual y se integra sobre el cuerpo entero: = mm gdg rr Si en un sistema de coordenadas rectangulares designamos las coordenadas de la masa atrayente M por (x0, y0, z0) y las coordenadas del punto atrado, de masa m igual a la unidad, por (x, y, z), las componentes de la fuerza gravitatoria F r sern: Figura 3. Fuerza de atraccin entre dos objetos en un sistema de coordenadas rectangulares ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ),,( cos cos cos 03 0 2 03 0 2 03 0 2 zyx z y x FFFF zz r GM r zz r GM FF yy r GM r yy r GM FF xx r GM r xx r GM FF = = == = == = == r siendo 2 0 2 0 2 0 )()()( zzyyxxr ++= la distancia entre el elemento de masa M y el punto atrado. Si se introduce una funcin escalar de la forma r GM V = , se verifica que las componentes de la fuerza gravitatoria F r vienen dadas por: x V Fx = y V Fy = z V Fz =
7. 7. Grupo A1 Tema 1 6 Por tanto: ( ) VFFFF zyx == ,, r Gracias a que 0= Fx r , el vector fuerza es el gradiente de la funcin escalar V . Y V se denomina potencial gravitatorio e indica el trabajo requerido para mover una unidad de masa dentro del campo gravitatorio. Este resultado es de gran importancia ya que las tres componentes del vector F r se pueden reemplazar por una nica funcin escalar V . Esto hace que en casos complicados, donde se considera la atraccin de muchos puntos materiales o de cuerpos slidos, la funcin V es simplemente la suma de las contribuciones de las respectivas partculas. En un sistema con varios puntos materiales m1, m2, m3... el potencial gravitatorio es la suma de las contribuciones individuales: = = n i i r m GV 1 Si los puntos materiales estn distribuidos continuamente sobre un volumen v de densidad dv dm = , donde dv es un elemento de volumen y dm un elemento de masa, el potencial gravitatorio vendr dado por: = v r dm GV dv r G v = 0002 0 2 0 2 0 000 )()()( ),,( dzdydx zzyyxx zyx G v ++ = 1.4. Potencial gravitatorio de una Tierra con simetra esfrica En la determinacin del potencial gravitatorio terrestre se considera, en primera aproximacin, la Tierra de forma esfrica con una estructura de densidad centralmente simtrica. Para su clculo, utilizaremos coordenadas esfricas (r, , ), siendo r la distancia geocntrica con origen en el centro de masas de la Tierra. El ngulo o colatitud geocntrica, se mide en sentido horario desde el eje de rotacin y su complemento o latitud geocntrica ( = 90- ), se mide desde el plano ecuatorial al radio vector r r , positivo en el hemisferio norte y negativo en el hemisferio sur. La longitud se mide positiva hacia el este, tomando como origen el meridiano de Greenwich.
8. 8. Grupo A1 Tema 1 7 Y ello con la orientacin acostumbrada de este sistema con respecto al sistema global zyx ,, (el eje = 0 coincide con el eje z situado a lo largo del eje de rotacin y el eje = 0 coincide con el eje x ). Figura 4. Coordenadas esfricas. Fuente: Torge W. Geodesia El radio vector en coordenadas esfricas es: = = cos cos r senrsen rsen z y x r r Por simplicidad, supondremos la masa atrada m, igual a la unidad. En primer lugar calcularemos el potencial de una corteza esfrica homognea para, a partir de ella, obtener el potencial de la tierra esfrica. El potencial de una corteza esfrica homognea de densidad y grosor infinitesimal 'dr viene dado por: ''' '' ' 2 drdd r senr Gdv r GV VV ==
9. 9. Grupo A1 Tema 1 8 Figura 5. Corteza esfrica. Fuente: Torge W. Geodesia Ya que el elemento de volumen de la corteza esfrica es: '''''2 drddsenrdv = Y el elemento diferencial de masa de la corteza esfrica ser: ''4' 2 drrdm = Distingamos dos casos segn el punto atrado P, se encuentre fuera de la Tierra o dentro de ella. 1.4.1. P exterior a la Tierra Si el punto atrado est fuera de la corteza esfrica, el potencial vendr dado por: r dm Gdr r r GV ext ' ' ' 4' 2 == Si consideramos que la Tierra est compuesta por un conjunto continuo de cascarones esfricos homogneos y concntricos, el potencial gravitatorio para una Tierra esfrica vendr dado por: r GM r dm GV T ext == Donde la integral se extiende a toda la Tierra y M es la masa de la Tierra. Este resultado equivale al potencial de toda la masa de la Tierra concentrada en el centro de masas.
10. 10. Grupo A1 Tema 1 9 1.4.2. P interior a la Tierra El potencial gravitatorio de un punto interior a la corteza esfrica ser: ' ' ' ' ' 4' 2 int r dm Gdr r r GV == Al ser el potencial constante, para puntos del interior de la corteza esfrica el campo gravitatorio es cero. Para calcular el potencial de la Tierra esfrica de radio R para un punto situado en su interior a una distancia r del centro de masas, consideraremos que la Tierra est formada por cascarones esfricos continuos, por lo que el valor del potencial ser la contribucin del potencial para la tierra esfrica de radio r , como si el punto se encontrase en su superficie, y la contribucin de la corteza esfrica de grosor rR : =+=+= R r R r rr i r RGdrrGdrr r G dr r r Gdr r r GV 3 24 4 ' 44 2 2''' 0 2'' 2' ' 0 2' 1.5. Propiedades del potencial gravitatorio Volvemos a distinguir los dos casos anteriores. 1.5.1. P exterior a la Tierra Como hemos visto, el potencial gravitatorio para todo punto exterior a la Tierra viene dado por la expresin: = T ext r dm GV Con 2 0 2 0 2 0 )()()( zzyyxxr ++= . As, extV es una funcin continua para r > 0, que se anula en el infinito como r1 : 0lim = ext r V
11. 11. Grupo A1 Tema 1 10 Para distancias r muy grandes el cuerpo acta, aproximadamente, como un punto material, y el potencial viene dado por: r GM Vext = lo que equivale al potencial de toda la masa M de la Tierra concentrada en el centro de masas. Veamos la continuidad de las derivadas del potencial gravitatorio en este caso: La primera derivada del potencial, es decir, la componente de la fuerza, para la componente x, vendr dada por: dm r xx Gdm rdx d G x V TT ext = = 3 0 )(1 Funcin continua para r > 0. La segunda derivada, para la componente x ser: dm r xx r Gdm r xx x Gdm r xx G xx V TTT ext = = = 5 2 0 33 0 3 0 2 2 )(31)()( Tambin es una funcin continua para r>0 Anlogamente se opera con las otras dos componentes. De modo que el potencial gravitatorio para un punto P exterior a la Tierra, sus primeras y segundas derivadas son valores finitos y funciones continuas en todo el espacio exterior, anulndose en el infinito. Aplicando el operador laplaciano a extV : 0 )(31 )(31)(31 5 2 0 3 5 2 0 35 2 0 32 2 2 2 2 2 = = + + = dm r zz r G dm r yy r Gdm r xx r G z V y V x V V v vv ext 0= extV Ecuacin de Laplace. extV cumple la ecuacin de Laplace. Las soluciones de la ecuacin de Laplace son funciones armnicas o tambin llamadas funciones potenciales. Y toda funcin armnica es analtica
12. 12. Grupo A1 Tema 1 11 dentro de la regin donde satisface dicha ecuacin. Esto es, es continua y tiene derivadas continuas de cualquier orden, como hemos comprobado. 1.5.2. P interior a la Tierra Para calcular el potencial gravitatorio de un punto que se encuentra en el interior de la Tierra hay que tener en cuenta que ahora el caso 0=r es posible, por lo que es posible la discontinuidad debida a r1 . Para calcular el potencial gravitatorio, consideramos al punto P a una distancia q del centro de una esfera E que lo envuelve, la cual tiene densidad homognea , radio p y est centrada en 0P . Figura 6. Potencial gravitatorio dentro de la Tierra. Fuente: Torge W. Geodesia El potencial gravitatorio ser la suma de las contribuciones debidas a las masas que estn en el interior de la esfera y de las masas que se encuentran en su exterior: += 3 2 2 2 q pG r dm GV ET i iV es una funcin continua para r > 0. En el caso en que 0,0 qp , se obtiene la expresin del potencial para un punto exterior a la Tierra.
13. 13. Grupo A1 Tema 1 12 Estudiemos la primera y segunda derivada del potencial para la componente x (se hara de igual modo para las otras componentes): )( 3 4)( 03 0int xxGdm r xx G x V ET = Funcin continua para r>0 Gdm r xx r G x V ET 3 4)(31 5 2 0 32 int 2 = Las segundas derivadas muestran discontinuidades para cambios sbitos de densidad. El laplaciano ser: G z V y V x V V 42 2 2 2 2 2 int = + + = GV 4int = Ecuacin de Poisson En el interior de la Tierra se verifica la ecuacin de Poisson. El potencial gravitatorio y sus primeras derivadas son funciones de valor nico, finitas y continuas para 0>r , mientras que las segundas derivadas muestran discontinuidades para cambios sbitos de densidad. (La superficie ms importante de discontinuidades de densidades es la superficie Tierra- atmsfera con un salto de densidad de aproximadamente 0,0013g/cm3 para la atmsfera con unos 2,7g/cm3 aproximadamente para la corteza terrestre). Por consiguiente, el potencial gravitatorio es una funcin armnica fuera de las masas atrayentes pero no dentro de las mismas, donde se satisface la ecuacin de Poisson. 1.6. Aceleracin centrfuga, potencial centrfugo La aceleracin centrfuga aparece solamente en los sistemas rotacionales no inerciales. Est causada por el movimiento de rotacin de la Tierra sobre su propio eje. Para calcularla se considera, en primera aproximacin, que la Tierra gira con una velocidad angular constante alrededor de un eje fijo. Tomaremos el sistema de coordenadas rectangulares donde el eje z coincide el eje medio de rotacin.
14. 14. Grupo A1 Tema 1 13 La aceleracin centrfuga que acta sobre un punto situado en la superficie terrestre a una distancia d del eje de rotacin es: )0,,( 222 yxdac == rr Siendo la distancia del punto donde calculamos la fuerza al eje de rotacin: 22 yxd += r La aceleracin centrfuga ca r tiene la direccin del vector d r y por lo tanto es perpendicular al eje de rotacin y dirigida hacia el exterior de la Tierra. Figura 7. Aceleracin centrfuga La velocidad angular de rotacin de la Tierra: = 7,292 10-5 rad/s. La fuerza centrfuga es el producto de la masa del punto donde estamos evaluando la fuerza por la aceleracin centrfuga: camf rr = Al igual que para el caso gravitatorio y gracias a que 0= fx r , se puede considerar una funcin escalar que defina, a travs de sus derivadas, la funcin vectorial f r que est actuando sobre una masa unidad. A esta funcin escalar se la denomina potencial centrfugo y viene dado por la expresin: )( 2 1 2 1 22222 yxd +== == zyx fc ,, r El potencial es una funcin continua y verifica que: 0lim 0 = d Las derivadas del potencial centrfugo son tambin funciones continuas. Para la componente x : x x 2 = 2 2 2 = x d r ca r z P
15. 15. Grupo A1 Tema 1 14 El laplaciano del potencial es: 020 222 2 2 2 2 2 2 =++= + + = zyx Al contrario que V , esta funcin no es armnica. El valor del potencial centrfugo en el ecuador es de 1,1105 m2 /s2 mientas que la aceleracin centrfuga vale 0,03 m/s2 . En los polos, tanto la fuerza centrfuga como el potencial centrfugo son nulos. Por ltimo, destacar que si el cuerpo se encontrase en movimiento, adems de la fuerza centrfuga actuara la fuerza de Coriolis, la cual es proporcional a la velocidad del cuerpo con respecto a la Tierra, de modo que es nula para todos aquellos cuerpos que estn en reposo sobre la superficie terrestre. 1.7. Aceleracin y potencial de la gravedad La fuerza de la gravedad es la resultante de la suma de la fuerza gravitatoria y de la fuerza centrfuga que en coordenadas esfricas se expresan como: - fuerza gravitatoria, F r : )0,0,(),,( 2 r GM FFFF r == r - fuerza centrfuga, f r : )0,cos,(),,( 222 rsenrsenffff r == r La fuerza de la gravedad por unidad de masa se denomina aceleracin de la gravedad g r . Su direccin se conoce como direccin de la plomada y su magnitud, gg r = , se denomina intensidad de la gravedad o simplemente gravedad. La fuerza de la gravedad se podr obtener tambin del gradiente de un potencial, el llamado potencial gravfico o potencial de la gravedad W , suma del potencial gravitatorio V y del potencial centrfugo : 222222 2 1 )( 2 1 senr r GM yxdv r GVW T +=++=+= Sus derivadas cumplen:
16. 16. Grupo A1 Tema 1 15 ( )zyx v z v y v x ggg z W y W x W Wg dv r zz G z W g ydv r yy G y W g xdv r xx G x W g ,,,, 3 0 2 3 0 2 3 0 = == = = + = = + = = r El potencial W y sus primeras derivadas son de valor nico, finitas y continuas en todo el espacio, como consecuencia de las caractersticas de los potenciales V y , con excepcin del caso en que r r , ya que entonces , y 0=g r (la direccin de la plomada no es nica). Las segundas derivadas poseen discontinuidades a variaciones de densidad irregulares. El laplaciano de W, cumple que en un punto: - exterior a la Tierra: 2 2=W Ecuacin de Laplace generalizada - interior a la Tierra: 2 24 += GW Ecuacin de Poisson generalizada Debido a la forma de la Tierra que no es totalmente esfrica sino que est achatada por los polos y ensanchada por el ecuador, el valor de la gravedad en el ecuador es de 9,78 m/s2 mientras que en los polos toma un valor de 9,83 m/s2 . Bibliografa [1] Heiskanen W.A. y Moritz H. Geodesia fsica. Trad. Sevilla de Lerma, J. Instituto Geogrfico Nacional; Instituto de Astronoma y Geodesia, 1985. [2] Torge, W. Geodesia. Editorial Diana, 1983. [3] Torge, W. Gravimetry. Editorial Walter de Gruyter 1989.
17. 17. Grupo A1 Tema 2 17 Tema 2. Aceleracin y potencial de las mareas. Mareas terrestres. Modelos para el clculo del potencial terico de las mareas terrestres para una tierra rgida. Clculo de los coeficientes de marea. Medida de las mareas terrestres 2.1. Aceleracin y potencial de las mareas El campo de la gravedad terrestre vara con el tiempo por mltiples causas: procesos tectnicos, transferencias de masa en el manto terrestre, actividad volcnica, movimientos de fallas, etc. Pero sin ninguna duda, la principal variacin temporal del campo de gravedad se debe a las mareas que producen variaciones en el campo de la gravedad del orden de 10-7 g (siendo g un valor medio de gravedad). Las mareas estn ocasionadas por la atraccin que sobre la Tierra ejercen los cuerpos celestes, principalmente la Luna por su cercana y el Sol por su gran masa, y al efecto inercial del sistema astro-Tierra en torno a su baricentro. Las mareas se aprecian de forma ms notable en los ocanos aunque tambin afectan a la parte slida de la Tierra, Por ello, el estudio de las mareas permite conocer mejor las caractersticas elsticas de la Tierra. En una primera aproximacin, se considera a la Tierra como un slido rgido y a la Luna y al Sol como puntos masa. Los clculos se realizan separadamente para el sistema Tierra-Luna y el sistema Tierra-Sol y posteriormente se suman. Los resultados obtenidos con esta aproximacin se denominan mareas tericas. Se toma un sistema de referencia fijo en la Tierra, considerada esta de forma esfrica. El origen se sita en el centro de masas terrestre y no se considera la parte de la rotacin terrestre. El sistema gira en torno al centro de gravedad de la Tierra y el astro, el baricentro. Calculemos el efecto de la marea sobre una masa unidad que se encuentra situada en un punto P de la superficie terrestre. Haremos los clculos para el efecto producido por un astro cualquiera y luego los resultados los aplicaremos al Sol y a la Luna.
18. 18. Grupo A1 Tema 2 18 Figura 1. Aceleracin de la marea lunar En esta figura, R es la distancia geocntrica del centro del astro A, al centro de la Tierra. Suponemos que la distancia R se encuentra situada sobre el eje x. La distancia entre el punto P y el centro del astro se expresa por q. La distancia cenital geocntrica es el ngulo entre el radio vector r r del centro de la Tierra al punto P y el eje x. Expresaremos la masa del astro por M. Y el centro de masas del sistema, cm, se encuentra situado dentro del radio de la Tierra. En el punto P actuar: - La fuerza de atraccin gravitatoria b r del astro causante de la marea: qu q GM b 2 = r siendo qu el vector unitario en la direccin de q r . - La fuerza centrfuga 0b r : Para calcularla se tiene que en cuenta que hemos considerado una Tierra rgida, de modo que la fuerza est actuando, en todos los puntos rgidamente conectados, de igual manera y por tanto, tendr un valor constante. Para obtener este valor, se calcula esta fuerza en el centro de masas de la Tierra, ya que es aqu donde se compensa la fuerza centrfuga con la fuerza gravitatoria del astro al encontrarse el sistema en equilibrio. Ru R GM b 20 = r fuerza inercial de la rotacin del sistema en torno al baricentro La suma de estas dos fuerzas recibe el nombre de fuerza de marea: Rqt u R GM u q GM bbb 220 =+= rrr A P b R q o r 0b 0b x cm
19. 19. Grupo A1 Tema 2 19 Esta fuerza puede expresarse como el gradiente de un potencial: =tb r = = cos22 r R GM q GM x x R GM q GM x b ii ti += cte R r q GM 2 cos1 En el potencial aparece una constante. Para determinarla se tiene en cuenta que se debe anular en el centro de la Tierra: 0= para 0=r ( Rq = ) R cte 1 = El potencial de las mareas es: = RR r q GM 1cos1 2 La distancia q se puede expresar como: cos222 rRRrq += )(cos 1 cos21 11 0 2/12 n n n P R r RR r R r Rq = = + = Donde se han utilizado los polinomios de Legendre: ( ) = =+ 0 2/12 )(21 n n n zPxxzx Con n n n nn z dz d n zP )1( !2 1 )( 2 = De modo que el potencial de las mareas se puede escribir como: = =0 2 1cos )(cos 1 n n n RR r P R r R GM Tomando todos los trminos hasta n = 2, el potencial de las mareas queda de la siguiente manera: )1cos3( 2 1 2 3 2 = R r GM
20. 20. Grupo A1 Tema 2 20 Si introducimos C, distancia media del centro de la Tierra al astro y 3 2 4 3 )( C r GMrG = , la constante de Doodson (que depende de la latitud del punto donde se observa la marea), el potencial de la marea producida por un astro A de masa M es: ) 3 1 2(cos)()1cos3( 3 2 )( 3 2 3 + = = R C rG R C rG El potencial de la marea lunisolar, marea producida tanto por la Luna, L, como por el Sol, S, es: )1'cos3( 3 2 )1cos3( 3 2 2 3 2 3 + =+= S S S L L LSLLS R C G R C G Para un punto en la superficie terrestre: 22 628,2)( smRG TL = 22 207,1)( smRG TS = De aqu que la proporcin entre las mareas solares y las mareas lunares sea: LS GG 46,0= El efecto producido por las mareas solares es slo un 46% del producido por las mareas lunares. Esto es debido a que el campo gravitatorio de un objeto esfrico vara con la distancia segn 2 1 r . La fuerza ejercida por la Luna es ms intensa en los puntos de la Tierra ms prximos a ella que en los puntos ms alejados. Y aunque el Sol ejerce sobre los ocanos una fuerza mucho mayor que la ejercida por la Luna, la diferencia de fuerzas ejercida por la Luna entre el ocano ms prximo y el ms alejado es mucho mayor que la correspondiente fuerza diferencial ejercida por el Sol. Y esta fuerza diferencial es la responsable de las mareas. 2.2. Mareas terrestres Hasta aqu se han considerado las mareas tericas donde se ha supuesto que la Tierra es un cuerpo rgido. Sin embargo, la Tierra no es totalmente rgida y las fuerzas de las mareas producen, adems del movimiento del mar, deformaciones de la Tierra slida. A estas deformaciones se las denomina mareas terrestres. Si la Tierra fuese un cuerpo totalmente elstico, se deformara debido a las fuerzas de las mareas y recobrara inmediatamente su forma original. Estas deformaciones seran proporcionales a la fuerza de marea. Sin embargo, el material de la Tierra no es perfectamente elstico con lo que
21. 21. Grupo A1 Tema 2 21 esta tarda en adaptarse en cada momento a la fuerza de mareas. Debido al retraso en volver a su posicin de equilibrio, el material contenido entre la superficie original y la de la Tierra deformada produce una fuerza cuyo momento tiende a retardar el giro de la Tierra, friccin de la marea lunar, pero a su vez, tambin tiende a acelerar el movimiento de revolucin de la Luna alrededor de la Tierra. De modo que el momento angular total del sistema se conserva. 2.3. Modelos para el clculo del potencial terico de las mareas terrestres para una tierra rgida El potencial de las mareas terrestres es difcil de calcular debido a que no se conocen perfectamente las propiedades elsticas de la Tierra. Pero se puede calcular de forma aproximada como veremos a continuacin. Para ello, tenemos en cuenta los distintos tipos de altura de la marea que nos podemos encontrar: - Altura de la marea sobre la Tierra rgida, - Altura de la marea sobre la Tierra deformada, * - Altura de la marea terrestre, Figura 2. Alturas de la marea esttica. Fuente: Udas, A. y Mzcua, J. Fundamentos de Geofsica Antes de calcular el potencial en un punto de la superficie, consideramos al astro causante de la marea estacionario con respecto a la Tierra rgida, cubierta por una capa lquida uniforme de densidad muy pequea, y resolveremos el problema desde el punto de vista esttico.
22. 22. Grupo A1 Tema 2 22 As, la capa lquida tomar la forma de una superficie equipotencial que no vara con tiempo, suma del potencial gravitatorio de la Tierra V y del potencial de la marea producida por el astro: cteVW =+= Si 0V es el potencial de la superficie de la Tierra rgida, el potencial en un punto A en el que acta la fuerza de marea ser: gV r V VVA = += 00 Ya que: g r GM r V == 2 Y si tomamos cteVV ==+ 0 obtenemos la altura de la marea esttica de equilibrio para una Tierra rgida: g = Como la posicin del astro es estacionaria, es funcin del ngulo . Si la Tierra girase alrededor del astro y sobre s misma, el ngulo sera funcin del tiempo y por tanto, tambin variara con el tiempo. Para una Tierra deformable, el potencial sobre un punto B sobre la superficie de la Tierra deformada ser funcin de la altura de la marea terrestre : * V r V VW ++ += Donde * V es el potencial debido a la masa contenida entre la superficie original y la de la Tierra deformada. Al no conocerse perfectamente la elasticidad de la Tierra, para determinar el potencial y la altura de la marea terrestre, se utilizan unos coeficientes que relacionan la deformacin de la Tierra con el potencial de la marea para la Tierra rgida. Estos coeficientes son los denominados nmeros h y k de Love y nmero l de Shida. Los nmeros de Love h y k, son funciones de r (distancia al centro de la Tierra), siendo constantes en la superficie. Son adimensionales y dependen del grado de expansin de los armnicos esfricos.
23. 23. Grupo A1 Tema 2 23 - El nmero h representa la proporcionalidad entre la altura de la marea terrestre y la altura de la marea de equilibrio de la Tierra rgida : g hh == - El nmero k representa la proporcionalidad entre el potencial de la marea para una Tierra rgida y el potencial de la masa contenida entre la superficie original y la de la Tierra deforma debida a la marea terrestre: kV =* De modo que en el punto B que se encuentra en la superficie de la Tierra deformada, el potencial se puede escribir como: )1(** hkVkhVVgVV r V VW ++=++=++=++ += Y el potencial debido a la marea de la Tierra deformable es: =+= )1( hkD Y la altura de la marea sobre la Tierra deformable * es: )1(* hk +== * )1( =+= hk es llamado factor de disminucin. Es el cociente entre la altura de la marea de la Tierra deformable y la altura terica de la Tierra rgida. Diferenciando se obtiene la aceleracin de la marea para una Tierra rgida. La componente radial (positiva hacia fuera) es: rr br 2 = = Lo que indica que la gravedad de la Tierra est afectada por la componente radial de la aceleracin de la marea, que es positiva hacia fuera causando una disminucin de la gravedad de la Tierra: En una Tierra deformable: r D Dr bhk r b ) 2 3 1( += = La componente tangencial en una Tierra deformable ser: bhk r b D D )1( 1 += =
24. 24. Grupo A1 Tema 2 24 La desviacin de la vertical i , debida al efecto de la marea en una Tierra rgida vendr dada por: = gr itgi 1 En una Tierra deformable: + = gr k i 1 Figura 3. Desviacin de la vertical debida a la marea. Fuente: Udas, A. y Mzcua, J. Fundamentos de Geofsica La desviacin de la vertical debida a las deformaciones horizontales del suelo en las mareas terrestres, 'i viene dada por: = gr l i' Siendo l el nmero de Shida: i i l ' = De modo que la desviacin total de la vertical debida a la marea terrestre es: += gr lkii 1 )1(' 2.4. Clculo de los coeficientes de marea El potencial de la marea ) 3 1 2(cos)( 3 + = R C rG es funcin de la posicin del astro en su rbita con respecto a la Tierra. Para estudiar su variacin con el tiempo, expresaremos el ngulo
25. 25. Grupo A1 Tema 2 25 cenital en funcin de las coordenadas geocntricas( ), del punto donde lo estamos calculando. Para ello se tiene en cuenta la esfera celeste y se resuelve el tringulo esfrico con vrtices en el Polo Norte Celeste, la Luna y el punto P (proyeccin de la vertical de un punto de la superficie terrestre de coordenadas ( ), sobre la esfera celeste). As, el ngulo se puede expresar en funcin de la latitud geocntrica del punto atrado P, la declinacin L y el ngulo horario de la Luna. Figura 4. Tringulo astronmico coscoscoscos LLsensen = Sustituyendo en el potencial de la marea, operando y teniendo en cuenta las relaciones trigonomtricas, se llega a que el potencial de marea de la Luna es: [ ]1)coscoscos(3 3 2 )( 2 3 = LL L L L sensen R C rG Esta funcin se puede separar en tres trminos de modo que: = = = ++= 2coscoscos cos22 3 1 3 1 3 22 2 1 22 0 210 L L L L L L LLL A senAsen sensenA
26. 26. Grupo A1 Tema 2 26 Siendo 3 = R C GA Estos tres trminos tienen distintas caractersticas, ya que las cantidades R , L y varan con distintos periodos (el periodo de es de un da lunar medio, 24h 50m 47s): L 0 : son las mareas de largo periodo, de 14 das para la Luna. Este trmino no depende de la rotacin de la Tierra y consta de una parte no peridica que ocasiona una deformacin permanente de las superficies de nivel (estas son disminuidas en los polos en aproximadamente 0,26 m y elevadas en el ecuador unos 0,13m, ya que hay una disminucin permanente de la gravedad en el ecuador de aproximadamente 0.3m/s2 y un aumento en los polos de unos 0.61 m/s2 ). L 1 : trmino que oscila con periodos diurnos. L 2 : es el componente semidiurno. Su periodo cambia cada 12 horas. Es mnimo en los polos y mximo en el ecuador. De todos ellos, el trmino ms importante en las mareas es el semidiurno (ya que L es pequeo y LLsen 2 cos2 < ) De la misma manera, se obtienen estas ecuaciones para el efecto de marea producido por el Sol. Slo hay que tener en cuenta que se debe sustituir por t , el tiempo solar, cuya periodicidad es de un da solar medio (24h). En este caso, el periodo de S 0 es de 0.5 aos. 2.5. Medida de las mareas terrestres Como se ha visto, las mareas terrestres afectan tanto al mdulo de la gravedad g r como a las desviaciones de la vertical. Las variaciones en el mdulo de g r se suelen medir con gravmetros, las fluctuaciones en la direccin de la lnea de la plomada se determinan con clinmetros y las deformaciones de la corteza se miden con extensmetros. Todos ellos tienen que alcanzar una gran precisin para
27. 27. Grupo A1 Tema 2 27 poder estudiar adecuadamente el efecto de las mareas terrestres. Por ello, muchos de los aparatos suelen estn conectados a un registro continuo para detectar las variaciones temporales obtenindose precisiones por encima de 10-8 m/s2 : Gravmetros registradores: pueden ser gravmetros de campo unidos con una unidad de grabacin o gravmetros de mareas especiales (como es el Lacaste-Romberg, Geodynamics, etc). En todos ellos, los cambios en la posicin de la masa se convierten a una tensin elctrica y se amplifica y se graba junto con el tiempo. Con ellos se puede obtener una precisin relativa de 10-3 . Gravmetros superconductores: Utilizan los efectos de la superconductividad para mantener una bolita en equilibrio mediante un campo magntico. Los desplazamientos verticales, causados por variaciones de gravedad, son detectados y compensados a travs de un sistema de retroalimentacin, tomando con ello una medicin. En estos gravmetros, las perturbaciones microssmicas y los efectos de deriva son muy pequeas. La precisin que se obtiene es superior a 10-9 m/s2 . Clinmetros: miden inclinaciones. Son pndulos horizontales y verticales y las fluctuaciones en la direccin de la lnea de la plomada con respecto a la superficie terrestre se determinan de sus dos componentes mutuamente perpendiculares (NS, EW). - Pndulos horizontales: consisten en dos hilos verticales que sostienen una barra horizontal con una masa adherida. Debido a la pequea inclinacin del eje de rotacin con respecto a la direccin de la vertical, una fuerza horizontal ocasiona una deflexin angular fuertemente amplificada, teniendo con ello una medida. - Pndulos verticales: estos pndulos estn suspendidos de tal manera que pueden oscilar libremente y las deflexiones se perciben por dos detectores colocados en ngulos rectos entre s, que despus de amplificadas, se graban por medios analgicos y digitales. Extensmetros: miden deformaciones. Para determinar las seis componentes del tensor de deformacin, los extensmetros deben orientarse en diferentes direcciones espaciales. Tambin miden directamente los valores del nmero de Love h y del nmero de Shida l y en especial el cociente l/h. Hoy en da, pueden ser barras de superinvar con longitudes de entre 10 y 20 m o interfermetros lser que permiten longitudes de hasta de 1km. En cada caso, se tiene un extremo fijo a la roca y otro libre donde se miden las deformaciones de la corteza terrestre.
28. 28. Grupo A1 Tema 2 28 Una vez recogida la seal por estos aparatos, hay que tener en cuenta que a la seal de la marea terrestre se le superpondrn otros efectos como son: - Errores instrumentales sistemticos: incertidumbres asociadas con la determinacin de la calibracin, efectos directos de la presin atmosfrica y la temperatura, etc. Muchos de ellos se pueden determinar y eliminar, en la medida de lo posible, mediante anlisis de regresin. - La deriva del instrumento: influye sobre todo en el anlisis de las mareas de largos periodos. - Los efectos causados por las mareas ocenicas. Son difciles de evaluar ya que no se conocen suficientemente los parmetros elsticos de la corteza terrestre. - Influencias locales de los lugares donde se realizan las medidas. - Efectos secundarios que surgen de las variaciones de la presin atmosfrica, la temperatura, las radiaciones solares, procesos tectnicos, etc. - Etc. Los gravmetros proporcionan buenos resultados cuando se colocan en compartimentos de temperatura controlada. Los clinmetros deben protegerse de las influencias de la superficie mediante una capa de roca suficientemente gruesa. As, los pndulos horizontales se instalan en tneles y los pndulos verticales en agujeros perforados. Actualmente existe en todo el mundo un gran nmero de estaciones de mareas terrestres. Los valores obtenidos muestran que la aproximacin de una Tierra rgida no es adecuada. Por lo que utilizan modelos de Tierra ms realistas que consideran una Tierra elptica en rotacin, con ocanos y atmsfera y con unos parmetros elsticos en su interior de acuerdo con los ltimos resultados de las investigaciones sismolgicas. Los resultados obtenidos de las observaciones de las mareas terrestres tienen un gran nmero de aplicaciones: reducir medidas geodsicas, medidas gravimtricas u otras medidas precisas como pueden ser el posicionamiento por satlite o los mtodos radiointerferomtricos; para establecer modelos geofsicos como pueden ser modelos regionales de corteza-manto o para la verificacin de modelos globales y regionales de mareas ocenicas, entre otras.
29. 29. Grupo A1 Tema 2 29 Bibliografa [1] Torge, W. Geodesia. Editorial Diana, 1983. [2] Torge, W. Gravimetry. Editorial Walter de Gruyter 1989. [3] Udas, A. y Mezcua, J. Fundamentos de Geofsica. Editorial Alianza, 1996.
30. 30. Grupo A1 Tema 3 31 Tema 3. Medidas absolutas y relativas de la gravedad. Mtodos pendulares y de cada libre. Observacin sobre mviles. Determinacin de las segundas derivadas del potencial de la gravedad. Medida del gradiente de la gravedad. Calibracin e intercomparacin de gravmetros. Correcciones a las observaciones: mareas, movimiento del polo, carga ocenica y carga atmosfrica. 3.1. Medidas absolutas y relativas de la gravedad En las medidas absolutas se determina el valor total de la aceleracin de la gravedad en el punto de observacin (mdulo de la componente vertical de la aceleracin de la gravedad). Las primeras determinaciones de la longitud del pndulo fueron realizadas por Richer en La Cayenne en 1672. Tambin Maupertuis 1736-37 y Bouguer 1735-44 (junto con Jorge Juan y Antonio de Ulloa) efectuaron medidas pendulares en los viajes para la determinacin del achatamiento de la Tierra. Los marinos espaoles Malaspina y Bustamante (1789) tambin realizaron experiencias con el pndulo invariable. En Espaa la primera determinacin de la gravedad que tenemos conocimiento fue realizada por Gabriel Ciscar en 1800 en Madrid con pndulos de lenteja. En el IGN Barraquer entre 1877 y 1883 mide la gravedad por el mtodo absoluto pendular mediante el pndulo de Bessel. Actualmente el mtodo de cada libre es el metodo absoluto ms exacto y preciso de determinacin de la componente vertical de la gravedad. En las medidas relativas se pueden distinguir dos casos: Espaciales: Se determina la diferencia o incremento de la aceleracin de la gravedad del sensor del gravmetro relativo en un punto con respecto al la posicin del sensor en otro punto inicial o de referencia, en el cual habitualmente se conoce el valor absoluto de la fuerza de la gravedad. Temporales: En las medidas relativas temporales se determinan los valores de la fuerza de la gravedad en instantes de tiempo distintos, como ocurre en el caso de la medida de las mareas terrestres (variaciones de largo perodo). Las medidas relativas se ralizan por Sterneck en 1881 y se extienden por el mundo para una mayor densificacin de los valores de la gravedad hasta el desarrollo de los gravmetros relativos, hacia 1940. En Espaa se realizan medidas desde 1901 hasta 1950. Desde la dcada de 1940 hasta la actualidad las medidas relativas se realizan mediante los gravmetros de muelle de cuarzo y de metal. Tambin desde 1970, el gravmetro superconductor sirve para realizar
31. 31. Grupo A1 Tema 3 32 medidas relativas temporales, constituyendo el gravmetro relativo ms preciso, aunque tambin el ms complejo. Finalmente, los mtodos de medida de aceleraciones de la gravedad se pueden dividir en terrestres, marinos, submarinos, areos y por satlite. Un resumen general de las precisiones y exactitudes se observa en la tabla 1. Tabla 1. Mtodos de medida de la gravedad. 3.2. Mtodos pendulares y cada libre 3.2.1. El pndulo simple o matemtico La ecuacin del pndulo simple o matemtico de longitud l es: mglsen td d m 2 2 = Figura 1. Pndulo simple. Exactitud (mGal) Exactitud (ms -2 ) RESOLUCI N Comentarios gravmetros relativos 1-2 10 -2 1-2 10 -7 valor en un puntolimitaciones por accesibilidad gravmetros absolutos 1-2 10 -3 1-2 10 -8 valor en un puntolimitaciones por ruido ambiental gravmetros superconductores 1-2 10 -5 1-2 10 -9 valor en un puntolimitado por ruido del entorno ambien Gravimetra de plataforma mvil gravmetros areos 2-4 mGal 2-4 10 -5 10-20 km requiere amortigamiento del sensor gradimetros areos 5-10 10-9 s -2 1-10 km no operacional gravmetros marinos 0.2-0.4 mGal 0.2-0.4 10 -5 < 1km extensin de rea y densificacin cost gradimetros marinos 5-10 10 -9 s -2 < 1km utilizada por la US Navy sistemas inerciales 1-4 mGal 1-4 10 -5 < 1km deriva del girscopo es el problema pr Mtodos por satlite Seguimiento terrestre de satli 0.3-0.5 m 500 km Seguimiento satlite a satlite 1-4 mGal 100-200 km Gradiometra de satlite 1-2mGal 50-100 km Altimetra de satlite