gb g l bf bl m^zelibrary.sgu.ru/uch_lit/606.pdfПостроение пирамиды и её...

Министерство образования и науки Российской федерации Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского

Механико-математический факультет Кафедра математики и методики её преподавания

Лебедева С.В.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА лабораторные работы по геометрии

Учебно-методическое пособие

для студентов, обучающихся по направлению подготовки 050100 – Педагогическое образование (Профиль подготовки – Математическое образование)

Саратов, 2012 Са

ратовский государственный

университет имени

Н. Г

. Чернышевского

Рекомендовано к печати кафедрой математики и методики её преподавания

Саратовского государственного университета имени Н.Г.Чернышевского

Лебедева С.В. Элементарная математика. Лабораторные работы по геометрии: Учебно-методическое пособие для студентов, обучающихся по направлению подготовки 050100 – Педагогическое образование (профиль подготовки – Математическое образование) / С.В.Лебедева – Саратов, 2012. – 51 с.

© С.В. Лебедева, 2012

Л 33

Саратовский государственный


Н. Г


Перечень лабораторных работ по геометрии Тема лабораторной работы Инструментарий Учебная литература

Многогранные углы Альбом для черчения, чертёжные принадлежности, плотная бумага, ножницы, клей

Игошин В.И. Тетрадь по геометрии для 11 класса. Многогранники и их сечения, площади поверхностей, объёмы. – Саратов, 1997. – 64 с.

Изображение призмы и построение её сечений

Альбом для черчения, чертёжные принадлежности


Построение пирамиды и её плоских сечений



Моделирование (изготовление) правильных, полуправильных, выпуклых и звёздчатых многогранников, изучение их свойств

Чертёжные принадлежности, цветная бумага, ножницы, клей

– Веннинджер М. Модели многогранников. Пер. с англ. В.В. Фирсова. Под ред. и с послесл. И.М. Яглома. – М.: Мир, 1974. – (djvu) – Интерактивные динамические модели: преобразования. – (http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/b20277eb-3501-4e8c-bb18-590adb91f106/Models/index2.htm)

Сечения цилиндра плоскостями Альбом для черчения, чертёжные принадлежности

– Игошин В.И. Тетрадь по геометрии для 11 класса. Круглые тела и их сечения, объёмы, площади поверхностей. – Саратов, 1998. – 64 с. – Интерактивные динамические модели: фигуры вращения. – (http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/b20277eb-3501-4e8c-bb18-590adb91f106/Models/index3.htm)

Сечения конуса плоскостями Альбом для черчения, чертёжные принадлежности, кнопки-шпеньки, нить, плотная бумага, плоская коробка А4

Конфигурации многогранников и тел вращения (вписанные и описанные тела)


Объёмы и поверхности тел вращения Альбом для черчения, чертёжные принадлежности



Н. Г


Лабораторная работа № 1. Многогранные углы 1. Определите следующие понятия Геометрический

объект Чертёж Определение На языке ТМ с учётом принятых обозначений

Двугранный угол

Двугранный угол – пространственная геометрическая фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, а также часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями. Полуплоскости называются гранями двугранного угла, а их общая прямая – ребром.

Двугранный угол – Ф. Ф = [a) [a), a =

Линейный угол двугранного угла

а

а

а



Н. Г


Геометрический объект Чертёж Определение На языке ТМ с учётом

принятых обозначений Величина двугранного угла

Многогранный угол



Н. Г


2. Выполните задания. Ответы поясните. Геометрическая модель (чертёж) Задание Решение, ответ

2.1. ABCD – параллелограмм, РА АВС. Укажите линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями РАВ и PAD.

2.2. ABCD – прямоугольник, КВ АВС. Укажите линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями КСВ и ВСD.

2.3. ABCD – параллелограмм, МО АВС. Укажите линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями МОА и МОВ.

А

В

D

С

М

О

А

В

D

С

К

А

В

D

С

Р



Н. Г


Геометрическая модель (чертёж) Задание Решение, ответ

2.4. ABCD – прямоугольник, NO АВС. Укажите линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями АNВ и ABC.

2.5. ABCD – ромб, МO АВС. Укажите линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями МОВ и МОC. Найдите величину этого двугранного угла.

2.6. ABCD – квадрат, NO АВС, NO = АО. Укажите линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями АМВ и ABC. Найдите величину этого двугранного угла.

А

В

D

С

N

О

А

В

D

С

М

О

А

В

D

С

N

О



Н. Г


Геометрическая модель (чертёж) Задание Решение, ответ 2.7. ABC – правильный,

АК, ВL – биссектрисы ABC. МO АВС. Укажите линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями МОК и МОL. Найдите величину этого двугранного угла.

2.8. Двугранный угол равен 60. Точка А, расположенная внутри этого угла, удалена от каждой его грани на 5 см. Найдите расстояние от А до ребра двугранного угла.

3. Поясните, почему у всякого выпуклого многогранного угла сумма плоских углов при вершине меньше _____________. _________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________ Изготовьте модель из плотной бумаги, иллюстрирующую данное утверждение.

А

В

С

О

М

К L



Н. Г


Утверждение (теорема) о сумме плоских углов при вершине многогранного угла даёт необходимое / достаточное (нужное подчеркнуть) условие того, что для данных углов можно составить многогранный угол, плоскими углами при вершине которого служат данные углы.

4. Пользуясь теоремой о сумме плоских углов при вершине многогранного угла выяснить, можно ли составить выпуклый четырёхгранный угол с плоскими углами при вершине: (1) 127, 93, 80, 61; (2) 88, 110, 79, 90; (3) 100, 100, 90, 90; (4) 85, 85, 85, 85; (5) 60, 60, 75, 75; (6) 70, 70, 70, 90?

Если это возможно, то изготовьте модель четырёхгранного угла из плотной бумаги. 5. Можно ли, пользуясь теоремой о сумме плоских углов при вершине многогранного угла определить существование

трёхгранного угла с плоскими углами при вершине (1) 150, 100, 70; (2) 140, 45, 90; (3) 90, 60, 30; (4) 120, 121, 122?

Если это возможно, то изготовьте модель трёхгранного угла из плотной бумаги. 6. Какому ещё необходимому условию должны удовлетворять плоские углы при вершине трёхгранного угла?

Сформулируйте это условие, дайте ему название: теорема о _________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7. Вернитесь к заданию 5, выполните его, аргументировав решение. Дано: величины плоских углов при вершине трёхгранного угла

Вопрос: существует ли трёхгранный угол с данными плоскими углами при вершине? Решение, аргументация

150, 100, 70

140, 45, 90

90, 60, 30

120, 121, 122



Н. Г


8. Выполните задания. Геометрическая модель (чертёж) Задание Решение, ответ

8.1. В трёхгранном угле плоские углы равны: = = 45, = 60. Найти двугранный угол, противолежащий плоскому углу . При необходимости сделайте свой чертёж.

8.2. В трёхгранном угле плоские углы равны: = = 60, = 90. Найти угол между плоскостью угла и противолежащим углом.

9. Внеаудиторное задание. Решить задачи №№ 4, 9, 11 из пособия Игошин В.И. Тетрадь по геометрии для 11 класса. Многогранники и их сечения, площади поверхностей, объёмы. – Саратов, 1997. – 64 с.



Н. Г


Лабораторная работа № 2. Изображение призмы и построение её сечений В соответствии с правилами параллельного проектирования изображение призмы строится следующим образом. Сначала

строится одно из оснований Р – это будет некоторый плоский многоугольник. Затем из вершин многоугольника Р проводятся боковые ребра призмы в виде параллельных отрезков равной длины. Концы этих отрезков соединяются, и получается другое основание призмы. Невидимые ребра проводятся штриховыми линиями.

Сечения призмы плоскостями, параллельными боковым ребрам, являются параллелограммами. В частности, параллелограммами являются диагональные сечения – сечения плоскостями, проходящими через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани (рис. 1).

На практике часто приходится строить сечение призмы плоскостью, проходящей через заданную прямую g на плоскости одного из оснований призмы. Такая прямая называется следом секущей плоскости на плоскости основания. Для построения сечения призмы достаточно построить отрезки пересечения секущей плоскости с гранями призмы.

Покажем, как строится такое сечение, если известна какая-нибудь точка А на поверхности призмы, принадлежащая сечению (рис. 2).

Если данная точка А принадлежит другому основанию призмы, то его пересечение с секущей плоскостью представляет собой отрезок ВС, параллельный следу и содержащий данную точку А

(рис. 2, а). Если данная точка А принадлежит боковой грани, то пересечение

этой грани с секущей плоскостью строится, как показано на рисунке 2 б: сначала строится точка D, в которой плоскость грани пересекает заданный след . Затем проводится прямая через точки А и D. Отрезок ВС прямой AD на рассматриваемой грани и есть пересечение этой грани с секущей плоскостью. Если грань, содержащая точку А, параллельна следу, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку ВС, проходящему через точку А и параллельному прямой .

Концы отрезка ВС принадлежат и соседним граням. Поэтому описанным способом можно построить пересечение этих граней с нашей секущей плоскостью. И т.д.

Рис. 1

Рис. 2



Н. Г


1. На рисунке 3 показано построение сечения четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через прямую а в плоскости нижнего основания призмы и точку А на одном из боковых ребер. Опишите этапы построения этого сечения.

2. В некоторых случаях сечения удаётся построить, не прибегая к каким-либо специальным методам, а используя лишь одно свойство пересекающихся плоскостей: секущая плоскость пересекает две параллельные плоскости по параллельным прямым. Постройте сечения призмы плоскостями, проходящими через точки K, L, М.

КА1В1С1

1 Продолжим рёбра нижнего основания призмы до пересечения со следом секущей плоскости, получим точки D1, D2, D3, D4.

2

3

4

5 Рис. 3



Н. Г


КВВ1С1

КВВ1С1 МАВС



Н. Г


Для построения сечений многогранников и круглых тел имеются два основных метода, в каждом из которых рассматривается проектирование точек внутри рассекаемого тела – метод следов (метод опорной плоскости) и метод внутреннего проектирования. При сечении призм и цилиндров это проектирование параллельное (параллельно боковым рёбрам призмы или образующей цилиндра); при сечении пирамид и конусов – центральное (с центром проектирования в вершине пирамиды / конуса).

3. На рисунке 4 показано построение сечения четырёхугольной призмы плоскостью PQR методом следов. Опишите этапы построения этого сечения (указание: строятся последовательно точки Р1, Х1, Х2, Х3, К, Х4, L). Результаты оформите в таблицу.

Рис. 4



Н. Г


4. На рисунке 5 показано построение сечения четырёхугольной призмы плоскостью PQR методом внутреннего проектирования. Опишите этапы построения этого сечения (указание: строятся последовательно точки Р1, Х1, Х2, Х3, К, L). Результаты оформите в таблицу.

5. Выявите достоинства и недостатки каждого метода.

6. Постройте сечения призмы плоскостями, проходящими через точки K, L, М. Дайте подробное решение одной из ниже

приведённых задач на построение сечения. Для решения задачи желательно использовать интерактивную среду «1С: Математический конструктор».

Достоинства Недостатки

Метод следов

Метод внутреннего проектирования

Рис. 5



Н. Г


7. Внеаудиторное задание. Решить задачи №№ 27-32 из пособия Игошин В.И. Тетрадь по геометрии для 11 класса.

Многогранники и их сечения, площади поверхностей, объёмы. – Саратов, 1997. – 64 с. Саратовский государственный


Н. Г


Лабораторная работа № 3. Построение пирамиды и её плоских сечений

В соответствии с правилами параллельного проектирования изображение пирамиды строится следующим образом. Сначала строится основание. Это будет некоторый плоский многоугольник. Затем отмечается вершина пирамиды, которая соединяется боковыми ребрами с вершинами основания. На рисунке 1 показано изображение пятиугольной пирамиды.

Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники (рис. 2). В частности, треугольниками являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два не соседних боковых ребра пирамиды (рис. 3).

Сечение пирамиды плоскостью с заданным следом на плоскости основания строится так же, как и сечение призмы. Для построения сечения пирамиды плоскостью достаточно построить пересечения ее боковых граней с секущей плоскостью.

Если на грани, не параллельной следу , известна какая-нибудь точка А, принадлежащая сечению, то сначала строится пересечение следа секущей плоскости с плоскостью этой грани – точка D на рисунке 4. Точка D соединяется с точкой А прямой. Тогда отрезок этой прямой, принадлежащий грани, есть пересечение этой грани с секущей плоскостью. Если точка А лежит на грани, параллельной следу, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку, параллельному прямой. Переходя к соседней боковой грани, строят ее пересечение с секущей плоскостью и т.д. В итоге получается требуемое сечение пирамиды.

Внутреннее проектирование является центральным с центром проектирования в вершине пирамиды.

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис.4



Н. Г


1. В некоторых случаях сечение удаётся построить, не прибегая к каким-либо специальным методам, а лишь основываясь на элементарных рассуждениях (и построениях), связанных с построением элементов пересечения прямых и плоскостей. Постройте сечения пирамиды плоскостями, проходящими через точки E, D, F.



Н. Г


DАВС



Н. Г


2. На рисунке показано построение методом следов сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки К, L, M. Опишите этапы построения этого сечения.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



Н. Г


3. На рисунке показано построение методом внутреннего проектирования сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки К, L, M. Опишите этапы построения этого сечения.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4. Постройте сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки K, L, М. Дайте подробное решение одной из ниже приведённых задач на построение сечения. Для решения задачи желательно использовать интерактивную среду «1С: Математический конструктор».

5. Внеаудиторное задание. Решить задачи №№ 56-60 из пособия Игошин В.И. Тетрадь по геометрии для 11 класса.

Многогранники и их сечения, площади поверхностей, объёмы. – Саратов, 1997. – 64 с. Саратовский государственный


Н. Г


Лабораторная работа № 4. Моделирование (изготовление) правильных, полуправильных, выпуклых и звёздчатых многогранников, изучение их свойств

1. Прочитайте предисловие книги Веннинджер М. Модели многогранников. Пер. с англ. В.В. Фирсова. Под ред. и с послесл. И.М. Яглома. – М.: Мир, 1974. Выпишите положения наиболее актуальные для Вас.

2. Выберите для моделирования наиболее интересный на Ваш взгляд многогранник. Охарактеризуйте его, опишите его свойства.

3. Изготовьте модель выбранного многогранника. 4. Внеаудиторное задание. Изучите статью И. Смирнова, В. Смирнов Использование

компьютерной системы «Maple» для изображения многогранников // Математика, №18 16-30 сентябрь 2010. – С.3-7. Создайте с помощью Maple на экране монитора трехмерное изображение выбранного Вами многогранника; сохраните полученное изображение в форматах с расширениями bmp, gif, jpg, и др.

Лабораторная работа № 5. Сечения цилиндра плоскостями

1. На рисунке показано построение эллипса с помощью циркуля и линейки. Опишите этапы (алгоритм) построения эллипса.



Н. Г


2. Используя алгоритм построения эллипса с помощью циркуля и линейки, постройте эллипсы, полуоси которых равны соответственно (см) 2 и 3; 2 и 4; 3 и 4. Какой из построенных эллипсов наиболее удобен для изображения оснований кругового цилиндра?

3. Цилиндрическая поверхность – поверхность, получаемая таким поступательным движением прямой (образующей) в пространстве, что выделенная точка образующей движется вдоль плоской кривой (направляющей). Цилиндр – геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её. Часть поверхности цилиндра, ограниченная цилиндрической поверхностью называется боковой поверхностью цилиндра. Другая часть, ограниченная параллельными плоскостями, это основания цилиндра. Таким образом, граница основания будет по форме совпадать с направляющей.

В большинстве случаев под цилиндром подразумевается прямой круговой цилиндр, у которого направляющая – окружность и основания перпендикулярны образующей.

Другие виды цилиндра – эллиптический, гиперболический, параболический.

Подумайте, можно ли назвать цилиндром призму? Ответ обоснуйте. ____________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________



Н. Г


4. Пусть дан цилиндр оригинал, расположенный так, что его ось OQ параллельна плоскости изображения, а направление проектирования выбрано так: оно не параллельно плоскостям оснований, но параллельно плоскости, проходящей через ось цилиндра перпендикулярно плоскости.

В результате цилиндр изображается как 2 эллипса, полученных друг из друга параллельным переносом, и двух касательных к ним (контурные образующие цилиндра).

Если секущая плоскость параллельна образующим цилиндра, то в сечении получается пара параллельных прямых / прямоугольник.

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то в сечении получается окружность / круг.

Если секущая плоскость не параллельна образующим и не перпендикулярна к оси, то в сечении получится эллипс. Для построения сечений цилиндра используют метод следов и метод внутреннего проектирования. При сечении цилиндра

внутреннее проектирование – параллельное (параллельно образующим). При сечении цилиндра плоскостью нужно построить точки пресечения секущей плоскости и каждой из бесконечного числа его образующих. Поскольку этого сделать в принципе невозможно, то выбирают достаточно «густой» частокол образующих и по точкам их пересечения с секущей плоскостью устанавливают вид сечения.

Постройте сечения цилиндра плоскостью, проходящей через точки K, L, М. Каждый чертёж выполните на листе формата А4, а затем «скопируйте конечный результат» на данные чертежи.

5. Внеаудиторное задание. Решить задачи №№ 1-5 из пособия Игошин В.И. Тетрадь по геометрии для 11 класса. Круглые

тела и их сечения, объёмы, площади поверхностей. – Саратов, 1998. – 64 с.

K L

M

K

L

M

K

L M



Н. Г


Лабораторная работа № 6. Сечения конуса плоскостями Конические сечения – плоские кривые, которые получаются

пересечением прямого кругового конуса плоскостью. За исключением вырожденных случаев, коническими сечениями

являются эллипсы, гиперболы или параболы. С точки зрения аналитической геометрии коническое сечение представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению второго порядка.

Эллипс образуется, когда секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости; парабола – когда секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса; гипербола – когда секущая плоскость пересекает обе полости конуса.

Существуют и вырожденные случаи конических сечений. Они появляются в тех случаях, когда секущая плоскость проходит через вершину конуса.

Если наклон плоскости к оси конуса больше, чем наклон образующей к оси, то сечением является точка – вершина конуса.

Если эти углы совпадают, то есть секущая плоскость касается конуса, то коническим сечением будет одна прямая.

Наконец, в случае, когда угол наклона секущей плоскости меньше, она пересекает конус по двум прямым.

1. Изучая конические сечения как пересечения плоскостей и конусов, древнегреческие математики рассматривали их и как траектории точек на плоскости.

Эллипс можно определить как геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек постоянна; параболу – как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки и заданной прямой; гиперболу – как геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек постоянна.

Эти определения конических сечений как плоских кривых подсказывают и способ их построения с помощью натянутой нити.



Н. Г


Эллипс. Если концы нити заданной длины закреплены в точках F1 и F2, то кривая, описываемая острием карандаша, скользящим по туго натянутой нити, имеет форму эллипса. Точки F1 и F2 называются фокусами эллипса, а отрезки V1V2 и v1v2 между точками пересечения эллипса с осями координат – большой и малой осями. Если точки F1 и F2 совпадают, то эллипс превращается в окружность.

Гипербола. При построении гиперболы точка P, острие карандаша,

фиксируется на нити, которая свободно скользит по шпенькам, установленным в точках F1 и F2, как показано на рисунке (а). Расстояния подобраны так, что отрезок PF2 превосходит по длине отрезок PF1 на фиксированную величину, меньшую расстояния F1F2. При этом один конец нити проходит под шпеньком F1 и оба конца нити проходят поверх шпенька F2. (Острие карандаша не должно скользить по нити, поэтому его нужно закрепить, сделав на нити маленькую петлю и продев в нее острие.) Одну

ветвь гиперболы (PV1Q) мы вычерчиваем, следя за тем, чтобы нить оставалась все время натянутой, и потягивая оба конца нити вниз за точку F2, а когда точка P окажется ниже отрезка F1F2, придерживая нить за оба конца и осторожно отпуская ее. Вторую ветвь гиперболы мы вычерчиваем, предварительно поменяв шпеньки F1 и F2.

Ветви гиперболы приближаются к двум прямым, которые пересекаются между ветвями. Эти прямые, называемые асимптотами гиперболы, строятся как показано на рисунке (б). Угловые

коэффициенты этих прямых равны , где – отрезок биссектрисы угла между асимптотами, перпендикулярной отрезку F2F1; отрезок v1v2 называется сопряженной осью гиперболы, а отрезок V1V2 – ее поперечной осью. Таким образом, асимптоты являются диагоналями прямоугольника со сторонами, проходящими через четыре точки



Н. Г


v1, v2, V1, V2 параллельно осям. Чтобы построить этот прямоугольник, необходимо указать местоположение точек v1 и v2. Они находятся на одинаковом расстоянии, равном от точки пересечения осей O. Эта формула предполагает построение прямоугольного треугольника с катетами Ov1 и V2O и гипотенузой F2O.

Если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, то гипербола называется равнобочной. Две гиперболы, имеющие общие асимптоты, но с переставленными поперечной и сопряженной осями, называются взаимно сопряженными.

Парабола. Фокусы эллипса и гиперболы были известны еще Аполлонию, но

фокус параболы, по-видимому, впервые установил Папп (вторая половина III в.), определивший эту кривую как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки (фокуса) и заданной прямой, которая называется директрисой. Построение параболы с помощью натянутой нити, основанное на определении Паппа, было предложено Исидором Милетским (VI в.).

Расположим линейку так, чтобы ее край совпал с директрисой, и приложим к этому краю катет AC чертежного треугольника ABC. Закрепим один конец нити длиной AB в вершине B треугольника, а другой – в фокусе параболы F. Натянув острием карандаша нить, прижмем острие в переменной точке P к свободному катету AB чертежного треугольника. По мере того, как треугольник будет перемещаться вдоль линейки, точка P будет описывать дугу параболы с фокусом F и директрисой так как общая длина нити равна AB, отрезок нити прилегает к свободному катету треугольника, и поэтому оставшийся отрезок нити PF должен быть равен оставшейся части катета AB, то есть PA. Точка пересечения V параболы с осью называется вершиной параболы, прямая, проходящая через F и V, – осью параболы. Если через фокус провести прямую, перпендикулярную оси, то отрезок этой прямой, отсекаемый параболой, называется фокальным параметром. Для эллипса и гиперболы фокальный параметр определяется аналогично.

Задание. Сконструируйте приспособление для изображения кривых второго порядка, используя описанные выше

инструменты и принципы. Применяя приспособление, заготовьте по три шаблона эллипсов, параболы, ветви гиперболы различных размеров из плотной бумаги.



Н. Г


2. Конус изображается эллипсом и парой касательных к нему, проведенных из одной точки, которая будет изображением вершины конуса. Следует заметить, что касательные к эллипсу, изображающие контурные образующие эллипса, не следует изображать касающимися в диаметрально противоположных точках, так как при таком изображении конус будет изображаться в виде треугольника. Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через точки K, L, М сначала методом следов, затем методом внутреннего проектирования. Каждый чертёж выполните на листе формата А4, а затем «скопируйте конечный результат» на данные чертежи.

3. Внеаудиторное задание. (1) Решить задачи №№ 21-24 из пособия Игошин В.И. Тетрадь по геометрии для 11 класса.

Круглые тела и их сечения, объёмы, площади поверхностей. – Саратов, 1998. – 64 с. (2) В среде «1С: Математический конструктор» создайте динамическую модель построения эллипса.

M

K

L

M

K

L

M

K

L

K

L M

K

L

M

K

L

M



Н. Г


Лабораторная работа № 7. Конфигурации многогранников и тел вращения (вписанные и описанные тела) 1. Сформулируйте свойства/признаки вписанных/описанных тел. Результаты оформите в таблицу (заполните таблицу). Чертёж Условие Заключение

Если на сфере лежат окружности оснований цилиндра, то

сфера описана около цилиндра

В цилиндр можно вписать сферу, если высота цилиндра равна Центром вписанной в цилиндр сферы будет точка Радиус вписанной в цилиндр сферы будет равен

диаметру его основания. являющаяся серединой отрезка, соединяющего центры оснований цилиндра. радиусу окружности основания цилиндра.

Если на сфере лежит окружность основания конуса, то

сфера описана около конуса

Около конуса всегда можно описать

сферу. Ее центр находится на высоте конуса, а радиус равен радиусу окружности, описанной около треугольника, являющимся осевым сечением конуса.



Н. Г


Чертёж Условие Заключение

В любой конус (прямой, круговой) можно вписать

сферу. Ее центр находится на высоте конуса, а радиус равен радиусу окружности, вписанной в треугольник, являющийся осевым сечением конуса.

Сфера проходит через все вершины многогранника

сфера описана около многогранника

Для того чтобы около многогранника можно было описать сферу, необходимо (но недостаточно), чтобы около любой его грани

можно было описать окружность.



Н. Г


Чертёж Условие Заключение Центр описанной около многогранника

сферы лежит в плоскостях, перпендикулярных

ребрам многогранника, проходящих через их середины; а также на прямых, перпендикулярных граням многогранника, проходящих через центры описанных около граней окружностей.

Радиус описанной около многогранника сферы равен радиусу сферы, проходящей через любые четыре, не лежащие в одной плоскости

вершины многогранника.

Около любой треугольной пирамиды можно описать

сферу.

Около любой правильной пирамиды можно описать

сферу.



Н. Г



Центром сферы, описанной около пирамиды, будет точка пересечения плоскостей,

проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им.

Центр сферы, описанной около пирамиды, лежит в точке пересечения прямой

перпендикулярной основанию пирамиды, проходящей через центр описанной около основания окружности и плоскости, перпендикулярной любому боковому ребру, проведённой через середину этого ребра.

Центр сферы, описанной около пирамиды, высота которой проектируется в центр описанной окружности вокруг основания, лежит

на середине диаметра, проведённого через центр этой окружности, перпендикулярно ей.

Около n-угольной пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда

около ее основания можно описать окружность.

Если около основания пирамиды можно описать окружность, то около этой пирамиды можно описать

сферу.

В любую правильную пирамиду можно вписать

сферу.



Н. Г



В любой тетраэдр можно вписать сферу.

В пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды

пересекаются в одной точке. Эта точка будет центром сферы.

Если боковые грани пирамиды одинаково наклонены к основанию, то в такую пирамиду можно вписать

сферу.

Около призмы можно описать сферу тогда и только тогда, когда

призма прямая и около ее основания можно описать окружность.



Н. Г



Для того чтобы в призму можно было вписать сферу, необходимо и достаточно, чтобы в перпендикулярное сечение призмы можно было

вписать окружность и чтобы высота призмы была равна диаметру этой окружности.

В правильную призму можно вписать сферу тогда и только тогда, когда ее высота равна

диаметру окружности, вписанной в основание.

Около цилиндра всегда можно описать сферу. Ее центром будет точка O, являющаяся серединой отрезка, соединяющего центры оснований O1 и O2 цилиндра.

Радиус сферы R вычисляется по формуле где h – высота цилиндра, r – радиус окружности основания.

Если сфера касается граней двугранного угла, то ее центр

лежит на полуплоскости, делящей этот двугранный угол на два равных двугранных угла.



Н. Г



Призма называется вписанной в цилиндр (а цилиндр – описанным около призмы), если

основания призмы вписаны в основания цилиндра.

Для того чтобы около призмы можно было описать цилиндр, необходимо и достаточно, чтобы

призма была прямая и около ее основания можно было описать окружность.

Цилиндр называется вписанным в призму (а призма – описанной около цилиндра), если

основания цилиндра вписаны в основания призмы.

Для того чтобы в призму можно было вписать цилиндр, необходимо, чтобы

призма была прямая, и в ее основание можно было вписать окружность.

Радиус основания цилиндра вписанного в призму равен

радиусу окружности, вписанной в основание призмы

Высота цилиндра вписанного в призму равна высоте призмы.

Пирамида называется вписанной в конус (а конус – описанным около пирамиды), если

вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса, а основание вписано в основание конуса



Н. Г



Для того чтобы около пирамиды можно было описать конус, необходимо и достаточно, чтобы боковые ребра пирамиды

имели равные длины.

Пирамида называется описанной около конуса (а конус – вписанным в пирамиду),

если вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса, а основание пирамиды описано около основания конуса.

Для того чтобы в пирамиду можно было вписать конус, необходимо и достаточно, чтобы

в основание пирамиды можно было вписать окружность, а основание высоты пирамиды было центром этой окружности.

Вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы

пирамиды равны между собой



Н. Г



Пирамида называется вписанной в цилиндр, если

ее вершина пирамиды принадлежит одному основанию цилиндра, а основание вписано в другое основание цилиндра

В цилиндр можно вписать пирамиду, основание которой

можно вписать в окружность, причём высоты пирамиды цилиндра должны быть равны

Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если

одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.



Н. Г


Чертёж Условие Заключение В пирамиду можно вписать цилиндр только в

том случае, если в основании пирамиды – многоугольник, в который можно вписать окружность.

В усеченный конус можно вписать сферу, если в его осевое сечение

можно вписать окружность. Радиус этой окружности будет равен радиусу вписанной сферы.

В усеченный конус можно вписать сферу в том и только в том случае, если его образующая

равна сумме радиусов оснований.

Около любой правильной усеченной пирамиды можно (достаточное условие) описать

сферу.

В правильную усеченную пирамиду можно вписать сферу в том и только в том случае, если

апофема пирамиды равна сумме апофем оснований.



Н. Г


2. Рассмотрим теперь вопрос об изображении комбинаций многогранников и тел вращения. Начнем с куба и сферы. Одной из распространенных ошибок изображения сферы, вписанной в куб, является изображение, показанное на рисунке 1.

Здесь сразу несколько ошибок. Первая связана с неверным изображением точек касания. Точки касания должны располагаться не на окружности, ограничивающей изображение сферы, а внутри нее. Так, например, точки касания верхней и нижней граней куба должны располагаться в полюсах сферы. Эту ошибку можно исправить, несколько увеличив размеры вписанной сферы, как показано на рисунке 2. Здесь как будто точки касания верхней и нижней граней куба расположены в полюсах сферы, однако это изображение также не является верным. Ошибка рисунков 1 и 2 состоит в том, что для изображения сферы и куба использованы разные проекции.

Сфера изображена в ортогональной проекции, а куб нет. На одном изображении этого делать нельзя. Если сфера изображается в ортогональной проекции, то и куб должен изображаться в ортогональной проекции.

Для построения правильного изображения сферы, вписанной в куб, сначала изобразим сферу с экватором и полюсами (рис. 3). Затем, опишем около экватора квадрат и построим его изображение. Это можно сделать следующим образом. Отметим на эллипсе, изображающем экватор какую-нибудь точку A и проведем касательную a к эллипсу в этой точке. Через точку A и центр эллипса O проведем прямую, и ее точку пересечения с эллипсом обозначим B. Через точку B проведем прямую b, параллельную a. Она также будет касательной к эллипсу. Построим диаметр CD, сопряженный диаметру AB эллипса и через точки C и D проведем прямые c и d, параллельные AB. Они будут касательными к эллипсу. Параллелограмм PQRS будет искомым изображением квадрата, описанного около экватора.

Через вершины параллелограмма проведем прямые, параллельные оси SN сферы и отложим на них в обе стороны отрезки, равные

ON = OS. Получим вершины верхнего и нижнего оснований куба, описанного около сферы. Соединяя теперь соответствующие вершины верхнего и нижнего оснований, получим остальные ребра искомого куба (рис. 4).

Изображение куба, описанного около данной сферы, полностью определяется начальным выбором точки A. Выбирая различным образом эту точку можно получать различные изображения куба, описанного около сферы.

Задание. Постройте ещё два изображения куба, выбрав другие положения точки А. Саратовский государственный


Н. Г


Аналогичным образом строится изображение правильной

треугольной призмы, описанной около сферы (рис. 5). Сначала строим изображение правильного треугольника, описанного около экватора. Для этого выбираем точку касания A и проводим через нее касательную a. Через точку A и центр эллипса проводим прямую и откладываем на ней отрезок OB = 2OA. Через точку B проводим касательные b и c к эллипсу. Прямые a, b и c образуют искомый треугольник, описанный около эллипса (рис. 6). Через вершины этого треугольника проведем прямые, параллельные оси SN сферы и отложим на них в обе стороны отрезки, равные ON = OS. Получим вершины верхнего и нижнего оснований призмы, описанной около сферы. Соединяя теперь

соответствующие вершины верхнего и нижнего оснований, получим остальные ребра искомой призмы (рис. 5). Аналогичным образом строится изображение пирамиды с вписанной в нее сферой (рис. 7). В случае, если сфера вписана в

правильный тетраэдр (рис. 8), нужно учитывать, что центр сферы делит высоту пирамиды в отношении 3:1 считая от вершины. На рисунке 9 изображена сфера с вписанным в нее кубом. На рисунке 10 изображена сфера с вписанным в нее правильным тетраэдром.

Задание. Опишите этапы построения этих изображений.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10



Н. Г


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



Н. Г


3. Упражнения. – Изобразите правильную шестиугольную призму, описанную около сферы. – Изобразите правильную шестиугольную пирамиду, описанную около сферы. – Изобразите конус, описанный около сферы. – Изобразите сферу, описанную около правильной шестиугольной призмы. – Изобразите сферу, описанную около правильной четырехугольной пирамиды. – Изобразите октаэдр, вписанный в сферу. – Изобразите сферу, описанную около цилиндра. – Изобразите сферу, описанную около конуса. – По данному изображению конуса постройте: а) центр вписанной сферы; б) центр описанной сферы.

4. Постройте геометрическую модель задачи и приведите решение этой задачи: В основании прямой призмы лежит выпуклый четырёхугольник ABCD, у которого AD = 8 cм, CD = 12 cм, В = 120, D =60, а боковое ребро имеет длины 10 см. Докажите, что около этой призмы можно описать сферу и найдите её радиус.

5. Внеаудиторное (индивидуальное) задание. (1) Решить задачи из пособия Игошин В.И. Тетрадь по геометрии для 11 класса. Круглые тела и их сечения, объёмы, площади поверхностей. – Саратов, 1998. – 64 с.

Вариант Задачи № Вариант Задачи № 1 9б 28 36а 48а 62 74 90 91 118а 123 9 12 30 36а 58б 64в 74 83а 100 110 122 2 9в 29 36б 48б 63 75 83а 92 117 124 10 13 28 36б 57 68 75 90 101 109 121 3 10 30 37 49 64а 76 90 94 116 122 11 9б 29 37 56 70 76 88 102а 108 120 4 12 28 38 50 64б 77 88 95 115 121 12 9в 30 38 54б 71б 77 86 102б 107 119 5 13 29 39 54б 64в 78 86 96 114 120 13 10 28 39 50 62 78 85 102в 106в 118д 6 9б 30 42 56 68 79 85 97 113 119 14 12 29 42 49 63 79 84 102г 106б 118г 7 9в 28 43 57 70 81 84 98 112 124 15 13 30 43 48б 64а 81 83б 103 106а 118в 8 10 29 44 58б 71б 82 83б 99 111 123 16 9б 28 44 48а 64б 82 83а 104 105 118б



Н. Г


Лабораторная работа № 8. Объёмы и поверхности тел вращения 1. Заполните таблицу

Рисунок Объём Площадь поверхности Фигура вращения Тело вращения



Н. Г





Н. Г



280 см3 270 см2

3400 см3 11 дм3 1440 см2 45 дм2



Н. Г



Треугольник со сторонами 9 см, 10 см и 17 см вращается вокруг высоты, проведённой из вершины его меньшего угла.

504 см3 1,6 дм3 540 см2 16 дм2

Треугольник со сторонами 8 см и 5 см, заключающими угол в 60°, вращается вокруг оси, проходящей через вершину этого угла перпендикулярно к меньшей из его сторон.



Н. Г


Рисунок Объём Площадь поверхности Фигура вращения Тело вращения Ромб со стороной а и острым углом в 60° вращается вокруг оси, проведённой через вершину этого угла перпендикулярно к стороне

Ромб со стороной а и острым углом в 45° вращается вокруг оси, проведённой через вершину этого угла перпендикулярно к стороне

Равнобедренная трапеция, у которой острый угол равен 45° и боковая сторона а равна меньшему основанию, вращается вокруг боковой стороны.



Н. Г


Рисунок Объём Площадь поверхности Фигура вращения Тело вращения В полукруг радиуса R вписана трапеция так, что её нижним основанием служит диаметр этого круга, а боковая сторона стягивает дугу в 30°. Трапеции вращается вокруг радиуса, перпендикулярного к её основанию.

АВ – диаметр данной полуокружности радиуса R; ВС–дуга, содержащая 60°. Проведены хорда АС и касательная CD, где D – точка на продолжении диаметра АВ. Треугольника ACD вращается вокруг оси AD.

На полуокружности радиуса R от конца её диаметра АВ отложена дуга ВМС в 60°, и точка С соединена с А. Вокруг АВ вращается фигура, ограниченная диаметром АВ, хордой АС и дугой ВМС.



Н. Г


2. Сконструируйте бумажную модель одного из тел вращения из задания 1.



Н. Г


3. Внеаудиторное (индивидуальное) задание. (1) Изготовьте модели тел вращения из задания 1 используя

проволоку и нитки. (2) Создайте компьютерную трёхмерную модель любого тела

вращения из задания 1.



Н. Г


gb g l bf bl m^zelibrary.sgu.ru/uch_lit/606.pdfПостроение пирамиды и её...

Documents