gazdasagi matematika 2 valoszinusegszamitas (1)

8/19/2019 Gazdasagi Matematika 2 Valoszinusegszamitas (1)

1/198

Gazdasági matematika 2: Valószínűségszámítás

Tantárgyi útmutató

1. A tantárgy helye a szaki hálóban

Gazdálkodási és menedzsment szakirány áttekintő tanterv

Nagyításhoz kattintson a képre!

Turizmus - vendéglátás szakirány áttekintő tanterv

Nagyításhoz kattintson a képre!

Kzgazdaságtani! módszertani és "zleti ala#ozó modul Gazdasági matematika 2.Valószínűségszámítás

$. A tantárgyi #rogram általános %él&a

A statisztika tantárgy egzakt matematikai megalapozása. A kominatorika és azeseményalgera e"ezet# $e%ezetek $eldolgozása &tán a szto'hasztik&s $olyamatok ést(r"ényszerűségeik megismerése a $# 'él. )zt a gazdasági és a mindennapi élet#l "ett

példákon kereszt*l m&tat%&k e. Nagy hangs+lyt $ektet*nk a k*l(n(z# eloszlástíp&sokmegismertetésére k*l(n(s tekintettel a normális eloszlásra és a minta"ételekhez illet"e

Gazdasági matematika 2: Valószín,ségszámítás -odolányi /ános 0#iskola

http://moodle.kodolanyi.hu/file.php/25/kepek/gazd_mat2_tur.jpghttp://moodle.kodolanyi.hu/file.php/25/kepek/gazd_mat2_men.jpg


2/198

$*ggetlen eseményekhez kap'solódókra mert ezek az ismeretek nélk*l(zhetetlenek astatisztika számos részének megértéséhez 1$*ggetlen minta $ogalma e'slés hipotézis"izsgálat...A $entieknek meg$elel#en nagyon $ontosnak tart%&k a "alószínűségszámítás ésstatisztika kap'solódási pont%ainak em&tatását 1gyakoriság és "alószínűség átlag és "árhatóérték kap'solata minta"ételek eloszlások... nagyszámok t(r"énye 'entrális határeloszlástétele. A tantárgyrészletes tematiká%a az intrán található.

'. A tantárgyi #rogram elsa&át(tásához sz"kséges tanulmányi idő

• 3zemélyes konz&ltá'ió: -4 tanóra

• 5nline konz&ltá'ió 1szinkron: 2 tanóra

• 5nline konz&ltá'ió 1aszinkron: a tel%es szorgalmi id#szakan

• )gyéni tan&lmányi id#: 644 tanóra

). A tantárgy tartalma

A k&rz&s az alái témak(r(ket $oglal%a magáan: ominatorika alap$ogalmak ésalkalmazás&k. )seményalgera. Valószínűség $ogalma a7iómái tételek. A klasszik&s"alószínűség $ogalma és alkalmazásai. Geometriai "alószínűség.0eltételes "alószínűségtel%es "alószínűség tétele 8ayes9tétel. 0*ggetlen kísérletek a 8erno&lli $éle képlet ésalkalmazása. A "alószínűségi eloszlás $ogalma %ellemzése eloszlás$*gg"énnyel "agy"alószínűségeloszlással sűrűség$*gg"énnyel az eloszlás pont%ellemz#i. Ne"ezetes diszkrét1karakterisztik&s9 egyenletes9 hipergeometrik&s9 inomiális9 oisson9 geometriai eloszlásés $olytonos eloszlások 1egyenletes9 e7ponen'iális9 normális eloszlás. Az eloszlások k(z(ttikap'solat em&tatása e'slési lehet#ségek. ;arko"9 >?.

,. A&ánlott irodalom

• 3olt Gy(rgy: Valószínűségszámítás példatár. 8olyai k(ny"ek sorozat ;űszaki(ny"kiadó 8&dapest -@@4.

• >-.

Gazdasági matematika 2: Valószín,ségszámítás 2odolányi /ános 0#iskola

http://www.kodolanyi.hu/intrahttp://www.kodolanyi.hu/intra


3/198

Könyvtári kölcsönzés

A k(telez# és a%ánlott irodalmak a odolányi /ános 0#iskola k(ny"táráól k(l's(n(zhet#k. Ak(ny"tár online katalóg&sa itt található.

A kí"ánt szakirodalom a k("etkez# adatlap kit(ltésé"el el#%egyeztethet# és a konz&ltá'iósk(zpont $iókk(ny"táráan át"ehet#.

Knyvtári ka#%solattartók

Gazdálkodási és menedzsment szakosoknak:(ny"táros: oloszárné Dorinka Valéria.Bel.: 22E4CF9CF-e9mail 'ím: gazdta"okt&ranos.kodolanyi.h&

B&rizm&s9 "endéglátás szakosoknak:(ny"táros: altene'ker lára.Bel.: 22E4CF9CF-e9mail 'ím: i$ota"okt&ranos.kodolanyi.h&

zerző zabó /lonazakmai lektor 0r. bádovi%s 2. Gyula

Valószínűségszámítás-lexikon

34 A >! értéke de$iní'ió szerint -.

A5ióma

Az a7iómák alkot%ák a matematika alapk("eit. ezek olyan állítások amelyeket nemizonyít&nk hanem ele"e igaznak $ogad&nk el. A "alószínűségszámítás C ilyen Halapk#reHép*l $el. 1ásd @. le'ke ;inden to"ái állítás 1tétel izonyításának alap%át az a7iómákképezik.

6ernoulli-k(sérletsorozat8erno&lli9kísérletsorozatról akkor eszél*nk ha $*ggetlen*l megismételt kísérletekmindegyikének 'sak két lehetséges kimenetele "an és ezen események "alószínűsége akísérletek során "áltozatlan marad.

6inomiális eloszlás Alkalmazás:-. Visszate"éses minta"étel: Adott N elem amelyek k(z(tt ; szám+ kit*ntetett "an.

1Gyakran 'sak a kit*ntetett elemek p I ;EN részaránya ismert. Az elemek#l n9szerh+z&nk +gy hogy minden h+zás &tán a kih+zott elemet "isszatessz*k. A "alószínűségi"áltozó a mintáan lé"# kit*ntetett elemek számát %el(li.

2. 8erno&lli proléma 1$*ggetlen kísérletek egy*ttes ek("etkezése : n szám+ $*ggetlenkísérletet "égz*nk. )gy9 egy kísérletnél p "alószínűséggel k("etkezik e a "izsgáltesemény. A "alószínűségi "áltozó a "izsgált esemény ek("etkezéseinek számát %el(lin kísérlet esetén.

F. A hipergeometrik&s eloszlás helyett a inomiális eloszlás képleteit alkalmazhat%&k ha N

és ; elég nagyok n9hez képest.

Gazdasági matematika 2: Valószín,ségszámítás Fodolányi /ános 0#iskola

http://aromo.kodolanyi.hu/monguz/index.jsphttp://www.kodolanyi.hu/lib/OlvasoiKerdesek.phpmailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]://aromo.kodolanyi.hu/monguz/index.jsphttp://www.kodolanyi.hu/lib/OlvasoiKerdesek.phpmailto:[email protected]:[email protected]


4/198

0eterminisztikus &elenség A %elenség azonos k(r*lmények k(z(tt mindig &gyan+gy megy "ége. éldá&l a $(ld $elszínénele%tett test mindig gI->mEs2 gyors&lással esik a $(ld $elé.

0iszkrét valósz(n7ségi változóDa a "alószínűségi "áltozó lehetséges értékeinek száma "éges "agy megszámlálhatóan"égtelen sok akkor a "alószínűségi "áltozót diszkrét "alószínűségi "áltozónak mond%&k. Atan&lt spe'iális diszkrét eloszlások k(z*l a "alószínűségi "áltozónak:

• "éges sok értéke "an a hipergeometrik&s9 és inomiális eloszlás esetéen• megszámlálhatóan "égtelen sok értéke "an a oisson9 és a geometriai eloszlás

esetéen.

8gyenletes eloszlás 9:olytonos;)gyenletes eloszlás alkalmazása: A "alószínűségi "áltozó az értékeit egy 1aJ inter"all&mon"eszi $el és az 1aJ ármely részinter"all&máa esésének "alószínűsége arányos arészinter"all&m hosszá"al.

8gymást kizáró események

ét esemény kizár%a egymást ha egyszerre nem k("etkezhetnek e.élda: D+zz&nk ki a magyar kártyáól egyszerre C lapot. A: A kih+zottak k(z(tt 2 piros "an8: A kih+zottak k(z(tt F z(ld "an A és 8 események egymást kizár%ák mert (sszesen 'sak C lapot h+zt&nk.

8lemi esemény)lemi esemény 'sak egy$éleképpen k("etkezhet e. /ele: ) éldá&l a ko'kadoás egylehetséges kimenetele hogy hármas do&nk. )z egy elemi esemény.

8loszlás:"ggvény

)gy "alószínűségi "áltozó 0 eloszlás$*gg"énye minden 7 "alós számhoz hozzárendeli az 79nélkise értékek $el"ételének "alószínűségét. Kiszkrét és $olytonos eloszlásnak is "aneloszlás$*gg"énye.

8semények k"lnbsége Az A98 1e%tsd A k*l(nség 8 is esemény amely akkor k("etkezik e ha az A események("etkezik és a 8 nem.élda: )gy megeszélésre 2 személyt "ár&nk Andrást és 8élát. A: András pontosan érkezik.8: 8éla pontosan érkezik.

A 9 8: András pontosan érkezik és 8éla nem.

8semények sszegeét "agy t( esemény (sszege is esemény amely akkor k("etkezik e ha az eseményekk(z*l legalá az egyik ek("etkezik.élda: ;agyar kártyáól h+zz&nk egy lapot. A: z(ldet h+zt&nk8: ászt h+zt&nk AL8: z(ldet "agy ászt h+zt&nk 1 a kett# k(z*l legalá az egyik ek("etkezik.

8semények szorzataét "agy t( esemény szorzata is esemény amely akkor k("etkezik e ha az eseményekmindegyike ek("etkezik.

Gazdasági matematika 2: Valószín,ségszámítás Codolányi /ános 0#iskola


5/198

élda: Ko%&nk a ko'ká"al kétszer. /egyezz*k le a számokat a doás sorrend%éen. A: ;indkét doott szám páros.8: ;indkét doott szám nagyo C9nél. AM8 : mindkét szám páros és nagyo C9nél azaz mindkett# hatos.

85#onen%iális eloszlás Alkalmazás:

-. )z az eloszlás olyan gépek és erendezések élettartamára %ellemz# amelyek "alamely

hirtelen ehatás 1pl.: t(rés szakadás k("etkeztéen mentek t(nkre. 1Bipik&s példa aze7ponen'iális eloszlásra az izzólámpa élettartama amelyen az izzószál gyakran a ki9"agy ekap'soláskor $ellép# t+láram hatására megy t(nkre azaz nem el(regedésk("etkeztéen.

2. A "árakozási9 soran állási id# is gyakran e7ponen'iális eloszlással %ellemezhet#.1éldá&l a ment#9 "agy a tűzoltó állomáson két egymást k("et# riasztás k(z(tt elteltid# e7ponen'iális eloszlás+.


6/198

Adott n k*l(n(z# elem. Az elemek egy adott sorrend%ét az n elem egy ismétlés nélk*liperm&tá'ió%ának hí"%&k.

/smétlés nélk"li variá%ió Adott n k*l(n(z# elem. )zek#l "álassz&nk ki k elemet +gy hogy ármely elem 'sak egyszer"álasztható és rendezz*k #ket sora. )kkor az n elem egy k9adosztály+ ismétlés nélk*li"ariá'ió%ához %&t&nk.

/smétléses kombiná%ió Adott n k*l(n(z# elem. Válassz&nk ki k(z*l*k k elemet +gy hogy ármely elem t(sz(r is"álasztható és a ki"álasztás sorrend%e nem számít. )kkor az n elem egy k9adosztály+ismétléses kominá'ió%át kap%&k.

/smétléses #ermutá%ió Adott n elem amelyek k(z(tt "annak ismétl#d#ek 1egy$ormák. egyen

• az a - elem#l k - szám+

• az a 2 elem#l k 2 szám+ ...

• az a r elem#l k r szám+.

gy tehát az elemek száma: k - Lk 2 L...Lk r In

/smétléses variá%ió Adott n k*l(n(z# elem. Válassz&nk ki k(z*l*k k elemet +gy hogy ármely elem t(sz(r is"álasztható ma%d rendezz*k #ket sora. )kkor az n elem egy k9adosztály+ ismétléses"ariá'ió%át kap%&k.

Kom#lementer esemény)llentett esemény. Az A esemény komplementere akkor és 'sak akkor k("etkezik e ha az Aesemény nem k("etkezik e. éldá&l a ko'kadoásnál a páros szám doásánakkomplementere a páratlan szám doása.

>agyar kártyaF2 lapól áll. ;inden lapon "an egy szín és egy $ig&ra.C9$éle szín "an amelyek ne"ei: piros z(ld makk t(k.;inden szín#l 6 lap "an.69$éle $ig&ra "an amelyek ne"ei: V== V=== =O O alsó $els#. király ász.;inden $ig&ráól C lap "an.=lyen módon a lapok ne"ei példá&l: z(ld ász piros király ...;i"el nin's két tel%esen egy$orma lap ezért F2 lapól áll a magyar kártya.

>ediánongyolán azt mondhatnánk hogy a medián a "alószínűségi "áltozó azon értéke amelynélkise és nagyo értékek $el"ételének "alószínűsége 4> P.)z a meg$ogalmazás azonan 'sak a $olytonos eloszlásokra használható a diszkrételoszlásoknál spe'iális a számolás.

>egszámlálhatóan végtelen sok)gy halmaznak megszámlálhatóan "égtelen sok eleme "an ha annyian "annak mint a pozití"egész számok "agyis a halmaz elemei és a pozití" egész számok k(z(tt k(l's(n(senegyértelmű hozzárendelés létesíthet#.éldá&l a számsorozatok elemeinek száma megszámlálhatóan "égtelen sok mert minden npozití" egész számhoz 1az elem sorszámához rendel egy értéket.

Gazdasági matematika 2: Valószín,ségszámítás ?odolányi /ános 0#iskola


7/198

A "alószínűségszámításan a oisson9 és geometriai eloszlások esetéen a "alószínűségi"áltozó lehetséges értékeinek száma megszámlálhatóan "égtelen sok.

>óduszKiszkrét eloszlás esetén a "alószínűségi "áltozó leg"alószínű értéke. 0olytonos eloszlásesetén a sűrűség$*gg"ény ma7im&mhelye.

n 4 9n :aktoriális;

-9t#l n9ig az egész számok szorzatát n! 9ral %el(l%*k és Hn $aktoriálisnakH mond%&k.

?ormális eloszlás)l#$ord&lási ter*letek:

-. Gyártási $olyamatan $ellép# méretingadozások.2. Gépek és erendezések élettartama amelyek természetes elhasználódással mennek

t(nkre.F. Nagyon sok természeten gazdaságan el#$ord&ló $olyamat.

l.:• )gy adott korosztályhoz tartozó gyerekek magassága.•

A g(r(gdinnye 1"agy más $a%ta termény t(mege.• )gy olt napi áre"étel "agy "alamely termék#l egy nap alatt eladott mennyiség.

@sszetett eseményQsszetett esemény t($éleképpen k("etkezhet e. éldá&l a ko'ká"al páros számott($éleképpen is dohat&nk.

@ts lottó3zeren'se%áték:)gy szel"ényen @> szám "an 1-9@> 9ig az egész számok ami#l a %átékosnak 49(t kelle%el(lnie. A sorsolás során szintén 4 számot h+znak ki.

A 3zeren'se%áték Rt. a 2 F C és 4 találatok esetén $izet a találatok számától és a nyertesekszámától $*gg#en. Detente egyszer "an sorsolás.

oisson-eloszlás Alkalmazás:ont9elhelyezkedési prolémák: Adott id# inter"all&mon tá"olságon ter*leten tér$ogatan "életlenszerűen ek("etkez#pontszerű események amelyeknél az egyes tartományoka es# pontok számának "árhatóértéke arányos a tartomány nagyságá"al.

Belat(v gyakoriság Azt m&tat%a meg hogy a kísérletek hányad részéen k("etkezett e a "izsgált esemény "agya sokaság hányad része rendelkezik a "izsgálat szerinti t&la%donsággal.

tandard normális eloszlás)z az eloszlás a normális eloszlás egy spe'iális esete ahol a "árható érték >J és a szórás -. A standard normális eloszláshoz tartozó eloszlás$*gg"ény nem állítható el# elemi $*gg"ényeksegítségé"el de k(zelít# értékeit tálázata $oglalták.

7r7ség:"ggvény A $olytonos "alószínűségi "áltozó 0 eloszlás$*gg"ényének els# deri"ált%át az eloszlássűrűség$*gg"ényének ne"ezz*k és $9$el %el(l%*k.


8/198

zórás A szórás azt m&tat%a meg hogy a "alószínűségi "áltozó értékei mennyire sűrűs(dnek a"árható érték k(r*l azaz mekkora a "árható értékt#l "aló átlagos eltérés*k.

zto%hasztikus 9véletlen; &elenségek Azon %elenségek amelyeknek azonos k(r*lmények k(z(tt t($éleképpen is "égemehetnekt($éle kimenetel*k is lehet. )l#re nem meghatározható hogy a lehetséges kimenetelekk(z*l melyik $og ek("etkezni mert a %elenség kimenetelét e$olyásoló tényez#k nem

ismertek "agy t+lságosan onyol&ltak. 13zto'hasztik&s %elenség példá&l a ko'kadoás. Nemt&d%&k el#re megmondani hogy melyik oldalára $og esni.

Tel&es eseményrendszer Bel%es eseményrendszernek ne"ezz*k a D eseménytér olyan eseményeinek halmazátamelyek

• páronként kizár%ák egymást 1azaz az események k(z*l ármely kett# kizár%a egymástés

• (sszeg*k a iztos esemény 1azaz az események minden lehetséges esetettartalmaznak.

A tel%es eseményrendszer eseményei k(z*l pontosan egy k("etkezik e ármi is a "életlenkísérlet kimenetele.

élda: Az (t(s lottó kih+zott számait "izsgál%&k: A:


9/198

értelmezett $*gg"ényt "alószínűségi "áltozónak hí"%&k. A $eladatok sz("egé#l általáantermészetesen adódik hogy az egyes elemi eseményekhez mely "alószínűségi "áltozó9értékek tartoznak.

Calósz(n7ségszám(tás klasszikus ké#leteegyen a D eseménytér elemi eseményeinek száma n és tegy*k $el hogy minden elemiesemény &gyanakkora "alószínűséggel k("etkezik e. 1)kkor ármely elemi esemény"alószínűsége -En A "alószínűséget +gy számol%&k hogy a ked"ez# esetek számát oszt%&k

az (sszes eset számá"al.

Cárható értékNagy szám+ kísérlet el"égzése &tán azt tapasztal%&k hogy a "alószínűségi "áltozó által $el"ettértékek átlaga egyre ke"ésé ingadozik egy számérték k(r*l. )zt a számértéket ne"ezz*k azeloszlás "árható értékének.

Cisszatevés mintavétel Az elemeket egyesé"el h+zz&k ki a halmazól $el%egyezz*k a 1"izsgálat szerinti %ellemz#%*ket. ;inden elemet 'sak az el#tte lé"# "isszahelyezése &tán h+zz&nk ki. gy minden

h+zásnál az (sszes elem#l "álaszt&nk. A ki"álasztott elemek sorrend%ét minden eseten$igyeleme "essz*k. A "isszate"és nélk*li minta"étel helyett "isszate"éses is alkalmazható ha a minta elemszáma1n sokkal kise az elemek 1N és a k(zt*k lé"# kit*ntetettek 1; számánál.

Cisszatevés nélk"li mintavétel)gy halmazól meghatározott szám+ elemet h+z&nk ki. A kih+zott elemeket nem tessz*k"issza a t(i k(zé így a h+zások során egyre ke"ese elem#l "álaszt&nk. A "isszate"és nélk*li minta"étel helyett "isszate"éses is alkalmazható ha a minta elemszáma1n sokkal kise az elemek 1N és a k(zt*k lé"# kit*ntetettek 1; számánál.

Bevezet

A kominatorika sz*letése a szeren'se%átékok sz*letésére "ezethet# "issza. ;ár a OV=.századan %elent#s "agyonok 'seréltek gazdát kártya9 és ko'ka%átékon a társadalom el#kel#rétegeinek k(réen.

A titkosírások készítése és meg$e%tése is méltán $oglalkoztatta a OV==. század nagygondolkodóit. A t&dósok 9 t&dományos $olyóiratok nem lé"én 9 $el$edezéseiket egymáshoz írt

le"eleiken tették k(zzé. A t&dományos $el$edezést az eredeti sz("eg etűinek(sszeke"erésé"el 1anagramma titkosították hogy a le"él 'ímzett%e ne t&d%a azt sa%áteredményeként to"áadni. gy egy "iszonylag r("ide mondat meg$e%tése is lehetetlen"állalkozásnak tűnt.éldá&l: aa dd eee eee h ii l mm n o r ttt tt z T;eg$e%tése: ;i lehetett az eredeti mondatT

A O=O. századan már "irágzott az +n. geno"ai lottó%áték. )z nagyon hasonlatos "olt a mai(t(s lottóhoz. @> számól 49(t h+ztak ki. A %átékosok - 2 F C "agy 4 számmal %átszhattak. Atalálat számától $*gg#en a szel"ény árának el#re r(gzített t(sz(r(sét kapták "issza. éldá&lha "alaki - számmal %átszott és azt a számot kih+zták akkor a e$izetett (sszeg -49sz(r(sét

kapta "issza. 1iszámítható hogy -6 emer#l átlagosan -9nél lehetett találatra számítani így-6 szel"ényenként átlagosan F szel"ény ára a rendez#k zseée "ándorolt. B( számmal

Gazdasági matematika 2: Valószín,ségszámítás @odolányi /ános 0#iskola


10/198

%átsz"a még 'sáító a%ánlatokat tettek. 3ok emer próált ilyen módon meggazdagodni deez szinte senkinek sem siker*lt.

ominatorikai prolémák elméleti "izsgálatá"al as'al és 0ermat $ran'ia t&dósok$oglalkoztak el#sz(r a OV==. századan els#soran szeren'se%átékok nyereségelosztásiprolémáinak kap'sán. A kominatorika illet"e "alószínűségszámítás to"ái %elent#s$e%l#dése 8erno&lli einiz és )&ler ne"éhez $űz#dik. ;a már szinte a t&domány mindenágáan nélk*l(zhetetlen 1in$ormatika $izika iológia min#ségellen#rzés iztosítás....

!ivel is "oglalkozik a kom#inatorika$

Dány$éleképpen lehet egy adott halmaz

• elemeit sorba rendezni #ermutá%ió

• elemei#l adott szám+ elemet kiválasztani és sorba rendezni variá%ió

• elemei#l adott szám+ elemet kiválasztani a sorrendre "aló tekintet nélk*lkombiná%ió

;indhárom eset lehet ismétléses és ismétlés nélk"li attól $*gg#en hogy a ki"álasztott

illet"e sora rendezett elemek k(z(tt "annak9e ismétl#d#ek 1egy$ormák "agy sem.

%& lecke& 'smétlés nélk(li )ermutáció

A perm&tá'ió adott szám+ elem sora rendezését %elenti. odolányi /ános 0#iskola

http://moodle.kodolanyi.hu/file.php/25/flash/valsz_1_1_flash.swfhttp://moodle.kodolanyi.hu/file.php/25/flash/valsz_1_1_flash.swf


11/198

gy F 'sapatnak lehetséges sorrend%e "an.

$. :eladat

Dány$éle sorrend alak&lhat ki négy 'sapat k(z(tt ha a d(ntetlen nem lehetségesT

$. :eladat megoldása

Az els# helyre C 'sapat esélyesJ a 2. helyre már 'sak F e$&tó lehetJ a F. helyre már 'sak két'sapat "alamelyike ker*lhet és "ég*l a C. helyre a maradék 'sapat ker*l.

A négy 'sapatnak lehetséges sorrend%e "an.

'. :eladat

Dány$éle sorrend alak&lhat ki szám+ 'sapat k(z(tt ha a d(ntetlen nem lehetségesT

'. :eladat megoldása

attintson ide a nagyításhoz!

Az 'sapat (sszes lehetséges sorrend%ének száma:

Ke$iní'ió:-9t#l 9ig az egész számok szorzatát 9ral %el(l%*k és $aktoriálisnak mond%&k.

A F. $eladat eredményét tétel $ormá%áan is meg$ogalmazhat%&k:

Bétel: Az k*l(n(z# elem (sszes lehetséges perm&tá'ióinak száma:

). :eladat

)gy asztalhoz le*ltet*nk F $i+t és C lányt. Dány$éle sorrenden *lhetnek egymás mellé hasemelyik két lány nem *l egymás mellettT

). :eladat megoldása

Da semelyik két lány nem *l egymás mellett akkor a nemek szerinti sorrend 'sak az aláimódon lehetséges:

A négy lány 9$éleképpen a három $i+ 9$éleképpen *lhet le. A lányok ármelyelhelyezkedése esetén a $i+k 9$éleképpen *lhetnek le.

gy *lésrend készíthet#.

Gazdasági matematika 2: Valószín,ségszámítás --odolányi /ános 0#iskola



12/198

*. :eladat

)gy "állalat a dolgozóinak elép# kártyát ad amelynek kód%a a > - 2 F C 4 szám%egyekegyszeri $elhasználásá"al kész*lt "alódi hat%egyű szám. gy éppen %&tott minden dolgozónakkód. 1Akkor mond&nk "alódinak egy számot ha nem kezd#dik n&llá"al.

a Dány dolgozó%a "an a "állalatnakT

Dány kódszám "égz#dik F>9raT

' Dány kódszám osztható 29"elT

*. :eladat megoldása

a! r%&k $el hogy az egyes helyiértékekre hány$éleképpen írható szám%egy! A kód els# helyérenem ker*lhet > így ez a szám%egy (t$éleképpen "álasztható meg. A megmaradt 4 szám%egy amaradék 4 helyre tetsz#leges sorrenden ker*lhet. A "állalatnak tehát (sszesen

dolgozó%a "an.

b! Da kód F>9ra "égz#dik akkor a kód els# C helye az - 2 C 4 szám%egyek ármelysorrend%é"el kit(lthet#. A négy k*l(n(z# szám%egynek lehetséges sorrend%e"an.

%! . gy a kódok száma:1)#l @? d kód 29re @? d kód C9re "égz#dik.

Behát a kett#"el osztható kódok száma:

Az anyaghoz kap'solódóan nézze meg a Valószínűségszámítás példatár 1. $e%ezetéentalálható 1.1 kidolgozott példákat és old%a meg a 1.'! *-D. $eladatokat. A $eladatok megoldásaimegtalálhatók a példatáran.

%& lecke& *nellenrz "ela+atok

1. :eladat 9 párosításáros(tsa ssze a :ogalmakat a meghatározásukkal4

áros(tsa ssze a meg:elelő elemeket

elemek#l ki"álasztás és sora rendezés

kominá'ió

elemek#l ki"álasztás sorrend nem számít

perm&tá'ió

elemek sora rendezése

"ariá'ió

$. :eladat 9 egyszeres "álasztás

Gazdasági matematika 2: Valószín,ségszámítás -2odolányi /ános 0#iskola


13/198

8gy barátom egy hat&egy7 tele:onszámából %sak annyira emlékezett! hogy 1! '! *!+! D és E szám&egyek szere#eltek benne! de arra nem! hogy milyen sorrendben.=ány tele:onszám &het szám(tásbaF 2ell&e be a &ó megoldást4

sak egy helyes válasz lehetséges

1 ?1 F21 S2>

1 ?C6>'. :eladat 9 egyszeres "álasztás

=at barát 9' :iH és ' lány; moziba kész"l. iker"lt is + egymás mellé szóló &egyetvásárolniuk.=ány:éleké##en "lhetnek le Hgy! hogy az azonos nem7ek ne "l&enek egymás mellettF2ell&e be a &ó megoldást4

eg(tség 1. le%ke '. nellenőrző :eladat


1 ->1 -21 S21 F?

). :eladat 9 egyszeres "álasztás

8gy né#tán%egy"ttesnek * :iH és * lány tag&a van. =ány:éleké##en alkothatunk belől"k* vegyes #árostF 2ell&e be a &ó megoldást4

eg(tség 1. le%ke ). nellenőrző :eladat


1 2421 -2>1 2C>1 -CC>>

*. :eladat 9 egyszeres "álasztás

8gy vállalat a dolgozóinak belé#őkártyát ad! melynek kód&a a 3! $! )! *! szám&egyekegyszeri :elhasználásával kész"lt négy&egy7 valódi szám. =ány *-tel osztható van akiadott kódok kzttF

eg(tség 1. le%ke *. nellenőrző :eladat


1 -C1 2C1 -61 ->

+. :eladat 9 egyszeres "álasztás

8gy #ol%on D knyvet helyez"nk el. A knyvek kztt ' szótár van! amelyeket :eltétlen"l

egymás mellé szeretnénk tenni. =ány:éle sorrend&e lehet a knyveknek ilyen módonF

Gazdasági matematika 2: Valószín,ségszámítás -Fodolányi /ános 0#iskola


14/198

eg(tség 1. le%ke +. nellenőrző :eladat


1 -2?1 S2>1 C>F2>1 CF2>

>egoldókul%s

-.$eladat:

"ariá'ió 9 elemek#l ki"álasztás és sora rendezésperm&tá'ió 9 elemek sora rendezésekominá'ió 9 elemek#l ki"álasztás sorrend nem számít

2.$eladat:

S2>

F.$eladat:

S2

C.$eladat:

-2>

4.

$eladat: ->

?.$eladat:

CF2>

,& lecke& 'smétléses )ermutáció

Az ismétléses perm&tá'ió aan k*l(n(zik az ismétlés nélk*li perm&tá'iótól hogy a sorarendezend# elemek k(z(tt "annak egy$ormák 1ismétl#d#ek is.

Alkoss&nk példá&l olyan F hossz+ság+ morze %eleket amelyek 2 hossz+ 1 és - r("id 1 %el#l állnak. A lehetséges esetek:

Ke$iní'ió: Adott n elem amelyek k(z(tt "annak ismétl#d#ek 1egy$ormák.

egyen az elem#l szám+

az elem#l szám+

...az elem#l szám+.

gy tehát az elemek száma:

Az ilyen módon megadott elemek egy meghatározott sorrend%ét az elemek egy ismétlésesperm&tá'ió%ának ne"ezz*k. /el(l%e az ismétléses perm&tá'iók számát az alái szimól&m:

1. :eladat

;elyik#l "an t( esetT

Gazdasági matematika 2: Valószín,ségszámítás -Codolányi /ános 0#iskola


15/198

a C "izsgázónak C k*l(n(z# $eladatsort oszt&nk ki 1éldá&l: A 8


16/198

Az ismétlődő szám&egyeket k"lnbzőre %serélve keress"nk ka#%solatot az ismétlésesés ismétlés nélk"li #ermutá%iók száma kztt.


Behát k*l(n(z# kód lehetséges.

ltalánosíts&k az el#z# $eladatan kapott eredményt.Bétel: Adott n elem amelyek k(z(tt

az elem#l szám+

az elem#l szám+...

az elem#l szám+ "an.)kkor az elemek (sszes lehetséges sorrend%ének száma:

8izonyítás:

Da a szám+ elemet k*l(n(z#re 'serél%*k akkor a t(i elem ármely r(gzített

sorrend%e esetén k*l(n(z# sorrendet kap&nk. gy az esetek száma a 9szorosára n#. A

t(i ismétl#d# elemet is k*l(n(z#re 'serél"e a perm&tá'iók száma rendre 9szorosára...

9szorosára n#. Az (sszes ismétl#d# elemet k*l(n(z#re 'serél"e az ismétlés nélk*liperm&tá'iókhoz %&t&nk.

Behát az ismétléses és ismétlés nélk*li perm&tá'iók száma k(z(tt az alái (ssze$*ggés "an:

ami#l átrendezéssel:

'. :eladat

)gy *gyességi "ersenyen -- $#s 'sapatok "esznek részt. ;inden 'sapatól 2 $#nek

'sónak"ersenyen kell részt "enni 4 $#nek k&nyhót kell készíteni - $#nek $ára kell mászni és F$#nek hidat kell á'solni. Dány$éleképpen oszthatók ki a $eladatok a 'sapattagok k(z(ttT


épzel%*k el hogy sorsh+zással d(ntik el hogy ki milyen $eladatot "égezzen. )gy kalapaetesznek

2 dara


17/198

A 'sapattagok egyesé"el h+znak a etűk#l. Annyi$éleképpen oszthatók ki a $eladatok a'sapattagok k(z(tt ahány$éle lehetséges sorrend%e lehet a etűknek. )z -- etű sorarendezése amelyek k(z(tt 2 4 - F dara egy$orma "an ezért

Az anyaghoz kap'solódóan nézze meg a Valószínűségszámítás példatár 1. $e%ezetéentalálható 1.$ kidolgozott példákat és old%a meg a 1.1*-1E. $eladatokat. A $eladatok megoldásaimegtalálhatók a példatáran.

,& lecke& *nellenrz "ela+atok

1. :eladat 9 $elelet"álasztás

8gész(tse ki a :enti szveget az alábbi ki:e&ezésekkel

9 igaz9 hamis

/gaz vagy hamisF

Azonos szám+ elem sora rendezésekor mindig ke"ese lehet#ség "an akkor ha mindenelem k*l(n(z# mint akkor ha "annak k(zt*k ismétl#d#ek is. 1-.................

Da az elemek k(z(tt "an 2 egy$orma és a t(i k*l(n(z# akkor a perm&tá'iók számakétszerese annak mintha mind k*l(n(z# lenne. 12.................

Da az elemek k(z(tt "an C egy$orma és a t(i k*l(n(z# akkor a perm&tá'iók számanegyedrésze annak mintha mind k*l(n(z# lenne. 1F.................

Da az elemek k(z(tt "an F egy$orma és a t(i k*l(n(z# akkor a perm&tá'iók számahatodrésze annak mintha mind k*l(n(z# lenne. 1C.................

$. :eladat 9 egyszeres "álasztás=ány:éle * hosszHságH morze&el kész(thető $ rvid és ' hosszH &elbőlF

eg(tség $. le%ke $. nellenőrző :eladat


1 -4

1 ->1 -2>1 -2

'. :eladat 9 egyszeres "álasztás=Hsvétra ' k"lnbző ké#esla#ot vett"nk! az egyes :a&tákból rendre $! ' illetve *darabot. =ány:éleké##en k"ldhet&"k el őket 13 ismerős"nknekF

eg(tség $. le%ke '. nellenőrző :eladat


1 -CC>

1 26F4>1 242>

Gazdasági matematika 2: Valószín,ségszámítás -Sodolányi /ános 0#iskola


18/198

1 F?266>>

). :eladat 9 egyszeres "álasztászabályos dobóko%kával 1$-szer dobtunk! ebből ' darab egyes! $ darab kettes! ) darabhármas! $ darab négyes és 1 darab hatos volt.=ány:éle sorrendben kvetkezhettek a dobott számok egymás utánF


1 6F-?

1 4S?1 6F-?>>1 F?64S?>

*. :eladat 9 egyszeres "álasztás=ány:éleké##en olvasható ki a >AT8>AT/KA szó az alábbi ábráról! ha a bet7ksszeolvasásakor %sak &obbra vagy le:elé haladhatunkF

eg(tség $. le%ke *. nellenőrző :eladat


1 2C1 -2?1 -4-2>>1 F?266>>

>egoldókul%s

-.$eladat:

1- 9 hamis12 9 hamis1F 9 hamis1C 9 igaz

2.$eladat:

->

F.$eladat:

242>

C.$eladat:

6F-?>>

4.$eladat:

-2?

& lecke& Variáció

A variá%ió k*l(n(z# elemek k(z*l adott szám+ elem kiválasztását és sorba rendezését %elenti.


19/198

éldá&l: hány$éleképpen lehet egy -> $#s társaságól F $#t ki"álasztani egy eln(ki egyeln(khelyettesi és egy titkári posztraT 1A k*l(n(z# tisztséggel a ki"álasztottak k(z(tt egyenegy sorrendet is $elállít&nk.

A "ariá'ió lehet ismétléses és ismétlés nélk"li attól $*gg#en hogy a ki"álasztásnálmegenged%*k9e hogy az elemek t(sz(r is "álaszthatók legyenek "agy sem.

1. /smétlés nélk"li váriá%ió

Adott k*l(n(z# elem. )zek#l "álassz&nk ki elemet +gy hogy ármely elem'sak egyszer "álasztható ma%d rendezz*k #ket sora. )kkor az elem egy 9adosztály+ismétlés nélk*li "ariá'ió%ához %&t&nk.

Az elem (sszes 9adosztály+ ismétlés nélk*li "ariá'ió%ának számát szimól&mmal %el(l%*k.

1. :eladat

4 k*l(n(z# szín $elhasználásá"al hány háromszínű zászló készíthet#T 1A zászló 'sík%ailegyenek k*l(n(z# színűek!

1. :eladat megoldása

Vegy*k sora hogy az egyes 'síkoknál hány$éle szín#l "álaszthat&nk! Az els# 'síkszínezésénél 4 szín#l "álaszthat&nkJ a 2. 'síknál 'sak a maradék C szín#lJ a F. 'síkot már'sak F9$éle színnel színezhet%*k.

Behát a lehetséges esetek száma:

$. :eladat

)gy re%t"énypályázatra ->> helyes meg$e%tés érkezett. A meg$e%t#k k(z(tt -> k*l(n(z#a%ándékot 1póló kerékpár $ényképez#gép ... a&tó sorsolnak ki a megadott sorrenden.Dány$éle eredménye lehet a sorsolásnakT


A ->> meg$e%t##l "álasztanak ki ->9et. A kih+zottak sorrend%e is számít mert nem azonosakaz a%ándékok. 1Az els# kih+zott "alószínűleg sa%nálni $og%a hogy nem tizedikre h+zták inkáki.

Az els# nyertest ->> meg$e%t##l a másodikat @@9#l h+zzák ki st. A ->. h+zásnál már 'sak@-9#l sorsolnak és "ég*l @> meg$e%t#t nem %&talmaznak. Behát a sorsolás lehetségeskimeneteleinek száma:

8#"íts*k a ki$e%ezést @>!9ral ekkor a számláló értéke ->>! lesz.

Gazdasági matematika 2: Valószín,ségszámítás -@odolányi /ános 0#iskola


20/198

'. :eladat

ltalánosíts&k a 2. $eladatot! )gy re%t"énypályázatra n helyes meg$e%tés érkezett. A meg$e%t#kk(z(tt k k"lnbző a%ándékot sorsolnak ki.Dány$éle eredménye lehet a sorsolásnakT


Az el#z# $eladathoz hasonlóan "izsgál%&k meg hogy az egyes nyereményekre hánymeg$e%t##l sorsolnak.

Az els# a%ándékot a 2.9at ... a a%ándékot meg$e%t# k(z*l sorsol%ák ki.

Vég*l olyan meg$e%t# marad aki nem kap a%ándékot.

Behát a sorsolás lehetséges kimenetelinek száma:

8#"íts*k a t(rtet 9"al. )kkor a számlálóan lesz:

A F. $eladat "égeredményét tétel $ormá%áan is meg$ogalmazhat%&k.

Bétel: Az k*l(n(z# elem#l ki"álasztására és sora rendezésére

lehet#ség "an ha ármely elem leg$el%eegyszer "álasztható.

$. /smétléses variá%ió

Ke$iní'ió: Adott k*l(n(z# elem. Válassz&nk ki k(z*l*k elemet +gy hogy ármely elem t(sz(r is"álasztható ma%d rendezz*k #ket sora.

)kkor az elem egy 9adosztály+ ismétléses "ariá'ió%át kap%&k.

Az elem (sszes lehetséges 9adosztály+ ismétléses "ariá'ió%ának számátszimól&mmal %el(l%*k.

). :eladat

)gy ? kérdés#l álló teszt minden kérdésére C lehetséges "álaszt adtak amelyek#l 'sak egya helyes. Dány$éleképpen t(lthet# ki a tesztT

Gazdasági matematika 2: Valószín,ségszámítás 2>odolányi /ános 0#iskola


21/198


;inden kérdésnél C "álasztási lehet#ség "an. Az -. és 2. kérdésre 9$éle "álaszadható mert az els# kérdés ármely "álasza esetén C9$éleképpen adható "álasz a 2.kérdésre. ;inden to"ái kérdésnél az esetek száma a C9szeresére n#. Behát a tesztnek

k*l(n(z# kit(ltése "an.

*. :eladat

ltalánosíts&k az el#z# $eladatot!)gy kérdés#l álló teszt minden kérdésére lehetséges "álaszt adtak amelyek#l 'sakegy a helyes.Dány$éleképpen t(lthet# ki a tesztT


;inden kérdésnél "álasztási lehet#ség "an. Az -. és 2. kérdésnél 9$éle lehet#ségadódik mert az els# kérdésre adott ármely "álasz esetén 9$éle lehet a 2. kérdésre adott"álasz. ;inden to"ái kérdésnél az esetek száma az 9szeresére n#.

Behát a tesztnek k*l(n(z# kit(ltése "an.

A $eladat "égeredményét tétel $ormá%áan is meg$ogalmazhat%&k.

Bétel:

Az k*l(n(z# elem#l ki"álasztására és sora rendezésére lehet#ség "anha ármely elem t(sz(r is "álasztható.

+. :eladat

Dány totószel"ényt kell kit(lteni ahhoz hogy "alamelyik szel"ényen iztosan legyen -Ftalálat&nkT 1;ost a L-. sort nem "essz*k $igyeleme!

+. :eladat megoldása

;inden mérk#zésre három$éle tipp*nk lehet: - 2 "agy 7.

gy az els# -F sor k*l(n(z# módon t(lthet# ki.

)zek#l 'sak egy szel"ényen "an -F találat ezért - 4@C F2F totószel"ény kit(ltése sz*kségesahhoz hogy iztosan legyen -F találat&nk.

,. :eladat

)gy ko'kát $eldo&nk egymás &tán (tsz(r a számokat le%egyezz*k a doás sorrend%éen.Dány k*l(n(z# doássorozatot kaphat&nkT

,. :eladat megoldása

8ármelyik doásnak ?9$éle kimenetele lehet így az (sszesen

Gazdasági matematika 2: Valószín,ségszámítás 2-odolányi /ános 0#iskola


22/198

doássorozat lehetséges.

D. :eladat

A magyar a&tók rendszámtálái F etű#l és F számól állnak. A rendszámtála készítéséhez24 etűt és -> szám%egyet használnak $el. A etűk és a számok ármely ismétl#désemegengedett.

a Dány a&tóra elegend# rendszám készíthet#T

Dány olyan rendszám "an amely pontosan egy C9es szám%egyet tartalmazT

' Dány olyan rendszámtála "an amelyen "annak ismétl#d# etűkT

D. :eladat megoldása

a! ;inden etű 249$éleképpen minden szám%egy ->9$éleképpen "álasztható meg. gy a F etű(sszesen 9$éleképpen "álasztható meg ha a etűk ármely ismétl#dése megengedett.

8ármely etű9hármashoz számhármas adható. gy (sszesenrendszám adható ki.

b! A C9es szám%egy helye F9$éle módon "álasztható meg. Vizsgál%&k meg el#sz(r azt azesetet ha a C9es az &tolsó helyre ker*l.


Behát a etűket 249$éleképpen a C9est#l k*l(n(z# szám%egyeket @9$éleképpen lehet

meg"álasztani. A C9es szám%egy F helyre ker*lhet. gy (sszesen egy C9

es szám%egyet tartalmazó rendszám adható ki.

%! Az ismétl#d# etűt tartalmazó rendszámok számát +gy is megkaphat%&k ha az (sszesrendszámól ki"essz*k azokat amelyeknél minden etű k*l(n(z# 1"agyis nin's ismétl#dés.


Behát (sszesen: olyanrendszámtála "an amelyen nin'senek ismétl#d# etűk.

E. :eladat

C szomszédos házat akar&nk e$esteni. ? k*l(n(z# színt használhat&nk $el de aszomszédos házak nem lehetnek azonos színűek. Dány$éleképpen $esthet%*k a házakatT

E. :eladat megoldása

Dalad%&nk sora a házakon és minden háznál *gyel%*nk arra hogy a színe ne legyen azonosa szomszéd%á"al.

Az els# háznál még ? szín#l "álaszthat&nk de a t(i háznál már 'sak 49#l mert nem


http://moodle.kodolanyi.hu/file.php/25/flash/valsz_3_7_flash.swfhttp://moodle.kodolanyi.hu/file.php/25/flash/valsz_3_8_flash.swfhttp://moodle.kodolanyi.hu/file.php/25/flash/valsz_3_7_flash.swfhttp://moodle.kodolanyi.hu/file.php/25/flash/valsz_3_8_flash.swf


23/198

$esthet%*k az el#tte lé"# ház színére. gy színsorrend lehetséges.

13. :eladat

A F9mal kezd#d# hat%egyű tele$onszámok k(z(tt hány olyan "an amelyen "an legalá egy49(s szám%egyT 1A tele$onszáman a szám%egyek ismétl#dhetnek.


A legalá egy 49(st tartalmazókat +gy is megkaphat%&k ha az (sszes tele$onszámólki"essz*k azokat amelyek nem tartalmaznak 49(st.

Qsszesen d F9mal kezd#d# tele$onszám "an mert minden szám%egy ->9$éleképpen"álasztható meg. Az 49(st nem tartalmazók esetéen minden szám%egy @9$éleképpen "álasztható ki így ezek

száma: .

Behát az 49(st tartalmazó tele$onszámok száma:

Az anyaghoz kap'solódóan nézze meg a Valószínűségszámítás példatár 1. $e%ezetéentalálható 1.'-). kidolgozott példákat és old%a meg a 1.$3-$*! $,-'*. $eladatokat. A $eladatokmegoldásai megtalálhatók a példatáran.

& lecke& *nellenrz "ela+atok

1. :eladat 9 szókit(ltésIr&a :el az alábbi szorzatot trt alakban a :aktor&elek :elhasználásával4

számláló: 1-.................

ne"ez#: 12.................

A helyes választ a megoldókul%sban talál&a4

$. :eladat 9 egyszeres "álasztás8gy :őiskola a D legeredményesebb tanuló&ából választ&a ki azt a hármat! akik

sztnd(&&al ' k"lnbző k"l:ldi egyetemre mehetnek. 8gy tanuló nem ka#hattbb sztnd(&at. =ány:éleké##en oszthatók ki az sztnd(&akF


1 4-21 C>F2>1 FF?1 2-

'. :eladat 9 egyszeres "álasztás8gy előadóteremben ED hely van! *D diák vesz részt az előadáson. =ány:éleké##en

:oglalhat&ák el a helyeketF eg(tség '. le%ke '. nellenőrző :eladat

Gazdasági matematika 2: Valószín,ségszámítás 2Fodolányi /ános 0#iskola


24/198


1

1

1

1

). :eladat 9 egyszeres "álasztás

=ány:éle dobássorozat &het létre! ha egy #énzérmét :eldobunk D-szor egymás utánFsak egy helyes válasz lehetséges

1 4?1 2>-?>1 24?1 ?C

*. :eladat 9 egyszeres "álasztásA ). :eladat dobássorozatai kz"l hány olyan van! amely $ :e&ből és + (rásból állF


1 261 ?C1 4?1 -

+. :eladat 9 szókit(ltés8gy városnak '-sal kezdődő hét&egy7 tele:onszámai vannak.

Dány el#$izet#nek t&dnak így "onalat iztosítaniT 1-.................Dány olyan tele$onszám "an amelyen a szomszédos szám%egyek k*l(n(z#ekT

12.................Dány olyan tele$onszám "an amelyen "an legalá egy páros szám%egyT 1F.................


,. :eladat 9 szókit(ltés8gy hlgy mindig ' k"lnbző gy7r7t visel! a gy7r7ket sosem hHzza ah"velyku&&aira.

Dány$éleképpen "eheti $el #ket ha mindegyik gyűrűt más9más &%%ára h+zza $elT1-.................Dány$éleképpen "eheti $el #ket ha egy &%%ára t( gyűrűt is $elh+zhatT 12.................


>egoldókul%s-.$eladat:

1- 9 ->!12 9 4!

2.$eladat:

FF?

F.$eladat:

Gazdasági matematika 2: Valószín,ségszámítás 2Codolányi /ános 0#iskola


25/198

C.$eladat:

24?

4.$eladat:

26

?.$eladat:

1- 9 ->>>>>>12 9 4F-CC-1F 9 @6CFS4

S.$eladat:

1- 9 FF?12 9 4-2

.& lecke& 'smétlés nélk(li kom#ináció

A kombiná%ió k*l(n(z# elemek k(z*l adott szám+ elem ki"álasztását %elenti 1sorrendre "alótekintet nélk*l.


26/198

A lehetséges eseteket 2 dara és F dara %el (sszes lehetséges sora rendezésé"elkapt&k. A $eladatot az ismétléses perm&tá'ióra "ezett*k "issza ahol az elemek k(z(tt 2 illet"e F dara

ismétl#d# "an. gy az (sszes lehetséges eset:

$. :eladat

ltalánosíts&k az -. $eladatot.)gy ár&ház raktárost szeretne $el"enni. A hirdetésre $# %elentkezett.Dány$éleképpen t(lthet#k e az állásokT


A ki"álasztott %elentkez#k mellé a t(iek mellé 9 %elet ír"a egy %elsorozatot kap&nk amely

dara és dara %el#l áll. Az (sszes lehetséges ki"álasztást a dara és

az dara %el ismétléses perm&tá'iói határozzák meg.

Az ismétlés nélk*li kominá'iók számának %el(lésére e"ezet%*k az alái szimól&mot:

15l"asd: n alatt a k

A 2. példa "égeredményét tétel $ormá%áan is meg$ogalmazhat%&k.

Bétel: Adott k*l(n(z# elem amely#l k*l(n(z# elemet "álaszt&nk ki a sorrendre "aló tekintetnélk*l. )kkor az (sszes lehetséges ismétlés nélk*li kominá'ió száma:

'. :eladat

Dány$éleképpen t(lthet# ki az (t(s lottó szel"ényeT

Gazdasági matematika 2: Valószín,ségszámítás 2?odolányi /ános 0#iskola


27/198


A %átékosoknak 4 számot kell a szel"ényen ki"álasztani és a ki"álasztott számokat nem kellsora rendezni. 1l.: Nem kell eltalálni hogy milyen sorrenden $og%ák #ket kih+zni. gyismétlés nélk*li kominá'ióról "an szó.9 @> számól "álaszt&nk ezért J9 4 számot kell ki"álasztani sorrendre "aló tekintet nélk*l ezért .

Behát lehetséges kit(ltése "an az(t(s lottónak.;ásképp meg$ogalmaz"a: ennyi$éle kimenetele lehet a sorsolásnak.

). :eladat

)gy $#iskolán 24 hallgatót %el(ltek (szt(ndí%ra de 'sak hármat "álaszthatnak ki k(z*l*k ak*l$(ldi tan&lmányi +tra. Az alái esetek k(z*l melyiken "an t($éle (szt(ndí%kiosztási lehet#ség és hányszor t(:

a ha a hallgatók azonos helyre nyerik az (szt(ndí%at

"agy

ha a F tan&ló F k*l(n(z# helyre megyT


Da a hallgatók azonos helyre mennek akkor 'sak ki"álasztás "an sorrendre "aló tekintet

nélk*l. Da "iszont k*l(n(z# helyre mennek akkor nem 'sak ki"álasztani kell #ket hanemsora is kell #ket rendezni 1eosztani a k*l(n(z# helyekre.


a! =smétlés nélk*li kominá'ió:

b! =smétlés nélk*li "ariá'ió:

átható hogy "ariá'ióól 9szor t( "an mint kominá'ióól mert nem 'sak ki"álasztanikell a hallgatókat hanem sora is kell #ket rendezni.

*. :eladat

)gy színtárs&lat C n#i és F $ér$i szerepre statisztákat keres. A hirdetésre 6 n# és @ $ér$i %elentkezett. Dány$éleképpen "álaszthatók ki a szerepl#kT

Gazdasági matematika 2: Valószín,ségszámítás 2Sodolányi /ános 0#iskola



28/198


A n#k ki"álasztására 9$éle lehet#ség "an a $ér$iakéra

.

8ármely C n#i szerepl#h(z 6C9$éle módon "álasztható F $ér$i szerepl#. gy (sszesen

9$éle "álasztási lehet#ség "an.

+. :eladat

)gy iskolák k(z(tti "árosi kosára%nokságra -6 'sapat ne"ezett e. ;inden 'sapat minden'sapattal egyszer %átszik. Dány mérk#zést kell le%átszaniT

+. :eladat megoldása

;ind a -6 'sapat -S másik 'sapattal %átszik. )z mérk#zés lenne de mindenmérk#zést kétszer számolt&nk meg 1mindkét ellen$élnél ezért ezt a számot osztani kellkett#"el.Behát a mérk#zések száma: -4F.)hhez az eredményhez akkor is el%&t&nk ha megnézz*k hogy a -6 'sapatól hány$éleképpen

lehet kett#t ki"álasztani: .

,. :eladat

)gy -2 $##l álló m&nka'soport tag%aiól egy 2 $#s egy C $#s és 2 dara F $#s 'soportot kellalkotni k*l(n(z# m&nkák el"égzésére. Dány$éleképpen alakíthatók ki a 'soportokT

,. :eladat megoldása

Válassz&k ki soran az egyes 'soportoka a tagokat!


Behát az (sszes ki"álasztási lehet#ség:

;eg%egyzés: F $##l F9at ki"álasztani nyil"án"alóan egy$éleképpen lehet ezért .

Ke$iní'ió szerint a . )z a ki$e%ezés akkor ad 'sak -9et ha a . llapod%&nkmeg tehát aan hogy a értékét -9nek tekint%*k!

A de$iní'ióól k("etkezik hogy ármely pozití" egész 9re




29/198

.Vagyis n elem#l 9et is és >9át is egy$éleképpen lehet ki"álasztani.

Az anyaghoz kap'solódóan nézze meg a Valószínűségszámítás példatár 1. $e%ezetéentalálható 1.*. kidolgozott példákat és old%a meg a 1.'E! )3! )$! )'! ))! ),! )E. $eladatokat. A$eladatok megoldásai megtalálhatók a példatáran.

.& lecke& *nellenrz "ela+atok

1. :eladat 9 szókit(ltés

>elyik trttel egyenlő F

A számlálót és a nevezőt a :aktoriálisokkal :e&ezze ki4

számláló: 1-.................

ne"ez#: 12.................


$. :eladat 9 szókit(ltésA #ia%on egy árusnak 1* dinnyé&e van! amelyből ' dinnyét vásároltunk.

Dány$éleképpen "álaszthatt&nk a gy*m(l's(k#lT 1-.................


'. :eladat 9 egyszeres "álasztásA busz&egyre E négyzet van :elra&zolva -as elrendezésben. A busz&egy kezelőautomata ezen ' lyukat "t. =ány:éle &egylyukasztás lehetségesF


1 S2@1 C61 4>C1 6C

). :eladat 9 $elelet"álasztás

8gész(tse ki a :enti szveget az alábbi ki:e&ezésekkel

9 A9 8

8gy re&tvény#ályázatra D* helyes meg:e&tés érkezett. A meg:e&tők kztt * a&ándékotsorsolnak ki. >elyik esetben van tbb d(&kiosztási lehetőség és hányszor tbbF

A 9 Da a dí%ak egy$ormák.8 9 Da a dí%ak k*l(n(z#ek.

A1z 1-................. eset 12.................9szorosa a1z 1F................. esetnek.

*. :eladat 9 egyszeres "álasztás=ány:éleké##en lehet az ts lottót kitlteni Hgy! hogy $ ttel osztható legyen a számok

Gazdasági matematika 2: Valószín,ségszámítás 2@odolányi /ános 0#iskola


30/198

kzttF

eg(tség ). le%ke *. nellenőrző :eladat


1 4@S@F1 -C>C6->>1 @6SSS>

1 @-2C@2>+. :eladat 9 egyszeres "álasztás8gy kézilabdaversenyre 1$ %sa#at nevezett be. >inden %sa#at minden %sa#attal egyszer &átszott. =ány mérkőzést kellett le&átszaniF


1 -CC1 2C1 -F21 ??

,. :eladat 9 szókit(ltés8gy :ogadáson mindenki mindenkivel kezet :ogott! (gy sszesen 1$3 kéz:ogás volt.=ányan vettek részt a :ogadásonF

eg(tség ). le%ke ,. nellenőrző :eladat

A $ogadáson részt"e"#k száma: 1-.................



1- 9 F2!12 9 6!M2C!

2.$eladat:

1- 9 C44

F.$eladat:

6C

C.$eladat:

1- 9 812 9 -2>1F 9 A

4.

$eladat: @-2C@2>

?.$eladat:

??

S.$eladat:

1- 9 -?

/& lecke& 'smétléses kom#ináció

Adott k*l(n(z# elem. Válassz&nk ki k(z*l*k elemet +gy hogy ármely elem t(sz(r is"álasztható de a ki"álasztás sorrend%e nem számít. )kkor az elem egy 9adosztály+

Gazdasági matematika 2: Valószín,ségszámítás F>odolányi /ános 0#iskola


31/198

ismétléses kominá'ió%át kap%&k.

Az elem (sszes lehetséges 9adosztály+ ismétléses kominá'ióinak számátszimól&mmal %el(l%*k.

1. :eladat

)gy $agyizóan F9$éle $agyi kapható 1'soki 'itrom eper. )gy C gomó'os $agyit rendel*nk.Dány$éleképpen rendelhet*nk ha egy $a%táól t( is "álaszthatóT


r%&nk annyi %elet ahány 'sokist "álaszt&nk és ír%&nk &tána egy >9át. ;a%d ír%&nk annyi %elet ahány 'itromost "álaszt&nk és ismét ír%&nk egy >9át. Vég*l ír%&nk annyi %elet ahányeprest "álaszt&nk. A >9ák az el"álasztó%el szerepét t(ltik e. gy minden eseten C dara és2 dara >9ól álló %elsorozat&nk "an.

r%&k $el az (sszes lehetséges "álasztási lehet#séget:

C dara %el és a 2 dara > lehetséges sorrend%ei"el el#állított&k az (sszes rendelésilehet#séget. A $eladat az ismétléses perm&tá'ióra "ezethet# "issza ahol ? elem#l C illet"e 2azonos.

$. :eladat

ltalánosíts&k az -. példát!)gy $agyizóan 9$éle $agyi kapható amelyek#l egy gomó'os $agyit rendel*nk.Dány$éleképpen rendelhet*nk ha egy $a%táól t( is "álaszthatóT

Gazdasági matematika 2: Valószín,ségszámítás F-odolányi /ános 0#iskola


32/198


;indegyik $a%tához tegy*nk annyi %elet ahányat "álasztott&nk el#le. Válassz&k el >9"al a

%eleket egymástól az -. példáan megadott módon. gy dara %el#l és dara >9ól álló %elsorozatokat kap&nk. *l(n(z# %elsorozatokhoz k*l(n(z# ki"álasztások tartoznak. Az (sszes lehetséges esetet a %elek és >9ák ismétléses perm&tá'iói ad%ák. Qsszesen

%elet rendez*nk sora amelyek k(z(tt dara illet"e dara ismétl#d# "an:

A 2. példa eredményét tétel $ormá%áan is meg$ogalmazhat%&k:

Adott k*l(n(z# elem amely#l elemet "álaszt&nk ki +gy hogy ármely elem t(sz(ris "álasztható de a sorrend nem számít.)kkor az (sszes lehetséges ki"álasztás 1ismétléses kominá'ió száma:

'. :eladat

)gy '&krászdáan 69$éle s*temény kapható. )gy sz*letésnapi &lira 2> s*teményt rendel*nk.

a Dány$éleképpen rendelhet#k meg a s*teményekT

Dány$éleképpen rendelhet*nk ha minden s*temény#l "álaszt&nk legalá egyetT


a! A s*temények ki"álasztásának sorrend%e nem számít de ármelyik#l t( is "álasztható.)zért ismétléses kominá'ióról "an szó. 1Vegy*k észre hogy nem megoldható a $eladat haminden $a%táól legalá egyet akar&nk "álasztani. 69$éle s*temény#l "álaszthat&nk ezért

J2>9szor "álaszthat&nk ezért .

Behát az ismétléses kominá'iók száma:

b! A $eladat $eltételét +gy t&d%&k tel%esíteni hogy el#sz(r mind a 6 s*temény#l "esz*nk egyet. A hiányzó -2 s*teményt tetsz#legesen "álaszthat%&k ki a 69$élé#l. gy olyan ismétléseskominá'ióra "ezet%*k "issza a $eladatot ahol 69$élé#l "álaszt&nk -2 daraot ismétléssel:

Behát a lehetséges ki"álasztások száma.

Az anyaghoz kap'solódóan nézze meg a Valószínűségszámítás példatár 1. $e%ezetéen

található 1.+. kidolgozott példákat és old%a meg a 1.*'-**. $eladatokat. A $eladatok megoldásaimegtalálhatók a példatáran.

Gazdasági matematika 2: Valószín,ségszámítás F2odolányi /ános 0#iskola


33/198

/& lecke& *nellenrz "ela+atok

1. :eladat 9 szókit(ltés8gy élelmiszerboltban *-:éle (zes(tés7 &oghurtot lehet ka#ni. 8gy alkalommal ' doboz &oghurtot vásárolunk. =ány:éleké##en tehet&"k ezt meg! ha...

k*l(n(z# ízesítésű %ogh&rtokat "esz*nk 1-.................

a %ogh&rtok k(z(tt lehetnek azonos ízesítésűek isT 12.................


$. :eladat 9 párosítás8gy 1$ :ős kollekt(vában ' &utalmat osztanak szét. áros(tsa ssze a :eladat részeita meg:elelő kombinatorikai :ogalommal4


ismétlés nélk*li "ariá'ió A %&talmak k*l(n(z#ek és egy személy leg$el%e egyet

kaphat.

ismétléses "ariá'ió A %&talmak azonosak és egy személy leg$el%e egyet kaphat.

ismétléses kominá'ió

A %&talmak azonosak és egy személy t(et is kaphat.

ismétlés nélk*li kominá'ió

A %&talmak k*l(n(z#ek és egy személy t(et is kaphat.


1- 9 ->12 9 F4

2.$eladat:

A %&talmak k*l(n(z#ek és egy személy leg$el%e egyet kaphat. 9 ismétlés nélk*li "ariá'ió

A %&talmak azonosak és egy személy leg$el%e egyet kaphat. 9 ismétlés nélk*li kominá'ió A %&talmak k*l(n(z#ek és egy személy t(et is kaphat. 9 ismétléses "ariá'ió A %&talmak azonosak és egy személy t(et is kaphat. 9 ismétléses kominá'ió

0& lecke& 1 kom#inatorika alkalmazásai 2kiegészít anyag3

1. A binomiális tétel

A inom kéttag+ ki$e%ezést %elent.


34/198


Az $elírható alakan. A szorzást +gy is el"égezhet%*k hogy mindenzáró%el#l ki"álaszt%&k az 9t "agy a 9t és a ki"álasztottakat (sszeszorozz&k 1pl.: haminden záró%el#l az 9t "álaszt%&k.)zt a ki"álasztást és (sszeszorzást minden lehetséges módon el"égezz*k és a kapott Ftényez#s szorzatokat (sszead%&k.

A szorzótényez#ket hagy%&k most meg a ki"álasztás sorrend%éen.


A ki$e%ezés polinommá alakítása:

$. :eladat

Alakíts&k polinommá az ki$e%ezést!


;inden tag C szorzótényez##l áll mert mind a C záró%el#l kell egyet "álasztani 1példá&l

.

A tagok egy*tthatóit ismétlés nélk*li kominá'ió segítségé"el határozz&k meg. éldá&ltagól annyi "an ahány$éleképpen a C záró%el#l ki"álasztható 2 1ahonnan a szorzók

származnak. )z lehet#séget %elent. 1Az szorzók a maradék záró%elek#lszármaznak ezeket már nem kell ki"álasztani.


Behát a ki$e%ezés polinommá alakítása:

& "ela+at

Végezz*k el az ki$e%ezés polinommá alakítását ahol n tetsz#leges pozití" egészszám!

& "ela+at megol+ása

• =smét ír%&k $el a lehetséges tagokat.

• Ad%&k meg a tagok egy*tthatóit a kominá'iók segítségé"el.

1A ki"álasztásnál most is szorzók számát $igyel%*k.

A $eladat megoldásá"al a inomiális tételhez %&tott&nk.

Gazdasági matematika 2: Valószín,ségszámítás FCodolányi /ános 0#iskola

http://moodle.kodolanyi.hu/file.php/25/flash/valsz_6_1_flash.swfhttp://moodle.kodolanyi.hu/file.php/25/flash/valsz_6_2_flash.swfhttp://moodle.kodolanyi.hu/file.php/25/flash/valsz_6_1_flash.swfhttp://moodle.kodolanyi.hu/file.php/25/flash/valsz_6_2_flash.swf


35/198

A ki$e%ezés polinommá alakítása 1 pozití" egész szám:

A C. le'kéen leírtak szerint a így az els# és &tolsó tag egy*ttható%a mindig -.

3pe'iális esetek:

A inomiális tételen szerepl# tagok alak+ egy*tthatóit inomiális egy*tthatóknakne"ezz*k.

.& "ela+at

Végezz*k el a ki$e%ezés hat"ányozását!

.& "ela+at megol+ása

Alkalmazz&k a inomiális tételt az és helyettesítéssel!

/& "ela+at

Végezz*k el az ki$e%ezés polinommá alakítását ahol az n tetsz#leges pozití" egészszám!

/& "ela+at megol+ása

Az ki$e%ezés (sszeg hat"ányozásaként is $elírható: .

A $eladat megoldása így "issza"ezethet# a inomiális tételre ha a helyére 9thelyettesít*nk:



36/198

;eg$igyelhet%*k hogy a inomiális ki$e%tés tag%ai "áltakozó el#%ellel k("etkeznek egymás &tán.

Az els# tag mindig pozití". Az &tolsó tag páratlan hat"ány esetén negatí" páros hat"ányesetén pozití".

0& "ela+at

Végezz*k el a ki$e%ezés hat"ányozását!

0& "ela+at megol+ása

4& "ela+at

Datározz&k meg ki$e%ezés inomiális ki$e%tésének 4?. tag%át!

4& "ela+at megol+ása

A inomiális tétel alkalmazásánál .

A 9t 'sak 44. hat"ányra kell emelni mert inomiális ki$e%tés az els# tag%áan >. hat"ányonszerepel és &tána minden tagan eggyel n# a kite"#%e.

Az 4?. tag:

,& Binomiális egy(tt5atók és tula6+onságaik

A k*l(n(z# n értékekhez tartozó inomiális egy*tthatókat a +n. as%al-:éleháromszgen helyezhet%*k el.

Gazdasági matematika 2: Valószín,ségszámítás F?odolányi /ános 0#iskola


37/198

6inomiális egy"tthatók tula&donságai

$.1 zimmetria-tula&donság

6izony(tás

Ke$iní'ió szerint az egyenl#ség mindkét oldala .

éldá&l: . )zt szemléletesen is eláthat%&k. 4 elem#l 29t ki"álasztani pontosanannyi$éleképpen lehet mint ahány$éleképpen d(nteni arról hogy melyik F9at ne "álassz&k. A szimmetria9t&la%donság miatt a as'al háromsz(g szimmetrik&s.

$.$ @sszegtula&donság

6izony(tás 1Ke$iní'ió"al izonyítható!)z azt %elenti hogy a as'al9$éle háromsz(g elemei egyenl#k a $elett*k lé"# két elem(sszegé"el.

Gazdasági matematika 2: Valószín,ségszámítás FSodolányi /ános 0#iskola


38/198

$.' A binomiális egy"tthatók sszege

6izony(tás

Da az ki$e%ezésre alkalmazz&k a inomiális tételt akkor éppen a $enti állításhoz

%&t&nk.)z azt %elenti hogy a as'al9$éle háromsz(g ármely soráan lé"# elemek (sszege egyenl#29nek a meg$elel# hat"ányá"al.

$.) A binomiális egy"tthatók váltakozó elő&ellel való sszeadása

6izony(tás

Da az ki$e%ezésre alkalmazz&k a inomiális tételt akkor éppen a $enti állításhoz %&t&nk.

)z azt %elenti hogy a as'al9$éle háromsz(g ármely soráan lé"# elemeket "áltakozóel#%ellel (sszead"a >9t kap&nk.

0& lecke& *nellenrz "ela+atok

1. :eladat 9 szókit(ltés

>elyikkel egyenlő az alábbiak kz"lF

A. 6. . 0.

;egoldás: 1-.................

A helyes választ a megoldókul%sban talál&a4$. :eladat 9 szókit(ltés

=atározza meg az ki:e&tésének hiányzó egy"tthatóit4

1-................. 12................. 1F.................


'. :eladat 9 szókit(ltés

=atározza meg az ki:e&tésének hiányzó elő&eleit és egy"tthatóit4



39/198

1-.................12................. 1F.................1C.................

14.................1?................. 1S.................



1- 9 <

2.$eladat:

1- 9 @12 9 2S1F 9 2S

F.$eladat:

1- 9 912 9 C1F 9 L1C 9 ?14 9 91? 9 C1S 9 L

'& "e6ezet& 7yakorló "ela+atok

1. :eladat 9 leírás1.

8gy kiránduláson négyen vettek részt! és D :ényké#et kész(tettek. A :ényké#ekelőh(vása után

a. hány$éle sorrenden nézhetik meg a képeketT

. hány$éleképpen osztozkodhatnak a képeken ha mindenki 2 képet kapT

'. hány$éleképpen osztozkodhatnak a képeken ha a kiosztásra nin's semmilyen kik(tés1akár egy személy is kaphat%a mindetT

;egoldás

$. :eladat 9 leírás$.

8gy nyelvvizsga bizottság előtt D hallgató vizsgázik egy na# 9* :iH és ' lány;. a. Dány$éle sorrenden "izsgázhatnakT

. Dány olyan sorrend képzelhet# el ahol az els# és &tolsó "izsgázó $i+T

'. Dány olyan sorrend képezhet# ahol a $i+k egymás &tán k("etkeznek 1a lányoknaknem $eltétlen kell egymás &tán k("etkezni*kT

;egoldás

'. :eladat 9 leírás'.

Gazdasági matematika 2: Valószín,ségszámítás F@odolányi /ános 0#iskola

http://moodle.kodolanyi.hu/file.php/25/letoltheto/megoldasok/I.%20fejezet_1.%20feladat_megold.dochttp://moodle.kodolanyi.hu/file.php/25/letoltheto/megoldasok/I.%20fejezet_2.%20feladat_megold.dochttp://moodle.kodolanyi.hu/file.php/25/letoltheto/megoldasok/I.%20fejezet_1.%20feladat_megold.dochttp://moodle.kodolanyi.hu/file.php/25/letoltheto/megoldasok/I.%20fejezet_2.%20feladat_megold.doc


40/198

8gy tudományos társaságnak 1* tag&a van. 8lnkt! elnkhelyettest és titkártakarnak választani.

Dány$éleképpen oszthat%ák ki a tisztségeket ha egy személy leg$el%e egy $eladatotláthat elT

;egoldás). :eladat 9 leírás).

Kará%sonykor D k"lnbző a&ándékot %somagolunk be '-:éle %somagoló#a#(r:elhasználásával.

Dány$éleképpen tehet%*k ezt megT

;egoldás*. :eladat 9 leírás*.

8gy :őiskola minden hallgató&a ka# egy + karakterből álló kódot. A kód karaktereit'+ bet7ből és 13 szám&egy kz"l választ&ák ki. 96ármelyik karakter lehet bet7 vagyszám.;

a. Dány olyan kód "an amelyen a karakterek nem ismétl#dnek 1sem a szám%egyeksem a etűkT

. Dány olyan kód "an amelyen pontosan 2 szám%egy található és a karakterek nemismétl#dhetnekT

'. Dány olyan kód "an amelyen a karakterek ismétl#dhetnekT

d. Dány olyan kód "an amelyen "an legalá egy 7 etű 1a karakterekismétl#dhetnekT

;egoldás

+. :eladat 9 leírás+.

=ány:éleké##en lehet a lottószelvényt kitlteni Hgy! hogy

a. 'sak páros számot %el(l*nk eT

. t( páros számot %el(l*nk e mint páratlantT

;egoldás

,. :eladat 9 leírás

Gazdasági matematika 2: Valószín,ségszámítás C>odolányi /ános 0#iskola

http://moodle.kodolanyi.hu/file.php/25/letoltheto/megoldasok/I.%20fejezet_3.%20feladat_megold.dochttp://moodle.kodolanyi.hu/file.php/25/letoltheto/megoldasok/I.%20fejezet_4.%20feladat_megold.dochttp://moodle.kodolanyi.hu/file.php/25/letoltheto/megoldasok/I.%20fejezet_5.%20feladat_megold.dochttp://moodle.kodolanyi.hu/file.php/25/letoltheto/megoldasok/I.%20fejezet_6.%20feladat_megold.dochttp://moodle.kodolanyi.hu/file.php/25/letoltheto/megoldasok/I.%20fejezet_3.%20feladat_megold.dochttp://moodle.kodolanyi.hu/file.php/25/letoltheto/megoldasok/I.%20fejezet_4.%20feladat_megold.dochttp://moodle.kodolanyi.hu/file.php/25/letoltheto/megoldasok/I.%20fejezet_5.%20feladat_megold.dochttp://moodle.kodolanyi.hu/file.php/25/letoltheto/megoldasok/I.%20fejezet_6.%20feladat_megold.doc


41/198

,.

8gy 1) tagH bizottságnak egy :ontos "gyben kell dntést hoznia. A tagok igennel!nemmel és tartózkodással szavazhatnak. A tagok szavazatait sorba le(r&uk.

a. Dány$éleképpen sza"azati sorrend alak&lhat kiT

. Dány$éleképpen képzelhet# el hogy a sza"azatok k(z(tt 6 igen C nem és 2

tartózkodás "anT

;egoldás


ld. a $eladatnál!

2.$eladat:

ld. a $eladatnál!

F.

$eladat: ld. a $eladatnál!

C.$eladat:

ld. a $eladatnál!

4.$eladat:

ld. a $eladatnál!

?.$eladat:

ld. a $eladatnál!

S.$eladat:

ld. a $eladatnál!

Bevezet

;i t(rténik ha -24 m magasról lee%t*nk egy ladátT>4 másodper' m+l"a $og $(ldet érni. Akárhányszor el"égezhet%*k a kísérletet $(ldik(r*lmények k(z(tt mindig ezt $og%&k tapasztalni.

;i t(rténik ha elg&rít&nk egy doóko'kátT ;elyik oldala lesz $el*l amikor megállT)rre a kérdésre már nem t&d&nk egyértelmű "álaszt adni. Dat lehetséges eset %(hetszámítása. Az szokt&k mondani hogy a "életlenen m+lik hogy melyik $og ek("etkezni.

Ke "alóan a "életlenen m+lik ezT

Gondol%&nk ele hogy a t&domány már képes arra hogy meghatározza egy űrrep*l#gépkezdeti seességét és más kezdeti $eltételeket +gy hogy pontosan a Doldra "agy a ;arsraérkezzen "agy más el#re meghatározott $eladatot ha%tson "égre. )gy ko'ka pedigmegoldhatatlan $elad"ány lenneT Nyil"án nem. Da ismernénk t(ek k(zt a ko'ka kezdetiseességét és elha%ításának sz(gét nyil"án ez is el#re meghatározható lenne. 3zeren'sére akezdeti $eltételek 1seesség ha%lássz(g st. mindig mások k*l(nen mi is lenne aszeren'se%átékokkalT

Akkor hát mi is az a "életlenT

Gazdasági matematika 2: Valószín,ségszámítás C-odolányi /ános 0#iskola

http://moodle.kodolanyi.hu/file.php/25/letoltheto/megoldasok/I.%20fejezet_7.%20feladat_megold.dochttp://moodle.kodolanyi.hu/file.php/25/letoltheto/megoldasok/I.%20fejezet_7.%20feladat_megold.doc


42/198

Véletlennek mondható egy strand napi e"étele is. ét egy$ormán $orró napon sem lesz&gyannyi a e"étel mert a e"ételt a h#mérsékleten kí"*l iztosan egyé tényez#k ise$olyásol%ák 1pl.: egy hirtelen zápor "agy egy izgalmasnak ígérkez# me''s a té"éen....)zek mindegyikét nem t&d%&k $igyeleme "enni nem is ismerhet%*k meg mindegyiket.

A $enti egyszerű példáól látható hogy a véletlen &elenségnek is oka van. A prolémát azokozza hogy a :igyelembe vett vagy :igyelembe vehető :eltételek sszessége nemhatározza meg egyértelm7en a &elenség kimenetelét.

Azokat a %elenségeket amelyeknek azonos $eltételek mellett t($éle kimenetele lehetszto%hasztikus 9véletlen; &elenségeknek ne"ezz*k.=lyen %elenség tehát a már említett ko'kadoás egy kész*lék élettartama egy hi"atala adottid# alatt eérkez# tele$onhí"ások szám st..

A %elenségek másik k(rét tehát azok alkot%ák amelyek azonos kr"lmények kztt mindigugyanHgy za&lanak le így a %elenség kimenetele el#re meghatározható. )zeket a %elenségeket determinisztikus 9meghatározott; &elenségeknek ne"ezz*k.

=lyen %elenség példá&l a már említett szaadesés a olygók mozgása hold$ogyatkozás

nap$ogyatkozás. 1Da %oan elegondol&nk a $enti %elenségek is a t&domány $e%l#désé"el"áltak determinisztik&s %elenségekké. A nap$ogyatkozást példá&l nem t&dták mindig el#remeg%ósolni.

A valósz(n7ségszám(tás a véletlen &elenségekkel :oglalkozik. )zek k(z*l is 'sak azokkalamelyek t(meg%elenségek azaz azonos k(r*lmények k(z(tt akárhányszor megismételhet#k.

Bá"lati $eladat&nk az hogy a "életlen t(meg%elenségek t(r"ényszerűségeit $eltár%&k.

4& lecke& 8seményalge#ra %&

1. 2elenségek %so#ortos(tása

A "alószínűségszámítás szempont%áól a %elenségeket két 'soportra oszthat%&k:

• determinisztikus 9meghatározott; &elenségek

• szto%hasztikus 9véletlen; &elenségek

A determinisztik&s %elenségek azonos k(r*lmények k(z(tt mindig &gyan+gy mennek "égeazaz a %elenség kimenetele el#re meghatározható.éldá&l: szaadesés.

A szto'hasztik&s "agy "életlenszerű %elenségeknek azonos k(r*lmények k(z(tt t($élekimenetele is lehet. Nem t&d%&k hogy a lehetséges kimenetelek k(z*l melyik $ogek("etkezni mert a $igyeleme "ett "agy $igyeleme "ehet# $eltételek (sszessége nemhatározza meg egyértelműen a %elenség kimenetelét.éldá&l: ko'kadoás lottón kih+zott számok st.

A "alószínűségszámítás a "életlen t(meg%elenségek "izsgálatá"al t(r"ényszerűségei"el$oglalkozik.

Gazdasági matematika 2: Valószín,ségszámítás C2odolányi /ános 0#iskola


43/198

B(meg%elenség: azonos k(r*lmények k(z(tt akárhányszor megismételhet#.Véletlen kísérlet: a "életlen t(meg%elenség el#idézése és meg$igyelése.)semény: a "életlen %elenség "alamely lehetséges kimenetele

A kísérleteknél meg kell határozn&nk hogy mit tekint*nk lehetséges kimenetnek azaz mineka meg$igyelését "égezz*k. éldá&l egy irodáan $igyel%*k az egy óra alatt érkező "gy:elekszámát.

A lehetséges kimenetelek száma lehet:

• véges 1doóko'ká"al doott értékek

• végtelen 1egy 'éltála pont%ainak száma

Az eseményeket nagy bet7kkel &ell&"k. éldá&l:

• : a ko'ká"al hármast dotam

• : a lottón 'sak páros számokat h+ztak ki

$. 8semények %so#ortos(tása

-. 8lemi esemény amely 'sak egy$éleképpen k("etkezhet e./ele:éldá&l: a ko'ká"al hármast dotam

2. @sszetett esemény amely t($éleképpen is ek("etkezhet 1t( elemi eseményttartalmaz.éldá&l: a ko'ká"al párosat dotam 1azaz 29est C9est "agy ?9ost

F. Jehetetlen esemény amely az adott k(r*lmények k(z(tt nem k("etkezhet e.

/ele:éldá&l: A magyar kártyáól egyszerre kih+zott 4 lap mindegyike ász. )z lehetetlenmert a magyar kártyáan 'sak C ász "an.

C. 6iztos esemény amely az adott k(r*lmények k(z(tt iztosan ek("etkezik./ele:éldá&l: A magyar kártyáól egyszerre kih+zott 4 lap k(z(tt iztosan "annak azonosszínűek. 1A magyar kártyáan C k*l(n(z# szín "an.

8seménytér )gy kísérlettel kap'solatos elemi események (sszessége 1halmaza./ele:

A továbbiakban az eseményeket az eseménytér részhalmazainak tekint&"k. Igy azeseményekre alkalmazhat&uk a halmazoknál tanult :ogalmakat.

élda

Ko%&nk $el egy érmét kétszer. /egyezz*k le a doások kimenetelét a doás sorrend%éen.

éldá&l ha els#re $e%et másodikra írást dot&nk:

Az eseménytér most C elemi esemény#l áll:

Az eseménytér részhalmazai

9 elemi események 1éldá&l: mindkét doás $e%:

Gazdasági matematika 2: Valószín,ségszámítás CFodolányi /ános 0#iskola


44/198

9 (sszetett események 1éldá&l: k*l(n(z# a két doás eredménye:

'. >7veletek eseményekkel

&% !aga után vonás vagy egyúttal #ekövetkezés

%ele:esemény maga &tán "on%a 9t ha ek("etkezésé"el is iztosan ek("etkezik.

esemény árázolása halmazokkal:

élda

Ko%&nk a ko'ká"al egyszer!

: párosat dot&nk "agyis

: kettest dot&nk "agyis

)kkor a esemény ek("etkezése maga &tán "on%a az ek("etkezését. Az eseményekethalmazoknak tekint"e: halmaz részhalmaza 9nak 1 .

&, Két esemény egyenlsége vagy ekvivalenciá6a

/ele:és események egyenl#k ha ármelyik ek("etkezése maga &tán "on%a a másik

ek("etkezését.élda

Ko%&nk a ko'ká"al egyszer!

: párosat dotam: nem dotam páratlant

Gazdasági matematika 2: Valószín,ségszámítás CCodolányi /ános 0#iskola


45/198

& Kom)lementer 2ellentett3 események

%ele:

1e%tsd: komplementer esemény akkor és 'sak akkor k("etkezik e ha az esemény nem

k("etkezik e. Behát az eseményhez pontosan azok az elemi események tartoznakamelyek 9hoz nem tartoznak hozzá.

Az és az események árázolása halmazokkal:

élda

)gy ko'ká"al háromszor do&nk:: minden doott szám páros

: nem mindegyik páros I "an k(zte páratlan 1egy "agy t(

A biztos esemény kom#lementere a lehetetlen esemény. A lehetetlen esemény kom#lementere a biztos esemény.

&. Két esemény összege vagy unió6a

%el: "agy

Az és események (sszege is esemény amely akkor k("etkezik e ha és k(z*llegalá az egyik ek("etkezik 1egyik másik "agy mindkett# ek("etkezik. Az esemény árázolása halmazokkal:



46/198

élda

;agyar kártyáól h+zz&nk egy lapot.: z(ldet h+zt&nk: ászt h+zt&nk

: z(ldet "agy ászt h+zt&nk 1a kett# k(z*l legalá az egyik ek("etkezik.

>eg&egyzések

-. eseményt vagy-gyal :ogalmazzuk meg! és azt is beleért&"k! hogy mindkettőbekvetkezik azaz a z(ld ászt is h+zhatt&k. gy most -- lap %(het számítása mert Cász "an 6 z(ld és a z(ld ászt így kétszer számolt&k.

2. Tbb esemény sszege is esemény amely akkor k("etkezik e ha az események

kz"l legalább az egyik bekvetkezik.

&/ Két esemény szorzata vagy metszete

%el: "agy

Az és esemény szorzata is esemény amely akkor k("etkezik e ha is és isek("etkezik. Az esemény árázolása halmazokkal:

Gazdasági matematika 2: Valószín,ségszámítás C?odolányi /ános 0#iskola


47/198

élda

Ko%&nk a ko'ká"al kétszer. /egyezz*k le a számokat a doás sorrend%éen.: ;indkét doott szám páros.: ;indkét doott szám nagyo C9nél.

: mindkét szám páros és nagyo C9nél azaz mindkett# hatos.

>eg&egyzések

-. Az eseményt és-sel :ogalmazzuk meg.

2. Tbb esemény szorzata is esemény amely ekkor k("etkezik e ha az eseményekmindegyike bekvetkezik.

F. 8gymást kizáró események

és egymást kizáró események ha egy*tt nem k("etkezhetnek e azaz

élda

D+zz&nk ki a magyar kártyáól egyszerre C lapot.: A kih+zottak k(z(tt 2 piros "an.: A kih+zottak k(z(tt F z(ld "an.és események egymást kizár%ák mert (sszesen 'sak C lapot h+zt&nk.

&0 8semények k(lön#sége

%el:

Az 1e%tsd: k*l(nség is esemény amely akkor k("etkezik e ha az esemény

ek("etkezik és a nem. Az esemény $elírható alakan is. Az esemény árázolása halmazokkal:

Gazdasági matematika 2: Valószín,ségszámítás CSodolányi /ános 0#iskola


48/198

élda

)gy megeszélésre 2 személyt "ár&nk Andrást és 8élát.: András pontosan érkezik.: 8éla pontosan érkezik.

: András pontosan érkezik és 8éla nem.

). 8seményekre vonatkozó :ontosabb azonosságok

-. Az esemény és a komplementere egymást kizár%ák.

2. Az esemény és komplementere k(z*l az egyik iztosan ek("etkezik.

F.

Az annak az ellentéte hogy és események mindegyike ek("etkezik. Behát

tagad"a: legalá az egyik nem k("etkezik e azaz Hnem "agy nem H 1 .

C.

annak az ellentéte hogy és k(z*l legalá az egyik események("etkezik. Behát tagad"a: egyik sem k("etkezik e azaz Hnem és nem H 1

A F. és C. azonosságot 0e >organ azonosságoknak ne"ezik.

élda

)gy é%%el9nappal nyit"a tartó oltan azt "izsgál%&k hogy "an9e este $riss kenyér az *zleten.

: Dét$#n este "olt $riss kenyér: edd este "olt $riss kenyér

: Dét$#n is és kedden is "olt $riss kenyér



49/198

: egalá az egyik napon nem "olt $riss kenyérazaz:

hét$#n nem "olt "agy kedden nem "olt $riss kenyér:

: legalá az egyik napon "olt $riss kenyér 1Dét$#n "agy kedden "olt $riss kenyér

: )gyik napon sem "olt $riss kenyérazaz:

hét$#n sem és kedden sem "olt $riss kenyér:

Az anyaghoz kap'solódóan old%a meg a Valószínűségszámítás példatár '. $e%ezetéentalálható '.1! )-+. $eladatokat. A $eladatok megoldásai megtalálhatók a példatáran.

4& lecke& *nellenrz "ela+atok

1. :eladat 9 t(sz(r(s "álasztás8gy ko%kával kétszer dobtunk. A számokat le&egyezt"k a dobás sorrend&ében. Cálasszaki az elemi eseményeket az alábbiak kz"l4

eg(tség ,. le%ke 1. nellenőrző :eladat

Tbb helyes válasz is lehetséges

W X A doott számok szorzata -2.W X A doott számok (sszege kett#.W X A doott számok szorzata @.W X )gy hármast és egy négyest dot&nk.W X A doott számok (sszege három.W X Az els# szám kettes a második (t(s.

$. :eladat 9 t(sz(r(s "álasztásAz ts lottó kihHzott számait vizsgál&uk. 9A kihHzott számok sorrend&e nem szám(t4;Cálassza ki az sszetett eseményeket az alábbiak kz"l4

eg(tség ,. le%ke $. nellenőrző :eladat

Tbb helyes válasz is lehetséges

W X A F? a kih+zott számok k(z(tt "an.W X A kih+zott számok: F2 C4 4C ?2 S4 6SW X ;inden kih+zott szám egy%egyű és páratlan.W X Dárom páros és két páratlan "an a kih+zott számok k(z(tt.

W X Nin's 49tel osztható a számok k(z(tt.W X ;inden kih+zott szám nagyo C>9nél.

'. :eladat 9 párosítás8gy vállalat négy :énymásolót vásárolt. Cizsgál&uk a garan%iális időn bel"lmeghibásodott :énymásolókat.

áros(tsuk ssze az eseményeket a kom#lementer"kkel4


eg$el%e két gép hiásodott meg.

egalá két gép meghiásodott.

Gazdasági matematika 2: Valószín,ségszámítás C@odolányi /ános 0#iskola


50/198

)gy gép sem hiásodott meg.

ett#nél t( gép hiásodott meg.

Van olyan gép amelyik nem hiásodottmeg.

egalá egy gép meghiásodott.

eg$el%e egy gép hiásodott meg.

;inden gép meghiásodott.

). :eladat 9 párosítás

8gy :ldszintes szálloda két szárnyból áll 9&obb és bal;. 8gy adott na#onvizsgál&uk a szobák :oglaltságát.

esemény: a %o szárnyon "an *res szoaesemény: a al szárnyon "an *res szoa

áros(tsuk ssze az események &ellését a szveges meg:ogalmazással4

A -

6 -

-

0 -

8 -

< -


;indkét szárnyon "an *res szoa. A

Nin's mindkét szárnyon *res szoa.

K

egalá az egyik szárnyon "an *resszoa.

0

odolányi /ános 0#iskola


51/198

W X ét z(ld "an a lapok k(z(tt.W X ;ind a négy lap király.W X B($éle szín "an a lapok k(z(tt.W X ét piros "an a lapok.

>egoldókul%s

-.$eladat:

A doott számok (sszege kett#. Az els# szám kettes a második (t(s. A doott számok szorzata @.

2.$eladat:

;inden kih+zott szám nagyo C>9nél.Nin's 49tel osztható a számok k(z(tt. A F? a kih+zott számok k(z(tt "an.Dárom páros és két páratlan "an a kih+zott számok k(z(tt.

F.$eladat:

ett#nél t( gép hiásodott meg. 9 eg$el%e két gép hiásodott meg.;inden gép meghiásodott. 9 Van olyan gép amelyik nem hiásodott meg.egalá két gép meghiásodott. 9 eg$el%e egy gép hiásodott meg.egalá egy gép meghiásodott. 9 )gy gép sem hiásodott meg.

C.$eladat:

A 9 ;indkét szárnyon "an *res szoa.8 9 Nin's mindkét szárnyon *res szoa.) 9


52/198

1. ;agyar kártyáól h+zz&nk ki három lapot:

: A lapok k(z(tt nin's z(ld.: A lapok k(z(tt egy z(ld "an.: A lapok k(z(tt két z(ld "an.: A lapok k(z(tt három z(ld "an.

Az események tel%es eseményrendszert alkotnak mert az események egymást#áronként kizár&ák! és minden elemi eseményt tartalmaznak a kihHzott la#okravonatkozóan.

$. Az (t(s lottó kih+zott számait "izsgál%&k:

:


53/198

a

'

d

e

$

g

h


észíts*k el a $eladathoz tartozó halmazárát ír%&k e a két%egyű számokat a meg$elel#halmazrésze:

A $eladat megoldható a eseményekhez tatozó elemi események számánakmeghatározásá"al:

a! : Van páratlan a szám%egyek k(z(tt.

b! : A szám%egyek k*l(n(z#ek.

%! : A szám%egyek párosak és egy$ormák

d! : Vagy nem páros mindkét szám%egy "agy nem egy$ormák 1legalá az egyik nemtel%es*l.

e! : árosak "agy egy$ormák 1legalá az egyik tel%es*l.

:! : Van k(zt*k páratlan és k*l(n(z#ek.

Gazdasági matematika 2: Valószín,ségszámítás 4Fodolányi /ános 0#iskola


54/198

g! : ;indkét szám%egy páros és k*l(n(z#ek.

h! : A szám%egyek egy$ormák és páratlanok.


$. :eladat

)gy $énymásolóhoz a 'ég négy%egyű kódokat ad alkalmazottainak. A kód ármely szám%egyea > -...@ szám%egyek "alamelyike. )gy "életlenszerűen ki"álasztott alkalmazott kód%át"izsgál%&k.

esemény: A kód nem tartalmaz >9át

esemény: A kód pontosan egy -9t tartalmaz.

0e%ezze ki és eseményekkel és az eseményalgerai mű"eletekkel a k("etkez#eseményeket! 3zámol%a ki az események elemi eseményeinek számát!

a A kód nem tartalmaz >9át és pontosan egy -9es "an enne.

A kód tartalmaz >9át.

' A kód pontosan egy -9est tartalmaz és "an enne >.

d A kód nem tartalmaz >9át "agy pontosan egy -9es "an enne 1a két esemény k(z*llegalá az egyik tel%es*l.

e A kód nem egy dara -9est tartalmaz.

$ A kódan "an > és nem egy -9es "an enne.


)l#sz(r határozz&k meg a eseményekhez tartozó elemi események számát:

A eseménytér tartalmazza az (sszes lehetséges kódot. 8ármely szám%egy helyére ->9$éle

szám ker*lhet azért a kódok száma:

Da a kód nem tartalmaz >9át akkor ármely szám%egy helyére @9$éle szám ker*lhet. gy az A

esemény elemi eseményeinek száma:

Da a kód pontosan egy -9est tartalmaz akkor a másik F szám%egy mindegyikét @9$éleképpen

"álaszthat%&k meg. gy az -9es ármely r(gzített helyéhez kód tartozik. ;i"el az -9eshelyét C9$éleképpen "álaszthat%&k meg ezért a 8 esemény elemi eseménye

gazdasagi matematika 2 valoszinusegszamitas (1)

Documents