garis singgung

Masalah Dalam Menentukan Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Satu Titik di Luar Lingkaran Dengan Cara

Mencari Gradiennya.

Melalui titik T di luar lingkaran, dapat ditentukan tepat dua garis singgung pada lingkaran tersebut. Garis singgung menyinggung lingkaran di titik A dan titik B. Untuk menentukan persamaan garis singgungnya, kita bisa menggunakan dua cara, yaitu: Pertama, dengan menentukan gradien garis singgung terlebih dulu kemudian menentukan persamaan garis yang diketahui gradiennya dan melalui titik T. Terdapat minimal 5 cara dalam menentukan gradien garis singgung ini.

Kedua, dengan menentukan persamaan garis polar, kemudian mencari titik potongnya dengan lingkaran, setelah itu menentukan persamaan garis singgung melalui titik pada lingkaran. Berikut ini contoh soal dan pembahasannya. Pada soal yang kedua, muncul masalah pada saat mencari nilai gradien garis singgungnya. Selengkapnya kita lihat dalam pembahasan berikut:

Soal Pertama: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 422 =+ yx yang melalui titik T(3, 2). Jawab:

Cek titik: Titik T(3, 2) 4134923 22 >=+=+ Jadi, titik berada di luar lingkaran 422 =+ yx

Cara 1: Persamaan garis singgung lingkaran 222 ryx =+ dengan gradien m adalah

21 mrmxy += Persamaan garis dengan gradien m melalui T(3, 2) adalah y 2 = m (x 3) atau y = m (x 3) + 2 Maka

( )

( )

( )

512

0

01250125

444129

144129

1223

1223

123

2

22

22

2

2

2

==

==

+=+

+=+

+=+

+=+

+=+

mataum

mmmm

mmm

mmm

mm

mmxmmx

mrmxxm

P

( )11, yxT

g1

g2

A

B

Subtitusi m yang diperoleh ke persamaan garis y = m (x 3) + 2 (bukan ke 21 mrmxy += ): Untuk ( ) 22202300 ==+=+== yxym Untuk ( ) 026512

526

512

235

125

12==+== yxxyxym

Jadi persamaan garis singgungnya 2=y dan 026512 = yx

Cara 2: Misalkan persamaan garis singgung lingkaran 222 ryx =+ dengan gradien m adalah

21 mrmxy += Garis singgung lingkaran 422 =+ yx melalui titik T(3, 2) maka:

( )

512

0

01250125

449124

1232

12321

2

22

2

22

==

==

+=+

+=

+=+=

mataum

mmmm

mmm

mm

mmmrmxy

Persamaan garis dengan gradien m melalui T(3, 2) adalah y 2 = m (x 3) atau y = m (x 3) + 2 Subtitusi m yang diperoleh ke persamaan y Untuk ( ) 22202300 ==+=+== yxym Untuk ( ) 026512

526

512

235

125

12==+== yxxyxym


Cara 3: Persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (a, b), jari-jari r dan melalui titik (x1, y1) adalah y y1 = m (x x1), dengan:

( )( ) ( ) ( )( ) 221

221

2111

rax

raxbyraxbym

+=

Lingkaran 422 =+ yx mempunyai pusat P(0, 0) dan berjari-jari 2 melalui titik T(3, 2) mempunyai PGSL y 2 = m (x 3), dengan:

( )( ) ( ) ( )( ) 5

6649

926203

203022030222

222 =

=

+=m

Jadi persamaan garis singgungnya ( )35

662

= xy , yaitu

( ) 23.02 == yxy dan ( ) 0265123512

2 == yxxy

Cara 4: Misalkan persamaan garis singgung yang melalui T(3, 2) adalah ( ) ( )3232 +== xmyxmy

Subtitusi y ke dalam persamaan lingkaran 422 =+ yx

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 091264104961244

0496344432

2222

22222

22222

=++++

=++++

=++++=++

mmxmmxm

mxmxmmmxx

xxmxmxxmx

Syarat menyinggung adalah D = 0

( ) ( )( )

( )

512

0

01250125

04820

036483648364816

091214640

2

2

432432

2222

==

=+=+

=+

=+++

=++=

mataum

mmmm

mm

mmmmmmm

mmmmmD

Untuk ( ) 23.020 =+== yxym Untuk ( ) 0265123

512

22

12=+== yxxym


Cara 5: Lingkaran 422 =+ yx berpusat di P(0, 0) dan berjari- jari r = 2

Persamaan garis singgung yang melalui titik T(3, 2) dan bergradien m adalah: ( ) ( )

( ) 03232

3211

=++=

==

mymxmmxy

xmyxxmyy

Jari-jari r adalah jarak P(0, 0) dengan garis ( ) 032 =+ mymx

( )( )

( )

512

0

01250125

91244419124

4

1

322

1

320.10.

2

22

2

2

222

==

==

+=+++

=

+

=

+

+=

mataum

mmmm

mmmm

mm

m

m

m

mmr

Diperoleh PGS 1: ( ) 20200.32.0 ==+=+ yyyx

PGS 2: 0265120526

.5

120

512

.32.5

12==

+=

+ yxyxyx

Cara 6:

Persamaan garis polar lingkaran 422 =+ yx yang melalui titik T(3, 2) adalah

223

423 +==+ xyyx

Subtitusi ke persamaan llingkaran

1324

0

064

13

064

13

044649

4223

2

222

2

==

=

=

=++=

++

xataux

xx

xx

xxxxx

Subtitusi nilai x yang diperoleh ke persamaan garis (bukan ke persamaan lingkaran):

Untuk ( )2,0220.23

0 1Tyx =+==

Untuk

=+=+==

1310

,1324

1310

1326

1336

21324

.23

1324

2Tyx

Titik-titik tersebut adalah titik singgung lingkaran, gunakan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik PADA lingkaran. PGS 1:

242420

===+

yyyx

PGS 2:

026512

52102441310

1324

=

==

yx

yxyx


Soal Kedua:

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran ( ) ( ) 1621 22 =+ yx yang melalui titik T(5, 4). Jawab:

Cek titik T(5, 4): ( ) ( ) 1620416242415 2222 >=+=+=+ . Jadi titik T(5, 4) berada di luar lingkaran. Cara 1: Persamaan garis singgung lingkaran ( ) ( ) 1621 22 =+ yx dengan gradien m adalah

( ) ( ) 22 1412112 mxmymrxmy ++=+= Persamaan garis dengan gradien m melalui T(5, 4) adalah y 4 = m (x 5) atau y = 4 + m (x 5)

Maka ( ) ( )

( )

43

1612

01216161616164

11616164

1442

14254

141254

22

22

2

2

2

==

=++=+

+=+

+=

++=+

++=+

m

mmmm

mmm

mm

mmmxmmx

mxmxm

Subtitusi m yang diperoleh ke persamaan garis y = 4 + m (x 5)

( ) 03143153164543

443

=++=== yxxyxym

Jadi persamaan garis singgungnya 03143 =+ yx

Hanya Diperoleh Satu Persamaan Garis Singgung

Cara 2: Persamaan garis singgung lingkaran ( ) ( ) 1621 22 =+ yx dengan gradien m adalah

( ) 2112 mrxmy +=

Persamaan garis singgung melalui T(5, 4) maka

( ) ( )

43

1216

161616164

1442

1442

141524112

22

2

2

22

=

=

+=+

+=

+=

+=+=

m

m

mmm

mm

mm

mmmrxmy

Persamaan garis dengan gradien m melalui T(5, 4) adalah y 4 = m (x 5) atau y = 4 + m (x 5) Subtitusi m yang diperoleh ke persamaan garis y = 4 + m (x 5)

( ) 03143153164543

443

=++=== yxxyxym



Cara 3: Persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (a, b), jari-jari r dan melalui titik T (x1, y1) adalah y y1 = m (x x1), dengan:

( )( ) ( ) ( )( ) 221

221

2111

rax

raxbyraxbym

+=

Lingkaran ( ) ( ) 1621 22 =+ yx mempunyai pusat P(1, 2) dan berjari-jari 4 melalui titik T(5, 4), persamaan garis singgungnya adalah: y 4 = m (x 5), dengan

( )( ) ( ) ( )( ) 0

881616

448415

415244152422

222 =

=

+=m

Tidak Mendapatkan Persamaan Garis Singgung

Cara 4: Misalkan persamaan garis singgung yang melalui T(5, 4) adalah y 4 = m (x 5) atau y = 4 + m (x 5) Subtitusi y ke dalam persamaan lingkaran ( ) ( ) 1621 22 =+ yx ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0112025241010162510024412

01625105441216521

2222

22222

22222

=++++

=+++++

=+++++=++

mmxmmxm

mxmxmmmxxx

xxmxmxxxmx

Syarat menyinggung adalah D = 0

( )( ) ( )( )

43

03404864044801004480100416164080100

0112025142410

0

23422234

2222

=

=+

=+

=+++++++

=++

=

m

m

mmmmmmmmmmm

mmmmm

D


( ) 03143153164543

443

=++=== yxxyxym



Tidak didapatkan nilai m

Cara 5: Lingkaran ( ) ( ) 1621 22 =+ yx berpusat di P(1, 2) dan berjari- jari r = 4 Persamaan garis singgung yang melalui titik T(5, 4) dan bergradien m adalah:

( ) ( )

( ) 05454

5411

=++=

==

mymxmmxy

xmyxxmyy

Jari-jari r adalah jarak P(1, 2) dengan garis ( ) 054 =+ mymx

( )( )

43

03401216

161641616116164

16

1

424

1

542.11.

22

2

2

222

=

=+=+

+=+++

=

+

=

+

+=

m

mm

mmmm

mm

m

m

m

mmr


( ) 03143153164543

443

=++=== yxxyxym



Cara 6: Persamaan garis polar yang melalui titik ( )11 , yxT di luar lingkaran ( ) ( )

222 rbyax =+ adalah ( )( ) ( )( ) 211 rbybyaxax =+

Persamaan garis polar lingkaran ( ) ( ) 1621 22 =+ yx yang melalui titik T(5, 4) adalah

( )( ) ( )( )

xyyxyx

yxyx

212012202424

016424416224115

==+=+

=+=+

Subtitusi xy 212 = ke persamaan lingkaran ( ) ( ) 1621 22 =+ yx ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

55

17

05175085425

01644010012

1621011621

2

22

2222

==

==+

=+++

=+=+

xataux

xxxx

xxxx

xxyx

Subtitusi nilai x yang diperoleh ke persamaan garis (bukan ke persamaan lingkaran):

Untuk

=

===

526

,5

175

265

34605

3412

517

1Tyx

Untuk ( )2,5210125 2Tyx === Titik-titik tersebut adalah titik singgung lingkaran, gunakan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik PADA lingkaran. PGS 1:

( ) ( ) ( ) ( )

031430124161208032161212

01625

161

512

16225

2611

517

=+=+=+

=+=

+

yxyx

yx

yxyx

PGS 2: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

5204020401644016201416222115

=====+=+

xx

xx

yxyx

Jadi persamaan garis singgungnya 5=x dan 03143 =+ yx

Diperoleh Dua Persamaan Garis Singgung

Setidaknya itulah diantara cara penyelesaian yang kita temukan dalam beberapa buku pelajaran

di sekolah. Pada soal pertama, sudah kita dapatkan dua persamaan garis singgung dari keenam cara yang kita coba. Untuk soal kedua, kita tidak mendapatkan jawaban yang memuaskan, kecuali cara keenam. Bahkan untuk cara ketiga tidak mendapatkan penyelesaian sama sekali.

Mengapa kita hanya mendapatkan 1 persamaan garis singgung saja dengan metode menentukan nilai gradien garis singgung ini? Bahkan cara ke-3 tidak membuahkan hasil sama sekali? Dari contoh kedua di atas, penyebabnya adalah salah satu garis singgungnya merupakan garis yang sejajar dengan sumbu Y. Sehingga kita tidak mendapatkan nilai gradien garisnya. Maka dari itu hendaknya para guru memberikan bermacam-macam cara penyelesaian kepada siswa agar tidak menemui kendala seperti soal di atas. Minimal siswa harus mengenal cara menentukan persamaan garis singgung melalui titik di luar lingkaran ini dengan menentukan persamaan garis polar. Karena hanya cara inilah yang mampu menyelesaikan soal di atas. Satu masalah yang mungkin muncul ketika kita menggunakan cara garis polar adalah absis atau ordinat dari titik singgung yang kita cari adalah bilangan pecahan atau bahkan bilangan irasional, sehingga kita agak kesulitan mencari titik koordinatnya. Jadi, keduanya mempunyai kekurangan dan kelebihan masing-masing, kita pilih mana yang lebih mudah dan dapat menyelesaikan soal.

Dalam sekian buku pelajaran yang kami buka, ada buku yang hanya mencantumkan satu

macam cara saja dan ada juga buku yang mencamtumkan beberapa cara sebagai pilihan dan perbandingan. Ada buku yang hanya menyajikan pembahasan soal dengan metode menentukan gradien garis singggung, bahkan ada yang hanya mencantumkan cara ketiga saja. Kalau siswa tidak mengetahui metode garis polar ini, kemudian bertemu soal seperti contoh soal kedua di atas, bagaimana ia akan menyelesaikannya?

Salah satu garis singgung lingkaran dengan pusat ( )baP , dan jari-jari r yang ditarik dari titik ( )11 , yxT di luar lingkaran, dimana rax +=1 atau rax =1 adalah garis yang sejajar dengan sumbu Y,

dengan persamaan:

1xx =

Soal Latihan Tentukan persamaan garis singgung lingkaran berikut melalui titik yang ditentukan 1. 822 =+ yx melalui titik A(-2, 6)

2. ( ) ( ) 2553 22 =++ yx dari titik P(6, 0) 3. 0208622 =++ yxyx dari titik T(0, 0)

4. 1622 =+ yx melalui titik M(4, 8) atau titik N(-4, -3)

5. ( ) ( ) 2553 22 =++ yx dari titik S(2, 0) atau titik R(-8, 1) 6. 042422 =++ yxyx dari T(3, 7) atau titik K(1, -4)

P(a, b)

( )11, yxT

rax +=1

P(a, b)

( )11, yxT

rax =1 aa

P(a, b)

( )11, yxT

rax +=1

P(a, b)

( )11, yxT

rax =1 aa

X X

X X

r r

r r

Bahan Bacaan Aksin, Nur, dkk. 2009. PG Matematika untuk SMA/MA kelas XI semester 1. Klaten. Intan Pariwara. Danuri, M. 2008. Pembelajaran Lingkaran SMA dengan Geometri Analitik. Yogyakarta. P4TK

Matematika. Djumanta, Wahyudin dan R Sudrajat. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk

Kelas XI Sekolah Menengah Atas /Madrasah Aliyah. Jakarta. Depdiknas (BSE). Hamiyah, Nur. 2009. Panduan Lengkap, Pintar Matematika. Jakarta. Cerdas Pustaka Publisher. Kangenan, Marthen. 2005. Cerdas Belajar Matematika XI SMA/MA Program IPA. Jakarta. Grafindo

Media Pratama. Kartini, dkk. 2005. Matematika IPA kelas XI. Klaten. Intan Pariwara. Kishan, Hari. 2006. Coordinate Geometry of Two Dimensions. New Delhi. Atlantic Publisher and

Distributors. (PDF File) Nasution, Andi Hakim, dkk. 1994. Matematika 2, untuk Sekolah Menengah Umum kelas 2. Jakarta.

Balai Pustaka. Negoro, ST dan B Harahab. 1999. Ensiklopedia Matematika. Jakarta. Ghalia Indonesia. Noormandiri, BK. 2004. Matematika SMA/MA kelas XI Program IPA. Bandung. Erlangga. Mathematics Forum. 2009. Mathematics for Senior High School Year XI. Bogor. Yudhistira. Puspita, Ita. 2011. Metode Menghitung Cepat (MMC), Teknik cepat dan unik dalam mengerjakan soal

matematika untuk tingkat SMA. Bandung. PT Nir Jaya. Soedyarto, Nugroho dan Maryanto. 2008. Matematika 2 untuk SMA atau MA Kelas XI Program IPA.

Jakarta. Depdiknas (BSE). Sulistyono, dkk. 2005. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI. Jakarta. Gelora Aksara Pratama. Sulistiyono. 2007. Seri Pendalaman Materi MATEMATIKA SMA dab MA. Bandung . Esis. Sumadi, dkk. 1996. Matematika SMU 3A untuk kelas 3. Solo. Tiga Serangkai. Sutrima dan Budi U. 2009. Wahana Matematika 2 : untuk SMA / MA Kelas XI Program Ilmu

Pengetahuan Alam. Jakarta. Depdiknas (BSE). Wibowo, Slamet. Persamaan Garis Singgung Lingkaran. SMA 74 Jakarta. (artikel) No Name. Golden Co-ordinate Geometry. Laxmi Publications (P) Ltd. (PDF File)

garis singgung

Documents