EC403:  Microeconomics  4  

Assessed  Essay        

     

     

   

   

   

Katherine  Anne  Gilbert  (201135988)    Word  Count:  1992  |  17th  November  2014  

  2  

This  essay  focuses  on  the  theme  of  social  dilemmas  where  the  rational  behavior  of  an  individual  leads  to  a  suboptimal  outcome  from  the  collective  standpoint  (Kollock,  1988).  Robyn  Dawes  (1980)  describes  the  theory  as  having  two  unique  properties:  1)  an  individual  will  receive  a  higher  payoff  if  they  defect  against  the  cooperative  choice  and  2)  all  individuals  will  receive  a  higher  payoff  if  they  all  choose  to  cooperate  than  if  they  all  choose  to  defect.  This  theme  will  be  discussed  through  the  example  of  Robert  and  Stuart  where  a  model  will  be  adopted  to  analyze  their  strategic  situation  through  a  simple  yet  insight-­‐rich  process.  The  game  is  played  regarding  the  level  of  effort  Robert  and  Stuart  both  choose  to  exert  into  a  joint  project.      Game  theory  is  defined  as  the  interaction  between  people  in  society  where  interdependent  behaviors  cause  the  action  of  one  person  to  affect  another  person’s  well  being,  either  positively  or  negatively  (Watson,  2013).  In  this  example,  the  effort  level  that  Robert  chooses  to  exert  will  have  an  impact  on  the  value  of  the  project  which  in  turn  affects  the  payoff  to  Stuart  and  vice  versa.  This  interdependence  shows  a  game  is  being  played.    When  acting  independently,  individuals  are  assumed  to  act  rationally  with  the  incentive  to  maximize  their  own  payout.    Rational  behavior  has  two  unique  properties:  1)  from  experience  or  knowledge,  a  belief  is  formed  regarding  the  expected  strategies  of  opponents  2)  given  this  belief;  a  strategy  is  selected  to  maximize  the  expected  payoff  (Watson,  2013).      When  analyzing  mixed  strategies,  the  beliefs  that  are  formed  are  a  probability  distribution  over  opponent’s  possible  effort  level.  As  this  example  is  a  non-­‐cooperative  simultaneous-­‐move  game,  players  do  not  fully  internalize  their  chosen  value  of  effort  and  individuals  are  unsure  what  their  opponents  will  choose  therefore  beliefs  are  central  to  individuals  decision  making  process.  The  characteristics  of  this  game  show  there  is  information  asymmetry  in  the  game,  as  players  cannot  observe  opponents  decision  before  taking  theirs.    This  game  will  begin  through  a  discrete  example  of  Robert  and  Stuart  selecting  from  a  finite  choice  of  either  1  or  2  units  of  effort  to  exert  into  the  joint  project.  The  project  value  is  calculated  by  subtracting  the  individual  cost  function  of  Robert  and  Stuart  from  the  value  function,  which  measures  the  cost  minus  the  benefit  from  exerting  a  particular  unit  of  effort.  The  x  value  measures  the  effort  expended  by  Robert  and  the  y  value  measures  the  effort  expended  by  Stuart.      

Project  value:  V  (x,  y)  =  5(x  +  y)  +  xy    Project  value  depends  on  the  level  of  effort  exerted  by  Robert  (x)  and  Stuart  (y).    As  Robert’s  cost  function  is  3x2  à  Payoff  function  =  5(x  +  y)  +  xy  –  3x2  As  Stuart’s  cost  function  is  4y2  à  Payoff  function  =  5(x  +  y)  +  xy  –  4y2  

  3  

When  calculating  the  payoffs  to  each  player  from  each  chosen  effort  combination,  the  effort  values  are  substituted  into  the  individual’s  cost  function:    For  V  (1,  1)  !  5(1  +  1)  +  (1  x  1)  =  11        For  V  (2,  1)  !  5(2  +  1)  +  (2  x  1)  =  17  

 For  V  (1,  2)  !  5(1  +  2)  +  (1  x  2)  =  17        For  V  (2,  2)  !  5(2  +  2)  +  (2  x  2)  =  24  

 Constructing  the  normal  form  for  this  game  summarizes  the  players  in  the  game,  strategies  available  and  payoff  received  to  each  individual  based  on  the  strategy  combination  the  player’s  choose  (Gibbons,  1992).  The  columns  correspond  to  the  strategies  of  Stuart  and  the  rows  correspond  to  the  strategies  of  Robert.      Normal  Form:  

             

 The  underlining  method  identifies  the  rational  best  response  made  by  individuals  if  their  opponent  chooses  a  particular  effort  level.  By  constructing  the  normal  form,  the  Nash  equilibrium  can  be  identified:  Robert  chooses  1  unit  of  effort  and  Stuart  chooses  1  unit  of  effort  at  V(1,  1).  The  Nash  equilibrium  represents  a  point  in  the  game  where  players  have  no  incentive  to  change  their  strategy  and  have  mutually  consistent  best  responses.  For  both  players,  strategy  1  is  the  dominant  strategy  therefore  we  can  predict,  due  to  rational  behavior,  that  neither  player  will  select  strategy  2  (Gibbons,  1992).  The  identification  of  the  best  response  in  this  game  shows  that  both  players  have  the  incentive  to  underperform  and  reduce  their  individual  effort  to  gain  a  higher  payout.      When  analyzing  the  Nash  equilibrium  and  normal  form  of  this  game,  it  is  apparent  that  the  rational  behavior  of  Robert  and  Stuart  does  not  necessarily  imply  coordinated  behavior,  as  the  Nash  equilibrium  is  inefficient  with  both  players  able  to  gain  a  higher  payoff  by  playing  differently.  The  players  realize  they  are  jointly  better  off  if  they  select  1  unit  of  effort,  however  individual  incentives  result  in  individuals  defecting  against  this  choice:  Robert  can  gain  a  payoff  of  13  instead  of  7  and  Stuart  can  gain  a  payoff  of  14  instead  of  8.  In  this  game,  individuals  gain  from  being  non-­‐cooperative  and  have  the  incentive  to  free  ride  on  the  contributions  of  others.        

R/S   1   2    1  

 8,  7  

 14,  1  

 2  

 5,  13  

 12,  8  

V  (1,  1)  à     Robert  =  11  –  3  (1)2  =  8       Stuart  =  11  –  4  (1)2  =  7  

V  (1,  2)  à     Robert  =  17  –  3  (1)2  =  14       Stuart  =  17  –  4  (2)2  =  1  

V  (2,  1)  à     Robert  =  17  –  3  (2)2  =  5       Stuart  =  17  –  4  (1)2  =  13  

V  (2,  2)  à     Robert  =  24  –  3  (2)2  =  12       Stuart  =  24  –  4  (2)2  =  8  

  4  

This  result  is  similar  to  the  Prisoner’s  dilemma  where  individual  incentives  interfere  with  the  interests  of  the  group  (Rapoport,  1965)  resulting  in  group  loss  –  this  concept  will  be  analysed  later  in  the  game.      When  opponents  have  complete  freedom  over  their  effort  choices,  the  players  no  longer  choose  from  a  finite  set  of  strategies  and  can  undertake  a  continuous  strategy.  As  the  strategy  spaces  are  continuous  in  this  game,  the  game  can  be  analysed  by  calculating  best  responses  as  opposed  to  through  a  payoff  matrix.    This  is  calculated  by  differentiating  the  individual’s  payoff  functions  and  re-­‐arranging  for  x  and  y  respectively.  The  derivative  is  set  to  0  to  find  where  the  slope  of  this  function  is  maximized  at  zero,  which  is  the  best  response  for  each  individual.    

 Substituting  the  best  response  function  for  y  into  the  x  function  will  find  the  payoff  for  Robert  and  substituting  the  best  response  function  for  x  into  the  y  function  will  find  the  payoff  for  Stuart.    

 The  Nash  equilibrium  is  at  point  (𝟒𝟓

𝟒𝟕,  𝟑𝟓𝟒𝟕),  which  represents  the  set  of  effort  choices  

for  Robert  and  Stuart  where  both  players  are  maximizing  their  payoff  given  the  actions  of  the  other  player  (Varian,  1987).  Under  this  equilibrium,  Robert  will  exert  !"

!"  units  of  effort  and  Stuart  will  exert  !"

!"units  of  effort.  

Robert:   f(x)  =  5(x  +  y)  +  xy  –  3x2       f(x)  =  5x  +  5y  +  xy  –  3x2    Differentiate  with  respect  to  x:    

f’(x)  =  5  +  y  –  6x    Set  f’(x)  =  0  to  find  optimal  point:  

0  =    5  +  y  –  6x       6x  =  5  +  y       x  =  𝟓!𝒚

𝟔  

BRr(x)  =  𝟓!𝒚𝟔  

Stuart:   f(y)  =  5(x  +  y)  +  xy  –  4y2       f(y)  =  5x  +  5y  +  xy  –  4y2    Differentiate  with  respect  to  y:    

f’(y)  =  5  +  x  –  8y    Set  f’(y)  =  0  to  find  optimal  point:  

0  =    5  +  x  –  8y       8y  =  5  +  x       y  =  𝟓!𝒙

𝟖  

BRs(y)  =  𝟓!𝒙𝟖  

Substitute  y  into  equation  x:  

X  =  (5  +  !!!!!)  

6x  =  5  +  !!!!  

48x  =  40  +  5  +  x  47x  =  45  x  =  𝟒𝟓

𝟒𝟕  

Substitute  x  into  equation  y:  

Y  =  !!  𝟒𝟓𝟒𝟕!  

8y  =  5  +  𝟒𝟓𝟒𝟕  

376y  =  235  +  45  376y  =  280  y  =  !"#

!"#  

y  =  𝟑𝟓𝟒𝟕  

  5  

Substituting  the  x  and  y  values  into  individual  payoff  functions  and  subtracting  the  effort  costs,  each  partner  receives  the  following  payoff:  

           

 From  the  reaction  functions  calculated,  the  relationship  can  be  diagrammatically  presented  by  finding  points  on  Robert  and  Stuart’s  reaction  function.  This  is  calculated  by  setting  the  x  and  y  values  of  Robert  and  Stuart’s  reaction  function  to  0  as  follows:  

 The  following  graph  depicts  the  best-­‐response  functions  of  the  two  players.  When  calculating  the  equilibrium,  the  dominated  strategies  are  removed  and  the  lower  and  upper  bounds  converge  to  the  point  where  the  players’  best  response  functions  cross,  which  is  where  the  equilibrium  point  lies.  These  response  functions  are  positively  sloped  as  they  are  a  complementary  strategy  set.        

Robert:  x  =  𝟓!𝒚𝟔  

 To  calculate  reaction  function:    When  y  =  0,  x  =  !!!

!  =  !

!  

When  x  =  0,  0  =  !!!!  =  -­‐5  

 Points  on  reaction  function:    (5/6,  0)  and  (0,  -­‐5)  

Stuart:  y  =  𝟓!𝒙𝟖  

 To  calculate  reaction  function:    When  y  =  0,  x  =  !!!

!  =  -­‐5  

When  x  =  0,  y=  !!!!  =  !

!  

 Points  on  reaction  function:    (-­‐5,  0)  and  (0,  5/8)  

Payoff  Robert:    5x  +  5y  +  xy  -­‐  3x2  

5(𝟒𝟓𝟒𝟕)  +  5(𝟑𝟓

𝟒𝟕)  +  (𝟒𝟓

𝟒𝟕)(  𝟑𝟓

𝟒𝟕)  –  3(𝟒𝟓

𝟒𝟕)2  

=  6.47  

Payoff  Stuart:  5x  +  5y  +  xy  –  4y2  5(𝟒𝟓

𝟒𝟕)  +  5(𝟑𝟓

𝟒𝟕)  +  (𝟒𝟓

𝟒𝟕)(  𝟑𝟓

𝟒𝟕)  –  4(𝟑𝟓

𝟒𝟕)2  

=  7.00  

(𝟒𝟓𝟒𝟕,  𝟑𝟓𝟒𝟕)  

Robert’s  Effort  Level  (x)  

Stuart’s  Effort  Level  (y)  

  6  

Game-­‐theoretic  analysis  generally  assumes  that  each  player  behaves  rationally  according  to  his  preferences  however;  it  does  not  take  into  account  other  motivations  such  as  that  of  the  altruistic  player.  Tony  will  be  introduced  to  this  example  as  the  social  planner  who  has  the  main  objective  of  maximizing  the  total  payoff  of  the  project,  which  is  then  split  between  Robert  and  Stuart.  

 The  function  used  to  consider  this  game  of  social  welfare  is  the  project  value  function  of  both  Robert  and  Stuart  (5(x  +  y)  +  xy  +  5(x  +  y)  +  xy)  minus  the  two  cost  functions  of  Robert  (3x2)  and  Stuart  (4y2)  to  calculate  the  best  responses  to  maximize  the  total  payoffs  from  the  game.    !  V  (x,  y)  =  5(x  +  y)  +  xy  +  5(x  +  y)  +  xy  –  3x2  –  4y2  !  V  (x,  y)  =  10(x  +  y)  +  2xy  -­‐  3x2  –  4y2    

 The  x  and  y  effort  values  are  calculated  by  substituting  the  x  and  y  figures  into  one  another  as  before.  

               

Robert:     f(x)  =  10(x  +  y)  +  2xy  –  3x2  –  4y2       f(x)  =  10x  +  10y  +  2xy  –  3x2  –  4y2    Differentiate  with  respect  to  x:    

f’(x)  =  10  +  2y  –  6x      Set  f’(x)  =  0  to  find  optimal  point:  

0  =  10  +  2y  –  6x       6x  =  10  +  2y       x  =  𝟏𝟎!𝟐𝒚

𝟔  

Stuart:   f(y)  =  10(x  +  y)  +  2xy  –  3x2  -­‐  4y2       f(y)  =  10x  +  10y  +  2xy  –  3x2  -­‐  4y2    Differentiate  with  respect  to  y:    

f’(y)  =  10  +  2x  –  8y    Set  f’(y)  =  0  to  find  optimal  point:  

0  =  10  +  2x  –  8y       8y  =  10  +  2x       y  =  𝟏𝟎!𝟐𝒙

𝟖  

Substitute  y  into  equation  x:  

X  =  !"  !  !!"!!!!

!  

6x  =  10  +  2(!"!!!!)  

48x  =  80  +  20  +  4x  44x  =  100  x  =  !""

!!  

x  =  𝟐𝟓𝟏𝟏  

 

Substitute  x  into  equation  y:  

Y  =  !"  !  !!"!!!!

!  

8y  =  10  +  2(!"!!!!

)  48y  =  60  +  20  +  4y  48y  =  80  +  4y  44y  =  80  y  =  !"

!!  

y  =  𝟐𝟎𝟏𝟏  

  7  

Payoff  Robert:    5x  +  5y  +  xy  -­‐  3x2  

5(𝟐𝟓𝟏𝟏)  +  5(𝟐𝟎

𝟏𝟏)  +  (𝟐𝟓

𝟏𝟏)(  𝟐𝟎

𝟏𝟏)  –  3(𝟐𝟓

𝟏𝟏)2  

=  9.09    Payoff  Stuart:  5x  +  5y  +  xy  –  4y2  5(𝟐𝟓

𝟏𝟏)  +  5(𝟐𝟎

𝟏𝟏)  +  (𝟐𝟓

𝟏𝟏)(  𝟐𝟎

𝟏𝟏)  –  4(𝟐𝟎

𝟏𝟏)2  

=  11.36    Acting  independently,  Robert  can  gain  a  payoff  of  6.47  and  Stuart  can  gain  a  payoff  of  7,  however,  when  adding  an  altruistic  player  to  maximize  social  welfare,  Robert  can  gain  a  larger  payoff  of  9.09  and  Stuart  can  gain  a  larger  payoff  of  11.36.  This  would  suggest  that  Robert  and  Stuart  should  optimally  act  together  to  ensure  they  both  gain  larger  payoffs  than  if  they  were  acting  independently.    When  comparing  the  effort  levels  of  each  player  to  the  Nash  equilibrium  calculated  when  acting  independently,  the  social  planner  states  the  players  should  exert  more  than  double  the  effort  that  the  players  would  exert  when  acting  independently.  Analysing  in  terms  of  the  effort  to  payoff  ratio,  the  individuals  gain  more  from  acting  independently  than  if  they  were  to  exert  effort  at  the  social  planners  ideal  value:  Robert  exerting  1  effort  unit:  1.67  payoff  acting  independently  and  exerting  1  effort  unit:  4  payoff  acting  socially  optimally;  Stuart  exerting  1  effort  unit:  9.5  payoff  acting  independently  and  exerting  1  effort  unit:  6.3  payoff  acting  socially  optimally.                                                  

  8  

 It  is  evident  that  the  addition  of  the  social  planner  to  the  game  can  result  in  effort  levels  chosen  that  will  increase  the  total  payoff  function  for  the  players.  The  choice  for  players  is  whether  to  cooperate  with  the  social  planners  ideal  outcome  or  whether  to  defect  with  the  belief  that  their  opponent  will  cooperate.  As  Kollock  (1998)  identified,  the  best  outcome  of  a  Prisoner’s  Dilemma  is  unilateral  defection  of  the  first  person,  followed  by  mutual  cooperation,  mutual  defection,  and  the  worst  outcome  is  the  first  person’s  unilateral  cooperation.  The  following  analysis  calculates  the  payoffs  of  Robert  and  Stuart  if  1)  Robert  cooperates  and  Stuart  defects  and  2)  if  Stuart  cooperates  and  Robert  defects  from  the  social  ideal.    

 

 Normal  Form:  

             

 The  final  normal  form  presents  the  payoffs  to  each  individual  based  on  the  range  of  scenarios  presented  throughout  this  example.  The  Nash  equilibrium  is  defection  against  the  social  planners  ideal  as  it  the  dominant  strategy  for  both  players.        

R/S   C   D    C  

 11.4,  9.09  

 2.5,  14.7  

 D  

 13,  3.6  

 7.0,  6.5  

When  Robert  cooperates  with  socially  optimal  input  (𝟐𝟓𝟏𝟏)  and  Stuart  defects:  

Y  =  !  !  𝟐𝟓𝟏𝟏!  

Y  =  0.91    Joint  value  of  project:  5((𝟐𝟓

𝟏𝟏)  +  (0.91))  +  (𝟐𝟓

𝟏𝟏)(0.91)  =  18  

Payouts:-­‐     Robert:  18  –  3(𝟐𝟓𝟏𝟏)2  =  2.5  

    Stuart:  18  –  4(0.91)2  =  14.7  

When  Stuart  cooperates  with  socially  optimal  input  (𝟐𝟎𝟏𝟏)  and  Robert  defects:  

X  =  !  !  𝟐𝟎𝟏𝟏!  

X  =  1.14    Joint  value  of  project:  5((1.14  +  (𝟐𝟎

𝟏𝟏))  +  (1.14)(  𝟐𝟎

𝟏𝟏)  =  16.9  

Payouts:     Robert:  16.9  –  3(1.14)2  =  13       Stuart:  16.9  –  4(!"

!!)2  =  3.6  

 

  9  

 This  example  is  similar  to  the  prisoners’  dilemma.  The  dilemma  is  clear  when  noticing  that  mutual  cooperation  is  superior  and  yields  a  better  outcome  than  mutual  defection  of  both  players.  This  results  in  mutual  defection  not  being  a  rational  outcome  because  the  choice  to  cooperate  is  more  rational  from  a  self-­‐interested  point  of  view.    The  value  of  the  project  suffers  as  partners  only  care  about  their  own  costs  and  benefits  and  they  do  not  consider  the  benefit  of  their  labor  to  the  rest  of  the  firm.      The  success  of  the  enterprise  requires  cooperation  and  shared  responsibility  of  the  individuals.  In  this  example,  there  are  limits  on  external  enforcement  as  the  partners  cannot  write  a  contract  and  have  no  way  of  verifying  the  levels  of  effort  exerted  by  each  individual.  Even  if  the  players  had  the  ability  to  communicate  before  the  game  and  decide  on  a  collective  decision,  there  is  no  incentive  for  a  rational  player  to  follow  through  on  the  agreement  as  individuals  could  maximize  by  defecting.  Players  understand  that  increasing  effort  and  therefore  the  value  of  the  joint  project  will  result  in  them  only  gaining  a  fraction  of  the  joint  benefit  therefore  the  players  are  less  willing  to  provide  effort.  The  individuals  therefore  expend  less  effort  than  is  best  from  the  social  point  of  view  and  because  both  players  do  so,  they  both  end  up  worse  off.  As  this  example  only  considered  a  single  play  game,  choosing  to  cooperate  is  not  optimal  for  players.  If  the  example  incorporated  repeated  game  analysis,  including  the  punishment  of  the  opponent  for  defecting  would  reduce  the  payoffs.  This  could  result  in  players  choosing  to  cooperate  if  costs  >  benefits  by  defecting.          

  10  

As  individuals’  indifference  curves  depend  on  other  people  (Buchanan,  1962),  this  game  results  in  the  players  imposing  external  effects  on  their  opponent  based  on  the  decision  they  choose.  Externalities  are  defined  as  an  indirect  consequence  of  an  activity,  which  affect  agents  other  than  the  originator  without  intension  (Laffont,  2008).  In  this  example,  Robert  and  Stuart’s  payoff  depends  on  the  effort  exerted  by  the  other  player,  which  is  an  example  of  a  positive  externality  or  external  benefit  to  the  other  player.  As  players  increase  their  effort,  the  value  of  the  overall  project  increases  which  increases  the  payoffs  to  both  players.      When  calculating  the  effort  to  payoff  ratio,  there  is  a  2.8  payoff  difference  when  Robert  and  Stuart  exert  one  unit  of  effort:  Robert  gains  6.7  payoffs  and  Stuart  gains  9.5  payoffs.  It  is  clear  that  Stuart  benefits  more  from  exerting  one  unit  of  effort  and  therefore  Robert  exerts  a  higher  positive  externality  on  Stuart.    

 The  existence  of  externalities  can  cause  market  failure  if  the  price  mechanism  does  not  take  into  account  the  full  social  costs  and  benefits  of  production  and  consumption.  In  this  game,  there  is  a  difference  between  the  marginal  private  benefit  and  marginal  social  benefit  resulting  in  the  MSB  curve  lying  above  MPB.  The  effort  exerted  and  therefore  the  market  output  is  less  than  the  socially  optimal  output  as  shown  in  Appendix  1  -­‐  society  could  be  better  off  and  welfare  increased  by  encouraging  increased  provision.  There  is  therefore  community  pressure  to  make  individuals  pull  their  weight  to  bring  the  effort  levels  to  the  socially  optimal  ideal.  A  method  of  creating  this  pressure  is  to  provide  a  subsidy  to  the  individuals  or  reward  the  individuals  to  provide  at  this  point  [Appendix  2]  bringing  MSB  =  MPB.        

  11  

REFERENCES    

Buchanan,  J.  &  Stubblebine,  W.  (1962).  Externality.  Economica.  29  (116),  371-­‐384.    Dawes,  R.  (1980).  Social  Dilemmas.  Annual  Review  of  Psychology.  31,  169-­‐193.    Gibbons,  R  (1992).  A  Primer  in  Game  Theory.  London:  Pearson  Education  Limited.    Kollock,  P.  (1998).  Social  Dilemmas:  The  Anatomy  of  Cooperation.  Annual  Review  of  Sociology.  24  (1),  183-­‐214.    Laffont,  J.  (2008).  Externalities.  The  New  Palgrave  Dictionary  of  Economics.  2.    Rapoport,  A  (1965).  Prisoner's  Dilemma:  A  Study  in  Conflict  and  Cooperation.  USA:  The  University  of  Michigan  Press.    Varian,  H.;  1987;  “Intermediate  Microeconomics  –  A  Modern  Approach;  Norton,  Chapter  27  pp.  508    Vicarick.  (2011).  Externalities  Graphs:  How  I  Understand  Them.  Available:  http://www.slideshare.net/vicarick/externalities-­‐graphs-­‐how-­‐i-­‐understand-­‐them.  Last  accessed  14th  Nov  2014.    Watson,  J  (2013).  Strategy:  An  Introduction  to  Game  Theory.  3rd  ed.  New  York:  W.  W.  NORTON  &  COMPANY.      ADDITIONAL  BIBLIOGRAPHY    Carmichael,  F  (2005).  A  Guide  to  Game  Theory.  ENGLAND:  Pearson  Education  Limited.      Dixit,  A.,  Skeath,  S.  &  Reiley,  D  (2009).  Games  of  Strategy.  3rd  ed.  New  York:  W.  W.  Norton  &  Co.    Osborne,  M  (2004).  An  introduction  to  game  theory.  New  York:  Oxford  University  Press.      

  12  

APPENDICES    Appendix  1    

 (Vicarick,  2011)  

 Appendix  2  

                  (Vicarick,  2011)