Mefisto

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MefistoNúmero 12 Octubre de 2014

En este número:

Presentación 3Ana Beatriz Alonso Osorio

En las alturas 4Fausto Cervantes Ortiz

El cielo de invierno 12

El buen cristiano debe estar precavido frente a los matemáticos y todos aquellos que hacen pro-fecías vacías. Existe el peligro de que los matemáticos hayan hecho un pacto con el diablo para ofrecer el espíritu y confinar al hombre en el infierno.

San Agustín, De genesi ad Litteram, II, xviii, 37.

Pirámides 14Daniel Maisner Bush

Acertijos 22

Sudoku 24

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MefistoEditor

Publicada electrónicamente en:

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Toda contribución deberá enviarse en versión electrónica a:

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Universidad Autónoma de la Ciudad de México

Nada humano me es ajeno

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Mtro. Carlos López Barrios

Fausto Cervantes Ortiz

Comité Editorial

Ana Beatriz Alonso Osorio

Octavio Campuzano Cardona

Fausto Cervantes Ortiz

Daniel Maisner Bush

Verónica Puente Vera

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PresentaciónAna Beatriz Alonso Osorio

Materiales Educativos de la Biblioteca del Estudiante

Plantel San Lorenzo Tezonco

Bienvenidos a una nueva edición de la Gaceta Me-fisto. En esta ocasión, iniciamos con una reflexión histórica sobre la necesidad humana de trascender a través del arte, en particular la arquitectura y la escultura a gran escala. Para ejemplificarlo, el au-tor nos lleva en un ameno recorrido internacional, narrando la feroz competencia entre los países por obtener el récord de las construcciones arquitec-tónicas más altas del mundo. Conoceremos repre-sentaciones de deidades y héroes, asociados a la reverencia y devoción ante lo sobrenatural; edifi-cios y torres, símbolos de orgullo comunitario o de poder económico para amedrentar naciones; y en-contraremos competencia también en la conquista de la cima del Everest, la formación montañosa natural más alta del mundo.

Presentamos después una detallada explicación sobre fraudes económicos cotidianos, a los que estamos expuestos de diversas formas inadverti-damente. Mediante ejemplos y demostraciones matemáticas que involucran a las funciones expo-nenciales, el autor nos clarifica cómo operan -por dento y por fuera- los sistemas de crecimiento pi-ramidal, engaño que se basa en la formación de

grupos para la venta directa. También nos habla de las características que conforman -y sostienen- figuras laborales o de ahorro basadas en el método Ponzzi, que prometen ganancias descomunales a sus integrantes, y que pueden convertirse en jugo-sos fraudes. El artículo nos explica asimismo el caso Madoff, y las estafas que acometen bancos y fondos de inversón contra los usuarios de sus servicios, aprovechando los mismos métodos de engaño que han llevado a supuestos colapsos fi-nancieros mundiales en tiempos recientes. De esta manera, tristemente comprendemos como, crey-endo ingenuamente en la especulación, las ganan-cias virtuales y los intereses inexistentes, vivimos de dinero ficticio (tarjetas de crédito), que nunca acabaremos de deber a la banca la que, además, siempre se presentará como la víctima de sus ex-plotados clientes.

En alusión al mencionado sistema piramidal fi-nanciero, y aprovechando la travesía inicial por las más altas construcciones del hombre, hemos aprovechado para integrar a este número una co-lección fotográfica de las pirámides más bellas del mundo.

Las pirámides de Giza, en Egipto.

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En las alturasFausto Cervantes Ortiz

Academia de MatemáticasPlantel San Lorenzo Tezonco

IntroducciónLa historia bíblica de la Torre de Babel es una de las historias más antiguas que reflejan el afán de la humanidad por conquistar las alturas. Se piensa que esa leyenda tuvo su origen en un zigurat cons-truido por un monarca sumerio (Sargón de Aca-dia) aproximadamente 3500 años antes de Cristo. El mismo no pudo concluirse bajo su reinado porque una revuelta interna lo quitó del poder, y no se terminó de construir de inmediato; incluso adquirió fama por estar incompleto (como la sin-fonía inconclusa de Schubert). Fue hasta alrede-dor del 580 aC que el rey caldeo Nabucodonosor lo completó y lo convirtió en sede de los célebres “jardines colgantes de Babilonia”, considerados una de las “maravillas” de la antigüedad por los griegos. Las otras maravillas que reconocieron los griegos fueron: el Coloso de Rodas, la estatua de Júpiter Olímpico, el Mausoleo en Halicarnaso, el templo de Diana en Éfeso, el faro de Alejandría y las pirámides de Egipto. De las siete maravillas, sólo las pirámides de Egipto continúan en pie has-ta nuestros días.

Figura 1. Los jardines colgantes de Babilonia.

Figura 2. El coloso de Rodas.

Figura 3. La estatua de la libertad, en Nueva York.

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EstatuasDecía Carl Sagan, astrónomo estadunidense, que los dioses deben ser más grandes que los hombres, por lo cual las representaciones de los mismos deben ser muy grandes. Esto se reflejó constante-mente en las estatuas que se hicieron de muchos dioses. Por ello es que, desde la antigüedad, mu-chas de las estatuas más grandes del mundo son representaciones de dioses, o de seres humanos a quienes se consideran más grandes que los huma-nos ordinarios. De las siete maravillas de la antigüedad consid-eradas por los griegos, dos de ellas eran estatuas enormes de dioses: el coloso de Rodas (que repre-sentaba a Helios, dios del Sol) y el Júpiter Olímpi-co. Ambas datan de épocas muy diferentes y tenían alturas muy distintas, pero una de ellas (coloso de

Rodas) fue en algún momento la estatua más alta del mundo. La estatua de Júpiter (aproximada-mente 12 m) existió entre 432 aC y 475 dC, mien-tras que el coloso de Rodas (aproximadamente 30 m) existió entre 280 y 226 aC. Muchos siglos después, cuando se construyó la estatua de la Li-bertad (46 m), se pensó en hacerla lo más pare-cida posible al coloso de Rodas. Probablemente la gran esfinge de Egipto también fue en su momento la estatua más alta del mundo, aunque ésta no re-presentaba propiamente a un dios, pero tenía cua-lidades más grandes que las de los humanos. Una de las estatuas más antiguas y grandes del mundo, que aún se conserva en la actualidad, es un Buda tallado en la roca, localizado en China, en la provincia de Leshan (71 m). También fueron tallados en roca los Budas de Bamiyán (53 y 35 m), en Afganistán, entre los años 544 y 654, mismos que destruyó el Talibán en 2001.Figura 5. El Buda de Leshan, en China.

Figura 6. La estatua más alta del mundo, el Buda de Lushan.

Figura 4. La esfinge de Gizah, en Egipto.

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Es interesante notar que, entre las estatuas más altas del mundo, la mayoría son Budas o deidades relacionadas (Guanyin, principalmente). Por ejemplo, la estatua más alta del mundo es un Buda (128 m) en China, en la provincia de Lushan; la se-gunda es otro Buda (116 m) en Myanmar, en la di-visión de Sagaing; y la tercera es otro Buda (110 m) en Japón, en la prefectura de Ibaraki. Entre las es-tatuas más altas que no representan a dioses, están el monumento a los emperadores Yang y Huang (106 m) en Zhengzhou, China; el monumento a Pedro I (97 m) en Moscú, Rusia; y el monumento a la Madre Tierra (87 m) en Volgogrado, Rusia. Si continuamos con la lista de estatuas más altas del mundo, después de pasar por muchos otros Budas, llegaremos a la primera estatua no lo-calizada en Asia (si clasificamos a Moscú como perteneciente a ese continente, pues poca gente la considera como parte de Europa), el monumento

al Renacimiento Africano, (49 m) en Dakar, Sene-gal. Siguiendo por ahí llegaremos a la estatua de la Libertad (45 m), en Nueva York, EE. UU. y a la estatua de Morelos (40 m) en Michoacán, México. Es interesante notar que, es hasta llegar a las es-tatuas de menos de 50 m de altura, que empiezan a aparecer estatuas religiosas relacionadas con el cristianismo: la Virgen María (47 m) en Trujillo, Venezuela; la Virgen del Socavón (45 m) en Oru-ro, Bolivia; o Santa Rita de Cascia (42 m), en Río Grande, Brasil. Sin embargo, el turno de Cristo mismo sólo llega hasta las estatuas por debajo de los 40 m, con el Cristo Rey (36 m) de Swiedbozin, en Polonia; el Cristo de la Concordia (34 m) en Cochabamba, Bolivia; o el Cristo Redentor (30 m) de Río de Janeiro, Brasil. Alguien podría usar como argumento las alturas de las estatuas para comparar la grandeza de Buda y la de Cristo, y/o de las religiones fundadas por su causa.

Figura 7. El Buda de Sagaing, Myanmar. Figura 8. El Buda de Ibaraki, Japón.

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TorresLa gran pirámide de Keops (139 m) en Egipto, fue durante miles de años la estructura artificial más alta del mundo. Fue hasta alrededor de 1439 que la Catedral de Estrasburgo (142 m), en Francia, superó esa altura. Después de ésta, varias cate-drales la superaron por algunos metros. En 1884,

el monumento a Washington alcanzó los 169 m y fue la estructura más alta del mundo por 5 años, para ceder su lugar a la famosa Torre Eiffel (300 m) en Francia. Ésta conservó el récord por más de 40 años, cuando se concluyó el edificio de Chrysler (319 m) en Nueva York en 1930, y al año siguiente el Empire State (381 m), también en Nueva York. A partir de entonces, la construcción de torres cada vez más altas se ha vuelto una competencia, donde los records se rompen en muy breve tiempo. En este afán competitivo, los estadunidenses con-stantemente han competido entre ellos para tener el edificio más alto del mundo, uniéndose a la com-petencia otras naciones progresivamente. Después del Empire State, otros edificios que rompieron re-cord fueron las Torres Gemelas (417 m) en Nueva York, en 1972; la Torre de Sears (442 m) en Chica-go, en 1974 –ahora conocida como Torre Willis--; las Torres Petronas (452 m) en Malasia, en 1998; el edificio Taipei 101 (509 m) en Taiwan, en 2004; y el edificio Burj Dubai (829.8 m) en Emiratos Ára-bes Unidos, en 2010 –ahora conocido como Burj Khalifa--. ¿Y dónde quedó la Torre CN (553 m, en Canadá, terminada en 1976)?

Figura 9. El Cristo rey de Swiebodzin, en Polonia.

Figura 10. Estatua de Morelos en Janitzio, Michoacán.

Figura 11. La Torre Eiffel, en París.

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Ah, es que, en ese mismo afán de tener el título del rascacielos más alto del mundo, algunos edi-ficios añadían antenas en la punta del edificio, a fin de hacerlo aún más alto que la estructura ar-quitectónica. Por ello, en 1969 se formó el Council on Tall Buildings and Urban Habitat (CTBUH), organismo que desde entonces funge como árbitro para decidir el récord de altura de un rascacielos. El CTBUH decidió que no se consideraran los edi-ficios que no tuvieran utilidad habitacional (como oficinas, hoteles, etc). Eso de inmediato dejó fuera de la competencia a la Torre Ostankino (540.1 m) en Moscú, terminada en 1967, así como a la Torre CN (¿Tendría algo que ver la carrera entre EE. UU. y la URSS como potencias en aquellos años?). Asimismo, en el año de 1996, el CTBUH decidió que las Torres Petronas eran más altas que la Torre Willis, aún cuando la antena que ésta tiene llega más alto que las agujas que las Petronas tienen en la punta. De acuerdo con los árbitros, quitar ante-nas no afecta la apariencia de los rascacielos, mien-

tras que quitar las agujas u otros ornamentos, sí que las afecta. Sin embargo, Canadá siempre continuó diciendo que la Torre CN era la “estructura autoestable” más alta del mundo. Lo de autoestable viene del hecho de que, depués de la Segunda Guerra Mundial, las telecomunicaciones demandaban la construcción de antenas de transmisión cada vez más altas, lo que llevó a que tales antenas fueran las estructuras artificiales más altas del mundo durante décadas; el pero que se les puso entonces fue que tales antenas no eran autoestables, sino que estaban sostenidas por cables, atados en los terrenos que las rodeaban. Así las cosas, la torre CN nunca fue contada como rascacielos. Al inaugurarse la Torre Burj Dubai, todas las clasificaciones o acotaciones que se hicieron an-tes perdieron todo sentido: la Burj Dubai rompía todos los récords, sin importar la categoría que se utilizara. Sin embargo, eso no impidió que los es-tadunidenses continuaran queriendo ser los prim-

Figura 12. El edificio Chrysler y el Empire State, ambos en Nueva York.

Figura 13. La torre CN, en Toronto, y la torre Ostankino, en Moscú.

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eros en todo, por lo cual se inventaron que la Torre Willis era el rascacielos más alto del hemisferio occidental. Esto cambió en 2013, al inaugurarse la Torre One World Trade Center (541.1 m) en el lugar donde estuvieron las Torres Gemelas. Ahora bien, a diferencia de las estatuas donde, como vimos, la mayoría de las más altas está en países de Asia (representando Budas), en los países occidentales la competencia fue generalmente por los rascacielos. Puesto que en occidente el dios a adorar es el dinero, la competencia no se centra en las estatuas a los dioses, sino en edificios dedicados al dinero (WTC, Rockefeller Center, etc.), hasta antes de los años 90 del siglo pasado. A partir en-tonces, los países de orientetambién se suman a la carrera por los rascacielos, sobrepasando al líder EE. UU. en varias ocasiones, lo que tardará en re-vertirse con la construcción de la Torre Burj Dubai. Entonces, la carrera por los rascacielos, como la de las estatuas, también está siendo ganada por Asia. Es de notar que, de las cinco ciudades con más

rascacielos del mundo, la número uno no es Nueva York, como mucha gente piensa, sino Hong Kong. Si se consideran los edificios con más de 100 m de altura, resulta que Hong Kong tiene 2354, seguida muy de lejos por Nueva York, con tan sólo 794. Después están Tokio (556), Shanghai (430), Dubai (403), Bangkok (355), Chicago (341), Guangzhou (295), Seúl (282) y Kuala Lumpur (244). Para los que se lo están preguntando, la Ciudad de México está en el lugar 27, con 114 edificios que miden más de 100 m. Antes de pasar al siguiente tópico, mencionemos brevemente que, si bien en la Edad Media las téc-nicas de construcción no permitían tener edificios de gran altura (que además tuvieran utilidad habi-tacional, a diferencia de las pirámides de Egipto), sí hubo una competencia en cuanto al volumen (y belleza) de las catedrales góticas. Se dice que Cons-tantino, al construir la Hagia Sofia, en Constanti-nopla, dijo “Te he superado, Salomón”, en referen-cia al templo que dicho rey construyó.

Figura 14. Las Torres Gemelas, en Nueva York, las Torres Petronas, en Kuala Lumpur; y el edificio Burj Khalifa, en Dubai.

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MontañasLas montañas, a diferencia de las estatuas o las tor-res, no las construyen los seres humanos (aunque en ocasiones sí las destruyen, como la que está de-trás del Plantel San Lorenzo Tezonco de nuestra Universidad). Éstas han sido objeto de competen-cia para ver quién alcanza primero la cima. Algu-nas de las montañas más altas del mundo fueron conquistadas sólo hasta el siglo pasado, por lo que en ese siglo fueron objeto de arduas competencias. El monte más alto del mundo es el Everest, en el Himalaya, haciendo frontera entre Nepal y China (con la provincia autónoma del Tibet). Los tibeta-nos lo llaman Chomolungma, mientras que los nepalíes lo llaman Sagarmatha. Fue “descubierto” en 1856 por George Everest (igual que América, un continente con ciudades y culturas florecien-tes, fue “descubierta” en 1492), por lo que lleva su nombre. Eso no les importa a los nepalíes o tibeta-nos, quienes siguen usando sus nombres tradicio-nales. Siendo que los nativos de las regiones del Hima-laya consideraban a sus montañas lugares sagrados

--o incluso, dioses(as)--, escalarlas no era siquiera imaginable. Por ello, los primeros intentos por es-calar los llevaron a cabo expediciones de países eu-ropeos (principalmente Inglaterra). La historia del intento por conquistar la cima del Monte Everest está plagada de muertes y otras desgracias. Un escalador muy persistente (asistió a las expediciones de 1921, 1922 y 1924) llamado George Mallory perdió la vida en las nieves del Everest en 1924. Su cuerpo muerto se halló hasta 1999, y por el lugar y la posición en que se encon-tró, hizo pensar a muchos que probablemente sí llegó a la cima y perdió la vida durante el descenso. Pasando por alto esto, las sucesivas expediciones fueron rompiendo records de altitud alcanzada. Sin embargo, después de numerosos intentos, probar nuevas rutas, nuevos diseños de ropa tér-mica y botas, se llegó a la conclusión de que, para garantizar el éxito de una escalada, era fundamen-tal llevar tanques de oxígeno, puesto que el enrare-cimiento de la atmósfera con la altitud no permitía respirar adecuadamente, lo que impedía al cuerpo desempeñarse al 100% durante la escalada.

Figura 15. El monte Everest, en la frontera entre Nepal y China.

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La expedición de 1953, comandada por John Hunt (Inglaterra), ascendió al Everest llevando cargadores nepalíes, y guías experimentados que habían escalado en expediciones anteriores. Después de establecer un campamento de base a 6000 metros de altitud, eligió a dos parejas para realizar el “asalto final”. La primera pareja estaba formada por Tom Bourdillon y Charles Evans (In-glaterra), quienes escalaron el 26 de mayo hasta aproximadamente 8750 metros, pero tuvieron que regresar por problemas con los equipos de oxígeno. La segunda pareja estaba formada por Edmund Hillary (Nueva Zelanda) y Tenzing Nor-gay (Nepal) quienes el 29 de mayo, después de dos días de fuertes vientos, partieron muy temprano hacia la cima, con clima soleado y vientos tranqui-los. Hacia las 11:30, alcanzaron la cima. Tomaron fotografías, enterraron en la nieve una cruz, y re-gresaron con todo cuidado. La hazaña de Hillary

y Norgay les valió a Hunt y a Hillary el título de caballeros de la orden inglesa. Norgay por su parte obtuvo una medalla del Reino Unido. Después de la primera escalada, los sucesivos as-censos han agregado otros “retos”, para poder decir que fueron los primeros. Que si se llegó por una ruta más difícil, que si se llegó a la cima sin llevar oxígeno, que si la persona que llegó a la cima era de sexo femenino, que si es la persona más vieja, que si la más joven, etc. Pero lo que es imposible hacer es escalar una montaña más alta. El record lo tiene sólo el Monte Everest, y ya no se puede ser el pri-mero en llegar a la cima, por lo que cualquier otro calificativo es simplemente un intento por tratar de decir que se es el primero en algo que en realidad no se es.

ConclusiónYa sea construyendo, o escalando, el afán del ser humano por conquistar las alturas se ha manifesta-do continuamente a lo largo de la historia. Y ya sea casualidad (Monte Everest) o causalidad (estatuas y edificios), cuando de alturas se trata, los records están en Asia, fundamentalmente China. También en esto los estadunidenses se están quedando atrás.

ReferenciasEnciclopedia Universal Ilustrada. Espasa-Calpe. Madrid, 1905-2014.Wikipedia, the free encyclopaedia.

Figura 16. Tenzing Norgay en la cima del Everest.

Figura 17. Edmund Hillary y Tenzing Norgay de regreso de cumplir con su hazaña.

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El cielo de otoñoFases de la Luna

Luna nueva

23 de octubre2i de noviembre21 de diciembre

Cuarto creciente

1 de octubre30 de octubre28 de noviembre28 de diciembre

Luna llena

7 de octubre6 de noviembre5 de diciembre

Cuarto menguante

15 de octubre13 de noviembre13 de diciembre

Eclipse total de Luna: 8 de octubre (3:16 - 8:34 hrs)Eclipse parcial de Sol: 23 de octubre (17:31 - 18:43 hrs)

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Lluvias de estrellas

Dracónidas: 7 y 8 de octubre

Oriónidas: 21 de octubre

Táuridas del sur: 4 y 5 de noviembre

Táuridas del norte: 11 y 12 de noviembre

Leónidas: 16 y 17 de noviembre

Gemínidas: 13 y 14 de diciembre

Planetas

Mercurio en VirgoVenus en LibraMarte en EscorpiónJúpiter en CáncerSaturno en LibraUrano en PiscisNeptuno en Acuario

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PirámidesDaniel Maisner BushAcademia de Matemáticas

Plantel San Lorenzo Tezonco

Esquemas piramidales

Daniel Maisner Bush

24 de octubre de 2014

1. Esquemas piramidales

Lea este artıculo detenidamente y despues deselo a leer a 5 personas mas o tendra 15 anos de mala suerte.

Cadena piramidal tıpica

Venta de cafe

¿Casualidad?, ¿destino? – pensaba mientras subıa a mi coche y emprendıa el regreso a casa. Llevaba un par demeses dandole vueltas a la idea de escribir un artıculo sobre los esquemas de crecimiento piramidal, y justo ese dıa(quiza un martes 13, sin que lo recuerde) habıa sido invitado al negocio del siglo, consistente en una piramide deventa de cafe.

En realidad –perdonad mi incredulidad–, ni casualidad ni destino; los esquemas piramidales para generar rapidocrecimiento siguen siendo de uso comun, se encuentran por todas partes y, simplemente, el estar reflexionando sobreellos me hizo reparar en su presencia.

Las ideas matematicas intrınsecas del caso, que podrıamos resumir en la frase las funciones exponenciales crecenmas rapido que lo esperado por nuestra intuicion, son tan conocidas que dudaba en que fuera util volver a escribirsobre el tema. Por ejemplo, el libro Matematicas recreativas de Perelman ([Perelman]) le dedica al crecimientoexponencial un capıtulo entero, y ya era un clasico de divulgacion cuando yo era nino. Sin embargo, no esta de masdifundir de nuevo estos conocimientos con ejemplos de actualidad.

Comencemos por resumir la propuesta de venta de cafe que, durante un par de horas, escuchamos aquel dıa.Eliminando una enorme cantidad de adornos que la acompanaban, podemos sintetizarla de la siguiente forma:

1. La empresa duena del negocio proponıa un sistema de “asociados”, por no decir vendedores, que ofrecerıancafe entre sus conocidos, bajo el argumento de que este funcionamiento le era mas barato que lanzar suproducto con gastos de propaganda a los supermercados. Al fin y al cabo se trata de un producto de altoconsumo y facil venta.

2. Cada asociado invetirıa una cantidad de dinero, lo cual se traducıa en la practica en comprar a semi-mayoreopara posteriormente venderlo a menudeo.

3. Lo anterior solo era una pantalla. La parte principal radicaba en que, si un asociado introducıa a otrosmiembros, a quienes llamaremos descendientes (hijos, nietos, etc.), aumentaba su porcentaje de ganancias.Mas aun, a mayor numero de descendientes, mayor porcentaje. Se habıa formado la piramide.

Cuando he platicado la propuesta con diversos amigos todos conocen alguna historia similar, aunque cambiael producto. Los mas comunes son productos de limpieza, recipientes tipo tupperware y los casos profundamenteamargos de venta de productos de belleza, piramidales o no. Mis conocidos me han presentado una gran cantidadde argumentos contra la falacia de la facil venta, del precio de ganga y de que la empresa prefiera este mecanismoa la venta tradicional; que podrıamos resumir en la siguiente pregunta: ¿si el producto es tan bueno, tan vendibley tan barato, por que los grandes almacenes no buscan su venta? Sin embargo, casi nadie reflexiona sobre el hechode que en estos casos el esquema piramidal es, en sı mismo, un mecanismo de estafa.

En efecto, suponiendo que el producto de verdad es de calidad intachable y de facil venta, la matematica nos diceque es poco probable que tengamos ganancias extraordinarias, que difıcilmente tendremos muchos descendientes yque lo mas probable es que, al final del dıa, daremos gracias si logramos salir a mano.

Para explicar la afirmacion anterior hagamos una simplificacion del problema pensandolo del siguiente modo:supongamos que cada dıa se incrementa al doble nuestro arbol genealogico; el primer dıa hemos incorporado dosnuevos socios, el segundo dıa cada uno de ellos han convencido a dos nuevos socios y ası sucesivamente, cada dıa

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se agrega el doble de descendientes que el anterior. ¿Cuantos dıas tardara el que no haya mas posibles interesadosen hacerse asociados, ni mucho menos en consumir el producto? Querido lector si no estas familizarizado con estetipo de cuentas haz un pequeno alto e intenta dar respuesta a la pregunta anterior usando solo tu intuicion.

En la siguiente tabla calculamos que sucede en los primeros 5 dıas:

Dıa Nuevos miembros Total de miembros en la piramide

1◦ 1 = 20 1 = 2− 12◦ 2 = 21 1 + 2 = 3 = 22 − 13◦ 4 = 22 1 + 2 + 4 = 7 = 23 − 14◦ 8 = 23 1 + 2 + 4 + 8 = 15 = 24 − 15◦ 16 = 24 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 = 25 − 1

Como podemos ver en la tabla anterior los primeros dıas nuestra intuicion coincide con la realidad, el crecimientode la piramide es lento. Quien haya ingresado en estos primeros dıas probablemente tenga un buen rendimiento,pero siendo tan pocos, es poco probable que seas tu uno de los afortunados.

En la tabla hemos remarcado una manera sencilla de contabilizar el numero de nuevos incorporados y del totalde miembros en el dıa correspondiente. El dıa n se incorporaran

2n−1 nuevos miembros y habra un total acumulado de 2n − 1. (1)

Esta formula es el caso particular para x = 2 de la suma de una progresion geometrica, que recordemos se expresaen la siguiente igualdad:

1 + x+ x2 + x

3 + · · ·+ xn−1 =

xn − 1

x− 1. (2)

Aplicando la ecuacion (1) podemos continuar nuestra tabla estudiando el comportamiento cada 5 dıas hastallegar al vigesimo quinto:

Dıa Total de Incorporados Dıa Total de Incorporados

10◦ 210 − 1 = 1023, 20◦ 220 − 1 = 1, 048, 575,15◦ 215 − 1 = 32, 767, 25◦ 225 − 1 = 33, 554, 431.

Podemos observar en la tabla como, a partir del vigesimo dıa, ya es muy complicado conseguir nuevos miembros,tanto para vendedores como para compradores. Si redondeamos a 21 millones la poblacion de la ciudad de Mexicotenemos que alrededor del 5% (que es igual a 1, 050, 000) ya esta dentro de la piramide: posible, pero pocoprobable. Ademas, para el dıa vigesimo quinto, esta poblacion ha superado la de nuestra amada ciudad. ¿Cuantotardarıamos en rebasar la poblacion del paıs? Mas adelante regresaremos a esta pregunta.

Dicho de otra manera, entre dos y tres semanas despues de iniciada la piramide, sus miembros comienzan a noencontrar a quien vender el producto y mucho menos, quienes quieran incorporarse. Entre los conocidos sucede elsiguiente fenomeno: o no estan interesados, o ya fueron reclutados con anterioridad. En este momento la piramidese colapsa y los ultimos en incorporarse, que son cientos de miles o quizas millones de personas, habran perdidosu inversion. Remarquemos esto ultimo: no importa en que momento colapse la piramide, siempre el ultimo piso

habra perdido su inversion.

En el ejemplo, hemos hecho la simplificacion de que cada generacion nueva consta del doble de la anterior, esdecir, cada individuo tiene solo dos hijos. En general, el numero de hijos por persona puede crecer tanto comoqueramos. La formula (2) permite calcular crecimientos piramidales de cualquier numero fijo de descendientes. Loque debemos dejar en claro es que, si cada miembro tiene mas de dos hijos, el crecimiento del total de incorporadossera mas rapido que el ejemplo calculado; y con mayor razon, habra un pronto colapso de la piramide.

Para redondear esta seccion, calculemos cuanto tiempo tardarıa una piramide que triplica sus miembros en cadageneracion (cada miembro tiene 3 hijos) en superar el numero de habitantes de Mexico redondeado a 120 millones.Aplicando (2) tenemos que en el n−esimo dıa, el total de miembros es:

1 + 3 + 32 + · · ·+ 3n−1 =3n − 1

3− 1=

3n − 1

2.

Un calculo sencillo utilizando logaritmos muestra que para n ≥ 18 hemos rebasado los 120 millones. De hecho, eldıa 18 practicamente hemos alcanzado esta cantidad,

318 − 1

2= 193, 710, 244.

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Se deja como un ejercicio al lector calcular la n correspondiente para diversos casos variando el numero de hijos.

El ejemplo que acabamos de presentar supone, por decirlo de alguna manera, de una estafa legal. A final decuentas, solo se estan exagerando las bondades de un producto y la facilidad de su venta. ¿Imaginan ustedes unmundo en el que esto fuera ilegal y verdaderamente perseguido? Sin embargo, los esquemas de crecimiento piramidalse encuentran en muchos lados y van desde estafas descaradas, hasta simples metodos de crecimiento rapido que nopueden calificarse como tales. Mencionemos algunos ejemplos cotidianos de diversa ındole:

1. Cadenas de cartas del tipo mande usted 10 pesos al remitente y 10 cartas iguales a la presente a otras 10personas o tendra mala suerte por el resto de su existencia y la de sus sucesores hasta en 15 generaciones. Consu variante moderna el spam: consistente en cadenas de mensajes electronicos que se reenvian en las redesde computo, a veces utilizadas como metodos de desinformacion y que, en exceso, cada tanto colapsan lasredes. Un ejercicio similar a los ejemplos presentados en la seccion es plantearnos la pregunta: ¿cuantas vecesdebe un mensaje reenviarse para retornar a quien lo genero?, ¿cuantos mensajes se necesitan para colapsarun servidor? Una variante curiosa es el facebook, que ha basado su crecimiento en que cada persona incorporaa sus amigos, haciendo realidad el dicho de que si los amigos de mis amigos tambien son mis amigos, todo elmundo es mi amigo.

2. Propagacion de rumores. Cuando existe una noticia “importante”, todo individuo se la trasmite a sus conoci-dos, y en poco tiempo es conocida por casi todo el mundo. Una variante ıntimamente relacionada con lo quese presentara en la ultima seccion son las burbujas financieras, donde el rumor del alza de algun productoproduce compra masiva de el, y hay nueva alza de precio hasta colapsar.

3. Incorporacion a grupos polıticos o religiosos a traves del convencimiento a nuevas personas por miembros yaincorporados.

2. Metodo Ponzi

Nadie vende pesos a noventa centavos.

Dicho popular

La caja voladora

Poco tiempo despues de que Perla entro a trabajar en un laboratorio de analisis clınicos, uno de los contadoresdejo de asistir al trabajo. Son cosas que suceden y ella no le dio mayor importancia, pero, para su sorpresa, lostrabajadores sı, quienes asistıan a toda hora preguntando sobre el paradero del susodicho, con un mal disimuladoapremio.

Indagando, Perla descubrio que el contador dirigıa una caja de ahorros que ofrecıa ganancias extraordinariasen la cual gran parte de los trabajadores, sus familiares y amigos habıan depositado sus ahorros. Ante las enormesganancias que mes a mes recibıan, nadie habıa optado por retirar ni sus ganancias ni mucho menos sus ahorros,reinvirtiendolos en la busqueda de mayores ganancias. Tampoco cuestionaban que clase de negocio era aquel, quepodıa ofrecer rendimientos de mas del 90%. Ante la oportunidad –que la consideraban como la oportunidad de suvida–, muchos habıan introducido a familiares y amigos.

Un dıa, de improviso aparecio el contador explicando que habıa tenido algunos problemas con el dinero pero quepronto restablecerıa todos los ahorros y se normalizarıa la situacion; y para muestra, entrego una pequena cantidadde dinero a los asustados ahorradores. Despues de ese dıa, nunca mas volvieron a saber de el, ni mucho menos, desus dineros.

La historia anterior se repite dıa con dıa en nuestro mundo. Incluye desde las pequenas cajas de ahorros, comola del relato inicial, hasta los grandes bancos y casas de bolsa, y es una muestra del llamado metodo o esquema

Ponzi.

El metodo Ponzi, llamado ası por el celebre estafador Carlo Ponzi (1842-1949), consiste en una sociedad deinversion que paga a sus inversionistas con su propio dinero, o con el de nuevos inversionistas. Aunque existenmuchas variantes, podemos mencionar que cuenta con las siguientes caracterısticas:

1. Suele tratarse de una sociedad de inversion aparentemente seria que ofrece ganancias de muy buenas a ex-traordinarias, pero que en realidad no existen: solo son virtuales. Muchas veces viene acompanado de un

Figura 1. Templo de las Inscripciones, en Palenque, Chiapas.

Mefisto

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3

Se deja como un ejercicio al lector calcular la n correspondiente para diversos casos variando el numero de hijos.

El ejemplo que acabamos de presentar supone, por decirlo de alguna manera, de una estafa legal. A final decuentas, solo se estan exagerando las bondades de un producto y la facilidad de su venta. ¿Imaginan ustedes unmundo en el que esto fuera ilegal y verdaderamente perseguido? Sin embargo, los esquemas de crecimiento piramidalse encuentran en muchos lados y van desde estafas descaradas, hasta simples metodos de crecimiento rapido que nopueden calificarse como tales. Mencionemos algunos ejemplos cotidianos de diversa ındole:

1. Cadenas de cartas del tipo mande usted 10 pesos al remitente y 10 cartas iguales a la presente a otras 10personas o tendra mala suerte por el resto de su existencia y la de sus sucesores hasta en 15 generaciones. Consu variante moderna el spam: consistente en cadenas de mensajes electronicos que se reenvian en las redesde computo, a veces utilizadas como metodos de desinformacion y que, en exceso, cada tanto colapsan lasredes. Un ejercicio similar a los ejemplos presentados en la seccion es plantearnos la pregunta: ¿cuantas vecesdebe un mensaje reenviarse para retornar a quien lo genero?, ¿cuantos mensajes se necesitan para colapsarun servidor? Una variante curiosa es el facebook, que ha basado su crecimiento en que cada persona incorporaa sus amigos, haciendo realidad el dicho de que si los amigos de mis amigos tambien son mis amigos, todo elmundo es mi amigo.

2. Propagacion de rumores. Cuando existe una noticia “importante”, todo individuo se la trasmite a sus conoci-dos, y en poco tiempo es conocida por casi todo el mundo. Una variante ıntimamente relacionada con lo quese presentara en la ultima seccion son las burbujas financieras, donde el rumor del alza de algun productoproduce compra masiva de el, y hay nueva alza de precio hasta colapsar.

3. Incorporacion a grupos polıticos o religiosos a traves del convencimiento a nuevas personas por miembros yaincorporados.

2. Metodo Ponzi

Nadie vende pesos a noventa centavos.

Dicho popular

La caja voladora

Poco tiempo despues de que Perla entro a trabajar en un laboratorio de analisis clınicos, uno de los contadoresdejo de asistir al trabajo. Son cosas que suceden y ella no le dio mayor importancia, pero, para su sorpresa, lostrabajadores sı, quienes asistıan a toda hora preguntando sobre el paradero del susodicho, con un mal disimuladoapremio.

Indagando, Perla descubrio que el contador dirigıa una caja de ahorros que ofrecıa ganancias extraordinariasen la cual gran parte de los trabajadores, sus familiares y amigos habıan depositado sus ahorros. Ante las enormesganancias que mes a mes recibıan, nadie habıa optado por retirar ni sus ganancias ni mucho menos sus ahorros,reinvirtiendolos en la busqueda de mayores ganancias. Tampoco cuestionaban que clase de negocio era aquel, quepodıa ofrecer rendimientos de mas del 90%. Ante la oportunidad –que la consideraban como la oportunidad de suvida–, muchos habıan introducido a familiares y amigos.

Un dıa, de improviso aparecio el contador explicando que habıa tenido algunos problemas con el dinero pero quepronto restablecerıa todos los ahorros y se normalizarıa la situacion; y para muestra, entrego una pequena cantidadde dinero a los asustados ahorradores. Despues de ese dıa, nunca mas volvieron a saber de el, ni mucho menos, desus dineros.

La historia anterior se repite dıa con dıa en nuestro mundo. Incluye desde las pequenas cajas de ahorros, comola del relato inicial, hasta los grandes bancos y casas de bolsa, y es una muestra del llamado metodo o esquema

Ponzi.

El metodo Ponzi, llamado ası por el celebre estafador Carlo Ponzi (1842-1949), consiste en una sociedad deinversion que paga a sus inversionistas con su propio dinero, o con el de nuevos inversionistas. Aunque existenmuchas variantes, podemos mencionar que cuenta con las siguientes caracterısticas:

1. Suele tratarse de una sociedad de inversion aparentemente seria que ofrece ganancias de muy buenas a ex-traordinarias, pero que en realidad no existen: solo son virtuales. Muchas veces viene acompanado de un

Figura 2. Pirámide del Adivino, en Uxmal, Yucatán. Figura 3. Templo del Jaguar, en Tikal, Guatemala.

Mefisto

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4

supuesto conocimiento de una verdadera “mina”por parte del organizador, en donde se invertira el dinero deforma segura y muy rentable. En el caso mas puro se trata de una sociedad que no genera ninguna gananciapropia. Pero para entender la realidad, debemos considerar tambien las empresas que informan de gananciasque exceden con mucho a la realidad.

2. La mayorıa de los inversionistas, al conocer de las ganancias supuestamente obtenidas, no retira ni total niparcialmente sus ahorros, reinviertiendolos sistematicamente.

3. Cuando el esquema esta bien planteado, el numero de inversores crece exponencialmente durante un periodo detiempo, de forma analoga a los esquemas piramidales. Si en el ejemplo del principio de esta seccion suponemosque cada uno de los trabajadores comunica su descubrimiento a dos personas y las convence de ingresar alnegocio, hemos generado una piramide como la del inicio del artıculo.

Este ultimo punto merece una reflexion extra. Los esquemas piramidales se basan en el crecimiento de susmiembros y colapsan cuando disminuye, hasta casi desaparecer, el numero de individuos interesados en ingresar. Encambio, en los esquemas Ponzi, lo que los lleva al colapso es el crecimiento, tambien exponencial, de la diferenciaentre las ganancias virtuales y el dinero realmente existente. Esto implica que una vez bien establecido el esquemaPonzi, puede permanecer sin colapsarse durante largos periodos de tiempo.

El esquema Ponzi, como casi todos los procesos de estafa, tiene una base psicologica que apela a dos carac-terısticas muy humanas. Por un lado, la confianza acrıtica en la empresa inversora, dado que si los inversores retiransu dinero el esquema colapsara y por otro, la ambicion que los anima a no retirar sus ganancias reinvirtiendolas.Curiosamente, ambas cosas se consiguen de manera relativamente facil con una buena presentacion y con la promesade ganancias extraordinarias, aunque una mınima reflexion muestre que esto llevara a la quiebra sin remedio. Es elviejo mecanismo donde el estafador hace creer al estafado que el esta estafando al estafador.

Por otro lado, desde el punto de vista matematico nos enfrentamos, nuevamente, a un crecimiento exponencialque supera muy rapido nuestra intuicion. Esto se genera en primer lugar con el crecimiento de los inversionistas yposteriormente con el de las ganancias virtuales.

Por ejemplo, supongamos que una sociedad de inversion nos ofrece una ganancia de 30% de interes mensual conla condicion de que invirtamos arriba de $10, 000. ¿Como podemos saber que se trata de un fraude? Si invertimos$10,000, ¿cuantos meses pasaran antes de que las ganancias sean incubribles? 1 El primer mes tendremos unaganacia de $3, 000:

total despues de un mes = 10, 000 + (·30)10, 000 = 10, 000(1 +· 30) = 13, 000.

El segundo mes ganaremos entonces el 30% de 13, 000, es decir, 3, 900. Para obtener una formula general escribamoslo anterior como:

10, 000(1 +· 30) + ·30(10, 000(1 +· 30)) = 10, 000(1 +· 30)(1 +· 30) = 10, 000(1·30)2.

En general, despues de n meses tendremos un total de pesos de:

10, 000(1·30)n

.

Aplicando la formula anterior presentamos una tabla con las ganancias durante los primeros dos anos (aproxi-mando con 2 decimales):

6 meses 48 , 268,09 12 meses 232, 980·8518 meses 1, 124554,06 24 meses 5, 428, 007,70

De la tabla vemos que es practicamente imposible que la empresa pueda pagar las ganacias de sus inversores altermino de un ano.

De manera analoga puede calcularse cualquier proceso que involucre interes compuesto. Si R es el porcentaje decrecimiento (30 en nuestro caso), y C es el capital inicial (10,000 en el ejemplo) entonces al cabo de n unidades detiempo (meses, anos,etc) la cantidad ha crecido en:

C(1 +R

100)n. (3)

El exponente n es variable mientras que C y R son constantes y nos indica que el interes compuesto creceexponencialmente, y por tanto, muy rapido para valores de n suficientemente grandes.

1¡Cuidado! En estos casos no se calcula el total sacando el 30% del capital y multiplicando por el numero de meses.

Mefisto

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En la practica, tanto los esquemas piramidales como los Ponzi, rara vez se presentan en un estado puro comoen los ejemplos que hemos presentado en las secciones anteriores. Terminemos esta seccion con un ejemplo clasicomixto.

Las bolitas de yogurt

Entre los anos 1993 y 1995, en la Ciudad de Mexico abrio sus puertas una supuesta empresa europea decosmeticos, anunciando que necesitaba para su produccion algunos derivados lacteos que consideraba eran masfaciles de producir por la gente comun que en un laboratorio, por lo cual invitaba a los habitantes del D.F. aasociarse con ellos. Cada interesado invertirıa dinero en la empresa recibiendo una cantidad de lacteos para produciren su casa, que periodicamente entregarıa a cambio de sus ganancias. Se trataba de ganancias enormes, y sobradecir que en su mayorıa eran reinvertidas. Bajo una pantalla de un trabajo muy bien remunerado, se habıa montadoun tıpico esquema Ponzi. Ademas, cada asociado que convenciera a otros de ingresar al negocio, mejorarıa su rangode ganancias, y ası simultaneamente se completaba con un esquema piramidal. Como siempre, un dıa los duenosdesaparecieron con todo el dinero, dejando enormes filas de gente que venıa a entregar el jocoque arabe que habıanafanosamente fabricado en casa. Solo dejaron tras de sı a unas pobres secretarias que no sabıan nada del asunto,pero que, ante la magnitud del escandalo, fueron encarceladas. Fue un fraude de tales dimensiones que es difıcilencontrar a alguien que, siendo adulto en esa epoca, no haya sido esquilmado, o al menos invitado a participar.

3. El piso de arriba. ¿Quiere usted una tarjeta de credito?

El verdadero ladron no roba bancos, los funda.

Dicho popular

Los ejemplos presentados hasta ahora son casos simples y por ende faciles de analizar. Pero si nos restringieramosa su presentacion, darıamos la impresion de que los mecanismos mencionados solo se presentan en estafas ilegalesy de baja escala. Por lo cual, en esta ultima seccion le dedicaremos unas lıneas al llamado popularmente piso de

arriba. La crisis financiera que vivimos desde el 2005 tiene muchısimas caracterısticas de los esquema Ponzi, y sedebe en gran medida a la generacion incontrolada de ganancias virtuales. Expliquemos brevemente algunas ideasde este complejo problema, que ni los especialistas en economıa comprenden en su totalidad.

Madoff y la crisis financiera

Corrıa el ano 2005 y los medios masivos de comunicacion, junto con los gobiernos, hacıan oficial la noticia:estabamos en crisis economica a nivel mundial. Una enorme cantidad de bancos se habıan declarado en quiebra y,tanto en Espana como EE.UU. el boom de la construccion subitamente se habıa transformado en crack inmobiliario.

Tres anos depues, en 2008, se arrestaba a Bernard Madoff, acusado de haber fraguado un fraude de alrededorde 60 millones de dolares en el mundo financiero, utilizando un esquema Ponzi. Implıcitamente, se le culpaba dela crisis, convirtiendolo en un chivo expiatorio. Dos caracterısticas convertıan este hecho en insolito: por un ladose daba el arresto de un ladron de cuello blanco y su condena perpetua; y por el otro, se encontraba que entre losprincipales defraudados se hallaban presentes gran cantidad de bancos y sociedades de inversion. El lobo mayor sehabıa comido a sus hermanos mas pequenos, mordiendo con los mismos dientes.

El caso Madoff rompıa gran cantidad de mitos sobre los banqueros y los obligaba momentaneamente a ensenarel cobre.

Aunque con un chivo expiatorio se nos informaba, como en las series de television, que el mal habıa sidoerradicado, se derrumbaba el mito de que el mundo formal y legal garantiza seriedad y seguridad en los ahorros.Teoricamente, los bancos y las sociedades de inversion “seguras”deberıan invertir el dinero de sus inversores enactividades productivas, pero la mayorıa de ellos, si no es que todos, simplemente especula, y muy a menudo loinvierte en otras sociedades de inversion disenadas para capitales mas grandes, como las empresas de Madoff.

Para los habitantes del tercer mundo, que habıamos vivido casos locales como el fraude de la Bolsa Mexicana deValores (1987), fraguado entre otros por Eduardo Legorreta, o el corralito en Argentina; tambien se desmoronabael mito de que estas cosas solo nos suceden a nosotros y no en el primer mundo, donde todo funciona como debe.

Por otro lado, se mostraba la cara real de las autoridades, tanto gubernamentales como las mal llamadasindependientes que, supuestamente de forma imparcial, regulan las actividades financieras justamente para que nosucedan actos que lleven a las grandes crisis. Estos organismos no tomaron ninguna medida precautoria previa a lacrisis, no investigaron a fondo casos semejantes a los de Madoff, y no han tomado ninguna medida importante para

Figura 4. Pirámide del Sol, en Teotihuacan, Estado de México.

Mefisto

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En la practica, tanto los esquemas piramidales como los Ponzi, rara vez se presentan en un estado puro comoen los ejemplos que hemos presentado en las secciones anteriores. Terminemos esta seccion con un ejemplo clasicomixto.

Las bolitas de yogurt

Entre los anos 1993 y 1995, en la Ciudad de Mexico abrio sus puertas una supuesta empresa europea decosmeticos, anunciando que necesitaba para su produccion algunos derivados lacteos que consideraba eran masfaciles de producir por la gente comun que en un laboratorio, por lo cual invitaba a los habitantes del D.F. aasociarse con ellos. Cada interesado invertirıa dinero en la empresa recibiendo una cantidad de lacteos para produciren su casa, que periodicamente entregarıa a cambio de sus ganancias. Se trataba de ganancias enormes, y sobradecir que en su mayorıa eran reinvertidas. Bajo una pantalla de un trabajo muy bien remunerado, se habıa montadoun tıpico esquema Ponzi. Ademas, cada asociado que convenciera a otros de ingresar al negocio, mejorarıa su rangode ganancias, y ası simultaneamente se completaba con un esquema piramidal. Como siempre, un dıa los duenosdesaparecieron con todo el dinero, dejando enormes filas de gente que venıa a entregar el jocoque arabe que habıanafanosamente fabricado en casa. Solo dejaron tras de sı a unas pobres secretarias que no sabıan nada del asunto,pero que, ante la magnitud del escandalo, fueron encarceladas. Fue un fraude de tales dimensiones que es difıcilencontrar a alguien que, siendo adulto en esa epoca, no haya sido esquilmado, o al menos invitado a participar.

3. El piso de arriba. ¿Quiere usted una tarjeta de credito?

El verdadero ladron no roba bancos, los funda.

Dicho popular

Los ejemplos presentados hasta ahora son casos simples y por ende faciles de analizar. Pero si nos restringieramosa su presentacion, darıamos la impresion de que los mecanismos mencionados solo se presentan en estafas ilegalesy de baja escala. Por lo cual, en esta ultima seccion le dedicaremos unas lıneas al llamado popularmente piso de

arriba. La crisis financiera que vivimos desde el 2005 tiene muchısimas caracterısticas de los esquema Ponzi, y sedebe en gran medida a la generacion incontrolada de ganancias virtuales. Expliquemos brevemente algunas ideasde este complejo problema, que ni los especialistas en economıa comprenden en su totalidad.

Madoff y la crisis financiera

Corrıa el ano 2005 y los medios masivos de comunicacion, junto con los gobiernos, hacıan oficial la noticia:estabamos en crisis economica a nivel mundial. Una enorme cantidad de bancos se habıan declarado en quiebra y,tanto en Espana como EE.UU. el boom de la construccion subitamente se habıa transformado en crack inmobiliario.

Tres anos depues, en 2008, se arrestaba a Bernard Madoff, acusado de haber fraguado un fraude de alrededorde 60 millones de dolares en el mundo financiero, utilizando un esquema Ponzi. Implıcitamente, se le culpaba dela crisis, convirtiendolo en un chivo expiatorio. Dos caracterısticas convertıan este hecho en insolito: por un ladose daba el arresto de un ladron de cuello blanco y su condena perpetua; y por el otro, se encontraba que entre losprincipales defraudados se hallaban presentes gran cantidad de bancos y sociedades de inversion. El lobo mayor sehabıa comido a sus hermanos mas pequenos, mordiendo con los mismos dientes.

El caso Madoff rompıa gran cantidad de mitos sobre los banqueros y los obligaba momentaneamente a ensenarel cobre.

Aunque con un chivo expiatorio se nos informaba, como en las series de television, que el mal habıa sidoerradicado, se derrumbaba el mito de que el mundo formal y legal garantiza seriedad y seguridad en los ahorros.Teoricamente, los bancos y las sociedades de inversion “seguras”deberıan invertir el dinero de sus inversores enactividades productivas, pero la mayorıa de ellos, si no es que todos, simplemente especula, y muy a menudo loinvierte en otras sociedades de inversion disenadas para capitales mas grandes, como las empresas de Madoff.

Para los habitantes del tercer mundo, que habıamos vivido casos locales como el fraude de la Bolsa Mexicana deValores (1987), fraguado entre otros por Eduardo Legorreta, o el corralito en Argentina; tambien se desmoronabael mito de que estas cosas solo nos suceden a nosotros y no en el primer mundo, donde todo funciona como debe.

Por otro lado, se mostraba la cara real de las autoridades, tanto gubernamentales como las mal llamadasindependientes que, supuestamente de forma imparcial, regulan las actividades financieras justamente para que nosucedan actos que lleven a las grandes crisis. Estos organismos no tomaron ninguna medida precautoria previa a lacrisis, no investigaron a fondo casos semejantes a los de Madoff, y no han tomado ninguna medida importante para

Figura 5. El Castillo, en Chichén Itzá, Yucatán. Figura 6. El Castillo, en Tulum, Quintana Roo.

Mefisto

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6

evitar que vuelva a suceder otra catastrofe financiera. Peor aun, en la version oficial, la banca paso de victimariaa vıctima, y los gobiernos de diversos paıses inyectaron dinero a los bancos, sacrificando partidas destinadas albienestar social, con la honrosa excepcion del gobierno de Islandia.

El caso Madoff esta lejos de ser un caso aislado o excepcional: la aplicacion de cierto nivel de esquema Ponzies inherente a la propia banca. El ofrecimiento de intereses irreales sobre los pequenos y grandes ahorros y lageneracion de ganancias virtuales superiores a las reales es indisoluble de los procesos de competencia entre losdiferentes actores del capital financiero. Para un banco, no generarlos es sinonimo de rezago con respecto a losdemas.

Las ganancias virtuales para los inversores no son el unico mecanismo que genera dinero ficticio por parte de labanca. No podemos terminar este artıculo sin mencionar el crecimiento de las deudas.

En la ecuacion (3) vimos que el interes compuesto crece exponencialmente, y en consecuencia tambien lo hacenlas deudas contraıdas con la banca, que muchas veces se convierten en impagables; no importa si se trata de lastarjetas de credito y deudas hipotecarias de los ciudadanos comunes, o las grandes deudas de los empresarios y delos estados. Sin embargo, los bancos informan de ellas como si fueran dinero real, generando nuevamente dinero yganancias virtuales que crecen exponencialmente.

El efecto creado asemeja al del exceso de circulante cuando los gobiernos de los paıses generan mayor cantidadde moneda no respaldada, que ya se sabe que a mediano y largo plazo provocan finales desastrosos.

En resumen, una parte fundamental de la crisis financiera radica en generar, por diferentes caminos, gananciasvirtuales muy por encima de las reales, provenientes del mundo productivo. Por supuesto, dado el poder del capitalfinanciero, estas practicas fraudulentas no se atacan por los gobiernos, ni por las organizaciones financieras que sesupone que las regulan, ni siquiera se califican como fraudes o estafas a nivel de los medios masivos de comunicacion.Peor aun, hemos visto como se penaliza de la crisis al ciudadano comun y como, bajo el pretexto de atacarla, losgobiernos llevan a cabo medidas como rescates, devaluaciones o corralitos, que no solo no atacan al gran capitalfinanciero, sino que lo fortalecen.

Finalicemos este artıculo parafraseando a Monsieur Verdoux:Estafar a una persona hace de uno un canalla; estafar a millones, un heroe. Las cantidades santifican.

Referencias

[Perelman] Y. Perelman ,Matematicas recreativas, disponible en http://biblio3.url.edu.gt/Libros/2011/mat recre.pdf

Figura 7. Templo de Tlahuizcalpantecuhtli, en Tula, Hidalgo.

Mefisto

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3

x

¿

68 9

z

5

0

Acertijos

1 Margarita hizo un pastel que dividió en cuatro porciones: dos de un cuarto, una de un tercio y una de un sexto. Ella comió una de las porciones y le dio las otras tres a su hermano Juan, quien a su vez comió una porción y sus dos hijos (Margarita y Pedro) comieron las restantes. El gemelo del que comió la mayor porción y quien comió la menor, son de sexo opuesto. Quien comió más y quien comió menos tienen la misma edad. ¿Qué parte del pastel comió cada uno?

2 Se coloca un número entero en cada una de las casillas de la cuadrícula de 3 x 3. Si cada número de la tercera columna es la suma de los dos números a su izquierda, mientras que cada número del tercer renglón es el producto de los dos números arriba de él, llenar la cuadrícula especificada.

3 Dos descuentos sucesivos de 10% y 20% son equivalentes a un descuento único de, ¿qué por-centaje?

4 El promedio de un conjunto de diez números es 46. Si dos de los números, el 52 y el 72, se eliminan, ¿cuál será el promedio del conjunto de números restante?

Mefisto

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AcertijosSolución a los anteriores

?

4

y

x2

y2

z21

7

2

1 Sean x el número de ovejas del primer pastor, y y el número de ovejas del segundo pastor. De lo que dice el primer pastor se tiene la ecuación:

x + 1 = y - 1.

De lo que contesta el segundo pastor se obtiene

2(x - 1) = y + 1.

Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene que x = 5 y y = 7.

2 El primer jugador puede elegir cualquiera de las 5 playeras, el segundo va a elegir entre las 4 restan-tes, el tercero entre las 3 restantes, el cuarto entre las 2 restantes, y el último se queda con la última playera. Entonces hay 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 formas diferentes.

3 Como Alfonso y Rodolfo fueron a ver el cantante, ninguno de ellos es el cantante. Como el escritor y Carlos encargaron retratos al pintor, Carlos no es el escritor ni el pintor. Como el escritor va a escri-bir de Wenceslao y Alfonso, ellos no son escritores, por lo que sólo queda Rodolfo para ser el escri-tor. Como Alfonso nunca ha oído hablar de Ro-dolfo, no es el pintor, por lo que sólo le queda ser el bailarín. Como Carlos no es el pintor, sólo le queda ser el cantante, y entonces Wenceslao es el pintor.

Mefisto

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Sudoku

Fácil

Difícil

Solución al anterior

Solución al anterior

1

1

1

1

11

1

1

1

2

2

2

22

2

2

22

3

33

33

33

3

344

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44

4

4

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5

55

5

55

6

6

6

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6

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6

7

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7

7

7

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8

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8

8

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9

9

9

9

9

9

99

1

11

1

1

1

11

1

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2

2

22

2

2

2

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3

33

3

33

3

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4

4

4

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5

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5

5

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6

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6

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7

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8

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92

3

3

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9

1

2

7

6

6

4

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5

5

1

1

1

23

3

3

9

9

9

6

87

2

2

2

22

6

6 3 9