Mefisto

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MefistoNmero 11 Julio de 2014

En este nmero:

Presentacin 3Octavio Campuzano Cardona

El comps del joven Gauss 4Carlos Infante Vargas

Construcciones con regla y comps 5Carlos Infante Vargas

Construccin del polgono de 17 lados 9Daniel Maisner Bush

El cielo de invierno 12

Acertijos 22

Sudoku 24

El buen cristiano debe estar precavido frente a los matemticos y todos aquellos que hacen profecas vacas. Existe el peligro de que los matemticos hayan hecho un pacto con el diablo para ofrecer el espritu y confinar al hombre en el infierno.

San Agustn, De genesi ad Litteram, II, xviii, 37.

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MefistoEditor

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Universidad Autnoma de la Ciudad de Mxico

Nada humano me es ajeno

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Fausto Cervantes Ortiz

Comit Editorial

Ana Beatriz Alonso Osorio

Octavio Campuzano Cardona

Fausto Cervantes Ortiz

Daniel Maisner Bush

Vernica Puente Vera

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PresentacinOctavio Campuzano Cardona

Academia de Cultura Cientfico-HumansticaPlantel San Lorenzo Tezonco

El sorprendente poder de las matemticas para re-solver problemas de toda ndole, junto a su apar-ente universalidad y coherencia interna, impiden ver que los principios y procedimientos que la in-tegran en la actualidad han surgido y se han de-sarrollado a partir del inters de las personas por resolver asuntos particulares en contextos bien determinados. En consecuencia, la matemtica no ha sido la misma a lo largo del tiempo, tiene una historia forjada por hombres y mujeres de mayor o menor talento. Karl Friedrich Gauss es, sin duda uno de los personajes ms destacados en la historia de la matemtica, no slo por sus grandes aporta-ciones a la teora de nmeros, el anlisis matemti-co, el lgebra, la estadstica y la geometra diferen-cial, y en campos fuera de la matemtica como la astronoma y la geodsica, sino tambin por haber llevado una vida de gran inters.

En este nmero de Mefisto se muestra el lado humano de Gauss por medio de un breve relato, en el cual se recrean las sensaciones del joven Karl despus de haber resuelto uno de los prob-lemas ms relevantes de la teora de nmeros de su poca: la construccin del polgono de diecisiete lados, usando regla y comps. La solucin de ese problema fue determinante para que el joven Karl decidiera encaminarse hacia las matemticas y la ciencia y dejara a un lado la filologa. Respecto a su aportacin a la matemtica cabra preguntarse cul fue el problema resuelto por Gauss? cmo se usan la regla y el comps para construir el polgo-no de diecisiete lados? En un par de artculos se da respuesta a estas preguntas, y de paso se ilus-tra ese camino de ida y vuelta entre el hacer y la abstraccin, necesario para hacer matemticas de alto nivel.

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El comps del joven GaussCarlos Infante Vargas

Profesor de Instituto en Barcelona, Catalua

Hoy es un da especial. Hoy, la maana del 30 de marzo de 1796 (a un mes de su dcimo noveno aniversario), l sabe que ser matemtico. S, la Filologa y los estudios clsicos pueden esperar, ya no tiene duda alguna: ser matemtico. Pero, qu lo ha hecho decidirse tan rpido? la construc-cin del heptadecgono --el polgono regular de 17 lados-- utilizando nicamente regla y comps. Hoy, despus de esforzadas y profundas reflexio-nes sobre la ecuacin ciclotmica x17-1=0, sobre las extensiones de los racionales correspondientes al aadir estos puntos, sobre el nmero e de Euler y los primos de Fermat, su gran genio ha logrado desentraar el problema. Ha encontrado el crite-rio necesario para deducir tal hecho, aquello que los matemticos no han podido encontrar desde tiempos de los gemetras griegos. S, hoy es un da especial y, como tal, lo anota en su diario; en ese pequeo cuaderno del que slo utilizar 19 pgi-nas y que lo acompaar durante los prximos 18 aos de su vida:

Principia quibus innititur sectio circuli, ac divisi-bilitas eiusdem geomtrica in septemdecim partes, etc. Mart 30 Brunsv. Ahora, relajado, piensa tranquilamente en su madre, quien estar orgullosa de su maravilloso Karl; en el Duque Guillermo de Brunswick, que lo ha enviado a estudiar a Gotinga bajo su gen-eroso patrocinio; y en su amigo Wolfgang Bolyai, con quien comparte largos paseos en silencio, cada uno inmerso en sus propios pensamientos. S, po-dra haberse dedicado a la Filologa y al estudio de las Lenguas Clsicas; pero no, las Matemticas han ganado y entre ellas su princesa, la Teora de los Nmeros, que le ha arrebatado la cabeza --y el corazn-- para siempre. S, hoy todo vuelve a es-tar en calma, esos meses de tremendo esfuerzo in-telectual --esas noches sin dormir-- han termina-do. Al menos por el momento. Y ello es as, porque si no, sera cualquier otra persona --cualquier otro ser humano-- pero no l: Karl, Karl Friedrich; Karl Friedrich Gauss.

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Construcciones con regla y compsCarlos Infante Vargas

Profesor de Instituto en Barcelona, CataluaConstrucciones con regla y compas

Carlos Infante Vargas

Introduccion

Disponer de solo una regla no graduada y un compas,es decir, usar solo rectas, circunferencias y sus inter-secciones para hacer construcciones geometricas, era unclasico entre los griegos. Se dice que esta restriccion quees una pura convencion se debe a Platon (al menos, elfue quien la difundio y la transformo en una regla inape-lable). Entre estas construcciones esta la del polgono re-gular: se puede construir, utilizando solo regla y compas,cualquier polgono regular? La respuesta es no. Ya desdetiempos de Euclides era conocido que se podan construirde esta manera todos los polgonos regulares de n lados,siendo n una potencia de dos multiplicada por el 3, 5o 15 y, durante dos mil anos, se penso que estos eran losunicos polgonos regulares construibles.

Figura 1: Construccion del pentagono usando regla ycompas.

Sin embargo, hacia el ano 1796 K.F. Gauss realizo elprimer gran avance al comprender lo que quiere decirconstruir con regla y compas desde el punto de vista al-gebraico. Esta es una estrategia comun en las Matemati-cas, un problema que inicialmente parece de naturalezavisual o geometrica, se transforma o se replantea pa-ra su comprension y solucion en un lenguaje algebraicopuramente operacional. Recprocamente, en otros proble-mas es muy importante pasar de un problema algebraicoa uno geometrico, pero de eso nos ocuparemos posterior-mente.

En nuestro caso particular, partimos de un proble-ma geometrico; as que como traducirlo al mundo delAlgebra? Para ello y para dar una respuesta completaa nuestro problema, dividiremos nuestra exposicion entres secciones. Primero hablaremos de la geometra eu-clidiana, despues su traduccion a geometra analtica yfinalmente hablaremos del uso de la aritmetica para suataque.

Un poco de Geometra griega

Construir un numero con regla y compas significa tra-zar con estos instrumentos un segmento de recta quetenga por longitud el valor absoluto de dicho numero.Los antiguos griegos ya eran capaces de construir todoslos numeros racionales positivos y, curiosamente, tam-bien sus races cuadradas basandose en el teorema deTales ,en el teorema de Pitagoras y en propiedades delas circunferencias.

Para construir las races cuadradas de un numero cons-truible hacan lo siguiente: Sea x un numero construible,construyase un segmento de longitud 1+x y, a partir delpunto medio de este segmento, tracese una circunferenciacon diametro en los extremos. Aplquese el teorema dePitagoras al segmento perpendicular desde el punto quedivide al segmento en partes 1 y x, tomando en cuentalos tres triangulos rectangulos, de donde se deduce quemide

x, como se muestra en la figura:

Figura 2: Construccion de las races de los construibles.

Un poco de Geometra Analtica

Recordemos que siempre podemos pensar que una fi-gura dada esta formada por puntos del plano cartesianoy que las coordenadas de sus puntos, por el hecho de

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pertenecer a esa figura concreta y no a otra, deben satis-facer ciertas relaciones numericas especficas. Se llamancurvas algebraicas aquellas que se pueden obtener comografica de puntos que satisfacen relaciones polinomiales.Particularmente en los cursos de geometra analtica seestudian las rectas y las conicas como soluciones de ecua-ciones de primer y segundo grado en dos variables. As,por ejemplo, los puntos P (x, y) que forman una recta da-da de pendiente b

a, deben satisfacer una ecuacion lineal

de la forma ax+by+c = 0, para ciertos valores numericosde a, b y c.

De tal manera que si un punto Q(u0, v0) del planono pertenece a esta recta, entonces no se cumple estarelacion, es decir, au0 + bv0 + c, !nunca vale cero!

En resumen, podemos pensar en estas formulas comouna clave de seguridad que nos dice si un punto cualquie-ra del plano pertenece o no a una curva dada.

Similarmente, una circunferencia centrada en el puntoP (d, e) y radio r > 0, viene descrita por una ecuacion desegundo grado del tipo:

(x d)2 + (y e)2 = r2

, como se puede deducir facilmente de la formula de ladistancia entre dos puntos, que es una consecuencia di-recta del teorema de Pitagoras.

Ahora, que pasa entonces,con los puntos del planocartesiano que son la interseccion entre rectas y crcu-los? Desde el punto de vista algebraico, se correspondena las soluciones simultaneas de las dos ecuaciones. Al re-solverlas, observamos que las coordenadas x y y de lospuntos de interseccion de estas figuras deben satisfaceruna nueva ecuacion que tambien es de segundo grado.Por ejemplo, si despejamos y en la segunda ecuacion ysustituimos en la primera, se tiene la ecuacion:

Ax2 +Bx+ C = 0 (1)

donde las letras mayusculas (llamados coeficientes) A,B y C son expresiones en las que solo aparecen sumas,restas, multiplicaciones y divisiones de los numeros a , b,c, d, e y r. As, las coordenadas de los puntos de cortede estas dos figuras, tambien deben cumplir ecuacionesde grado 2 y, por lo tanto, resolviendo (1) el valor de lacoordenada x (y de manera similar la y) esta dado porla formula de todos conocida:

x =B

B

2 4AC

2A

As, si los numeros a, b, c, d, e y r son construibles,tambien lo sera x (y similarmente y).

Ejemplo 1

Supongamos que queremos encontrar la interseccion dela recta

x 2y + 1 = 0con la circunferencia

x2 +

(y

1

2

)2

=1

4

Primero observemos que, multiplicando por 4 ambosmiembros de la igualdad, esta ecuacion es equivalentea:

4x2 + (2y 1)2 = 1.

Si substituimos en esta ultima la expresion que obtene-mos para x de la ecuacion de la recta, a saber

x = 2y 1,

se tiene:

5(2y 1)2 = 1,

a partir de la cual obtenemos el valor de y:

y =1 +

5

25

,1 +

5

25

,

y por tanto, tambien el de x:

x =15,15.

Finalmente, concluimos que los puntos interseccion son:

P1 =

(15,1 +

5

25

), y P2 =

(15,1 +

5

25

).

Ahora, si repetimos este proceso varias veces mas uti-lizando cada vez como coeficientes de nuestras rectas ycircunferencias valores que son races de races cuadradasde numeros obtenidos de esta manera, entonces las coor-denadas de los ultimos puntos de interseccion despuesde eliminar todas las races de races cuadradas de loscoeficientes necesariamente han de satisfacer ecuacio-nes de grado una potencia de 2 donde los coeficientesson los numeros de las primeras rectas y circunferenciascon los cuales empezamos el proceso.

Ejemplo 2

Supongamos que tenemos la expresion:

x =

2 +

3 +

5

Cual es la ecuacion que satisface? Para responder estapregunta, tenemos que eliminar todas las races cuadra-das que aparecen elevando repetidamente al cuadrado:

x2 =

2 +

3 +

5

(x2 5)2 = 2 +

3

(x4 + 3)2 = (25x2 +

3)2

x8 14x4 + 6 = 415x4

(x8 14x4 + 6)2 = 250x4

x16 24x12 + 208x8 414x4 + 36 = 0

Hemos visto entonces que los numeros construibles deesta manera deben satisfacer ecuaciones de grado una

potencia de 2 con coeficientes enteros.

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Un poco de Aritmetica

Podemos pensar que nuestro problema de inscribir unpolgono regular de n lados consiste en dividir un circulo,que podemos considerar (sin perdida de generalidad) deradio 1, en n partes iguale. Luego, si toda la circunferen-cia hace 2pi radianes (es decir, 360o ), entonces necesita-mos construir con nuestros instrumentos permitidos (re-cordar que no disponemos de un transportador) n puntossobre ella que disten entre si exactamente angulos de 2pi

n

radianes (es decir, 360o

n). Si el primer vertice lo colocamos

en el punto P0(1, 0), entonces, usando trigonometra ele-mental, el siguiente vertice tendra que estar en el puntoP1 =

(cos 2pi

n, sen 2pi

n

). Es evidente que este punto P1 es

construible con regla y compas, si y solo si, el numero

cos 2pin

lo es (Recordemos que sen 2pin

=1 cos 2pi

n).

Figura 3: Division de una circunferencia en n partes y suinterpretacion como numeros complejos.

Gauss interpreto los puntos P (x, y) del plano carte-siano como numeros complejos del tipo z = x + iy, loscuales manejaba sin ningun tipo de problema matemati-co o etico a pesar de que en su tiempo aun no eran deltodo entendidos, ni mucho menos aceptados.

Figura 4: El conjugado de un numero complejo.

La ventaja de pensar en los puntos del plano co-

mo numeros complejos esta en que estos ultimos tie-nen una estructura algebraica nueva. Es decir, pode-mos sumarlos, restarlos, multiplicarlos y dividirlos, mien-tras que los vectores asociados a los puntos solo se pue-den sumar y restar. Desde este punto de vista, el puntoP1 =

(cos 2pi

n, sen 2pi

n

)se corresponde con el numero com-

plejo

= cos

(2pi

n

)+ i sen

(2pi

n

).

La gracia esta en que este numero complejo satisface laecuacion ciclotomica (o circular) siguiente:

zn 1

z 1= 1 + z + z2 + + zn1 = 0,

y en que todas las soluciones (o races) de esta ecuaciongracias a la formula de De Moivre estan dadas por laspotencias de , a saber: {, 2, 3, , n1}. Mas extra-ordinario aun, !estos numeros complejos se correspondenexactamente con los vertices faltantes de nuestro n-agonoregular!Gauss tambien saba que si j es un numero primo re-

lativo con n, entonces todas las potencias del numerocomplejo j nos vuelven a dar los n vertices del polgonoregular:

{j , (j)2, (j)3, , (j)n1} = {, 2, 3, , n1}(2)

Y cuantos de estos numeros j hay? Pues la respuesta lahaba dado otro portento matematico llamado LeonhardEuler, quien haba calculado este numero a traves de lafuncion (n) , que cuenta la cantidad de numeros entre1 y n que son primos relativos con n. Euler saba que sin tiene una descomposicion como producto de potenciasde numeros primos de la siguiente forma:

n = 2ms

i=1

pi

i, pi primo impar,

entonces

(n) = 2m1s

i=1

pbi1

i(pi 1).

Ejemplo 3

Calculemos (10).

Observemos que 10 = 2 5, por lo que se tiene:

(10) = 211 511 (5 1) = 4.

As, solo hay cuatro numeros entre 1 y 10 que son primosrelativos con 10, los cuales pudimos haber encontrado deforma directa, a saber: {1,3,7,9}.

Solucion al problema

Y esto que tiene que ver con nuestro n-agono regular?Pues todo parte del hecho crucial de que

+ 1 = 2 cos

(2pi

n

),

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y por lo tanto, el polgono regular de n lados es construi-ble con regla y compas, si y solo si,

+ 1

tambien lo es. As las cosas, nuestro problema se reducea saber que ecuacion o formula satisface este numero.Y sobre todo saber el grado de esta ecuacion. Pero, endonde podemos buscar tal ecuacion?La expresion + 1 = 2 cos

(2pi

n

)le sugirio a Gauss la

idea de asociar las parejas j n j para cada nume-ro j primo relativo con n (lo cual equivale a emparejarj con su inverso multiplicativo y conjugado complejo

nj = j). De esta manera obtenemos exactamente(n)

2parejas (lo cual es posible pues (n) siempre es par

cuando n = 2) y si sumamos los numeros de cada pareja

se obtienen (n)2

numeros del tipo + 1 = 2 cos(2pi

n

).

Finalmente, usando las propiedades antes vistas, pode-mos construir el siguiente polinomio:

(n)2

i=1

[x

(k nk

)]=

(n)2

i=1

[x

(k k

)].

Gauss observo que este polinomio permanece inalterablesi intercambiamos por cualquiera de las potencias j

con j primo por n, ya que (como vimos en la ecuacion 2)el conjunto de races no se altera y lo unico que estamoshaciendo es un cambio de orden de los factores. factores.Ademas, a partir de la relacion ciclotomica:

1 + + 2 + + n1 = 0,

Gauss dedujo que este polinomio tiene coeficientes ente-ros y que es el polinomio de menor grado que puede tenera los numeros complejos (de hecho reales) j + j comoraces. As, !este es el polinomio que buscamos!

Ejemplo 4

Calculemos este polinomio para n = 11. Observemosque en este caso:

= cos

(2pi

11

)+ i sen

(2pi

11

),

y que se tiene la relacion

1 + + 2 + + 10 = 0,

las 5 =(11)

2parejas que se forman en este caso corres-

ponden a los emparejamientos:

1 10 4 7

2 9 5 63 8

que nos dan los numeros complejos siguientes:

1 + 10, 4 + 7

2 + 9, 5 + 6

3 + 8.

Finalmente, formamos el polinomio correspondiente:

5k=1

[x

(k + k

)]= x5 + x4 4x3 3x2 + 3x+ 1

Con toda esta valiosa informacion podemos deducirque si el numero + 1 es construible con regla ycompas, entonces este polinomio tiene que tener por gra-do una potencia de 2, digamos 2m. Luego, dado que este

grado es igual a (n)2

, se debe tener la igualdad:

2m =(n)

2= 2m2

si=1

pi1

i(pi 1).

La unica posibilidad para que esto se cumpla es que lasis sean todas iguales a 1 y que los factores pi 1 cum-plan pi1 = 2

rj . Pero como los pis son numeros primos,se debe tener a su vez que las ris son potencias de 2 lacual cosa era tambien conocida por Euler, es decir, quedeben ser primos de Fermat de la forma pi = 2

2tj

+ 1.As, podemos concluir finalmente que si el polgono

regular de n lados es construible con regla y compas,entonces n tiene que ser de la forma

2ms

i=1

pi, con pi primo impar de Fermat.

Como nota final se tiene que, despues del 5, el siguien-te primo de Fermat es el 17. As, y desde entonces, elheptadecagono permanece inscrito eternamente en lalapida de K. F. Gauss.

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Construccin del polgono de 17 ladosDaniel Maisner Bush

Academia de Matemticas, SLTContruccion del polgono de 17 lados

Daniel Maisner Bush

6 de agosto de 2014

1. Contrucciones con regla y compas

Los griegos desarrollaron de forma prodigiosa la geometra, o mas precisamente lo que hoy conocemos bajo elnombre de geometra euclidiana. Su legado es uno de los pilares de la matematica moderna, no solo por la ampliagama de resultados obtenidos en matematicas, fsica y otras areas, sino tambien por su claridad y rigor en laexposicion de los mismos.

Una parte muy importante de esta herencia, es una magnifica recopilacion de una gran parte de los resultadosen el area de muchos de los pueblos de la antiguedad occidental tanto anteriores como contemporaneos a ellos, juntocon una enorme contribucion propia. Destacan, por su gran legado a la ciencia, la obra de Arqumedes, considerado,junto a Gauss y Newton, los matematicos mas grandes de todos los tiempos y la monumental obra de Euclides: LosElementos, que representa el primer tratado de de geometra con un concepto de rigor matematico muy cercano alconcepto de rigor moderno, y que ha trascendido como ejemplo de exposicion en muchas areas del conocimiento,mas alla de la geometra y de la matematica.

En gran parte del estudio de la geometra por los griegos se impuso la restriccion, de que todos los trazos, apartir de los cuales se construye el conocimiento, deberan realizarse, usando, unicamente, regla (no graduada) ycompas. Es decir, todas las figuras geometricas y resultados que se obtengan a partir de ellas, deben obtenerse,trazando rectas, crculos y sus intersecciones.

A pesar de haber construido un edificio muy solido, hubo una serie de problemas que permanecieron sin so-lucion (o en jerga matematica abiertos) hasta el siglo XIX. Mencionemos los cuatro problemas mas famosos deconstrucciones con regla y compas que no pudieron ser resuletos por los griegos:

1. Cuadratura del crculo: Sin lugar a dudas se trata del problema mas famoso de todos, al grado de que,la expresion quiere encontrar la cuadratura al crculo, esta totalmente incorporada al lenguaje cotidiano parasignificar que alguien intenta realizar algo imposible. El enunciado del problema es el siguiente: dado un crculoconstruir, con regla y compas, un cuadrado cuya area sea igual a la del crculo.

2. Duplicacion del cubo: Dado un cubo, construir con regla y compas un cubo con volumen igual al doble deloriginal.

3. Triseccion del angulo: Utilizando regla y compas dividir un angulo en tres partes iguales.

4. Inscribir un n-agono en una circunferencia: Este es el problema principal del presente artculo, porlo cual lo incluimos en la lista, a pesar de no ser tan famoso. El problema es determinar cuales polgonosregulares pueden inscribirse en una circunferencia. En cierto sentido este problema representa un complementoal problema anterior, ahora tenemos un angulo fijo de 2pi radianes (360) y nos preguntamos para que valoresde n lo podemos dividir en n partes iguales.

Quizas en sus orgenes la restriccion de solo utilizar regla y compas haya tenido un caracter practico, pero conel tiempo se volvio una hipotesis puramente teorica, incluso con tintes de tipo religioso; y en cierto sentido, unbloqueo para la solucion de los problemas antes mencionados. Para Platon por ejemplo, la recta y el crculo eranlas curvas ideales, y por eso la geometra debera restringir su uso al trazo de estas curvas.

Es sabido que Arqumedes resolvio el problema de la triseccion del angulo utilizando otro tipo de trazos y engeneral, desde la antiguedad, existen soluciones a muchos de los problemas irresolubles de regla y compas, eliminandoesta restriccion. Pero no hay mal que por bien no venga, el reto teorico fue fuente de trabajo e inspiracion demuchos matematicos, gracias a cuyos esfuerzos por solucionarlos se obtuvo un desarrollo enorme del conocimientomatematico.

En general todos los grandes problemas matematicos que han permanececido abiertos durante largos periodosde tiempo y han entusiasmado a grandes y pequenos pensadores, tienen las siguientes caractersticas en comun:

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Figura 1: Triseccion del angulo.

Enunciado sencillo: su enunciado, es sencillo de entender para todo el mundo, incluso para los no especia-listas, lo cual lleva al error psicologico de creer que la solucion debe ser igualmente sencilla; y se convierte enun reto natural para cualquier estudioso del area.

Enunciados similares de facil solucion: existen problemas con un enunciado semejante, o casos particula-res de los problemas estudiados, de fasil solucion, lo cual aumenta el nivel del reto. Por ejemplo, en nuestro casopor que dividir un angulo en dos partes iguales es elemental y dividirlo en tres imposible? Que diferenciaexiste entre un pentagono y un eptagono para que uno sea construible y el otro no?

Imposibilidad de solucion en general: muchos de los problemas que han permanecido abiertos por largosperiodos de tiempo tienen en comun que son imposibles de solucionar, por lo menos lo son con las tecnicasque se han desarrollado en su epoca. Aunque, existen ejemplos de facil solucion en casos concretos, la soluciongeneral es imposible.

Necesidad de un cambio de Lenguaje: la comprension profunda de los problemas planteados requierede un cambio tanto de lenguaje como de las tecnicas matematicas utilizadas para afrontarlos. En nuestrocaso la comprension profunda de cuales figuras son construibles con regla y compas solo fue posible gracias aldesarrollo del analisis y el algebra modernos (desarrollados hasta avanzado el siglo XIX y formalizados hastaprincipios del XX).

El algebra moderna permite contestar de manera completa a la pregunta esencial, que esta en el fondo detodos estos problemas cuales son todos los numeros reales construibles?, es decir cuales numeros reales cumplen que puede trazarse, con regla y compas, un segmento de longitud ||?

Por otro lado, el desarrollo del analisis matematico permitio una comprension profunda del concepto denumero real, sin la cual, tampoco puede explicarse que numeros reales son construibles, mas concretamente,la comprension de que numeros son construibles va de la mano con entender la diferencia entre numerosalgebraicos y trascendentes.

2. Numeros construibles

Cuentan que en una ocasion un estudiante de la Facultad de Ciencias afirmo en clase del Dr. Alberto Barajasque no se poda abrir un compas con apertura igual a pi, ante lo cual, de forma pcara don Alberto, lo hizo pasar alpizarron y le pidio que pintara la recta numerica. Posteriormente, solicito al desconcertado estudiante que apoyaraun lado del compas en el origen y desplazara el otro del tres al cuatro sin despegar el compas del pizarron, y mientrasel alumno realizaba esta actividad afirmaba imposible que en este proceso usted no haya abierto el compas unalongitud igual a pi

Independientemente de la autenticidad de la anecdota anterior, es un buen recordatorio de que al hablar denumeros construibles estamos pensando en trazos que se puedan realizar con regla, no graduada y compas. Es

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11(contina en la pgina 14)

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decir, trazando rectas y circunferencias; y como mencionamos en la seccion anterior, debilitar estas restriccionespermite una solucion de los problemas enunciados.

Diremos que un numero es construible si puede construirse un segmento de longitud ||. El trazo de unsegmento de longitud negativa, digamos puede interpretarse como un segmento de longitud || trazado ensentido contrario al segmento de longitud . Con esto se garantiza geometricamente que se cumple la igualdad

+ () = 0

y a partir de aqu puede definirse la diferencia entre dos numeros construibles. Los griegos no desarrollaron losnumeros negativos, pero para la interpretacion algebraica de los construibles es importante, porque permite darlesuna estructura de campo.1

En geometra elemental existen pruebas de los siguientes hechos:

1. Todos los numeros racionales son construibles,

2. La suma, producto y races cuadradas de construibles son construibles.

Ambos resultados eran implcitamente conocidos por los griegos aunque expresados en otro lenguaje. Sin ellos,no se hubiera podido realizar la teora de proporciones o la prueba de que

2 es un numero irracional. Lo que ya

no es evidente y requiere del lenguaje moderno es que estos dos enunciados caracterizan a los numeros construibles,ademas, de aqu se desprende que forman un subconjunto pequeno de los numeros reales.

La idea es relativamente simple en terminos de geometra analtica: cualquier punto construible se puede obtenercomo la interseccion de rectas o circunferencias cuyas ecuaciones tienen coeficientes construibles. Un calculo directomuestra que las coordenadas as obtenidas cumplen las condiciones arriba mencionadas ( vease el artculo de Infanteen este mismo numero o [Fra], pagina 362).

Ejemplo 1. Son construibles los siguientes numeros:

1 +17

2,

1 +

1

2

15, y

1+

5

2+

(1+

5

2)2 4

2

A partir de la caracterizacion antes descrita, se puede probar que existen una infinidad (no numerable) denumeros no construibles y, cualquier construccion, que de alguna forma utilice el trazo de longitud uno de ellos,sera imposible de realizarse. Ademas, de la caracterizacion anterior se puede obtener:

Teorema 2.1. Los numeros construibles satisfacen un polinomio monico, irreducible, con coeficientes racionales,

de grado mnimo igual a una potencia de 2

Nota: Intuitivamente, elevando al cuadrado tantas veces como races cuadradas tengamos y aplicando opera-ciones de numeros de suma y producto podemos encontrar el polinomio mnimo irreducible que las tiene por races.Por el tipo de operaciones realizadas el polinomio obtenido tiene coeficientes racionales y grado una potencia de 2.Una prueba rigurosa, requiere de bastante trabajo en polinomios.

Ejemplo 2. Consideremos el siguiente numero construible

x =

1+

5

2+

(1+

5

2)2 4

2.

y veamos que satisface un polinomio monico de grado una potencia de 2. Tenemos las siguientes igualdades equiva-

lentes:

(2x 1+

5

2

)2= (1+

5

2)2 4 = 12

5+516

4

4x2 + 2x 2x5 + 62

5

4= 5

2

5

2

(4x2 + 2x+ 4

)2= (2x

5)2 = 20x2

16x4 + 16x3 + 16x2 + 16x+ 16 = 0 x4 + x3 + x2 + x+ 1 = 0.

1De manera informal digamos que un campo es un conjunto con operaciones de suma y producto donde se pueden sumar, restar,multiplicar y dividir entre elementos diferentes de cero.

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El cielo de verano

Fases de la Luna

Luna nueva

26 de julio24 de agosto23 de septiembre

Cuarto creciente

4 de julio3 de agosto1 de septiembre

Luna llena

11 de julio10 de agosto8 de septiembre

Cuarto menguante

18 de julio17 de agosto15 de septiembre

Mefisto

13

Lluvias de estrellas

a Capricrnidas

29 y 30 de julio

Persidas

11 y 12 de agosto

Planetas

Mercurio en CncerVenus en CncerMarte en LibraJpiter en LeoSaturno en EscorpinUrano en AriesNeptuno en Piscis

Mefisto

14

4

El teorema 2.1 es suficiente para explicar por que los primeros tres problemas clasicos son imposibles de solu-cionar, y entender la complejidad del cuarto problema:

1. Cuadratura del crculo. Dada una circunferencia de radio 1, tiene area igual a pi. Un cuadrado de la mismaarea supondra que

pi es construible y en particular tambien lo es pi. Pero pi es un numero trascendente;

es decir, no existe un polinomio con coeficientes racionales que lo tenga por raz y por tanto no puedeser construible. Para remarcar que esta prueba requiere del uso de herramientas modernas, mencionemos,adicionalmente, que la prueba de la trascendencia de pi debida a Lindemann data de 1882. (ver [Mayer])

2. Duplicacion del cubo. Si consideramos un cubo de lado 1 entonces un cubo del doble de volumen, tienevolumen 2 y por tanto su lado es igual a 3

2. Ahora bien, el polinomio monico, mnimo e irreducible que tiene

por raz a 32 es p(x) = x3 2. Como 3 no es una potencia de 2, las races de p(x) no son construibles.

3. Triseccion del angulo. Para este caso, primero debemos comprender que quiere decir tener un anguloconstruible. Si consideramos la circunferencia de radio 1 centrada en el origen y el angulo formado por eleje X y una recta que pasa por el origen, entonces el punto P de interseccion tiene coordenadas:

(cos , sen ) = (cos ,

1 cos2 ).

Por tanto, es construible si y solo si cos lo es.

Figura 2: Angulo construible.

Ahora bien, la identidad trigonometrica:

cos 3 = 4 cos3 3 cos (1)

nos muestra que en caso de poder trisecar el angulo = 3, existe un numero construible que soluciona laecuacion trigonometrica (1).

Pero esto, en general es imposible. Por ejemplo, si = pi9= 20 entonces (1) es:

1

2= cos

pi

3= cos 3

(pi

9

)= 4 cos3

pi

9 3 cos

pi

9

y por tanto cos pi9es raz del polinomio:

4x3 3x1

2= 4

(x3

3

4x

1

8

).

Pero, al ser x3 34x 1

8un polinomio irreducible de grado 3 sus races no pueden ser numeros construibles.

Mefisto

15

5

Ejemplos de polgonos construibles y no construibles

Como vimos en la introduccion, determinar para que valores de n el polgono de n lados es construible, corres-ponde a dividir la circunferencia (el angulo de 2pi radianes) en n partes iguales. Es decir, queremos construir elangulo 2pi/n y sus multiplos enteros; equivalentemente, queremos determinar todos los puntos

(cosn, senn) (2)

construibles.La identidad de Euler

ein = cosn + i senn

muestra que cada punto de la ecuacion (2) se corresponde con una raz nesima de la unidad y por tanto el problemaanterior puede enunciarse de la siguiente manera: determinar que races n-esimas de la unidad tienen parte real eimaginaria construibles. Mas aun, como cualquier raz es una potencia de = e

2piin , basta determinar para que casos

la parte real e imaginaria de lo son.

Ejemplo 3. El poligono de 5 lados es construible.

Demostracion: Queremos ver que cualquier raz quinta de la unidad es construible. Las races quintas de launidad son las soluciones de la ecuacion x5 1 = 0 Ahora bien, podemos factorizar:

x5 1 = (x 1)(x4 + x3 + x2 + x+ 1) = (x 1)p(x)

siendo p(x) irreducible en los racionales.2

Debemos probar que las races de p(x) son construibles. Sea

= cos

2pi

5

+ i sen

2pi

5

entonces las races de p(x) son:{, 2, 3, 4} = {, 2, 2, },

donde la barra expresa el conjugado complejo. Hagamos

1 = + 4 = 2Re y 2 =

2 + 3 = 2Re 2

entonces es raz del polinomio cuadratico

x2 ( + 4)x+ 4 = x2 1x+ 1,

y por tanto es construible si y solo si 1 lo es (lo cual tambien puede deducirse de que 1 es el doble de la partereal de ). Por otro lado, como

p(x) = (x )(x 2)(x 3)(x 4)

el coeficiente de x3 es1 = ( + 2 + 3 + 4)

y de esta igualdad podemos concluir:

(1 + 2) = ( + 2 + 3 + 4) = 1,

12 = ( + 4)(2 + 3) =

= 3 + 4 + 6 + 7 = 3 + 4 + + 2 = 1.

Unificando ambas ecuaciones concluimos que i es raz del polinomio:

x2 (1 + 2)x+ 12 = x

2 + x 1

y en consecuencia construible. Mas aun, tenemos los valores especficos:

2Al ser monico con termino independiente igual a 1, las unicas races racionales posibles son 1, que claramente no lo son.

Mefisto

16

6

i =1

5

2y i =

i

2

i 4

2=

1

5

2

(1

5

2)2 4

2.

Como un corolario inmediato tenemos la igualdad:

( + 4) (2 + 3) = 1 2 =5. (3)

Ejemplo 4. El polgono de 7 lados no es construible

Demostracion: Las races septimas primitivas de la unidad son:

j =

(cos

(2pi

7

)+ i sen

(2pi

7

))j1 j 6,

y satisfacen el polinmomio irreducible

p(x) = x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x+ 1.

Como p(x) no tiene como grado una potencia de dos, sus races no son construibles. Veamos adicionalmente porque no funciona en este caso la idea desarrollada en el pentagono. Si hacemos

j = j + j = j + 7j , 1 j 3

entonces j es construible si y solo si j lo es. Ahora bien, el polinomio monico e irreducible mnimo de j es

(x 1)(x 2)(x 3)

y a diferencia del ejemplo 3, es de grado 3 y por tanto sus races no son construibles.

Mas en general, para cualquier primo non p, las races primitivas de la unidad deben ser races del polinomioirreducible:

xp1 + xp2 + + x+ 1

y por tanto p 1 debe ser una potencia de 2:

p = 2m + 1.

Puede demostrarse, que al ser p primo non, m tambien tiene que ser una potencia de 2 y por tanto p es unprimo de la forma:

p = 22k

+ 1.

A estos primos se les denomina primos de Fermat. Hemos visto que si p es un primo non entonces que esnecesario para que el pagono regular sea construible, que p sea primo de Fermat.

El polgono de 17 lados

Vimos en la seccion anterior (y en [Infante]) que para que el p-agono regular sea construible, siendo p primonon, es necesario que p sea un primo de Fermat. sera suficiente? Los primeros primos de Fermat son:

{220

+ 1, 221

+ 1, 222

+ 1} = {3, 5, 17}.

Los casos 3 y 5 son sencillos de resolver y su solucion era bien conocida por los griegos. que sucede con elpolgono de 17 lados? A los 19 anos de edad Gauss demostro que es construible lo cual fue un factor fundamentalpara dedicarse de lleno a las matematicas y ese resultado por si solo hubiera bastado para que su nombre quedarainscrito en la historia de las matematicas. Afortunadamente, Gauss nos legara mucho mas. Siguiendo sus ideasveremos una prueba en esta seccion.

Antes de explicar la construccion recordemos algunas definiciones basicas del algebra modular que nos seran deutilidad.

Mefisto

17

7

Figura 3: Heptadecagono.

Definicion 2.2. 1. Decimos que a es congruente a b modulo m:

a b (mod m)

si a y b dejan el mismo residuo al ser divididos por m,

2. a es invertible o unidad modulo m si existe c que cumpla:

ac 1 (mod m).

Equivalentemente, a es invertible si no tiene divisores en comun con m diferentes de 1. Cuando m = p, unnumero primo, entonces todos los residuos diferentes de p, {1, 2, , p 1} son inversibles.

3. El conjunto de elementos inversibles esta generado como las potencias de un elemento que se denomina raz

primitiva:

a i(mod m) 0 i (i), (i) := |{inversibles}|.

Para una descripcion mas a fondo de (n) vease [Infante].

Como en los ejemplos de la seccion anterior, debemos ver que son construibles las races del polinomio irreducible:

p(x) = x16 + x15 + x14 + + x2 + x+ 1.

Sean{, , i, , 16}

las 16 races de p(x). Bajo el producto, las races se comportan como los residuos modulo 17. En efecto, la asignacionnatural:

{races de p(x)} {enteros modulo 17}i i

respeta el producto. Dado que siij = i+j

y si i+ j = 17 + k entoncesi+j = 17k = k k i+ j (mod 17).

Para los enteros modulo 17 tenemos:

invertiblesmodulo 17 := {1, 2, 3, , 15, 16}

Mefisto

18

8

y estos numeros modulo 17 los podemos generar como potencias de 3:

{3i}171=0

= {1, 3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4, 12, 2, 6}.

Al escribir los invertibles como potencias de 3 podemos observar que las potencias pares de 3 son cuadradosmodulo 17, mientras que las nones son no cuadrados. Es decir si denotamos por C a los cuadrados y NC a los nocuadrados tenemos:

C = {1, 9, 13, 15, 16, 8, 4, 2} y NC = {3, 10, 5, 11, 14, 7, 12, 6}.

De forma similar podemos realizar particiones de los enteros modulo 17 segun el residuo modulo 4 y modulo 8del exponente de la raz primitiva 3:

Exponente conjunto Exponente conjunto2i C = {1, 9, 13, 15, 16, 8, 4, 2} 2i+ 1 NC = {3, 10, 5, 11, 14, 7, 12, 6}4i C1 = {1, 13, 16, 4} 4i+ 1 C2 = {3, 5, 14, 12}4i+ 2 C3 = {9, 15, 8, 2} 4i+ 3 C4 = {10, 11, 7, 6}8i+ k Ok = {k}

donde en el ultimo renglon estamos remarcando que

38 1 (mod 17) y por tanto 38+k 383k 3k(mod 17).

Estas particiones son la clave que encontro Gauss para resolver la ecuacion p(x) = 0, y demostrar que sus racesson numeros construibles.

En el ejemplo del pentagono, la igualdad = +

permitio reducir el calculo de races cuartas a uno de races cuadradas. Claramente una aplicacion directa de estetruco solo permite reducir el calculo de las races de p(x) a un polinomio de grado 8, lo cual es insuficiente paraencontrar una solucion general. Las particiones que realizamos en las diferentes potencias de 3, nos permitiran haceruna generalizacion de la idea del pentagono valida en general.

Definamos los siguientes numeros auxiliares:

k=3k

+ 3k+8

= 3k

+ 3k

= 3k

+ 3k , 1 k 8,

j=sCj

3s

= 3s

+ 3s+4

+ 3s+8

+ 3s+12

1 j 4,

i=sC

3i+s

= 3i

+ 3i+2

+ 3i+4

+ + 3i+16

0 i 1.

(4)

Para finalizar la prueba vamos a probar que si alguno de los numeros i, i, i, i es construible entonces losdemas lo son, y finalizaremos mostrando que i lo es. Mas especficamente, tenemos:

Teorema 2.3. 1. 3i

y 3i

son races del polinomio x2 ix + 1 y por tanto i es construible si y solo si i

lo es,

2. i, i+4 son races de x2 ix+ i+1, y en consecuencia i es construible si y solo si i lo es,

3. i y i+2 son races de x2 ix 1 y por tanto i es construible si y solo si i lo es,

4. 0 y 1 son races de x2 x 4 y por tanto construibles. En consecuencia i, i y

i lo son y el polgono de

17 lados es construible.

Demostracion: En todos los incisos tenemos polinomios de grado 2 por lo cual debemos ver que el coeficientede x es menos la suma de las races propuestas y el coeficiente independiente el producto de las mismas. El resultadose sigue con los siguientes calculos:

1. Coeficientes de x: Se sigue de las definiciones de i, i y i las siguientes igualdades:

3i

+ 3i

=i,

i + i+4 =3i

+ 3i+8

3i+4

+ 3i+12

= i,

i + i+2 =3i

+ 3i+4

+ 3i+8

+ 3i+12

+ 3i+2

+ 3i+6

+ 3i+10

+ 3i+14

= i.

Mefisto

19

9

Ademas, como el coeficiente de x15 de

p(x) = (x 1) (x 16)

es 1, tenemos:1 = ( + + 16) = (0 + 1).

2. Terminos independientes. Claramente, al ser raz de la unidad

3i

3i+8

= 3i

3

i

= 3i

3i = 1.

Por definicion de i tenemos

ii+4 = (3i

+ 3i+8

)(3i+4

+ 3i+12

)

= 3i+3

i+4

+ 3i+3

i+12

+ 3i+8

+3i+4

+ 3i+8

+3i+12

.

Factorizando, utilizando que los exponentes se comportan como enteros modulo 16 y reordenando podemosver que los exponentes son:

3i(1 + 34), 3i+4(1 + 34), 3i+8(1 + 34) y 3i+12(1 + 34),

es decir, los elementos de Ci multiplicados por (1 + 34). Pero:

1 + 34 1 + 13 39(mod 17).

Como estamos trabajando con potencias de 3, podemos ver de forma directa que multiplicar los elementos deCi por 3

j con j 1(mod 4) nos da los elementos de Ci+1, y por tanto

ii+4 =

jCi+1

j = i+1.

Para concluir la demostracion, debemos probar las igualdades:

01 = 4 y ii+2 = 1.

Comoij = i+j

los sumandos del producto 01 son los i que cumplan:

i = a+ b con a C y b NC.

Es decir, el exponente de cada sumando lo podemos identificar con una de las 64 parejas

(a, b) C NC.

Ahora bien, las congruencias:

3i 3i(15 + 3) 3i(4 + 14) 3i(13 + 5) 3i(8 + 10)(mod 17)

muestran que los 64 numeros a+ b recorren 4 veces todos los numeros invertibles modulo 17 y por tanto:

01 = 4( + + 16) = 4.

De forma analoga para probar la igualdad ii+2 = 1 demostraremos que

ii+2 = + + 16.

Como

Mefisto

20

10

ii+2 = (3i + 3i+4 + 3i+8 + 3i+12)(3i+2 + 3i+6 + 3i+10 + 3i+14)

cada uno de los 16 sumandos que aparecen son de la forma j , con j = a+ b, siendo:

{a = 34k y b = 34k+2 si i 0 (mod 2), oa = 34k+1 y b = 34k+3, si i 1 (mod 2)

para 0 k 8.

Pero estos numeros j recorren exactamente los 16 numeros invertibles modulo 17. En efecto, las siguientesigualdades muestran que cualquiera de los 16 numeros invertibles se escribe de manera unica de la forma antesmencionada:

C = {32k(16 + 2)}8k=1

y NC = {32k+1(12 + 6)}8k=1

C = {32k(12 + 6)}8k=1

y NC = {32k+1(16 + 2)}8k=1

.

donde estamos usando que modulo 17 se tienen las congruencias

16 38, 2 314, 6 315 y 12 313.

y al multiplicar por 32k o 32k+1 se obtienen sumandos de las formas propuestas.

Como un corolario inmediato tenemos igualdad:

iC

i jNC

j = 0 1 =

17. (5)

2.1. Algunos comentarios finales

Quiza sea un poco decepcionante para el lector encontrar una construccion con regla y compas que no utilizaninguno de los dos instrumentos en modo alguno. Aunque en general se cree que Gauss realizo una construccionexplcita del polgono de 17 lados, no se sabe a ciencia cierta si lo hizo, dado que fue otro de los grandes genios pocoadeptos a publicar sus resultados. Sin embargo, se conoce una construccion de estas caractersticas de Richmond(1893) que no reproducimos por falta de espacio pero que puede leerse en [Cabeza].

El lector con algunos conocimientos de teora de Galois habra notado que la parte medular de la construcciondel polgono esta en calcular la red de grupos de Galois de la extension de las races decimo septimas de la unidad.En este lenguaje se pueden generalizar de forma sencilla los resultados anteriores, para llegar al siguiente:

Figura 4: El matematico Pierre Laurent Wantzel.

Teorema 2.4. (Wantzel) Sea n un numero natural que se descompone en producto de primos como:

n = 2p11 pi

i

entonces el n-agono regular es construible si y solo si los primos nones Pi son primos de Fermat y 0 i 1. Enparticular n es un primo impar si y solo si es un primo de Fermat.

A lo largo de su vida Gauss estuvo muy interesado en probar la ley de reciprocidad cuadratica planteada porEuler. Muchas de las ideas utilizadas para mostrar que el polgono de 17 lados es construible estan presentes enuna de las herramientas mas poderosas que desarrollo para ello y que hoy se conocen como sumas de Gauss. Enparticular, mencionemos el siguiente resultado que generaliza las ecuaciones (3) y (5):

Mefisto

21

Teorema 2.5. Sea p un primo impar y = e2piip una raz p-esima de la unidad. Denotemos respectivamente a C y

NC y los cuadrados y no cuadrados de los elementos invertibles modulo p entonces:

iC

i iNC

j = (1)

p12p

Referencias

[Fra] J. Fraleigh , Algebra abstracta, ADDison-Wesley Iberoamericana, 1987, 484 pp.

[Infante] C.Infante, Construcciones con regla y compas, en este numero.

[Ivora] C.Ivora, Teora de Numeros, disponible en http://www.uv.es/ivorra/Libros/Numeros.pdf

[Mayer] S.Mayer, The tracendence of pi, 2006 disponible en http://sixthform.info/maths/files/pitrans.pdf.

[Milne] J.Milne Fields and Galois Theory, disponible en http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ft.html

[Cabeza] A. Sanz, Gauss y el polgono de 17 lados, Suma 58, 101-105 disponible en http://platea.pntic.mec.es/ ape-rez4/decabeza/58decabeza.pdf

Mefisto

22

23

x

6

8

9z

5

01 Dos pastores estn cuidando a sus ovejas. El primero de ellos dice:

Dame una de tus ovejas, para que tengamos los dos la misma cantidad.

El segundo le contesta:

Mejor t dame una de tus ovejas, para que yo tenga el doble de las que tengas t.

Cuntas ovejas tena cada pastor?

2 En un equipo de basquetbol debe haber cinco ju-gadores. Adolfo, Ramiro, Fernando, Enrique y Ga-briel deciden formar su equipo. Si en el equipo se tienen las playeras para los 5 jugadores, cada una con un nmero diferente, de cuntas formas dis-tintas pueden repartirse las playeras entre los inte-grantes del equipo?

3 Alfonso, Carlos, Rodolfo y Wenceslao son cuatro artistas. Uno de ellos es bailarn, otro es pintor, otro cantante y el otro es escritor, pero no nece-sariamente en ese orden.

Alfonso y Rodolfo estaban en el recital donde hizo su debut el cantante.

Carlos y el escritor encargaron sus retratos al pin-tor. El escritor hizo la biografa de Wenceslao y planea hacer la de Alfonso. Alfonso nunca ha odo hablar de Rodolfo.

A qu se dedica cada uno de ellos?

Acertijos

Mefisto

23

AcertijosSolucin a los anteriores

1 Sea x el nmero de perlas. A la primera hija le tocan y = 1 + (x - 1)/7 perlas. A la segunda le tocan z = 2 + (x-y-2)/7, y as sucesivamente. Pero como la condicin final es que cada hija recibi la misma cantidad de perlas, al igualar y con z y resolver para x la ecuacin resultante, encontramos que haba 36 perlas y 6 hijas.

? 4y

x2y

2

z2

1

7

2 En el momento en que coinciden las manecillas del reloj entre el 8 y el 9, faltan aproximadamente 17 minutos para las 9. Pero cuando hacen un n-gulo de 180, entre 2 y 3 de la tarde, la manecilla de los minutos est exactamente en el mismo lugar, mientras que la de las horas apunta en direccin opuesta, por lo que deducimos que han pasado ex-actamente 6 horas.

3Si se saca un calcetn, puede ser de cualquiera de los dos colores. El segundo puede ser del mismo color que el anterior, o del otro color que hay. Pero el tercero tiene que ser de alguno de los dos colo-res, ya que no hay otros colores. Por lo tanto, con 3 calcetines que se saquen, es seguro que hay un par del mismo color, sin importar cuntos calcetines hay de cada color.

4 Los cubitos de los vrtices tienen 3 caras pintadas. Los de las aristas tienen slo 2 caras pintadas. Y los de la parte interior de las caras tienen slo 1 cara pintada. Pero en la parte interior de las caras hay 8 x 8 = 64 cubitos, y como hay 6 caras, se tienen en total 64 x 8 = 384 cubitos con 1 sola cara pintada.

Mefisto

24

Sudoku

Fcil

Difcil

Solucin al anterior

Solucin al anterior

1

1

1

1

11

1

1

1

2

2

2

22

2

2

223

33

3

3

3

3

3

34

4

4

44

4

44

45

5

5

5

55

5

55

6

6

6

66

6

6

66

77

77

7

7

7

77

8

8

8

8

8

88

8

8

99

9

9

99

9

9

9

11

1

1

1

1

11

1

22

2

2

22

2

22

33

3

3

33

33

3

4

44

4

44

4

44

55

5

55

55

5

56

66

6

66

66

6

77

7

77

77

7

7

88

8

8

88

8

8

8

99

9

99

99

99

2

3

4

45

77

7

9 2

3

3

4

45

6

7

8

8

8

8

9

1

1

2

7

6

6

4

55

5

1

1

1

1

2

33

3

7

2

9

8

8

9

735

7

66

6

1