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GA – Estudo das Retas

1. (Pucrj 2013) O triângulo ABC da figura abaixo tem área 25 e vértices A = (4, 5), B = (4, 0) e C = (c, 0).

A equação da reta r que passa pelos vértices A e C é: a) x 7 y

b) x

53

y

c) x

52

y

d) x

72

y

e) x

73

y

2. (Pucrj 2013) O triângulo da figura abaixo é equilátero e tem vértices A, B = (2, 4) e C = (8, 4).


As coordenadas do vértice A são:

a) 5, 4 27

b) 6, 4

c) 8, 5

d) 6, 27

e) 6, 5 27

3. (Upe 2013) A reta r da figura possui equação 2x – 3y + 6 = 0, e o trapézio OBCD tem área igual a 9 unidades de área.

Qual é a equação da reta s? a) x – 2,5 = 0 b) x – 3 = 0 c) x – 3,5 = 0 d) x – 4 = 0 e) x – 4,5 = 0 4. (Ufpr 2013) Considere as retas r e s representadas no plano cartesiano abaixo.

a) Escreva a equação da reta r. b) Qual deve ser o coeficiente angular da reta s, de modo que ela divida o triângulo cinza em

dois triângulos com áreas iguais? Justifique sua resposta. 5. (Uern 2012) Uma reta tem coeficiente angular igual a – 2 e passa pelos pontos (3, 4) e (4, k). A soma do coeficiente linear da reta com o valor de k é a) 5. b) 7. c) 12. d) 14.


6. (Ufrgs 2012) As equações das retas representadas no sistema de coordenadas cartesianas

abaixo são 2x + y – 3 = 0, 5x – 4y – 8 = 0 e x – 3y + 3 = 0.

As equações de r e s são, respectivamente, a) 2x + y – 3 = 0 e x – 3y + 3 = 0. b) 2x + y – 3 = 0 e 5x – 4y – 8 = 0. c) 5x – 4y – 8 = 0 e x – 3y + 3 = 0. d) x – 3y + 3 = 0 e 2x + y – 3 = 0. e) x – 3y + 3 = 0 e 5x – 4y – 8 = 0. 7. (Espm 2012) Dado, no plano cartesiano, o triângulo de vértices A(0, 0), B(–2, 3) e C(4, 5), a equação da reta suporte da altura relativa ao vértice A será: a) y = –2x b) y = –3x c) y = 2x d) y = –4x e) y = 5x 8. (Fgv 2012) Considere a região do plano cartesiano cujos pontos satisfazem simultaneamente as inequações:

x 2y 6

x y 4

x 0

y 0

A área dessa região é: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10


9. (Insper 2012) No plano cartesiano, as retas r e s têm coeficientes angulares iguais a 1

3 e 2,

respectivamente, e a reta t tem equação y k, sendo k uma constante positiva.

Se a área do triângulo destacado na figura é A, então o valor de k é

a) 4A

.5

b) 6A

.5

c) 5A

.4

d) 7A

.4

e) 3A

.2

10. (Unicamp 2012) A área do triângulo OAB esboçado na figura abaixo é

a) 21

4

b) 23

4

c) 25

4

d) 27

4


11. (Pucsp 2012) Suponha que no plano cartesiano mostrado na figura abaixo, em que a

unidade de medida nos eixos coordenados é o quilômetro, as retas r e s representam os trajetos percorridos por dois navios, N1 e N2, antes de ambos atracarem em uma ilha, localizada no ponto I.

Considerando que, no momento em que N1 e N2 se encontravam atracados em I, um terceiro navio, N3, foi localizado no ponto de coordenadas (26; 29), a quantos quilômetros N3 distava de I? a) 28 b) 30 c) 34 d) 36 e) 40 12. (Ufpr 2012) Na figura abaixo estão representados, em um sistema cartesiano de

coordenadas, um quadrado cinza de área 4 unidades, um quadrado hachurado de área 9 unidades e a reta r que passa por um vértice de cada quadrado. Nessas condições, a equação da reta r é:

a) x 2y 4

b) 4x 9y 0

c) 2x 3y 1

d) x y 3

e) 2x y 3

13. (Epcar (Afa) 2012) Considere no plano cartesiano as retas

x 2t

r: 1y 3t

2

e

k

s: k 1 x – y – 0,2

onde k .

Sobre as retas r e s é correto afirmar que NUNCA serão a) concorrentes perpendiculares. b) concorrentes oblíquas. c) paralelas distintas. d) paralelas coincidentes.


14. (Uel 2012) Um pássaro sobrevoa uma rampa conforme mostra a figura. A ave faz seu voo

em linha reta e paralela à calçada.

a) Sabendo-se que a rampa forma um ângulo de 135º com a calçada, conforme mostra a

figura, e que a distância do muro de apoio até o pé da rampa é de 3 metros, calcule o comprimento da rampa.

b) Determine a menor distância entre o pássaro e a rampa no instante em que o pássaro se encontra a 5 metros do muro e a 6 metros da calçada em que se apoia a rampa. Apresente os cálculos realizados na resolução de cada item.

15. (Pucrj 2012) O perímetro do triângulo que tem lados sobre as retas y = 2, x = 2 e x + y = 2 é:

a) 3

b) 2 2 c) 2

d) 2 2

e) 4 2 2 16. (Mackenzie 2012) Na figura, as retas r e s são paralelas. Se (x,y) é um ponto de s, então x – y vale

a) 2

b) 2 c) 4

d) 2 2

e) 4 2


17. (Udesc 2011) A região sombreada na figura tem como limitantes as retas y 0, y 2x,

y x 2, y 7 e y 25 3x.

A área da região sombreada é:

a) 152

3

b) 319

6

c) 107

3

d) 241

3

e) 86

3

18. (Uft 2011) Qual o perímetro do triângulo ABC representado na figura a seguir, sabendo-se

que as retas r e t são definidas pelas equações 3 3

r : x y 6 0 e t : x y 04 4

a) 18 unidades de medida. b) 17 unidades de medida. c) 16 unidades de medida. d) 15 unidades de medida. e) 14 unidades de medida. 19. (Upe 2011) Sobre a equação reduzida da reta que intercepta o eixo y no ponto (0,4) e o eixo x no ponto (2,0), é correto afirmar que o coeficiente angular a) da reta será um número positivo ímpar. b) da reta será um número positivo par. c) da reta será um número negativo cujo módulo é um número ímpar. d) da reta será um número negativo cujo módulo é um número par. e) da reta é nulo.


20. (Ufpr 2011) Um balão de ar quente foi lançado de uma rampa inclinada. Utilizando o plano

cartesiano, a figura ao lado descreve a situação de maneira simplificada.

Ao ser lançado, o balão esticou uma corda presa aos pontos P e Q, mantendo-se fixo no ar. As coordenadas do ponto P, indicado na figura, são, então: a) (21,7). b) (22,8). c) (24,12). d) (25,13). e) (26,15).


Gabarito: Resposta da questão 1: [D] Sabendo que a área do triângulo ABC mede 25, obtemos

AB BC25 5 (c 4) 25 2

2

c 14.

A equação de r é dada por

C AC C

C A

y y 0 5y y (x x ) y 0 (x 14)

x x 14 4

xy 7.

2

Resposta da questão 2:

[A]

Dado que ABC é equilátero e observando que B e C estão sobre a reta y 4, segue que a

abscissa do ponto A é dada por

B CA

x x 2 8x 5.

2 2

Além disso, como o coeficiente angular da reta AB é igual a tg60 3, segue que a sua

equação é

y 4 3 (x 2) y 3x 4 2 3.

Portanto, a ordenada do vértice A é igual a

Ay 3 5 4 2 3 4 3 3 4 27.


[B]

Como a equação explícita da reta r é 2

y x 2,3

segue que By 2.

Sendo C CC (x , y ), e sabendo que a área do trapézio OBCD é igual a 9 u.a., vem

B C C C C

2C

C

1 1 2(y y ) x 9 2 x 2 x 9

2 2 3

(x 3) 36

x 3.

Portanto, a equação da reta s é x 3 0.



a) Utilizando a forma segmentária da equação da reta, temos:

x y1 3x 4y 12 0.

4 3

b) Para que a reta s divida o triângulo cinza em dois triângulos com áreas iguais, deveremos

considerar M como ponto médio de AB.

Portanto:

M0 4

x 22

M3 0

y 3 / 22

Logo, M 0s

M 0

30

y 32m .x 2 0 4


[C]

Se a reta passa pelos pontos (3, 4) e (4, k), e o coeficiente angular é igual a 2, então

k 42 k 2.

4 3

Além disso, a equação explícita da reta é dada por

y 4 2(x 3) y 2x 10.

Portanto, o coeficiente linear da reta é igual a 10 e a soma pedida vale 10 2 12. Resposta da questão 6:

[A] Determinando a equação reduzida de cada equação de reta, temos, de acordo com o valor do coeficiente angular:

2x y 3 0 y 2x 3 Equação da reta r

55x 4y 8 0 y x 2 Equação da reta t

4

1x 3y 3 0 y x 1 Equação da reta s.

3



[B]

Sejam r a reta suporte do lado BC e t a reta suporte da altura relativa ao vértice A.

O coeficiente angular da reta r é dado por

C Br

C B

y y 5 3 2 1m .

x x 4 ( 2) 6 3

Logo, como r t, segue que o coeficiente angular da reta t é tr

1m 3

m e, portanto, a

equação de t é

A t Ay y m (x x ) y 0 3 (x 0)

y 3x.

Resposta da questão 8: [B]

x 6x 2y 6 y

2

x y 4 y x 4

x 0

y 0

Localizando a região no plano e determinando o ponto P

x 6y

logo P (2,2)2

y x 4

Calculando a área A assinalada, temos: A = A1 + A2 + A3

1 2 2 2A 2 2

2 2

A = 7.



[A]

Seja A o ponto de interseção das retas s e t.

As coordenadas do ponto A correspondem à solução do sistema formado pelas equações de

s e de t, ou seja,

A

A

ky 2x 2x k x

2y k y k

y k.

Por outro lado, se B é a interseção das retas r e t, então suas coordenadas são tais que

B

B

1 1x 3ky x x k

3 3y k.

y k y k

Portanto, obtemos

B A A

2

1 1 kA (x x ) y A 3k k

2 2 2

5kA

4

4Ak .

5


[C]

r2

m 21

, logo s1

m2

(r e s são perpendiculares)

Equação da reta s: 1

y 2 (x 1) 2y 4 x 1 x 2y 5 02

Intersecção com o eixo x: x + 2.0 = 5 x = 5. Logo, A (5,0).

Intersecção com o eixo y: 0 + 2.5 = 5 5

y2

. Logo, 5

A ,02

.

Calculando a área do triângulo, temos:

55

2A2

25A

4



[B]

Sejam r ry m x h a equação da reta r.

Do gráfico segue que rh 1. Além disso, como r intersecta o eixo x no ponto de abscissa

x 2, segue que r r1

0 m ( 2) 1 m .2

Por outro lado, como a reta s intersecta o eixo x em (3, 0), e o ângulo que ela forma com

esse eixo é 45°, temos que sua equação é

y 0 tg45 (x 3) y x 3.

As coordenadas do ponto I constituem a solução do sistema formado pelas equações de r e de s :

I

I

1 1x 8y x 1 x 1 x 3

.2 2y 5

y x 3 y x 3

Portanto, a distância pedida é dada por

2 2 2 2(26 8) (29 5) 18 24 30km.


[A] O quadrado cinza tem lado medindo 2 e o quadrado hachurado tem lado medindo 3. Observe a figura:

Coeficiente angular da reta r:

r3 2 1

m2 0 2

logo, a equação reduzida da reta r será:

1y x 2

2

que é equivalente à equação:

x 2y 4



[D]

Escrevendo a reta

x 2t

r: 1y 3t

2

na forma geral, temos:

Escrevendo as duas retas na forma reduzida, temos:

3 1(r)y x e (s) y (k 1) x k

2 2

Para que as retas sejam paralelas iguais, devemos ter:

3 12 2

12

K 1 k

K

Como não se pode ter dois valores distintos para k, concluímos que as retas nunca serão paralelas iguais. Resposta da questão 14:

a) Equação da reta r. (mr = -1 e passa por (3,0)) y – 0 = -1. (x – 3) x + y – 3 = 0.

Determinando o ponto Q (fazendo x = 0): 0 + y - 3 = 0 y = 3. Logo, Q(0,3).

Calculando o tamanho R da rampa: R2 = 3

2 + 3

2 R = 3 2 m

b) Calculando a distância do ponto P(pássaro) à reta r:

d = 2 2

5 6 3 84 2

21 1

m



[E] Considere a figura.

O triângulo, cujo perímetro queremos calcular, tem vértices nos pontos (0, 0), (0, 2) e (2, 0).

Portanto, como esse triângulo é retângulo e isósceles, segue que seu perímetro é dado por

2 2 2 2 4 2 2. Resposta da questão 16:

[C]

Seja A ( , 0) o ponto de interseção da reta s com o eixo das abscissas.

Como a distância de A até a reta r é igual 2 2 e o ângulo que a reta r forma com o eixo das

abscissas mede 45°, segue que 2 2 2 4.

Portanto, x y 0 4 0 4.

Resposta da questão 17: [C]

O ponto B é a intersecção das retas y 2x e y x 2. Logo,

2x x 2 x 2 B (2, 4).

O ponto C é a intersecção das retas y x 2 e y 7. Assim,

x 2 7 x 5 C (5, 7).

O ponto D é a intersecção das retas y 7 e y 25 3x. Desse modo,

7 25 3x x 6 D (6, 7).

O ponto E é a intersecção da reta y 25 3x com o eixo das abscissas. Por conseguinte,

25 2525 3x 0 x E , 0 .

3 3

Portanto, a área pedida é dada por

0 2 5 6 25 3 01(ABCDE)

2 0 4 7 7 0 0

1 17514 35 20 42

2 3

107.

3



[A]

Ponto A

3xy 6 0

4A(4,3)

3xy 0

4

Ponto B: B(0,0)

Ponto C

3xy 6 0

C(8,0)4

y 0

22

22

AB (4 0) 3 0 5

AC (4 8) 3 0 5

BC 8 0 8

Calculando o perímetro P, temos: P = 5 + 5 + 8 = 18 Resposta da questão 19:

[D]

m = 202

40

Número negativo, cujo módulo é um número par. Resposta da questão 20: [C]

A equação da reta PQ é:

5 0 1y x x.

10 0 2

Seja R (20, 20). O ponto P é a interseção das retas PQ e RP. Como estas retas são

perpendiculares, segue que RP

m 2. Assim, a equação da reta RP é:

y 20 2 (x 20) y 2x 60.

O ponto P é a solução do sistema formado pelas equações de PQ e RP :

11 y x

y 12y x 2P (24,12).2

5 x 24y 2x 60 x 60

2

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