ga aula06 retas

7/23/2019 Ga Aula06 Retas

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Retas


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Equao Vetorial

Sejam um ponto A=(x1,y1,z1) e um vetorno nulo v=(a,,!)

"eorema# Existe somente uma reta r quepassa por A e tem $ireo $e v% &m ponto'=(x,y,z) r se, e somente se, o vetor A'

= (xx1,yy1,zz1) * paralelo a v, isto * A'= tv, para to$o t R


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Equao Vetorial

+a, 'A= tv ou ' = A - tv .u em !oor$ena$as (x,y,z)= (x1,y1,z1)-t(a,,!) que * !/ama$a

$e equao vetorial $a reta r


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Exemplo

En!ontre a equao vetorial $a reta quepassa por A=(1,1,0) e tem a $ireo $e

v=(,2,)% Veri3ique tam*m se o ponto'=(4,4,5) perten!e a esta reta


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Equa6es 'aram*tri!as

Saemos que a equao vetorial $a retaque passa por A=(x1,y1,z1) e tem $ireo

$e v=(a,,!) *# (x,y,z)= (x1,y1,z1)-t(a,,!) ou ain$a (x,y,z)= (x1-ta,y1-t,z1-t!)


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Equa6es 'aram*tri!as

&san$o a i7ual$a$e $e $ois vetores naexpresso (x,y,z)= (x1-ta,y1-t,z1-t!)

temos as se7uintes equa6esparam*tri!as

+=

+=

+=

ctzz

btyy

atxx

1

1

1


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Exemplo

+a$o o ponto A(,2,0) e o vetor v=(1,,2)pe$ese#

A) es!reva as equa6es param*tri!as $areta r que passa por A e tem a $ireo $ev

8) En!ontrar $ois pontos 8 e 9 $e r $epar:metros t=1 e t=0 respe!tivamente


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Exemplo

9) $eterminar o ponto $e r !uja as!issa *0

+) veri3i!ar se os pontos +=(0,1,) eE=(4,0,2) perten!em a r

E) +eterminar para que valores $e m e n

o ponto ;=(m,4,n) perten!e a r


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Exemplo

;) es!rever outros $ois sistemas $eequa6es param*tri!as $e r


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Reta +e3ini$a por 'ontos

A reta $e3ini$a pelos pontos A e 8 * a retaque passa por A (ou 8) e tem $ireo $o

vetor v=A8


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Exemplo 2

Es!reva as equa6es param*tri!as $areta r que passa por A=(2,1,) e 8(1,,0)


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Equao 'aram*tri!a $e um

Se7mento $e Reta 9onsi$ere um se7mento $e reta !ujos pontos

extremos sejam A=(x1,x,x2) e 8 = (y1,y,y2)%

Assim as equa6es param*tri!as $o se7mento$e reta ten$o por $ireo o vetor A8, so

'ara t >?,1@

+=+=

+=

)()(

)(

333

222

111

xytxz

xytxy

xytxx


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ota

Buan$o t=? nas equa6es anteriores(x,y,z)=A

Buan$o t=1 (x,y,z)=8


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Equa6es Sim*tri!as

+as equa6es param*tri!as temse

Supon$o que a C?, C? e ! C ? temse

+=

+=+=

ctzz

btyyatxx

1

11


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axxt 1=

b

yyt

1=c

zzt

1=


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Equa6es Sim*tri!as

9omo, para !a$a ponto $a reta!orrespon$e um sD valor $e t otemos

i7ual$a$es


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=a

xx 1 =b

yy 1

c

zz 1


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otas

As equa6es $o sli$e anterior so!/ama$as $e equa6es sim*tri!as $a reta

que passa por A=(x1,y1,z1) e * paralelaao vetor (a,,!)


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Exemplo

En!ontre as equa6es sim*tri!as $a retaque passa pelo ponto A=(2,?,4) e tem a

$ireo $o vetor v=(,,1)


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Equa6es Re$uzi$as

Seja a reta r $e3ini$a pelo pontoA=(x1,y1,z1) e pelo vetor $iretor v=(a,,!)

as equa6es sim*tri!as $a reta so#

=

a

xx 1

=

b

yy 1

c

zz 1


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Exemplo

+a$as as equa6es re$uzi$as $a retay=mx-n, z=px-q, en!ontre um vetor

$iretor


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Retas paralelas aos planos

!oor$ena$os &ma reta * paralela a um $os planos x?y

ou y?z se seus vetores $iretores 3orem

paralelos ao plano !orrespon$ente% este!aso, uma $as !omponentes $o vetor *nula


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Exemplo

Seja a reta r que passa pelo pontoA=(1,,0) e tem o vetor $iretor v=(,2,?)

ote que a ter!eira !omponente $e v *nula e a reta * paralela a x?y


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Analo7amente, uma reta r1 !om vetor$iretor $o tipo v=(a,?,) * paralela a x?z e

uma reta r !om vetor $iretor $o tipov=(?,a,) * paralela a y?z


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Retas paralelas aos eixos

!oor$ena$os &ma reta * paralela a um $os eixos

!oor$ena$os ?x,?y ou ?z se seus vetores

$iretores 3orem paralelos a i=(1,?,?),j=(?,1,?) ou G=(?,?,1) este !aso, $uas $as !omponentes $o

vetor so nulas


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Exemplo

+esen/e a reta que passa por A=(,2,0) etem a $ireo $o vetor v=(?,?,2)


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Hn7ulo $e $uas retas

Sejam as retas r1 e r !om as $ire6es v1e v, respe!tivamente

9/amase :n7ulo $e $uas retas o menor:n7ulo 3orma$o pelos vetores $iretores

Io7o, sen$o teta este :n7ulo temse#


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cos = |(u . v)| /( | u | | v |)

Com 0


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Exemplo

9al!ule o :n7ulo entre as retas r1=# x=2-t,y=t,z=1t r# (x-)J=(y2)J1=zJ1


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Exemplo

Veri3ique se as retas so orto7onais r1# y=x-1,z=0x r# x=2t,y=0-t,z=t


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Reta orto7onal a $uas retas

Sejam r1 e r $uas retas no paralelas!om vetores $iretores v1 e v

respe!tivamente Seja r uma reta !om vetor $iretor v $e tal

3orma que r * orto7onal a r1 e r *

orto7onal a r


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Assim, saemos que v%v1 =? e v%v=?

&m vetor v que satis3az o sistema anterior* $a$o por v=v1 x v


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+e3ini$o, ento, o vetor $iretor v, a reta restar $etermina$a quan$o 3or !on/e!i$o

um $e seus pontos


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Exemplo

+eterminar a equa6es param*tri!as $areta r que passa pelo ponto A=(2,0,1) e *

orto7onal Ks retas r1#(x,y,z)=(?,?,1)-t(,2,0) r# x=4, y=t, z=1t


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Retas !oplanares

+uas retas r1 #a1(x1,y1,z1),v1=(a1,1,!1)e r#a(x,y,z),v=(a,,z) so

!oplanares se os vetores v1, v e a1a3orem !oplanares, isto *, se>v1,v,a1a@=?


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Exemplo

+etermine o valor $e m para que as retassejam !oplanares

R1#y=mx-,z=2x1 R#x=t,y=1-t,z=t


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'osio Relativa $e $uas Retas

+uas retas r1 e r no espao po$em ser#

'aralelas# v1JJv interseo r1 e r * vazia

9on!orrentes# a interseo $e r1 e r * LMN

on$e M * o ponto $e interseo% este!aso as retas tem que ser !oplanares


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Reversas# no !oplanares% este !aso ainterseo $e r1 e r * vazia

'osio Relativa $e $uas Retas


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Exemplo

Estu$ar a posio relativa $as retas 'rimeiro !asoR1#y=x2,z=xR#x=12t,y=0Ot,z=2t

Se7un$o !asoR1#xJ=(y1)J1=zR#x=0t,y=t,z=t-1


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"er!eiro !asoR1#(x)J=yJ2=(z4)J0

R#x=4-t,y=t,z=Pt Buarto !asoR1#y=2,z=x

R#x=y=z


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Mnterseo $e $uas retas

Se $uas retas se inter!eptam, elas so!oplanares, isto *, esto situa$as no

mesmo plano% este !aso, so $itas!on!orrentes

Se $uas retas no so !oplanares, elas

so $itas reversas% Sup6ese que as retasno so paralelas


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Exemplo

Veri3i!a se as retas r1 e r so!on!orrentes e, em !aso a3irmativo,

$eterminar o ponto $e interseo 'rimeiro !aso r1#y=2x-,z=2x1

r#x=t,y=1-t,z=t

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